Computational Physics Praktikum: Numerische Hydrodynamik

Transkript

1 Computational Physics Praktikum: Numerische Hydrodynamik Wilhelm Kley Institut für Astronomie & Astrophysik & Kepler Center for Astro and Particle Physics Tübingen Wintersemester 2015

2 Hydrodynamik: Hydrodynamische Gleichungen Die Euler-Gleichungen der Hydrodynamik lauten in Erhaltungsform ρ + (ρ u) = 0 (1) (ρ u) + (ρ u u) = p + ρ k (2) (ρɛ) + (ρɛ u) = p u (3) u: Geschwindigkeit, k: äußere Kräfte, ɛ innere spezifische Energie Die Gleichungen beschreiben die Erhaltung der Masse, Impuls und Energie. Vervollständigung durch Zustandsgleichung: p = (γ 1) ρɛ (4) Forme damit die Energie-Gleichung (3) in eine Gl. für den Druck um p + (p u) = (γ 1)p u (5) W. Kley Computational Physics Praktikum 2

3 Hydrodynamik: Umschreiben Entwickle die Divergenzen auf der linken Seite und benutze für die Impulsund Energiegleichung die Kontinuitätgleichung ρ + ( u )ρ = ρ u (6) u + ( u ) u = 1 ρ p + k (7) p + ( u )p = γp u (8) Da alle Größen Funktionen von Ort ( r) und Zeit (t) sind, z.b. ρ( r, t), kann für die linke Seite die totale Zeitableitung geschrieben werden. z.b. für die Dichte der Operator Dρ Dt = ρ + ( u )ρ = ρ u (9) D Dt = + u (10) heißt substantielle Zeitableitung (entspricht der totalen Zeitableitung, d/dt) W. Kley Computational Physics Praktikum 3

4 Hydrodynamik: Lagrange-Formulierung Benutze die substantielle Ableitung Dρ Dt D u Dt Dp Dt = ρ u (11) = 1 ρ p + k (12) = γp u (13) Beschreibt zeitliche Änderung der Größen in einem mit der Strömung mitbewegten System = Lagrange-Formulierung Die Lagrangeformulierung kann z.b. gut bei radialen Stern-Oszillationen verwendet werden. Ist 1D Problem. Hier durch mitbewegte Masseschalen Bei Euler-Formulierung (auf Gitter): orstfest! W. Kley Computational Physics Praktikum 4

5 Problemstellung Betrachte die volle Entwicklung der zeitabhängigen hydrodynamischen Gleichungen. Die nicht-linearen partiellen Differentialgleichungen der Hydrodynamik werden numerisch gelöst: Kontinuum Diskretisierung W. Kley Computational Physics Praktikum 5

6 Gitter-Methoden (Euler) Lösungsverfahren Teilchen-Methoden (Lagrange) festes Gitter - Strömung durch Gitter ( ) u ρ + u u = p Methoden: Finite Differenzen keine Erhaltungseigenschaften Control Volume Erhaltungseigenschaften Riemann-Löser Welleneigenschaften Problem: Diskontinuitäten bewegtes Gitter/Teilchen - Strömung bewegt Gitter ρ d u = p dt Bekannte Methode: Smoothed Particle Hydrodynamics, SPH ausgeschmierte Teilchen Gut für freie Ränder, Eigengraviation W. Kley Computational Physics Praktikum 6

7 betrachte: 1D Eulergleichungen Beschreiben Erhaltung von: Masse, Impuls und Energie ρ + ρu ρu + ρuu ρɛ + ρɛu = 0 (14) = p = p u ρ: Dichte u: Geschwindigkeit p: Druck ɛ: innere spezifische Energie (Energie/Masse) Mit Zustandsgleichung γ: Adiabatenexponent Partielle Dgl. in Raum und Zeit. Brauche Diskretisierung in Raum und Zeit. (15) (16) p = (γ 1)ρɛ (17) W. Kley Computational Physics Praktikum 7

8 Diskretisierung ψ Betrachte Funktion: ψ(x, t) Diskretisierung im Raum Überdeckung mit Gitter x = x max x min N ψ n j j 1 j j+1 Zellmittelwert von ψ(x, t) am Gitterpunkt x j zum Zeitpunkt t n X ψj n = ψ(x j, t n ) 1 (j+1/2) x ψ(x, n t)dx x (j 1/2) x ψ n j ist stückweise konstant. j räumlicher Index, n Zeitschritt. W. Kley Computational Physics Praktikum 8

9 Zeitintegration Betrachte allg. Gleichung ψ = L(ψ(x, t)) (18) mit einem (räumlichen) Differentialoperator L. Typische Diskretisierung (1. Ordnung in der Zeit), z.zt.: t = t n = n t ψ ψ(t + t) ψ(t) t = ψn+1 ψ n t = L(ψ n ) (19) Jetzt am Ort, dem Gitterpunkt x j mit Umformung ψ n+1 j = ψ n j + tl(ψ n k ) (20) L(ψk n ): diskretisierter Differentialoperator L (hier explizit) - k in L(ψ k ): Satz von räumlichen Indizes: - typisch bei 2. Ordnung: k {j 2, j 1, j, j + 1, j + 2} (brauche Information von links und rechts, 5 Punkt Stencil ) W. Kley Computational Physics Praktikum 9

10 Operator-Splitting A L i ( A), i = 1, 2 einzelne (Differential-)Operatoren angewandt auf die Größen A = (ρ, u, ɛ). Hier bei 1D idealer Hydrodynamik = L 1 ( A) + L 2 ( A) (21) L 1 : Advektion L 2 : Druck, bzw. ext. Kräfte Zur Lösung in einzelne Unterschritte unterteilt A 1 = A n + tl 1 ( A n ) A n+1 = A 2 = A 1 + tl 2 ( A 1 ) (22) L i ist Differenzenoperator zu L i. W. Kley Computational Physics Praktikum 10

11 Advektions-Schritt In expliziter Erhaltungsform ρ (ρu) (ρɛ) = ρu = (ρuu) = (ρɛu) Für u = (u 1, u 2, u 3 ) und f = (f 1, f 2, f 3 ) gilt: u = (ρ, ρu, ρɛ) und f = (ρ u, ρuu, ρɛu). u + f ( u) = 0 (23) Dieser Schritt ergibt: ρ n ρ 1 = ρ n+1, u n u 1, ɛ n ɛ 1 W. Kley Computational Physics Praktikum 11

12 Kraftterme Impulsgleichung u n+1 j = u j t u 1 ρ n+1 j = 1 p ρ ( ) pj p j 1 x (24) für j = 2, N (25) Energiegleichung ɛ = p u ρ ( ) ɛ n+1 p j uj+1 u j j = ɛ j t ρ n+1 x j (26) für j = 1, N (27) auf der rechten Seite werden jeweils die momentanen Werte für u, ɛ und p eingesetzt, also hier u 1, p 1, ɛ 1. Dieser Schritt ergibt: u 1 u n+1, ɛ 1 ɛ n+1 W. Kley Computational Physics Praktikum 12

13 Modellgleichung für Advektion Kontinuitätsgleichung lautete Hier ist F m = ρu der Massenfluss ρ + ρu = 0 (28) Geht mit ρ ψ und u a = const. über in die Lineare Advektionsgleichung ψ + a ψ = 0. (29) Bei konstantem a ist die Lösung eine nach rechts laufende Welle mit ψ(x, t = 0) = f (x) wird ψ(x, t) = f (x at) Hierbei ist f (x) die Anfangsbedingung zur Zeit t = 0, welche durch Advektion mit konstanter Geschwindigkeit a verschoben wird. Die Numerik sollte diese Eigenschaft bestmöglichst erhalten. W. Kley Computational Physics Praktikum 13

14 Lineare Advektion FTCS: Forward Time Centered Space Algorithmus ψ + a ψ = 0 (30) ψ ψ j 1 j ψ j+1 Spezifiziere Gitter : und schreibe es folgt ψ j n ψ j n x = ψn+1 j j 1 t ψ n j = ψn j+1 ψn j 1 2 x x x j j+1 ψ n+1 j = ψj n a t ( ψ n 2 x j+1 ψj 1) n (31) (32) (33) Methode sieht gut motiviert aus: ist aber Instabil für alle t! W. Kley Computational Physics Praktikum 14

15 Upwind-Methode I ψ + aψ = 0 (34) oder ψ + a ψ = 0 (35) ψ α a t a: Konstante (Geschwindigkeit) > 0 ψ(x, t) beliebige Transportgröße Änderung von ψ in Zelle j ψ n+1 j x = ψ n j x + t(f in F out ) (36) in out Der Fluss F in ist für konstante ψ j F in = a ψ n j 1 (37) F out = a ψ n j (38) Upwind-Methode Information kommt von Stromaufwärts j 1 j j+1 Violette Bereiche werden in Nachbarzelle transportiert. X W. Kley Computational Physics Praktikum 15

16 Upwind-Methode II Erweiterung für nicht konstante Zustände ( F in = a t ψ I x j 1/2 a t ) 2 (39) ψ α a t ψ I(x) ψ I (x) Interpolationspolynom. Hier lineare Interpolation (Gerade) Damit F in = a t [ ψ n j 1 } {{ } 1st Order (1 σ) ψ j 1 } {{ } 2nd Order (40) mit σ = a t/ x ψ j ψ x xj ] ψ I (x) = ψ n j in out j 1 j j+1 + x x j x ψ j (41) ψ j undividierte Differenz Zweite Ordnung Upwind X W. Kley Computational Physics Praktikum 16

17 Undividierte Differenz a) ψ j = 0 Upwind, 1st Order, stückweise konstant b) ψ j = 1 ( ) 2 ψj+1 ψ j 1 Fromm, zentrierte Ableitung c) ψ j = ψ j ψ j 1 Beam-Warming, Upwind Steigung d) ψ j = ψ j+1 ψ j Lax-Wendroff, Downwind Steigung Meist 2nd Order Upwind (van Leer Schema) Geometric Mean (Monotonizität) 2 (ψ j+1 ψ j )(ψ j ψ j 1 ) (ψ j+1 ψ j 1 ) falls (ψ j+1 ψ j )(ψ j ψ j 1 ) > 0 ψ j = 0 sonst. (42) Die Ableitungen werden jeweils zum entsprechenden Zeitschrittlevel bzw. Zwischenschritt berechnet. W. Kley Computational Physics Praktikum 17

18 t n+1 n+1 ψj Lax-Wendroff-Methode t n+1/2 ~ n+1/2 ψ ψ~ n+1/2 j 1/2 j+1/2 t n ψ n j 1 ψ Durch zwei Schritte: n j Prädiktor-Schritt (z.zt. t n+1/2 ) ψ n j+1 ψ n+1/2 j+1/2 = 1 ( ) ψj n + ψj+1 n σ ( ) ψj+1 n 2 2 ψn j Dann Korrektor-Schritt (auf Zt. t n+1 ) ψ n+1 j = ψ n j σ ( ψn+1/2 j+1/2 ) n+1/2 ψ j 1/2 (43) (44) W. Kley Computational Physics Praktikum 18

19 ψ(x) Beispiel: Linare Advektion Upwind - (Diffusiv) 1 Linear Advection (N=600,t=40): Upwind, sigma=0.8 Analytic Upwind 0.8 Rechteckfunktion: Breite 0.6 im Intervall [ 1, 1] Geschwindigkeit a = 1, bis t = 40 periodische Randbedingung σ = a t/ x = (Courantzahl) Van Leer Linear Advection (N=600,t=40): Van Leer, sigma=0.8 Analytic Van Leer Phi-Achse X-Achse Lax-Wendroff - (Dispersiv) Linear Advection (N=600,t=40): Lax Wendroff, sigma=0.8 Analytic Lax Wendroff Phi-Achse 0.4 Phi-Achse X-Achse X-Achse W. Kley Computational Physics Praktikum 19

20 Stabilitätsanalyse I Setze für Lösung eine Fourier-Reihe ein (von Neumann 1940/50er) Betrachte vereinfachend eine Komponente, untersuche deren Wachstum ψ n j = V n e iθj (45) mit der Definition von θ über die Gittergröße x und der Gesamtlänge L θ = 2π x L Betrachte jetzt Upwind Verfahren mit σ = a t/ x (46) Einsetzen von Gleichung (45) ψ n+1 j ψ n j + σ(ψ n j ψ n j 1 ) = 0 (47) V n+1 e iθj = V n e iθj + σv n [ e iθ(j 1) e iθj] Teilen durch V n und e iθj liefert V n+1 V n ( ) = 1 + σ e iθ 1 (48) W. Kley Computational Physics Praktikum 20

21 Stabilitätsanalyse II Für das Betragsquadrat erhält man λ(θ) V n+1 2 [ ( )] [ ( )] V n = 1 + σ e iθ σ e iθ 1 ( ) ( ) = 1 + σ e iθ + e iθ 2 σ 2 e iθ + e iθ 2 = 1 + σ(1 σ)(2 cos θ 2) ( ) θ = 1 4σ(1 σ) sin 2 2 (49) Ein Verfahren ist stabil, falls der Betrag des Verstärkungsfaktors λ(θ) kleiner als eins ist. Das Upwind-Verfahren ist also stabil für 0 < σ < 1, dann ist λ(θ) < 1. Umgeschrieben t < f CFL x a mit dem Courant-Faktor f CFL < 1. Üblich ist f CFL = 0.5. Satz: Courant-Friedrich-Levy Es existiert kein explizites, konsistentes, stabiles finites Differenzenschema, das bedingungslos stabil ist (d.h. für alle t). W. Kley Computational Physics Praktikum 21 (50)

22 Modifizierte Gleichung I Betrachte Upwind Verfahren mit σ = a t/ x ψ n+1 j ψj n + σ(ψj n ψj 1 n ) = 0 (51) Ersetze Differenzen durch Ableitungen, d.h. Taylor-Entwicklung (bis 2. Ordnung) ψ t+1 2 ψ 2 2 t2 +O( t 3 )+σ Teile durch t, ersetze σ ψ + a ψ ( 2 ψ 2 t a 2 ψ 2 x ( ψ x 1 2 ) ψ 2 2 x 2 +O( t x 2 ) = 0 (52) ) + O( t 2 ) + O( x 2 ) = 0 (53) Benutze Wellengleichung ψ tt = a 2 ψ xx modifizierte Gleichung (Index M) ψ M + a ψ M = 1 2 a x (1 σ) 2 ψ M 2 (54) D.h. die FDG addiert einen diffusiven Term zur ursprünglichen PDG W. Kley Computational Physics Praktikum 22

23 Modifizierte Gleichung II mit Diffusions-Koeffizienten D = 1 a x (1 σ) (55) 2 Bem: Nur für D > 0 ist dies eine Diffusionsgleichung, woraus σ < 1 für die Stabilität folgt (Hirt-Methode). Für Upwind-Methode ist D > 0 Diffusion. Lax-Wendroff liefert ψ M + a ψ M Die Gleichung hat also die Form = t2 a σ ( ) σ 2 3 ψ 1 M 3 (56) ψ t + aψ x = µψ xxx (57) µ = t 2 a ( σ 2 1 ) (58) σ Dies verursacht Dispersion. Hier: Wellen zu langsam (µ < 0) Oszillationen hinter Diskontinuität (vgl. Rechteckfunktion) W. Kley Computational Physics Praktikum 23

24 Zeitschrittgröße Aus obiger Analyse folgt, dass die Zeitschrittgröße t limitiert sein muss für eine stabile numerische Entwicklung. Bei der linearen Advektion (mit der Geschwindigkeit a) gilt t < x (59) a Im allgemeinen Fall geht die Schallgeschwindigkeit (c s ) ein, und es ergibt sich die Courant-Friedrich-Lewy-Bedingung t < x c s + u (60) Anschaulich heißt dies, dass sich die Information in einem Zeitschritt nicht über eine Gitterzelle hinweg ausbreiten darf. Man schreibt üblicherweise x t = f C (61) c s + u mit dem Courant-Faktor f C. Typisch ist: f C 0.5. Nur bei impliziten Verfahren gibt es (theoretisch) keine Beschränkung von t. W. Kley Computational Physics Praktikum 24

25 Zeitschrittgröße graphisch Der numerische Abhängigkeitsbereich (grauer Bereich) darf nicht größer als der physikalische (gestrichelte Linie) sein. Nur Information von innerhalb des Schallkegels darf berücksichtigt werden. W. Kley Computational Physics Praktikum 25

26 Multi-dimensional Gitterdefinition (in 2D, staggered): Skalare in Zellzentren (hier: ρ, ɛ, p, v 3, ψ) Vektoren an Interfaces (hier: v 1, v 2 ) Flüsse über Zellränder: Oben: Masseflüsse Unten: X-Impuls (Gitter verschoben) aus: ZEUS-2D: A radiation magnetohydrodynamics code for astrophysical flows in two space dimensions. I in The Astrophysical Journal Suppl., von Jim Stone und Mike Norman, Benutze Operator-Splitting und Directional Splitting: Die x und y Richtung werden nacheinander abgehandelt. Erst x-scans, dann y-scans. W. Kley Computational Physics Praktikum 26

27 Zusammenfassung Numerische Methoden sollten Erhaltungseigenschaften wiedergeben. Gleichungen in Erhaltungsform schreiben Numerische Methoden sollten Welleneigenschaften wiedergeben. Shock-Capturing Methoden, Riemann-Löser Numerische Methoden müssen Diskontinuitäten unter Kontrolle halten. Brauche dazu Diffusion ( Stabilität) entweder explizit (künstliche Viskosität) oder intrinsisch (durch Verfahren) Numerische Methoden sollten genau sein mind. 2. Ordnung in Zeit und Raum Frei verfügbare Codes: ZEUS: klassischer Upwind-Code, zweiter Ordnung, staggered grid, RMHD ATHENA: Nachfolger von ZEUS: Riemann Löser, zentriertes Gitter, MHD NIRVANA: 3D, AMR, Finite Volume Code, MHD PLUTO: 3D, relativistisch, Riemann-Löser/Finite Volume, MHD GADGET: W. Kley Computational Physics Praktikum 27

28 Hydrodynamik: Wellenstruktur Betrachte eindimensionale Gleichungen (Bewegung in x-richtung): Aus Eulergleichungen: Mit p = (γ 1)ρɛ und Trennen der Ableitungen ρ + ρu ρu ρɛ Als Vektorgleichung mit = 0 + ρuu = p + ρɛu = p u W = ρ u p = W ρ + u ρ + ρ u = 0 u + u u + 1 p ρ = 0 p + u p u + γp = 0 + A W = 0 (62) und A = Gleichungen sind nichtlinear und gekoppelt. Versuche Entkopplung: Diagonalisierung von A u ρ 0 0 u 1/ρ 0 γp u (63) W. Kley Computational Physics Praktikum 28

29 Hydrodynamik: Diagonalisierung Eigenwerte (EW) det(a) = u λ ρ 0 0 u λ 1/ρ = (u λ) u λ 1/ρ 0 γp u λ γp u λ [ ] = (u λ) (u λ) 2 γp/ρ = 0 (64) Es folgt: λ 0 = u (65) λ ± = u ± c s mit der Schallgeschwindigkeit cs 2 = γp (66) ρ Die Eigenwerte geben charakteristische Geschwindigkeiten, mit denen sich die Information ausbreitet. Setzt sich aus Fluid- (u) und Schallgeschwindigkeit (c s) zusammen 3 reelle Eigenwerte A diagonalisierbar Q 1 AQ = Λ (67) Q setzt sich aus Eigenvektoren zu EW (λ i, i = 0, +, ) zusammen, Λ ist Diagonalmatrix. W. Kley Computational Physics Praktikum 29

30 Hydrodynamik: Charakteristische Variablen Für Q folgt 1 ρ 1 2 c s 1 ρ 2 c s Q = Hatten und Definiere: ρc s 1 2 ρc s und Q 1 = W cs ρc s ρc s + A W = 0 (68) Q 1 AQ = Λ dv Q 1 dw also dw = Qdv (69) Multipliziere Gl. (68) mit Q 1 v + Λ v = 0 (70) v = (v 0, v +, v ) sind charakteristische Variable: v i = const. auf Kurven dx dt = λ i W. Kley Computational Physics Praktikum 30

31 Hydrodynamik: Variable v 0 aus den Definitionen dv 0 = dρ 1 c 2 s dp (71) v 0 + λ 0 v 0 = 0 mit λ 0 = u (72) was ist dv 0? Aus Thermodynamik (1. Hauptsatz für spezifische Größen) ( ) 1 Tds = dɛ + p d = dɛ p ( ) 1 ρ ρ d 2 ρ mit p = (γ 1)ρɛ, ɛ = c vt, γ = c p/c v folgt [ ds = cp dρ dp ] ρ cs 2 (73) = cp ρ dv 0 (74) = s + u s = 0 (75) d.h. s ist const. entlang Stromlinien, also ds dt = 0 (76) W. Kley Computational Physics Praktikum 31

32 Hydrodynamik: Riemann-Invarianten Für weitere Variablen mit folgt v ± + (u ± c s) v± = 0 (77) dv ± = du ± 1 ρc s dp (78) v ± = u ± Sei Entropie überall konstant (d.h. p = K ρ γ ) dp ρc s. (79) = v ± = u ± 2cs γ 1 (80) Riemann-Invarianten: v ± = const. auf Kurven dx dt = u ± c s W. Kley Computational Physics Praktikum 32

33 Hydrodynamik: Aufsteilen von Schallwellen Linearisierung der Euler-Gleichungen führt auf Wellengleichung für Störung: 2 ρ 1 = c 2 2 ρ Bspl. für (rücklaufende) Stoßwelle 1 2 s (81) 2 aber: c s nicht konstant Aufsteilen Diskontinuitäten Sprung: Über- Unterschall W. Kley Computational Physics Praktikum 33