Diskontinuierliche Galerkin-Analyse für die lineare Elastizität. CES-Seminararbeit. Vorgelegt von: Siamak Mirzagholipour. Matr.Nr.:

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1 Diskontinuierliche Galerkin-Analyse für die lineare Elastizität CES-Seminararbeit Vorgelegt von: Siamak Mirzagholipour Matr.Nr.: Betreuer: M. Sc. Hamid Reza Bayat November

2 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung Basisgleichungen der linearen Elastizität Diskontinuierlichen Galerkin-Verfahren Diskretisierung Simulationsergebnisse und Zusammenfassung Literatur

3 1. Einführung Diskontinuitäten können in verschiedenen Bereichen der Mechanik erscheinen. Einige Beispiele, wo die Diskontinuitäten entstehen, sind noch deutlicher, wie die Bildung von Rissen. Andere Quellen von Diskontinuitäten sind weniger sichtbar, wie die Schnittstellen zwischen verschiedenen Materialien. Darüber hinaus können kontinuierliche Felder mit Steigungen als diskontinuierliche Felder berücksichtigt werden. Diese Arbeit zielt auf die Einbeziehung der willkürlichen Diskontinuitäten in der finite-elemente-methode. Die finite-elemente-methode ist eine der hochentwickeltesten numerischen Werkzeuge in der modernen Technik. Die Berücksichtigung der Diskontinuitäten ist aber noch eine anspruchsvolle Aufgabe. Im Rahmen der klassischen Finiten Element Methode können solche Diskontinuitäten nur durch die Position der Elementgrenzen und nicht durch die physikalische Situation bestimmt werden. Die Simulation von Risswachstum erfordert eine häufige Anpassung des Netzes, was eine schwierige und rechenintensive Aufgabe sein kann. Die numerische Umsetzung des diskontinuierlichen Modells erfolgt mit der Anwendung der diskontinuierlichen Galerkin Methode. 3

4 2. Basisgleichungen der linearen Elastizität In der Elastizitätstheorie wird das Verhalten eines Körpers unter dem Einfluss von äußeren Kräften untersucht. Beschränkt man sich auf die lineare Elastizität, so erhält man für Kinematik und Kräftegleichgewicht [4]: ε = sym (grad(u)) 1 div(σ) + f = 0 2 wobei ε linearen Verzerrungstensor, u Verschiebungsvektor, sym (grad(u)) symmetrische Teil von Verschiebungsvektor, σ Spannungstensor und f Vektor der Volumenkräfte darstellt. B u B B B t Um das Gleichungssystem zu Schließen benötigt man noch eine Gleichung, die der Zusammenhang zwischen dem Verzerrungstensor u und dem Spannungstensor σ beschreibt [2]. In der vollständig linearen Elastiziätstheorie kommt neben der geometrisch linearen Näherung auch ein lineares Materialgesetz, das Hookesche Gesetz zum einsatz: σ = 2 G ε + λ Spur(ε) I 3 mit: wobei E und ν die Elastizitätsmodul und Querkontraktionszahl repräsentieren. Zusammen mit den Randbedingungen Abbildung 1: Kontinuierliches Rechengebiet u = u p auf B u 4 { σ n = t auf B t kommt man auf die so genannte starke Formulierung. Der komplette Rand von B B = B u B t 5 Wird in zwei Teile B u,wo nur Verschiebung u p und B t,wo nur Ziehkraft definiert wird, geteilt. Darüber hinaus gilt: 4

5 B u B t = 6 Setzt man die Gleichungen (1) und (3) in (2) und Multipliziert man die daraus ergebene Gleichung mit der Testfunktion δu und nach einigen Umformungen ergibt sich die sogenannte schwache Formulierung: δε : σ dv B δu f dv B δu t da = 0 B 7 δε kann man auch als sym (grad(δu)) umschreiben. Spannungstensor ist auch durch Elastizitätsgesetz gegeben. So gibt es in die Gleichung (5) nur ein Unbekanntes Verschiebungsfeld u(x). 5

6 3. Diskontinuierlichen Galerkin-Verfahren Im Rahmen dieser Seminararbeit wird angenommen dass die potenzielle Unstetigkeitszone bekannt ist. Wir führen eine interne Oberfläche entlang dieser Zone. Damit werden zwei Teilgebiete B + und B in der unmittelbaren Nähe der Diskontinuität gebildet. B u B B t n B B + Abbildung 2:Diskontinuierliches Rechengebiet Der Einheitsnormalenvektor zu bezeichnen wir mit sich unsere Lösungsgebiet in [1]: n = n + = n. So unterteilt u + (x) in B + u(x) = 8 { u (x) in B Entsprechend wird die symmetrische Spannungstensor auch separat für B + und B als symmetrischer Teil der Gradient des Verschiebungsfeldes ausgedrückt: ε = { ε+ = sym (grad(u + )) in B + ε = sym (grad(u )) in B 9 Zur Behandlung der Diskontinuitäten führen wir einen Sprung- und Mittelwertterm: u = u + u 10 {u} = 1 2 (u+ + u ) 11 Sie wurden anhand der Feldvariabel u ausgewertet an beide Seiten von Diskontinuität berechnet. Wir müssen zusätzliche Randbedingungen für die Diskontinuität definieren. Diese sind die Kontinuität der Verschiebung und die Zugkraft: u = 0 12 σ n =

7 Um das Diskontinuierlichen Galerkin-Verfahren zu definieren, führen wir den Begriff gemittelter Zugkraft: {σ} n = 1 2 [σ + + σ ] n 14 Um die schwache Formulierung des Randwertproblems zu erhalten, multiplizieren wir wie beim kontinuierlichen Fall die starke Form des Randwertproblems mit der Testfunktion δu.nach der partiellen Integration über B + und B erhalten wir δε σ(u) dv B + B δu + σ(u + ) n + d δu σ(u ) n δu f dv B + B δu t da d = B t 15 Mit der Definition von dem Normalenvektor: δu + σ(u + ) n + d δu σ(u ) n d = [ δu σ(u) n ] d 16, der Identität δu σ(u) = δu {σ} + u {δσ} und der Stätigkeit der Verschiebung u = 0 erhalten wir: B + B δε σ(u) dv + δu {σ(u)} n d = δu f dv B + B δu t da B t 17 Solange die resultierende Gleichung weder symmetrisch noch stabil ist, der Term u {δσ} n d kann dazu addiert werden um die Gleichung zu symmetrisieren. Ein zusätzlicher Term nach Nitsche Methode θ δu u d dazu addiert um die Methode zu stabilisieren. B + B δε σ(u) dv δu f dv B + B δu t da + [ δu {σ} n + u {δσ} n ] d + θ δu u d = wird B t 18 Mit dem Koeffizient θ kann man der Einfluss des Stabilisators verstellen. 7

8 4. Diskretisierung Die schwache Formulierung wird mittels der finite-elemente-methode gelöst. Die räumliche Diskeretisierung des betrachteten Problems charakterisiert sich durch Berücksichtigung der internen Schnittstellen. N E 3 N E 8+ N 4 E = N 7+ E = N 1 E = 0 N E N E 2 Abbildung 3:Darstellung der dg-formfunktionen 6 N E 6+ = 0 Die schwache Form verbunden mit der Domains B + und B ist mit dem isoparametrischen Standard-Element diskretisiert. Die Geometrie x ist Elementweise mit der Formfunktionen N k und n en der Anzahl der Elementknoten entwickelt [3]: n el B = e B e x Be = i=1 N i x i 19 und nach isoparametrische Konzept, die Verschiebung u und ihre Variation δu sind mit derselben Formfunktion entwickelt: n u Be = en i=1 N i n u i δu Be = en i=1 N i δu i 20 Basierend auf den obigen Diskeretisierungen bekommen die entsprechende Gradientenfelder ε und δε folgende Form: n en n ε Be = en i=1 u i N i n δε Be = en δu i N i i=1 21 und Die Diskeretisierung der Sprung- und Mittelterme nen u = + N i+ + nen i=1 u i N i u i i=1 22 {u} = 1 [ nen + 2 Ni+ + nen i=1 u i + N i i=1 u i ] 23 Dies bedeutet, dass die Methode Doppelknoten entlang der Schnittstellen verlangt. Deswegen gehören die Werte u + und u verschiedenen unabhängigen Knoten, die 8

9 auf demselben Ort platziert sind. Die zusätzlichen Integralterme kann man in der neue dg-elementsteiffigkeitsmatrix K zusammenfassen: K = K 1 + K 2 + K 3 24 δu {σ} n da = [δu T ] [ NT 16 2 n 2 3 E 3 3 B 3 16 da] [u] K 1 u {δσ} n da = [δu T ] [ BT T T 16 3 E 3 3 n 3 2 N 2 16 da] [u] K 2 = K 1 T θ δu u da = [δu T ] 1 16 [ θ 1 1 N T 16 2 N 2 16 da ] [u] Mit: K 3 (u + 1 ) x (δu + 1 ) x (u + 1 ) y (δu + 1 ) y (u + 4 ) x (δu + 4 ) x (u + u = 4 ) y (δu + (u, δu = 4 ) y 1 ) x (δu 1 ) x (u 1 ) y (δu 1 ) y (u 4 ) x (δu 4 ) x [(u 4 ) y] 1 16 [(δu 4 ) y] 1 16, n = [ n 1 0 n 2 0 n 1 n 2 ]2 3 λ + 2G λ 0 E = [ λ λ + 2G 0 ] 0 0 2G 3 3 N = [ N N N 1 0 N N N N 1 0 N 4 ]

10 N 1 + x B = 0 2 N 1 + [ y 0 N 4 + N 1 + y 2 N 1 + x x 0 0 N 4 + y N 1 x 0 2 N 1 y 0 N 4 N 1 y 2 N 1 x x 0 0 N 4 y ]3 16 Die numerische Lösung des 2-dimensionalen Problems erfolgt durch die Auswertung der Integralterme auf vier Gaußpunkte die auf den Schnittstellen und das Lösen des Gleichungssystems. Als das globale Residuum erhält man: n R = E E [ K 1 + K 2 + K 3 ]u η η n ζ ζ Abbildung 4: Darstellung des 2D dg-elementes mit den Gaußpunkten 10

11 Dehnung [-] Dehnung [-] Verschiebung [mm] Verschiebung [mm] 5. Simulationsergebnisse und Zusammenfassung Hier sind die Ergebnisse eines Modellbeispiels dargestellt, das aus zwei verschiedenen Materialien zusammengesetzt ist. Abbildung 5: 1D Stab Wie schon vorher erwähnt wurde, beim dg-solver sind zusätzliche Knoten bei der Diskontinuität benötig. Abbildung 6: Darstellung des cg- und dg-elementes 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0,16% 0,14% 0,12% 0,10% 0,08% 0,06% 0,04% 0,02% 0,00% KnotenNr ElementNr. 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0 0,16% 0,14% 0,12% 0,10% 0,08% 0,06% 0,04% 0,02% 0,00% KnotenNr ElementNr. Standard-cG-Element dg-element Abbildung 7:Simulationsergebnisse 11

12 Die eindimensionale Simulation des dg-problems zeigen identische Ergebnisse mit der Standard-Galerkin-Methode. Diese Identität lässt sich durch lineare Elastizität erklären. Aufgrund der Gleichheit der exakten und approximierten Lösung in linearen Elastizität sind keine Unterschiede in der Ergebnisse zu erkennen. Im Rahmen dieser Arbeit wurde das Prinzip eines linear elastischen dg-solver verstanden und zum Vergleich mit dem vorhandenen Solver ein Programm in Matlab zum Berechnen der dg-steifigkeitsmatrix geschrieben. Basierend auf einem kartesichen Netz wird zunächst ein zweites Gitter mit der gleichen Elementanzahl und Geometrie erzeugt. Der Unterschied hierbei ist, dass bei dem neuen Gitter besitzen alle Elemente an der Schnittstellen die zusätzliche Knoten die für die Berechnung des dg-steifigkeitsmatrixes notwendig sind. Im nächsten Schrritt berechnet das Programm durch die Auswertung der Integralterme auf der Gaußpunkte das dg-steifigkeitsmatrix. 12

13 6. Literatur 1. A hybrid discontinuous Galerkin/ interface method for the computational modelling of failure, J. Mergheim, E. Kuhl and P. Steinmann, A posteriori Fehlerschätzer für gemischte Finite Elemente in der linearen Elastizität, Dissertation, Marco Lonsing, Computational Modeling of Strong and Weak Discontinuities, Dissertation, Julia Mergheim, Finite Element Technology, Lecture Notes, Stefanie Reese,