Darstellung und Inferenzen fu r zeitliche Zusammenha nge Viele verschiedene Logiken Allens Zeitintervalllogik

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1 Schließen u ber Zeit Einfu hrung in die Methoden der Ku nstlichen Intelligenz Darstellung und Inferenzen fu r zeitliche Zusammenha nge Viele verschiedene Logiken llens Zeitintervalllogik z.. Modallogiken und Temporallogiken (stellen meistens genaue Zeitpunkte dar) PD Dr. David Sabel Wir betrachten die llensche Intervall-Logik SoSe 2014 Stand der Folien: 20. ugust D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik eispiel: Ka se--kuchen backen 2/65 Zeitliche Zusammenha nge ruhen elag besorgen ackform in elag in schlagen einfetten ackform ackform besorgen ruhen elag schlagen ackform einfetten in ackform elag in ackform Ofen heizt Kuchen im Ofen Kuchen ku hlt aus Kuchen entnehmen ktionen entsprechen (nicht-leeren) Zeitintervallen Wissen: nforderungen an die relative Lage der Intervalle Ofen Kuchen im Kuchen Kuchen heizt Ofen ku hlt aus entnehmen D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik Wie kann man dieses Wissen repra sentieren? 3/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 4/65

2 eispiele Welche Schlüsse sich daraus ziehen? besorgen vor bes. zub. Neue eziehungen zwischen ktionen Darf der elag vor dem in die Form? Modell: nordnung der Intervalle, die alle eziehungen erfüllt ruhen direkt nach zub. ruht Wie gelingt der Kuchen? Konsistenz: Gibt es ein Modell? Kann man den Kuchen überhaupt backen? schlagen elag während, aber vorher endend beginnt während elag ruhen schl. elag zub. elag zub. ruht bes. zub. ruht elag zub. schl. D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 5/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 6/65 llensche Intervalllogik Formeln und asisrelationen llensche Formeln: James F. llen: Maintaining knowledge about temporal intervals Commun. CM, 1983 Keine Darstellung von Zeitpunkten, sondern: Darstellung von Zeitintervallen ohne bsolutwerte (weder von wann bis wann noch wie lang) sondern: nur die relative Lage von Intervallen F ::= ( r ) F F 1 F 2 F 1 F 2 wobei, sind Intervallnamen r ist eine der llenschen asisrelationen asisrelationen: Gegeben zwei nichtleere reellwertige Intervalle: a a a e b a b e Wie können und zueinander liegen? Wieviele Möglichkeiten gibt es? D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 7/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 8/65

3 llensche asisrelationen llensche asisrelationen, Teil 1 edingung bkürzung ezeichnung Z < before Z = m meets < < Z < Z o overlaps = < Z < Z s starts < < Z = Z f finishes < < Z < Z d during =, Z = Z equal und inverse Relationen (ohne ) Inverse: r ist inverse Relation zu r usnahme (in der Schreibweise): inverses zu und = m o s f d before meets overlaps starts finishes during equal D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 9/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 10/65 lle llensche asisrelationen llensche asisrelationen m o s m ŏ s llensche asisrelationen Die 13 llenschen asis-relationen sind: R := {,, m, o, s, d, f,, m, ŏ, s, d, f}. Satz Die llenschen asis-relationen sind paarweise disjunkt, d.h. f d f d Schreibweise r 1 r 2 = r 1 = r 2. {r 1,..., r n } := ( r 1 ) ( r 2 )... ( r n ) {r 1,..., r n } nennt man atomares llen-constraint D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 11/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 12/65

4 eispiele eispiel als Constraintnetzwerk besorgen vor {, m} Zub besorgen, m, m ruhen schlagen direkt nach während, aber vorher endend elag R { m} Zub {s, d} elagzub schlagen R s, d R R elag R R s, s, d, ŏ,, f m m ruhen elag beginnt während ruhen elagzub {s, s, d, ŏ,, f} R s, d R s, s, d, o,, f D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 13/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 14/65 llensche Formeln: Semantik Interpretation I: bildet Intervallnamen auf Intervalle [a, b] ab, wobei a, b R und a < b. Interpretation von atomaren ussagen r : Sei I() = [, Z] und I() = [, Z]. I( ) = 1, gdw. Z < I( m ) = 1, gdw. Z = I( o ) = 1, gdw. <, < Z und Z < Z I( s ) = 1, gdw. = und Z < Z I( f ) = 1, gdw. > und Z = Z I( d ) = 1, gdw. > und Z < Z I( ) = 1, gdw. = und Z = Z I( r 0 ) = 1, gdw. I( r 0 ) = 1 I( ) = 1, gdw. I( ) = 1 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 15/65 llensche Formeln: Semantik (2) Interpretation von llenschen Formeln: I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 1 und I(G) = 1 I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 1 oder I(G) = 1. I( F ) = 1 gdw. I(F ) = 0 I(F G) = 1 gdw. I(F ) = I(G) I(F G) = 1 gdw. I(F ) = 0 oder I(G) = 1 D.h.: wie üblich D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 16/65

5 Modelle und Erfüllbarkeit Disjunktionen von atomaren Formeln Interpretation I ist ein Modell für F gdw. I(F ) = True gilt. Eine llensche Formel F ist: widersprüchlich (inkonsistent), wenn es kein Modell für F gibt. allgemeingültig, wenn jede Interpretation ein Modell für F ist. erfüllbar, wenn es mindestens ein Modell für F gibt. Zwei Formeln F und G sind äquivalent gdw. I : I(F ) = I(G) Semantische Folgerung: G = F gdw. I : I(G) = 1 I(F ) = 1 Zur Erinnerung: S mit S R nennen wir atomares llen-constraint Z..: Statt s f schreiben wir {, s, f} eachte: Es gibt 2 13 solche Mengen S. uch erlaubt:, Semantik: I( ) = 0. R bedeutet: alles ist möglich, I( R ) = 1. D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 17/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 18/65 Vereinfachungsregeln für llensche Formeln Vereinfachungen (2) Ein atomare ussage der Form r kann man immer vereinfachen zu 0, 1: r 0, wenn r und 1. Negationszeichen kann man nach innen schieben. Eine Formel ( R ) kann man zu (R \ R) umformen. Unterformeln der Form R 1 R 2 kann man durch (R 1 R 2 ) ersetzen. Unterformeln der Form R 1 R 2 kann man durch (R 1 R 2 ) ersetzen. atomare Formeln der Form kann man durch 0 ersetzen. atomare Formeln der Form R kann man durch 1 ersetzen. lle aussagenlogischen Umformungen sind erlaubt. Theorem Jede Vereinfachungsregel für llensche Formeln erhält die Äquivalenz, d.h. wenn F F, dann sind F und F äquivalente Formeln. eweis: Verwende die Semantik D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 19/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 20/65

6 llensche Constraints llenscher Kalkül Mit den Vereinfachungen kann jede llensche Formel umgeformt werden in ein Disjunktives llen-constraint (konjunktives) llen-constraint: Eine Konjunktion von atomaren llen-constraints: 1 S n S n n Disjunktives llen-constraint: Disjunktion von (konjunktiven) llen-constraints Eingabe: llen-constraint usgabe: Weitere eziehungen die daraus folgen, bzw. 0 (Widerspruch) oder 1 (Tautologie) Es reicht im Grunde: Konjunktive llen-constraints ei disjunktiven llen-constraints: bearbeite die llen-constraints unabhängig und füge dann zusammen. D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 21/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 22/65 llenscher Kalkül (2) llenscher Kalkül (3) Wesentliche Regel: Transitivitätsregel us C kann man C folgern. us C kann man nichts neues über die eziehung zwischen und C folgern (alles ist möglich) Wie folgert man genau? asisrelationen r 1, r 2 : r 1 r 2 C. Man braucht die Komposition (r 1 r 2 ), als kleinste Menge mit: r 1 r 2 C = (r 1 r 2 )C. eachte:(r 1 r 2 ) ist nicht unbedingt eine asisrelation R 1, R 2 R: R 1 R 2 C. Komposition der Mengen: Sei R 1 R 2 gerade die (kleinste) Menge mit: R 1 R 2 C = (R 1 R 2 )C. D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 23/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 24/65

7 Kompositionsmatrix d d o ŏ m m s s f f R o m o m o m o m d s d s d s d s R ŏ m ŏ m ŏ m ŏ m d f d f d f d f d d R o m d d d o m R \ ŏ m d f d s m m o ŏ o m d f ŏ m d s d s ŏ m d f ŏ m d f o m d s d o d f ŏ d s o d f ŏ d s o d f d ŏ d s d o d s o m R \ d f o m m m ŏ d f ŏ m d s ŏ d s o d f o d s o o m R \ ŏ m o d f ŏ d f ŏ m ŏ ŏ d s m m m ŏ m d s o d s o d s f f m m d s o m o m ŏ d f ŏ d f s s d f ŏ m m d f o m s d o m ŏ d f m s s s d o m d f s o m ŏ d f d o d f ŏ o d f m s s s ŏ d d f ŏ m f d d s o d s ŏ m m d ŏ m f f f f ŏ m d s o d s d o ŏ d s m ŏ d s o d f f f Nur Matrix, da: r = r = r Kompositionsmatrix Die Eintrage muss/kann man per Hand ausrechnen. eispiel: d etrachte alle Möglichen Lagen für d C C Möglichkeiten: {, o, m, s, d} C. D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 25/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 26/65 Komposition der Mengen eispiel: us {m, d} {f, d} C kann man schließen llgemein gilt: Satz (m f m d d f d d) C = {d, s, o} {d, s, o} {d} {d} C = {d, s, o} C Seien r 1,..., r k, r 1,..., r k llensche asisrelationen. Dann gilt {r 1,..., r k } {r 1,..., r k } = {r i r j i = 1,..., k, j = 1,..., k } Inverse für Mengen Inversion für Mengen von asisrelationen Sei S = {r 1,..., r k } R. Dann sei Desweiteren sei r = r Damit gilt: Satz S = { r 1,..., r k }. Für S R gilt: S und S sind äquivalente llensche Formeln. Satz.(r 1 r 2 ) = r 2 r 1. D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 27/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 28/65

8 llenscher bschluss für Konjunktive llen-constraints llenscher bschluss für alle llen-constraints Eingabe: Konjunktives llen-constraint usgabe: llenscher bschluss Verfahren: erechne Fixpunkt bezüglich der Regeln (auf Subformeln): Vereinfachungen: ( bedeutet ersetze ) R 1 R 2 (R 1 R 2 ) False R True R False, wenn R. R True, wenn R. Folgerungen: ( bedeutet füge hinzu ) R R, wobei R := { r1,..., r n } für R = {r 1,..., r n } R 1 R 2 C (R 1 R 2 ) C. und übliche aussagenlogische Umformungen Für konjunktive llensche Constraints: Wende die Regeln des llenschen Kalküls solange an, bis sich keine neuen eziehungen mehr herleiten (Fixpunkt) Disjunktive Constraints: Wende Fixpunktiteration auf jede Kommponente an, und vereinfache anschließend Komponente = 1: Disjunktiver Constraints ist äquivalent zu 1 Komponente = 0: Kann gesrtrichen werden lle Komponenten = 0: Disjunktiver Constraint widersprüchlich (Inkonsistenz) D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 29/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 30/65 eispiel eispiel (2) besorgen, m, m, m m besorgen, m, m m schlagen s, d elag s, s, d, ŏ,, f ruhen schlagen s, d elag s, s, d, ŏ,, f ruhen,, d, f, s, s, o, m D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 31/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 32/65

9 Korrektheit, Vollständigkeit Fragestellungen Wir sagen, der llen-kalkül ist korrekt, wenn bei F F stets gilt: F und F sind äquivalente Formeln herleitungs-vollständig, wenn er für jedes konjunktive Constraint alle semantisch folgerbaren Einzel-Relationen herleiten kann. widerspruchs-vollständig, wenn er für jedes konjunktive Constraint herausfinden kann, ob es widersprüchlich ist (Herleitung der 0) Wie aufwändig ist die erechnung des bschlusses der llenschen Relationen? Ist der llen-kalkül korrekt? Ist die erechnung herleitungs- bzw- widerspruchs-vollständig? Was ist die Komplexität der Logik und der Herleitungsbeziehung, evtl. für eingeschränkte Eingabeformeln? Wie kann man den llenschen Kalkül für aussagenlogische Kombinationen von Intervallformeln verwenden? D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 33/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 34/65 Implementierung der llen-vervollständigung eispiel für das Eingabearray Wesentliche Regel: Transitivitätsregel R 1 R 2 C R 1 R 2 C. Konjunktive llen-constraints (schon zusammengefasst, Intervalle 1,..., n ): i R i,j j i,j {1,...,n} Nicht vorhandene Relation werden auf R gesetzt. bschluss kann mit einer n n-tabelle gemacht werden Sobald irgendwo auftaucht, kann man abbrechen Ähnlich zum Warshall-lgorithmus ei disjunktiven llen-constraints: bearbeite die llen-constraints separat und fasse dann zusammen. {, m} Zub ruht { m} Zub {s, d} elagzub elagzub {, s, s, d, f, ŏ} Ruht R i,j (1) (2) zub (3) ruht (4) (5) elagzub (1) { } {, m} R R R (2) zub {, m} { } {m} R R (3) ruht R { m} { } R {, d, f, s, s, o} (4) R R R { } {d, s} (5) elagzub R R {, s, s, d, f, ŏ} { d, s} { } D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 35/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 36/65

10 lgorithmus 1 Erläuterung lgorithmus llenscher bschluss, Variante 1 Eingabe: (n n)-rray R, mit Einträgen R i,j R lgorithmus: repeat change := False; for i := 1 to n do for j := 1 to n do for k := 1 to n do R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R ; change := True; endif endfor endfor endfor until change=false R i,k R k,j i k j R i,j R := R i,j (R i,k R k,j ) entspricht gerade i R i,k k k R k,j j i R i,j j i R i,k k k R k,j j i R i,k R k,j j i R i,j j i R i,k k k R k,j j i (R i,k R k,j ) R i,j j D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 37/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 38/65 Eigenschaften lgorithmus 1 lgorithmus 2 Ähnlich zu Warshall-lgorithmus, aber iteriert (notwendig!) solange bis Fixpunkt erreicht ist Korrekt: Offensichtlich Laufzeit: Im worst-case O(n 5 ) egründung: 3 for-schleifen: O(n 3 ) repeat-schleife: Im schlechtesten Fall wird ein R i,j um eins verkleinert pro R i,j maximal 13 Verkleinerungen Es gibt n 2 Mengen R i,j Daher: repeat-schleife wird maximal O(n 2 ) mal durchlaufen ergibt: O(n 5 ) lgorithmus llenscher bschluss, Variante 2 Eingabe: (n n)-rray R, mit Einträgen R i,j R lgorithmus: queue := {(i, k, j) 1 i n, 1 k n, 1 j n}; while queue do Wähle und entferne Tripel (i, k, j) aus queue; R := R i,j (R i,k R k,j ); if R i,j R then R i,j := R; queue := queue ++ {(i, j, m) 1 m n} ++ {(m, i, j) 1 m n} endif endwhile R i,j R j,m i j m R i,m R i,k R k,j i k j m R i,j R m,i i R m,i R i,j j D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 39/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 40/65

11 Eigenschaften lgorithmus 2 Korrektheit: ei Änderung von R i,j werden alle Nachbarn, die evtl. neu berechnet werden müssen, in queue eingefügt Laufzeit: m nfang: queue enthält n 3 Tripel while-schleife entfernt pro Durchlauf ein Element aus queue Einfügen in queue in der Summe: R i,j kann höchstens 13 mal verändert werden. D.h. höchstens n 2 13 mal wird eingefügt Einmal einfügen: 2 n Tripel werden hinzugefügt Insgesamt: Es werden höchstens 13 2 n n 2 Tripel zu queue hinzugefügt Ergibt O(n 3 ) Durchläufe der while-schleife (von denen maximal O(n 2 ) Durchläufe O(n) Laufzeit verbrauchen und die restlichen O(n) in konstanter Laufzeit laufen) lgorithmus 2 hat worst-case-laufzeit O(n 3 ) llenscher Kalkül: Korrektheit Korrekheit Der llensche Kalkül ist korrekt, d.h. wenn F F, dann sind F und F äquivalente Formeln eweis (Skizze): Verwende die Semantik - ussagenlogische Umformungen: klar - R 1 R 2 ist äquivalent zu (R 1 R 2 ) : Sei R 1 = {r 1,..., r k }, R 2 = {r 1,..., r k }. R 1 R 2 = ( r i) ( r i ) {( r i ) ( r i ) 1 i k, 1 i k } (ausmultiplizieren) {( r i ) ( r i ) 1 i k, 1 i k, r i = r i } (asisrelationen disjunkt) = (R 1 R 2) - 0 und R 1 (klar) D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 41/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 42/65 llenscher Kalkül: Korrektheit (2) eweis (Fortsetzung) - R ist äquivalent zu 0, wenn R und R ist äquivalent zu 1, wenn R: Jede Interpretation bildet I() eindeutig auf ein Intervall ab. -Transitivitätsregel: asisrelationen: Man muss die Korrekheit der Matrix prüfen Für mehrelementige Mengen: {r 1,..., r k } {r 1,..., r k } C = ( r 1... r k ) ( r 1 C... r k C) (ausmultiplizieren) {( r i r i C) 1 i k, 1 i k } (asis) {( r i r i C ri r i C) 1 i k, 1 i k } {r 1,..., r k } {r 1,..., r k } C {( r i r i C) 1 i k, 1 i k } = {r 1,..., r k } {r 1,..., r k } C {r1,..., r k} {r 1,..., r k } C D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 43/65 Partielle Vollständigkeit Der llensche Kalkül ist vollständig in eingeschränktem Sinn: Satz (Pfadkonsistenz) Der llensche bschluss ist 3-konsistent: R C R C R C Jede elegung I der Intervalle und mit I( R ) = True kann auf das Intervall C erweitert werden, so dass I( R C C) = True = I(C R C ). Es gilt nicht (globale Konsistenz): Jede elegung von k Knoten kann auf k + 1 Knoten unter Erhaltung der Erfüllbarkeit erweitert werden D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 44/65

12 Unvollständigkeit des llen-kalküls Leider gilt: Theorem Der llensche Kalkül ist nicht herleitungs-vollständig. eweis: Gegenbeispiel: Für den llenschen Constraint: D {o} D {s, m} C D {s, m} {d, d} C {d, d} ist der llensche bschluss: D {o} D {s, m} C D {s, m} {d, d} C {d, d} C {s, s,, o, ŏ, d, d, f, f} ber in diesem Fall ist C {f, f, o, ŏ} nicht möglich (nächste Folie) D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 45/65 eweis (Fortsetzung) Die Lage von zu D ist eindeutig. Möglichkeiten wie zu D und C zu D: 4 Fälle D C Fall (1): D s C und D s C { s, s, } D C Fall (3): D s C und D m C { d} D C Fall (2): D m C und D s C {d} D C Fall (4): D m C und D m C {s, s, } C {f, f, o, ŏ} nicht möglich! D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 46/65 Unvollständigkeit des llen-kalküls (2) Ebenso gilt: Theorem Der llensche Kalkül ist nicht widerlegungsvollständig. eweis: Gegenbeispiel: Leichte bwandlung des eispiels davor Füge {f, f} C hinzu, d.h. man erhält das Constraintnetzwerk: s, m D s, m d, d o f, f C d, d llenscher bschluss: Verändert das Netzwerk nicht, aber es ist widersprüchlich! D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 47/65 Konsequenzen der Unvollständigkeit Frage: Ist llen-constraint F widersprüchlich? bschluss = 0, dann J bschluss = 1, dann NEIN bschluss weder 0 noch 1: man weiß nichts Frage: Ist llen-constraint F erfüllbar? bschluss = 0, dann NEIN bschluss = 1, dann J (Tautologie) bschluss weder 0 noch 1: man weiß nichts D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 48/65

13 Eindeutige llen-constraints Eindeutige llen-constraints (2) Definition Ein llensches Constraint nennt man eindeutig, wenn für alle Paare, von Intervallkonstanten gilt: Das Constraint enthält genau eine eziehung r, wobei r eine der dreizehn asisrelationen ist. Es gilt: Satz Der llensche bschluss eines eindeutigen llenschen Constraints F ist entweder 0, oder wiederum F. eweis: Jede Transitivitätsregelanwendung leitet her, oder lässt Eintrag unverändert. Satz (Valdés-Pérez, 1987) Ein eindeutiges llensches Constraint ist erfüllbar, gdw. der llensche Kalkül bei Vervollständigung das Constraint nicht verändert, d.h. wenn es ein Fixpunkt ist. eweisidee: Zeige, wenn llen-kalkül kein Widerspruch entdeckt, dann ist Constraint erfüllbar. Es gibt dann eine totale Ordnung der Intervallenden Korollar uf eindeutigen llen-constraints ist der llen-kalkül korrekt und vollständig D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 49/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 50/65 Eindeutige llen-constraints: Menge Vollständiges Verfahren Zu jedem llenschen Constraint C kann man die Menge aller zugehörigen eindeutigen llenschen Constraints D definieren, wobei gelten muss: Wenn r in D vorkommt und R in C, dann gilt r R. Lemma Ein llen-constraint ist erfüllbar, gdw. es ein zugehöriges eindeutiges Constraint gibt, das erfüllbar ist. eweis: Klar lgorithmus Erfüllbarkeitstest für konjunktive llensche Constraints Eingabe: (n n)-rray R, mit Einträgen R i,j R usgabe: True (Widerspruch) oder False (erfüllbar) function llenst(r): R := llenbschluss(r); if R i,j mit R i,j = then return True endif;// Widerspruch if R i,j gilt: R i,j = 1 then return False // eindeutig und erfüllbar else wähle R i,j mit R i,j = {r 1, r 2,...}; R l := R ; R l i,j := {r 1};// kopiere R und setze (i, j) auf r 1 R r := R ; R r i,j := R i,j \ {r 1};// kopiere R und setze (i, j) auf r 2,... return (ST(R l ) ST(R r )); endif Der lgorithmus ist korrekt und vollständig. Die Laufzeit ist im worst-case exponentiell. Mittlere Verzweigungsrate: 6,5 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 51/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 52/65

14 Komplexität des Problems eweis (Fortsetzung) Satz Das Erfüllbarkeitsproblem für konjunktive llenschen Constraints ist N P-vollständig. eweis: Problem ist in N P: Rate lineare Reihenfolge der Intervallanfänge und -enden D.h. Ordnung auf allen X a, X e für alle Intervalle X Verifiziere ob Reihenfolge das Constraint erfüllt Verifikation geht in Polynomialzeit N P-Härte: Reduktion von 3-Färbbarkeit auf Erfüllbarkeit von llen-constraints 3-Färbbarkeit: Kann man die Knoten eines ungerichteten Graphen mit drei Farben färben, so dass benachbarte Knoten stets verschiedene Farben haben? D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 53/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 54/65 eweis (Fortsetzung) eweis (Fortsetzung) Für G = (V, E) erzeuge: (Rot m Gruen) (Gruen m lau) Rot Gruen lau Für die Knoten: v i V : v i {m,, m} Gruen Rot Gruen lau v i v i v i Daher gilt: Der Graph ist dreifärbbar, gdw. die llenschen Relationen erfüllbar sind. Die Zuordnung ist: v i hat Farbe grün gdw. v i Gruen v i hat Farbe rot gdw. v i m Gruen v i hat Farbe blau gdw. v i m Gruen Übersetzung ist in Polynomialzeit durchführbar, daher Erfüllbarkeit N P-Hart Für die Kanten: (v i, v j ) E : v i {m, m,, } v j v j v i v j D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 55/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 56/65

15 Folgerungen Varianten Jeder vollständige lgorithmus braucht Exponentialzeit. (solange P N P) Die polynomielle llen-vervollständigung muss unvollständig sein Es gibt polynomielle, vollständige Verfahren für llensche Constraints mit eingeschränkter Syntax Eine haben wir bereits gesehen: Eindeutige llen-constraints D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 57/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 58/65 Varianten (2) Varianten (3) Neue Variante: Erlaube nur llensche Relationen, so dass: Übersetzung in edingungen über die Endpunkte nur Konjunktionen von der Form x < y oder x = y Dann gilt: Man braucht keine Fallunterscheidung Passender Satz von Relationen: lle asisrelationen, {d, o, s}, und {ŏ, f, d} und deren Konverse. d.h. { d, ŏ, s}, und {o, f, d}. Z.. {d, o, s} als Ungleichung über den Endpunkten: Wenn = [, Z], = [, Z], dann entspricht obige Relation gerade < Z, < Z, Z < Z, < Z D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 59/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 60/65

16 Varianten (4) Hintergrund Diese spezielle Klasse la sst sich als Grund-Hornklauseln darstellen, d.h. Klauseln mit maximal einem positiven Literal. uf solchen Constraints kann man Erfu llbarkeit in Polynomialzeit testen Fu r Grund-Hornklauselmengen ist Erfu llbarkeit in polynomieller Zeit testbar. Transitiver bschluss der Endpunktbeziehungen Man hat Fakten in der Form a < b und c = d, wobei a, b, c, d unbekannte Konstanten sind. Es gibt auch Hornklauseln, die von der Symmetrie und Transitivita t stammen: anschließend lineare Reihenfolge mit topologischem Sortieren Es gilt aber sogar Satz (Nebel, u rckert, 1995) x<y y x=y y x=y x<y y x=y y uf den so eingeschra nkten llen-constraints ist der llensche Kalku l korrekt und vollsta ndig. D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 61/65 Hintergrund (2) <z x<z =z x=z y=x =z x<z <z x<z D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 62/65 Kuchen backen besorgen ruhen elag schlagen ackform einfetten in ackform elag in ackform Ofen heizt Kuchen im Ofen Kuchen ku hlt aus Kuchen entnehmen Man kann weitere llensche Constraints zu, und beha lt die Vollsta ndigkeit des llen-kalku ls: lle Constraints deren U bersetzung in Constraints u ber Endpunkten Hornklauseln ausschließlich mit Literalen a b, a = b und (a = b) erzeugt. elform Heizen elzub Einfett Einfett acken 213 Von den = 8192 mo glichen eziehungen erfu llen 868 diese Eigenschaft Man kann diese auch fu r die Fallunterscheidung des exponentiellen Verfahrens verwenden. Vorteil: Kleinere mittlere Verweigungsrate (Statt 6,5 nur 2,533 (Nebel 1997)) {S,o,>} {>,M} {m} Zub,, acken, Ruht, Einfett, elform, Zub, Form, Kuehlen, Ruht acken Heizen Zub Einfett Zub elzub {m} {f} {<,>,m,m} {<,m,m,>} {m} {s,s,d,o,=,f} Ruht, Form, Heizen, Kuehlen, Heizen, elzub, Form, Ruht, Ruht, Form Kuehlen Zub Einfett Einfett Einfett Einfett {s,d} {<,>,m,m} {<,>,m,m} {>,M} {>} elzub, elform, elzub, Entnehmen, Form, elzub, elform,, llen-programm: Max. #Modelle in der Eingabe : Max. #Modelle nach llen-bschluss: nzahl Modelle llenscher bschluss genau? D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 63/65 D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik : : True 64/65

17 usblick Qualitatives räumliches Schließen Eindimensional: Genau die llensche Intervalllogik Zweidimensional: Region-Connection-Calculus (RCC8), (Randell, Cui & Cohn, 1992) X Y X Y X Y X Y X DC Y disconnected X EC Y externally connected X TPP Y tangential proper part X NTPP Y non-tangential proper part X Y X Y Y X Y X X PO Y partially overlapping X EC Y equal X TPPi Y tangential proper part inverse X NTPPi Y non-tangential proper part inverse D. Sabel KI SoSe 2014 llens Zeitlogik 65/65