Modellbildung und Simulation, SS 2011 Blatt 5: Inverses Pendel

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1 restart; with(detools): with(linearalgebra): with(plots): with(plottools): Modellbildung und Simulation, SS 2011 Blatt 5: Inverses Pendel Beispielgroessen Zahlenwerte im Beispiel (Wagenmasse, Stabmasse, halbe Stablaenge, Erdbeschleunigung): subs_zahlen := {M=0.981,m=0.08,L=0.312,g=9.81}; K_ungeregelt := {Ks=0,Ksp=0,Kp=0,Kpp=0}; K_geregelt := {Ks=5.088,Ksp=5.258,Kp=35.39,Kpp=7.174}; (1.1) (1.2) (1.3) Sinus und Cosinus Richtig Exakte trigonometrische Ausdruck SIN := phi->sin(phi); COS := phi->cos(phi); (2.1.1) Linearisiert Linearisierte trigonometrische Ausdruecke (kleine ): SIN := phi->phi; COS := phi->1; (2.2.1) Listen der vorkommenden Groessen Werden spaeter bei der Termvereinfachung hilfreich sein:

2 Zustandsgroessen vars := [s(t), diff(s(t),t), phi(t), diff(phi(t),t)]; subs_vars := seq(vars[i] = s i,i=1..4); (3.1.1) Die Sequenz subs_vars erlaubt, die Zustandsgroessen durch s1,..,s4 zu ersetzen: diff(s(t),t)=xyz; subs([subs_vars],%); (3.1.2) Zweite Ableitungen Die vorkommenden zweiten Ableitungen: abls := diff(s(t),t$2); ablphi := diff(phi(t),t$2); abl := [abls,ablphi]; (3.2.1) Bild vom Stab malen bild := proc(s,phi) local LL,stab,schwerpunkt; global subs_zahlen; LL := subs(subs_zahlen,l); stab := line([s,0],[s+2*ll*sin(phi),2*ll*cos(phi)], color=red,thickness=3): schwerpunkt := disk([s+ll*sin(phi),ll*cos(phi)],ll/10, color=blue); display([stab, schwerpunkt],view=[-2*ll..2*ll,0..2*ll], scaling=constrained) end: bild(0,1);

3 display([seq(bild(0,t/10),t= )],insequence=true, scaling=constrained); 0

4 0 Bahn des Stabschwerpunkts Bahn des Stabschwerpunkts (horizontal und vertikal): x := t -> s(t) + L*SIN(phi(t)); y := t -> y0 + L*COS(phi(t)); (5.1) Beschleunigung des Stabs H,V: Kraft am Stab (horizontal und vertikal). Da H und V keine Zustandsgroessen sind, also eliminiert werden sollen, schreiben wir sie isoliert auf die linke Seite der Gleichungen. Dann brauchen wir gar keine Gleichung mehr zu speichern, sondern nur noch die rechte Seite, so dass in Zukunft H und V zu Ausdruecken in Zustandsgroessen expandiert werden. H := m*diff(x(t),t$2);

5 (6.1) V := m*diff(y(t),t$2)+m*g; (6.2) Drehmoment Traegheitsmoment des Stabs: theta := m*l^2/3; Stab-Drehmoment. Um Ordnung zu schaffen, verwenden wir die Liste der zweiten Ableitungen und lassen uns den Term danach sortieren. Das Ergebnis ist eine weitere Gleichung fuer unser System. theta*diff(phi(t),t$2) - L*(-H*COS(phi(t)) + V*SIN(phi(t)))= 0; gl1 := collect(%,abl); (7.1) (7.2) Kraft auf Wagen Kraft auf Wagen (nur horizontale Komponente): M*diff(s(t),t$2) - (u(t)-h) =0; gl2 := collect(%,abl); (8.1) Stellkraft Die Stellkraft u(t) ist ein linearer Ausdruck in den Zustandsgroessen (linearer PD-Regler): subs_u := u(t) = Kp*phi(t)+Ks*s(t)+Kpp*diff(phi(t),t)+Ksp* diff(s(t),t); (9.1)

6 Umformen in System linearer DGLn erster Ordnung Da wir H und V bereits eliminiert haben haben wir nur noch gl1 (Drehmoment) und gl2 (Kraft auf Wagen): gl1; gl2; (10.1) Noch kommen beide zweiten Ableitungen in beiden Gleichungen vor. Das muessen wir aendern (in der Form d rfen die zweiten Ableitungen nur auf der linken Seite Platz nehmen und zwar immer nur eine!). Das ist aber ganz gewoehnliches Eliminieren von und Einsetzen: gl1-4/3*l*gl2; gl3 := simplify(isolate(%,abls)); (10.2) gl4 := simplify(isolate(subs(gl3,gl1),ablphi)); (10.3) Setzen wir die Stellkraft ein: gl3a := subs(subs_u,gl3); gl4a := subs(subs_u,gl4); (10.4)

7 Und wir bekommen das gesuchte DGL-System (Fehlen uns nicht zwei Gleichungen? Nein, das sind die beiden trivialen Gleichungen, mit denen gesagt wird, wie und sowie und zusammenhaengen): gls := [diff(s(t),t)=diff(s(t),t), gl3a, diff(phi(t),t)=diff (phi(t),t), gl4a]; (10.5) Koeffizientenmatrix aufstellen Bisher liegt unser DGL-System als Liste von Gleichungen vor. Zur Bestimmung der Eigenwerte brauchen wir aber die Koeffizientenmatix. Von Hand geht das schnell, aber es ist etwas muehsam, das Maple beizubringen. Im Prinzip geht das mit coeff und einigen Vorbereitungsschritten: Rechte Seiten der DGLn: map(rhs,gls); (11.1) Umbenennen in s1,...,s4 (gibt sonst aerger, weil z.b. auch in

8 vorkommt: subs([subs_vars],%); (11.2) Sortieren: collect(%,[s1,s2,s3,s4]); (11.3) Und Koeffizienten extrahieren: coeff(%[2],s2); (11.4) Das ganze als Prozedur (faengt auch noch die Fuelle ab, wo die Groesse gar nicht im Ausdruck vorkommt, der Koeffizient also 0 ist): Es wird der Koeffizient von Zustandsgroesse j in Gleichung i zurueckgegeben: getcoeff := proc(i,j) global gls,vars; try coeff(subs([subs_vars],collect(expand(rhs(gls[i])),vars) ),subs([subs_vars],vars[j])) catch: 0 end try end: Und das ist der Lohn der Muehe A := Matrix(4,(i,j) -> getcoeff(i,j)); (11.5)

9 Stabilitaetsanalyse Es geht um die Eigenwerte von A, also die Nullstellen seines charakteristischen Polynoms: collect(characteristicpolynomial(subs(subs_zahle=1,a), lambda),lambda); (12.1) Ungeregelter Fall Da sieht die Matrix uebersichtlich aus: A0 := subs(subs_zahlen,k_ungeregelt,a); (12.1.1) Dafuer sind die Eigenwerte gar nicht gut (vor allem der mit positivem Realteil i.e. der umkippende Stab)! Eigenvectors(A0); (12.1.2) Geregelter Fall Nun ist das A zwar komplizierter... A1 := subs(subs_zahlen,k_geregelt,a); (12.2.1)

10 (12.2.1)... dafuer sind die Realteile aller Eigenwerte deutlich negativ: Stabilitaet! Eigenvectors(A1); (12.2.2) Und der geregelte Fall mit bewegtem Stab Tend := 5; DGLs := subs(k_geregelt,subs_zahlen,[gl3a,gl4a]); (13.1) (13.2) Dsol := dsolve({op(dgls),s(0)=0,d(s)(0)=1,phi(0)=0,d(phi)(0)= 0.1},numeric,{s(t),phi(t)},range=0..Tend); (13.3)

11 Dsol(1); (13.4) display(seq(bild( op(evalf(subs(subs(dsol(tend*t/100),[phi(t),s(t)])))) ),T=0..100),insequence=true,scaling=constrained); 0