Satz von Sperner. Mächtigkeit von Antiketten. Malte Lundschien Berlin, Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin
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- Lennart Maximilian Peters
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1 Satz von Sperner Mächtigkeit von Antiketten Malte Lundschien Berlin, Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin
2 Inhaltsübersicht 1. Grundlagen 2. Satz von Sperner 3. Beweis 4. Satz von Erdös-Ko-Rado 5. Beweis 6. Quellen 1
3 Grundlagen
4 Grundlagen - Antiketten N
5 Grundlagen - Antiketten N O 1 2 P Q 2
6 Grundlagen - Antiketten N O 1 2 P Q F := {O, P, Q} ist eine Antikette. 2
7 Grundlagen - Antiketten N O 1 2 P Q F := {O, P, Q} ist eine Antikette. Antikette Sei N = {1, 2,..., n} eine n-menge und F eine Familie von Teilmengen von N. Dann heißt F Antikette von N, falls: A, B F : A B, B A 2
8 Grundlagen - Mächtigkeit von Antiketten Wie groß kann so eine Antikette maximal sein? N
9 Grundlagen - Mächtigkeit von Antiketten Wie groß kann so eine Antikette maximal sein? F 2 N
10 Grundlagen - Mächtigkeit von Antiketten Wie groß kann so eine Antikette maximal sein? N Betrachte die Familien F k bestehend aus den Teilmengen der Mächtigkeit k. 4
11 Grundlagen - Mächtigkeit von Antiketten Wie groß kann so eine Antikette maximal sein? N Betrachte die Familien F k bestehend aus den Teilmengen der Mächtigkeit k. ( ) n n! F k = = k k!(n k)! 4
12 Grundlagen - Mächtigkeit von Antiketten Wie groß kann so eine Antikette maximal sein? N Betrachte die Familien F k bestehend aus den Teilmengen der Mächtigkeit k. ( ) n n! F k = = k k!(n k)! ( ) n max k F k = max k = k ( n ) n/2 4
13 Satz von Sperner
14 Satz von Sperner Emanuel Sperner [1] dt. Mathematiker * [2] 1928 Satz von Sperner, Spernersches Lemma 5
![Satz von Sperner Emanuel Sperner [1] dt.](/docs-images/113/208034930/images/15-0.jpg "Mathematiker *1905 1980 [2] 1928 Satz von Sperner, Spernersches Lemma Satz von Sperner DIe Mächtigkeit")
15 Satz von Sperner Emanuel Sperner [1] dt. Mathematiker * [2] 1928 Satz von Sperner, Spernersches Lemma Satz von Sperner DIe Mächtigkeit einer größten Antikette von Teilmengen einer n-menge ist ( n n/2 ). 5
16 Beweis
17 Beweis Beweis nach David Lubell: 1. Ausschöpfende Ketten von Mengen 2. Wie viele verschiedene solcher Ketten gibt es? 3. Wie viele Ketten enthalten ein gegebenes A F? 4. Zusammenführung 6
18 Beweis Sei F eine beliebige Antikette von N = {1, 2,..., n}. z.z. F ( ) n n/2 1. Ausschöpfende Ketten von Mengen Betrachten Ketten C von Teilmengen von N mit: = C 0 C 1... C n = N, wobei C i = i für i = 0, 1,..., n 7
19 Beweis Sei F eine beliebige Antikette von N = {1, 2,..., n}. z.z. F ( ) n n/2 1. Ausschöpfende Ketten von Mengen Betrachten Ketten C von Teilmengen von N mit: = C 0 C 1... C n = N, wobei C i = i für i = 0, 1,..., n N
20 Beweis Sei F eine beliebige Antikette von N = {1, 2,..., n}. z.z. F ( ) n n/2 1. Ausschöpfende Ketten von Mengen Betrachten Ketten C von Teilmengen von N mit: = C 0 C 1... C n = N, wobei C i = i für i = 0, 1,..., n N C C 0 1 C C 2 C 3 C C 4 7
21 Beweis 2. Wie viele verschiedene solcher Ketten gibt es? C C 0 1 C C 2 C 3 C C 4 8
22 Beweis 2. Wie viele verschiedene solcher Ketten gibt es? C C 0 1 C C 2 C 3 C C 4 Ziehen aus N ohne zurücklegen n! Ketten 8
23 Beweis 3. Wie viele Ketten enthalten ein gegebenes A F? C C 0 1 C C 2 C 3 C C 4 A
24 Beweis 3. Wie viele Ketten enthalten ein gegebenes A F? C C 0 1 C C 2 C 3 C C 4 A (a) Elemente von A hinzufügen k! Möglichkeiten 9
25 Beweis 3. Wie viele Ketten enthalten ein gegebenes A F? C C 0 1 C C 2 C 3 C C 4 A (a) Elemente von A hinzufügen k! Möglichkeiten (b) restliche Elemente von N hinzufügen (n k)! Mögl. 9
26 Beweis 3. Wie viele Ketten enthalten ein gegebenes A F? (a) Elemente von A hinzufügen k! Möglichkeiten (b) restliche Elemente von N hinzufügen (n k)! Mögl. k!(n k)! Ketten enthalten A 9
27 Beweis 3. Wie viele Ketten enthalten ein gegebenes A F? (a) Elemente von A hinzufügen k! Möglichkeiten (b) restliche Elemente von N hinzufügen (n k)! Mögl. k!(n k)! Ketten enthalten A (c) A, B F mit A, B C 9
28 Beweis 3. Wie viele Ketten enthalten ein gegebenes A F? (a) Elemente von A hinzufügen k! Möglichkeiten (b) restliche Elemente von N hinzufügen (n k)! Mögl. k!(n k)! Ketten enthalten A (c) A, B F mit A, B C A B B A 9
29 Beweis 3. Wie viele Ketten enthalten ein gegebenes A F? (a) Elemente von A hinzufügen k! Möglichkeiten (b) restliche Elemente von N hinzufügen (n k)! Mögl. k!(n k)! Ketten enthalten A (c) A, B F mit A, B C A B B A F Antikette 9
30 Beweis 3. Wie viele Ketten enthalten ein gegebenes A F? (a) Elemente von A hinzufügen k! Möglichkeiten (b) restliche Elemente von N hinzufügen (n k)! Mögl. k!(n k)! Ketten enthalten A (c) A, B F mit A, B C A B B A F Antikette A, B / C 9
31 Beweis - Zusammenführung 2. Wie viele verschiedene solcher Ketten gibt es? n! Ketten 3. Wie viele Ketten enthalten gegebenes A F? k!(n k)! Ketten; A, B F A, B / C 10
32 Beweis - Zusammenführung 2. Wie viele verschiedene solcher Ketten gibt es? n! Ketten 3. Wie viele Ketten enthalten gegebenes A F? k!(n k)! Ketten; A, B F A, B / C 4. Zusammenführung m k : Anzahl der k-teilmengen in F F = n k=0 m k 10
33 Beweis - Zusammenführung 2. Wie viele verschiedene solcher Ketten gibt es? n! Ketten 3. Wie viele Ketten enthalten gegebenes A F? k!(n k)! Ketten; A, B F A, B / C 4. Zusammenführung N m k : Anzahl der k-teilmengen in F F = n k=0 m k O 1 2 P Q 10
34 Beweis - Zusammenführung 2. Wie viele verschiedene solcher Ketten gibt es? n! Ketten 3. Wie viele Ketten enthalten gegebenes A F? k!(n k)! Ketten; A, B F A, B / C 4. Zusammenführung m k : Anzahl der k-teilmengen in F F = n k=0 m k Anzahl der Ketten, die ein beliebiges A F enthalten: n (m k k!(n k)!) k=0 10
35 Beweis - Zusammenführung 2. Wie viele verschiedene solcher Ketten gibt es? n! Ketten 3. Wie viele Ketten enthalten gegebenes A F? k!(n k)! Ketten; A, B F A, B / C 4. Zusammenführung m k : Anzahl der k-teilmengen in F F = n k=0 m k Anzahl der Ketten, die ein beliebiges A F enthalten: n (m k k!(n k)!) n! k=0 10
36 Beweis - Zusammenführung n (m k k!(n k)!) n! k=0 11
37 Beweis - Zusammenführung n (m k k!(n k)!) n! k=0 n k=0 ( m k ) k!(n k)! 1 n! 11
38 Beweis - Zusammenführung k=0 n (m k k!(n k)!) n! k=0 n ( ) k!(n k)! m k 1 n! ( ) n 1 m k ( n 1 k) k=0 11
39 Beweis - Zusammenführung k=0 n (m k k!(n k)!) n! k=0 n ( ) k!(n k)! m k 1 n! ( ) n 1 m k ( n 1 k) k=0 1 ( n ) n/2 n m k 1 k=0 11
40 Beweis - Zusammenführung k=0 n (m k k!(n k)!) n! k=0 n ( ) k!(n k)! m k 1 n! ( ) n 1 m k ( n 1 k) k=0 1 ( n ) n/2 F = n m k 1 k=0 n m k k=0 ( n ) n/2 11
41 Satz von Erdös-Ko-Rado
42 Satz von Erdös-Ko-Rado - Grundlagen N O 1 2 P Q
43 Satz von Erdös-Ko-Rado - Grundlagen N O 1 2 P Q F := {O, P, Q} ist eine 2-Schnittfamilie. 12
44 Satz von Erdös-Ko-Rado - Grundlagen N O 1 2 P Q F := {O, P, Q} ist eine 2-Schnittfamilie. Schnittfamilie Sei N = {1, 2,..., n} eine n-menge und F eine Familie von Teilmengen von N. Dann heißt F Schnittfamilie von N, falls: A, B F : A B 1 12
45 Satz von Erdös-Ko-Rado - Grundlagen N O 1 2 P Q F := {O, P, Q} ist eine 2-Schnittfamilie. k-schnittfamilie Sei N = {1, 2,..., n} eine n-menge und F eine Familie von k-teilmengen von N. Dann heißt F k-schnittfamilie von N, falls: A, B F : A B 1 12
46 Satz von Erdös-Ko-Rado - Mächtigkeit von k-schnittfamilien Wie groß kann so eine k-schnittfamilie maximal sein? N
47 Satz von Erdös-Ko-Rado - Mächtigkeit von k-schnittfamilien Wie groß kann so eine k-schnittfamilie maximal sein? N F
48 Satz von Erdös-Ko-Rado - Mächtigkeit von k-schnittfamilien Wie groß kann so eine k-schnittfamilie maximal sein? N F
49 Satz von Erdös-Ko-Rado - Mächtigkeit von k-schnittfamilien Wie groß kann so eine k-schnittfamilie maximal sein? N F F 1 = ( ) n 1 k 1 13
50 Satz von Erdös-Ko-Rado Satz von Erdös-Ko-Rado Die größte Mächtigkeit einer k-schnittfamilie in einer n-menge ist ( n 1 k 1), für n 2k. 14
51 Beweis
52 Beweis Beweis nach Gyula Katona: Betrachten Kreis C mit n Punkten und Kanten. Bogen der Länge k: k + 1 aufeinander folgenden Punkten und k Kanten Kreis C für n = 6 15
53 Beweis Beweis nach Gyula Katona: Betrachten Kreis C mit n Punkten und Kanten. Bogen der Länge k: k + 1 aufeinander folgenden Punkten und k Kanten Lemma Sei n 2k, und seien die t verschiedenen Bögen A 1,..., A t der Länge k gegeben, so dass je zwei Bögen eine Kante gemeinsam haben. Dann gilt t k. Kreis C für n = 6 15
54 Beweis - Lemma z.z. t k A i und A j haben keinen gemeinsamen Endpunkt Kreis C für n = 6 16
55 Beweis - Lemma z.z. t k A i und A j haben keinen gemeinsamen Endpunkt Betrachte A 1 : jeder Bogen A i (i 2) hat gemeinsame Kante mit A 1 Kreis C für n = 6 16
56 Beweis - Lemma z.z. t k A i und A j haben keinen gemeinsamen Endpunkt Betrachte A 1 : jeder Bogen A i (i 2) hat gemeinsame Kante mit A 1 Endpunkt von A i ist innerer Punkt von A 1 Kreis C für n = 6 16
57 Beweis - Lemma z.z. t k A i und A j haben keinen gemeinsamen Endpunkt Betrachte A 1 : jeder Bogen A i (i 2) hat gemeinsame Kante mit A 1 Endpunkt von A i ist innerer Punkt von A 1 max. k 1 weitere Bögen Kreis C für n = 6 16
58 Beweis - Lemma z.z. t k A i und A j haben keinen gemeinsamen Endpunkt Betrachte A 1 : jeder Bogen A i (i 2) hat gemeinsame Kante mit A 1 Endpunkt von A i ist innerer Punkt von A 1 max. k 1 weitere Bögen t k Kreis C für n = 6 16
59 Beweis - Erdös-Ko-Rado Sei F eine k-schnittfamilie, C ein Kreis mit n Punkten & Kanten. z.z. F ( ) n 1 k 1 Kreis C für n = 6 17
60 Beweis - Erdös-Ko-Rado Sei F eine k-schnittfamilie, C ein Kreis mit n Punkten & Kanten. z.z. F ( ) n 1 k 1 schreiben zyklische Permutation π = {a 1, a 2,..., a n } von N im Uhrzeigersinn an Kanten von C Kreis C für n = 6 17
61 Beweis - Erdös-Ko-Rado Sei F eine k-schnittfamilie, C ein Kreis mit n Punkten & Kanten. z.z. F ( ) n 1 k 1 schreiben zyklische Permutation π = {a 1, a 2,..., a n } von N im Uhrzeigersinn an Kanten von C A := {A F Elemente von A aufeinanderfolgend in C} Kreis C für n = 6 17
62 Beweis - Erdös-Ko-Rado Sei F eine k-schnittfamilie, C ein Kreis mit n Punkten & Kanten. z.z. F ( ) n 1 k 1 schreiben zyklische Permutation π = {a 1, a 2,..., a n } von N im Uhrzeigersinn an Kanten von C A := {A F Elemente von A aufeinanderfolgend in C} = Lemma+ F k Schnittfamilie A k Kreis C für n = 6 17
63 Beweis - Erdös-Ko-Rado Sei F eine k-schnittfamilie, C ein Kreis mit n Punkten & Kanten. z.z. F ( ) n 1 k 1 schreiben zyklische Permutation π = {a 1, a 2,..., a n } von N im Uhrzeigersinn an Kanten von C A := {A F Elemente von A aufeinanderfolgend in C} = Lemma+ F k Schnittfamilie A k = (n 1)! zykl. Perm. F k(n 1)! Kreis C für n = 6 17
64 Beweis - Erdös-Ko-Rado Sei F eine k-schnittfamilie, C ein Kreis mit n Punkten & Kanten. z.z. F ( ) n 1 k 1 schreiben zyklische Permutation π = {a 1, a 2,..., a n } von N im Uhrzeigersinn an Kanten von C A := {A F Elemente von A aufeinanderfolgend in C} = Lemma+ F k Schnittfamilie A k = (n 1)! zykl. Perm. F k(n 1)! = k!(n k)!mögl. A aufzuzählen F k(n 1)! k!(n k)! Kreis C für n = 6 17
65 Beweis - Erdös-Ko-Rado Sei F eine k-schnittfamilie, C ein Kreis mit n Punkten & Kanten. z.z. F ( ) n 1 k 1 schreiben zyklische Permutation π = {a 1, a 2,..., a n } von N im Uhrzeigersinn an Kanten von C A := {A F Elemente von A aufeinanderfolgend in C} = Lemma+ F k Schnittfamilie A k = (n 1)! zykl. Perm. F k(n 1)! = k!(n k)!mögl. A aufzuzählen F F (n 1)! (k 1)!(n k)! = k(n 1)! k!(n k)! ( ) n 1 k 1 Kreis C für n = 6 17
66 Quellen
67 Quellen Martin Aigner. Das Buch der Beweise / Martin Aigner ; Günter M. Ziegler. Springer Spektrum, Berlin [u.a.], 4. aufl. edition, Emanuel sperner. Zuletzt aufgerufen:
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