Logikbasierte Systeme der Wissensverarbeitung. Allens Zeitintervalllogik
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- Erna Busch
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1 Logikbasierte Systeme der Wissensverarbeitung Allens Zeitintervalllogik Prof. Dr M. Schmidt-Schauß SoSe 2018 Stand der Folien: 5. Juli 2018
2 Schließen über Zeit Darstellung und Inferenzen für zeitliche Zusammenhänge Viele verschiedene Logiken z.b. Modallogiken und Temporallogiken. Diese sprechen über Ereignisse in der Zukunft / Vergangenheit und haben Existenzquantoren und haben oft exakte Zeitdauern. Wir betrachten die Allensche Intervall-Logik M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 2/66
3 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
4 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
5 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
6 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
7 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
8 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
9 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
10 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
11 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
12 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
13 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
14 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
15 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
16 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
17 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
18 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
19 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
20 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
21 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen heizt M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
22 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen heizt M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
23 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen Kuchen im heizt Ofen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
24 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen Kuchen im heizt Ofen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
25 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen Kuchen im Kuchen heizt Ofen kühlt aus M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
26 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen Kuchen im Kuchen heizt Ofen kühlt aus M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
27 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen Kuchen im Kuchen Kuchen heizt Ofen kühlt aus entnehmen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 3/66
28 Zeitliche Zusammenhänge Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen heizt Kuchen im Ofen Kuchen kühlt aus Kuchen entnehmen Aktionen entsprechen (nicht-leeren) Zeitintervallen Wissen: Anforderungen an die relative Lage der Intervalle Wie kann man dieses Wissen repräsentieren? M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 4/66
29 Beispiele Zutaten besorgen vor Teig Zutaten bes. Teig zub. Teig ruhen lassen direkt nach Teig Teig zub. Teig ruht Sahne schlagen während, aber vorher endend Belag Sahne schl. Belag zub. Belag beginnt während Teig ruhen lassen Belag zub. Teig ruht M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 5/66
30 Welche Schlüsse lassen sich daraus ziehen? Neue Beziehungen zwischen Aktionen Darf der Belag vor dem Teig in die Form? Modell: Anordnung der Intervalle, die alle Beziehungen erfüllt Wie gelingt der Kuchen? Konsistenz: Gibt es ein Modell? Kann man den Kuchen überhaupt backen? M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 6/66
31 Welche Schlüsse lassen sich daraus ziehen? Neue Beziehungen zwischen Aktionen Darf der Belag vor dem Teig in die Form? Modell: Anordnung der Intervalle, die alle Beziehungen erfüllt Wie gelingt der Kuchen? Konsistenz: Gibt es ein Modell? Kann man den Kuchen überhaupt backen? Zutaten bes. Teig zub. Teig ruht Belag zub. Sahne schl. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 6/66
32 Allensche Intervalllogik James F. Allen: Maintaining knowledge about temporal intervals Commun. ACM, 1983 Keine Darstellung von Zeitpunkten, sondern: Darstellung von Zeitintervallen ohne Absolutwerte (weder von wann bis wann noch wie lang) sondern: nur die relative Lage von Intervallen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 7/66
33 Formeln und Basisrelationen Allensche Formeln: F ::= (A r B) F F 1 F 2 F 1 F 2 wobei A, B sind Intervallnamen r ist eine der Allenschen Basisrelationen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 8/66
34 Formeln und Basisrelationen Allensche Formeln: F ::= (A r B) F F 1 F 2 F 1 F 2 wobei A, B sind Intervallnamen r ist eine der Allenschen Basisrelationen Basisrelationen: Gegeben zwei nichtleere reellwertige Intervalle: A B A a A e B a B e Wie können A und B zueinander liegen? Wieviele Möglichkeiten gibt es? M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 8/66
35 Allensche Basisrelationen Bedingung Abkürzung Bezeichnung A e < B a A before B A e = B a m A meets B A a < B a < A e < B e o A overlaps B A a = B a < A e < B e s A starts B B a < A a < A e = B e f A finishes B B a < A a < A e < B e d A during B B a = A a, A e = B e A equal B und inverse Relationen (ohne ) Inverse: r ist inverse Relation zu r Ausnahme (in der Schreibweise): inverses zu und = M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 9/66
36 Allensche Basisrelationen, Teil 1 A B A before B A B A m B A meets B A B A o B A overlaps B A B A s B A starts B A B A f B A finishes B A B A d B A during B A B A B A equal B A B M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 10/66
37 Alle Allensche Basisrelationen A B A B A B B A A m B A B A m B B A A o B A B A ŏ B B A A s B A B A s B B A A f B B A A f B A B A d B A B A d B A B A B A B M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 11/66
38 Allensche Basisrelationen Allensche Basisrelationen Die 13 Allenschen Basis-Relationen sind: R := {,, m, o, s, d, f,, m, ŏ, s, d, f}. Satz Die Allenschen Basis-Relationen sind paarweise disjunkt, d.h. Schreibweise A r 1 B A r 2 B = r 1 = r 2. A{r 1,..., r n }B := (A r 1 B) (A r 2 B)... (A r n B) A{r 1,..., r n }B nennt man atomares Allen-Constraint M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 12/66
39 Beispiele Zutaten besorgen vor Teig Zutaten {, m} TeigZub Teig ruhen lassen direkt nach Teig TeigR { m} TeigZub Sahne schlagen während, aber vorher endend Belag Sahne {s, d} BelagZub Belag beginnt während Teig ruhen lassen BelagZub {s, s, d, ŏ,, f} TeigR M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 13/66
40 Beispiel als Constraintnetzwerk Zutaten besorgen, m Teig m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 14/66
41 Beispiel als Constraintnetzwerk, m Zutaten besorgen, m Teig m m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen s, d s, s, d, o,, f M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 14/66
42 Beispiel als Constraintnetzwerk, m Zutaten besorgen, m Teig R R R R R m m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen s, d R s, s, d, o,, f M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 14/66
43 Allensche Formeln: Semantik Interpretation I: bildet Intervallnamen auf Intervalle [a, b] ab, wobei a, b R und a < b. Interpretation von atomaren Aussagen A r B: Sei I(A) = [A a, A e ] und I(B) = [B a, B e ]. I(A B) = 1, gdw. A e < B a I(A m B) = 1, gdw. A e = B a I(A o B) = 1, gdw. A a < B a, B a < A e und A e < B e I(A s B) = 1, gdw. A a = B a und A e < B e I(A f B) = 1, gdw. A a > B a und A e = B e I(A d B) = 1, gdw. A a > B a und A e < B e I(A B) = 1, gdw. A a = B a und A e = B e I(A r 0 B) = 1, gdw. I(B r 0 A) = 1 I(A B) = 1, gdw. I(B A) = 1 M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 15/66
44 Allensche Formeln: Semantik (2) Interpretation von Allenschen Formeln: I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 1 und I(G) = 1 I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 1 oder I(G) = 1. I( F ) = 1 gdw. I(F ) = 0 I(F G) = 1 gdw. I(F ) = I(G) I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 0 oder I(G) = 1 D.h.: wie üblich M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 16/66
45 Modelle und Erfüllbarkeit Interpretation I ist ein Modell für F gdw. I(F ) = 1 gilt. Eine Allensche Formel F ist: widersprüchlich (inkonsistent), wenn es kein Modell für F gibt. allgemeingültig, wenn jede Interpretation ein Modell für F ist. erfüllbar, wenn es mindestens ein Modell für F gibt. Zwei Formeln F und G sind äquivalent gdw. I : I(F ) = I(G) Semantische Folgerung: G = F gdw. I : I(G) = 1 I(F ) = 1 M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 17/66
46 Disjunktionen von atomaren Formeln Zur Erinnerung: A S B mit S R nennen wir atomares Allen-Constraint Z.B.: Statt A B A s B A f B schreiben wir A {, s, f} B Beachte: Es gibt 2 13 solche Mengen S. Auch erlaubt: A B, Semantik: I(A B) = 0. A R B bedeutet: alles ist möglich, I(A R B) = 1. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 18/66
47 Vereinfachungsregeln für Allensche Formeln Ein atomare Aussage der Form A r A kann man immer vereinfachen zu 0, 1: A r A 0, wenn r und A A 1. Negationszeichen kann man nach innen schieben. Eine Formel (A R B) kann man zu A (R \ R) B umformen. Unterformeln der Form A R 1 B A R 2 B kann man durch A (R 1 R 2 ) B ersetzen. Unterformeln der Form A R 1 B A R 2 B kann man durch A (R 1 R 2 ) B ersetzen. atomare Formeln der Form A B kann man durch 0 ersetzen. atomare Formeln der Form A RB kann man durch 1 ersetzen. Alle aussagenlogischen Umformungen sind erlaubt. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 19/66
48 Vereinfachungen (2) Theorem Jede Vereinfachungsregel für Allensche Formeln erhält die Äquivalenz, d.h. wenn F F, dann sind F und F äquivalente Formeln. Beweis: Verwende die Semantik M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 20/66
49 Allensche Constraints Mit den Vereinfachungen kann jede Allensche Formel umgeformt werden in ein Disjunktives Allen-Constraint (konjunktives) Allen-Constraint: Eine Konjunktion von atomaren Allen-Constraints: A 1 S 1 A 2... A n S n A n Disjunktives Allen-Constraint: Disjunktion von (konjunktiven) Allen-Constraints Weniger geht nicht: Z.B. nicht vereinfachbar: A B C D M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 21/66
50 Allenscher Kalkül Eingabe: Allen-Constraint Ausgabe: Weitere Beziehungen die daraus folgen, bzw. 0 (Widerspruch) oder 1 (Tautologie) Es reicht im Grunde: Konjunktive Allen-Constraints Bei disjunktiven Allen-Constraints: bearbeite die konjunktiven Allen-Constraints unabhängig und füge dann zusammen. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 22/66
51 Allenscher Kalkül (2) Wesentliche Regel: Transitivitätsregel Aus A B B C kann man A C folgern. Aus A B C B kann man nichts neues über die Beziehung zwischen A und C folgern (alles ist möglich) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 23/66
52 Allenscher Kalkül (3) Wie folgert man genau? Basisrelationen r 1, r 2 : A r 1 B B r 2 C. Man braucht die Komposition (r 1 r 2 ), als kleinste Menge mit: A r 1 B B r 2 C = A(r 1 r 2 )C. Beachte:(r 1 r 2 ) ist nicht unbedingt eine Basisrelation R 1, R 2 R: A R 1 B B R 2 C. Komposition der Mengen: Sei R 1 R 2 gerade die (kleinste) Menge mit: AR 1 B BR 2 C = A(R 1 R 2 )C. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 24/66
53 Kompositionsmatrix d d o ŏ m m s s f f R o m o m o m o m d s d s d s d s R ŏ m ŏ m ŏ m ŏ m d f d f d f d f d d R o m d d d o m R \ ŏ m d f d s m m o ŏ o m d f ŏ m d s d s ŏ m d f ŏ m d f o m d s d o d f ŏ d s o d f ŏ d s o d f d ŏ d s d o d s o m R \ d f o m m m ŏ d f ŏ m d s ŏ d s o d f o d s o o m R \ ŏ m o d f ŏ d f ŏ m ŏ ŏ d s m m m ŏ m d s o d s o d s f f m m d s o m o m ŏ d f ŏ d f s s d f ŏ m m d f o m s d o m ŏ d f m s s s d o m d f s o m ŏ d f d o d f ŏ o d f m s s s ŏ d d f ŏ m f d d s o d s ŏ m m d ŏ m f f f f ŏ m d s o d s d o ŏ d s m ŏ d s o d f f f Nur Matrix, da: r = r = r M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 25/66
54 Kompositionsmatrix Die Einträge muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle möglichen Lagen für A B B d C A B M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 26/66
55 Kompositionsmatrix Die Einträge muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle möglichen Lagen für A B B d C A B C M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 26/66
56 Kompositionsmatrix Die Einträge muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle möglichen Lagen für A B B d C A B C M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 26/66
57 Kompositionsmatrix Die Einträge muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle möglichen Lagen für A B B d C A B C Möglichkeiten: A {, o, m, s, d} C. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 26/66
58 Kompositionsmatrix Die Einträge muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle möglichen Lagen für A B B d C A B C Möglichkeiten: A {, o, m, s, d} C. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 26/66
59 Kompositionsmatrix Die Einträge muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle möglichen Lagen für A B B d C A B C Möglichkeiten: A {, o, m, s, d} C. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 26/66
60 Kompositionsmatrix Die Einträge muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle möglichen Lagen für A B B d C A B C Möglichkeiten: A {, o, m, s, d} C. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 26/66
61 Komposition der Mengen Beispiel: Aus A {m, d} B B {f, d} C kann man schließen Allgemein gilt: A (m f m d d f d d) C = A {d, s, o} {d, s, o} {d} {d} C = A {d, s, o} C Satz Seien r 1,..., r k, r 1,..., r k Allensche Basisrelationen. Dann gilt {r 1,..., r k } {r 1,..., r k } = {r i r j i = 1,..., k, j = 1,..., k } M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 27/66
62 Inverse für Mengen Inversion für Mengen von Basisrelationen Sei S = {r 1,..., r k } R. Dann sei Beachte. Es gilt: r = r Damit gilt: Satz S = { r 1,..., r k }. Für S R gilt: A S B und B S A sind äquivalente Allensche Formeln. Satz.(r 1 r 2 ) = r 2 r 1. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 28/66
63 Allenscher Abschluss für Konjunktive Allen-Constraints Eingabe: Konjunktives Allen-Constraint Ausgabe: Allenscher Abschluss Verfahren: Berechne Fixpunkt bezüglich der Regeln (auf Subformeln): Vereinfachungen: ( bedeutet ersetze ) A R 1 B A R 2 B A (R 1 R 2 ) B A B False A R B 1 A R A 0, wenn R. A R A 1, wenn R. Folgerungen: ( bedeutet füge hinzu ) A R B B R A, wobei R := { r1,..., r n } für R = {r 1,..., r n } A R 1 B B R 2 C A (R 1 R 2 ) C. und übliche aussagenlogische Umformungen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 29/66
64 Allenscher Abschluss für alle Allen-Constraints Für konjunktive Allensche Constraints: Wende die Regeln des Allenschen Kalküls solange an, bis sich keine neuen Beziehungen mehr herleiten lassen (Fixpunkt) Disjunktive Constraints: Wende Fixpunktiteration auf jede Komponente an, und vereinfache anschließend Komponente = 1: Disjunktiver Constraint ist äquivalent zu 1 Komponente = 0: Kann gestrichen werden Alle Komponenten = 0: Disjunktiver Constraint widersprüchlich (Inkonsistenz) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 30/66
65 Beispiel Zutaten besorgen, m Teig m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 31/66
66 Beispiel Zutaten besorgen, m Teig, m m, m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen,, d, f, s, s, o, m M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 31/66
67 Beispiel (2) Zutaten besorgen, m Teig, m m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 32/66
68 Beispiel (2) Zutaten besorgen, m Teig, m m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 32/66
69 Korrektheit, Vollständigkeit Wir sagen, der Allen-Kalkül ist korrekt, wenn bei F F stets gilt: F und F sind äquivalente Formeln herleitungs-vollständig, wenn er für jedes konjunktive Constraint alle semantisch folgerbaren Einzel-Relationen herleiten kann. widerspruchs-vollständig, wenn er für jedes konjunktive Constraint herausfinden kann, ob es widersprüchlich ist (Herleitung der 0) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 33/66
70 Fragestellungen Wie aufwändig ist die Berechnung des Abschlusses der Allenschen Relationen? Ist der Allen-Kalkül korrekt? Ist die Berechnung herleitungs- bzw- widerspruchs-vollständig? Was ist die Komplexität der Logik und der Herleitungsbeziehung, evtl. für eingeschränkte Eingabeformeln? Wie kann man den Allenschen Kalkül für aussagenlogische Kombinationen von Intervallformeln verwenden? M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 34/66
71 Implementierung der Allen-Vervollständigung Wesentliche Regel: Transitivitätsregel A R 1 B B R 2 C A R 1 R 2 C. Konjunktive Allen-Constraints (schon zusammengefasst, Intervalle A 1,..., A n ): i,j {1,...,n} A i R i,j A j Nicht vorhandene Relation werden auf R gesetzt. Abschluss kann mit einer n n-tabelle gemacht werden Sobald irgendwo auftaucht, kann man abbrechen Ähnlich zum Warshall-Algorithmus Bei disjunktiven Allen-Constraints: bearbeite die Allen-Constraints separat und fasse dann zusammen. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 35/66
72 Beispiel für das Eingabearray Zutaten {, m} TeigZub TeigRuht { m} TeigZub Sahne {s, d} Belagzub Belagzub {, s, s, d, f, ŏ} TeigRuht R i,j (1) Zutaten (2) Teigzub (3) TeigRuht (4) Sahne (5) Belagzub (1) Zutaten { } {, m} R R R (2) Teigzub {, m} { } {m} R R (3) TeigRuht R { m} { } R {, d, f, s, s, o} (4) Sahne R R R { } {d, s} (5) Belagzub R R {, s, s, d, f, ŏ} { d, s} { } M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 36/66
73 Beispiel für die Completion Zutaten {, m} TeigZub TeigRuht { m} TeigZub Sahne {s, d} Belagzub Belagzub {, s, s, d, f, ŏ} TeigRuht Vervollständigung: (Vorführung) R i,j Zutaten Teigzub TeigRuht Sahne Belagzub (1) Zutaten { } {, m} (2) Teigzub {, m} { } {m} {, m} {, m} (3) TeigRuht { m} { } {,, d, f, s, m, o, s} {, d, f, s, o, s} (4) Sahne {, m} {,, m, ŏ, s, d, f, s} { } {d, s} (5) Belagzub {, m} {, ŏ, s, d, f, s} { d, s} { } M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 37/66
74 Algorithmus 1 Algorithmus Allenscher Abschluss, Variante 1 Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Algorithmus: repeat change := False; for i := 1 to n do for j := 1 to n do for k := 1 to n do R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R ; change := True; endif endfor endfor endfor until change=false M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 38/66
75 Algorithmus 1 Algorithmus Allenscher Abschluss, Variante 1 Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Algorithmus: repeat change := False; for i := 1 to n do for j := 1 to n do for k := 1 to n do R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R ; change := True; endif endfor endfor endfor until change=false R i,k R k,j i k j R i,j M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 38/66
76 Erläuterung R := R i,j (R i,k R k,j ) entspricht gerade A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,j A j M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 39/66
77 Erläuterung R := R i,j (R i,k R k,j ) entspricht gerade A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,j A j A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,k R k,j A j A i R i,j A j M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 39/66
78 Erläuterung R := R i,j (R i,k R k,j ) entspricht gerade A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,j A j A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,k R k,j A j A i R i,j A j M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 39/66
79 Erläuterung R := R i,j (R i,k R k,j ) entspricht gerade A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,j A j A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,k R k,j A j A i R i,j A j A i R i,k A k A k R k,j A j A i (R i,k R k,j ) R i,j A j M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 39/66
80 Eigenschaften Algorithmus 1 Ähnlich zu Warshall-Algorithmus, aber iteriert (notwendig!) solange bis Fixpunkt erreicht ist Korrekt: Offensichtlich Laufzeit: Im worst-case O(n 5 ) Begründung: 3 for-schleifen: O(n 3 ) repeat-schleife: Im schlechtesten Fall wird ein R i,j um eins verkleinert pro R i,j maximal 13 Verkleinerungen Es gibt n 2 Mengen R i,j Daher: repeat-schleife wird maximal O(n 2 ) mal durchlaufen ergibt: O(n 5 ) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 40/66
81 Algorithmus 2 Algorithmus Allenscher Abschluss, Variante 2 Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Algorithmus: queue := {(i, k, j) 1 i n, 1 k n, 1 j n}; while queue do Wähle und entferne Tripel (i, k, j) aus queue; R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R; queue := queue ++ {(i, j, m) 1 m n} ++ {(m, i, j) 1 m n} endif endwhile M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 41/66
82 Algorithmus 2 Algorithmus Allenscher Abschluss, Variante 2 Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Algorithmus: queue := {(i, k, j) 1 i n, 1 k n, 1 j n}; while queue do Wähle und entferne Tripel (i, k, j) aus queue; R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R; queue := queue ++ {(i, j, m) 1 m n} ++ {(m, i, j) 1 m n} endif endwhile R i,k R k,j i k j R i,j M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 41/66
83 Algorithmus 2 Algorithmus Allenscher Abschluss, Variante 2 Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Algorithmus: queue := {(i, k, j) 1 i n, 1 k n, 1 j n}; while queue do Wähle und entferne Tripel (i, k, j) aus queue; R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R; queue := queue ++ {(i, j, m) 1 m n} ++ {(m, i, j) 1 m n} endif endwhile R i,j R j,m i j m R i,m R i,k R k,j i k j m R i,j R m,i i R m,i R i,j j M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 41/66
84 Eigenschaften Algorithmus 2 Korrektheit: Bei Änderung von R i,j werden alle Nachbarn, die evtl. neu berechnet werden müssen, in queue eingefügt M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 42/66
85 Eigenschaften Algorithmus 2 Korrektheit: Bei Änderung von R i,j werden alle Nachbarn, die evtl. neu berechnet werden müssen, in queue eingefügt Laufzeit: Am Anfang: queue enthält n 3 Tripel while-schleife entfernt pro Durchlauf ein Element aus queue Einfügen in queue in der Summe: R i,j kann höchstens 13 mal verändert werden. D.h. höchstens n 2 13 mal wird eingefügt Einmal einfügen: 2 n Tripel werden hinzugefügt Insgesamt: Es werden höchstens 13 2 n n 2 Tripel zu queue hinzugefügt Ergibt O(n 3 ) Durchläufe der while-schleife (von denen maximal O(n 2 ) Durchläufe O(n) Laufzeit verbrauchen und die restlichen O(n) in konstanter Laufzeit laufen) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 42/66
86 Eigenschaften Algorithmus 2 Korrektheit: Bei Änderung von R i,j werden alle Nachbarn, die evtl. neu berechnet werden müssen, in queue eingefügt Laufzeit: Am Anfang: queue enthält n 3 Tripel while-schleife entfernt pro Durchlauf ein Element aus queue Einfügen in queue in der Summe: R i,j kann höchstens 13 mal verändert werden. D.h. höchstens n 2 13 mal wird eingefügt Einmal einfügen: 2 n Tripel werden hinzugefügt Insgesamt: Es werden höchstens 13 2 n n 2 Tripel zu queue hinzugefügt Ergibt O(n 3 ) Durchläufe der while-schleife (von denen maximal O(n 2 ) Durchläufe O(n) Laufzeit verbrauchen und die restlichen O(n) in konstanter Laufzeit laufen) Algorithmus 2 hat worst-case-laufzeit O(n 3 ) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 42/66
87 Allenscher Kalkül: Korrektheit Korrektheit Der Allensche Kalkül ist korrekt, d.h. wenn F F, dann sind F und F äquivalente Formeln Beweis (Skizze): Verwende die Semantik - Aussagenlogische Umformungen: klar - A R 1 B A R 2 B ist äquivalent zu A (R 1 R 2 ) B: Sei R 1 = {r 1,..., r k }, R 2 = {r 1,..., r k }. A R 1 B A R 2 B = ( Ar ib) ( A r i B) {(A r i B) (A r i B) 1 i k, 1 i k } (ausmultiplizieren) {(A r i B) (A r i B) 1 i k, 1 i k, r i = r i } (Basisrelationen disjunkt) = A (R 1 R 2) B - A B 0 und A R B 1 (klar) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 43/66
88 Allenscher Kalkül: Korrektheit (2) Beweis (Fortsetzung) - A R A ist äquivalent zu 0, wenn R und A R A ist äquivalent zu 1, wenn R: Jede Interpretation bildet I(A) eindeutig auf ein Intervall ab. -Transitivitätsregel: Basisrelationen: Man muss die Korrektheit der Matrix prüfen. Für mehrelementige Mengen: A {r 1,..., r k } B B {r 1,..., r k } C = (A r 1 B... A r k B) (B r 1 C... B r k C) (ausmultiplizieren) {(A r i B B r i C) 1 i k, 1 i k } (Basis) {(A r i B B r i C A ri r i C) 1 i k, 1 i k } A {r 1,..., r k } B B {r 1,..., r k } C {(A r i r i C) 1 i k, 1 i k } = A {r 1,..., r k } B B {r 1,..., r k } C A {r1,..., r k} {r 1,..., r k } C M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 44/66
89 Partielle Vollständigkeit Der Allensche Kalkül ist vollständig in eingeschränktem Sinn: Satz (Pfadkonsistenz) Der Allensche Abschluss ist 3-konsistent: A R AB B R AC C R CB Jede Belegung I der Intervalle A und B mit I(A R AB B) = True kann auf das Intervall C erweitert werden, so dass I(A R BC C) = True = I(C R AC B). Es gilt nicht (globale Konsistenz): Jede Belegung von k Knoten kann auf k + 1 Knoten unter Erhaltung der Erfüllbarkeit erweitert werden M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 45/66
90 Unvollständigkeit des Allen-Kalküls Leider gilt: Theorem Der Allensche Kalkül ist nicht herleitungs-vollständig. Beweis: Gegenbeispiel: Für den Allenschen Constraint: D {o} B D {s, m} C D {s, m} A A {d, d} B C {d, d} B ist der Allensche Abschluss: D {o} B D {s, m} C D {s, m} A A {d, d} B C {d, d} B C {s, s,, o, ŏ, d, d, f, f} A Aber in diesem Fall ist C {f, f, o, ŏ} A nicht möglich (nächste Folie) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 46/66
91 Beweis (Fortsetzung) Die Lage von B zu D ist eindeutig. Möglichkeiten wie A zu D und C zu D: 4 Fälle D D B C A Fall (1): D s C und D s A C { s, s, } A D B C A B C A Fall (2): D m C und D s A C {d} A D B C A Fall (3): D s C und D m A Fall (4): D m C und D m A C { d} A C {s, s, } A C {f, f, o, ŏ} A nicht möglich! M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 47/66
92 Unvollständigkeit des Allen-Kalküls (2) Ebenso gilt: Theorem Der Allensche Kalkül ist nicht widerlegungsvollständig. Beweis: Gegenbeispiel: Leichte Abwandlung des Beispiels davor Füge A {f, f} C hinzu, d.h. man erhält das Constraintnetzwerk: D s, m o B s, m d, d d, d A f, f C Allenscher Abschluss: Verändert das Netzwerk nicht, aber es ist widersprüchlich! M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 48/66
93 Konsequenzen der Unvollständigkeit Frage: Ist Allen-Constraint F widersprüchlich? Abschluss = 0, dann JA Abschluss = 1, dann NEIN Abschluss weder 0 noch 1: man weiß nichts Frage: Ist Allen-Constraint F erfüllbar? Abschluss = 0, dann NEIN Abschluss = 1, dann JA (Tautologie) Abschluss weder 0 noch 1: man weiß nichts M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 49/66
94 Eindeutige Allen-Constraints Definition Ein Allensches Constraint nennt man eindeutig, wenn für alle Paare A, B von Intervallkonstanten gilt: Das Constraint enthält genau eine Beziehung A r B, wobei r eine der dreizehn Basisrelationen ist. Es gilt: Satz Der Allensche Abschluss eines eindeutigen Allenschen Constraints F ist entweder 0, oder wiederum F. Beweis: Jede Transitivitätsregelanwendung leitet her, oder lässt Eintrag unverändert. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 50/66
95 Eindeutige Allen-Constraints (2) Satz (Valdés-Pérez, 1987) Ein eindeutiges Allensches Constraint ist erfüllbar, gdw. der Allensche Kalkül bei Vervollständigung das Constraint nicht verändert, d.h. wenn es ein Fixpunkt ist. Beweisidee: Zeige, wenn Allen-Kalkül kein Widerspruch entdeckt, dann ist Constraint erfüllbar. Es gibt dann eine totale Ordnung der Intervallenden Korollar Auf eindeutigen Allen-Constraints ist der Allen-Kalkül korrekt und vollständig M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 51/66
96 Eindeutige Allen-Constraints: Menge Zu jedem Allenschen Constraint C kann man die Menge aller zugehörigen eindeutigen Allenschen Constraints D definieren, wobei gelten muss: Wenn A r B in D vorkommt und A R B in C, dann gilt r R. Lemma Ein Allen-Constraint ist erfüllbar, gdw. es ein zugehöriges eindeutiges Constraint gibt, das erfüllbar ist. Beweis: Klar M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 52/66
97 Vollständiges Verfahren Algorithmus Erfüllbarkeitstest für konjunktive Allensche Constraints Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Ausgabe: True (Widerspruch) oder False (erfüllbar) function AllenSAT(R): R := AllenAbschluss(R); if R i,j mit R i,j = then return True endif;// Widerspruch if R i,j gilt: R i,j = 1 then return False // eindeutig und erfüllbar else wähle R i,j mit R i,j = {r 1, r 2,...}; R l := R ; R l i,j := {r 1};// kopiere R und setze (i, j) auf r 1 R r := R ; R r i,j := R i,j \ {r 1};// kopiere R und setze (i, j) auf r 2,... return (ASAT(R l ) ASAT(R r )); endif Der Algorithmus ist korrekt und vollständig. Die Laufzeit ist im worst-case exponentiell. Mittlere Verzweigungsrate: 6,5 M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 53/66
98 Komplexität des Problems Satz Das Erfüllbarkeitsproblem für konjunktive Allenschen Constraints ist N P-vollständig. Beweis: Problem ist in N P: Rate lineare Reihenfolge der Intervallanfänge und -enden D.h. Ordnung auf allen X a, X e für alle Intervalle X Verifiziere ob Reihenfolge das Constraint erfüllt Verifikation geht in Polynomialzeit M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 54/66
99 Beweis (Fortsetzung) N P-Härte: Reduktion von 3-Färbbarkeit auf Erfüllbarkeit von Allen-Constraints 3-Färbbarkeit: Kann man die Knoten eines ungerichteten Graphen mit drei Farben färben, so dass benachbarte Knoten stets verschiedene Farben haben? M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 55/66
100 Beweis (Fortsetzung) Für G = (V, E) erzeuge: M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 56/66
101 Beweis (Fortsetzung) Für G = (V, E) erzeuge: (Rot m Gruen) (Gruen m Blau) Rot Gruen Blau M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 56/66
102 Beweis (Fortsetzung) Für G = (V, E) erzeuge: (Rot m Gruen) (Gruen m Blau) Rot Gruen Blau Für die Knoten: v i V : v i {m,, m} Gruen Rot Gruen Blau v i v i v i M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 56/66
103 Beweis (Fortsetzung) Für G = (V, E) erzeuge: (Rot m Gruen) (Gruen m Blau) Rot Gruen Blau Für die Knoten: v i V : v i {m,, m} Gruen Rot Gruen Blau v i v i v i Für die Kanten: (v i, v j ) E : v i {m, m,, } v j v j v i v j M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 56/66
104 Beweis (Fortsetzung) Daher gilt: Der Graph ist dreifärbbar, gdw. die Allenschen Relationen erfüllbar sind. Die Zuordnung ist: v i hat Farbe grün gdw. v i Gruen v i hat Farbe rot gdw. v i m Gruen v i hat Farbe blau gdw. v i m Gruen Übersetzung ist in Polynomialzeit durchführbar, daher Erfüllbarkeit N P-Hart M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 57/66
105 Folgerungen Jeder vollständige Algorithmus braucht Exponentialzeit. (unter Annahme N P = EXP T IME) Die polynomielle Allen-Vervollständigung muss unvollständig sein M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 58/66
106 Varianten Es gibt polynomielle, vollständige Verfahren für Allensche Constraints mit eingeschränkter Syntax Eine haben wir bereits gesehen: Eindeutige Allen-Constraints M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 59/66
107 Varianten (2) Neue Variante: Erlaube nur Allensche Relationen, so dass: Übersetzung in Bedingungen über die Endpunkte nur Konjunktionen von der Form x < y oder x = y Dann gilt: Man braucht keine Fallunterscheidung Passender Satz von Relationen: Alle Basisrelationen, {d, o, s}, und {ŏ, f, d} und deren Konverse. d.h. { d, ŏ, s}, und {o, f, d}. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 60/66
108 Varianten (3) Z.B. A{d, o, s}b als Ungleichung über den Endpunkten: A B Wenn A = [A a, A e ], B = [B a, B e ], dann entspricht obige Relation gerade A a < A e, B a < B e, A e < B e, B a < A e M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 61/66
109 Varianten (4) Auf solchen Constraints kann man Erfüllbarkeit in Polynomialzeit testen Transitiver Abschluss der Endpunktbeziehungen anschließend lineare Reihenfolge mit topologischem Sortieren Es gilt aber sogar Satz (Nebel, Bürckert, 1995) Auf den so eingeschränkten Allen-Constraints ist der Allensche Kalkül korrekt und vollständig. M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 62/66
110 Hintergrund Diese spezielle Klasse lässt sich als Grund-Hornklauseln darstellen, d.h. Klauseln mit maximal einem positiven Literal. Für Grund-Hornklauselmengen ist Erfüllbarkeit in polynomieller Zeit testbar. Man hat Fakten in der Form a < b und c = d, wobei a, b, c, d unbekannte Konstanten sind. Es gibt auch Hornklauseln, die von der Symmetrie und Transitivität stammen: x < y y < z x < z x = y y = z x = z x = y y = x x < y y = z x < z x = y y < z x < z M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 63/66
111 Hintergrund (2) Man kann weitere Allensche Constraints zulassen, und behält die Vollständigkeit des Allen-Kalküls: Alle Constraints deren Übersetzung in Constraints über Endpunkten Hornklauseln ausschließlich mit Literalen a b, a = b und (a = b) erzeugt. Von den 2 13 = 8192 möglichen Beziehungen erfüllen 868 diese Eigenschaft Man kann diese auch für die Fallunterscheidung des exponentiellen Verfahrens verwenden. Vorteil: Kleinere mittlere Verzweigungsrate (Statt 6,5 nur 2,533 (Nebel 1997)) M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 64/66
112 Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen heizt Kuchen im Ofen Kuchen kühlt aus Kuchen entnehmen Zutaten {<,m} TeigZub, Zutaten {<,m} TeigRuht, Zutaten {<,m} BelZub, Zutaten {<,m} Sahne, TeigRuht {m} TeigForm, TeigForm {<,m} BelForm, BelForm {<,m} Backen, Backen {f} Heizen, Sahne {s,d} BelZub, Heizen {S,o,>} TeigRuht, Heizen {<,m} Kuehlen, Kuehlen {<,m} Entnehmen, Zutaten {<,m} Einfett, Zutaten {<,m} Heizen, TeigZub {<,m} TeigForm, BelZub {<,m} BelForm, TeigZub {<,>,m,m} BelZub, Einfett {<,>,m,m} BelZub, Einfett {>,M} TeigZub, Einfett {<,m,m,>} TeigForm, Einfett {<,>,m,m} BelForm, Einfett {<,m} TeigForm, TeigZub {m} TeigRuht, Einfett {>,M} Zutaten, Backen {m} Kuehlen, BelZub {s,s,d,o,=,f} TeigRuht, Einfett {>} Sahne M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 65/66
113 Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen heizt Kuchen im Ofen Kuchen kühlt aus Kuchen entnehmen Zutaten {<,m} TeigZub, Zutaten {<,m} TeigRuht, Zutaten {<,m} BelZub, Zutaten {<,m} Sahne, TeigRuht {m} TeigForm, TeigForm {<,m} BelForm, BelForm {<,m} Backen, Backen {f} Heizen, Sahne {s,d} BelZub, Heizen {S,o,>} TeigRuht, Heizen {<,m} Kuehlen, Kuehlen {<,m} Entnehmen, Zutaten {<,m} Einfett, Zutaten {<,m} Heizen, TeigZub {<,m} TeigForm, BelZub {<,m} BelForm, TeigZub {<,>,m,m} BelZub, Einfett {<,>,m,m} BelZub, Einfett {>,M} TeigZub, Einfett {<,m,m,>} TeigForm, Einfett {<,>,m,m} BelForm, Einfett {<,m} TeigForm, TeigZub {m} TeigRuht, Einfett {>,M} Zutaten, Backen {m} Kuehlen, BelZub {s,s,d,o,=,f} TeigRuht, Einfett {>} Sahne Allen-Programm: Max. #Modelle in der Eingabe : Max. #Modelle nach Allen-Abschluss: Anzahl Modelle : Allenscher Abschluss genau? : True M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 65/66
114 Ausblick Qualitatives räumliches Schließen Eindimensional: Genau die Allensche Intervalllogik Zweidimensional: Region-Connection-Calculus (RCC8), (Randell, Cui & Cohn, 1992) X Y X Y X Y X Y X DC Y disconnected X EC Y externally connected X TPP Y tangential proper part X NTPP Y non-tangential proper part X Y X Y Y X Y X X PO Y partially overlapping X EC Y equal X TPPi Y tangential proper part inverse X NTPPi Y non-tangential proper part inverse M. Schmidt-Schauß KI SoSe 2018 Allens Zeitlogik 66/66
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