mathbuch 1 3 mathbuch mathbuch Mathematik für die Sekundarstufe I mathbuch Das Lehrwerk für den wirksamen Mathematikunterricht auf der Sekundarstufe I

Transkript

1 1 3 Das Lehrwerk für den wirksamen Mathematikunterricht auf der Sekundarstufe I 1 Mathematik für für die die Sekundarstufe I 3 Schulverlag plus AG Klett und Balmer Verlag

2 Das neue Lehrplan 1 Nachhaltigkeit gewährleistet Das vom Schulverlag plus und vom Klett und Balmer Verlag herausgegebene Lehrwerk «mathbu.ch» hat Tausende von Schülerinnen und Schülern auf ihrem Weg zum mathematischen Verständnis begleitet. Jetzt wird es weiterentwickelt. Der Band für die 7. Klasse ist erhältlich. Das für die 8. Klasse erscheint Ende Mai 014. Der Band für die 9. Klasse folgt 015. Die Umsetzung der didaktischen Leitideen von «mathe 000» zum aktiv-entdeckenden, zum differenzierenden sowie zum dialogischen Lernen in einem Mathematiklehrwerk hat sich bewährt. Das neue basiert weiterhin auf einem konstruktivistischen Lernverständnis. Dieser Weg wird durch Ergebnisse der aktuel len Lernforschung unterstützt. Erst selbst Entdecktes und Erkanntes wird unter stützt vom nach folgen - den Üben nach haltig verfügbar. Ebenfalls bei be hal ten werden die an regenden und alltags - bezogenen Lernumgebungen. «Das mathbu.ch vermittelt auch eine Grundhaltung: Das nutzt die Erfahrungen der Lehrpersonen Die mit dem «mathbu.ch» in der Schulpraxis gesammelten Erfahrungen fliessen in die Weiter entwick- lung ein. 150 Real- und Sekundarlehrpersonen aus ver - schiedenen Kantonen haben das «mathbu.ch» evaluiert. Das neue orientiert sich stark an den geäusserten Bedürfnissen dieser Praktikerinnen und Praktiker. Probiere aus, gehe eigene Wege, tausche dich mit anderen aus. Mathematik begegnet dir überall im Leben. Sie ist etwas Schönes. Entdecke, staune und lerne aus Fehlern.» Erika Beermann-Biner, Sekundarlehrerin und Evaluierende «mathbu.ch» (BS) Orientierung an Kompetenzen Das orientiert sich am Lehrplan 1, sowohl in seiner Struktur als auch in Bezug auf die zu fördernden Kompetenzen. Den Lehrpersonen bietet es im Begleitband vielfältige Hilfen zur Umsetzung des Lehrplans 1. Dieses Schema im Begleitband zeigt detailliert die Beziehung zwischen Lehrplan 1 und «1» auf. Lernstandserhebung und Wiederholung Grundlegung Vertiefung und Weiterführung Projekte 1 bezogen auf Lehrplan 1 Operieren und Benennen Zahl und Variable Erforschen und Argumentieren Mathematisieren und Darstellen Begriffe und Symbole verstehen und verwenden. Zahlen lesen und schreiben. Flexibel zä hlen, Zahlen nach der Grö sse ordnen und Ergebnisse ü berschlagen. Addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und potenzieren. Terme vergleichen und umformen. Gleichungen lö sen. Gesetze und Regeln verstehen und nutzen. Zahl- und Operationsbeziehungen erforschen und Erkenntnisse austauschen. Aussagen, Vermutungen und Ergebnisse ü berprü fen, begrü nden und austauschen. Muster bilden, weiterfü hren und verä ndern. Muster bei Schwierigkeiten und Fehlern nutzen. ICT sowie Anschauungs- und Hilfsmittel beim Erforschen arithmetischer Strukturen nutzen. Rechenwege darstellen, beschreiben, austauschen und nachvollziehen. Muster erfassen und beschreiben. Zahlen, Zahlenfolgen, Terme und Formeln veranschaulichen. Terme und Formeln auswerten. 1 S Fünfer und Zehner A Kopfrechnen 3 A Rechnen schätzen überschlagen 4 S So klein! So gross! 5 G Messen und zeichnen 6 G Koordinaten 7 A Dezimalbrüche 8 A Brüche Dezimalbrüche Prozente 9 G Flächen und Volumen 10 A x-beliebig 11 A Knack die Box 1 G Parallelogramme und Dreiecke 13 S Mit Würfeln Quader bauen 14 S Wasserstand und andere Graphen 15 S Kosten berechnen 16 A Wie viel ist viel? 17 A Operieren mit Brüchen 18 A Prozente 19 A Summen und Produkte 0 G Symmetrien und Winkel 1 G Boccia Pétanque Boule S Jugendliche und Medien 3 G Schieben drehen zerren 4 G Regelmässige Figuren 5 A Situation Tabelle Term Graph 6 A Zahlentafeln und Stellenwerte 7 S Verpackungen 8 S Pasta 9 S Proportionalität umgekehrte Prop. 30 S Konstruktionen 31 A Domino Triomino 3 S Fermi-Fragen 33 S Verpackungskünstler 34 S Strandbad 35 G Bandornamente 36 S Weltreise 37 S Skigebiet A Arithmetik G Geometrie S Sachrechnen

3 Das neue bietet Lehrenden und Lernenden viel n Das ist klar strukturiert und benutzerfreundlich und dadurch einfach zu handhaben. n Die Lernziele im sind kompetenzorientiert. Damit erfüllt es eine wichtige Anforderung des Lehrplans 1. n Das verschafft vielfältige Differenzierungsmöglichkeiten und wird Schülerinnen und Schülern aller Begabungsstufen gerecht. n Der neu konzipierte Begleitband des «s» ermöglicht eine effiziente Unterrichtsvorbereitung. Steigung Im Strassenverkehr werden Steigungen in Prozenten ausgedrückt. Die Steigung ist das Verhältnis zwischen Höhendifferenz und Projektion (Horizontaldistanz). Steigungen könnte man auch durch Neigungswinkel angeben. Bahn 1 Bahn Bahn 3 Bahn 4 Bahn 5 n Das bietet den Schülerinnen und Schülern ein umfangreiches Online-Angebot mit Aufgaben zum Üben und Kontrollieren sowie vorbereitete Tabellen und Grafiken Bei diesem Keil beträgt die Steigung 4 : 16 oder 1_ = 0,5 4 oder 5 %. Der Neigungswinkel misst 14. Luftseilbahn Standseilbahn Luftseilbahn Luftseilbahn Ristis Brunnis- Kehrsiten Hammetschwandlift Obermatt Zingel Engelberg Brunni hütte Bürgenstock Talstation 670 m ü. M m ü. M m ü. M. 436 m ü. M. 96 m ü. M. Bergstation 1 50 m ü. M m ü. M m ü. M. 873 m ü. M m ü. M. Projektion 514 m m 869 m 836 m 0 m Steigung maximal 150 % 100 % unbekannt 58 % Nutzlast 50 kg Pers Pers. 80 Pers. 1 1 Pers. Förderleistung 677 Pers./h 1 00 Pers./h 630 Pers./h 360 Pers./h Fahrgeschwindigkeit 10 m/s 1,5 m/s 3 m/s 3,1 m/s Fahrzeit je 3 min 10 min 7 min 1 min nach Last n Das neue liefert den Schülerin - nen und Schülern Anleitungen und Materialien für die Erstellung eines persönlichen Merkhefts. n Das enthält ein umfangreiches und stufengerechtes Glossar mit Erklärungen zu allen mathematischen Fachbegriffen der Lernumge bungen. Steigung am 1 A Stellt aus Karton Keile mit verschiedenen Steigungen her und beschriftet sie. B Schiebt die Keile bis zum Anschlag unter den Buchdeckel des «s». Legt verschiedene Gegenstände auf den Buchdeckel. Bis zu welcher Steigung bleiben sie liegen, wann rutschen oder rollen sie weg? Protokolliert und vergleicht. C Erstellt eine Tabelle. Messt die Keile aus. Tragt die Längen der Seiten, die Steigung und den Neigungswinkel ein. D Wenn die Länge der waagrechten Seite und die Steigung bekannt sind, lassen sich die anderen beiden Seiten berechnen. Wie gehst du vor? Treppen Wie gross ist die Steigung eurer Schulhaustreppe? Macht Skizzen mit Massangaben und beschreibt euer Vorgehen. Eine Bahnstrecke verläuft in der Regel nicht in jedem Abschnitt gleich steil. Seilbahnen 5 A Vergleiche die Daten der verschiedenen Seilbahnen. B Bestimme die durchschnittliche Steigung jeder Bahn und erstelle ein entsprechendes Steigungsdreieck. C Gib die Fahrgeschwindigkeiten in km/h an und vergleiche mit einem anderen Fahrzeug. maximale Steigung durchschnittliche Steigung Projektion p (Horizontaldistanz) Geländeneigung 6 Ab einer Hangneigung von 35 steigt die Gefahr einer Selbstauslösung von Lawinen sehr stark an. Mit zwei Skistöcken kann man überprüfen, ob die Hangneigung mehr als 30 beträgt. Das Bild zeigt, wie das geht. A Erkläre jemandem, warum der Neigungswinkel des Geländes in diesem Fall 30 beträgt. B Skizziere eine Skistocksituation mit Höhendifferenz h Vergleicht die Ergebnisse. einem Neigungswinkel des Geländes, der mehr als 30 beträgt. Geräte und Steigung 3 Wie gross ist die Steigung bei der Bockleiter links? Messt und vergleicht. C Skizziere eine Skistocksituation mit einem Neigungswinkel des Geländes, der weniger als 30 beträgt. 4 Sucht weitere Geräte in eurer unmittelbaren Umgebung, bei denen Steigungen gemessen werden können. Steigungen in unterschiedlichen Sachverhalten und Zusammenhängen erfahren und bestimmen Steigung von Geraden im Koordinatensystem berechnen

4 Arbeitsheft Arbeitsheft Begleitband Optimale Vernetzung der Lehrwerksteile Klar strukturiert und benutzerfreundlich Die Lehrwerksteile des «s» sind bestens miteinander vernetzt. Ein klares Verweissystem sorgt für schnelle Orientierung. Lernumgebungen und Miniprojekte Rechentraining und Kopf geometrie Verweise auf das Online- Angebot für Schülerinnen und Schüler Glossar Arbeitsheft für Grundansprüche Arbeitsheft für erweiterte Ansprüche Differenzierendes Übungsmaterial zu den Lernumgebungen Verweise auf das Online- Angebot für Schülerinnen und Schüler Lösungsheft Wird dem Arbeitsheft beigelegt Merkheft Im Arbeitsheft und im Online- Angebot: Anleitungen und Materialien zum Erstellen eines persönlichen Merkhefts Begleitband für Lehrpersonen Praktische Übersichten zu jeder Lernumgebung Kurze Kommentare zu den Lernumgebungen Kommentierte Lösungen Kurzfassung der didaktischen Leitideen Online-Angebot für Schülerinnen und Schüler Interaktives Rechentraining: Kopfrechnen und Kopfgeometrie Weitere Arbeitsblätter mit unterstützenden und herausfordernden Aufgaben Lernkontrollen «Teste dich selbst» Ergänzende Arbeitsmaterialien wie zum Beispiel vorbereitete Tabellen Online-Angebot für Lehrpersonen Ergänzende Informationen zu den Lernumgebungen Lösungen zu den seiten als Kopiervorlagen Instrumente zur Beurteilung (Lernzielkontrollen) Kopiervorlagen zur Stützung und Förderung Materialien zum Führen eines Merkhefts Lexikon der relevanten mathematischen Begriffe mit ausführlichen Erläuterungen

5 Neuerungen im Die neue Gruppierung des Stoffes unterstützt die Differenzierung Eine der wichtigsten Veränderungen betrifft die Transparenz des Lehrmittels. Es wird für Lehrpersonen und Lernende klar ersichtlich, welche Inhalte von allen Schülerinnen und Schülern bearbeitet werden sollen und welche über den Grundstoff hinausführen. Um dies zu ermöglichen, wurde der Lernstoff neu gruppiert. Die Inhalte sind in vier Gruppen unterteilt. n Lernstandserhebung und Wiederholung Diese Lernumgebungen dienen der Wiederholung und dem Schliessen von Lücken. n Grundlegung Hier setzen sich die Schülerinnen und Schüler mit neuem Stoff auseinander. Diese Lernumgebungen decken zusammen die neuen Inhalte eines Schuljahres ab. n Vertiefung und Weiterführung Diese Lernumgebungen führen über die Inhalte der Grundlegung hinaus. n Miniprojekte Die sachbezogenen Miniprojekte können während des ganzen Schuljahres zum Einsatz kommen. Sie bringen Abwechslung und Auflockerung. Inhaltsverzeichnis A Inhalt Lernstandserhebung und Wiederholung Originalfigur Bildfigur Grundlegung B Vertiefung und Weiterführung Projekte Projekte C p p1 1 G Koordinaten Kongruenzabbildungen Seite 6 7 A Terme für Umfang und Fläche A G Situationen mit Termen beschreiben Rechentraining A S Operieren mit rationalen Zahlen Rechentraining S Grössen Rechentraining S Relativ absolut Rechentraining S Graphen Aha! A Negative Zahlen Rechentraining Seite A Verpackte Zahlen Rechentraining G Dreiecke Vierecke G Pythagoras: Musik Harmonie Zahl A Quadratwurzeln Rechentraining S A Steigung S Zusammengesetzte Grössen Rechentraining A Zehn hoch Rechentraining G Kreis A Produkte von Binomen G Grundfläche Höhe Kopfgeometrie S Geldgeschäfte Rechentraining S Gewinnen G Kreise Linien Winkel Seite G Der Altar von Delos A Zählstrategien A Magische Quadrate S Naturgewalten S Zinsen S Etwa Rechentraining G Vier gewinnt im Raum A Kalender Teilbarkeit S Gesetze des Zufalls A Bruchterme Blättern Sie im unter oder Fussbodenparkett 3 3 G Entdeckungen am Viereck Seite S Rekorde um die Welt S Vierwaldstättersee A Würfeltricks G Flächenornamente S Stade de Suisse 101 Glossar A Arithmetik G Geometrie S Sachrechnen

6 Neuerungen im Ausreichend Übungsmaterial Das neue legt mehr Gewicht auf das automatisierende Üben. Bereits das enthält in den Rubriken «Rechentraining» und «Kopfgeometrie» Trainingseinheiten. Weitere Übungsmöglichkeiten finden sich im Online-Bereich. Einfaches Auffinden von Theorie In den Lernumgebungen wird bei neuen Begriffen und Regeln auf ein ausführliches Glossar im Anhang des s verwiesen. Die Stichworte aller -Schulbücher sind in einem Online-Lexikon zusammen gefasst, angereichert mit Beispielen und Grafiken. Beispiel für eine Lernumgebung zur Grundlegung Negative Zahlen Zahlen kleiner als 0 heissen negative Zahlen. Man begegnet ihnen im Alltag beispielsweise bei Temperaturen im Winter, im Koordinatensystem oder bei Geldgeschäften. Negative Zahlen sind wie die natürlichen Zahlen oder die Brüche mathematische Objekte, mit denen man rechnen kann Negative Zahlen multiplizieren und dividieren Immer 7 Jedes der vier Malkreuze beschreibt die Rechnung Unterstrichene Begriffe werden im Glossar im Anhang und im Online- Lexikon erklärt. Negative Zahlen im Alltag Die Menschen haben Masse für Längen, Gewichte, Zeitdauern entwickelt. Ebenso hat es verschiedene Bestrebungen gegeben, Temperaturen eindeutig zu messen. Die bekannteste Methode bei uns ist die Messung mit der Masseinheit Grad Celsius ( C) Malkreuz Malkreuz Malkreuz Malkreuz 4 7 Anders Celsius ( ) wurde durch seinen Vorschlag der 100 -Einteilung des Thermometers bekannt. Für die Temperatur von Eiswasser (Schmelzpunkt von Eis) markierte er den Wert von 0 Grad. Für die Temperatur von siedendem Wasser (Siedepunkt von Wasser) legte er den Wert 100 Grad fest. Die Bezeichnung Grad Celsius ( C) ist auf ihn zurückzuführen. Temperaturunterschiede 1 A Bestimme von Ort zu Ort die Temperaturunterschiede. B Wie gross ist die maximale Temperaturdifferenz zwischen zwei Orten? m ü. M. Nullgradgrenze: 800 m 4500 Le Brassus Rochers de Naye Jungfraujoch Crap Sogn Gion Säntis Bregenz º 5º 13º 3º 7º 1º 3500 Gstaad Bad Ragaz º Meiringen º 500 Montreux Adelboden 5º Rapperswil Heiden 000 4º º 0º 1º 1500 Lac Léman Zürichsee Bodensee Durchschnittstemperaturen Nebenstehend siehst du das Temperatur-Diagramm einer Januar-Woche von Montag bis Sonntag. A Bestimme die Temperaturdifferenzen von Tag zu Tag. B Wie gross war die mittlere Temperatur in dieser Woche? ºC 0 Feld 1 Feld Feld 3 Feld 4 1 A Übertrage die vier Malkreuze in dein Heft. Welche Zwischenergebnisse müssen in den Malkreuzen stehen? Begründe. B Vergleiche die Malkreuze mit den Feldern. Welches Feld passt zu welchem Malkreuz? Erklärt einander die Beziehung zwischen Malkreuz und Feld. C Erfindet weitere Malkreuze mit dem Ergebnis 7 und zeichnet sie auf. D Erfindet verschiedene Malkreuze zur Rechnung Terme auswerten Setze jeweils für x der Reihe nach die Zahlen ein. Was stellst du fest? A 3 (x) = B (x) : 3 = C (x) ( 3) = D ( 3) : (x) = E 3 ( x) = F ( x) : 3 = G ( x) ( 3) = H ( 3) : ( x) = I Bei den Aufgaben D und H gibt es für x = 0 keine Lösung. Warum? Die Lernziele sind klar deklariert. Temperaturrekorde 3 Lies die Tabelle und berechne verschiedene Temperaturdifferenzen. Die tiefsten auf der Erde gemessenen Temperaturen Einzelmessung Wostok, Antarktis 89, C Jahresmittel Nedostupnosti, Antarktis 57,8 C Bewohnter Ort Oymyakon, Russland, 196 7,1 C Die höchsten auf der Erde gemessenen Temperaturen Einzelmessung Death Valley, USA, + 56 C 10. Juli 1913 Einzelmessung Iranische Wüste, ,7 C 4 Mo Di Mi Do Fr Sa So 13 Findet und vergleicht verschiedene Multiplikationen und Divisionen mit dem Ergebnis: A 4 B 36 C 48x D 60xy E 1a F 6a 3 Rechentraining Stellt eigene Beispiele her, tauscht sie aus und übt immer wieder. Die Rubrik «Rechentraining» bietet Übungen zum Automatisieren. Jahresmittel Dallol, Ägypten, + 34,6 C Nov Okt Maximale Temperaturdifferenzen Im Laufe eines Jahres Werchojansk, Russland 70 C /+ 36,6 C Innerhalb eines Tages Browning (Montana), USA + 6,6 C / 48,9 C Die negativen Zahlen als neue mathematische Objekte kennen lernen Die vier Grundoperationen auch mit negativen Zahlen durchführen Die vier Grundoperationen Rechentraining online B109-0 Aufgaben ( 3) ( 8) ( 1 ) ( ) 4 3 ( 6 ) : 5 ( 6) + ( 0,5) ( 3) : (0,5) 6,5 6 Lösungen 5 = 1_ 1 6 3_ 5 Im Online-Bereich finden sich zusätzliche Übungen zum Thema.

7 Neues Konzept für die Arbeitshefte Üben auf verschiedenen Niveaus Das persönliche Merkheft Die neu konzipierten Arbeitshefte erleichtern die Differenzierung im Unterricht. Sie sind weiterhin in einer Ausgabe für Grundansprüche und einer für erweiterte Ansprüche erhältlich. Das Übungsangebot wurde vergrössert, trotzdem präsentieren sich die Arbeitshefte übersichtlich, da weiter führende Auf gaben online angeboten werden. Beurteilen und Fördern Im Arbeitsheft und im Online-Bereich finden die Schülerinnen und Schüler Anleitungen und unterstützendes Material zum Führen eines Merk hefts. Es dient dazu, das Gelernte besser zu behalten. Das Merkheft kann auch als Lernjournal, als Sammlung von Lernberichten oder als Grundlage für ein Portfolio verwendet werden. Verweis auf vorbereitete Geogebra- Anwendung im Online- Bereich Die Lösungserwartungen im Arbeitsheft dienen der Selbstbeurteilung und erleichtern die Differen - zierung. Verweis auf weitere Aufgaben im Online-Bereich Am Ende einer Lernumgebung können die Lernenden mithilfe der Lösungserwar tungen feststellen, welche Anforderungen sie erfüllen. Es wird unterschieden zwischen Grundanforderungen («Ich kann») und Zusatzanforderungen («Zusätzlich kann ich»). Werden einzelne Erwar tungen noch nicht erfüllt, verweist das Arbeitsheft auf das Online-Angebot mit einfachen Zusatz aufgaben zum gleichen Stoff. Lernende, die Zusatzanforderungen schon erreicht haben, erhalten Verweise auf Aufgaben, die sie herausfordern. Dieses Angebot stärkt die Selbstverantwortung der Schülerinnen und Schüler. Pythagoras: Musik Harmonie Zahl 7 Berechne die blau markierten Strecken. 7 A 4 B 1 1 Ein Beweis 8 Heute kennt man für den Satz des Pythagoras etwa 400 Beweise. Einen der einfacheren Beweise hat Pythagoras selber gefunden. A Zeichne Figur 1 auf kariertes Papier und schneide die Teile aus. Du erhältst vier kongruente, rechtwinklige Dreiecke und ein Quadrat. Klebe die vier Dreiecke so in das leere, gleich grosse Quadrat (Figur ), dass zwei zusammen ein Rechteck bilden. Es sollen zwei quadratische Flächen frei bleiben. B Wie gross ist das weisse Quadrat in Figur 1? Wie gross sind die beiden frei bleibenden weissen Flächen zusammen in Figur? Figur 1 Figur a b c a 0 C D Flächeninhalt A = 19 Geogebra-Anwendung B31-01 Dreiecke Vierecke Kopfgeometrie Würfel ergänzen Zwei der fünf Ruinen lassen sich zu einem Würfel zusammensetzen. Welche beiden Ruinen passen zusammen? Kopfgeometrie online B c b Selbstbeurteilung «Dreiecke Vierecke» Ich kann Zusätzlich kann ich b c a b c a den Umkreis eines Dreiecks konstruieren. SB B AH 3 den Inkreis eines Dreiecks konstruieren. SB A den Schwerpunkt eines Dreiecks konstruieren und kenne seine Bedeutung. SB 3 Winkel in ebenen Figuren messen und berechnen. AH 5 ein Dreieck mit drei gegebenen Seiten, mit zwei gegebenen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder einer gegebenen Seite und zwei Winkeln konstruieren. AH 6 Berechnungen am Trapez durchführen. SB 13 Trapeze bei Angabe der nötigen Winkel und Seitenlängen konstruieren. SB 14 Weitere Aufgaben Weitere Aufgaben «Grundanforderungen» B311-0 «Zusatzanforderungen» B Arbeitsrückschau im Merkheft B Teste dich selbst B311-05

8 Steigung am die Steigung und den Neigungswinkel ein. Treppen Vergleicht die Ergebnisse. Geräte und Steigung gemessen werden können. 16 Bei diesem Keil beträgt die Steigung 4 : 16 o d e r 1_ oder 5 %. Der Neigungswinkel misst = 0, 5 4 Eine Bahnstrecke verläuft in der Regel nicht in jedem Abschnitt gleich steil. Luftseilbahn Standseilbahn Luftseilbahn Luftseilbahn Ristis Brunnis- Kehrsiten Hammetschwandlift Obermatt Zingel Engelberg Brunni hütte Bürgenstock Seilbahnen ein entsprechendes Steigungsdreieck. mit einem anderen Fahrzeug. Geländeneigung A Erkläre jemandem, warum der Neigungs- B Skizziere eine Skistocksituation mit C Skizziere eine Skistocksituation mit als 30 beträgt. Das Bild zeigt, wie das geht. winkel des Geländes in diesem Fall 30 beträgt. einem Neigungswinkel des Geländes, der mehr als 30 beträgt. einem Neigungswinkel des Geländes, der weniger als 30 beträgt. Projektion p (Horizontaldistanz) Höhendifferenz h Effiziente Unterrichtsvorbereitung Rasche Orientierung Der Begleitband bietet sowohl wenig erfahrenen als auch praxiserprobten Lehrpersonen Unterstützung. Er präsentiert sich in einer völlig ver änderten Auf machung. Eine wichtige Neuerung sind die vierfarbigen Übersichten im Format A3, die das Wichtigste der Lernumgebung zusam men fassen. Sie sorgen für eine rasche Orientierung. Alles ist vorbereitet Der schlanke Begleitband enthält neben den Übersichten im A3-Format: n kurze Hinweise zum didaktischen Vorgehen n kommentierte Lösungen zum n Instrumente zur Lernsicherung n Vorschläge zur Förderung und zum Umgang mit Heterogenität n eine Kurzfassung der didaktischen Leitideen Praktisches Online-Angebot Ergänzt wird der Begleitband durch Material im Online-Bereich: n Informationen zur Lernumgebung n Lösungen zum n Instrumente zur Beurteilung (Lernzielkontrollen) n Kopiervorlagen zur Stützung und Förderung Mit dieser praktischen Übersicht sparen die Lehrpersonen viel Zeit bei der Unterrichtsvorbereitung. Die kommentierten Lösungen zum sind Bestandteil des Begleitbandes. Steigungen 14 Steigungen Mathematische Inhalte Neigungswinkel und Steigung als Verhältnis von Höhenabschnitt zu Projektion im Vergleich (implizit die Tangensfunktion) Die Steigung als ein Verhältnis, als proportionale Zuordnung verstehen Lineare Funktionen Geradengleichung Anwendungsfelder Karten lesen Geschickte OL-Routen anhand von Karten wählen Optimierungsaufgaben mithilfe von Geradengleichungen lösen Steigung Im Strassenverkehr werden Steigungen in Prozenten ausgedrückt. Die Steigung ist das Verhältnis zwischen Höhendifferenz und Projektion (Horizontaldistanz). Steigungen könnte man auch durch Neigungswinkel angeben. 1 A Stellt aus Karton Keile mit verschiedenen Steigungen her und beschriftet sie. B Schiebt die Keile bis zum Anschlag unter den Buchdeckel des «s». Legt verschiedene Gegenstände auf den Buchdeckel. Bis zu welcher Steigung bleiben sie liegen, wann rutschen oder rollen sie weg? Protokolliert und vergleicht. C Erstellt eine Tabelle. Messt die Keile aus. Tragt die Längen der Seiten, D Wenn die Länge der waagrechten Seite und die Steigung bekannt sind, lassen sich die anderen beiden Seiten berechnen. Wie gehst du vor? Wie gross ist die Steigung eurer Schulhaustreppe? Macht Skizzen mit Massangaben und beschreibt euer Vorgehen. 3 Wie gross ist die Steigung bei der Bockleiter links? Messt und vergleicht. 4 Sucht weitere Geräte in eurer unmittelbaren Umgebung, bei denen Steigungen Steigungen in unterschiedlichen Sachverhalten und Zusammenhängen erfahren und bestimmen Steigung von Geraden im Koordinatensystem berechnen Bahn 1 Bahn Bahn 3 Bahn 4 Bahn 5 Talstation 670 m ü. M m ü. M m ü. M. 436 m ü. M. 96 m ü. M. Bergstation 1 50 m ü. M m ü. M m ü. M. 873 m ü. M m ü. M. Projektion 514 m m 869 m 836 m 0 m Steigung maximal 150 % 100 % unbekannt 58 % Nutzlast 50 kg Pers Pers. 80 Pers. 1 1 Pers. Förderleistung 677 Pers./h 1 00 Pers./h 630 Pers./h 360 Pers./h Fahrgeschwindigkeit 10 m/s 1,5 m/s 3 m/s 3,1 m/s Fahrzeit je nach Last 3 min 10 min 7 min 1 min 5 A Vergleiche die Daten der verschiedenen Seilbahnen. B Bestimme die durchschnittliche Steigung jeder Bahn und erstelle C Gib die Fahrgeschwindigkeiten in km/h an und vergleiche maximale Steigung durchschnittliche Steigung 6 Ab einer Hangneigung von 35 steigt die Gefahr einer Selbstauslösung von Lawinen sehr stark an. Mit zwei Skistöcken kann man überprüfen, ob die Hangneigung mehr Im Auge behalten Höhen aus Karten lesen Steigung 1 oder 100 % als Referenzgrösse Der Begriff «senkrecht» entspricht einer unendlich grossen Steigung. Es gibt unterschiedliche Streckenprofile von A nach B, die Luftlinie ist die kürzeste Verbindung. Querverbindungen Proportionalität Lineare Funktionen als Geraden zeichnen Hinweise zum Vorgehen Im Alltag wie auch innermathematisch wird mit dem Begriff der Steigung ein Verhältnis von Projektion (Horizontaldistanz) und Höhendifferenz resp. x-achsenabschnitt beschrieben. Aus diesem Grund werden beide Aspekte in dieser Lernumgebung verbunden. Der Zugang führt über den Begriff der Steigung aus dem Erfahrungsbereich der Lernenden hin zur Steigung von Geraden im Koordinatensystem. So sind es zuerst schiefe Ebenen, gebildet mit Buchdeckeln, dann Treppen, beides im Alltagsbereich der Lernenden. Höhenprofile und Karten der näheren Umgebung können dazu dienen, die Steigungen sowohl zu erfahren als auch zu berechnen. Die Steigung an Geraden ist nur für Lernstärkere von Bedeutung. Dieses Thema wird im 9. Schuljahr vertieft. Hinweise 1 Mit dieser Aufgabe kann die Steigung im Kleinen erfahrbar gemacht werden. Systematisches Ausprobieren und übersichtliches Protokollieren sind wichtige mathematische Kompetenzen. Die Begriffe Kathete und Hypotenuse können an dieser Stelle vertieft werden. Wichtig ist die Erkenntnis, dass Steigungsdreiecke immer rechtwinklig sind. Das Ausmessen der eigenen Schulhaustreppe ermöglicht, die erlebbare Steigung zu thematisieren. Die Aufgabe ist zeitaufwendig. Es lohnt sich jedoch zu diskutieren, wie Steigungen vor Ort erfasst werden können. 1 A B C D 3 Lösungen Individuelle Lösungen Individuelle Lösungen Individuelle Lösungen Die zweite Kathete lässt sich aus der Steigungsangabe berechnen: 10 cm (waagrechte Kathete) ergibt eine Steigung von 0,5, die senkrechte Kathete misst daher 5 cm. Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich anschliessend die Hypotenuse berechnen: Wurzel aus ( ) = 11, cm. Keil Objekt Steigung Neigungswinkel Kathete Kathete waagrechte senkrechte Hypotenuse rutscht 1 0,5 = 50% 6,6 10 cm 5 cm 11, cm Individuelle Lösungen Es stellt sich die Frage, wo die Treppe beginnt und wo sie endet. Je nach Abmachung, wird die Steigung unterschiedlich sein. Die Masse müssen gemessen und in den Die Steigung beträgt ungefähr 3 oder 300 %. Treppenplan eingetragen werden. Das ergibt einen Winkel von etwa 70 Es ist sofort ersichtlich, welche Tätigkeitsbereiche des Lehrplans 1 abgedeckt werden. Tätigkeitsbereiche LP 1 Zahl und Form und Grössen, Variable Raum Funktionen, Daten und Zufall Erforschen und Argumentieren Operieren und Benennen Mathematisieren und Darstellen Hilfsmittel Karton zum Herstellen der Keile, Japanmesser oder Schere, Meter und Messband zum Messen der Treppe, Karten aus der Gegend Lexikon und Begriffe Steigung, Projektion (Horizontaldistanz), Neigungswinkel, durchschnittliche Steigung, maximale Steigung, Gefälle, negative Steigung, Überhöhung, Geradengleichung Mögliche Lernsicherung Die Lernenden erstellen Keile mit den Steigungen 10 %, 0 %, 50 % und messen den Neigungswinkel. Die Lernenden lesen Steigungen aus einer Karte heraus oder bestimmen sie anhand von Daten von Seilbahnen. Sie bestimmen die Steigung auch anhand von Wertetabellen. Mindestanforderungen: Einige rechtwinklige Dreiecke zeichnen, eine Kathete horizontal, die andere vertikal, Steigung in Grad und in Prozenten messen bzw. berechnen Auskunft geben zur Frage, ob doppelt so viel Grad doppelt so viele Prozent Steigung bedeutet Lernkontrolle: «Teste dich selbst» Lernzielkontrolle Vernetzung Davor 1 LU 10 «x-beliebig» LU 18 «Prozente» Einbettung im Schuljahr Lernstandserhebung LU 1 «Relativ absolut» LU 7 «Graphen» Grundlegung LU 1 «Pythagoras» Danach 3/3+ «Niesenbahn» «Pläne zum Holzhaus» «Gleichungssysteme» Zur Heterogenität AH AH+ Ich kann Zusätzlich kann ich die Steigung als Bruch oder in den Unterschied zwischen Prozenten angeben. positiver und negativer Steigung die Steigung anhand von Keilen, erklären. Plänen oder Grössenangaben die Steigungen und Gleichungen bestimmen. von Geraden in einem Koordinatensystem bestimmen. zu einer Steigung verschiedene Keile erstellen. Geradengleichung und Graph den Unterschied zwischen anhand von Wertetabellen durch schnittlicher und maxi maler erstellen. Steigung an einem Beispiel erklären. Dabei stellt sich die Frage des Massstabs. Wie gross muss er gewählt werden, dass die Treppe massstabgetreu ins Heft übertragen werden kann? 5 Mit den vorgegebenen Daten lassen sich verschiedene Berechnungen durchführen. Einige Daten sind jedoch ziemlich ungenau. Es stellt sich auch hier die Frage nach der sinnvollen Genauigkeit. Die verschiedenen Begriffe sind zu klären. 4 5 A B Individuelle Lösungen Mögliche Lösungen: Bahn ist die schnellste. Bahn 3 fördert am meisten Personen. Bahn überwindet die grösste Höhe pro Fahrt. Bahn Durchschnittliche Steigung Steigung der steilsten Stelle Bahn % 1,13 ca. 55 Bahn 56 % 0,56 45 Bahn 3 31 % 0,31 unbekannt Bahn 4 5 % 0,5 ca. 30 Bahn 5 nicht definiert nicht definiert 90 Es sind verschieden grosse Steigungsdreiecke möglich. Voraussetzungen Verhältnis berechnen, proportionale Zuordnungen, Prozentrechnen, Punkte im Koordinatensystem eintragen, Winkel messen Mit Zugang zum Online-Angebot für Lehrpersonen Steigungen in unterschiedlichen Sachverhalten und Zusammenhängen erfahren und bestimmen Angebot online B14-01

9 Differenzierung leicht gemacht Das bietet vielfältige Möglichkeiten zur Differenzierung. Im bilden die Lernumgebungen im Bereich «Grundlegung» den Kern des Lehrmittels. Sie decken die neuen Inhalte ab. Lernumgebungen aus den anderen Bereichen können je nach Lernstand behandelt werden. Die Arbeits hefte 1 bis 3 sind für zwei Niveaus erhältlich: «Grundansprüche» und «Erweiterte Ansprüche». Zudem wird das 3 für die 9. Klasse in zwei Ausgaben erscheinen. Die Binnendifferenzierung findet mithilfe verschiedener Lösungserwartungen sowohl für Grundanforderungen («Ich kann») als auch für erweiterte Anforderungen («Zusätzlich kann ich») statt. Je nach Erfüllung der Anforderungen gibt es online weitere Aufgaben, welche helfen, noch nicht Er fülltes nach zuholen oder sich zusätzlichen Herausforderungen zu stellen. Das Merkheft dient der Reflexion und dazu, Gelerntes in eigenen Worten festzuhalten. Es hilft, den Lernprozess zu vervollständigen. Lernen Üben 1 Lernstandserhebung und Wiederholung Arbeitsheft Grundansprüche Grundlegung Miniprojekte Vertiefung und Weiterführung Arbeitsheft + Erweiterte Ansprüche Kontrollieren 1 «Ich kann» «Zusätzlich kann ich» «Ich kann» «Zusätzlich kann ich» Üben Auswerten und Reflektieren Kontrollieren Online-Angebot Rechentraining Kopfgeometrie Arbeitsblätter mit unterstützenden und herausfordernden Aufgaben Merkheft Online-Angebot «Teste dich selbst» Lernzielkontrollen

10 Wegweisendes Online-Angebot Im Online-Bereich steht den Schülerinnen und Schülern viel unterstützendes und weiterführendes Übungsmaterial zur Verfügung. Das Online-Rechentraining mit Übungen zum Kopfrechnen und die Online-Kopf geometrie sind komplett neu konzipiert. Neben dem Zugriff auf die Schülermaterialien haben die Lehrpersonen online Zugriff auf weitere Unterrichtsmaterialien und Kopiervorlagen sowie auf Arbeitsblätter zur Lernzielkontrolle. Online-Angebot für Schülerinnen und Schüler sowie die Lehrpersonen n Rechentraining mit interaktiven Übungen zum Kopfrechnen und zur Kopfgeometrie n Arbeitsblätter mit Übungen, welche die Erreichung der Mindestanforderungen unterstützen n Arbeitsblätter mit Übungen für Schülerinnen und Schüler, welche die Zusatz anforderungen bereits erreicht haben n Lernkontrollen «Teste dich selbst» n Ergänzende Arbeitsmaterialien zu einzelnen Übungen wie zum Beispiel vorbereitete Tabellen und Koordinatensysteme n Hinweise auf die Nutzung weiterer Programme wie der Tabellenkalkulation Excel n Materialien zur Führung eines Merkhefts n Lexikon der relevanten mathematischen Begriffe mit ausführlichen Erläuterungen Online-Angebot für die Lehrpersonen n Ergänzende Informationen zur Lernumgebung n Lösungen zum n Instrumente zur Beurteilung (Lernzielkontrollen) n Kopiervorlagen zur Stützung und Förderung Im Online-Bereich finden Lehrende wie Lernende unterstützendes und weiterführendes Material. «Heute fragen meine Schülerinnen und Schüler im Matheunterricht kaum noch, wozu sie zum Beispiel Gleichungen lernen sollen. Das ergibt sich natürlicherweise aus den Lernum gebungen, die einen Bezug zum Alltag herstellen.» Franziska Erni, Sekundarlehrerin (LU)

11 Ein erfahrenes Autorenteam Qualität und Praxisbezug garantiert An der Weiterentwicklung arbeiten ausgewiesene Mathematikexperten, die schon bei der Erstausgabe mitgewirkt haben. Das neue ist auf den Lehr plan 1 abgestimmt Walter Affolter ist Reallehrer. Er unterrichtet 7. bis 9. Klassen in Sigriswil BE und ist Kursleiter in der Lehrerinnen- und Lehrerweiterbildung. Er ist Autor des erfolgreich überarbeiteten «Schweizer Zahlenbuchs 5 und 6» sowie der CD-ROM «Rechentraining 5 und 6». Annegret Nydegger ist als Dozentin für Mathematikdidaktik an der Pädagogischen Hochschule Bern sowie in der Lehrerinnen- und Lehrerweiterbildung tätig. Sie ist Mitautorin von «Mit Flächen bauen mit Flächen lernen». Beat Wälti unterrichtet Fachdidaktik Mathe - matik an der Pädagogischen Hochschule Bern und an der Pädagogischen Hochschule Zentralschweiz in Luzern. Er war Koleiter des Teilprojekts «HarmoS Mathematik» und ist einer der Autoren des Lehrplans 1, Mathematik. Gregor Wieland ist Mathematiker und Mathematikdidaktiker. Er lehrte an der Pädagogischen Hochschule und an der Universität Freiburg. Er ist Herausgeber des «Schweizer Zahlenbuchs 1 bis 4», Autor des erfolgreich überarbeiteten «Schweizer Zahlenbuchs 5 und 6» sowie der CD-ROM «Rechentraining 5 und 6». ist klar strukturiert und benutzer freundlich aufgebaut enthält gute Differen zierungsmöglichkeiten bietet übersichtliche Arbeits - hefte mit einem grossen Übungsangebot verfügt über einen schlanken, auf die tägliche Schulpraxis fokussierten Begleitband Guido Beerli unterrichtete Mathematik und Mathematikdidaktik an der Pädagogischen Hochschule Thurgau. Im zeichnet er verantwortlich für das Glossar, das Lexikon sowie die Kopfgeometrie. Hanspeter Hurschler lehrte Mathematik und Mathematikdidaktik an der Pädagogischen Hochschule Zentralschweiz in Luzern. Er verfasst die Lern- und Lernzielkontrollen. motiviert durch alltagsnahe Inhalte Dieses Team erhält Unterstützung von weiteren Expertinnen und Experten sowie von Lehrpersonen aus der Praxis.

12 Klasse 8. Klasse 3 9. Klasse (mehrwegfähig) I Fr Arbeitsheft (einweg) Mit Lösungen, Merkheft, Zugangscode zum Online-Angebot für Schülerinnen und Schüler Grundansprüche I Fr Erweiterte Ansprüche I Fr Begleitband Mit Zugangscode zum Online-Angebot für Lehrpersonen sowie Schülerinnen und Schüler I Fr (mehrwegfähig) I Mai 014 I Fr Arbeitsheft (einweg) Mit Lösungen, Merkheft, Zugangscode zum Online-Angebot für Schülerinnen und Schüler Grundansprüche I Mai 014 I Fr Erweiterte Ansprüche I Mai 014 I Fr Begleitband Mit Zugangscode zum Online-Angebot für Lehrpersonen sowie Schülerinnen und Schüler I Mai 014 I Fr ab Schuljahr 015/16 einsatzbereit Online-Angebot Für Schülerinnen und Schüler auf vier Jahre beschränkt im Preis inbegriffen. Für Lehrpersonen unbeschränkt im Preis inbegriffen. Blättern Sie im unter oder Klett und Balmer AG, Verlag Grabenstrasse 17, Postfach 1464, 6341 Baar Telefon , Telefax , info@klett.ch Schulverlag plus AG Belpstrasse 48, Postfach 366, 3000 Bern 14 Telefon , Telefax , info@schulverlag.ch P /014