C44 C C 2C. Physik der kondensierten Materie WS 2010/ Für die freie Energie f hatten wir bereits formuliert:

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Berndt Dressler
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1 Für die reie Energie hatten wir bereits ormuliert: Cijkl ij kl ijkl Für isotrope Systeme vereinacht sich diese zu: 0 ii ij Wo stehen die Lamé-Koeizienten in der C IJ -Matrix? 33 (5.30)! J C J J (5.3) iso C IJ C6J J J (5.3) Für einen kubischen Kristall, der sich elastisch isotrop verhält, muss gelten: C C C44 Somit erhalten wir: C C C C C Mit Hile des Anisotropieaktors I kann eine Aussage über die Isotropie gemacht werden (I= ür isotrope Materialien): C

C C C 44 I Als Beispiel betrachten wir zunächst Aluminium:!,08 0,6 0,86Pa C44 0,36Pa Damit ist Aluminium praktisch isotrop. Anders verhält sich Eisen: Eisen verhält sich also stark anisotrop!

2 C C C 44 I Als Beispiel betrachten wir zunächst Aluminium:!,08 0,6 0,86Pa C44 0,36Pa Damit ist Aluminium praktisch isotrop. Anders verhält sich Eisen: Eisen verhält sich also stark anisotrop! C44,66 Pa C C 0, 486 Pa 5.9 Anwendungen der Elastizitätstheorie i) Elastische Deormation eines Turmpeilers Abbildung 9: Turmpeiler. Au das Volumenelement wirke die Krat g. Als erste Anwendung der Elastizitätstheorie betrachten wir die elastische Deormation eines Turmpeilers (siehe Abbildung 9). Die eingezeichnete Krat beträgt g g. Die elastische Krat beträgt elast ij. x j Jedes statische System erordert Krätereiheit au jedes Volumenelement:

3 ges ij g gi 0 x V x i (5.33) Zusätzliche Randbedingung: pds ds 0 x V i ik k Wenn wir Querkontraktion vernachlässigen, vereinacht sich die Situation erheblich: Keine Schubkrat: Keine Kräte in y- und z-richtung: x ij 0 i j , x 0 0 x x g gx ii) Wasserstospeicherung Als nächste Anwendung betrachten wir die Wasserstospeicherung. Für diese Form der Energiespeicherung werden derzeit verschiedene Konzepte verolgt, die eine unterschiedlich gute Volumenausnutzung haben: ) Hochdruckspeicherung (00 bar) -> kg H /00 l ) Flüssiggas -> 7 kg H /00 l 3) Metallhydrid -> 5-0 kg H /00 l Die Speicherung in Form eines Metallhydrides nutzt einen Phasenübergang, wie er in Abbildung 9 gezeigt ist. 3

4 Abbildung 9: Speicherung von Wassersto in Metallhydriden. Im Zweiphasengebiet ist eine Wasserstoentnahme bei konstantem Druck möglich. Wo ist der Zusammenhang zur Elastizitätstheorie? Der Einbau von Wassersto bewirkt eine Volumenauweitung des Wirtsgitters von: a V 0,06 xh 0 xh. a 3 V 0 Die Änderung des Gitterparameters bei dünnen Schichten ist höher als bei massiven Proben (siehe Abbildung 93). Sind dünne Schichten also ein besserer Wasserstospeicher? Abbildung 93: links: Änderung des Gitterparameters ür dünne Schicht und Volumen Material. Rechts: Bestimmung der Volumenauweitung mit Hile von X-Ray-Diraction (XRD) an einer dünnen Nb-Schicht. 4

5 Abbildung 94: Hatung au dem Substrat Wir betrachten das Beispiel einer Niob-Schicht (Nb). Die Hatung au dem Substrat lieert eine laterale Zwangsbedingung: 0 0 elast Das Material wächst in (0)-Textur, d.h. die dichtest-gepackten Kristallebenen liegen parallel zur Substratoberläche. Die Beziehung zwischen den Kristallachsen und dem Probensystem ist gegeben durch: 0 x 0, y, z 0 0 (5.34) Die Normalspannung au der Oberläche ist Null: / zz,,0/ 0 0 (5.36) Hieraus olgt: 0 (5.36 ) C C C C 33 C 33 C44 C 44 C 44 C C C 33 C 44 5

6 Einsetzen in (5.36 ) ührt au C C C 33 C C C 4C 0. (5.37) Die elastische Dehnung in x- und y-richtung muss die reie Dehnung ε 0 gerade kompensieren, damit die Schicht au dem Substrat hatet. Die Dehnung in x-richtung ist gegeben durch xx! i j ij 33 0, x die Dehnung in y- und z-richtung entsprechend: yy i j ij y zz i j ij z! 0 mit der elastischen Dehnung in Normalenrichtung ε. Ersetzen von ε ij durch ε 0 und ε in (5.37) ührt au: C 3C C C C C44,3. (5.38) Die gesamte Ausdehnung in Normalenrichtung beträgt somit in Übereinstimmung mit dem Experiment,3. (5.39) 0 0 Die vermeintlich bessere Speicherung von Wassersto in dünnen Schichten ist ein simpler elastischer Eekt, der daraus resultiert, dass man eine starke (elastische) Ausdehnung der Schicht in Richtung der Oberlächennormalen berücksichtigen muss (bedingt durch die kohärente Bindung au dem Substrat). 6

7 5.0 Mikroskopische Ursachen der Elastizität Abbildung 95: vernetzte Polymerketten Gummi besteht physikalisch gesehen aus vernetzten Polymerketten (siehe Abbildung 95) Abbildung 96: Polymerkette mit N Segmenten der Länge a. Die schematische Polymerkette in Abbildung 96 besteht aus N Segmenten der Länge a. Die Kettenkonormation entspricht einer Zuallsolge von Sprüngen analog zum Random Walk im Falle von Diusionsvorgängen. Hierbei gilt: R Na Dt (5.40) mit dem Diusionskoeizienten D und der Diusionszeit t. Die Wahrscheinlichkeit ein Kettenende im Volumenelement (dxdydz) zu inden, berechnen wir als Diusionsproil nach N Sprüngen mit Hile der Diusionsgleichung: c c D t R (5.4) Die Diusionsgleichung wird gelöst durch eine Gaußunktion: c R 3 4 Dt 3/ 3R 4Dt e. (5.4) 7

8 Abbildung 97: Wahrscheinlichkeitsverteilung (Gaußsche Glocke) als Lösung der Diusionsgleichung. Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit ist proportional zur Zahl der Kettenkonormationen ω, die im Ursprung beginnen und im Abstand R enden. Die Entropie S ist ein Maß ür diese Anzahl: B ln Bln S k k c R (5.43) 3R S0 kb (5.44) Na 8

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