Logik für Biologen. Logisch denken zu können ist für alle Wissenschaftler wesentlich. Biologisch=Bio+logisch!

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1 Logik für Biologen Logisch denken zu können ist für alle Wissenschaftler wesentlich. Biologisch=Bio+logisch! Aussagen (Nicht, Und, Oder) Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch. Der Löwe ist eine Raubkatze ist wahr. Der Hai ist eine Raubkatze ist falsch. Die Negation vertauscht wahr und falsch. Der Löwe ist keine Raubkatze ist falsch. Der Hai ist keine Raubkatze ist wahr. Die Negation der Negation ist die Aussage selbst. Es stimmt nicht, dass der Löwe keine Raubkatze ist bedeutet Der Löwe ist eine Raubkatze. Wenn wir mehrere Aussagen mit Und verbinden, müssen alle wahr sein: Der Löwe und der Tiger sind Raubkatzen ist wahr. Der Löwe und der Hai sind Raubkatzen ist falsch. Wenn wir mehrere Aussagen mit Oder verbinden, dann muss mindestens eine davon wahr sein: Der Löwe oder der Hai ist eine Raubkatze ist wahr. Der Pinguin oder der Hai ist eine Raubkatze ist falsch. Wenn wir zwei Aussagen mit Entweder-Oder verbinden, dann muss genau eine davon wahr sein: Entweder der Löwe oder der Tiger ist eine Raubkatze ist falsch. Entweder der Löwe oder der Hai ist eine Raubkatze ist wahr. Durch eine Negation werden Und und Oder vertauscht. Die Negation von Der Löwe und der Hai sind Raubkatzen ist Der Löwe oder der Hai ist keine Raubkatze. Die Negation von Der Pinguin oder der Hai ist eine Raubkatze ist Der Pinguin und der Hai sind keine Raubkatzen. Implikationen Die Implikation Raubkatze Wirbeltier ist wahr, da alle Raubkatzen insbesondere Wirbeltiere sind. Die Implikation Raubkatze Löwe ist falsch, da z.b. der Tiger eine Raubkatze und kein Löwe ist. Eine Implikation A B (wenn A, dann B; A nur wenn B) entspricht, dass A hinreichend für B ist. Raubkatze ist genug, um Wirbeltier zu sein. Die Implikation entspricht auch, dass B notwendig für A ist: Raubkatze und kein Wirbeltier geht nicht. A B A ist hinreichend für B B ist notwendig für A A und nicht B ist unmöglich 1

2 Eine Implikation A B besagt nichts im Fall, in dem A nicht gilt: B könnte gelten oder nicht. Raubkatze Wirbeltier besagt nichts über Giraffen oder Würmer. Fliegender Hai Penguin ist eigentlich wahr, da es keinen fliegenden Hai gibt. Man kann Implikationen verketten: Aus Raubkatze Säugetier und Säugetier Wirbeltier folgt unmissverständlich Raubkatze Wirbeltier. Weitere Implikationen Die umkehrte Implikation von Raubkatze Wirbeltier ist Wirbeltier Raubkatze und sie ist falsch, da z.b. die Giraffe ein Wirbeltier aber keine Raubkatze ist. Die umkehrte Implikation von Kloakentier eierlegendes Säugetier ist eierleierlegendegendes Säugetier Kloakentier und sie ist wahr. Die doppelte Implikation A B (genau dann A, wenn B) gilt, wenn beide Implikationen gelten. Kloakentier eierlegendes Säugetier ist wahr Raubkatze Wirbeltier ist falsch Die doppelte Implikation der Negationen ist dieselbe doppelte Implikation: Kein Kloakentier Kein eierlegendes Säugetier ist genau dieselbe Information als Kloakentier eierlegendes Säugetier Sehr wichtig ist die Kontraposition: Die Implikation A B und die Implikation nicht B nicht A ergeben dieselbe Information: beide besagen, dass A und nicht B nicht gleichzeitig gelten können. Raubkatze Wirbeltier ist äquivalent zu kein Wirbeltier keine Raubkatze und diese besagen genau: Raubkatze und kein Wirbeltier kann nicht sein. A B ist das gleiche wie nicht B nicht A Regeln und Beispiele Eine Regel wird mit dem Wort alle ausgedrückt: Alle Raubkatzen sind Wirbeltiere. Für alle Raubkatzen gilt, dass sie Wirbeltiere sind. In der Mathematik haben Regeln keine Ausnahmen. Eine Regel ist falsch, wenn auch nur eine einzelne Ausnahme (Gegenbeispiel) gibt. Beispiele reichen nicht, um eine Regel zu beweisen: Man kann nie sicher sein, dass die übrigen Beispiele keine Ausnahmen sind. Ein Beispiel oder ein Gegenbeispiel wird mit dem Ausdrück es gibt ein (d.h. es gibt mindestens ein ) festgelegt: Es gibt (mindestens) eine Raubkatze, die mit 90km/h laufen kann bedeutet Es gibt Raubkatzen, die mit 90km/h laufen können. Die Negation vertauscht alle und es gibt : Die Negation von Alle Raubkatzen können mit 90km/h laufen ist: Es gibt Raubkatzen, die nicht mit 90km/h laufen können. Die Negation von Alle Raubkatzen können nicht mit 90km/h laufen ist: Es gibt Raubkatzen, die mit 90km/h laufen können. 2

3 Es gibt keine Raubkatze, die 120km/h schafft bedeutet Alle Raubkatzen schaffen nicht 120km/h : Beide sind die Negation von Es gibt eine Raubkatze, die 120km/h schafft. Existenz und Eindeutigkeit Für die Existenz brauchen wir mindestens ein Beispiel. Es gibt 1 Beispiele, also ein Beispiel oder mehrere Beispiele. Es gibt mindestens ein Tier, das schwimmen kann ist wahr, da der Hai schwimmt. Für die Eindeutigkeit darf es höchstens ein Beispiel geben. Es gibt 1 Beispiele, also ein Beispiel oder keine Beispiele. Es gibt höchstens ein Tier mit einer gegebenen DNA ist wahr: Mit der DNA der Löwe gibt es nur der Löwe, mit der DNA einer Blume gibt es kein Tier. Für die Existenz und Eindeutigkeit brauchen wir genau ein Beispiel. Es gibt 1 Beispiel: Mindestens eins und höchstens eins bedeutet genau eins. Es gibt genau ein Tier, das wie eine Ente läuft, wie eine Ente schwimmt und wie eine Ente schnattert ist wahr 1. Die Existenz gilt nicht, wenn kein Beispiel zu finden ist: Es gibt keine Vampire. Die Eindeutigkeit gilt nicht, wenn man zwei verschiedene Beispiele findet: Sowohl der Hai als auch der Wal schwimmen. Für alle ( ) und Es gibt ( ) x, y: Für alle x und für alle y ist dasselbe wie Für alle y und für alle x. Für alle gesunden Affen und für alle Bäume gilt: Der Affe kann auf den Baum klettern und Für alle Bäume und für alle gesunden Affen gilt: Der Affe kann auf den Baum klettern sind äquivalent und bedeuten: Jeder gesunde Affe kann auf alle Bäume klettern Also haben wir keine Ausnahmen für die gesunden Affen und keine Ausnahmen für die Bäume. x, y: Es gibt ein x und es gibt ein y ist dasselbe wie Es gibt ein y und es gibt ein x. Es gibt einen Baum und es gibt eine Katze, sodass gilt: Die Katze kann auf den Baum klettern ist dasselbe wie Es gibt eine Katze und es gibt einen Baum, sodass gilt: Die Katze kann auf den Baum klettern. Es könnte auch sein, dass große Bäume für alle Katzen zu schwierig sind, oder dass einige Katzen es auf keinen Baum schaffen, oder auch, dass jede Katze es auf einige aber nicht auf alle Bäume schafft... Vorsicht: y : x (es gibt ein y, sodass für alle x) ist stärker als x y (für alle x gibt es ein y). Der Unterschied liegt darin, dass y im ersten Fall für alle x dasselbe sein muss. Für jedes Tier gibt es Nahrung, die geeignet ist ist wahr, da jedes Tier etwas frisst. Es gibt Nahrung, die für jedes Tier geeignet ist ist falsch, da jetzt die Nahrung nicht vom Tier abhängen kann. 1 Spruch: When I see a bird that walks like a duck and swims like a duck and quacks like a duck, I call that bird a duck. 3

4 Aufgaben 1. Zebras sind schwarz-weiß. Alte Filme sind schwarz-weiß. Also sind Zebras alte Filme. Was ist schiefgelaufen? 2. Gibt es einen Unterschied zwischen den Zoos (a) und (b)? (a) Alle Tiere des Zoos essen Fleisch oder alle Tiere des Zoos essen Pflanzen. (b) Alle Tiere des Zoos essen Fleisch oder Pflanzen. 3. Wahr oder Falsch, und warum? (a) Kein Wirbeltier ist ein Wurm oder kein Wurm ist ein Wirbeltier. (b) Kein Wirbeltier ist ein Säugetier oder kein Säugetier ist ein Wirbeltier. (c) Die Säugetiere sind keine Würmer und keine Wirbeltiere. (d) Ein neu entdecktes Tier wäre ein Säugetier nur dann, wenn es kein Wurm ist. (e) Ein neu entdecktes Tier wäre kein Wirbeltier, falls es kein Säugetier ist. (f) Um kein Säugetier zu sein, ist notwendig aber nicht hinreichend, kein Wirbeltier zu sein. 4. Welche der folgenden Implikationen bedeuten dasselbe? Und welche sind wahr? (a) Säugetier Wirbeltier (b) Wirbeltier Säugetier (c) Säugetier Wirbeltier (d) Kein Säugetier Kein Wirbeltier (e) Kein Wirbeltier Kein Säugetier (f) Säugetier Wirbeltier (g) Wirbeltier Säugetier (h) Kein Wirbeltier Kein Säugetier 5. Sowohl Darwin als auch Mendel haben Pflanzen untersucht. Wir sehen uns folgende Aussagen an: (a) Darwin hat alle Pflanzen untersucht, die Mendel untersucht hat. (b) Es gibt eine von Mendel untersuchte Pflanze, die Darwin untersucht hat, aber Darwin hat nicht alle Pflanzen untersucht, die Mendel untersucht hat. (c) Es gibt eine von Mendel untersuchte Pflanze, die Darwin nicht untersucht hat. Welche der obigen Aussagen richtig sind und welche nicht, wissen wir nicht. Unter den obigen Aussagen gibt es jedoch zwei solche, die beide gleichzeitig wahr und beide gleichzeitig falsch sein können. Ebenso gibt es unter ihnen auch zwei Aussagen, die gleichzeitig falsch sein können, aber nicht gleichzeitig wahr sein können. Um welche Aussagen handelt es sich? Begründe! 4

5 Lösungen der Aufgaben 1. Aus A B und C B können wir nicht schliessen, dass A C. Hätten wir A B und B C aber schon. 2. Zoo (a) besteht nur aus Fleischfressern oder nur aus Pflanzenfressern: die Nahrung ist nicht vom Tier abhängig. In Zoo (b) könnte man auch sowohl Fleischfresser als auch Pflanzenfresser haben. 3. (a) Wahr, z.b. da kein Wurm ein Wirbeltier ist. (b) Falsch, da z.b. der Löwe sowohl ein Säugetier als auch auch ein Wirbeltier ist. (c) Falsch, da die Säugetiere Wirbeltiere sind. (d) Wahr, da alle Würmer keine Säugetiere sind (also ist kein Wurm notwendig). (e) Falsch, wenn man z.b. eine neue Schlange entdecken würde, dann hätte man ein Wirbeltier und kein Säugetier. (f) Falsch, eine Schlange ist ein Wirbeltier und kein Säugetier. Also ist die Bedingung kein Wirbeltier nicht notwendig. 4. Anmerkungen aus der Theorie: Die Implikationen A B und B A und Nicht B Nicht A sind alle äquivalent. Die Implikationen A B und B A und Nicht A Nicht B und Nicht B Nicht A sind alle äquivalent. Die Implikationen (a) und (e) sind äquivalent und wahr. Die Implikationen (b),(c) und (d) sind äquivalent und falsch. Die Implikationen (f),(g) und (h) sind äquivalent und falsch. 5. Zusätzliche Anmerkungen: Aussage (c) ist die Negation der Aussage (a) also sie können nicht gleichzeitig wahr oder gleichzeitig falsch sein. Aussage (b) impliziert Aussage (c): sie sind beide wahr, falls (b) wahr ist; sie sind beide falsch, falls (c) falsch ist; es könnte auch sein, dass (b) falsch aber (c) wahr ist. Da (b) die Negation von (a) impliziert, können (b) und (a) nicht gleichzeitig wahr oder gleichzeitig falsch sein. Es gibt drei Fälle: Darwin hat 1) keine Pflanze 2) einige Pflanzen, aber nicht alle Pflanzen 3) alle Pflanzen untersucht, die Mendel untersucht hat. Im Fall 1) sind (a) und (b) falsch aber (c) ist wahr. Im Fall 2) sind (b) und (c) wahr aber (a) ist falsch. Im Fall 3) sind (b) und (c) falsch aber (a) ist wahr. Also können Aussagen (b) und (c) gleichzeitig wahr und auch gleichzeitig falsch sein. Aussagen (a) und (b) können gleichzeitig falsch aber nicht gleichzeitig wahr sein. 5

6 Mengen für Biologen In der Taxonomie gibt es sehr interessante Mengenstrukturen (Familie, Gattung, Ordnung... ). Merkmale werden benutzt, um Elemente der Natur zu klassifizieren d.h. auf Mengen zu verteilen. Die Zusammenhänge zwischen diesen Mengen sind kompliziert und von wichtiger Bedeutung. Sie müssen keine Formeln auswendig lernen, sondern sie verstehen und praktisch anwenden können. Mengen und Teilmengen Sei M eine Menge, also eine Sammlung von Elementen, die alle verschieden sind. Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente haben. Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl der Elemente. Wenn eine Menge kein Element besitzt, dann ist sie die leere Menge und wird mit bezeichnet. Wir unterscheiden zwischen endlichen und unendlichen Mengen. Mengen können durch Aufzählen ihrer Elemente angegeben werden, wobei es nicht auf die Reihenfolge ankommt oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird: M = {Tiger, Panther, Löwe} = {Panther, Löwe, Tiger} = {Tiger, Löwe, Panther, Löwe} Als Notation für die Elemente, z.b.: Panther M, Zebra / M. Oft legt man die Elemente einer Menge durch Eigenschaften fest, z.b.: {die Wirbeltiere, die fliegen können} Eine Teilmenge einer Menge M ist eine Menge T, sodass jedes Element aus T auch in M enthalten ist: {Säugetiere} {Wirbeltiere} {Vögel} {Tiere, die fliegen können} Eine Menge M hat als Teilmenge mindestens und M selbst. Teilmengen von Teilmengen sind Teilmengen: {Raubtiere} {Säugetiere} {Wirbeltiere} {Raubtiere} {Wirbeltiere} Wir nennen die Inklusion. Wenn auch die andere Inklusion T M gilt d.h. jedes Element aus M auch in T enthalten ist, dann haben T und M genau dieselben Elemente also T = M. Eine Teilmenge heißt echt, wenn sie nicht die ganze Menge ist. Falls T M, dann gilt für die Mächtigkeiten #T #M: Eine Teilmenge hat weniger Elemente oder genau so viele. Weniger Elemente zu haben ist keine starke Information: {Zebra} und {Tiger, Panther} haben nichts miteinander zu tun. 6

7 Venn-Diagramme Mit 2 Mengen A, B hat man im Allgemeinen 4 = 2 2 verschiedene Fälle für ein Element: nur in A enthalten; nur in B enthalten; sowohl in A als auch in B enthalten; nicht in A und nicht in B enthalten. Man benutzt für die Veranschaulichung vier Zonen. Falls einige Zonen leer sind (z.b. falls A B) dann lässt sich das Diagramm vereinfachen. Für 3 Mengen A, B, C hat man 8 = 2 3 verschiedene Fälle. Man braucht acht Zonen. Für n Mengen, braucht man 2 n Zonen. d.h. muss man 2 n Fällen betrachten. A A B B C Durchschnitt Wenn wir mehrere Merkmale gleichzeitig wollen, dann bilden wir den Durchschnitt von Mengen: {eierlegende Säugetiere} = {Säugetiere} {eierlegende Tiere} = {Schnabeltier, Ameisenigel} Seien A und B Mengen. Dann definieren wir den Durchschnitt als: 2 A B = {x x A und x B} Es gilt natürlich A A = A und A =. Falls A B, ist A B = A: {Raubkatzen} {Säugetiere} = {Raubkatzen} Wir können auch den Durchschnitt von mehreren Mengen betrachten. Die Reihenfolge der Mengen spielt keine Rolle. Der Durchschnitt ist eine Teilmenge jeder der Mengen. Wir können auch den Durchschnitt mehrerer Mengen als mehrere Durchschnitte von zwei Mengen betrachten: A B C = (A B) C = A (B C) Paarweise disjunkt Zwei Mengen heissen disjunkt, falls der Durchschnitt die leere Menge ist: {Reptilien} {Säugetiere} = 2 Die Symbole oder : liest man sodass 7

8 Für mehrere Mengen können wir von paarweise disjunkt sprechen. Das bedeutet nicht nur das der Durchschnitt leer ist, sondern auch das der Durchschnitt von je zwei der Mengen leer ist. Z.B. es gilt {Säugetiere} {eierlegende Tiere} {fliegende Tiere} = (da Kloakentiere nicht fliegen) aber diese Menge sind nicht paarweise disjunkt (denke an Fledertiere oder Kloakentiere). Andererseits sind die Ordnungen einer Klasse paarweise disjunkt, wie z.b. eierlegende Ursäuger, Beutelsäuger und Plazentatiere für die Klasse der Säugetiere. Vereinigung Wenn wir mehrere Merkmale erlauben, dann bilden wir eine Vereinigung von Mengen: {Fische mit Knorpel oder Knochen} = {Knorpelfische} {Knochenfische} = {Fische} Seien A und B Mengen. Dann definieren wir die Vereinigung als: A B = {x x A oder x B} Es gilt natürlich A A = A = A. Falls A B, ist A B = B: {Raubkatzen} {Säugetiere} = {Säugetiere} Wir können auch die Vereinigung von mehreren Mengen betrachten. Die Reihenfolge der Mengen spielt keine Rolle. Die Vereinigung hat jede der Mengen als Teilmenge. Wir können auch die Vereinigung mehrerer Mengen als mehrere Vereinigungen von zwei Mengen betrachten: A B C = (A B) C = A (B C) Die Vereinigung aller Ordnungen einer Gattung ist die Gattung selbst. Differenzmenge Wenn wir einen Merkmal nicht wollen, dann bilden wir eine Differenz von Mengen: {Fische} \ {Knorpelfische} = {Knochenfische} Seien A und B Mengen. Dann definieren wir das Komplement von B in A als: A \ B = {x x A und x / B} Die Reihenfolge spielt für die Differenz eine wesentliche Rolle. Es gilt natürlich A \ = A und A \ A =. Mit einem Venn-Diagramm veranschaulichen Sie sich folgende Regeln: Falls A B, ist A (B \ A) = B aber im Allgemeinen gilt nur A (B \ A) B. Der Durchschnitt A (B \ A) ist immer leer und es gilt (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B) 8

9 Formeln Diese Formeln findet man im Internet, wenn man sie braucht. Sie müssen nur wissen, dass diese existieren, und verhindern, dass eine naive Intuition Sie fehlleitet. Mit einem Venn-Diagramm können Sie sich die folgenden Formeln veranschaulichen: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) (A\B) C = (A C)\(B\C) (A\B) C = (A C)\(B C) = (A\B) (C \B) (A \ B) \ C = (A \ B) (A \ C) A \ (B \ C) = (A \ B) (A C) Wenden Sie diese Formeln für die Blutgruppen an: Sei A die Menge der Menschen, die das Antigen A besitzen. Sei B die Menge der Menschen, die das Antigen B besitzen. Sei C die Menge der Menschen, die das Antigen RH + besitzen. Das Prinzip von Inklusion und Exklusion Wenn wir die Elemente von A aufzählen und dann die Elemente von B, haben wir die Elemente von A B doppelt gezählt. Deswegen gilt: #(A B) = #A + #B #(A B) Diese Formel können wir zur Vereinigung von mehreren Mengen verallgemeinern (mit abwechselnd + und ). Z.B. gilt für drei Mengen: #(A 1 A 2 A 3 ) = #A 1 +#A 2 +#A 3 #(A 1 A 2 ) #(A 1 A 3 ) #(A 2 A 3 )+#(A 1 A 2 A 3 ) Falls die Mengen paarweise disjunkt sind (wie z.b. in einer Partition, siehe weiter unten), ist die Mächtigkeit der Vereinigung genau die Summe der Mächtigkeiten. Im Allgemeinen ist die Summe größer. Am besten arbeitet man mit paarweise disjunkten Mengen! Partitionen Eine Partition einer Menge M ist eine Wahl von nicht-leeren Teilmengen, die paarweise disjunkt sind, und sodass die Vereinigung M ist. Also zerlegen wir eine Menge in paarweise disjunkte Teilmengen (wie eine Torte in verschiedene Stücke zu schneiden). In anderen Worten: Jede der Teilmengen ist nicht-leer und jedes Element von M ist in genau einer der Teilmengen enthalten. Die Menge der Säugetiere hat eine Partition mit drei Teilmengen: eierlegende Ursäuger, Beutelsäuger und Plazentatiere. Sei T eine echte nicht-leere Teilmenge von M. Dann bilden T und M \ T eine Partition von M. 9

10 Die Plazentatiere und die Säugetiere, die keine Plazentatiere sind (d.h. eierlegende Ursäuger oder Beutelsäuger), ergeben eine Partition der Säugetiere mit zwei Teilmengen. Seien zwei Partitionen von M gegeben. Wir nennen die zweite Partition feiner, wenn jede Menge der zweiten Partition eine Teilmenge eines Elementes der ersten Partition ist. In anderen Worten: wir zerlegen die Elemente der ersten Partition weiter (wie die Stücke der Torte weiter zu zerschneiden). Die Partition einer Klasse in Familien ist feiner als eine Partition in Ordnungen. Wenn wir zwei Partitionen haben, dann kann es auch sein, dass keine feiner als die andere ist (sie haben einfach nichts mit einander zu tun). Partitionen treten bei Einteilung von Mengen nach Merkmalen auf. Die Blutgruppentypen A, B, AB, 0 ergeben eine Partition der Menschen. Eine feinere Partition ist: A+, A, B+, B, AB+, AB, 0+, 0 Wir können zwei Partitionen von M kombinieren: Seien T 1,..., T n und S 1,..., S m zwei Partitionen. Nehmen wir alle Mengen der Form T i S j, die nicht-leer sind. Die neue Partition ist feiner als beide. Sie besteht aus höchstens n m Teilmengen. Die acht Blutgruppentypen sind die Kombination der Partition A, B, AB, 0 mit der Partition +,. Anmerkung: Wenn wir eine Partition (die Familien einer Gattung) mit einer feineren Partition kombinieren (die Spezien der Gattung), bekommen wir die feinere Partition wieder. In der Tat ist der Schnitt zwischen einer Spezie und einer Familie entweder die Spezie selbst oder die leere Menge. Kartesisches Produkt Das kartesische Produkt von zwei Mengen A und B ist die Menge der geordneten Paare mit erstem Element in A und zweitem Element in B: A B = {(a, b) : a A und b B} Geordnet bedeutet: Es gilt (a, b) = (b, a) nur wenn a = b. Es gilt #(A B) = #A #B denn wir haben #A Möglichkeiten um a zu wählen und #B Möglichkeiten um b zu wählen, und diese Wahlen sind unabhängig. Man kann das kartesische Produkt von n Mengen betrachten, d.h. die Menge der geordneten n-tupel. Zum Beispiel ist A B C die Menge der geordneten Tripel (a, b, c) mit a A, b B und c C, und ihre Mächtigkeit ist #A #B #C. Das kartesische Produkt {A, B, AB, 0} {+, } = {(A, +), (A, ), (B, +),..., (0, )} beschreibt die acht Blutgruppentypen. Wenn man zwei oder mehrere Merkmale kombiniert, hat man das kartesische Produkt, wenn alle Kombinationen möglich sind (wie in diesem Beispiel) ansonsten eine Teilmenge davon. 10

11 Das Schubfachprinzip Falls man n Objekte auf k Mengen (n, k > 0) verteilt, und n größer als k ist, dann gibt es mindestens eine Menge, in der mehr als ein Objekt landet. Falls man eine bestimmte Anzahl von Schubfächern hat, und man mehr Objekte in die Fächer legt, als Fächer vorhanden sind, dann landen in irgendeinem Schubfach mindestens zwei dieser Objekte. Dies ist zwar offensichtlich, aber trotzdem nützlich. Wenn man Tiere von 5 verschiedenen Spezien hat, dann gibt es unter 6 Tiere mindestens 2 derselben Spezie. Hier ist Objekte=Tiere, Schubfächer=Spezien. Die Aufrundungsfunktion einer reeller Zahl x wird mit x benotet: Dies ist die kleinste ganze Zahl größer gleich x. Verteilt man n Objekte auf k Mengen (n, k > 0), so gibt es mindestens eine Menge, in der sich zumindest n Objekte befinden. k Unter 50 Tiere (von 5 Spezien) gibt es mindestens 50 = 10 = 10 derselben Spezie. 5 Unter 12 Tiere (von 5 Spezien) gibt es mindestens 12 = 2, 4 = 3 derselben Spezie. 5 11

12 Anzahl der Genotypen von diploiden Organismen Bezeichnet G = {g 1, g 2,..., g n } die Menge der möglichen Erbfaktoren (Gene) eines diploiden Organismus, dann sind bei einem Nachkommen alle Genkombinationen (g i, g j ) möglich. Da jedoch der Genotyp (g i, g j ) nicht vom Typ (g j, g i ) unterscheidbar ist, stellt die Menge der (unterscheidbaren) Genotypen eine Untermenge des kartesischen Produkt G G dar: U = {(g i, g j ) G G : i j} Also, da (g 3, g 4 ) und (g 4, g 3 ) denselben Organismus darstellen, behalten wir nur (g 3, g 4 ). Die Mächtigkeit von U ist höchstens n 2, da U eine Teilmenge von G G ist. Wieviele Genotypen gibt? Wir betrachten die folgende Partition der Menge U mit den Teilmengen T k, wobei k fest ist: T k = {(g j, g k ) G G : j = 1,..., k} Also ist z.b. T 2 = {(g 1, g 2 ), (g 2, g 2 )}. Die Menge T k hat genau k Elemente, und diese Mengen sind paarweise disjunkt. Nach der Summenformel von Gauss haben wir dann #U = n #T k = (n 2) + (n 1) + n = k=1 n(n + 1) 2 Wieviele Genotypen gibt? Wir betrachten die Partition der Menge U mit den Teilmengen der homozygoten bzw. heterozygoten Genotypen. Wir nennen z.b. (g 3, g 4 ) heterozygote und (g 3, g 3 ) homozygote. Alle homozygoten Paare sind unterscheidbar, und es gibt genau n homozygote Genotypen: Die heterozygoten Paare sind Die heterozygoten Genotypen sind daher Wir haben also #He = n 2 n. Wir haben daher Ho = {(g i, g i ), i = 1,..., n} He = {(g i, g j ) G G : i j} U He = {(g i, g j ) G G : i < j} #(G G) = #Ho + #He #(U He) = #He 2 = n2 n 2 In der Tat haben wir in He immer ein Paar und das (verschiedene!) gespiegelte Paar. In U He haben wir aber das gespiegelte Paar nicht. Insgesamt gilt #U = #Ho + #(U He) = n + n2 n 2 = n(n + 1) 2 12

13 Aufgaben 1. Geben Sie eine Formel für die gefärbte Menge im folgenden Venn-Diagramm an: A B C 2. Seien A, B Mengen. Machen Sie sich mit Hilfe eines Venn-Diagrammes die folgende Gleichheit klar: (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B) 3. Seien A, B Mengen. Gilt immer #A = #(A B) + #(A \ B)? Gilt immer #A = #B + #(A \ B)? 4. Sei A M die Teilmenge der Leute, die das Antigen A besitzen, B M die Teilmenge der Leute, die das Antigen B besitzten, R M die Teilmenge der Leute, die das Antigen RH + besitzen. Die Blutgruppe 0 ist durch das Fehlen der Antigene A und B charakterisiert. Stellen Sie den Typ 0+ bzw. AB mit Hilfe der obigen Mengen A, B, R dar. 5. Welche der folgenden sind Partitionen von M = {a, b, c, d}? (1) T 1 = {a}, T 2 = {b, d}, T 3 = {c} (2) T 1 = {a, b}, T 2 = {b, c, d} (3) T 1 = {a, b}, T 2 = {d} 6. Ein Merkmal der Linsen ist die Anzahl von Paaren von Fiederblättchen, die 4 bis 12 sind. Ein weiteres Merkmal ist die Größe der Schmetterlingsblüte, die von 4,5 bis 6,5 mm groß ist (Rundung bis auf halbe Millimeter). Ein weiteres Merkmal ist die Wuchshöhe der Pflanze, von 10 bis 50 cm (Rundung bis auf Zentimeter). Im Prinzip sind alle Kombinationen möglich. In wieviele Klassen haben wir dann die Linsen verteilt? Wie können wir die Klassen beschreiben? 7. Bei einer Blutgruppenuntersuchung von 300 Personen wurde festgestellt: 150 hatten das Antigen A, 120 das Antigen B und 100 hatten keines dieser Antigene. Wieviele hatten beide Antigene? 8. Die 64 Studierenden an einer Hochschule besuchen einen Zoologiekurs (A), einen Botanikkurs (B) oder einen Mikrobiologiekurs (C). Wir haben folgende Informationen: 2 haben keinen Kurs besucht; 34 haben (A) besucht, 30 haben (B) besucht, 33 haben (C) besucht; 11 haben (A) und (B) besucht, 15 haben (B) und (C) besucht, 17 haben (A) und (C) besucht; 13

14 19 haben genau zwei zwischen (A),(B),(C) besucht. Wieviele Studierende haben (A),(B),(C) alle besucht? Wieviele Studierende haben nur (A) besucht? Wieviele Studierende haben (C) und (B) besucht, aber nicht (A)? Lösungen der Aufgaben 1. (A C) (B C) = C (A B) 2. Fall 1: (x A, x / B) Wir haben x A \ B also x gehört zur linken Menge. Wir haben x A B und x / A B also x gehört zur rechten Menge. Fall 2: (x B, x / A) Analog: Beide Menge bleiben gleich beim Vertauschen von A und B. Fall 3: (x A, x B) Wir haben x / A \ B, also gehört x nicht zur linken Menge. Wir haben x A B, also gehört x nicht zur rechten Menge. Fall 4: (x / A, x / B) Wir haben x / A \ B, also gehört x nicht zur linken Menge. Wir haben x / A B, also gehört x nicht zur rechten Menge. A B 3. Die erste Formel #A = #(A B) + #(A \ B) ist richtig, da die Mengen A B und A \ B disjunkt sind und deren Vereinigung A ist. Die zweite Formel ist falsch: #A = #B + #(A \ B) zählt #(A B), da die Mengen B und A \ B disjunkt sind und deren Vereinigung A B ist. Also nur falls A = A B, d.h. B A ist die Formel richtig. 4. (M \ (A B )) R bzw. A B (M \ R) 5. (1) ist eine Partition: jede Teilmenge ist nicht-leer und jedes Element von M ist in genau einer der Teilmengen enthalten. (2) ist keine Partition, da b in mehrere Teilmengen zu finden ist; (3) ist keine Partition, da c in keiner der Teilmengen zu finden ist. 6. Es gibt genau 9 Zahlen von 4 bis 12. Der erste Merkmal ergibt dann eine Partition mit 9 Teilmengen. Die möglichen Messungen sind 4, 5 + X 0, 5 mit X von 0 bis 4 also insgesamt 5 Werte. Der zweite Merkmal ergibt dann eine Partition mit 5 Teilmengen. Es gibt genau 41 Zahlen von 10 bis 50. Der dritte Merkmal ergibt dann eine Partition mit 41 Teilmengen. Die Kombination von der drei Merkmalen ergibt = 1845 Teilmengen. Wir beschreiben diese Klassen mit dem Karthesischen Produkt der drei Mengen: {4, 5,..., 12} {4.5; 5; 5.5; 6; 6.5} {10, 11,..., 50} Also ist jede Klasse eine Tripel (a, b, c) wobei a zur ersten Menge, b zur zweiten und c zur dritten gehört. Also entspricht (5, 5, 25) eine Pflanze mit 5 Paare von Fiederblättchen, Schmetterlingsblütegröße 5 mm und Wuchshöhe 25 cm. 14

15 7. Sei M die Menge der untersuchten Personen und sei A (bzw. B ) die Teilmenge der Personen mit Antigen A (bzw. B). Die Personen mit Blutgruppentyp A, B oder AB sind Dann ist #(A B ) = #M #((M \ A ) (M \ B )) = = 200 #(A B ) = #A + #B #(A B ) = = Wählen wir unsere Notationen vorsichtig: z.b. bedeutet AB die Anzahl der Studenten, die genau die Kurse (A) und (B) besucht haben; z.b. bedeutet AB die Anzahl der Studenten, die midenstens die Kurse (A) und (B) besucht haben; K steht für die Anzahl der Studenten, die keinen Kurs besucht haben. Die gegebenen Informationen lauten: K = 2, A = 34, B = 30, C = 33, AB = 11, AC = 17, BC = 15, AB + BC + AC = 19. Wir wissen A = ABC + AB + AC + A B = ABC + AB + BC + B C = ABC + AC + BC + C AB = ABC + AB AC = ABC + AC BC = ABC + BC Wir addieren die letzten drei Gleichungen (AB + AC + BC) = 3 ABC + (AB + AC + BC) und bekommen ABC = 1 (( ) 19) = 8. Wir können jetzt berechnen 3 AB = AB ABC = 11 8 = 3, AC = AC ABC = 17 8 = 9. Aus der ersten Gleichung haben wir A = A ABC AB AC = = 14 Wir haben BC = BC ABC = 15 8 = 7. Verifizieren wir unsere Ergebnisse mit Hilfe von paarweise disjunkten Mengen (genau 8 sich gegenseitig ausschliessende Möglichkeiten): K = 2, A = 14, B = 12, C = 9, AB = 3, BC = 7, AC = 9, ABC = 8. 15