Die Greensche Funktion der zeitabhängigen Difffusionsgleichung in freien Raum

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1 Kpitel Die Greensche Funktion der zeitbhängigen Difffusionsgleichung in freien Rum In diesem und dem nächsten Kpitel werden Greensche Funktionen für zeitbhängige Differentilgleichungen und die zugehörigen quellenmäßigen Drstellungen der Lösungen bgeleitet. Der wesentlich neue Gesichtspunkt ist die Einbeziehung der Kuslität. Die Drstellung hier folgt sehr weitgehend der von E. Krut. Die zeitbhängige Diffusionsgleichung ist: T T = ν r, t µc := g r, t.. ist die Diffusionskonstnte; g r, t ist proportionl zur Quelldichte, vgl..4. Die Quellen sollen nur im Endlichen liegen. Im freien Rum hben wir ls Rndbedingung: lim r T r, t =.. Ebenso benötigen wir noch Anfngsbedingungen. Die Quellen sollen erst zur Zeit t = in Aktion treten. Zu dieser Zeit ist eine Temperturverteilung T r im Rum vorgegeben. lim T r, t = T r..3 t +. Definition der Greenschen Funktion Im dreidimensionlen Rum muss die Greensche Funktion der folgenden Gleichung genügen: G r, t; r, t = δ r r δt t..4 Im freien Rum lutet dnn die Greensche Funktion: G r, t; r, t = θt t r r 4πt t e 4t t..5 ] 3/ Diese Greensche Funktion genügt neben Gl..4 den folgenden Bedingungen:

2 . Sie ist kusl, es gibt keine Wirkung vor der uslösenden Ursche: Genuer ist dies: G r, t; r, t = für t < t ;.6 lim G r, t; t t + r, t = δ r r ;.7 lim G r, t; t t r, t =..8. Sie genügt der Rndbedingung des freien Rumes, Gl..9 lim G r, t; r r, t = Die Greensche Funktion erfüllt folgende Reziprozitätsreltion: G + r, t; r, t = G r, t; r, t = G r, t ; r, t = G r, t ; r, t. d ihr immer eine homogene Rndbedingung wie Gl..9 oder eine ähnliche Gleichung vorgeschrieben wird. Die Zeitspiegelung der homogenen Diffusionsgleichung gibt: und in der Gleichung für die Greensche Funktion: + Dmit gehen wir in den Greenschen Stz: dv G + G G G + = T r, t = T r, t. T r, t = T r, t ;. G + r, t; r, t = δ r r δt t ;.3 G r, t; r, t = δ r r δt t..4 df G + G n G G + n = ; ds Oberflächenintegrl ist Null wegen der homogenen Rndbedingungen für G, Gl..9. Dmit ergibt sich weiter: = dv G + r, t; r, t G r, t; r, t ] G t δ r r δt t ] G + t δ r r δt t = G + r, t; r, t δt t + G r, t; r, t δt t G dv G + + G + t t G }{{} t G +G This is integrted over time from to t > mxt, t : G r, t ; r, t G + r, t ; r, t = ] t=t dv G + G =. t= =

3 Der Integrnd uf der rechten Seite ist Null, weil gemäß Gl..6 sowohl G + r, t; r, t = für t = weil dnn t < t ; ls uch G r, t; r, t = für t = t > mxt, t, worus folgt t > t t < t.. Quellenmäßige Drstellung der Lösung Die Gleichungen T r, t = g r, t G r, t ; r, t = δ r r δt t. werden in den Greenschen Stz eingesetzt und dieser über die Zeit integriert: t+ε dt dv t+ε G T T G = dt df T G n T G n =. Ds Oberflächenintegrl uf der rechten Seite erstreckt sich über die unendlich ferne Kugel und ist Null wegen der homogenen Rndbedingungen, die für T und G vorgeschieben sind. Somit ergibt sich: t+ε = dt ] dv G r, t ; r, t T r,t g r, t T r, t G δ r r δt t Ds Integrl über die Deltdistributionen wird usgeführt: t+ε T r, t = dt dv g r, t G r, t ; r, t ] }{{} T r, t G r, t ; r, t }{{} = G r,t; r,t = G r,t; r,t t+ε dv dt ] t T r, t G r, t; r, t. In der letzten Zeile knn ds Integrl über die Zeit usgeführt werden: ] t dv T r, t G r, t; r, t =t+ε = dv T r, G r, t; r, +. t = Der letzte Term ist Null, weil wegen Gl..6 G r, t; r, t + ε =. Ds gibt die endgültige Form der quellenmäßigen Drstellung der Lösung: t+ε T r, t = dt dv G r, t; r, t g r, t + dv G r, t; r, T r..5 Der erste Term gibt den Beitrg der Quellen zu der Temperturverteilung; der zweite beschreibt die Evolution der Anfngsverteilung. Insbesondere ergibt sich für den Grenzwert t ε+ : T r, + = + dv δ r r T r. Ds erste Integrl ist Null, weil die obere Grenze ε, die untere der Wert Null ist. ]. 3

4 .3 Berechnung der Greensche Funktion der zeitbhängigen Difffusionsgleichung im freien Rum.3. Eindimensionler Fll Die Fourierdrstellungen der Deltdistribution δt t = π de it t, δx x = π und der entsprechende Anstz für die Greensche Funktion Gx, t; x, t := 4π d dke ikx x dk e it t e ikx x b, k werden in die Differentilgleichung für die Greensche Funktion x Gx, t; x t = δx x δt t. eingesetzt. Drus ergibt sich folgender Ausdruck für die Amplitude b: b = i ik. und ls Integrldrstellung der Greenschen Funktion: Gx, t; x, t = 4π i d dk ik eikx x e it t..6 Der Integrnd bezüglich ht einen Pol erster Ordnung n der Stelle = ik, lso in der oberen Hlbebene. Ds Integrl knn mittels des Cuchyschen Integrlstzes usgewertet werden. Dzu wird der Integrtionsweg längs der reellen -Achse mittels eines Hlbkreises C C + in der unteren oberen Hlbebene für t t <, lso t < t für t t >, lso t > t zu einem geschlossenen Weg ergänzt. Ds Integrl knn mittels des Cuchyschen Residuenstzes usgewertet werden und lutet: t t <, t < t : G =, uch für t t +. t t <, t < t : Gx, t; x, t = π t t = +, t = t + : Gx, t; x, t = π dk e ikx x e k t t ; dk e ikx x = δx x. Diese Resultte werden mittels der Hevisideschen Sprungfunktion durch eine einzige Formel usgedrückt: Gx, t; x, t = θt t dk e ikx x e k t t..7 π Die Hevisideschen Sprungfunktion θτ ht den Wert Null für negtive Argumente; den Wert für positive τ. Ds Inegrl über k knn ebenflls usgewertet werden, wie m Ende des Prgrphen gezeigt wird. Mit den Abkürzungenξ := x x und τ := t t findet mn: dk e ikξ e k τ = e ξ /4τ dk e k iξ/τ = e ξ /4τ π τ. Der resultierende Ausdruck für die Greenschen Funktion der zeitbhängigen Diffusionsgleichung: Gx, t; x, t = θt t x x 4πt t e 4t t.8 zeigt, dss die Lösung dieser Differentilgleichung vom prbolischen Typ für lle Zeiten t > t nlytisch ist, selbst wenn die Anfngsverteilung singulär wr. 4

5 G x,t;x, t t..3. x x Abbildung.: Grphen der eindimensionlen Greenschen Funktion Gx, t; x, t, Gl..8, für verschiedene Zeitdifferenzen t t. Auswertung des oben benutzten Integrls Den Wert des Integrls dk e ikξ e k τ = e ξ /4τ dk e k iξ/τ = e ξ /4τ π τ. bekommt mn, indem die Funktion e z in der komplexen z Ebene längs des Weges C, der unten gezeigt ist, integriert. D der Integrnd innerhlb und uf C regulär ist, ht ds Integrl -R R C -R - iξ/τ R - iξ/τ über den geschlossenen Weg den Wert Null. = C R iξ/τ lim R R iξ/τ e τz dz = dz e τz = R R + R iξ/τ R iξ/τ dz e τz = + R iξ/τ R + R R iξ/τ }{{} fürr dz e τz. π ; τ mit z := k iξ/τ, dz = dk. R R iξ/τ dz e τz = i ξ/τ dy e τr+iy = ie τr ξ/τ dy e iτry e τy }{{} R In der letzten Zeile wurde die Substitutions z = R + iy, dz = idy verwendet. Ds llerletzte Integrl erfolgt über eine Funktion vom Betrge Eins und ist dher sicher einen endlichen Wert. Deswegen geht der letzte Term gegen Null, wenn R gegen Unendlich geht. Ebenso schätzt mn ds Integrl über den zweiten vertiklen Weg b. 5

6 .3. n-dimensionler Fll Ds Resultt für den n-dimensionlen Fll knn sofort ngeschrieben werden, d sich ds obige Verfhren für eine Vrible für jede Vrible unbhängig durchziehen läßt. Gx, t; x, t =.4 Diffusionswellen θt t 4πt t e ] n/ 4t t P n i= x i x i.9 Die funktionle Abhängigkeit der Ortsvriblen und der Zeit in den obigen Ausdrücken.8 und.9 für die Greenschen Funktionen mchen die Auswertung von quellenmäßigen Drstellungen der Lösungen sehr schwierig. Deshlb ist es oft zweckmäßiger mit Reihendrstellungen zu rbeiten. Die eindimensionle quellenfreie Diffusionsgleichung wird mittels eines Anstzes gelöst: T = T t x, T x, t = T e i t + β x ; i = β, β = ± i = ± T x, t = Re T e i t e ± β +i x ] ; T x, t = T e ± x cos t ± x + i. ; +,. Nch rechts lufende und im Unendlichen verschwindende Wellen werden lso so drgestellt: T x, t = T e x ] cos t x,. T x, t = T e x t cos π τ x ].. λ τ = π Periode λ = 4πτ l = λ π = τ π Abklinglänge Eindringtiefe für Abfll um /e. Perioden der Wärmeeinstrhlung uf den ebenen Erdboden: τ d = Tg, τ = Jhr: l τ = = l d τ d Also: Je größer die Periodenduer, desto weiter dringt ds oszillierende Signl in den Boden oder n der Oberfläche periodisch ufgeheizten Hlbrum ein..4. Ausbreitung längs eines Stbs. Die Neumnnsche Lösung des eindimensionlen Flls Zeitbhängige Anregung ft = A cost + α eines isolierten hlbunendlichen Stbes m linken Ende, der Stelle x = : T, t = T e x ] / cos t + α x = A cost + α..3 x= T x, t = A e x ] / cos t + α x..4 6

7 Wird ds Stbende periodisch ufgeheizt und wieder bgekühlt, dnn ht die Anregung folgende Form: ft = A A A n := { < t < τ/ τ/ < t < τ 4A ] πn +, n+ = n + } periodisch = 4A π = n= sinn + t n + A n sin n+ t.5 Dementsprechend wird dnn mit α = π/ us Gl..4: T x, t = 4A ] π n + e x n + n+/ sin n + t x.6, n= für große x 4A π e x / sin t x..7 In höherem Abstnd von der Wärmequelle sind die höheren Hrmonischen bereits bgeklungen, s. Abb..3. n= T x,t Ωt.5: exkt, n x Ω -. Abbildung.3: Die Temperturverteilung längs eines Drhtes. Vergleich zwischen exkter Lösung und der niedrigsten Näherung.5 Die Greensche Funktion für einen Kreiszylinder mit Dirichletscher Rndbedingung Für die Untersuchung der Temperturentwicklung in einem unendlich lngen Stb vom Rdius, dessen Aussentempertur sich nch einem gegeben zeitlichen Gesetz ändert, benötigen wir die Greensche Funktion der zeitbhängigen Diffusionsgleichung in Zylinderkoordinten mit Dirichletscher Rndbedingung. Die Greensche Funktion wird durch die folgenden Bedingungen definiert: ] G r, t; r, t = δ r r δt t ;.8 α t r = : G = endlich, r = : G = ;.9 z ± : G =..3 7

8 α ist die Diffusionskonstnte. Wir gehen von der Vollständigkeirsreltion der Lösungen der Helmholtzgleichung in Polrkoordinten r, φ us, s. Gl..3: r δr r δφ φ = m= mit der Abkürzung h mn r, φ; r, φ := J mj m,n r/ J m j m,n r / π J m j m,n n= h mn r, φ; r, φ.3 Für die dreidimensionle Greensche Funktion gehen wir mit den Anstz: Gr, φ, z; r, φ, z = h mn r, φ; r, φ g mn z, t; z, t m= n= in die Differentilgleichung.8 ein und bekommen: e imφ φ..3 r + r r + r φ + z α t ] h mn r, φ; r, φ g mn z, t; z, t = m,n = m,n h mn r, φ; r, φ g mn z, t; z, t δz z δt t. Der Polrkoordintennteil des Lplceopertors wirkt uf h mn r, φ; r, φ und gibt: r + r r + ] r φ h mn r, φ; r, φ jmn = h mnr, φ; r, φ. Wegen der Unbhängigkeit der h mn r, φ; r, φ bekommen wir dnn die Gleichungen: ] z jmn g mn z, t; z, t = δz z δt t ; m N, n N. α t Hier werden nun die Fourierintegrldrstellungen der Deltdistributionen δz z und δt t und der entsprechende Anstz für die Funktion g mn z, t; z, t = dk d e ikz z e it t c mn k, π eingesetzt und mn erhält: ] k jmn i c mn k, = ; c mn k, = α i α iαk + j m,n/. Diese Amplitude wird in die obige Integrldrstellung für g mn z, t; z, t eingesetzt und ds resultierende Doppelintegrl wird nch mittels des Cuchyschen Residuenstzes usgewertet vgl. Gln.?? bis?? und gibt: g mn z, t; z, t = α π θt t = α π θt t e αt t j m,n / = α θt t 4παt t e αt t j m,n/ dk e ikz z e αk +j m,n/ t t dk e ikz z αt t k = =.33 e z z 4αt t.34 Beim Übergng zur letzten Zeile wurde ds Integrl über k mittels des Cuchyschen Integrlstzes wie im Hilfsstz von.4.3 usgewertet: dk e ikz z αt t k π z z = αt t e 4αt t. 8

9 Die gewonnenen Resultte werden nur zum engültigen Resultt zusmmengefsst: Gr, φ, z, t; r, φ, z, t =.35 = α θt t z z J 4παt t e 4αt t m j m,n r/ J m j m,n r / π e imφ φ e αt t jm,n/. J m j m,n m= n= 9