Algorithmische Geometrie Übung am

Transkript

1 Algorithmische Geometrie Übung am INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmische nationales Forschungszentrum Geometrie Sommersemester in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Übung für algorithmische Geometrie Übungsleiter Benjamin Niedermann Raum 322 Sprechzeiten: individuell per Mail vereinbaren Termine Vorlesung: Di 9:45 11:15 Uhr, Raum 301 Übung: Mi 15:45 17:15 Uhr, Raum 301

3 Ablauf des Übungsbetrieb Ausgabe Blatt 1 for Woche i = do if Tag == Dienstag then Ausgabe Blatt i Abgabe Blatt (i 1) if Tag == Mittwoch & übungfindetstatt(tag) then Besprechung Blatt (i 1) Bearbeitung der Aufgaben und Abgabe der Lösungen in Zweiergruppen erwünscht Übung in der Regel wöchentlich ca Minuten abweichende Regelung werden rechzeitig bekannt gegeben. Nächste Woche (23. April) findet keine Übung statt!

4 Grundlegende Datenstrukturen und Techniken

5 Unterteilung der Ebene Quelle: Google Earth

6 Unterteilung der Ebene Quelle: Google Earth

7 Unterteilung der Ebene

8 Unterteilung der Ebene

9 Unterteilung der Ebene Polygonzug Knoten Facette Kante

10 Unterteilung der Ebene Polygonzug Knoten Facette Kante Anforderungen: Zugriff auf Knoten, Facetten und Kanten Ablaufen einzelner Facetten. Ausgehende Kanten traversieren. Wie Unterteilung effizient speichern?

11 Unterteilung f 4 f 1 f 2 f 3

12 Unterteilung f 4 f 1 f 2 f 3 Für jede Kante einer inneren Facette führe gerichtete Halbkante im Uhrzeigersinn ein.

13 Unterteilung f 4 f 1 f 2 f 3 Für jede Kante einer inneren Facette führe gerichtete Halbkante im Uhrzeigersinn ein. Für jede Kante der äußeren Facette führe gerichtete Halbkante gegen den Uhrzeigersinn ein.

14 Unterteilung f 4 edge(f 1 ) f 1 edge(f 2 ) f 2 f 3 edge(f 3 ) edge(f 4 ) Speichere für jede Facette eine beliebige angrenzende Halbkante.

15 Unterteilung next(e) face(e) edge(f 1 ) partner(e) f 1 e prev(e) f 4 edge(f 2 ) f 2 f 3 edge(f 3 ) edge(f 4 ) Speichere für jede Facette eine beliebige angrenzende Halbkante. Speichere für jede Halbkante den Nachfolger/Vorgänger, die gegenüberliegende Halbkante und die angrenzende Facette.

16 Unterteilung next(e) face(e) edge(f 1 ) partner(e) f 1 e prev(e) f 4 edge(f 2 ) edge(v) f 2 v f 3 edge(f 3 ) edge(f 4 ) Speichere für jede Facette eine beliebige angrenzende Halbkante. Speichere für jede Halbkante den Nachfolger/Vorgänger, die gegenüberliegende Halbkante und die angrenzende Facette. Speichere für jeden Knoten eine beliebige inzidente ausgehende Halbkante.

17 Unterteilung next(e) face(e) edge(f 1 ) partner(e) f 1 e prev(e) f 4 edge(f 2 ) edge(v) Wie Inseln behandeln? f 2 v f 3 edge(f 3 ) edge(f 4 ) Speichere für jede Facette eine beliebige angrenzende Halbkante. Speichere für jede Halbkante den Nachfolger/Vorgänger, die gegenüberliegende Halbkante und die angrenzende Facette. Speichere für jeden Knoten eine beliebige inzidente ausgehende Halbkante.

18 Unterteilung next(e) face(e) edge(f 1 ) partner(e) f 1 e prev(e) f 4 edge(f 2 ) edge(v) f 2 v f 3 edge(f 3 ) edge(f 4 ) Speichere für jede Facette eine beliebige angrenzende Halbkante. Zugriff auf Knoten, Facetten und Kanten Speichere für jede Halbkante den Nachfolger/Vorgänger, die gegenüberliegende Halbkante und die angrenzende Ablaufen einzelner Facette. Facetten. Speichere Ausgehende für jeden Kanten Knoten eines eineknoten beliebige traversieren. inzidente ausgehende Halbkante.

22 Traversierung von inzidenten Kanten e 1 e 2 edge(v) f 2 f 1 v h 1 h 2 g 2 g 1

23 Traversierung von inzidenten Kanten e 1 e 2 edge(v) f 2 f 1 v h 1 h 2 g 2 g 1 Traversierung im Uhrzeigersinn: f 2 = next(partner(e 2 )) g 2 = next(partner(f 2 )) h 2 = next(partner(g 2 )) e 2 = next(partner(h 2 ))

24 Welche Äquivalenzen sind immer wahr? next(e) face(e) edge(f 1 ) partner(e) f 1 e prev(e) f 4 edge(f 2 ) edge(v) f 2 v f 3 edge(f 3 ) edge(f 4 ) partner(partner(e)) = e next(prev(e)) = e partner(prev(partner(e))) = next(e) face(e) = face(next(e))

29 Komplexität n: Anzahl Knoten e: Anzahl Kanten f : Anzahl Facetten Welchen Platzbedarf besitzt eine zusammenhängende Unterteilung?

30 Komplexität n: Anzahl Knoten e: Anzahl Kanten f : Anzahl Facetten Welchen Platzbedarf besitzt eine zusammenhängende Unterteilung? Jeder Knoten besitzt einen Zeiger. Jede Kante wird in zwei Halbkanten aufgeteilt, die jeweils vier Zeiger besitzen. Jede Facette besitzt einen Zeiger. Damit ergibt sich O(n + e + f ) Speicher.

31 Komplexität n: Anzahl Knoten e: Anzahl Kanten f : Anzahl Facetten Welchen Platzbedarf besitzt eine zusammenhängende Unterteilung? Jeder Knoten besitzt einen Zeiger. Jede Kante wird in zwei Halbkanten aufgeteilt, die jeweils vier Zeiger besitzen. Jede Facette besitzt einen Zeiger. Damit ergibt sich O(n + e + f ) Speicher. Satz von Euler besagt: n m + f = 2

32 Komplexität n: Anzahl Knoten e: Anzahl Kanten f : Anzahl Facetten Welchen Platzbedarf besitzt eine zusammenhängende Unterteilung? Jeder Knoten besitzt einen Zeiger. Jede Kante wird in zwei Halbkanten aufgeteilt, die jeweils vier Zeiger besitzen. Jede Facette besitzt einen Zeiger. Damit ergibt sich O(n + e + f ) Speicher. Satz von Euler besagt: n m + f = 2 Daraus ergibt sich: Jeder planare Graph besitzt maximal 3n 6 Kanten und 2n 4 Facetten. O(n) Speicher für Unterteilung der Ebene

33 Strecken Definition: Konvexkombination Für zwei Punkte p 1 und p 2 (in der Ebene) und α [0, 1] ist der Punkt p = αp 1 + (1 α)p 2 eine Konvexkombination von p 1 und p 2. α = 1 4 α = 1 2 p 1 p 2 Definition: Strecke Die Menge aller Konvexkombinationen zweier Punkte p 1, p 2 ist die Strecke p 1 p 2 zwischen p 1 und p 2. Ist die Reihenfolge von p 1 und p 2 von Bedeutung, so sprechen wir von der gerichteten Strecke p 1 p 2. p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p 2 p 1 p 2

34 Strecken Definition: Konvexkombination Für zwei Punkte p 1 und p 2 (in der Ebene) und α [0, 1] ist der Punkt p = αp 1 + (1 α)p 2 eine Konvexkombination von p 1 und p 2. α = 1 4 α = 1 2 p 1 p 2 Definition: Strecke Die Menge aller Konvexkombinationen zweier Punkte p 1, p 2 ist die Strecke p 1 p 2 zwischen p 1 und p 2. Ist die Reihenfolge von p 1 und p 2 von Bedeutung, so sprechen wir von der gerichteten Strecke p 1 p 2. p 1 p 2 p 1 p 2 p 2 p 1 p 1 p 2 Grundlegende Fragestellungen: 1. Gegeben drei Punkte p 0, p 1, p 2 in der Ebene. Liegt p 0 p 1 rechts oder links von p 0, p 2? 2. Bilden die beiden Strecken p 0, p 1 und p 1, p 2 bei p 1 einen Rechts- oder einen Linksknick? 3. Schneiden sich zwei gegebene Strecken p 0 p 1 und p 2 p 3? p 2 links p 0 p 1 p 0 Linksknick p 3 p 2 p 1 rechts p 1 p 2 p 0 p 0 p 1 p 2 Rechtsknick

35 Position eines Punktes r q p Gerichtete Gerade g durch p = (p x, p y ) und q = (q x, q y ) Punkt r = (r x, r y ) Liegt der Punkt r links oder rechts der Geraden g?

36 Position eines Punktes q p g

37 Position eines Punktes r q p g

38 Position eines Punktes r q p g

39 Position eines Punktes v = ( ) rx p x r y p y r q p g

40 Position eines Punktes v = ( ) rx p x r y p y r q p g

41 Position eines Punktes v = ( ) rx p x r y p y n pq = ( ) py q y q x p x r q p g

42 Position eines Punktes v = ( ) rx p x r y p y n pq = ( ) py q y q x p x r q ϕ p v T n pq = v n pq cos ϕ g

43 Position eines Punktes v = ( ) rx p x r y p y n pq = ( ) py q y q x p x r q ϕ p v T n pq = v n pq cos ϕ g

44 Position eines Punktes v = ( ) rx p x r y p y n pq = ( ) py q y q x p x r q ϕ p v T n pq = v n pq cos ϕ g v T n pq > 0 v T n pq = 0 v T n pq < 0 r links von g r auf g r rechts von g

45 Position eines Punktes v = ( ) rx p x r y p y n pq = ( ) py q y q x p x Vorteile dieser Methode: Es werden nur Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Vergleiche durchgeführt. Keine Divisionen, Wurzeln, etc. r Wenn Eingabe ganzzahlig, dann qsind alle Zwischenschritte ganzzahlig. Keine Fehler durch Ungenauigkeiten bei Gleitkommaarithmetik. ϕ p v T n pq = v n pq cos ϕ g v T n pq > 0 v T n pq = 0 v T n pq < 0 r links von g r auf g r rechts von g

46 Schneiden sich zwei Strecken? Definition: Umschließendes Rechteck (bounding box) Das Umschließende Rechteck (bounding box) eines geometrischen Objekts ist das kleinste achsenparallele Rechteck, das diese Objekt enthält. Notwendige Bedingung: Zwei Strecken können sich nur schneiden, wenn sich auch ihre umschließenden Rechtecke schneiden.

47 Schneiden sich zwei Strecken? Definition: Umschließendes Rechteck (bounding box) Das Umschließende Rechteck (bounding box) eines geometrischen Objekts ist das kleinste achsenparallele Rechteck, das diese Objekt enthält. Notwendige Bedingung: Zwei Strecken können sich nur schneiden, wenn sich auch ihre umschließenden Rechtecke schneiden. Das umschließende Rechteck ( p 1, p 2 ) zu p 1 p 2 ist beschrieben durch den linken unteren Punkt p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) und den rechten oberen Punkte p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) mit: p 2 = (x 2, y 2 ) p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) x 1 = min(x 1, x 2 ) ŷ 1 = min(y 1, y 2 ) x 2 = max(x 1, x 2 ) ŷ 2 = max(y 1, y 2 ) p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) p 1 = (x 1, y 1 )

48 Schneiden sich zwei Strecken? Definition: Umschließendes Rechteck (bounding box) Das Umschließende Rechteck (bounding box) eines geometrischen Objekts ist das kleinste achsenparallele Rechteck, das diese Objekt enthält. Notwendige Bedingung: Zwei Strecken können sich nur schneiden, wenn sich auch ihre umschließenden Rechtecke schneiden. Das umschließende Rechteck ( p 1, p 2 ) zu p 1 p 2 ist beschrieben durch den linken unteren Punkt p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) und den rechten oberen Punkte p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) mit: p 2 = (x 2, y 2 ) p 2 = ( x 2, ŷ 2 ) x 1 = min(x 1, x 2 ) ŷ 1 = min(y 1, y 2 ) x 2 = max(x 1, x 2 ) ŷ 2 = max(y 1, y 2 ) p 1 = ( x 1, ŷ 1 ) p 1 = (x 1, y 1 ) ŷ 2 ŷ 4 Zwei Rechtecke ( p 1, p 2 ) und ( p 3, p 4 ) schneiden sich genau dann, wenn x 2 x 3 x 4 x 1 ŷ 2 ŷ 3 ŷ 4 ŷ 1. ŷ 1 ŷ 3 x 1 x 3 x 2 x 4

49 Schneiden sich zwei Strecken? Definition p 1 p 2 berührt die Gerade durch p 3 p 4 falls p 1 und p 2 auf unterschiedlichen Seiten von p 3 p 4 liegen oder einer von ihnen auf der Gerade liegt. Ob eine Strecke die Gerade durch zwei Punkte berührt kann mithilfe von Positionstests überprüft werden. berührt nicht g g p 4 p 3 berührt g berührt g

50 Schneiden sich zwei Strecken? Definition p 1 p 2 berührt die Gerade durch p 3 p 4 falls p 1 und p 2 auf unterschiedlichen Seiten von p 3 p 4 liegen oder einer von ihnen auf der Gerade liegt. Ob eine Strecke die Gerade durch zwei Punkte berührt kann mithilfe von Positionstests überprüft werden. Lemma Zwei Strecken schneiden sich genau dann, wenn ihre umschließenden Rechtecke sich schneiden und jede der beiden Strecken die Gerade durch die jeweils andere Strecke berührt. Vorteile dieser Methode: Wie zuvor müssen Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und Vergleiche durchgeführt werden (insbesondere keine Divisionen, Wurzeln, etc.) Bei Ganzzahligen Koordinaten ist das Ergebnis und alle Zwischenschritte Ganzzahlig. Keine Fehler durch Ungenauigkeiten bei Gleitkommaarithmetik.