Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz. Allens Zeitintervalllogik
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- Gitta Angela Hofmann
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1 Einführung in die Methoden der Künstlichen Intelligenz Allens Zeitintervalllogik PD Dr. David Sabel SoSe 2014 Stand der Folien: 20. August 2015
2 Schließen über Zeit Darstellung und Inferenzen für zeitliche Zusammenhänge Viele verschiedene Logiken z.b. Modallogiken und Temporallogiken (stellen meistens genaue Zeitpunkte dar) Wir betrachten die Allensche Intervall-Logik D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 2/65
3 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
4 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
5 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
6 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
7 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
8 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
9 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
10 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
11 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
12 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
13 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
14 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
15 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
16 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
17 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
18 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
19 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
20 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
21 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen heizt D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
22 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen heizt D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
23 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen Kuchen im heizt Ofen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
24 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen Kuchen im heizt Ofen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
25 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen Kuchen im Kuchen heizt Ofen kühlt aus D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
26 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen Kuchen im Kuchen heizt Ofen kühlt aus D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
27 Beispiel: Käse-Sahne-Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen Kuchen im Kuchen Kuchen heizt Ofen kühlt aus entnehmen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 3/65
28 Zeitliche Zusammenhänge Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen heizt Kuchen im Ofen Kuchen kühlt aus Kuchen entnehmen Aktionen entsprechen (nicht-leeren) Zeitintervallen Wissen: Anforderungen an die relative Lage der Intervalle Wie kann man dieses Wissen repräsentieren? D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 4/65
29 Beispiele Zutaten besorgen vor Teig Zutaten bes. Teig zub. Teig ruhen lassen direkt nach Teig Teig zub. Teig ruht Sahne schlagen während, aber vorher endend Belag Sahne schl. Belag zub. Belag beginnt während Teig ruhen lassen Belag zub. Teig ruht D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 5/65
30 Welche Schlüsse lassen sich daraus ziehen? Neue Beziehungen zwischen Aktionen Darf der Belag vor dem Teig in die Form? Modell: Anordnung der Intervalle, die alle Beziehungen erfüllt Wie gelingt der Kuchen? Konsistenz: Gibt es ein Modell? Kann man den Kuchen überhaupt backen? D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 6/65
31 Welche Schlüsse lassen sich daraus ziehen? Neue Beziehungen zwischen Aktionen Darf der Belag vor dem Teig in die Form? Modell: Anordnung der Intervalle, die alle Beziehungen erfüllt Wie gelingt der Kuchen? Konsistenz: Gibt es ein Modell? Kann man den Kuchen überhaupt backen? Zutaten bes. Teig zub. Teig ruht Belag zub. Sahne schl. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 6/65
32 Allensche Intervalllogik James F. Allen: Maintaining knowledge about temporal intervals Commun. ACM, 1983 Keine Darstellung von Zeitpunkten, sondern: Darstellung von Zeitintervallen ohne Absolutwerte (weder von wann bis wann noch wie lang) sondern: nur die relative Lage von Intervallen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 7/65
33 Formeln und Basisrelationen Allensche Formeln: F ::= (A r B) F F 1 F 2 F 1 F 2 wobei A, B sind Intervallnamen r ist eine der Allenschen Basisrelationen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 8/65
34 Formeln und Basisrelationen Allensche Formeln: F ::= (A r B) F F 1 F 2 F 1 F 2 wobei A, B sind Intervallnamen r ist eine der Allenschen Basisrelationen Basisrelationen: Gegeben zwei nichtleere reellwertige Intervalle: A B a a a e b a b e Wie können A und B zueinander liegen? Wieviele Möglichkeiten gibt es? D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 8/65
35 Allensche Basisrelationen Bedingung Abkürzung Bezeichnung AZ < BA A before B AZ = BA m A meets B AA < BA < AZ < BZ o A overlaps B AA = BA < AZ < BZ s A starts B BA < AA < AZ = BZ f A finishes B BA < AA < AZ < BZ d A during B BA = AA, AZ = BZ A equal B und inverse Relationen (ohne ) Inverse: r ist inverse Relation zu r Ausnahme (in der Schreibweise): inverses zu und = D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 9/65
36 Allensche Basisrelationen, Teil 1 A B A before B A B A m B A meets B A B A o B A overlaps B A B A s B A starts B A B A f B A finishes B A B A d B A during B A B A B A equal B A B D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 10/65
37 Alle Allensche Basisrelationen A B A B A B B A A m B A B A m B B A A o B A B A ŏ B B A A s B A B A s B B A A f B B A A f B A B A d B A B A d B A B A B A B D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 11/65
38 Allensche Basisrelationen Allensche Basisrelationen Die 13 Allenschen Basis-Relationen sind: R := {,, m, o, s, d, f,, m, ŏ, s, d, f}. Satz Die Allenschen Basis-Relationen sind paarweise disjunkt, d.h. Schreibweise A r 1 B A r 2 B = r 1 = r 2. A{r 1,..., r n }B := (A r 1 B) (A r 2 B)... (A r n B) A{r 1,..., r n }B nennt man atomares Allen-Constraint D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 12/65
39 Beispiele Zutaten besorgen vor Teig Zutaten {, m} TeigZub Teig ruhen lassen direkt nach Teig TeigR { m} TeigZub Sahne schlagen während, aber vorher endend Belag Sahne {s, d} BelagZub Belag beginnt während Teig ruhen lassen BelagZub {s, s, d, ŏ,, f} TeigR D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 13/65
40 Beispiel als Constraintnetzwerk Zutaten besorgen, m Teig m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 14/65
41 Beispiel als Constraintnetzwerk, m Zutaten besorgen, m Teig m m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen s, d s, s, d, o,, f D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 14/65
42 Beispiel als Constraintnetzwerk, m Zutaten besorgen, m Teig R R R R R m m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen s, d R s, s, d, o,, f D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 14/65
43 Allensche Formeln: Semantik Interpretation I: bildet Intervallnamen auf Intervalle [a, b] ab, wobei a, b R und a < b. Interpretation von atomaren Aussagen A r B: Sei I(A) = [AA, AZ] und I(B) = [BA, BZ]. I(A B) = 1, gdw. AZ < BA I(A m B) = 1, gdw. AZ = BA I(A o B) = 1, gdw. AA < BA, BA < AZ und AZ < BZ I(A s B) = 1, gdw. AA = BA und AZ < BZ I(A f B) = 1, gdw. AA > BA und AZ = BZ I(A d B) = 1, gdw. AA > BA und AZ < BZ I(A B) = 1, gdw. AA = BA und AZ = BZ I(A r 0 B) = 1, gdw. I(B r 0 A) = 1 I(A B) = 1, gdw. I(B A) = 1 D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 15/65
44 Allensche Formeln: Semantik (2) Interpretation von Allenschen Formeln: I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 1 und I(G) = 1 I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 1 oder I(G) = 1. I( F ) = 1 gdw. I(F ) = 0 I(F G) = 1 gdw. I(F ) = I(G) I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 0 oder I(G) = 1 D.h.: wie üblich D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 16/65
45 Modelle und Erfüllbarkeit Interpretation I ist ein Modell für F gdw. I(F ) = True gilt. Eine Allensche Formel F ist: widersprüchlich (inkonsistent), wenn es kein Modell für F gibt. allgemeingültig, wenn jede Interpretation ein Modell für F ist. erfüllbar, wenn es mindestens ein Modell für F gibt. Zwei Formeln F und G sind äquivalent gdw. I : I(F ) = I(G) Semantische Folgerung: G = F gdw. I : I(G) = 1 I(F ) = 1 D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 17/65
46 Disjunktionen von atomaren Formeln Zur Erinnerung: A S B mit S R nennen wir atomares Allen-Constraint Z.B.: Statt A B A s B A f B schreiben wir A {, s, f} B Beachte: Es gibt 2 13 solche Mengen S. Auch erlaubt: A B, Semantik: I(A B) = 0. A R B bedeutet: alles ist möglich, I(A R B) = 1. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 18/65
47 Vereinfachungsregeln für Allensche Formeln Ein atomare Aussage der Form A r A kann man immer vereinfachen zu 0, 1: A r A 0, wenn r und A A 1. Negationszeichen kann man nach innen schieben. Eine Formel (A R B) kann man zu A (R \ R) B umformen. Unterformeln der Form A R 1 B A R 2 B kann man durch A (R 1 R 2 ) B ersetzen. Unterformeln der Form A R 1 B A R 2 B kann man durch A (R 1 R 2 ) B ersetzen. atomare Formeln der Form A B kann man durch 0 ersetzen. atomare Formeln der Form A RB kann man durch 1 ersetzen. Alle aussagenlogischen Umformungen sind erlaubt. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 19/65
48 Vereinfachungen (2) Theorem Jede Vereinfachungsregel für Allensche Formeln erhält die Äquivalenz, d.h. wenn F F, dann sind F und F äquivalente Formeln. Beweis: Verwende die Semantik D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 20/65
49 Allensche Constraints Mit den Vereinfachungen kann jede Allensche Formel umgeformt werden in ein Disjunktives Allen-Constraint (konjunktives) Allen-Constraint: Eine Konjunktion von atomaren Allen-Constraints: A 1 S 1 A 2... A n S n A n Disjunktives Allen-Constraint: Disjunktion von (konjunktiven) Allen-Constraints D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 21/65
50 Allenscher Kalkül Eingabe: Allen-Constraint Ausgabe: Weitere Beziehungen die daraus folgen, bzw. 0 (Widerspruch) oder 1 (Tautologie) Es reicht im Grunde: Konjunktive Allen-Constraints Bei disjunktiven Allen-Constraints: bearbeite die Allen-Constraints unabhängig und füge dann zusammen. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 22/65
51 Allenscher Kalkül (2) Wesentliche Regel: Transitivitätsregel Aus A B B C kann man A C folgern. Aus A B C B kann man nichts neues über die Beziehung zwischen A und C folgern (alles ist möglich) D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 23/65
52 Allenscher Kalkül (3) Wie folgert man genau? Basisrelationen r 1, r 2 : A r 1 B B r 2 C. Man braucht die Komposition (r 1 r 2 ), als kleinste Menge mit: A r 1 B B r 2 C = A(r 1 r 2 )C. Beachte:(r 1 r 2 ) ist nicht unbedingt eine Basisrelation R 1, R 2 R: A R 1 B B R 2 C. Komposition der Mengen: Sei R 1 R 2 gerade die (kleinste) Menge mit: AR 1 B BR 2 C = A(R 1 R 2 )C. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 24/65
53 Kompositionsmatrix d d o ŏ m m s s f f R o m o m o m o m d s d s d s d s R ŏ m ŏ m ŏ m ŏ m d f d f d f d f d d R o m d d d o m R \ ŏ m d f d s m m o ŏ o m d f ŏ m d s d s ŏ m d f ŏ m d f o m d s d o d f ŏ d s o d f ŏ d s o d f d ŏ d s d o d s o m R \ d f o m m m ŏ d f ŏ m d s ŏ d s o d f o d s o o m R \ ŏ m o d f ŏ d f ŏ m ŏ ŏ d s m m m ŏ m d s o d s o d s f f m m d s o m o m ŏ d f ŏ d f s s d f ŏ m m d f o m s d o m ŏ d f m s s s d o m d f s o m ŏ d f d o d f ŏ o d f m s s s ŏ d d f ŏ m f d d s o d s ŏ m m d ŏ m f f f f ŏ m d s o d s d o ŏ d s m ŏ d s o d f f f Nur Matrix, da: r = r = r D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 25/65
54 Kompositionsmatrix Die Eintrage muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle Möglichen Lagen für A B B d C A B D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 26/65
55 Kompositionsmatrix Die Eintrage muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle Möglichen Lagen für A B B d C A B C D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 26/65
56 Kompositionsmatrix Die Eintrage muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle Möglichen Lagen für A B B d C A B C D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 26/65
57 Kompositionsmatrix Die Eintrage muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle Möglichen Lagen für A B B d C A B C Möglichkeiten: A {, o, m, s, d} C. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 26/65
58 Kompositionsmatrix Die Eintrage muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle Möglichen Lagen für A B B d C A B C Möglichkeiten: A {, o, m, s, d} C. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 26/65
59 Kompositionsmatrix Die Eintrage muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle Möglichen Lagen für A B B d C A B C Möglichkeiten: A {, o, m, s, d} C. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 26/65
60 Kompositionsmatrix Die Eintrage muss/kann man per Hand ausrechnen. Beispiel: d Betrachte alle Möglichen Lagen für A B B d C A B C Möglichkeiten: A {, o, m, s, d} C. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 26/65
61 Komposition der Mengen Beispiel: Aus A {m, d} B B {f, d} C kann man schließen Allgemein gilt: A (m f m d d f d d) C = A {d, s, o} {d, s, o} {d} {d} C = A {d, s, o} C Satz Seien r 1,..., r k, r 1,..., r k Allensche Basisrelationen. Dann gilt {r 1,..., r k } {r 1,..., r k } = {r i r j i = 1,..., k, j = 1,..., k } D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 27/65
62 Inverse für Mengen Inversion für Mengen von Basisrelationen Sei S = {r 1,..., r k } R. Dann sei Desweiteren sei r = r Damit gilt: Satz S = { r 1,..., r k }. Für S R gilt: A S B und B S A sind äquivalente Allensche Formeln. Satz.(r 1 r 2 ) = r 2 r 1. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 28/65
63 Allenscher Abschluss für Konjunktive Allen-Constraints Eingabe: Konjunktives Allen-Constraint Ausgabe: Allenscher Abschluss Verfahren: Berechne Fixpunkt bezüglich der Regeln (auf Subformeln): Vereinfachungen: ( bedeutet ersetze ) A R 1 B A R 2 B A (R 1 R 2 ) B A B False A R B True A R A False, wenn R. A R A True, wenn R. Folgerungen: ( bedeutet füge hinzu ) A R B B R A, wobei R := { r1,..., r n } für R = {r 1,..., r n } A R 1 B B R 2 C A (R 1 R 2 ) C. und übliche aussagenlogische Umformungen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 29/65
64 Allenscher Abschluss für alle Allen-Constraints Für konjunktive Allensche Constraints: Wende die Regeln des Allenschen Kalküls solange an, bis sich keine neuen Beziehungen mehr herleiten lassen (Fixpunkt) Disjunktive Constraints: Wende Fixpunktiteration auf jede Kommponente an, und vereinfache anschließend Komponente = 1: Disjunktiver Constraints ist äquivalent zu 1 Komponente = 0: Kann gesrtrichen werden Alle Komponenten = 0: Disjunktiver Constraint widersprüchlich (Inkonsistenz) D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 30/65
65 Beispiel Zutaten besorgen, m Teig m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 31/65
66 Beispiel Zutaten besorgen, m Teig, m m, m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen,, d, f, s, s, o, m D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 31/65
67 Beispiel (2) Zutaten besorgen, m Teig, m m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 32/65
68 Beispiel (2) Zutaten besorgen, m Teig, m m Sahne schlagen s, d Belag s, s, d, ŏ,, f Teig ruhen lassen D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 32/65
69 Korrektheit, Vollständigkeit Wir sagen, der Allen-Kalkül ist korrekt, wenn bei F F stets gilt: F und F sind äquivalente Formeln herleitungs-vollständig, wenn er für jedes konjunktive Constraint alle semantisch folgerbaren Einzel-Relationen herleiten kann. widerspruchs-vollständig, wenn er für jedes konjunktive Constraint herausfinden kann, ob es widersprüchlich ist (Herleitung der 0) D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 33/65
70 Fragestellungen Wie aufwändig ist die Berechnung des Abschlusses der Allenschen Relationen? Ist der Allen-Kalkül korrekt? Ist die Berechnung herleitungs- bzw- widerspruchs-vollständig? Was ist die Komplexität der Logik und der Herleitungsbeziehung, evtl. für eingeschränkte Eingabeformeln? Wie kann man den Allenschen Kalkül für aussagenlogische Kombinationen von Intervallformeln verwenden? D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 34/65
71 Implementierung der Allen-Vervollständigung Wesentliche Regel: Transitivitätsregel A R 1 B B R 2 C A R 1 R 2 C. Konjunktive Allen-Constraints (schon zusammengefasst, Intervalle A 1,..., A n ): i,j {1,...,n} A i R i,j A j Nicht vorhandene Relation werden auf R gesetzt. Abschluss kann mit einer n n-tabelle gemacht werden Sobald irgendwo auftaucht, kann man abbrechen Ähnlich zum Warshall-Algorithmus Bei disjunktiven Allen-Constraints: bearbeite die Allen-Constraints separat und fasse dann zusammen. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 35/65
72 Beispiel für das Eingabearray Zutaten {, m} TeigZub Teigruht { m} TeigZub Sahne {s, d} Belagzub Belagzub {, s, s, d, f, ŏ} TeigRuht R i,j (1) Zutaten (2) Teigzub (3) Teigruht (4) Sahne (5) Belagzub (1) Zutaten { } {, m} R R R (2) Teigzub {, m} { } {m} R R (3) Teigruht R { m} { } R {, d, f, s, s, o} (4) Sahne R R R { } {d, s} (5) Belagzub R R {, s, s, d, f, ŏ} { d, s} { } D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 36/65
73 Algorithmus 1 Algorithmus Allenscher Abschluss, Variante 1 Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Algorithmus: repeat change := False; for i := 1 to n do for j := 1 to n do for k := 1 to n do R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R ; change := True; endif endfor endfor endfor until change=false D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 37/65
74 Algorithmus 1 Algorithmus Allenscher Abschluss, Variante 1 Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Algorithmus: repeat change := False; for i := 1 to n do for j := 1 to n do for k := 1 to n do R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R ; change := True; endif endfor endfor endfor until change=false R i,k R k,j i k j R i,j D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 37/65
75 Erläuterung R := R i,j (R i,k R k,j ) entspricht gerade A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,j A j D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 38/65
76 Erläuterung R := R i,j (R i,k R k,j ) entspricht gerade A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,j A j A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,k R k,j A j A i R i,j A j D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 38/65
77 Erläuterung R := R i,j (R i,k R k,j ) entspricht gerade A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,j A j A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,k R k,j A j A i R i,j A j D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 38/65
78 Erläuterung R := R i,j (R i,k R k,j ) entspricht gerade A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,j A j A i R i,k A k A k R k,j A j A i R i,k R k,j A j A i R i,j A j A i R i,k A k A k R k,j A j A i (R i,k R k,j ) R i,j A j D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 38/65
79 Eigenschaften Algorithmus 1 Ähnlich zu Warshall-Algorithmus, aber iteriert (notwendig!) solange bis Fixpunkt erreicht ist Korrekt: Offensichtlich Laufzeit: Im worst-case O(n 5 ) Begründung: 3 for-schleifen: O(n 3 ) repeat-schleife: Im schlechtesten Fall wird ein R i,j um eins verkleinert pro R i,j maximal 13 Verkleinerungen Es gibt n 2 Mengen R i,j Daher: repeat-schleife wird maximal O(n 2 ) mal durchlaufen ergibt: O(n 5 ) D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 39/65
80 Algorithmus 2 Algorithmus Allenscher Abschluss, Variante 2 Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Algorithmus: queue := {(i, k, j) 1 i n, 1 k n, 1 j n}; while queue do Wähle und entferne Tripel (i, k, j) aus queue; R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R; queue := queue ++ {(i, j, m) 1 m n} ++ {(m, i, j) 1 m n} endif endwhile D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 40/65
81 Algorithmus 2 Algorithmus Allenscher Abschluss, Variante 2 Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Algorithmus: queue := {(i, k, j) 1 i n, 1 k n, 1 j n}; while queue do Wähle und entferne Tripel (i, k, j) aus queue; R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R; queue := queue ++ {(i, j, m) 1 m n} ++ {(m, i, j) 1 m n} endif endwhile R i,k R k,j i k j R i,j D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 40/65
82 Algorithmus 2 Algorithmus Allenscher Abschluss, Variante 2 Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Algorithmus: queue := {(i, k, j) 1 i n, 1 k n, 1 j n}; while queue do Wähle und entferne Tripel (i, k, j) aus queue; R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R; queue := queue ++ {(i, j, m) 1 m n} ++ {(m, i, j) 1 m n} endif endwhile R i,j R j,m i j m R i,m R i,k R k,j i k j m R i,j R m,i i R m,i R i,j j D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 40/65
83 Eigenschaften Algorithmus 2 Korrektheit: Bei Änderung von R i,j werden alle Nachbarn, die evtl. neu berechnet werden müssen, in queue eingefügt D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 41/65
84 Eigenschaften Algorithmus 2 Korrektheit: Bei Änderung von R i,j werden alle Nachbarn, die evtl. neu berechnet werden müssen, in queue eingefügt Laufzeit: Am Anfang: queue enthält n 3 Tripel while-schleife entfernt pro Durchlauf ein Element aus queue Einfügen in queue in der Summe: R i,j kann höchstens 13 mal verändert werden. D.h. höchstens n 2 13 mal wird eingefügt Einmal einfügen: 2 n Tripel werden hinzugefügt Insgesamt: Es werden höchstens 13 2 n n 2 Tripel zu queue hinzugefügt Ergibt O(n 3 ) Durchläufe der while-schleife (von denen maximal O(n 2 ) Durchläufe O(n) Laufzeit verbrauchen und die restlichen O(n) in konstanter Laufzeit laufen) D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 41/65
85 Eigenschaften Algorithmus 2 Korrektheit: Bei Änderung von R i,j werden alle Nachbarn, die evtl. neu berechnet werden müssen, in queue eingefügt Laufzeit: Am Anfang: queue enthält n 3 Tripel while-schleife entfernt pro Durchlauf ein Element aus queue Einfügen in queue in der Summe: R i,j kann höchstens 13 mal verändert werden. D.h. höchstens n 2 13 mal wird eingefügt Einmal einfügen: 2 n Tripel werden hinzugefügt Insgesamt: Es werden höchstens 13 2 n n 2 Tripel zu queue hinzugefügt Ergibt O(n 3 ) Durchläufe der while-schleife (von denen maximal O(n 2 ) Durchläufe O(n) Laufzeit verbrauchen und die restlichen O(n) in konstanter Laufzeit laufen) Algorithmus 2 hat worst-case-laufzeit O(n 3 ) D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 41/65
86 Allenscher Kalkül: Korrektheit Korrekheit Der Allensche Kalkül ist korrekt, d.h. wenn F F, dann sind F und F äquivalente Formeln Beweis (Skizze): Verwende die Semantik - Aussagenlogische Umformungen: klar - A R 1 B A R 2 B ist äquivalent zu A (R 1 R 2 ) B: Sei R 1 = {r 1,..., r k }, R 2 = {r 1,..., r k }. A R 1 B A R 2 B = ( Ar ib) ( A r i B) {(A r i B) (A r i B) 1 i k, 1 i k } (ausmultiplizieren) {(A r i B) (A r i B) 1 i k, 1 i k, r i = r i } (Basisrelationen disjunkt) = A (R 1 R 2) B - A B 0 und A R B 1 (klar) D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 42/65
87 Allenscher Kalkül: Korrektheit (2) Beweis (Fortsetzung) - A R A ist äquivalent zu 0, wenn R und A R A ist äquivalent zu 1, wenn R: Jede Interpretation bildet I(A) eindeutig auf ein Intervall ab. -Transitivitätsregel: Basisrelationen: Man muss die Korrekheit der Matrix prüfen Für mehrelementige Mengen: A {r 1,..., r k } B B {r 1,..., r k } C = (A r 1 B... A r k B) (B r 1 C... B r k C) (ausmultiplizieren) {(A r i B B r i C) 1 i k, 1 i k } (Basis) {(A r i B B r i C A ri r i C) 1 i k, 1 i k } A {r 1,..., r k } B B {r 1,..., r k } C {(A r i r i C) 1 i k, 1 i k } = A {r 1,..., r k } B B {r 1,..., r k } C A {r1,..., r k} {r 1,..., r k } C D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 43/65
88 Partielle Vollständigkeit Der Allensche Kalkül ist vollständig in eingeschränktem Sinn: Satz (Pfadkonsistenz) Der Allensche Abschluss ist 3-konsistent: A R AB B R AC C R CB Jede Belegung I der Intervalle A und B mit I(A R AB B) = True kann auf das Intervall C erweitert werden, so dass I(A R BC C) = True = I(C R AC B). Es gilt nicht (globale Konsistenz): Jede Belegung von k Knoten kann auf k + 1 Knoten unter Erhaltung der Erfüllbarkeit erweitert werden D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 44/65
89 Unvollständigkeit des Allen-Kalküls Leider gilt: Theorem Der Allensche Kalkül ist nicht herleitungs-vollständig. Beweis: Gegenbeispiel: Für den Allenschen Constraint: D {o} B D {s, m} C D {s, m} A A {d, d} B C {d, d} B ist der Allensche Abschluss: D {o} B D {s, m} C D {s, m} A A {d, d} B C {d, d} B C {s, s,, o, ŏ, d, d, f, f} A Aber in diesem Fall ist C {f, f, o, ŏ} A nicht möglich (nächste Folie) D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 45/65
90 Beweis (Fortsetzung) Die Lage von B zu D ist eindeutig. Möglichkeiten wie A zu D und C zu D: 4 Fälle D D B C A Fall (1): D s C und D s A C { s, s, } A D B C A B C A Fall (2): D m C und D s A C {d} A D B C A Fall (3): D s C und D m A Fall (4): D m C und D m A C { d} A C {s, s, } A C {f, f, o, ŏ} A nicht möglich! D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 46/65
91 Unvollständigkeit des Allen-Kalküls (2) Ebenso gilt: Theorem Der Allensche Kalkül ist nicht widerlegungsvollständig. Beweis: Gegenbeispiel: Leichte Abwandlung des Beispiels davor Füge A {f, f} C hinzu, d.h. man erhält das Constraintnetzwerk: D s, m o B s, m d, d d, d A f, f C Allenscher Abschluss: Verändert das Netzwerk nicht, aber es ist widersprüchlich! D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 47/65
92 Konsequenzen der Unvollständigkeit Frage: Ist Allen-Constraint F widersprüchlich? Abschluss = 0, dann JA Abschluss = 1, dann NEIN Abschluss weder 0 noch 1: man weiß nichts Frage: Ist Allen-Constraint F erfüllbar? Abschluss = 0, dann NEIN Abschluss = 1, dann JA (Tautologie) Abschluss weder 0 noch 1: man weiß nichts D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 48/65
93 Eindeutige Allen-Constraints Definition Ein Allensches Constraint nennt man eindeutig, wenn für alle Paare A, B von Intervallkonstanten gilt: Das Constraint enthält genau eine Beziehung A r B, wobei r eine der dreizehn Basisrelationen ist. Es gilt: Satz Der Allensche Abschluss eines eindeutigen Allenschen Constraints F ist entweder 0, oder wiederum F. Beweis: Jede Transitivitätsregelanwendung leitet her, oder lässt Eintrag unverändert. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 49/65
94 Eindeutige Allen-Constraints (2) Satz (Valdés-Pérez, 1987) Ein eindeutiges Allensches Constraint ist erfüllbar, gdw. der Allensche Kalkül bei Vervollständigung das Constraint nicht verändert, d.h. wenn es ein Fixpunkt ist. Beweisidee: Zeige, wenn Allen-Kalkül kein Widerspruch entdeckt, dann ist Constraint erfüllbar. Es gibt dann eine totale Ordnung der Intervallenden Korollar Auf eindeutigen Allen-Constraints ist der Allen-Kalkül korrekt und vollständig D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 50/65
95 Eindeutige Allen-Constraints: Menge Zu jedem Allenschen Constraint C kann man die Menge aller zugehörigen eindeutigen Allenschen Constraints D definieren, wobei gelten muss: Wenn A r B in D vorkommt und A R B in C, dann gilt r R. Lemma Ein Allen-Constraint ist erfüllbar, gdw. es ein zugehöriges eindeutiges Constraint gibt, das erfüllbar ist. Beweis: Klar D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 51/65
96 Vollständiges Verfahren Algorithmus Erfüllbarkeitstest für konjunktive Allensche Constraints Eingabe: (n n)-array R, mit Einträgen R i,j R Ausgabe: True (Widerspruch) oder False (erfüllbar) function AllenSAT(R): R := AllenAbschluss(R); if R i,j mit R i,j = then return True endif;// Widerspruch if R i,j gilt: R i,j = 1 then return False // eindeutig und erfüllbar else wähle R i,j mit R i,j = {r 1, r 2,...}; R l := R ; R l i,j := {r 1};// kopiere R und setze (i, j) auf r 1 R r := R ; R r i,j := R i,j \ {r 1};// kopiere R und setze (i, j) auf r 2,... return (ASAT(R l ) ASAT(R r )); endif Der Algorithmus ist korrekt und vollständig. Die Laufzeit ist im worst-case exponentiell. Mittlere Verzweigungsrate: 6,5 D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 52/65
97 Komplexität des Problems Satz Das Erfüllbarkeitsproblem für konjunktive Allenschen Constraints ist N P-vollständig. Beweis: Problem ist in N P: Rate lineare Reihenfolge der Intervallanfänge und -enden D.h. Ordnung auf allen X a, X e für alle Intervalle X Verifiziere ob Reihenfolge das Constraint erfüllt Verifikation geht in Polynomialzeit D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 53/65
98 Beweis (Fortsetzung) N P-Härte: Reduktion von 3-Färbbarkeit auf Erfüllbarkeit von Allen-Constraints 3-Färbbarkeit: Kann man die Knoten eines ungerichteten Graphen mit drei Farben färben, so dass benachbarte Knoten stets verschiedene Farben haben? D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 54/65
99 Beweis (Fortsetzung) Für G = (V, E) erzeuge: D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 55/65
100 Beweis (Fortsetzung) Für G = (V, E) erzeuge: (Rot m Gruen) (Gruen m Blau) Rot Gruen Blau D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 55/65
101 Beweis (Fortsetzung) Für G = (V, E) erzeuge: (Rot m Gruen) (Gruen m Blau) Rot Gruen Blau Für die Knoten: v i V : v i {m,, m} Gruen Rot Gruen Blau v i v i v i D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 55/65
102 Beweis (Fortsetzung) Für G = (V, E) erzeuge: (Rot m Gruen) (Gruen m Blau) Rot Gruen Blau Für die Knoten: v i V : v i {m,, m} Gruen Rot Gruen Blau v i v i v i Für die Kanten: (v i, v j ) E : v i {m, m,, } v j v j v i v j D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 55/65
103 Beweis (Fortsetzung) Daher gilt: Der Graph ist dreifärbbar, gdw. die Allenschen Relationen erfüllbar sind. Die Zuordnung ist: v i hat Farbe grün gdw. v i Gruen v i hat Farbe rot gdw. v i m Gruen v i hat Farbe blau gdw. v i m Gruen Übersetzung ist in Polynomialzeit durchführbar, daher Erfüllbarkeit N P-Hart D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 56/65
104 Folgerungen Jeder vollständige Algorithmus braucht Exponentialzeit. (solange P N P) Die polynomielle Allen-Vervollständigung muss unvollständig sein D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 57/65
105 Varianten Es gibt polynomielle, vollständige Verfahren für Allensche Constraints mit eingeschränkter Syntax Eine haben wir bereits gesehen: Eindeutige Allen-Constraints D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 58/65
106 Varianten (2) Neue Variante: Erlaube nur Allensche Relationen, so dass: Übersetzung in Bedingungen über die Endpunkte nur Konjunktionen von der Form x < y oder x = y Dann gilt: Man braucht keine Fallunterscheidung Passender Satz von Relationen: Alle Basisrelationen, {d, o, s}, und {ŏ, f, d} und deren Konverse. d.h. { d, ŏ, s}, und {o, f, d}. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 59/65
107 Varianten (3) Z.B. A{d, o, s}b als Ungleichung über den Endpunkten: A B Wenn A = [AA, AZ], B = [BA, BZ], dann entspricht obige Relation gerade AA < AZ, BA < BZ, AZ < BZ, BA < AZ D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 60/65
108 Varianten (4) Auf solchen Constraints kann man Erfüllbarkeit in Polynomialzeit testen Transitiver Abschluss der Endpunktbeziehungen anschließend lineare Reihenfolge mit topologischem Sortieren Es gilt aber sogar Satz (Nebel, Bürckert, 1995) Auf den so eingeschränkten Allen-Constraints ist der Allensche Kalkül korrekt und vollständig. D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 61/65
109 Hintergrund Diese spezielle Klasse lässt sich als Grund-Hornklauseln darstellen, d.h. Klauseln mit maximal einem positiven Literal. Für Grund-Hornklauselmengen ist Erfüllbarkeit in polynomieller Zeit testbar. Man hat Fakten in der Form a < b und c = d, wobei a, b, c, d unbekannte Konstanten sind. Es gibt auch Hornklauseln, die von der Symmetrie und Transitivität stammen: x < y y < z x < z x = y y = z x = z x = y y = x x < y y = z x < z x = y y < z x < z D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 62/65
110 Hintergrund (2) Man kann weitere Allensche Constraints zulassen, und behält die Vollständigkeit des Allen-Kalküls: Alle Constraints deren Übersetzung in Constraints über Endpunkten Hornklauseln ausschließlich mit Literalen a b, a = b und (a = b) erzeugt. Von den 2 13 = 8192 möglichen Beziehungen erfüllen 868 diese Eigenschaft Man kann diese auch für die Fallunterscheidung des exponentiellen Verfahrens verwenden. Vorteil: Kleinere mittlere Verweigungsrate (Statt 6,5 nur 2,533 (Nebel 1997)) D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 63/65
111 Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen heizt Kuchen im Ofen Kuchen kühlt aus Kuchen entnehmen Zutaten {<,m} TeigZub, Zutaten {<,m} TeigRuht, Zutaten {<,m} BelZub, Zutaten {<,m} Sahne, TeigRuht {m} TeigForm, TeigForm {<,m} BelForm, BelForm {<,m} Backen, Backen {f} Heizen, Sahne {s,d} BelZub, Heizen {S,o,>} TeigRuht, Heizen {<,m} Kuehlen, Kuehlen {<,m} Entnehmen, Zutaten {<,m} Einfett, Zutaten {<,m} Heizen, TeigZub {<,m} TeigForm, BelZub {<,m} BelForm, TeigZub {<,>,m,m} BelZub, Einfett {<,>,m,m} BelZub, Einfett {>,M} TeigZub, Einfett {<,m,m,>} TeigForm, Einfett {<,>,m,m} BelForm, Einfett {<,m} TeigForm, TeigZub {m} TeigRuht, Einfett {>,M} Zutaten, Backen {m} Kuehlen, BelZub {s,s,d,o,=,f} TeigRuht, Einfett {>} Sahne D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 64/65
112 Kuchen backen Zutaten besorgen Teig Teig ruhen lassen Belag Sahne schlagen Backform einfetten Teig in Backform Belag in Backform Ofen heizt Kuchen im Ofen Kuchen kühlt aus Kuchen entnehmen Zutaten {<,m} TeigZub, Zutaten {<,m} TeigRuht, Zutaten {<,m} BelZub, Zutaten {<,m} Sahne, TeigRuht {m} TeigForm, TeigForm {<,m} BelForm, BelForm {<,m} Backen, Backen {f} Heizen, Sahne {s,d} BelZub, Heizen {S,o,>} TeigRuht, Heizen {<,m} Kuehlen, Kuehlen {<,m} Entnehmen, Zutaten {<,m} Einfett, Zutaten {<,m} Heizen, TeigZub {<,m} TeigForm, BelZub {<,m} BelForm, TeigZub {<,>,m,m} BelZub, Einfett {<,>,m,m} BelZub, Einfett {>,M} TeigZub, Einfett {<,m,m,>} TeigForm, Einfett {<,>,m,m} BelForm, Einfett {<,m} TeigForm, TeigZub {m} TeigRuht, Einfett {>,M} Zutaten, Backen {m} Kuehlen, BelZub {s,s,d,o,=,f} TeigRuht, Einfett {>} Sahne Allen-Programm: Max. #Modelle in der Eingabe : Max. #Modelle nach Allen-Abschluss: Anzahl Modelle : Allenscher Abschluss genau? : True D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 64/65
113 Ausblick Qualitatives räumliches Schließen Eindimensional: Genau die Allensche Intervalllogik Zweidimensional: Region-Connection-Calculus (RCC8), (Randell, Cui & Cohn, 1992) X Y X Y X Y X Y X DC Y disconnected X EC Y externally connected X TPP Y tangential proper part X NTPP Y non-tangential proper part X Y X Y Y X Y X X PO Y partially overlapping X EC Y equal X TPPi Y tangential proper part inverse X NTPPi Y non-tangential proper part inverse D. Sabel KI SoSe 2014 Allens Zeitlogik 65/65
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