Funktionen Graf-Zeppelin-Gymnasium

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1 Sj 015/16, Mathe K1 Wichtige Beispiele von Funktionen Inhaltsverzeichnis Wichtige Beispiele von Funktionen Polynome vom Grad n (ganzrationale Funktionen)...1. Gebrochen-rationale Funktionen Schwingungen und ähnliche Funktionen Funktionen mit Sprungstellen (Unstetigkeitsstellen) Spezielle Funktionen Polynome vom Grad n (ganzrationale Funktionen) Allgemeine Eigenschaften: Ein Polynom hat höchstens n Nullstellen Falls n ungerade ist, hat es mindestens eine Nullstelle. Es ist auf ganz definiert. Es ist überall stetig Es ist überall (unendlich oft) differenzierbar. Die Ableitung eines Polynoms n-ten Grades ist ein Polynom (n.1)-ten Grades. Die n-te Ableitung ist eine konstante Funktion, die (n-1)-te Ableitung eine Gerade. Spezialfälle und Beispiele: 1.1) Lineare Funktion: f : m c 1.) Normalparabel: f : 1.3) Allgemeines Beispiel (die Hochzahlen von sind natürliche Zahlen, die Koeffizienten von sind reelle Zahlen) f : Funktionen.doc W.Seyboldt Stand: 0..16

2 Sj 015/16, Mathe K1. Gebrochen-rationale Funktionen Eigenschaften Die Funktionszuordnung lässt sich als Bruch zweier Polynome darstellen. Alle Funktionen sind im Definitionsbereich stetig. (Der Definitionsbereich ist ganz R ohne die Nullstellen des Nenners.) Alle Funktionen sind überall im Definitionsbereich differenzierbar. Die Ableitungsfunktion ist wieder eine gebrochen-rationale Funktion. Die Definitionslücken (= Nullstellen der Nennerpolynome) können Pole (mit oder ohne Zeichenwechsel) sein oder stetig ergänzbare Stellen (in diesem Fall lässt sich der Funktionsterm kürzen). Beispiele.1) Funktion mit zwei Polen f : \ 1,1 4 1.) Funktion ohne Pole (beachte den kleinen Unterschied zu Bsp..1 für große sind beide Funktionen gleich.) f : 4 1.3) Hyperbel 1. Ordnung (Pol mit Zeichenwechsel einfache Nullstelle im Nenner). f : \ 0 1 Funktionen.doc W.Seyboldt Stand: 0..16

3 Sj 015/16, Mathe K1.4) Hyperbel. Ordnung (Pol ohne Zeichenwechsel doppelte Nullstelle im Nenner) f : \ 0 1.5) Funktion mit stetig ergänzbarer Definitionslücke in =0 (Der Nenner lässt sich mit der binomischen Formel umformen und dann kann man kürzen): f : \ Funktionen.doc W.Seyboldt Stand: 0..16

4 3. Schwingungen und ähnliche Funktionen Beispiele 3.1) Sinus-Funktion. Die Funktion hat die Periode π, d.h. es gilt f(+π)=f() f : sin( ) Sj 015/16, Mathe K1 3.) Funktion der Periode T, Schwingung um v nach rechts verschoben f : sin v T 3.3) Kompleere Schwingungen (ungedämpfte Schwebungen) f : 3 3, sin sin 0 1, ) sin()/ hat in 0 eine Definitionslücke, die stetig ergänzbar ist (aber keine Termvereinfachung hat). f : sin( ) falls 0 0 falls = 0 3.5) sin(1/) hat in 0 eine Definitionslücke, die kein Pol ist, aber nicht stetig ergänzbar ist. f : \ 0 1 sin 3.6) *sin(1/) hat in 0 eine Definitionslücke, die stetig ergänzbar, aber nicht differenzierbar ist (die Steigung der Sekanten schwanken zwischen 1 und -1). f : \ 0 1 sin Funktionen.doc W.Seyboldt Stand: 0..16

5 Sj 015/16, Mathe K1 4. Funktionen mit Sprungstellen (Unstetigkeitsstellen) Beispiele 4.1) Heaviside-Funktion f : \ 0 1 für >0 Heaviside( ) 0 sonst 4.) Floor- oder Gaußklammerfunktion, sie unendlich viele unstetige Punkte. f : nächstkleinere ganze Zahl 4.3) Charakteristische Funktion eines Intervalls [a,b]=[-,3], sie hat zwei unstetige Punkte f : 1 für [a,b] Heaviside a Heaviside b 0 sonst ( ), ( ) ( ) ab Funktionen.doc W.Seyboldt Stand: 0..16

6 5. Spezielle Funktionen 5.1) Die folgende Funktion ist in jedem Punkt unstetig. f : 1 falls rational 0 falls irrational Sj 015/16, Mathe K1 5.) Die folgende Funktion ist in jedem rationalen Punkt unstetig, in jedem irrationalen aber stetig, damit hat sie abzählbar viele dicht liegende Unstetigkeitsstellen, aber überabzählbar viele Stetigkeitsstellen. f : Als Werte von f treten genau die Zahlen 0, 1 q falls = rational, gekürzt p q 0 falls irrational ,,,,...,, n vor, wenn n eine Primzahl ist, wird der Wert 1/n genau (n-1) mal im Intervall [0/1] angenommen, sonst weniger oft. Die Funktion f springt an jeder rationalen Stelle, d.h. das Schaubild besteht nur aus isolierten Punkten. Die Funktion g ist an allen rationalen Funktionen unstetig und an allen irrationalen stetig. Schaubild von f mit allen Punkten bis zur Nennergröße 10 Schaubild mit allen Punkten bis zur Nennergröße 00 Funktionen.doc W.Seyboldt Stand: 0..16