Vortrag zum Thema "Robertson-Walker Raumzeiten"

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1 Vortrag zum Thema "Robertson-Walker Raumzeiten" Johannes Nielsen Einleitung Robertson-Walker Raumzeiten (teils auch Friedmann-Robertson-Walker oder Lemaître- Friedmann-Robertson-Walker) sind kosmologische Modelle, sie sollen also das Universum und dessen Dynamik auf groÿen Skalen beschreiben. Diesen Modellen liegt die Beobachtung zugrunde, dass das Universum auf groÿen Längenskalen räumlich annähernd homogen ist und von der Erde aus gesehen räumlich isotrop ist, sprich in allen Richtungen "gleich aussieht". Im Folgenden sollen diese Annahmen mathematisch gefasst und Schlüsse über mögliche Robertson-Walker Raumzeiten aus ihnen gezogen werden. Voraussetzungen Wesentlich an den oben genannten physikalischen Voraussetzungen ist, dass sie nur den Raum, nicht jedoch die Zeit betreen. In einer Robertson-Walker Raumzeit muss also der Raum separat behandelt werden können. Dies lässt sich wie folgt verwirklichen: Voraussetzung. Eine Robertson-Walker Raumzeit (M, g) blättert in raumartige Untermannigfaltigkeiten (Σ t, h(t)). Hierbei ist h(t) der von g induzierte Riemann'sche Tensor auf Σ t. Diese Σ t repräsentieren das Universum zu einer xen Zeit t. Alle weiteren Voraussetzungen müssen also auf diesen Untermannigfaltigkeiten formuliert werden. Sowohl Homogenität als auch Isotropie (in einem Punkt) sind in der Riemann'schen Geometrie feststehende Begrie, deren Denitionen hier gegeben werden und deren Anwendbarkeit zur Modellierung von Robertson-Walker Raumzeiten diskutiert wird. Denition.1. Eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit (Σ, h) heiÿt homogen, falls die Gruppe der Isometrien von Σ transitiv auf der Mannigfaltigkeit wirkt, i.e. p, q Σ φ Iso(Σ): φ(p) = q. 1

2 Auf die Σ t angewandt bedeutet diese Eigenschaft, dass das Universum zu einem gegebenen Zeitpunkt an jedem Punkt im Raum "gleich aussieht", also homogen im physikalischen Sinne ist. Homogenität im Sinner Riemann'scher Mannigfaltigkeiten ist also die korrekte Eigenschaft zur Beschreibung von Robertson-Walker Raumzeiten. Denition.. Eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit (Σ, h) heiÿt isotrop in einem Punkt p Σ, falls die Untergruppe der Isometrien, die p xiert, transitiv auf der Einheitssphäre in T p Σ wirkt, i.e. v, w S n 1 () T p Σ ψ Iso(Σ): ψ(p) = p, dψ p (v) = w. Sie heiÿt isotrop, falls sie isotrop in jedem Punkt ist. Isotropie an einem Punkt bedeutet also, dass an diesem Punkt alle Richtungen (gegeben durch normierte Tangetialvektoren) ineinander überführt werden können und somit gleichberechtigt sind. In einem Robertson-Walker Universum müssen die Σ t also isotrop im Sinne dieser Denition in zumindest einem Punkt (der Position der Erde) sein. Tatsächlich wird in Lehrbüchern und Vorlesungsskripten oft Isotropie gefordert. Wie aber im nächsten Abschnitt gezeigt wird, implizieren Homogenität und Isotropie an einem Punkt Isotropie an jedem Punkt. Im Folgenden seien alle Riemann'schen Mannigfaltigkeiten einfach-zusammenhängend und vollständig, insbesondere also auch die Σ t. Diese Eigenschaften werden in der Literatur oft implizit vorausgesetzt. 3 Folgerungen In diesem Abschnitt sollen verschiedene Eigenschaften, die aus den oben genannten Forderungen für eine Robertson-Walker Raumzeit formuliert wurden, gefolgert werden. Satz 3.1. Riemann'sche Mannigfaltigkeiten, die isotrop in einem Punkt und homogen sind, sind in jedem Punkt isotrop. Insbesondere sind die Σ t isotrop in jedem Punkt. Beweis. Sei Σ eine Riemann'sche Mannigfaltigkeit und p Σ, sodass Σ in p isotrop ist. Für q Σ sei φ eine Isometrie mit φ(p) = q, insbesondere gilt für alle v, w S n 1 () T q Σ: dφ 1 q (v), dφ 1 q (w) S n 1 () T p Σ. Da Σ in p isotrop ist, existiert eine Isometrie ψ, die p invariant lässt und für die gilt: dψ p (dφ 1 q (v))) = dφ 1 q (w). Es folgt also d(φ ψ φ 1 ) q (v) = w. Da φ und ψ Isometrien sind, ist φ ψ φ 1 eine Isometrie mit (φ ψ φ 1 )(q) = q. Da auÿerdem v, w beliebig sind, folgt die Behauptung. Es reicht also, Isotropie am Standort der Erde und Homogenität zu fordern. Bei einem solch hohen Grad an Symmetrie ist davon auszugehen, dass auch der Krümmungstensor (von h(t)) eine einfache Form annimmt. In der Tat gilt:

3 Satz 3.. Isotrope Riemann'sche Mannigfaltigkeiten haben konstante Schnittkrümmung, i.e. κ R, sodass R(u, v)w, x = κ ( u, x v, w u, w x, v ) p Σ, u, v, w, x T p Σ Beweisskizze. Der Beweis nutzt Schur's Lemma angewandt auf R, wobei R als lineare Abbildung von Ω (M) Ω (M) betrachtet wird, um zu zeigen, dass R(u, v)w, x = K(p) ( u, x v, w u, w x, v ) p Σ, u, v, w, x T p Σ, die Schnittkrüümmung ist also in jedem Punkt konstant. Die zweite Bianchi-Identität zeigt dann, dass K in Dimension 3 und höher in jedem Punkt den selben Wert annimmt. Es ist also Σ t eine vollständige, einfach zusammenhängende Riemann'sche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung. Daher gilt nach dem Satz von Cartan: (H 3, a(t) g H 3), falls κ < (Σ t, h(t)) = (R 3, a(t) g eukl ), falls κ = (S 3, a(t) g S 3), falls κ >. Hierbei ist a(t) eine nicht verschwindende reell-wertige Funktion. Damit ist eine Robertson- Walker Raumzeit also gegeben durch (M, g) = ( ) I Mκ, 3 dt + a(t) g M 3 κ. Hierbei ist I eine zusammenhängenede Teilmenge von R (i.e. ein Intervall oder ganz R), Mκ 3 ist die vollständige, einfach-zusammenhängende (nach Voraussetzung) Riemann'sche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung κ, wobei κ { 1,, 1}, und g M 3 κ ist die Metrik auf dieser Mannigfaltigkeit. Das Universum ist also räumlich dieomorph zum Hyperbolischen Raum (dies nennt man ein oenes Universum), zum Euklidischen Raum (aches Universum), oder zur standard 3-Sphäre (oenes Universum). Die Funktion a(t) heiÿt Skalenfaktor; sie bestimmt zum Zeitpunkt t die räumliche Krümmung, und damit den "Radius" des Universums. 4 Die Einstein-Gleichung der Robertson-Walker Raumzeit Um die Einstein-Gleichung für die Robertson-Walker Raumzeit zu lösen, ist es sinnvoll, die Metrik in lokalen Koordinaten auszudrücken: ( ) 1 g = dt + a(t) 1 κr dr + r dθ + r sin(θ) dφ = ω ω + ω r ω r + ω θ ω θ + ω φ ω φ, 3

4 wobei {ω, ω r, ω θ, ω φ } einen orthonormalen Dualrahmen bildet und gegeben ist durch: ω = dt ω r 1 = a(t) dr 1 κr ω θ = a(t) r dθ ω φ = a(t) r sin(θ)dφ. Aus diesen lassen sich mit der ersten Strukturgleichung von Cartan die Zusammenhangs- 1-Formen leicht bestimmen. Diese lauten ωr = ω r 1 = ȧ dr 1 κr ω θ = ω θ = ȧ r dθ ω φ = ω φ = ȧ r sin(θ)dφ ω θ r = ω r θ = 1 κr dθ ω φ r = ω r φ = 1 κr sin(θ)dφ ω φ θ = ωθ φ = cos(θ)dφ. Diese können mit der dritten Strukturgleichung von Cartan dazu verwendet werden, die Krümmungsformen zu berechnen, aus denen sich die relevanten Kompnenten des Krümmungstensors direkt ablesen lassen: Ω r = Ω r = ä a ω ω r Ω θ = Ω θ = ä a ω ω θ Ω φ = Ω φ = ä a ω ω φ ( ) κ Ω θ r = Ω r θ = a + ȧ ω θ ω r a ( ) κ Ω φ r = Ω r φ = a + ȧ ω φ ω r a ( ) κ Ω φ r = Ω θ φ = a + ȧ ω φ ω θ. a Für die Einstein-Gleichung ist nur der Ricci-Tensor relevant (in RW-Raumzeiten kann die Skalar-Krümmung ignoriert werden, s.u.), darum sollen nur dessen Komponenten in diesem Rahmen hier angegeben werden. Es stellt sich heraus, dass Ric nur vier nicht- 4

5 verschwindende Komponenten hat: Ric = 3ä a Ric rr = Ric θθ = Ric φφ = ä a + ȧ a + κ a. Auf kosmologischen Skalen ist Materie im Wesentlichen durch Galaxien und Galaxien- Cluster gegeben. Auf Grund der groÿen Entfernung zwischen diesen kann Materie in Robertson-Walker Universen daher als perfektes, druckloses Fluid mit Dichtefunktion ρ angenommen werden. Um die Einstein-Gleichung in die Form Ric = 4πρ(ν ν + g) zu bringen, muss noch das (normierte) Geschwindigkeitsvektorfeld U bzw. die dazu korrespondierende 1-Form ν der Materie bestimmt werden. Wegen der Isotropie muss die Durchschnittsgeschwindigkeit der Galaxien verschwinden, daher muss gelten U = t, was ν = dt entspricht. Damit lautet die Einstein-Gleichung in der Robertson-Walker Raumzeit Ric = 4πρ(dt dt + g). Dies ist äquivalent zu den sogenannten Friedmann-Gleichungen: ä ȧ a + a + κ a = 4πρ 3ä a = 4πρ. Dieses Gleichungssystem ist wiederum äquivalent zu ä + ȧ a + κ a = (1) 3 ä 4πa = ρ. () Gleichung (1) kann zur Bestimmung von a genutzt werden, während Gleichung () zur Bestimmung von ρ dient. Man beachte insbesondere, dass ρ nur von t abhängen kann, da die linke Seite von Gleichung () nur von t abhängt. Dies ergibt physikalisch Sinn, da angenommen wurde, dass das Universum homogen ist und die Materie daher gleichmäÿig verteilt sein muss. Man betrachte nun die Göÿe Diese Gröÿe ist konstant, da gilt 4π 3 ρa3 = äa. d dt ( äa ) = d ( aȧ dt + κa ) = aȧä + ȧ3 + κȧ = 5

6 Sowohl die erste als auch die letzte Gleichheit folgen hier aus Gleichung (1). Aus dieser Gleichung und der Tatsache, dass a, ρ > (ρ > bedeutet, wir nehmen an, dass es Materie gibt) folgt, dass eine positive Konstante α existiert (wenn wir ein Universum ohne Materie, i.e. ρ =, annehmen, ist die Konstante - und damit ä - identisch null), sodass ä = α a. (3) Es bleibt noch zu prüfen, für welche Zeiten a deniert und ungleich ist, damit g nicht ausgeartet ist, i.e. es bleibt noch I zu bestimmen. Man bemerke dazu zunächst, dass ä nirgends verschwindet, daher kann ȧ nur an isolierten Punkten verschwinden. Es sei also t so, dass ȧ(t ). Falls ȧ(t ) <, dann gilt ȧ(t) < ȧ(t ) für alle t > t, da ä(t) <. Es muss also a(t) eine Nullstelle vor t = t a(t ) besitzen. Falls ȧ(t ȧ(t ) ) >, zeigt das gleiche Argument, dass a(t) nach t = t a(t ) ȧ(t eine Nullstelle haben muss. ) Fortan sei die erste Nullstelle von a immer bei t =. Man beachte, dass a aufgrund von Gleichung () bedeutet, dass ρ und dass dieses Ergebnis unabhängig von κ ist, d.h. in jedem Falle hat ein Robertson-Walker Universum (ohne kosmologische Konstante) eine Art Urknall-Singularität. Zunächst hielt man diese Singularität für eine Konsequenz des hohen Grades an Symmetrie von Robertson-Walker Raumzeiten, Hawking und Ellis haben jedoch gezeigt, dass eine solche Singularität eher die Regel als die Ausnahme in physikalisch sinnvollen Universen ist. Welchen Einuss hat κ also auf a? Im Fall κ impliziert Gleichung (1), dass ȧ keine Nullstellen hat, denn in diesem Fall ndet man ȧ = α κ > (da wir α > annehmen). a Daraus folgt, dass a(t) > für t >. Eine Robertson-Walker Raumzeit mit κ existiert also für alle Zeiten. Man kann sogar folgern, dass ȧ(t ) ȧ(t 1 ), wenn t > t 1 >, denn a(t) > für t > und ȧ(t) > implizieren, dass a monoton wachsend ist, es ist aber ȧ 1/a. a kann also in endlicher Zeit nicht gegen streben. Für κ = 1 auf der anderen Seite betrachte man α a ȧ = ±, (4) a insbesondere gilt a(t) α. Integration von Gleichung (4) liefert t = = α π = 4α da ȧ = π α a α a da α sin (u) α ( )4α sin(u)cos(u)du 1 sin (u) sin (u)du = πα Es nimmt a also den maximalen Wert für t = πα an. Aus der Symmetrie der Gleichung kann man schlieÿen, dass a(t) bei t = πα eine weitere Nullstelle hat. Ein geschlossenes Universum existiert also nur für eine endliche Zeit. Den Zeitpunkt t = πα nennt man 6

7 "Big Crunch". Eine weitere wichtige Konsequenz aus κ = 1 ist, dass kein Beobachter um das gesamte Universum reisen kann. Um dies zu sehen, betrachte man eine zeitartige Kurve (nach t parametrisiert), deren Projektion auf S 3 zum Zeitpunkt t gegeben ist durch γ : (, πα) S 3. Dann gilt 1 + a(t) g S 3( γ, γ) <. Umstellen dieser Gleichung nach g S 3( γ, γ) und Integration liefern πα gs 3( γ, γ)dt < πα 1 dt = π. a(t) Da in dieser Ungleichung der erst Term strikt kleiner ist als der zweite, kann kein Beobachter in der Zeit, in der das Universum existiert, das Universum komplett "umrunden". 5 Einuss der kosmologischen Konstante Welchen Einuss hätte eine nicht verschwindende kosmologische Konstante Λ R auf die Friedmann-Gleichungen? Mit einer kosmologischen Konstante nimmt die Einstein- Gleichung die Form Ric = 4πρ (dt dt + g) + Λg an. Dies ist äquivalent zu 3ä a = 4πρ Λ ä ȧ a + a + κ = 4πρ + Λ. a Subtraktion der ersten Gleichung von der zweiten liefert 4ä a + ȧ a + κ a =Λ ä = aλ ȧ a κ a. (5) Nun kann man analog zum vorherigen Fall zeigen, dass 4πρa 3 3 = a3 Λ 3 äa konstant ist und man setzt α := 4πρa3, sodass ä = aλ α gilt. Eingesetzt in Gleichung 3 3 a (5) liefert dies ȧ = α a + a Λ κ =: V (a). 3 7

8 Verschieden Werte von Λ und α bestimmen das Verhalten von V (a) und damit die möglichen Werte, die a annehmen kann. Fall 1: Λ <, α > (entspricht ρ >, es existiert also Materie) In diesem Falle stellt sich heraus, dass V (a) eine Nullstelle bei a = a haben muss, da V (a) = α + aλ <, lim V (a) = und lim V (a) =. Insbesondere gilt a 3 a a V (a ). Dies bedeutet, dass a(t) in endlicher Zeit von der Urknallsingularität über seinen Maximalwert a in einen Big Crunch (a = ) mündet, da V (a). Man beachte das dies unabhängig von κ ist. Fall : Λ <, α = (entspricht ρ =, das Universum enthält also keine Materie) Hier gilt, dass V (a) impliziert, dass κ = 1, und das Verhalten von a(t) ist ähnlich zum Fall α >. Fall 3: Λ >, α > (ρ > ) Man ndet in diesem Fall, dass lim V (a) = lim V (a) = und V (a) hat eine Nullstelle a a ) 1 bei a = ( 3α 3, wo V von negativen zu positiven Werten wechselt. Für κ bedeutet dies wegen V (a ) = (9α Λ) 1 3 Λ κ, dass ȧ von unten durch eine positive Konstante beschränkt ist, ȧ also nicht das Vorzeichen wechselt. Wählt man eine expandierende Lösung, ȧ >, so ndet man ein Universum vor, das ausgehend vom Urknall für immer expandiert. Für κ = 1 existieren 3 Möglichkeiten: 1. Λ > 1 9α : a(t) verhält sich genau sie wie im Fall κ.. Λ = 1 : Es existiert eine stationäre Lösung a(t) 1 9α Λ. Auÿerdem existieren zwei weitere Lösungen, die gegen die stationäre Lösung konvergieren, nämlich eine vom Urknall ausgehende expandierende Lösung und eine von unendlichem Radius kontrahierende. 3. Λ < 1 : Es existieren zwei Lösungen; eine expandiert vom Urknall bis zu einem 9α maximalen Wert und endet in einem Big Crunch. Die andere kontrahiert von endlichem Radius bis zum Big Crunch und expandiert dann wieder. Fall 4: Λ >, α = (ρ =, also keine Materie) Falls κ = 1 gilt, existiert eine Lösung mit Urknall, die für immer unbeschränkt expandiert. Im Fall κ = expandiert die Lösung für immer, allerdings ohne Urknall, i.e. lim a(t) =. Die letzte Lösung, für κ = 1, kontrahiert von unendlicher Ausdehnung auf t endlichen Radius und expandiert dann wieder unbeschränkt. Theoretisch könnte man auch noch Fälle mit α < betrachten, diese sind aber physikalisch nicht sinnvoll, da sie eine negative Dichte der Materie im Universum bedeuten würden. 8

9 Quellen [GN14] [Wal84] L. Godinho and J. Natáro. An introduction to Riemannian Geometry. With Applications to Mechanics and Relativity. 14. url: tecnico.ulisboa.pt/~jnatar/geometria_secret.pdf. Robert M. Wald. General Relativity. English. The University of Chicago Press, isbn: