Michael Kofier. Mathematica ADDISON-WESLEY

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1 Michael Kofier Mathematica ADDISON-WESLEY Bonn München Paris Reading, Massachusetts Menio Park, California New York Don Mills, Ontario Wokingham, England Amsterdam Milano Sydney Tokyo Singapore Madrid San Juan Seoul Mexico City * Taipei, Taiwan

2 Inhaltsverzeichnis TEIL! Kapitel 1 Kapitel 2 Kapitel 3 Vorwort Konzeption des Buchs MATHEMATICA KENNENLERNEN Was ist Mathematica? Mit Mathematica rechnen Polynome Gleichungen lösen Optimierungsprobleme Summen, Produkte Grenzwerte Differentiation Integration Residuen, Cauchy-Stammwert Differentialgleichungen Reihenentwicklung Fourier- und Laplace-Transformation Listen, Vektoren, Matrizen Vektoranalysis in verschiedenen Koordinatensystemen Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung Interpolations- und Regressionsfunktionen Grafik Programmierung Die Notebook-Oberfläche Mathematica als Taschenrechner verwenden Mit Mathematica durchs Abitur Gedämpfte Schwingung Kurvendiskussion Parametrische Gleichung in explizite Form umwandeln und darstellen Extremwertrechnung 1 Extremwertrechnung 2, Integral Lineare Optimierung

3 6 Inhaltsverzeichnis Kapitel 4 Rechnen mit komplexen Zahlen Numerische Lösung einer transzendenten Gleichung Rechtwinkliger Schnitt zwischen Kreis und quadratischer Kurve Vektorrechnung, Inkreis in Dreieck Vektorrechnung, Schnitt Kugel-Gerade Wahrscheinlichkeitsrechnung Simulation Zehn Überlebensregeln für den Umgang mit Mathematica (1) Halten Sie die richtige Schreibweisen ein! (2) Beachten Sie den Unterschied zwischen (), [] und ()! (3) Setzen Sie die Operatoren =, := und == korrekt ein! (4) Berücksichtigen Sie die globale Gültigkeit von Symbolen! (5) Beachten Sie den Unterschied zwischen exakten und genäherten Zahlenwerten! (6) Geben Sie Zwischenergebnisse einen Namen! (7) Nutzen Sie die Möglichkeiten der Operatoren / / sowie /. und ->! (8) Vermeiden Sie Probleme mit Packages! (9) Nutzen Sie die Hilfefunktionen von Mathematica! (10) Zweifeln Sie die Ergebnisse von Mathematica an! TEIL 2 MATHEMATICA IN DER PRAXIS 99 Kapitel 5 Kapitel 6 Kapitel 7 Elementare Funktionen Zufallszahlen Quadratwurzel und allgemeine Potenzen Logarithmus und Exponentialfunktion Trigonometrische Funktionen Komplexe Zahlen Elementarfunktionen zur Bearbeitung komplexer Zahlen Komplexe Zahlen mit getrennten Real- und Imaginärteil Das Package Algebra" Relnf Polynome bearbeiten (Algebra) Mathematische Ausdrücke mit Simplify vereinfachen Polynome ausmultiplizieren ComplexExpand für Ausdrücke in komplexen Zahlen Polynome in Faktoren aufspalten Brüche auf gemeinsamen Nenner bringen Brüche kürzen HO

4 Inhaltsverzeichnis Partialbruchzerlegungen 118 Division von Polynomen 118 Bearbeitung von Polynomen mit mehreren Variablen 119 Bearbeitung von Polynomen mit trigonometrischen Funktionen 120 (alphabetisch) 121 Kapitel 8 Gleichungen analytisch und numerisch lösen 123 Gleichungen lösen 124 Variablen explizit ausdrücken 126 Lösungen numerisch auswerten 126 Numerische Lösungssuche 127 Variablen aus Gleichungssystemem eliminieren 128 Lineare Gleichungssysteme in Matrix-Form effizient lösen 129 Gleichungssystem unter Beachtung aller Sonderfälle auflösen 129 ToRules und Roots Kapitel 9 Listen 133 Listen im alltäglichen Umgang mit Mathematica 134 Listen erzeugen 135 Rechenoperationen mit Listen 137 Auf Listenelemente zugreifen 138 Listen bearbeiten 138 Die Spezialkommandos Partition, Flatten, Transpose und Thread Kapitel 10 Vektoren und Matrizen 143 Vektoren 144 Matrizen erzeugen 145 Auf einzelne Matrizenteile zugreifen 147 Elementare Rechenoperationen mit Matrizen 148 Multiplikation von Matrizen mit Vektoren 149 Determinante, Umkehrmatrix, Spur einer Matrix 150 Matrix-Potenzen 151 Matrizen-Gleichungssystem lösen 151 Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigensysteme 152 Orthonomalbasis ausrechnen Kapitel 11 Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung 157 Kombinatorik 158 Statistische Kennzahlen (Beschreibende Statistik) 158 Häufigkeitsuntersuchung, Klasseneinteilung 160

5 Inhaltsverzeichnis Kapitel 12 Kapitel 13 Kapitel 14 Kapitel 15 Kapitel 16 Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen Konfidenzintervalle Hypothesentest Regressions- und Interpolationsfunktionen Exakte Interpolation durch gegebene Punkte Interpolations-Polynome berechnen Rationale Näherungsfunktionen ermitteln Näherungskurven an gegebene Datenpunkte Regressionsanalyse Polynom-Näherungskurve Grenz Wertberechnungen (Limes) Symbolische Grenzwertberechnung Numerische Grenzwertberechnung Grenzwerte von komplexen Funktionen Differentiation Partielle Differentiation nach einer Variablen Differentiation von Funktionen mit mehreren Variablen Differentiation von unbekannten Funktionen Totales Differential Funktionen, Variablen, Konstanten Integration Symbolische und numerische Integration Kontrolle der Integration Mathematica beim Integrieren helfen Mehrfachintegrale Integration in Polarkoordinaten Uneigentliche Integrale Integration komplexer Funktionen, Residuen Integration über einzelne Datenpunkte Differentialgleichungen Differentialgleichungen mit DSolve lösen Lösungen von Differentialgleichungen weiterverwenden Systeme von Differentialgleichungen Differentialgleichungen, die für DSolve nicht lösbar sind Numerische Lösung von Differentialgleichungen

6 Inhalts v erzeichnis 9 Kapitel 17 Grafik (I): 2D-Grafik (Punkte, Kurven) 223 Die Darstellung von Kurvenfunktionen mit Plot 225 Das Evaluate-Kommando zur vorzeitigen Auswertung von Ausdrücken 227 Kurven in Polarkoordinaten 229 FilledPlot zur Darstellung der Fläche zwischen zwei Kurven 229 Parametrische Funktionen zeichnen 231 Implizit definierte Funktionen zeichnen 232 Punktgrafiken Kapitel 18 Grafik (II): 3D-Grafik (Flächen, Körper) 237 Dreidimensionale Darstellung von Flächen mit Plot3D 238 Dreidimensionale Flächen mit Schatten 241 Dreidimensionale Flächen, die durch Listen definiert sind 242 Parametrische Funktionen dreidimensional darstellen 243 Parametrische Funktionen in Kugel- und Zylinderkoordinaten 244 Rotationskörper 246 Dreidimensionale Punkt-Grafiken 247 Parametrische Punkt-Grafiken Kapitel 19 Grafik (III): Optionen (Darstellungsformat, Farben, Beschriftung) 251 Koordinatenachsen bzw. Rahmen 259 Beschriftung 264 Punkt- und Linienformen 266 Farben und Schattierung 269 Beleuchtung von 3D-Grafiken 273 Alphabetische der Grafikoptionen 278 TEIL 3 MATHEMATICA FÜR FORTGESCHRITTENE 283 Kapitel 20 Lineare Optimierung, Minimierungs- und Maximierungsauf gaben 285 Lokale Minima suchen 286 Lineare Optimierung 287 Transportprobleme mit ConstrainedMin lösen Kapitel 21 Summen und Produkte 293 Summen 294 Numerische Berechnung von Summen 295 Numerische Berechnung von Summen mit EulerSum 297

7 10 Inhaltsverzeichnis Reihenbildung mit Sum 297 Produkte Kapitel 22 Reihenentwicklungen 301 Reihenentwicklungen mit Series aufstellen 302 Reihenentwicklungen weiterverarbeiten 305 Differentialgleichungen mit Reihenentwicklungen lösen Kapitel 23 Fourier-Transformation 315 Fourier-Transformation für diskrete Daten 316 Fourier-Transformation für analytische nicht-periodische Funktionen 322 Fourier-Reihenentwicklung für periodische Funktionen 324 Beispiel: Verhalten eines RLC-Serienschwingkreises Kapitel 24 Laplace-Transformation 337 Die Laplace-Transformation 338 Differentialgleichungen mit der Laplace-Transformation lösen Kapitel 25 Vektor-Algebra und -Analysis in verschiedenen Koordinatensystemen 345 Koordinatensystem einstellen 346 Koordinaten-Transformationen 348 Elementare Rechenoperationen in verschiedenen Koordinatensystemen 349 Integrale in verschiedenen Koordinatensystemen 350 Gradient und Laplace-Operator für skalare Funktionen 353 Divergenz und Rotation 355 Gaussscher und Stokesscher Integralsatz Kapitel 26 Grafik (IV): Spezialkommandos, Animation 361 Grafiken mit logarithmischem Maßstab 362 Zweidimensionale Rastergrafik 363 Komplexe Funktionen zeichnen 367 Vektorfelder darstellen 371 Mehrere Grafiken kombinieren 374 Bewegte Grafik (Animation) 379 Grafiktypen in Mathematica 383 Bearbeitung von 3D-Grafiken 384 3D-Körper erzeugen und bearbeiten

8 Inhaltsverzeichnis 11 Kapitel 27 Kapitel 28 Kapitel 29 Anhang A Programmieren (I): Einführung Eigene Funktionen definieren Pure Functions Neue Kommandos definieren Programmierstile im Mathematica Prozedurale Programmierung Programmieren (II): Eigene Packages schreiben Was ist ein Package? Der prinzipielle Aufbau eines Package Die Gültigkeit von Variablen (Kontext) Default-Parameter Optionen Querverweis Ein- und Ausgabe in Fremdformaten (ASCII, PostScript, TeX, MathLink) ASCII-Daten speichern ASCII-Dateien lesen PostScript-Grafik Formeln MathLink Die optimale Konfiguration für Mathematica Anhang B Referenz der Operatoren Nachgestellte Kommandos Anhang C Mathematica Version 2.1 Gleichungen numerisch lösen mit InterpolateRoot Allgemeine Näherungsfunktionen mit NonlinearFit aufstellen Sigma-Funktion und Dirac-Impuls: UnitStep, DiracDelta Hypergeometrische und nicht-lineare Differentialgleichungen mit DSolve lösen Mathematica 2.1 für Windows Quellenverzeichnis 459 Stichwortverzeichnis 461