Grober Vorlesungsüberblick

Transkript

1 Grober Vorlesungsüberblick Einleitung/Grundbegriffe Systemökologische Fallbeispiele: Motto - 1,2,3 vom einfachen zum komplexen Einschub: Simulationstechnisches Werkzeug «Easy ModelWorks» Systemtheoretische Grundtechniken: Modellierung, Systemdarstellungen, Stabilitätsanalyse, Simulation Ökosystemmodelle aus aktueller Forschung: Agroökosysteme, Klima und Wälder usw Feb.2010

2 3.) Verbales Modell Entwurf eines verbalen Modells auf qualitativer Stufe... 19

3 Relationgraph Entwerfen G S=(X,R) R X Folie 20

4 Systemelemente e s n p o l R r d i g E605 (Insektizid mit Parathion als Wirkstoff) Schadinsekten Nützlinge (Insekten) Parathion im Agroökosystem (ausserhalb Fruchtfleisch, s. r) Paraoxon (Abbauprodukt von Parathion) Windverfrachtung Regen Parathionrückstand im Fruchtfleisch (Johanisbeeren) Diethylthiophosphorsäure (Abbauprodukt von Parathion) p-nitrophenol (Abbauprodukt von Parathion) Glucuronid (Abbauprodukt von Parathion) m Rückstandsmessungen (Parathion) T w Lufttemperatur Wirtspflanzen (Johanisbeersträucher) 21

5 Systemelemente (Forts.) l o i g d e p r m R s T w n 22

6 Systemelemente (Forts.) 23

7 Systemelemente (Forts.) Einfaches autonomes System: 1 Zustandsvariable 1 Ausgangsvariable 24

8 4.) Mathematische Modellierung Entwurf eines mathematischen Modells auf symbolischer Stufe... dr(t)/dt = -γ r(t) 25

9 Systemgleichungen Entwerfen Dynamikgleichung r(t) / t = -γ r(t) Ausgangsgleichung: m(t) = r(t) + ε(t) Wobei: r(t) Zustandsvariable: Pestizidrückstand im Fruchtfleisch (mg Parathion/kg Johannisbeerfruchtfleisch) γ Modellparameter: Mittlere Abbaurate von r(t) pro Tag (konstant, d.h. zeitunabhängig) m(t)ausgangsvariable: Gemessener Pestizidrückstand (gleiche Einheit wie r ) durch zufällige Messfehler (ε) r(t) 26

10 5.) Kalibrierung Das mathematische Modell, rein auf symbolischer Stufe entworfen, hat noch keinen Bezug zur konkreten Wirklichkeit. Oft ist es erforderlich Skalen, z.b. Einheit der Zeit, Anfangswerte, Eichungen von Modellparametern vorzunehmen. Diesen Arbeitsschritt nennt man Kalibrierung des mathematischen Modells. In unserem Beispiel geht es um ein Anfangswertproblem. Und wir wollen die spezifische Antwort auf unsere Frage, die nur für unseren Vorversuch, dafür hier genau, gelten soll. Wir wollen nicht für alle erdenklichen Johannisbeerkulturen od. jeglichen Pestizidabbau eine Lösung. Wir wollen eine für unseren Fall. Als Zeiteinheit wählen wir z.b. einen Tag (d), als Anfangswert die erste Messung. 27

11 Es gilt: Kalibrierung - Unbekannter Modellparamter γ r(t) = r(t 0 ) exp (-γ (t t 0 )) demnach muss zum Zeitpunkt t 1 der ersten Messung gelten r(t 1 ) = r(t 0 ) exp (-γ (t 1 t 0 )) oder 0.9 = 1.2 exp (-γ (4 0)) ln 0.9 = ln 1.2-4γ Erste Schätzung des unbekannten Modellparameters γ: => γ 01 = (ln1.2 - ln 0.9)/4 γ γ 01 = (/d) 28

12 Kalibrierung - Unbekannter Modellparamter γ (Forts.) Analog muss gelten: 0.45 = 0.9 exp (-γ 12 (7 4)) oder auch 0.45 = 1.2 exp (-γ 02 (7 0)) d.h. => γ 12 = (ln ln 0.45)/3 => γ 02 = (ln1.2 - ln 0.45)/7 Widersprüchliche Schätzungen von γ: γ 01 = (/d) γ 12 = (/d) γ 02 = (/d) 29

13 Was nun, wenn je nach Ansatz, wir für γ ganz verschiedene Werte bekommen? Sind die wirklich von Bedeutung... Vielleicht hilft uns ein pragmatisches Weiterfahren eher weiter, indem wir mit den bisherigen Schätzwerten versuchen weiterzuarbeiten 30

14 6.) Simulationsmodell Implementieren Entwurf eines Simulationsmodells auf numerischer Stufe mittels 31

15 Das mathematische Modell soll exakt in ein möglichst gleichwertiges Simulationsmodell übersetzt werden dr(t)/dt = -γ r(t) 32

16 Erstellung des Simulationsmodells: Schritt 1 - Bezeichner Übersetzen Math. Symbol Bezeichner im Simulationsmodell Wertbereich Einheit t t [t 0.. t*] d r x1dot 1 mg/kg/d? r(t) x1 [0..1.2] mg/kg r(t 0 ) x mg/kg γ gamma /d Bezeichner günstig wählen, d.h. für uns gemäss der Syntax der EMSL - Easy ModelWorks Simulation Language 33

17 Erstellung des Simulationsmodells: Schritt 2 - Implementation 34

18 Erstellung des Simulationsmodells: Schritt 3 - Forts. Implementation 35

19 7.) Bestimmung der Anfangswerte, Rand- und Rahmenbedingungen Anfangswerte aller Zustandsvariablen, z.b. r(0) 1.2 Randbedingungen, z.b. keine Rahmenbedingungen, z.b. Intervall Simulationszeit t 0 =0.0, t end = 45.0 Tage (d) 36

20 Implementation: Anfangswert Menubefehl Edit model... 37

21 Implementation: Rahmenbedingung Menubefehl Simulation Set time... 38

22 8.) Simulation oder die Durchführung von Modellexperimenten Wir experimentieren am Simulationsmodell Lösung des Anfangswertproblems Numerische Integration 39

23 40

24 9.) Interpretation der Simulationsresultate Was können wir aus den Simulationsresultaten lernen? 41

25 Die wichtigsten Simulationsergebnisse: Abbau so langsam, dass t* s > 20 d γ=0.072 /d (t: 0-4) Abbau so rasch, dass t* s < 20 d γ=0.231 /d (t: 5-7) r* s t* s 20 d t* s 42

26 Wir lernen aus den Simulationsergebnissen Der genaue Wert des Modellparameters γ spielt offensichtlich eine grosse Rolle Wir müssen einen Weg finden, um diesen Parameter möglichst geschickt zu bestimmen Wir sollten hierbei möglichst alle uns zur Verfügung stehenden Daten, d.h. alle 3 Messungen, ausnutzen 43

27 10.) Modell- und Parameteridentifikation Möglichst genaue Identifikation der Modellparameter, um damit das Modell exakt festzulegen 44

28 Identifikation Modellparameter durch Ausgleichsrechnung Analytische Lösung der Modellgleichung Lineare Regression der logarithmierten Messwerte r =r 0 e -γt kann durch Logarithmieren linearisiert werden: Achsenabschnitt ~ ln r 0 Steigung ~ γ ln r = ln r 0 - γt 45

29 Identifikation Modellparameter durch Ausgleichsrechnung γ = ± /d => 0 /d /d r(t 0 ) = mg/kg wobei r min (t 0 ) = bzw. r max (t 0 ) = % Vertrauensintervall 46

30 11.) Modelllvalidierung Vergleich eines Simulationsergebnisses, d.h. einer Projektion, mit neuen Messergebnissen 47

31 Neue Ergebnisse Pilotversuch Es sind noch folgende Messergebnisse aus unserem Pilotversuch neu dazugekommen: t Tage (d) r(t) ~ m(t) Rückstand Parathion (mg/kg) Sie kommen natürlich für die Voraussage zu spät, doch kommen sie für die Modellvalidation wie gerufen, denn sie wurden NICHT für die Modellidentifikation verwendet. 48

32 Modellvalidierung Übereinstimmung zwischen simulierter Projektion und neuen Messungen ist ziemlich gut 49

33 12.) Modellanwendung 50

34 Wir kommen zurück zu unserer eingangs gestellten Frage Ist der Zeitpunkt t* S bei dem der Para-thionrückstand r in den Johannisbeeren den Toleranzwert r* S erreicht kleiner als 20 Tage? Wobei: t* S Zeitpunkt bei dem r den Toleranzwert r* S erreicht r* S Toleranzwert Säuglingsnahrung = r* E /10 = 0.5/10 (mg/kg) 51

35 Gesund oder ungesund? 52

36 Modellanwendung zur Beantwortung der Frage Zeitpunkte Erreichung Toleranzwerte: t* E 7 d t* S = 23 d 53

37 Modellanwendung zur Beantwortung der Frage in Logarithmischer Darstellung t* E 7 d Zeitpunkte Erreichung Toleranzwerte: t* S = 23 d 54

38 Beantwortung der eingangs gestellten Frage: Pestizideinsatz und Säuglingsnahrung vertragen sich nicht, da t* S = 23 d Früchteverzehr durch Erwachsene ist laut eidgen. Verordnung für Fremdund Inhaltsstoffe FIV verantwortbar, da t* E 7 d 55