Lehrerband. Einblicke. Mathematik

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1 Lehrerband 10 Einblicke Mathematik

2 Einblicke 10 Mathematik Lehrerband von Marina Gress Gisela Häberle Dorothee Landwehr Micha Pallesche Uwe Pietrzyk Melanie Stein Ernst Klett Verlag Stuttgart Leipzig

3 Auflage Alle Drucke dieser Auflage sind unverändert und können im Unterricht nebeneinander verwendet werden. Die letzte Zahl bezeichnet das Jahr des Druckes. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis 52 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Fotomechanische oder andere Wiedergabeverfahren nur mit Genehmigung des Verlages. Auf verschiedenen Seiten dieses Heftes befinden sich Verweise (Links) auf Internet-Adressen. Haftungshinweis: Trotz sorgfältiger inhaltlicher Kontrolle wird die Haftung für die Inhalte der externen Seiten ausgeschlossen. Für den Inhalt dieser externen Seiten sind ausschließlich die Betreiber verantwortlich. Sollten Sie daher auf kostenpflichtige, illegale oder anstößige Inhalte treffen, so bedauern wir dies ausdrücklich und bitten Sie, uns umgehend per davon in Kenntnis zu setzen, damit beim Nachdruck der Verweis gelöscht wird. Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart Alle Rechte vorbehalten. Autoren: Marina Gress, Gisela Häberle, Dorothee Landwehr, Micha Pallesche, Uwe Pietrzyk, Melanie Stein Redaktion: Uwe Pietrzyk Mediengestaltung: Traub, Bildwerkstatt, Leonberg Zeichnungen / Illustrationen: Maren Barber, Berlin; Helmut Holtermann, Dannenberg; media office gmbh, Kornwestheim Reproduktion: Meyle + Müller Medien-Management, Pforzheim DTP / Satz: media office gmbh, Kornwestheim Druck: Medienhaus Plump, Rheinbreitbach Printed in Germany ISBN

4 Mehr als ein Schulbuch die Einblicke Mathematik Familie für Ihren Unterricht Mit den neuen Bildungsstandards werden an den Mathematikunterricht vielfältige neue Anforderungen gestellt. Um Sie im Umgang mit den neuen Aspekten zu unterstützen und Ihnen die Unterrichtsvorbereitung und -durchführung zu erleichtern, bieten wir Ihnen neben dem neu entwickelten Schülerbuch ein umfangreiches und differenziertes Begleitmaterial. Das Schülerbuch, das nach wie vor die solide Grundlage des Unterrichts darstellt, wird ergänzt durch den vorliegenden Lehrerband, die Arbeitshefte, die Serviceblätter und die Service-CD. Alle Materialien sind passgenau aufeinander abgestimmt und bilden die Einblicke Mathematik Familie, für den modernen Mathematikunterricht an der Hauptschule. Das Schülerbuch Das Schülerbuch Einblicke Mathematik hilft dabei, den Mathematikunterricht weiterzuentwickeln. Es baut auf dem Vorwissen der Schülerinnen und Schüler auf und verknüpft mathematisches Denken mit Alltagsdenken. Die Inhalte und Aufgaben des Schülerbuches bieten viele Anlässe zum praktischen Handeln und zur Auseinandersetzung mit der Mathematik. Den Schülerinnen und Schülern werden nicht nur grundlegende Kenntnisse und Fähigkeiten vermittelt, sondern sie lernen über verschiedene Lösungswege zu reflektieren und das, was sie tun, zu hinterfragen. Sie werden immer wieder aufgefordert, ihre Lösungen mit anderen zu diskutieren und vorzustellen. Treten Rechenfehler oder falsche Lösungswege auf, können diese Anlass für vertiefende Auseinandersetzungen sein, die zum besseren Verständnis führen. Das Buch Einblicke Mathematik 10 bietet Zugänge aus Bereichen wie Naturwissenschaften, Technik, Sport und Berufswelt. Es knüpft immer wieder an die Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler an und fordert sie auf, die Mathematik auf unterschiedlichen Wegen kennen zu lernen. Dabei werden nicht nur die kognitiven Fähigkeiten der Schülerinnen und Schüler angesprochen, sondern sie werden immer wieder zum Handeln und Erforschen aufgefordert. Durch veränderte Aufgabenstellungen wird die Eigenverantwortung der Jugendlichen gestärkt und das selbstständige Lernen gefördert. Der Lehrerband Der Lehrerband bietet Ihnen mit seinen Kommentaren und Hinweisen sowie den Lösungen selbst einen zuverlässigen und weitreichenden Service für den Mathematikunterricht. Er unterstützt Sie sowohl bei Ihrer Unterrichtsvorbereitung als auch bei der Durchführung des Unterrichts. Im Lehrerband steht neben jeder Schülerbuchseite unmittelbar die zugehörige Lehrerbandseite. Dies bietet eine übersichtliche Zuordnung von Kommentaren und Lösungen. Der Lehrerband ermöglicht Ihnen so, mit einem einzigen Buch zu arbeiten. Trainingsseiten Im Training Eignungstest werden typische Aufgaben aus Eignungstests angeboten. Es gibt Aufgaben mit Auswahlantworten und Schätzaufgaben. Die Schülerinnen und Schüler können Zahlenreihen ergänzen und ihr räumliches Vorstellungsvermögen trainieren. Das Training Mathematik und Beruf bietet auf insgesamt acht Seiten kurze Informationen zu Bewerbung und Berufen sowie Mathematikaufgaben aus dem Berufsleben. Diese Seiten eignen sich gut, um mathematische Grundkenntnisse der vorangegangenen Klassen wieder aufzufrischen. Sie können in beliebiger Reihenfolge gelöst und besprochen werden, da nur der Stoff bis zu Beginn der 10. Klasse vorausgesetzt wird. Am Ende des Bandes werden im Training Abschlussprüfung 10 Seiten prüfungsähnliche Auf gaben angeboten. Im ersten Teil werden kurze, übersichtliche Aufgaben angeboten, mit denen die Schülerinnen und Schüler ihre mathematischen Grundkenntnisse überprüfen können. Der zweite Teil bietet komplexere Aufgaben zur Überprüfung vertiefter und erweiterter Kenntnisse und Fähigkeiten.

5 Schwerpunkt dieser Seiten ist es, die Entwicklung von Lösungsstrategien und das flexible Denken zu schulen. Den Schülerinnen und Schülern soll bewusst werden, dass das Nachdenken, das Finden eigener Lösungswege und das Argumentieren genauso zum Mathematikunterricht gehören wie das Beherrschen von Rechenverfahren. Außerdem merken sie, dass Mathematik auch in ihrem späteren Alltag von großer Bedeutung sein wird. Kapitel Der Lehrerband ist wie das Schülerbuch in sechs Kapitel unterteilt, die jeweils mit einer doppelten Auftaktseite beginnen. Die Auftaktseiten knüpfen an Bekanntes an und fordern die Jugend lichen auf, sich auf Neues aus den Bereichen Technik, Medizin und Naturwissenschaft einzulassen. Im Lehrerband wird der Kapitelaufbau, die mathematische Intention der Auftaktseiten sowie ihr Einsatz im Unterricht erläutert. Lerneinheit Auf die Auftaktseiten folgen die Lerneinheiten, die Ihnen zunächst einen Einstieg in den Unterricht anbieten. Die Impulse und Weiter geht s liefern Anregungen und Ideen, die das Unterrichtsgespräch unterstützen. Mit diesen Anregungen werden die Schülerinnen und Schüler zum selbstständigen und zum gemeinsamen Denken und Arbeiten angeregt, wodurch sie sich die wesentlichen Erkenntnisse der Lerneinheit selbst erarbeiten. Die Ziele dieser Anregungen werden im Lehrerband explizit erläutert. Aufgaben Es folgen die Aufgabenseiten mit einer großen Vielfalt an Aufgaben zum Üben und Verstehen. Dieses Überangebot gibt Ihnen als Lehrkraft die Möglichkeit, je nach Leistungsstand Ihrer Klasse unterschiedliche Aufgaben auszuwählen. Die Aufgaben sind in drei Schwierigkeitsgrade unterteilt und so gestellt, dass die Jugendlichen auf unterschiedliche Weise Erfolge erzielen, Sicherheit gewinnen und ihr Selbstbewusstsein gestärkt wird. Auf Seite 3 des Schülerbuches wird erklärt, wie die Differenzierung der Aufgaben gekennzeichnet ist. p/g Im Schülerbuch finden Sie eine Vielzahl von Aufgaben, die in Partner- (p) oder Gruppenarbeit (g) durchgeführt werden. Dies fördert die sozialen Kontakte innerhalb der Klasse und regt die Schülerinnen und Schüler zur Diskussion und zum Ideenaustausch an. Sie kommunizieren miteinander und suchen gemeinsam nach Lösungswegen. Aufgaben mit einem grünen Kästchen bei der Aufgabenziffer fordern und fördern speziell die prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen (z. B. Argumentieren, Problemlösen). w Aufgaben, für die die Arbeit mit dem Internet erforderlich ist, sind besonders gekennzeichnet und werden im Lehrerband mit zusätzlichen Informationen unterstützt. Der Lehrerband liefert Ihnen Anregungen und Hilfestellungen zum Interneteinsatz. Als zusätzliches Angebot für den Einsatz im Unterricht bietet der Klett Verlag eine Vernetzung zu elektronischen Materialien an. Auf vielen Seiten im Schülerbuch finden Sie in der Randspalte eine Online Link Nummer. Online Link Wenn Ihre Schülerinnen und Schüler oder Sie diese Nummer auf der Klett-Internetseite ( im Suchfeld oben links eingeben, dann gelangen sie zu Dateien, die Aufgaben im Schülerbuch ergänzen oder erleichtern. Das können zum Einen Excel-Tabellen sein, so dass die Schülerinnen und Schüler das Zahlenmaterial einer Aufgabe nicht extra eingeben müssen. Aber es gibt auch vorbereitete Geonext-Dateien, mit denen die Schülerinnen und Schüler einen mathematischen Sachverhalt entdecken und genauer analysieren können. Auf finden Sie alle Online Links unter Lehrwerk-Online > Einblicke Mathematik-Online > Einblicke Band 10 aufgelistet. Unter Weiteres Angebot bietet der Lehrerband zusätzliche Aufgaben und Ideen für den Unterricht. Die Überschrift lässt erkennen, worum es sich dabei handelt.

6 Zu allen Aufgaben bietet der Lehrerband neben den ausführlichen Lösungen wichtige Tipps und Hinweise für leistungsschwache Schülerinnen und Schüler sowie weitere Herausforderungen für besonders starke Schülerinnen und Schüler. An unterschiedlichen Stellen der Lerneinheiten befinden sich die Merkkästen und Informationen mit den grundlegenden mathematischen Kenntnissen und Inhalten der Lerneinheiten. Dabei wird die Formel nur dann genannt, wenn die Jugendlichen die mathematischen Gesetzmäßigkeiten zuvor selbstständig entdeckt haben. Eine besondere Lerneinheit am Ende des Kapitels bilden die Seiten Üben Wiederholen. In dieser Lerneinheit werden in weiteren Aufgaben die wesentlichen Inhalte der vorangegangenen Lerneinheiten wiederholt und untereinander sowie mit anderen Kapiteln vernetzt. Sie können entweder als weiterer Fundus dienen oder als Wiederholungsaufgaben vor dem Test im Schülerbuch oder vor Klassenarbeiten eingesetzt werden. Grüne Aufgabenseiten Zwischen den Lerneinheiten finden Sie die grünen Aufgabenseiten, diese haben je nach Rubrik unterschiedliche Intentionen. Unter der Rubrik Thema werden Aufgaben zu Sachthemen inhaltlich vernetzt, wie z. B. auf den Seiten Windenergie oder Messen im Freien. Ein besonderer Schwerpunkt der grünen Seiten liegt auf dem Umgang mit einem Tabellenkalkulationsprogramm, z. B. Wachstum mit dem Computer oder Potenzfunktion. In der Rubrik Auf geht s werden Themen aufgegriffen und wiederholt, die den Schülerinnen und Schülern schon bekannt sind und für das folgende Thema als Grundlage präsent sein sollten. Bei der Mathematischen Reise werden interessante Probleme mit höherem mathematischen Anspruch erarbeitet, wie z.b. Logarithmus oder Sinus- und Kosinussatz. Test Der Test am Ende des Kapitels bietet den Jugendlichen die Möglichkeit, ihren Wissensstand selbstständig zu überprüfen. Dazu sind die Lösungen der Tests im Schülerbuch abgedruckt. Aufgabenvorschläge für Klassenarbeiten Der Lehrerband bietet am Kapitelende zusätzliche Aufgaben, die für Klassenarbeiten oder als Übungen zu deren Vorbereitung verwendet werden können. Die Serviceblätter Die Serviceblätter sind Kopiervorlagen, deren Abfolge der des Schülerbuches entspricht. Sie sind selbsterklärend und können ohne größere Anweisung als Kopie an die Schülerinnen und Schüler verteilt werden. Die Serviceblätter sind als Erweiterung, Variation und Differenzierung der Inhalte des Schüler buches zu verstehen. Sie finden auf den Serviceblättern weitere Übungen in Form von vertiefenden Aufgaben, Spielen, Knobeleien, aber auch in Form von Partner- und Gruppenaufgaben. Um Ihnen eine individuelle Anpassung der Serviceblätter an Ihren Unterricht zu ermöglichen, finden Sie die Serviceblätter im Dateiformat Word auf der Service-CD wieder. Die Service-CD Der Einzug des Computers in den Unterricht und die Entwicklung grundlegend neuer Fähigkeiten im Umgang mit den neuen Medien ist nicht mehr allein Aufgabe eines einzelnen Lehrgangs. Die informationstechnische Grundbildung soll im Zusammenspiel der verschiedenen Fächer erworben werden. Diesem Ansatz will die Service-CD Rechnung tragen. Die CD bietet eine Fülle von Materialien, die Sie in der Vorbereitung und Durchführung Ihres Unterrichts unterstützen können.

7 Die Serviceblätter, die auch in Buchform vorliegen, sind auf der CD zu finden. Ebenso bietet Ihnen die CD Interaktive Arbeitsblätter in den Datei-Formaten Word, Excel, html oder auf Basis der interaktiven Mathematiksoftware Geonext, die im Lieferumfang enthalten ist. Diese Arbeitsblätter sind für den Einsatz im Unterricht konzipiert und technisch so auf der CD abgelegt, dass sie schnell und komfortabel auch ins Schulnetz überspielt werden können. Werkzeuge, die Ihnen beim Erstellen von Vorlagen behilflich sind, werden ebenfalls zur Verfügung gestellt. So können Sie beispielsweise schnell und einfach Arbeitsblätter mit Formeln und Brüchen in Word erstellen und als Kopiervorlage ausdrucken. Simulationen, Animationen und Fotos können Gesprächsanlass sein, um komplexe Fragestellungen anschaulich zu machen. Die Service-CD ist so aufgebaut, dass Sie die zum Unterricht passenden Medien problemlos und schnell finden können. Eine komfortable Suchfunktion, Vorschaugrafiken auf die Medien und die Nutzung der freigeschalteten Medien im Schulnetz runden das Konzept ab. Leitideen, mit einfachen Worten Das A und O der neuen Bildungsstandards sind die Leitideen. Um den Jugendlichen selbst die Leitideen näher zu bringen, könnte man ihnen die Inhalte der Leit ideen mit folgenden Worten erklären. Leitidee Zahl An Zahlen denken die meisten Menschen als Erstes, wenn sie das Wort Mathematik hören. Zählen, Rechnen mit natürlichen Zahlen, der Umgang mit Brüchen, später auch mit Dezimalzahlen und ganzen Zahlen, usw. sind unter dieser Leitidee zusammengefasst. Beim Rechnen werden gelernte Rechentechniken angewandt und Rechenvorteile genutzt. Leitidee Messen Geld, Zeit, Gewicht, Länge, Volumen vieles wird gemessen und verglichen. Dafür werden Maßeinheiten festgelegt und mit den gemessenen Größen gerechnet. Hat man ein Gefühl für eine Größe entwickelt, so kann man diese gut einschätzen. Manche Berechnungen werden immer nach dem gleichen Schema durchgeführt, für solche Berechnungen notiert man Formeln und stellt Regeln auf. Leitidee Raum und Form Bestimmten Figuren, Mustern und Formen begegnet man in der Umwelt, der Kunst und in der Architektur, also überall: Vielecke, Kreise, Würfel, Quader, Prismen usw. Ihre Eigenschaften und Besonderheiten werden untersucht, sie werden teilweise selbst gezeichnet und es wird mit ihren Maßen gerechnet. Leitidee Funktionaler Zusammenhang Viele Informationen werden mit Diagrammen dargestellt, um viele Daten auf einen Blick sichtbar zu machen. Oft sind zwei Größenbereiche voneinander abhängig, solche Abhängigkeiten werden mithilfe von Schaubildern und Tabellen dargestellt. Dazu können anschließend Aussagen gemacht werden. Leitidee Daten und Zufall Um bestimmte Fragen beantworten zu können, werden Daten gesammelt, erfasst, geordnet, übersichtlich dargestellt und ausgewertet. Hat man die Daten zusammengetragen, so kann man Aussagen zu diesen treffen. Wir wünschen auch Ihnen viel Spaß und Erfolg mit Ihrem Lehrerband Einblicke Mathematik!

8 Training Eignungstest Testaufgaben mit Auswahlantworten Bei manchen Einstellungstests ist es üblich, keine Hilfsmittel zur Verfügung zu stellen, daher ist es sinnvoll, die Schülerinnen und Schüler hier zum vorteilhaften Rechnen ohne Taschenrechner zu ermutigen. 1 Anwort (B) ist richtig, er braucht 3 Stunden. 15 km 1 h 1 km 1 _ 15 h 45 km _ h = 3 h 2 Hier ist der Teiler nicht mehr sofort erkennbar. 6 Schrauben 0,96 1 Schraube 0,96 _ 6 = 0,16 25 Schrauben 0,96 _ 6 25 = 4 Antwort (B) ist richtig. Bei dieser Aufgabe sollten Schülerinnen und Schüler zu einem sinnvollen Abschätzen angeregt werden. 25 Schrauben sollen abgeschätzt werden. 4 6 = 24, also nur knapp weniger, 0,96 4 ergibt aufgerundet ,5 m 54 1 m _ 54 4,5 = 12 7 m _ 54 4,5 7 = 84 Antwort (B) ist richtig % % 178,50 Antwort (C) ist richtig. 150 muss mit 1,19 multipliziert werden. 5 9 = 45, also muss die letzte Ziffer eine 5 sein. Antwort (B) und (D) fallen also raus ,19 = ,19 ist die Hälfte davon, also 59,50. Daran erkennt man ohne weitere Rechnung aufgrund der 50 Cent, dass Antwort (C) die Richtige sein muss. 5 9 Stunden 234 Motoren _ 1 2 Stunde 13 Motoren _ _ 54 9 = 26 Motoren in einer Stunde. Die Hälfte ergibt 13 Motoren. Antwort (B) ist richtig Hunde 60 Tage 1 Hund 60 Tage 12 = 720 Tage Hunde _ 15 Tage = 48 Tage Hier ist nicht mehr Proportionalität, sondern umgekehrte Proportionalität gefragt. Antwort (C) ist richtig. 7 Abgeschnitten werden: 3 m _ 5 6 Als Erstes sollte gekürzt werden. _ m = _ 5 2 m = 2,5 m Also ist der Rest 3 m 2,5 m = 0,5 m lang. Andere Lösungsmöglichkeit: Es bleibt _ 1 6 für das Reststück. Da Antwort (C) und (D) größer als die Hälfte eines Meters sind, können nur Antwort (A) und (B) die Lösung sein. (A) ist _ 1 6 und (B) _ 1 5, also ist Antwort (A) richtig. 8 1 _ 3 4 m = 175 cm _ = 8,75 = 8 Stück und ein Stück Restblech. Es kann auch mit 180 cm abgeschätzt werden und anschließend um einen Streifen erniedrigt werden. Antwort (B) ist richtig. 9 10:45 Uhr + 3:30 Stunden = 14:15 Uhr Mit 40 Minuten Verspätung: 14:15 Uhr + 40 Minuten = 14:55 Uhr Antwort (C) ist korrekt. L 6

9 Es ist wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler bei den Prozentaufgaben richtig aus dem Text entnehmen, was genau gefragt ist und den Grundwert richtig wählen. Das Kürzen von Brüchen ist eine Möglichkeit, die Rechnungen zu vereinfachen. 10 Der Preisnachlass entspricht 0, % 100 % 0,60 0,60 = 20 % 3 Antwort (A) ist richtig % % = 1150 Antwort (C) ist richtig. 12 Zinsen im Jahr: = % % Antwort (C) ist richtig. 13 V = 12 m 10 m 25 m = 3000 m 3 Abschätzung: 10 m 10 m 25 m = 2500 m 3 Wegen der Erniedrigung von 12 m auf 10 m, muss das Ergebnis größer sein, somit 3000 m 3. Antwort (C) ist richtig Liter = 1 dm 3 V = 2 _ π dm 3 Die Schülerinnen und Schüler können mit dem Tonnenradius 3 dm, π gleich 3 und mit einer Höhe von 12 dm rechnen. V = = = 324 m 3. Da π erniedrigt wurde, ist das Ergebnis größer. Antwort (C) ist richtig. 15 Diese Aufgabe ist nicht so leicht und schnell zu lösen wie die Vorgänger. Um zum Ziel zu kommen, müssen mehrere Rechenvorgänge vorgenommen werden. Um den Flächeninhalt abzuschätzen, muss die Höhe der Seitendreiecke bestimmt werden. Ein regelmäßiges Sechseck ist aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt. Die Höhe der gleichseitigen Dreiecke (des Bodens) kann mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden. h 1 = (4 m) 2 (2 m) 2 3,5 m Höhe Seitendreieck: h 2 = (6 m) 2 + h 2 1 6,9 m A = 6 _ m 6,9 m = 83 m2 Abschätzen: _ 2 4 m 6 m 3 = 72 m2 Die Dreieckshöhe muss größer sein als die Höhe des Körpers. Daher muss das Ergebnis größer als 72 m 2 sein. Antwort (C) ist die richtige Abschätzung. Zahlenreihen ergänzen 16 a) 18, 21, Regel: + 3 b) 32, 64, Regel: 2 c) 21, 28, Regel: + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, + 7 d) 10, 6, Regel: 4 e) 15, 9, Regel: 1, 2, 3, 4, 5, 6 f) 28, 33, Regel: 4/+ 5 g) 8, 11, Regel: 1/+ 3 h) 30, 60, Regel: + 2/ 2 17 a) b) a) C ergänzt die Reihe. Oben muss eine 3 liegen und unten wurde um je 2 Punkte erniedrigt. b) A ergänzt die Reihe. Oben wurde je um einen Punkt erhöht und unten alterniert die 4 mit der 6. L 7

10 Schätzen Der Ausschnitt zum Zählen sollte möglichst so gewählt werden, dass das Umrechnen auf das Ganze einfach ist. 19 Beispiel: Wenn man das eingezeichnete Quadrat verlängert, erhält man insgesamt 12 solcher Quadrate. Das Bild mit den Menschen ist 4,2 cm 6,3 cm, also ungefähr 24 cm 2 groß. Auf 1 cm 2 sind ungefähr 30 Menschen zu sehen. Damit sind rund = 720 Menschen auf dem Foto. 20 Es kann nicht einfach ein zweidimensionaler Abschnitt ausgezählt werden. Stattdessen zählt man die äußere Reihe der Murmeln und schätzt die in einer Ebene liegende Murmelzahl ab. Da die Kugeln und Behälter ungefähr gleich groß sind, reicht es die Kugelanzahl eines Behälters abzuschätzen. Es können rund sechs Murmeln entlang des halben Außenumfangs gezählt werden, somit bilden ungefähr zwölf Murmeln den Umfang des Gefäßes. Abgeschätzt könnte man nun sagen, müssten circa doppelt so viele, also rund 25 Stück in einer Ebene liegen. Nun zählt man noch die Anzahl der Kugeln übereinander ab. Orange: 7 Schichten Gelb: 11 Schichten Gelb mit blauen Flecken: 11 Schichten Durchsichtige: 13 Schichten Insgesamt ergeben sich: 25 ( ) = Kugeln. Es befinden sich somit ungefähr 1000 Kugeln in den vier Behältern. Auch wenn bei den folgenden Schätzaufgaben die Schülerinnen und Schüler spontan nicht wissen, wie schwer die einzelnen Tiere sind, sind die vorgegebenen Antworten ein guter Anhaltspunkt. Durch Ausschließen falscher Antworten ergibt sich die richtige Lösung. Den Jugendlichen hilft es, auch bekannte alltägliche Gegenstände als Vergleich heranzuziehen. Zum Beispiel 500 g Mehl oder die durchschnittliche Größe eines Menschen von 1,75 m. 21 a) Katze: (A) 5000 g = 5 kg b) Pferd: (A) 750 kg c) Meise: (C) 10 g 22 a) Fußgänger: (A) 5 km/h b) Feldhase: (B) 70 km/h 23 a) Giraffe: (B) 5,8 m b) Gorilla: (B) 1,75 m c) Marienkäfer: (C) 5 mm 24 a) Hier kann die Benutzung eines Lineals hilfreich sein. Unter dem Rotorblatt ist ein Kombi zu sehen, der etwa 4,50 m lang sein könnte. Auf dem Foto ist er 6 mm lang. 1 mm auf dem Foto repräsentiert also 0,75 m in der Wirklichkeit. Das Rotorblatt auf dem Foto ist 53 mm lang, folglich ist es in Wirklichkeit etwa 40 m lang. b) Der Frosch sitzt auf einem Bleistiftende mit schon etwas abgenutzem Radiergummi. Die Länge des Radiergummis beträgt circa 3 mm. Der Frosch ist somit ungefähr 5 mm lang. L 8

11 Flächen und Körper Hier geht es um das räumliche Vorstellungsvermögen der Schülerinnen und Schüler. Einigen Jugendlichen wird das besonders schwerfallen. Manchmal ist es hilfreich, eine Veranschaulichung zum Beispiel in Form von Würfeln vorzubereiten. 25 Alle großen Würfel haben drei kleine Würfel als Grund seite, bestehen insgesamt also aus 3 3 = 27 Würfeln. Für schwächere Schülerinnen und Schüler kann es hilfreich sein, erst abzuzählen, wie viele kleine Würfel noch fehlen und danach auszuwählen. Dabei dürfen die Eck- Würfel nicht vergessen werden. Körper (A) und (F) Körper (A) fehlen nur in der mittleren und oberen Ebene kleine Würfel. Deshalb kommen nur (C) und (F) in Frage. In der mittleren Ebene fehlen zwei kleine Würfel. Körper (F) ergänzt Körper (A) zu einem vollständigen Würfel, wenn man ihn auf den Kopf stellt. Körper (B) und (E) Körper (B) braucht Ergänzung in allen drei waagrechten Ebenen. Deshalb muss es Körper (E) sein. Körper (C) und (D) Körper (D) fehlt in der mittleren Ebene genau ein kleiner Eckwürfel. Körper (C) ergänzt ihn gut. 27 Blei > Sand > Wasser > Holz > Styropor > Sauerstoff. 28 a) 10 Flächen b) 11 Flächen c) 8 Flächen d) 8 Flächen 29 Die gestrichelten Linien zeigen jeweils die Kanten, an denen das Netz geknickt wird. a) Das Netz wird zweimal gefaltet, muss also zu dem dreieckigen Körper gehören. Der einzige dreieckige Körper ist Figur (4). b) Das Netz gehört zu einem regelmäßigen Körper, also zu (2) oder (4). Da die Spitzen im Netz abgeschnitten sind, muss es Figur (2) sein. c) Figur (1) hat nur zwei Seitenflächen, Figur (2) hat vier Seitenflächen. Das Netz zeigt einen Körper mit drei unterschiedlich großen Seitenflächen. Figur (4) hat drei etwa gleich große Seitenflächen, also bleibt nur noch Figur (3) übrig. Das Netz gehört zu Figur (3). d) Figur (4) hat zu viele Seitenflächen. Figur (2) und (3) haben gleich lange Kanten nach hinten, das passt nicht zu diesem Netz. Das Netz gehört zu Figur (1). e) Das Netz stammt von einem Körper mit fünf Seitenflächen. Figur (1) und (2) haben mehr Seitenflächen. Figur (4) scheidet aus, weil sie nur eine ganz kleine Fläche hat. Das Netz gehört zu Figur (3). 26 a) Gegenüber von H liegt O. Von der ersten zur zweiten Ansicht wurde der Würfel nach vorne gedreht, da H jetzt vorne ist. Die dritte Ansicht entsteht, wenn der Würfel um 90 Grad nach hinten gedreht wird. Das heißt, H ist jetzt auf der linken Seite gegenüber von O. b) Gegenüber von H liegt C. Von der ersten Ansicht zur zweiten wurde der Würfel um 90 Grad nach hinten gedreht. Danach wird der Würfel auf den Kopf gestellt. Das H liegt unten. L 9

12 Training Mathematik und Beruf Übersicht S. 10 Tipps zum Bewerbungsgespräch S. 11 In der Küche Koch/Köchin S. 27 In der Kfz-Werkstatt Mechatroniker/Mechatronikerin S. 45 Auf der Baustelle Maurer/Maurerin S. 69 In der Metallwerkstatt Metallbauer/Metallbauerin S. 99 In der Altenpflege Altenpfleger/Altenpflegerin S. 125 In der Gärtnerei Gärtner/Gärtnerin S. 139 Im Einzelhandel Einzelhandelskaufmann/ Einzelhandelskauffrau Aufbau und Intentionen Das Training Mathematik und Beruf umfasst insgesamt acht Seiten, eine Einführungsseite mit Tipps zum Bewerbungsgespräch und sieben Seiten zu einzelnen Berufen. Auf diesen Trainingsseiten finden die Schülerinnen und Schüler eine kurze Berufsvorstellung und anschließend Mathematikaufgaben aus dem Umfeld des jeweiligen Berufs. Die Trainingsseiten sind jeweils am Ende eines Kapitels eingefügt, so dass über das ganze Schuljahr hinweg immer wieder mathematische Inhalte wiederholt werden können, die in den vorangegangenen Klassen erarbeitet wurden. Neu auf diesen Seiten sind Fachbegriffe wie zum Beispiel Parieren, Betriebskostenzuschlag oder Tagesquadratmeter, die aus dem vorgestellten Beruf stammen. Weitere Informationen zu Berufen und Ausbildungswegen finden die Schülerinnen und Schüler im Internet zum Beispiel auf den Seiten der Bundesagentur für Arbeit oder in einem Berufsinformationszentrum. Zuordnung zu den Leitideen der Bildungsstandards Seite Leitidee Zahl Messen Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall 10 x x 11 x x 27 x x 45 x x x 69 x x 99 x x 125 x x x x 139 x x Aufgaben 1 a) Die Grafik zeigt, wie viele Ausbildungsverträge im Lehrlingsjahrgang 2007 neu abgeschlossen wurden. Die Prozentzahlen rechts geben den prozentualen Zuwachs bzw. die prozentuale Abnahme an Ausbildungsverträgen im Vergleich zu 2006 wieder. Die meisten Ausbildungsverträge sind 2007 in Industrie/Handel und Handwerk abgeschlossen worden. b) Aussage (A) ist richtig. Aussage (B) ist richtig, es sind sogar fast 60 % (58,7 %). Aussage (C) ist richtig, es sind 29 %. Aussage (D) ist richtig. Industrie und Handel Handwerk Freie Berufe Landwirtschaft Öffentl. Dienst Hauswirtschaft Seeschifffahrt Neu abgeschlossene Verträge ± im Vergleich zu L 10

13 Training Mathematik und Beruf In der Küche 1 a) Durch das Parieren verringert sich das Gewicht des Fleisches um 20 % (q = 1 0,2 = 0,8) auf 12,5 kg 0,8 = 10 kg. Durch das Braten verringert sich das Gewicht nochmals um 15 % (q = 1 0,15 = 0,85). 10 kg 0,85 = 8,5 kg. Eine Portion hat 160 g g : 160 g = 53,125, also rund 53 Portionen. b) Insgesamt bezahlt Frau Kling 172,50 für 53 Portionen. Eine Portion kostet 172,50 : 53 = 3,26. c) 172,50 kostet das Fleisch insgesamt, wenn eine Portion 3 kostet, dann können 57,5 Portionen hergestellt werden. 57 Portionen aus 8,6 kg (= 8600 g), also 8600 g : 57 = 151 g Eine Portion für 3 wiegt rund 150 g. 2 Zuerst werden alle Betriebskosten addiert. Warenkosten Personalkosten Energiekosten Instandhaltung Steuer sonstige Kosten Summe Betriebskosten Summe aller Betriebskosten Betriebskostenzuschlag = 100 Warenkosten = 4, = 405, Der Betriebskostenzuschlag beträgt 405,5 %. 3 a) g = 3600 g Es muss aber mehr Fleisch vorrätig sein, da sich durch das Parieren (q = 1 0,12 = 0,88) und das Braten (q = 1 0,16 = 0,84) die Fleischmenge reduziert. x ist die gesuchte Menge an Fleisch vorm Parieren und vorm Braten. x 0,88 0,84 = 3600 g x 0,7392 = 3600 g x = 4870 g Es sollten also rund 5 kg vorrätig sein. b) 5 kg Filet kosten 5 kg 15,80 /kg = 79. Pro Portion kostet das Filet 79 : 20 = 3,95. Die Beilage kostet netto, also ohne Mehrwertsteuer, 1,25. Der Mehrwertsteuersatz für Lebensmittel beträgt 7 %. Die Beilage kostet also 1,25 1,07 = 1,3375, gerundet 1,34. 3,95 + 1,34 = 5,29 Der Materialpreis pro Portion beträgt 5,29. Das ist natürlich noch nicht der Verkaufspreis, da weder die Zubereitungs- und Servicekosten noch der Gewinn und die Mehrwertsteuer darin enthalten sind. 4 a) g = g Aufgrund des Putzverlustes entsprechen die 25,5 kg Spargel 75 % des eingekauften Spargels. Man benötigt daher 25,5 kg : 0,75 = 34 kg Spargel. 34 kg Spargel kosten 255. b) Parmaschinken 200 g = 0,2 kg; 85 0,2 kg 35,8 /kg = 608,6 ; Schwarzwälder Schinken 300 g = 0,3 kg; 85 0,3 kg 15,1 /kg = 385,05 ; Aufgrund der Kosten würde man sich für den Schwarzwälder Schinken entscheiden, da dieser günstiger ist. Aber als italienisches Restaurant würde man trotz des hohen Preises den Parmaschinken wählen. L 11

14 1 Daten und Zufall Übersicht Auf geht s: Statistik mit dem Computer 1 Daten analysieren Thema: Lungenvolumen Mathematische Reise: Boxplot Auf geht s: Einstufige Zufallsversuche 2 Mehrstufige Zufallsversuche Üben Wiederholen Test Aufbau und Intention des Kapitels In Kapitel 1 Daten und Zufall geht es einerseits um die Analyse und grafische Aufbereitung von Daten, andererseits um die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen sowie deren Darstellung mithilfe von Baumdiagrammen. Der Schwerpunkt des Kapitels Daten und Zufall liegt bei der gleichnamigen Leitidee. Besondere Beachtung finden die in den Bildungsstandards fixierten allgemeinen mathematischen Kompetenzen mathematische Darstellungen verwenden sowie mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen. Dabei werden folgende inhaltliche mathematische Kompetenzen erworben: Einfache Zufallsexperimente werden wiederholt und ihre Wahrscheinlichkeiten werden bestimmt. Zweistufige Zufallsversuche werden von einstufigen unterschieden und ihre Wahrscheinlichkeiten werden berechnet. Daten werden mithilfe ihrer Kennwerte Mittelwert, Minimum, Maximum und Zentralwert untersucht. Diagramme werden erstellt und untersucht. In Lerneinheit 1 werden Diagramme vorgestellt, mit denen Daten übersichtlich dargestellt werden können. Mit dem Thema Lungenvolumen werden Streudiagramme eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen, wie man mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms bei gegebenen Daten eine Trendgerade erstellt. Die mathematische Reise Boxplot ergänzt die Darstellungsmöglichkeiten von Daten mit dem Boxplot. Es wird Wert darauf gelegt, die für die Daten geeigneten Diagramme auszuwählen. Anknüpfend an Lerninhalte der vorausgehenden Klassenstufe werden in dieser Lerneinheit statistische Kennwerte berechnet. Lerneinheit 2 beschäftigt sich mit mehrstufigen Zufallsversuchen. Zur Wiederholung und als Grundlage für diese Lerneinheit werden zuvor einstufige Zufallsversuche auf einer Auf geht s -Seite thematisiert. Zu Beginn der Lerneinheit wird die übersichtliche Darstellung von mehrstufigen Zufallsversuchen mithilfe von Baumdiagrammen dargestellt. Die Wahrscheinlichkeiten werden durch Produkt- und Summenregel berechnet. Computersimulationen können zeitsparend Zufallsversuche ersetzen. Den Schülerinnen und Schülern wird vorgestellt, wie sie die Simulationen mit einem Tabellenkalkulationsprogramm durchführen können. Werkzeugkasten Die Schülerinen und Schüler sollten Zugang zu einem Rechner mit einem Tabellenkalkulationsprogramm haben, um Auswertungen von Daten vorzunehmen, Diagramme am Computer zu erstellen sowie Computersimulationen durchzuführen. Materialien zur Durchführung von Zufallsversuchen sollten bereitstehen: Würfel, Behälter mit verschiedenfarbigen Kugeln, Glücksräder usw. L 12

15 Mais auf jedem Tisch Gentechnisch veränderte Pflanzen sind immer wieder in der Diskussion. Auf den Einstiegsseiten zum ersten Kapitel wird dieses aktuelle Thema aufgegriffen. Den Schülerinnen und Schülern dürfte die vielfache Verwendung von Mais in den unterschiedlichsten Bereichen weniger bekannt sein. Dies unterstreicht die Wichtigkeit des Anbaus von Mais und erklärt die Bemühungen um eine Maissorte, die widerstandsfähiger gegen Schädlinge ist als andere Sorten. Die Bilder und Texte dieser beiden Schülerbuchseiten bieten Anregungen und Impulse zur Besprechung vieler Fragestellungen. Impulse zur Vierfeldertafel Wie ist die Tafel aufgebaut? Was kann man aus ihr ablesen? Welche weiteren Berechnungen kann man mit den Daten aus der Vierfeldertafel durchführen? Lässt sich eine Aussage treffen, ob die gentechnisch veränderte Maissorte resistenter ist? Muss man dazu weitere Berechnungen durchführen oder ist das direkt ablesbar? Kann man mithilfe der Tafel aussagen, wie viel resistenter die gentechnisch veränderte Maissorte ist? Impulse zu den Boxplots Was könnten die Boxen bedeuten? Was könnten die Antennen bedeuten? Was besagt der schwarze Strich in den Boxen? Wenn diese Fragen geklärt sind, können weitere Fragen gestellt werden: Welche Schlüsse kann man daraus ziehen, dass die Boxen unterschiedlich groß sind? Was bedeutet es, dass die Antennen unterschiedlich lang sind? Warum liegt der Zentralwert an verschiedenen Stellen in den Boxen? Welche Aussagen lassen sich aufgrund der Boxplots zu gentechnisch veränderten Maissorten machen? Warum wird nicht nur dieselbe Maissorte, einmal gentechnisch verändert, einmal nicht gentechnisch verändert, getestet, sondern werden noch zwei Sorten dazu genommen? Mit den Impulsen zu den Boxplots kann das Vorwissen der Schülerinnen und Schüler ermittelt und strukturiert werden. Sollte wenig Vorwissen vorhanden sein, kann auf die Bearbeitung der Seiten 18 und 19 verwiesen werden. Der Eingangstext gibt Anregungen, sich weiter mit dem Thema Mais zu beschäftigen. Was wird aus Mais alles hergestellt? Welche Anteile am weltweiten (deutschlandweiten) Maisverbrauch haben die einzelnen Produkte? Wie viel Mais wird weltweit benötigt? Wie viel Mais benötigt Deutschland? Wie viel Mais wird in Deutschland angebaut, wie viel in anderen Ländern? Die gesammelten Daten können in Diagrammen übersichtlich dargestellt werden. Die Schülerinnen und Schüler können weiter überlegen, auf welchen weiteren Gebieten Vergleichsstudien möglich sind, in denen auf diese Art die Wirksamkeit einer Entwicklung oder einer Züchtung überprüft wird. Auch auf dem Gebiet der Medizin, beispielsweise zur Einführung neuer Medikamente oder Behandlungsmethoden, werden Wirksamkeitsstudien durchgeführt, deren Ergebnisse in Tabellen und geeigneten Diagrammen übersichtlich dargestellt werden können. Die verschiedenen Maissorten und ihre Verwendung, die Gentechnik sowie die Züchtung von Maissorten sind Themen mit biologischem Inhalt. Deshalb bietet sich an dieser Stelle auch ein fächerübergreifender Unterricht an. L 13

16 Auf geht s: Statistik mit dem Computer Diese Seite soll die Schülerinnen und Schüler schon auf die nächste Lerneinheit Daten analysieren vorbereiten. Eine kurze Einführung erläutert in fünf Schritten, wie man Diagramme mit einem Tabellenkalkulations programm erstellt. Die Seiten 170 bis 172 Zum Nachschlagen bieten eine Übersicht für die ersten Schritte mit einer Tabellenkal kulation. In Teilaufgabe 1 a) sollen die Schülerinnen und Schüler ein Rechenblatt zu der Umfrage Weißt du, was du nach der 10. Klasse beruflich machst? erstellen. Hier bietet es sich an, diese Frage in der Klasse zu thematisieren und die Verteilung in der eigenen Klasse zu bestimmen. Dieses Thema passt in die Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler, welche sich mitten in der Berufsorientierung befinden. Außerdem müssen sich die Jugendlichen in der Klasse 10 zunehmend mit geeigneten Darstellungsweisen für Daten und deren Analyse auseinandersetzen. Die Auswahl geeigneter Diagrammtypen könnte thematisiert werden. Vor- und Nachteile bestimmter Typen könnten wiederholt und diskutiert werden. Insbesondere bei großen Datenmengen hat ein Tabellenkalkulationsprogramm viele Vorteile. Die einprogrammierten Funktionen erlauben das Ausrechnen der statistischen Kennwerte in großer Geschwindigkeit. Auch Änderungen lassen sich problemlos durchführen. Mit der Taste F9 werden jeweils alle Formeln einer Tabelle neu berechnet. So werden bei Veränderungen der Daten die Veränderungen der Kennwerte schnell sichtbar. In Aufgabe 2 wird die Berechnung wichtiger statistischer Kennwerte mithilfe des Computers thematisiert. Die Teilaufgabe 2 b) kann genutzt werden, um das Wissen der Schülerinnen und Schüler über statistische Kennwerte zu festigen. Aufgaben 1 a) Der Screenshot im Schülerbuch zeigt eine mögliche Lösung. b) Summe aller Antworten: = 59 Insgesamt wurden 59 Antworten gegeben. Weißt du, was du nach der Anzahl 10. Klasse beruflich machst? Antworten Anteil Ja, ziemlich sicher % Ja, aber ich bin noch unsicher ,5 % Nein, weiß ich noch nicht ,5 % Nein, weiß ich noch nicht. Ja, aber ich bin noch unsicher. Ja, ziemlich sicher. Das Kreisdiagramm bietet sich an, weil es hier um eine prozentuale Verteilung geht. c) Die Gesamtzahl der Antworten bleibt gleich, aber die prozentualen Anteile ändern sich und damit auch das Kreisdiagramm. Weißt du, was du nach der Anzahl 10. Klasse beruflich machst? Antworten Anteil Ja, ziemlich sicher ,5 % Ja, aber ich bin noch unsicher ,5 % Nein, weiß ich noch nicht % Nein, weiß ich noch nicht. Ja, ziemlich sicher. Ja, aber ich bin noch unsicher. 2 a) Mara sortiert die Werte mit der Sortierfunktion, erstellt eine Rangliste der Werte und liest in der Mitte der Liste den Median ab bzw. berechnet ihn aus den dortigen Werten. Uli wählt den Weg einer vorprogrammierten Funktion. Hier kann man mit den Schülerinnen und Schülern diskutieren, welche Vorteile welcher Weg hat. Allerdings muss hier der Begriff des Zentralwerts bereits verstanden sein. Maras Weg ist zwar langwieriger, aber der Begriff Zentralwert (Median) wird hier besser verstanden. Ulis Weg ist sicherlich schneller. Aber Mara kann in ihrer Liste auch schon Minimum und Maximum ablesen. Uli müsste dies extra berechnen. b) MAX, MEDIAN, MIN, MITTELWERT c) Median: 57,5; Maximum: 158; Minimum: 0; Mittelwert: 61,28 L 14

17 1 Daten analysieren Diese Lerneinheit thematisiert die Darstellung von Daten in Diagrammen. Die verschiedenen Diagrammtypen werden vorgestellt und die Schülerinnen und Schüler lernen jeweils ein für die darzustellenden Daten passendes Diagramm auszuwählen. Einstieg Leistungsüberprüfungen kennen die Schülerinnen und Schüler aus eigenen Erfahrungen. Hier erkennen sie, welche Schlüsse daraus gezogen werden können. Lisas Testergebnisse können Sie mithilfe des Online Links als Excel-Datei herunterladen und mit Ihrer Klasse bearbeiten. Dazu geben Sie (oder Ihre Schülerinnen und Schüler) auf der Webseite im Suchfeld die Nummer ein. Impulse Daten/Zufall, Flächen/Körper, Prozent/Zinsen, Gleichungen, Funktionen Lisa hat, über alle Tests gesehen, die meisten Punkte im Bereich Daten/Zufall. Dort ist sie also am besten. Punkte O Daten/ Zufall Flächen/ Körper Prozent/ Zinsen Gleichungen Funktionen Anhand eines Bildes kann man oft schneller erfassen, was die Daten aussagen. So sieht man beispielsweise im obigen Diagramm auf den ersten Blick, wo Lisa Stärken und Schwächen hat. Gerade bei sehr vielen Zahlen bietet ein geschickt gewähltes Diagramm einen guten Überblick. Merkkasten Es werden die verschiedenen Diagrammtypen dargestellt. Den Schülerinnen und Schülern sollte deutlich werden, dass es wichtig ist, den zu den Daten passenden Diagrammtyp auszuwählen. Weiter geht s Hier sind mehrfach Nennungen möglich. (1) Säulendiagramm, (2) Boxplot, (3) Liniendiagramm, (4) Liniendiagramm, (5) Kreisdiagramm, Streifendiagramm, (6) Liniendiagramm O 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 O Test-Nr Ergebnis in % Test-Nr Ergebnis in % Prozent Punkte Test Test Mit Abstand am wenigsten Punkte über alle Tests gesehen hat Lisa im Bereich Funktionen. Dort sollte sie sich deutlich verbessern. Im 1. Diagramm kann man die Entwicklung der einzelnen Bereiche über die ersten fünf Tests gut erkennen. Es ist insbesondere gut erkennbar, ob in den einzelnen Bereichen eine gleichbleibende Leistung erreicht wird oder ob die Ergebnisse eher schwankend sind. So sind im Bereich Prozent/ Zinsen die Punktzahlen relativ konstant, während sie im Bereich Daten/Zufall stark schwanken. Ein Vergleich der einzelnen Bereiche in einem bestimmten Test ist mit dieser Darstellung nicht gut möglich. Dies lässt sich hingegen aus dem zweiten Diagramm sehr gut ablesen. Hier ist auch das Leistungsniveau eines einzelnen Tests über alle Bereiche zu erkennen. So wurden beim 5. Test insgesamt recht viele Punkte erzielt. L 15

18 Aufgaben 1 a) Mit einem Kreis- oder Streifendiagramm, können die Anteile der verschiedenen Bestandteile miteinander verglichen werden, da man auf einen Blick die Größen abschätzen kann und die Relation zum gesamten Blut überblicken kann. Ein Liniendiagramm ist nicht gut geeignet, da keine Entwicklung dargestellt werden soll. Die Größen sind nicht abhängig voneinander. Gar nicht geeignet ist ein Boxplot. b) rote Blutkörperchen 42 % weiße Blutkörperchen 1 % Blutplättchen 1 % Blutplasma 56 % 2 Die Tropfen wurden unterschiedlich groß dargestellt, um zu zeigen, dass die Blutgruppen in unterschiedlicher Häufigkeit vorkommen. Die Darstellung entspricht nicht den tatsächlichen Verhältnissen. Weder stimmen die Längenverhältnisse der Blutstropfen noch die Flächenverhältnisse bzw. die Raumverhältnisse. Besser wäre hier ein einfaches Säulendiagramm. Allerdings findet man in Zeitungen und Zeitschriften eine Vielzahl solcher falschen Darstellungen; hier kann man die Schülerinnen und Schüler auch zur Suche auffordern. Die Fundstücke können dann gemeinsam im Unterricht besprochen werden. 3 a) Die Anbaufläche stieg um 112,6 Mio. ha. Dies entspricht einem Anstieg um 6629 %. b) USA: 50,74 %, Argentinien: 16,62 %, Brasilien: 13,12 %, Kanada: 6,12 %, Indien: 5,25 %, China: 3,50 % c) (A1) 36 Mio. ha von 148 Mio. ha entspricht einem Anteil von 24,32 %. Die Aussage ist also richtig. (A2) Zwei Drittel von 91 Mio. ha Anbaufläche entspricht ca. 60,7 Mio. ha Anbaufläche. Da auf 58 Mio. ha Anbaufläche Gen-Pflanzen wachsen, ist die Aussage richtig. (A3) Die Aussage ist falsch, wenn man die absoluten Steigerungen betrachtet. Von 2006 auf 2007 wuchs die Anbaufläche um 12,3 Mio. ha. Vom Jahr 2000 auf das Jahr 2002 wuchs sie um 14,5 Mio. ha. Das entspricht einem jährlichen Zuwachs von 7,25 Mio. ha, also weniger als der Zuwachs vom Jahr 2006 auf Auch die Zuwächse in den Jahren 1998 auf 2000, 2002 auf 2004 und 2004 auf 2006 sind niedriger. Betrachtet man hingegen die prozentualen Zuwächse, ist die Aussage richtig. Der Zuwachs betrug vom Jahr 2006 auf ,06 % und liegt damit unter dem prozentualen Zuwachs der anderen Jahre. 4 a) 480 Millionen Euro b) Die Kosten stiegen um 103 %. Würden sich die Ausgaben jährlich mehr als verdoppeln, so wie vom Jahr 2006 auf das Jahr 2007, lägen die Ausgaben im Jahr 2010 bei rund 8,2 Milliarden Euro. Legt man die absolute Steigerung vom Jahr 2006 auf das Jahr 2007 zugrunde, ergäben sich Ausgaben von etwa 2,5 Milliarden Euro im Jahr Diese Prognose scheint realistischer zu sein als die erste. c) 10,8 % d) Telekom- und Internetanbieter: 22,5 % Banken und Finanzdienstleister: 18,5 % Handel und Versandhäuser: 17,7 % Medien und Entertainment: 8,3 % Autohersteller: 7,3 % Sonstige: 25,7 % Sonstige 25,7 % Autohersteller 7,3 % Medien und Entertainment 8,3 % Telekom- und Internetanbieter 22,5 % Banken und Finanzdienstleister 18,5 % Handel und Versandhäuser 17,7 % 5 a) 61 % b) In den Altersgruppen 10 bis 24 Jahre und 25 bis 54 Jahre unterscheidet sich die Internetnutzung kaum. In der Altersgruppe 55 Jahre und älter wird dagegen das Internet nicht so häufig genutzt. Fast zwei Drittel nutzen es bei den Jüngeren (fast) jeden Tag, nur gut die Hälfte bei den Älteren. Ein Viertel der unteren Jahrgänge nutzt das Internet mindestens einmal pro Woche (aber nicht täglich). Bei den 55-Jährigen und älteren sind es etwa ein Drittel, also mehr. c) 0,70 0,41 = 0,287 = 28,7 % 28,7 % der Bevölkerung surfen mobil. L 16

19 Thema: Lungenvolumen Anhand des Sachthemas Messen des Lungenvolumens wird auf dieser Seite der Umgang mit Streudiagrammen erarbeitet. Dieses besondere Diagramm ist neu für die Jugendlichen. Eingesetzt wird es vor allem bei Versuchen wie dem hier initiierten zum Lungenvolumen. Mithilfe einer Tabellenkalkulation wird das Streudiagramm entdeckt. Interessant ist bei diesem Thema sicherlich der Zusammenhang zwischen Lungenvolumen und Gesundheit. Ist das Lungenvolumen von Raucherinnen und Rauchern kleiner und das von Sportlerinnen und Sportlern größer? Gibt es einen Zusammenhang zwischen Körpergröße oder Geschlecht und Lungenvolumen? Aufgaben 1 a) Spirometer: Das Spirometer ist mit Wasser gefüllt, in dem eine Glocke schwimmt. Die Glocke ist mit einem Rohr verbunden, durch die der Patient oder die Patientin ein- und ausatmet. Mithilfe der dabei verursachten Druckunterschiede in der Glocke kann das Lungenvolumen bestimmt werden. Versuch auf der Randspalte: In einen Eimer wird Wasser gefüllt und das zugehörige Volumen abgelesen. Dann wird in den Eimer ein Luftballon vollständig eingetaucht, der mit einem Atemzug aufgeblasen wurde. Dann liest man das Volumen von Wasser und Ballon ab und bildet die Differenz zum zuerst abgelesenen Wert. Diese Differenz ist das Lungenvolumen. b) und c) individuelle Lösungen 2 Die Lungenvolumina der Mädchen liegen überwiegend unter denen der Jungen. Das durchschnittliche Lungenvolumen der Jungen liegt bei 5,0 ø, das der Mädchen bei 4,5 ø. Emre hat also Recht. Das Diagramm, in dem die Volumina der Jungen und der Mädchen nach Größe sortiert sind, zeigt auch, dass die Lungenvolumina der Mädchen überwiegend geringer sind O Lungenvolumen in ø männlich weiblich 3 a) und c) Lungenvolumen (ø) Körpergröße (cm) Den Schülerinnen und Schülern sollte der Hinweis gegeben werden, dass es sinnvoll ist, die Achsen nicht bei null beginnen zu lassen. b) Die Funktion (1) stellt das Verhalten am besten dar. Das Lungenvolumen nimmt mit wachsender Körpergröße zu. Haben Schülerinnen und Schüler auf der x-achse das Lungenvolumen und auf der y-achse die Körpergröße abgetragen, ergibt sich ein anderes Bild. Da das Lungenvolumen als Funktion der Körpergröße betrachtet werden kann, ist es sinnvoll, für die Körpergröße die x-achse zu wählen. d) Die beiden Größen hängen linear zusammen. Je größer eine Person ist, umso größer ist in der Regel das Lungenvolumen. Man kann mit den Schülerinnen und Schülern besprechen, warum dieser Zusammenhang nicht immer gilt. So kann ein sehr sportlicher Mensch bei kleinerer Körpergröße ein höheres Lungenvolumen haben. Raucherinnen und Raucher haben oftmals ein kleineres Lungenvolumen. 4 Lungenvolumen (ø) 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 Körpergröße (cm) 3, Die Gleichung der Trendlinie, wie sie das Tabellenkalkulationsprogramm widergibt, lautet: y = 0,0387 x 1,7553. L 17

20 Mathematische Reise: Boxplot Einstieg Die Schülerinnen und Schüler lernen anhand eines aus ihrem Umfeld gewählten Bereiches die Darstellung durch Boxplots kennen. In Aufgabe 4 können sie die Darstellung mittels ihrer selbst ermittelten Schulweglängen üben. Die Berechnung von Quartilen, die zur Erstellung der Boxplots benötigt werden, wird ebenfalls auf diesen Seiten thematisiert. Quartile werden auf unterschiedliche Arten berechnet. Dies kann mit den Schülerinnen und Schülern besprochen werden. Unterschiede sowie Vor- und Nachteile der einzelnen Berechnungsmethoden können gegenübergestellt werden. Aufgaben 1 a) kürzester Schulweg: 3 km, längster Schulweg: 17 km. b) In diesem Boxplot wird die Burgschule dargestellt. Bei der Burgschule ist der maximale Schulweg 17 km, der kürzeste 3 km lang, so wie es der Boxplot anzeigt. Bei der Ganztagsschule ist der längste Schulweg 21,7 km und der kürzeste 12,5 km lang. Außerdem haben die Schülerinnen und Schüler der Ganztagsschule überwiegend längere Schulwege, sodass der Boxplot, der kürzere Wege anzeigt, nicht zu dieser Schule passt. c) Sara hat Recht. Von 11 Schülerinnen und Schülern haben 7 einen Schulweg mit einer Länge zwischen 4 und 10 km. d) Rangliste: 3 km; 4 km; 4 km; 4,4 km; 4,5 km; 6 km; 7 km; 7,5 km; 12,5 km; 13,6 km; 17 km Minimum: 3 km; Zentralwert: 6 km In der Mitte zwischen Minimum und Zentralwert liegen die beiden Werte 4 km und 4,4 km. Der Mittelwert dieser beiden Werte ist 4,2 km. 2 a) Minimum: 2; Maximum: 20; Zentralwert: 11 Das Minimum ist der kleinste Wert der Daten, das Maximum der größte. Der Zentralwert liegt in der Mitte der geordneten Datenliste, wenn eine ungerade Anzahl von Werten vorliegt. Bei einer geraden Anzahl ist er der Mittelwert der beiden in der Mitte liegenden Werte. b) unteres Quartil q u = 7; oberes Quartil q o = 17 3 a) 12,5 km; 12,9 km; 13,6 km; 14,7 km; 16,1 km; 16,6 km; 17,3 km; 18,5 km; 18,9 km; 20 km; 20,1 km; 20,3 km; 21 km; 21,7 km b) Minimum: 12,5 km; Maximum: 21,7 km; Zentralwert: 17,9 km; unteres Quartil: 14,7 km; oberes Quartil: 20,1 km Min q u z q O Max Entfernung in km Individuelle Lösungen Es ist zu beachten, dass in Excel die Quartile anders berechnet werden: n ist die Anzahl der Werte. Mit p (n 1) + 1 abgerundet auf die nächstkleinere ganze Zahl k wird eine Ordnungsnummer berechnet. p ist dabei gleich 0,25 für das untere Quartil und 0,75 für das obere Quartil. Das Quartil liegt zwischen x k und x k + 1. Um den Wert zu berechnen, wird interpoliert. Bezeichnet man die Nachkommastellen von p (n 1) mit s, lässt sich das Quartil wie folgt berechnen: q = (1 s) x k + s x k + 1. Damit gilt für die Quartile der Burgschule: q u = 4,2; q o = 10. Und für die Quartile der Ganztagsschule: q u = 15,05; q o = 20,075. L 18

21 5 a) Rangliste: 9,69 s; 9,89 s; 9,91 s; 9,93 s; 9,95 s; 9,97 s; 10,01 s; 10,03 s Minimum: 9,69; Maximum: 10,03; Zentralwert: 9,94; unteres Quartil: 9,90; oberes Quartil: 9,99 Min 9,50 9,60 9,70 9,80 9,90 10,00 10,10 q u z q O Max Zeit in s b) Bei den Männern streuen die Werte nicht so stark wie bei den Frauen. Bei den Männern umfasst die Box weniger als eine Zehntelsekunde. Bei den Frauen ist die Zeitspanne größer. Bei beiden Boxplots sind die Antennen zum Minimum länger als die zum Maxi mum. Die Zeiten der Frauen sind insgesamt höher. Die schnellste Frau braucht mehr Zeit für die Strecke als der langsamste Mann. 6 a) 10 a: 4,2 m; 10 b: 3,8 m; 10 c: 4,3 m b) Eine Schülerin der Klasse 10 a ist am weitesten von allen Schülerinnen gesprungen. Betrachtet man die Leistungen der ganzen Klasse, war die Klasse 10 c am stärksten. Dort ist die Box relativ klein und liegt im Bereich hoher Werte. c) In der Klasse 10 a streuten die Leistungen am meisten. Denn dort ist die Box, die die Leistungen von mindestens 50 % der Schüler widerspiegelt, am größten. Umgekehrt ist die Box der Klasse 10 b am kleinsten. Hier streuten die Leistungen daher am geringsten. 7 Unter der Online Link-Nummer sind die Tabellendaten als Excel-Datei bereitgestellt. a) t C = (t F 32) _ 5 9 ; dabei ist t C die Temperatur in C und t F die Temperatur in F F C 25,6 27,8 26,1 25,6 27,2 26,1 25 F C 28,3 26,1 28,3 26,7 27,8 27,2 25,6 b) Rangliste: 25 C; 25,6 C; 25,6 C; 25,6 C; 26,1 C; 26,1 C; 26,1 C; 26,7 C; 27,2 C; 27,2 C; 27,8 C; 27,8 C; 28,3 C; 28,3 C Minimum: 25 C; Maximum: 28,3 C; Zentralwert: 26,4 C; unteres Quartil: 25,6 C; oberes Quartil: 27,8 C Min q u z q O Max 25,0 26,0 27,0 28,0 Temperatur in C c) Rangliste: 5,8 C; 6,5 C; 8,6 C; 9,1 C; 9,7 C; 9,7 C; 9,9 C; 12 C; 13,1 C; 14,1 C; 14,3 C; 14,8 C; 15,6 C; 15,8 C Minimum: 5,8 C; Maximum: 15,8 C; Zentralwert: 10,95 C; unteres Quartil: 9,1 C; oberes Quartil: 14,3 C Min q u z q O Max Temperatur in C 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 d) Karibikinsel: 78 F = 26,7 C; Donnersberg: 11,4 C e) (A1) Die Aussage ist falsch. Es liegen nur 3 von 14 Werten zwischen 26,1 C und 27,8 C. (A2) Die Aussage ist wahr. Es liegen 7 von 14 Werten zwischen 9,3 C und 14,6 C. (A3) Die Aussage ist falsch. Die Box der Karibik-Daten ist deutlich kürzer als die der Donnersberg-Daten. Damit streuen die Temperaturen am Donnersberg mehr. (A4) Die Aussage ist falsch. In beiden Fällen liegen 7 Werte über dem Median. (A5) Die Aussage ist richtig. Zentralwert und Minimum unterscheiden sich um 1,4 C, Maximum und Zentralwert um 1,9 C. L 19

22 Auf geht s: Einstufige Zufallsversuche Diese Seite wiederholt das Thema Einstufige Zufallsversuche und bereitet so auf die nächste Lerneinheit Mehrstufige Zufallsversuche vor. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten bei einstufigen Zufallsversuchen sollte sicher beherrscht werden. 1 a) 2 Münzen: 4 Ergebnisse: Wappen/Wappen, Wappen/Zahl, Zahl/Wappen, Zahl/Zahl Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis ist 1 _ 4. Wenn die Münzen nicht unterschieden werden, sind es nur 3 Ergebnisse, da Wappen/Zahl und Zahl/Wappen das gleiche Ergebnis darstellen. Die Wahrscheinlichkeit für Wappen/Wappen und Zahl/Zahl ist dann jeweils 1 _ 4, die für Zahl/Wappen 1 _ 2. Würfel: 6 Ergebnisse: 1; 2; 3; 4; 5; 6 Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis ist 1 _ 6. Reißbrettstift: 2 Ergebnisse: Der Reißbrettstift kann so landen, dass die Spitze den Boden berührt, und so, dass die Spitze nach oben zeigt. Die Wahrscheinlichkeiten sind schwer vorauszusagen. Glücksrad: 2 Ergebnisse: grün, gelb Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis ist 1 _ 2. U-Würfel: 6 Ergebnisse: 1; 2; 3; 4; 5; 6 Auch hier sind die Punktzahlensummen der gegenüberliegenden Seiten immer 7. Da der Schwerpunkt bei diesem Würfel nicht mittig liegt, sind die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse nicht gleich. Der Würfel wird am häufigsten auf der 3 landen, d. h., die 4 liegt oben und hat damit die größte Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden. Die 3 hat die geringste Wahrscheinlichkeit. 2 und 5 haben dieselbe Wahrscheinlichkeit und folgen nach der 4. Nach 2 und 5 folgen 1 und 6, die ebenfalls dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. b) Individuelle Lösungen, z. B. nach der Berechenbarkeit oder nach der Ereigniszahl. c) Da beim roten Würfel alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben, zeigt Abbildung (2) die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse des roten Würfels. 2 a) Leon darf einmal würfeln. Damit ist die Wahrscheinlichkeit eine Sechs zu würfeln gleich _ 1 6. b) Um die gelbe Figur in Sicherheit zu bringen, muss Ayshe eine Vier würfeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist _ 1 6. c) Um eine Figur in Sicherheit zu bringen, muss Yvonne eine Eins oder eine Zwei würfeln. Um ihre letzte Figur ins Spiel zu bringen, muss sie eine Sechs würfeln. Die Wahrscheinlichkeit beträgt damit 3 1 _ 6 = 1 _ 2. 3 a) 18 _ 37 b) 13 _ 37 c) Beispiele: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel eine der Zahlen 1 bis 12 trifft? 2 12 _ 37 3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel auf eine einstellige Zahl fällt? 2 _ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel auf eine Zahl kleiner als 20 fällt? 2 _ Individuelle Lösungen Die Schülerinnen und Schüler sollen Wahrscheinlichkeiten abschätzen und durch eigene Versuche verifizieren. Durch Überlegungen können sie zumindest eine Rangfolge der Wahrscheinlichkeiten angeben. So ist es nicht sehr wahrscheinlich, dass der Würfel Fünf oder Drei zeigt, da die Fläche sehr klein ist, auf der der Würfel liegen bleiben müsste, außerdem steht der Würfel so auch instabil. Vier und Sechs zu würfeln ist schon wahrscheinlicher, da die Fläche hier größer ist und der Würfel darauf stabiler steht. Am wahrscheinlichsten sind die Zahlen Eins und Zwei, da der Würfel auf diesen Flächen sicher liegt. Die Zwei ist noch wahrscheinlicher als die Eins, da die Noppen schwerer sind und der Würfel daher eher auf die Noppenseite fällt. L 20

23 2 Mehrstufige Zufallsversuche Nachdem den Schülerinnen und Schülern einstufige Zufallsversuche bereits bekannt sind, lernen sie in dieser Lerneinheit mehrstufige Zufallsversuche kennen. Baumdiagramme dienen dazu, die verschiedenen Versuchsausgänge übersichtlich zu notieren. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsversuche erfolgt mithilfe der Produkt- und der Summenregel. Einstieg Digitale Passkontrollen sind immer wieder ein Thema in den Medien. Auch die Zuverlässigkeit dieser Geräte wird öffentlich diskutiert. Anhand dieses lebensnahen Themas wird ein erster zweistufiger Zufallsversuch vorgestellt. Impulse Der Gesichtsscanner identifiziert fast alle falschen Pässe. Es werden allerdings auch viele echte Pässe als falsch eingeordnet. Hier muss händisch nachkontrolliert werden. Wenn man nur die Sicherheitsaspekte betrachtet, arbeitet der Scanner gut, da er den größten Teil der falschen Pässe aussortiert. Berücksichtigt man auch den zusätzlichen Aufwand, der durch die Nachkontrolle entsteht, ist die Arbeit des Scanners verbesserungsbedürftig. Lisa hat die absoluten Zahlen ins Verhältnis gesetzt. Die Grundmenge am Anfang ist davon haben einen echten Pass, dies entspricht einem Anteil von _ Dieser Anteil entspricht gleichzeitig der Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebig aus den 1000 Personen ausgewählte Person einen echten Pass hat. Das Analoge gilt für den Anteil _ der Personen mit falschem Pass. Bei den folgenden Zweigen ist eine andere Grundmenge gegeben: bei den oberen beiden Zweigen ist die Grundmenge 992, weil so viele Personen einen echten Pass haben. Bei den unteren beiden Zweigen ist die Grundmenge 8. Dem Muster folgend gehört in das obere Kästchen die Zahl 63 _ 992 und in das untere 1 _ 8. Den Schülerinnen und Schülern sollte klar sein, dass bei den weiterführenden Zweigen unter Umständen eine andere Grundmenge zugrunde gelegt werden muss. Dies kann auch an folgendem Beispiel gut deutlich gemacht werden: Zieht man aus einer Urne mit vier blauen und sechs roten Kugeln nacheinander zwei Kugeln ohne zurückzulegen, so sind anfangs zehn Kugeln in der Urne, beim zweiten Zug aber nur noch neun. Für die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug ist maßgeblich, welches Ergebnis der erste Zug hatte. Wurde eine blaue Kugel im ersten Zug gezogen, so beträgt die Wahrscheinlichkeit im zweiten Zug für Blau 3 _ 9, da von den neun noch vorhandenen Kugeln drei blau sind. Wurde als Erstes eine rote Kugel gezogen, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Blau im zweiten Zug _ 4 9. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit echtem Pass gewählt wird, lässt sich am Zweig des Baumdiagramms ablesen, der zu dem Feld Person mit echtem Pass führt: _ Von diesem Feld startend geht man zum Feld Pass wird als echt erkannt. Die Wahrscheinlichkeit hierfür entnimmt man wiederum dem Baumdiagramm: _ Es wer den also _ 929 von _ 992 echte Pässe ausge wählt und als echt erkannt. Dies entspricht einer Wahrschein lichkeit von _ 929 _ 992 _ = 0,929 = 92,9 % = Merkkasten Die Schülerinnen und Schüler lernen die Produktregel, die sie mithilfe der Impulse bereits erarbeitet haben, und die Summenregel kennen. Diese für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen elementaren Regeln sollten von den Schülerinnen und Schülern sicher beherrscht werden. Weiter geht s a) P (falsch, echt) = _ _ 1 8 = _ = 0,001 (0,1 %) b) P (echt, echt / falsch, echt) = _ _ _ _ 1 8 = _ _ = _ = 0,930 (93,0 %) L 21

24 Aufgaben 1 a) 92 _ _ 100 Pass ist echt gefälscht Scanner erkennt als 86 _ 92 2 _ 8 6 _ 92 6 _ 8 echt gefälscht echt gefälscht P (echt, gefälscht) = _ _ 6 92 = _ = 0,06 (6%) b) P (gefälscht) = _ _ _ _ 6 8 = _ = 0,12 (12 %) c) Der Scanner erkennt ein Viertel aller gefälschten Pässe nicht als gefälscht. Er ist daher nicht für den realen Einsatz geeignet. 2 a) Möglich sind: rot/rot, rot/blau, rot/grün, blau/rot, blau/blau, blau/grün b) und c) d) e) _ 6 13 blau blau 1 _ 13 6 _ 13 6 _ _ 3 1 _3 blau blau grün blau rot 6 _ 13 rot blau rot 6 _ 13 rot grün 1 _ 13 rot rot Glücksrad (2) 1 Glücksrad (1) _ 3 rot rot rot rot 2 _ blau 3 1 _ 3 grün rot grün grün 2 _ blau 1 _ 3 3 blau rot blau blau 2 _ blau 3 2 _ 3 1 _3 blau rot _3 1 _ blau blau blau rot rot blau P (rot, rot) = _ 1 3 _ 1 3 = _ 1 9 = 0,111 = 11,1 % rot rot 3 a) 1 _ 2 1 _ 2 b) 2 _ _ 7 = 4 _ 7 c) 3 _ 14 d) rot grün rot 3 _ 7 4 _ 7 4 _ 7 3 _ 7 1 _ 2 1 _2 grün rot grün rot grün grün/grün grün/rot rot/grün rot/rot 3 _ 7 4 _7 4 _7 3 _7 rot grün rot grün 1 _ 3 2 _3 1 _2 1 _2 1 _2 1 _2 2 _3 1 _3 rot grün rot grün rot grün rot grün rrr 1 _ 14 rrg 1 _ 7 rgr 1 _ 7 rgg 1 _ 7 grr 1 _ 7 grg 1 _ 7 ggr 1 _ 7 ggg 1 _ 14 Wahrscheinlichkeit für genau zwei grüne Kugeln: 1 _ _ _ 7 = 3 _ 7 4 (A) 0,97 0,97 0,97 = 0,91 = 91 % (B) 3 0,97 0,97 0,03 = 0,08 = 8 % Hier sollten die Schülerinnen und Schüler nicht jeden Zweig des Baumdiagramms abgehen, sondern überlegen: Bei genau einem fehlerhaften Chip muss man einen Zweig mit der Wahrscheinlichkeit 0,03 und zwei Zweige mit den Wahrscheinlichkeiten 0,97 (für die zwei einwandfreien Chips) gehen. Von diesen Wegen gibt es drei, da der erste Chip fehlerhaft sein kann oder der zweite oder der dritte. (C) 0,91 + 0,08 = 0,99 = 99 % Auch hier spart man durch vorheriges Überlegen Rechnungen ein. Höchstens ein Chip ist fehlerhaft bedeutet, kein Chip ist fehlerhaft oder genau ein Chip ist fehlerhaft. Damit können die bereits berechneten Wahrscheinlichkeiten von (A) und (B) genutzt werden. (D) 3 0,03 0,03 0,97 + 0,03 0,03 0,03 = 0,003 = 0,3 % Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, müssen die Wahrscheinlichkeiten für genau zwei fehlerhafte und genau drei fehlerhafte Chips addiert werden. 3 _ 14 2 _ 7 2 _ 7 3 _ 14 L 22

25 5 a) Es enthalten 1,25 % von den Gepäckstücken Rauschgift, bei 80 % davon schlägt der Hund an: ,0125 0,8. 98,75 % der Gepäckstücke enthalten kein Rauschgift, der Hund schlägt dennoch bei 3 % von ihnen an: ,9875 0,03. Gesamtzahl der Gepäckstücke, bei denen der Hund anschlägt: ,0125 0, ,9875 0,03 = 1585 b) 0,8 schlägt an 0,0125 0,9875 Rauschgift kein Rauschgift 0,2 0,03 0,97 c) 0,0125 0,8 = 0,01 = 1 % d) 0,9875 0,03 = 0, = 2,96 % schlägt nicht an schlägt an schlägt nicht an 6 Die Wahrscheinlichkeit, dass der Lotuseffekt versagt, liegt nach Herstellerangaben unter 2 %. Rechnerisch ergibt sich bei 20 Mofas ein Versagen des Lotuseffekts bei 0,4 Mofas. Da bei zwei von zwanzig Mofas der Lack fehlerhaft ist, ist die Behauptung des Herstellers falsch. Der Lotuseffekt ist nach der Lotuspflanze benannt, von deren Oberfläche Wasser in Tropfen abperlt und dabei alle Schmutzpartikel mitnimmt. Computersimulation Zur Sache Die Schülerinnen und Schüler lernen hier, dass es nicht nötig ist, die Versuche selbst durchzuführen. Schon mit einem einfachen Tabellenkalkulationsprogramm können Zufallsversuche simuliert werden. Anhand des Zufallsversuchs Werfen eines Würfels wird die Simulation mit einem Tabellenkalkulationsprogramm erläutert. Die Schülerinnen und Schüler erfahren so auf direktem Wege, wie zeitsparend die Computersimulation eines Zufallsversuchs ist. 1 Individuelle Lösungen Die Schülerinnen und Schüler können erkennen, wie unterschiedlich die relativen Häufigkeiten bei so einer geringen Anzahl von Würfen (10 pro Zeile) noch sind. Nimmt man alle Zeilen (und damit alle Würfe) zusammen, ergibt sich oftmals ein homogeneres Bild. Trotzdem ist es wichtig, vor der Simulation reale Versuche durchzuführen. 2 Individuelle Lösungen Wenn die Anzahl der simulierten Würfe erhöht wird, stabilisieren sich die relativen Häufigkeiten. Die Schülerinnen und Schüler lernen so, dass ausreichend viele Versuche bzw. eine hohe Anzahl von Werten bei der Computersimulation wichtig sind, um verlässliche Daten zu erhalten. Die rechnerischen Wahrscheinlichkeiten sollten in etwa mit den relativen Häufigkeiten bei einer hohen Versuchsanzahl übereinstimmen. Die Wahrscheinlichkeit für das Würfeln einer 5 beträgt 1 _ 6 = 16,7 %. 3 Individuelle Lösungen Damit es die Nachbargruppe schwerer hat, die richtigen Daten herauszufinden, müssen sich die Schülerinnen und Schüler damit auseinandersetzen, welche Daten sie am besten angeben, welche also beim Zufallsversuch bzw. bei der Computersimulation realistisch wären. L 23

26 Üben Wiederholen Die Rubrik Üben Wiederholen dient als weiterer Aufgabenpool zur Ergänzung und zur Wiederholung und Überprüfung des Gelernten. Außerdem werden hier die Inhalte der verschiedenen Lerneinheiten vernetzt. Aufgaben 1 (A1) In den Industrieländern haben 59 von 100 Personen Zugang zum Internet, also mehr als jeder Zweite. In den Entwicklungsländern haben 10 von 100, also 10 % der Bevölkerung, Zugang zum Internet. (A2) Die Zahl der Festanschlüsse in den Entwicklungsländern ist sogar um 250 % gestiegen. (A3) Die Mobilfunkanschlüsse haben in den Industrieländern im Durchschnitt um 1720 % zugenommen. 2 a) Die Zahl der Neuinfektionen steigt seit Vom niedrigsten Stand 2001 mit ca Personen bis zum Jahr 2007 mit ca Neuinfizierten, ist ein Anstieg um etwa 80 % zu verzeichnen. b) In der Grafik (2) ist die Zeitachse gestreckt und die andere Achse gestaucht. Man sieht nur einen kleinen Ausschnitt der Kurve (1). In dem Ausschnitt ab 2005 entspricht die Kurve nahezu einer Geraden. 3 a) In der Altersgruppe 20 bis unter 60 Jahre ist die größte Veränderung im Jahrzent bis 2030 um 4,7 Mio. Personen, die kleinste Veränderung im Jahrzehnt bis 2010 um + 0,8 Mio. Personen. In der Altersgruppe 60 Jahre und älter ist die größte Veränderung ebenfalls im Jahrzehnt bis 2030 um + 3,7 Mio. Personen, die kleinste Veränderung im Jahrzehnt bis 2050 um 0,1 Mio. Personen. b) 20 bis 60 Jahre 60 Jahre und älter 2010 bis bis bis bis ,75 % 10,66 % 3,55 % 6,84 % 13,62 % 15,29 % 0,72 % 0,36 % c) Durchschnittliche Veränderung der Altersgruppe 20 bis unter 60 Jahre 6,45 %. Durchschnittliche Veränderung der Altersgruppe 20 bis unter 60 Jahre + 6,96 %. Die Beträge der Veränderungen sind etwa gleich. Aber während in der Altersgruppe 60 Jahre und älter die Personenzahl steigt, sinkt sie in der Altersgruppe 20 bis unter 60 Jahre. d) (A1) 2000: 55,3 %; 2050: 47,1 % (A2) 2000: 23,6 %; 2050: 36,8 % (A3) 2000: 21,1 %; 2050: 16,1 % e) prozentualer Anteil an der Gesamtbevölkerung O unter 20 Jahre 20 bis unter 60 Jahre 60 Jahre und älter f) Individuelle Lösungen L 24

27 4 a) Im Durchschnitt fahren bei der Linie 1 68,6 Jugendliche mit; Linie 2 50,4 Jugendliche mit; Linie 3 46,1 Jugendliche mit. Für Linie 1 wird ein Zusatzbus benötigt, für die anderen beiden Linien nicht. b) Linie 1: 6 von 10 Werten liegen über dem Durchschnitt, also 60 % der Werte. Linie 2: 3 von 10 Werten liegen über dem Durchschnitt, also 30 % der Werte. Linie 3: Kein Wert liegt über dem Durchschitt. c) Linie 1: 43, 45, 54, 56, 74, 76, 79, 81, 88, 90 Minimum: 43; Maximum: 90; Zentralwert: 75; unteres Quartil: 54; oberes Quartil: 81 Linie 2: 21, 33, 45, 48, 51, 52, 55, 64, 67, 68 Minimum: 21; Maximum: 68; Zentralwert: 51,5; unteres Quartil: 45; oberes Quartil: 64 Linie 3: 29, 38, 39, 46, 47, 48, 49, 52, 53, 60 Minimum: 29; Maximum: 60; Zentralwert: 47,5; unteres Quartil: 39; oberes Quartil: 52 d) O Schülerzahlen Linie 1 Linie 2 Linie 3 Buslinien Bei der Buslinie 1 streuen die Werte stark. Die ersten vier Werte der Rangliste liegen unter dem vorgegebenen Durchschnitt von 60 Jugendlichen, die restlichen liegen deutlich darüber. Bei der Buslinie 2 ist auch eine starke Streuung der Werte zu beobachten. Drei der Werte liegen über dem Durchschnitt. Sie weichen nicht stark vom vorgegebenen Durchschnitt ab. Bei der Buslinie 3 liegen alle Werte unter dem Durchschnitt bzw. entsprechen genau dem Durchschnitt. Bei den Werten sind auch, mit Ausnahme des ersten und letzten, keine starken Streuungen zu verzeichnen. e) Linie 1 ( = 68,6): + 9,3 % Linie 2 ( = 50,4): + 2,2 % Linie 3 ( = 46,1): + 3,0 % 5 1 _ _ 40 1 _ 40 Anna Jan nicht Anna oder Jan 1 _ _ 39 1 _ _ 39 1 _ _ 39 1 _ 39 Jan nicht Anna oder Jan Anna nicht Anna oder Jan Anna Jan nicht Anna oder Jan (1) P (Anna + Jan) = 2 _ 1 40 _ 1 39 = 0,0013 = 0,13 % (2) P (nicht Anna, nicht Jan) = _ _ = 0,9013 = 90,23 % (3) P (Anna, nicht Jan) = _ 1 40 _ _ _ 1 39 = 0,0487 = 4,87 % 6 Unter den 1000 Testpersonen befinden sich 3 farbenblinde Frauen und 24 farbenblinde Männer. a) _ = 0,3 % b) _ = 2,4 % Randspalte Die Zahl Zwei ist zu sehen. 7 a) Entsprechender Wert aus der Grafik b) c) Bayern 39 % Niedersachsen 18 % Saarland 0 % Mecklenburg-Vorpommern 2 % Thüringen 2 % Hessen 2 % Sachsen-Anhalt 3 % Rheinland-Pfalz 3 % Brandenburg 3 % Sachsen 4 % Nordrhein-Westfalen 4 % Schleswig-Holstein 9 % Baden- Württemberg 11 % Test positiv Test negativ Summe BSE-infiziert nicht BSE-infiziert Summe d) _ = 0,337 = 33,7 % L 25

28 Aufgabenvorschläge für Klassenarbeiten zu Kapitel 1 1 In einem Gefäß sind 5 blaue, 3 grüne und 2 rote Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, die nicht zurückgelegt werden. a) Zeichne ein Baumdiagramm. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei blaue Kugeln gezogen werden? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote und eine grüne Kugel gezogen werden? d) Was ändert sich, wenn die Kugeln nach dem Ziehen zurückgelegt werden? 2 Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme 12 zu erhalten? Löse mithilfe eines Baumdiagramms. b) Ist die Wahrscheinlichkeit eine 7 zu würfeln genauso groß? Begründe. 3 Karolin hat aufgeschrieben, wie lange sie in den letzten zwei Wochen Hausaufgaben gemacht hat. Dauer der Hausaufgaben in min: 43; 28; 22; 35; 40; 55; 23; 87; 15; 65; 82 a) Erstelle eine Rangliste. b) Bestimme Maximum, Minimum, Mittelwert und Zentralwert. Um wie viel Prozent weicht der Mittelwert vom Zentralwert ab? c) Streiche die zwei niedrigsten und zwei höchsten Werte aus der Liste. Wie ändern sich die statistischen Kennwerte? Welcher Wert bleibt gleich? 4 In der Tabelle ist die monatliche Niederschlagsmenge in Liter pro m 2 für Mainz angegeben. Jan. Feb. März April Mai Juni Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez a) Berechne die durchschnittliche Niederschlagsmenge und den Zentralwert. Vergleiche. b) Überprüfe die Aussagen. (A 1): In Mainz regnet es am meisten im August. (A 2): Über 45 % der Niederschlagsmenge findet man in den Monaten Mai bis August. Lösungen 1 a) Ziehen ohne Zurücklegen 5 1 _ = _ _ = _ _ 10 blau grün rot 2 _ 9 4 _ 9 5 _ 9 2 _ 9 5 _ 9 b) Wahrscheinlichkeit für zwei blaue Kugeln: 1 _ 9 3 _ 9 2 _ 9 3 _ 9 blau grün rot blau grün rot blau grün rot P (blau, blau) = 1 _ 2 4 _ 9 = 2 _ 9. c) Wahrscheinlichkeit für eine rote und eine grüne Kugel: P (rg, gr) = 1 _ 5 1 _ _ 10 2 _ 9 = 2 _ 15 d) Die Wahrscheinlichkeiten beim zweiten Zug ändern sich. 2 a) Nur wenn man zwei Sechser würfelt, erreicht man die Augensumme 12. P (6, 6) = 1 _ 6 1 _ 6 = 1 _ 36 b) Ohne zu rechnen: Nein, die Wahrscheinlichkeit ist größer, da mehr als ein Ast des Diagramms zu diesem Ergebnis führt (5 2, 2 5, 1 6, 6 1, 3 4, 4 3). 3 a) Rangliste: 15 min; 22 min; 23 min; 28 min; 35 min; 40 min; 43 min; 55 min; 65 min; 82 min; 87 min b) Minimum = 15 min; Maximum = 87 min; Zentralwert = 40 min; Mittelwert = 45 min Der Mittelwert weicht vom Zentralwert um 5 _ = 12,5 % ab. c) Der Zentralwert bleibt gleich. Minimum = 23 min; Maximum = 65 min; Mittelwert = 41,3 min 4 a) Mittelwert (durchschnittliche Niederschlagsmenge) = 56,67 m 2 ; Zentralwert = 50,5 m 2 b) (A 1): Falsch. Am meisten regnet es im Juni (94 ø/m 2 ). (A 2): Richtig 2 _ = 0,4676, also 46,76 % 3. L 26

29 Training Mathematik und Beruf In der Kfz-Werkstatt 1 Mit dem Schraubenschlüssel (A) kann man am stärksten anziehen, da dieser am längsten ist und dadurch die größte Hebelwirkung erzeugt werden kann. 2 a) Ein Zoll hat 2,54 cm, also ist Antwort (C) richtig. Die beiden anderen Antworten kann man anhand der Größenverhältnisse ausschließen. 1 mm ist zu klein, 1 m zu groß. b) 15 sind 15 Zoll, also 15 2,54 cm = 38,1 cm. 3 a) Lösung mithilfe des Dreisatzes: 7,5 ø 100 km 65 ø? 65 ø : 7,5 ø 100 km = 866,6 km Mit einem Tank kann man also mindestens 860 km weit fahren. b) Die Reserveanzeige leuchtet bei 7 ø auf. 7 ø : 7,5 ø 100 km = 93,3 km Bei Aufleuchten der Reserveanzeige reicht das Benzin noch für rund 90 km. Herr Maier kann also beruhigt noch 70 km weit fahren. Allerdings sollte er den Tank nicht ganz leer fahren. 4 Zahnrad (A) macht die meisten Umdrehungen, da es den kleinsten Radius und somit den kleinsten Umfang hat, und alle Zahnräder die gleiche Strecke zurücklegen cm 8 cm 30 cm = 6000 cm 3 Da 1 cm 3 = 1 mø entspricht, enthält ein Behälter 6000 mø, also 6 Liter. 6 Der Abstand kann durch Abziehen von der Gesamtlänge berechnet werden. Dabei sind die Rundungen der Löcher zu berücksichtigen. Die Rundung hat einen Durchmesser von 10 mm, also einen Radius von 5 mm, es sind zwei Rundungen, also insgesamt 10 mm. 220 mm 15 mm 60 mm 90 mm 25 mm 10 mm = 20 mm 7 Die schnellere Berechnung des Volumens geht über die Dichte und das Gewicht. 169,6 g : 2,7g/cm 3 = 62,81 cm 3 Oder man rechnet anhand der Skizze das Volumen des zusammengesetzten Körpers aus. Der Körper ist aus zwei Zylindern zusammengesetzt und hat in der Mitte einen zylinderförmigen Hohlraum. Zylinder links (r = 2,5 cm, h = 2 cm): V 1 = (2,5 cm) 2 π 2 cm = 39,27 cm 3 Zylinder rechts (r = 1,5 cm, h = 4 cm): V 2 = (1,5 cm) 2 π 4 cm = 28,27 cm 3 Innerer Zylinder (r = 0,5 cm, h = 6 cm): V 3 = (0,5 cm) 2 π 6 cm = 4,7 cm 3 Gesamtvolumen V = V 1 + V 2 V 3 = 62,84 cm 3 Das Drehteil hat ein Volumen von 62,8 cm 3. L 27

30 2 Potenzen und Wachstum Übersicht 1 Potenzen Thema: So zählen Computer Thema: Windenergie 2 Wurzeln Mathematische Reise: Logarithmus 3 Wachstum Thema: Wachstum mit dem Computer Üben Wiederholen Test Aufbau und Intention des Kapitels Das Kapitel Potenzen und Wachstum ist den Leitideen Zahl und Funktionaler Zusammenhang zugeordnet. Die Jugendlichen berechnen im Kapitel Potenzen, Wurzeln und Wachstumsprozesse und wenden dabei die Potenzgesetze vorteilhaft an. In der ersten Lerneinheit Potenzen werden Potenzen addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert. Die Darstellung einer Potenz mit negativem Exponenten als Bruch wird erklärt. Es wird noch einmal auf den Zusammenhang zwischen Poten zierung und Multiplikation eingegangen. Die Themenseite So zählen Computer führt in das in der Informatik so wichtige Thema des Dualsystems ein. Dabei wird das Umrechnen vom Dualsystem ins Zehnersystem und umgekehrt geübt. Es wird deutlich, dass im Stellenwertsystem die einzelnen Spalten Zehner- bzw. Zweierpotenzen sind. Windenergie ist das Thema der zweiten Themenseite in diesem Kapitel. Die Vorsilben wie zum Beispiel Giga und Mega werden wiederholt und eingesetzt. Die Idee der Quadratwurzel wird auf die Kubikwurzel und die n-te Wurzel übertragen. Wurzeln werden als Potenzen mit Brüchen im Exponenten erkannt. Die Zusammenhänge zwischen Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren sind Thema der mathematischen Reise Logarithmus. In der Lerneinheit Wachstum lösen die Schülerinnen und Schüler wirklichkeitsnahe Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen. Von großer Bedeutung ist hier die Leitidee Modellieren. Die Jugendlichen wenden die Formel zum exponentiellen Wachstum an, übersetzen einfache Realsituationen in mathematische Modelle und überprüfen die Lösungen an der Realsituation. Dies wird auf den beiden Themenseiten noch einmal vertieft. Die Jugendlichen stellen dabei ihre Werte in geeigneten Graphen dar und berechnen das Wachstum mit einem Tabellenkalkulationsprogramm. Didaktische Hinweise Im gesamten Kapitel werden die Problemstellungen komplexer und gehen über die unmittelbare Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler hinaus. Gerade deshalb ist es wichtig, die Unterrichtsformen flexibel zu gestalten. So lassen sich in Partner- bzw. Gruppenarbeit Problemstellungen leichter erarbeiten und lösen. Es bietet sich an, die Thematik in Form von Lerntheken zu erweitern, bei denen Schülerinnen und Schüler Aufgaben nach Neigungen und Lerntyp rechnen und die Ergebnisse selbstständig kontrollieren. Die Schülerinnen und Schüler sollen dabei sowohl zum selbstständigen Lernen als auch zum kooperativen Lernen in Gruppen angeleitet werden. Werkzeugkasten Ein Großteil der Exponential- und Wurzelberechnungen ist für Schülerinnen und Schüler ohne Taschenrechner nicht oder nur schwer durchführbar. Dabei gibt es modell spezifische Unterschiede, auf die im Unterricht eingegangen werden muss. In der Regel bringen Schülerinnen und Schüler bereits gute Vorkenntnisse bei der Benutzung des Taschenrechners und des Computers mit. Die Benutzung eines Tabellenkalkulationsprogramms bietet sich in diesem Kapitel an. L 28

31 Radioaktivität in der Medizin Die Schülerinnen und Schüler kennen den Begriff Radioaktivität meist in Verbindung mit Atomkraftwerken und radioaktiven Störfällen. Die Medien verbinden mit diesem Begriff meistens etwas Gefährliches und Bedrohliches. Die Nutzung radioaktiver Strahlen in der Medizin wird für viele Jugendliche unbekannt sein. Eine wichtige Schnittstelle zur Nutzung verschiedener Strahlungen in der Medizin bietet die Röntgenstrahlung. Fast jede Schülerin und jeder Schüler ist schon einmal geröntgt worden und kann so Verbindungen zu eigenen Lebenserfahrungen herstellen. Schon seit Ende des 19. Jahrhunderts ist die Radioaktivität in der Medizin bekannt. Bereits 1896 wurden nach der Entdeckung der Radioaktivität erste Röntgenbilder veröffentlicht. Kurz darauf setzte man schon Radioaktivität zur Behandlung von Hautverletzungen und Geschwüren ein. Auch natürliche radioaktive Strahlung wird zur Heilung benutzt. Bis heute gilt beispielsweise der Sandstrand in Ulcinj (Montenegro) als heilsam, da er leicht radioaktiv strahlt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen schnell, dass die Radioaktivität in der Medizin heutzutage durch hochtechnische Geräte erfolgt. Der auf dem Bild zu sehende Gamma-Scanner zeichnet verschieden starke Radioaktivität auf und bildet diese in einer Grafik ab. Das Verfahren der Szintigrafie wird genau erläutert. Schnell wird dabei klar, wie wichtig das Kapitel Wachstum und Zerfall bzw. Wachstum mit dem Computer heutzutage ist. Veranschaulicht wird die Szintigrafie am Beispiel eines Szintigramms einer Schilddrüse. Würde sich im Schilddrüsengewebe ein Tumor befinden, könnte man diesen anhand der höheren Durchblutung erkennen. In einer weiteren Grafik werden die Begriffe Halbwertszeit, Protonen und Neutronen (also die Kernbausteine eines Atoms) erklärt. Ein sinnvoller Verweis ist hier sicherlich der zur Radiokarbonmethode (C-14-Methode). Durch die Radiokarbonmethode kann man das Alter von organischem Material relativ genau bestimmen. Ein Beispiel hierfür ist Ötzi, die Gletschermumie aus der Jungsteinzeit, die vor ca Jahren gelebt hat. Dieses Thema wird auf Seite 43 in Üben Wiederholen auch in Aufgabe 11 aufgegriffen. Fächerübergreifender Einsatz mit den Fächern Physik und Chemie bietet sich vor allem im Zusammenhang mit Radioaktivität und Halbwertszeiten an. Zum Beispiel kann man einen Versuch zu radioaktiver Strahlung durchführen und berechnen. Auch außerschulische Aktivitäten wie der gemeinsame Besuch eines Krankenhauses mit Radiologie oder eines Atomkraftwerkes bieten sich an. L 29

32 1 Potenzen Die Schülerinnen und Schüler wiederholen die Potenzschreibweise als verkürzte Darstellungsform von Multiplikationsaufgaben mit gleichen Faktoren. Der Exponent kann sowohl positiv als auch negativ sein. Somit können sowohl sehr große als auch sehr kleine Zahlen dargestellt werden. Für das Rechnen mit Potenzen werden die Potenzgesetze eingeführt. Einstieg Ein Prozessor ist eine Maschine oder eine elektronische Schaltung, welche gemäß übergebener Befehle andere Maschinen oder elektrische Schaltungen steuert. Am populärsten sind Prozessoren als zentrale Recheneinheiten von Computern. Betrachtet man die Entwicklung der Anzahl der Schaltkreise in den vergangenen Jahrzehnten, erkennt man die rasante Entwicklung der IT-Geräte. Impulse Anstelle einer Tabelle ist auch die Zuordnung Jahreszahl Anzahl der Schaltkreise möglich: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Nein, Gordon Moores Behauptung ist nicht richtig. Die Anzahl der Schaltkreise hat sich nicht ganz verdoppelt. Allerdings ist aus der Tabelle ersichtlich, dass eine Verdoppelung zeitweise sogar innerhalb eines Jahres (1994) vorkam. Ein Unterrichtsgespräch mit den verschiedenen Zahlen als Grundlage bietet sich an. Merkkasten Die Begriffe Hochzahl (oder Exponent) und Basis werden erklärt und gelernt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass die Exponentialschreibweise eine verkürzte Form von Mulitiplikationsaufgaben mit gleichen Faktoren ist. Weiter geht s Die Speicherkapazität der USB-Sticks verdoppelt sich. Der erste USB-Stick hatte eine Kapazität von 64 kb; dies lässt sich auch als Zweierpotenz darstellen: 2 6. Auch die folgenden Speicherkapazitäten lassen sich ebenfalls als Zweierpotenzen darstellen: 128 kb = 2 7 kb; 256 kb = 2 8 kb; 512 kb = 2 9 kb; 1024 kb = 2 10 kb Ein Unterrichtsgespräch über die Speicherkapazität von USB-Sticks, die aktuell im Handel erhältlich sind, bietet sich an. Aufgaben 1 a) 2 5 = 32 b) 3 3 = 27 c) 4 4 = 256 d) ( 5) 3 = a) = 216 b) = 81 c) = 2401 d) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 32 e) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) = 81 f) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = 1 g) = 1 h) = a) 2 4 = 16 und 2 4 = 16 b) ( 3) 3 = 27 und 3 3 = 27 c) 4 2 = 16 und ( 4) 2 = 16 d) ( 5) 3 = 125 und = a) 1 2 = 1; 2 2 = 4; 3 2 = 9; 4 2 = 16; 5 2 = 25; 6 2 = 36; 7 2 = 49; 8 2 = 64; 9 2 = 81; 10 2 = 100; 11 2 = 121; 12 2 = 144; 13 2 = 169; 14 2 = 196; 15 2 = 225; 16 2 = 256; 17 2 = 289; 18 2 = 324; 19 2 = 361; 20 2 = 400 b) 2 0 = 1; 2 1 = 2; 2 2 = 4; 2 3 = 8; 2 4 = 16; 2 5 = 32; 2 6 = 64; 2 7 = 128; 2 8 = 256; 2 9 = 512; 2 10 = 1024 L 30

33 5 a) 3 2 = 9; 30 2 = 900; = ; = ; = ; = b) 2 3 = 8; 0,2 3 = 0,008; 0,02 3 = 0, ; 0,002 3 = 0, ; 0, = 0, c) 1 4 = 1; 10 4 = ; = ; = ; = d) Die Anzahl der Nullen in den Ergebnissen dieser Aufgaben erhält man, indem die Anzahl der Nullen der Basis mit dem Exponenten multipliziert wird. (Gilt bei Dezimalzahlen nur, wenn im Ergebnis nur eine von Null verschiedene Ziffer vorkommt.) 6 a) n = 9 b) n = 8 c) n = 30 d) n = 8 e) n = 5 f) n = 3 7 a) A: Zellen; B: Zellen; C: Zellen; D: Zellen; E: Zellen; insgesamt sind es Zellen = 2, Zellen. b) Pro Bakterienprobe sind dies im Durchschnitt Zellen = 5, Zellen. Information Die Schülerinnen und Schüler sollten vor allem darauf achten, dass nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten (Hochzahl) addiert und subtrahiert werden können. Bei der Multiplikation und Division ist eine Zusammenfassung nur möglich bei gleichen Basen. 8 a) = 54 b) = 80 c) = 36 d) = a) 2 a 2 b) 6 x 4 c) 2 x y 2 d) m 4 e) y 2 f) 27 v 6 10 a) = 2 8 b) = 7 12 c) = 5 10 d) = 8 4 e) = 5 2 f) = a) a 10 b) b k + m + n c) x 11 d) x x + y + z e) y m n f) ( b) 2 m m = ( b) m 12 Es sind verschiedene Lösungen möglich. Zum Beispiel: a) b) c) d) a) = 2 12 b) 9 3 = = = 3 6 c) 2 x 2 2 x 2 2 x 2 = 8 x 6 d) = = = = = = 1 _ = 1 _ = 1 _ 8 usw. Da die Basis 2 ist, halbiert sich jeweils der Wert der Potenz, wenn der Exponent um 1 kleiner wird. Information Beide Schreibweisen als Bruch oder als Potenz mit ganzzahligem Exponenten sind zulässig. Bessere Schülerinnen und Schüler kann man darauf hinweisen, dass dann auch gilt: _ 1 = a n a ( n) 15 a) 1 _ 2 b ) 1 _ 4 c ) 1 _ 16 d ) 1 _ 3 e) 1 _ 3375 f ) 1 _ 3125 g ) 1 _ 1024 h ) 1 _ : = 5 3 = 125 Ähnliche Aufgaben sind zum Beispiel : = 2 2 = 4 oder : = 12 3 = a) = 3 7 b) = 4 5 c) 0,5 4 0,5 7 = 0,5 11 d) : 12 9 = 12 3 L 31

34 Thema: So zählen Computer Das Dualsystem ist das Stellenwertsystem mit der Basis 2. Neben dem Dezimalsystem ist das Zweiersystem, auch Binärsystem genannt, aufgrund seiner Bedeutung in der Digitaltechnik das wichtigste Zahlensystem. Analog zum Rechnen im Dezimalsystem lassen sich auch mit Dualzahlen die gängigen arithmetischen Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durchführen. Aufgaben 1 a) = = = 8 b) 5; 9; 17 c) 3; 7; 15 2 Das Beispiel zeigt eine Möglichkeit des Umrechnens. Dabei wird die Zahl immer durch 2 geteilt, manchmal mit Rest 1 (wenn sie ungerade ist), manchmal mit Rest 0 (wenn sie gerade ist). Das Ergebnis wird wieder durch 2 geteilt. Das wird so lange wiederholt bis 1 erreicht ist. Aus dem Rest 1 und Rest 0 ergibt sich wie abgebildet die Zahl im Dualsystem. Eine andere Möglichkeit ist eine Tabelle, in der die einzelnen Spalten des Dualsystems eingetragen sind. Die gesuchte Zahl wird ins Dualsystem übertragen, indem man die Ziffer 1 in die passende Spalte der Tabelle einträgt. Begonnen wird möglichst weit links. Durch Subtraktion wird der jeweilige Rest berechnet. a) 12 = ; Probe: = = 12 b) 75 = ; Probe: = = 75 c) 500 = ; Probe: = = 500 d) 511 = e) 1000 = f) 2222 = g) 3332 = h) 9999 = Byte = 8 Bit; Die größte Zehnerzahl setzt sich folgendermaßen zusammen: = = 255 Steht in jeder Spalte des Dualsystems die Ziffer 1, so ist die passende Zehnerzahl immer um 1 kleiner als die Zweierpotenz, die eine Spalte weiter links steht. Randspalte Die 10 wird dabei als Dualzahl angesehen. Es gibt also 2 Arten von Menschen 4 Alle Zahlen im Dualsystem, die die Ziffer 1 in der Spalte 2 0 haben, sind ungerade. Alle Zahlen mit der Ziffer 0 in dieser Spalte sind gerade. 5 a) individuelle Lösungen, z. B.: 16 Jahre: 16 = ; 17 Jahre: 17 = Das Alter der Eltern oder Großeltern ist interessanter, da mehr Stellen des Dualsystems benötigt werden. Auch das Geburtsjahr jedes Einzelnen bietet sich an. z. B.: Geburtstag : b) individuelle Lösungen, z. B.: Telefonnummer 0712/ als Dualzahl: Individuelle Lösungen Ein Stellenwertsystem ist ein Zahlensystem, bei dem die Bedeutung einer Ziffer von ihrer Stellung innerhalb der geschriebenen Zahl abhängt. Stellenwertsysteme sind eine Möglichkeit, um mit wenigen Symbolen möglichst kompakt große Zahlen darstellen zu können. In diesem Zusammenhang spielen drei Begriffe eine große Rolle: Basis, Ziffer und Zahl: Die Basis (oder Grundzahl) ist eine natürliche Zahl größer 1 und steht für die Anzahl der möglichen Ziffern. Die Ziffer ist ein Symbol aus dem Symbolvorrat des Systems. Eine Zahl ist eine Folge von Ziffern des verwendeten Zahlensystems. Außer dem Dezimalsystem und dem Dualsystem wird manchen Schülerinnen und Schülern das Duodezimalsystem bekannt sein. Es ist ein System mit der Basis 12. Man findet es als altes Zählmaß: 12 Stück = 1 Dutzend 12 Dutzend = 1 Gros Darüber hinaus existiert es noch heute in angelsächsischen Maßsystemen. Weiteres Angebot Umwandlungen aus dem Zehnersystem in andere Stellenwertsysteme: L 32

35 Thema: Windenergie In Zeiten immer weiter steigender Energiepreise kommt alternativen Energiequellen wie beispielsweise Wind- und Solarenergie oder Wasserkraft eine immer größere Bedeutung zu. Aufgaben 1 a) Gegeben: Jahresverbrauch pro Haushalt im Jahr: kwh Produktion pro Jahr: 61 GWh = kwh = 6, kwh Anzahl der Haushalte: (6, kwh) : ( kwh) = Die Energie reicht für Personen-Haushalte für ein Jahr. b) Energiemenge: 61 GWh = 6, kwh Bei 1 kwh entstünden 0,65 kg CO 2 Bei 6, kwh entstünden 6, ,65 kg = 3, k g Es würden 3, kg CO 2 entstehen. 2 a) 1 TWh = 10 9 kwh = 1 Mrd. kwh Etwa 39,5 Mrd. kwh wurden 2007 in Deutschland durch Windkraft erzeugt. b) Gegeben: Windenergie: 39, kwh sind 7,2 % der gesamten erzeugten Energie. 7,2 % 39, kwh 1 % 39, kwh 7,2 100 % 39, kwh 100 7,2 = 5, kwh Der deutsche Nettostromverbrauch im Jahr 2007 lag etwa bei 5, kwh. c) Gegeben: 1 kwh spart 0,65 kg CO 2 ; Windenergie: 3, kwh Einsparung von CO 2 : 0,65 kg 3, = 2, k g Durch Windkraftanlagen konnten 2007 ca. 2, kg CO 2 eingespart werden. 3 a) 5000 kw = 5 MW MW : 5 MW = 5000 Man benötigt 5000 Anlagen. b) MW = 25 GW 25 GW : 0,8 GW = 31,25 Es könnten 31 Kohlekraftwerke ersetzt werden. c) 25 GW : 1,3 GW = 19,23 Es könnten fast 20 Kernkraftwerke ersetzt werden. 4 a) Leistung einer Windkraftanlage in Abhängigkeit von der Rotorfläche Leistung in kw Rotorfläche in m 2 O b) Je größer die Rotorfläche, desto höher die Leistung. Es handelt sich fast um eine proportionale Zuordnung: die Leistung liegt zwischen 0,4 und 0,5 kw/ m 2. c) Wenn man von einer durchschnittlichen Leistung von 0,45 kw/ m 2 ausgeht, benötigt man folgende Rotorfläche: 3000 kw : 0,45 kw/ m 2 = 6700 m 2 Für eine Leistung von 3 MW wäre eine Rotorfläche von etwa 6700 m 2 erforderlich. d) Durchmesser Rotorfläche Leistung 66 m 3421 m 2 1,5 MW 82 m 5281 m 2 4 MW 112 m 9852 m 2 6 MW Zum Eintrag der Werte in die Grafik aus dem Aufgabenteil a) sind die Koordinaten entsprechend zu verlängern. Randspalte Bei der Abschätzung der Höhe kann die Autohöhe (ca. 1,40 m) zum Vergleich herangezogen werden. Dabei ist zu berücksichtigen, dass die Windkraftanlagen wegen des größeren Abstandes zum Fotografen im Verhältnis wesentlich kleiner abgebildet werden als das Auto. L 33

36 2 Wurzeln Den Schülerinnen und Schülern sind bereits Quadratzahlen und Quadratwurzeln aus dem 9. Schuljahr bekannt: Neu hinzu kommt jetzt die n-te Wurzel. Die Kubikwurzel wird in Zusammenhang mit geometrischen Körpern wie dem Würfel behandelt. Eingeführt werden auch die Begriffe Wurzelexponent und Radikand. Einstieg Wäre die Kantenlänge eines Würfels gegeben und das Volumen gesucht, dann wäre die Aufgabe den Jugendlichen vertraut. Hier ist es aber umgekehrt: Die Schülerinnen und Schüler müssen rückwärts rechnen. Bei einigen Jugendlichen könnte die Raumvorstellung ein Problem darstellen: Es ist sehr hilfreich, kleine Würfel zur Veranschaulichung bereitzulegen. Impulse Aus 125 Würfeln kann ein großer Würfel gebildet werden. Da = 5 ist, beträgt die Kantenlänge des großen Würfels 5. Um auf die richtige Lösung der Würfelaufgaben zu kommen, zieht man also aus der Gesamtwürfelzahl die dritte Wurzel. Dadurch ermittelt man die Kantenlänge des großen Würfels. Aus 70 lässt sich nicht ganzzahlig die dritte Wurzel ziehen. Bei maximal 70 kleinen Würfel ist der größtmögliche, komplette Würfel einer mit 64 kleinen Würfeln, da 3 64 = 4. Die Kantenlänge würde aus 4 Würfeln bestehen. Bei 1000 kleinen Würfeln kann der große Würfel nur die Kantenlänge 10 haben, da = 10. Merkkasten Da die Kubikwurzel bereits aus Klasse 9 bekannt ist, fällt es den Jugendlichen leichter, die Wurzelrechnung zu erweitern. Wichtig ist es hierbei, den Zusammenhang zum Potenzrechnen herzustellen. Das Ergebnis der Wurzelrechnung muss mit dem Wurzelexponent potenziert werden und ergibt den Radikand. Die Schülerinnen und Schüler können diese Umkehrrechnung als Probe nutzen. Wichtig ist auch der Hinweis auf die fachlich korrekten Begrifflichkeiten Wurzelexponent und Radikand in der Randspalte. Weiter geht s Die Jugendlichen entwickeln durch das Schätzen der Ergebnisse ein Gefühl für das Berechnen der Kubikwurzel. Sie üben dabei die in den Bildungsstandards geforderte Kompetenz Lösungs- und Kontrollverfahren zu entwickeln. a) 2,71 b) 3,91 c) 4,48 d) 5,54 e) 6,69 f) 8,88 Hier wird der Zusammenhang zum Potenzieren noch einmal deutlich. Die Wurzeln können mithilfe des Potenzierens abgeschätzt werden. Durch das Potenzrechnen bekommen sie die fehlenden, bisher nicht bekannten Werte der 4. Wurzel. 2 4 = 16, 3 4 = 81, 4 4 = 256, 5 4 = 625, 6 4 = 1296 a) 2,11 b) 2,78 c) 3,08 d) 3,61 e) 4,16 f) 5,14 Aufgaben 1 a) 10 1, denn 10 2 = 100 b) 10 1, denn 10 3 = 1000 c) 10 1, denn 10 4 = d) ; ; a) 1,2 b) 0,9 c) 1,5 d) 1,7 e) 0,7 f) 2,1 g) 0,2 h) 2,5 i) 0,02 j) _ 4 7 k ) _ 2 9 l ) _ 6 11 m) _ n ) 13 _ 15 o) 20 _ 27 3 a) 81 = 9 b) 144 = 12 c) 169 = 13 d) 121 = 11 4 a) º = 2 b) º = 4; ¹ =1 c)» = 2; º = 5; ¹ = 5 d) º = 5; ¹ = 4 e) º = 2; ¹ = 1 f)» = 9; º = 6; ¹ = 3 5 a = 7; b = 4; c = 2; d = 1; e = 2; f = 0 L 34

37 6 y y , _ y 2,92 6, ,78 4 _ y 2,24 4 2,83 4,76 9, = = = = = 1628, = = 81 Information Eine wichtige Erweiterung des Wurzelrechnens für Schülerinnen und Schüler ist sicherlich das Schreiben des Wurzelterms als Potenz. Dabei gilt immer: n _ x = x 1 _ n Das heißt, der Radikand der Wurzelfunktion wird zur Basis der Potenz und der Wurzelexponent der Nenner im Exponent derselben. Der Zähler des Exponenten ist 1. 8 a) 9 1 _ 2 b) _ 3 c) _ 5 d) _ 7 _ e) _ f) 1, a) 5 b) 3 88 c) 5 1,2 d) 9 4,5 e) f) a) 4 = 2 b) 100 = 10 c) 3 64 = 4 d) = 5 e) = 10 f) 5 32 = 2 11 a) 11 = 3,32 b) 1,02 = 1,01 c) 3 60 = 3,9 d) 4 81 = 3 e) = 10 f) 5 32 = 2 12 a) 5 2 _ 3 = _ 4 = _ 4 = _ 5 = b) Befindet sich in einer Potenz ein Bruch im Exponenten, kann diese auch mit einer Wurzelfunktion dargestellt werden. Der Exponent des Radikanden wird zum Zähler des Bruch-Exponenten. 7 3 _ 4 = 4 Dabei gilt: n x z = x z _ n Information Für die Multiplikation und Division von Wurzeln mit gleichen Exponenten gelten die Potenzgesetze entsprechend. 13 a) _ = _ 11 8 b) _ 3 8 = 2 c) 36 = 6 d) 1600 = 40 e) 64 = 8 f) _ = 4 = 2 14 a) 20 b) 300 c) 20 d) 40 e) 25 = 5 f) 25 = 5 g) 3 27 = 3 h) 3 64 = 4 i) 4 16 = ; ; Die Zahl, die unter der Wurzel addiert wird, zeigt die Kantenlänge des Würfels. 16 a) 25 2 = 5 2 b) _ 3 8 _ 3 2 = 2 _ 3 2 c) 4 a 2 3 = 2 a 3 d) 3 c 3 _ 3 2 = c _ 3 2 e) 9 b 2 b = 3 b b f) d 3 _ 3 4 = 5 d _ a) 9 b) 4 c) 81 d) 729 e) 8 f) Randspalte oben Die Zahl 1 ändert sich durch Wurzelziehen nicht. Randspalte Wurzeln über Wurzeln 81 = = = = = 5 L 35

38 Mathematische Reise: Logarithmus Während beim Potenzieren der Potenzwert und beim Radizieren die Basis gesucht wird, wird beim Logarithmieren der Exponent gesucht. Beispiel: Mit welchem Exponenten muss die Zahl 5 potenziert werden, um 625 zu erhalten? Die Antwort heißt 4, da 5 4 gleich 625 ist. Man spricht das folgendermaßen: Der Logarithmus von 625 zur Basis 5 ist 4. Man schreibt: log = 4. Der Logarithmus wird als Quotient aus den Zehnerlogarithmen des Potenzwertes und der lg 525 Basis berechnet: log = _ lg 5 = 4. Unter dem Logarithmus x = log b c versteht man den Exponenten x in der Gleichung b x = c. Aufgaben 1 Hier sollte deutlich gemacht werden, was jeweils gesucht ist. a) gesucht Potenzwert; 5 3 = x; x = 125 b) gesucht Basis; x 2 = 64; x = 64 = 8 c) gesucht Exponent; x = log 2 128; x = 7 2 a) x = log 2 8; 2 x = 8; x = 3, denn 2 3 = 8 b) x = log 3 27; 3 x = 27; x = 3, denn 3 3 = 27 c) x = log 2 64; 2 x = 64; x = 6, denn 2 6 = 64 d) x = log 4 64; 4 x = 64; x = 3, denn 4 3 = 64 e) x = log ; 11 x = 121; x = 2, denn 11 2 = 121 f) x = log ; 20 x = 400; x = 2, denn 20 2 = a) a 5 = 32: Die Basis ist gesucht. 10 f = : Der Exponent ist gesucht. d = 7 2 : Der Potenzwert ist gesucht = c: Der Potenzwert ist gesucht. 125 = h 3 : Die Basis ist gesucht. 3 4 = i: Der Potenzwert ist gesucht. g 2 = 144: Die Basis ist gesucht. 64 = 4 e : Der Exponent ist gesucht. 2 b = 512: Der Exponent ist gesucht. b) a 5 = 32; a = 5 32 = 2 10 f = ; f = log = 4 d = 7 2 = = c = = h 3 ; h = = = i = 81 g 2 = 144; g = 144 = = 4 e ; e = log 4 64 = 3 2 b = 512; b = log = x = lg = 5 10 x = lg = 4 10 x = 1000 lg 1000 = 3 10 x = 100 lg 100 = 2 10 x = 10 lg 10 = 1 10 x = 1 lg 1 = 0 10 x = 1 _ 10 lg 1 _ 10 = 1 10 x = 1 _ 100 lg 1 _ 100 = 2 10 x = 1 _ 1000 lg 1 _ 1000 = 3 Die Anzahl der Nullen entspricht bei Zahlen > 0 dem Exponenten. Bei Zahlen < 0 wird die Anzahl der Nullen mit dem negativen Vorzeichen notiert. Die Ziffer entspricht der Anzahl der Dezimalen. 5 a) lg = 4,000 b) lg 1002 = 3,001 c) lg = 4,091 d) lg 0,1 = 1,000 e) lg 0,01 = 2,000 f) lg 1 = 0,000 6 a) log ; Basis a = 2, Potenzwert b = 4096; ges: Exponent x lg 4096 x = _ = 12 lg 2 b) log = 7 c) log = 4 d) log 1,5 7,5975 = 5 e) log 2,5 39,0625 = 4 f) log = 5 g) log 0,2 0,04 = 2 h) log 2 0,25 = 2 7 a) 2 5 = 16 Ur-Ur-Urgroßeltern b) 2 8 = 256 Vorfahren c) 2 x = ; x = log = 19,93 Vor 20 Generationen waren es 1 Mio. Vorfahren. d) Vor ca. 600 Jahren. 8 Jede Potenz mit der Basis 1 hat den Wert 1. Jede Wurzel von 1 hat ebenfalls den Wert 1. log 1 1 hätte demnach unendlich viele Lösungen. Die Berechnung des Logarithmus eines anderen Wertes zur Basis 1 würde wegen lg 1 = 0 zur Division durch null führen, was nicht definiert ist. L 36

39 3 Wachstum Für die Schülerinnen und Schüler der Klasse 10 ist das Thema Exponentielles Wachstum neu. Sie kennen aber bereits die Grundlagen des Prozentrechnens und den Begiff Zinseszins. Das exponentielle Wachstum setzt diese Berechnungen fort. Jetzt können die Jugend lichen auch andere Themen außer der Zinsrechnung insbesondere Wachstums- und Zerfallsprozesse berechnen. Dazu wird der Begriff des Wachs tumsfaktors q eingeführt, der die Berechnungen vereinfacht. Einstieg Bevölkerungsexplosion ist ein Thema, das in den Medien immer wieder thematisiert wird. Zum Beispiel in Dokumentationen über sogenannte Mega-Citys. Fest steht, dass die weltweite Bevölkerung in den letzten Jahrzehnten sehr stark gewachsen ist. Die Folgen dieses starken Bevölkerungswachstums wie Armut, Hunger, Aids oder Klimawandel und vielleicht auch die Ursachen wie zum Beispiel Industrialisierung, Landflucht, verbesserte Medizin, Bautechniken und Anbaumethoden könnten zum Einstieg diskutiert werden. Das Thema Bevölkerungswachstum sollte in den globalen Zusammenhang gestellt werden. Zum Vergleich und zur Verdeutlichung könnten auch Zahlen aus früheren Jahrhunderten dienen. Das Thema kann auch fächerübergreifend aufgegriffen werden. Hier sind die Verknappung der Ressourcen Wasser, fossile Brennstoffe und Nahrungsmittel und die daraus resultierenden Konflikte zentrale Themen. Die Erdbevölkerungsuhr, die den aktuellen Bevölkerungsstand zeigt, findet man unter Impulse Die Schülerinnen und Schüler können den Zuwachs mit der Prozentformel oder mit dem Dreisatz berechnen. W = G p _ 100 W = Im Jahr 2009 lebten Menschen auf der Erde. Jetzt wird derselbe Rechenvorgang mehrfach wiederholt. Einige Jugendliche werden das bemerken und vielleicht auch erkennen, dass immer mit demselben Faktor multipliziert wird = 1,036 Die Weltbevölkerung ist von 2008 bis 2011 um 3,6% angewachsen. Weiter geht s Der Anfangswert ist hier die Bevölkerungszahl im Jahr 2007, also , die Wachstumsrate beträgt 3 % und somit der Wachstumsfaktor 1,03. Es ergibt sich folgende Rechnung: ,03 3 (da es 3 Jahre von 2007 bis 2010 sind) = Menschen Individuelle Lösungen Aufgaben 1 a) q = 1 + _ = 1,2; b) q = 1 + _ = 1,02; c) q = 1 + _ = 1,30; d) q = 1 + _ = 1,58; e) q = 1 + 0,5 _ 100 = 1,005; f) q = 1 + _ = 2 2 p _ 100 = q 1, also p = (q 1) 100 a) p = (1,5 1) 100 = 50 b) p = (1,05 1) 100 = 5 c) p = (1,009 1) 100 = 0,9 d) p = (1,3 1) 100 = 30 e) p = (1,19 1) 100 = 19 f) p = (2 1) 100 = W n = W 0 q n a) W 5 = ,1 5 = 8052,55 b) W 7 = ,06 7 = ,30 c) W 20 = , = ,81 d) W 10 = ,04 1,12 10 = L 37

40 Information Es gibt auch Vorgänge, die nicht exponentiell zunehmen, sondern abnehmen. Meist sind das Zerfallsprozesse, z. B. bei Radioaktivität. 4 a) q = 1 _ = 0,8 b) q = 1 _ = 0,98 c) q = 1 0,2 _ 100 = 0,998 d) q = 1 58 _ 100 = 0,42 e) q = 1 0,5 _ 100 = 0,995 f) q = 1 99 _ 100 = 0,01 5 a) p = (1 0,8) 100 = 20, das ergibt eine Wachstumsrate von 20 % b) Wachstumsrate von 5 % c) Wachstumsrate von 0,9 % d) Wachstumsrate von 87 % e) Wachstumsrate von 25 % f) Wachstumsrate von 95 % 6 Exponentielle Abnahme: q = 1 p _ 100 = 1 11,8 _ 100 = 0,882 a) 1000 m: ,882 1 = 893,47 hpa 2000 m: ,882 2 = 788,04 hpa 3000 m: 695,05 hpa m: 613,03 hpa 5000 m: 540,70 hpa m: 476,89 hpa 7000 m: 420,62 hpa m: 370,99 hpa 9000 m: 32å,2Å hpa Å0 000 m: 288,60 hpa Ein Linien- oder ein Säulendiagramm sind geeignet. b) Auf ungefähr 5500 m beträgt der Luftdruck nur noch die Hälfte. c) Auf dem Montblanc: ,882 4,809 = 553,82 hpa Auf dem Mount Everest: ,882 8,848 = 333,52 hpa d) Das Flugzeug fliegt ungefähr 9700 m hoch. 7 q = 1 p _ 100 = 1 11 _ 100 = 0,89 a) ,89 ( ) = ,89 45 = 52, lebten also noch 52 Zwerggänse in dieser Region. b) _ = 0,0052. Die Population ist um 99,48 % geschrumpft. c) Individuelle Lösung. 8 Der Anfangswert beträgt 10, also W 0 = 10; die Wachstumsrate beträgt p = 200 %; das ergibt einen Wachstumsfaktor von q = 3. Für die 5 folgenden Jahre ergeben sich also folgende Daten: W 1 = = 30; W 2 = = 90 W 3 = = 270; W 4 = = 810 W 5 = = W n = W 0 + q n ; q = 1 + p _ 100 ; p = (q 1) 100 W 0 p % q W 5 W 8 W 10 a) % 1,4 5378, , ,47 b) 2 25 % 1,25 6,10 11,92 18,63 c) % d) % 0,7 84,04 28,82 14,12 e) % 0,8 32,77 16,78 10,74 2 W n 10 Man formt die Formel um: n _ W 3 0 a) , = q = 1,1 p = 10 % b) , = 1,12 p = 12 % c) 10 2 _ = 0,93 p = 7 % d) 2,5 3 = 1,04 p = 4 % , A-Bank: ,04 3 = 1 124,86 B-Bank: ,03 1,04 1,05 = 1 124,76 Manuela sollte sich für Bank A entscheiden, da sie dort nach 3 Jahren ein wenig mehr Geld hat , = ,8 das sind umgerechnet ,13. Pascal hätte ein Vermögen von 4,75 Mio.. 13 a) 5 1, = 36,05 b) Am besten eignet sich hier ein Liniendiagramm, es liegen folgende Daten zugrunde: nach 10 Jahren: 6,40 ; nach 20 Jahren: 8,19 ; nach 30 Jahren: 10,49 ; nach 40 Jahren: 13,43 ; nach 50 Jahren: 17,19 ; nach 60 Jahren: 22 ; nach 70 Jahren: 28,16 ; nach 80 Jahren: 36,05 c) Das Guthaben hat sich etwa nach 28 Jahren verdoppelt und nach 56 Jahren vervierfacht. L 38

41 Information Hier sind die verschiedenen Darstellungsformen einer Funktion, in diesem Fall von exponentiellem Wachstum, nebeneinandergestellt. Es bietet sich an, hier auf den Unterschied von linearem und exponentiellem Wachstum hinzuweisen. 14 Diese Aufgabe eignet sich besonders gut, um die Unterschiede zwischen linearem und exponentiellem Wachstum zu untersuchen. Thermometer: (A) gehört zu (2), lineares Wachstum Alge: (B) gehört zu (4), exponentielles Wachstum Motor: (C) gehört zu (1), lineare Ab nahme Pkw: (D) gehört zu (3), exponentielle Abnahme 15 a) Lineares Wachstum. b) Exponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor 2. c) Lineare Abnahme. d) Exponentielle Abnahme mit dem Wachstumsfaktor 0,75, also einer Wachstumsrate von 25 % O d) c) a) b) 16 a) + 1,5 11, , ,5 1,5 8,5 7 5,5 4 2,5 b) q = 1, ,6 27,44 38,42 53,78 q = 0,6 6 3,6 2,16 1,3 0,78 a) 1,5 addieren (subtrahieren); b) mit 1,4 ( bzw. 1 0,4 = 0,6) multiplizieren O b) + 40 % a) + 1,5 a) 1, b) 40 % c) Die Graphen zu b) steigen bzw. fallen viel schneller als die Graphen des linearen Wachstums aus a). 17 a) Da die Strahlung je Millimeter Dicke der Platte um 5 % abnimmt, und es hier 20 mm sind, ergibt sich folgende Rechnung: (1 0,05) 20 = 0,3585, also nimmt die Strahlung um 64,15 % ab. b) Am besten wählt man auf der x-achse die Dicke der Bleiplatte in Millimeter und auf der y-achse die Strahlung in %. Wenn man dann auf der y-achse bei 100 % beginnt, erhält man eine exponentielle Abnahme mit q = 0, O Strahlung in % Bleidicke in mm L 39

42 Thema: Wachstum mit dem Computer 1 Die Tabelle finden Sie als Online Link schon mit allen Daten als Excel-Datei im Internet. Geben Sie dazu auf der Seite im Suchfeld die Nummer ein. a) Alle Zahlenreihen verlaufen annähernd linear. b) Nein, bei einem exponentiellem Verlauf steigen die Werte schneller. 2 a) Lineares Wachstum, da jährlich die gleichbleibende Fläche von 2500 km 2 hinzukommt. b) Im Jahr 2001 sind es 27 % der gesamten Fläche Chinas, also km 2 0,27 = km 2 ; zu dieser Fläche kommen 24 Jahre lang jährlich 2500 km 2 hinzu, das ergibt: km km 2 24 = km 2 c) Individuelle Lösung. 3 Es bietet sich an, die Schülerinnen und Schüler auch eigene Rechenbeispiele mithilfe der Tabellenkalkulation berechnen zu lassen. Dafür können verschiedene Angebote unterschiedlicher Banken eingeholt werden. Auch die Aufnahme von Krediten und die damit über Jahre anfallenden Zinsen zu berechnen, ist für Jugend liche interessant. 1 Jahr A B C D Anfangskapital Zinsen Endkapital ,00 400, , ,00 416, , ,00 432, , ,64 449, , ,59 467, , ,53 486, , ,19 506, , ,32 526, , ,69 547, , ,12 569, , ,44 592, , ,54 615, , ,32 640, , ,74 666, , ,76 692, , ,44 720, , ,81 749, , ,00 779, , ,17 810, , ,49 842, ,23 Insgesamt erhält Frau Ehrlich ,23 Zinsen. 4 a) b) Zeitraum (h) Temperatur ( C) Zeitraum (h) 0 85, ,1 1 74, ,2 2 65, ,5 3 57, ,0 4 51,0 17 9,7 5 44,9 18 8,5 6 39,5 19 7,5 7 34,7 20 6,6 8 30,6 21 5,8 9 26,9 22 5, ,7 23 4, ,8 24 4, ,3 Temperatur ( C) c) Man geht von 38 C aus und berechnet rückwärts die Ausgangstemperatur. Der Tee hatte beim Einfüllen eine Temperatur von 81,83 C. 5 Zeit (Jahre) Guthaben ( ) Zeit (Jahre) Guthaben ( ) 0 500, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,45 L 40

43 6 a) Zeit Umsatz ( ) , , , , , ,32 b) Im Jahr 2005 hätte der Umsatz bei ,18 liegen müssen. c) d) A B C D 1 Jahresumsatz 2 Zeit Umsatz ( ) , , , , , , a) Zeit (h) Salmonellen Zeit (h) Salmonellen b) e) A B C D Jahresumsatz 38 Zeit Umsatz ( ) , , , , , , Im Vergleich der Prognose 6 a) mit dem tatsächlichen Wachstum ergibt sich folgende Aussage: Die Prognose für den Umsatzzuwachs für das Jahr 2008 bleibt mit 16,2 % unter den Erwartungen. Das heißt, das Fahrradgeschäft hat im Jahr weni ger Umsatz gemacht als erwartet. c) Die Salmonellen haben sich nach etwa 16,5 Stunden verhundertfacht und nach etwa 25 Stunden vertausendfacht. d) Individuelle Lösung. L 41

44 Üben Wiederholen Die Rubrik Üben Wiederholen dient als weiterer Aufgabenpool zur Ergänzung, Wiederholung und Überprüfung. Außerdem werden hier Inhalte der verschiedenen Lerneinheiten vernetzt. Aufgaben 1 a) = 3 3 (3 + 1) = = 108 b) = 5 2 (5 2 1) = = 600 c) 4 2 (3 + 2) = = 80 d) 5 2 (5 3) = = 50 e) 4 (2 + 4) = 4 6 = 4096 f) 15 (8 6) = 15 2 = 225 g) 10 (5 + ( 3)) = 10 2 = 100 h) 12 (( 2) 4) ( 7) = 3,35 10 i) ( 3) (5 + 4) = ( 3) 9 = j) ( 5) ( 3 ( 5)) = ( 5) 2 = 25 k) 5 x = _ 57 5 = 5 (7 4) = 5 3, also x = 3 4 l) 10 x = = 10 (3 + 9) = 10 12, also x = 12 m) 1000 = 10 3, also ( 2) = 10 (3 + ( 2)) = 10 1 = 10 n) 100 = , also ( 5) = 25 2 (2 + ( 5)) = 25 2 ( 3) = 3,125 2 a) 8; = = 8 b) 6 c) 2 d) 21 e) 5 3 a) 38 2 _ 2 = 38 b) 10 3 _ 4 = 5,62 c) 5 5 _ 9 = 2,45 d) 32 1 _ 4 = 2,38 e) 64 1 _ 5 = 2,30 f) 81 1 _ 4 = 3 4 a) Die Zahl 4 ist doppelt so groß wie ihre Quadratwurzel. b) Beispiele wären: = 25 = 5 oder 3 _ 8 = 4 = 2. Es gibt viele weitere Möglichkeiten. 5 Frau Hubers Grundstück: A = l b = 178 m 96 m = m 2 Umfang: u = 2 (l + b) = 2 (178 m + 96 m) = 548 m Quadratisches Grundstück mit derselben Fläche: l = m 2 = 130,72 m; Umfang: u = 4 l = 522,88 m Für das quadratische Grundstück benötigt Frau Huber weniger Zaun. 6 W 0 p % q W 2 W 5 W 8 a) % 0, ,25 3,91 b) % 0,7 4,90 1,68 0,58 c) % 0,75 16,88 7,12 3,00 7 a) Aus der Grafik kann man einen Wert von etwa 30 % annehmen. Berechnet: 2 1 _ = 0,89 10 = 0,31 b) Lux entsprechen 100 %, da wir in Teilauf gabe a) berechnet haben, dass in 10 m noch 31 % der Lichtintensität vorhanden sind, lässt sich die Beleuchtungsstärke wie folgt berechnen: ,31 = 7750, also beträgt die Beleuchtungsstärke in 10 m Tiefe an diesem Tag etwa 7750 Lux. c) Aus der Grafik kann man ablesen, dass etwa bei 13 m noch 20 % der Beleuchtungsstärke vorhanden sind. Wenn man es rechnerisch nachprüft, sieht man, dass der Wert bei 13 m 21,98 % beträgt (0,89 13 = 0,2198). 8 a) Der Wachstumsfaktor beträgt 1,3 pro Tag, nach fünf Tagen sind es 200 g 1,3 5 = 742,59 g Es sind 742,59 g Algenmasse nach 5 Tagen. b) Nach 4 Tagen sind es 200 g. W 4 = 200 g, gesucht ist W 0. W 0 1,3 4 = 200 g; also W 0 = 200 g _ 4 = 70,03 g 1,3 c) O Wachstum der Algen in Gramm Tage d) Nach 7 Tagen liegt der Wert bei 1254,97 g, da nur Platz für 1200 g sind, ist das exponentielle Wachstum nach 6 Tagen beendet. L 42

45 9 Hier bietet es sich an, mit den Schülerinnen und Schülern die verschiedenen Werkzeuge (Skizze, Tabel le, Grafik) zum Modellieren zu besprechen und einzuüben. Es empfiehlt sich, die ersten Wachstumsphasen mithilfe eines Baumdiagramms zu veranschaulichen. a) Von jedem Computer werden 10 weitere Computer innerhalb von 3 Stunden infiziert. Das bedeutet, der Wurm breitet sich in 6 Stunden auf 10 10, also 10 2, Computer aus. Dies ergibt eine Zehnerpotenz reihe mit den folgenden Werten: Nach 24 Stunden sind 10 8 = Computer mit dem Wurm infiziert. _ = = An einem Tag können also bis zu 100 Millionen Computer mit dem Wurm infiziert werden. b) Anzahl der infizierten Computer Zeit in 1000 Stunden O c) Wenn nach 3 Stunden jeweils nur 5 Computer infiziert werden, ergibt sich folgende Änderung: Nach 6 Stunden sind 5 2 Computer, also sind 25 Computer infiziert. So ergibt sich eine Fünferpotenzreihe: Nach 24 Stunden wurde der Wurm an 5 8 Computer, also Computer, gesendet O Anzahl der infizierten Computer Zeit in Stunden d) und e) individuelle Lösung O Wasserstand in cm Tage 11 a) Aus der Grafik kann man entnehmen, dass Ötzi vor 5730 Jahren gelebt hat. Dies entspricht der Halbwertszeit von b) Der ägyptische König Tutanchamun hat vor etwa 3500 Jahren gelebt. 12 a) Der Wachstumsfaktor beträgt q = 1 0,235 = 0,765; das ergibt folgende Tabelle. Zeit (Wochen) Wirkstoff (g) Zeit (Wochen) Wirkstoff (g) , , , , , , , , , , , , , ,10 b) Nach etwa 2,5 Wochen hat sich der Bestand des Wirkstoffes halbiert. c) O Wirkstoff in g Zeit in Wochen Bei einer Verdopplungszeit von 30 min gibt es in 24 Stunden 48 Verdopplungen. Berechnung der Bakterienzahl n: n = = 2, L 43

46 Aufgabenvorschläge für Klassenarbeiten zu Kapitel 2 1 Schreibe als Potenzen und berechne. a) b) c) 12 5 : 12 3 d) 7 5 : 7 4 e) Berechne die Wurzel. a) 1024 b) 3 64 c) d) 7 4,743 3 Welche Terme passen zusammen? 7 1 _ _ 3 _ _ 7 4 Ein Würfel hat die Seitenlänge von 30 mm. a) Wie viel mm 3 fasst der Würfel? Schätze zuerst. b) Wie viele der kleinen Würfel passen in einen Würfel mit der Seitenlänge a = 120 mm? c) Ein Würfel hat ein Volumen von mm 3. Berechne die Seitenlänge a. 5 Deutschlands Bevölkerung schrumpft immer weiter. Im Jahr 2002 hatte die BRD noch Einwohner. Einwohnerzahlen in Deutschland Einwohner a) Um wie viel Prozent ist die Bevölkerung von 2002 bis Ende 2007 gesunken? b) Vergleiche auch die Jahre 2005, 2006 und 2007 miteinander. c) Stelle eine Prognose für das Jahr 2010 auf anhand des letzten Wachstumsfaktors. 6 Ein Kompaktwagen verliert im ersten Jahr 20 % seines Neuwerts. In den folgenden Jahren verliert er im Durchschnitt 8 % seines Zeitwerts. Herr Schmitt kauft sich einen Neuwagen für Euro. a) Wie viel Euro ist sein Pkw nach einem Jahr wert? b) Wie hoch ist der Zeitwert im 2. Jahr und 3. Jahr? c) Nach wie vielen Jahren ist das Auto weniger als wert? Lösungen 1 a) = 189 b) 10 7 = 10 Mio. c) 12 2 = 144 d) 7 1 = 7 e) = a) 32 b) 4 c) 4 d) 1, _ 2 und _ 2 7 ; 5 2 _ 3 und ; 2 2 _ 7 passt nicht 4 a) (30 mm) 3 = mm 3 Ein Würfel mit a = 30 mm fasst mm 3. b) Pro Seitenkante 120 mm : 30 mm = 4; = 64 Es passen 64 kleine Würfel in den großen Würfel. c) mm 3 = 75 mm Der Würfel hat eine Seitenlänge von a = 75 mm. 5 a) W = G p _ 100 p = _ W 100 G : = 99,61 Die Bevölkerungszahl ist um 0,31 % gesunken. b) Von 2005 auf 2006: 0,15 % oder EW weniger Von 2006 auf 2007: 0,12 % oder EW weniger c) Geht man von einem jährlich verminderten Wachstum von 0,12 % aus: W n = W 0 q n W 3 = , = EW Prognose für 2010: EW. 6 a) W n = W 0 q n q = 1 p _ 100 q = 1 _ = 0,8 W n = ,80 = Der Neuwagen ist nach einem Jahr wert. b) Wachstumsfaktor q = 1 _ = 0,92 W 2 = ,92 = W 3 = ,92 2 = Der Zeitwert beträgt im 2. Jahr und im 3. Jahr c) Hier müssen die Schülerinnen und Schüler die Werte weiterer Jahre ausrechnen. 4. Jahr: ,92 3 = Jahr: ,92 4 = Jahr: ,92 5 = Nach dem 6. Jahr ist das Auto weniger als wert. L 44

47 Training Mathematik und Beruf Auf der Baustelle Mit dem Steinformat 2 DF kann man Wände von 24 cm Dicke und Wände von 11,5 cm Dicke mauern, da der Stein in zwei Richtungen gemauert werden kann. 1 Die Wand hat eine Fläche von 4,7 m 2,45 m = 11,52 m 2. Da die Wandstärke 11,5 cm betragen soll, werden 33 Steine pro 1 m 2 benötigt. Insgesamt werden also 33 Steine 11,52 m 2 = 380 Steine benötigt. Es werden 19 Liter Mörtel pro 1 m 2 gebraucht. 19 ø/m 2 11,52 m 2 = 218,88 ø, also etwa 219 ø Mörtel. 2 Fläche der Wand: 5,60 m 2,10 m 0,885 m 2,01 m = 9,98 m 2 Da die Wand aus Hohlblocksteinen bestehen soll, werden 8 Steine/m 2 benötigt. 9,98m 2 8 Steine/m 2 = 79,84 Steine Insgesamt werden rund 80 Steine benötigt. Pro 1 m 2 werden 18 Liter Mörtel benötigt, also insgesamt 9,98 m 2 18 ø/m 2 = 179,64 ø. Insgesamt werden etwa 180 Liter Mörtel gebraucht. 3 a) Das Mauerwerk besteht aus vier Seiten, von denen je zwei gleich lang sind. 2 (8,75 m 2,45 m) + 2 (10,5 m 2,45 m) = 94,325 m 2 Davon müssen die Fenster- und die Türflächen abgezogen werden. 7 (0,76 m 0,51 m) (0,885 m 2,135 m) = 4,6 m 2 94,325 m 2 4,6 m 2 = 89,72 m 2 Das Mauerwerk hat rund 90 m 2, dabei ist die Dopplung der Wand in den Ecken nicht berücksichtigt. b) Da die Wände aus 2-DF-Steinen bestehen und 24 cm dick sind, werden 66 Steine pro 1 m 2 und 50 Liter Mörtel pro 1 m 2 benötigt. Steine insgesamt: 66 Steine/m 2 89,72 m 2 = 5921,52 Steine, also rund 5922 Steine. Mörtel insgesamt: 50 ø/ m 2 89,72 m 2 = 4486 ø Es werden 5922 Steine und 4486 Liter Mörtel benötigt. 4 Rein rechnerisch stimmen die Mengenangaben in der mittleren Zeile nicht. Es sind bei 345 ø Weißkalkhydrat bei exakter Rechnung 1207,5 ø Sand; oder bei 1210 ø Sand entsprechend 345,7 ø Weißkalkhydrat, damit das Verhältnis 1 : 3,5 erfüllt ist. Rein praktisch entspricht das Verhältnis trotzdem der geforderten Mischung, da 3 Liter bei 1200 Litern nicht ins Gewicht fallen. Hier ist es wichtig, den Bezug zur realen Situation am Ende bei der Diskussion des Ergebnisses herzustellen. Der Realitätsbezug muss beim Ergebnis berücksichtigt werden. Es handelt sich eben nicht um mathematische Rechnungen auf einem Blatt Papier, sondern um praktische Mischungen auf einer Baustelle. 5 a) 18 ø 25 kg 25 kg 9 ø _ 2 25 kg 360 ø _ 2 40 = 500 kg Anderer Rechenweg: 360 ø sind 20 Säcke à 18 ø, also kg = 500 kg. 450 ø sind 25 Säcke à 18 ø, also kg = 625 kg. 5,5 25 kg = 137,5 kg. b) 530 ø = 530 dm 3 = 0,53 m 3 1 m kg 0,53 m kg 0,53 = 821,50 kg c) 5,5 t sind 5500 kg. Da 1 m kg wiegt, kann ein solcher Lkw 5500 kg : 1550 kg/m 3 = 3,55 m 3 laden. L 45

48 3 Trigonometrie Übersicht 1 Ähnliche Dreiecke 2 Sinus und Kosinus Mathematische Reise: Sinus- und Kosinusfunktion 3 Tangens Thema: Messen im Freien 4 Allgemeine Dreiecke Mathematische Reise: Sinussatz und Kosinussatz Üben Wiederholen Test Aufbau und Intention des Kapitels Dieses Kapitel schließt an das Geometrie-Kapitel mit der Lerneinheit Satz des Pythagoras aus dem 9. Schuljahr an. Die Schülerinnen und Schüler lernen mit den trigonometrischen Funktionen Sinus (sin), Kosinus (cos) und Tangens (tan) neue Berechnungsmöglichkeiten für Seiten und Winkel im rechtwinkligen Dreieck kennen. Beim Rechnen mit diesen Funktionen wird der Umgang mit Formeln und Gleichungen vertieft. Das richtige Umstellen von Formeln ist eine Grundvoraussetzung zum Lösen vieler Aufgaben abstrakteren Niveaus. Auf den ersten Seiten des Kapitels wird über die Seiten verhältnisse von (rechtwinkligen) Dreiecken zur Ähnlichkeit von Dreiecken hinge führt, da alle trigonometrischen Sätze auf dieser Ähnlichkeit beruhen. Nach der Einführung der drei grund legenden trigonometrischen Funktionen sin, cos und tan werden diese in Aufgaben an recht wink ligen und an allgemeinen Dreiecken angewandt. Die mathematische Reise Sinus- und Kosinusfunktion führt in die Darstellung der Sinus- und Kosinusfunktion am Einheitskreis und als Kurve ein. Hierbei können grundlegende mathematische Prinzipien erkannt und die Genauigkeit von zeichnerischen Lösungen erörtert werden. Das Thema Messen im Freien weitet den Blick der Schülerinnen und Schüler auf ein grund l e gen des Anwendungsgebiet der Trigonometrie im Alltag. Die mathematische Reise Sinussatz und Kosinussatz gibt Anleitungen zur allgemeinen Herleitung des Sinussatzes und des Kosinussatzes. Dieses Kapitel steht unter den Leitideen Zahl, Messen und Raum und Form. Grundsätzlich sollen die Schülerinnen und Schüler an das formal-abstrakte Denken als besondere Denkweise der Mathematik heran geführt werden, um so ihre Problemlösefähigkeit weiterzuentwickeln. Die Jugendlichen üben in diesem Kapitel Formeln umzustellen Sachaufgaben mithilfe von Winkelfunktionen zu lösen den Zusammen hang zwischen Seitenverhält nissen und Winkeln im rechtwinkligen Dreieck zu erklären und Berechnungen mithilfe von trigonometrischen Funktionen durchzuführen. So sind sie befähigt, Wege zur Lösung komplexer Sachaufgaben zu begründen und die Berechnung auszuführen. Tipp Zum Bearbeiten und Lösen von Aufgaben sind häufig sachrichtige und saubere Dreiecksskizzen notwendig oder zumindest hilfreich. Hierbei bietet es sich an, grundsätzlich gegebene, gesuchte und gerechnete Teile in drei gleichbleibenden Farben einzuzeichnen. Hinweis Früher wurden die feststehenden Werte der trigonometrischen Funktionen aus Tabellen abgelesen, heute sind diese Werte in den Taschenrechnern eingespeichert und über die entsprechenden Tasten abrufbar. Darum wird für die Aufgaben dieses Kapitels grundsätzlich der Taschenrechner benötigt. Je nach Fabrikat des Taschenrechners ist die Tastenfolge verschieden. Werkzeugkasten Ein Geodreieck zum Messen von Winkeln ist unbedingt nötig. Auf der Themenseite Messen im Freien werden Karton, Schnur, Strohhalme und andere Utensilien zum Basteln des Höhenmessers und der Winkelscheibe benötigt. L 46

49 Geländevermessung Bei astronomischen Beobachtungen und Berechnungen sowie bei praktischen Fragen der Erd vermessung ist die Trigonometrie sehr bedeu tungs voll. Trigonometrie bedeutete Drei winkelmessung (griechisch: tri = drei, gonia = Winkel und metrein = messen), da hier die Ähnlichkeit von Dreiecken (siehe auch S. L 48), begründet durch gleiche Winkel, zu Berechnungen in der Ebene verwendet wird. Winkel sind in unwegbarem Gelände oder auf dem Meer leichter zu messen als Strecken. Bis ins 18. Jahrhundert wurde zu Vermessungen der nach seinem Erfinder benannte Jakobsstab verwendet. Der Querstab ist auf dem Längsstab verschiebbar. So wurde (siehe Skizze 1) die Länge der Stäbe _ AM und _ CM gemessen und entweder maßstabsgetreu aufgezeichnet, um den Winkel abzumessen oder mit der Tangensfunktion ( _ CM : _ AM ) berechnet. Bei größeren Winkeln peilte man die beiden Objekte über die Linien _ AC und _ AD (siehe Skizze 2) an. A D M B C Skizze 1 S 1 S 2 S 1 D A M B Skizze 2 Mit dem Jakobsstab und dem Quadranten das ist ein Gerät zum Messen von Sternhöhen konnten im Mittelalter und der frühen Neuzeit genaue Messungen am Himmel vorgenommen werden. Dadurch entdeckten die Menschen, dass die Erde nicht der Mittelpunkt der Welt sein kann (ptolemäisch geozentrisches Weltbild). Nikolaus Kopernikus veröffentlichte Mitte des 16. Jahrhunderts eine heliozentrische Plane ten theorie mit der Sonne als Mittelpunkt. Außer im astronomischen Bereich wurde die Trigonometrie in weiteren Bereichen eingesetzt: In der Mitte des 18. Jahrhunderts waren auf der gesam ten Erde nur ca. 150 Orte in Bezug auf ihre geo grafi sche Länge und Breite hinreichend genau bekannt. Mit der Trigonometrie konnten nun genaue Karten hergestellt werden. C S 2 Unzureichende Orientierung auf See führte zu zahlreichen Schiffsverlusten mit Tausenden von Toten. Jetzt konnten genaue geografische Positionsbestimmungen vorgenommen werden. Im Krieg wurden mithilfe der Trigonometrie Kanonengeschütze auf bestimmte Ziele ausgerichtet. Zum Ende des 17. Jh. entstand das erste europäische Dreiecksnetz zur Landvermessung, Kartografie und Berechnung von Entfernungen. Auch heute noch ist ganz Deutschland mit trigonometrischen Punkten in ein Hauptdreiecksnetz unterteilt. Abbildungen dazu findet man z. B. bei Google über die Bildersuche mit dem Stichwort Hauptdreiecksnetz. Einführung Als Einstieg in die Trigonometrie bieten sich zwei Wege an: a) Man könnte in dieses Kapitel z. B. mit der Betrachtung der Doppelseite und verschiedenen Fragen einsteigen: Wie arbeitet ein GPS? Wie konnten Seeleute früher ihre Positon bestimmen? Wie kann man eine Karte (z. B. von einem Berghang, einem großen See usw.) zeichnen, wenn man das Gelände nicht direkt ausmessen kann? Solche Fragen können die Schülerinnen und Schüler zu der Einsicht führen, dass man manchmal eine Vergleichsstrecke und einen Vergleichswinkel messen und dann die gesuchten Größen berechnen oder durch maßstäbliches Zeichnen bestimmen kann. b) Man könnte die Schülerinnen und Schüler z. B. vor folgende Aufgabe stellen: Wie hoch ist der Baum im Schulhof? Wie kann man das herausfinden, ohne mit dem Maßband bis zur Spitze zu klettern? Manche Schülerinnen und Schüler können auf die Idee kommen, bekannte Strecken (z. B. die Höhe des Schulhauses und die Entfernung zum Baum) zu messen und in einer maßstäblichen Skizze die Höhe des Baumes zeichnerisch zu ermitteln. Wichtig wäre dabei, dass es solche messbaren Strecken gibt, die in einer Zeichnung zum gesuchten Wert führen können. Dieser etwas umständliche Weg vermittelt die Vorteile der Streckenberechnung mithilfe von Vergleichsstrecken und Winkeln. L 47

50 1 Ähnliche Dreiecke In dieser Lerneinheit wird über den Begriff der Ähnlichkeit der Inhalt der nächsten Lerneinheit vorbereitet. Die Verhältnisse der Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck führen zu den Winkelfunktionen Sinus und Kosinus, die sinnvolle Definitionen zu Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck darstellen. In dieser Lerneinheit geht es erst einmal nur um die Ähnlichkeit rechtwinkliger Dreiecke. Allgemein wird Ähnlichkeit folgendermaßen definiert: Zwei Figuren sind ähnlich, wenn 1. jeder Winkel der einen Figur einem Winkel mit gleicher Größe der anderen Figur entspricht, 2. die relative Lage der Winkel innerhalb beider Figuren übereinstimmt. Dies lässt sich verdeutlichen am maßstabs getreuen Zeichnen oder an maßstäblichen Modellen. Alle Winkel und deren Lage in der Figur bleiben erhalten, lediglich die Streckenlängen verändern sich im entspre chen den Maßstab, also im gleichen Verhältnis (z. B. Maßstab 1 : 10). Impulse An den beiden Steigungsdreiecken kann abgelesen werden, dass sich die Seitenlängen verdoppeln. Über den Satz des Pythagoras kann nachgewiesen werden, dass dies für die Hypotenuse ebenfalls gilt. Die beiden Winkel sind gleich. Man sieht das nicht passende Dreieck, wenn man alle Dreiecke der Größe nach geordnet übereinanderlegt. nicht passendes Dreieck Das nicht passende Dreieck hat andere Winkel. Wenn man die Längenverhältnisse der einander entsprechenden Seiten berechnet, sind diese nicht gleich. Vier der Dreiecke sind zueinander ähnlich, das mitt lere Dreieck (mit der Seitenlänge von 8 cm) ist nicht zu den anderen Dreiecken ähnlich. Merkkasten Die Definition für Ähnlichkeit bei Dreiecken ist in diesem Merkkasten allgemein gehalten und gilt für jedes beliebige Dreieck. Die Grafik zeigt aber nur rechtwinklige Dreiecke, da in diesem Kapitel zunächst nur die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck behandelt werden. Wenn im allgemeinen Dreieck zwei Winkel übereinstimmen, muss der dritte logischerweise ebenfalls übereinstimmen (Begründung: Winkelsumme im Dreieck). Für rechtwinklige Dreiecke genügt zur Ähnlichkeit demnach, wenn ein Winkel zusätzlich zum rechten Winkel übereinstimmt. Die Schülerinnen und Schüler sollten beachten, dass nicht die Längen gleich sind, sondern die Längenverhältnisse verglichen werden. Weiter geht s Bei der Berechnung der Längenverhältnisse darf das Verhältnis a : b = a : b nicht als Gleichung behandelt werden. Die Berechnung erfolgt in jedem Dreieck getrennt, die Tabelle zeigt das Ergebnis übersichtlich. kleines Dreieck a _ b Längenverhältnisse großes Dreieck cm = _ 4 3 cm = 1, _ 3 _ a = _ 6 cm b 4,5 cm = 1, _ 3 = _ 4 5 cm = 0,8 _ a _ 6 c 7,5 cm = 0,8 cm = _ 3 = 0,6 cm _ b = _ 4,5 = 0,6 a _ c b _ c b _ a 5 cm c 7,5 cm cm cm = _ 3 = 0,75 _ b = _ 4,5 = 0,75 c _ a 4 cm a 6 cm cm cm = _ 5 = 1,25 _ c = _ 7,5 = 1,25 c _ b 4 cm a 6 cm cm = _ 5 3 cm = 1, _ 6 _ c cm = _ 7,5 4,5 cm = 1, _ 6 Wie viele mögliche Längenverhältnisse gibt es? Die meisten Schülerinnen und Schüler werden nur die drei im Merkkasten vorgegebenen Längenverhältnisse finden. Schnell arbeitende Schülerinnen und Schüler können aufgefordert werden, alle sechs möglichen Längenverhältnisse der Seiten zu ermitteln. Die Längenverhältnisse entsprechender Dreieckseiten sind gleich, also sind die beiden Dreiecke ähnlich. b L 48

51 1 a) a = 3 cm, b = 5 cm, c = 6 cm a = 2 cm, b = 4 cm, c = 4,5 cm b) _ a cm = _ 3 a 2 cm = 1,5; _ b cm = _ 5 b 4 cm = 1,25; _ c c = _ 6 4,5 cm = 1,33 c) Nein, diese Dreiecke sind nicht ähnlich, da die Längenverhältnisse der entsprechenden Dreiecksseiten alle unterschiedlich sind. 2 Wenn Ihre Schülerinnen und Schüler den Online Link im Suchfeld von eingeben, gelangen sie zu einer Geonext-Datei. So können auch Jugendliche, die mit dem Zeichnen Probleme haben, den mathematischen Zusammenhang entdecken und erkunden. a) Individuelle Zeichnung, die Winkel müssen mit denen im abgebildeten Dreieck übereinstimmen. b) Seitenlängen: a = 2,6 cm; b = 5,1 cm; c = 5,5 cm. Seitenverhältnisse: _ a cm c = _ 2,6 5,5 cm = 0,47; _ b cm c = _ 5,1 5,5 cm = 0,93; _ a b = 2,6 cm _ 5,1 cm = 0,51 c) Seitenlängen: a = 1,8 cm; b = 3,5 cm; c = 3,9 cm. Seitenverhältnisse: _ a c = 1,8 _ 3,9 cm = 0,46; _ b c = 3,5 _ 3,9 cm = 0,90; _ a b = 1,8 _ 3,5 cm = 0,51 d) Ja, die Dreiecke sind ähnlich, da die Längenverhältnisse fast gleich sind. Die Abweichungen kommen durch ungenaues Zeichnen und Messen und durch das Runden zustande. 3 a) Individuelle Zeichnung. Es ist darauf zu achten, dass die Winkel bei C und C rechte Winkel sind, dann sind wegen des Winkelsummensatzes die Winkel bei A und A gleich. b) Ja, die Dreiecke sind ähnlich, da alle jeweils entsprechenden Winkel gleich groß sind. 4 Die Ähnlichkeit der Dreiecke wird hier anhand der übereinstimmenden Winkel untersucht. Dreieck (2) ist zu keinem anderen Dreieck ähnlich, da zwei Winkel jeweils 45 groß sind. Die Dreiecke (3) und (4) sind ähnlich, weil die entsprechenden Winkel dieser Dreiecke gleich groß sind. Dreht man Dreieck (4) um Punkt B, bis die Hypotenuse waagerecht liegt, wird die Ähnlichkeit augenfällig. Dreieck (1) ist zu den Dreiecken (3) und (4) ähnlich, wenn es vorher gespiegelt wird. Die Benennung ist für die Ähnlichkeit von Dreiecken nicht wichtig. Wenn die drei entsprechenden Winkel jeweils gleich sind, sind die Dreiecke ähnlich. 5 Die Dreiecke (1) und (3) sind ähnlich, weil sie beide zwei Winkel zu je 45 besitzen und demnach gleichschenklig-rechtwinklig sind. Dreieck (2) ist zu keinem anderen Dreieck ähnlich, da es das einzige ist, das gleichseitig ist. Dreieck (4) ist ebenfalls zu keinem anderen Dreieck ähnlich, da es das einzige gleichschenklige Dreieck ohne einen rechten Winkel ist. 6 Die Ähnlichkeit der Dreiecke wird hier anhand der Übereinstimmung der Längenverhältnisse der Seiten untersucht. _ a cm = _ 4 b 3 cm = 1, _ 3 _ a cm = _ 3,2 b 2,4 cm = 1, _ 3 Beide Dreiecke sind rechtwinklig und die Längenverhältnisse entsprechender Seiten sind gleich, deshalb sind sie ähnlich. 7 Hier geht es darum, das erkannte Wissen zu festigen: Die Ähnlichkeit in rechtwinkligen Dreiecken wird mit gleichen entsprechenden Winkeln und einem übereinstimmenden Seitenverhältnis begründet. Ein Hinweis auf den Maßstab könnte hilfreich sein. 8 Längenverhältnisse im ersten Dreieck: _ 6 8 cm = 0,75 _ 8 10 cm = 0,8 _ 6 10 cm = 0,6 Längenverhältnis im zweiten Dreieck: 12 _ 15 cm = 0,8 Das zweite Dreieck kann zum ersten ähnlich sein, weil eines der Seitenverhältnisse mit einem des ersten Dreiecks übereinstimmt. Wenn die dritte Seite 9 cm lang ist, stimmen auch die anderen Seitenverhältnisse überein. L 49

52 Information Die Begriffe Hypotenuse und Kathete wurden in Klasse 9 beim Satz des Pythagoras eingeführt. Neu ist der Bezug zu einem Winkel, der für die Winkelfunktionen benötigt wird. So heißt es nun nicht einfach Kathete, sondern Gegenkathete von α (β) bzw. Ankathete von α (β). Entscheidend ist, von welchem Winkel aus die entsprechende Kathete betrachtet wird. 9 Die Schülerinnen und Schüler können in dieser Aufgabe erkennen, dass eine Seite gleichzeitig Gegenkathete und Ankathete sein kann. Welcher Fall zutrifft, hängt vom Winkel ab, auf welchen sie sich bezieht. a) Hypotenuse ist die Seite c. b) Gegenkathete von α ist die Seite a. c) Ankathete von α ist die Seite b. d) Gegenkathete von β ist die Seite b. e) Ankathete von β ist die Seite a. Å0 Individuelle Lösungen, da die Größe frei wählbar ist. zum Beispiel: A a Hypotenuse b c Ankathete von a C c B a Gegenkathete von a 11 a) Zeichnerische Lösung. Es ist darauf zu achten, dass die Winkel und Seiten richtig benannt werden: Winkel α am Punkt A und gegenüber von der Seite a, usw. b) Bezeichnung von Eckpunkten, Seiten und Winkeln wie im Dreieck der Aufgabe 9. c) Ja, eine Kathete kann gleichzeitig Ankathete und Gegenkathete sein, aber jeweils von einem anderen Winkel. Die Seite a ist Ankathete von β und gleichzeitig Gegenkathete von α. 12 Da die Lage der Dreiecke verschieden ist, sollten die Schülerinnen und Schüler immer zuerst die Hypotenuse benennen. a) Hypotenuse ist die Seite a. Gegenkathete von β ist die Seite b. Ankathete von β ist die Seite c. b) Hypotenuse ist die Seite c. Gegenkathete von α ist die Seite a. Ankathete von α ist die Seite b. c) Hypotenuse ist die Seite x. Gegenkathete von α ist die Seite y. Ankathete von α ist die Seite z. d) Hypotenuse ist die Seite g. Gegenkathete von β ist die Seite e. Ankathete von β ist die Seite f. e) Linkes Teildreieck (mit α): Hypotenuse: b; Ankathete: c 1 ; Gegenkathete: h. Rechtes Teildreieck (mit β): Hypotenuse: a; Ankathete: c 2 ; Gegenkathete: h. 13 a) b) A C Ankathete von b b B Ankathete von a a C A a = a) Dreieckskonstruktionen mit den Maßen aus der Tabelle der Teilaufgabe b). b) Länge/Winkel (1) (2) (3) Hypotenuse 7,5 cm 6,1 cm 8,9 cm Ankathete von β 2,6 cm 4,3 cm 7 cm Gegenkathete von β 7,0 cm 4,3 cm 5,5 cm Ankathete von α 7,0 cm 4,3 cm 5,5 cm Gegenkathete von α 2,6 cm 4,3 cm 7 cm Winkel α Winkel β Winkel γ B L 50

53 2 Sinus und Kosinus In dieser Lerneinheit werden die Winkelfunktionen Sinus und Kosinus eingeführt und geübt. Beide Funktionen sind im rechtwinkligen Dreieck definiert. Einstieg Hier wird den Schülerinnen und Schülern ein Beispiel aus einem möglichen späteren Beruf vorgestellt, in dem die folgenden Funktionen Anwendung finden. So kann der Sinn solcher Berechnungen erkannt werden. Impulse Ein Dreieck mit b = 90 wurde bereits in Aufgabe 10 der vorigen Seite gezeichnet. Nun ist zusätzlich noch ein weiterer Winkel a vorgegeben. Es sollte klar sein, dass bei allen Dreiecken der Wert für das Seitenverhältnis gleich ist. Das Verhältnis ist ungefähr 0,62 ( sin 38 ). Ein breites Spektrum an Lösungen erhält man, wenn man die Lösungen der Schülerinnen und Schüler in einer Tabelle sammelt und das Verhältnis berechnen lässt. Dreieck Gegenkathete in cm Hypotenuse in cm (1) 0,6 1 (2) 3,6 5,9 (3) Verhältnis Gegenkathete Hypotenuse Individuelle Lösung. Bei gleichbleibendem Winkel b ist das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenuse ein feststehender Wert. Je größer (kleiner) in den Dreiecken der Winkel b, desto größer (kleiner) ist der Wert des Verhält nisses von Gegenkathete zu Hypotenuse. Weiter geht s Die Tastenfolge ist abhängig von der Art des Taschenrechners. Bei manchen TR muss zuerst die sin -Taste und danach der Winkelwert eingegeben werden (z. B. Casio). Andere TR benötigen zuerst den Winkelwert, danach die sin -Taste (z. B. Geräte von Texas Instruments). Gegenkathete von a = Hypotenuse sin a Gegenkathete von a Hypotenuse = sin a Für solche Aufgaben ist es generell wichtig, eine Skizze anzufertigen, in der die gege benen und ge suchten Größen farbig markiert werden können. Die untere Gesamtkante beträgt 2,65 m + 0,7 m = 3,35 m. Diese Kante ist die Gegenkathete zum Winkel a. Die gesuchte Sparrenlänge ist die Hypotenuse. sin 38 = 3,35 m _ x 38 Sparrenlänge x 2,65 m x = 3,35 m _ sin 38 x = 5,44 m Die Sparrenlänge beträgt 5,44 m. 0,7 m Skizze Merkkasten Der Begriff Sinus bezeichnet den Wert des Längenver hältnisses von Gegenkathete zur Hypotenuse. Jeder Wert ist einem Winkel zugeordnet. Die Sprechweise sollte geübt werden: Sinus a = Gegenkathete von a zu Hypotenuse. Hier könnte ein weiterer Merksatz formuliert werden: Im rechtwinkligen Dreieck gilt: Sind von den drei Größen,spitzer Winkel,,Gegenkathete und,hypotenuse zwei bekannt, so lässt sich mithilfe des Sinus die dritte Größe berechnen. Aufgaben 1 a) (1) sin a = _ a c b) (1) sin b = _ b c 2 a) sin a = _ d f b) sin a = p _ r c) sin a = _ x z d) sin a = _ m r (2) sin a = a _ b (2) sin b = _ c b sin b = _ e f sin b = _ q r sin b = y _ z sin b = n _ r L 51

54 3 Die Tastenfolge bei der Berechnung der Sinuswerte ist vom Typ des Taschenrechners abhängig. Sinuswerte werden generell auf vier Stellen nach dem Komma gerundet. a) sin 5 = 0,0872 b) sin 12 = 0,2079 c) sin 30 = 0,5000 d) sin 45 = 0,7071 e) sin 46 = 0,7193 f) sin 88 = 0, Es ist sinnvoll, bei der Zeichnung im Heft wie in einer Skizze die gegebenen und gesuchten Werte farbig einzu zeichnen. Tipp: Die Sinusfunktion sollte immer erst in Worten aufgeschrieben werden, danach können die Variablen bzw. die Werte eingesetzt werden. a) Zeichnungen nach den gegebenen Maßen. b) Dreieck (1): a = sin a c = sin 60 5 cm 4,3 cm Dreieck (2): b = sin b c = sin cm 6,4 cm c) Ansatz: berechneter Wert = 100 % gezeichneter Wert = x % 100 % gezeichneter Wert x % = berechneter Wert Bei genauer Zeichnung dürfte die Abweichung höchstens ± 2 % betragen. 5 a) Skizze mit farbigen Einzeichnungen nicht vergessen. b) a = sin a c = sin 50 8 cm 6,1 cm c) b = 90 a = 40 b = sin b c = sin 40 8 cm 5,1 cm 7 Die gesuchte Seite ist die Hypotenuse. sin α = h _ x x = h _ sin α 13 cm x = _ = 149 cm sin 5 Die Rampe muss mindestens 1,49 m lang sein. 8 a) α = 3,0 b) β = 7,0 c) β = 90,0 d) α = 9,0 e) α = 15,0 f) β = 30,0 g) α = 25,0 h) β = 34,6 i) β = 32,9 j) α = 81,0 9 a) α = 53,1 β = 36,9 b) β = 19,5 α = 70,5 c) Der Sinuswert 1,0 steht für einen Winkel von 90. Der Winkel α kann nicht 90 sein, da es nur einen rechten Winkel im rechtwinkligen Dreieck gibt. Wenn β gegen null geht, nähert sich α 90 und sin α dem Wert 1. Deshalb ist sin 90 = sin a = _ a c = _ cm 0,1803 a 10,4 sin b = _ b cm c = _ cm = 0,9836 b 79,6 Probe: a + b + c müssen zusammen 180 ergeben: 10,4 + 79, = Das Seil entspricht der Hypotenuse in dem Dreieck. Die Gegenkathete des Neigungswinkels ist die Höhe des Mastes bis zum Befestigungspunkt des Seils, also 70 m. Durch Benutzen der Sinusfunktion folgt also: sin 61 = _ 70 x m x = _ 70 m sin 61 x = 80,03 m Das Seil ist 80 m lang. Zur Berechnung der Höhe des Sendemastes gibt es zwei mögliche Lösungswege durch Messen im Bild: Das Seil ist etwa in _ 3 4 der Höhe angebracht, also muss noch 23 m addiert werden, der Mast ist also etwa 93 m hoch. 70 m entsprechen 4,6 cm im Bild. 1 cm ist dann in der Wirklichkeit etwa 15,2 m. 6,2 cm im Bild sind dann 15,2 m 6,2 = 94 m. Nach dieser Berechnung ist der Mast 94 m hoch. L 52

55 11 a) Individuelle Lösung. b) sin a = _ a cm c = _ 4,8 8 cm = 0,6 a 36,9 sin b = _ b cm c = _ 6,4 8 cm = 0,8 b 53,1 Probe: a + b + c müssen zusammen 180 ergeben: 36,9 + 53, = 180 Zeichnungen sind nie so genau wie errechnete Werte. Außerdem kann aus Zeichnungen nicht so genau abgelesen werden. 12 Hier können beide Winkel mithilfe der Sinusfunktion berechnet werden oder ein Winkel wird berechnet, der zweite ergibt sich aus der Winkelsumme (hier 90 minus berechneter Winkel). Skizze nicht vergessen. a) sin α = 0,96 α = 73,7 sin β = 0,28 β = 16,3 b) sin α = 0,96 α = 73,7 sin β = 0,28 β = 16,3 c) sin α = 0,96 α = 73,7 sin β = 0,28 β = 16,3 13 a) Zuerst muss c berechnet werden: c = _ b 6,4 cm = 13,4 cm sin b sin 28,5 Die Strecke a kann nun mithilfe des Satzes des Pythagoras oder mit der Sinusfunktion (a = 61,5 ) berechnet werden. a 11,8 cm b) sin b = _ 7 18 cm 0,3889 b 22,9 c = ,9 = 67,1 14 a) Die Ankathete von α ist rot, die Gegenkathete von α ist grün und die Hypotenuse ist blau. b) Ankathete von α = 4 cm, Gegenkathete von α = 3 cm, Hypotenuse = 5 cm Gegenkathete von α Hypotenuse = 0,6 Ankathete von α Hypotenuse = 0,8 α = 36,9 Beim Verhältnis Ankathete ergibt sich die größere Hypotenuse Verhältniszahl. Mithilfe der Kosinusfunktion erhält man den gleichen Winkelwert. Da der Begriff des Kosinus noch nicht eingeführt ist, werden manche Schülerinnen und Schüler den Wert als Sinuswert deuten. Das ergibt den Winkel β = 53,1. Beide Winkel ergeben zusammen 90. Die Aufgabe bereitet den Infokasten zu Kosinus vor. Information Es gibt Dreiecke, bei denen Seiten gegeben sind, die nicht auf das Seitenverhältnis des Sinus führen, z. B. die Ankathete eines Winkels und die Hypotenuse. Mit dem Pythagoras könnte die Gegenkathete berechnet werden, das bedeutet einen zusätzlichen Rechenschritt. Deshalb wird hier das Längenverhältnis als Kosinus eines Winkels eingeführt. ( cos -Taste am Taschen rechner) Da eine Kathete immer kleiner ist als die Hypo tenuse und zugleich immer größer als 0 cm, wird der Wert des Quotienten _ Ankathete immer < 1 und > 0 sein. 15 a) cos a = b _ c Hypo tenuse b) cos a = c _ b 16 a) cos a = e _ f b) cos a = q _ r c) cos a = y _ z d) cos a = n _ o cos b = d _ f cos b = p _ r cos b = x _ z cos b = m _ o Hier könnten die Schülerinnen und Schüler auch den Quotienten für sin a und sin b bestimmen und mit den Quotienten für cos a und cos b vergleichen. 17 a) cos 5 0,9962 b) cos 15 0,9659 c) cos 20 0,9397 d) cos 30 0,8660 e) cos 45 0,7071 f) cos 60 = 0,5 g) cos 70 0,3420 h) cos 85,5 0,0785 i) cos 88,5 0,0262 L 53

56 18 Es gibt mehrere Lösungsmöglichkeiten, z. B.: Berechnung von a mit dem Satz des Pythagoras: a = ,8 2 = 9,6 cm. Berechnung von α mit dem Kosinus: 12,8 cm cos α = _ 16 cm ; α = 36,9 Berechnung von β mit der Winkelsumme: β = ,9 = 53,1 19 a) Durch das Einzeichnen der Höhe erhält man zwei rechtwinklige Dreiecke. Man kann jetzt die Höhe h c mit dem Satz des Pythagoras berechnen: h c = 11,1 cm b) α lässt sich z. B. mit der Sinusfunktion berechnen: 11,1 cm sin α = _ 12 cm = 0,925; α = 67,7 20 a) Die beiden unteren Winkel kann man berechnen, indem man die Höhe zum Punkt C oder D verschiebt und damit ein rechtwinkliges Dreieck erhält. Die untere Seite dieses Dreiecks erhält man als Differenz aus _ a 2 und _ c 2. Man erhält also x = 3,5 cm. Für den Winkel α (siehe Skizze in der Randspalte im Schülerbuch) ergibt sich: cos α = _ x cm b = _ 3,5 6 cm = 0,5833 also α = 54,3 Da das Trapez gleichschenklig ist, sind jeweils zwei Winkel gleich groß. Mit dem Winkelsummensatz des Vierecks lassen sich nun auch die Winkel γ bzw. δ (360 2 α) ( ,3 ) berechnen: γ = δ = 2 = 2 = 125,7 b) Mit dem Satz des Pythagoras erhält man h a = 6 2 3,5 2 = 4,87 cm 21 Zunächst sollte eine Skizze angefertigt werden, bei der die Höhe zum Punkt D verschoben wird. Berechnung von α: sin α = h a _ b = _ 4 cm 7 cm = 0,5714; α = 34,8 22 Zuerst sollte eine Skizze angefertigt werden. Berechnung von α: cos α = _ b cm c = _ 7,5 12 cm ; α = 51,3 β = 90 51,3 = 38,7 a = ,5 2 = 9,4 cm 23 a) sin α = _ 4 cm = 0,4444; α = 26,4 9 cm b) cos β = _ 4 9 cm = 0,4444; β = 63,6 oder: β = 90 26,4 = 63,6 c) Mit dem Satz des Pythagoras: a = = 8,1 cm oder cos α = _ e a a = e cos α = 9 cm cos 26,4 = 8,1 cm 24 Die Brücke ist die Gegenkathete, die Kette die Hypothenuse. sin 43 = _ 8 x m x = _ 8 m sin 43 =11,73 m Die sichtbare Kette ist ca. 12 m lang. 25 Im rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90 kann die Winkelsumme verkürzt werden auf α + β = 90. a) α 23 und damit β 67 b) β 76,4 und damit α 13,6 c) Es gibt zwei Begründungsmöglichkeiten: (1) Der Taschenrechner zeigt: cos α = 0,0 und damit α = 90 cos α = 1,0 und damit α = 0 Beides ist bei einem realen Dreieck nicht möglich, da mit dem Winkel α = 0 bzw. α = 90 keine Dreiecke entstehen. Nähert sich α jedoch 90, dann bewegt sich cos α auf den Wert null zu, deshalb ist cos 90 = 0 definiert. (2) Bei der Definition der Sinus- und der Kosinusfunktionen am Einheitskreis als y- bzw. x-wert des jeweiligen Punktes auf der Kreislinie können der Sinus und der Kosinus die Werte 0 oder 1 annehmen. Vergleiche dazu auch den Text im Infokasten auf der nächsten Seite. 26 cos 81 = 0,81 m _ x x = 0,81 m _ = 5,18 m cos 81 Die Wante ist 5,18 m lang. 27 Hier sollte eine Skizze mit eingetragener Höhe gezeichnet werden. Berechnung der Höhe: cos 22,5 = _ h 2,5 m h = 2,5 m cos 22,5 = 2,31 m Die Leiter reicht 2,31 m hoch. L 54

57 28 a) Zeichnung des Einheitskreises mit einem Mittelpunktswinkel von 60. b) und c) Der Radius entspricht der Hypothenuse. Die Schülerinnen und Schüler müssen darauf achten, dass sie die Gegenkathete senkrecht zur Ankathete zeichnen. Das Dreieck sollte so aussehen wie das rot markierte Dreieck in der Grafik zu Aufgabe 29. 8,7 cm dm sin 60 = _ = 0,87 = 0,87 1 dm 1 dm cos 60 = _ 5 cm 1 dm = 0,5 dm _ = 0,5 1 dm 29 a) Beim Übertragen der Grafik ins Heft ist darauf zu achten, dass die Achsen der Grafik im Heft oder auf Millimeterpapier doppelt so lang sind wie im Buch, weil der Radius 1 dm lang sein soll. b) d) Wird dieser Einheitskreis sauber im Maßstab 1 dm = 1 LE auf Millimeterpapier übertragen, so können die Werte auf zwei Stellen genau abgelesen werden. Werte aus dem Taschenrechner werden in der Regel mit 4 Dezimalstellen notiert. sin a cos a a abgelesen TR abgelesen TR 10 0,17 0,1736 0,98 0, ,34 0,3420 0,94 0, ,5 0,5 0,86 0, ,64 0,6428 0,76 0, ,71 0,707 0,69 0, ,76 0,7660 0,64 0, ,86 0,8660 0,5 0,5 70 0,94 0,9397 0,34 0, ,98 0,9848 0,17 0, Die Sinus- und Kosinuswerte wiederholen sich in umgekehrter Reihenfolge, sin a = cos b. Hier kann auf die besonderen Werte von Sinus und Kosinus hingewiesen werden: sin 30 = 0,5; cos 60 = 0,5 Information Am Einheitskreis ist der Radius 1 Längeneinheit (LE). Da der Radius bei dem dargestellten Dreieck der Hypotenuse entspricht, wird der Sinus von a bzw. der Kosinus von a durch 1 dividiert: Gegenkathete von a Gegenkathete von a sin a = Hypotenuse = 1 = Gegenkathete von a bzw. Ankathete von a Ankathete von a cos a = Hypotenuse = 1 = Ankathete von a 30 a) Die Hypotenuse ist 1 LE, darum fällt sie als Nenner weg. Die Begründung könnte mathematisch so ähnlich aussehen wie beim Infokasten. b) a 2 + b 2 = c 2 c) Da die Maßzahl von a als Kosinus von α und die Maßzahl von b als Sinus von α definiert sind, folgt aus Lösung der Aufgabe b: (cos α) 2 + (sin α) 2 = r 2 Der Radius des Einheitskreises ist 1 LE, deshalb ist r 2 = 1. Durch Einsetzen dieses Wertes in die Formel und Umstellung der linken Seite erhält man: (sin α) 2 + (cos α) 2 = 1 31 a) Wenn die Aufgabe 29 von den Schülerinnen und Schülern gelöst wurde, können sie auch die beiden gemessenen Funktionswerte für 80 aus der Tabelle entnehmen, ansonsten müsste der Einheitskreis mit dem Winkel von 80 neu gezeichnet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollten hier möglichst genau zeichnen und messen, dann werden sie dem Idealergebis sehr nahe kommen. b) Mit den Messwerten der Tabelle ergibt sich: 0, = 0,9893 Die Abweichungen sind durch Ungenauigkeiten beim Zeichnen und Messen erklärbar. Berechnen die Schülerinnen und Schüler jedoch (sin 80 ) 2 + (sin 10 ) 2, ohne die Zwischenergebnisse des Taschenrechners gerundet neu einzugeben, erhalten sie genau den Wert 1. c) Auch mit den anderen Messwerten aus der Tabelle der Aufgabe 29 erhält man Werte um die Der Taschenrechner zeigt Error an. Es kann keine Sinuswerte geben, die größer als 1 sind. Zwei Begründungen sind möglich: Es gibt keine rechtwinkligen Dreiecke, bei denen eine Kathete länger ist als die Hypotenuse. Die Katheten des Dreiecks im Einheitskreis können nie größer als 1 LE werden. Bei 0 hat eine Kathete den Wert 0, die andere den Wert 1. Letztere liegt dann auf der Hypotenuse. Deshalb haben der Sinus und der Kosinus als höchsten Wert 1. L 55

58 Mathematische Reise: Sinus- und Kosinusfunktion Diese Mathematische Reise ist eine Einführung in die Sinus- und Kosinusfunktion. Ausgehend von der Definition und dem Zeichnen des Viertel-Einheitskreises, der auf der vorausgehenden Schülerbuchseite erklärt und geübt wurde, werden die Sinus- und Kosinusfunktionswerte als Maßzahlen der y- bzw. x-werte des dem jeweiligen Winkel zugeordneten Punktes auf dem Einheitskreis im 1. Quadranten festgelegt. Wenn man mit dieser Festlegung den Winkel über 90 hinaus vergrößert, lassen sich ebenfalls Sinus- und Kosinuswerte ablesen. Das ist auch für Winkel über 360 möglich. Der Verlauf von Sinus- und Kosinusfunktionen lässt sich im Koordinatensystem darstellen. Beide Funktionen sind periodische Funktionen und haben den gleichen Verlauf. Die Kurve der Sinusfunktion beginnt im Punkt (0 0), die der Kosinuskurve im Punkt (0 1). Nachdem die Erweiterung des Funktionsbegriffs mit den Schülerinnen und Schülern besprochen wurde, können sie beim Durcharbeiten der Aufgaben dieser Seite die in diesem Zusammenhang notwendigen Kenntnisse erwerben, vertiefen und üben. Mit dem Online Link gelangt man zu einer Geonext-Datei, die den Zusammenhang zwischen Einheitskreis und Sinusfunktion zeigt. Aufgaben 1 a) a sin a 0,17 0,34 0,50 0,64 0,77 0,87 a sin a 0,94 0,98 1,00 0,98 0,94 0,87 a sin a 0,77 0,64 0,50 0,34 0,17 0,00 b) Achtung: Das Koordinatensystem wird sehr groß: Die x-achse ist 18 cm lang und die y-achse 10 cm. Die Jugendlichen sollten das Heft bzw. das Blatt quer nehmen. c) Es entsteht die obere Hälfte der Sinuskurve. d) Die Kurve steigt vom Ursprung aus bis zum Punkt (90 1) an. Bei 90 erreicht sie ihren Höhepunkt, den Sinuswert 1. Danach fällt sie symmetrisch zum ersten Teil ab und erreicht bei 180 den Sinuswert 0. 2 a) a sin a 0 0,17 0,34 0,50 0,64 0,77 a sin a 0,87 0,94 0,98 1 0,98 0,94 a sin a 0,87 0,77 0,64 0,50 0,34 0,17 0 b) Die Kurve steigt vom Nullpunkt ausgehend im positiven Bereich bis + 1 und fällt zum Nullpunkt zurück. Anschließend fällt sie im negativen Bereich bis 1 und steigt zum Nullpunkt zurück. positive Sinuswerte: Winkel 0 < a < 180 negative Sinuswerte: Winkel 180 < a < 360 höchster Punkt bei a = 90 niedrigster Punkt bei a = a = 180 a a) α = 150 b) α = 130 c) α = 120 d) α = 165 e) α = 135 f) α = Andere Winkel, die den Sinuswert 0,5 haben, sind z. B. 150, 390, 510, 750. Der erste Winkel, der den Wert 0,5 hat, ist 30. Den nächsten Winkel mit dem Wert 0,5 erhält man, indem man 30 von 180 abzieht. Alle weiteren Winkel erhält man durch Addieren von 360 zu diesen beiden Werten. 5 Der Graph der Kosinusfunktion ist eine um 90 nach links verschobene Sinuskurve. Die Kosinuskurve beginnt bei 0 mit dem Wert 1. 6 positive Kosinuswerte: Winkel 0 < α < 90 und 270 < α < 360 negative Kosinuswerte: Winkel 90 < α < 270 höchster Punkt α = 0 (und α = 360 ) niedrigster Punkt α = a) α = 360 b) α = 330 c) α = 300 d) α = 315 e) α = 270 f) α = Beispiele: Wasserwellen, zeitlicher Verlauf der Schwingungen einer Stimmgabel, der zeitliche Verlauf von Wechselspannung und Wechselstrom, der zeitliche Verlauf von Pendelschwingungen usw. L 56

59 3 Tangens In dieser Lerneinheit wird die Tangensfunktion eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler hatten bereits früher damit zu tun, nur wurde damals der Begriff nicht verwendet: Bei linearen Funktionen spricht man vom Stei gungs dreieck, der Steigung und dem Stei gungswinkel. Die Steigung m einer Geraden entspricht dem Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete, d. h., der Wert tan a entspricht der Steigung einer Geraden. Einstieg Die Neigung der Fahrbahn auf Renn strecken wird möglichst so angelegt, dass der Radfahrer, der sich in die Kurve legt, mit seinem Rad immer noch senkrecht zur Fahrbahn steht. Je höher die Renngeschwindigkeit und je enger die Kurve, desto stärker muss sich der Radfahrer zur Seite neigen. Solche Kurvenneigung gibt es in geringerem Maße auch auf Autostraßen in engen Kurven. Impulse Fahrbahn Fahrbahn m Wenn der Steigungswinkel größer ist als 45, hat die Steigung mehr als 100 %, denn der Steigungswinkel von 45 gehört zu einer Steigung von 100 %. Merkkasten Bei Berechnungen zum Steigungswinkel benötigt man häufig das Verhältnis der beiden Katheten zueinander. Diese Winkelfunktion wird Tangens genannt. Der Tangens findet ebenso wie Sinus und Kosinus Anwendung im rechtwinkligen Dreieck. Er wird eingesetzt, wenn die Hypotenuse nicht bekannt ist. Randspalte Unter der Steigung einer Strecke versteht man das Verhältnis aus dem Höhenunterschied und der horizontalen Entfernung. Steigungen werden oft in Prozent angegeben. 12 % bedeutet z. B. 12 m Höhenunterschied pro 100 m horizontaler Entfernung. Der Tangenswert entspricht diesem Prozentsatz, aus ihm wird der Steigungswinkel berechnet. Zum Steigungswinkel von 45 gehört der Tangens 1 und eine Steigung von 100 %. Weiter geht s tan a = 0,13, a = 7,4 Folgenden Fragestellungen könnten von den Schülerinnen und Schülern gefunden werden: Welche Steigung schafft man mit dem Fahrrad? Was passiert, wenn an einem Hang die Steigung zu groß ist? Wenn das Gefälle eines Flusses zu groß ist, kann er nicht mit Schiffen befahren werden. Dann benötigt man Schleusen. Ab welcher Steigung ist es unmöglich für ein Auto (Straßenbahn/Zug) eine Strecke zu befahren? Klassische Straßen- oder Stadt bahn systeme haben selten Steigungen über 5 %, in Sonderfällen bis knapp 10 %. Wenn die Steigung für eine Straßenbahn zu groß wird, werden Zahn radbahnen eingesetzt. Die älteste Zahnrad bahn Deutschlands, die Drachenfelsbahn im Siebengebirge, hat eine maximale Steigung von 20 %, in den Alpenländern gibt es Zahnradbahnen mit Steigungen über 40 %. Für noch steilere Strecken werden Standseilbahnen eingesetzt, mit ihnen kann man Steigungen von über 50 % überwinden. Quelle: Aufgaben 1 a) tan a = a _ b 2 a) tan a = _ d e b) tan a = _ u v b) tan a = a _ c tan b = e _ d tan b = v _ u L 57

60 3 a) tan 5 0,0875 b) tan 25,5 0,4770 c) tan 30 0,5774 d) tan 45 = 1,0 e) tan 60 1,7321 f) tan 70 2,7475 g) tan 80 5,6713 h) tan 85 11,4301 i) tan 88,5 38, tan 89 57,2900 tan 89,1 63,6567 tan 89,5 114,5887 tan 89,9 572,9572 tan 89, ,78 tan 90 Error Je näher a an 90 geht, desto länger wird die Gegenkathete. Bei 90 wären Gegenkathete und Hypotenuse parallel. Sie schneiden sich nicht mehr, somit entsteht kein Dreieck. 5 tan a = a _ c a = tan a c = tan cm 13,4 cm 6 a) a = tan a b 72,0 cm b) b = _ a tan a = 4,7 cm c) a = _ b = 11,9 cm tan b 7 a) a 35 b) a = 45 c) a 56 d) a 74,5 e) a 78 f) a 89 8 Winkel a 29,1 Seite c kann mithilfe von Sinus, Kosinus oder dem Satz des Pythagoras berechnet werden. c 5,1 cm 9 Eine negative Steigung wird als Gefälle bezeichnet (vgl. Lineare Funktionen). a) Steigung das Schild für unten Gefälle das Schild für oben b) Der Steigungswinkel beträgt ungefähr 6,8. 10 a) Der Handlauf muss im Winkel von ca. 27 angeschweißt werden (genauer Wert: 26,6 ). b) Die Pfosten sind an jeder 3. Stufe angebracht, darum ist die Länge des Handlaufes drei Mal so lang wie die Hypotenuse (x) zwischen den Stufen kanten. x 33,5 cm Der Handlauf zwischen zwei Pfosten ist ca. 1 m lang (genauer Wert: 100,6 cm). 11 Skizze anfertigen. Höhe der Windkraftanlage h, Länge des Schattens ø a) h = ø tan a = 45 m tan 63,4 = 89,9 m Die Windkraftanlage ist etwa 90 m hoch. b) ø = _ h m tan a = 89,9 = 301,6 m tan 16,6 Der Schatten ist ca. 302 m lang. L 58

61 12 a) Der Winkel zwischen der Turmwand und dem Lot kann mit der Tangensfunktion berechnet werden. tan γ = 2,43 _ 26,74 = 0,0909 γ = 5,19 Der Turm hat also einen Neigungswinkel von 5,19. b) Der bekannte Schiefe Turm von Pisa hat nur einen Neigungswinkel von 3, Der Tipp weist die Schülerinnen und Schüler darauf hin, dass in diesem Dreieck keine direkte Berechnung der Seitenlängen möglich ist. Am sinnvollsten ist es, gleich ein Rechteck um das Dreieck zu zeichnen. Die Seitenlängen der Hilfs dreiecke errechnen sich aus der Differenz bzw. der Summe der Koordinatenpunkte O g f a A (0,5 1) b d C (3,5 5,2) x c a y c B (4,5 2,5) e x = 1 cm; y = 2,7 cm; a 2,9 cm (genau 2,88 cm) d = 4 cm; e = 1,5 cm; c 4,3 cm (genau 4,27 cm) f = 3 cm; g = 4,2 cm; b 5,2 cm (genau 5,16 cm) b) Winkel a 34 ; Winkel c 56 c) Die Fläche beträgt 6,15 cm Siehe Tipp zu Aufgabe 13. b) Lösungsweg über das umgebende Rechteck: Fläche des Dreiecks = Fläche des Rechtecks abzüglich der Dreiecksflächen D 1, D 2, D 3 Fläche Rechteck = 16,25 cm 2, Fläche D 1 = 1,625 cm 2, Fläche D 2 = 4 cm 2, Fläche D 3 = 3,125 cm 2 Die Fläche des Dreiecks beträgt 7,5 cm Die Grafik ist nicht maßstäblich. a) Berechnung bei einer Entfernung von 30 km. Der Winkel beträgt etwa 3. b) Die Höhe des Flugzeuges wird von NN angegeben. Darum müssen für die Berechnung 112 m (Höhe der Landebahn über NN) abge zogen werden Fuß: h = 915 m 112 m = 803 m sin 3 = _ 803 x m Die Entfernung beträgt ca. 15,3 km Fuß: Die Entfernung beträgt ca. 21,17 km. c) Hier müssen nach der Berechnung im Dreieck die 112 m Höhe über NN des Flughafens dazu gerechnet werden. h tan 3 = m Das Flugzeug ist 1422 m (4662 FT) über NN. 16 (A) 85 % Steigung š tan a = 0,85; a 40,1 (B) b = 42 ; tan b = 0,900, das bedeutet 90 % Steigung. Geländewagen B bewältigt 2 Steigung mehr, das entspricht 5 % mehr Steigfähigkeit. 17 a) 100 % bedeutet: 100 m Höhenunterschied auf 100 m Strecke. A O 1 D 3 C D 2 D 1 B a) Strecke _ AB 6,5 cm, Strecke _ BC 4,5 cm, Strecke _ AC 3,5 cm Der Umfang beträgt rund 14,5 cm. a = m 100 m tan a = 1; a = 45 b) Grund ist die Definition für Steigung: 100 % be deutet 100 m Steigung pro 100 m Entfernung. Die Steigung ist das Längenverhältnis der beiden Katheten. L 59

62 Thema: Messen im Freien Der Höhenwinkelmesser Der Höhen- bzw. Tiefenwinkel kann am Geodreieck nicht direkt abgelesen werden. Man muss ihn berechnen, indem man die angezeigte Gradzahl (< 90 ) von 90 subtrahiert. Beispiel: a = = 20 a Einen Theodoliten kann man vielleicht beim Vermessungsamt ausleihen. Bei Messungen mit dem Theodoliten, aber ebenso mit dem Höhenwinkelmesser und der Winkel scheibe ist darauf zu achten, dass sie genau in gleicher Höhe mit dem Vermessungspunkt bzw. genau waagerecht aufgestellt werden. Aufgaben Die Schülerinnen und Schüler messen die Entfernung zu einem Objekt. Von diesem Punkt aus wird der Höhenwinkel ermittelt. Die Werte werden in einer Skizze festgehalten. Mit der trigonometrischen Funktion Tangens kann nun die Höhe berechnet werden. Die Höhe, in der das Messgerät gehalten wird, muss am Schluss der Berechnung zur berech neten Höhe addiert werden. Die Winkelscheibe Es muss für die Schülerinnen und Schüler noch einmal klar werden, dass sich alle trigono metrischen Funktionen auf das rechtwink lige Dreieck beziehen. Bei der Höhenmessung ist der rechte Winkel zwischen dem Boden und dem zu messenden Gegenstand. Bei der Winkelscheibe muss dieser rechte Winkel an einem Punkt der Messung festgelegt werden. Dazu benötigt man sogenannte Fluchtstäbe (siehe Aufgabe 3). Der Theodolit Er ist ein Instrument, das im 16. Jahrhundert für das Messen im Gelände erfunden wurde. In seiner einfachsten Form besteht der Theodolit aus einem Fernrohr, das man um zwei Achsen (vertikal und horizontal) drehen kann. Teilkreise mit Skalen ermöglichen es, die Horizontalwinkel und Vertikalwinkel (Höhenwinkel) zu messen. Somit vereinigt der Theodolit in sich die Winkelscheibe und den Höhenwinkelmesser. Durch die Mikroelektronik können moderne Theodoliten mithilfe von Infrarotstrahlen zusätzlich zu den Winkeln auch Entfernungen bis 3 km auf 2 mm genau messen. Die Messdaten werden dann per Computer ausgewertet. 2 Höhe des Gebäudes ab Augenhöhe: tan 54 = h _ 8 m h = 8 m tan 54 = 11 m Gesamthöhe: 11,00 m + 1,50 m = 12,50 m 3 a) Bau der Winkelscheibe. b) (1) Bei der 1. Peilung wird von Punkt B aus Objekt A angepeilt und anschließend ein Punkt C festgelegt, so dass als Winkel ¼ ABC ein 90 -Winkel entsteht. Die Punkte B und C werden mittels zweier Fluchtstäbe markiert. (2) Die Entfernung zwischen den beiden Fluchtstäben wird gemessen. (3) Bei der 2. Peilung wird der Winkel ¼ ACB zwischen dem Objekt A und dem Fluchtstab B gemessen. (4) Die gesuchte und die gemessene Entfernung sind die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck. Mithilfe der Tangens-Funktion wird die gesuchte Entfernung berechnet: ges. Entfernung = gem. Enfernung tan ¼ ACB c) Individuelle Lösung. L 60

63 4 a) Individuelle Lösung. b) Individuelle Lösung. Beispiel: Bei einer 10 m langen Messstrecke und einem Winkel von 30 liegen die Werte zwischen: Minimalwert: 9,8 m tan 28 = 5,21 m Maximalwert: 10,2 m tan 32 = 6,37 m Der genaue Wert: 10 m tan 30 = 5,77 m Im ungünstigsten Fall liegt die Abweichung bei ± 0,5 m. 5 a) h = 18,5 m tan 39 14,98 m Das Gebäude ist ungefähr 15 m hoch. b) Minimalwert: h = 18,3 m tan 38 14,3 m Maximalwert: h = 18,7 m tan 40 15,7 m Ein Messfehler von 20 cm bewirkt eine maximale Abweichung von ± 70 cm. 6 Der Fluss ist 62,5 m breit m F w A b B a) Die Entfernung (w) vom Flussufer wird mit dem Tangens berechnet. Sie beträgt 14,6 m. b) Zunächst wird mit dem Tangens die Gesamtentfernung vom Fußpunkt (F) des Turmes bis zum Punkt (B) am gegenüberliegenden Ufer berechnet. _ FB = 30 m tan 67 70,7 m Sie beträgt 70,7 m. Die Differenz der beiden Werte ist die Flussbreite: 70,7 m 14,6 m = 56,1 m 56 m Der Fluss ist ungefähr 56 m breit. 8 a) Individuelle Lösung. 40 cm b) tan α = _ 120 cm tan α = _ 1 3 = 0,3333 α = 18,4 Die Steigung beträgt 33,3 %, der Steigungswinkel 18,4. c) Berechnung der Länge ø der Fahrfläche: ø = (120 cm) 2 + (40 cm) 2 = 126,5 cm Berechnung des Sperrholzbedarfs: 1 Rechteck: 126,5 cm 60 cm 2 Dreiecke (= 1 Rechteck): 120 cm 40 cm 1 Rechteck: 60 cm 40 cm Das längste Rechteck muss an der Längsseite der Platte abgeschnitten werden. Es genügt eine Platte. Sie kostet: 1,25 m 2,5 m 98 /m 2 = 306,25 Berechnung des Kantholzbedarfs: 2 (1,2 m + 0,2 m + 0,4 m + 0,6 m) = 4,8 m Die Kanthölzer kosten 4,8 4,50 = 21,60. Gesamtkosten des Holzes: 387,85 9 a) Linke Schräge s 1 : s 1 = (80 cm) 2 + (45 cm) 2 = 91,8 cm Rechte Schräge s 2 : s 2 = (115 cm) 2 + (45 cm) 2 = 123,5 cm. b) Steigungswinkel an der linken Rampe: 45 tan α = _ 80 cm = 0,5625 α = 29,4 Die Steigung beträgt 56,3 %. Steigungswinkel an der rechten Rampe: 45 tan β = _ 115 cm = 0,3913 β =21,4 Die Steigung beträgt 39,1 %. c) Es sind vier Dreiecke und zwei Rechtecke zu skizzieren. d) Gesamtfläche = 2 2 _ cm 45 cm cm 45 cm cm 45 cm _ cm (92 cm cm + 123,5 cm) = cm 2 Die Platte ist 150 cm 250 cm = cm 2 groß. Aber eine Platte reicht aufgrund von Verschnittproblemen nicht aus. Die Jugendlichen können das mit Modellflächen (Größe 1 : 10) ausprobieren und dann überlegen, wie sie die Rampe verändern würden, so dass nicht zwei Platten im Wert von insgesamt 885 benötigt werden. L 61

64 4 Allgemeine Dreiecke In dieser Lerneinheit werden die gelernten Winkelfunktionen auf allgemeine Dreiecke und sonstige Flächen übertragen und angewendet. Einzelne Schülerinnen und Schüler neigen leicht dazu, Sinus, Kosinus und Tangens fälschlicherweise auch bei nicht rechtwinkligen Dreiecken zu benutzen. Nicht rechtwinklige Dreiecke oder andere Figuren werden vor der Berechnung so zerteilt, dass rechtwinklige Dreiecke entstehen. Bei der Zerlegung von Flächen gibt es meist mehrere Möglichkeiten. Impulse Das Problem besteht darin, dass die Flugstrecken kein rechtwinkliges Dreieck bilden. So können die geflogenen Strecken nicht direkt berechnet werden. Geeigneter Maßstab: 1 : , das heißt 1 cm š 10 km Der Winkel c wird errechnet und dann wird nach der Vorschrift WSW das Dreieck gezeichnet. Gemessene Werte: Start bis WP 1 = 11,3 cm = 113 km WP 1 bis WP 2 = 10,4 cm = 104 km Laut Zeichnung hat der Pilot 317 km zurückgelegt. Merkkasten Siehe auch Einführungstext oben. Eine geeignete Höhe ist diejenige, die bei der Lösung weiterhilft und nicht eine bekannte Seite oder einen bekannten Winkel zerteilt. Im Merkkasten wird durch die Skizze Bezug auf spitzwinklige Dreiecke genommen; stumpfwinklige Dreiecke tauchen auf Seite 64 auf. Ihre Zerlegung wird dort erklärt. Randspalte Durch das Einzeichnen der Höhe muss ein rechtwinkliges Dreieck entstehen, in dem man zwei Teile kennt und aus denen man mit einer trigonometrischen Funktion eine dritte (gesuchte) Größe berechnen kann. Wenn der ein zige bekannte Winkel oder die bekannte Strecke zerteilt wird, kann man mit den Angaben nicht mehr rechnen. Weiter geht s c = 67 Es gibt zwei Möglichkeiten: S 100 km a 1 h 2 W 1 (1) Die Höhe (h 1 ) von Wendepunkt 1 aus. (2) Die Höhe (h 2 ) vom Startpunkt aus. Für die 2. Möglichkeit benötigt man den Winkel c. Geht man von der Regel aus, möglichst mit gegebenen Größen zu rechnen, ist Möglichkeit (1) die sinnvollste Zerteilung. In solchen Skizzen ist es wichtig, gegebene, gesuchte und berechnete Teile in unterschied lichen Farben einzuzeichnen. Dabei sollten bei allen Aufgaben immer dieselben Farben ver wendet werden, damit sie sich einprägen. Beispiel: gegebene Teile immer in Grün; gesuchte Teile in Rot; berechnete Teile in Blau einzeichnen. Lösung mit Möglichkeit (1) (siehe Skizze) h = 100 km sin 58 84,8 km Seite b mit dem Sinus: b 103,5 km Seitenstück a 1 mit dem Kosinus: a 1 53 km Seitenstück a 2 mit dem Kosinus: a 2 59,4 km Gesamtstrecke: 100 km + b + a 1 + a 2 = 315,9 km Die Anforderung des Segelflugleistungsab zeichens ist erfüllt. h 1 a 2 b W 2 L 62

65 Aufgaben 1 Die Seite c wird durch h c in zwei Teile geteilt, die je mit dem Kosinus berechnet werden können. c 1 1,27 cm; c 2 3,99 cm; c 5,3 cm c 1 = 45 ; c 2 = 72 ; c = c = 67, h a 3,5 cm; b 3,8 cm, h b 3,9 cm; a 4,2 cm 3 b = 78, h a 5,7 cm, b 10,1 cm, h b 5,4 cm, a 9,7 cm 4 Winkel a = 49,3, a 7,7 cm, c 9,7 cm 5 Möglicher Lösungsweg: Zuerst wird h c be rechnet; anschließend Winkel b. Nun kann Winkel c und über h b die Strecke c berechnet werden. Seite c 4,9 cm, Winkel b = 42,4, Winkel c = 62,6 6 a) b) c) d) a 6,2 cm 2,2 cm 5,3 cm 5,5 cm b 4,8 cm 3,4 cm 6,7 cm 7,7 cm c 5,5 cm 3,7 cm 6 cm 7,1 cm a 74 35, ,3 b 48,1 65,0 72,5 74,5 c 57,9 79,5 58,5 62,2 7 a) A a 2 D 3 c 2 C c 1 O a 1 b) Um das Dreieck wird ein Rechteck gezeichnet. Die Seitenlängen ergeben sich aus der Summe bzw. der Differenz der Koordinaten. In den Teildreiecken können die Seiten des Dreiecks mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Strecke _ AB 9,3 cm, Strecke _ BC 9,2 cm, Strecke _ AC 8,7 cm; Umfang: 27,2 cm D 2 D 1 b 2 b 1 B c) Die Fläche des Dreiecks ergibt sich aus der Differenz der Rechteckfläche und der Flächen der Teildreiecke D 1, D 2 und D 3. Fläche D 1 = 11,25 cm 2 ; Fläche D 2 = 21,0 cm 2 Fläche D 3 = 8,5 cm 2 ; Fläche RE = 76,5 cm 2 Die Fläche des Dreiecks beträgt 35,75 cm 2. d) Man berechnet mit dem Tangens die Winkel der Teildreiecke D 1, D 2 und D 3. Diese bilden zusammen mit den Dreieckswinkeln jeweils einen Winkel von 90 bzw a = 90 (a 1 + a 2 ) 61,3 b = 180 (b 1 + b 2 ) 56,1 c = 180 (c 1 + c 2 ) 62,6 8 a) Der vierte Eckpunkt hat, sofern man die Linksdrehung der Reihenfolge der Punkte A, B, C, D einhält, folgende Koordinaten: C (8,5 5) b) Seite a = 8 cm Seite b mithilfe des Satzes des Pythagoras: b = 4,6 cm Winkel a mit dem Tangens: a 40,6 ; c 40,6 Winkel b über die Winkelsumme im Viereck: b 139,4 ; d 139,4 9 a) a 2 c h a a a 1 a 1 (mit dem Tangens): 4,2 cm a 2 = a (a 1 + c) = 1,8 cm Winkel a (mit dem Tangens): 70,2 b) Die Fläche wird mit der Flächenberechnungsformel fürs Trapez und ohne Trigonometrie berechnet. 10 cm + 4 cm A = 2 5 cm = 35 cm 2 c) mit dem Sinus: b 6,5 cm; d 5,3 cm Umfang u 25,8 cm 10 Die Berechnungen finden in den durch die Diagonalen gebildeten Teildreiecken statt. a) e 17,8 cm; f 8,6 cm b) b = d 122,7 ; c 38,6 c) Die Fläche beträgt 76,5 cm 2. L 63

66 11 a) Das Dreieck ist gleichschenklig und wird mit der Höhe h s in zwei rechtwinklige, gleich große Dreiecke geteilt. Auch der Winkel e wird halbiert. Die halbe Sehne wird mit dem Sinus berechnet. Sehne s = 2 sin 43 6,5 cm 8,9 cm b) Umgekehrter Vorgang im halbierten Dreieck: _ s 2 = 3 cm; sin _ e 2 = _ 3 cm 4,5 cm ; _ e 2 = 41,8 Der Winkel e ist 83,6 groß. 12 Die Schrittlänge eines Mannes beim Gehen beträgt durchschnittlich cm. Abhängig von der Schrittlänge variieren die Ergebnisse: Schrittlänge 0,80 m 0,85 m d 22,92 m 24,35 m r 11,5 m 12,2 m a) Fläche 415 m m 2 b) Höhe (tan) 9,6 m 10,2 m Volumen 1320 m m 3 13 c x a) Winkel a mit dem Sinus: a = 20,4 Für den Winkel b benötigt man die zweite Höhe, die mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden kann. (1) x = 714,4 m; y = 976 m x = 261,6 m (2) h 2 = 346 m Winkel b mit dem Sinus: b = 52,9 b) Winkel c mit dem Tangens: c = 32 y h 2 14 a) Die beiden Diagonalen werden mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Flächendiagonale: d F = 8,5 cm Raumdiagonale: d R = 10,4 cm b) z. B. mit dem Tangens: a = 35,2 15 Eine Lösungsmöglichkeit: A 2,5 km D B 56 1,6 km mit dem Sinus: _ AD = h = 2,07 km mit dem Satz des Pythagoras: _ CD = 1,4 km daraus folgt: _ BD = 0,2 km mit dem Satz des Pythagoras: _ AB = 2,1 km Der Tunnel wird ungefähr 2,1 km lang. 16 Eine Zerlegung in zwei Teildreiecke ist nicht geeignet. In diesem Fall ergänzt man das Dreieck durch Einzeichnen der Höhe außerhalb des Dreiecks. Winkel c mit der Winkelsumme: c = 38 a ist der Nebenwinkel von a: a = 60 h c = sin a b = 3,46 cm c 1 mit dem Satz des Pythagoras: c 1 = 2,01 cm a mit dem Sinus von b: a = 9,24 cm c 2 mit dem Satz des Pythagoras: c 2 2 = a 2 h c 2 = 8,57 cm c = c 2 c 1 = 6,56 cm 17 Da die Leinen gleich lang sind, betrachtet man nur das Dreieck, das von der unteren Leine, der Höhe und der Waagerechten gebildet wird. Mit der Sinusfunktion kann man dann aus dem Winkel zwischen der Leine und der Waagerechten und der Höhe des Drachens die Länge der Leine berechnen: sin 32 = _ 11 x m x = _ 11 m = 20,76 m sin 32 Die Leinen des Lenkdrachens sind etwa 21 m lang. C L 64

67 Mathematische Reise: Sinussatz und Kosinussatz Diese Schülerbuchseite bietet den Schülerinnen und Schülern eine Anleitung zur allgemeinen Herleitung des Sinussatzes und des Kosinussatzes. Sie stellt erhöhte Anforderungen an das Abstraktionsvermögen und an die Fähigkeit zum Umstellen von Formeln. 1 a) Zeichnung ähnlich wie im Buch. b) Im roten Dreieck ist sin α = h c _ b h c = b sin α. Im grünen Dreieck ist sin β = h c _ a h c = a sin β. c) b sin α = a sin β Die Division beider Gleichungsseiten durch sin α und sin β ergibt: _ b sin β = _ a sin α d) Für die Höhe h a ergibt sich die Formel b _ sin β = c _ sin γ und für h b erhält man a _ sin α = c _ sin γ. 2 Die Aufgaben lassen sich alle analog durch Einsetzen in eine geeignete Form des Sinussatzes lösen. Manchmal ist es erforderlich, zunächst den Winkelsummensatz anzuwenden. a) a = 10,7 cm γ = 103 c = 14,7 cm b) b = 3,06 cm α = 142 a = 5,26 cm c) γ = 29,0 β = 109,5 b = 7,97 cm d) γ = 69 a = 2,62 cm b = 2,30 cm 4 a) Für das gelbe Dreieck gilt: h 2 c + d 2 = b 2, also h 2 c = b 2 d 2. Für das blaue Dreieck gilt: h 2 c + (c d) 2 = a 2, also h 2 c = a 2 (c d) 2. b) Binomische Formel beachten. h 2 c = a 2 c c d d 2 c) b 2 d 2 = a 2 c c d d 2 daraus folgt durch Addieren von d 2 auf beiden Seiten: b 2 = a 2 c c d d) cos α = _ d b d = b cos α Für die Gleichung aus c) folgt jetzt: b 2 = a 2 c b c cos α e) a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos α f) Durch analoges Vorgehen mit den anderen beiden Höhen erhält man die beiden anderen Formen des Kosinussatzes. 5 a) c 2 = , ,5 cos 100 c = 10,6 cm sin 100 sin α = 5 cm 10,6 cm α = 27,7 β = ,7 100 = 52,3 b) a 2 = , ,5 cos 76 a = 6,76 cm sin 76 sin β = 4 cm _ 6,76 cm β = 35,0 γ = = 69 3 Zuerst muss der Winkel γ berechnet werden. Mit dem Sinussatz ergibt sich für die Entfernung vom Punkt A zum Kirchturm 3,27 km. Punkt B ist 2,96 km vom Kirchturm entfernt. L 65

68 Üben Wiederholen Die Rubrik Üben Wiederholen dient als weiterer Aufgabenpool zur Ergänzung, Wiederholung und Überprüfung. Außerdem werden hier Inhalte der verschiedenen Lerneinheiten vernetzt. Aufgaben 6 a) Winkel α Höhe h 13,94 m 13,97 m 13,99 m 14,01 m 14,04 m Seite c 29,9 m 29,95 m 30 m 30,05 m 30,1 m b) Unterschied zum Ergebnis mit c = 30 m 1 sin a = a _ c cos a = b _ c tan a = a _ b sin b = b _ c cos b = a _ c tan b = b _ a Seite c 29,9 m 29,95 m 30 m 30,05 m 30,1 m Höhenunterschied 0,05 m 0,02 m 0 m 0,02 m 0,05 m 2 a) Winkel a 29,1, Hypotenuse: 3,1 cm b) Kathete (mit dem Satz des Pythagoras): 2,8 cm c) Winkel a = = 64 Hypotenuse: 8,9 cm d) Winkel a 45,6, Kathete: 2,4 cm 3 a) in Dreieck (4) b) in Dreieck (3) c) in Dreieck (1) d) in Dreieck (2) 4 Winkel c = ( ) = 52 Seite b 9,8 cm Seite a 15,9 cm 5 a) Individuelle Lösungen. b) Diese Aufgabe löst man mit der Tangensfunktion. Winkel α Höhe h 12,73 m 13,36 m 13,99 m 14,63 m 15,29 m Seite c 30 m 30 m 30 m 30 m 30 m Die Höhendifferenzen je Grad liegen zwischen 63 cm und 66 cm. c) Die Höhe beim Winkel von 25 ist jeweils der Grundwert, die Differenz zu diesem Wert der Prozentwert. Winkel α Abweichung 9,0 % 4,5 % 0 % 4,6 % 9,3 % L 66

69 7 a) sin 8 = _ h 64 m h = 64 m sin 8 = 8,91 m. Der Deich ist 8,91 m hoch. b) Berechnung des Deichsohlenabschnitts x 1 auf der Seeseite: x 1 = (64 m) 2 (8,91 m) 2 = 63,4 m Berechnung des Deichsohlenabschnitts x 2 auf der Landseite: tan 13,7 = 8,91 m _ x 2 x 2 = 8,91 m = 36,6 m tan 13,7 x = 63,4 m + 36,6 m = 100 m Der Deich ist 100 m breit. 8 Man erhält ein rechtwinkliges Dreieck, indem man den Winkel und den Durchmesser des Ballons halbiert und die Entfernung x als Ankathete zum Winkel α benutzt. tan 0,4 = _ 6 x m x = 6 m = 859 m tan 0,4 Der Ballon ist etwa 860 m vom Betrachter entfernt. 9 Lösungshinweise siehe S. L 63, Aufgabe 7. a) y B C A b) Strecke _ AB : 10,2 cm, Strecke _ AC : 6,7 cm, Strecke _ BC : 8,1 cm Umfang: 25,0 cm c) Winkel a: a = 90 (26,6 + 11,3 ) 52,1 b = 180 (60,3 + 78,7 ) 41 c = 180 (a + b) 86,9 Der Flächeninhalt beträgt 27 cm 2. x 10 Berechnung des Winkels bei Juist (α): _ sin α 68 = _ sin 9 km 12 km sin 68 sin α = 9 km _ 12 km α = 44,1 Berechnung des Winkels bei Norderney (γ): γ = ,1 = 67,9 Berechnung der Entfernung Norddeich Juist (x): x km = _ 12 sin 67,9 sin 68 sin 67,9 x = 12 km = 12,0 km sin 68 Norddeich ist von Juist 12 km entfernt. 11 Man benötigt die Höhe h s. Winkel des Dreiecks: 360 : 7 51,4 Höhe: h s 5,2 cm Flächeninhalt: 7 13 cm 2 = 91 cm 2 12 a) Die Behauptung stimmt. Begründungen: (1) In die Gleichung sin a = cos a tan a setzt man die Formeln für cos a und tan a ein. Der Vorgang des Kürzens führt zur Formel für den Sinus von a. (2) Man löst die beiden Formeln für cos a und tan a jeweils nach der Hypotenuse bzw. der Gegenkathete auf und setzt diese in die Formel für sin a ein. b) Da die Aussage aus Teilaufgabe a) stimmt, muss man diese Gleichung nur nach tan a auflösen: tan a = _ sin a cos a 13 Die Diagonalen werden mit dem Satz des Pythagoras in der entsprechenden Seitenfläche berechnet. a) d = 13,6 cm; e 12,9 cm; f = 8,0 cm b) Das Dreieck, das die Diagonalen bilden, ist kein rechtwinkliges Dreieck. f 67,7 c 1 c 2 h d d Höhe h d mit dem Sinus: h d 7,4 cm Winkel c 1 mit der Winkelsumme: c 1 22,3 Winkel c 2 mit dem Kosinus: c 2 55 Winkel c = c 1 + c 2 77,3 Winkel b mit der Winkelsumme: b 35 e L 67

70 Aufgabenvorschläge für Klassenarbeiten zu Kapitel 3 1 Ein Flugzeug hebt beim Start unter einem durchschnittlichen Steigungswinkel von 6 ab. a) Fertige eine Skizze an. b) Wie hoch fliegt das Flugzeug über die Autobahn, die 5,5 km entfernt ist? 2 Von einem gleichschenkligen Trapez sind die Koordinaten dreier Eckpunkte bekannt: A ( 1 1), B (5 1) und C (4 4). a) Zeichne das Trapez in ein Koordina ten system. Wie lauten die Koordinaten des fehlenden Punktes? b) Berechne die Winkel des Trapezes. c) Wie groß sind der Umfang und der Flächen inhalt des Trapezes? 3 Ein 15 cm langer Bleistift wird 30 cm vom Auge entfernt senkrecht gehalten und verdeckt einen 80 m entfernten Turm. Wie hoch ist der Turm? a' = 30 cm b' = 15 cm a = 80 m 4 In einem Fluss liegt eine Insel. Michaela peilt mit einem Theodoliten von zwei Punkten A und B am Ufer einen Punkt C auf der Insel an. Beide Male misst sie den Winkel a = b = 65. Dann misst sie die Strecke zwischen den Peilpunkten (c = 45 m). Fertige eine Skizze und berechne, wie weit die Insel vom Ufer entfernt ist. 5 Für ein Kunstwerk werden drei quadratische Metallplatten aufeinandergelegt. Die Diagonale der kleinsten Platte ist 2,7 m lang. Die Platten sind im Winkel a = 15 zueinander verdreht. c 2 c 1 b 2 b 1 a d a a b a) Wie groß sind die drei Quadrat flächen? b) Müssen die mittlere und die große Platte größer oder kleiner sein, wenn der Winkel a größer wird? Begründe deine Meinung. Lösungen 1 a) 6 5,5 km b) Höhe h = tan 6 5,5 km 0,578 km Das Flugzeug hat dort eine Höhe von 578 m. 2 a) Punkt D (0 4) b) Winkel a = b 71,6 ; Winkel c = d 108,4 c) Streckenlängen: _ AB = 6 cm; _ BC = _ AD 3,16 cm; _ CD = 4 cm; h = 3 cm. Der Umfang beträgt 16,3 cm. Der Flächeninhalt ist 15 cm 2. 3 Eine Lösung kann z. B. mit dem Tangens errechnet 15 werden: tan a = _ 30 cm = 0,5; a 26,6 b = 80 m tan a = 40 m Der Turm ist 40 m hoch. 4 e = tan 65 _ 45 2 m 48,25 m Die Insel ist rund 48 m vom Ufer entfernt. A a Insel C e 45 m 5 a) kleine Platte: a 1,9 m; A 1 = 3,645 m 2 mittlere Platte: b 1 0,49 m; b 2 1,84 m; b 2,33 m; A 5,4 m 2 große Platte: c 1 0,60 m; c 2 2,25 m; c 2,85 m; A 8,1 m 2 b) Die Platten müssen größer sein. Für die Berechnungen benötigt man den Sinus in einer Multiplikation. Die Sinuswerte steigen mit der Größe des Winkels also werden auch die berech neten Längen größer. b B h L 68

71 Training Mathematik und Beruf In der Metallwerkstatt 1 a) ø = 95 mm + 35 mm + 20 mm = 150 mm Die Länge des Prüfmaßes beträgt 150 mm oder 15 cm. b) ø 1 = 34 mm 10 mm mm = 36 mm Die Länge des Prüfmaßes ø 1 beträgt 36 mm. Um das Prüfmaß ø 2 zu bestimmen, benutzt man den Satz des Pythagoras und zieht anschließend noch zwei Radien ab. Diagonale = (70 10) 2 + (34 10) 2 = = 64,62 ø 2 = Diagonale 2 Radius = 64,62 mm 2 6 mm = 52,6 mm Die Länge des Prüfmaßes ø 2 beträgt 52,6 mm. 2 Berechnung Mittenabstand mithilfe des Satzes des Pythagoras: m 2 + m 2 = d 2 m = 198 mm Der Mittenabstand beträgt 198 mm. Berechnung der Prüfmaße a und b: a = m 2 Radius = 198 mm 16 mm = 182 mm; b = m + 2 Radius = 214 mm Das Prüfmaß a ist 182 mm groß, Prüfmaß b ist 214 mm groß. 3 Es gibt jeweils oben rechts einen kleinen und unten rechts einen großen Verschnitt. Bei beiden Flächen handelt es sich um rechtwinklige Dreiecke, deren Fläche mit A = _ 1 2 a b berechnet werden kann. Kleiner Verschnitt: _ mm (230 mm 60 mm) = 1190 mm2 Großer Verschnitt: _ mm (70 mm 14 mm 20 mm) = 4140 mm2 Insgesamt fallen also 5330 mm 2 = 53,3 cm 2 Verschnitt an. 4 a) Das gekrümmte Stück ist ein Viertel eines Kreisumfangs mit Radius r = 15 mm. Die Länge k dieses Stückes beträgt k = _ π 15 mm = 23,56 mm Insgesamt ergibt sich eine Länge der neutralen Faser von 100 mm + 40 mm + 23,56 mm = 163,56 mm. b) Die Länge k des gekrümmten Stückes entspricht mit 240 genau _ 2 3 eines ganzen Kreises, also ergibt sich für die Länge: k = _ π 34 mm = 142,42 mm Insgesamt ist die neutrale Faser 142,42 mm + 70 mm = 212,42 mm lang. L 69

72 4 Funktionaler Zusammenhang Übersicht 1 Terme und Gleichungen 2 Lineare Funktionen 3 Lineare Gleichungssysteme 4 Quadratische Funktionen 5 Quadratische Funktionen y = a x 2 + c Mathematische Reise: Potenzfunktion 6 Quadratische Gleichungen 7 Die p-q-formel Üben Wiederholen Test Aufbau und Intention des Kapitels In diesem Kapitel erwerben die Schülerinnen und Schüler zunehmend die Fähigkeit, innermathematische Strukturen zu erkennen und formal-abstraktes Denken für die Lösung mathematischer Probleme einzusetzen. Auch wird der Einsatz des Computers (Tabellenkalkulationsprogramm) für mathematische Problemlösungen weiter ausgebaut. Der erste Teil des Kapitels befasst sich mit der Wiederholung und Vertiefung von Inhalten aus dem Unterricht von Klasse 8 und 9: Auflösen von Termen mit und ohne Klammern Äquivalenzumformungen bei Gleichungen Zeichnen linearer Funktionen (Steigung; Achsenabschnitt; Punktprobe etc.) Lineare Gleichungssysteme werden zeichnerisch und rechnerisch gelöst. Im zweiten Teil lernen die Schülerinnen und Schüler die quadratische Funktion als ein wichtiges Beispiel für nicht-lineare Zusammen hänge kennen. Quadratische Gleichungen werden auf verschiedenen Wegen gelöst durch Wurzel ziehen zeichnerisch durch Ausklammern mithilfe von Formeln. Die Mathematische Reise auf den Seiten 86 und 87 bietet den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit, mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms und einer Dynamischen Geometrie-Software (DGS) die Graphen von Potenzfunktionen mit verschiedenen ganzzahligen positiven und negativen Exponenten zu untersuchen. Die Themenspalte Zur Sache: Brücken auf Seite 97 kann die Schülerinnen und Schüler anregen, sich motiviert und ausgiebig mit einer technischen Anwendung der quadratischen Funktionen zu befassen. Dabei werden Brücken mit Stützbögen und Hängebrücken vorgestelllt und Aufgaben zu deren Berechnung formuliert. Das Kapitel setzt den Schwerpunkt auf Kompetenzen aus den Leitideen Zahl und Funktionaler Zusammenhang. Die Schülerinnen und Schüler lernen und üben den grundlegenden Umgang mit linearen und quadratischen Funktionen, die zeichnerische und rechnerische Lösung von Gleichungen und Gleichungs systemen des 1. und 2. Grades. Anwendung findet dies zum Beispiel auch fächerübergreifend in der Umstellung verschiedenster Formeln im mathematischen und physikalischen Umfeld. Auch die Kompetenzen der Leitidee Modellieren können die Schülerinnen und Schüler in diesem Kapitel vielfach anwenden. Bei vielen Aufgaben werden die Schülerinnen und Schüler zu Partnerarbeit aufgefordert. Dies fördert die Kommunikation über Mathematik und das in Sprache bringen der eigenen Lösungsansätze. Werkzeugkasten Für die zeichnerische Darstellung der quadratischen Funktion als Normalparabel gibt es Schablonen. Sie vereinfachen das Zeichnen und können zugleich bei der Verschiebung der Normalparabel eher haptisch begabten Schülern das Verstehen erleichtern. Auf den entsprechenden Buchseiten wird noch einmal darauf hingewiesen. Alternativ kann auch ein Funktionsplotter eingesetzt werden. Dynamische Geometrie-Software bietet oft eine solche Funktion an. L 70

73 Brücken Brücken sind faszinierende Bauwerke. Schon viele Jahrhunderte vor Christus entwickelte der Mensch Konstruktionen, um Täler oder Flüsse mit Brücken zu überspannen. Die Römer bauten kilometerlange Aquädukte, um Wasser in ihre Städte zu bringen. Hierbei waren die Bogen brücken eher Kreisbogen als parabelförmige Bo gen. Bei einem gut geformten Brückenbogen wirkt die Last, die die Brücke zu tragen hat, als Druck last fast ausschließlich direkt senkrecht auf die Brückenpfeiler und nur wenig zur Seite. Je flacher der Bogen, desto größer ist die Drucklast zur Sei te. Eine Bogenbrücke ist erst dann stabil, wenn der Schlussstein in der Bogenspitze eingefügt ist. Darum benötigt man zum Aufbau von Bogen brücken riesige Gerüste. Interessante Informationen zu diesem Thema findet man auf der Internetseite bogen.html. Besonders interessant ist der Aufbau der Argentobelbrücke (1984) als Bogenbrücke ohne jegliches Brückengerüst. Auch die Idee der Hängebrücke ist schon sehr alt. Zum Beispiel entstanden schon ca v. Chr. erste Hängebrücken aus Lianen. Die Entwicklung der Hängebrücke heutiger Bauweise begann Anfang des 19. Jahrhunderts in den USA. Neu war die Idee, die Brückenseile an großen Brückenpfeilern zu befestigen. Die Seil- oder Kettenführung beschreibt annähernd eine Parabelform. Mathematiker sind sich nicht einig, ob man die Parabel tatsächlich zur Berechnung der Brücke benutzen kann. Im Artikel Wenn Seile fremde Lasten tragen (Parabel versus Kettenlinie) geht Dr. Markus Köcher näher auf diese Problematik ein. Der Artikel beinhaltet eine Beweisführung für die Annahme, dass Hänge brücken und Bogenbrücken tatsächlich annähernd Parabelform haben. ( wasistmathematik/tragseil.pdf) Weitere Hinweise Die Jugendlichen können auch selbst Brücken verschiedenster Formen gestalten. Zum Beispiel die Leonardo-Brücke, die man auch im Mathematikum in Gießen ( nachbauen kann. Die Leonardo-Brücke wird aus einfachen langen und kurzen Brettern gebaut ganz ohne Leim, ohne Nagel oder Schraube und ohne Schnur. Erfinder dieser Brückenkonstruktion ist Leonardo da Vinci. Man kann dabei mit einer kleinen Brücke beginnen, die aus nur zwei Modulen besteht, und dann schrittweise eine immer größere Brücke bauen. Mathematische Probleme als Gesprächsthema im Unterricht Das Thema Brücken wird in diesem Kapitel immer wieder aufgegriffen. Dabei wird die Höhe der Pfeiler der Akashi-Kaikyo-Hängebrücke in Aufgabe 2 auf Seite 97 berechnet. Bei der Lösung dieser Aufgabe fällt auf, dass die berechnete Pfeilerhöhe von 297,3 m stark abweicht von der in der Einführungsseite genannten Pfeilerhöhe von 283 m. Hieraus ergeben sich interessante Fragestellungen für den Unterricht, z. B.: Wodurch entsteht dieser große Unterschied von 14,3 m? Welche Auswirkungen könnte dies beim Bau einer Brücke für den Architekten, den Statiker, die Baufirma haben? Wie kann diese Differenz vermieden werden? Die Differenz ist bedingt durch eine Rundungsungenauigkeit. In der Aufgabe Seite 69 steht als Faktor a die Zahl 0,0003. Rechnet man mit 283 m Pfeilerhöhe, kommt man auf a = 0, Das Runden der 5. Nachkommastelle bewirkt die Differenz von fast 15 m Pfeilerhöhe. Hieran wird deutlich, welche große Auswirkung das Runden von Zahlen haben kann. So kann es zu mehr oder weniger Kosten für Baumaterial und Arbeitszeit führen. Bei ungenauer Berechnung kann es zu Fehlern in der Statik der Brücke kommen. Als Folge davon kann eine Brücke instabil sein bis hin zum Brückeneinsturz. Vermeiden lässt sich dies nur durch eine sehr hohe Genauigkeit in den Berechnungen. L 71

74 1 Terme und Gleichungen Einstieg Dieses Beispiel kann den Schülerinnen und Schülern den Sinn von Termen vermitteln, die gleichartige Rechnungen vereinfachen helfen. Impulse l b h h 3 l 6 l 12 b b h 6 Es ist wichtig, dass die Jugendlichen sich eine bestimmte Reihenfolge angewöhnen, zum Beispiel: 1. Glied der 1. Klammer mal 1. Glied der 2. Klammer. 1. Glied der 1. Klammer mal 2. Glied der 2. Klammer. 2. Glied der 1. Klammer mal 1. Glied der 2. Klammer. 2. Glied der 1. Klammer mal 2. Glied der 2. Klammer. Die meisten Fehler entstehen beim Auflösen von Minusklammern, darum muss noch einmal besonders auf die Grundregeln hingewiesen werden: (+) (+) = (+); (+) ( ) = ( ); ( ) (+) = ( ); ( ) ( ) = (+) Aufgaben Maxi: A TP = l b; A S = b h Midi: A TP = (l 6) b; A S = b (h 3) Mini: A TP = (l 12) b; A S = b (h 6) Man benötigt einmal die Tischplatte und zweimal die Seitenplatten. Da die Flächen in m 2 gesucht sind, ist es sinn voll, die Dicke des Glases und die Maße der Tische in Meter anzugeben. d = 0,02 m. Daraus ergeben sich folgende Terme: Maxi: b l + 2 b h = b (l + 2 h) Midi: b (l 6) + 2 b (h 3) = b (l + 2 h 12) Mini: b (l 12) + 2 b (h 6) = b (l + 2 h 24) Merkkasten Hier werden alle bereits bekannten Regeln für die Klammerauflösung bei Termen zusammengefasst. Hinzu kommt die Regel zur Multiplikation von zwei Klammern. Weiter geht s Individuelle Formulierungen, zum Beispiel: Steht vor der Klammer ein Pluszeichen, wird die Klammer ohne Veränderung weggelassen. Steht vor der Klammer ein Minuszeichen, werden alle Strichoperationen in der Klammer durch ihre Gegenoperation ersetzt. (Man multipliziert alles mit dem Faktor minus 1.) Steht vor der Klammer ein Faktor, wird bei der Auflösung der Klammer jedes Glied innerhalb der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert (Distributiv gesetz). Multipliziert man zwei Klammern miteinander, so wird jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. 1 a) 21 a b b) 2 z y c) 10 x y d) 360 b s z 2 a) 8 a b) 2 q c) 5 d) 1 _ 8 y 3 Man kann immer nur Faktoren mit der gleichen Variable zusammen fassen. Wenn man sich vorstellt, die Variablen wären verschiedene Maßeinheiten, kommt die Regel zur Anwendung, dass man immer nur Zahlen mit gleichen Maßeinheiten miteinander verrechnen darf. Zur Unterstützung können die Jugendlichen deshalb die gleichen Faktoren mit einer Farbe unterstreichen und sie danach zusammenfassen. a) 20 x b) 8 a + 10 b c) 20 x y 17 y d) 4 b a e) 0,25 x y 2,5 x z + 11,25 4 a) 5 x + 7 b) 4 b c) 3 w d) 9 z y e) 7 c + 7 d f) 4 x 16 g) 3 a 36 b h) 7 x + 3 x y 5 A = (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d Die Terme mit den Klammern addieren zuerst die Seitenlängen der Rechtecke. So wird die Gesamtseitenlänge des großen Rechtecks ermittelt. Anschließend wird der Flächeninhalt des großen Rechtecks berechnet. Die Einzelterme ohne Klammern stehen für die vier kleinen Flächen. Anschließend werden diese Teilflächen zur Gesamtfläche addiert. Tipp: Rechenregeln siehe Weiter geht s. L 72

75 6 Den Schülerinnen und Schülern kann noch einmal der Unterschied zwischen Minus als Vorzeichen und als Rechenoperation erläutert werden. Geordnetes Vorgehen könnte hier trainiert werden. a) 7 x x y + 4 y b) x y + 2 x + 2 y + 4 c) a b 3 a + 2 b 6 d) 16 x y + 28 y 20 x 35 e) 56 s 2 s r r 2 f) 6 p 2 19 p q + 3 q 2 7 a) a 2 30 a 15 b b) 109 x 16 y c) 18 a 2 18 a b + 7 b 2 d) 14 x 2 7 x + 5 e) Hier ist es sinnvoll, die dritte und vierte Klammer in zwei Schritten zu berechnen. Zuerst in Klammer gesetzt ohne das Minuszeichen und anschließend dann noch mit dem Minuszeichen. 32 y 8 x (8 x + 40 y x 2 5 x y) = x 2 16 x + 5 x y 72 y 8 a) x y (x y wurde vergessen) b) 45 a b (Rechenfehler) c) 2 x (Es wurde multipliziert statt addiert.) d) 23 x y (Rechenfehler) e) 5 a 5 (Rechenregel ( ) ( ) = (+)) f) 3 x 6 (Beide Glieder in der Klammer müssen multipliziert werden.) g) x 2 x + 0,25 (Jeder Faktor mit jedem Faktor Rechenregel: ( ) ( ) = (+)) 9 a) 2 (3 x + 6) = 6 x + 12 b) 6 x (2 x 8) = 4 x + 8 c) (a + b) + 2 a = a b d) 3 y + 4 (2 + y) = 7 y + 8 e) a + b (a + b) = 0 f) (x 2 y) (4 x + 3 y) = 4 x 2 5 x y 6 y 2 10 (Å) V = (a 1) 2 a 2 a = 4 a 3 4 a 2 O = 4 (a 1) 2 a a 2 a = 16 a 2 8 a (2) V = 2 a 3 a (a 1) = 6 a 3 6 a 2 O = 2 2 a 3 a a (a 1) a (a 1) O = 22 a 2 10 a 11 a) Individuelle Lösungen Beispiel: 2 a 9 (5 a + 3) (a 3) = 14 a 5 a 2 b) (1) 2 a 2 11 a + 9 (2) 5 a 2 2 a 3 (3) a 2 4 a + 3 (4) a a 2 (5) 5 a 2 8 a + 3 (6) 3 a a (7) a 2 + a 2 12 a) 6 a + 6 b = 6 (a + b) b) 5 x + 10 y = 5 (x + 2 y) c) 7 a x + 7 a y = 7 a (x + y) 13 a) Ist in allen Gliedern eines Terms derselbe Faktor enthalten, kann man diesen Faktor ausklammern, das heißt vor die Klammer setzen. Das ist die Umkehr operation zum Ausmulti plizieren von Klammertermen. b) (1) 5 (a + b) (2) 2 (x + 2 y) (3) 3 (2 r + 9 s) (4) 7 x (a 2 b) 14 Lösung sind die binomischen Formeln siehe Infokasten. a) 1. binomische Formel b) 2. binomische Formel c) 3. binomische Formel d) 3. binomische Formel (b + a) (b a) = b 2 a 2 Information Die erste binomische Formel lässt sich (wie in der Grafik dargestellt) relativ einfach am Flächeninhalt eines Quadrates darstellen. Die binomischen Formeln sind nur eine Verkürzung des Ausmultiplizierens von gleichen Klammerausdrücken. Eine Möglichkeit wäre, die Zwischenschritte zu berechnen, um das zu verdeutlichen. Also (a b) 2 = (a b) (a b) = a 2 a b b a + b 2 = a a b + b 2 15 a) 1. binomische Formel: x x y + y 2 b) 3. binomische Formel: p 2 q 2 c) 3. binomische Formel: x 2 y 2 d) 1. binomische Formel: 144 s s t + t 2 e) 2. binomische Formel: 0,25 x 2 x y + y 2 f) 2. binomische Formel: 4 b 2 12 b c + 9 c 2 16 a) r = 4 b) r = 25 c) r = 9 d) r = 9 x 2 ; ¹ = 144 L 73

76 17 a) x x y + y 2 b) p 2 2 p q + q 2 c) v v w + w 2 d) e 2 f 2 e) r 2 2 r s + s 2 f) p 2 q 2 g) 9 x 2 h) m 2 2 m n + n 2 i) 4 12 b + 9 b 2 j) a a b + 4 b 2 18 a) +/+ b) /+ c) d) +/ e) +/ 19 Aus den beiden quadratischen Gliedern wird die Wurzel gezogen. Zur Kontrolle, ob dies eine binomische Formel ist, wird dann das gemischte Glied in der Mitte berechnet. Das Vorzeichen vor dem gemischten Glied entscheidet, ob die 1. oder 2. binomische Formel vorliegt. Gibt es kein gemisch tes Glied, ist es die 3. binomische Formel. a) (x + 2) 2 b) (x 7) 2 c) (5 + x) 2 d) (x + y) 2 e) (3 a 4) 2 f) (7 q + 5) 2 g) (a + 2) (a 2) h) (10 + b) (10 b) 20 Dividiert man das gemischte Glied durch 2 und durch den bekannten Klammerfaktor, erhält man den unbekannten Klammerfaktor. a) r = 12 b) r = 9 c) ¹ = 25 d) ¹ = a e) r = 6; ¹ = 9 f) ¹ = 18; r = 9 Bei Teilaufgabe f) haben sich zwei Fehler eingeschlichen: Das x müsste ein b sein und in der Klammer muss ein Minuszeichen stehen, kein Plus. g) ¹ = 49; r = x; º = 7 21 ergänzt Binom a) (1) 3 2 oder 9 (x + 3) 2 (2) 7 2 oder 49 (x + 7) 2 (3) 4 2 oder 16 (a + 4) 2 (4) 5 2 oder 25 (p + 5) 2 b) (1) 10 2 oder 100 (y 10) 2 (2) 12 2 oder 144 (q 12) 2 (3) 6 2 oder 36 (b 6) 2 (4) 11 2 oder 121 (a 11) 2 c) (1) 11 2 oder 121 (t 11) 2 (2) 4,5 2 oder 20,25 (a 4,5) 2 (3) 1,5 2 oder 2,25 (x + 1,5) 2 (4) 3,5 2 oder 12,25 (q + 3,5) 2 22 a) Lösen einer Gleichung heißt, sie mit Äqui valenzumformungen so weit zu vereinfachen, bis auf einer Seite nur noch einmal die Variable steht und auf der anderen Seite der Zahlenwert als Lösung dieser Variablen. b) In der Gleichung erscheint die Variable nur in der 1. Potenz. Man nennt sie auch Gleichungen 1. Grades (x-gleichungen). Gleichungen 2. Grades sind quadratische Gleichungen. Die Variable erscheint dort in der 2. Potenz (x 2 -Gleichungen). c) Lösungsschritte: 1. Auflösen der Klammern. 2. Vereinfachen der Terme auf beiden Seiten durch Zusammenfassen gleichartiger Glieder. 3. Alle reinen Zahlenwerte auf die eine Seite bringen. 4. Alle Glieder mit Variable auf die andere Seite bringen. (Isolieren der Variablen) 5. Berechnen der Variablen. Tipp für Schülerinnen und Schüler: Mache einen Schritt nach dem anderen. Gehe keine zu großen Schritte. Am Schluss die Probe nicht vergessen. Information Beide Seiten einer Gleichung werden gleicher maßen verändert, sodass der Gesamtwert der Gleichung erhalten bleibt. Ganz wichtig: Multiplikation mit 0 und Division durch 0 sind nicht erlaubt. 23 a) x = 2 b) x = 3 c) x = 4 d) x = 5 e) x = 6 f) x = 7 g) x = 8 h) x = 9 i) x = 10 j) x = 12 k) x = a) x = 4 b) x = 3 c) x = 2,5 d) x = 2 e) x = 0,7 f) x = _ 1 3 g) x = 0,5 h) x = 7 L 74

77 2 Lineare Funktionen In dieser Lerneinheit werden die proportionalen Funktionen zu linearen Funktionen verallgemeinert. Anders als proportionale Funktionen gehen lineare Funktionen nicht notwendigerweise durch den Nullpunkt (0 0), sondern nur, wenn für den y-achsenabschnitt b = 0 gilt. Insofern ist eine proportionale Funktion eine besondere lineare Funktion. Merkkasten Der offensichtliche Unterschied zwischen linearen und proportionalen Funktionen liegt im Schnittpunkt mit der y-achse. Der Schnittpunkt der linearen Funktion mit der y-achse liegt bei (0 b), wobei b der y-achsenabschnitt ist. Für b = 0 ist eine lineare Funktion also auch eine proportionale Funktion. Einstieg Das Thema Energiekosten ist den meisten Schülerinnen und Schülern aus den Medien und der öffentlichen Debatte geläufig. Hier wird also schnell eine Alltagsrelevanz hergestellt. Anhand unterschiedlicher Anbieter können so lineare Funktionen untersucht und verglichen werden. Hier kann es auch motivationsfördernd sein, reale Preise von Anbietern zu betrachten und zu vergleichen. Weiter geht s (1) y O x (2) y O x Impulse Die Grundgebühr kann an der y-achse bei x = 0 abgelesen werden. Bei OrangeStrom beträgt sie 90, bei GreenStrom 150. Die Gerade für OrangeStrom verläuft allerdings steiler, als die Gerade für Greenstrom, d. h. 1 kwh ist hier teurer. Der Schnittpunkt zeigt an, dass bei einem Umsatz von 2000 kwh beide Tarife gleich teuer sind. Vor der Entscheidung, welcher Stromtarif für Familie Mayer am günstigsten ist, muss ihr Energieumsatz berücksichtigt werden. Benötigt die Familie mehr als 2000 kwh, so ist Green- Strom die bessere Wahl, benötigt sie weniger als 2000 kwh, so lohnt sich OrangeStrom. Dies kann direkt aus dem Schaubild abgelesen werden. So wird der Vorteil einer grafischen Veranschaulichung unmittelbar klar. Die Funktionsgleichung kann anhand der Angebote gefunden werden. Bei den Angeboten ist zu beachten, dass von Cent in Euro umgerechnet werden muss. So gilt bei OrangeStrom für die Steigung: 0,14 /kwh; bei GreenStrom 0,11 /kwh. Die Grundgebühr entspricht dem y-achsen abschnitt. OrangeStrom: y = 0,14 x + 90 (mit Steigungsdreieck: y = _ x + 90) GreenStrom: y = 0,11 x (bzw. y = _ x + 150) Die Energiekosten betragen bei OrangeStrom 650 und bei GreenStrom 590. (3) O x Der Online Link bietet eine Geonext-Datei, die eine Untersuchung der Steigungsdreiecke ermöglicht. (1) Die Gerade ist steigend m = 3 : 2 = 1,5; b = 1; y = 1,5 x + 1 (2) Die Gerade ist fallend m = 1 : 2 = 0,5; b = 1,5; y = 0,5 x + 1,5 (3) Die Gerade ist fallend m = 2 : 1 = 2; b = 2; y = 2 x + 2 Zusammenhang: Wenn die Gerade steigend ist, ist m positiv, wenn sie fallend ist, wird m negativ. Aufgaben 1 b m 2 m b a) 7 3 b) 6 2,5 c) 4 3 d) 0 2 e) 1,5 0,5 f) 0,8 + 0,25 g) 1 0,4 h) 0,5 0,6 (1) 2 _ 3 1 (2) 1 1,5 (3) 1 _ 5 0 (4) 0,5 0,5 L 75

78 3 Ich starte am Nullpunkt (Koordinatenursprung). Der y-achsenabschnitt ist b = 0,5. Daher gehe ich in positive Richtung eine halbe Einheit (bzw. ein Kästchen) nach oben. Hier zeichne ich einen Punkt ein. Die Steigung beträgt 1,5 (oder als Bruch ausgedrückt 3 _ 2 ). Ich gehe also 1 Einheit (2 Kästchen) nach rechts und 1,5 Einheiten (3 Kästchen) nach oben. Den gefundenen Punkt verbinde ich mit dem Schnittpunkt auf der y-achse. 7 Die Geraden (1), (2) und (3) schneiden sich alle im Punkt S (0 3,5), da alle drei Geraden zwar eine unterschiedliche Steigung, aber den gleichen y-achsenabschnitt b = 3,5 haben. y (2) (1) (3) y a b e d x 2 1 O a) y = 3 x + 2,5 b) y = x 2 c) y = _ 3 4 x 4 d) y = 2,5 x + 5 e) y = 3 f) y = 3 x g) S y entspricht dem y-achsenabschnitt y = 1,5 x + 2 f h) y = _ 4 3 x 2 i) y = _ 2 3 x + 4,5 Aus Übersichtsgründen sollten nicht alle Funktionen in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. i j h g c x 8 a) g: y = _ 3 5 x ; b) Die anderen zu g parallelen Geraden haben aufgrund der Parallelität die gleiche Steigung, aber einen anderen y-achsenabschnitt. Dieser lässt sich als Schnittpunkt mit der y-achse aus dem Schaubild des jeweiligen Graphen herauslesen. Für die Funktionsgleichungen gilt: k: y = _ 3 5 x + 2 j: y = _ 3 5 x + 1,5 i: y = _ 3 5 x 1 h: y = _ 3 5 x 2,5 c) Individuelle Lösungen. 9 a) y = 3,2 x + 1,5 b) y = 1 _ 2 x + 3 c) y = 0,8 x 2 6 a) S y (0 4) b) S y (0 2) c) S y (0 6) d) S y (0 2,5) e) S y (0 4) f) S y (0 0) g) S y (0 6,2) h) S y (0 0) L 76

79 10 a) g: y = 2,5 x 3 h: y = 1,5 x + 1 i: y = 2,5 x 1,5 j: y = 0,5 x 1 b) Erhöhter Schwierigkeitsgrad bei der Gerade m. Hier muss erkannt werden, dass die Steigung m = 0 ist, für alle x-werte ist der y-wert immer 3,5. k: y = _ 3 4 x 1,5 l: y = _ 1 2 x + 1 m: y = 3,5 n: y = _ 3 4 x 2 11 a) y = 2 x + 6; m = 2; b = 6 b) y = 3 x + 5; m = 3; b = 5 c) y = 0,3 x + 4,5; m = 0,3; b = 4,5 d) y = _ 1 3 x + _ 1 2 ; m = _ 1 3 ; b = _ 1 2 e) y = 3 x + 4; m = 3; b = 4 f) y = 6 x + 2; m = 6; b = 2 g) y = 3 x + 4,5; m = 3; b = 4,5 h) y = 0,6 x + 8; m = 0,6; b = 8 i) y = 4 x + 7; m = 4; b = 7 j) y = 3,1 x 5; m = 3,1; b = 5 k) y = 3 x 4; m = 3; b = 4 l) y = 2 _ 3 x + 2; m = 2 _ 3 ; b = 2 12 Zur leichteren Untersuchung bringt man die Geraden in die allgemeine Form. (1) y = 3 x + 4 (2) y = 3 x + 2 (3) y = x + 2 (4) y = 3 x + 2 (5) y = 3 x + 7 (6) y = _ 3 4 x + 2 An den Steigungen der Geraden erkennt man nun: Die Geraden (1) und (5) sind parallel. Die Geraden (2) und (4) sind parallel. An den y-achsenabschnitten der Geraden erkennt man, dass die Geraden (2), (3), (4) und (6) durch denselben Punkt S y (0 2) gehen. Information Die Punktprobe liefert ein nützliches und schnell zu handhabendes Werkzeug, um die Lage von Punkten bezüglich einer gegebenen Gerade zu überprüfen. 13 a) 8 = Der Punkt A (2 8) liegt auf der Geraden. b) 0 = falsch Der Punkt B (1 0) liegt nicht auf der Geraden. c) 15,2 = 4 ( 2) + 7,2 Der Punkt C ( 2 15,2) liegt auf der Geraden. d) 23,5 = 2,5 4 13,5 23,5 = 23,5 Der Punkt D (4 23,5) liegt auf der Geraden. e) 0 = 1 ( 3,5) + 3,5 0 7 Der Punkt E ( 3,5 0) liegt nicht auf der Geraden. 14 a) y = 12 x + 30 b) Beschriftung der Achsen: x-achse Tage und y-achse Kosten ( ) Das Schaubild wird für die vollen 10 Tage etwa 16 cm hoch. Sinnvoll ist u. U. auch ein Bereich bis 6 Tage, entsprechend etwa 12 cm (ca. 100 ). Die Gerade verläuft durch die Punkte (0 30 ) und (5 90). c) Die Entscheidung ist abhängig von der Anzahl der Tage die das Fahrrad ausgeliehen werden soll. Da Angebot B nicht als Funktion dargestellt werden kann, müssen die Angebote pro Kostenpunkt verglichen werden. Es fällt dabei auf, dass bei Angebot B die Kategorie 1 Tag, 6 Tage, 8 und 9 Tage fehlen. Hier müssen Annahmen getroffen werden, um einen Vergleich zu ermöglichen. Es könnte je die höhere Preiskategorie veranschlagt werden. Daraus folgt: Tage A ( ) B ( ) Tage A ( ) B ( ) Bei Angebot B ist nicht angegeben, ob es eventuelle Serviceleistungen inklusive gibt oder mit welchem Preis diese aufgeschlagen werden. Des Weiteren hat Angebot B einen Tarif für 6 Stunden, was für viele Personen schon für einen Tag ausreicht. Es ist wohl nicht realistisch anzunehmen, dass bei Angebot B die Gebühr für 8 Tage diesselbe ist wie für 10 Tage. Mithilfe der Excel-Datei, die mit dem Online Link auf der Klett-Internetseite aufgerufen werden kann, wird die Lösung anschaulicher. L 77

80 3 Lineare Gleichungssysteme Einstieg Am Beispiel zweier sich unterschiedlich schnell auf dem gleichen Weg bewegenden Jungen können die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass eine zeichnerische Darstellung Aufgaben anschaulich machen kann. Auf einen Blick kann man sehen, wann und wo sich Jan und Tom treffen. Impulse Der Graph für Jan beginnt bei 500 m, weil er bereits so weit gelaufen ist, als Tom losfährt. Jan läuft langsamer, seine Gerade ist deshalb flacher. Zum Ablesen von Werten sollte das Geodreieck verwendet werden. Jan und Tom treffen sich fünf Minuten nach Toms Start nach 1500 m. Tom: y = 300 x Jan: y = 200 x S (5 1500) Merkkasten Für eine zeichnerische Lösung müssen beide Gleichungen in die Form y = m x + b gebracht werden. Bei rechnerischer Lösung ist dies nicht notwendig. Weiter geht s 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 O Weg in km Jan Tom Zeit in min Aufgaben 1 (1) y = 2 x, (2) y = x 3; S ( 1 2) 2 a) S (3 3) b) S (2 3) c) S (3 5) d) S (2 1,5) e) S (1 1) f) S (0,8 1,4) 3 Die y-achse des Koordinatensystems muss bis zum Punkt 10 gehen. a) S (2 10) b) S ( 2,4 2,8) c) S ( 5 2,5) d) S (4,5 0) 4 a) (1) y = 2 x + 2 und y = 2 x + 3 (2) y = x + 5 und y = x + 6 Die Gleichungen haben gleiche Steigungen, aber verschiedene y-achsenabschnitte, das heißt sie verlaufen parallel. Parallele Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt, also haben diese Gleichungssysteme keine Lösung. b) m 1 m 2 b 1 b 2 (1) _ 5 3 _ (2) _ 1 4 _ (3) _ 1 2 _ (4) _ 1 2 _ Für alle vier Gleichungssysteme gilt: m 1 = m 2 und b 1 b 2. Also sind es parallele Geraden, die keinen Schnittpunkt haben. c) Individuelle Lösungen. S (4 1) Jan holt Tom nach 4 Minuten nach 1 km ein. L 78

81 5 a) Ein Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn die Graphen beider Glei chun gen dieselbe Gerade sind. Dann sind alle Punkte der Graphen für die Gleichungen identisch, man könnte sagen die Geraden haben unendlich viele Schnittpunkte. Das trifft dann zu, wenn beide Glei chungen in der Form y = m x + b identisch sind. b) (1) Beide Gleichungen lauten: y = 1 _ 7 x + 2 (2) Beide Gleichungen lauten: y = 3 x (1) y = 1 _ 5 x + 2 _ 5 (2) y = x 5 (3) y = 1 _ 2 x + 5 (4) y = 1 _ 2 x + 5 (5) y = _ 1 5 x + 3 (6) y = _ 1 2 x + 5 (7) y = 2 x 5 (8) y = 5 x 2 (9) y = 5 x + 2 (10) y = 1 _ 2 x + 5 (11) y = 2 x 5 Keine Lösung haben (1) und (5), (8) und (9). Unendlich viele Lösungen (3) und (4), (6) und (10). Alle anderen Kombinationen haben eine Lösung. 7 Die beiden Graphen verlaufen sehr flach, der genaue Schnittpunkt ist nicht klar ablesbar. Außerdem liegt der Schnittpunkt nicht auf einem Karopunkt. S (4, _ 6 2,1 _ 7 ) Information Nicht jedes Gleichungssystem ist zeichnerisch lösbar. Der Schnittpunkt ist z. B. wie in der letzten Aufgabe Nr. 7 nicht eindeutig ablesbar oder er liegt außerhalb einer sinnvollen Zeichenfläche. Das Grundprinzip der rechnerischen Lösung: 1. Durch das Gleichsetzen der beiden Gleichungen (Gleichsetzungsverfahren) oder durch das Addieren einer Gleichung zur anderen Gleichung (Additionsverfahren) wird der Wert für eine Variable berechnet. 2. Dieser Wert wird in eine der beiden gegebenen Gleichungen eingesetzt und so der Wert für die zweite Variable ermittelt. 3. Die Lösung ist der Schnittpunkt beider Geraden und wird z. B. in der Form S (x y) notiert. Hier werden zwei der drei Lösungsverfahren vorgestellt, das Einsetzungsverfahren fehlt. Die Jugendlichen sollen beide kennenlernen. Grundsätzlich sind immer beide Verfahren möglich, doch im Einzelfall ist oft ein Verfahren günstiger in der Anwendung. Beim Gleichsetzungsverfahren gilt es zu vermitteln, dass Gleichungen nicht immer in die Form y = m x + b gebracht werden müssen. Beispiel (I) x = 3 y + 4; (II) x = 5 y 1 Hier ist es sinnvoll, sofort das Gleichsetzungsverfahren anzuwenden und zunächst den Wert für y zu berechnen. Beispiel (I) 3 y 4 x = 2; (II) 6 y x = 3 Hier kann Gleichung (I) mit ( 2) durchmultipliziert und dann das Additionsverfahren genutzt werden. 8 Für alle Gleichungssysteme dieser Aufgabe ist das Gleichset zungsverfahren geeignet. a) S (5 20) b) S (40 2) c) S (1,5 6) d) S (12 24) 9 a) Auflösen nach y; Gleichsetzungsverfahren (I) y = 2 x + 5; (II) y = 5 x + 11; S (2 1) b) Auflösen nach y (y); Gleichsetzungsverfahren (I) y = 8 x 9; (II) y = 6 x + 5; S ( 1 1) c) Alle Zahlen sind dividierbar durch 0,2; auflösen nach x; Gleichsetzungsverfahren (I) x = 24 4 y; (II) x = 9 y; S (4 5) d) Gleichung (I) mit 2 durchmultiplizieren; Additionsverfahren (I) 2 x + 6 y = 114; (II) 3 x 6 y = 54; S (12 15) e) Beide Gleichungen enthalten den Faktor 3 x; nach 3 x auflösen; Gleichsetzungsverfahren (I) 3 x = 26 7 y; (II) 3 x = y; S (4 2) f) Beide Gleichungen nach 8 y auflösen; Gleichsetzungsverfahren (I) 8 y = 10 x 44; (II) 8 y = 25 x + 26; S (2 3) g) Additionsverfahren ohne vorherige Umformung; S (2 6) h) Gleichung (II) mit ( 2) durchmultiplizieren; Additionsverfahren (I) 8 x + 3 y = 47; (II) 8 x + 4 y = 12; S (4 5) 10 Die Gleichungssysteme in den Teilaufgaben a), c) und f) ergeben keine Lösungen, da die Geraden jeweils parallel verlaufen. Die Gleichungssysteme in den Teilaufgaben b), d) und e) haben unendlich viele Lösungen, da beide Gleichungen jeweils dieselbe Gerade darstellen. L 79

82 11 a) (I) y = 2 x + 4 (II) y = 1 _ 2 x + 1 Gleichsetzungsverfahren: S (1,2 1,6) b) (I) y = 2,5 (II) y = 5 x + 5 Additionsverfahren: S (0,5 2,5) 12 Für das Lösen von Sachaufgaben mit Gleichungssystemen sucht man zwei Gleichungen, in denen dieselben zwei Variable enthalten sind. a) Variable x: Anzahl Girlie-T-Shirts Variable y: Anzahl normale T-Shirts (I) x + y = 28 (II) x 8,5 + y 7,5 = 223 Gleichung (I) mit ( 7,5) durchmultiplizieren; Additionsverfahren Lösung: x = 13; y = 15 Es wurden 13 Girlie-T-Shirts und 15 normale bestellt. b) Es gibt 9 rote und 19 schwarze Caps. Variable x: Preis für rote Cap Variable y: Preis für schwarze Cap (I) 9 x + 19 y = 79,5; (II) x + y = 5,5 Gleichung (II) mit ( 9) multiplizieren; Additionsverfahren Lösung: x = 2,5; y = 3 Eine rote Baseballcap kostet 2,50, die schwarze Baseballcap kostet Alter von Kevin: x Alter von Dennis: y Altersvergleich heute: x = y + 4 Altersvergleich vor 4 Jahren: (x 4) = 2 (y 4) Gleichung (II) nach x auflösen; Gleichsetzungsverfahren; x = 12; y = 8 Kevin ist 12, Dennis 8 Jahre alt. 15 Anzahl der Müslibrötchen (0,65 ): x Anzahl der Vollkornbrötchen (0,50 ): y Klasse 10 a: (I) x + y = 30 (II) 0,65 x + 0,5 y = 17,10 Es waren 14 Müslibrötchen und 16 Vollkornbrötchen. 10 b: Gleichungen analog zu 10 a 12 Müslibrötchen; 13 Vollkornbrötchen 10 c: 8 Müslibrötchen; 37 Vollkornbrötchen km/h = 15 m/s; 90 km/h = 25 m/s; 108 km/h = 30 m/s Formel zur Streckenberechnung: s = v t y: zurückgelegter Weg s des Gepards in Metern x: Zeit t in Sekunden Gazelle: (I) y = 15 x (400 m ist der zusätzliche Weg des Gepards) Gepard: (II) y = 25 x Gleichsetzungsverfahren a) Nach 40 s und einem Lauf von 1000 m bei gleichbleibender Geschwindigkeit würde der Gepard die Gazelle erreichen. Da er nur 700 m so schnell laufen kann, könnte sie entkommen, sofern sie nicht zu früh ermüdet. b) Nach 30 s und einem Lauf von 900 m bei gleichbleibender Geschwindigkeit würde der Gepard die Gazelle erreichen. Auch hier hat sie die Chance zu entkommen. 14 a) Gesamtkosten: y; Anzahl der Monate: x (I) y = 1000 x (II) y = 800 x b) Nach 15 Monaten sind die Gesamtkosten gleich. Soll der Wagen länger als 15 Monate gefahren werden, lohnt sich die Anschaffung des Dieselfahrzeugs. L 80

83 4 Quadratische Funktionen Einführung Auf dem Weg zum Funktionsbegriff deckt die Parabel einen wichtigen Bereich ab. Die Jugendlichen lernen quadratische Funk tionen als ein wichtiges Beispiel für nicht-lineare Zusammenhänge kennen. Ausgehend von der Normalparabel kommen nur positive und negative, breitere und schmalere Parabeln und die Verschiebung entlang der y-achse zur Anwendung. Die Verschiebung in x-richtung wird nur kurz thematisiert. Die Werte für Scheitelpunkt und Nullstellen werden aus dem Graphen entnommen. Die Berechnung der Nullstellen wird später eingeführt, der Scheitelpunkt wird nicht berechnet, da hierfür die quadratische Ergänzung notwendig wäre. Impulse Beispiele: Wasser, das aus einer nach oben gerichteten Düse spritzt; Flugbahn eines Balles/Wurfspeers/Feuerwerkskörpers; eine flache Stahlfeder wird gebogen; Holzteil eines Bogens; Angelrute etc. Die y-werte kommen immer zweimal vor, und zwar beim gleichen Betrag für + x und x. Die y-werte sind die Quadratzahlen der x-werte. Die y-werte sind (nur hier) immer positiv. P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 x y x y Funktionsgleichung: y = x 2 Das Ablesen der Punkte kann mithilfe der Geonext- Datei auch am Computer erarbeitet werden. Die Datei finden Sie auf wenn Sie den Online Link ins Suchfeld eingeben. Merkkasten Es ist sinnvoll, den Merkkasten (z. B. in einem Regelheft wie in einer Art Formelsammlung) zeichnerisch umzusetzen. Die Schülerinnen und Schüler zeichnen eine Normalparabel und ordnen die Begriffe Scheitel, Normalparabel, Symmetrie zur y-achse und die Funktions gleichung der Parabel zu. Die Lage der Öffnung (oben, unten) und die Weite einer Parabel spielen bei der Untersuchung von Parabeln eine große Rolle und können später an der entsprechenden Stelle in dieser Merkzeich nung nachgetragen werden. Für den Begriff der Nullstellen wäre dann eine verschobene Normalparabel notwendig. Weiter geht s Die Punkte wurden mit Geraden verbunden, dadurch entstehen Ecken. Die Intervalle sind zu groß, Zwischenwerte würden bei der Abrundung helfen. Tipps zur Vermeidung dieser Fehler: Man kann vor allem im Scheitelbereich Zwischenwerte berechnen und so weitere Punkte für die Linienführung des Graphen erhalten. Die Punkte müssen mit einer Kurven-Linie verbunden werden, vor allem im Scheitelpunkt darf kein Eck entstehen. y = x 2 x y Werkzeugkasten Für den Unterricht empfiehlt sich die Verwendung einer Schablone für die Normalparabel. Man kann, statt eine Parabelschablone zu kaufen, diese auch selbst aus fester Pappe herstellen. Dafür benötigt man hohe Sorgfalt und Genauigkeit. Diese Schablone kann später in vielen Aufgaben wieder verwendet werden, z. B. auch bei der zeichnerischen Lösung von gemischt quadratischen Gleichungen. L 81

84 Aufgaben 1 a) Dazu braucht man ein sehr großes Koordinatensystem, da die y-achse von 0 bis 16 gehen sollte. x y b) Hier wird mit Zwischenwerten gearbeitet. So wird das Schaubild genauer. x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 y 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2, Auch bei Zeichnungen auf Millimeterpapier lassen sich Koordinaten nur näherungsweise auf eine Stelle nach dem Komma ablesen. Rechnerische Werte: a) P 1 (1 1); P 2 (0 0); P 3 ( 2 4) b) Q 1 (0,8 0,64); Q 2 (1,7 2,89); Q 3 (2,5 6,25) c) R 1 ( 1,41 2); R 2 ( 2 4); R 3 ( 2,65 7) d) S 1 (± 2,45 6); R 2 (± 1,22 1,5); R 3 (± 1,58 2,5) e) Der abgelesene y-wert für Q 1 : 0,6 oder 0,7 rechnerischer Wert: Q 1 (0,8 0,64). 3 Der Punkt liegt auf der Parabel, wenn die y-koordinate die Quadratzahl der x-koordinate ist. a) A liegt auf der Normalparabel (NP). b) B liegt nicht auf der NP. Die Parabel y = x 2 hat keine negativen y-werte. c) C liegt nicht auf der NP; Wert: (24 576) d) D könnte auf der NP liegen; genauer Wert: (0,8 0,64) e) E liegt auf der NP; f) F liegt nicht auf der NP; Wert: (2,75 7,5625) 4 a) (1) š (C); (2) š (B); (3) š (A); (4) š (D) b) y 3 (3) y = 2 x (2) y = _ x x O (1) y = x 2 2 (4) y = 2 x 2 c) Alle Graphen sind symmetrisch zur y-achse. (1) Die Funktion y = x 2 ist nach unten geöffnet und gespiegelt an der x-achse. (2) Die Funktion y = _ 1 4 x 2 ist nach oben geöffnet und breiter als die Normalparabel. (3) Die Funktion y = 2 x 2 ist nach oben geöffnet und schmaler als die Normalparabel. (4) Die Funktion y = 2 x 2 ist nach unten geöffnet, ge spiegelt an der x-achse und schmaler als die Normalparabel. Information Mit einem Tabellenkalkulationsprogramm lässt sich sehr schnell die Veränderung in der Form von Parabeln zeigen, wenn sich der Faktor a ändert. Die Schülerinnen und Schüler sollen erkennen, dass die Parabel mit der Funktionsgleichung y = a x 2 aus der Spiegelung der Parabel mit der Funktionsgleichung y = a x 2 an der x-achse hervorgeht. Der Faktor a in der quadratischen Gleichung ist vergleichbar mit der Steigung m in der linearen Gleichung. Der Vergleich kann manchen Schülerinnen und Schülern helfen, sich die Richtung und Größe der Parabelöffnung zu merken. Der Vergleich: Ist bei einer linearen Funktion die Steigung m negativ, ist der Graph eine Gerade mit Gefälle. Da wir von links nach rechts lesen und schauen, geht diese Gerade umgangs sprachlich gesagt nach unten. Dasselbe gilt für Parabeln. Wird in der quadratischen Funktions gleichung der Faktor a negativ, öffnet sich die Parabel nach unten. Die Steigung einer linearen Funktion kann man mit der Öffnung (eng/weit) einer Parabel vergleichen. Je größer der Betrag von m, desto steiler ist eine Geradensteigung je größer der Betrag von a, desto enger (steiler) ist die Kurve der Parabel. Je kleiner der Betrag von m, desto flacher ist eine Geradensteigung je kleiner der Betrag von a, desto weiter (flacher) ist die Kurve der Parabel. 3 L 82

85 5 a) Faktor a muss negativ sein. b) Faktor a > 1, Beispiel: y = ± 3 x 2 c) Faktor a < 1, Beispiel: y = ± _ 1 3 x 2 d) Alle Parabeln der Form y = a x 2. e) Faktor a negativ und größer als _ 1 2 Beispiele: y = _ 3 4 x 2 ; y = x 2 ; y = 2 x 2 6 a) y = 2 x 2. Die Parabel ist nach oben geöffnet und schmaler als die NP. x 2,5 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2,5 y 12,5 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 12,5 b) y = 1,5 x 2. Die Parabel ist nach oben geöffnet und schmaler als die NP. x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 y 6 3,4 1,5 0,4 0 0,4 1,5 3,4 6 c) y = x 2. Die Parabel ist nach unten geöffnet. Spiegelung der NP an der x-achse. x y d) y = 1,2 x 2. Die Parabel ist nach unten geöffnet und schmaler als die NP. x y 10,8 4,8 1,2 0 1,2 4,8 10,8 e) y = 1 _ 2 x 2. Die Parabel ist nach oben geöffnet und breiter als die NP. x y 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 7 a) y = 0,25 x 2 b) y = 3 x 2 c) y = 0,5 x 2 d) y = _ 1 3 x 2 Information Es gibt zwei Möglichkeiten: Zuerst die Werte in die Funktions gleichung einsetzen und danach umformen oder umgekehrt. Die Formel kann auch nach a aufgelöst werden a = _ y. x 2 Sind eine Koordinate eines Parabelpunktes und die Funktionsgleichung bekannt, kann die zweite Koordinate des Punktes berechnet werden. So kann auch geprüft werden, ob ein Punkt auf einer Parabel liegt. Die beiden Online Links führen zu vorbereiteten Geonext-Dateien, mit deren Hilfe die Schülerinnen und Schüler die Veränderungen durch den Faktor a beobachten können. 8 a) Setzt man für x den Wert 1 ein, dann gilt y = a. (1) P (1 3); a = 3; y = 3 x 2 (2) P (1 _ 1 4 ); a = _ 1 4 ; y = _ 1 4 x 2 (3) P (1 _ 3 4 ); a = _ 3 4 ; y = _ 3 4 x 2 (4) P (1 1,5); a = 1,5; y = 1,5 x 2 b) Parabeln dieser Form gehen alle durch den Ursprung. Mithilfe dieses Punktes kann die Funktionsgleichung nicht bestimmt werden. 9 a) Anschaulich wird die Lösung mithilfe der Geonext-Datei, die mit der Nummer aufgerufen werden kann. O P 2 ( ) y h = 192 m 250 b = 192 m P 1 (96 192) b) allgemeine Funktionsgleichung: y = a x 2 bekannter Parabelpunkt: P (96 192) a = _ 1 48 = 0,021 Funktionsgleichung des Denkmals: y = _ 1 48 x 2 oder y = 0,021 x 2 Weiteres Angebot: Gateway Arch Beim Gateway Arch in Aufgabe 9 lässt sich noch die Breite des Denkmals auf verschiedenen Höhen berechnen. 1 Wie breit ist das Denkmal auf halber Höhe? Lösung 1 Die halbe Höhe beträgt 96 m. Ein Punkt auf halber Höhe: P (x 96). Einsetzen in die Funktionsgleichung: 96 = _ 1 48 x 2 x 2 = 4608 x 1, 2 = ± 67,88 Das Denkmal ist auf halber Höhe ca. 136 m breit. x L 83

86 5 Quadratische Funktionen y = a x 2 + c In dieser Lerneinheit wird der Graph der quadratischen Funktion in Richtung der y-achse verschoben. Zur bisher bekannten quadratischen Funktion wird ein Zahlenwert, die Kons tante c, addiert bzw. subtrahiert. Man kann dies vergleichen mit der Verschiebung der linearen Funktionen, wo die Konstante b die Verschiebung auf der y-achse angibt. Somit entspricht die Konstante c bei quadratischen Funktionen der Konstanten b bei linearen Funktionen. Impulse x y = x (1) (3) 7,5 2,5 0,5 1,5 0,5 2,5 7,5 Die y-werte verändern sich gegenüber den Werten für y = x 2 um einen Faktor, der addiert bzw. subtrahiert wird. Der Scheitelpunkt der NP liegt bei S (0 0). Der Scheitelpunkt wird auf der y-achse verschoben. Der y-wert des Scheitelpunktes verändert sich dabei genau um den Faktor, um den die Parabel verschoben wird. Der x-wert bleibt null. (1) y = x 2 + 2; (3) y = x 2 1,5 Merkkasten Die Graphen der Parabeln entstehen dadurch, dass die Parabeln der Form y = a x 2 auf der y-achse verschoben werden. Wenn Schülerinnen und Schüler nun Parabeln beschreiben oder zeichnen, sollten sie sich immer zuerst drei Fragen stellen: Die Steigung Ist die Parabel eng oder weit? (Faktor a) Die Öffnung Ist die Parabel nach oben oder unten geöffnet? (Vorzeichen des Faktors a) Die Verschiebung Wie weit ist die Parabel auf der y-achse verschoben? (Summand c) Weiter geht s Die Parabel ist schmaler als die NP. Die Parabel ist nach oben offen. Die Parabel ist um 3 Einheiten nach unten verschoben. x y Die Parabel kann nicht mithilfe der Schablone gezeichnet werden, da sie keine Normalparabel ist. Aufgaben 1 Öffnung schmaler/breiter Öffnung oben/unten Verschiebung auf y Achse a) schmaler oben nicht verschoben b) breiter unten nicht verschoben c) breiter oben 0,25 nach oben d) normal unten 4 nach unten e) schmaler unten 9 nach unten f) schmaler oben 2,5 nach oben 2 Zur besseren Orientierung werden beide Scheitelpunkte angegeben. a) S (0 3) nach oben geöffnet S (0 3) nach unten geöffnet b) S (0 1,5) nach oben geöffnet S (0 1,5) nach unten geöffnet c) S (0 2,8) nach unten geöffnet S (0 2,8) nach oben geöffnet d) S (0 0,5) nach unten geöffnet S (0 0,5) nach oben geöffnet e) S (0 1,6) nach oben geöffnet S (0 1,6) nach unten geöffnet f) S (0 1,6) nach unten geöffnet S (0 1,6) nach oben geöffnet L 84

87 3 a) Normalparabel; y = 2 x 2 ist schmaler als eine NP, nicht verschoben; y = x ist eine NP, um 2 nach oben verschoben. b) Alle drei Parabeln schneiden die y-achse bei S (0 2). y = x NP, um 2 nach oben verschoben; y = 2 x ist schmaler als eine NP; y = _ 1 2 x breiter als eine NP; 4 x a) y 8,5 2,5 0,5 2,5 8,5 18,5 b) y 3 1,5 1 1,5 3 5,5 c) y 3,3 0,3 1,5 0,3 3,3 9,3 d) y 4 0,5 2 0,5 4 11,5 e) y 1 1,75 2 1,75 1 0,25 f) y Information Ob eine Parabel keinen, einen oder zwei Schnittpunkte mit der x-achse hat, hängt von den Konstanten a und c ab. Eine Nullstelle: Keine Verschiebung (c = 0), die Parabel hat genau eine Nullstelle, nämlich S (0 0). Keine Nullstellen: Verschiebung in Richtung der Öffnung (a und c haben dasselbe Vorzeichen), man verschiebt die Parabel weg von der x-achse. Zwei Nullstellen: Verschiebung entgegen der Richtung der Öffnung (a und c haben verschiedene Vor zeichen), man verschiebt die Parabel über die x-achse. Für Schülerinnen und Schüler leichter zu merken: a, c > 0 heißt: a und c sind positive Zahlen; a, c < 0 heißt: a und c sind negative Zahlen. 5 a) a > 0; c < 0 2 Schnittpunkte b) a, c > 0 kein Schnittpunkt c) a, c > 0 kein Schnittpunkt d) a < 0; c > 0 2 Schnittpunkte e) a < 0; c > 0 2 Schnittpunkte f) a, c > 0 kein Schnittpunkt g) a < 0; c > 0 2 Schnittpunkte h) a < 0; c > 0 2 Schnittpunkte 6 Zu dieser Aufgabe gibt es online auf eine vorbereitete Geonext-Datei. Geben Sie dazu den Online Link im Suchfeld ein. Wenn die Schülerinnen und Schüler eine Werte tabelle für x von 4 bis + 4 erstellen, dann können sie leicht erkennen, dass in jeder Zeile die gleichen y-werte stehen, sie sind lediglich waagerecht verschoben. a) x (2) (3) (1) b) (2) y = x 2 ; (3) y = (x 2) 2 ; (1) y = (x + 2) 2 c) Wird eine Normalparabel mit S (0 0) in Richtung der x-achse verschoben, ist ihr y-wert immer null. Der für y = 0 berechnete x-wert gibt die Verschiebung auf der x-achse an. Er hat denselben Betrag wie der Summand b in der Klammer, jedoch das umgekehrte Vorzeichen. d) Die Parabel wurde um + 2 (nach rechts) in Richtung der x-achse und um 1 (nach unten) in Richtung der y-achse verschoben. Information Für die Schülerinnen und Schüler ist meist schwierig zu verstehen, dass S (b c) für b < 0 eine Verschiebung in positiver x-richtung und für b > 0 eine Verschiebung in negativer x-richtung bedeutet. Mögliche Abhilfe: Beim Einsetzen von Werten in die Formel den Wert von b in Klammer setzen und dann die innere Klammer auflösen. Beispiel: S ( 3 4) y = (x ( 3)) y = (x + 3) a) S (3 1) b) S ( 4 2) c) S (2,5 2) d) S ( 5 1,5) 8 a) y = (x 1) 2 1 b) y = (x + 2) 2 + 3,5 c) y = (x + 3) 2 5 d) y = (x 7) L 85

88 Mathematische Reise: Potenzfunktion Für die Umsetzung der in den Bildungsstandards geforderten allgemeinen mathematischen Kompetenzen bietet es sich an, als Werkzeuge ein Tabellenkalkulationsprogramm und eine Dynamische Geometrie-Software (DGS) einzusetzen. Beide Programme bieten reichhaltige Umsetzungsmöglichkeiten für mathematische Zusammenhänge. So lernen die Schülerinnen und Schüler mathematische Darstellungen zu verwenden und mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umzugehen. Die Mathematische Reise zeigt am Beispiel der Potenzfunktionen exemplarisch, welche Lernmöglichkeiten sich mit den elektronischen Medien eröffnen und wie diese Werkzeuge zu einem motivierenden Mathematikunterricht beitragen können. Die Potenzfunktionen sind den Schülerinnen und Schülern bisher nicht bekannt. Unterschiedliche Funktionen haben sie im Verlauf dieses Schuljahres kennengelernt: Lineare und quadratische Funktionen sowie Sinus- und Kosinusfunktion. Auf diesen beiden Seiten werden nun Zusammenhänge, die die Jugendlichen an anderen Funktionen geübt haben, auf für sie neue Funktionen übertragen. So können sie das Beschreiben des Verlaufs der Funktionen und die unterschiedlichen Darstellungsformen (als Graph, als Wertetabelle, als Term und in Worten) üben. Besonderer Wert wird dabei auf Symmetrieeigenschaften der Graphen und den Einsatz elektronischer Medien gelegt. Auf je einer Seite werden mithilfe entsprechender Computerprogramme die Potenzfunktionen y = x n und y = x n analysiert. Aufgaben 1 Mit dem Schieberegler (Rollbalken/Bildlaufleiste) kann der Wert des Exponenten mechanisch verändert werden. Die einzelnen Schritte beschreiben genau, wie ein solcher Schieberegler eingerichtet werden kann. 2 Hier können die Jugendlichen beobachten, wie sich automatisch der Wertebereich in der Wertetabelle und gleichzeitig der Verlauf des Graphen verändern. a) Von A5 bis A13 werden die ganzen Zahlen des Intervalls 4 x 4 eingegeben. In die Zelle B5 gibt man die Formel =Potenz(A5;$B$2) ein. Zum Kopieren stellt man den Cursor auf das kleine Quadrat in der unteren rechten Zellenecke und zieht den Rahmen mit gedrückter linker Maustaste nach unten. Wichtig ist, dass die mit dem Exponenten belegte Zelle (hier B2) bei der Übernahme in die Formel mit der F4-Taste belegt wird, da es sich um einen absoluten Bezug handelt. b) Mit dem Schieberegler können die Jugendlichen den Verlauf der Funktionen y = x n für n = 2 bis 8 beobachten. c) Mit der Beobachtungs- und Beschreibungsauf gabe für den Graphen, der hier als Forschungsinstrument dient, wird der Blick darauf gelenkt, dass alle Potenzfunktionen in zwei Gruppen eingeteilt werden können. Die Graphen sehen jeweils ähnlich aus für die geraden Exponenten (n = 2, 4, 6, 8) und für die ungeraden (n = 3, 5, 7). 3 a) und b) Jede Funktion y = x n ist achsensymmetrisch zur y-achse für n gerade, positiv und ganzzahlig. Der Scheitelpunkt liegt im Ursprung. Jede Funktion y = x n ist punktsymmetrisch zum Ursprung für n ungerade, positiv und ganzzahlig. c) A (0 0); B(1 1) d) y = x eine Gerade im I. und III. Quadranten. y = 1 ist eine zur x-achse parallele Gerade. Beide verlaufen durch den Punkt (1 1). L 86

89 4 Beim Einsatz der Dynamischen Geometrie-Software verschiebt sich der Fokus vom Zeichnen der Potenzfunktionen von Hand und vom Zeichnen der Funktionen mithilfe der Wertetabelle bei der Tabellenkalkulation hin zum Erstellen der Funktionen und zum Entdecken ihrer Eigenschaften. Die Schülerinnen und Schüler sind am Computer handelnd aktiv und arbeiten ihrer individuellen Leistungsfähigkeit entsprechend weitgehendst selbstständig. Durch Partnerarbeit am Computer ist kooperatives Lernen möglich. Gegenüber dem traditionellen Mathematikunterricht erhält die Präsentation der Ergebnisse und die Interpretation einen höheren Stellenwert. Präsentationsmöglichkeiten ergeben sich mithilfe eines Beamers oder eines Overheadprojektors nach dem Ausdrucken der Graphen auf Projektionsfolie. Die Beschreibung erfolgt anhand der Dynamischen Geometrie-Software GEONEXT (kostenlos über das Inter net zu beziehen). In ähnlicher Form ist die Aufgabe aber auch mit anderer DGS zu lösen. a) Auf der Zeichenfläche sollten Karogitter, Einrasten und Koordinatensystem angeklickt sein. Bei der Eingabe der Funktion ist darauf zu achten, dass der negative Exponent mit Klammern eingegeben wird. b) Diese Aufgabe kann auch anhand der Graphen in Aufgabe 5 gelöst werden. Der Verlauf der Graphen der Potenzfunktionen mit geradem Exponenten y = x 2 ; y = x 4 ; y = x 6 ; y = x 8 und der Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten y = x 3 ; y = x 5 ; y = x 7 zeigt jeweils Gemeinsamkeiten: gerade Exponenten: Die Graphen liegen oberhalb der x-achse, sind achsensymmetrisch zur y-achse und verlaufen durch die Punkte (1 1) und ( 1 1). ungerade Exponenten: Die Graphen liegen im I. und III. Quadranten, sind punktsymmetrisch zum Ursprung und verlaufen durch die Punkte (1 1) und ( 1 1). Die Graphen nähern sich den Achsen an. 5 a) In Abb. (1) sind nur die Graphen der Funktionen mit ungeraden, negativen und ganzzahligen Exponenten und in Abb. (2) nur die Graphen der Funktionen mit geraden, negativen und ganzzahligen Exponenten dargestellt. b) (1) Die Graphen der Funktionen mit ungeraden, negativen, ganzzahligen Exponenten sind Hyperbeln, die punktsymmetrisch zum Nullpunkt verlaufen. (2) Die Graphen der Funktionen mit geraden, negativen, ganzzahligen Exponenten sind Hyperbeln, die achsensymmetrisch zur y-achse verlaufen. 6 a) Die y-werte für die Potenzfunktionen mit ungeraden, negativen und ganzzahligen Exponenten liegen in R \ {0}. Die Äste liegen im I. und im III. Quadranten. Sie nähern sich immer mehr den Koordinatenachsen, ohne sie ganz zu erreichen. Man nennt die Koordinatenachsen Asymptoten der Hyperbel. b) Die y-werte (Wertemenge) der Potenzfunktionen mit geraden, negativen und ganzzahligen Exponenten sind positiv. Sie liegen alle im Bereich der reellen positiven Zahlen. W = R + 7 a) Für x = 0 sind die Funktionen nicht definiert. x 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 y = x 3 0,3 1 8 n. d ,3 0,125 y = x 2 0, n. d ,44 0,25 b) Für den Wert x = 0 gibt es keinen y-wert, denn die Division durch 0 ist nicht definiert. c) Die Definitionsmenge der Funktionen sind alle reellen Zahlen außer der 0. D = R \ {0} d) Max hat Recht, bei größer werdenden x-werten werden die y-werte zwar immer kleiner, sie werden aber niemals 0. 8 (A1) richtig; (A2) gilt nur für positive x-werte; (A3) richtig; (A4) falsch, die Funktionen sind streng monoton fallend; (A5) richtig; (A6) falsch, die Funktionen sind streng monoton fallend. L 87

90 6 Quadratische Gleichungen In den nächsten beiden Lerneinheiten soll das Lösen von quadratischen Gleichungen schrittweise erlernt werden. Die Lerneinheit Quadratische Gleichungen beginnt mit den rein-quadratischen Gleichungen, die durch Wurzelziehen oder zeichnerisch zu lösen sind. Die Lerneinheit Die p-q-formel führt die Schülerinnen und Schüler dann in die gemischt-quadratischen Gleichungen und den Lösungsweg mithilfe der Formel ein. Beide Lerneinheiten legen besonderen Wert auf das Verständnis und die Anzahl der Lösungen. Die Schülerinnen und Schüler haben schon bei linearen Gleichungssystemen mit zwei Lösungen x und y gearbeitet. Jetzt lernen sie, dass es auch Gleichungen mit einer Variablen, aber zwei Lösungen gibt. Einstieg Quizsendungen gehören zu den beliebtesten Fernsehsendungen. Manchmal sind dabei auch mathematische Denkaufgaben gefragt. Spielfelder der verschiedenen Sportarten sind symmetrisch aufgebaut und aus regelmäßigen, geometrischen Flächen zusammengesetzt. Die Jugendlichen können auch selbst ihre Erfahrungen aus dem Sportverein oder dem Sport unterricht mit Spielfeldern einbringen. Zum Beispiel ist das Spielfeld im Badminton 13,40 m lang und 6,10 m breit. Impulse Individuelle Antworten. Manche Jugendliche wissen vielleicht sogar, wie groß das Feld tatsächlich ist. Ein Handballfeld ist 20 m 40 m groß. Die Jugendlichen müssen sich zuerst entscheiden, wie sie die Variablen benennen. Zum Beispiel die Breite in Metern mit x, dann ist die Länge 2 x. x 2 x = 800 m 2, da es sich um eine rechteckige Fläche handelt. 2 x 2 = 800 m 2 ; x 1 = 20 (und x 2 = 20, das ist aber keine reale Lösung, weil es keine negativen Längen gibt.) Probe: 20 m 40 m = 800 m 2 Der Vergleich zur linearen Gleichung zeigt, dass anstelle des x ein x 2 in der quadratischen Gleichung auftaucht. x kommt in der Gleichung nicht linear, sondern quadratisch vor. Außerdem hat die lineare Gleichung nur eine Lösung (x = 400), während die quadratische Gleichung zwei Lösungen haben kann. Merkkasten Bei rein-quadratischen Gleichungen gibt es keinen Term mit einem Vielfachen von x. Der letzte Schritt zum Lösen einer rein-quadratischen Gleichung besteht im Wurzel ziehen. Hier sollten die Schülerinnen und Schüler daran erinnert werden, dass sie aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen können und dass bei jeder Zahl > 0 eine positive und eine negative Lösung existiert, die bei Sachaufgaben im Hinblick auf die Realität überprüft werden müssen. Weiter geht s Es gibt drei Möglichkeiten für die Lösung bei quadratischen Gleichungen: Zwei Lösungen genau dann, wenn unter der Wurzel eine positive Zahl steht. Eine Lösung, wenn unter der Wurzel eine 0 steht. Keine Lösung, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht. Aufgaben 1 a) x 1 = 6, x 2 = 6 b) x 1 = 8, x 2 = 8 c) x 1 = 13, x 2 = 13 d) x 1 = _ 1 3, x 2 = _ 1 3 e) x 1 = 4, x 2 = 4 f) x 1 = 15, x 2 = 15 g) x 1 = 2,5, x 2 = 2,5 h) y 1 = _ 1 3, y 2 = _ 1 3 i) z 1 = 0,2, z 2 = 0,2 j) a 1 = 11,5, a 2 = 11,5 k) keine Lösung l) v 1 = 0,13, v 2 = 0,13 m) keine Lösung n) x = 0 2 a) x 1 = 2, x 2 = 2 b) x 1 = 7, x 2 = 7 c) x 1 = 2,5, x 2 = 2,5 d) x 1 = 3,8, x 2 = 3,8 e) x 1 = 4, x 2 = 4 f) v 1 = _ 1 3, v 2 = _ 1 3 g) eine Lösung: x = 0 h) keine Lösung i) x 1 = 0,2, x 2 = 0,2 j) keine Lösung k) y 1 = 9, y 2 = 9 l) eine Lösung: x = 0 L 88

91 3 a) 7 x = 100 b) _ 1 3 x 2 = 60 7 x 2 = 60 x 2 = 180 x 1 = 2,93 und x 2 = 2,93 x Å = 13,42 und x 2 = 13,42 c) 1,5 x 2 = 4 d) 3 x 2 + 7,5 = 7,5 x 2 = _ x 2 = 0 x 1 = 1,63 und x 2 = 1,63 x = 0 e) 3 x 2 4 = 10,9 f) 12,2 = 5 x 2 + 2,2 x 2 = 2,3 2,88 = x 2 x 1 = 1,52 und x 2 = 1,52 keine Lösung 4 Bei den Teilaufgaben a) und b) gibt es zwei Lösungswege; entweder die Jugendlichen multiplizieren die Klammern aus (binomische Formeln) oder sie wenden den Satz vom Nullprodukt an. Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt gleich 0 ist, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist. a) x 2 4 = 0 x 2 = 4 x 1 = 2 und x 2 = 2 oder man löst: x + 2 = 0 und x 2 = 0, was zum gleichen Ergebnis führt. b) x 2 49 = 0 x 2 = 49 x 1 = 7 und x 2 = 7 c) y y + 16 = 8 y + 32 y 2 = 16 y 1 = 4 und y 2 = 4 d) 9 y 2 6 y + 1 = 65 6 y 9 y 2 = 66 y 2 = _ 66 9 (negative Zahl, Wurzelziehen nicht möglich, keine Lösung). 5 a) Die Gleichung x 2 = 10 hat zwei Lösungen. b) Die Gleichung x 2 = 81 hat keine Lösungen. c) Die Gleichung x 2 = 0 hat eine Lösung. d) Die Gleichung x 2 = 1,44 hat zwei Lösungen. 6 a) x = 3 und x = 3 x 1 = 1 x 2 = 5 b) x 1 = 7 und x 2 = 1 c) x 1 = 2,9 und x 2 = 5,1 d) x 1 = 3 und x 2 = 0 e) x 1 = 3 f) x 1 = 3 _ 2 Information Anhand der Schnittpunkte der Parabel mit der x-achse wird hier auch anschaulich, dass eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen hat. 7 a) Individuelle Lösung. Das kann mündlich oder schriftlich geschehen. Die Jugendlichen können auch anhand eines selbst gewählten Beispiels den Lösungs weg in der Klasse präsentieren. b) Es ist eine breiter geöffnete Parabel, die um zwei Einheiten nach unten verschoben wurde. x y 2,5 0 1,5 2 1,5 0 2,5 x 1 = 2 und x 2 = 2 8 x 1 = 3, x 2 = 3 Bei rein-quadratischen Gleichungen ist der Rechenweg oft schneller ausgeführt. Die Zeichnung eignet sich dann, wenn eine Normalparabel mithilfe der Schablone gezeichnet wird. Sonst muss erst eine Wertetabelle erstellt und gezeichnet werden. Der Rechen weg ist in der Regel auch genauer. 9 a) x 1 = 3; x 2 = 3 S (0 9) b) x 1 = 4; x 2 = 4 S (0 16) c) x 1 = 2,5; x 2 = 2,5 S (0 6,4) d) x 1 = 1,4; x 2 = 1,4 S (0 2) e) x 1 = 3,2; x 2 = 3,2 S (0 10) f) x 1 = 1,4; x 2 = 1,4 S (0 1,96) 10 a) (1) blau x = 0, keine Lösung (2) schwarz x 2 1 = 0, zwei Lösungen: x 1 = 1, x 2 = 1 (3) rot x 2 2 = 0, zwei Lösungen: x 1 = 1,4, x 2 = 1,4 b) Entscheidend ist immer die Lage im Verhältnis zur x-achse. Bei Parabeln, die nach oben geöffnet sind, gibt es drei Möglichkeiten: Die Parabel liegt oberhalb der x-achse. Es gibt keine Nullstellen. Der Scheitelpunkt der Parabel berührt die x-achse. Es gibt genau eine Nullstelle. Die Parabel liegt unterhalb der x-achse. Es gibt zwei Nullstellen. Bei nach unten geöffneten Parabeln sind die Möglichkeiten entsprechend. L 89

92 7 Die p-q-formel Gemischt-quadratische Gleichungen werden meistens mithilfe der p-q-formel gelöst. Liegt die Gleichung in der Form a x 2 + b x + c = 0 vor, kann sie auch mit der Formel x 1, 2 = b ± b 2 4 a c 2 a gelöst werden. In dieser Lerneinheit wird die p-q-formel eingeführt und angewendet. Mithilfe des Begriffs der Diskriminante kann die Anzahl der Lösungen einer Gleichung ermittelt werden. Die zeichnerische Lösung von gemischt-quadratischen Gleichungen wird gezeigt. Das Lösen mithilfe der Formel erfolgt nach einem vorgefertigten Schema, nach dem eine Gleichung in der entsprechenden Form gelöst werden kann. Einstieg Ein grünes Klassenzimmer kann ein Treffpunkt im Freien sein. Es braucht nicht viel Ausstattung, ein Seil und Wolldecken reichen schon aus. Unterrichtsstunden können so zum Beispiel in den Schulgarten verlegt werden, der mit vielfältigen Lebensräumen ein ideales Gelände für einen abwechslungsreichen und handlungsorientierten Unterricht auf der grünen Wiese bietet. Im Internet werden eine ganze Reihe von grünen Klassenzimmern präsentiert. Geben sie in eine Internetsuchmaschine den Begriff grünes Klassenzimmer ein. Impulse Die Situation muss nicht im Freien ausprobiert werden. Mit einem Stück Schnur und Papier kann modellhaft auch im Klassenzimmer gearbeitet werden. Hauswand x Klassenzimmer x A = 48 m 2 ; x (20 2 x) = x 2 x 2 = x x 2 = 24 x 2 = 10 x 24 Es gibt zwei Möglichkeiten: Die Seitenlängen sind entweder x = 6 m (zweite Seite 8 m) oder x = 4 m (zweite Seite 12 m). Die Sitzfläche ist für x = 5 m am größten (2. Seite 10 m; Flächeninhalt 50 m 2 ). Am besten stellen die Jugendlichen eine Wertetabelle auf mit den verschiedenen Möglichkeiten. Hier wäre auch eine Möglichkeit, auf das Problem der Ränder einzugehen, die kein Rechteck bilden können, aber rein mathematisch mögliche Lösungen sind. Merkkasten Bevor in die p-q-formel eingesetzt werden kann, muss die Gleichung auf die Normalform gebracht werden. Es darf also vor dem x 2 nur der Faktor 1 stehen. Hinweisen sollte man die Jugendlichen vor allem auch auf die Vorzeichen, die in der Formel die Rechenzeichen verändern können. Weiter geht s (1) (B); (2) (C); (3) (D); (4) (A); (5) (E) Die Überschrift könnte lauten Anwendung der p-q-formel. 2 x x 130 = 0 x x 65 = 0 p = 8; q = 65 (Auf Vorzeichen achten!) x 1, 2 = _ 8 2 ± 2 _ x 1, 2 = 4 ± 81 x 1 = 4 + 9; x 2 = 4 9 x 1 = 5; x 2 = x Der Umfang eines Rechtecks ist u = 2 a + 2 b. Da für die Hauswandseite kein Seil gebraucht wird, ist der Umfang in diesem Fall nur u = 2 a + b. Das Seil ist 20 m lang. Daraus ergibt sich der Term für die andere Seite: 20 2 x. L 90

93 Aufgaben 1 Hier sollten die Schülerinnen und Schüler vor allem auf die Vorzeichen achten. a) p = 5 und q = 6 b) p = 8 und q = 7 c) p = 2 und q = 8 d) p = 5,2 und q = 1 e) p = 1 und q = 30 f) p = 9 und q = 20 g) p = 3,5 und q = 0 h) p = 0 und q = 15 2 a) x 1, 2 = _ 7 2 ± _ ; x 1 = 3; x 2 = 4 b) x 1, 2 = 4 ± 16 7 ; x 1 = 1; x 2 = 7 c) x 1, 2 = 11 ± ; x 1 = 18; x 2 = 4 d) x 1, 2 = 15 ± ; x 1 = 25; x 2 = 5 e) x 1, 2 = 1 ± ; x 1 = 1; x 2 = 3 f) x 1, 2 = _ 7 2 ± _ ; x 1 = 5; x 2 = 12 g) x 1, 2 = _ 3 2 ± _ ; x 1 = 8; x 2 = 5 h) x 1, 2 = _ 5 2 ± _ ; x 1 = 7; x 2 = 2 3 Normalform p p _ 2 2 p _ q a) x 2 5 x + 6 = _ 2 _ b) x x 3 = c) x x + 16 = d) x x 2 = _ 2 1 _ 4 2 e) x 2 3 x 4 = _ 2 9 _ 4 4 f) x 2 4 x + 3 = g) x _ 15 x = 0 18 _ 15 3 _ 5 9 _ 25 0 h) x 2 + _ 6 5 x _ 32 5 = 0 _ _ 5 9 _ 4 a) x x 21 = 0; x 1 = 3; x 2 = 7 b) x 2 1 x 2 = 0; x 1 = 2; x 2 = 1 c) x 2 19,8 x + 15,2 = 0; x 1 = 19; x 2 = 0,8 d) x 2 5 _ 3 x + 2 _ 3 = 0; x 1 = 1; x 2 = 0,67 e) x 2 12 x + 32 = 0; x 1 = 8; x 2 = 4 5 V = r 2 π h; O = 2 π r π r h 1570 cm 2 = 2 π r π r 15 cm r 1 = 10 cm; (r 2 = 25 cm ) Die zweite Lösung ist real nicht möglich. Die Dose hat einen Radius von 10 cm. V = 4712 cm 3 = 4,7 ø Die Dose hat ein Volumen von rund 4,7 ø. _ a) (1) x 1, 2 = 2 ± 4 8 = 2 ± 4 Es gibt keine Lösung, weil der Radikand negativ ist. (2) x 1, 2 = 2 ± 4 0 x 1 = 0; x 2 = 4 Ja, es geht einfacher x (x + 4) = 0 x 1 = 0 und x = 0, also x 2 = 4 (3) x 2 16 = 0; x 1 = 4; x 2 = 4 Es geht einfacher, da es eine rein-quadratische Gleichung ist. 4 x 2 64 = 0 x 2 = 16 b) Ja, Max hat Recht. Lisa hat durch x geteilt. Da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf, ist dies falsch. Wenn man die Gleichung mit der p-q-formel berechnet, erhält man x 1 = 15; x 2 = 0. 7 a) 7 x 2 = 63; x 1 = 3; x 2 = 3 b) x 2 49 = 25 x x 2 = 72; x 1 = 6; x 2 = 6 c) x (x 7) = 0; x 1 = 0; x 2 = 7 d) x 1, 2 = 5 ± ; x 1 = 6; x 2 = 4 e) x 1, 2 = 2 ± 4 3 ; x 1 = 3; x 2 = 1 f) 25 x 2 20 x + 4 = 16 x 2 24 x x x 2 9 = 0; x 1 = 1; x 2 = 1 Information In diesem Kasten wird die p-q-formel mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet. 8 a) 1. Schritt: quadratische Ergänzung x x = 0 2. Schritt: 1. binomische Formel (x + 7) = 0 3. Schritt: Umformen (x + 7) 2 = Schritt: Wurzelziehen (x+ 7) 2 = ± x + 7 = ± Schritt: Umformen x = 7 ± Schritt: Lösen: x 1 = 6; x 2 = 8 b) Die quadratische Ergänzung ist die Herleitung der p-q-formel. Außerdem wird sie bei der Berechnung des Scheitelpunkts von Parabeln benutzt. c) Wenn man die quadratische Ergänzung rückwärts durchführt, also sich zuerst eine Lösung überlegt und dann die sechs Schritte des Kastens von unten nach oben durchführt, kann man damit leicht entsprechende Gleichungen erzeugen. L 91

94 9 a) x 1 = 4 und x 2 = 6 b) x 1 = 4 und x 2 = 5 c) x 1 = 1 und x 2 = 3 d) x 1 = 5 und x 2 = 12 e) x 1 = 8 und x 2 = 5 f) x 1 = 7 und x 2 = 2 g) x 1 = 18 und x 2 = 4 h) x 1 = 5 und x 2 = 0,2 10 a) x 2 + 0,8 x 3,45 = 0 x 1 = 1,5 und x 2 = 2,3 b) x 2 21,1 x + 80,5 = 0 x 1 = 5 und x 2 = 16,1 c) x 2 + 2,2 x 8,4 = 0 x 1 = 4,2 und x 2 = 2 d) x 2 8,1 x 55 = 0 x 1 = 12,5 und x 2 = 4,4 e) x ,3 x 458,7 = 0 x 1 = 27,8 und x 2 = 16,5 f) x 2 3 x + 2 = 0 x 1 = 2 und x 2 = 1 g) x 2 + 0,2 x 1,68 = 0 x 1 = 1,4 und x 2 = 1,2 11 Zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind x und x + 1. x (x + 1) = 7656 x 2 + x 7656 = 0 x 1 = 87; x 2 = 88 Es gibt zwei Lösungen, da sowohl das Produkt von 87 und 88 ist 7656 als auch das Produkt von 88 und 87. Manche Zahlenrätsel schränken den Zahlbereich auf die natürlichen Zahlen ein. Dann gibt es nur eine Lösung. In diesem Zusammenhang können die Zahlenbereiche N, Z und Q wiederholt werden. 12 Die Gleichung mit x als Variable für die Affenschar lautet: 2 _ 1 8 x = x x 2 64 x x 1 = 48 und x 2 = 16 Die Affenschar kann also entweder aus 48 Affen oder aus 16 Affen bestehen. 13 a) x 1 = 7,62; x 2 = 2,62 b) x 1 = 2,71; x 2 = 1,29 c) x 1 = 8,39; x 2 = 2,39 d) x 1 = 11,05; x 2 = 9,05 e) x 1 = 2,81; x 2 = 2,31 f) x 1 = 7,32; x 2 = 0,57 g) x 1 = 0,43; x 2 = 0,69 14 a) Gleichung nicht auf Normalform gebracht. x 1 = 3,52; x 2 = 1,52 b) Vorzeichen von q missachtet, es gibt keine Lösung, da x 1, 2 = 2 ± 4 5 = 2 ± 1 ist. c) Vorzeichen von p missachtet. x 1 = + 4 d) p nicht durch 2 geteilt. x 1, 2 = _ 5 2 ± _ _ 44 4 x 1 = 6,65; x 2 = 1,65 15 a) (1) x 1, 2 = 5 ± x 1 = 3 und x 2 = 7 (2) x 1, 2 = 4 ± x 1 = 4 (3) x 1, 2 = 4 ± x 1, 2 = 4 ± 2 Es gibt keine Lösung. b) Gleichungen, die zu einem negativen Term unter der Wurzel der p-q-formel führen, haben keine Lösung, weil aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann. Das zeigt auch der Taschenrechner an. Versucht man mit ihm die Wurzel aus 2 zu ziehen, zeigt er ERROR. Die Jugendlichen sollen mit dieser Aufgabe sensibilisiert werden für den Term unter der Wurzel. Information Den Begriff Radikand als Term unter einer Wurzel kennen die Jugendlichen schon aus Kapitel 2 Potenzen und Wachstum (S. 34). Die Diskriminante ist nun ein bestimmter Radikand, der in der p-q-formel unter der Wurzel steht. Die Diskriminante ist in der p-q- Formel der Term, der über die Anzahl der Lösungen entscheidet. Ist sie positiv, gibt es zwei Lösungen. Ist sie gleich null, gibt es genau eine Lösung. Wenn sie negativ ist, gibt es keine Lösung. 16 Hier geht es darum, dass die Jugendlichen den Sachverhalt mit eigenen Worten beschreiben. a) Zwei Lösungen, da das Wurzelziehen als Umkehrung des Quadrierens eine positive und eine negative Lösung hat. b) Genau eine Lösung, da in diesem Fall ein eindeutiges Wurzelziehen möglich ist. c) Keine Lösung, da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann. L 92

95 17 a) Da > 0 ist, hat die Gleichung zwei Lösungen. b) Da < 0 ist, hat die Gleichung keine Lösung. c) Da = 0 ist, hat die Gleichung eine Lösung. d) Da = 0 ist, hat die Gleichung eine Lösung. e) Da > 0 ist, hat die Gleichung zwei Lösungen. f) Da 2 _ ,5 < 0 ist, hat die Gleichung keine Lösung. g) Da = 0 ist, hat die Gleichung eine Lösung. h) Da (37,5) < 0 ist, hat die Gleichung keine Lösung. i) Da 3 > 0 ist, hat die Gleichung zwei Lösungen. j) Da 2 _ > 0 ist, hat die Gleichung zwei Lösungen. 18 a) x 2 0,5 x 3 = 0 x 1 = 2 und x 2 = 1,50 b) x x + 1 = 0 x 1 = 1 c) x 2 5 x + 7 = 0 Es gibt keine Lösung. d) y 2 2,8 y + 1,96 = 0 x 1 = 1,4 e) x 2 + _ 14 5 x 3 = 0 x 1 = 0,82 und x 2 = 3,62 f) x 2 7 x + 13 = 0 Es gibt keine Lösung. 19 a) O y y = x + 2 y = x 2 x Es gibt zwei Schnittpunkte. b) c) y = x O y y y = 3 x y = x + 1 y = x 2 O x x Es gibt keinen Schnittpunkt. Es gibt zwei Schnittpunkte. Information Bei der zeichnerischen Lösung ist die Parabelschablone sehr hilfreich, da immer eine Normalparabel gezeichnet werden muss. Hier wird noch einmal das Zeichnen von Parabeln und ihre Verschiebung in y-richtung wiederholt. 20 Hier genügt ein Blick auf die Diskriminante. a) D = 1 q Für q = 1 gibt es genau eine Lösung, da D = 0 ist. b) D = 2 p _ Für p = 6 gibt es eine Lösung; für p > 6 gibt es zwei Lösungen; für p < 6 gibt es keine Lösung. c) Individuelle Lösung. 21 a) x= 3 b) x = _ 2 3 c) x = _ 3 2 d) x 1 = 13,5; x 2 = 4,5 e) x 1 = 17; x 2 = 1 f) keine Lösung g) z 1 = 16; z 2 = 2,25 h) v 1 = 15; v 2 = 3 i) x 1 = 1; x 2 = 1,5 22 x (x + 1) = 3422 x 2 + x 3422 = 0 x 1 = 58; x 2 = 59 Die Zahlen lauten entweder 58, 59 oder 59, 58. L 93

96 23 a) y = x 2 und y = x + 2; x 1 = 1; x 2 = 2 b) y = x 2 und y = x + 6; x 1 = 3; x 2 = 2 c) y = x 2 und y = x + 6; x 1 = 3; x 2 = 2 d) y = x 2 und y = 0,5 x + 1,5; x 1 = 1; x 2 = 1,5 e) y = x 2 und y = 1,5 x + 1; x 1 = 0,5; x 2 = 2 f) y = x 2 und y = 0,5 x; x 1 = 0; x 2 = 0,5 24 Kopiervorlagen mit entsprechenden Koordinatensystemen und eine Schablone einer Normalparabel erleichtern hier die zeichnerische Lösung. a) y = x 2 und y = 2 x + 3; x 1 = 1; x 2 = 3 b) y = x 2 und y = 2,5 x + 1,5; x 1 = 3; x 2 = 0,5 c) y = x 2 und y = _ 1 2 x + _ 1 2 ; x 1 = _ 1 2 ; x 2 = 1 d) y = x 2 und y = 1,5 x + 4,5; x 1 = 3; x 2 = 1,5 e) y = x 2 und y = 3,5 x; x 1 = 0; x 2 = 3,5 f) y = x 2 und y = 2,5 x + 6; x 1 = 4; x 2 = 1,5 g) y = x 2 und y = 0,3 x + 0,4; x 1 = 0,8; x 2 = 0,5 h) y = x 2 und y = 2 x; x 1 = 0; x 2 = 2 25 Wenn sich Parabel und Gerade nicht schneiden, gibt es keine Lösung. a) y = x 2 und y = 0,5 x 2; keine Lösung b) y = x 2 und y = 2 x 1; x = 1 c) y = x 2 und y = _ 1 3 x 2; keine Lösung d) y = x 2 und y = 4 x 4; x = 2 e) y = x 2 und y = 3 x 4; keine Lösung f) y = x 2 und y = 6 x 9; x = 3 g) y = x 2 und y = 3 x 2; x 1 = 1; x 2 = 2 h) y = x 2 und y = x 2; keine Lösung 26 Anzahl der Lösungen der Gleichungen Die Gerade schneidet die Parabel. 2 Die Gerade berührt die Parabel. 1 Die Gerade verläuft außerhalb der Parabel Gibt es zwei Lösungen, könnte auch der Satz von Vieta angewendet werden, der lautet: Liegt eine quadratische Gleichung in der Form x 2 + b x + c = 0 vor, so gilt folgender Zusammenhang: x 1 + x 2 = b und x 1 x 2 = c a) x 2 = 9 b) Individuelle Lösungen. Jede Gleichung, deren Diskriminante negativ ist, kann hier Lösung sein, z. B. x 2 = x 4 c) Hat die gesuchte Gleichung nur eine Lösung, so ist die Diskriminante gleich null. Daraus ergibt sich folgender Zusammenhang: x 1 = p _ 2 ; p = 2 x und 0 = 2 p _ q; q = 2 p _ x 2 = 8 x 16 d) 0 = x 2 16 e) 0 = x 2 + 1,5 x f) Das ist nicht lösbar. Eine Gerade kann nicht gleichzeitig durch drei Punkte gehen, die nicht auf einer Linie liegen. 28 a) (1) x 2 = 2 x; x 1 = 0, x 2 = 2 (2) x 2 = 4; x 1 = 2, x 2 = 2 b) (3) y = x 2 und y = 2 x 1 2 x 1 = x 2 ; x 1 = 1 (4) y = 0,5 und y = x 2 0,5 = x 2 Es gibt keinen Schnittpunkt. 29 a) y = x 2 ; y = 1,5 x 3; keine Lösung b) y = x 2 ; y = 1,5 x + 2 c) y = x 2 ; y = 2 x 2,5, keine Lösung d) y = x 2 ; y = 4 x + 5 e) y = x 2 ; y = 4 x 5, keine Lösung f) y = x 2 ; y = 3 x 3, keine Lösung g) y = x 2 ; y = 4, keine Lösung h) y = x 2 ; y = 2, keine Lösung i) y = x 2 ; y = 1 j) y = x 2 ; y = 9 30 a) x 2 = 2 x + 3; x 1 = 1; x 2 = 3 b) x 2 = x + 2; x 1 = 1; x 2 = 2 c) x 2 = _ 1 2 x + _ 1 2 ; x 1 = 1; x 2 = _ 1 2 d) x 2 = 2 x + 8; x 1 = 2; x 2 = 4 e) x 2 = 2 x + 6; x 1 = 1,65; x 2 = 3,65 f) x 2 = _ 2 3 x + 1; x 1 = 2; x 2 = 0,5 Die rechnerische Lösung ist deutlich genauer. L 94

97 Üben Wiederholen Aufgaben 1 a) 69 a 15 b b) 70 v + 12 w 200 c) 30 a 3 c d) 4 b e) 18 b 2 c + 27 b c f) 4 x 2 3 x + 5 y z 2 a) x x y + y 2 b) a 2 2 a d + d 2 c) n 2 m 2 d) 9 x x + 36 e) 16 c 2 40 c d + 25 d 2 f) 5 x 2 4 x + 25 g) 100 x 2 64 y 2 h) 0,04 a 2 0,2 a b + 0,25 b 2 3 a) x x + 35 b) 2 a 2 5 a 7 c) 6 b 2 5 b w 9 b c + 7,5 c w d) 3 x x 46 4 a) x = 25 b) x = 0,25 c) x = 5 d) x = 64 5 a) m = 2; b = 1 b) m = _ 3 2 ; b = 2 c) m = _ 3 4 ; b = 3 d) m = 1,5; b = 1 e) m = _ 1 4 ; b = 2 f) m = _ 3 4 ; b = O y a d b e 6 a) b = 3; m = _ 3 4 ; y = _ 3 4 x 3 b) b = 1; m = 0,4; y = 0,4 x + 1 c) b = 2; m = 1; y = x + 2 d) b = 8; m = 1; y = x + 8 e) b = 7; m = _ 1 3 ; y = _ 1 3 x + 7 f) b = 1; m = _ 2 5 ; y = 0,4 x 1 f c 7 a) Die Punkte A und D liegen auf den Geraden, die Punkte B und C liegen nicht auf den Geraden. b) Die Punkte E, F und H liegen auf den Parabeln, der Punkt G liegt nicht auf der Parabel. 8 a) Beide Verfahren: x = 7; y = 10 b) Gleichsetzungsverfahren, auflösen nach y: x = 1; y = 4 c) Additionsverfahren, Gleichung (I) ( 2): x = 3; y = 2 x d) Additionsverfahren, Gleichung (I) ( 2): x = 20; y = 16 e) Gleichsetzungsverfahren, auflösen nach 16 x: x = _ 1 2 ; y = 4 f) Additionsverfahren, Gleichung (II) ( 2): x = 3; y = 1 g) Additionsverfahren, Gleichung (I) 2: x = 2; y = 1 h) Additionsverfahren, Gleichung (I) 3: x = 5; y = 1 9 a) x ist die Zeit in Minuten, y der Preis in Euro. Scout y = 0,30 x World Talk y = 0,10 x + 25 Phone: für x < 21 min gilt y = 0 Für x > 21 min gilt y = 0,70 x Wenn man zwei bekannte Punkte in die Geradengleichung einsetzt, erhält man die Funktionsgleichung y = 0,7 x 14,7. b) Hier ist es wichtig, große Zeiträume, zum Beispiel drei Stunden, bei der x-achse zu wählen. c) Wenn Hilal weniger als 20 Min. telefoniert, dann ist auf jeden Fall der Phone-Tarif am güns tigsten. Telefoniert sie mehr als zwei Stunden, ist der World Talk am günstigsten. d) Setzt man die Geraden gleich, erhält man die Schnittpunkte. Von 0 bis 36 Gesprächsminuten ist Phone am günstigsten, von 37 bis 125 Gesprächsminuten ist Scout der billigste Anbieter und ab 125 Gesprächsminuten ist World Talk am günstigsten. Der dritte Schnittpunkt (zwischen Phone und World Talk bei rund 66 Minuten) ist ohne Bedeutung für den Preis, da Scout da deutlich günstiger ist. 10 Die Parabeln a, b, c und f sind nach oben offen, die Parabeln d und e nach unten. Ihre Scheitelpunkte liegen auf der y-achse. Die Parabel g ist nach oben offen und auf der x-achse nach rechts verschoben, S (2 0). Die Parabel h ist nach oben offen, auf der x-achse nach links und in y-richtung nach unten verschoben, S ( 3 4). Randspalte Es wird vom Start aus durchnummeriert. (1) m = _ 4 3 ; (2) m = 2; (3) m = 4; (4) m = _ 3 2 ; (5) m = _ 2 3 ; (6) m = 1; (7) m = 4 L 95

98 11 a) S 1, 2 (± 2 0) b) S 1, 2 (± 3 0) c) S 1, 2 (± 2 0) d) S 1, 2 (± 7 0) e) S 1 (4 0), S 2 (10 0) f) S 1 ( 7 0), S 2 ( 3 0) g) Wird eine Parabel an der x-achse gespiegelt, drehen sich die Vorzeichen in der Gleichung um. zu a) y = x zu b) y = x 2 9 zu c) y = 3 x zu d) y = 2 x 2 98 zu e) y = (x 7) zu f) y = (x + 5) a) x 0 ± 1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 y 2 1,9 1,5 0,9 0 1,1 2,5 y y = _ 4 x + 3 S 1 (2 1,5) 1 S 2 (4 0) x O y = _ x b) S 1 (4 0), S 2 ( 4 0) c) S 1 (2 1,5), S 2 (4 0) 2 3 d) y = 1 _ 8 x 2 2, die Nullstellen sind dieselben wie bei der ursprünglichen Parabel. e) S (0 2); für x = 0 ist y = c = 2. Durch Einsetzen eines Wertepaares in die Gleichung erhält man a = 0,5 Gleichung: y = 0,5 x f) Die Parabeln haben denselben Scheitelpunkt, sie berühren sich in S (0 2). 13 a) x 1 = 15; x 2 = 15 b) x 1 = 1; x 2 = 7 c) x 1 = 8; x 2 = 3 d) x 1 = 20; x 2 = 1 e) x 1 = 4; x 2 = 4 f) x 1 = 5; x 2 = 0,5 g) x 1 = 7; x 2 = 3 h) x 1 = 5; x 2 = 5 i) x 1 = 1,2; x 2 = 1,4 j) x 1 = 4; x 2 = 3 k) x 1 = 0,75; x 2 = 0,75 Bei den Aufgaben 14 bis 16 und 19 gibt es zwei Zahlenpaare, die die Vorgabe erfüllen. 14 Gleichung: x (x + 1) = 7656 Lösungen: 87 und 88; 88 und Gleichung: x (x + 7) = 980 Lösungen: 28 und 35; 35 und Gleichung: x (x + 12) = 5440 Lösungen: 68 und 80; 80 und Gleichung: x (40 x) = 375 Lösungen: 25 und Gleichung: (x + 4) 2 = 3136 Lösungen: 52 und Gleichung: x 2 + (x 1) 2 = 4141 Lösungen: 46 und 45; 45 und A = x (x 7) = 260 m 2 ; x 2 7 x 260 = 0; x 1 = 20 und x 2 = 13 Nur x = 20 kann Lösung sein. Die beiden Seiten sind demnach 20 m und 13 m lang. Jana hat Recht. Wenn eine Seite 16 m und die andere 17 m lang gewählt würden, hätte die Koppel 272 m 2. Ein Quadrat mit 16,5 m Länge wäre noch größer. 21 (90 2 x) (120 2 x) = 5400; x x = 0; x 1 = 90 und x 2 = kommt als Lösung nicht in Frage, da die gesamte Breite 90 cm beträgt. Also ist x = 15. Die Breite der Schachtel ist 90 cm, die Länge ist 60 cm und die Höhe 15 cm. V = 15 cm 60 cm 90 cm = cm 3 = 81 dm (I) 2 a + 2 b = 96 (II) a b = 572 Die Seitenlängen des Grundstückes sind 22 m und 26 m. L 96

99 23 n 1 = 16; n 2 = 13 (entfällt, da nicht sinnvoll) Das 16-Eck hat 104 Diagonalen. 24 (r + 6) 2 p = 2,5 r 2 p r 2 8 r 24 = 0 r = 10,32 Der neue Radius beträgt 16,32 m, der alte Radius 10,32 m. 25 a) x y 2 2,44 2,75 2,94 3 2,94 2,75 2,44 2 1,44 0, O y x b) Die Höhe von 2,50 m erreicht der Ball in einer Entfernung von 1 m. Höhe von 2,80 m: Entfernung 2 m; Höhe von 3 m: Entfernung 4 m; Höhe von 1 m: 9,60 m. Der Ball fällt bei 11 m auf den Boden. c) Gleichung für 2,50 m Höhe: 2,5 = 1 _ 16 x 2 + 0,5 x + 2 x 2 8 x + 8 = 0 Die anderen Gleichungen werden nach demselben Prinzip aufgestellt. Für eine Höhe von 2,80 m: x 2 8 x + 12,8 = 0 Für eine Höhe von 3 m: x 2 8 x + 16 = 0 Für eine Höhe von 1 m: x 2 8 x 16 = 0 d) Keine Lösung hat die Gleichung, wenn y-werte (Höhe des Balls) über dem höchsten Punkt (Scheitelpunkt) der Flugbahn liegt. Eine Lösung existiert nur beim Scheitelpunkt. Zwei Lösungen gibt es für die Höhe von 2 m bis zur Scheitelpunkthöhe. e) Es gibt nur beim Scheitelpunkt eine Lösung. Dieser ist bei (4 3). Also bei einer Höhe von 3 m. f) Da alle y-werte niedriger als 7 m sind, wird der Ball nie die Decke berühren. Brücken Zur Sache 1 a) 0,011 x ,3 = 107 x = 126,6 Die Spannweite beträgt rund 253 m. b) Die Wupper muss schmäler sein, da die Brückenbögen noch auf dem Ufer stehen. 2 Gesucht ist der y-wert, bei dem der x-wert die Hälfte der Spannweite beträgt. y = 0,0003 (995,5) 2 y = 297,31 Die Höhe beträgt demnach 297,31 m. Diese Brücke wird auch auf der Auftaktseite S. 71 beschrieben. Dort wird die Pfeilerhöhe mit 283 m angegeben. Die Differenz zum Rechenergebnis hier resultiert aus dem Faktor a, der für die Aufgabe angegeben ist. Weitere Hinweise siehe S. L Der Online Link führt zu einer Geonext-Datei, mit deren Hilfe man die Parabelform von Hängebrücken erkunden kann. a) 90 = _ x 2 x = 103,92 Damit beträgt die Spannweite 207,84 m. b) Die halbe Bogenhöhe beträgt _ m = 45 m. Gesucht ist der x-wert, bei dem diese Höhe erreicht wird. 45 = 1 _ 120 x 2 x = 73,48 m Damit ergibt sich eine Spannweite von 2 x = 146,96 m. 146,96 m ist aber mehr als die Hälfte der vorherigen Spannweite und damit hat Leonid nicht Recht. L 97

100 Aufgabenvorschläge für Klassenarbeiten zu Kapitel 4 1 Wandle diese Terme um in Binome. a) 4 x x b) 2 x 2 36 x Begründe ohne Zeichnung, warum dieses Gleichungssystem keine Lösung hat. (I) y = 3 x 5; (II) 6 x = 2 y Löse das Gleichungssystem zeichnerisch oder mit einem geeigneten Lösungsverfahren und überprüfe die Lösung mithilfe der Einsetzprobe. a) (I) 9 x 2 y = 5 (II) y = 2,5 x 0,5 b) (I) 3 x 2 = 24 7 y (II) y = 3 x + 2 c) (I) 19 x + 4 y = 18 (II) 3 x y = 11 4 Zeichne die Schaubilder der Funktionen mithilfe der Schablone für Normalparabeln. a) x 2 = y + 1,8 b) x 2 = y 1,8 5 Eine Parabel hat die Funktionsgleichung y = 2 x 2 + 1,5. a) Zeichne die Parabel mithilfe einer Wertetabelle. b) Bestimme die Nullstellen. c) Zeichne den Graphen mit der Funktionsgleichung y = 5 x 1,5 und bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der beiden Graphen. 6 Löse die Gleichungen rechnerisch. a) 3 x 2 54 x = 189 b) 9 x 2 14 x 3 = 7 x 2 13 x h w y = a x 2 a) Bestimme die Parabelgleichung für h = 25 m und w = 100 m. b) Berechne die Länge der Stützen, wenn der Abstand 10 m beträgt. 8 Leon sucht einen günstigen Stromanbieter. Anbieter Grundpreis Preis in ct/kwh Relaxenergy 80,92 pro Jahr 20,11 easy 7,50 pro Monat 26,37 a) Stelle für beide Tarife eine Funktionsgleichung auf und zeichne die beiden Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem ein. b) Leon ist sich nicht ganz sicher, ob er 1000 kwh, 1250 kwh oder 1500 kwh Strom verbrauchen wird. Welcher Stromanbieter ist für ihn am günstigsten? Begründe deinen Rat. Lösungen 1 a) (2 x + 11) 2 b) 2 (x 9) 2 2 Die beiden Geraden sind parallel. 3 a) Durch Zeichnung, Schnittpunkt S (1 2) b) Gleichsetzungsverfahren S (4 2) c) Einsetzungsverfahren S (2 5) 4 a) S 1 (0 1,8) nach oben geöffnet b) S 2 (0 1,8) nach unten geöffnet 5 a) x 0 ± 0,5 ± 0,7 ± 1 ± 1,5 y 1,5 2,0 2,5 3,5 6 b) Die Parabel hat keine Nullstellen, da sie nach oben geöffnet und um 1,5 nach oben verschoben ist. c) S 1 (1,5 6); S 2 (1 3,5) 6 a) x 1 = 21; x 2 = 3 b) x 1 2,81; x 2 2,31 7 a) Parabelgleichung: y = 0,01 x 2 b) Die x-werte der Stützen sind 0; 10; 20; 30; Mithilfe der Parabelgleichung werden die y-werte berechnet; ihr Betrag entspricht der Höhe der Stützen. Die Stützen sind 25 m, 16 m, 9 m, 4 m und 1 m hoch. 8 a) x in kwh und y in, Relaxenergy y = 0,2011 x + 80,92 ; easy y = 0,2637 x + 7,50 12 b) Relaxenergy ist immer günstiger. Die beiden Geraden schneiden sich nicht für x > 0. L 98

101 Training Mathematik und Beruf In der Altenpflege 1 a) Es handelt sich um einen Wochenplan des ambu lanten Altenpflegers Herr Merten. Die gelb hinterlegten Zeilen zeigen Namen und Beginn der Pflege. Die zweite Zeile ist jeweils die Telefonnummer, die Herr Merten immer dabei haben sollte, falls die Tür nicht geöffnet wird. Aus Platzgründen wurde bei dieser Tabelle auf die Angabe einer Person mit einem Schlüssel, die im Notfall die Tür öffnen kann, verzichtet. Die Minutenzahl bezieht sich auf den Aufenthalt beim jeweiligen Patienten, FZ ist die Abkürzung für Fahrzeit. b) Da es sich um einen ambulanten Pflegedienst handelt, braucht Herr Merten eine gewisse Fahrzeit, um zu den verschiedenen Wohnungen zu fahren. In der Regel wird der Plan so gemacht, dass die Fahrzeit möglichst gering ist. c) Diese Aufgabe ist eine gute Gelegenheit, um nochmals das Rechnen mit Uhrzeiten zu wiederholen. Am besten rechnet man die Uhrzeiten in Minuten um und addiert dann alle. Pflegezeit (einschließlich der Teamsitzung): 221 min min (mit 90 min Teamsitzung) min min min = 1294 min = 21 h 34 min Pflegezeit (ohne Teamsitzung): 1294 min 90 min = 1204 min = 20 h 04 min Fahrzeit: 38 min + 26 min + 26 min + 28 min + 29 min = 147 min = 2 h 27 min In dieser Woche pflegt Herr Merten 20 Stunden und 4 Minuten und verbringt 2 Stunden und 27 Minuten unterwegs im Auto. d) Bei Ayaz Aydin ist die Pflegezeit mit 380 min in dieser Woche am höchsten. e) Im Durchschnitt hält sich Herr Merten bei Ayaz Aydin 76 min, bei Berta Bauer 19 min, bei Claus Celler 36,25 min, bei Doris Dalheim 68 min, bei Maria Macome 10 min, bei Frieda Fulde 99 min und bei Gerda Glitza 25 min auf. 2 In die Medikamentendose müssen insgesamt folgende Tabletten gelegt werden: 7 2 = 14 Planatoc 7 0,5 = 3,5 Kurasanae 7 0,5 = 3,5 XA SS = 28 Tradokur F = 7 Baldrinocte In den Fächern befinden sich folgende Tabletten: Montag morgens mittags abends nachts 1 Planatoc 0,5 XA SS Tradokur F1 Dienstag 1 Planatoc 0,5 XA SS Tradokur F1 Mittwoch 1 Planatoc 0,5 XA SS Tradokur F1 Freitag 1 Planatoc 0,5 XA SS Tradokur F1 1 Planatoc 0,5 XA SS Tradokur F1 Samstag 1 Planatoc 0,5 XA SS Tradokur F1 Sonntag Donnerstag Insgesamt 1 Planatoc 0,5 XA SS Tradokur F1 7 Planatoc 7 0,5 XA SS Tradokur F1 0,5 Kurasanae 1 Tradokur F1 0,5 Kurasanae 1 Tradokur F1 0,5 Kurasanae 1 Tradokur F1 0,5 Kurasanae 1 Tradokur F1 0,5 Kurasanae 1 Tradokur F1 0,5 Kurasanae 1 Tradokur F1 0,5 Kurasanae 1 Tradokur F1 7 0,5 Kurasanae 7 Tradokur F1 1 Planatoc 1 Tradokur F1 1 Tradokur F1 1 Baldrianocte 1 Planatoc 1 Tradokur F1 1 Tradokur F1 1 Baldrianocte 1 Planatoc 1 Tradokur F1 1 Tradokur F1 1 Baldrianocte 1 Planatoc 1 Tradokur F1 1 Tradokur F1 1 Baldrianocte 1 Planatoc 1 Tradokur F1 1 Tradokur F1 1 Baldrianocte 1 Planatoc 1 Tradokur F1 1 Tradokur F1 1 Baldrianocte 1 Planatoc 1 Tradokur F1 1 Tradokur F1 1 Baldrianocte 7 Planatoc 7 Tradokur F1 7 Tradokur F1 7 Baldrianocte L 99

102 5 Flächen und Körper Übersicht 1 Zusammengesetzte Flächen Mathematische Reise: Höhen- und Kathetensatz Auf geht s: Körper 2 Körper und Netze 3 Berechnungen an Körpern 4 Volumen der Kugel 5 Oberfläche der Kugel Thema: Schnitte 6 Zusammengesetzte Körper Üben Wiederholen Test Aufbau und Intention des Kapitels Zu Beginn des Kapitels wird die Berechnung von Flächen wiederholt und erweitert, weil die Fähigkeit zur Berechnung von Flächen auch bei der Berechnung an Körpern erforderlich ist. Dabei wird besonders Wert auf die Berechnung zusammengesetzter Flächen gelegt. Pyramide und Kegel sind den Schülerinnen und Schülern bereits aus Klasse 9 bekannt. Neu hinzu kommen Berechnungen von Kugeln. Außerdem werden beim Berechnen von Körpern auch der Satz des Pythagoras sowie der Höhen- und der Kathetensatz angewendet. Das Kapitel 5 Flächen und Körper bezieht sich schwerpunktmäßig auf die Leitidee Raum und Form und die Leitidee Messen. Es behandelt Lerninhalte für den Kompetenzerwerb in den Bereichen: Eigenschaften geometrischer Objekte beschreiben und erkennen Netze, Schrägbilder und Modelle von Körpern anfertigen Sätze der ebenen Geometrie bei Konstruktionen, Berechnungen und Beweisen anwenden Berechnung von Flächeninhalt und Umfang von zusammengesetzten Figuren Berechnung von Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kugel und Kegel sowie daraus zusammengesetzten Körpern Von großer Bedeutung ist außerdem die Leitidee Modellieren. Die Schülerinnen und Schüler sollen Wege zur Lösung komplexer Sachaufgaben finden und begründen und die Berechnungen ausführen, sowie Fragestellungen aus unterschiedlichen Sachgebieten mithilfe von Formeln lösen. Besonders Aufgaben, die an der Lebenswirklichkeit anknüpfen, sind geeignet, um die Jugendlichen für die Mathematik zu motivieren und Verständnis für mathematische Inhalte zu wecken. Um das räumliche Vorstellungsvermögen zu schulen, werden die Körper nicht nur mathematisch berechnet, sondern auch Schrägbilder und Netze gezeichnet. Der routinierte Umgang mit dem Taschenrechner ist unumgänglich. Die Interpretation und Rundung der Ergebnisse gewinnt an Bedeutung, da häufig mit der Zahl π und trigonomischen Funktionswerten gerechnet werden muss und die Ergebnisse nicht mehr ganzzahlig sind. Auch der gezielte Einsatz von Geometriesoftware bietet sich an. Die gesamte Lerneinheit thematisiert und fördert gerade die ästhetischen und kreativen Seiten der Mathematik. Phänomene aus der Kunst, der Architektur, dem Alltag oder der Natur bieten vielfältigen Zugang zum Thema. In verschiedenen Aufgabenstellungen können die Schülerinnen und Schüler immer wieder den Umgang mit Fachbegriffen üben. Das Verwenden und Umstellen von Formeln ist Grundvoraussetzung für erfolgreiche Lösungen. Der Mathematikunterricht soll darüber hinaus Qualifikationen für die Berufsausbildung und den Besuch weiterführender Schulen vermitteln. Besonders im technischen Bereich ist das räumliche und geometrische Verständnis von großer Bedeutung. Werkzeugkasten Geodreieck, Zirkel, Bleistift und Taschenrechner sind in Klasse 10 selbstverständlich. Darüber hinaus ist auch in diesem Kapitel der Einsatz eines Tabellenkalkulationsprogramms und von Geometriesoftware möglich. Modelle von verschiedenen geometrischen Körpern sind zur Veranschaulichung und zur Entwicklung der räumlichen Vorstellungskraft hilfreich. L 100

103 Glas viele Formen, ein Stoff Einführung Glas ist ein nichtkristalliner Feststoff. Materialien, die man im Alltagsleben als Glas bezeichnet (zum Beispiel Trink- und Fenstergläser, Brillengläser und Tischplatten) sind nur ein Ausschnitt aus der Vielfalt der Gläser. Schülerinnen und Schülern ist der Werkstoff Glas bekannt, die Auftaktseite knüpft an dieses Vorwissen an. Das Wissen über die Dichte von Glas lädt zu Berechnungen mit Gewichten oder zum Vergleich mit anderen Materialien ein. Befindet sich in der näheren Umgebung eine Glasbläserei, könnte durch einen Besuch das Interesse an Berechnungen rund um das Material Glas geweckt werden. Auf den Bildern sind unterschiedliche Alltagsgegenstände aus Glas zu sehen: Blumenvasen, ein Glas und eine Murmel. Der Geometrieunterricht bietet verschiedene Ansatzpunkte. So beispielsweise: Benennen und beschreiben der Formen Vergleichen von Körpern und Finden von Unterschieden Berechnen der Grundflächen Volumen- und Oberflächeninhaltsberechnungen (auch bei noch unbekannten Formeln) Vergleichen, ermitteln und berechnen von Gewichten mithilfe der Dichte und Kontrolle durch Wiegen Schätzen von Volumen (größer oder kleiner als Annäherung) Ist ein Trinkglas zylinderförmig? Oder sind die Seiten doch schräg und das Glas damit ein Kegelstumpf. Analog bei den Blumenvasen: Sind sie echte Quader oder doch Pyramidenstümpfe? Anhand der Fotos kann hier nochmals die Abgrenzung dieser Körperformen erfolgen. Die angegebenen Größen zu den Körpern belegen, dass es sich um Zylinder und Quader handelt. So können Volumina konkret berechnet und verglichen werden. Maße von Kugeln lassen sich äußerst schwer bestimmen. Über die Glasdichte und das Wiegen könnte eine erste Annäherung an diese besondere Körperform gefunden werden. Auch das Verdrängen von bestimmten Wassermengen bei unterschiedlichen Glaskugeln regt die Schülerinnen und Schüler zum Überlegen und zum Forschen an. Die Verwendung von Realgegenständen (z. B. Gläser, Blumenvasen u. ä.) konkretisiert die Alltagspräsenz der Thematik und wirkt für die Schülerinnen und Schüler motivierend. Ziel des Kapitels ist es, dass die Schülerinnen und Schüler die Formeln zur Berechnung von verschiedenen Körpern kennen lernen und anwenden können. Dazu gehört auch, dass sie Formeln zur Körperberechnung so umstellen können, dass die geforderten Berechnungen durchgeführt werden können. Auch das Erkennen, aus welchen Einzelkörpern eine zusammengesetzte Figur besteht, muss geschult, geübt und gefestigt werden. Ein wichtiger Schwerpunkt ist ebenfalls der Umgang mit Netzen. Dabei müssen die Schülerinnen und Schüler erkennen können, wie das Netz eines aufgeklappten Körpers aussieht, es maßstäblich zeichnen und seine Größe berechnen. Bei vielen Aufgaben sind Kenntnisse aus der Trigonometrie und das Anwenden des Satzes des Pythagoras nötig. L 101

104 1 Zusammengesetzte Flächen In dieser Lerneinheit liegt der Fokus in erster Linie auf dem Zerlegen von Vielecken in der Art, dass die entstehenden Teilfiguren berechnet und anschließend addiert werden können. Die Kenntnis der einzelnen Formeln ist Voraussetzung. Bereits Gelerntes wird aufgegriffen und erweitert. Einstieg Kreative, außergewöhnliche Ideen begeistern Jugendliche oft am meisten, wenn sie visionärisch sind und sich möglicherweise auch nicht verwirklichen lassen. Das fliegende Haus weckt das Bedürfnis, mehr über die Form des Sechseckes zu erfahren. Impulse Individuelle Antworten z. B.: Es ist interessant, dass man flexibel ist und immer seine eigenen vier Wände dabei hat. Der Grundriss und die Zimmer sind völlig anders als bei normalen Häusern. Probleme könnten beim Transport auftreten: Unfälle wären denkbar, weil das Haus sehr schwer ist. Die Möbel und andere Dinge können sich beim Flug lösen und Schäden anrichten, weil sie herumfliegen. Außerdem kann man nicht einfach überall auf der Welt sein Haus platzieren. Man benötigt ein geeignetes Grundstück. Die Zimmer könnten folgende Formen haben: gleichseitige Dreiecke, Raute, Trapez, Parallelogramm. Trägt man die Flächen in das Sechseck ein, wird der Bezug verdeutlicht. Für Jugendliche, die Probleme haben, diese Formen zu finden, bieten sich 6 gleichseitige Dreieckskarten an, die beliebig gelegt werden können. Dreieck: _ 1 2 mal Grundseite mal dazu gehörige Höhe; Raute: kann in zwei Dreiecke geteilt werden. Oder: Diagonale mal Diagonale; Trapez: Grundseite plus gegenüberliegende, parallele Seite, beide zusammen geteilt durch 2, mal der Höhe, die zwischen den parallelen Seiten liegt; Parallelogramm: Grundseite mal dazu gehörige Höhe. Merkkasten Dreieck: A = c h c _ 2 (wichtig: Höhe steht senkrecht auf der Grundseite; auch a und b können Grundseite sein) Parallelogramm: A = a h a Trapez: A = a _ + c 2 h Einheiten der Flächen: mm 2, cm 2, m 2 etc. Weiter geht s Dreieck: A = c h c _ 2 = b h b _ 2 = a h a _ 2 Rechteck: A = a b Parallelogramm: A = g h = a h a = b h b Trapez: A = a _ + c 2 h Geg: c = 7 cm; h c = 3,5 cm Ges: A h c c A = c h c cm 3,5 cm _ 2 = 7 2 = 12,25 cm 2 b a A = a b = 8 cm 3,5 cm = 28 cm 2 a h a Geg: a = 8 cm; b = 3,5 cm Ges: A Geg: a = 6 cm; h a = 4 cm Ges: A A = g h = a h a = 6 cm 4 cm = 24 cm 2 h c a Geg: a = 7 cm; c = 5 cm; h = 4,5 cm Ges: A A = a _ + c cm + 5 cm 2 h = 7 2 4,5 cm = 27 cm 2 2 Trapeze: 2 A = 2 a _ + c 2 h = 2 14 m + 7 m 2 6,06 m = 127,26 m 2 Die Seite c kann berechnet werden: 5,95 m 2,45 m = 3,50 m; 14 m 2 3,50 m = 7 m oder man überlegt sich, dass sie auch 7 m lang sein muss, da es sich um ein regelmäßiges Sechseck handelt. L 102

105 Aufgaben Die Ergebnisse werden auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. Beim Rechnen mit gemessenen Längen wird auf eine Stelle nach dem Komma gerundet. Auch hier wird bei Rundungen das Gleichheitszeichen verwendet. 1 Hier kommt es auf exaktes Messen (mit dem Geodreieck) an. Auch Höhen, die nicht eingezeichnet sind, müssen ermittelt werden. a) Geg: Dreieck c = 5 cm; h c = 2 cm Ges: A A = c h c cm 2 cm _ 2 = 5 2 = 5 cm 2 b) Geg: Trapez a = 3,5 cm; c = 1,5 cm; h = 3 cm Ges: A A = a _ + c cm + 1,5 cm 2 h = 3,5 2 3 cm = 7,5 cm 2 c) Geg : Parallelogramm a = 4 cm; h a = 1,5 cm Ges: A A = a h a = 4 cm 1,5 cm = 6 cm 2 2 a) Quadrat A = a a = 12,5 m 12,5 m = 156,25 m 2 u = 4 a = 4 12,5 m = 50 m b) Dreieck A = b h b cm 27 cm _ 2 = 29 2 = 391,5 cm 2 u = a + b + c = 29,5 cm + 29 cm + 32 cm = 90,5 cm c) Parallelogramm A = a h = 48 mm 25 mm = 1200 mm 2 u = 2 a + 2 b = 2 48 mm mm = 166 mm d) Trapez A = a _ + c mm + 17 mm 2 h = mm = 857,5 mm 2 u = a + b + c + d = 32 mm + 36 mm + 17 mm + 37 mm = 122 mm e) Dreieck A = c h c mm 20 mm _ 2 = 42 2 = 420 mm 2 u = a + b + c = 42 mm + 46,5 mm + 20 mm = 108,5 mm f) Parallelogramm A = b h b = 2,2 cm 4,5 cm = 9,9 cm 2 u = 2 a + 2 b = 2 5,6 cm + 2 2,2 cm = 15,6 cm g) Trapez A = a _ + c cm + 40 cm 2 h = cm = 495 cm 2 u = a + b+ c + d = 5 cm + 25 cm + 40 cm + 32 cm = 102 cm h) Dreieck A = c h c m 1,98 m _ 2 = 3 2 = 2,97 m 2 u = a + b + c = 3 m + 2,24 m + 4,50 m = 9,74 m 3 a) Man könnte vermuten, dass Figur (2) oder (4) am größten und Figur (5) am kleinsten ist. b) Flächeninhalte berechnen: (1) A R = a b = 12,5 m 10 m = 125 m 2 (2) A P = a h a = 12,5 m 10 m = 125 m 2 (3) A K = π r 2 = π (6,25 m) 2 = 122,71 m 2 (4) A T = a _ + c m + 7,5 m 2 h = 17, m = 125 m 2 (5) A D = g h m 12,5 m _ 2 = 12,5 2 = 78,13 m 2 (6) A D = g h m 10 m _ 2 = 22,5 2 = 112,5 m 2 Figur (1), (2) und (4) sind am größten. Figur (5) ist am kleinsten. 4 a) Dreieck A = c h c cm 5 cm _ 2 = 6 2 = 15 cm 2 b) Trapez A = a _ + c cm + 3 cm 2 h = cm = 18 cm 2 c) Trapez A = b _ + d cm + 2 cm 2 h = cm = 9 cm 2 d) Parallelogramm A = c h c = 5 cm 5 cm = 25 cm 2 5 Es führen oft mehrere Wege zur Lösung, z. B.: a) Unterteilen der Figur in zwei Parallelo gramme. A = 12 cm 2 b) Trapez oder Rechteck plus eine Dreiecksfläche oder Rechteck minus eine Dreiecks fläche. A = 15 cm 2 c) Berechnen des gesamten Trapezes oder Addition zweier rechtwinkliger Dreiecke und des Rechtecks. A = 19,5 cm 2 L 103

106 6 a) Individuelle Lösung. b) (1) A = 13 cm 2 (2) A = 14 cm 2 c) Figur (1): Die Figur wird in ein Parallelogramm und ein Dreieck geteilt (Verbinden der Punkte A und C). Ein möglicher Schülerfehler könnte die vermeintliche Tei lung in Trapez und Dreieck sein (gedachte Tren nung _ EC ). Allerdings ist _ AB nicht parallel zu _ EC! Eine solche Idee kann besprochen werden. Figur (2): Zieht man die Parallele zu _ BC durch A, so ergibt sich ein Parallelogramm und ein Trapez. Oder: Verbindet man die Punkte C und E, erhält man ein Trapez und ein Dreieck. 7 a) Rechteck: A = l b = 4 cm 1,5 cm = 6 cm 2 Trapez: A = a _ + c cm + 4 cm 2 h = cm = 16,5 cm 2 Figur: A = 22,5 cm 2 b) Quadrat: A = a a = 4 cm 4 cm = 16 cm 2 Parallelogramm: A = a h a = 4 cm 3 cm = 12 cm 2 Figur: A = 28 cm 2 c) großes Rechteck: A = a b = 10 cm 5 cm = 50 cm 2 2 kleine Rechtecke: 2 A = 2 a b = 2 5 cm 2,5 cm = 25 cm 2 Figur: A = 75 cm 2 d) Rechteck: A = a b = 10,5 cm 4,5 cm = 47,25 cm 2 Trapeze: 2 A = a _ + c cm + 4,5 cm 2 h = 2 10,5 2 3 cm = 45 cm 2 Figur: A = 92,25 cm 2 8 a) Quadrat: A = a a = 6 cm 6 cm = 36 cm 2 Halbkreis: _ 1 2 A = _ 1 2 π (3 cm) 2 = 14,14 cm 2 Figur: A = 50,14 cm 2 ; u = 18 cm + 9,42 cm = 27,42 cm b) Quadrat: A = a a = 16 cm 2 Kreis: A = π 16 cm 2 = 50,27 cm 2 Figur: A = 66,27 cm 2 ; u = 16 cm + 25,13 cm = 41,13 cm c) Dreieck: A = c h c cm 8 cm _ 2 = 12 2 = 48 cm 2 Halbkreis: _ 1 2 A = _ 1 2 π (6 cm) 2 = 56,55 cm 2 Figur: A = 104,55 cm 2 ; u = 20 cm + 18,85 cm = 38,85 cm d) Dreieck: A = a h a cm 4,5 cm _ 2 = 4,5 2 = 10,13 cm 2 Halbkreis: 1 _ 2 A = 1 _ 2 π (2,25 cm) 2 = 7,95 cm 2 Figur: A = 18,08 cm 2 ; u = 10,9 cm + 7,07 cm = 17,97 cm 9 a) Die halbe Diagonale des Quadrates entspricht dem Radius r des Kreises. Das Quadrat wird durch die beiden Diagonalen in 4 gleich große Dreiecke geteilt. 3,5 cm 3,5 cm 4 A = 4 2 = 24,5 cm 2 Das abgebildete Quadrat hat einen Flächeninhalt von 24,5 cm 2. b) Eine andere Möglichkeit der Berechnung wäre: Das Quadrat wird durch eine Diagonale in zwei Dreiecke geteilt. 7 cm 3,5 cm 2 A = 2 2 = 24,5 cm 2 10 Quadrat: u = 4 a = 16 cm A = a a = 4 cm 4 cm = 16 cm 2 Kreis: Geg: u = 16 cm; Ges: r; A r = _ u 2 π = 2,55 cm Kreis: A = π (2,55 cm) 2 = 20,43 cm 2 Der Kreis hat den größeren Flächeninhalt. 11 a) Rechteck: A = l b = 20 cm 8 cm = 160 cm 2 Trapez: A = a _ + c cm + 12 cm 2 h = cm = 128 cm 2 ; Figur: A = 288 cm 2 b) Dreieck: A = c h c cm 8,5 cm _ 2 = 12 2 = 51 cm 2 ; Halbkreis: 1 _ 2 A = 1 _ 2 π (6 cm) 2 = 56,55 cm 2 ; Figur: A = 107,55 cm 2 c) Rechteck: A = a b = 4 cm 5 cm = 20 cm 2 Dreiecke: 4 A = 4 c h c cm 2 cm _ 2 = = 8 cm 2 ; Figur: Rechteck 4 Dreiecke, A = 12 cm 2 d) Parallelogramm: A = a h a = 15 cm 13 cm = 195 cm 2 Rechteck: A = l b = 6 cm 4 cm = 24 cm 2 Quadrat: A = a a = 6 cm 6 cm = 36 cm 2 Figur: Parallelogramm Rechteck Quadrat, A = 135 cm 2 12 a) (1) Kreis: A = π (80 mm) 2 = mm 2 Dreieck: A = c h c mm 105 mm _ 2 = 95 2 = 4988 mm 2 Figur: A = mm 2 (2) Quadrat: A = a 2 = (160 mm) 2 = mm 2 Viertelkreis: 1 _ 4 A = 1 _ 4 π (120 mm) 2 = mm 2 Figur: A = mm 2 b) (1) Der Verschnitt beträgt 40,9 %. (2) Der Verschnitt beträgt 44,2 %. L 104

107 13 a) (1) Dreieckshöhe: h = (4,5 cm) 2 (3,6 cm) 2 = 2,7 m 7,2 m 2,7 m A = 7,2 m 3,3 m + 2 = 33,48 m 2 (2) Halbkreisdurchmesser d = (7,2 m) 2 + (3,3 m) 2 = 7,92 m; r = 3,96 m 2 7,2 m 3,3 m π (3,96 m) A = = 36,51 m 2 b) (1) Höhe h = (19,8 m) 2 (8,8 m) 2 = 17,74 m 17,6 m + 8,8 m A = 2 17,74 m = 234,17 m 2 (2) Ankathete b von 40 : cos 40 = _ b 10 m ; b = 10 m cos 40 = 7,66 m Gegenkathete a von 40 : sin 40 = _ a 10 m ; a = 10 m sin 40 = 6,43 m A = (10 m) 2 7,66 m 6,43 m + 2 = 124,6 m 2 c) (1) Halbkreisdurchmesser: d sin 30 = _ 9,6 cm ; d = 9,6 cm sin 30 = 4,8 cm Ankathete des Winkels 30 : b cos 30 = _ 9,6 cm ; b = 9,6 cm cos 30 = 8,31 cm 8,31 cm 4,8 cm π (2,4 cm) 2 A = = 29,0 cm 2 (2) Seite a: 4,4 cm cm cos 40 = _ a ; a = _ 4,4 = 5,74cm cos Kathete x = (5,74 cm) 2 (4,4 cm) 2 = 3,69 cm A = (5,74 cm) 2 4,4 cm 3,69 cm + 2 = 41,07 cm 2 14 a) Kreis: u = π d = π 54 m = 169,65 m Länge der geraden Strecke: 400 m 169,65 m = 230,35 m; 230,35 m : 2 = 115,18 m Die gerade Strecke muss ca. 115,20 m lang sein. b) Rechteck: A = l b = 115,20 m 54 m = 6220,80 m 2 Die Fußballspieler hätten ungefähr 6221 m 2 Platz. 15 Die Berechnung kann auch gut mithilfe der Tabellenkalkulation durchgeführt werden. a) Halbkreis: _ 1 2 A = _ 1 2 π a 2 Dreieck: A = a h a a _ 2 = _ a 2, da h a = a Ergebnisse Figur: A (a = 2 cm) = 8,28 cm 2 A (a = 5 cm) = 51,77 cm 2 A (a = 8 cm) = 132,53 cm 2 b) Viertelkreis: _ 1 4 A = _ π (2 a) Trapez: A = 2 _ a + a 2 a = _ 3 2 a a Ergebnisse Figur: A (a = 2 cm) = 18,57 cm 2 A (a = 5 cm) = 116,04 cm 2 A (a = 8 cm) = 297,06 cm 2 Tabellenkalkulation Computer Tabellenkalkulationsprogramme sind hilfreich für verschiedenste Berechnungen. Vor allem bei fortlaufenden Berechnungen, mit Zwischenergebnissen oder für standardisierte Rechenverfahren, bei denen sich nur der Ausgangswert ändert, jedoch nicht der Rechenweg. Aufgaben 1 Öffnen des Tabellenkalkulationsprogramms. (1) Die gegebenen Werte werden in Zellen der geöffneten Seite eingetragen. In Spalte A wird notiert, was wir wissen, in Spalte B kommen die entsprechenden Zahlen ohne Einheit. Auch π und der entsprechende Wert können ergänzt werden. (2) Eingabe der Formeln zur Flächenberechnung. Soll der Computer etwas rechnen, muss zuerst ein = eingegeben werden. Den Zeilenbezug für die Werte erhält man durch Anklicken der entsprechenden Zelle, in denen er steht. Das Ergebnis erscheint beim Drücken der Entertaste. Andere Zeichen, wie das Multi plikations-, Divisions- oder Additionszeichen, werden über die Tastatur eingegeben. Für π wird der Näherungswert 3,14 verwendet. (2 r + 3 r) 2 r (3) Fläche des Trapezes = 2 = 5 r 2 Eingabe der Formel für B8: = 5*B2*B2 (4) Um die Gesamtfläche der Figur zu erhalten, werden zunächst wiederum die Worte Gesamtfigur und Flächeninhalt in cm 2 eingetragen. Der Computer benötigt erneut eine Formel: Dem = folgt das Anklicken des errechneten Wertes des Halbkreises, ein + und das Anklicken des errechneten Wertes für das Trapez. Drückt man die Entertaste erhält man das Ergebnis. 2 Beispiele: r = 2 cm; Gesamtfigur A = 26,28 cm 2 r = 4 cm; A = 105,12 cm 2 r = 8 cm; A = 420,48 cm 2 r = 10 cm; A = 657 cm 2 Man erkennt sehr schön, dass die Verdopplung vom Radius eine Vervierfachung des Flächeninhalts zur Folge hat. L 105

108 Mathematische Reise: Höhen- und Kathetensatz Die Schülerbuchseite Mathematische Reise: Höhenund Kathetensatz bietet den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit, neben dem Satz des Pythagoras weitere Zusammenhänge im rechtwinkligen Dreieck kennen zu lernen. Dabei wird auf eine allgemeine Beweisführung verzichtet. Die beiden im Höhen- und im Kathetensatz dargestellten Gesetzmäßigkeiten werden mit Zahlenbeispielen an verschiedenen rechtwinkligen Dreiecken verifiziert. Aufgaben 1 Die Geonext-Dateien, zu denen der Online Link auf der Randspalte führt, ermöglichen es auch Schülerinnen und Schülern mit Zeichenproblemen die Aufgaben zu lösen. a) Die Hypotenuse ist immer die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber. Die anderen beiden Seiten, welche den rechten Winkel bilden, sind die Katheten. b) Individuelle Lösungen: Die Summe der Quadrate über den Katheten muss genauso groß sein wie das Hypotenusenquadrat. 2 a) Der Kathetensatz, für je eine Kathete formuliert: (1) Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Kathete b flächengleich zum Rechteck aus der Hypotenuse c und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt q. b 2 = q c (2) Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Kathete a flächengleich zum Rechteck aus der Hypotenuse c und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt p. a 2 = p c b) (3) (8,2 cm) 2 = 6,5 cm x (8,2 cm) 2 x = 6,5 cm = 10,34 cm (4) x 2 = 6,8 cm 11,3 cm x = 76,84 cm 2 = 8,77 cm (5) x 2 = 4,3 cm 16,9 cm x = 72,67 cm 2 = 8,52 cm (6) x 2 = 7,4 cm 13,2 cm; x = 97,68 cm 2 = 9,88 cm 3 a) Berechnung der Höhe: (4,8 m) 2 + h 2 = (6 m) 2 h = (6 m) 2 (4,8 m) 2 = 3,6 m b) Berechnung der Dachbreite: (6 m) 2 = 4,8 m x 2 (6 m) x = _ 4,8 m = 7,5 m 4 a) Individuelle Zeichnungen, vergleichbar mit der Abb. in Aufgabe 1. b) Die Schülerinnen und Schüler sollten feststellen, dass h 2 und p q gleich groß sind. c) Individuelle Lösungen. Es muss jedoch bei allen rechtwinkligen Dreiecken die Gleichung h 2 = p q gelten. Die erste Tabellenzeile (alle Angaben in cm) hat folgende Lösungen: a b c h p q h 2 p q ,4 3,2 1,8 5,76 5,76 d) Nein, wenn die Schülerinnen und Schüler die Anweisungen richtig befolgt haben und das Dreieck wie oben beschrieben konstruiert haben, kann es kein rechtwinkliges Dreieck geben, bei dem die Gleichung nicht erfüllt ist, d.h. bei dem der Höhensatz nicht gilt. 5 a) (1) x 2 = m n (2) r 2 = s t b) (1) x 2 = 7,9 cm 3,6 cm x = 5,33 cm (2) x 2 = 8,4 cm 15,3 cm x = 11,34 cm L 106

109 Auf geht s: Körper Die Seite Auf geht s: Körper bietet den Schülerinnen und Schülern einen handlungsorien tierten Ansatz für den Einstieg in das Thema Körper. Dabei können die bisher dazu erworbenen Kenntnisse und Kompetenzen wieder bewusst gemacht und strukturiert werden. Es bietet sich an, die Ergebnisse in der Klasse zu präsentieren. Aufgaben 1 Für die Herstellung einer Kerze benötigt man: Wachs (im Handel erhältlich oder Kerzenreste Ausnahme: Reste von selbstlöschenden Kerzen dürfen nicht verwendet werden!) ein Schmelztiegel (z.b. ein alter Milchtopf oder eine saubere Konservendose) einen Kerzendocht (oder zu einer Kordel gedrehten Baumwollfaden) eine Gießform z. B. aus Pappe ein Holzstäbchen (z.b. Zahnstocher) ein mit Sand gefülltes Gefäß (z.b. eine Auflaufform oder Aluschale) alte Zeitungen zum Schützen der Arbeitsplatte Der Docht wird mittig in der passenden Länge in der Gießform eingespannt: Dazu kann er an der unteren Kerzenseite z.b. durch ein in der Mitte angebrachtes Loch gefädelt und an der oberen Kante an einem dort befestigten Holzstäbchen verknotet werden. Die Gießform wird nun fest in das mit Sand gefüllte Gefäß gesteckt; der Sand soll das Auslaufen des flüssigen Wachses verhindern. Das Wachs kann im Topf bei geringer Temperatur erhitzt werden. Sobald es geschmolzen ist, sollten Dochtreste und kleinere Verunreinigungen z.b. mit einer Gabel entfernt werden. Das flüssige Wachs wird nun vorsichtig in die Gießform eingegossen. Während des Erkaltens zieht sich das Wachs zusammen, als Folge ergeben sich Löcher und Krater an der Oberseite. Hier kann einfach nochmal Wachs nachgegossen werden. Wenn das Wachs fest ist - nach ca. zwei Stunden - kann die Gießform abgeschält werden. Dies geht besonders leicht, wenn die Kerze noch warm (aber druckfest!) ist. Der überstehende Docht wird an der Unterseite abgeschnitten, ggf. kann die Unterseite noch mit einem Messer begradigt werden. a) Kerzen in vielen geometrischen Körperformen können selbst hergestellt werden: z.b. Würfel, Quader, Zylinder, Kegel, Pyramide oder Prisma. Die Gießformen werden aus den Körpernetzen erstellt. Gießformen für kugelförmige Kerzen können nicht selbst hergestellt werden. b) Die Netze für die Kerzen sollten nicht zu groß werden, wenn die Kerzen selbst hergestellt werden. Manchmal wird über die obere Fläche befüllt, manchmal aber sinnvollerweise über den Boden, z.b. bei Kegel und Pyamide. Dann wird die Kerze mit dem Kopf nach unten gegossen. Docht Gießen Die Gruppen sollten vorab ihre verschiedenen Netze präsentieren und gegenseitig auf Tauglichkeit prüfen. Anschließend werden die Entwürfe auf stabile Pappe (z.b. Rückdeckel des Zeichenblocks) übertragen und als Gießformen verwendet. Farbig markierte Flächen entfallen im Netz oder werden zum Gießen geöffnet. c) Hier wird zunächst das Volumen der Körper berechnet und das Gewicht mithilfe der Angaben in der Randspalte ermittelt. Durch Auswiegen von Wachsresten wird vorab sichergestellt, wie viele Kerzen gegossen werden können. 2 a) Hier sollten die wichtigsten Körperformen wie Quader, Würfel, Zylinder, Pyramide usw. berücksichtigt werden. Es können aber auch ausgefallenere Körper betrachtet werden, wie z.b. Trapez- oder Dreiecksprisma. Die Plakate sollten übersichtlich gestaltet werden und alle wichtigen Abbildungen, Aussagen und Formeln enthalten. b) Besonders Lebensmittelprospekte enthalten viele verschiedene Körperformen. Genormte Verpackungen wie das Tetrapack sind hervorzuheben. Übrigens: Der Name rührt von der Ursprungsform des Tetrapacks her, das vier Ecken besaß, also ein Tetraeder war wie z.b. die Sunkist-Verpackung. c) Hier könnte man nach vielen verschiedenen Eigenschaften sortieren. Sinnvoll wäre z.b. die Körperform (Spitzkörper, Säule). L 107

110 2 Körper und Netze Einstieg Vor allem schwächere Schüler und Schülerinnen haben anfangs Probleme, sich Schrägbilder oder Körpernetze bildlich vorzustellen. Deshalb sollten mit ihnen die Regeln zum Zeichnen von Schrägbildern und Körpernetzen wiederholt werden. Beim Schrägbild eines eckigen Körpers, also bei Quader, Würfel, quadr. Pyramide, beginnt man am besten mit dem Zeichnen der Grundfläche mit der vorderen Kante. Diese sollte horizontal und in der richtigen Länge gezeichnet werden. Die beiden Eckpunkte dieser Kante stellen den Ausgangspunkt der Tiefenkanten dar. Bei regelmäßigen Figuren, liegt der Winkel in der Regel bei 45 Grad. Die Länge der Tiefenkanten wird in diesem Fall halbiert. Auf den Eckpunkten der im Schrägbild gezeichneten Grundfläche errichtet man die Höhenkanten in unveränderter Länge. Dabei ist auf die Parallelität der einzelnen Kanten zu achten. Ist die Grundfläche nicht rechtwinklig, so sind Hilfslinien erforderlich (z. B. bei der Pyramide in Aufg. 1 b). Beim Schrägbild eines runden Körpers, also bei Zylinder und Kegel, beginnt man ebenfalls mit der Grundfläche: dem Kreis. Er wird als Ellipse gezeichnet. Im Mittelpunkt bzw. am Rand wird die Höhe abgetragen und der Körper vervollständigt. Als Hilfe beim Zeichnen von Körpernetzen kann z. B. ein Würfelnetz dienen, das man gemeinsam zusammenklappt bzw. auseinanderfaltet. Weiter geht s a) Quader b) Zylinder c) Dreieckssäule (Dreiecksprisma). a) b) c) Aufgaben 1 a) b) Impulse Schnittmuster der abgebildeten Taschen: c) Zu erkennen sind ein Kegel, ein Quader und eine Dreieckssäule. Weitere mögliche Körper findet man in den Abb. der Aufgaben 1 und 2. Das Klett Medienmodul Klett Mediothek Mathematik I/Geometrie I bietet eine weitere Möglichkeit, Körpernetze darzustellen. Das Programm zeigt in einer Animation die Entstehung von Körpernetzen und kann auf (im Suchfeld Mediothek eingeben) heruntergeladen werden. L 108

111 2 Es ergeben sich folgende Kombinationen von Körpern und Netzen: (1) (A); (2) (F); (3) (E); (4) (C); (5) (D); (6) (B) 3 a) Getränkeverpackung: Häufig hat man einen Quader als Form einer Getränkeverpackung, wie zum Beispiel bei Milchtüten oder Trinkpäckchen (Tetrapack). Es gibt aber auch Getränkedosen, die dann die Form eines Zylinders haben. Klebestift: Ein Klebestift hat meistens die Form eines Zylinders. b) Individuelle Lösungen: Die Maße dieser Formen kann man z. B. durch Recherche im Internet oder durch Nachmessen bestimmen. c) Individuelle Lösungen, abhängig von den Ergebnissen aus Aufgabe b). d) Hier sind viele Lösungen möglich. Die Schülerinnen und Schüler sollten diese Gegenstände in den Unterricht mitbringen. Auch ein Sammeltisch für unterschiedliche Formen mit den dazugehörigen Netzen und Schrägbildern wäre denkbar. Diesen können die Jugendlichen dann als Präsenta tionsfläche nutzen. 4 (1) Das Netz zeigt keine geometrische Figur. Die obere Fläche ist zu lang. (2) Das Netz zeigt eine geometrische Figur. Es ist ein Dreiecksprisma. (3) Das Netz zeigt eine geometrische Figur. Es ist ein Dreiecksprisma. (4) Das Netz zeigt keine geometrische Figur. Beim Falten grenzt eine Dreiecksseite an eine längere Rechteckseite. (5) Das Netz zeigt eine geometrische Figur. Es handelt sich um eine quadratische Pyramide. (6) Das Netz zeigt eine geometrische Figur. Es ist eine quadratische Pyramide. (7) Das Netz zeigt keine geometrische Figur. Die Mantelfläche reicht nicht aus, um den Kegel zu schließen. (8) Das Netz zeigt eine geometrische Figur, nämlich einen Kegel. (9) Das Netz zeigt eine geometrische Figur. Es ist ein Zylinder. (10) Das Netz zeigt eine geometrische Figur. Es handelt sich hier auch um einen Zylinder. 5 a) (A) Der Fehler bei diesem Netz ist, dass auf der linken Seite zwei Flächen liegen und auf der rechten Seite keine. Das führt bei der Faltung dazu, dass sich auf der linken Seite die beiden Flächen überschneiden und auf der rechten Seite eine Fläche fehlt. Wenn man eine Rechteckfläche von der linken Seite auf die rechte verlegt, erhält man das Netz einer Quaders. (B) Der Fehler bei diesem Netz ist, dass das Quadrat rechts unten an der falschen Seite gezeichnet wurde. Damit sich hieraus ein Körper ergibt, muss das Quadrat links unten an das daneben liegende Quadrat oder links an das untere Dreieck gezeichnet werden. So wie das Netz jetzt aussieht, würden sich bei Faltung die untere quadratische Fläche und die obere dreieckige Fläche überlappen und links würde eine Seite fehlen. Wenn man den Fehler korrigiert, erhält man das Netz eines Dreiecksprismas. b) (A) (B) L 109

112 3 Berechnungen an Körpern Einstieg Ausgehend von der Herstellung verschiedener Popcorngefäße können die Schülerinnen und Schüler die Volumina von Zylinder und Kegel vergleichen. Sie können praktisch ausprobieren, was sich dann in der Berechnungsformel für das Volumen wieder zeigt. Für einen exakteren Vergleich eignet sich feinkörniges Material, wie z. B. Kunststoffgranulat oder trockener Sand oder Wasser besser. Zylinder und Kegel dienen als Beispiel für den Unterschied zwischen Säule und Spitzkörper. Impulse Ja, die Preise sind gerechtfertigt. Dies kann durch Ausprobieren bestätigt werden, geht aber auch aus dem Vergleich der Volumensformeln von Zylinder und Kegel hervor. Zylinder: V = G h Kegel: V = _ 1 3 G h Das Volumen eines Zylinders ist dreimal so groß wie das Volumen eines Kegels mit der gleichen Grundfläche und der gleichen Höhe. Individuelle Lösungen. Die abgebildeten Popcorntüten sind zu klein, es passt höchstens eine Mini- Portion Popcorn hinein. Die linke Popcorntüte hat die Form eines Kegelmantels. Die Formel für die Mantelfläche des Kegels finden die Jugendlichen unter Zum Nachschlagen auf Seite 169. Berechnung der Mantellinie s: s = (12 cm) 2 + (6 cm) 2 = 13,4 cm Berechnung des Mantelflächeninhalts: M = π r s = π 6 cm 13,4 cm = 252,6 cm 2 Berechnung der Zylinderoberfläche mit nur einer Grundfläche: O = G + M = G + u h = π (6 cm) π 6 cm 12 cm = 565,5 cm 2 Berechnung des Bedarfs an Pappe einschließlich Verschnitt und Falzen: Kegel: 252,6cm 2 1,15 = 290,5 cm 2 Zylinder: 565,5 1,15 = 650,3 cm 2 Weiter geht s Denkbar wäre ein Nachweis mit den am Anfang der Schülerbuchseite beschriebenen Gefäßen oder der Verweis auf die Formeln. Nein, Nino hat nicht Recht, weil der Mantel eines Zylinders bei gleichen Radien deutlich größer ist als der Kegelmantel. Bei gleichen Grundflächen ist das Volumen des Quaders ebenfalls dreimal so groß wie das der Pyramide. Aufgaben 1 a) Quader: V = 14 cm 10 cm 11 cm = 1540 cm 3 O = 2 (14 cm 11 cm + 14 cm 10 cm + 11 cm 10 cm) = 808 cm 2 b) Quadratische Pyramide: V = _ 1 3 G h = _ 1 3 (16 cm) 2 12 cm = 1024 cm 3 Berechnung von h s : h s = (12 cm) 2 + (8 cm) 2 = 14,4 cm O = (16 cm) _ cm 14,4 cm 3 = 256 cm ,8 cm 2 = 716,8 cm 2 c) Zylinder: V = G h = π (12,5 cm) 2 25 cm = cm 2 O = 2 π r π r h = 2 π (12,5 cm) π 12,5 cm 25 cm = 2945 cm 2 d) Kegel: Berechnung der Höhe h: h = s 2 r 2 = (15 cm) 2 (9 cm) 2 = 12 cm V = _ 1 3 π r 2 h = _ 1 3 π (9 cm) 2 12 cm = 1018 cm 3 O = π r 2 + π r s = π (9 cm) 2 + π 9 cm 15 cm = 678,6 cm 2 L 110

113 2 a) (1) O = 460,80 cm 2 (2) O = cm 2 (3) O = 152 cm 2 (4) O = 377,0 cm 2 (5) O = 301,6 cm 2 Die kleinste Oberfläche hat Prisma (3), die größte Prisma (2). b) (1) V = 665,6 cm 3 (2) V = cm 3 (3) V = 112 cm 3 (4) V = 552,9 cm 3 (5) V = 276,5 cm 3 3 Vor der Berechnung müssen die Seitenlängen und die notwendigen Höhen der Grundflächen ermittelt werden. a) V = 2,5 cm 4 cm 5,5 cm = 55 cm 3 O = 2 (2,5 cm 4 cm + 2,5 cm 5,5 cm + 4 cm 5,5 cm) = 91,5 cm 2 b) V = 3 cm 4 cm 5,5 cm = 66 cm 3 Berechnung der schrägen Grundflächenseite x: x = (4 cm) 2 + (0,5 cm) 2 = 4,03 cm O = 2 (3 cm 4,03 cm + 3 cm 5,5 cm + 4,03 cm 5,5 cm) = 101,5 cm 2 c) V = π (1,5 cm) 2 5,5 cm = 38,88 cm 3 O = 2 π (1,5 cm) π 1,5 cm 5,5 cm = 65,97 cm 2 d) V = _ cm 4 cm 5,5 cm = 66 cm3 Berechnung des Schenkels des Dreiecks x: x = (3 cm) 2 + (4 cm) 2 = 5 cm O = 2 _ cm 4 cm + 6 cm 5,5 cm cm 5,5 cm = 112 cm 2 5,5 cm + 2,5 cm e) V = 2 4 cm 5,5 cm = 88 cm 3 Berechnung der rechten schrägen Trapezseite b: b = (4 cm) 2 + (0,5 cm) 2 = 4,03 cm Berechnung der linken schrägen Trapezseite d: d = (4 cm) 2 + (2,5 cm) 2 = 4,72 cm 5,5 cm + 2,5 cm O = cm + 5,5 cm (5,5 cm + 4,03 cm + 2,5 cm + 4,72 cm) = 124,1 cm 2 4 a) Individuelle Lösungen. Beispiel: Prisma mit gleichseitigem Dreieck als Grundfläche Festlegung: Dreiecksseite a = 15 cm Berechnung der Dreieckshöhe h D : h D = (15 cm) 2 (7,5 cm) 2 = 13 cm M = 800 cm 2 15 cm 13 cm 2 2 = 605 cm cm2 Säulenhöhe h S : h S = 3 15 cm = 13,4 cm b) Individuelle Lösungen. Beispiel: Zylinder mit r = 10 cm; Grundfläche G = π (10 cm) 2 = 314,2 cm 2 Mantelfläche M = 800 cm ,2 cm 2 = 171,6 cm 2 Höhe des Zylinders h: 171,6 cm2 h = 2 π 10 cm = 2,73 cm 5 (1) V = π (2,5 cm) 2 5 cm = 98,17 cm 3 (2) V = (5 cm) 3 = 125 cm 3 Das Volumen von Körper (2) ist um 27,3 % größer als das Volumen von Körper (1). (1) O = 2 π (2,5 cm) π 2,5 cm 5 cm = 117,81 cm 2 (2) O = 6 (5 cm) 2 = 150 cm 2 Die Oberfläche von Körper (2) ist um 27,3 % größer als die Oberfläche von Körper (1). 6 a) (1) V = 139,89 dm 3 = 139,89 ø (2) V = 69,94 dm 3 = 69,94 ø Gefäß (1) hat ein größeres Volumen als Gefäß (2) b) (3) V = 120 dm 3 = 120 ø (4) V = 72 dm 3 = 72 ø Gefäß (3) hat ein größeres Volumen als Gefäß (4) 7 a) V = a 2 h; h = _ V a = cm3 2 = 16 cm (5,5 cm) b) V = a 2 h; a = _ V h = cm3 10 cm = 34 cm c) V = π r 2 h; h = _ V 760 cm3 2 = 2 = 0,50 cm π r π (22 cm) d) V = π r 2 h; r = _ V π h = 1000 cm3 π 30 cm = 3,26 cm e) V = a _ + c 2 h a h 2 V h a = h (a + c) = cm 3 = 22 cm 26 cm (14 cm + 19,5 cm) f) V = a _ + c 2 h a h c = _ 2 V 962,5 cm3 a = 2 h a h 14 cm 12,5 cm 3,3cm = 7,7 cm L 111

114 8 Der Stamm eines Baumes hat in etwa die Form eines Zylinders, daher gilt für das Volumen die Formel V = π r 2 h. = 24,4 m _ = 3,88 m. r = u _ 2 π 2 π V = π r 2 h = π (3,88 m) 2 83,8 m = 3963m 3. Mit der Dichte ergibt sich jetzt für den Stamm folgende Masse m: m = 300 kg/m m 3 = kg = 1188,9 t Die tatsächliche Masse des Stammes wird von der berechneten Größe stark abweichen, weil der Stamm nach oben schlanker wird. 9 Volumen des Kieshaufens: V = _ 1 3 π r 2 h = _ 1 3 π (4 m) 2 2,4 m = 40,21 m 3. Anzahl der Lkw-Transporte x: 40,21 m3 x = 3 = 6,7 6 m Der Lkw muss 7-mal fahren. 10 Die Notiz auf der Randspalte hilft, diese Aufgabe zu lösen. a) Hubraum Volumen: V = 6 π r 2 h = 6 π (4,2 cm) 2 8,4 cm = 2793 cm 3 Der Hubraum beträgt 2793 cm 3. b) Bei dieser Aufgabe ist auf die Verwendung passender Einheiten zu achten. Volumen eines Zylinders: V = 600 cm 3 Durchmesser d: V = π r 2 h r = _ V π h = 600 cm3 π 12 cm =3,99 cm d = 2 r = 2 3,99 cm = 7,98 cm Ein Zylinder hat einen Durchmesser von 7,98 cm. c) Individuelle Lösungen. 12 Volumen der Pyramide V: V = _ 1 3 (9 dm) 2 21 dm = 567 dm 3. Masse der Pyramide m: m = 2,7 kg/dm dm 3 = 1530,9 kg Der Kran mit einer Tragkraft von 1500 kg kann den Stein nicht heben. 13 Volumen des Zylinders V: V = 8000 g 3 = 3636 cm3 2,2 g/cm Höhe des Zylinders h: h = _ V π r = 3636 cm3 2 2 = 8,04 cm π (12 cm) Die Form muss bis zu einer Höhe von 8 cm befüllt werden. 14 a) V = _ 1 3 π r 2 h = _ 1 3 π (3,5 cm) 2 12 cm = 153,94 cm 2 = 154 mø b) V = 0,5 ø = 500 mø = 500 cm 3 r = _ V π h = 500 cm3 π 15 cm = 3,26 cm Der Messbecher hat einen Radius von 3,26 cm. 15 a) Das Volumen des Aquariums beträgt 200 ø, das sind 200 dm 3 = cm 3. Da die eine Seite mit 50 cm schon vorgegeben ist, muss das Produkt der beiden anderen Seiten 4000 cm 2 ergeben, damit insgesamt ein Volumen von 4000 cm 2 50 cm = cm 3 entsteht. Daher sind alle Kombinationen von Längen möglich, die als Produkt 4000 cm 2 ergeben. Denkbar wäre z. B. die Kombination 100 cm 40 cm, so dass das Aquarium 100 cm lang und 40 cm hoch ist. b) Es sind dann noch 65 % von 200 ø Wasser im Aquarium, also 0, ø = 130 ø. 11 a) Berechnung des Volumens V: V = 665 g 3 = 950 cm3 0,7 g/cm Radius r: r = _ 3 V π h = cm3 π 7,5 cm = 11,0 cm b) Das Gewicht des Materials der Bohrung beträgt 15 g. 15 g Volumen: V = 0,7 g/cm3 = 21,43 cm3 Die Bohrung hat die Form eines Zylinders. r = _ V π h = 21,43 cm3 π 4 cm = 1,31 cm Die Bohrung hat einen Durchmesser von 2,62 cm. L 112

115 16 Bei dem Dreieck sind die Seiten h und r bekannt und Seite s ist gesucht. s = h 2 + r 2 = (24 cm) 2 + (18 cm) 2 = 30 cm Oberflächeninhalt des Kegels: O = π r 2 + π r s = π (18 cm) 2 + π 18 cm 24 cm = 2375 cm 2. Information Eine Skizze erweist sich in den allermeisten Fällen als sehr hilfreich, um zu erkennen, wo bekannte und unbekannte Größen liegen, und welche Größen berechnet werden müssen. Daher sollte das Anfertigen einer Skizze immer am Anfang des Lösungsweges einer Aufgabe stehen. Durch systematische Überlegungen lassen sich dann rechtwinklige Dreiecke bestimmen und unbekannte Größen innerhalb dieser rechtwinkligen Dreiecke mittels des Satzes des Pythagoras ausrechnen. Den Schülerinnen und Schülern sollte noch einmal bewusst gemacht werden, dass der Satz des Pythagoras nur bei rechtwinkligen Dreiecken Anwendung findet, nicht bei beliebigen Dreiecken. 17 Vorsicht, bei Figur (1) ist der Durchmesser gegeben! a) (1) h 2 + (24 cm) 2 = (40 cm) 2 h = 32 cm (2) h 2 + (14 cm) 2 = (50 cm) 2 h = 48 cm b) (1) V = _ 1 3 π r 2 h = _ 1 3 π (24 cm) 2 32 cm = cm 3 (2) V = _ 1 3 π (14 cm) 2 48 cm = 9852 cm 3 c) (1) O = π r 2 + π r s = π (24 cm) 2 + π 24 cm 40 cm = 4825 cm 2 (2) O = π (14 cm) 2 + π 14 cm 50 cm = 2814 cm 2 18 a) d 2 = (16,8 cm) 2 + (7 cm) 2 d = 18,2 cm b) d 2 = (10,5 cm) 2 + (10 cm) 2 d = 14,5 cm 19 a) Flächendiagonale _ AF : _ AF 2 = (30 cm) 2 + (16 cm) 2 ; _ AF = 34 cm Flächendiagonale _ BG : _ BG 2 = (12 cm) 2 + (16 cm) 2 ; _ BG = 20 cm Flächendiagonale _ AC : _ AC 2 = (12 cm) 2 + (30 cm) 2 ; _ AC = 32,3 cm b) Raumdiagonale _ AG : Hierfür benötigt man eine der im Aufgabenteil a) berechneten Flächendiagonalen um ein rechtwinkliges Dreieck zu finden, welches die Raumdiagonale als Seite hat. Beispiel: _ AG 2 = _ AC 2 + _ CG 2 = (32,3 cm) 2 + (16 cm) 2 _ AG = 36,0 cm Die Raumdiagonale ist 36,0 cm lang. 20 Bei dieser Aufgabe hilft die Zeichnung in der Randspalte. Es gibt ein rechtwinkliges Dreieck aus Erdradius und Sichtweite als Katheten und Erdradius plus Höhe als Hypotenuse. (6370,117 km) 2 = (6370 km) 2 + x 2 ; x = 38,6 km Man kann etwa 38 km weit sehen. 21 a) Flächendiagonale d F : d 2 F = (3 cm) 2 + (3 cm) 2 ; d F = 4,24 cm Raumdiagonale d R : d 2 R = (3 cm) 2 + (4,24 cm) 2 ; d R = 5,20 cm b) sin α = 3 cm 5,20 cm ; α = 35,2 Der Winkel zwischen den Diagonalen beträgt 35,2. c) Der Winkel zwischen der Raumdiagonale und einer Flächendiagonale bei einem Würfel mit den Kantenlängen 9 cm beträgt ebenfalls 35,2. Die Verhältnisse der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks bleiben gleich. Die Dreiecke sind somit ähnlich. 22 a) h 2 s = 2 _ a h 2 = (6 cm) 2 + (16 cm) 2 h s = 17,1 cm b) tan α = _ 2 h cm _ a = _ cm ; α = 69,4 c) Für diese Aufgabe benötigt man die Längen der Diagonalen der Grundfläche und der Seitenkante. d 2 = 2 a 2 = 2 (12 cm) 2 ; d = 17,0 cm Seitenkante s: s 2 = h _ d = (16 cm) 2 + (8,5 cm) 2 s = 18,1 cm sin β = _ h 16 s = _ 18,1 cm ; β = 62,1 L 113

116 4 Volumen der Kugel Die Kugel nimmt im Geometrieunterricht eine Sonderstellung ein, da zu Berechnungen immer die Kreiszahl π benötigt wird. Gemäß der Leitidee Messen wird der Rauminhalt der Kugel bestimmt. Die Begriffe Rauminhalt und Volumen werden synomym verwendet. Impulse Beispiele für Möglichkeiten zur Bestimmung des Volumens eines Körpers: durch Eintauchen in ein randvoll mit Wasser gefülltes Gefäß und Abmessen der übergelaufenen Wassermenge; durch Abwiegen und Berechnen mithilfe der Dichte. Zwei Kegel werden umgeschüttet und füllen die Halbkugel. Vier Kegel passen in die ganze Kugel. Kegelvolumen V = _ 1 3 π r 2 h; h = r Halbkugelvolumen V = _ 2 3 π r 3 Merkkasten Wichtig ist anzumerken, dass der Vorfaktor _ 4 3 hier größer als 1 ist. Dies steht im Gegensatz zur Berechnung des Volumens von Pyramide und Kegel, wo der Vorfaktor 1 _ 3 benötigt wird. Weiter geht s Die Schülerinnen und Schüler haben bei der Einführung schon gesehen, dass eine Halbkugel das doppelte Volumen eines Kegels mit den entsprechenden Maßen hat. Das Volumen einer ganzen Kugel ist also viermal so groß wie das Volumen des Kegels, hier also cm 3 = 600 cm 3. Berechnung des Kegelradius: V = _ 1 3 π r 3 r = 3 3 _ π V = cm3 3 π = 5,232 cm Volumen des Zylinders: V = π (5,232 cm) 2 5,232 cm = 450,0 cm 3 Man sieht, dass der Zylinder mir h = r das dreifache Volumen hat wie der Kegel mit gleichen Abmessungen. V = _ 4 3 π (6 cm)3 = 904,78 cm 3. Die Kugel hat ein Volumen von 904,8 cm 3. Aufgaben 1 Hier muss jeweils nur in die Volumenformel eingesetzt werden. Es ist darauf zu achten, dass ab Aufgabenteil e) jeweils der Durchmesser und nicht der Radius angegeben ist. a) V = 268,08 cm 3 b) V = cm 3 c) V = 1150 dm 3 d) V = mm 3 e) V = m 3 f) V = dm 3 g) V = cm 3 h) V = mm 3 2 Volumen der Styroporkugel: V = _ 4 3 π (50 cm) 3 = cm 3. Dichte: 0,03 g/cm Masse der Kugel: m = cm 3 0,03 g/cm 3 = g. Die Kugel wiegt also 15,71 kg. Man kann die Styroporkugel tragen. 3 Volumen der Halbkugel: V = _ 2 3 π r 3 = _ 2 3 π (8 cm) 3 = 1072 cm 3 Das maximale Fassungsvermögen der Schüssel beträgt 1072 cm 3 = 1,072 dm 3 = 1,072 ø. 4 Es empfiehlt sich, vor Beginn der Berechnung die Einheiten durch Umwandlung anzupassen, also in diesem Fall mit dem Durchmesser in Zentimeter zu rechnen. Das Volumen der Kugel beträgt cm 3 (s. Aufg. 2). Masse der Kugel: m = cm 3 2,9 g/cm 3 = g Die Granitkugel wiegt g = 1 518,440 kg = 1,518 t. L 114

117 5 Der Preis für eine Riesenkugel ist nur dann gerechtfertigt, wenn die Riesenkugel mindestens das gleiche Volumen hat wie 2 normale Kugeln. Volumen der normalen Kugel: V = _ 4 3 π (2 cm) 3 = 33,5 cm 3 Volumen der Riesenkugel: V = _ 4 3 π (3 cm) 3 = 113,1 cm 3 Volumen von 2 normalen Kugeln: V = 2 33,5 cm 3 = 67 cm 3 Das Volumen einer Riesenkugel ist gößer als das Volumen von 2 normalen Kugeln. Damit ist der Preis gerechfertigt. Es ist günstiger, eine Riesenkugel als zwei Normalkugeln zu kaufen. 6 a) Volumen des umbauten Raums: V = _ 4 3 π (16 m) 3 = m 3. Der umbaute Raum umfasst etwa m 3. b) Der Boden des Cafés ist eine Kreisfläche: A = π r 2 = π (14,5 m) 2 = 660,5 m 2 Man muss nun noch 10 % abziehen: 660,5 m 2 0,9 = 594,45 m 2 Den Gästen stehen etwa 600 m 2 zur Verfügung. 7 Diese Aufgabe können sich die Schülerinnen und Schüler durch Beispiele veranschaulichen und dann mithilfe der Volumenformel begründen. Ersetzt man in der Volumenformel r durch 2 r, verdoppelt also den Radius, so ergibt sich: V = _ 4 3 π (2 r) 3 = _ 4 3 π 8 r 3 Durch Umstellen erhält man: V = 8 _ 4 3 π r 3 = 8 V Kugel Das Volumen einer Kugel verachtfacht sich, wenn man den Radius verdoppelt. Bei einem dreifachen Radius erhält man durch die analoge Herleitung: V = 27 _ 4 3 π r 3 = 27 V Kugel Mit dem dreifachen Radius wächst das Volumen der Kugel auf das 27-Fache. Der Radius wächst in der dritten Potenz des Faktors der Radiusvergrößerung aufgrund der dritten Potenz in der Volumenformel. 8 Umfang des Kreises: u = 2 π r a) Durch Umstellung der Umfangsformel erhält man: 68 cm r = _ 2 π = 10,82 cm d = 2 r = 21,64 cm. Der Fußball hat einen Durchmesser von 21,64 cm. b) Volumen des Fußballs: V = _ 4 3 π r 3 = _ 4 3 π (10,82 cm) 3 = 5306 cm 3 Ein Fußball hat ein Volumen von 5306 cm 3. 9 Hier ist es hilfreich, zuerst die Volumenformel nach dem Radius umzustellen und dann die Volumenwerte einzusetzen. r = 3 _ 4 V 3 π a) r = 3,00 m b) r = 7,50 cm c) r = 0,28 dm d) r = 0,90 cm e) r = 12,00 mm f) r = 3,25 mm g) 1 ø = 1 dm 3 = 1000 cm 3 r = 6,20 cm h) r = 6364,71 km 10 Die Schülerinnen und Schüler können als Hilfestellung die Ergebnisse der Impulse auf Seite 114 (oben) nutzen. a) Der Inhalt des kegelförmigen Eisbechers passt 3-mal in den zylinderförmigen Eisbecher, denn es gilt: Zylinder: V = π r 3, weil h = r Kegel: V = _ 1 3 π r 3, weil h = r b) Der Inhalt des kegelförmigen Eisbechers passt 2-mal in den halbkugelförmigen Eisbecher, denn es gilt: Halbkugel: V = _ 2 3 π r 3 Kegel: V = _ 1 3 π r 3, weil h = r des zylinderförmigen c) Es werden genau 2 _ 3 Eisbechers gefüllt, das sind 66,7 %, denn es gilt: Zylinder: V = π r 3, weil r = h Halbkugel: V = 2 _ 3 π r 3 L 115

118 5 Oberfläche der Kugel Einstieg Die Schülerinnen und Schüler werden sich in erster Linie für Bälle interessieren, die in einer ihnen bekannten Sportart verwendet werden. Impulse Bälle müssen bestimmten Vorgaben bezüglich ihrer Größe entsprechen. In der Regel gibt es eine Spannweite für den Umfang und das Gewicht. Umfang Gewicht Basketball cm g Fußball cm g Tennisball cm 56,7 58,5 g Tischtennisball 11,4 12,1 cm 2,4 2,5 g Volleyball cm g Beim Kugelstoßen der Frauen ist das Gewicht einer Kugel seit 1926 auf genau 4 kg festgelegt, der Durchmesser kann zwischen 9,5 cm und 11 cm liegen. Das Material ist frei wählbar, die Kugel darf nur nicht weicher als Messing sein. Meistens wird bei Wettkämpfen eine Eisenlegierung gewählt. Im Impuls ist der Durchmesser gegeben, nicht der Radius. Volumenformel Kugel: V K = 4 _ 3 π r 3 Bei d = 9,5 cm (r = 4,75 cm): Volumen V K = 4 _ 3 π (4,75 cm) 3 448,92 cm 3 ; Gewicht 448,92 cm 3 7,874 g = 3534,8 g ( 3,5 kg) Bei d = 11 cm (r = 5,5 cm): Volumen V K = 4 _ 3 π (5,5 cm) 3 696,91 cm 3 ; Gewicht 696,91 cm 3 7,874 g = 5487,47 g ( 5,5 kg) Die Eisenkugeln mit d = 9,5 cm und d = 11 cm sind also zu leicht bzw. zu schwer. Eine Eisenkugel mit d = 9,9 cm hätte ein Gewicht von 4 kg. Die Dreiecke und die Rechtecke erhält man durch Zerlegung der Oberfläche. Den Durchmesser erhält man, indem man den Umfang durch 3 (annähernd an π) teilt. Es werden drei Quadrate der Kantenlänge d benötigt. Aus der Annäherung für π (π 3) erhält man u 3 d und somit die Zerlegung für die Kugeloberfläche O = 3 d 2. Die Jugendlichen können so den Zusammenhang Oberfläche Kugel = 3 d d = 3 2 r 2 r entdecken. Merkkasten Hier wird die in den Impulsen erarbeitete Zerlegung der Kugeloberfläche in eine Formel zur Flächenberechnung umgesetzt. Die Oberfläche einer Kugel ist viermal so groß wie die Kreisfläche mit demselben Radius. Die Einheit der Oberfläche ist ein Flächenmaß. Weiter geht s Es ist eine Annäherung, die Kugeloberfläche in drei Quadrate zu zerlegen. Die Quadrate können viel leichter berechnet werden als die runde Oberfläche. Der Faktor 3 ist dabei die Annäherung an π. Hier zeigt sich auch wieder, dass die Oberfläche eine Fläche und kein Rauminhalt ist. Man kann sie mit Quadratflächen annähern. Aufgaben 1 a) O = 50,27 cm 2 b) O = 1520,5 cm 2 c) O = 1134,1 cm 2 d) O = 1385,4 cm 2 e) O = 132,73 cm 2 f) O = 1963,5 cm 2 2 a) O = 1809,6 cm 2 b) O = 5,31m 2 O = 7238,2 cm 2 O = 21,24 m 2 O = dm 2 O = 5542 mm 2 O = 1333,2 cm 2 O = 3421 dm 2 O = cm 2 O = 0,283 m 2 O = cm 2 O = 1,54 cm 2 O = 7980,1 cm 2 O = 21,24 cm 2 L 116

119 3 a) O = 4 π r 2 = 4 π (25 m) 2 = 7853,98 m 2 Die Fuller-Kuppel hat ungefähr eine Oberfläche von 7854 m 2. b) Die Größe eines Fußballfeldes kann variieren, es ist meistens etwa 100 m lang und 75 m breit, d. h., es hat eine Fläche von etwa 7500 m 2. Die Oberfläche der Fuller-Kuppel entspricht ungefähr der Größe eines Fußballfeldes. 4 r V = _ 4 3 π r 3 O = 4 π r 2 a) 6 cm 904,78 cm 3 452,39 cm 3 b) 15 mm 14137,17 mm mm 2 c) 7,5 cm 1767,15 cm 3 706,5 cm 2 d) 21 m 38792,39 m ,96 m 2 e) 12 cm 7234,56 cm ,56 cm 2 f) 27 m ,16 m ,88 m 2 g) 1,5 mm 14,13 mm 3 28,27 mm 2 h) 0,3 cm 0,11304 cm 3 1,13 cm 2 Im Internet findet man unter der Seite Berechnungsprogramme, die man zur Ergebniskontrolle verwenden kann. 5 a) V K = 4 _ 3 π (12 m) 3 = 7238 m 3 b) Berechnung mit dem Innenradius: O K = 4 π (12 m) 2 = 1809,56 m 2 Berechnung mit Berücksichtigung der Wandstärke: O K = 4 π (12,02 m) 2 = 1815,59 m 2 Bei Berücksichtigung der Wandstärke ist die Oberfläche etwa 6 m 2 größer. Es müssen etwas mehr als 1800 m 2 gestrichen werden. 6 1 dm 3 = 1 Liter, 1 cm 3 = 1 mø. a) Volumen der Halbkugel: V = _ 2 3 π (12 cm) 3 = 3619 cm 3 = 3,62 ø. b) Volumen der Halbkugel: V = _ 2 3 π (4 cm) 3 = 134,04 cm 3 Füllmenge V F : V F = 0,8 134 cm 3 = 107,23 cm 3 Bei einem Schöpfvorgang könnten etwa 107 mø umgefüllt werden. c) geg: _ 1 2 V K = 5 ø, also V K = 10 ø = cm3 ; ges: Radius r r = cm3 4 π = 13,37 cm Der Innendurchmesser beträgt 26,7 cm. d) Das Glasvolumen berechnet man als Differenz aus den Volumina der Kugeln mit Außenradius und Innenradius. V = _ 4 3 π (12,3 m) 3 _ 4 3 π (12 m) 3 = 556,6 cm 3 Man benötigt etwa. 557 cm 3 Glas für die Herstellung des Gefäßes. Wenn es nur um eine Näherungslösung ginge, könnte man die Kugeloberfläche der Innenseite oder der Außenseite mit der Wandstärke multiplizieren. Im ersten Fall erhielte man 543 cm 3, im zweiten 570 cm 3. 7 Bei der Vergrößerung des Radius vergrößert sich die Oberfläche im Quadrat des Vergößerungsfaktors. Bei Vergrößerung der Oberfläche wächst folglich der Vergrößerungsfakor auf das 2 -Fache. Als Gleichung: O 2 = 2 O 1 4 π r 2 2 = 2 4 π r 2 1 r 2 = r 1 2 Der Radius wird in der Volumenformel der Kugel in der 3. Potenz verwendet. Wird der Radius verdoppelt (Faktor 2), verachtfacht (Faktor 2 3 ) sich das Volumen. Wird der Radius verdreifacht (Faktor 3), wird das Volumen 27-mal (Faktor 3 3 ) so groß. 8 Die Auswirkung der Verdopplung der Oberfläche der Kugel auf den Radius ist in der Lösung zur Aufgabe 7 dargestellt. Da in der Volumenformel der Kugel die 3. Potenz des Radius verwendet wird, steigt bei einer Verdopplung der Kugeloberfläche das Volumen auf das Fache. 9 a) Wenn man die 10 % für den Verschnitt abzieht, steht noch 90 % zur Verfügung: O = 0, m 2 = 1350 m 2 Die Oberfläche des Ballons besteht aus 1350 m 2 Stoff. b) Umformen der Oberflächenformel der Kugel nach r: r = _ O 4 π = 1350 m2 4 π = 10,36 m. Der Ballon hat einen Radius von 10,36 m. c) V = _ 4 3 π (10,36 m) 3 = 4658 m 3 Der Ballon erreicht ein maximales Volumen von 4658 m 3. L 117

120 Thema: Schnitte Aufgaben 1 a) b) h = 9 cm h = 11 cm b) d 8,49 cm; h Pyr 1,5 cm h Pyr = 1,5 cm 2 cm d = 8,5 cm r = 6 cm c) d) h = 7 cm r = 7 cm h 2 = 5 cm c) d 4,2 cm d = 4,2 cm h = 8 cm h Pyr = 3,5 cm e) a = 5 cm h 2 = 12,4 cm r = 2,5 cm h 1 = 3 cm h s = 5,6 cm 3 Gegebenenfalls muss die Diagonale berechnet werden. Die Schnitte könnten zum Beispiel so aussehen: (1) Schnitt durch die Körpermitte senkrecht zur Grundfläche entlang der Diagonalen: r = 4 cm h s = 14,5 cm h = 6 cm f) h 1 = 4,5 cm h = 6,9 cm a = 15 cm d = 8,5 cm (2) Schnitt parallel zur Grundfläche: r a a a = 6 cm r = 4 cm h s = 15,8 cm r = 14,2 cm (3) Schnittfläche durch die Körpermitte senkrecht zur Grundfläche: h = 6 cm 2 a) Berechnung der Diagonalen d = a 2 h = 7,2 cm d 7,78 cm a r a = 6 cm r = 4 cm 4 a) Zum Beispiel: b) Zum Beispiel: a 2 d = 7,8 cm h = 12 cm h 2 a = 8 cm h 1 a 1 L 118

121 6 Zusammengesetzte Körper Müssen Körper im Alltag berechnet werden, so zerlegt man sie häufig gedanklich in einfach zu berechnende Teilkörper. Die Schwierigkeit dabei ist, zu erkennen, wie ein Körper geschickt zerlegt werden kann. Einstieg Als Einstieg in die Berechnung zusammengesetzter Körper können Hanteln mitgebracht werden. Neben den im Schülerband erwähnten Hanteln sind auch Hanteln mit 5 lb üblich. Mit lb sind englische Pfund gemeint. 1 lb = 1 pound 0,4373 kg. 5 lb sind also rund 1,87 kg. Impulse Die abgebildete Hantel ist aus 3 Zylindern zusammengesetzt. Eine 2-kg-Hantel hat ein Volumen von rund 255,95 cm 3 (der mittlere Zylinder hat eine Höhe von 12 cm). Dies entspricht bei der angegebenen Dichte von Stahl einem Gewicht von rund 2004 g = 2,004 kg. Es sind also keine Hohlräume enthalten. (Volumen 3-kg-Hantel: 383,16 cm 3 ; Volumen 4-kg-Hantel: 511,02 cm 3 ) Merkkasten Oftmals gibt es mehrere Möglichkeiten für die Zerlegung in Einzelkörper. Am Tageslichtprojektor können unterschiedliche Möglichkeiten veranschaulicht und auf ihre Eignung hin überprüft werden (einfach zu berechnen; Maße sind der Abbildung zu entnehmen). Weiter geht s: a) Der Körper kann zum Beispiel in 2 Quader oder 2 Trapezprismen zerlegt werden und hat ein Volumen von 42 cm 3. b) Der Körper kann zum Beispiel in ein Trapezprisma und einen Quader oder in ein Dreiecksprisma und einen Quader zerlegt werden. Er hat ein Volumen von 37,5 cm 3. c) Der Körper kann in 2 Zylinder zerlegt werden und hat ein Volumen von 109,96 cm 3. Weiteres Angebot: Würfelbauten A B C D 1 Ein Würfel hat die Kantenlänge 2 cm. Berechne die Oberfläche der Bauwerke. 2 Wie ändert sich die Oberfläche, wenn du bei dem Würfelgebäude A einen kleinen Würfel aus der oberen Reihe entfernst? Aufgepasst! Es gibt nicht nur eine Lösung! 3 Welche Würfelbauten kannst du zu einem Würfel umbauen? 4 Würfelgebäude A soll in einen Würfel umgebaut werden. Du darfst weitere kleine Würfel verwenden. Gib zwei verschiedene Möglichkeiten an. Gib zu diesen Würfeln auch das Volumen an. Lösungen 1 A 168 cm 2 B 352 cm 2 C 384 cm 2 D 248 cm 2 2 Wenn der Würfel aus der Ecke entfernt wird, ändert sich die Oberfläche gar nicht. Wird er aus der Mitte entfernt, erhöht sich der Oberflächeninhalt um 2 Flächen des kleinen Würfels, also um 8 cm 2. 3 Gebäude D kann zu einem Würfel umgebaut werden, da es insgesamt 27 kleine Würfelchen sind. 4 V = 144 cm 3, man benötigt mindestens 9 weitere Würfel; V Würfel = 216 cm 3. L 119

122 Aufgaben 1 a) V = cm cm 3 = cm 3 1 cm 3 Stahl wiegt 7,83 g, der Stahlträger also rund 276 kg. Dieses Gewicht können 6 Bauarbeiter tragen. b) Ja, denn sind alle Maße doppelt so groß, so ist das Volumen (das Gewicht) das 8-Fache des ursprünglichen Volumens (Gewichtes). Ein Kran ist notwendig. c) V = cm 3 ; Gewicht 405,20 kg d) Die Fläche, für die die Farbe reicht, kann mit einem Dreisatz berechnet werden. Mit dem Inhalt einer Dose kann man 6 m 2 streichen. T-Träger: O = cm 2 ; bei doppeltem Anstrich müssen cm 2 = 5,0564 m 2 gestrichen werden. Die Farbe reicht also für einen doppelten Anstrich. U-Träger: O = cm 2 ; bei doppeltem Anstrich müssen cm 2 = 7,2828 m 2 gestrichen werden. Eine zweite Farbdose wird benötigt. 2 Für die Volumenberechnung kann der Körper in einen Quader mit einem ausgeschnittenen Halbzylinder und ein aufgesetztes Dreieckprisma zerlegt werden. Da das Volumen des aufgesetzten Dreieckprismas nur ein wenig geringer ist als das des ausgeschnittenen Halbzylinders, genügt für die Schätzung das Volumen des Quaders. Volumen geschätzt: V Q = 10 cm 4 cm 5 cm = 200 cm 3 Genaue Berechung: V Dreieckprisma = 36 cm 3 V Halbzylinder 56,55 cm 3 V gesamt = 200 cm 3 56,55 cm cm 3 = 179,45 cm 3 3 Der Grenzstein besteht aus einem Quader und einer aufgesetzten Pyramide. V Quader = cm 3 ; V Pyramide = 2667 cm 3 V gesamt = cm 3 Gewicht: g = 78,4 kg 4 a) Ein Holzbrett im Format DIN A3 hat die Maße l = 42 cm; b = 29,7 cm. Zeichnet man sich maßstabsgetreu eine Skizze (oder in Originalmaßen auf DIN-A3-Papier), so wird deutlich, dass die benötigten Einzelflächen nicht so eingezeichnet werden können, dass man sie anschließend aussägen könnte. Rein rechnerisch ist die Grundfläche des Holzbrettes mit A = 1247,4 cm 2 größer als der Flächeninhalt der Teile für die Buchstützen mit A = 1240 cm 2. Für zusammenhängende Teile reicht das Holzbrett aber nicht aus. b) Das Volumen einer Buchstütze beträgt 1860 cm 3. Zwei Buchstützen wiegen 2678,4 g oder 2,6784 kg. 5 a) 3 cm 5 cm 8 cm 4 cm b) V Zylinder = 201,06 cm 3 ; V Kegel = 19,63 cm 3 V gesamt = 181,43 cm 3 c) Oberfläche der Rundsäule: O RS = 2 π (4 cm) π 4 cm 4 cm = 206,06 cm 2 Ausgeschnittene Kreisfläche: A = π (2,5 cm) 2 = 19,63 cm 2 Mantel des ausgeschnittenen Kegels: Länge des Kegelmantes s = 3,91 cm M = π 2,5 cm 3,91 cm = 30,71 cm 2 Oberfläche des Restkörpers: O = O RS A + M = 206,06 cm 2 19,63 cm ,71 cm 2 = 212,14 cm 2 Die Oberfläche des Körpers beträgt 212,14 cm 2. d) Prozentsatz des Restkörperanteils an der Rundsäule: 181,43 cm3 p = 3 = 0,902 = 90,2 % 201,06 cm Die Aussage ist falsch. Der Körper wiegt noch 90,2 % seines ehemaligen Gewichtes. 6 a) 2005,49 ø (also etwa 2000 ø) b) 10,58 m 2 c) Rechnet man mit einem Literpreis von 0,45, so ergeben sich Kosten von 2707,41. d) Die Öltanks stehen senkrecht im Keller. Er hat rund 4088 ø verbraucht. L 120

123 Üben Wiederholen Aufgaben 1 a) Dreieck: A = _ 1 2 g h = _ 1 2 4,4 cm 3 cm = 6,6 cm2 b) Dreieck: A = _ 1 2 g h = _ 1 2 5,5 cm 3,2 cm = 8,8 cm2 c) Trapez: A = a _ + c cm + 11 cm 2 h = 3 2 4,2 cm = 29,4 cm 2 d) Parallelogramm: A = a h = 10 cm 4,8 cm = 48 cm 2 2 a) Dreieck: A = _ cm 2 cm = 4 cm2 Quadrat: A = a 2 = (4 cm) 2 = 16 cm 2 Halbkreis: A = 1 _ 2 π (2 cm) 2 = 6,28 cm 2 Figur: A = 16 cm 2 + 6,28 cm 2 = 26,28 cm 2 b) Rechteck: A = 4 cm 2 cm = 8 cm 2 Quadrat: A = (2 cm) 2 = 4 cm 2 Viertelkreis: A = _ 1 4 π (2 cm) 2 = 3,14 cm 2 Figur: A = 8 cm cm 2 + 3,14 cm 2 = 15,14 cm 2 8 cm + 2 cm c) Großes Trapez: A = 2 4 cm = 20 cm 2 Kleines Dreieck: A = _ cm 2 cm = 2 cm2 Figur großes Trapez Dreieck: A = 18 cm 2 3 a) Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Seitenwandfläche zu berechnen. Man kann die Fläche senkrecht teilen und erhält dann zwei Trapeze. Auch eine Zerlegung in ein Rechteck, ein Dreieck und ein Trapez bietet sich an. Berechnung für das erste Beispiel: Trapez (links): A 1 = a _ + c m + 14,40 m 2 h = 2,40 2 8,50 m = 71,40 m 2 Trapez (rechts): A 2 = a _ + c m + 14,40 m 2 h = 9,60 2 4,80 m = 57,60 m 2 A = A 1 + A 2 = 71,40 m ,60 m 2 = 129,0 m 2 b) Da die Wand zweifach gestrichen werden soll, muss man Farbe für insgesamt m 2 = 258 m 2 kaufen. Ein Eimer Farbe reicht für 50 m m2 Anzahl der Eimer: _ 50 m2 = 5,16 Da man aber nur ganze Eimer kaufen kann, werden 6 Eimer benötigt. 4 a) Für des Schätzen scheint es augenfällig, dass der Südteil Zyperns deutlich größer als der Nordteil ist. Bei der näherungsweisen Bestimmung gibt es abweichende Lösungen. Legt man für den Norden Zyperns von links nach rechts zwei Rechtecke und ein Dreieck zugrunde, kommt man mit den gemessenen Strecken zu folgenden Ergebnissen: 45 km 22,5 km + 45 km 32 km + _ km 16 km = 3012,5 km2. Der Süden Zyperns könnte grob als Rechteck bestimmt werden: 112 km 45 km = 5040 km 2 b) Beim Internetlexikon findet man die Flächendaten von Zypern: Nordzypern hat eine Fläche von 3355 km 2, Südzypern 5384 km 2. 5 a) Nur das Würfelnetz (E) und das Zylindernetz (F) sind fehlerlos. (Die Schrägbilder können aus Platzgründen hier nicht abgebildet werden.) b) (A) Die Fläche unten rechts ist zu klein, die Figur würde nicht schließen. Damit eine quadratische Säule entsteht, muss das rechte Quadrat zu einem Rechteck erweitert werden. (B) Die Grundflächen der Dreieckssäule sind auf der gleichen Seite, d. h. auf einer Seite wäre der Körper offen und auf der andere Seite würden sich die Flächen überdecken. (C) Die beiden Grundflächen, hier rechts und links, sind zu lang. Sie müssen als Quadrate gezeichnet werden. Dann ist es eine quadratische Säule. (D) Hier fehlt die Grundfläche und die Manteldreiecke sind nicht gleichschenklig. Die Korrektur ergibt eine quadratische Pyramide. L 121

124 6 a) V = 113,10 cm 3 O = 113,10 cm 2 b) V = 3053,63 cm 3 O = 1017,88 cm 2 c) V = 65,45 cm 3 O = 78,54 cm 2 d) V = ,85 cm 3 O = 7853,98 cm 2 e) V = ,32 mm 3 O = 5026,55 mm 2 f) V = ,32 cm 3 O = 5026,55 cm 2 g) V = 1,15 m 3 O = 5,31 m 2 h) V = 9,20 m 3 O = 21,24 m 2 7 a) Um die Größe der Kugeln schätzen zu können, wird eine Bezugsgröße benötigt. Hierzu eignen sich die Spaziergänger. Die Betonkugeln haben tatsächlich einen Durchmesser von jeweils 3,5 m. b) Da keine genaue Größenangabe in der Aufgabe vorhanden ist, muss mit der Schätzung aus Teilaufgabe a) gearbeitet werden oder im Internet nach den genauen Maßen recherchiert werden. Wichtig ist dabei, dass die Jugendlichen ihre Annahme begründen. Bei d = 3,5 m beträgt das Volumen der Kugel: V Kugel = _ 4 3 π r 3 22,45 m 3 Es wurden 22,45 m 3 Beton für eine Kugel benötigt. c) Für die Dichte von Styropor gibt es unterschiedliche Angaben. Die Angaben schwanken von 0,015 g/cm 3 bis 0,06 g/cm 3. Die hier angegebene Lösung rechnet mit einer Dichte von 0,015 g/cm 3. 0,015 g 1 cm 3 1 g 66,67 cm g ,33 cm 3 Die Kugel wiegt 218 kg, das sind g. Berechnung des Radius r der Kugel: V Kugel = _ 4 3 π r ,33 cm 3 = _ 4 3 π r 3 r 3 = ,76 cm 3 ; r = 151,39 cm = 1,51 m Der Durchmesser beträgt also ca. 3 m und wäre damit deutlich kleiner als der der Betonkugel. Daher kann die Kugel nicht massiv sein. Da die Kugel nur teilweise versenkt werden sollte, wurde vermutlich ein Lufthohlraum eingebaut. d) Diese Teilaufgabe ist sehr offen gestellt und bietet den Schülerinnen und Schülern gute Präsentationsmöglichkeiten. Je nach Leistungsstand können die Jugendlichen einfache oder schwierigere geometrische Körper auswählen, berechnen und vorstellen. Das Volumen ist immer gleich. Zum Beispiel ist die Grundseite eines Würfels gleichen Volumens a 2,82 m lang. 8 r = 3 _ 3 V 4 π a) r = 1,34 cm; b) r = 2,88 cm; c) r = 6,20 cm 9 Bei dieser Aufgabe muss man zuerst das Volumen berechnen. a) Dichte: 2,3 g/cm 3, Gewicht = 1000 g, V = 1000 g 2,3 g/cm 3 = 434,78 cm3 ; d = 9,4 cm b) Dichte: 0,2 g/cm 3, Gewicht = 1000 g V = 1000 g 0,2 g/cm 3 = 5000 cm3 ; d = 21,22 cm c) Dichte: 11,3 g/cm 3, Gewicht = 1000 g V = 1000 g 11,3 g/cm 3 = 88,50 cm3 ; d = 5,53 cm d) Dichte: 19,3 g/cm 3, Gewicht = 1000 g V = 1000 g 19,3 g/cm 3 = 51,81 cm3 ; d = 4,63 cm e) Dichte: 2,5 g/cm 3, Gewicht = 1000 g V = 1000 g 2,5 g/cm 3 = 400 cm3 ; d = 9,14 cm f) Dichte: 4,5 g/cm 3, Gewicht = 1000 g V = 1000 g 4,5 g/cm 3 = 222,22 cm3 ; d = 7,52 cm 10 Die Werbefläche der Litfaßsäule ist ein Zylindermantel. M = 2 π r h = 2 π 0,725 m 3,25 m = 14,81 m 2. Die Werbefläche war 14,80 m 2 groß. 11 a) Der Mantel des Waffelkegels wird mit Papier umhüllt. Mantelinie s: s 2 = (10 cm) 2 + (3 cm) 2 ; s = 10,4 cm M = π r s = π 3 cm 10,44 cm = 98,40 cm Materialverbrauch A: A = 98,40 cm 2 1,12 = 110,21 cm 2 b) Um die Menge an Eis zu berechnen, muss man das Volumen des größeren Kegels berechnen, da das Eis übersteht. V = _ 1 3 π r 2 h = _ 1 3 π (4,05 cm) 2 13,5 cm = 231,88 cm 3. Speiseeis hat eine Dichte von etwa 0,8 g/cm. Gewicht (Masse) des Eises: m = 231,89 cm 3 0,8 g/cm 3 = 185,5 g In der Waffel sind 185,5 g Speiseeis. 12 a) V = (18,9 cm) 3 + _ 1 3 (18,9 cm) 2 12,6 cm = 8252 cm 3 b) V = _ 1 3 (16,8 cm) 2 17,6 cm + _ 1 3 (16,8 cm) 2 9,6 cm = 2559 cm 3 c) V = π (8,2 cm) 2 17,5 cm + _ 1 3 π (8,2 cm) 2 12,4 cm = 4570 cm 3 d) V = _ 1 3 (14,3 cm) 2 16,4 cm + (14,3 cm) 3 + _ 1 3 (14,3 cm)2 10,8 cm = 4778, cm 3. L 122

125 13 Skizze einer Kugel mit abgeflachten Polen. Polradius r = km Volumenberechnung mit Polradius: V P = _ 4 3 π (67100 km) 3 = 1, km 3 Volumenberechnung mit Äquatorradius: Äquatorradius r = km V Ä = _ 4 3 π (71400 km) 3 = 1, km 3 14 a) Hier berechnet man am besten erst die Seitenhöhe, dann die Körperhöhe. h s = (9,2 m) 2 (3,25 m) 2 = 8,61 m h k = (8,61 m) 2 (3,25 m) 2 = 7,97 m Das Glasdach ist etwa 8 m hoch. b) Berechnung der Dachfläche: M = 2 a h s = 2 6,50 m 8,61 m = 111,93 m 2 Für das Glasdach wurden etwa 112 m 2 Glas benötigt. c) Volumen des umbauten Raumes: V = 1 _ 3 (6,50 cm) 2 7,97 cm = 112,24 m 3 Es wurden ca. 112 m 3 umbaut. 15 Bei dieser Aufgabe muss man das Volumen des Sandes betrachten. Das Volumen nach 5 Minuten kann man bestimmen, weil die Höhe und damit auch der Radius gegeben sind. h = 1,2 r Berechnung des Volumens nach 5 Minuten: V (5 min) = _ 1 3 π 2 _ 1 m 1, m = 0,727 m 3 Am Ende soll h = 2 m sein. Berechnung des Volumens mit 2 m Höhe: V (2 m) = _ 1 3 π 2 _ 2 m 1, m = 5,82 m 3. Anzahl der Zeiteinheiten zu 5 min: 5,82 m3 x = 3 = 8,00 0,727 m Es dauert 8 5 Minuten = 40 Minuten, bis der Haufen 2 m hoch ist. 16 a) O = 4 π r 2 = O = 4 π (6370 m) 2 = km 2 Die Erde hat eine Oberfläche von km 2. b) Mit Wasser bedeckte Fläche: A W = 0, km 2 = km 2 c) Radius des 60. Breitengrads r 60 : cos α = r 60 _ r r cos α = r 60 r 60 = 6370 km cos 60 = 3185 km u 60 = 2 π 3185 km = km Der Umfang am 60. Breitengrad beträgt km. Umfang am 20. Breitengrad: km Umfang am 40. Breitengrad: km Umfang am 80. Breitengrad: km 17 Berechnung des Radius aus dem Volumen: r = m3 π 4 = 6,20 m Berechnung der Oberfläche: O = 4 π (6,2 m) 2 = 483,6 m 2 Materialverbrauch: A = 483,6 m 2 1,10 = 531,96 m 2 Man benötigt 532 m 2 Stoff. 18 Kugelradius: sin α = s _ 2 _ r r sin α = _ s 2 r = s _ 2 _ sin α r = _ 6 cm sin 42 r = 8,97 cm Der Kugelradius beträgt 8,97 cm. 19 a) Die Umfangsformel wird nach r umgeformt: r = _ u 2 π = 37,7 m _ 2 π = 6,0 m Mit dem Radius und der Mantellinie kann man jetzt die Höhe berechnen: h = (s 2 r 2 ) = (21,8 m) 2 (6 m) 2 = 20,96 m Die Turmdächer sind etwa 21 m hoch. b) Berechnung einer Dachfläche: M = π r s = π 6 m 21,8 m = 410,92 m 2 Jeder Turm hat eine Dachfläche von 410,92 m 2, insgesamt haben die beiden Türme eine Dachfäche von 821,84 m 2. L 123

126 Aufgabenvorschläge für Klassenarbeiten zu Kapitel 5 1 Benenne die folgenden Figuren und berechne den Flächeninhalt der Figuren: a) b) 4,5 cm 4 cm 13 cm 4 cm 7,5 cm 2 Berechne den Flächeninhalt des Sterns. 3 cm 2,8 cm 3 Berechne das Volumen der angegebenen Körper. Notiere zunächst die Formel zur Berechnung. a) Säule, Grundfläche gleichseitiges Dreieck: a = 6 cm, h = 7 cm b) Pyramide: Grundseite a = 13,5 cm, Höhe h = 23 cm c) Kegel: Radius r = 7 cm, Höhe h = 1,2 dm d) Zylinder: Höhe h = 4 cm, Radius r = 4 cm 4 Berechne das Volumen der Körper. Fehlende Angaben müssen bei einigen Teilaufgaben mit dem Satz des Pythagoras ermittelt werden. a) 6 cm 5 a) Wie teuer ist eine Silberkugel mit einem Durchmesser von 10 cm (Dichte 10,5 g/cm 3 ; Preis: 450 /kg)? b) Was kostet das Gold für eine Vergoldung der Silberkugel bei einer Schichtdicke von 0,01 mm (Dichte 19,3 g/cm 3, /kg)? Lösungen: 1 a) Parallelogramm A = a h = 13 cm 4 cm = 52 cm 2 b) gleichschenkliges Trapez (auch symmetr. Tr.) A = a _ + c cm + 4,5 cm 2 h = 7,5 2 4 cm = 24 cm 2 2 Es gibt unterschiedliche Rechenwege: Fläche von 2 Trapezen und 6 Dreiecken berechnen. Oder: Fläche von 12 Dreiecken addieren. Fläche eines kleinen Dreiecks: 3 cm 2,8 cm A = 2 = 4,2 cm 2 Sternfläche: 12 A = 12 4,2 cm 2 = 50,4 cm 2 3 a) V = 1 _ 2 a h D h S = 109,12 cm 2 (h D = 5,20 cm) b) V = 1 _ 3 a 2 h = 1397,25 cm 3 c) V = 1 _ 3 r 2 π h = 615,75 cm 3 = 6,158 dm 3 d) V = r 2 π h = 201,06 cm 3 e) V = 1 _ 3 A G h = 41,67 cm 3 4 a) V = _ 1 3 a 2 h = 72 cm 3 b) V = _ 1 3 A G h; h = _ c m V = 80,69 cm 3 c) V = _ 1 3 r 2 π h mit r = 8, c m V = 69,12 cm 3 b) 5 cm 10 cm 5 cm 6 cm c) 8,5 cm 8 cm 5 a) V 523,60 cm 3 ; Gewicht: 5497,79 g 5,498 kg; Preis: ca b) Goldschicht: Volumen Kugel mit Schicht V 1 = _ 4 3 π (50 mm + 0,01 mm) 3 = mm 3 Volumen Kugel ohne Goldschicht V 2 = _ 4 3 π (50 mm) 3 = mm 3 Volumen der Goldschicht V = V 1 V 2 = 314 mm 3 = 0,314 cm 3 Gewicht: 6,06 g; Preis: 90,90 Das Gold für die Schicht würde rund 91 kosten. L 124

127 Training Mathematik und Beruf In der Gärtnerei 1 Gesamtfläche des Feldes: 12 m 18 m = 216 m 2 Pflanzfläche für eine Pflanze: 0,6 m 0,7 m = 0,42 m m 2 : 0,42 m 2 = 514,29 Es werden 514 Pflanzen benötigt. Andere Lösungsmöglichkeit: Auf 18 m passen 25 Reihen Pflanzen, pro Reihe mit 12 m Länge können 20 Pflanzen gesetzt werden. 25 Reihen 20 Pflanzen = 500 Pflanzen 2 Volumen eines Blumenkastens: V = 0,8 m 0,22 m 0,18 m = 0, m 3 Insgesamt werden 35 Blumenkästen dieser Größe bepflanzt. 35 0, m 3 = 1,1088 m 3 Es werden also 1,11 m 3 Blumenerde benötigt. Das ist nur eine Schätzung, da dabei das Festdrücken der Blumenerde und damit ihre Dichte nicht berücksichtigt wird. 3 a) Fläche des Beetes: π (2,25 m) 2 = 15,90 m 2 ; Volumen = 15,9 m 2 0,2 m = 3,18 m 3 Es werden rund 3,2 m 3 Blumenerde benötigt. b) Angenommen der Durchmesser beträgt 3 m, dann sind es 1,4 m 3 Blumenerde. 4 a) Die Nutzfläche ist die gesamte Fläche ohne den Weg, also 2 (1,10 m 32 m) + (2,20 m 30 m) = 136,40 m 2 Die Nutzfläche des Gewächshauses beträgt 136,40 m 2. b) Die Nutzfläche kostet 600 im Monat. Bei 30 Tagen pro Monat kostet die Fläche also 20 am Tag, umgerechnet auf die Fläche von 136,40 m 2 ergeben sich 0,147 pro 1 Tm 2 (also pro Tag und pro m 2 ). c) Eine Fuchsie benötigt eine Fläche von 0,04 m 2. Die Fuchsien stehen 40 Tage lang, benötigen also 40 0,04 m 2 = 1,6 Tm 2. Bei 0,147 /Tm 2 entstehen für die 40 Tage und den angegebenen Pflanzbedarf rund 0,24 pro Fuchsie. 5 a) Beim Monatsbedarf wird mit 30 Tagen pro Monat gerechnet. Tm 2 Mm 2 Saat 0,2 35 = 7 7 : 30 = 0,23 1. Pikieren 85,75 2,86 2. Pikieren 294 9,80 Topfen Rücken ,67 Gesamt 10756,75 358,56 b) Es werden 2000 Gloxinien à 2,50 verkauft ,50 = 5000 ; Erlös pro Mm 2 : 5000 : 358,56 Mm 2 = 13,94 /Mm 2 Weiteres Angebot: In der Gärtnerei 1 Rose Nelke Lilie 1,80 1 2,50 Gerbera Anthurie 1,70 4,40 Was kostet ein Blumenstrauß aus a) 5 Rosen, 3 Lilien und 7 Nelken? b) 3 Anthurien, 7 Rosen und Blumengrün für 2,40? c) Stelle eigene Blumensträuße zusammen und berechne die Preise. 2 In Topfplatten von 51 cm 30 cm werden 2750 Tagetes herangezogen. Eine Platte fasst 50 Töpfe. Die Kultur steht 8 Wochen. a) Bestimme Tm 2 und Mm 2. b) Welche Kosten entfallen auf die 2750 Tagetes bei 1,20 je Mm 2? Lösung 1 a) 23,50 b) 28,20 c) Individuelle Lösungen 2 a) Für 2750 Pflanzen benötigt man _ 2750 = 55 Platten. Es werden ,51 m 0,3 m = 8,415 m 2 Fläche benötigt. Zeit: 8 Wochen = 56 Tage Tagesquadratmeter: 8,415 m² 56 Tage = 471,24 Tm² Monatsquadratmeter: 471,24 Tm² : 30 = 15,71 Mm² b) 1,20 /Mm² 15,71 Mm² = 18,85 L 125

128 6 Prozent- und Zinsrechnen Übersicht 1 Prozentrechnen 2 Zinsrechnen Üben Wiederholen Test Aufbau und Intention des Kapitels Insbesondere bei der Interpretation von Diagrammen und Texten müssen Schülerinnen und Schüler mit Prozentzahlen und Darstellungen sowie mit Prozentrechnungen umgehen können. Im Lebensalltag werden sie immer wieder auf Fragen treffen, die sie mithilfe der Prozent- und Zinsrechnung beantworten können: Wie viel Euro Zinsen zahlt mir die Bank auf meinem Konto? Wie berechnet sich der Nettolohn? Was sagen Diagramme/Statistiken/Tabellen in Zeitung und Fernsehen aus? Das Berechnen von Prozentwerten und analog von Zinsen ist eine mathematikhaltige Realsituation, die für alle Schülerinnen und Schüler von Bedeutung ist. Dieses Übertragen von mathematischem Wissen auf reale Situationen stellt eine Schlüsselqualifikation dar. Im späteren Berufsleben, in der Berufsschule und auch im Alltag müssen die Jugendlichen ihr bereits erworbenes Wissen aus unterschiedlichsten Bereichen abrufen, anwenden und auf andere Bereiche übertragen können. Nicht zuletzt fordert die Wirtschaft, dass Schülerinnen und Schüler Prozent- und Zinsrechnung beherrschen. So finden sich auch in diesem Buch im Training Eignungstest einfache Aufgaben dazu. Auch bei den Abschlussprüfungen hat dieser Themenbereich einen hohen Stellenwert. Darauf bereiten die Aufgaben dieses Kapitels vor, die immer komplexer werden. Der Computer, insbesondere ein Tabellenkalkulationsprogramm, ist bei der Berechnung und Verarbeitung von vielen Daten und bei der Strukturierung des Lösungsweges bei der Zinsrechnung eine wertvolle Hilfe. Der Einsatz und das Umstellen von Formeln wurde im Unterricht ab Klasse 8 geübt. Wobei beim Prozentund Zinsrechnen bisher vorwiegend mit dem Dreisatz gerechnet wurde. Nicht jede und jeder Jugendliche arbeitet gern mit einer Formel, daher werden immer wieder unterschiedliche Lösungswege im Unterricht vorkommen. Individuelle Lösungsfindung ist ein positiv zu bewertender Faktor des Mathematikunterrichts, den man fördern sollte. Das Kapitel 6 Prozent- und Zinsrechnen bezieht sich schwerpunktmäßig auf die Leitidee funktionaler Zusammenhang der Bildungsstandards. Auch bisher wurde im Mathematikunterricht Wert darauf gelegt, dass beim Prozent- und Zinsrechnen verschiedene Lösungsverfahren angewendet werden können. Für Klasse 10 ist vorgesehen, wirklichkeitsnahe Aufgaben auch zu Wachstums- und Zerfallsprozessen darzustellen und zu lösen sowie funktionale Zusammenhänge in Anwendungssituationen mathematisch zu erfassen, darzustellen, zu interpretieren und zu berechnen. Des Weiteren spielt die Leitidee Modellieren eine wichtige Rolle: Die Schülerinnen und Schüler lernen, Wege zur Lösung komplexer Sachaufgaben zu begründen und die Berechnung auszuführen, wie auch Fragestellungen aus unterschiedlichen Sachgebieten mithilfe von Formeln zu lösen. Die Anforderungen eines mittleren Bildungsabschlusses basieren auf Aufgaben im Unterricht, die laut didaktischer Hinweise und Prinzipien vorsehen: Die Problemstellungen werden komplexer und gehen über die unmittelbare Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler hinaus. Trotzdem bietet sich bei der Thematik Prozent- und Zinsrechnen an, immer wieder aktuelle Zahlen, Angebote und Themen, die aus dem Alltagsleben und der Lebenswirklichkeit stammen, in den Mathematikunterricht zu integrieren. L 126

129 Im Treibhaus Methodische Überlegungen zur Einführung Fast täglich sind aktuelle Zahlen, Bilder oder Erkenntnisse in Zeitungen, im Fernsehen oder im Internet zum Thema Klimaveränderung zu finden. In diesem Kapitel werden eine ganze Reihe von Themen in diesem Zusammenhang betrachtet, z. B. erneuerbare Energien, Erdölförderung, Benzinkosten und Bevölkerungswachstum. Umweltthemen lassen sich hervorragend in fächerverbindendem Unterricht thematisieren. Die Mathematik kann dabei eine zentrale Stellung einnehmen. Der Einstieg in das Kapitel Prozent- und Zinsrechnen thematisiert den sogenannten Treibhauseffekt. Kohlenstoffdioxid oder kurz Kohlendioxid ist als ein Verursacher für den Treibhauseffekt bekannt. Im Inter net gibt es eine ganze Reihe von Seiten zu diesem Thema. Die Politiker versuchen seit Jahren, eine Reduzierung des Kohlenstoffdioxid-Ausstoßes zu erreichen. Ein Sichten von aktuellen Zeitungs- und Zeitschriftenartikeln und Statistiken bietet eine breite Informationsbasis. Einen Anknüpfungspunkt bietet das Thema rund um die Umweltplakette. Die ersten Umweltzonen mit Fahrverboten wurden zum eingerichtet. Die Maßnahmen dienen zunächst der Verbesserung der Luftqualität und der Reduzierung des Feinstaubes gemäß der entsprechenden EU-Richtlinie. Die Umwelt-Plakette regelt also den Umgang mit dem Feinstaub, nicht aber die Belastung der Umwelt mit dem schädlichen Treibhausgas Kohlendioxid CO 2 (vergleiche Thema im Unterricht könnten auch alternative Treibstoffe wie Biodiesel oder alternative Antriebssysteme wie in Hybridfahrzeugen sein. Tipps, was jeder Einzelne tun kann, um der Umwelt und der Gesellschaft zu helfen, gibt es beispielsweise auf der Internetseite We Are What We Do ist eine Bewegung, die Menschen dazu anregen möchte, mit einfachen, alltäglichen Dingen die Welt zu verändern. Ziel des Kapitels ist es, dass die Schülerinnen und Schüler Aufgaben im Bereich der Prozent- und Zinsrechnung mithilfe der Prozent- und Zinsformeln lösen können. Das Lösen von anwendungsbezogenen Sachaufgaben steht im Mittelpunkt. Die Jugendlichen sollen erkennen, dass mathematische Inhalte in alltäglichen Lebenssituatio nen vorkommen. Mathematische Werkzeuge dienen dabei der Problemlösung. Taschenrechner und Computer bieten vor allem bei komplexen Aufgabenstellungen viele Vorteile. Weiteres Angebot: Schülerfirma Im fächerverbindenden Unterricht können Waren hergestellt und beispielsweise zur Finanzierung eines Klassenausflugs verkauft werden. Dies setzt unter anderem voraus: Abschätzen/Kalkulieren der Kosten für Herstellung, Material, Verkauf Ermitteln der Produktionszahlen Abschätzen des Gewinns Ermitteln der Kosten der Klassenfahrt Alle gewonnenen Daten bieten unterschiedliche Anlässe zu Prozentrechnungen und geeignete Darstellungsformen. Preiskalkulation wird im Schülerbuch S. 139 beim Training Mathematik und Beruf geübt. An dieser Stelle bietet es sich an, ein Tabellenkalkulationsprogramm, wie es die Schülerinnen und Schüler sicherlich im bisherigen Mathematikunterricht kennengelernt haben, einzusetzen. Damit lässt sich die Preiskalkulation für die zu verkaufenden Waren komfortabel und effektiv durchführen, außerdem ansprechend gestalten und beliebig oft ausdrucken. Auch das Zinsrechnen kann mit einbezogen werden, z. B. wenn Geld über einen längeren Zeitraum angespart wird oder wenn ein Kredit für die ersten Anschaffungen der Schülerfirma nötig ist. L 127

130 1 Prozentrechnen Für Schülerinnen und Schüler in Klasse 10 ist das Prozentrechnen nichts Neues. Bisher wurden Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz mit dem Dreisatz (oder dem Operatormodell) gelöst. Neu hinzukommen nun die Berechnungen mit dem Wachstumsfaktor. Formeln sind den Jugendlichen auch aus anderen Fächern bekannt. Der Schwierigkeitsgrad der Aufgaben steigert sich in dieser Lerneinheit bis hin zu Berechnungen mit Wachstumsfaktor. Bei größeren Datenmengen bietet sich auch der Einsatz eines Tabellenkalkulations programms an. Einstieg Ein großer Teil der Schülerinnen und Schüler der 10. Klasse wird nach dem Ende ihrer Schulzeit und Erreichen des mittleren Bildungsabschlusses eine Berufsausbildung beginnen. Vor diesem Hintergrund ist es sicherlich sehr motivierend, sich mit der künftigen Vergütung und den Positionen zu befassen, welche vom Bruttolohn abgezogen werden. Die Jugendlichen werden über die wichtigsten Fakten informiert und erhalten Anregungen, sich rechnend mit der Thematik zu befassen. Mithilfe des Dreisatzes könnten die Schülerinnen und Schüler auch ohne konkrete Zahlenwerte die Prozentwertformel entwickeln, z. B. so: Wert von 100 % = G Wert von 1 % = _ G 100 Wert von p % = G p _ 100 W = G p _ 100 Aktuelle Lohnsteuertabellen findet man mit einer Suchmaschine im Internet. Gesamtsumme von Nicoles Renten- und Arbeitslosenversicherung: 2 (44,78 + 7,43 ) = 104,42 Prozentsatz der gesamten Renten- und Arbeitslosenversicherung vom Bruttogehalt: p = _ 100 W 104,42 = 100 = 23,2 G 450,00 Merkkasten Mithilfe der Prozentformel können die Schülerinnen und Schüler durch Einsetzen und Umstellen die jeweils gesuchte Größe berechnen. Durch Umstellen ergeben sich folgende Formeln: G = _ W p und p = _ W G Weiter geht s Der neue Beitrag zur Arbeitslosen- und Rentenversicherung beträgt 52,20, Nicoles Nettogehalt ist jetzt mit 357,86 praktisch unverändert. Zur Lösung dieser Aufgabe sind Recherchen notwendig. Sie wird am vorteilhaftesten wie in der Tabelle im Schülerbuch gelöst. Es ist von einem Bruttolohn von 550 auszugehen. Aufgaben 1 Grundwert G Prozentsatz p Prozentwert W a) ,5 % 25 b) % 22,5 c) 99 33,3 % 33 d) 44 m 2 37,5 % 16,5 m 2 e) 2000 km 12 % 240 km f) % 66,50 2 a) Gegeben sind der Grundwert und der Prozentsatz, gesucht ist der Prozentwert der Ersparnis: W k = 24,50 0,3 = 7,35 W g = 31,50 0,3 = 9,45 Bei der kleinen Pfanne spart man 7,35 und bei der großen spart man 9,45. b) Gegeben ist der Grundwert und der Prozentwert und gesucht ist der Prozentsatz der Ersparnis. 22, p = = 16,17 141,95 Man spart bei diesem Angebot etwa 16 %. c) Gegeben ist der Prozentsatz und der reduzierte Preis, also der verminderte Wert, gesucht ist der ursprüngliche Preis, also der Grundwert. Der neue Preis beträgt 70 % des ursprünglichen Preises , ,90 G 1 = 70 = 19,57 ; G 2 = 70 = 29,86 ; ,30 G 3 = 70 = 39,00 L 128

131 3 Milchpulver Kakao 17 % 18 % 47 ct Mineralölsteuer Traubenzucker 23 % 4 Zucker 42 % Prozentwert Prozentwert Prozentsatz bei 23,5 g bei 100 g Eiweiß 2,2 g 9,36 % 9,36 g Kohlenhydrate 12,5 g 53,19 % 53,19 g Fett 7,9 g 33,62 % 33,62 g Brennwert 130 kcal 553 kcal Brennwert 543 kj 2311 kj 5 p = _ W = 0,95 G 17,03 = 5,58 Die Rundfunkgebühren werden um 5,58 % teurer ,5 6 a) W = 100 = Es werden aus Eigenmitteln finanziert. Fremdmittel = Anteil der Hausbank: W = 100 = ,75 Anteil der Bausparkasse: ,75 = 35156,25 Es werden ,75 über die Hausbank und 35156,25 über die Bausparkasse finanziert , b) p = = 28,125 % Es werden ca. 28 % über die Bausparkasse finanziert. 7 a) Erhöhung in diesem Jahr: ,6 W = 100 = 64,48 Frau Stein erhält in diesem Jahr pro Monat: G = ,48 = 2544,48 ; Erhöhung im nächsten Jahr: 2544,48 2,4 W = 100 = 61,07 Monatliches Gehalt im nächsten Jahr: 2544, ,07 = 2605,55 b) In diesem Jahr erhält Frau Leoni 2695 ; im nächsten Jahr: 2775 Bei einer prozentualen Lohnerhöhung wie der von Frau Stein würde Frau Leoni in diesem Jahr 2703,51 und im nächsten Jahr 2768,39 pro Monat erhalten. Für Frau Leoni wäre in diesem Jahr die prozentuale Erhöhung und im nächsten Jahr die pauschale Lohnerhöhung besser. 8 a) Das neue Auto braucht 1,6 ø weniger Diesel auf 100 km. 1,6 100 p = 6,4 = 25 Das neue Auto braucht 25 % weniger Dieselkraftstoff. b) Das Ergebnis differiert je nach aktuellem Preis. Beispielsweise kosten 100 km bei einem Dieselpreis (Pfingsten 2008) von 1,409 /ø beim alten Auto ca. 9,02 und beim neuen ca. 6,76. Pro 100 km spart Herr Braun also 2,26. Das sind bei km ca. 226, bei km ca. 339, bei km ca. 452 und bei km ca a) Superbenzin: 119 % 1,449 1 % 1,449 _ 119 = 0, % 0,231 Mike hat also Recht. b) Diesel: 119 % 1,369 1 % 0, % 0,219 Im Dieselpreis sind ca. 22 Cent MwSt. enthalten. c) 35 ø 1,399 /ø = 48, % 48,97 1 % 0,41 19 % 7,82 Herr Wagner zahlt 7,82 an MwSt. d) Superbenzin Diesel 23,1 ct MwSt. 65,4 ct Mineralölsteuer 22 ct MwSt. Superbenzin 0, ,231 = 0,885 W = 0,885, G = 1,449 p = _ W = 0,885 G 1,449 = 61,077 Rund 61 % des Superbenzin-Preises gehen an den Staat. Diesel 0,47 + 0,22 = 0,69 W = 0,69, G = 1,369 0, p = 1,369 = 50,402 Rund 50 % des Diesel-Preises gehen an den Staat. e) Individuelle Lösung. L 129

132 10 a) Kernenergie 22,3 % Sonstige 5,2 % Erdgas 12 % erneuerbare Energien 14,2 % Braunkohle 24 % Steinkohle 22,3 % b) 14,2 % sind 90,383 Mrd. kwh erneuerbare Energien. Gesamte Energieerzeugung: 636,5 Mrd. kwh 22,3 % Kernenergie: 141,94 Mrd. kwh 24,0 % Braunkohle: 152,76 Mrd. kwh 22,3 % Steinkohle: 141,94 Mrd. kwh 12,0 % Erdgas: 76,38 Mrd. kwh 5,1 % Sonstige: 32,46 Mrd. kwh c) 3,52 % von 90,383 Mrd. kwh = 3,18 Mrd. 3,18 Mrd. 0,535 ergibt 1,702 Mrd. Es wurden knapp 1,7 Mrd. ausgezahlt. Information Bisher wurde der vermehrte und verminderte Grundwert mithilfe des Dreisatzes berechnet. Jetzt wird die prozentuale Veränderung als Wachstum mit einem Wachstumsfaktor berechnet. Für manche Jugendliche ist es hilfreich, statt mit 1 mit 100 % zu arbeiten. Wird der Grundwert erhöht, werden die dazukommenden Prozente addiert, also 100 % + p %; dies entspricht der Schreibweise: q = 1 + _ p 100. Genauso wird das Ganze entsprechend vermindert: 100 % p %; dies wiederum entspricht q = 1 _ p a) Der Wachstumsfaktor ist für alle Preise gleich, nämlich q = 1 + _ = 1,19. Nettopreis Rechnung Endpreis 17,50 17,50 1,19 20,83 144,80 144,80 1,19 172, , , , b) q = 1 _ 25 = 0, Preis ohne Rabatt Rechnung Preis mit Rabatt ,75 148,50 69,90 69,90 0,75 52, , ,50 0, , , ,38 0, ,79 c) q 1 = 1 _ = 0,7; q 2 = 1 _ = 0,8 Ursprungspreis Preis nach der Endpreis 1. Preissenkung ,40 459,90 321,93 257,54 126,50 88,55 70, , , ,99 12 Zwischensumme: 21,81 _ = 1090,50 Nettobetrag: 1090,50 : 1,19 = 916,39 Endbetrag: 1090,50 21,81 = 1068,69 13 Aktienwert G = 140 ; q 1 = 0,96; q 2 = 0,94; q 3 = 0,97; q 4 = 1,02; q 5 = 1,06; q 6 = 1,05 140,00 0,96 = 134,40 134,40 0,94 = 126,34 126,34 0,97 = 122,55 122,55 1,02 = 125,00 125,00 1,06 = 132,50 132,50 1,05 = 139,13 a) Der Kurswert der Aktie liegt nach den drei Kursverlusten bei 122,55. b) Der Wertverlust betrug 0,87 je Aktie. Sie verlor insgesamt 200 0,87 = 174,00. Die Aufgaben 14 bis 16 vernetzen die Prozentrechnung mit Wachstum aus Kapitel a) Wachstumsfaktor q = 1, sind es ca. 7,35 Mrd. Menschen 2030 sind es ca. 8,96 Mrd. Menschen 2050 sind es ca. 11,67 Mrd. Menschen b) 42 Jahre sind Sekunden. Zuwachs: ,6 Menschen = 3,44 Mrd. Menschen Menschen insgesamt: 6,7 Mrd. + 3,44 Mrd. = 10,14 Mrd. Der Unterschied liegt bei etwa 1,5 Mrd. Menschen. 15 q = 0,9; 1 Zeiteinheit sind 3 h, die Anzahl nach 4 Tagen (32 Zeiteinheiten) beträgt noch 0,9 32 = 0,034, also mehr als 1 % der Anfangsmenge. 16 q 10 = 6,5 _ 3,4 Das entspricht einer jährlichen Wachstumsrate von 6,7 %. L 130

133 Die Schülerinnen und Schüler haben jetzt für Prozentrechenaufgaben viele Lösungsmöglichkeiten (Dreisatz, Prozentformel, Wachstumsfaktor). Es bietet sich an, die verschiedenen Lösungswege zu einer Aufgabe präsentieren zu lassen, sodass die Jugendlichen eine bewusste Entscheidung für einen Weg treffen können. 17 P neu = P alt q 2 Die Jugendlichen müssen die Formel entsprechend umstellen, was ihnen meistens leichter fällt, wenn sie die Beträge einsetzen = q 2 _ = q2 0,7225 = q 2 0,85 = q Herr Kovac reduzierte den Kaufpreis zweimal um je 15 %. 18 a) q = W n _ W 0 15,9 Mio. New York : q = = 1, ,3 Mio : q = 1,1761 Tokio : q = 2, : q = 1,3233 Die Einwohnerzahlen von New York (Tokio) sind von um 29,27 % (135,40 %) und von um 17,61 % (32,33%) gestiegen. b) Mexiko-Stadt : q = 1,8131 Die Einwohnerzahl stieg um 81,31 %. c) (A1) q = 1,5203; Die Aussage ist richtig, die Steigerung beträgt 52,03 %. (A2) Richtig, die Einwohnerzahl stieg um 569 %. d) Zum Beispiel: (Å) Die Einwohnerzahl in Tokio ist von 1950 bis 2005 um mehr als 200 % gestiegen. (2) Die Einwohnerzahl in New York ist in den ersten 25 Jahren stärker gestiegen als in den 30 Jahren danach. Hier kann sich eine Diskussion um die Werte anschließen. Warum steigt die weltweite Förderung so stark und der Verbrauch in Europa so viel schwächer an? Die Antwort sind die Daten aus Teilaufgabe c). c) Oder die Jugendlichen berechnen den Wachstumsfaktor q: China: q = 16,5 _ 7,1 = 2,3239 Indien: q = 6,5 _ 2,6 = 2,5 In China würde der Verbrauch um ca. 132 % steigen, der in Indien um 150 %. 20 Für Lkws gilt an Sonn- und Feiertagen ein Fahrverbot. Anzahl der Lkws pro Tag: 1,1 bis 1,4 Mio. (im Schnitt: 1,25 Mio.) a) Da sich der Zeitraum auf drei Jahre bezieht, wird hier mit einem gerundeten Mittelwert gerechnet. Durchschnittliche Einnahmen: ca. 3,12 Mrd.. Bei 0,124 Maut pro km fahren alle Lkws im Jahr: 3,12 Mrd. : 0,124 = 25,16 Mrd. km; in der Woche: 0,48 Mrd. km; pro Tag (6 Tage die Woche): 80,6 Mio. km 80,6 Mio. km : 1,25 Mio. = 64,48 km Im Schnitt fährt ein Lkw etwas mehr als 64 km pro Tag auf der Autobahn. b) 2008: 64,48 km 1,08 = 69,64 km 2009: 69,64 km 1,08 = 75,21 km 2010: 75,21 km 1,08 = 81,23 km Da die Zahl der Lkws eher steigen wird, wird mit 1,5 Mio. Lkws gerechnet. 1,5 Mio. Lkws fahren pro Tag 121,85 Mio. km; pro Woche 731,1 Mio. km; pro Jahr 38,02 Mrd. km. Im Jahr 2010 werden die Einnahmen voraussichtlich bei ca. 5,14 Mrd. liegen. 19 a) Ein Lösungsweg könnte so aussehen: W = 120 Mio. 84,7 Mio. = 35,3 Mio. p = 35,3 _ ,7 = 41,68 Die weltweite, tägliche Fördermenge würde um fast 42 % steigen. b) Denkbar wäre auch dieser Lösungsweg: G = 14,3 Mio. Barrel; W = 14,7 Mio. Barrel p = 14,7 _ ,3 = 102,80 Der Verbrauch würde um knapp 3 % steigen. L 131

134 21 a) Hier zeigt sich die Vernetzung zum Physikunterricht sehr deutlich. Die Kilowattstunde (1 kwh = 1000 Watt 1 Stunde) ist die am häufigsten verwendete Einheit für Energie oder Arbeit. Eine Kilowattstunde reicht aus, um mit einem Elektroherd ein Mittagessen für vier Personen zu kochen, mit einem Elektroboiler 30 Liter Wasser für eine Dusche auf 37 C zu erwärmen, 15 bis 20 Stunden Radio zu hören oder mit einem Staubsauger viermal eine 4-Zimmer-Wohnung zu reinigen. Verbrauch: 0,112 kwh; in einem Monat: 0,112 kwh 720 = 80,64 kwh 1 kwh 0,18 80,64 kwh 0,18 80,64 = 14,52 Die Stromkosten betragen 14,52. b) q = 1 _ = 0,1; G_ = G q = 1,45 ; Der Lichterschlauch verursacht nur 1,45 an Stromkosten. 22 a) O Mitgliederzahl Jahr O Mitgliederzahl Jahr b) Das 2. Diagramm zeigt deutlicher die Aussage Unser Verein wird größer. Außerdem erkennt man leichter, wie viele Mitglieder der Verein in welchem Jahr hatte. Das 1. Diagramm zeigt, dass die Mit glieder zahl gar nicht so stark gestiegen ist. Je nach Aussageabsicht muss man sich entscheiden a) (A1) Jeder dritte Euro entspricht etwa einem Drittel. Daher ist die Aussage richtig. (A2) 5 % der Kartenzahlungen erfolgen per Kreditkarte. 13,3 % von 34,1 % entsprechen 4,5 %. Die Aussage ist falsch. Die Jugendlichen sollten nicht verwechseln, dass der äußere Ring des Diagramms die Verteilung der 34,1 % Kartenzahlung und nicht den prozentualen Anteil an den Kartenzahlungen zeigt. (A3) Innerhalb von ca. zehn Jahren ist der Anteil der Barzahler um 17 Prozentpunkte gesunken. Der Abnahmefaktor betrug 0,78. Geht diese Tendenz weiter, so würden 2015 also weitere zehn Jahre später weni ger als 50 % der Einkäufer bar bezahlen. Die Aussage ist richtig. b) Verschiedene Arten der Kartenzahlung sind ec cash, Kreditkarte, Geldkarte, Kundenkarte. Innerhalb Deutschlands fallen für den Käufer außer den Grund- oder Jahresgebühren normalerweise keine Gebühren an. Der Verkäufer zahlt bei jeder Kreditkartentransaktion eine Gebühr an das Kreditkartenunternehmen. Beim Einsatz im Ausland dagegen muss mit unterschiedlich hohen Gebühren gerechnet werden. 25 Das sind Lkws; durchschnittliche Länge eines Lkws: 15 m; mit Anhänger: 18,75 m a) Wir nehmen an, dass 50 % der Lkws ohne Anhänger fahren und 50 % mit Anhänger. 0,5 ( m) + 0,5 ( ,75 m) = ,25 m = ,86 km Da die deutschen Autobahnen nur km lang sind, passen die Lkws in dieser Verteilung nicht auf die Autobahnen. b) Diese Aussage muss in verschiedenen Abhängigkeiten diskutiert werden: z. B. Anzahl der Pkws und Lkws, Länge der Fahrzeuge, Anzahl der Fahrspuren. 23 Durch das Runden sind die Beträge nicht exakt. Gesamt betrag der Forderungen Alle Gläubiger verzichten jeweils auf ca. 90 % ihrer Forderung. Gläubiger Anteil Zurückzahlung an die Gläubiger A ÅÅ,Å2% Å36Å,09 B 2Å,99 % 269Å,58 C 26,4å % 3239,93 D 40,4Å % 4946,Å8 L 132

135 2 Zinsrechnen Aus dem Mathematikunterricht der vorangegangenen Klassen sind den Schülerinnen und Schüler die Begriffe zum Zinsrechnen bekannt. Jetzt in Klasse 10 sollen die Schülerinnen und Schüler mithilfe der verschiedenen Zinsformeln Jahres-, Monats- und Tageszinsen berechnen. Neu in Klasse 10 ist die Verwendung der Zinseszinsformel, ein Teilbereich des prozentualen Wachstums. Der Einsatz des Taschenrechners und des Computers ermöglichen das Berechnen von lebensnahen Aufgaben zu Wachstumsprozessen. Neu ist außerdem der Begriff Annuität aus dem Darlehensbereich. Einstieg Spätestens mit dem Beginn einer Ausbildung und somit dem Eintritt ins Berufsleben, beschäftigt die Jugend lichen auch die Wahl des passenden Kontos und der passenden Bank. Dabei müssen sie verschiedene Angebote aus unterschiedlichen Sichtweisen durchdenken und überprüfen. Impulse Der Begriff des Tagesgeldkontos wird den Jugendlichen nicht vertraut sein. Typisch für ein Tagesgeldkonto ist ein höherer Zinssatz als beim Sparbuch und die tägliche Verfügbarkeit des Geldes. Jahreszinsen: Z = K p _ 100 = 19,00 ; Zinsen für 1 Monat: 19,00 _ 12 = 1,58 Die Jugendlichen werden die Aufgabe mithilfe des Dreisatzes lösen, dazu sind zwei Schritte nötig. Mit der Zinsformel geht es schneller. Der Habenzinssatz auf einem Girokonto wird immer niedriger sein als der für ein Sparbuchguthaben. Deutlich am höchsten ist der Sollzinssatz. Ein wichtiges Kriterium ist zum Beispiel ein höherer Zinssatz für Sparguthaben. Aber es gibt auch noch andere Unterschiede, zum Beispiel bei der Sicherheit von Onlinebanking oder die Lage der Bank und die Anzahl der Geldautomaten, bei denen man kostenlos abheben kann. Merkkasten Sehr wichtig ist, dass die Formel nicht verwendet werden darf, wenn innerhalb der Verzinsungszeit eine Zinsgutschrift erfolgt und die Zinsen danach mitverzinst werden. Üblicherweise werden Zinsen am Jahresende gutgeschrieben. Jedoch gibt es heute auch andere Anlagemöglichkeiten. Weiter geht s Bei der Zinsrechnung gilt die kaufmännische Berechnung mit 1 Monat = 30 Tage und 1 Jahr = 360 Tage. Der Zeitfaktor i beträgt _ Z = K i p _ 100 = 800 _ _ 10,9 100 = 5,09 Marcos Bank berechnet 5,09 Zinsen für die Überziehung mit 800. Aufgaben 1 K ( ) Z ( ) p % Zeit a) ,8 5 Monate b) ,50 3,6 100 Tage c) ,56 2 _ _ 4 Jahr d) ,75 9,8 9 Monate e) ,40 7,8 60 Tage f) ,80 4,5 112 Tage 2 K = _ 100 p Z _ 360 t = a) 1938,78 0,98 = Frau Rot zahlt 1900 für den Schrank. b) Z = 1900 _ _ 12,5 100 = 18,47 Die Zinsen miteingerechnet hat der Schrank Frau Rot 1918,47 gekostet. L 133

136 4 Es bietet sich an, die Schülerinnen und Schüler zunächst vermuten zu lassen Angebot Å: p = = Angebot 2: p = = 10 Bei beiden Angeboten beträgt der Zinssatz 10 %. Der Unterschied liegt darin, dass einmal das Kapital höher, dafür die Laufzeit kürzer ist und umgekehrt. 5 Hier sollen die Schülerinnen und Schüler die Zinsformel entsprechend umstellen. Z = 37512, = 1012, , t = ,75 = 173,7 Tage Das Geld war 174 Tage angelegt. 6 Zinsen Z = 24,50 ; Preis ohne Skonto: 1200,50 ; 24, p = 1200,50 10 = 72 % 2 % Skonto für 10 Tage entsprechen 72 % Jahreszins. Deshalb ist es in der Regel immer sinnvoll, ein Skonto auszunutzen. Hier zeigt sich besonders deutlich der Unter schied zwischen Jahres- und Tageszinssatz. 7 a) Kauf: , = 6823,50 Verkauf: ,40 6,50 18,70 = 7454,80 Gewinn: 7454, ,50 = 631,30 Das Geschäft brachte 631,30 Gewinn ein. b) K = 6800 ; Z = 631,30 ; m = 10 Monate 631, p = = 11,14 Das Kapital ist mit einem Jahreszinssatz von 11,14 % verzinst worden. Das ist ein hoher Zinssatz, der das Risi ko bei Aktiengeschäften widerspiegelt. Information Zinseszinsen sind die Zinsen für Zinsen. Das sind Zinsen, die am Ende eines Jahres dem Guthaben zugerechnet und in den Folgejahren mitverzinst werden. Bei der Zinseszinsrechnung handelt es sich um ein Teilgebiet des prozentualen Wachstums. q nennt man dabei Zinsfaktor. 8 q = 1 + _ = 1,05; n = 4 K n = K 0 q n = ,05 4 = 2431,01 Das Kapital ist auf 2431,01 gewachsen. 9 q 1 = 1,035; q 2 = 1,045; q 3 = 1,055 a) Nach 3 Jahren: K 3 = ,035 3 = ,18 Nach 6 Jahren: K 6 = ,18 1,045 3 = ,31 Nach 8 Jahren: K 8 = ,31 1,055 2 = , , = ,34 Herr Tomacek hat nach acht Jahren ,34. b) q = 1,045; K 8 = ,045 8 = ,01 Nein, das Zuwachssparen bringt mehr Gewinn. 10 q = 1,045; K 0 = K n _ = q n 40 = ,045 Frau Schmidt müsste ca anlegen. 11 q = 6 K 6 _ K = , = 1,055; also p % = 5,5 % 12 Nach 35 Jahren hat sie ein Guthaben von rund Lösung durch systematisches Probieren. 2 K 0 = K 0 q n ; das Kapital verdoppelt sich nach etwas weniger als 18 Jahren. Nein, die Aussage ist nicht richtig, bei 5 % verdoppelt sich das Kapital nach 15 Jahren. L 134

137 14 a) Zinsen im 1. Jahr: ,25 Z = 100 = 127,50 _ ,50 = 31,88 ; _ ,50 = 95,63 Jahrgangsbester: 45 % von 95,63 = 43,03 ; Jahrgangszweiter: 33 % von 95,63 = 31,56 ; Jahrgangsdritter: 22 % von 95,63 = 21,04. b) Nach 2 Jahren: K = 3031,88 ; Z = 128,85 ; _ ,85 = 32,21 ; _ ,85 = 96,64 ; Jahrgangsbester: 45 % von 96,64 = 43,49 ; Jahrgangszweiter: 33 % von 96,64 = 31,89 ; Jahrgangsdritter: 22 % von 96,64 = 21,26. Nach 3 Jahren: K = 3064,09 ; Z = 130,22 ; _ ,22 = 32,56 ; _ ,22 = 97,67 ; Jahrgangsbester: 45 % von 97,67 = 43,95 ; Jahrgangszweiter: 33 % von 97,67 = 32,23 ; Jahrgangsdritter: 22 % von 97,67 = 21, Es bietet sich an, diese Aufgabe mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms zu lösen. Annuitätendarlehen Zur Sache Größere Anschaffungen, z. B. Häuser, Wohnungen und Grundstücke, können meist nicht allein über Eigenkapital finanziert werden. Das Annuitätendarlehen hat den Vorteil, dass der Zinssatz fix bleibt und damit auch die Kosten kalkulierbar sind. Darlehensberechnungen werden ausnahmslos mit dem Computer durchgeführt. Mithilfe eines Tabellenkalkulationprogramms lassen sich Tilgungspläne rasch erstellen. 1 a) Mit dem Online Link gelangt man zu einer für die Aufgabe vorbereiteten Excel-Datei. b) W = ,40 = 6386,60 ; p % = 6386, = 15,97 % c) Nach 13 Jahren und 7 Monaten ist das Darlehen getilgt. Familie Silva muss ca Zinsen bezahlen. 2 a) Ja, Herr Petric hat Recht. Ohne Zinsen ist das Darlehen nach ca. 33 Monaten zurückbezahlt. b) Nach 33 Jahren beträgt das Vermögen noch ,50, nach 34 Jahren fällt es erstmals unter Es beträgt noch , ,4 16 Zinsen pro Monat Z = 100 = 2,20 Zinsen für 18 Monate: 18 2,20 = 39,60 Rückzahlungsbetrag: , = 604,60 Monatsrate: 604,60 : 18 = 33,59 Nach ca. 35 Monaten ist das Darlehen getilgt. c) Fam. Petric müsste ca. 243 Zinsen bezahlen. d) Individuelle Argumente. L 135

138 Üben Wiederholen Die Rubrik Üben Wiederholen dient als weiterer Aufgabenpool zur Ergänzung, Wiederholung und Überprüfung. Außerdem werden hier Inhalte der verschiedenen Lerneinheiten vernetzt. 5 Diese Aufgabe eignet sich zur Gruppenarbeit und ist nur mit einem Tabellenkalkulationsprogramm lösbar. a) Aufgaben 1 a) ,60 = 9370,20 Die Armutsgrenze liegt bei ca pro Jahr. b) Etwa 5,02 Mio. Beschäftigte lagen 2005 unter der Armutsgrenze. 981 Mio. t 2 CO 2 -Ausstoß pro Einwohner: = 11,91 t; 82,4 Mio. Forderung: 82,4 Mio. 3 t = 247,2 Mio. t; Deutschland müsste seine CO 2 -Emission um ca 75 % verringern. 3 a) Asien: Zunahme von 31,6 %; Afrika: Zunahme von 111,23 %; Europa: Abnahme von 9,28 %; Amerika: Zunahme von 39,27 % b) 6625 Mio. 1, = 9253,01 Mio. Würde die Be völkerung immer um 0,78 % steigen, müssten es im Jahr 2050 etwa 10 Mio. Menschen mehr sein als prognostiziert. c) Wachstumsfaktor von 2007 bis 2050 Asien: q = Mio. = 1,0064; 4010 Mio. Welt: q = Mio. = 1, Mio. Prognose: Asien: 4010 Mio. 1, = 4356,75 Mio. Menschen; Welt: 6625 Mio. 1, = 7329,13 Mio. Menschen; Auf der Welt werden im Jahr 2020 etwa 7330 Mio., in Asien etwa 4357 Mio. Menschen leben. 4 a) BMI = _ 86 2 = 23,33 (1,92) Nein, das Gewicht ist im Normalbereich. b) BMI = _ 80 (1,70) 2 = 27,68 28, also über dem Normalbereich. 5 % unter Jasons Gewicht: 80 kg 0,95 = 76 kg; BMI = _ 76 (1,70) 2 = 26,30 Auch bei 5 % weniger Gewicht wäre Jason laut BMI noch übergewichtig. c) BMI = _ 52 (1,72) 2 = 17,58 18 Der Normal-BMI liegt bei Frauen zwischen 19 und 24. Daher ist Sofie als untergewichtig zu betrachten. b) O Kapital in Kapital am Jahresende Summe der Einzahlungen Jahre c) Nach 27 Jahren sind ,89 angespart. Das angesparte Kapital wird weiterhin mit 2,5 % verzinst, aber monatlich soll ein Betrag (Rente) ausgezahlt werden. Die Höhe der monatlichen Rentenzahlung soll so bemessen sein, dass das Kapital nach 18 Jahren ausgezahlt ist. Mithilfe einer Tabellenkalkulation kann man verschiedene Beträge durchspielen. Ohne Verzinsung wäre bei 18 Jahren eine monatliche Rentenzahlung von ,89 : 18 = 3736, ,43 : 12 = 311,37 möglich. Eine monatliche Rente von 386 Euro kann man 18 Jahre lang entnehmen. Dann ist das Kapital bis auf ca. 50 ausgezahlt. Die Jugendlichen entdecken so, dass die Verzinsung auch während der Auszahlung der Rente noch einen erheblichen Unterschied für den Rentenbetrag ausmacht. 6 K Z p % Zeit a) ,25 4,5 % Å67 Tage b) Å0Å0 36,36 4,8 % _ 3 4 Jahr c) Å2 000 Å25,00 2,5 % 5 Monate d) ÅÅ02,05 ÅÅ,25 % Å44 Tage L 136

139 7 a) Weltweit werden pro Sekunde: Streich hölzer, pro Minute Stück, pro Stunde Stück und in 20 Stunden 1, = Mio. Streichhölzer produziert. 200 Mio. p = 100 = 1, Mio. In Schweden werden 1,46 % der Streichhölzer produziert. b) An einem Tag werden Mio. Stück, in einem Monat (= 30 Tage) 410,4 Mrd. Stück und in einem Jahr 4,9248 Billionen Streichhölzer produziert. Die Aussage ist falsch, in einem Jahr werden fast doppelt so viele Streichhölzer produziert. 8 a) Beide Positionen machen durchaus Sinn. Die Aufteilung nach Einlage misst dem Kapital die entscheidende Rolle zu. Die Aufteilung nach Köpfen wäre sinnvoll, wenn alle im Unternehmen gleich stark mitarbeiten. b) Bei der Verteilung pro Kopf erhält jeder Bei der Verteilung nach Einlagen erhält jeder einen Betrag, der den Prozentsätzen der Einlage entspricht. Gesamteinlagen: p % pro Kopf p % nach Einlagen Herr Simic 11,33 % 3Å,58 % Frau Torres 17 % 2Å,05 % Frau Antsas 19,43 % Å8,42 % Herr Cetin 22,67 % Å5,79 % Frau Wang 27,2 % Å3,Å6 % c) Aufzubringen sind = ; Gesamteinlagen dann: Anteile Betrag in Geschäftsanteil in und in % Herr Simic 30 % 9600 Å Å,46 % Frau Torres 25 % Å,36 % Frau Antsas 20 % Å8,54 % Herr Cetin Å5 % Å5,73 % Frau Wang Å0 % Å2,9Å % 9 a) Anlage mit Prämie K 6 = K 0 q = ,055 6 = ,64 Die Prämie beträgt 2068,26, insgesamt bringt dieses Angebot ein Endkapital von 22750,90. Angebot Sonnenschein K 6 = ,065 6 = ,13 Anlage Tarif plus+ q 1 = 1,035, q 2 = 1,045, q 3 = 1,055, q 4 = 1,065, q 5 = 1,075, q 6 = 1,085, K 6 = ,035 1,045 1,055 1,065 1,075 1,085 = ,22 Die Anlage mit Prämie bringt den höchsten Ertrag. b) Anlage mit Prämie 100 K ,90 _ K = = 151,67 Das ergibt eine Steigerung von ca. 51,7 %. Beim Angebot Sonnenschein nimmt das Kapital um 45,9% zu, bei Anlage Tarif plus+ um 41,7 %. c) Um ein Endkapital von 22750,91 ohne Prämie zu erreichen, müsste q = , = 1,072 p % = 7,2 % betragen. d) In einer Tabellenkalkulation können die Anfangswerte entsprechend verändert werden. Angebot Sonnenschein ist mit der Formel zu lösen: K 0 = K 6 _ q = = 17133,35 1, a) Kapital und die Zinsen sind nicht bekannt. b) x steht für das Kapital; mit x 0,12 werden 12 % Zinsen berechnet; _ 9 12 gibt an, dass das Geld 9 von 12 Monaten ausgeliehen wird. x + 0,09 x = 26 Å60 x = Es wurde ein Kapital von ausgeliehen. c) Zinsen: x 0,045 _ x 0,05 _ 3 12 = 573,50 x = Ein Kapital von wurde angelegt. L 137

140 Aufgabenvorschläge für Klassenarbeiten zu Kapitel 6 1 a) Berechne die Preisveränderung beim Schlussverkauf. Schnürboot bisher 79,60 79,60 jetzt 61,69 61,69 b) Der Preis steigt um 3,43 %. Was kostet der Sprit jetzt? 1 Diesel 1 Super 2 Berechne den fehlenden Wert. K Z p % Zeit a) ,25 % _ 3 4 Jahr b) 169,16 4,5 % 87 Tage c) ,00 2,5 % 3 Bauer Heinz hat auf einer rechteckigen Wiese eine Scheune gebaut. Die Scheune ist 2,5-mal so lang wie breit. Die Gesamtfläche des Grundstücks beträgt 793,5 m 2. Wiese Scheune 12 m 2,5 x 14 m a) Berechne mithilfe einer Gleichung die Länge und die Breite der Scheune. Verwende dazu die Skizze. b) Wie viel Prozent der Gesamtfläche sind bebaut? x 4 Frau Beuk möchte sich ein Auto kaufen. Sie verfügt über Eigenkapital. Sie hat die Wahl zwischen dem Flotten Flitzer (Preis: ; Lederausstattung: 2565 ; Metallic-Lackierung: 615 ) und dem Fly high (Preis ; Lederausstattung 3100 ; Super-Lackierung 1530 ) a) Um wie viel Prozent ist ein Angebot günstiger? b) Sparbank Angebot: 1. Jahr: 4 % Zinsen; 2. Jahr: 3 %; 3. Jahr: 2,5 %; Wirtschaftsbank Angebot: 3,1 % Zinsen pro Jahr; Plusbank Angebot: 2,5 % für Ist Frau Beuk nach 2 1 _ 2 Jahren schuldenfrei, wenn sie pro Monat 750 zahlen kann? Für welches Auto und für welches Bankangebot würdest du dich entscheiden? Begründe deine Wahl. c) Wäre es günstiger, den gesamten Autopreis mit der Wirtschaftsbank zu finanzieren und das Eigenkapital für 1,8 % anzulegen? Lösungen 1 a) p % = 22,5 % b) neuer Preis Diesel 1,469 /ø; Super 1,509 /ø 2 a) Z = 984,38 b) K = c) t = 288 Tage 3 a) (12 + 2,5 x) (14 + x) = 793,5 x = 9 Die Scheune ist 9 m breit und 22,5 m lang. b) Scheunengrundfläche: 9 m 22,5 m = 202,5 m 2 Grundstücksfläche: 23 m 34,5 m = 793,5 m 2 Die Fläche beträgt 25,52 % der Gesamtfläche. 4 a) Der Flotte Flitzer kostet , der Fly high Fly high ist um 7,65 % günstiger. b) Die monatliche Rate von 750 muss die Zinsen und die Tilgung abdecken. Beim Flotten Flitzer sind zu finanzieren. Bei der Plusbank müssten aufgenommen werden. Dafür würde Frau Beuk bei der Sparbank 970, bei der Wirtschaftsbank 821 und bei der Plusbank 789 an Zinsen zahlen. Bei Fly high müssen nur aufgenommen werden. Den Kredit der Wirtschaftsbank (Sparbank) hätte Frau Beuk schon nach zwei Jahren (28 Monaten) mit 552 (673 ) Zinsen abgezahlt. c) Nein, da die Sollzinsen höher sind als die Habenzinsen. L 138

141 Training Mathematik und Beruf Im Einzelhandel 1 a) Alle Computer zusammen kosten Der gesamte Netto-Preis beträgt dann = Zu den 4728 netto kommen noch 19 % Mehrwertsteuer hinzu ,19 = 5626,32 Der Rechnungsbetrag lautet auf 5626,32. b) ,19 0, = ,20 Der Rechnungsbetrag lautet auf ,20. c) ,92 0, = ,40 Der Angebotspreis beträgt , ,12 _ 1 12 = 15. Er muss also 15 Verzugszinsen für den Monat bezahlen. 3 Diese Aufgabe kann mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms gelöst werden. Für die Jugendlichen wäre es eine Hilfe, wenn sie eine Vorlage zum Ausfüllen hätten. Selbstkosten + Gewinnzuschlag + 20 % = Barverkaufspreis + Skonto + 2 % = Zielverkaufspreis + Kundenrabatt + 3 % = Netto-Verkaufspreis + Mehrwertsteuer + 19 % = Brutto-Verkaufspreis a) Ausgefüllt für das Notebook sieht die Tabelle dann so aus: Selbstkosten 532,58 + Gewinnzuschlag + 20 % 106,52 = Barverkaufspreis 639,10 + Skonto + 2 % 7,38 = Zielverkaufspreis 646,48 + Kundenrabatt + 3 % 19,39 = Netto-Verkaufspreis 665,87 + Mehrwertsteuer + 19 % 126,52 = Brutto-Verkaufspreis 792,39 Der Brutto-Verkaufspreis beträgt 792,39. Es sollte immer wieder sinnvoll gerundet werden. b) Der Brutto-Verkaufspreis des Druckers beträgt 70. Selbstkosten 46,66 + Gewinnzuschlag + 20 % 9,33 = Barverkaufspreis 55,99 + Skonto + 2 % 1,12 = Zielverkaufspreis 57,11 + Kundenrabatt + 3 % 1,71 = Netto-Verkaufspreis 58,82 + Mehrwertsteuer + 19 % 11,18 = Brutto-Verkaufspreis 70,00 c) Der Brutto-Verkaufspreis der Maus beträgt 20. Selbstkosten 13,33 + Gewinnzuschlag + 20 % 2,67 = Barverkaufspreis 16,00 + Skonto + 2 % 0,32 = Zielverkaufspreis 16,32 + Kundenrabatt + 3 % 0,49 = Netto-Verkaufspreis 16,81 + Mehrwertsteuer + 19 % 3,19 = Brutto-Verkaufspreis 20,00 d) Der Brutto-Verkaufspreis der CDs beträgt rund 13. Selbstkosten 8,66 + Gewinnzuschlag + 20 % 1,73 = Barverkaufspreis 10,39 + Skonto + 2 % 0,21 = Zielverkaufspreis 10,60 + Kundenrabatt + 3 % 0,32 = Netto-Verkaufspreis 10,92 + Mehrwertsteuer + 19 % 2,08 = Brutto-Verkaufspreis 13,00 e) Der Brutto-Verkaufspreis des Flachbildschirms beträgt 179,50. Selbstkosten 119,65 + Gewinnzuschlag + 20 % 23,93 = Barverkaufspreis 143,58 + Skonto + 2 % 2,87 = Zielverkaufspreis 146,45 + Kundenrabatt + 3 % 4,39 = Netto-Verkaufspreis 150,84 + Mehrwertsteuer + 19 % 28,66 = Brutto-Verkaufspreis 179,50 L 139

142 Training Abschlussprüfung Grundkenntnisse Auf den ersten vier Seiten des Trainings Abschlussprüfung können die Schülerinnen und Schüler ihre Grundkenntnisse üben. Die Aufgaben sind thematisch unsortiert, sodass keine Gewöhnung an eine bestimmte Reihenfolge entsteht. In der folgenden Tabelle sind die einzelnen Aufgaben jeder Seite den Leitideen zugeordnet. Seite Leitideen Zahl Messen Raum und Form Funktionaler Zusammenhang Daten und Zufall 140 1, , 4, , 13 8, 9, 12 10, , 20 16, 20 14, 15 17, 18, , 25 24, 26 1 a) = 115 b) = 683 c) 4,5 7 = 31,5 d) 4556,56 : = 0, e) 342 4,5 = 337,5 f) = g) = 35 h) _ 3 4 _ 5 6 = _ = _ 5 8 i) _ 1 2 : _ 1 4 = 2 j) = k) (6 + 43) = 7 l) _ 1 4 = _ a) 4,5 km 3,05 m 342 m = 4500 m 3,05 m 342 m = 4154,95 m = 4, km b) 2390 g + 0,5 kg mg 52 g = 2390 g g + 4 g 52 g = 2842 g = 2,842 kg = mg c) 123 ø 7800 mø + 0,08 ø 235 mø = 123 ø 7,800 ø + 0,08 ø 0,235 ø = 115,045 ø = mø d) 54 min + _ 1 4 h 0,5 h s = 54 min + 15 min 30 min + 5,33 min = 44,33 min = 2660 s = 0,739 h e) 2,4 a m 2 0,003 ha 0,3 a = 240 m m 2 30 m 2 30 m 2 = 2370 m 2 = 23,70 a = 0,2370 ha f) mg + 0,78 kg 3,459 g = 26,774 g g 3,459 g = 803,315 g = mg = 0, kg 3 Lösung durch Dreisatz: 15 Brötchen 3,45 1 Brötchen 0, Brötchen 27,60 Marion zahlt 27,60. 4 Leihgebühr pro Tag: 4 6 = 24 Peter und Phillip zahlen noch jeweils 12 nach. 5 a) _ 5 25 = _ 1 5 = 0,2 = 20 % b) _ 1 8 = 0,125 = 12,5 % c) _ 2 3 = 0,667 = 66,7 % d) _ 4 6 = _ 2 3 = 0,667 = 66,7 % O y E G H D A J F C I a) C (6 4); D (3 4) b) ¼ GEF = 47 ; ¼ EFG = 77 ; ¼ EGF = 56 Es ist ein spitzwinkliges Dreieck. c) Lösung z. B.: J (4 7) Alle Punkte J (4 y) ergeben gleichschenklige Dreiecke. 7 a) Umfang: u = 3,5 cm + 1,5 cm + 0,9 cm + 1,7 cm + 0,5 cm + 1 cm + 1,5 cm = 10,6 cm Flächeninhalt: A = 3,5 cm 1,5 cm _ 1 2 1,6 cm 0,5 cm = 4,85 cm2 b) Berechnung des Umfangs: u = 6 2 cm = 12 cm Berechnung des Flächeninhalts: Das regelmäßige Sechseck besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit a = 2 cm. h 2 a = (2 cm) 2 (1 cm) 2 h = 1,73 cm A = 6 a h a cm 1,73 cm _ 2 = = 10,4 cm 2 B x L 140

143 Training Abschlussprüfung Grundkenntnisse 8 a) Die Netze (1) und (3) sind Quadernetze. b) c) V = 2 cm 1 cm 0,6 cm = 1,2 cm 3 = 1200 mm 3 O = 2 (2 cm 1 cm + 2 cm 0,6 cm + 1 cm 0,6 cm) = 7,6 cm 2 = 760 mm 2 9 a) u = 2 a + 2 b 22 cm = 2 8,5 cm + 2 x x = 2,5 cm Das Rechteck ist 2,5 cm breit. b) Die Rechteckseiten werden von allen Seitenpaaren gebildet, deren Produkt 15 cm 2 ergibt, z. B.: a = 3 cm; b = 5 cm oder a = 2 cm; b = 7,5 cm. 12 Ein möglicher Lösungsweg: Diagonale der Grundfläche d: d 2 = (5 cm) 2 + (6 cm) 2 d = 7,81 cm Raumdiagonale e: e 2 = (7,81 cm) 2 + (3,5 cm) 2 e = 8,56 cm Die Raumdiagonale ist 8,56 cm lang. 13 Bei Angebot (A) zahlt Marie nur das Mofa und die Handschuhe, also 1239,98, und bekommt den Rest geschenkt. Bei Angebot (B) zahlt sie für das Mofa 1079,99 und für Helm und Box den vollen Preis, also ingesamt 1239,97. Bei beiden Angeboten zahlt sie den gleichen Preis. 10 Auf dem Bild sind schätzungsweise 250 Gänse zu sehen. Man zählt z. B. die Gänse auf einem 1 cm breiten senkrechten Streifen und multipliziert diese Zahl mit der Breite des Bildes. 11 a) Berechnung des Gefäßvolumens: V = π (2 dm) 2 5 dm + _ 1 3 π (2 dm) 2 6 dm = 88,0 dm 3 = 88,0 ø Das Gefäß fasst 88 ø. b) Graph A beschreibt am ehesten die Füllhöhenänderung. In der Kegelspitze steigt die Füllhöhe bei gleichmäßigem Zufluss am schnellsten. Mit zunehmendem Durchmesser steigt die Füllhöhe immer langsamer und steigt bei Erreichen des Zylinders dann gleichmäßig an. c) Es könnte eine bauchige Flasche sein, die unten und oben schmal zuläuft, also ungefähr aus einem Zylinder mit oben und unten aufgesetztem Kegel besteht. L 141

144 Training Abschlussprüfung Grundkenntnisse 14 W = G p _ 100 = _ = ,06 Das Auto kostet ,06 15 Birgit erhält 2 x ; Marina erhält x. 2 x + x = x = x = 6000 Birgit erhält , Marina (A) Flächeninhalt: A = (4 cm) 2 2 (1 cm) 2 (1 cm) 2 = 13 cm 2 Umfang: Berechnung der schrägen Strecke x: x 2 = (1 cm) 2 + (1 cm) 2 x = 1,414 cm u = 4 2 cm + 2 1,414 cm cm = 14,83 cm (B) Flächeninhalt: A = (2,5 cm) 2 π (1,25 cm) 2 = 1,34 cm 2 (C) Flächeninhalt: A = 0,5 cm 2,5 cm + 1,5 cm 1 cm = 2,75 cm 2 Umfang: Berechnung der unteren schrägen Strecke x: x 2 = (2,5 cm) 2 + (0,5 cm) 2 x = 2,55 cm Berechnung der oberen schrägen Strecke y: y = (1 cm) 2 + (1,5 cm) 2 y = 1,80 cm u = 2 (1,80 cm + 2,55 cm + 0,5 cm + 3,5 cm + 1,5 cm) = 19,7 cm 18 P (Gewinn Glücksrad) = _ ,42 P (Gewinn Losschüssel) = _ = 0,35 Die Gewinnwahrscheinlichkeit ist bei dem Glücksrad größer. 19 Hier sollten die Jugendlichen nicht einfach nur eine Wahrscheinlichkeit berechnen, sondern auch ihre Überlegungen formulieren. a) Eine Zahl ist gerade, wenn ihre letzte Ziffer eine gerade Zahl ist. 2, 4 und 8 sind gerade Zahlen, 9 ist ungerade. P (gerade Zahl) = 3 _ 4. b) Die Zahl ist nur dann kleiner als 4000, wenn die größte Stelle kleiner als 4 ist. Das ist nur bei der Zahl 2 der Fall. P (kleiner als 4000) = 1 _ a wird mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet: a 2 = (8 cm) 2 (6,4 cm) 2 a = 4,8 cm a wird mithilfe von Kosinus berechnet: 6,4 cm cos a = _ 8 cm a = 37 b wird mithilfe von Sinus berechnet: 6,4 cm sin b = _ 8 cm b = a) Marc: arithmetisches Mittel: 52,32 m : 8 = 6,54 m Zentralwert: 6,50 m Luca: arithmetisches Mittel: 52,00 m : 8 = 6,50 m Zentralwert: 6,54 m b) Bei Marc liegt der Zentralwert 0,61 % unter dem arithmetischen Mittel. Bei Luca liegt der Zentralwert 0,62 % über dem arithmetischen Mittel. L 142

145 Training Abschlussprüfung Grundkenntnisse 21 a) (Å) y = 3 x 1,5 (2) y = 2 x + 6 Gleichsetzungsverfahren 3 x 1,5 = 2 x x = 7,5 x = 1,5 eingesetzt in (2) y = 2 (1,5) + 6 y = 3 S (1,5 3) b) Alle Geraden mit derselben Steigung sind parallel und haben daher keinen Schnittpunkt. Zum Beispiel: y = 3 x 22 Hier können die Jugendlichen verschiedene Lösungswege wählen: Trigonometrie, Satz des Pythagoras und Winkelsumme im Dreieck sind mögliche Ansätze. a) a = 90 28,5 = 61,5 6,4 cm sin 28,5 = _ c 6,4 cm c = sin 28,5 c = 13,4 a 2 + b 2 = c 2 a 2 + 6,4 2 = 13,4 2 a 2 = 138,6 _ 1 a = 11,78 b) sin b = _ b a sin b = _ 7 cm 18 cm sin 1 b = 22,9 c = 90 22,9 c = 67,1 b 2 + c 2 = a 2 (7 cm) 2 + c 2 = (18 cm) 2 c = 16,6 cm 24 Maria 3,0 2,0 1,5 2,5 3,0 Aylin 3,0 2,0 2,0 1,0 4,0 Bei Aylin gibt es mehr als eine Lösung, da der Zentralwert schon unter den angegebenen Noten ist. 25 (1) b) y = 2 x 2 (2) c) y = _ 1 2 x 2 (3) d) y = x 2 (4) f) y = 3 x 2 26 Es sind insgesamt 8 Kugeln in der Urne. a) P (weiße Kugel) = _ 3 8 = 37,5 % b) P (schwarz, schwarz) = _ 1 28 = 3,57 % 27 a) Der Würfel hat ein Volumen von 1728 cm 3. Die Kugel hat einen Durchmesser von 12 cm und damit einen Radius von 6 cm. Das Kugelvolumen beträgt 904,8 cm cm % 904,8 cm 3? Die Kugel hat rund 52 % des Würfelvolumens. b) Das Verhältnis bleibt gleich. Sowohl das Würfelals auch das Kugelvolumen vergrößern sich um den Faktor ,8 0,85 6 = 4525,79 Der Wagen hat nach sieben Jahren noch einen Wert von rund L 143

146 Training Abschlussprüfung Vertiefte Kenntnisse Die elf Aufgaben auf den folgenden sechs Seiten üben und wiederholen den Stoff der 10. Klasse. Die Aufgaben gehen über mathematische Grundkenntnisse hinaus. Die Schülerinnen und Schüler sind gefordert, längere Texte zu verstehen und Informationen miteinander in Beziehung zu setzen und mathematisch zu interpretieren. Die Aufgaben sind dabei unterschiedlichen Leitideen zugeordnet. Oft müssen auch Kenntnisse aus verschiedenen mathematischen Bereichen eingebracht werden. Die Daten der Aufgabe sind in einer Excel-Datei vorbereitet (Online Link ). So können die Schülerinnen und Schüler z. B. auch Diagramme zur Aufgabe zeichnen. c) No Risk : 60 0,15 = 9,00 Fun : 19, ,12 = 21,15 Sun : 13, ,09 = 19,35 Flower : 9, ,29 = 27,35 Green : 4, ,39 = 28,35 Holiday : 25,00 d) Sun : y = 0,09 x + 13,95 Flower : y = 0,29 x + 9,95 Berechnung der Anzahl der Minuten: 0,29 x + 9,95 = 0,09 x + 13,95 0,2x = 4 x = 20 Bei 20 min monatlich würden bei beiden Tarifen die gleichen Kosten anfallen: 15,75 e) Individuelle Lösung, Vieltelefonierer wählen den Tarif Holiday, Wenigtelefonierer den Tarif No Risk, dazwischen nach persönlichen Bedürfnissen. Bei dieser Aufgabe, die der Leitidee Funktionaler Zusammenhang zugeordnet ist, vergleichen die Schülerinnen und Schüler Geraden miteinander, bestimmen Funktionsgleichungen, berechnen Schnittpunkte und argumentieren. Sie interpretieren Text, Tabellen und Graphen. 1 a) No Risk (3); Fun (2); Holiday (4) b) Preis Gesprächszeit L 144

147 Training Abschlussprüfung Vertiefte Kenntnisse Bei diesen Aufgaben, die zur Leitidee Funktionaler Zusammenhang zu rechnen sind, werden Angebote miteinander verglichen, proportionale Zusammenhänge benutzt und Zinsrechnen geübt. Die Teilaufgabe 2 b) sollte mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms gelöst werden. 2 a) Modell Saturn verbraucht 975 ø Benzin. 6,5 ø km x = = 975 ø 100 km Kosten Benzin 1,50 /ø 975 ø = 1462,50 Gesamtkosten 1462, = 4241,50 Die Betriebskosten für das Modell Saturn betragen im ersten Jahr 4241,50. Der Wertverlust nach dem ersten Jahr beträgt ,15 = 1873,50. Das Auto ist nach einem Jahr 10616,50 wert. Kilometerpreis 4241, ,50 = 6115, : km = 0,408 /km Modell Uranus verbraucht 705 ø Diesel. 4, x = 100 = 705 ø Kosten Diesel 1,40 /ø 705 ø = 987 Gesamtkosten = 4182 Die Betriebskosten für das Modell Uranus betragen im ersten Jahr Der Wertverlust nach dem ersten Jahr beträgt ,15 = Das Auto ist nach einem Jahr noch wert. Kilometerpreis: 0,413 /km Die preislichen Unterschiede zwischen den zwei Modellen sind eher gering. Das Modell Saturn ist günstiger in der Anschaffung und hat einen etwas geringeren Kilometerpreis. Dafür sind beim Modell Uranus die Spritkosten deutlich geringer. b) In den ersten 16 Jahren werden 300 pro Jahr ins Sparbuch eingezahlt und verzinst, in den drei darauffolgenden Jahren wird die Summe nur verzinst. Diese Aufgabe lässt sich mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms lösen, indem man in die entsprechenden Zellen jeweils eine Formel eingibt. Nach 16 Jahren sind 6511,50 auf dem Sparbuch, nach 19 Jahren (ohne weitere Einzahlung) sind es 6511,50 1,035 3 = 7219,42. Wenn Frank 20 % dieser Summe spart, so verfügt er über 7219,42 0,8 = 5775,54 für den Autokauf. Somit muss er beim Modell Saturn 6714,64 und beim Modell Uranus 7644,46 finanzieren. 3 Zu finanzieren sind = Carbank Monate = 8020 Kreditkosten: = 1530 Sparbank ,065 = 421,85 Zinsen im Jahr, also 1265,55 Zinsen in 3 Jahren. Bearbeitungsgebühr: ,01 = 64,90 Gesamtkosten: 1265, ,90 = 1330,45 Zurückzuzahlen sind 7820,45. Pro Monat sind das 217,23 bei 36 Monatsraten. Hier gibt es für beide Kreditangebote gute Argumente. Wichtig ist, dass die Schülerinnen und Schüler eine begründete Entscheidung treffen. Der Kredit bei der Sparbank ist günstiger, da die Gesamtkosten 199,55 geringer sind als bei der Carbank. Die Laufzeit ist allerdings bei der Carbank um ein Jahr kürzer. Deshalb sind die Kosten pro Monat höher. Das hat den Vorteil, dass der Kredit schneller getilgt ist. L 145