Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösung Aufgabe 1

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1 Abiturprüfung Mathematik 8 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösung Aufgabe. Es gilt f (x) = x + x und f (x) = x + 6x = x ( x + ) Für x gilt f (x) und daraus folgt, dass f monoton wächst. Das Schaubild von K ist linksgekrümmt, wenn f (x) > ist. f (x) = 6x + 6 > x < Für x < ist das Schaubild von K linksgekrümmt.. Mit dem GTR ergibt sich als Hochpunkt H(/). Die Parallele zur x-achse durch H besitzt die Gleichung y =. A = ( ( x + x ))dx = ( + x x )dx = x + x x = ( + A = x + x x = = Flächenverhältnis: A : A = : = : 6. + ) =

2 Die Geraden y = mx verlaufen alle durch den Ursprung. Die gesuchte Gerade muss gemäß der Zeichnung eine Tangente an das Schaubild von f sein. Gesucht ist somit eine Tangente an das Schaubild von f, die durch den Ursprung verläuft. Der Berührpunkt der Tangente habe die Koordinaten B(u / f (u)). Die Tangentensteigung beträgt mtan g = f (u) = u + 6u. Allgemeine Tangentengleichung in B(u / f (u)) mit der Punkt-Steigungs-Form: y f(u) = f (u) (x u) y ( u + u ) = ( u + 6u)(x u) Nun wird u so gewählt, dass der gegebene Tangentenpunkt O(/) auf der Gerade liegt. Einsetzen von O(/) ergibt ( u + u ) = ( u + 6u)( u) u u = u 6u u + u = u ( u + ) = u =, u =, 5 Aus u = ergibt sich als Berührpunkt B(/f()) = B(/) mit der Tangentengleichung y =. 7 9 Aus u =,5 ergibt sich als Berührpunkt B (,5 / f(,5)) = B(,5 / ) mit m = f (,5) =. 8. Gesucht ist der Punkt P(u / f (u)) auf dem Schaubild, der von Q(/) den kleinsten Abstand hat. Der Abstand zweier Punkte kann mit Hilfe der Punktkoordinaten und dem Satz des Pythagoras berechnet werden: PQ = d(u) = ( x x ) + ( y y ) = (u ) + ( u + u P Q P Q ) Mit dem GTR ergibt sich als Minimum für u =,5 einen minimalen Abstand von,55. Der Punkt auf dem Schaubild hat die Koordinaten P(,5 / f (,5)) = P(,5 /,5).5 Berechnung der Wendepunkte von K t : ft (x) = x + tx ft (x) = x + tx ft (x) = 6x + t ft (x) = 6 Bedingung für Wendepunkt: f t (x) = 6x + t = x = t f t ( t) = 6, also WP( t / t ) 7 5

3 Ortskurve: x = t t = x y = t = (x) = x 7 7 Die Ortskurve der Wendepunkte lautet y = x.. Asymptote von h(x) = x + e Für Für x x x strebt e und damit ist y = x die schiefe Asymptote. x x existiert keine Asymptote, da e strebt.. 6 x x Inhalt für a = 6: (6) = (x + e x)dx = [ e ] A 6 = e + e = 7,7 FE a x x Für allgemeines a: A(a) = (x + e x)dx = [ e ] a a = e + e Da e a = 7,9 < 8 ist und der Termin e immer positiv ist, gilt A(a) < 8 für alle Werte von a. 6

4 Abiturprüfung Mathematik 8 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Lösung Aufgabe. Sowohl die Punkte P und P 5 als auch die Punkte P und P liegen symmetrisch bezüglich des Punktes P. Sowohl eine ganzrationale Funktion.Grades als auch eine Sinus- oder Kosinusfunktion haben punktsymmetrische Schaubilder, also können beide Kurven durch die gegebenen 5 Punkte laufen... Gemeinsame Punkte der Scharkurven: Das GTR-Schaubild lässt vermuten, dass sich die Scharkurven alle in den folgenden Punkten schneiden: P(/), Q(/) und R(8/). Um dies zu beweisen, werden die Punktkoordinaten in die Funktionsgleichung eingesetzt: () f t () f t (8) f t = P( / ) liegt auf allen Scharkurven t t = t + = Q( / ) liegt auf allen Scharkurven 8 t t = t + = R(8 / ) liegt auf allen Scharkurven 8 Extremstellen: f (x) = tx tx + t = t ( x 8 8 t x + ) = 7

5 ± 9 6 ± x, = = x = 6,9 und x =, 69 f t (x) = tx t f t (6,9) = t 6,9 t > TP f t (,69) = t,69 t < HP also handelt es sich bei beiden Stellen um Extremstellen.. Flächenberechnung mit dem GTR: A = π, 68 8 (f (x) g(x))dx = ( x x + x + ( + sin x)dx = FE.. Es sei bekannt das x = und x = die einzigen Schnittstellen von K t und G t im Intervall [;] sind. Es muss also nur gezeigt werden, dass für irgendeinen x-wert aus diesem Intervall ft (x) > gt (x) ist. t t Wähle z.b. x = : f t () = + t + = t + =,65t + und g t () = +,t 8 8 Man erkennt nun, dass ft () > gt () für t > gilt, was aber laut Aufgabe vorausgesetzt wird. 8

6 A = t = ( 8 π (ft (x) gt (x))dx = ( x tx + tx + ( + t sin x x t 8 π tx + tx t sin x)dx = t = t t + 8t + t =,5t t =,68t FE π π Es gilt A t = t A. ) dx π x tx + tx + t cos x π.. Dreiecksfläche = g h = AB CD = (f(u) g(u)) ( u) π A(u) = u u u sin u ( u) + 8 für u Das Maximum der Funktion A(u) liefert der GTR: Die Fläche wird maximal für u =,659 und die maximale Dreiecksfläche beträgt,896. Diese Fläche ist kleiner als. 9

7 ..5 Mittelwert von f : m = f(x)dx = 6 = 8 8 Mittelwert von 8 f 8 g : mg = g(x)dx = 6 = 8 8. An der Stelle x = 6 besitzt die Ableitungsfunktion eine doppelte Nullstelle. D.h. das Schaubild von h besitzt an der Stelle x = 6 eine waagrechte Tangente, allerdings ist die Steigung links und rechts von x = 6 positiv. Das heißt an der Stelle x = 6 hat das Schaubild von h einen Sattelpunkt und keine Extremstelle. Die Aussage ist falsch. Im Schnittpunkt mit der y-achse (an der Stelle x = ) gilt h () =. Die Tangente an der Stelle x = an das Schaubild von h besitzt die Steigung. Da die erste Winkelhalbierende die Steigung besitzt, liegt keine Parallelität vor. Die Aussage ist falsch. Die Stammfunktion H von h ist linksgekrümmt, wenn gilt: H (x). Da H (x) = h (x) gilt und das Schaubild von h gemäß der Zeichnung immer oberhalb der x-achse verläuft, gilt h (x). Damit ist die Aussage wahr.

8 Abiturprüfung Mathematik 8 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Anwendungsorientierte Aufgabe Gruppe III, Lösung Aufgabe. Um die Parameter a und b zu berechnen, müssen die Koordinaten der gegebenen Punkte in den Funktionsansatz eingesetzt werden. b 5 P(5/): = a 5 e + 7 b 5 Q(5/): = a 5 e + 7 () () Auflösen von () nach a: 5b a= e einsetzen in () 5 = 5 a= e 5 e 5b 5,9 5 e =, 5b =,5 e b b=,9..,x +,7x (x) =,5x e + Szenario II: f (x) =,5x e 7 Szenario III: f 7 Jährliche Emission im Jahr 8: Szenario II: f (58) =, 9 Mrd Tonnen Szenario III: f (58) = 8, Mrd Tonnen Maximale jährliche Emission: Szenario II: Hochpunkt des Schaubildes von f liegt bei HP(95,/7,7), d.h. der maximale Ausstoß liegt im Jahr 5 und beträgt 7,7 Mrd Tonnen. Szenario II: Hochpunkt des Schaubildes von f liegt bei HP(8,/,), d.h. der maximale Ausstoß liegt im Jahr und beträgt, Mrd Tonnen. Wie lange steigt die jährliche Emission noch an? Szenario II: Die Emission steigt bis 5 an (ergibt sich aus den Hochpunktkoordinaten). Szenario III: Die Emission steigt bis an (ergibt sich aus den Hochpunktkoordinaten)... Der Gesamtausstoß vom Jahr (x = 5) bis zum Jahr (x = 5) erhält man bei Szenario II aus 5 Szenario II: f (x)dx = 577 Mrd t ; Szenario III ergibt 5 5 f (x)dx= 7 Mrd t 5 Bei Szenario III könnten 77 Mrd Tonnen weniger Ausstoß erreicht werden.

9 Abiturprüfung Mathematik 8 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Anwendungsorientierte Aufgabe Teil, Lösung Aufgabe.... Die Gleichung der Exponentialfunktion kann mit Hilfe des GTR durch Regression ermittelt werden. Die Funktionsgleichung lautet somit t c(t) 5,85, 8, Konzentration nach 6 min: c( ) 5,85,8 5, 87 ng (6 Minuten =, Stunden!) ml

10 Halbwertszeit: Gesucht ist der Zeitpunkt zu dem noch die Hälfte der Anfangskonzentration, also,5 5,85 6, 5 ng vorhanden ist. ml t 6,5 5,85,8 t,5,8 ln,5 t ln,8 t,7 Stunden (Hinweis: Es wäre auch möglich, die Halbwertszeit erst ab dem Zeitpunkt zu messen, wenn das Medikament komplett im Blut verteilt ist, also nach 6 Minuten). Die maximale Konzentration der Funktion c ergibt sich mit dem GTR zum Zeitpunkt t = ng,9 mit einer Konzentration von,86. ml Die maximale Konzentration der Funktion c wird kurz nach Verabreichung der Spritze erreicht (wegen der notwendigen Verteilung des Medikamentes im Blut). Für t =, gilt (,) c ng 5 ml ng Intravenös: Maximale Konzentration 5 wird sofort nach dem Spritzen erreicht ml ng Tabletten: Maximale Konzentration,86 wird nach ca. Stunden erreicht. ml Nach ca., Stunden (Schnittpunkt der beiden Schaubilder) ist die Konzentration bei intravenöser Variante niedriger als bei den Tabletten.

11 . Einnahme alle 6 Stunden: Nach ca. Stunden setzt sich das Schaubild periodisch fort. Ab diesem Zeitpunkt kann man aus dem Schaubild ablesen, dass die niedrigste Konzentration ca. ng/ml beträgt und die höchste Konzentration ca. 6 ng/ml. Einnahme alle Stunden: Auch hier setzt sich nach ca. Stunden das Schaubild periodisch fort. Ab diesem Zeitpunkt kann man aus dem Schaubild ablesen, dass die niedrigste Konzentration ca. ng/ml beträgt und die höchste Konzentration ca. ng/ml. 5

12 Abiturprüfung Mathematik 8 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Anwendungsorientierte Aufgabe Teil, Lösung Aufgabe. Die Dicke des Diskus entspricht dem Abstand der beiden Nullstellen der Parabel. Aus der Funktionsgleichung kann man die Nullstellen direkt ablesen: 9 N ( / ) und N ( / ). 5 9 Die Dicke des Diskus beträgt, 8 cm. 5 Der Durchmesser des Diskus ergibt sich aus dem y-wert des Hochpunktes der Parabel. Mit dem GTR ergibt sich als Hochpunkt HP(,9/9,5). Der Durchmesser des Diskus beträgt d 9,5 8, 5 cm.. Zur Berechnung der mittleren Dichte ist das Volumen des Diskus zu ermitteln.,8 V f(x) dx 58,59 cm³ (GTR) Dichte g 58,59cm³,9 g cm³. Die waagrechte Gerade schneidet die Parabel an den Stellen x =, und x =,5

13 Das Volumen der Stahlkante berechnet sich durch,5 65 VStahlkante (f(x) )dx 8,9 cm³ 8, g Die Masse des Stahls beträgt m S 8,9cm³ 7,86, 7 g. cm³,7 Der Anteil an der Gesamtmasse beträgt,7%

14 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 8 Teil, Lineare Optimierung, Lösung zu Aufgabe Baden-Württemberg.. Gerade : x = 8 Gerade : m, y,x 8 6 Gerade : m, y,x 6 Gerade : y = Das Ungleichungssystem, das zu der markierten Fläche führt lautet demnach: x y y,x 8 y,x 6 Bestimmung einer Zielfunktion mit genau einer optimalen Lösung: Die Gerade muss durch einen Eckpunkt der Fläche gehen, durch welchen ist egal. Wir wählen z.b. den Punkt A(/) aus. Damit die Zielfunktionsgerade die Fläche nur im Punkt A berührt, muss die Gerade zwischen den Geraden und liegen. Für die Steigung muss also gelten, m. Zum Beispiel wäre also die Gerade y,x C möglich, so dass die Zielfunktion umgeformt lauten könnte C = y +,x. Bestimmung einer Zielfunktion für unendlich viele Minima: Wenn es unendlich viele Lösungen geben soll, muss die Zielfunktion auf einer der Randgeraden der Fläche liegen. Die Zielfunktion könnte z.b. y = -,x+8 gemäß Gerade lauten. Alle Punkte der Gerade sind dann Lösungen der Aufgabe.

15 .. Es werden x kg von Mischung hergestellt. Es werden y kg von Mischung hergestellt. Es werden z kg von Mischung hergestellt. Es ergeben sich folgende Ungleichungen: x,y,z,x,6y,z 85 (Sorte A),8x,z 6 (Sorte B),y,z 9 (Sorte C) Mit der Einführung der Schlupfvariablen u,v,w ergibt sich folgendes Gleichungssystem:,x,6y,z u 85,8x,z v 6,y,z w 9 Zu maximieren ist der Gewinn als Zielfunktion: G = x +,5y + z Daraus ergibt sich folgendes Simplextableau: x y z u v w Einschränkung,,8,6,,,, ,6 65,5 G Die Spalte mit der größten Zahl bei der Zielfunktionszeile ist die Pivotspalte (hier die.spalte z). Die Werte der Spalte Einschränkung ergeben sich aus der Division der Spalte 6 durch die Elemente der Pivotspalte (85:, ; 6 :, ; 9 :,). Die Zeile, in der die kleinste Zahl bei Einschränkung steht, ist die Pivotzeile. Dies ist in diesem Fall mit die.zeile. Das Element, das sowohl in der Pivotspalte als auch in der Pivotzeile steht, ist das so genannte Pivotelement hier,. Nun werden alle Elemente der Pivotspalte durch übliche Zeilenumformungen zu Null gemacht, außer das Pivotelement selbst. Damit ergibt sich: x y z u v w Einschränkung,,, -,6,,, - -, ,5 - G-9

16 Nun ist die.spalte (x) die Pivotspalte und die.zeile die Pivotzeile. Der Wert, ist das Pivotelement. x y z u v w,,8 -,6,,, -,6, -,6 -,, 9 -, -,6 -,6,G- Aus dem Simplextableau ergibt sich y =. Dann gilt,x = und damit x = 75. Außerdem gilt,z = 9 und damit z =. Der Gewinn beträgt G 75,5 5 Vorräte: Sorte A:, 75,6, u 85 u 6 kg bleibt von Sorte A übrig Sorte B:,8 75, v 6 v kg bleibt von Sorte B übrig Sorte C:,, w 9 w kg bleibt von Sorte C übrig

17 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 8 Teil, Lineare Optimierung, Lösung zu Aufgabe Baden-Württemberg... Auflösen der Ungleichungen nach y ergibt: y x 7 y x 55 y,5x 5 Die Zielfunktion lautet U x 5y y 5 x U 5 Die rote Gerade stellt die Zielfunktion dar. Sie wird so eingezeichnet, dass sie einen möglichst großen y-achsenabschnitt besitzt und außerdem noch einen gemeinsamen Punkt mit der schraffierten Fläche besitzt. Sie enthält den Punkt A(6/). Damit wird der Umsatz maximal für x = 6 (Handtücher) und y = (Badetücher). Der maximale Umsatz beträgt U Euro.

18 .. Der Preis für das Handtuch sei a, dann ist der Preis des Badetuches,5a. U Der Umsatz lautet U a x,5a y y x. 5,5a Die einzuzeichnende rote Gerade besitzt nun die Steigung m = -, und verläuft nun durch C(/5). Der Umsatz wird hier maximal für x = (keine Handtücher) und y = 5 (Badetücher)... Aus dem Simplextableau ergeben sich folgende Ungleichungen: x y z 6x 8y z x y z Zielfunktion: U x 5y 5z Ein Optimierungsproblem könnte folgendermaßen lauten: Der Betrieb stellt Handtücher, Badetücher und Duschhandtücher her. Diese werden auf Maschinen hergestellt. Die Bearbeitungszeit für ein Handtuch beträgt Minuten auf Maschine A, 6 Minuten auf Maschine B und Minute auf Maschine C.

19 Die Bearbeitungszeit für ein Badetuch beträgt Minuten auf Maschine A, 8 Minuten auf Maschine B und Minuten auf Maschine C. Die Bearbeitungszeit eines Duschhandtuches beträgt Minute auf Maschine A, Minuten auf Maschine B und Minute auf Maschine C. Pro Woche kann Maschine A maximal Minuten betrieben werden, Maschine B Minuten und Maschine C Minuten. Ein Handtuch wird für Euro, ein Badetuch für 5 Euro und ein Duschhandtuch für 5 Euro verkauft. Wie viele Hand-/Bade-/Duschhandtücher müssen produziert werden, damit der Umsatz maximal wird? Lösung des Optimierungsproblems mit dem Simplexalgorithmus: x y z u v w Einschränkung U Die Spalte mit der größten Zahl bei der Zielfunktionszeile ist die Pivotspalte (hier die.spalte y). Die Werte der Spalte Einschränkung ergeben sich aus der Division der Spalte 6 durch die Elemente der Pivotspalte (: ; : 8 ; : ). Die Zeile, in der die kleinste Zahl bei Einschränkung steht, ist die Pivotzeile. Dies ist in diesem Fall mit 5 die.zeile. Das Element, das sowohl in der Pivotspalte als auch in der Pivotzeile steht, ist das so genannte Pivotelement hier. Nun werden alle Elemente der Pivotspalte durch übliche Zeilenumformungen zu Null gemacht, außer das Pivotelement selbst. Damit ergibt sich: x y z u v w Einschränkung U- 5 Die Spalte Nr. (x) ist die Pivotspalte, die.zeile ist die Pivotzeile. Das Pivotelement ist.

20 x y z u v w Einschränkung U- 6 Die Spalte Nr. (z) ist die Pivotspalte, die.zeile ist die Pivotzeile. Das Pivotelement ist. x y z u v w U- 5 Nun ergibt sich aus der.zeile: z = und damit z = (Duschhandtücher) Aus der.zeile: x = 8 und damit x = (Handtücher) Aus der.zeile: y = 8 und damit y = (Badetücher) Der maximale Umsatz beträgt U Euro. 5

21 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG) Hauptprüfung 8 Teil, Stochastik, Lösung Aufgabe Baden-Württemberg 7 a) P(A) = P( S S,SS) = + = Für die Berechnung von P(B) ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit P (B) des Gegenereignisses zu berechnen. B = kein Feld zeigt Sonne oder Mond = beide Felder sind Leerfelder. 5 7 P (B) = = P(B) = P(B) = 5 b) Hierbei handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. C: Das zweite aufgerubbelte Feld ist ein Leerfeld 5 5 P (C) = P(LL,LL) = + = D: Das erste aufgerubbelte Feld zeigt keinen Mond 9 P (D) = P (C D) = P(LL,SL) = + = 5 5 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P D (C) 9 P(C D) 5 P D (C) = = = P(D) c) Zunächst wird berechnet, mit welchem Gewinn die Schüler pro Rubbelkarte durchschnittlich rechnen können, also der Erwartungswert des Gewinns. Die Zufallsvariable X sei der Gewinn einer Rubbelkarte. Welche Werte kann X annehmen? X = -, Euro (Zweimal Sonne) X = -, Euro (Zweimal Mond) X = -, Euro (Einmal Sonne und einmal Mond) X = +,6 Euro (mindestens ein Leerfeld) P (X =,) = = P (X =,) = = P (X =,) = + = 5 5 5

22 P (X =,6) = + + = E (X) =,,, +,6 = +,9 Euro 5 5 Im Schnitt verdienen die Schüler pro Rubelkarte 9 Cent. Damit sie Euro einnehmen, müssen sie mindestens 5 Karten verkaufen.,9

23 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG, BTG) Hauptprüfung 8 Teil, Stochastik, Lösung Aufgabe Baden-Württemberg a) Beim Ereignis A wird rot zum ersten Mal beim.zug gezogen. 5 P(A) = P(sr, wr) = + = P (B) = P(ssr,ssw,wss,sws) = = P(C) = (swr, wsr) = + = b) Hierbei handelt es sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Gegeben ist die Information, dass die Ziehung durch die Entnahme der roten Kugel beendet wird. Ereignis D: Ziehung endet mit der Ziehung einer roten Kugel P(D) = (r, r r,rrr) = + + = (r = keine rote Kugel) Ereignis E: Es werden drei Kugeln gezogen P (E) = P(rrr,rrr) = + = P (D E) = P(rrr) = = Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit P D (E) P(D E) P 8 D (E) = = = P(D) 8 c) Die Zufallsvariable X gibt den Gewinn von Tim an. Welche Werte kann X annehmen? X = (. Zug = rot) X =, (. Zug = weiß,.zug = rot) X = a, (wsr, swr) X = -, (sonst) P (X = ) = 8 5 P (X =,) = = (X = a,) = 8 (X =,) = P + = P + + =

24 Das Spiel ist fair, wenn der erwartete Gewinn des Spielers Null ist E (X) = +, + (a,) + (,) = a =, Für ein faires Spiel muss die Auszahlung bei verschiedenfarbigen Kugeln 87 Cent betragen.

25 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 8 Teil, Vektorgeometrie, Lösung zu Aufgabe Baden-Württemberg... Das LGS für t = hat folgende Gestalt: x x x x x x x x x Anhand des GTR-Ergebnisses erkennt man, dass aufgrund der Nullzeile unendlich viele Lösungen existieren. Es muss folglich ein Parameter r eingeführt werden: Es sei x r mit r R Daraus folgt,5 r und,75 r x x Die Lösung von (), (), () lautet,75 x r,5 mit r R. Das LGS, das nur aus () und () besteht, führt auf dieselbe Lösung, da die zweite und die dritte Zeile des obigen Gleichungssystems für t = identisch ist und somit der Wegfall der.zeile zu keiner Änderung der Lösungsmenge führen kann. Das LGS, das nur aus () besteht, besitzt Gleichung mit Variablen: x x x Nun müssen zwei Parameter r und s eingeführt werden. Es sei x r und x s. Dann gilt r s. x Die Lösungsmenge von () lautet r x s r s mit r,s R r s

26 ... Man bringt das vorhandene LGS zunächst auf eine Stufenform: t t ) ( ) ( 5 t t ) ( t t t t Das LGS besitzt genau dann keine eindeutige Lösung, wenn eine der Hauptdiagonalelemente den Wert annimmt. Da nur das Hauptdiagonalelement rechts unten t t von t abhängig ist, muss untersucht werden, wann dieser Term den Wert Null annimmt. 9 8 t t t, und damit gilt t = -,5 oder t =. Für diese beiden t-werte ergibt die.zeile eine komplette Nullzeile, es bleiben also Gleichungen mit Variablen übrig, d.h. es existieren unendlich viele Lösungen. Für alle anderen Werte von t besitzt das LGS eine eindeutige Lösung, und da das LGS ein homogenes LGS ist, ist diese einzige Lösung x x x... Beweis der Gleichschenkligkeit des Dreiecks: AB AB AC AC BC BC Da zwei Seiten des Dreiecks gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. Die Prüfung der Rechtwinkligkeit erfolgt über den Satz des Pythagoras:

27 Zu prüfen: AB AC BC ist eine wahre Aussage. Damit ist das Dreieck bei A rechtwinklig. C A B Der Punkt P wird nun so gewählt, dass gilt: BP AC. p AC p p 5 und daraus ergibt sich P(/5/5).

28 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 8 Teil, Vektorgeometrie, Lösung zu Aufgabe Baden-Württemberg.. Zum Nachweis der Gleichschenkligkeit werden die drei Dreiecksseiten berechnet. AP AP 9 AQ AQ 9 PQ PQ Da AP AQ ist, ist das Dreieck gleichschenklig. 8 Für die Berechnung der Fläche gilt die Formel A g h Die Grundseite g entspricht der Basis PQ des gleichschenkligen Dreiecks. Die Höhe h ist die Länge der Strecke von A zum Mittelpunkt M der Basis PQ. xp xq yp yq zp zq Berechnung von M: M( / / ), also M(//). Höhe h = AM AM Fläche des Dreiecks: A Flächeneinheiten.. Damit die Gerade durch P und Q in der Ebene F liegt, müssen die beiden Punkte P und Q in der Ebene F liegen. Dies wird mithilfe einer Punktprobe geprüft: Einsetzen von P in die Ebenengleichung: 7 wahre Aussage Einsetzen von Q in die Ebenengleichung: 7 wahre Aussage Damit liegen beide Punkte und somit auch die Gerade durch P und Q in der Ebene.

29 .. Gleichung der Ebene E k in Parameterform: Umformung in die Koordinatenform: x x x r s s x r () r s () s k () () in () und () einsetzen: x r s k x r x r r x x r x x (*) x (x r) k (*) (*) in (*) eingesetzt ergibt: x k x k k ( x x ) x k x k x k x k x x k 6 und dies ist die gesuchte Koordinatengleichung k Für k = gilt: E : x 6 x Diese Ebene ist eine Parallele zur x x -Ebene und hat von dieser den Abstand. Vergleich der Ebene F mit der Ebene E k : F: x x 7 k x k x k x x k E : 6 Der direkte Vergleich zeigt, dass für k = - die Ebenengleichung von E ein Vielfaches der Ebenengleichung von F ist. Somit stimmen die Ebenen für k = - überein.

30 Berufliches Gymnasium (TG ohne CAS) Hauptprüfung 8 Teil, Vektorgeometrie, Lösung zu Aufgabe Baden-Württemberg.. A(,5//) B(9,5//) H(5//5) C(9,5//,5) D(,5//,5) Die Ebenengleichung des Vordaches kann mit den Punkten A, B und C aufgestellt werden: + + = + + =,5 9 s 9 r,5 AC s AB r OA x oder vereinfacht: + + =,5 9 s r,5 x Der Neigungswinkel des Vordaches zum Erdboden entspricht dem Winkel, den die Vektoren =,5 CB und = z (Vektor in entgegengesetzter Richtung von der x -Achse) = = =,,5,5,5 cos α α

31 .. Der Haken hat die Koordinaten H(5//5).,5,5 Die Vektoren der Drahtseile lauten HC = und HD =,5,5 Die Länge der Drahtseile beträgt HC = HD =,5 + +,5 =,5 = 5, 5 m Winkel zwischen den Drahtseilen: HC HD, ,5 cos β = = = β = 9, HC HD,5,5,5... Die Stangen verlaufen rechtwinklig zum Vordach, wenn der Vektor senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Vordachebene steht aus Aufgabe.. steht. 9 Kontrolle: = und =,5 Da das Skalarprodukt der Vektoren jeweils ergibt, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.... Die erste Stange liegt auf einer Gerade, die durch den Punkt C geht und den 9,5 Richtungsvektor besitzt: x = + r.,5 Der Schnittpunkt der Gerade mit der x x -Ebene ergibt den Verankerungspunkt V. Für die x x -Ebene gilt x =. 5 Daraus folgt die Gleichung,5 + r = r =. 8 Einsetzen des Wertes von r in die Geradengleichung ergibt V (9,5 /,75 / ). Länge der Stange = V C =,65 =,65 +,5 =, 58 m,5

32 Die zweite Stange liegt auf einer Gerade, die durch den Punkt D geht und den,5 Richtungsvektor besitzt: x = + r.,5 Der Schnittpunkt der Gerade mit der x x -Ebene ergibt den Verankerungspunkt V. Für die x x -Ebene gilt x =. 5 Daraus folgt die Gleichung,5 + r = r =. 8 Einsetzen des Wertes von r in die Geradengleichung ergibt V (,5 /,75 / ). Länge der Stange = V D =,65 =,65 +,5 =, 58 m,5

33 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 8 Teil, Wirtschaftliche Anwendungen, Lösungen Aufgabe Baden-Württemberg.. 9,5 Die Inverse von (E A) 9 8,5 7 ist,5,5, ((E A) ) E A,,,,,5 gemäß GTR. Daraus ergibt sich,55,5, A,,8 und daraus folgt,,,55 k Aus der Matrix A kann bzgl. des Eigenverbrauchs folgendes abgelesen werden: Der Sektor A verbraucht a,55 55% der produzierten Menge selbst. Der Sektor B verbraucht a,8 8% der produzierten Menge selbst. Der Sektor C verbraucht,55 55% der produzierten Menge selbst. a.. Aus dem Produktionsvektor y (E A) x. 5 8 x folgt für den Marktabgabevektor 5 Input-Output-Tabelle: A B C y x A 5 8 B 6 8 C

34 .. Für den Produktionsvektor gilt y,y,y. x x 8 und für den Marktabgabevektor x y y y mit y Aus der Formel y (E A) x folgt,5,,,5,,, x y 8 y,5 x y,9x 7,x y (),x 56 y (),x 8,5x y () 6 Aus ():,7x 7 x 7 Aus ():,x 56 x 5 Aus ():,5x 8 x Aus diesen Bedingungen folgt x 5. Wegen x x folgt daraus x 7. Aus () folgt mit x 5, dass y 8.

35 Berufliches Gymnasium (WG, EG, AG, SG) Hauptprüfung 8 Teil, Wirtschaftliche Anwendungen, Lösungen Aufgabe Baden-Württemberg.. Aus dem Materialflussdiagramm kann man die Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix A und die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix B ablesen: a b A und 8 c 7 B. 8 Gesucht sind nun die Einträge a, b und c der Matrix A. Es gilt A B C wobei aufgrund der fehlenden Invertierbarkeit der Matrix B diese Formel nicht nach A aufgelöst werden kann. a 8 b c C 7 5 a b c 7a b c Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem: a + b + = 6 () 7a + b + = 5 () 56 + c = 7 () 7 + c = 79 () Aus () und () folgt c = 7. Aus () und () ergibt sich a = und b = 5. 5 Es gilt also A. 8 7 Um ME von Z herzustellen, braucht man a = ME von R. Um ME von Z herzustellen, braucht man b = 5 ME von R. Um ME von Z herzustellen, braucht man c = 7 ME von R.

36 Mit 5 x folgt r C x Für den Auftrag sind 5 ME von R, 8 ME von R und ME von R erforderlich.... T Es gilt k s R in Cent. Für den Vektor der variablen Herstellkosten für je ME der Endprodukte gilt: k T V k T R C k T Z B k E s = 8 7s 79s s 9 79s Die Gesamtkosten in Cent betragen K k T V x 5 5 7s 9 79s 95 s Damit kein Verlust entsteht, muss gelten: 95 s. Dies gilt für s, 5. Um einen Verlust zu vermeiden, darf der Preis von R höchstens,5 Cent, also gerundet Cent pro ME betragen.