Muster einer Fachabschlußklausur (90 Min.)

Transkript

1 Muster einer Fachabschlußklausur (90 Min.) Mathematik 3 für Wirtschaftsingenieure Teilnehmer (Name, Vorname): Matrikelnummer: erreichte Punkte Max. erreichte Punkte Max. Aufg Aufg Aufg. 2 9 Aufg Aufg. 3 7 Aufg (max. 64) Note : Summe = 60,3 100% Gummersbach, den Unterschrift des Erstprüfer REGELN Jede Aufgabe wird auf einem separaten Blatt bearbeitet. Es wird nur das bereitgestellte Papier verwendet und vollständig abgegeben. Die Heftung der Seiten muß erhalten bleiben! Sie dürfen auf keinen Fall Bleistift, rote Tinte oder Filzstifte verwenden.! Es steht 90 Minuten zur Bearbeitung der Klausur zur Verfügung. Eine Dokumentation der Berechnungsschritte ist unbedingt erforderlich! Zum Bestehen der Klausur sind mindestens 29 Punkte erforderlich. In der Klausur sind Ihnen maximal 64 Punkte (106%) angeboten. Hilfsmittel: Außer einfachen Taschenrechnern ohne symbolische Rechenoperationenund und dem Lehrwerk Wewel (oder Papula Bd. 3) sind keine Hilfsmittel erlaubt. Lose Blätter auf den Arbeitsplätzen sind ausdrücklich untersagt. Achtung: Begründen Sie Ihre Formeln auf jeden Fall! Ihre Bearbeitung soll mathematische Notation enthalten. Nebenrechnungen gehören auf die Blätter. Lösungen ohne plausible Erklärungen werden höchstens teilweise anerkannt. Wenn Sie Ihre Lösungen nicht auf einander folgenden Seiten verteilen, weisen Sie die Fortsetzung bitte immer eindeutig aus!

2 Merkmale gruppierter Daten für Aufg. 3 : Die: Empirische Verteilungsfunktion ("Summenhäufigkeitsfunktion") F(x) ist bei diskreten Merkmalen eine Treppenfunktion. Bei gruppierten Daten ist unklar/unbestimmt, wo genau die Stufen liegen sollen, Bei gruppierten (klassifizierten) Daten sind oft die Klassenbreiten b i a i ungleich (a i, b i untere bzw. obere Klassengrenze). Gezählt wird in jeder Klasse i das Auftreten im Intervall [ a i ; b i [: n i : abs. Häufigkeiten jeder Klasse i; h i := n i /n.: rel. Häufigkeiten i f i := j=1 h i h j : die kumulierten rel. Häufigkeiten; h = : normierte rel. Häufigkeiten i b i a i Man geht somit davon aus, daß in jeder Klasse Gleichverteilung der Merkmale herrscht. Die klassierte empirische Verteilungsfunktion: ={ 0 für x a 1 H(x) f i h i b i x für a i x b i und alle i {1,...,m} 1 für x b m * ist stetig und besteht aus geraden Strecken ( Polygonzug ) jeweils mit der Steigung h i. Alle statistischen Maße sind nur schätzbar, nicht exakt berechenbar, da Informationen verdichtet wurden. Mittelwert klassifizierter Daten: x= i=1 Klassenmitten x i = b i a i 2 m h i x i im Fall von m Klassen jeweils mit den Modalwert klass. Daten: x= x k für die am dichtesten besiedelste Klasse: h k =max i Median und Quantile klass. Daten : Bestimmungsgleichung: H(x 0,5 ) = 0,5 läßt sich eindeutig auflösen, da H eine stetige Funktion ist (analog für bel. Quantile): 0,5 = H(x 0,5 ) = f k h k* (b k x 0,5 ) wenn k die passende Klasse darstellt: f k 0,5 und f k-1 < 0,5. Auflösen nach x 0,5 : x 0,5 = b k f k -0,5 h k Dies entspricht der gewöhnlichen Interpolationsformel. Für andere Quantile löse man H(x α ) = α entsprechend auf! h i

3 Aufg. 1 : Verteilungen (Hinweis: max. Punktzahl nur mit erkennbarem Rechenweg bzw. Dokumentation) Bei der Herstellung von Bolzen auf einem Automaten sei der Durchmesser X normalverteilt mit einem Mittelwert µ = 10,00 mm und einer Standardabweichung σ = 0,02 mm. a) Wieviel % Ausschuß ist zu erwarten, wenn der Bolzendurchmesser mindestens 9,955 mm betragen muß? b) Wieviel % Ausschuß ist zu erwarten, wenn der Bolzendurchmesser höchstens 10,051 mm betragen darf? c) Wie groß dürfte die Standardabweichung bei gleichem µ maximal sein, um den Anteil der Bolzen, welche außerhalb der Grenzen 10,00 ± 0,03 mm liegen, unterhalb von 1% zu halten? : Sonderpunkt für klare Dokumentation, keine Erläterung der Formeln, aber richtige Schreibweise für die Anteile und Beschreibung, wo bestimmte verwendeten Konstanten herkommen, z:b: P NV (X<c) = P SNV (Z<(c-µ)/σ) = 1% Vorgabewert. Φ(x) = 1% x = Φ -1 (1%)=2,326 und x=(c-µ)/σ...

4 Aufg. 2: Empirische Datenauswertung, Konfidenzintervalle a) Berechnen Sie den Mittelwert, den Median und die Standardabweichung für die Werte dieser Stichprobe: (Zwischenergebnisse sind nicht erforderlich, Sie dürfen den Taschenrechner verwenden) k X 4,33 4,79 5,21 3,97 5,29 4,21 4,88 4,22 5,18 b) Eine Stichprobe vom Umfang n=16 einer annähernd normalverteilten Population ergab: x= 4,200 s n 1 = 0,385 Bestimmen Sie ein 90% Konfidenzintervall (3 Nachkommastellen) für den Mittelwert der Gesamtheit. Dokumentieren Sie den Rechenweg kurz!

5 Aufg. 3: Auswertung gruppierter Daten In einer CD Sammlung befinden sich viele Lieder. Die Liedlängen in Minuten wurden in 8 Klassen eingeteilt, wobei ein Lied etwas aus der Reihe fiel mit einer Länge von 20 Minuten: Klasse i Liedlänge in Minuten Anzahl xi fi von... bis unter länger als 15 1 a) Geben Sie an, welcher Anteil der Lieder eine Länge von mindestens 8 Minuten hat! CD Sammlung Liedlängen b) Erklären Sie, warum das Säulendiagramm kein Histogramm ist! c) Wieviele Klassen hätte man wählen sollen? Anzah von... bis unter länger als 15 Liedlänge in Minuten d) Wie groß ist das dritte Quartil der Verteilung?

6 Aufg. 4 : Binomialverteilung Eine Partei möchte in einem (sehr) einfachen Modell ihren aktuellen Stimmenanteil durch eine Stichprobe bestimmen. Bei der letzen Wahl stimmten ihr 35% der Wähler zu. a) Wie groß muß der Stichprobenumfang mindestens sein, um im Idealfall den Stimmanteil auf ± 1% mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 2% zu erfassen? b) unabhängig von a)! Es wurden 100 Wahlberechtigte ( mit Zurücklegen ) in einer repräsentativen Zufallsstichprobe mit versteckter, annonymer Antwortmöglichkeit zu ihrer Wahlpräferenz befragt. Davon haben sich 30 für die Partei ausgesprochen. Berechnen Sie P( X 30 ) mit p=0,35! Wenn Sie eine andere Verteilung als die Binomialverteilung verwenden wollen, so müssen Sie dies ausreichend begründen und entsprechende Nachweise führen! c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe vom Umfang 10 mindestens ein Wähler für diese Partei ist?

7 Aufg. 5: Hypothesentest (entweder Parameter- oder Verteilungstest!) (Hinweis: max. Punktzahl nur mit erkennbarem Rechenweg, Dokumentation und klarer Interpretation) Hypothesentest für Mittelwertdifferenzen Punkte: Der ph-wert der beiden chemischen Lösungen X und Y wurde überprüft. Eine Analyse der 6 Stichproben von Lösung X ergab einen mittleren ph-wert von 7,35 bei einer Standardabweichung von 0,027. Eine Analyse der fünf Stichproben der Lösung Y ergab einen mittleren ph-wert von 7,40 bei einer Standardabweichung von 0,037 a) Beschreiben Sie die vermuteten Unterschiede beider Lösungen! b) Führen Sie einen korrekt dokumentierten Differenzentest für die Mittelwerte zum Signifikanzniveau α=5 % durch! c) Beschreiben Sie Ihr Rechenergebnis bezogen auf die gegebene Problemstellung mit Worten! Verteilungstest Punkte: etwa 15 Das Eintreffen von Bestellungen eines Produktes wurde vier Wochen lang protokolliert. Es ergab sich folgende Tabelle der beobachteten Bestellungen je Tag: Bestellungen je Tag beobachtete Häufigkeit Man vermutet nun, dass die Bestellungen wie in der Vergangenheit Poisson-verteilt auftreten, was zu diesen erwarteten Klassenwahrscheinlichkeiten führen würde: Bestellungen je Tag Wahrscheinlichkeit nach Poisson- Verteilung [%] ,2 8,4 16,0 20,3 19,4 14,9 9,5 5,2 2,5 1,0 0,6 Testen Sie, ob diese Annahme angesichts der Beobachtungen noch zutrifft. Definieren Sie einen richtigen statistischen Anpassungstest! Beschreiben Sie das Ergebnis unter Berücksichtigung des Aufgabenkontextes!

8 Prof. Dr. J. Böhm-Rietig Kopiervorlage FH-Köln, Fak.10 Musterklausur (2006) 02261/ Fachabschlußklausur (90 Min.) Mathematik 3 für Wirtschaftsingenieure Teil 2 ohne Hilfsmittel Teilnehmer (Name, Vorname): Matrikelnummer: erreichte Punkte Max. Aufg REGELN Sie dürfen auf keinen Fall Bleistift, rote Tinte oder Filzstifte verwenden.! Es stehen 15 bis 20 Minuten zur Bearbeitung dieses Klausurteils zur Verfügung. Keine Hilfsmittel! Aufg. 6: Allgemeine Fragen nur in Auszügen!!!! a) Für ein Konfidenzintervall der Varianz-Schätzung aus Stichproben benötigen Sie welche Verteilung? b) P SNV ( Z 2 ) %? c) Welche Varianz besitzt die Poissonverteilung, wenn ihr Parameter den Wert µ=9 hat? d) Wie (nach welchem Verteilungsgesetz) streut die Ausfallzeit elektronischer Bauelemente im allgemeinen? e).wieso wurde in der Vorlesung so ein großer Wert auf die richtige Wahl der Formel für die Berechnung der Standardabweichung einer Stichprobe gelegt? Was bedeuten und wozu benutzen wir s n-1, s n, σ?... [Musterklausur WS06.odt] S. 8 [ ]