Dr. Guido Knapp Fakultät Statistik Technische Universität Dortmund 6. Februar Klausur zur Veranstaltung Erhebungstechniken

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1 Dr. Guido Knapp Fakultät Statistik Technische Universität Dortmund 6. Februar 2009 Klausur zur Veranstaltung Erhebungstechniken im Wintersemester 2008 / 2009 Name, Vorname: Studiengang (Bachelor/Diplom): Matrikelnummer: Hinweise: Es gibt fünf Aufgaben. Für eine erfolgreichen Teilnahme an der Klausur ist das Erreichen von 50% der Gesamtpunktzahl hinreichend. Als Lösung genügt aber keinesfalls nur die Angabe eines Endergebnisses, sondern der Rechenweg ist nachvollziehbar zu dokumentieren. Aufgabe erreichbare erreichte Punkte Punkte Gesamt 100 Note:

2 Name, Vorname: 2 Aufgabe 1: (20 Punkte) Beantworten Sie die folgenden zehn Fragen! (möglichst kurz, aber präzise) Frage 1: Wie ist eine einfache Zufallsstichprobe definiert? Frage 2: Um wie viel müssen Sie den Stichprobenumfang erhöhen, damit Sie die Präzision Ihrer Schätzung bei einer einfachen Zufallsstichprobe vervierfachen? Frage 3: Wann ist die Präzision einer einstufigen Auswahl größer als die einer einfachen Zufallsauswahl ohne Zurücklegen? Frage 4: Was ist eine repräsentative Stichprobe? Frage 5: Wie viele Stichproben (ohne Zurücklegen) gibt es, wenn aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N eine Stichprobe vom Umfang n ausgwählt werden soll?

3 Name, Vorname: 3 Frage 6: Welche Eigenschaften sollten Klumpen bei einer einstufigen Auswahl haben? Frage 7: Was ist ein Schichtungseffekt? Frage 8: Was ist eine Beurteilungsstichprobe? Frage 9: Wie ist n y i im homograden Fall bei einer einfachen Zufallsauswahl ohne i=1 Zurücklegen verteilt? Frage 10: Wie lautet das Grundprinzip zur Konstruktion von Schichten?

4 Name, Vorname: 4 Aufgabe 2: ( Punkte) Zum Zwecke der Lebensmittelüberwachung wird in einer landwirtschaftlich geprägten Region ein Monitoringprogramm durchgeführt. Dazu werden von 200 Landwirten der Region 10 mittels einfacher Zufallsstichprobe ausgewählt, von deren geschlachteten Rindern Organproben entnommen und auf Schwermetallbelastungen (Cadmium, Cd in mg/kg) geprüft. Die Ergebnisse dieser Messungen sind in nachfolgender Tabelle zusammengestellt. Landwirt Cd in mg/kg (a) Schätzen Sie die mittlere Belastung und den Anteil der Landwirte, deren Rinder eine Belastung höher als 5 mg/kg Cadmium aufweisen. (b) Geben Sie für die Schätzer aus (a) Schätzer für deren Varianzen sowie die Standardabweichungen an. (c) Wie lautet das approximative Konfidenzintervall zum Niveau 0.95 für die mittlere Belastung? (Hinweis: u 0.95 = ,u = ) (d) Wie groß müsste man bei einer zukünftigen Untersuchung den Stichprobenumfang wählen, damit das Konfidenzintervall zur mittleren Belastung höchstens eine Breite von 1 mg/kg besitzt?

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6 Name, Vorname: 6 Aufgabe 3: ( Punkte) Da bei der letzten Wahl der Anteil der Wähler der Opportunistischen Partei (OP) in verschiedenen Bevölkerungskreisen unterschiedlich war, entschließt man sich für eine Wahlprognose zu einem geschichteten Auswahlverfahren aus vier Bevölkerungsschichten. Neben der Frage, ob bei der nächsten Wahl die OP gewählt wird, wird zusätzlich das Alter der befragten Personen erhoben. Die Ergebnisse der Erhebung sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst: Schicht h W h ˆPh ȳ h. s 2 h n h Hierbei bezeichnet ˆP h den Anteil der Personen, die die OP wählen wollen, ȳ h. das Durchschnittsalter, s 2 h die empirische Varianz des Alters und n h der Stichprobenumfang in der in der Schicht h, h = 1,2,3,4. (a) Schätzen Sie den zu erwartenden Anteil P, den die OP bei der nächsten Wahl erhält und das Durchschnittsalter erwartungstreu. (b) Geben Sie ein approximatives Konfidenzintervall zum Niveau 0.95 für das Durchschnittsalter an. (Hinweis: u 0.95 = ,u = ) (c) Berechnen Sie für beide erhobenen Merkmale eine optimale Aufteilung des Stichprobenumfangs.

7 Name, Vorname: 7

8 Name, Vorname: 8 Aufgabe 4: (10 Punkte) Bei der CD-Produktion der Firma Schall & Rausch treten leider auch Qualitätsmängel auf, die während der Herstellung nicht bemerkt werden. Zur Qualitätsprüfung vor Auslieferung wird deshalb aus den 1000 bereits verpackten Kartons eines Produktionsabschnittes eine einfache Zufallsstichprobe von 10 Kartons entnommen und hierin werden jeweils alle 20 CDs auf ihre Qualität überprüft. Bei dieser Überprüfung stellten sich 3, 1, 0, 0, 1, 1, 2, 1, bzw. 0 CDs als defekt heraus. Schätzen Sie den Anteil defekter CDs während des Produktionsabschnittes erwartungstreu.

9 Name, Vorname: 9 Aufgabe 5: (10 Punkte) Zeigen Sie, dass bei einer einfachen Zufallsstichprobe mit Zurücklegen für die Schätzung von Anteilswerten die folgende Aussage gilt: ist ein erwartungstreuer Schätzer für Var(p) = 1 n 1 p (1 p) Var(p) = 1 n P (1 P), wobei p der erwartungstreue Schätzer für P ist.