Zur Dynamik kosmologischer Modelle

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1 Ergänzungen zur Vorlesung Einführung in die relativistische Kosmologie von DOMENICO GIULINI Blatt 2 Zur Dynamik kosmologischer Modelle Bewegungsgleichungen In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Friedmann-Gleichungen für den Skalenparameter a(t) formal in der Form eines Energie-Erhaltungssatzes (eines Teilchens der Masse m = 2) geschrieben werden können: ( ) 2 dx + V(x) = E. (1) dλ Dabei ist λ = th 0 und x(λ) := a(λ)/a 0. Das Potential V(x) und die Energie E sind durch die kosmologischen Parameter gegeben: Dabei ist und es gilt V(x) := Ω m x x2 Ω Λ, (2) E := Ω k = 1 Ω m Ω Λ. (3) Ω m := 8πG ρ 0 3H 2 0, (4) Ω Λ := Λ, (5) 3H 2 0 Ω k := kc2, (6) H 2 0 a2 0 Ω m + Ω Λ + Ω k = 1, (7) so dass wir uns zukünftig Ω k stets durch 1 Ω m Ω Λ ersetzt denken dürfen. Außerdem haben wir uns dabei auf drucklose Materie beschränkt, so dass ρa 3 = 1/6

2 ρ 0 a 3 0. Es gilt Ω m 0, während Ω Λ beide Vorzeichen annehmen darf. Der Bremsparameter zum Zeitpunkt t = t 0 (heute) ist als Funktion der Ω gegeben durch q 0 := äa = ȧ t=t0 1Ω 2 2 m Ω Λ. (8) Potentialverlauf 1. Fall: Λ = 0 V(x) ist streng monoton steigend ohne Wendepunkt und nähert sich von unten asymptotisch für x dem Wert 0. Für E 0 erhält man ewige Expansion mit einer Singularität in endlicher Vergangenheit (oder die Zeitumkehrung davon). E 0 ist gleichbedeutend mit Ω k > 0 bzw. k = 1 (negative Krümmung) bzw. Ω m < 1 bzw. ρ m < ρ krit, wobei ρ krit := 3H2 0 8πG. (9) Man spricht in diesem Fall auch vom sogenannten offenen Universum, wobei es falsch ist zu behaupten, das Universum hätte dann notwendig ein unendliches Volumen (zu jeder Zeit). Eine negative konstante Krümmung ist i.a. sowohl mit einem endlichen als auch einem unendlichen Volumen verträglich. Im Falle von E < 0 rekollabiert das Universum nach endlicher Zeit. Die Krümmung ist dann positiv und ρ 0 > ρ krit. Man spricht dann auch vom geschlossenen Universum. In diesem Fall ist es nun korrrekt zu behaupten, das Universum hätte notwendig ein endliches Volumen (zu jeder Zeit). (Theorem: Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit positiv konstanter Krümmung hat ein endliches Volumen.) Im Grenzfall E = 0 ist die Expansion ewig mit asymptotisch verschwindender Rate. Jetzt ist ρ 0 = ρ krit und die Krümmung verschwindet. Man spricht auch vom flachen Universum. Auch dieser Fall ist sowohl mit unendlichem (etwa bei R 3 ) oder endlichem (etwa beim dreidimensionalen Torus T 3 = S 1 S 1 S 1 ) Volumen modelierbar. 2/6

3 2. Fall: Λ < 0 In diesem Fall ist V(x) streng monoton steigend und beidseitig unbeschränkt. Es gilt V(x 0) und V(x ) +, und außerdem hat V (x) = Ω m /x 2 2xΩ Λ keine Nullstelle für positives x (und negatives Ω Λ ). Also ist die Expansion nach endlicher Zeit rekollabierend für jedes E. Der Bremsparameter ist stets positiv so dass man entweder verzögerte Expansion oder beschleunigte Kontraktion hat. 3. Fall: Λ > 0 Dies ist der eigentlich interessante Fall. Hier ist sowohl V(x 0) als auch V(x ), und V (x) = Ω m /x 2 2xΩ Λ hat genau eine Nullstelle bei x = [ Ωm 2 Ω Λ ] 1 3 (10) die somit einem Maximum des Potentials V(x) entspricht. Der Wert des Potentials am Maximum ist [ ] V(x ) = Ω 2 m Ω 3 Λ. (11) Abbildung 1: Verlauf des Potentials V(x) für (Ω m, Ω Λ ) = (0.3, 0.7) (Kurve mit Maximum) und zum Vergleich für (1.5, 0.5) (Kurve ohne Maximum). Das Maximum liegt gemäß (10) bei x 0.6 mit V(x ) Wegen 1/x = a 0 /a = 1+z entspricht dies einer Rotverschiebung von z = 1 + 1/x Für z > z schauen wir also in eine Epoche noch verzögerter Expansion, während für z < z die Expansion bereits beschleunigt verläuft. Wir befinden uns bei x = 1, haben das Maximum also bereits durchlaufen. 3/6

4 Für E > V(x ) ist das Universum also entweder monoton expandierend bis in alle Ewigkeit, mit einer Singularität in endlicher Vergangenheit, oder, aus unendlicher Vergangenheit kommend, monoton kollabierend bis zur einer Singularität in endlicher Zukunft. (Da wir die Sinularität in die Vergangenheit legen sprechen wir meist von ewig expandierenden Modellen.) Darunter fallen wegen V(x ) < 0 insbesondere alle Modelle mit E > 0, d.h. k = 1, also für negative Krümmung (offene Universen). Für E < V(x ) erhält man entweder ein rekollabierendes Universum (mit Urknall; es bleibt stets links vom Potentialmaximum, d.h. x < x ), oder ein reexpandierendes Universum (ohne Urknall; es bleibt stets rechts vom Potentialmaximum, d.h. x > x ). Welche der beiden Fälle mit gegebenen Werten von Ω m und Ω Λ verträglich ist werden wir noch genauer untersuchen. Modelle in denen E V(x ) (also insbesondere E < 0, d.h. geschlossene Universen), nennt man Trödeluniversen (engl. loitering models ), da sie sich sehr lange in der Nähe des Potentialmaximums aufhalten können um dann wieder zu expandieren oder zu kollabieren. Insbesondere kann man durch Feinadjustierung einem schließlich rekollabierenden Universum eine beliebig lange Lebensdauer verleihen. Das statische Universum mit E = V(x ), das exakt auf dem Potentialmaximum ruht, ist das Einstein-Universum. Es befindet sich klarerweise in einem labilen Gleichgewicht. Die beiden Fälle E > V(x ) und E < V(x ) sind in der Ω m Ω Λ -Ebene durch eine Grenzkurve getrennt, die implizit gegeben ist durch E 3 V 3 (x ) = (1 Ω Λ Ω m ) Ω2 mω Λ = 0. (12) Ihre Äste sind in Abb. 2 gezeichnet, wobei uns hier nur die Region Ω Λ > 0 interessiert. Wir wissen ja bereits, dass für Ω Λ < 0 alle Universen rekollabieren und dass Universen mit Ω Λ = 0 und Ω m < 1 ewig expandieren. Das horizontale Geradenstück zwischen (0, 0) und (1, 0) gehört also zur Grenzlinie zwischen expandierenden und rekollabierenden Universen. Rechts von (1, 0) schließt sich daran dann der untere Ast von Abb. 2 an. Dieser beginnt mit horizontaler Tangente und steigt dann in führender Ordnung in dritter Potenz an. Das sieht man so: Linearisiert man (12) zunächst in Ω Λ, d.h. schreibt man Ω Λ = Ω Λ und vernachlässigt quadratische und höhere Potenzen in Ω Λ, so erhält man Ω Λ = (Ω m 1) Ω2 m 3(Ω m 1). (13) 2 4/6

5 Schreibt man nun noch Ω m = 1+ Ω m und entwickelt man in führender Ordnung in Ω m, so folgt: Ω Λ = 4 27 Ω3 m + O(4). (14) Das ist das behauptete kubische Verhalten rechts von (1, 0). Das schmale Gebiet zwischen diesem Ast und dem Ω m -Achsenabschnitt mit Ω m > 1 enthält die oben erwähnten rekollabierenden Universen mit Λ > 0. Oberhalb des oberen Astes in Abb.2 gilt E < V(x ) und alle Universen sind reexpandierend (rechts vom Potentialmaximum). Sie sind nicht rekollabierend, da sie sämtlich im Bereich negativen Bremsparameters liegen, also oberhalb der Geraden Ω Λ = 1Ω 2 m. Somit besitzen sie auch keinen keinen Urknall (Radius Null) sondern einen Minimalradius größer als Null (engl. bouncing Models ). Die monoton expandierenden Universen entsprechen in der Ω-Ebene also genau dem Gebiet, das unterhalb des oberen Astes der Grenzkurze liegt und oberhalb der Ω m -Achse bis Ω m = 1 und ab da oberhalb des unteren Astes der Grenzkurve in Abb.2. Dies sind gerade die eingezeichneten Begrenzungen in Abb. 4. Dieses Gebiet wird von der Geraden Ω Λ = 1Ω 2 m in zwei Teile zerschnitten. Im oberen Teil sind die Universen bereits beschleunigt expandierend, also schon jenseits des Potentialmaximums (d.h. x > x ), während sie im unteren Teil noch verzögert expandierend sind, das Maximum also noch überwinden müssen (d.h. x < x ). Experimentelle Konfidenzgebiete in der Ω-Ebene Es gibt eine handvoll verschiedener Verfahren, Bereiche im der Ω-Ebene experimentell einzugrenzen. Den beobachteten physikalischen Größen entsprechen meist Observablen, die lineare Funktionen in Ω m und Ω Λ sind. Die Niveaumengen solcher Funktionen F(Ω m, Ω Λ ) sind also Geraden von der Form aω m + bω Λ = konst. Berücksichtigt man noch die Unsicherheiten in den den Messungen, so ergeben sich als Konfidenzgebiete langestrechte Streifen endlicher Dicke, die parallel zu den Geraden F = konst. liegen. Es wird also darauf ankommen, verschiedene Observable zu messen, deren Konfidenzstreifen möglichst transversal zueinender liegen, so dass ihr Schnitt ein möglichst kleines Gebiet in der Ω- Ebene abgrenzt. Da zwei solcher Streifen immer einen nichtleeren Schnitt besitzen, sofern sie nicht gerade parallel liegen, ist die Konsistenz erst ab drei Observablen überprüfbar. Dann gibt es drei Schnittmengen von jeweils zwei Streifen, die nicht schnittleer sein dürfen. 5/6

6 Die drei im Folgenden abgebildeten Messungen betreffen folgende Observable: 1. Das Hubble-Gesetz, d.h. die Funktion d L (z), deren quadratischer Term proportional zu 1 q 0 ist. Die Observable ist also q 0, d.h. 1 2 Ω m Ω Λ. 2. Die Winkelverteilung der Anisotropie der Mikrowellenhintergrundstrahlung. Dabei wird der durchschnittliche Wikelabstand Θ max je zweier benachbarter Intensitätsmaxima gemessen, bzw. die durchschnittliche Drehimulsquantenzahl l max bei der Zerlegung der Funktion T/T(θ, ϕ), die die relativen Temperaturschwankungen in Abhängigkeit von der Blickrichtung angibt, nach sphärischen Harmonischen Y lm. Theoretisch ergibt sich dafür Θ max 0.62 ( 1 1Ω 2 k + 1 Ω ) 14 Λ (15) l max 220 ( Ω k 1 14 Ω Λ ) (16) Die Obeservable is also in Wesentlichen Ω k = 1 Ω m Ω Λ, d.h. die Summe Ω m + Ω Λ. Das Ergebnis der Boomerang- und Maxima-Messungen ist in Abb. 5 wiedergegeben und liefert als wahrscheinlichsten Wert l max 220, also Ω k 0, spricht also für ein flaches Universum. 3. Häufigkeitsverteilung von Galaxienhaufen in Anhängigkeit von z (bzw der Zeit). Nach der Theorie der Entstehung solcher Haufen ist ihre Bildungsrate und Lebesdauer stark von Ω m anhängig. Hier wird also Ω m gemessen. 6/6

7 Ω Λ reexpandierend ewig expandierend bzw. kollabierend Ω m rekollabierend Abbildung 2: Lösung der kubischen Gleichung (12), von der hier nur der Teil in der oberen Halbebene mit Ω Λ > 0 interessiert, da für Ω Λ < 0 sowieso alle Universen rekollabieren. Oberhalb des oberen Astes und unterhalb des unteren Astes ist E < V(x ). Im Gebiet zwischen den Ästen ist E > V(x ). Der obere Ast liegt ganz im Gebiet oberhalb der Geraden Ω Λ = 1 2 Ω m (Steigung 1 2 ), im dem der Bremsparameter negativ ist, also entweder beschleunigte Expansion oder verzögerte Kontraktion voliegt. Dies entspricht Universen für die stets x > x, die also keinen Urknall besitzen. Der untere Ast liegt hingegen im Gebiet unterhalb der Gerade Ω Λ = 1 2 Ω m, in dem der Bremsparameter positiv ist, entsprechend verzögerter Expansion oder beschleunigter Kontraktion. Für diese Universen gilt x < x. Diese haben stets einen Urknall. Das schmale keilförmige Gebiet unterhalb des unteren Astes und oberhalb der Ω m -Achse entspricht den rekollabierenden Universen mit Ω Λ > 0. Sie auch Abb. 4. 7/6

8 Abbildung 3: Messergebnisse für die Hubble-Beziehung d L (z) an Supernovae des Typs 1a im Bereich z < 1. Vertikal ist eine logarithmische Funktion m von d L aufgetragen (größere m entsprechen kleineren d L ). Es gilt d L (z) = c H 0 [z + 1(1 2 q 0 )z 2 + O(3)], so dass durch die nahen Supernovae die Hubble Konstante H 0 (linearer Term) und durch die entfernteren der Bremsparameter q 0 (quadratischer Term) gemessen wird. 8/6

9 Abbildung 4: Wegen q 0 = 1 2 Ω m Ω Λ ergeben sich aus der Messung des Bremsparameters folgende Konfidenzgebiete in der Ω-Ebene. 9/6

10 Abbildung 5: Gemeinsame Daten der Boomerang- und Maxima-Mission. Aufgetragen sind die über m gemittelten Betragsquadrate der Entwicklungskoeffizienten c lm von T/T(θ, ϕ) nach den Kugelfunktionen Y lm. Es zeichnet sich deutlich ein erstes Maximum bei l max 220 ab, was gemäß (16) auf Ω k 0 bzw. Ω m + Ω Λ 1 deutet. In Abb. 6 ist die zugehörige, sich nach der statistischen Analyse ergebende Konfidenzregion eingezeichnet. 10/6

11 Abbildung 6: Konfidenzregionen in der Ω-Ebene dreier verschiedener Messungen: 1) an Supernovae (empfindlich auf 1 2 Ω m Ω Λ ), 2) an Galaxienhaufen (empfindlich auf Ω m ) und 3) am Anisotropie-Spektrum der Mikrowellen- Hintergrundstrahlung (empfindlich auf Ω m +Ω Λ ). Es ergibt sich eine gemeinsame Schnittregion mit (Ω m, Ω Λ ) (0.3, 0.7) als wahrscheinlichstem Wertepaar. 11/6