im Fach TET II Name:... Vorname:... Matr.-Nr.:... Studiengang:... bitte in Druckbuchstaben ausfüllen

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1 Technische Universität Berlin Fchgebiet Theoretische Elektrotechnik Prüfungen in Theoretischer Elektrotechnik Semester: SS 2005 Tg der Prüfung: Prüfung im Fch TET II Nme: Vornme: Mtr.-Nr.: Studiengng: bitte in Druckbuchstben usfüllen Bitte bechten Sie uch die Hinweise uf der Rückseite! Aufgbe A1 (2) A2 (2) A3 (2) A4 (3) A5 (3) A6 (3) A7 (2) Punkte Aufgbe B1 (6) B2 (5) B3 (5) B4 (6) B5 (6) Σ P Note Punkte 1

2 HINWEISE (bitte vor Beginn sorgfältig lesen!) ) Prüfen Sie, ob Ihr Klusurexemplr vollständig ist. Es muß us insgesmt 8 Blättern bestehen (1 Deckbltt, 2 Blätter mit den Aufgben A1 bis A7, jeweils 1 Bltt für die Aufgben B1 bis B5). Flls Sie ein unvollständiges Klusurexemplr erhlten hben, lssen Sie sich bitte ein einwndfreies Exemplr ushändigen. b) Trgen Sie uf dem Deckbltt Ihren Vornmen, Nmen und die Mtrikelnummer ein. c) Sie hben 120 Minuten Zeit für die Berbeitung der Aufgben. Es sind mximl 45 Punkte erreichbr. d) Verwenden Sie zur Lösung der Aufgben nur den unter den Frgen freigelssenen Rum (bei den Frgen B1 bis B5 evt. uch die Rückseite). Es werden beim Einsmmeln keine Extrblätter ngenommen! e) Achten Sie druf, dß der Lösungsweg für den Korrektor nchvollziehbr ist. f) Es sind keinerlei Hilfsmittel ußer einem Schreibstift gestttet. Verwenden Sie ber bitte keinen Bleistift. g) Die Teilnhme n dieser Klusur setzt eine Anmeldung beim Prüfungsmt vorus. Sollte diese nicht vorliegen, so knn die Klusur nicht benotet werden. Bitte bestätigen Sie durch Ihre Unterschrift, dß Sie die Hinweise gelesen und verstnden hben. Dtum: Unterschrift:

3 Aufgbe A1 Auf der Kugeloberfläche r = befinde sich eine endliche Flächenldung q F (ϑ) mit beliebiger Abhängigkeit vom Winkel ϑ. Gib geeignete Lösungsnsätze in Kugelkoordinten für ds Potentil in den Teilräumen r < und r > n. Unter Bechtung der Bedingung, dß ds Potentil für r = 0 und r endlich bleiben muß, luten die Ansätze φ(r,ϑ) = A n r n P n (cos ϑ) für r < n=0 B n r n 1 P n (cos ϑ) für r >. n=0 P n (x) ist ds Legendrepolynom der Ordnung n. Aufgbe A2 Zeige, dß ds Potentil φ eines homogenen elektrosttischen Feldes E = e x E 0 im 1. Glied der llgemeinen Lösungssumme der Lplcegleichung in Polrkoordinten enthlten ist. Potentil des homogenen Feldes: φ = E x dx φ = E 0 x = E 0 ϱ cos ϕ Ein Vergleich mit dem Lösungsnstz in Polrkoordinten φ(ϱ,ϕ) = A 0 + B 0 ln ϱ { } + A n ϱ n 1 + B n {C ϱ n n cos nϕ + D n sin nϕ} n=1 zeigt, dß ds Potentil des homogenen Feldes durch A 0 = B 0 = B n = D n = 0 und n = 1 beschrieben wird. 3

4 Aufgbe A3 Prllel zu einem leitenden Hlbrum bewege sich eine gleichstromdurchflossene Leiterschleife mit der Geschwindigkeit v. I 0 v κ,µ 0 Begründe, wrum es zu einer bhebenden Krft uf die Leiterschleife kommt. Infolge der Bewegung werden im leitenden Hlbrum Wirbelströme induziert. Diese erzeugen ein sekundäres Mgnetfeld, welches uf die Leiterschleife eine Krft usübt. Nch der Lenzschen Regel muß diese Krft eine bhebende Komponente ufweisen, weil ds primäre Mgnetfeld (lso die Ursche) mit zunehmener Höhe der Leiterschleife im leitenden Hlbrum bnimmt. Aufgbe A4 Gegeben ist eine Prllelplttenleitung mit dem Plttenbstnd d. ) Wie lutet der Zusmmenhng zwischen der Wellenzhl k und den Seprtionskonstnten? b) Wie groß sind die Grenzfrequenzen? c) Gibt es eine Welle mit verschwindender Grenzfrequenz, und wie sieht deren Feldbild us? ) Seprtionskonstnten: k 2 0 = k 2 z + k 2 yn, k yn = nπ d, n = 0, 1, 2... b) Grenzfrequenzen: ω cn = k cn c 0 = nπ c 0 d c) Ebene Welle mit E y = E 0 e j(ωt k 0z) 4

5 Aufgbe A5 Welches resultierende mgnetische Feld stellt sich ein, wenn eine ebene Welle mit dem elektrischen Feld E = E 0 e x cos(ωt kz), k = ω ε 0 µ 0 in der Ebene z = 0 n einen idelen, ebenen Spiegel reflektiert wird? H = E 0 µ0 e y {cos(ωt kz) + cos(ωt + kz)}, Z 0 = Z 0 ε 0 Aufgbe A6 In einer Prllelplttenleitung sei der Phsor H der mgnetischen Feldstärke beknnt. Die Pltten hben die Leitfähigkeit κ. Wie groß ist der zeitliche Mittelwert der Verlustleistungsdichte in einer Pltte, wenn dvon usgegngen werden knn, dß die Wndströme in einer sehr dünnen Schicht (Schichtdicke=Eindringtiefe δ S ) fließen und ußerhlb dieser Schicht ds Mgnetfeld in der Pltte verschwindet? Die Stromdichte in einer Pltte der Prllelplttenleitung ist nch den Vorussetzungen J = H t /δ S. Zeitlicher Mittelwert der Verlustleistungsdichte: P V = 1 2κ J J = H t 2 2κδ 2 S 5

6 Aufgbe A7 ) Ws versteht mn unter E-Wellen und H-Wellen? b) Es sei e z die Richtung der Wellenusbreitung in einem Wellenleiter. Der Wellenleiter sei strom- und ldungsfrei. Wie knn mn dnn mit Hilfe von Vektorpotentilen A E bzw. A H ds elektromgnetische Feld von E- bzw. H-Wellen im Wellenleiter berechnen und welche Richtung hben die Vektorpotentile? ) Wenn e z die Ausbreitungsrichtung ist, dnn gilt für E-Wellen: H z = 0, E z 0 für H-Wellen: E z = 0, H z 0. b) Mn verwendet z-gerichtete Potentile der Form A E = A E (r,t)e z H E = A E, A H = A H (r,t)e z E H = A H. 6

7 Aufgbe B1 Die Ebenen x = 0 und x = seien leitend und geerdet. Auf den Flächen y = ±h befinden sich im Bereich 0 x zwei Flächenldungen mit der Dichte ±q F0 sin 2πx. y h +q F0 sin 2πx h q F0 sin 2πx x φ = 0 Zu bestimmen ist ds Potentil φ(x,y) im Bereich y 0, 0 x. Lösungsnsätze: φ 1 φ 2 = A sin 2πx sinh 2πy e 2πh/ für 0 y h = A sin 2πx e 2πy/ sinh 2πh für y h Dbei wurde bereits die Stetigkeit des Potentils in der Ebene y = h berücksichtigt. Außerdem knn ufgrund der speziellen Flächenldung nur ds Glied n = 2 der llgemeinen Lösungssumme uftreten. Die Ebene y = 0 ist schließlich us Symmetriegründen eine Äquipotentilfläche φ = 0. Stetigkeitsbedingung: D y2 D y1 = q F0 sin 2πx ( = ε φ1 0 y φ ) 2 y y=h A 2π 2πh 2πh { cosh + sinh } e 2πh/ = q F0 } {{ } ε 0 A = q F0 2πε 0 e 2πh/ 7

8 Aufgbe B2 Ein unendlich lnger, metllischer Hohlzylinder wird in Längsrichtung ufgeschnitten. Dnn wird die linke Hälfte uf ds Potentil φ 0 und die rechte Hälfte uf ds Potentil +φ 0 ngehoben. Der Isoltionsbstnd zwischen den beiden Hlbzylindern sei vernchlässigbr klein. y φ 0 +φ 0 x Zu bestimmen ist ds elektrosttische Potentil φ(ϱ,ϕ) ußerhlb des Hohlzylinders ϱ >. Lösungsnstz für ϱ > : ( ) n φ(ϱ,ϕ) = A n cosnϕ n=1 ϱ Es wurde bereits berücksichtigt, dß ds Potentil us Symmetriegründen in der Ebene x = 0 verschwindet und für steigende Werte von ϱ bklingen muß. Rndbedingung: Fourierentwicklung: φ(ϱ =, 0 ϕ π/2) = φ 0 = A n cos nϕ n=1 π π/2 4 A 1 n = φ 0 cos nϕ dϕ = φ 0 0 n sin nπ 2 φ(ϱ,ϕ) = φ 0 n=1 ( 1) n+1 2n 1 ( ) 2n 1 cos(2n 1)ϕ ϱ 8

9 Aufgbe B3 Ein sehr lnger leitender Zylinder (Rdius, Länge l, Leitfähigkeit κ) ist ußen mit einer dicht gepckten Spule mit N Windungen bewickelt, durch die ein Wechselstrom i(t) = i 0 cos ωt fließt. z µ,κ i 0 cos ωt Berechne die Wirbelstromdichte im Zylinder unter Vernchlässigung der Rndeffekte. Außerhlb des Zylinders (für ϱ ) verschwindet die mgnetische Feldstärke. Innerhlb des Zylinders ist sie z -gerichtet und erfüllt ls komplexer Phsor die Diffusionsgleichung: H z = d2 H z dϱ ϱ dh z dϱ = k2 H z, k 2 = jωµκ für ϱ Lösungen dieser Differentilgleichung sind modifizierte Besselfunktionen: Wegen K 0 (0) = ist B = 0. Rndbedingung für ϱ = : H z = AI 0 (kϱ) + BK 0 (kϱ) H ds = I [H z (ϱ = ) 0] l = i 0 N A = i 0N l Nch Einsetzen der Konstnten erhält mn: Wirbelströme: H z = i 0N l I 0 (kϱ) I 0 (k) H z J W = H = H z e z = e ϕ ϱ = k i 0N l 1 I 0 (k) I 1 (kϱ) I 0 (k) e ϕ, k = 1 + j 2, δ S = δ S ωκµ 0 9

10 Aufgbe B4 Gegeben sind zwei gleiche z-gerichtete Hertzsche Dipole der Länge s und mit dem Strom I 0 cos ωt, die sich uf der y-achse n den Orten y = bzw. y = befinden. Berechne den zeitlichen Mittelwert der Energieflußdichte im Fernfeld in der Ebene z = 0! Im Fernfeld gilt: R + r cosα R r + cosα, α = π 2 ϕ Bei Vernchlässigung des unterschiedlichen Dipolortes in der Amplitude (ber nicht in der Phse!) lutet ds mgnetische Fernfeld der Anordnung H ϕ j I 0k s 4πr j I 0k s 4πr Energieflußdichte: ( e j kr + + e j kr ) e ( j kr e j k cos α j k cos + e α) = j I 0k s e j kr cos(k sin ϕ) }{{} 2πr 2 cos(k sin ϕ) S k = 1 2 (E H ), E = Z 0 (H e r ) S k,r = 1 2 Z 0 H ϕ 2 = 1 2 Z 0 ( I0 k s 2πr ) 2 cos 2 (k sin ϕ) mit k = ω c µ, Z 0 = ε 10

11 Aufgbe B5 Gegeben ist ein unendlich lnger Rechteckhohlleiter mit den Kntenlängen und b. In der Ebene z = 0 befinde sich zusätzlich ein Flächenstrom J F (x,t) = e y J F0 sin(πx/) cos ωt. y b y J F (x,t) b J F (x,t) 0 z 0 x ) Welcher Wellentyp wird durch den Flächenstrom ngeregt? b) Welche Differentilgleichung erfüllt der Phsor der elektrischen Feldstärke? c) Berechne die vom Flächenstrom hervorgerufene elektrische Feldstärke im Rechteckhohlleiter. ) Der gegebene Flächenstrom wird die H 10 -Welle mit dem Phsor der elektrischen Feldstärke E = e y E 0 sin πx e jkz z, kz 2 + π2 = 2 k2 0 nregen. b) Der Phsor der elektrischen Feldstärke erfüllt die Helmholtzgleichung 2 E y = 2 E y y E y z 2 = k 2 0 E y. c) Die Amplitude E 0 wird us der Stetigkeitsbedingung für die mgnetische Feldstärke bestimmt: H x (z = +0) H x (z = 0) = 2H x (z = +0) = J F0 sin πx jωµ 0 H x (z = +0) = E y z = jk z E 0 sin πx z=+0 E 0 = J F0 2 ωµ 0 k z 11