Dr. RÜCKMANN Prof. RÖDER. Humboldt-Universität zu Berlin WS 1998/99 SS 1999

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1 Physik für Biologen Dr. RÜCKMANN Prof. RÖDER Humboldt-Universität zu Berlin WS 998/99 SS 999 Vorlesungsmitschrift c Till Biskup 999

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3 Inhaltsverzeichnis I. Semester Mechanik 3. Kinematik der Punktmasse Gleichförmig geradlinige Bewegung Gleichmäßig beschleunigte, geradlinige Bewegung Ungleichmäßig beschleunigte, geradlinige Bewegung Herleitung der Bewegungsgesetze (Weg Zeit Gesetze) der gleichmäßig beschleunigten Bewegung v und a als Vektoren Kreisbewegung einer Punktmasse Dynamik der Punktmasse (NEWTONsche Mechanik) Erstes Newtonsches Axiom (Trägheitssatz) Zweites Newtonsches Axiom (Grundgesetz der Mechanik) Drittes Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip) Gravitationsgesetz Arbeit und Energie Beschleunigungsarbeit kinetische Energie Hubarbeit potentielle Energie Energieerhaltung Leistung P Dynamik von Punktmassen Systemen Impuls & Impulserhaltung Massenmittelpunkt (MMP) Stoßgesetze Mechanik starrer Körper Gleichgewichtsbedingungen Dynamik des starren Körpers Satz von Steiner Analogien zwischen Translation und Rotation Drehimpuls L Schwingungen harmonische Schwingungen Kenngrößen einer harmonischen Schwingung Energiebilanz beim harmonischen Schwinger Schwingungsarten Zusammenfassung Erhaltungssätze in der Mechanik Herleitung der ersten kosmischen Geschwindigkeit (Impulserhaltung) Begriff der Arbeit Vergleich der Mechanik der PM und des starren Körpers (Analogiebeziehungen) 22 i

4 ii INHALTSVERZEICHNIS 2 Thermodynamik Grundlagen Hydrostatischer Druck Der Auftrieb (Archimedisches Prinzip) Ideales Gas Zustandsgrößen Zustandsgleichung Atomistische Deutung der Zustandsgrößen Druck und Temperatur Kinetische Theorie der Wärme Temperaturbegriff Wärmeenergie & Nullter Hauptsatz der Thermodynamik Hauptsätze der Thermodynamik Erster Hauptsatz der Thermodynamik Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Dritter Hauptsatz der Thermodynamik Zustandsänderungen isotherme Zustandsänderung isobare Zustandsänderung isochore Zustandsänderung adiabatische Zustandsänderung Carnotscher Kreisprozeß reversible und irreversible Prozesse Teilschritte des Carnotschen Kreisprozesses Entropie Entropie und Wahrscheinlichkeit Entropie und Evolution Grundlagen der Elektrostatik Einführung positive und negative Ladungen Elementarladung Ladungserhaltung Leiter und Isolatoren Influenz und Polarisation Elektrische Feldlinien Coulombsches Gesetz Gaußscher Satz Elektrisches Potential und Spannung Potential und Feld vektoriell betrachtet Kapazität Definition Schaltung Elektrische Polarisation von Dielektrika Energie im Kondensator Elektrodynamik Strom Elektrischer Widerstand Ohmsches Gesetz Schaltung von Widerständen Gleichstromkreis Bestandteile Kirchhoffsche Sätze Kennlinie einer Spannungsquelle Elektrischer Strom und magnetisches Feld Magnetfeld um einen Leiter Kraftwirkungen Elektromagnetische Induktion magnetischer Fluß Φ Induktivität eines Leiters

5 INHALTSVERZEICHNIS iii zeitlich veränderliche elektrische und magnetische Felder Maxwellsche Gleichungen II 2. Semester 45 5 Schwingungen und Wellen Harmonische Schwingung gedämpfte Schwingungen erzwungene Schwingungen Resonanz Zusammenhang Schwingung Welle harmonischer Oszillator Definition, Beispiele allgemeine Bewegungsgleichung Harmonische Wellen Definition, Kenngrößen, Beispiele Wellenarten Welle als Kommunikationsmittel Schallausbreitung / Hören Elektromagnetische Wellen Erzeugung und Nachweis (Hertzscher Dipol) Eigenschaften elektromagnetischer Wellen Lichtgeschwindigkeit elektromagnetisches Spektrum Wechselwirkung von elektromagnetischer Strahlung und Materie Absorption (Schwächungsgesetz) Streuung Transmission Reflexion an einem guten Leiter (stehende Wellen) Wechselwirkung elektromagnetischer Wellen mit einem Nichtleiter Definition der Brechzahl Dispersion Wellenoptik Licht als elektromagnetische Welle Interferenz Interferenz an dünnen Schichten (NEWTONsche Ringe) HUYGENS FRESNELsches Prinzip Beugung FRESNELsche / FRAUNHOFERsche Beugung Beugung am Spalt Beugung am Strichgitter Kohärenz und Inkohärenz Begriffserklärung Prinzip der Holographie Reflexion und Brechung Herleitung des Reflexions und Brechungsgesetzes Totalreflexion Polarisation von Licht Erzeugung durch Reflexion und Brechung Polarisationsfilter Erzeugung durch Doppelbrechung Interferenz polarisierten Lichtes (linear / zirkular polarisiertes Licht) Wirkprinzip eines Polarimeters und optische Aktivität

6 iv INHALTSVERZEICHNIS 7 Geometrische Optik Grundlagen Anwendbarkeit Vereinfachungen FERMATsches Prinzip (Axiom) Eigenschaften der Lichtstrahlen (Stöcker) Arten von Strahlen (Stöcker) Reflexion und Brechung Reflexion Brechung Totalreflexion Optische Abbildungen reelle / virtuelle Bilder Abbildung am Spiegel Abbildung durch Linsen Optische Geräte Das Auge Lupe Mikroskop Auflösungsvermögen optischer Instrumente Quantenoptik und Wellennatur der Materie Formulierung des Prinzips der Wellennatur der Materie Photoelektrischer Effekt Innerer Photoelektrischer Effekt Äußerer Photoelektrischer Effekt PLANCKsches Wirkungsquantum Ablösearbeit und kinetische Energie der Elektronen COMPTON Effekt Erklärung Herleitung der COMPTON Wellenlänge Welle Teilchen Dualismus DE BROGLIE Wellenlänge Elektronenbeugung Das große Paradoxon Formulierung Lösung: Die Wellenfunktion Quantenphysik Das BOHRsche Atommodell BOHRsche Postulate Mängel / Anwendbarkeit Die Heisenbergsche Unschärferelation Wellenmechanisches Atommodell Bedeutung der Quantenzahlen Wesen eines Atoms Spontane und stimulierte Emission von Photonen Laser Physikalisches Prinzip Eigenschaften von Laserstrahlen Anwendungen in der biologischen/medizinischen Forschung III Prüfungsfragen 69

7 Teil I. Semester

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9 Kapitel Mechanik Punktmechanik Modell der Punktmasse Massepunkt, in dem die gesamte Masse des Körpers konzentriert ist Größen: Ort, Masse, Zeitpunkt. Kinematik der Punktmasse.. Gleichförmig geradlinige Bewegung Geschwindigkeit zeitlich nach Betrag und Richtung konstant Weg Zeit Kurve ist eine Gerade v x t const..2 Gleichmäßig beschleunigte, geradlinige Bewegung Geschwindigkeit verändert sich mit der Zeit gleichmäßige Veränderung der Geschwindigkeit mit der Zeit v t a v t const momentane Geschwindigkeit nach der Zeit) ist die erste zeitliche Ableitung des Weges (erste Ableitung des Weges v x lim t 0 t dx dt ẋ Beschleunigung a a v t ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit. a m s 2..3 Ungleichmäßig beschleunigte, geradlinige Bewegung momentane Beschleunigung ist die erste zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und die zweite zeitliche Ableitung des Weges. a v lim t 0 t dv dt v 3

10 4 KAPITEL. MECHANIK Zusammenfassung: Allgemeine Definition von v und a v t a t a t dx dt dv dt dv dt ẋ v d dt dx dt d 2 x dt 2 ẍ ist die 2. Ableitung des Weges nach der Zeit oder die. Ableitung der Geschwindig- Beschleunigung keit nach der Zeit...4 Herleitung der Bewegungsgesetze (Weg Zeit Gesetze) der gleichmäßig beschleunigten Bewegung dv dt dt ẍ a v a bei a=const a dt v t a t const v 0 v t a t v 0 v 0 Anfangsgeschwindigkeit ẋ v dx dt v a t v 0 dx dt a t v 0 ges. x(t)? dx dt dt x t a t v 0 dt a 2 t2 v 0 t const x 0 x 0 Anfangsort Weg Zeit Gesetz x t a 2 t2 v 0 t x 0 Geschwindigkeit Zeit Gesetz v t at v 0 Bsp. : Freier Fall a g 9 8 m s 2 x 0 0 v 0 0 x v g 2 t2 h g t v 2 g h g 2 t2 Bsp. 2: Senkrechter Wurf v h v 0 g t v 0 t g 2 t2

11 (' ('.. KINEMATIK DER PUNKTMASSE 5 Bsp. 2: Schräger Wurf s w s h x h v 2 0 sin2α g v 2 0 sin2 α 2g v 0 t cosα g 2 t2 v 0 t sinα v v 2 0 g2 t 2 2v 0 gt sinα Wurfweite Wurfhöhe..5 v und a als Vektoren Skalare Beispiele z. B. m, ω, t Vektoren physikalische Größen mit Betrag und Richtung Beispiele Weg s Kraft F Geschwindigkeit v Beschleunigung a Einschub: Vektoren s v af pm L!"# '() OP OP r %$& OP 2 r 2 $& x y z x 2 y 2 z 2 P P 2 r OP OP 2 +$& r r r 2 Multiplikation von Vektoren x 2 x y 2 y z 2 z r x 2 y 2 z 2 Skalarprodukt a b W -F s a b, cos a b skalare Größe Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a. b 2 Vektoren c a c b /,/ Vektor sin a b

12 6 KAPITEL. MECHANIK..6 Kreisbewegung einer Punktmasse Kreisbewegung beschleunigte Bewegung; die Richtung des Geschwindigkeitsvektors v ändert sich ständig (hat stets die Richtung der Bahntangente). Die Bahngeschwindigkeit v ist konstant. Kreisfrequenz, ω, Quotient aus überstrichenem Winkel ϕ und dazu benötig- Winkelgeschwindigkeit ter Zeit t: ω ϕ t ω 0 rad s s2 Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit v s t r ϕ t rω r Radius voller Umlauf ( ϕ 2π) ω 2π T /3 2π f Kreis f requenz T Umlaufzeit (für vollen Umlauf) f 4 s Hertz (Hz) f Drehfrequenz, Drehzahl Radialbeschleunigung a r (Zentripetalbeschleunigung) a r v ϕ t v ω a r vω rω 2 a r r ω 2 ω dϕ dt ϕ v 2 r v 2 r e r v 2 r r r e r r r (Einheitsvektor) Winkelbeschleunigung α α α dω dt ω d 2 ϕ dt 2 ϕ Bahnbeschleunigung a s a s dv dt r dω dt rα tangential gerichtet.2 Dynamik der Punktmasse (NEWTONsche Mechanik) Kraft F, Ursache für Bewegungsänderung F 4 kg m s2 2 N.2. Erstes Newtonsches Axiom (Trägheitssatz) Erstes Newtonsches Axiom Ist die auf einen Körper wirkende Kraft (oder die Summe aller dieser Kräfte) gleich Null, so verbleibt der Körper in der Ruhelage oder in gleichförmig geradliniger Bewegung (d. h. v const.).

13 .2. DYNAMIK DER PUNKTMASSE (NEWTONSCHE MECHANIK) Zweites Newtonsches Axiom (Grundgesetz der Mechanik) Zweites Newtonsches Axiom Wirkt auf einen Körper eine Kraft, so tritt eine Beschleunigung auf. F m a alternative Formulierung des Zweiten Newtonschen Axiomes (Newton) d dt m v F Anmerkungen GALILEI 632: a F Abhängigkeit der Masse von der Geschwindigkeit NEWTON (klassische Physik) heute m 5 f v m v6 c m Ruhe v 2 c m s für v 7 c v 8 % c m const.2.3 Drittes Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip) Drittes Newtonsches Axiom Eine Kraft ruft eine gleich große Gegenkraft hervor. (Actio = Reactio) F 2 F 2 Gravitationskraft a 2 a M R 2 γ γ Gravitationskonstante M 2 R 2 γ γ m 3 kg2 s2 2 schwere Masse ist die Fähigkeit, einen anderen Körper zu beschleunigen. Einheit: m kg träge Masse Einheit: m ist das Maß für die Fähigkeit, einer Beschleunigung bei sich selbst Widerstand zu leisten. kg 665 NEWTON: Warum fällt der Apfel vom Baum? Gravitationskräfte wirken zwischen beliebigen Massen F M F M 2 a 2 γ M R 2 F M 2 a 2 γ M 2 M R 2 a γ M 2 R 2 F M a γ M M 2 R 2 F2 F2

14 8 KAPITEL. MECHANIK.2.4 Gravitationsgesetz F γ M M 2 R 2 F M 2 g F m g γ M R 2 g f R 2 Beispiel Aufzug fährt nach unten, a 8 g Ball fällt im Aufzug für Beobachter außen: Ball fällt mit g für Beobachter innen: Ball fällt mit (g-a) bei a g Schwerelosigkeit.3 Arbeit und Energie eine Form der Energie ist die Arbeit Definition der Arbeit W 9F s (Skalarprodukt) W F s s F s Komponente der Kraft in Richtung des Weges F F:; F s Fs W 9F s W Fds s W 4 J Nm F cos/f, s kgm 2 s 2 F s F cosα Arbeit Die durch die Kraft F am System verrichtete Arbeit erhöht die Energie des Systems..3. Beschleunigungsarbeit < kinetische Energie Beschleunigungsarbeit W Arbeit gegen den Trägheitswiderstand F ds F m a m dv m dt ds 2 m v2 W kin m dv dt ds dv dt m ds dv dv m vdv W kin 2 m v2

15 >.3. ARBEIT UND ENERGIE Hubarbeit < potentielle Energie Hubarbeit Arbeit gegen die Schwerkraft W pot F s m g h W W i= 0 F s s i F s ds 0 h m g ds m g h h 0 m g h W pot m g h Die Änderung der potentiellen Energie eines Systems ist die Hubarbeit, die ich in das System stecke. Die Hubarbeit im Schwerefeld der Erde ist unabhängig vom Weg: P 2 Fds P Weg Fds 0 P 2 P Fds Weg 2 das Integral über einen geschlossenen Weg ist Null das Kraftfeld ist konservativ.3.3 Energieerhaltung Energieerhaltung W kin W pot In einem abgeschlossenen System ist die Summe const sie ändert sich nicht zeitlich, bleibt erhalten; d. h., die Gesamtenergie bleibt erhalten. Bsp. : Pendel Umkehrpunkte (P P 2 ) E kin v 0 2 m v2 0 E pot m g h tiefster Punkt (P 0 ) v max E kin 2 m v2 max? E pot 0 Bsp. 2: Looping

16 @ 0 KAPITEL. MECHANIK Um wieviel höher als der Looping (mit Radius r) muß der Startpunkt sein (h?)? F s m g F s Schwerkraft F v 2 r m F Fliehkraft m g h 2 m v2 E kin E pot 2gh v 2 m g g h.3.4 Leistung P v 2 m r 2gh r r 2 F s F Leistung P P, die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit. W t P Watt W J s kg m 2 s 3 η, Quotient aus der abgegebenen effektiven Leistung P eff und der zugeführten Nenn- Wirkungsgrad leistung P N : η P eff P N.4 Dynamik von Punktmassen Systemen.4. Impuls & Impulserhaltung Für eine Kraftwirkung ist die Geschwindigkeit entscheidend Für eine Kraftwirkung ist die Masse entscheidend Impuls p m v p kg m s2 Ns Kraft ist die erste zeitliche Ableitung des Impulses F ma m dv dt d dt /,/ m v6 p dp dt p Impulserhaltung In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls P erhalten: P p const abgeschlossenes System (keine äußere Kraft) p F 0 p 0 dp dt p const allg. i p i const

17 .4. DYNAMIK VON PUNKTMASSEN SYSTEMEN Bsp.: Raketenantrieb (Rückstoßprinzip) p d dt m v6 v dm dt m dv dt 0 v 0 dm mdv v 0 Ausströmgeschwindigkeit der Gase A 2000 m s dm m dm m lnm ln m m 0 dv v 0 dv v 0 v 0 v const const lnm 0 v v 0 m m 0 e2 v v 0 ZIOLKOWSKIsche Raketengleichung erste kosmische Geschwindigkeit notwendig, um das Schwerefeld der Erde zu verlassen CB 7900 m s Herleitung vgl..7.2, S Massenmittelpunkt (MMP) Massenmittelpunkt Schwerpunkt, Punkt in einem Massenpunktsystem, dessen Ortsvektor R sich aus den Massen m i und den Ortsvektoren r i berechnet nach: R M N i= 2 Teilchen m ir i M N i= m i Dimension MMP x s m x m 2 x 2 m m 2 Verallgemeinerung m gesamt x s m i x i i bei kontinuierlicher Verteilung der Massen m ges x s Impulserhaltung x dm Gleichgewicht der internen Kräfte d F intd d dt m v 6 dt m v m 2 v m i v i i, Gesamtimpuls = const F intd 2 d dt m 2 v 2 x s Koordinaten der Massepunkte

18 E E 2 KAPITEL. MECHANIK Zusammenfassung x s i m i x i i m i v s dx s dt Wenn keine externen Kräfte Wirken, befindet sich der MMP in Ruhe oder bewegt sich geradlinig gleichförmig (. N. A.). Der MMP verhält sich wie eine Punktmasse mit m ges i m i Interne Kräfte heben sich gegegnseitig auf (3. N. A.). Externe Kräfte bewegen das System und dabei ist das System durch seinen MMP beschreibbar: F ext m ges a s (2. N. A.) a s Beschleunigung des MMP Der MMP bewegt sich unter dem Einfluß externer Kräfte wie eine Punktmasse mit m ges i m i (als sei die Gesamtmasse in ihm vereinigt). Bsp.: Rakete m 500 kg, m 2 0 kg Abstoß der Kapsel mit 0 5 m s abgeschlossenes System Impulserhaltung (3) in () m m 2 v m v m 2 v 2 (.) v v 2 v 0 5 m s (.2) v 2 v v (.3) v v m 2 m m 2 v v m s m s (.4) (.5) Die Lage des MMP ändert sich und seine Geschwindigkeit bleibt v..4.3 Stoßgesetze Zusammenstoß Freisetzung großer Kräfte Kraftstoß Billiardkugeln Sterne Autos Hammer & Amboß F t FF t FF6 gibt die Änderung p des Impulses an. Entscheidend ist die Dauer t des Stoßes. t 2 t F dt I p p t t t 2 dp dt dt t 2 t dp p 2 p p Kraftstoß

19 E E.4. DYNAMIK VON PUNKTMASSEN SYSTEMEN 3 Bsp. : Aufprall nach freiem Fall m kg, h 20 m, t 02 3 s Impuls m m g h 2 v2 v 2 g h F s m g kg 0 m s 2 0 N p Impulsänderung m v p m G 2g h vor dem Stoß phi 0 nach dem Stoß p p phi m 2gh FF FF m p mj 2gh t 3 02 kg kg m s s 20 m s s N Bsp. 2: Auto m 5 t, v 20 m s2 72 km h2 fährt gegen Baum t s bis das Auto steht F mv t 0 6 N elastischer Stoß mechanische Gesamtenergie und Gesamtimpuls bleiben erhalten. zentraler elastischer Stoß es gelten (a) Impulssatz (b) Energiesatz m v m 2 v 2 m u m 2 u 2 2 m v 2 2 m 2v m u 2 2 m 2u 2 2 Spezialfall: m 2 vor dem Stoß in Ruhe, v 2 0 u 2 u 2m v m m 2 m m 2 m m 2 v Spezialfall: System, in dem m m 2 5 v 0 u 2 v v 2 0 u 0 d. h., die Geschwindigkeiten werden ausgetauscht

20 4 KAPITEL. MECHANIK 2. nicht zentraler elastischer Stoß Bsp.: Billiard (ohne Reibung) es gelten (a) Impulserhaltung v u u 2 = v 2 u 2 2u u 2 u 2 2 v 2 u 2 u 2 2 2u u 2 cosα 0 (b) Energieerhaltung 2 mv2 2 mu2 2 mu2 2 α 90K inelastischer Stoß Verlust an kinetischer Energie (d. h. Wärme, Verformung,...) Extremfall: total unelastischer Stoß verknautschte Massen nach dem Stoß bleiben beide Massen zusammen Impulserhaltung (gilt immer) Energiesatz m v, m 2 v 2 vor dem Stoß L m m 2 u nach dem Stoß 2 mv2 2 mv2 2 vor dem Stoß m m 2 u 2 E 2, nach dem Stoß.5 Mechanik starrer Körper PM MMP starrer Körper starrer Körper Masseelemente m eines Körpers werden durch äußere Einwirkung (externe Kräfte) nicht verschoben. (Gegensatz: deformierbare Medien) Es können nur Translation und Rotation der Masseelemente m auftreten 6 Freiheitsgrade. 2 neue Größen Drehmoment Drehimpuls Drehmoment M das Produkt aus dem Betrag der angreifenden Kraft F und der Länge l des Hebelarmes zu einem Bezugspunkt, an dem der Körper drehbar gelagert ist (Drehpunkt). M r.mf r Ortsvektor vom Dreh zum Angriffspunkt der Kraft r F sin 3/ r F M M M 4 F l α l kürzester Abstand der Kraftwirkungslinie z. Drehpkt. l r sin α α Winkel zwischen r und F N m der Vektor des Drehmomentes zeigt entlang der Drehachse Rechte Hand Regel

21 .5. MECHANIK STARRER KÖRPER 5.5. Gleichgewichtsbedingungen Kräfte sind entlang ihrer Wirkungslinie verschiebbar Gleichgewichtsbedingungen. Ausschluß der Translation F j F res 0 keine Translation, aber Rotation tritt auf 2. Ausschluß der Rotation M j %M res 0 Gleichgewicht Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der resultierenden Kräfte ( F i ) und die Summe der Drehmomente ( M i ) verschwindet. stabiles Gleichgewicht 2 W pot x 2 N 0 2. indifferentes Gleichgewicht kann nicht selbst in den ursprünglichen Zstand zurückkehren 2 W pot x labiles Gleichgewicht 2 W pot x kann nicht selbst in den ursprünglichen Zstand zurückkehren.5.2 Dynamik des starren Körpers Trägheitsmoment (Drehmasse) J J mr 2 J kg m 2 J J i m i r 2 i r 2 dm allgemeine Definition des Massenträgheitsmomentes. Es gibt unendlich viele Trägheitsmomente bei einem Körper 2. Drei Hauptträgheitsachsen durch den Schwerpunkt (J s ) 3. J sd rot (um die Rotationssymmetrieachse) ist am kleinsten

22 6 KAPITEL. MECHANIK Beispiel: J s für Zylinder J V πr 2 h m V ρ dm dr dm J J J J s kinetische Energie W kin W kin 2 mv2 r 2 dm r f m ρπh2r ρπh2r dr ρ πr 2 h r 2 ρ π h 2r dr ρπh2 4 R4 2 ρπhr2 R 2 m 2 mr2 2 mr2 ω 2 2 m ωr 2 2 Jω2 Analogie zur Translation ρ π 2h 0 R r 3 dr W trans kin 2 mv2.5.3 Satz von Steiner Stellt eine Beziehung zwischen dem Massenträgheitsmoment bezüglich einer Achse X S, die durch den Schwerpunkt des Körpers geht, und einer beliebigen anderen dazu parallelen Achse X her. Satz von Steiner Das Massenträgheitsmoment bezüglich einer beliebigen Achse, deren kleinster Abstand vom Schwerpunkt des Körpers r S ist, lautet: J X mr 2 S J S Herleitung W kin 2 mv2 2 m r2 J S J ges J S mr 2 J X J S mr 2 S 2 J Sω 2 v r ω J ges ω 2 r Abstand vom Schwerpunkt.5.4 Analogien zwischen Translation und Rotation Arbeit W F ds W /,/ M dϕ M dϕ

23 .6. SCHWINGUNGEN 7 Bewegungsgleichung F ma M J α Impuls und Drehimpuls F d dt m v dp dt p M Jα J p mv L Jω dω dt d dt J ω dl dt L.5.5 Drehimpuls OL Drehimpuls Drall, L, Produkt aus Massenträgheitsmoment J X bezüglich der Drehachse X und Winkelgeschwindigkeit ω L J X ω. L r p p mv r Abstand zur Drehachse L 0 N m s Der Drehimpulsvektor zeigt in Richtung der Drehachse. r und p stehen senkrecht auf L (Rechte Hand Regel) Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem resultierenden Drehmoment M L 3F p Drehimpulserhaltungssatz (abgeschlossenes System). Der Drehimpuls bleibt erhalten, wenn kein äußeres Drehmoment angreift M 0 P dl dt 0 P L const. L J ω im abgeschlossenen System.6 Schwingungen Schwingung ist die zeitlich periodische Änderung einer physikalischen Größe.6. harmonische Schwingungen mit einer Sinus oder Cosinusfunktion beschreibbar leichte Auslenkung aus der Ruhelage, so daß das HOOKEsche Gesetz gilt Auslenkung x F elastische Kräfte Die rücktreibende Kraft ist proportional zur Auslenkung und ihrer Richtung ent- Hookesches Gesetz gegengesetzt: F R x F R rücktreibende Kraft F R Dx D Federkonstante

24 Q 8 KAPITEL. MECHANIK Bsp. : Federschwinger Bewegungsgleichung für harmonischen Oszillator m mẍ F Dx 2. N. A. m Dẍ x 0 x x t x ẋ ẍ D x 0 ω 2 sin ωt0 x 0 sin ωt 0 m D ω2 0 ω 2 ω Q x 0 sin ωt x 0 ω cos ωt x 0 ω ω sin ωt D m D m x x 0 sin RSQ D m tt x 0 Amplitude (maximale Auslenkung) x t Elongation (momentane Auslenkung) T Schwingungsperiode ω Kreisfrequenz ϕ 0 Phase ω 2π f f T ω 2π T allgemeine Schwingungsgleichung x t x 0 sin ωt ϕ 0 Federschwinger ω T D m m 2πQ D Bsp. 2: mathematisches Pendel (Fadenpendel) mathematisches Pendel nichtdehnbarer Faden mit vernachlässigbarer Masse reibungsfreie Aufhängung des Pendels punktförmige Masse des Pendelkörpers M M r.uf r F sin r F M R mgl sinϕ rücktreibendes Drehmoment

25 Q Q.6. SCHWINGUNGEN 9 Bewegungsgleichung ϕ t M J α 2. N. A. ω T J ϕ mgl sinϕ 0 ml 2 ϕ mlgϕ 0 ϕ g l ϕ 0 ϕ 0 sin ωt 2πV g l l g Bsp. 3: physikalisches Pendel physikalisches Pendel, physisches Pendel, Schwerependel starrer Körper, der unter der Wirkung der Schwerkraft Drehbewegungen um eine feste Achse A, die nicht durch seinen Schwerpunkt geht, ausführt. Bewegungsgleichung α α t6 ω F lmg α J A α max cos ωt ϕ 2π Q mgl J A mgl J A T 2πV J A mgl Eigenfrequenz Jedes schwingungsfähige System hat eine Eigenfrequenz f 0 Bsp.: f 0 2π Q D m f 0 2π Q g l.6.2 Kenngrößen einer harmonischen Schwingung u t Acos ωt ϕ Phase, Phasenwinkel Schwingungszustand. Argument der Sinus oder Cosinusfunktion, ωt ϕ; bestimmt den momentanen Nullphasenwinkel, Anfangsphase ϕ, Wert der Phase für t 0, beschreibt den Anfangszustand des Systems.

26 20 KAPITEL. MECHANIK Amplitude A, maximaler Wert der Funktion u t u t Acos ωt ϕ Kreisfrequenz ω 2π f ω Periodendauer wiederholen. T Frequenz f f T 2π ω T, kleinste Zeitdauer, nach der sich bestimmte zeitlich periodische Erscheinungen f, gibt an, wie oft sich ein zeitlich periodischer Vorgang pro Sekunde wiederholt ω 2π.6.3 Energiebilanz beim harmonischen Schwinger F W p Dx F ds. Auslenkung um x W p 2. Energieerhaltung 0 x Dx dx D W 2 x2x x 2 Dx2 0 Anfangsenergie 0 W pot W kin 2 Dx Berechnung der kinetischen Energie x ẋ x 0 sin ωt x 0 ω cos ωt ẋ max x 0 ω für cos ω W kin 2 mẋ2 4. potentielle Energie 2 m x 0 ω cos ωty 2 W pot 2 Dx2 2 D x 0 ω sin ωt! 2 cos 2 ωt sin 2 ωt 2 cos 2ωY 2 cos 2ω! 5. Summenbildung (Energieerhaltung) W pot W kin 2 Dx2 0 cos 2 ωt0 sin 2 ωt W pot und W kin pulsieren mit 2ω im zeitlichen Mittel entfällt die Gesamtenergie auf beide zu gleichen Teilen

27 .7. ZUSAMMENFASSUNG Schwingungsarten freie, ungedämpfte Schwingung Die Schwingung wird einmalig angeregt und verläuft dann ohne äußere Anregung. Die Frequenz ist konstant und durch Systemgrößen bestimmt. x x 0 sin ωt ϕ freie, gedämpfte Schwingung Es treten Reibungskräfte auf. Der Oszillator verliert ständig Energie. F Rück F Reib mẍ m Dẍ Dx kẋ Dx kẋ k x Dẋ 0 homogene DGL 2. Ordnung x t6 x 0 e2 δt sin ωt Lösung der DGL δ k 2m ω 0 2π f 0 Q D m k 2 4m 2 δ Abklingkoeffizient erzwungene Schwingung angeregt. Der Oszillator wird von einer äußeren periodischen Kraft zum Schwingen Resonator Der Oszillator schwingt mit der Frequenz der äußeren Kraft. Bewegungsgleichung mẍ kẋ Dx l 0 cos ω err t schwingungsfähiges System antreibendes System das schwingungsfähige System (Eigenfrequenz f 0 ) schwingt mit der Erregerfrequenz f err 2πω err Resonanz f 0 heißt die maximale Amplitude des schwingungsfähigen Systems. Sie tritt für f err auf..7 Zusammenfassung.7. Erhaltungssätze in der Mechanik Energieerhaltung In einem abgeschlossenen System bleibt bei allen physikalischen Vorgängen die Gesamtenergie konstant. Energie kann nur in verschiedene Energieformen umgewandelt oder zwischen Teilsystemem ausgetauscht werden. E i E pot E kin M"#3 const Impulserhaltung Wenn keine äußeren Kräfte wirken, dann bleibt der Gesamtimpuls erhalten. p p i const i

28 Q 22 KAPITEL. MECHANIK In einem abgeschlossenen System von Massenpunkten bleibt der Gesamtdre- Drehimpulserhaltung himpuls erhalten. I N i= I i const Masseerhaltung Für v 7 c gilt für Körper: M n i= m i const.7.2 Herleitung der ersten kosmischen Geschwindigkeit (Impulserhaltung) erste kosmische Geschwindigkeit Kreisbahngeschwindigkeit, v K, Geschwindigkeit, die ein Körper haben muß, um sich auf einer Kreisbahn nahe der Erdoberfläche zu bewegen; folgt aus dem Gleichgewicht von Zentrifugalkraft und Gravitationskraft der Erde. Gravitationsgesetz F 2. Newtonsches Axiom (.2) in (.) m m 2 r 2 γ (.) F m a (.2) m m 2 r 2 γ m 2 a (.3) Zentripetalbeschleunigung bei Kreisbahn a v 2 r (.4) m m 2 v r 2 γ m 2 2 (.5) r v 2 m r γ (.6) erste kosmische Geschwindigkeit v K m r γ m Erdmasse ( kg) r Erdradius (6378 km) (.7).7.3 Begriff der Arbeit Arbeit Die mechanische Arbeit ist das Wegintegral der Kraft: W s s 2 Fds.7.4 Vergleich der Mechanik der PM und des starren Körpers (Analogiebeziehungen) Gesetze der Translation (starrer Körper) stimmen vollständig mit denen für Punktmassen (PM) überein Translation Rotation Geschwindigkeit v ẋ ω ϕ Beschleunigung a v ẍ α ω ϕ Arbeit W [Z\Fds W [Z]Mdϕ Bewegungsgleichung F ma M J α Impuls/Drehimpuls p mv L J ω

29 Kapitel 2 Thermodynamik 2. Grundlagen 2.. Hydrostatischer Druck Hydrostatik Lehre von den ruhenden Flüssigkeiten Druck Druck Kraft Fläche p F A Pascalsches Prinzip Wird der Druck p 0 auf einen Teil der Flüssigkeitsoberfläche ausgeübt, so überträgt er sich auf alle Teile der Oberfläche. Berücksichtigung der Schwerkraft F F F p 0 A p 0 A m g p 0 A ρ A h m g Druck unten p u p 0 ρ g h Beispiel: Barometer p 0 ρ g h ρ gemittelte Dichte der Luft p N m 2 atm N m 2 Pa 05 Pa bar Rohr mit Quecksilber ρ Hg kg m g cm 3 p ρ Hg g h h Höhe der Hg Säule p p 0 h 76 cm 760 mm Hg Säule = 760 Torr (0.3 m Wassersäule) 23

30 N 8 24 KAPITEL 2. THERMODYNAMIK 2..2 Der Auftrieb (Archimedisches Prinzip) Auftriebskraft F A, der Gewichtskraft entgegengerichtet; identisch mit der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeitsmenge. Schwimmen FA F A m w g ρ w V k g F S m g ρ k V k g F S Schwerkraft FS ρ Fl N ρ k Schweben FA ρ Fl FS ρ k Sinken FA FS ρ Fl 8 ρ k Ursache des Aufriebs F F F 2 F 2 p L A m g ist der höhere Druck unten p L A ρ w h A g p L A m g m 2 g p L A h A ρ w g l A ρ w g F 2 N F F Auftrieb F 2 F l a ρ w g m Fl g 2.2 Ideales Gas 2.2. Zustandsgrößen Volumen V, V 0 m 3 Dichte ρ, ρ kg m 3 Druck p, p N m 2 Pascal Pa Temperatur T, T 4 Kelvin K Zustandsgleichung p V n R T R universelle Gaskonstante

31 2.3. KINETISCHE THEORIE DER WÄRME Atomistische Deutung der Zustandsgrößen Druck und Temperatur Druck Druck Stoßzahl Impulsänderung Zeiteinheit Kraft Fläche Impulsänderung p m v v mittlere Geschwindigkeit der Teilchen Temperatur ergibt sich aus der kinetischen Energie der Gasatome. 2.3 Kinetische Theorie der Wärme 2.3. Temperaturbegriff Wärmeenergie & Nullter Hauptsatz der Thermodynamik Nullter Hauptsatz der Thermodynamik Alle Systeme, die mit einem System im thermischen Gleichgewicht stehen, sind auch untereinander im thermischen Gleichgewicht. R: Wärmekapazität & spezifische Wärme 2.4 Hauptsätze der Thermodynamik 2.4. Erster Hauptsatz der Thermodynamik Erster Hauptsatz Die Änderung der inneren Energie eines abgeschlossenen Systems ist gleich der Summe der von außen zugeführten Wärmemenge und der am System verrichteten Arbeit. Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art. Energie kann weder erschaffen noch vernichtet werden Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Zweiter Hauptsatz Wärme kann nicht vollständig in mechanische oder elektrische Energie umgewandelt werden. Es gibt keine natürlichen Prozesse, in denen die Gesamtentropie abnimmt. Zweiter Hauptsatz (Thomson Formulierung) Es ist unmöglich, eine periodisch arbeitende Maschine zu bauen, die nichts anderes tut, als Wärme aus nur einem Wärmereservoir zu entnehmen und in mechanische Arbeit zu verwandeln. Es gibt kein Perpetuum mobile zweiter Art. Zweiter Hauptsatz (Clausius Formulierung) Es ist unmöglich, eine periodisch arbeitende Kältemaschine zu bauen, die keinen anderen Effekt bewirkt, als Wärme von einem kälteren zu einem wärmeren Temperaturreservoir zu übertragen Dritter Hauptsatz der Thermodynamik Dritter Hauptsatz Jeder Körper besitzt am absoluten Nullpunkt die Entropie Null. Der absolute Nullpunkt ist nie experimentell erreichbar.

32 26 KAPITEL 2. THERMODYNAMIK 2.5 Zustandsänderungen 2.5. isotherme Zustandsänderung isotherme Zustandsänderung Prozeß, bei dem die Temperatur konstant bleibt. Isothermen sind für das ideale Gas Hyperbeläste im p V Diagramm isobare Zustandsänderung isobare Zustandsänderung Prozeß, bei dem der Druck konstant bleibt. Isobaren sind horizontale Geraden im p V Diagramm isochore Zustandsänderung isochore Zustandsänderung Prozeß, bei dem das Volumen konstant bleibt. Isochoren sind vertikale Geraden im p V Diagramm adiabatische Zustandsänderung adiabatische Zustandsänderung Prozeß, bei dem keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Adiabaten verlaufen im p V Diagramm steiler als Isothermen. 2.6 Carnotscher Kreisprozeß Carnotscher Kreisprozeß idealisiertes Modell einer Wärmekraftmaschine zur Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit. Besitzt den maximal möglichen thermodynamischen Wirkungsgrad reversible und irreversible Prozesse reversibler Prozeß Prozeß, der nur über Gleichgewichtszustände führt. irreversibler Prozeß Prozeß, der nicht von selbst in umgekehrter Reihenfolge stattfinden kann Teilschritte des Carnotschen Kreisprozesses. isotherme Expansion bei hoher Temperatur 2. adiabatische Expansion unter Abkühlung 3. isotherme Kompression bei niedriger Temperatur 4. adiabatische Kompression mit Erwärmung 2.7 Entropie Entropie S, extensive Zustandsfunktion, die die Unordnung in einem System beschreibt. Beschreibt die Anzahl möglicher Mikrozustände in einem System. S Q T 2.7. Entropie und Wahrscheinlichkeit hohe Ordnung unwahrscheinlich niedrige Ordnung wahrscheinlich S k ln P k Boltzmann Konstante P Wahrscheinlichkeit eines Zustandes

33 2.7. ENTROPIE Entropie und Evolution Die belebte Natur besteht aus offenen Systemen. Evolution ist nur möglich auf Kosten einer Steigerung der Entropie der Umgebung des Organismus. R: Der. HS der Thermodynamik R: Kompressionsarbeit R: Wärmekapazität eines idealen Gases R: Adiabatische Zustandsänderung

34 28 KAPITEL 2. THERMODYNAMIK

35 Kapitel 3 Grundlagen der Elektrostatik 3. Einführung Elektrostatik Lehre von den ruhenden Ladungen Elektrische Ladung Q, Eigenschaft von Körpern, durch elektrische Felder Kräfte aufeinander auszuüben. Ladung ist an Materie gebunden. 3.. positive und negative Ladungen Negative Ladungen Senken des elektrischen Feldes positive Ladungen Quellen des elektrischen Feldes Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an Elementarladung Die elektrische Ladung ist quantisiert, Ladung kommt nur als Vielfaches der Elementarladung vor. Elementarladung e 0 e As spezifische Ladung des Elektrons kleinste in der Natur vorkommende elektrische Ladung e m e As kg 3..3 Ladungserhaltung Die Gesamtladung in einem abgeschlossenen System bleibt erhalten; Die Summe der positiven und negativen elektrischen Ladungen bleibt konstant: Q i i const 3..4 Leiter und Isolatoren elektrischer Leiter Material, in dem frei verschiebbare Ladungsträger vorhanden sind; besitzt geringen elektrischen Widerstand. Die Ladungen befinden sich an der Oberfläche. elektrischer Nichtleiter, Isolator Material, in dem keine freien Ladungsträger vorhanden sind; setzt dem elektrischen Strom einen sehr hohen elektrischen Widerstand entgegen. 29

36 30 KAPITEL 3. GRUNDLAGEN DER ELEKTROSTATIK 3..5 Influenz und Polarisation Influenz wird. Verschiebung elektrischer Ladung in einem Leiter, wenn er in ein elektrisches Feld gebracht Polarisation Ausbildung von Dipolen innerhalb eines Nichtleiters durch Ladungsverschiebung in den Molekülen oder Atomen des Nichtleiters. Ladungstrennung entsteht durch Influenz in einem Leiter, so daß in einigen Bereichen ein Überschuß positiver oder negativer Ladung vorherrscht. Der Leiter bleibt insgesamt elektrisch neutral Elektrische Feldlinien Feldlinien dienen der Veranschaulichung der Kraftwirkung des elektrischen Feldes im Raum. Vereinbarungen Folgen Richtung der Feldlinien in einem Punkt entspringt der Richtung der elektrischen Feldstärke E (Kraftwirkung auf eine positive Ladung in diesem Punkt) Feldlinien zeigen von positiver (Quelle) zu negativer Punktladung (Senke) keine geschlossenen Feldlinien in der Elektrostatik das elektrostatische Feld ist wirbelfrei Feldlinien können sich nicht schneiden. Die Richtung der Feldstärke ist für jeden Punkt eindeutig. Die Feldliniendichte ist der Feldstärke proportional. 3.2 Coulombsches Gesetz Coulombsches Gesetz beschreibt die Kraft, die zwei Punktladungen aufeinander ausüben. Es beruht auf Erfahrungstatsachen Die Kraft F 2 zwischen zwei Punktladungen Q und Q 2 ist proportional dem Produkt der Ladungen und nimmt mit dem Quadrat des Abstandes r 2 der Ladungen ab. Sie ist eine Zentralkraft: Die Kraft wirkt in der Verbindungslinie der Ladungen. F Herleitung Q Q 2 4πε 0 r 2 F Q F Q 2 Gesetz F r 2 F Q Q 2 r 2 F Q Q 2 4πε 0 r 2 ε As 2 F Q Q 2 r 4πε 0 r 2 r Nm 2 Dielektrizitätskonstante Vektorschreibweise F 2 F 2

37 3.2. COULOMBSCHES GESETZ 3 Faktorisierung F Q 2 E F Q 2 E mit E F Q E Q r 4πε 0 r 2 r Schritt: Verschieben der Ladung Q 2 ins Unendliche eine einzelne Ladung im Raum erzeugt ein elektrisches Feld (Kraftfeld) dieses Feld kann mit einer Probeladung (2. Ladung) ausgemessen werden jedem Punkt im Raum wird ein Kraftvektor (Pfeil) zugeordnet Konvention Kraftfeld F Q Probeladung E E elektrisches Feld der Ladung Q positive Ladung Ausgangspunkt (Quelle) der Feldlinien negative Ladung Endpunkt (Senke) der Feldlinien Feldvektoren des elektrostatischen Feldes elektrische Feldstärke E Kraft. für q N 0 gleichsinnig zur Kraft F für q 8 0 gegensinnig zur Kraft F Das Feld E wird gekennzeichnet durch die an der Probeladung angreifende E r t6 F Q E E 0 F r t q N As Kraft Ladung q Probeladung Maßeinheit durch Influenz Ladungsverschiebung F E lim r t q 0 q Das Feld D wird gekennzeichnet durch die Größe der felderzeu- elektrische Verschiebungsdichte genden Ladung. D r t6 ε 0 E r t D As m 2 Ladung Fläche F D D Q Q 2 4πε 0 r 2 E ε 0 E Q 4πr 2 F Q

38 > > > > 32 KAPITEL 3. GRUNDLAGEN DER ELEKTROSTATIK 3.3 Gaußscher Satz elektrischer Fluß Φ A E A A 2 cosθ Φ ^E u A dφ ^EudA Φ Φ dφ E n da Φ, Maß für das gesamte elektrische Feld, das die Fläche A durchsetzt. E A E uda Φ 0 Nm 2 cosθ u Flächennormale der Fläche A 2 C Gesamtfluß durch die geschlossene Kugeloberfläche Der Gesamtfluß Φ ges der Feldlinien durch die Kugeloberfläche mit einer Ladung q im Inneren ist unabhängig vom Radius der Kugel und ist gleich: Φ ges Φ ges A E n da E n 4πr 2 4πε 0 q ε 0 q r 2 4πr2 erweiterbar für mehrere Ladungen Gaußscher Satz Gaußsches Gesetz, mathematische Formulierung des elektrischen Feldes. Verknüpft den Fluß des Feldes durch die Oberfläche und die durch sie eingeschlossene Ladung miteinander. Die Anzahl der Feldlinien durch eine geschlossene Oberfläche ist proportional der Größe der Ladungen innerhalb des umschlossenen Volumens. Der Gesamtfluß durch eine beliebige Oberfläche beträgt ε 0 multipliziert mit der Gesamtladung innerhalb der Oberfläche: Φ ges A S E n da Q innen ε 0 DdA Q innen Die Quelle des D Feldes ist die Ladung (. Maxwellsche Gleichung) Ladungsdichte ρ dq dv dq ρ dv Gesamtladung Q dq 0 ρ dv E n da V 0 ε 0 ρ dv

39 > 3.4. ELEKTRISCHES POTENTIAL UND SPANNUNG 33 Anmerkung zum D Feld D Feld D, elektrische Flußdichte (Verschiebungsdichte) im Vakuum D D da Q A δ D dq Q C m 2 D ε 0 _E 3.4 Elektrisches Potential und Spannung Elektrisches Potential ϕ A eines Punktes A im elektrischen Feld, Spannung zwischen dem Punkt A und einem festen Bezugspunkt P. Gibt die Arbeit W A an, die die Kraft F Q E verrichten muß, um die Ladung Q vom Punkt P zum Punkt A zu verschieben. Welche Arbeit ist nötig, um eine positive Probeladung q aus dem Unendlichen zum Punkt P zu bringen? W W W W Potential ϕ r6 ϕ q q W q P P P F dr F q E q E dr E dr E dr E dr Das Potential ist die Arbeit bezogen auf eine positive Einheitsladung, die notwendig ist, um die positive Einheitsladung aus dem Unendlichen zum Punkt P zu bringen. Verschieben einer Ladung auf einer Äquipotentialfläche erfordert keine Arbeit Ladung von Punkt P nach P 2 W 2 W q W 2 2 E ds E ds ich muß eine Arbeit leisten, die der Potentialdifferenz (2-) entspricht auf einem geschlossenen Weg ist die Arbeit gleich Null > E dr 0 Das Potential ist im Unendlichen gleich Null

40 34 KAPITEL 3. GRUNDLAGEN DER ELEKTROSTATIK Spannung U ϕ 2 ϕ nennt man Spannung zwischen den Punkten P und P 2 des elektrischen Feldes. U ϕ 2 ϕ P P 2 Edr U 0 V Nm As Die Spannung U ist gleich dem Quotienten aus der Arbeit, die zur Verschiebung der Probeladung q zwischen diesen Punkten nötig ist, und der Ladung q: U W q Äquipotentialflächen Flächen gleichen elektrischen Potentials. Können sich nicht schneiden oder berühren. Stehen immer senkrecht auf den Feldlinien: ϕ E dr dϕ 0 E dr 0 E dr cos/e dr d r: Leiteroberflächen sind stets Äquipotentialflächen E steht senkrecht auf Äquipotentialflächen große Feldliniendichte an einer Spitze z. B. Blitzableiter, Spitzenentladung Vergleich mit dem Gravitationsgesetz: F g γ γ m m 2 m r E r 2 F g m Höhenlinien sind Äquipotentiallinien im Kraftfeld der Erde neue Maßeinheit: ev (Elektronenvolt) Energie, die ein Elektron aufnimmt, wenn es durch eine Potentialdifferenz von V beschleunigt wird Maßeinheit für Energie Potential einer Punktladung ϕ R6 W e U C V C As AsC Ws J J R Q 4πε 0 E dr R R r 2 dr 4πε 0 Q r 2 dr E 4πε 0 Q 4πε 0 W X r R Q r 2 ϕ R6 E R Q 4πε 0 R Q 4πε 0 R 2

41 (' ) 3.5. POTENTIAL UND FELD VEKTORIELL BETRACHTET Potential und Feld vektoriell betrachtet E D Vektoren Gradient b4b Divergent cb44 ϕ Q Skalare Gradient Der Gradient einer Funktion f x y z erzeugt Vektorkomponenten, die einen Vektor in Richtung der stärksten Änderung der Funktion in der Umgebung eines Punktes ergeben (stärkster Anstieg) grad f f E ϕ Edr dϕ Edr E f x y z grad f f ˆx f x ŷ f y ẑ f z dϕ dr Divergenz div f f f $& x y z f x f y f z G f x f y f z 3.6 Kapazität 3.6. Definition Kapazität C des Kondensators ist ein Maß dafür, wieviel Ladung bei einer bestimmten Spannung gespeichert werden kann. C Q U C 0 F C V As V Q U Q C U C Q U U E s Q C U Q C U C A C s ε 0 δ ε 0 s A s Q s ε 0 A Kuh = Kuh C F ε 0 C V As V F m Plattengröße Plattenabstand

42 36 KAPITEL 3. GRUNDLAGEN DER ELEKTROSTATIK Schaltung Parallelschaltung Flächenvergrößerung C ges C i i Reihenschaltung Abstandsvergrößerung C ges i C i Elektrische Polarisation von Dielektrika Dielektrikum Nichtleiter, der in ein elektrisches Feld eingebracht wird. Erzeugung von Oberflächenladungen im Dielektrikum Polarisationsfeld E p ist dem ursprünglichen Feld E 0 entgegengesetzt ursprüngliches Feld E 0 und Gegenfeld E p überlagern sich zu Gesamtfeld E im Isolator 3.7 Energie im Kondensator E F Q F d U Q Nm U Q dw UdQ dw W W U d Q C dq Q C dq 2 Q2 C 2 C U 2 Q C U

43 Kapitel 4 Elektrodynamik 4. Strom elektrischer Strom kennzeichnet die Bewegung von elektrisch geladenen Teilchen in leitenden Medien. Kann Erwärmung von Materie, elektrochemische Vorgänge und Magnetisierung bewirken. Stromstärke I I Q t die durch eine Querschnittsfläche A pro Zeitintervall fließende Ladungsmenge Q. dq dt I A C s Wirkung Feldlinien Magnetismus 4.2 Elektrischer Widerstand Elektrischer Widerstand R eines Leiters, bestimmt die Stärke des Sromflusses durch den Leiter bei gegebener Spannung an den Leiterenden. Der Widerstand R ist das Verhältnis von Spannung U zu Stromstärke I: R U I Widerstand eines Drahtes R, proportional der Drahtlänge l und umgekehrt proportional dem Drahtquerschnitt A Proportionalitätskonstante ist der spezifische Widerstand ρ: R l A ρ 4.2. Ohmsches Gesetz I U R U R I 37

44 38 KAPITEL 4. ELEKTRODYNAMIK Schaltung von Widerständen Reihenschaltung U i U U R ges R i I U i i R ges I R i i Parallelschaltung I i I R ges U R i I i i i R i 4.3 Gleichstromkreis 4.3. Bestandteile Knoten, Verbindung von mindestens drei Zuführungsleitungen Zweig, Zusammenschaltung von Bauelementen zwischen zwei Knoten Masche, geschlossene Kette von Zweigen Kirchhoffsche Sätze. Satz (Knotenregel) Die Summe aller Ströme an einem Knoten ist null. Abfließende Ströme werden positiv, zufließende negativ gezählt. Ergibt sich aus der Erhaltung der Ladung I i 0 i 2. Satz (Maschenregel) Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist null. Spannungen in Umlaufrichtung werden positiv, gegen Umlaufrichtung negativ gezählt. Ergibt sich als Folge der Energieerhaltung U i 0 i i U i E i i E i eingeprägte Spannungen Kennlinie einer Spannungsquelle U K U 0 R I U 0 R I U K Klemmspannung. Fall: Kurzschlußstrom groß R i gering 2. Fall: R i groß Kurzschlußstrom gering

45 > 4.4. ELEKTRISCHER STROM UND MAGNETISCHES FELD Elektrischer Strom und magnetisches Feld nichtmechanische Kraftwirkung elektrostatisch magnetisch magnetischer Südpol entspricht ca. dem geographischen Nordpol Konvention seit dem Mittelalter: Nordpol einer Kompaßnadel zeigt zum geographischen Nordpol Permanentmagnet große Zahl atomarer Dipole Erklärung des Magnetismus André Marie Ampère Elektrische Ströme sind alleinige Quelle der magnetischen Kräfte. Magnetismus von Permanentmagneten aufgrund molekularer Ringströme im Material magnetische Wechselwirkung Kraft, die eine bewegte Ladung auf eine andere bewegte Ladung ausübt wird durch Magnetfeld vermittelt bewegte Ladung = elektrischer Strom magnetische Wechselwirkung Wechselwirkung zwischen elektrischen Strömen Henry Faraday (ca. 830) Ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld erzeugt ein magnetisches Feld. Eds d B dt da Faradaysches Induktionsgesetz magnetostatisches Feld eines Dipols ist wie ein elektrisches Feld ein wirbelfreies Quellenfeld. Magnetdipol Kraftfeld H Probedipol magnetisches Moment m m P l P Polstärke m 0 V s m l Abstand N zu S Pol magnetische Feldstärke H F P F Feldkraft

46 > > 40 KAPITEL 4. ELEKTRODYNAMIK 4.4. Magnetfeld um einen Leiter Rechte Hand Regel quellenfreies Wirbelfeld geschlossene Feldlinien H ds 0 H ds I H I 2πr H A m Magnetfeld einer Zylinderspule H N I l N Zahl der Windungen Kraftwirkungen Ein stromdurchflossener Leiter erfährt eine Kraftwirkung im Magnetfeld Lorentz Kraft Kraft eines Magnetfeldes auf eine bewegte Ladung. F q G v. B Dreifingerregel der rechten Hand v Geschwindigkeit der Ladung q Kraft eines Magnetfeldes auf einen stromdurchflossenen Leiterabschnitt F Il. B Kraft eines Magnetfeldes auf ein Stromelement l df Idl.dB Idl Stromelement hat die Länge des Drahtstückes zeigt in Richtung der Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger (Stromrichtung) magnetische Feldlinien illustrieren das magnetische Feld B Richtung der Feldlinien entspricht Richtung des Feldes Stärke des Feldes durch Dichte der Feldlinien gegeben Unterschiede zwischen elektrischen und magnetischen Feldern Richtung der Kraftwirkung elektrisches Feld längs der Feldlinien magnetisches Feld senkrecht zum Feld und zur Bewegungsrichtung Kraft wirkt nur auf bewegte Ladungen Feldlinien

47 > 4.5. ELEKTROMAGNETISCHE INDUKTION 4 elektrische beginnen immer auf positiven und enden immer auf negativen Ladungen magnetische keine Anfangs oder Endpunkte im Raum keine magnetischen Monopole bilden geschlossene Schleifen 4.5 Elektromagnetische Induktion In einer im Magnetfeld bewegten Leiterschleife (Spule) wird ein Spannungsstoß induziert bzw. ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld induziert in einer (festen) Spule einen Spannungsstoß (eine zeitlich sich ändernde Spannung) 4.5. magnetischer Fluß Φ magnetischer Fluß Φ, Maß für die magnetische Flußdichte durch eine in ein Magnetfeld gelegte Fläche. Allgemein gegeben als Integral der Flußdichte über die Fläche: Φ A B da magnetische Induktion (Flußdichte) Der Betrag B gibt die Stärke des Magnetfeldes an. Φ B A bzw. B Vs Wb m 2 m 2 Tesla (T) B H B B µ 0 0H µ 0 magnetische Feldkonstante im Vakuum 6 µ Vs Am B da B da cosα Φ dφ da BdA 0 B Feld ist quellenfrei! Induktivität eines Leiters Jeder stromdurchflossene Leiter ist von einem Magnetfeld umgeben L, Fähigkeit eines Leiters oder einer Spule, ein Magnetfeld bestimmter Stärke aufzubau- Induktivität en Φ I Φ L I L U İ L 0 Wb A Vs A Henry (H) zeitlich veränderliche elektrische und magnetische Felder induzierte Spannung U ind im geschlossenen Leiterkreis, der den sich zeitlich ändernden magnetischen Fluß umschließt, ist gleich der Änderungsgeschwindigkeit des magnetischen Flusses: U ind dφ dt