Qualitatives zeitliches Schließen

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1 Kapitel 6 Qualitatives zeitliches Schließen 6.1 llens Zeitintervall-Logik Um Repräsentationen von Zeit kommt man nicht herum. Die Modallogikvarianten können Zeitpunkte inklusive der Zustände repräsentieren und erlauben Schlussfolgerungen aus gegebenen ussagen. Die llensche Zeitlogik macht ussagen über die relativen Lagen von Zeitdauern bzw. Zeitintervalle. Sinnvoll ist der Einsatz, wenn man nur die Information hat, wie verschiedene ktionen, die einen gewisse Zeit dauern, zeitlich zueinander liegen können, und man daraus Schlussfolgerungen herleiten will. Sind die Intervalle genau bekannt, dann braucht man diese Logik nicht. eispiel Wir nehmen ein Teil eines Rezeptes zum pfelkuchenbacken. 1: Hefeteig zubereiten 2: Hefeteig gehen lassen 3: Äpfel schälen und in Scheiben schneiden 4: lech einfetten 5: Teig auf das lech 6: Äpfel auf den Kuchen setzen : ackofen heizt 11: Kuchen im ackofen backen Da wir annehmen, dass nur eine Person in der Küche ist, können wir folgende eziehungen angeben: 1

2 KI, SS 2011, Kap. llen 2 2 folgt direkt auf 1 3 ist später als 1 3 und 4 sind nicht gleichzeitig 1 und 4 sind nicht gleichzeitig 11 ist während 10, 11 und 10 enden gleichzeitig 11 ist nach 3 11 ist nach 4 Hier kann man z.. mit Transitivität schließen, dass 11 nach 1 stattfindet. Man kann auch ohne Widerspruch hinzufügen, dass 3 nach 4 stattfindet (d.h. man kann sequentialisieren). Das hat Ähnlichkeiten zu Job Shop Scheduling Problemen, bei denen aber feste Zeitdauern pro ktion und usschlusskriterien mittels benutzter Ressourcen festgelegt werden. uch bhängigkeiten von ktionen kann man in JSSPs formulieren. Der llensche Intervall-Kalkül baut auf Zeitintervallen und binären Relationen zwischen den Intervallen auf, die deren zeitliche Lage beschreiben. Die Interpretation der Intervalle ist in IR vorstellen, aber in der Repräsentation der llen-logik kann man keine exakten Zeiten angeben und auch keine Zeitdauern formulieren. Die asis des Kalküls ist die Untersuchung der möglichen relativen Lagen zweier Intervalle = [,Z], = [,Z], wobei, Z,, Z reelle Zahlen sind und die Intervalle positive Länge haben. Eine vollständige und disjunkte Liste der Möglichkeiten ist in folgender Tabelle enthalten, wobei man noch die Fälle hinzunehmen muss, in denen, vertauscht sind. edingung bkürzung ezeichnung Z < before Z = m meets < < Z < Z o overlaps = < Z < Z s starts < < Z = Z f finishes < < Z < Z d during =, Z = Z equal

3 KI, SS 2011, Kap. llen 3 ls ild kann man die llenschen Relationen folgendermaßen illustrieren: before meets during overlaps finishes start equal Nimmt man die (relationalen) Inversen dazu, dann hat man die 13 llenschen Relationen zwischen Zeitintervallen. Die Inversen bezeichnet man mit m, ŏ, s, f, d, im Fall von mit und die relationale Inverse von ist selbst, da diese Relation symmetrisch ist. D.h. die 13 llenschen asis-relationen sind: {,, m, o, s, d, f,, m, ŏ, s, d, f}. Diese Menge bezeichnen wir mit R. Die llenschen asis-relationen sind paarweise disjunkt. D.h. r 1 r 2 r 1 = r 2. Die llen-zeitlogik kann folgende llen-formeln bilden: atomare ussagen: r wobei, Intervallnamen sind und r eine der llensche asis-relation ist. aussagenlogische Kombinationen von atomaren ussagen. Die Semantik dazu bildet Intervallnamen auf nichtleere, reelle Intervalle ab. Formeln sind wahr, wenn sie unabhängig von der exakten Zuordnung immer wahr sind. D.h. wenn für alle bbildungen von Intervallnamen auf nichtleere, reelle Intervalle die Formel stets wahr ist. bkürzende Schreibweise Will man mehrere mögliche Lagebeziehung zwischen 2 Intervallen ausdrücken, so kann man dies disjunktiv machen. z.. s f Dies bedeutet: ktion ist früher als, oder, starten gleichzeitig oder enden gleichzeitig. Diese Disjunktion kann man auch verkürzt darstellen als {, s, f}. Wir verwenden diese Schreibweise ab jetzt in der folgenden Form: S, wobei S R. Damit kann man alle Disjunktionen von Einzel-Relationen zwischen zwei Intervallen, darstellen.

4 KI, SS 2011, Kap. llen 4 Dies ergibt eine nzahl von 2 13 verschiedenen (unpräzisen) Relationsbeziehungen zwischen Zeitintervallen, wobei man diese Relationen einfach durch eine höchstens 13-elementige Disjunktion bzw. deren bkürzung darstellen kann. Hier ist auch dabei, die unmögliche Relation, und, die Relation, die alles erlaubt Vereinfachungen Wir argumentieren jetzt, dass man llen-formeln viel einfacher als Constraints, d.h. als Konjunktion von atomaren ussagen, unter enutzung der obigen bkürzungen, beschreiben kann. Dazu stellen wir einige Vereinfachungen vor. Ein atomare ussage der Form r kann man immer vereinfachen zu 0, 1 (true, bzw. false): r 0, wenn r und 1. Weitere Vereinfachungen sind: Negationszeichen kann man nach innen schieben. Eine Formel ( R ) kann man zu (R \ R) ) umformen. Eine Unter-Formel der Form R 1 R 2 kann man durch (R 1 R 2 ) ersetzen und eine Unter-Formel der Form R 1 R 2 kann man durch (R 1 R 2 ) ersetzen. atomare Formeln der Form kann man durch 0 ersetzen und R durch 1. Man kann alle aussagenlogische Umformungen verwenden bis man eine Disjunktion von Konjunktionen von atomaren Constraints hat. Z.. {, s, o} {, s, o} entspricht {s, o}. Das Ergebnis ist eine i.a. kleinere Formel, die eine Disjunktion von Konjunktionen von atomaren llen-ussagen ist. Eine Konjunktion von atomaren llen-ussagen nennt man llen-constraint, und die Disjunktion von llen- Constraints ein disjunktives llen-constraint Inferenzen des llenschen Kalküls Hier setzen die Regeln des llenschen Kalküls an, der aus diesen ngaben weitere eziehungen zwischen Intervallen folgern kann. Die wesentlichen Regeln des llenschen Kalküls betreffen eziehungen zwischen 3 Intervallen (Intervallnamen). Man kann beispielsweise aus C mittels Transitivität von die neue eziehung C schließen. us C kann man dagegen nichts neues über die relative Lage von zu C schließen: alles (im Sinne der llenschen Relationen) ist noch möglich.

5 KI, SS 2011, Kap. llen 5 Da die Menge der Kombinationen endlich ist, kann man alle möglichen neuen Relationen als Verknüpfungen R 1 R 2 sich bereits erstellen und damit weitere Relationen zwischen Intervallen herleiten. Das kann man vor Start des Kalküls durchführen und in einer Matrix abspeichern. Wir geben die Matrix als (ohne die Einträge zu ) an (siehe Tabelle unten). Die Einträge die mit R \ beginnen, bedeuten das Komplement der nachfolgenden Relationen. d d o ŏ m m s s f f R o m o m o m o m d s d s d s d s R ŏ m ŏ m ŏ m ŏ m d f d f d f d f d d R o m d d d o m d f o ŏ o m d f ŏ m d s ŏ m d s R \ m m d s ŏ m d f ŏ m d f o m d s d o d f ŏ d s o d f ŏ d s o d f d ŏ d s d o d s o m R \ d f o m m m ŏ d f ŏ m d s R \ m m ŏ d s o d f o d s o o m ŏ m o d f ŏ d f ŏ m ŏ ŏ d s m ŏ m d s o d s o d s f f m m d s o o m m ŏ d f ŏ d f s s d f ŏ m m d f o m s d o m ŏ d f m s s s d o m d f s o m d f f d ŏ d f d o d f ŏ o d f m s s s ŏ d ŏ m d s o d s ŏ m m d ŏ m f f f f ŏ m d s o d s d o ŏ d s m ŏ d s o d f f f bbildung 6.1: Die Kompositionsmatrix der llenschen Relationen

6 KI, SS 2011, Kap. llen 6 eispiele für Einträge in der Matrix sind: eispiel Wenn d C, dann ist {, o, m, s, d} C: C Man sieht, dass es genau die Möglichkeiten, o, m, s, d zwischen und C gibt. Hat man mehrere Elementarrelationen, dann kann man die Kombination der Elementarrelationen bilden, das entsprechende Kompositions-Resultat in einer Tabelle ablesen, und dann die Vereinigung bilden: z.. {m, d} {f, d} C erlaubt auf folgende Relation zu schließen: (m f m d d f d d) C. Hier ergibt sich {d, s, o} {d, s, o} {d} {d} C. Das bedeutet: {d, s, o} C. Man kann sich auf die Konjunktion von Relationsbeziehungen beschränken, d.h. auf (konjunktive) llen-constraints, da man die Disjunktionen unabhängig bearbeiten kann. erechnungen des llenschen bschlusses eines Constraints die aussagenlogischen Regeln dürfen verwendet werden. R 1 R 2 (R 1 R 2 ), 0, R 1, R 0, wenn R. R 1, wenn in R. R R. Im letzten Fall ist auszunutzen, dass. auf einer Menge von Elementarrelationen distributiv auf alle verteilt wird:.({r 1, r 2 }) = { r 1, r 2 }. Man nutzt dann noch aus, dass r = r, und dass =, und dass =, =. Es gilt auch.(r 1 r 2 ) = r 2 r 1. Ist R 1 R 2 C gegeben, dann berechne die Komposition R 3 der Relationen und schließe auf R 3 C. Die erechnung führt man zurück auf die erechnung der Komposition der Elementarrelationen: {r 1,..., r k } {r 1,..., r k } C ist R, wobei R als {r i r j i = 1,..., k, j = 1,..., k } berechnet werden kann. Diese kann man aus obiger Tabelle ablesen

7 KI, SS 2011, Kap. llen 7 Ist die Eingabe eine rein konjunktive Formel, dann kann man mit Fixpunktiteration ein Resultat erzielen, und dann auf jede disjunktive Komponente den llen-kalkül anwenden. Ist die Konstante 0 in einer Konjunktion, dann ist die entsprechende Konjunktion falsch. Sind alle Konjunktionen in einer Disjunktion falsch, dann hat man eine Inkonsistenz entdeckt. eispiel Wir betrachten nochmal das eispiel des Kuchenbackens: 1: Hefeteig zubereiten 2: Hefeteig gehen lassen 3: Äpfel schälen und in Scheiben schneiden 4: lech einfetten 5: Teig auf das lech 6: Äpfel auf den Kuchen setzen. Relationen zwischen 1,..., 6, wenn mehrere Personen eine parallelisierte Verarbeitung ermöglichen: 1 m 2 2 {m, } 5 4 {m, } 5 3 {m, } 6 5 {m, } 6 Neue Relationen mittels des llen Kalküls: 1 { } 5, 2 { } 5, 2 { } 5 Ein übersichtliches ild der Relationen ist: Wenn wir annehmen, dass es nur eine Person ist, gibt es keine parallelen ktionen:

8 KI, SS 2011, Kap. llen 8 1 m 2 2 {m, } 5 4 {m, } 5 3 {m, } 6 5 {m, } 6 1 {, m, m, } 3 1 {, m, m, } 4 1 {, m, m, } 5 3 {, m, m, } 4 3 {, m, m, } 4 Eine Möglichkeit, die man durch Hinzufügen von Sequentialisierung bekommt ist im ild dargestellt: Eine der Möglichkeiten (Pfeil bedeutet danach ) Untersuchungen zum Kalkül Zunächst eine Definition, wann ein llen-constraint erfüllbar ist. Hierbei wird auf die Semantik der Intervalle als Intervalle von reellen Zahlen zurückgegriffen. Definition Semantik Sei F ein llensches Constraint. F ist erfüllbar, gdw: es gibt eine elegung der Intervallkonstanten mit reellen Intervallen, so dass die Formel nach uswertung den Wahrheitswert 1 ergibt. F ist unerfüllbar (bzw. widersprüchlich), gdw: es gibt keine elegung der Intervallkonstanten mit reellen Intervallen, so dass die Formel nach uswertung den Wahrheitswert 1 ergibt. Wir sagen, der Kalkül ist korrekt, wenn bei Transformation von F nach F folgendes gilt: F ist erfüllbar, gdw. F ist erfüllbar. Wir sagen, der Kalkül ist herleitungs-vollständig, wenn er für jedes konjunktive Constraint alle semantisch folgerbaren Einzel-Relationen herleiten kann. Wir sagen, der Kalkül ist widerspruchs-vollständig, wenn er für jedes konjunktive Constraint herausfinden kann, ob es widersprüchlich ist, indem der Kalkül irgendwann die atomare Formel falsch hinzufügt. Fragen: Wie aufwendig ist die erechnung des bschlusses der llenschen Relationen?

9 KI, SS 2011, Kap. llen 9 Ist die erechnung vollständig? D.h. gibt es nicht doch noch nicht erkannte Relationsbeziehungen, die aus der Semantik der linearen, reellen Zeitachse aus einer vorgegebenen Formel folgen? Was ist die Komplexität der Logik und der Herleitungsbeziehung, evtl. für eingeschränkte Eingabeformeln? Wie kann man den llenschen Kalkül für aussagenlogische Kombinationen von Intervallformeln verwenden? Komplexität der Implementierung Ein Vervollständigungsalgorithmus kann analog zur erechnung des transitiven bschlusses einer Relation implementiert werden. Methoden des dynamischen Programmierens kann man dazu verwenden. Das ergibt einen polynomiellen ufwand zur Vervollständigung. Korrektheit ussage Der llensche Kalkül ist korrekt. Das muss man mittels der Semantik nachweisen. Partielle Vollständigkeit ussage Der llensche Kalkül ist vollständig in eingeschränktem Sinn: Sind zwei Relationen 1 R R 2 2 gegeben, dann ermittelt der llensche Kalkül alle Relationsbeziehungen, die daraus folgen. Leider gilt: Der llensche Kalkül ist nicht herleitungsvollständig Ein eispiel für die Unvollständigkeit des llenschen Kalküls: Man benötigt 4 Intervallkonstanten,, C, D. Die eziehungen sind: D {o}, D {s, m} C, D {s, m}, {d, d}, C {d, d} Mit der kompositionellen Vervollständigung (nach Umdrehen) kann man aus C { s, m} D, D {s, m} die Relation C {s, s,, o, ŏ, d, d, f, f} schließen. us {d, d}, {d, d} C kann man nur schließen, dass alles möglich ist. Der Schnitt ergibt somit C {s, s,, o, ŏ, d, d, f, f} etrachtet man aber genauer die Möglichkeiten auf der reellen chse, dann sieht man, dass in diesem speziellen Fall die Relation C {f, f, o, ŏ} nicht möglich ist. Im ild sind jeweils die Möglichkeiten für und C eingezeichnet.

10 KI, SS 2011, Kap. llen 10 D C Damit ist die llensche Vervollständigung bezüglich der Semantik einer reellen Zeitachse nicht vollständig. Es können nicht alle Relationen exakt hergeleitet werden. Der llensche Kalkül kann damit auch nicht immer erkennen, ob eine eingegebene Menge von Relationen inkonsistent ist. eispiel Ein eispiel kann man durch bwandlung des Gegenbeispiels zur Vollständigkeit gewinnen: s,m o D s, m d, d C f, f Man sieht, dass die llensche Vervollständigung hier keine weiteren Erkenntnisse bringt: Man muss 12 Möglichkeiten der Komposition prüfen. Jede ergibt nur allgemeinere edingungen als die schon vorhandenen. Somit kann der Kalkül nichts Neues schließen. Insbesondere findet er keinen Widerspruch, obwohl die Menge der Constraints widersprüchlich ist. emerkung Man kann sich bei nfragen an den llen-kalkül nur darauf verlassen, dass die Vervollständigung richtig ist, aber evtl. nicht optimal. Wenn man die Frage stellt: Ist der Constraint C widersprüchlich, so kann man sich nur bei J auf die ntwort verlassen, aber micht bei NEIN. ei der Frage nach der Erfüllbarkeit kann sich dementsprechend nur auf die ntwort NEIN verlassen. d, d

11 KI, SS 2011, Kap. llen Komplexität Komplexität des Problems und des lgorithmus sind zu unterscheiden: Die Komplexität des Problems ist schlechter, denn es gilt: ussage Die Erfüllbarkeit einer Konjunktion von llenschen Relationen ist N P-hart: Die Erfüllbarkeit eines konjunktiven llenschen Constraints ist N P-hart. Zum eweis nehme das N P-vollständige Problem der Drei-Färbbarkeit eines Graphen. Gegeben ein Graph mit Knotenmenge N und Kantenmenge K. Gibt es eine Färbung der Knoten mit drei Farben, so dass benachbarte Knoten verschiedene Farbe haben? Sei eine Instanz gegeben. Dann erzeuge ein llensches Constraint: Sei eine Intervallkonstante. Für jeden Knoten v i N erzeuge eine Intervallkonstante. i. Das llensche Constraint ist definiert durch: v i N : i {m,, m} (v i, v j ) K : i {m, m,, } j Die Übersetzung kann in polynomieller Zeit abhängig von der Größe des Graphen gemacht werden. Es gilt: der Graph ist dreifärbbar, gdw.: die llenschen Relationen erfüllbar sind. Hier macht man die Zuordnung: Wenn v i Farbe 1 hat, dann i Wenn v i Farbe 2 hat, dann i m Wenn v i Farbe 3 hat, dann i m Eine Lösung des llenschen Constraint kann man konstruieren, indem man drei verschiedene Intervalle: 1,, 2 angibt wobei 1 m m 2 und jedes i zu einem der drei äquivalent ist. Diese Übersetzung zeigt die N P-Härte der llenschen Constraints. Es ist auch leicht einzusehen, dass die Erfüllbarkeit eines llensches Constraints in NP ist. Man muss nur ein lineare Reihenfolge aller Werte X a, X e angeben (bzw. raten), wobei X eine Intervallkonstante ist und X a der nfang und X e das Ende. Der Test, ob diese lineare Reihenfolge das Constraint erfüllt, ist dann polynomiell. Damit ist die Erfüllbarkeit von llenschen Constraints N P-vollständig. ls Schlussfolgerung kann man sagen, dass ein vollständiger lgorithmus nach aktuellem Wissenstand mindestens exponentiell sein muss, während der llensche Vervollständigungs-lgorithmus polynomiell aber unvollständig ist.

12 KI, SS 2011, Kap. llen Eine polynomielle und vollständige Variante Man kann Varianten und Einschränkungen der llenschen Constraints suchen, die einen sowohl vollständigen als auch polynomiellen Erfüllbarkeitstest erlauben. Eine Variante ist die Menge der Relationen, die man durch eine Konjunktion von atomaren Ungleichungen der Form x < y oder x = y repräsentieren kann, wobei x, y Endpunkte von Intervallen sind. Hier kommt es darauf an, dass man keine Disjunktionen hat, die eine Fallunterscheidung erzwingen. Einen passenden Satz von Relationen gibt es: lle asisrelationen, {d, o, s}, und {ŏ, f, d} und deren Konverse. d.h. { d, ŏ, s}, und {o, f, d}. eachte, dass man noch weitere dazu nehmen kann. Die Relation {d, o, s} z.. kann man als Ungleichung über den Endpunkten ausdrücken: Wenn = [ 1, 2 ], = [ 1, 2 ], dann entspricht obige Relation der Konjunktion der Ungleichungen: 1 < 2, 1 < 2, 2 < 2, 1 < 2 Eine Konjunktion von solchen Relationsbeziehungen ergibt in der Summe einen Constraint, der eine Konjunktion von Ungleichungen der Endpunkte von Intervallen ist. Diese Konjunktion kann man mittels transitivem bschluss über die Endpunkte von Intervallen vervollständigen. Dies geht in polynomieller Zeit. Wenn man eine Relation der Form X < X erzeugt hat, dann ist der Constraint unerfüllbar. nsonsten ist er erfüllbar, denn die Endpunkte kann man mit topologischem Sortieren in eine lineare Reihenfolge bringen. Insgesamt hat man gezeigt, dass der so definierte Kalkül auf den eingeschränkten Constraints vollständig und polynomiell ist. emerkung Der Hintergrund der speziellen Klasse von llenschen Constraints ist, dass sich diese Klasse als Grund-Hornklauseln darstellen lassen. Hornklauseln sind Klauseln, die maximal ein positives Literal haben. Hierbei ist ein Literal positiv, wenn es ein unnegiertes tom ist. Für aussagenlogische Hornklauselmengen und auch für Grund- Hornklauselmengen gilt, dass deren Erfüllbarkeit in polynomieller Zeit testbar ist. Die notwendige Menge von xiomen und Fakten ist in dem eingeschränkten Fall eine Hornklauselmenge,: Man hat Fakten in der Form a < b und c = d, wobei a, b, c, d unbekannte Konstanten sind. Es gibt auch Hornklauseln, die von der Symmetrie und Transitivität stammen:

13 KI, SS 2011, Kap. llen 13 x < y y < z x < z x = y y = z x = z x = y y = x x < y y = z x < z x = y y < z x < z