Elektrodynamik. Theoretische Physik 3

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1 Elektrodynamik Theoretische Physik 3 WS 2008/9 Gerhard Ecker Fakultät für Physik Universität Wien

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Danksagung Lehrbücher I Theoretische Grundlagen des Elektromagnetismus I.1 Fundamentale makroskopische Kräfte I.2 Elektromagnetische Felder I.3 Maxwell-Gleichungen I.4 Maßsysteme II Elektrostatik II.1 Einfache Ladungsverteilungen II.2 Randwertprobleme II.3 Multipolentwicklung III Magnetostatik III.1 Vektorpotenzial und Magnetfeld III.2 Multipolentwicklung IV Zeitabhängige elektromagnetische Felder IV.1 Energie- und Impulsbilanz IV.2 Induktionsgesetz IV.3 Allgemeine Lösung der Maxwell-Gleichungen IV.4 Elektromagnetische Wellen IV.5 Langsam veränderliche Felder in der Nahzone IV.6 Elektromagnetische Strahlung Fernzone) IV.7 Streuung V Elektrodynamik in kontinuierlichen Medien V.1 Polarisierung und Magnetisierung V.2 Isotrope Medien V.3 Elektromagnetische Wellen in kontinuierlichen Medien V.4 Reflexion und Brechung

3 VI Relativistische Formulierung der Elektrodynamik VI.1 Relativitätsprinzip und Lorentz-Transformationen VI.2 Minkowski-Raum und Lorentz-Gruppe VI.3 Elektrodynamik VI.4 Relativistische Mechanik VI.5 Synchrotronstrahlung VI.6 Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik Danksagung Ich danke Walter Grimus und Helmut Neufeld für zahlreiche Korrekturen und Verbesserungsvorschläge. Lehrbücher T. Fließbach, Elektrodynamik, Spektrum Akad. Verlag, Heidelberg, 1996 J. Honerkamp und H. Römer, Klassische Theoretische Physik, Springer, Berlin, 1989 S. Brandt und H.D. Dahmen, Elektrodynamik, Springer, Berlin, 1997 J.D. Jackson, Klassische Elektrodynamik, de Gruyter, 1983 L.D. Landau und E.M. Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik Bd. 2: Klassische Feldtheorie, H. Deutsch, Frankfurt,

4 I Theoretische Grundlagen des Elektromagnetismus I.1 Fundamentale makroskopische Kräfte Moderne Physik: alle physikalischen Phänomene auf 4 fundamentale Wechselwirkungen zurückzuführen makroskopische Kräfte Gravitation Elektromagnetismus verantwortlich für alle Phänomene mit d m Kernkräfte starke Wechselwirkung schwache Wechselwirkung nur relevant für d < m einfachste Charakterisierung der beiden makroskopischen Kräfte: 2 Punktteilchen mit Massen m 1, m 2 und Ladungen q 1, q 2 Relativabstand r = r 1 r 2, K 12 = K 21 ): r = r Kraft des 2. Teilchens auf das 1. Gravitation Elektromagnetismus G Nm 1 m 2 r 3 r K12 r) G N = kg 1 m 3 s 2 Massen positiv k C q 1 q 2 r r 3 SI-System MKSA) k C = 4πε 0 ) 1 = C 2 N 1 m 2) 1 Ladungen beiderlei Vorzeichen Anziehung Anziehung q 1 q 2 < 0) oder Abstoßung q 1 q 2 > 0) Newtonsches Gesetz Coulomb-Gesetz Vergleich der beiden Kräfte für 2 Protonen: m 1 = m 2 = m p = kg, q p = e = ) Coulomb) K Coulomb K Newton = e2 k C m 2 p G N = Schlussfolgerungen positive und negative Ladungen kompensieren einander offensichtlich äußerst genau in makroskopischen Körpern Atome statt Ionen) im atomaren Bereich m) Elektromagnetismus einzige relevante Wechselwirkung verantwortlich für Struktur der Atome, Moleküle, Festkörper,... 4

5 Ladungskompensation nicht nur äußerst genau, sondern offenbar auch zeitunabhängig nach heutigem Stand Erhaltung der Ladung absolutes Naturgesetz Übungen: 2 Punktteilchen im Abstand von 1 m mit je 50 kg Protonen, deren Ladungen zu 99 % durch Elektronen abgesättigt sind. Vergleiche die Coulombkraft zwischen beiden Körpern mit dem Gewicht der Erde m Erde g. Ladungserhaltung Kontinuitätsgleichung meist sinnvoll für makroskopische Elektrodynamik zum Unterschied von der Quantenelektrodynamik): Mittelung der Ladungen über mikroskopische Bereiche, wobei m Mittelungsbereich makr. Distanzen Ladungsdichte ρt, r) charakterisiert durch Stromdichte jt, r): analog zu Massenfluss in der Kontinuumsmechanik) Ladung im Volumen V : q V t) = Änderung der Ladung nur durch Hinein- und/oder Herausfließen Ladung/Zeit Fläche) Ladungsbilanz bei festgehaltenem Volumen: dq V t) = d 3 ρt, r) r = df dt t jt, r) = Gauß V da Volumen beliebig Kontinuitätsgleichung V V d 3 r jt, r) V ρt, r) + div jt, r) = 0 [ ρ + j t = 0] Def.: durch Fläche F zur Zeit t fließende Stromstärke I F t) = df jt, r) F d 3 rρt, r) Dimension: [I F ]= Ladung/Zeit SI-Einheit 1 Ampère)= 1 Coulomb)/s Übungen: verifiziere die Kontinuitätsgleichung für ein geladenes Punktteilchen auf einer Trajektorie r q t) mit ρt, r) = q δ 3) r r q t)), jt, r) = q r q t) δ 3) r r q t)) }{{} v qt) Bem.: in klassischer Elektrodynamik ist Ladungserhaltung eine Erfahrungstatsache, die über die Kontinuitätsgleichung in den Maxwell-Gleichungen enthalten ist; die Ladung als Erhaltungsgröße einer Symmetrie wird erst in der Quanten) Elektro) Dynamik) transparent relevante Kopplungsstärke für QED: α := e2 k C c Feinstrukturkonstante = ) 5

6 I.2 Elektromagnetische Felder abstrahieren elektrisches Feld aus dem Coulomb-Gesetz Ladung q 2 erzeugt im ganzen Raum ein elektrostatisches Feld E r) der Form dieses Vektorfeld ist für alle r r 2 definiert E r) = k Cq 2 r r 2 ) r r 2 3 Probeladung q 1 an der Stelle r 1 spürt dann Coulomb-Kraft K 12 r 1 r 2 ) = q 1 E r1 ) daher: elektrisches Feld = Kraft/Ladung erscheint zunächst als reiner Kunstgriff, die elektromagnetischen Felder gewinnen aber Eigenleben in den Maxwell-Gleichungen experimentelle Tatsache: Superpositionsprinzip betrachten N ruhende Ladungen q i an den Orten r i Idealisierung) E r) = k C N i=1 q i r r i ) r r i 3 ausgedrückt durch die Ladungsdichte E r) = k C d 3 r ρ r ) r r ) r r 3 mit r r 1 = r r 3 r r ) E r) = Φ r) = Φ r) + konst.) Φ r) = k C d 3 r ρ r ) r r elektrostatisches Potenzial Folgerung: elektrostatisches Feld ist konservativ Bew.: rot E = E = Φ = 0 bilden noch div E = E = Φ = Φ = k C d 3 r ρ r ) 1 r r zur Erinnerung M2, Übungen): 1 4πr ist eine Greenfunktion der Poisson-Gleichung 1 r r = 4πδ3) r r ) und daher 6

7 elektrostatische Maxwell Gleichung : div E r) = k C SI-Einheit des Potenzials Spannung=Potenzialdifferenz) [ ] E = Φ l K [Φ] = = m N q C = J =: Volt) C gebräuchliche Energieeinheit der Mikrophysik: 1 ev = C V = J d 3 r ρ r ) 1 r r = 4πk Cρ r) Energiezuwachs eines Elektrons nach Durchlaufen einer Spannung von 1 V bis jetzt statischer Fall betrachtet, auf bewegte Ladungen wirken zusätzliche Kräfte betrachten geladenes Punktteilchen am Ort r q t) mit Geschwindigkeit v q t) Lorentz Kraft KL t) = q Et, rq t)) + k L v q t) Bt, ) r q t)) sagt zunächst nur, dass zusätzliche Kraft orthogonal auf Geschwindigkeit existiert definiert magnetisches) Feldstärke) Bt, r) Konstante k L : genau wie k C abhängig von Wahl der Einheiten für E, bzw. B Maßsysteme) Verallgemeinerung der Lorentz-Kraft für kontinuierliche Ladungsverteilung im elm. Feld P t): d P t) dt = Gesamtimpuls der Ladungsverteilung [ d 3 r ρt, r) Et, r) + k L jt, r) Bt, ] r) Bem.: unerwartete Form der Lorentz-Kraft hängt von Geschwindigkeit v und daher vom Inertialsystem ab! wenn Relativitätsprinzip auch in der Elektrodynamik gilt naheliegende Interpretation: E, B abhängig vom Bezugssystem E, B verschiedene Manifestationen des elektromagnetischen Feldes Feldgleichungen für Magnetfeld nicht ableitbar, aber zumindest eine davon ist sofort plausibel aufgrund des experimentellen Befundes nach derzeitigem Wissensstand): es gibt keine magnetischen Ladungen magnetische Monopole) div Et, r) = 4πk C ρt, r) div Bt, r) = 0 sind bereits die vollständigen zeitabhängigen Maxwell-Gleichungen für div E, div B auffallend: Feldgleichungen enthalten immer dieselben Differenzialoperationen div F, rot F 7

8 warum? betrachten fast beliebiges 1 Vektorfeld F r) Zeitabhängigkeit jetzt irrelevant) mögliche Darstellung für F r) part. Integration im letzten Schritt) F r) = d 3 r F r )δ 3) r r ) = 1 4π d 3 r F r ) 1 r r = 1 4π d 3 r F r ) r r Vektoranalysis: F = F ) + F )= rot rot F + grad div F F 1 r) = 4π d 3 r F r )) F r )) r r manipulieren i-te kart.) Komponente des 1.Teils mit part. Integration rotf r )) d 3 r i r r ) = ε ijk d 3 r 1 r r rot F r )) k = ε ijk d 3 r 1 r r rot F r )) k = ε ijk x j d 3 r 1 x j r r rot F r )) k = x j d 3 r rot F ) r ) r r i analoge Behandlung des 2. Terms ergibt insgesamt die beiden Vektorgleichungen d 3 r F r )) r r d 3 r F r )) r r = = und daher folgende Darstellung für das Vektorfeld F r) d 3 r F r ) r r d 3 r F r ) r r F r) = 1 4π rot d 3 r rot F r ) r r 1 4π grad d 3 r div F r ) r r Vektorfeld F kann durch seine Quellen div F ) und Wirbel rot F ) dargestellt werden I.3 Maxwell-Gleichungen Naturgesetze nicht ableitbar, aber Struktur kann plausibel gemacht werden deduktiver Zugang im Gegensatz zum historisch induktiven): 1 zweimal stetig differenzierbar, F const/r 2 für r 8

9 Maxwell-Gleichungen postuliert Konsequenzen untersucht legen uns zunächst nicht auf ein bestimmtes Maßsystem fest k C, k L beliebig zu beachten: Lorentz-Kraft: ρ E und k L j B sind als Kraftdichten bereits in der Mechanik definiert) in allen Maßsystemen gleich ρ und j durch Kontinuitätsgleichung ρ + j = 0 verbunden, die ebenfalls in allen Maßsystemen gilt Maxwell-Gleichungen für die Quellen E und B bereits bekannt: div Et, r) = 4πk C ρt, r) div Bt, r) = 0 ausständig: Differenzialgleichungen für die Wirbel E und B Dimensionsüberlegung Lorentz-Kraft!): [ E] = [k L v B] [ ] [ ] E k LB = l t bestätigt zumindest die Dimensionen im Induktionsgesetz: Et, r) + kl Bt, r) t = 0 fehlt nur mehr Diffgl. für Wirbel des Magnetfeldes zu erwarten: rot B zumindest teilweise) durch Stromdichte j bestimmt k L B = ka j +... Faktor k A sollte schon fixiert sein, da keine weitere Skalierungsfreiheit bei geg. k C, k L tatsächlich Dimensionen überprüfen!): k A = 4πk C c 2 c: Lichtgeschwindigkeit) Ampèresches Gesetz: B = 4πk C k L c 2 j Stand der Elektrodynamik vor Maxwell Problem: vorläufiges Gleichungssystem i.a. nicht mit Kontinuitätsgleichung verträglich Divergenz des Ampèreschen Gesetzes: B) = 0 j = 0 nur konsistent im statischen Fall ρ = 0 Maxwell: Ampèresches Gesetz muss modifiziert erweitert) werden 9

10 Ansatz in Analogie zum Induktionsgesetz: B = 4πk C k L c E 2 j + k M t 0 = 4πk C k L c 2 j + k M t E 0 = ρ 4πk ) C k L c 2 + 4πk Ck M Divergenz bilden k M = 1 k L c 2 Maxwell-Gleichungen in allgemeiner Form E = 4πk C ρ B = 0 E + k L B t = 0 B 1 k L c 2 E t = 4πk C k L c 2 j bilden zusammen mit der Lorentz-Kraft die Grundgleichungen der Elektrodynamik dp t) [ = d 3 r ρt, r) Et, dt r) + k L jt, r) Bt, ] r) Bem.: Konstante k C, k L beliebig wählbar Kontinuitätsgleichung folgt aus den Maxwell-Gleichungen wichtige Eigenschaft: Linearität der Maxwell-Gleichungen Superpositionsprinzip: wenn E i, B i Lösungen für geg. ρ i, j i i = 1, 2) sind, dann sind E 1 + E 2, B 1 + B 2 Lösungen der Maxwell-Gl. für ρ 1 + ρ 2, j 1 + j 2 Linearität ist eine Eigenschaft der klassischen Elektrodynamik, wird in der QED durch Effekte der O n ) n 1) modifiziert z.b.: Streuung von Licht an Licht nur quantenfeldtheoretisch Euler, Heisenberg 1936) zu verstehen Maxwell-Gl. im Vakuum: ρ = 0, j = 0 B) = B) B = B B 1 k L c 2 t E = 0 1 c 2 2 B t 2 B = 0 Folgerung: jede Komponente von B analog für E Übungen) erfüllt im materiefreien Raum die Wellengleichung mit Wellengeschwindigkeit c Licht bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit d Alembert-Operator: = 1 2 c 2 t 2 = 1 2 c 2 t 2 2 x i x i 10

11 Wellengleichung d Alembert-Gleichung: F t, r) = 0 I.4 Maßsysteme k C, k L beliebig verschiedene Maßsysteme gebräuchlich Experimentalphysik, Technik: Theor. Physik: Gauß-System Fachliteratur Teilchenphysik): SI=MKSA Heaviside-System Ziel: einfaches Umrechnungsverfahren von einem System ins andere Vorgangsweise: E, B, ρ, j entsprechend skalieren mit Konstanten multiplizieren), dass k C, k L verschwinden universelle Form der Maxwell-Gl. entspricht k C = k L = 1) zur Erinnerung: ρe universell, aus MG E = 4πk C ρ E E u = kc, ρ u = k C ρ Eu = 4πρ u Kontinuitätsgleichung j u = k C j Induktionsgesetz: E + k L B t E u + k L B kc t = 0 = 0 Bu = k L kc B selbstverständlich auch Bu = 0 damit alle möglichen Skalierungen vorgenommen letzte Maxwell-Gleichung muss bereits universelle Form haben kc Bu 1 E u kc k L k L c 2 t Bu 1 c 2 E u t = 4πk C k L c 2 1 kc j u = 4π c 2 j u geg. 2 beliebige Maßsysteme S1, S2: da universelle Größen systemunabhängig sind E 1 kc,1 = E 2 kc,2, ρ 1 kc,1 = ρ 2 kc,2, B 1 k L,1 kc,1 = B 2 k L,2 kc,2 j 1 kc,1 = j 2 kc,2 Kriterien für gutes Maßsystem: einfach, transparent offensichtlich nicht sehr restriktive Kriterien! SI: k C = 1 4πε 0 = c2 µ 0 4π, k L = 1 α = e2 4πε 0 c 11

12 Bem.: in α ist e als e SI zu verstehen; Feinstrukturkonstante α ist dagegen eine reine Zahl und daher unabhängig vom Maßsystem Festlegung von µ 0 über Kraft zwischen 2 Strömen des Stroms exakte Relation Konstante ε 0 über ε 0 µ 0 = 1/c 2 definiert µ 0 = 4π 10 7 N A 2 = 4π 10 7 kg m C 2 da seit 1983) c = m s 1 exakt ε 0 ebenfalls exakt Nachteile aus Sicht des Theoretikers): Magnetostatik) und Einheit Ampère) nicht transparent, da E und B verschiedene Dimensionen haben, obwohl Manifestationen desselben elektromagnetischen Feldes nicht einfach, da zusätzliche Einheit A und daher k C eigentlich überflüssig beide Nachteile werden behoben im bevorzugten System der Theoretiker Gauß-System: k C = 1, k L = 1 c α = e2 c Maxwell-Gleichungen im Gauß-System E = 4π ρ B = 0 E + 1 B c t = 0 B 1 c E t = 4π c j Lorentz-Kraft im Gauß-System für Punktladung): KL = q E + v ) c B zu beachten bei Umrechnung: Gauß verwendet g, cm statt kg, m im SI Beispiel: Ladung ρ G kc,g = ρ SI kc,si Übungen: e G = k C,SI k C,G e SI = c 10 7/2 kg 1/2 m 1/2 C C = kg 1/2 m 3/2 s 1 = g 1/2 cm 3/2 s 1 }{{} ESE E, B, I im Gauß-System Teilchenphysik verwendet zur Vermeidung der Faktoren 4π in den MG) Heaviside-System: k C = 1 4π, k L = 1 c α = e2 4π c 12

13 II Elektrostatik für zeitunabhängige E, B, ρ, j E = 4π ρ B = 0 E = 0 B 4π = c j Elektrostatik Magnetostatik E und B entkoppelt Elektro- und Magnetostatik unabhängig zu behandeln allgemein bel. Zeitabhängigkeit): Lorentz-Kraft leistet an Punktteilchen Arbeit i.a. wegabhängig) A r 1, r 2 ; C) = d r K L C = q C [ d r Et, r) + rt) ] Bt, c r) da d r r B) = dt r r B) = 0 daher allgemein Magnetfeld leistet keine Arbeit: A r 1, r 2 ; C) = q d r Et, r) C Elektrostatik: E = 0 E konservatives Feld Φ r) = r r 0 d r E r ) A r 1, r 2 ) = q [Φ r 1 ) Φ r 2 )] }{{} V r 1, r 2 ) B ist wattlos wegunabhängig: definiert Potenzial Φ r) wegunabhängig Spannung V r 1, r 2 ): Potenzialdifferenz zwischen den Punkten r 1 und r 2 qφ r): potenzielle Energie des geladenen Teilchens II.1 Einfache Ladungsverteilungen Standardproblem der Elektrostatik: geg. ρ r), gesucht E r), Φ r) in einfachen Fällen oft direkt lösbar d 3 r E = V = 4π V V d 3 rρ = 4πq V d F E 13

14 Gaußsches Gesetz Fluss des elektrischen Feldes durch Oberfläche V df E = 4πq V V = 4π Ladung im Volumen V Bem.: Anwendung: Ansatz: Φr) E zeigt von positiver Ladung weg Kugel mit Radius r rotationssymmetrische Ladungsdichte ρr) E = Φr) = dφ r dr = dφ r }{{ dr} r Er) V d F E = r 2 dω r r dφ ) r dr r = 4πr 2 dφ dr = 4πq V Er) = dφ dr = q V r 2 Folgerungen: E r) = q V r 2 r r, E r) hängt nur von Ladung in Kugel ab Φr) = q V r + konst. kugelsymm. Ladungsdichte mit q V Kugel = 0 erzeugt kein elektrisches Feld außerhalb der kein Feld im Inneren einer Hohlkugel mit kugelsymm. ρr) im Außenraum) charakteristisch für Potenziale 1/r allg. Fall bei geg. ρ r): mit E = Φ Φ r) = 4πρ r) Poisson Gleichung Lösung der Poisson-Gleichung mit geeigneten Randbedingungen E = Φ allg. Lösung mit Greenfunktion Vor.: Ladung d 3 r ρ r) endlich) Φ r) = d 3 r ρ r ) r r + Φ hom r) Φ hom r): Lösung der Laplace-Gleichung Φ = 0 14

15 häufiger Fall: Ladung endlich und Randbedingung) lim Φ r) = 0 r vollständige Lösung Eindeutigkeit Randwertprobleme) Φ r) = Äquipotenzialflächen: Feldlinien: d 3 r ρ r ) r r, E r) = Φ r) = Φ r) = konstant Flächennormale zeigt in Richtung von Φ = E Kurven rτ), deren Tangenten in jedem Punkt parallel zu E d r dτ E rτ)) = 0 einfachstes Beispiel: Kugel mit rotationssymm. ρr) Φr) = konstant r =konstant: Kugeloberflächen d 3 r ρ r ) r r ) r r 3 E = 0 d r E = 0 keine geschlossenen Feldlinien in der Elektrostatik: immer von positiver zu negativer Ladung zur Veranschaulichung: Dichte der Feldlinien Feldstärke homogen geladene Platte ρ r) = σδz) d 3 rρ r) = σdxdy da σ: konstante) Flächenladungsdichte d 3 rρ r) = Φ nicht mit Greenfunktion zu berechnen, statt dessen direkte Integration der Poisson-Gleichung Ansatz durch Symmetrie des Problems naheliegend): Φ = Φz) E x = E y = 0 Φ = 4πρ d 2 Φ dz 2 = 4πσδz) dφ dz = E z = 4πσΘz) + k 1 wegen z δz) = 0) Φz) = 4πσz Θz) + k 1 z + k 2 15

16 Symmetrieargument als Randbedingung): E z z > 0) = E z z < 0) für gleiches z k 1 = 2πσ [Θz) + Θ z)] = 2πσ k 2 = 0 o.b.d.a) Φz) = 2πσ z [Θz) Θ z)] E z z) = 2πσ [Θz) Θ z)] = 2πσ z z 2 entgegengesetzt gleich geladene Platten unendlicher Kondensator Modell für Plattenkondensator Linearität der Maxwell-Gl. Superpositionsprinzip oberhalb und unterhalb des Kondensators: E = 0 im Inneren: E z = 4πσ = 4π q F Spannung=Potenzialdifferenz: V = 4πq F d =: q mit Kapazität C = F C 4π d Einheit der Kapazität: cm Gauß), SI: Farad)= Coulomb)/Volt) leicht nachzuprüfen Maßsysteme): C G cm C SI /F elektrostatische Energie potenzielle Energie eines geladenen Teilchens im äußeren Potenzial Φ r q ): qφ r q ) wichtig: vom Punktteilchen erzeugtes Potenzial Feld) ist darin nicht enthalten betrachten N unendlich weit voneinander entfernte Punktladungen berechnen Arbeit, um sie an Orte r 1,..., r N zu bringen diese Energie steckt dann im elektrostat)ischen Feld q 1 r 1 : keine elektrostatische Arbeit notwendig A 1 = 0 Potenzial Φ r) = Φ 1 r) = q 1 r r 1 q 2 r 2 : Arbeit A 2 = q 2 Φ r 2 ) = q 1q 2 r 2 r 1 Potenzial Φ = Φ 1 + Φ 2 mit Φ i r) = notwendig q i r r i q N r N : Arbeit A N = q N Φ 1 r N ) + Φ 2 r N ) + + Φ N 1 r N )) N q i Potenzial Φ r) = r r i i=1 16

17 insgesamt geleistete Arbeit A = A 1 + A A N = A = i,j=1 i<j q i q j r j r i = 1 2 i,j=1 i j N j=2 j 1 q j q i q j r j r i i=1 Φ i r j ) = ersetzen Punktteilchen durch allgemeine Ladungsdichte A = 1 d 3 r d 3 r ρ r) ρ r ) 2 r r genau genommen: r r, da Selbstenergie nicht berücksichtigt N j 1 j=2 i=1 q i q j r j r i beachte Faktor 1/2) für stetige Ladungsdichten ρ r) allerdings ohnehin kein Beitrag Energiebilanz: hineingesteckte Arbeit als elektrostatische Energie vorhanden A = 1 d 3 r ρ r) d 3 r ρ r ) 2 r r = 1 d 3 r Φ r) Φ r) 8π = 1 d 3 r Φ r) 8π Φ r) = 1 d 3 r E r) 8π E r) dabei endliche Ladungsverteilung vorausgesetzt kein Oberflächenterm bei part. Int. Energiedichte des elektrostatischen Feldes η r) = 1 8π E r) 2 wird auch für allgemeine zeitabhängige elektrische Felder gelten II.2 Randwertprobleme typischer Fall: Volumen mit Ladungsverteilung, begrenzt durch elektrische) Leiter Leiter: frei bewegliche Elektronen Metall), reagieren auf angelegtes Feld, erzeugen Gegenfeld, bis insgesamt Gleichgewichtsbedingung der Elektrostatik) auch ρ innen = 0 wegen Φ = 4πρ E innen = 0 Φ innen = konst. Ionen und Elektronen kompensieren einander Ladungen können sich höchstens an Leiteroberfläche ansammeln: Flächenladungsdichte σ r) Ladung eines Flächenstücks q F = Problem: σ r) i.a. nicht von vornherein bekannt F df σ r) df = d F ) 17

18 Randbedingung an Leiter-)Oberfläche E = 0 C d r E = 0 E = E tang t + E normal n, t n = 0, t 2 = n 2 = 1 tatsächlich 2 orthogonale Tangentialvektoren) d 0 : C d r E = l Etang außen Etang innen ) = 0 E tang stetig an beliebiger Grenzfläche Leiter: Einnen = 0 E außen tang = 0 an Grenzfläche E immer normal auf Leiteroberfläche Gaußsches Gesetz für Quader d l b: df E = df n E außen E innen ) = 4πq = 4π V F =l b Quader Punkt F 0, d 0): n E außen r) E ) innen r) = 4πσ r) F df σ r) Folgerung: Unstetigkeit in E normal wird durch Flächenladungsdichte σ bestimmt Leiter: E innen = 0 n E außen = 4πσ = n Φ Poisson-Gleichung Lösung des Problems mit Randbedingungen Φ = 4πρ inhomogene lineare partielle Diffgl. 2. Ordnung elliptischer Typ) allg. Lösung: Φ r) = Φ s r) + Φ h r) Φ s = 4πρ, Φ h = 0 bei geg. spezieller Lösung Φ s ist Φ h dann so zu wählen, dass Gesamtlösung Φ = Φ s + Φ h die Randbedingungen erfüllt aus der Theorie der elliptischen Diffgl.: Laplace-Gleichung Φ = 0 im Volumen V zu lösen mit i. Dirichlet-Randbedingung: Φ r) = Φ 0 r) vorgeg. auf V oder ii. Neumann-Randbedingung: n Φ r) vorgeg. auf V Theorem: eindeutige Lösung der Laplace-Gleichung und daher auch der ursprünglichen Poisson-Gleichung) für entweder Dirichlet oder Neumann, aber i.a. nicht für beide zugleich 18

19 physikalische Wahl: Dirichlet, da Flächenladungsdichte σ i.a. nicht bekannt kann aber aus der Lösung des Dirichlet-Problems im nachhinein berechnet werden) Existenz: Eindeutigkeit: diskutieren einige analytische Methoden, im Prinzip immer numerisch lösbar ang., es Φ 1 r), Φ 2 r) als Lösungen von Φ = 4πρ mit Φ i r) V = Φ 0 r) betrachten Differenz Ψ r) = Φ 1 r) Φ 2 r) Ψ = 0, Ψ V = 0 1. Greenscher Satz Gaußscher Satz für G = Ψ Ψ) ) d 3 r Ψ Ψ + Ψ }{{} Ψ = V =0 V df }{{} Ψ Ψ = 0 =0 da Ψ Ψ 0 Ψ = 0 Ψ r) = konst. in ganz V zusammen mit Randbedingung Ψ V = 0 Ψ r) 0 in ganz V qed Anwendung: Faraday-Käfig ladungsfreier Raum, ganz von Leiter umschlossen Innenraum: Φ = 0, am Rand Φ V = konst. Φ r) = konst. eindeutige Lösung im Inneren E = 0 im Inneren, d.h. Innenraum feldfrei Spitzenentladungen 2 leitende Kugeln durch leitenden) Draht verbunden Φ = konst. auf beiden Kugeln andererseits auf Kugeloberflächen Vor.: Φ i = q i R i, weit genug voneinander entfernt): Ei = q i Ri 2 n i i = 1, 2) Φ 1 = Φ 2 q 1 R 1 = q 2 R 2 E 2 E 1 = q 2R 2 1 q 1 R 2 2 sehr hohe Feldstärken an Spitzen R 2 R 1 ) Anwendung: Feldemissionsmikroskop E bis 10 9 V/m erreicht) Feynman Lectures = R 1 R 2 19

20 Methode der Bildladungen Idee: scheinbare so genannte Bildladung im Leiter angesetzt, um Randbedingung Φ = konst. an Leiteroberfläche zu erreichen, nur für einfache Leitergeometrien verwendbar einfachstes Beispiel: leitender Halbraum mit Punktladung im Außenraum Φ = 4πq δ 3) r r 0 ), r 0 = d e z nur im Außenraum relevant Leiter E innen = 0 Ansatz: Randbedingung: daher: Φ r) = q r r 0 + Φ h r) Φ Rand = Φz = 0) = Φ 0 = konst. Lösung Φ h der Laplace-Gleichung gesucht mit Φ h z = 0) = Φ 0 q x 2 + y 2 + d 2 Lösung für Φ h r) erfüllt alle Bedingungen): Φ h r) = Φ 0 q r + r 0 da im Außenraum z 0) Φ h r) = 4πqδ 3) r + r 0 ) = 0 Gesamtlösung nur für z 0 gemeint) ) 1 Φ r) = q r r Φ 0 r + r 0 r r0 E r) = q r r 0 3 r + r ) 0 r + r 0 3 scheinbare negative Bildladung bei r = r 0 wo obige Formeln gar nicht gelten) die auf der Oberfläche induzierte Flächenladungsdichte übt eine Kraft auf die Punktladung bei r = r 0 aus, die so genannte Bildkraft KBild r 0 ) = q E Influenz r 0 ), wobei das Influenzfeld durch die Bildladung erzeugt wird: E Influenz r) = q r + r 0 r + r 0 3 K Bild r 0 ) = q2 4r0 3 r 0 entspricht genau der anziehenden) Coulombkraft, die die Bildladung auf die echte Ladung ausüben würde Abstand 2r 0 zwischen den Ladungen) 20

21 Übungen: Flächenladungsdichte σz = 0) = 1 4π e z Ez 2qd = 0) = 4πx 2 + y 2 + d 2 ) 3/2 df σx, y) = q, Feldlinien zeichnen Methode der Bildladungen funktioniert auch noch für den Fall von 2 Leiterebenen, die einen Winkel α = π n N) einschließen, mit einer Ladung zwischen den Leiterebenen Halbraum: n = 1) n auch für leitende Kugel mit einer Punktladung im Außenraum anwendbar 2-dimensionale Probleme eine Dimension manchmal irrelevant, z.b. für langen) leitenden Zylinder Analogie zwischen Elektrostatik und Potenzialströmung der idealen Flüssigkeit wirbelfrei, inkompressibel, stationär) ideale Flüssigkeit Elektrostatik Geschwindigkeitsfeld v r) elektrostatisches Feld E r) v r) = 0 wirbelfrei E r) = 0 v = Φ v r) = 0 inkompressibel) Potenzial Φ r) Φ = 0 E = Φ E r) = 0 ohne Ladungen) Stromlinien analog Äquipotenziallinien v parallel zur Oberfläche) Γ = d r v 0 i.a.) Zirkulation um Oberfläche aber E Oberfläche) d r E = 0 immer) Hydrodynamik: 2-dimensionale Lösungen durch holomorphe analytische) Funktionen fz) = fx + i y) = ux, y) + i wx, y) Cauchy-Riemann Diffgl. ux, y) = wx, y) = 0 Funktionentheorie: fz) erzeugt konforme winkeltreue) Abbildung x, y) u, w) ux, y) = konst. wx, y) = konst. Zylinder mit Basisradius R ideale Flüssigkeit ) fz) = v z + R2 i Γ z 2π ln z Elektrostatik ) fz) = E z + R2 z Diskussion der elektrostatischen Lösung ) fz) = E x + i y + R2 x 2 x i y) + y2 21

22 ) ux, y) = E x 1 + R2 x 2 + y 2 ) wx, y) = E y 1 R2 x 2 + y 2 mit r 2 = x 2 + y 2 [ Ex, y) = wx, 2xyR 2 y) = E r 4 e x + ux, y) = konst.: Feldlinien = Φx, y) wx, y) = konst.: Äquipotenziallinien ) ] 1 R2 r 4 x2 y 2 ) e y r : E E e y Feld asymptotisch in y-richtung Äquipotenziallinien: E y ) 1 R2 r 2 = konst. x-achse y = 0) und Zylindermantel r = R) sind Äquipotenziallinien mit Φ = 0 r : Interpretation: y = konst. sind asymptotische Äquipotenziallinien Lösung beschreibt leitenden Zylinder in einem asymptotisch homogenen elektrischen Feld in der y-richtung) Übungen: Flächenladungsdichte auf Zylinder σx, y) = E y 2πR mit Gesamtladung q = 0 allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung Laplace-Operator in Kugelkoordinaten r, Θ, ϕ [ 2 Φr, Θ, ϕ) = r r r + 1 r 2 sin Θ Θ = 1 2 r r 2 rφ) + 1 [ 1 r 2 sin Θ Θ sin Θ Θ sin Θ Φ Θ ) + ) + 1 sin 2 Θ 2 1 r 2 sin 2 Θ ϕ 2 2 ] Φ ϕ 2 ] Φ 22

23 Separationsansatz Einschränkung?) Φr, Θ, ϕ) = 1 Cr) Y Θ, ϕ) r Kugelfunktionen Y lm Θ, ϕ): vollständiges Orthonormalsystem auf Kugeloberfläche erfüllen Diffgl. explizite Form 1 sin Θ Θ l = 0, 1, 2,..., m = l, l + 1,..., l sin Θ Y ) lm Y lm Θ sin 2 Θ ϕ 2 + ll + 1)Y lm = 0 2l + 1 Y lm Θ, ϕ) = 4π l m )! l + m )! mit assoziierten zugeordneten) Legendre-Funktionen P m und Legendre-Polynomen ) 1/2 Pl m cos Θ)e imϕ l x) = 1)m 2 l 1 x 2 m /2 dl+ m ) l! dx l+ m x2 1) l = 1) m 1 x 2 ) m /2 d m P l x) dx m P l x) = 1 2 l l! dx l x2 1) l Legendre-Polynome bilden ein vollständiges Orthogonalsystem auf dem Intervall [ 1, 1]: 1 1 d l dxp k x)p l x) = 2 2l + 1 δ kl Orthonormalität der Kugelfunktionen: dω Ylm Θ, ϕ)y l m Θ, ϕ) = δ ll δ mm, dω = sin ΘdΘdϕ Vollständigkeit: jede auf der Kugeloberfläche quadratintegrable Funktion fθ, ϕ) d.h. dω fθ, ϕ) 2 < ) kann eindeutig nach Kugelfunktionen entwickelt werden: fθ, ϕ) = mit a lm = l l=0 m= l a lm Y lm Θ, ϕ) dωfθ, ϕ)ylm Θ, ϕ) Vollständigkeit kann auch ausgedrückt werden als l l=0 m= l Y lm Θ, ϕ )Y lm Θ, ϕ) = δcos Θ cos Θ )δϕ ϕ ) 23

24 daher kann jede auf der Kugel quadratintegrable) Funktion Φr, Θ, ϕ) nach Kugelfunktionen entwickelt werden ursprünglicher Separationsansatz daher keine Einschränkung) Φr, Θ, ϕ) = l,m C lm r) Y lm Θ, ϕ) r aus Laplace-Gleichung Φ = 0 folgt dann die gewöhnliche) Diffgl. für die C lm r): d 2 C lm ll + 1) dr 2 r 2 C lm = 0 mit der allg. Lösung mit Konstanten a lm, b lm ) und daher insgesamt C lm r) = a lm r l+1 + b lm r l allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung Φ = 0 l Φr, Θ, ϕ) = a lm r l + b ) lm r l+1 Y lm Θ, ϕ) l=0 m= l Randbedingungen Koeffizienten a lm, b lm Anwendungsbeispiel: geladener Ring symmetrisch um z-achse) Zylinderkoordinate ρ = x 2 + y 2, daher Ladungsdichte hier als ρ q r) bezeichnet ρ q r) = q δρ a)δz b) 2πa d 3 r ρ q r) = q dz dϕ ρdρδρ a)δz b) = q 2πa keine ϕ-abhängigkeit m = 0 Φr, Θ) = l=0 a l r l + b ) l r l+1 P l cos Θ) zur Bestimmung der Koeffizienten: r auf z-achse Θ = 0, P l 1) = 1 Φr, 0) = l=0 a l r l + b ) l r l+1 = da r jetzt auf z-achse r 2 0 = a2 + b 2, tan α = a/b) d 3 r ρ q r ) r r r r = r r 0 = r 2 + r 2 0 2r r 0 cos α ) 1/2 24

25 Nenner des Integrals unabhängig von ρ, ϕ, z trivial zu integrieren in Zylinderkoordinaten Φr, 0) Φr, 0) = erzeugende Funktion der Legendre-Polynome q r 2 + r0 2 2r r 0 cos α ) 1/2 = q rmin l rmax l+1 P l cos α) l=0 mit r min = minr, r 0 ), r max = maxr, r 0 ) Koeffizientenvergleich a l, b l vollständige Lösung : Φr, Θ) = q l=0 rmin l rmax l+1 P l cos α)p l cos Θ) Entwicklung wird unbrauchbar für r r 0, aber für r r 0 mit P 1 x) = x) Φr, Θ) = q [ 1 + r ] 0 r r cos α cos Θ + Or2 0 r 2 ) Beispiel für II.3 Multipolentwicklung geg.: Ladungsverteilung ρ r) in endlichem Volumen gesucht: Φ r), E r) in großer Entfernung von der Ladungsverteilung Randbedg.: Φ r) Φ r) = d 3 r ρ r ) r r r r = r n r r, r 0 n = r r Entwicklung des Nenners nach Potenzen von r /r r r = r 1 + x i x i r 2 2n ix ) 1/2 i r für r > r ) mit Hilfe von kart. Koord.) 1 r r = 1 r = 1 r 1 + n ix i r 4n i n j x i x j r 2 ) x i x i 2r 2 + O[x 3 /r 3 ] n ix i + 1 3ni r 2r 2 n j x ix j x ix ) i + O[x 3 /r 3 ] ) Multipolentwicklung : Φ r) = q r + n d r 2 }{{} Dipol + n in j Q ij } 2r {{ 3 + O1/r 4 ) } Quadrupol 25

26 kartesische Multipolmomente Ladung q = d 3 r ρ r) Dipolmoment d = d 3 r r ρ r) Quadrupolmomenttensor Q ij = d 3 r ρ r)3x i x j r 2 δ ij ), Q ii = 0, Q ji = Q ij Anzahl der unabhängigen Kenngrößen: q 1 l = 0 d 3 l = 1 Q ij 5 l = 2 allgemein 2l + 1 l direkt zu sehen in der sphärischen Darstellung mit Additionstheorem für Kugelfunktionen P l cos α) = 4π 2l + 1 r > r l m= l Y lm Θ, ϕ )Y lm Θ, ϕ) 1 r r = l,m 4π 2l + 1 r l+1 Y lm Θ, ϕ )Y lm Θ, ϕ) r l Φ r) = sphärische Multipolmomente: q lm = l l=0 m= l q lm 4π 2l + 1 r l+1 Y lmθ, ϕ) d 3 r ρ r)r l Ylm Θ, ϕ) offensichtlich 2l + 1 Kenngrößen Dimension: [q lm ] = e cm l Anwendung: in großer Entfernung von der Ladungsverteilung meist wenige Terme in der Multipolentwicklung bereits gute Näherung kugelsymmetrische Ladungsverteilung ρr) q lm = d 3 rρr)r l Ylm Θ, ϕ) = 0 dr r 2+l ρr) = δ l0 δ m0 4π dr r 2 q ρr) = δ l0 δ m0 4π 0 q Φ r) = 4π Y 00 = q 4π r r dω Y lm Θ, ϕ) Y 00 4π }{{} 1 26

27 Multipolmomente für l > 0: Maß für Abweichung von der Rotationssymmetrie q 00 = q 3 3, q 10 = 4π 4π d z, q 11 = 8π d x i d y ),... q l, m = qlm Abhängigkeit vom Bezugssystem Multipolmomente i.a. abhängig vom Bezugssystem Dipolmoment r = r + a d = d 3 r r ρ r ) = = = d + q a d 3 r rρ r) + a d 3 r r + a)ρ r + a) d 3 rρ r) nur für insgesamt neutrales Objekt ist Dipolmoment unabhängig von Wahl des Ursprungs allgemein ohne Beweis): das niedrigste nicht verschwindende Multipolmoment ist unabhängig von Wahl des Bezugssystems Ladung q 0 i.a. nur Ladung unabhängig vom Bezugssystem Beispiele für elektrische Dipolmomente von Molekülen d in e cm H 2 O Wasser N H 3 Ammoniak elektrischer Dipol für q = 0) d = d 3 r r ρ r) zeigt in Richtung des positiven Ladungsüberschusses Φ D r) = n d r 2 = r d r 3 welche Ladungsverteilung ergibt ein reines Dipolfeld? ρ r) = d [ ] δ 3) r a e 3 ) δ 3) r + a e 3 ) 2a q = q 0 q 0 = 0, d = d e3 d = 2aq 0 27

28 betrachten Limes a 0: d [ ] ρ r) = lim δ 3) r a e 3 ) δ 3) r + a e 3 ) = d a 0 2a z δ3) r) = d δ 3) r) Φ r) = d 3 r ρ r ) r r = d 3 r d δ 3) r ) r r = d 3 r δ 3) r ) d 1 r r = d d 3 r δ3) r ) r r = d 1 r = r d r 3 Punktmultipole: Ladungsdichte enthält Ableitungen der δ-funktion elektrisches Dipolfeld: natürlich genauso Idealisierung wie Punktladung selbst E D r) = Φ D r) = r d d r 3 = r r r d r5 = 1 r 5 3 r d) r ) r 2 d r 0) Quadrupolmoment symmetrischer Tensor: Q ji = Q ij durch Hauptachsentransformation auf Diagonalform stets angenommen, insbesondere für q 0) wegen Q ii = tr Q = 0 durch 2 Diagonalelemente charakterisiert Spezialfall: Ladungsdichte zylindersymmetrisch ρ = ρz, x 2 + y 2 ) am besten in sphärischer Basis: q lm = d 3 r ρ r)r l Ylm Θ, ϕ) = nur eine unabhängige Kenngröße = das Quadrupolmoment dr dθ dϕ r 2+l sin Θ ρr cos Θ, r 2 sin 2 Θ) Ylm Θ, ϕ) da keine ϕ-abhängigkeit des Integranden 2l + 1 q lm = δ m0 2π dr dθ sin Θ r 2+l ρr cos Θ, r 2 sin 2 Θ) 4π P lcos Θ) q l0 ist das l-te Multipolmoment 5 5 l = 2 : q 20 = d 3 r ρ r)r 2 P 2 cos Θ) = d 3 r ρ r)r 2 3 cos 2 Θ 1) 4π 16π 5 5 = d 3 r ρ r)3z 2 r 2 ) = 16π 16π Q 33 28

29 für positiven Ladungsüberschuss q 20 > 0 q 20 < 0 Energie einer Ladungsverteilung im äußeren Feld elektrostatische potenzielle Energie Punktladung U r q ) = qφ ext r q ) allgemein U = d 3 r ρ r)φ ext r) Vor.: ρ r) sei um r 0 konzentriert r = r 0 + ξ Entwicklung in ξ: Φ ext r) = Φ ext r 0 + ξ) Φ ext = Φ ext r 0 ) + ξ i x i = Φ ext r 0 ) + ξ i Φ ext x i ξ= ξ= ξ iξ j 2 Φ ext x i x j ξ= ξ i ξ j ξ 2 δ ij ) 2 Φ ext x i x j ξ= dabei benützt: 2 Φ ext δ ij = Φ ext = 0 x i x j im betrachteten Volumen U = d 3 r ρ r) Φ ext r) = d 3 ξ ρ r 0 + ξ)φ ext r 0 + ξ) = qφ ext r 0 ) + d 3 ξ ρ ξ)ξ Φ ext i ξ=0 + x i d 3 ξ ρ ξ) 1 6 3ξ iξ j ξ 2 δ ij ) 2 Φ ext x i x j ξ= mit Φ ext x i ξ=0 = E ext,i r 0 ) U = qφ ext r 0 ) d E ext r 0 ) 1 6 Q E ext,j ij r 0 ) +... x i Bem.: d, Qij,... sind Multipolmomente mit Ursprung des Koordinatensystems bei r 0 Kraft des äußeren Feldes auf Ladungsverteilung: K r) = U r) = qe ext r) + d ) E ext r) +... wegen die letzten 3 Terme verschwinden alle) d E) = d ) E + E ) d + d rot E + E rot d 29

30 Dipolpotenzial U D = d E ext hängt auch vom Winkel zwischen d und E ext ab U D = d E ext cos Θ verallgem. Kraft U Θ Drehmoment N = d E ext sin Θ N E ext, d explizite Rechnung: N = d Eext Drehmoment versucht, Dipol in energetisch günstigste Lage zu drehen, wo d E ext Grund: Eext zeigt von + nach d in Richtung positiver Ladungsüberschuss Dipol stellt sich parallel zum äußeren Feld ein 30

31 III Magnetostatik keine Statik im engeren Sinn: Magnetfeld hängt mit Bewegung geladener Teilchen zusammen Vor.: stationäre Stromdichte j r) zusammen mit zeitunabhängigem Magnetfeld B r) Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik B = 0 B = 4π c j Lorentz-Kraft: KL = [ d 3 r ρ r) E r) + 1 ] c j r) B r) integrale Form der Maxwell-G.: Zirkulation Z B = C d r B Z B = df rot B = 4π df c j F Z B = 4π c I F Satz von Ampère F magnetischer Fluss Φ B = df B = V V d 3 r B = 0 keine magnetischen Ladungen gleich viele B-Feldlinien in und aus V magnetische Feldlinien stets geschlossen III.1 Vektorpotenzial und Magnetfeld B = 0 A r) mit B r) =rot A r) Vektorpotenzial A r) analog zum skalaren Potenzial Φ r)) nicht eindeutig bestimmt bei geg. Magnetfeld Eichtransformation mit beliebigem Skalarfeld Λ r) A r) = A r) + Λ r) A = A Eichinvarianz: in klass. Elektrodynamik vor allem zur Vereinfachung der Gleichungen durch günstige Wahl von Λ r) QED: quantisiertes elektromagnetisches Feld Potenziale Φ, A 31

32 B = 4π c j A) = A) A = 4π c j sinnvolle Wahl der Eichung: Coulomb-Eichung: A = 0 A = 4π c j Bem.: j = 0 verträglich mit Coulomb-Eichung Lösung der 3 Poisson-Gleichungen analog zur Elektrostatik wenn Integral ) A r) = 1 c d 3 r j r ) r r spezielle Lösung für B r) B r) = 1 c analog E r) = d 3 r j r ) r r ) r r 3 d 3 r ρ r ) r r ) r r 3 Randwertproblem der Magnetostatik mit obiger spezieller Lösung B s erfüllt auch B = B s + Ψ die Maxwell-G. B = 4π c j außerdem B = B s + Ψ = Ψ = 0 mathematisch völlig äquivalent zur Elektrostatik: Laplace-Gleichung Ψ = 0 mit geeigneten Randbedingungen physikalisch komplexer: z.b. kann B i.a. in einen Leiter eindringen Spezialfall Supraleiter: B tangential an Oberfläche Neumannsche Randbedingung an Ψ häufiger Fall: vernachlässigbarer Querschnitt F 1, F 2 stromführender Draht Vor.: Stromstärke überall im Draht gleich groß I = df j = df j F 1 F 2 Draht durch Kurve r τ) beschrieben für beliebige Funktion f r ) d 3 r j r )f r ) = df j d r τ)f r τ)) = I d r τ)f r τ)) = I 32 dτ d r dτ f r τ))

33 speziell für Vektorpotenzial d A r) = I c d r τ) r r τ) oder direkt für das von einem Draht erzeugte Magnetfeld B r) = I d r τ) r r τ) c r r τ) 3 Biot Savart Anwendung: unendlich) langer gerader von Strom I durchflossener Draht mögliche Parametrisierung Zylinderkoord.): r τ) = e z ρ tan τ d r d tan τ = ρ e z dτ = dτ e z r r ) B nur in ϕ-richtung: ρ cos 2 τ e z dτ B = B eϕ Berechnung des Integrals Übungen Symmetrieüberlegung mit Satz von Ampère: keine z, ϕ-abhängigkeit von B B r) = Bρ) e ϕ Zirkulation um Kreis mit Radius ρ Z B = = Kreis Feldlinien: konzentrische Kreise d r B = 2π 0 ρdϕ e ϕ B = 2π ρ Bρ) d F B) = 4π c I B = 2I cρ e ϕ Rechte-Hand-Regel: Daumen in Stromrichtung B in Fingerrichtung Kraft zwischen zwei parallelen unendlich langen) Drähten Kraft auf Drahtstück dl 1 : kein Beitrag von Draht 1 Biot-Savart) nur Magnetfeld von Draht 2 relevant d K 1 = d 3 r 1 1 c j 1 B = I 1 c d l 1 B d K 1 = 2I 1I 2 c 2 d d l 1 e ϕ 33 Strom von unten nach oben

34 I 1 I 2 > 0 < 0): Anziehung Abstoßung) Betrag d K 1 = 2 I 1I 2 dl 1 c 2 d µ0 SI-System: I G kc,g = I SI kc,si I G = c 4π I SI daher im SI-System: d K 1 = 2 I 1I 2 µ 0 dl 1 d 4π Definition des Ampère: 2 parallele Ströme mit I 1 = I 2 = 1 A in d = 1 m Entfernung üben eine Kraft/Länge von N/m aufeinander aus legt µ 0 fest: µ 0 4π = N kg m 10 7 = 10 7 A2 C 2 Magnetfeld einer unendlich langen) dicht gewickelten Spule bel. Querschnitt, dichte Wicklung: N/l Windungen pro Länge Beh.: Lösung der Maxwell-G. B x = B y = 0 4πIN innen B z = cl 0 außen offenbar innen und außen: B = 0, B = 0 Randbedingung an Oberfläche vgl. Elektrostatik mit E = 4π ρ): B = 0 Normalkomponente von B stetig an Oberfläche trivial erfüllt) B = 4π c j Satz von Ampère muss noch an der Oberfläche verifiziert werden Strom in die Papier-, Tafel-)Ebene hinein geschlossener Weg im Uhrzeigersinn d F j) Z B = d r B = 4π c NI = l B innen z Bz außen ) 4πIN = l cl Zusammenfassung: Magnetfeld einer dicht gewickelten Spule verschwindet im Außenraum außer bei Spulenenden), B im Inneren zeigt in Richtung der Spulenachse rechte-hand-regel!) mit konstantem B = 4πIN cl III.2 Multipolentwicklung lokalisierte Stromverteilung r > r, n = r r 34

35 wie in der Elektrostatik: 1 r r = 1 r n r {1 + r + n } in j 3x 2r 2 i x j r 2 ) δ ij + O[x 3 /r 3 ] Multipolentwicklung des Vektorpotenzials A r) = 1 c j r d 3 r ) r r = 1 cr d 3 r j r ) + 1 cr 2 ) Nebenrechnung: x j j r) = x j j i ) = δ ij j i + x j j = j x i }{{} j 0 für bel. differenzierbare) Funktion f r): d 3 r ) x j j r) f r) = d 3 r j j r) f r) = d 3 r n r ) j r ) +... d 3 r x j j r) f r) im letzten Schritt part. Integration: kein Oberflächenterm wegen lokalisiertem j i. f r) = 1 d 3 r j r) = 0 keine magnetischen Monopole Grund: gleich viele positive und negative Beiträge in jeder Richtung) für lokalisiertes j ii. f r) = x i d 3 r x i j j r) = d 3 r x j j k r) k x i = d 3 r x j j i r) beschränken uns ab jetzt auf Dipolanteil A D r) = 1 cr 2 d 3 r j r ) n r ) = 1 r 2 µ n = 1 µ r r3 mit a b) c = b a c) a b c) und d 3 r j i n j x j = n j d 3 r j i x j j j x 2 i) = 1 2 [ ] d 3 r r j) n i Def.: magnetisches Dipolmoment der Stromdichte j unabhängig vom Bezugssystem!) µ = 1 2c d 3 r r j r) Vergleich magnetischer Dipol elektrischer A D r) = µ r r 3 Φ D r) = d r r 3 B D r) = A D = 1 r 5 [ 3 µ r) r r 2 µ ] r > 0) ED : µ d j D = c µ δ 3) r) Punktdipol ρ D = d δ 3) r) 35

36 Folgerung: in großer Entfernung von lokalisierter Stromverteilung ist B in 1. Näherung ein Dipolfeld Beispiele: Kompass, Drahtschleife, Erde,... µ = 1 d 3 r r j r) 2c = I d r r 2c Drahtschleife Rechtsschraube: µ e z für j entgegen Uhrzeigersinn mit Flächensatz df = 1 r d r 2 µ = I 2c e z d r r = I c F e z ähnlich wie im elektrischen Fall Energie einer Stromverteilung im äußeren Magnetfeld Lorentz-Kraft auf Stromverteilung durch B ext K r 0 ) = 1 d 3 ξ j ξ) c B ext r 0 + ξ) = 1 d 3 ξ j ξ) c B ext r 0 ) + 1 c }{{} 0 betrachten wieder nur Dipolanteil: nach einigen Umformungen K D r) = µ B ) ext r) d 3 ξ j ξ) ξ 0 ) B ext r 0 ) +... und daher potenzielle Energie gemeinsam mit elektrischem Anteil) einer Strom- und Ladungsverteilung in der Dipolnäherung ebenfalls analog zur Elektrostatik U D r) = µ B ext r) d E ext r) Drehmoment N = µ Bext dreht µ in Richtung von B ext Kompass 36

37 Punktladungen mit Massen m a, Ladungen q a, Trajektorien r a t) a = 1,..., N) in diesem Abschnitt beliebige Zeitabhängigkeit Stromdichte jt, r) = a q a ra t)δ 3) r r a t)) Impulsdichte pt, r) = a m a ra t)δ 3) r r a t)) Gesamtimpuls P = d 3 r p = a m a ra magnetisches Dipol-)Moment µ = 1 d 3 r r j 2c Drehimpuls L = d 3 r r p Spezialfall: alle Teilchen gleiches Verhältnis q a /m a =: q/m µ = j = q m a ra t)δ 3) r r a t)) = q m m p a q 2mc L Γ = q : gyromagnetisches Verhältnis 2mc QM, QFT: selbst für einzelnes Teilchen Relation modifiziert für freies Teilchen mit Spin-Vektor-Operator) S Elektron: Spin 1/2 in Einheiten von ) µ = g q 2mc S Landé Faktor g) µ e = g e 2 µ B µ B = e 2m e c Bohrsches Magneton) Dirac-Gleichung: g e = 2 wie für alle Fermionen, also Teilchen mit halbzahligem Spin) QFT QED): weitere Korrekturen g e Schwinger 1948): 2 = 1 + α 2π + Oα2 ) Korrekturen bis zur Ordnung α 4 bekannt eine der am genauesten gemessenen und berechneten Größen der Physik wird heute zur Bestimmung der Feinstrukturkonstante α herangezogen Bewegung im konstanten Magnetfeld Lagrangefunktion eines geladenen Punktteilchens im äußeren elektromagnetischen Feld L = m 2 rt) 2 qφt, rt)) + q c At, rt)) rt) 37

38 gilt allgemein, hier für Potenziale Φ r), A r) ohne explizite Zeitabhängigkeit betrachtet Euler-Lagrange: d mx i + q ) dt c A i d L = L dt x i x i = q Φ x i + q c m.. x i = q Φ x i + q c m.. r = q Φ + q c v B = q A j x j x i Aj x j A ) i x j = q Φ + q ) r A) x i x j x i c E + 1 ) c v B Lorentz Kraft i betrachten jetzt mehrere geladene Teilchen im konstanten Magnetfeld Beh.: geeignetes Vektorpotenzial für konstantes Magnetfeld A r) = 1 2 B r Bew.: ε ijk j A k = 1 2 ε ijkε klm B l j x m = 1 2 ε kijε klj B l = B l 2 δ ilδ jj δ ij δ lj ) = B i relevanter Term in L L B = 1 q aa ra t)) c r a t) = a a q a 2c B r a ) r a = B q a 2c r a r a = µ B nicht überraschend: L B = µ B = U D mit magnetischem Dipolmoment für N Punktteilchen µ = 1 q a r a 2c r a andere Situation: geladene Punktteilchen in einem kugelsymmetrischen Potenzial ohne Magnetfeld a a L = a m a 2 r 2 a U r a ) Übergang zu gleichförmig rotierendem System mit Drehachse durch Zentrum des kugelsymmetrischen Potenzials Bewegung im Nichtinertialsystem T1): 0, n i ) 0, e i t)) i = 1, 2, 3) r = v + Ω b mit r = b = b i t) e i t), Winkelgeschwindigkeit Ω : v = b i t) e i t) ei = Ω e i L = a m a 2 r 2 a U r a ) = 1 2 m a v a + Ω ) 2 b a U ba ) a Vor.: q a /m a = q/m gleich für alle Teilchen Wahl der konstanten) Winkelgeschwindigkeit: Ω = 38 q 2mc B

39 für genügend kleine Magnetfelder d.h. B 2 vernachlässigbar) L = ma 2 v2 a + m a v a Ω ) b a ) U b a ) + O B 2 ) a 1 m a v a 2 + q m ab ba v a ) U 2 2mc b a ) = 1 2 wobei µ = 1 q a ba v a 2c a a a m a v 2 a + B 1 2c = 1 m a v a 2 + µ 2 B U b a ) a a q a b a v a ) U b a ) a magnetisches Dipolmoment im rotierenden System Satz von Larmor System von Ladungen mit gleichem Verhältnis q a /m a im rotationssymmetrischen Potenzial und konstantem Magnetfeld verhält sich annähernd wie ein System im selben Potenzial ohne Magnetfeld) in einem Koordinatensystem, das mit Winkelgeschwindigkeit Ω = q B 2mc gleichmäßig um das Zentrum rotiert. Larmor-Frequenz: Ω = q 2mc B 39

40 IV Zeitabhängige elektromagnetische Felder Elektrizität und Magnetismus: 2. große Vereinheitlichung der Physik durch Maxwell Et, r) = 4π ρt, r) Bt, r) = 0 Et, r) + 1 c Bt, r) t = 0 Bt, 1 Et, r) r) = 4π c t c jt, r) Idee: Potenziale Φt, r), At, r) so eingeführt, dass homogene MG identisch erfüllt sind E + 1 c Bt, r) = 0 At, r) Bt, r) = At, r) B t = E + 1 c A t = E + 1 c Φt, r) : Et, r) = Φt, 1 At, r) r) c t damit Problem von 6 Feldern E, B auf 4 Felder Φ, A reduziert Eichinvarianz: gilt für beliebiges differenzierbares) Skalarfeld Λt, r) mit A t, r) = At, r) + Λt, r) B = A = A = B E = Φ 1 c A t A ) = 0 t Φ t, r) = Φt, r) 1 c = E + 1 c Λ t 1 Λ c t = E Λt, r) t Folgerung: physikalische messbare) Felder E, B bleiben bei Eichtransformationen ungeändert kann zur Vereinfachung der MG verwendet werden tatsächlich nur mehr 3 unabhängige Felder zu bestimmen IV.1 Energie- und Impulsbilanz betrachten System von Ladungen Ladungs-, Stromdichten) und elektromagnetische Felder Vermutung: Bewegungsenergie Impuls) der Materie Feldenergie -impuls) de Materie) = a K L r a ) d r a = a q a E 1 ) + c r a B r a dt = a q a ra E dt für allg. Stromdichte: de Mat dt = d 3 r jt, r) Et, r) 40

41 mit E B) = B E) E B) = 1 B c B t E B) j E = E c 4π B 1 ) E 4π t de Mat dt Energiedichte: u em = 1 8π Energiestromdichte Poynting-Vektor): Dimensionen: = c 4π E B) 1 B 4π B t 1 E 4π E t = c 4π E B) 1 E 2 + B 8π t 2) + 1 d 3 r E 2 + B 8π t 2) + c d 3 r 4π E B) = 0 E 2 + B 2) Verallgemeinerung von η = 1 E 8π 2 ) S c = E 4π B Energiebilanz bei festgehaltenem V ) de Mat t) + d d 3 r u em t, r) + df dt dt St, r) = 0 [ S] = Energie/Fläche x Zeit) V [ S/c 2 ] = Impuls/Volumen Impulsdichte des elm. Feldes nächste Seite) Vor.: alle Ladungen und Felder in V z.b. gesamter Raum) V Energieerhaltung im abgeschlossenen System d dt E Mat + E em ) = 0 E em t) = d 3 r u em t, r) Gesamtenergie des elm. Feldes Materie im endlichen Volumen: Energieänderung i.a. durch Energiefluss des Feldes Poynting-Vektor) kompensiert analoge Überlegung für Impulsbilanz: d P Mat t) dt = d 3 r [ ρt, r) Et, r) + 1 ] c jt, r) Bt, r) Übungen: Einsetzen von ρ = 1 4π E, dp Mat,i dt + d dt j c = 1 4π B 1 4πc d 3 r S i c 2 = V V d 3 r T ij x j E t 41

42 Maxwellscher Spannungstensor analog Spannungstensor der Kontinuumsmechanik): T ij = T ji = 1 [ E i E j + B i B j δ ij E 2 + B 4π 2) ] /2 Impuls des elm. Feldes: P em = d 3 r S/c 2 T ii = u em Licht bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit ) Impulsbilanz d dt P Mat + P em ) i = V df j T ij rechte Seite: Kraft auf Oberfläche des Volumens für abgeschlossenes System: Impulserhaltung s. Kontinuumsmechanik) d PMat + P dt ) em = 0 Energie- und Impulsbilanz: Hinweis auf Eigenständigkeit von E, B nicht offensichtlich in klassischer Elektrodynamik QFT: Materie und Strahlung durch Quantenfelder beschrieben, allerdings Materie = massive Quarks und Leptonen Spin 1/2) Strahlung = masselose Photonen Spin 1) IV.2 Induktionsgesetz unabhängig von Ladungs- und Stromdichten Et, r) + 1 c Bt, r) t = 0 Drahtschleife im Magnetfeld magnetischer Fluss Φ B t) = df Bt, r) F t) Änderung von Φ B t): B df 0 und t dt 0 Veranschaulichung in einer Raumdimension: d dt g2 t) g 1 t) dx ft, x) = g2 t) g 1 t) dx ft, x) t + ġ 2 t) ft, g 2 t)) ġ 1 t) ft, g 1 t)) 42

43 für aktuellen Fall dφ B t) dt { } 1 = lim df t 0 t Bt + t, r) df Bt, r) F t+ t) F t) = F t) d F Bt, r) t 1 + lim df t 0 t Bt, r) F t+ t) F t) Folgerung: lim t 0 dφ B t) dt Volumen zwischen 2 Flächen Gauß): 0 = V F t+ t) d 3 r B = 1 df t B = d r v B) F t+ t) F t) F = F t) = c d r F df B t d r v B) F ) E + v c B elektromotorische Kraft EMK) = induzierte Spannung: df B df B + F t) mit B t = c E d r E + v c B) N.B.: weder ρ noch j kommen vor EMK auch im Vakuum erzeugt wenn Leiter vorhanden Strom induziert in meisten Fällen gute Näherung Reibungskraft auf Ladungsträger im Festkörper) j = σ E + v ) c B Ohmsches Gesetz mit Leitfähigkeit σ EMK = V 12 = 1 σ 2 1 d r j = I L σ Q wobei L die Länge und Q der kleine) Querschnitt des Leiters sind Folgerung: EMK = I R mit R = L σq Leitfähigkeit stark temperaturabhängig Ohmscher Widerstand d r v t) B 43

44 Material Ag Cu Fe Si Glas 1 σ in Ω m) bei 20 C Leiter Halbleiter Isolator spezifischer elektrischer Widerstand Resistivität): SI-Einheiten: 1 Ω = 1 V/1 A 1 σ = Q L R I R = 1 c d dt d F B B Schleife festgehalten, t > 0 I < 0 math. neg. Sinn) erzeugt B ind nach unten Rechtsschraube!) wirkt B/ t entgegen Lenzsche Regel Energieerhaltung) Folgerung: durch Induktion erzeugte Kraft, bzw. Magnetfeld versucht, verursachende Bewegung zu hemmen Wirbelstrombremse), bzw. verursachendes Magnetfeld zu schwächen Diamagnetismus) IV.3 Allgemeine Lösung der Maxwell-Gleichungen Aufgabe: Et, r), Bt, r) zu berechnen bei geg. ρt, r), jt, r) benützen dazu die Potenziale Φt, r), At, r) E = Φ 1 c A t, B = A homogene MG automatisch erfüllt nur mehr inhomogene MG zu lösen E = 4πρ Φ 1 c mit A) = A + A) B 1 c t A) = 4πρ E t = 4π c j A + A) + 1 c Φ t A c 2 t A c 2 t 2 A + A + 1 c 4 gekoppelte lineare partielle Diffgl. 2. Ordnung für Φ, A Vereinfachung durch geschickte Wahl der Eichung ) Φ = 4π t c j = 4π c j Beh. Übungen): bei geg. Φ, A kann Eichfunktion Λt, r) stets so gewählt werden, dass nach einer Eichtransformation A = A + Λ 44 Φ = Φ 1 c Λ t

45 A + 1 Φ c t = 0 Lorenz Eichung Verallgemeinerung der Coulomb-Eichung im zeitabhängigen Fall inhomogene Wellengleichungen 1 2 Φ c 2 t 2 Φ = 4πρ, 1 2 A c 2 t 2 A = 4π c j Φ = 4πρ, A = 4π c j 4 entkoppelte lineare part. Diffgl. für Φ, A durch Lorenz-Eichung verbunden!) allg. Lösung einer inhomogenen linearen Diffgl.: bekanntes Rezept völlig analog für A): Φt, r) = Φ s t, r) + Φ h t, r) Φ s = 4πρ, Φ h = 0 eine spezielle Lösung Φ s plus allgemeine Lösung Φ h Standardmethode: Φ s mit Greenfunktion berechnen Berechnung der Greenfunktion: Fourier-Transformation für Φt, r), ρt, r) in t Φt, r) = Φ = 4πρ Vor.: Φ, ρ L 1, )) dω Φω, r)e iωt ρt, r) = Umkehrung der Fourier-T. ) + ω2 Φω, r) = 4π ρω, r) c 2 Greenfunktion der Helmholtz-G. Übungen) ) dω ω2 c 2 Φω, r)e iωt = 4π dω ρω, r)e iωt Helmholtz Gleichung dω ρω, r)e iωt + k 2 ) eikr r = 4πδ 3) r) k = ± ω/c Φω, r) = d 3 r G H r r ; ω) ρω, r ) ω G H r r ; ω) = e±i c r r r r 45

46 daher spezielle Lösung für skalares) Potenzial Φt, r) = Φ av ret = dω d 3 r ρω, r ) eiω t ± r r /c ) r r dt d 3 r G av ret t t, r r ) ρt, r ) = d 3 r ρt ± r r /c, r ) r r avancierte, bzw. retardierte Greenfunktion der inhomogenen Wellengleichung G av ret t t, r r ) = δt t ± r r /c) r r Interpretation:, G av ret t, r) = 4πδt)δ3) r) zur Berechnung des Potenzials Φt, r) für geg. Raum-Zeit-Punkt t, r) Ladungsdichte ρt, r ) t, r ) benötigt mit t = t + r r /c t > t avancierte Greenfunktion G av t = t r r /c t < t retardierte Greenfunktion G ret retardiertes Potenzial Φ ret t, r) = d 3 r ρt r r /c, r ) r r Φ ret t, r) = 4πρt, r) Ladungsdichte ρ nur am sog. Rückwärts-Lichtkegel relevant: alle t, r ) mit t = t r r /c vollständige Lösung: Φt, r) = Φ ret t, r) + Φ ein t, r), Φ ein t, r) = 0 für zeitlich lokalisierte Ladungsdichte, d.h. insbesondere ρ = 0 für t < T für t < T nur einlaufendes Feld Potenzial): Φt, r) = Φ ein t, r) mathematisch völlig äquivalent: avanciertes Potenzial Φ av t, r) mit vollständiger Lösung Φt, r) = Φ av t, r) + Φ aus t, r), Φ aus t, r) = 0 physikalisch häufiger Φ ret + Φ ein anwendbar: Präparation der Ladungsdichte vor Messung des Feldes 46

47 Huygenssches Prinzip betrachten Punktquelle in Raum und Zeit: ρt, r) = δt) δ 3) r) Φ ret t, r) = δt r/c) r Störung pflanzt sich konzentrisch vom Ursprung mit Geschwindigkeit c fort jeder Punkt r empfängt zur Zeit t = r/c ein scharfes Signal, vorher und nachher nichts nur scheinbar offensichtlich: Huygenssches Prinzip gilt nur in ungeraden Raumdimensionen d 3), in geraden gibt es einen Nachhall Problematik der Wellenwanne für Demonstration von Wellenphänomenen im Raum retardierte Potenziale Φ ret t, r) = d 3 r ρt r r /c, r ) r r, Aret t, r) = 1 c d 3 r jt r r /c, r ) r r speziell für Punktteilchen ρt, r) = q δ 3) r r q t)), jt, r) = q r q t) δ 3) r r q t)) Berechnung für skalares Potenzial: Φ ret t, r) = q = q d 3 r δ3) r r q t ret )) r r = q dτ δτ t + r r qτ) /c) r r q τ) dτ d 3 r δτ t + r r /c) δ3) r r q τ)) r r, t ret = t r r /c Integration über τ: wenn überhaupt Lösung existiert eindeutige Lösung von τ t + r r q τ) /c = 0 τ = t ret eindeutig wegen d r q dτ = v q Def.: Rτ) := r rq τ) Rt ret ) = r r q t ret ) = ct t ret ) Auswertung der δ Funktion: da eindeutige und einfache) Nullstelle δf τ)) = δτ t ret) F t ret ) mit F τ) = τ t + Rτ)/c Φ ret t, r) = q Rt ret ) F t ret ) 47

48 F τ) = 1 + Ṙτ)/c Ṙτ) zu berechnen Rτ) 2 = Rτ) 2 2R Ṙ = 2 R R = 2 R rq τ) = 2 R v q τ) und daher unter Vorwegnahme, dass stets F t ret ) > 0) Rt ret ) F t ret ) = Rt ret ) + Rt ret ) Ṙt ret)/c = Rt ret ) Rt ret ) v q t ret )/c Liénard-Wiechert-Potenziale Φt, r) = q Rt ret ) Rt ret ) v q t ret )/c, At, q v q t ret ) r) = c Rt ret ) Rt ret ) v q t ret ) IV.4 Elektromagnetische Wellen Maxwell-G. im Vakuum Wellengleichungen Et, r) = Bt, r) = 0 allerdings mehr Information in MG jedes vernünftige Vektorfeld Et, r) jede Komponente L 1, ) in jeder Variable) durch 4-dim. Fouriertransformation darstellbar Et, r) = dω d 3 k Eω, k) e i k r ωt) E = 0 dω d 3 k ) Eω, k) ω2 c 2 + k 2 e i k r ωt) = 0 Umkehrung der Fourier-T. eindeutig!) ω 2 = c 2 k 2 = c 2 k 2 für Eω, k) 0) daher allgemeine Lösung als 3-dim. Fourier-Transformierte Et, r) = d 3 k E 0 k) e i k r ωt) können uns auf ω = +c k beschränken E 0 k) i.a. komplexe Vektorfunktion) analog Bt, r) = d 3 k B 0 k) e i k r ωt) Maxwell-G. E = 0 k E 0 k) = 0 E = 1 c B t i k E 0 k) = i ω c B 0 k) B 0 k) = c ω k E 0 k) E 0 = B 0 48

49 B = 0, B 1 E = c t Et, r) = d 3 k E 0 k) e i k r ωt) automatisch erfüllt Bt, r) = d 3 k k k E 0 k) e i k r ωt) mit k E0 k) = 0 Folgerung: allg. Lösung ist Linearität der MG!) Überlagerung von monochromatischen ebenen Wellen e i k r ωt) monochromatisch: durch einzigen Wellenzahlvektor k gekennzeichnet zur Erinnerung: warum als ebene Wellen bezeichnet? physikalisch realisierbare Wellen: Re e i k r ωt) [oder Im e i k r ωt) ] Fortpflanzung in Richtung k/k speziell für k = k e x cos k x ω t) = cos k x c t) Welle nach rechts mit Geschw. c Wellen nach links: k = k ex allg.: Ebenen k r =konst. pflanzen sich mit Geschwindigkeit ω/k = c in Richtung k/k fort Welle zerfließt nicht ω linear in k andere Ausdrucksweise: Welle zeigt keine Dispersion gilt nicht mehr in Materie, s. Kap. V) Notation: k: Wellenzahl)vektor, k = k : Wellenzahl Abstand zwischen benachbarten Maxima bei festem t: k x = 2π Wellenlänge: Kreisfrequenz: λ = 2π k ω = c k = 2π c λ Phase der Welle: Frequenz: ϕ = k r ωt ν = c λ = ω 2π Lichtgeschwindigkeit c = Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit, mit der sich Ebenen ϕ =konst. fortpflanzen monochromatische ebene elektromagnetische Wellen in komplexer Notation) { Et, r) = Re E 0 e i k r ωt) } { } k, Bt, r) = Re k E 0 e i k r ωt), k E0 = 0 E k, B k, E B, E = B 49

50 E und B sind transversal polarisiert, d.h. orthogonal auf Ausbreitungsrichtung für festes r: Felder oszillieren in t Energie- und Impulsdichte betrachten zeitgemittelte Größen über eine Periode T = 1/ν = 2π/ω Def.: A = 1 T T 0 dt At, r) Zeitmittel der Größe A E = B = 0 Energie- und Impulsdichten sind aber quadratisch in den Feldern { Et, r) = Re E 0 e i k r ωt) } { = Re E 0,r + ie } 0,i )cos ϕ + i sin ϕ) = E 0,r cos ϕ E 0,i sin ϕ ϕ = k r ωt) E 2 = E 2 0,r cos 2 ϕ + E 2 0,i sin 2 ϕ 2 E 0,r E 0,i sin ϕ cos ϕ E 2 = 1 E 2 2 0,r + E ) 0,i 2 = 1 E 2 0 E 0 analog E B = 1 2 Re E 0 B 0) = 1 2 Re E 0 B 0 ) mittlere Energiedichte mit E 0 = B 0 ) u em = 1 8π E 2 + B 2 = 1 E0 16π E 0 + B 0 B 0) = 1 E 8π 0 E 0 mittlere Energiestromdichte Poynting-Vektor) S = c 4π E B = c 8π Re E 0 B 0) E 0 B 0 = E 0 k E 0) 1 k = k k E 0 E 0 S = k k c E 8π 0 E 0 = c k k u em Welle transportiert Energie mit Lichtgeschwindigkeit c in Richtung k S Impulsdichte: c 2 = k u em k c Energie-Impuls-Beziehung für masselose Teilchen Photonen): p = E c spezielle Relativitätstheorie Kap. VI) 50

51 Polarisation wieder monochromatische ebene Welle betrachtet: k = k ez E, B oszillieren in x, y) Ebene beschränken uns auf E, da B = k k E allg. Polarzerlegung E 0 i.a. komplex!): E 2 0 = E 2 0 e2iα analoge Zerlegung: E0 e iα = b 1 + i b 2, bi reell, b i k E 2 0 e 2iα = b 2 1 b i b 1 b 2 = E 2 0 b 1 b 2 = 0, b 2 1 b 2 2 Wahl der Achsen: e x = b 1 b 1, e y = ± b 2 wenn b 2 = 0 : e y = e z e x ) b 2 { Et, r) = Re E 0 e i k r ωt) } = Re {b 1 e x ± i b 2 e y ) e iϕ} = b 1 cos ϕ e }{{} x b 2 sin ϕ e }{{} y ϕ = kz ωt + α, b i = b i E xt, r) E yt, r) Polarisationsellipse: E 2 x b E2 y b 2 2 = 1 mit rechts polarisiert links polarisiert dϕ dt = ω < 0, k = k ez aus der Zeichenebene heraus) allg. Fall: Spezialfälle b 2 = 0 : b 1 = b 2 : E und damit B) elliptisch polarisiert E B) linear polarisiert E B) zirkular polarisiert Linearität der MG: allg. Fall als Superposition zweier orthogonal linear pol. oder zweier entgegengesetzt zirkular pol. Wellen darstellbar 51

52 N.B.: monochromatische ebene Welle ist eine Idealisierung, da u em = konst. Energie = d 3 r u em = physikalisch realisierbar sind nur Wellenpakete Überlagerung von monochromatischen ebenen Wellen typisches Wellenpaket für festes t) räumliche Ausdehnung x l Theorie der Fourier-T. Wellenzahlbereich k 1/l notwendig klassische Unschärferelation: x k 1 Übungen: Gaußsches Wellenpaket bis jetzt Wellen im gesamten Raum betrachtet; wesentlich kompliziertere Situation: Wellen in durch Metallwände begrenztem Volumen endliches Volumen Hohlraumresonator Volumen in einer Richtung unbegrenzt Wellenleiter z.b. Koaxialkabel) Randbedingungen an Metalloberfläche? Vor.: Frequenzen nicht zu groß, d.h. Zeitabhängigkeit des Feldes nicht zu stark Idealisierung des perfekten Leiters wie in der Elektrostatik E tang V = 0 n E V = 0 mit Normalenvektor n auf Metalloberfläche Magnetfeld B = c E n B = c E) n = c E n) daher insgesamt Randbedingungen an Metalloberfläche V n E V = 0, n B V = 0 gute Näherung für Radiofrequenzen ν 10 9 Hz), sicher nicht für UV-Frequenzen oder höher ν Hz); Metalle können für sehr große Frequenzen transparent werden rechteckiger Wellenleiter in z Richtung offen rechteckiger Querschnitt: 0 x L 1, 0 y L 2 im Inneren Vakuum: E = B = 0 52

53 Rechteckquerschnitt erlaubt Lösung mit Separationsansatz: E i = f i x) g i y) h i z) T i t) i = 1, 2, 3) 1 E i E i = 0 Folgerung: mit ω 2 i = c2 k 2 1i + k2 2i + k2 3i ) f i f i = k 2 1i, g i g i = k 2 2i, f i + g i + h i 1 T i f i g i h i c 2 = 0 T i h i h i = k 2 3i, T i T i = ω 2 i Lösung ist Produkt ebener Wellen, z.b. f i x) = f i 0)e ±ik 1ix E 1 : muss verschwinden für y = 0 und y = L 2 Tangentialkomponente) g 1 y) sin n 1πy L 2 analog für E 2 : f 2 x) sin m 1πx L 1 n 1 = 0, 1, 2,... ), d.h. k 21 = ± n 1π L 2 Vorzeichen egal) E 3 : tangential für x = 0, L 1 und y = 0, L 2 E 3 sin m 2πx L 1 E 1 = C 1 f 1 x) sin n 1πy e ik 1z ω 1 t) L 2 E 2 = C 2 sin m 1πx L 1 g 2 y) e ik 2z ω 2 t) sin n 2πy L 2 k 3i k i ) E 3 = C 3 sin m 2πx sin n 2πy e ik 3z ω 3 t) L 1 L 2 mit i.a. komplexen Koeffizienten C i : am Ende immer Realteil zu nehmen jede Komponente erfüllt Wellengleichung, außerdem muss gelten E = 0 0 = C 1 f 1x) sin n 1πy e ik 1z ω 1 t) + C2 sin m 1πx g L 2 L 2y) e ik 2z ω 2 t) 1 +i k 3 C 3 sin m 2πx L 1 gilt t ω 1 = ω 2 = ω 3 =: ω sin n 2πy L 2 e ik 3z ω 3 t) gilt z k 1 = k 2 = k 3 =: k z außerdem: m 1 = m 2 =: m und n 1 = n 2 =: n und f 1x) sin mπx f 1 x) cos mπx L 1 L 1 g 2y) sin nπy g 2 y) cos nπy L 2 L 2 Lösung für E mit ω 2 = c 2 m2 π 2 L n2 π 2 L 2 2 E 1 = C 1 cos mπx L 1 E 2 = C 2 sin mπx L 1 E 3 = C 3 sin mπx L 1 + k 2 z)): 53 sin nπy L 2 cos nπy L 2 sin nπy L 2 e ik zz ωt) e ik zz ωt) e ik zz ωt)

54 zusätzlich E = 0 zu erfüllen C 1 mπ L 1 C 2 nπ L 2 + i k z C 3 = 0 2 unabhängige Amplituden = 2 unabhängige Polarisationen Magnetfeld B bereits bestimmt wegen erfüllt automatisch B = 0, B 1 c z.b.: B 3 = i c C2 mπ ω L 1 B = c E = i ω B E t C ) 1nπ cos mπx L 2 L 1 = 0 und Randbedingung cos nπy L 2 e ik zz ωt) für m = n = 0 E = B = 0 triviale Lösung untere Schranke für mögliche Frequenzen Filter!) ) 1 1 ω c π min, L 1 ohne Beweis: wenn E 3 = B 3 = 0 E = B = 0 daher: allgemeine Lösung ist Überlagerung von transversale elektrische Wellen TE E 3 = 0, B 3 0 transversale magnetische Wellen TM E 3 0, B 3 = 0 Übungen: TE- und TM-Wellen minimaler Frequenz Koaxialkabel: konzentrische Kreiszylinder auch TEM-Wellen mit E 3 = B 3 = 0 Hohlraumresonator endliches Volumen): auch k z quantisiert rein diskretes Frequenzspektrum, stehende Wellen analog schwingender Saite reale Systeme: E, B dringen in Metall ein Ohmsche Verluste, gedämpfte Wellen L 2 IV.5 Langsam veränderliche Felder in der Nahzone Vor.: ρ, j 0 in Gebiet mit Durchmesser d E, B nur in der Nähe von ρ, j 0 berechnet r r d E, B ändern sich langsam: durch maximale Frequenz ν = 1/T charakterisiert 54

55 Änderung langsam im Vergleich womit, d.h. ν? ν c = 1 λ 1 d d λ Beispiel: UKW-Empfänger mit d 1 cm, ν 100 MHz=10 8 s 1 Ö3) λ = c ν = 300 cm d retardierte Zeit: [ t ret = t r r /c = t 1 r r ] ct [ )] d = t 1 + O t für t T da d ct ) ct daher Retardierung in 1. Näherung ignoriert instantane Näherung): Φ ret t, r) = d 3 r ρt r r /c, r ) r r d 3 r ρt, r ) r r A ret t, r) = 1 d 3 r jt r r /c, r ) c r r 1 d 3 r jt, r ) c r r Et, r) = Φ ret 1 c A ret Bt, r) = A ret 1 c d 3 r ρt, r ) r r ) r r }{{ 3 } E inst t, r) d 3 r jt, r ) r r ) r r 3 jt, r ) d 3 r t r r 1 c } 2 {{} E ind t, r) =: B inst t, r) E = Einst + E ) ind = E ind = 1 c 2 jt, r ) d 3 r t r r = 1 c B inst t Interpretation: instantan: ρ E inst, j B inst zeitliche Änderung: j t B inst t E ind Wechselstrom Schaltkreise aufgebaut aus so genannten elementaren Schaltkreisen: beschränken uns auf einige idealisierte) Elemente 55

56 2 bel. Punkte betrachtet Strom fließt von 1 2 Spannungsabfall: da E inst = 0 V 12 = 2 1 d r E inst = Φ 1 Φ 2 z.b.: Generator im E-Werk EMK V 12 = E unabhängig vom Strom I V 12 = R I Ohmscher Widerstand Einst = 1 σ j q 1 t) = t Kondensator V 12 = q 1 C dt It ), q 2 t) = q 1 t) mit Kapazität C I erzeugt B inst I Spule Leiterschleife) di dt B inst t E ind di dt da in idealer Schleife kein Widerstand σ ) Ladungen bauen entgegengesetztes E inst di dt auf, so dass Einst + E ind 0: Selbstinduktion V 12 = L di dt Einheit der Induktivität L Selbstinduktionskoeffizient: hängt nur von Leitergeometrie ab) im SI-System: [L] = Henry) = V s/ A Stromverlauf in beliebiger Schaltung bestimmt durch Kirchhoffsche Regeln 1. Einst = 0 d r Einst = 0: in jedem Schaltkreis N 1 gilt V 12 + V V N1 = 0 Summe der Spannungsabfälle verschwindet 2. Ladungen können sich nur in einem Kondensator ansammeln Summe der in einen Verdrahtungspunkt einfließenden Ströme verschwindet 56

57 einfachstes idealisiertes) Beispiel: ungedämpfter Schwingkreis E + L di dt + 1 t dt It ) = 0 C It) = dq dt Analogie zum ungedämpften harmonischen Oszillator L d2 q dt C q = E m d2 η dt 2 + mω2 0 η = K L = m, η = q, K = E Thomson-Formel ω 2 0 = 1 LC homogene Lösung E = 0): ungedämpfte Schwingung mit Frequenz ω 0 = 1 LC realistischeres Anwendungsbeispiel E + L di dt + 1 t dt I 2 t ) = 0 C E + L di dt + R I 1 = 0 I = I 1 + I 2 Summe beider Gleichungen: C de dt + L C d2 I dt 2 + I 2 = 0 E R + L R di dt + I 1 = 0 wenn I bekannt I 1, I 2 berechenbar) d 2 I dt di RC dt + 1 LC I = 1 RLC E + 1 de L dt harmonischer Oszillator mit Reibung und äußerer Kraft Eigenfrequenz ω 0 = 1 LC Reibung = Dämpfung 2ρ = 1 RC d 2 η dt 2 + 2ρdη dt + ω2 0 η = K m Thomson Vor.: EMK periodische Wechselspannung Et) = E 0 cos ωt = E 0 Re e iωt, E 0 > 0 allg. Lösung: It) = I s t) + I h t) 57

58 homogene Lösung I h t) e ρ t = e t/2rc) Einschwingvorgang für t RC bleibt nur erzwungene Schwingung übrig: It) I s t) = I 0 cos ωt + δ) = I 0 Re e iωt + δ), I 0 > 0 Einsetzen in Diffgl. komplexe Notation, am Ende Realteil nehmen) I 0 e iδ ω 2 + iω RC + 1 ) e iωt 1 = E 0 LC RLC + iω ) e iωt L nach Vor.: E 0 > 0, I 0 > 0 I 0 e iδ Z = E 0, Impedanz Wechselstromwiderstand) Z Z = e iδ Z frequenzabhängig! Z = 1 LC + iω RC ω2 1 RLC + iω L = 1 + iω L R ω2 LC = iωl + 1 R + iωc 1 1 R + iωc Serie Z = Z 1 + Z 2 parallel 1 Z = 1 Z Z 2 für unsere idealen Elemente: Z = R Z = iω L Z = 1 iω C daher in unserem Beispiel: Z = Z 1 + Resonanz: ω ω 0 = 1 LC, Z = iωl + 1 Z 2 Z 3 R + iωc iω 0 L R 1 R + iω 0C 0 R R : 2. Kreis blockiert 1. Kreis in Resonanz I 0 = E 0 Z sehr großer Strom für ω ω 0 Impedanz: große Vereinfachung komplizierter Schaltungen durch komplexe Notation 58

59 IV.6 Elektromagnetische Strahlung Fernzone) Vor.: kleine Quelle, d.h. d λ d r λ: Nahzone Schaltkreise d r, λ: Fernzone Strahlung welcher Anteil des Feldes ist für r d relevant? A ret t, r) = 1 d 3 r jt r r /c, r ) c r r A ret t, r) r 1 r scheint zu implizieren: B = Aret r würde bedeuten, dass Poynting-Vektor abgestrahlte Leistung P = d F S r2 r 3 widerspricht offensichtlich der Erfahrung 1 r 2?? S = c 4π E B r 0 muss Anteile von E, B = O r mind. wie 1 r 3?? ) 1 geben: Strahlungsfelder r kann nur an Retardierung liegen, die bei obiger Überlegung ignoriert wurde betrachten zunächst Punktteilchen Liénard-Wiechert) Φ ret t, r) = q Rt ret ) Rt ret ) v q t ret )/c, Aret t, r) = q v q t ret ) c Rt ret ) Rt ret ) v q t ret ) wobei E = Φ ret 1 c A ret t, B = Aret Rt) = r r q t), Rt ret ) = r r q t ret ) = ct t ret ) t ret t, r) Problem für Ableitungen: t, r stecken in t ret, und zwar in R und v q nach eher langwieriger Ableitung z.b.: Fließbach, Kap. 23) { n β)1 Et, r) = q β 2 ) κ 3 R [ cκ 3 R n n β) ] } β, Bt, r) = n Et, r) mit n = R R, β = v q c, κ = 1 n β alle Größen n, β, κ, R sind Funktionen von t ret 59

60 Folgerungen: für gleichförmig bewegtes Teilchen β = 0) E = q n β)1 β 2 ) κ 3 R 2 ) 1 = O r 2 keine Strahlung Strahlungsfeld ist prop. Beschleunigung β q n [ n β) ] β E Str t, r) = cr1 n β) ret, BStr = n E Str 3 radiale Komponente der Energiestromdichte S n = c 4π n E Str B Str ) = c 4π n E Str ) B Str = c 4π B Str 2 = c 4π E Str 2 = q2 n 4πcR 2 [ n β) β ] 2 1 n β) 6 ret in Raumwinkel dω abgestrahlte Leistung: differenzielle Strahlungsleistung nichtrelativistischer Fall: β 1 E Str dp dω = q2 n 4πc q n n v) c 2 R n n v) = n v) n v dp = d F S = S n R 2 dω [ n β) β ] 2 1 n β) 6 ret = v cos θ n v cos θ n v, v = v cos θ n + v, n v = 0 EStr q v c 2 R nichtrelativistische Strahlungsformel n dp nrel dω = q2 4πc 3 v 2 = q2 4πc 3 vt ret ) 2 sin 2 θ maximale Abstrahlung orthogonal auf Beschleunigung keine Abstrahlung in Richtung Beschleunigung relativistischer Fall Kap. VI 60

61 allgemeine Ladungs- und Stromverteilung ρ, j nur Potenziale und Felder der O1/r) für r sind für Strahlung relevant Multipolentwicklung: t r r = t r ) n r O, n = r/r c c c r Φ Str t, r) = 1 d 3 r ρt r n r +, r ), AStr t, r) = 1 d 3 r jt r r c c cr c n r c d c λ c = T = 1 ν große Wellenlängen : λ d) n r c gibt unterschiedliche Verzögerungen der Quellpunkte r am Aufpunkt r an für λ d Verzögerungseffekte klein Entwicklung von ρ, j um t r/c nach n r /c n r +, r ) c je größer Frequenz ν, desto mehr Terme müssen in dieser Multipolentwicklung berücksichtigt werden: E1, M1, E2, M2,... beschränken uns auf den führenden Term: elektrische Dipol- oder E1-Strahlung A Str t, r) = 1 cr Φ Str t, r) = 1 r d 3 r jt r c, r ) +... d 3 r ρt r c, r ) + 1 r d 3 n r r c ρt r c, r ) +... t 1. Term in Φ Str ist q/r kein Beitrag zur Strahlung d 3 r r ρt r c, r ) t Φ E1 t, r) = n cr = A E1 t, r) = 1 cr d 3 r r ρt r c, r ) t d 3 r r jt r c, r ) d 3 r jt r c, r ) = = p. Int. = n dt r c ) cr dt r c ) cr B E1 = A E1 = 1 cr r dt c ) + O.. r mit i dt c ) = d r t c ) 1 ) i r = x i c rc.. d t r c ) d 3 r jt r c, r ) ) 1 r 2.. d t r c ) n B E1 t, r) = rc 2, EE1 = B E1 n 61

62 differenzielle Strahlungsleistung dp E1 dω = r2 S n = r 2 c 4π n E E1 B E1 ) = r 2 c 4π B E1 2 =.. d t r c ) 2 sin 2 θ 4πc 3 gesamte abgestrahlte Leistung P E1 = M1-Strahlung: P M1 =.. dω dp d t r E1 dω = c ) 2 4πc µ t r c ) 2 3c d t r dω sin 2 θ = c ) 2 3c 3 Übungen: nichtrelativistisches Punktteilchen strahlt nur E1-Strahlung ab Spezialfall monochromatisch schwingender Dipol: Hertzscher Dipol in komplexer Notation: d t r ) t = d c 0 e iω r c B HD t, r) = ω2 rc 2 d n = k 2 n d e iωt kr) 0 r auslaufende Kugelwelle zeitgemittelte abgestrahlte Leistung: dt) = d0 cos ωt = d 0 Re [e iωt] ) = d 0 e iωt kr), EHD t, r) = B HD t, r) n dp HD dω = c 4π r2 n E HD t, r) B HD t, r) = cr2 [ 8π n Re EHD r) B ] HD r) n d 0 = d 0 sin θ dp HD dω = ω4 d 2 0 sin2 θ 8πc 3 gesamte abgestrahlte Leistung: = cr2 8π B HD r) 2 = ck4 8π n d 0 2 Polardiagramm P HD = ω4 d 2 0 3c 3 62

63 IV.7 Streuung typisches Streuexperiment gestreute Welle einfallende Welle Ladungen beschleunigt Vor.: i. einfallende monochromatische ebene Welle [ Et, r) = Re E 0 e i k r ωt) ], B = k k E ii. Punktladung sei in einem Oszillatorpotenzial gebunden Modell für im Atom gebundenes Elektron): Ladung q, Frequenz ω 0, Dämpfung Γ iii. Bewegung nichtrelativistisch v c) v B vernachlässigbar iv. Wellenlänge der einfallenden Welle groß: λ r q Bewegungsgleichung für Punktladung mit Trajektorie r q t): m.. r q +mγ r q + mω 2 0 r q = q E 0 e i k r q ωt) + Ov/c) Reibungskraft mγ r q : verursacht durch verschiedene Prozesse, die dem Punktteilchen Energie entziehen Abstrahlung, Stoßprozesse,... ) Dipolnäherung: mit k r q = 2πr q /λ 1 e i k r q = 1 + Or q /λ) allg. Lösung: r q t) = r q,s t) + r q,h t) r q,h klingt mit e Γt/2 ab) Ansatz: r q,s t) = r 0 e iωt ω 2 iγω + ω 2 0) r 0 = q m E 0 zeitabhängiges Dipolmoment dt) = q r 0 e iωt = q 2 E0 /m ω 2 0 ω2 iγω e iωt 63

64 Vor.: einfallende Welle linear polarisiert E0 = e iδ E0,r mit reellem Vektor E 0,r zeitgemittelte Dipolstrahlung dp dω = ω4 q 2 r 0 2 sin 2 θ 8πc 3 strikt elastische Streuung: keine Frequenzänderung in der gestreuten Welle Def.: differenzieller Wirkungsquerschnitt = c ) 8π E q ω 4 sin 2 θ mc 2 ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 Γ 2 dσ abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel dω dp = = dω dω einfallende Leistung pro Fläche S mit S = c u em = c 8π E 0 2 diff. Wirkungsquerschnitt für Streuung von linear polarisierter Welle an gebundener Ladung integrierter Wirkungsquerschnitt: σ = dω dσ dω ) dσ q 2 2 dω = ω 4 sin 2 θ mc 2 ω0 2 ω2 ) 2 + ω 2 Γ 2 = 8π 3 q 2 mc 2 ) 2 ω 4 ω 2 0 ω2 ) 2 + ω 2 Γ 2 Elektronen: e 2 m e c 2 = 2.8 fm = r kl klassischer Elektronenradius Rayleigh-Streuung: ω ω 0 relevant für Streuung von Sonnenlicht an Molekülen in der Atmosphäre σ = 8π ω 4 3 r2 kl ω0 4 blaues Sonnenlicht stärker gestreut als rotes σ blau σ rot = ω4 blau ω 4 rot = λ4 rot λ 4 blau Erklärung von Himmelsblau und Abendröte ) 700 nm nm 64

65 Resonanzstreuung: ω ω 0 starke Energieabhängigkeit Instrument zur Strukturuntersuchung wo ist σω) = σ Res /2? Lösung für Γ ω 0 ): σω = ω 0 ) = σ Res = 8π ω 3 r2 0 2 kl Γ 2 wenn ω 2 0 ω 2 ) 2 ω 2 0Γ 2 für Γ ω 0 ) ω = ω 0 ± Γ 2 Γ = Gesamtbreite bei halbem Maximum QM, QFT: Energieunschärfe des Resonanz-)Zustands Γ = τ τ = Lebensdauer des Zustands) insbesondere für freie Elektronen ω 0 = 0) Thomson-Streuung: ω ω 0, Γ σ Thomson) = 8π 3 r2 kl bisher immer linear polarisiertes Licht betrachtet für Praxis noch wichtiger: Streuung von unpolarisiertem Licht unpolarisiertes Licht: statistisches Gemisch aller möglichen Polarisationen Resultat ohne Rechnung; θ = Streuwinkel zwischen ein- und auslaufender Welle): ) dσ T,unpol q 2 2 ) = dω mc 2 1 sin2 θ 2 integrierter Querschnitt: σ T,unpol = dω dσ T,unpol dω ) q = 2π mc 2 dcos θ) 1 + cos2 θ 1 2 = 8π 3 q 2 selbes Ergebnis wie vorher für σ T, da im integrierten Querschnitt natürlich keine Richtung der Polarisation) ausgezeichnet QFT: Compton-Streuung γ e γ e Frequenz Energie) des Photons reduziert Rückstoß des gestreuten Elektrons) Frequenzverminderung ist ein Quanteneffekt: ω ω = ω m e c 2 sin2 θ 2 ω ω für 0 mc 2 ) 2 65

66 Klein-Nishina-Formel für Streuung unpolarisierter Photonen dσ unpol e 2 dω = m e c 2 ) 2 ω ω ) 2 [ 1 ω 2 ω + ω ) ] ω sin2 θ 2 bisherige Betrachtung für ein einzelnes Streuzentrum: wie sieht der Wirkungsquerschnitt für N Streuzentren Atome, Elektronen,... ) aus? i. inkohärente Streuung wenn Streuzentren unabhängig voneinander abstrahlen σ N = N σ Bsp.: Rayleigh-Streuung von sichtbarem Licht in Atmosphäre Luftmoleküle statistisch verteilt: inkohärente Streuung ii. kohärente Streuung konstruktive Interferenz der einzelnen Streuwellen σ N = N 2 σ Bsp.: Wasserdampf in der Atmosphäre; Wassertröpfchen mit Durchmesser d nm bestehen aus N Molekülen für sichtbares Licht nm) schwingen induzierte Dipolmomente in Phase d Tröpfchen = N d Molekül Wolken weitgehend undurchsichtig, da Licht stark gestreut wird andererseits: homogenes Wasser hat d > λ Moleküle in verschiedenen Teilen der Wassertropfen nicht mehr in Phase homogenes Wasser relativ durchsichtig inkohärente Streuung) allg.: Paradebeispiel: kohärente Streuung Interferenz konstruktiv oder destruktiv) Beugung von Röntgenstrahlen an Kristallen Laue-Bedingungen) 66

67 V Elektrodynamik in kontinuierlichen Medien Vorgangsweise analog zur Kontinuumsmechanik: unmöglich und unnötig), elm. Felder für Ladungen zu berechnen Mittelung über mikroskopische Bereiche Mittelungsfunktion f r) Vor.: f r) rotationssymmetrisch typische Form d 3 rf r) = 1 E mikr = d 3 r f r ) E mikr t, r + r ) =: Et, r) gemitteltes Feld wieder mit E bezeichnet, obwohl jetzt andere Bedeutung als das ursprüngliche Feld E mikr zur Erinnerung: Molekülgröße etwa 1 Å=0.1 nm, λ Licht 600 nm gemittelte Felder sinnvoll im optischen Bereich, nicht im Röntgenbereich λ Å) und natürlich erst recht nicht für γ Strahlung wichtig: es gibt keine neue Elektrodynamik in Materie! Maxwell-G. sind die fundamentalen Feldgleichungen auch in kontinuierlichen Medien makroskopische Maxwell-G. sind phänomenologische Näherungen, die in der Praxis von großem Nutzen sind V.1 Polarisierung und Magnetisierung makroskopische MG schauen zunächst wie die fundamentalen MG aus, ausgenommen ρ, j gemittelte Größen ρ, j Grund: partielle Ableitungen kommutieren mit Mittelung der Felder Et, t r) = d 3 r f r ) E t mikr t, r + r ) Et, r) = d 3 r f r ) Emikr t, r + r ) x i x i wie sind ρ, j zu verstehen? mittlere Ladungsdichte ρ Materie besteht aus Atomen, Molekülen elektrisch neutral) und freien Ladungsträgern Ionen, Elektronen) 67

68 Aufspaltung: ρ = ρ frei + ρ geb mit d 3 r ρ frei = q V, V ρ frei t, r) = q a δ 3) r r a t)), a V d 3 r ρ geb = 0 ρ geb t, r) = ρ α t, r r α t)) α wobei die atomaren molekularen) Ladungsdichten ρ α bei r = r α lokalisiert sind d Å) Mittelung der gebundenen Ladungsdichte ρ geb t, r) = d 3 r f r )ρ α t, r r α t) + r ) = α α = f r r α t)) d 3 r ρ α t, r ) α }{{} α =0 neutrale Einheiten) d 3 r f r + r α t) r)ρ α t, r ) f r r α t)) d 3 r r ρ α t, r ) } {{ } d αt) dabei wurde die Mittelungsfunktion in der Dipolnäherung um r r α t) entwickelt: daher f r + r α t) r) = f r r α t) r ) = f r r α t)) r f r r α t)) + Or 2 ) +... ρ geb t, r) = α d α t) f r r α t)) = d 3 r α d α t) δ 3) r r α t)) f r r ) = P t, r) =: ρ pol t, r) Def.: Polarisierung P t, r) = α d α t) δ 3) r r α t)) = elektrisches Dipolmoment Volumen da es bei Punktladungen nichts zu mitteln gibt = Dipoldichte der neutralen Einheiten ρt, r) = ρ frei t, r) + ρ pol t, r) = ρ frei t, r) P t, r) Ladungserhaltung Kontinuitätsgleichung ρ + j = 0 muss separat für die freien Ladungen gelten: ρ frei + j frei = 0 analoge Analyse für die Stromdichte jt, r) = j frei t, r) + j geb t, r) 68

69 integrierte Polarisierung V d 3 r P t, r) = α V d α t) analoge Definition der magnetischen Dipoldichte Mt, r) Magnetisierung) der gebundenen neutralen) Objekte Mt, r) d 3 r = µ α t) α d 3 r diese Magnetisierung führt auf einen gemittelten Strom alles in Dipolnäherung!) j mag t, r) = c Mt, r) kann allerdings noch nicht alles sein: auch Polarisierung trägt zum gemittelten Strom bei ρt, r) = ρ frei t, r) + ρ pol t, r) jt, r) = j frei t, r) + j mag t, r) + j pol t, r) Kontinuitätsgleichung ρ pol = j mag j pol = j pol = P konsistente und richtige) Wahl: j pol = P t, r) t homogene Maxwell-G. bleiben bei der Mittelung unverändert E + 1 c Mittelung betrifft nur die inhomogenen MG: B t = 0, B = 0 E = 4π ρ = 4π ρ frei + ρ pol ) = 4πρ frei 4π P Def.: D-Feld elektrisches Hilfsfeld, dielektrische Verschiebung, elektrische Induktion, elektrische Erregung,... ) D = E + 4π P daher D = 4πρ frei letzte Maxwell-G.: B 1 c E t = 4π c j frei + j mag + j pol ) = 4π c j frei + 4π M + 4π c P ) B 4πM 1 ) E + 4πP c t = 4π c j frei Def.: H-Feld magnetisches Hilfsfeld, magnetische Feldstärke, magnetische Erregung,... ) H = B 4π M 69

70 Maxwell-Gleichungen in Materie Dipolnäherung) D = 4π ρ frei B = 0 E + 1 B c t = 0 H 1 c D t = 4π c j frei Lorentz-Kraft: nach wie vor durch die jetzt gemittelten) Felder E, B bestimmt [ allerdings mit ρ frei, j frei : KL t) = d 3 r ρ frei t, r) Et, r) + 1 ] c j frei t, r) Bt, r) Problem: ρ frei, j frei legen i.a. E, D, B, H noch nicht fest P, M normalerweise nicht vorgegeben, sondern stellen sich erst in Abhängigkeit von E, B ein weitere phänomenologische Annahmen notwendig a. induzierte P, M atomistische Erklärung von Polarisierung und Magnetisierung Atome, Moleküle besitzen zunächst keine Dipolmomente, durch äußeres Feld werden sie aber induziert Deformation der Elektronenhülle) P E, M antiparallel B Lenzsche Regel, Diamagnetismus) b. Orientierungspolarisierung, -magnetisierung Atome, Moleküle besitzen Dipolmomente, die aber zunächst zufallsverteilt sind; werden im äußeren Feld ausgerichtet P E, M B Paramagnetismus) wegen Drehmoment der äußeren Felder auf Dipolmomente c. spontane P, M benachbarte Dipole wechselwirken miteinander Dipoldichte 0 auch ohne äußere Felder; starke Temperaturabhängigkeit nur für kleine T ; Phasenübergang bei T = T c ) und nur in geordneten Medien: Ferroelektrizität, Ferromagnetismus komplizierter Zusammenhang zwischen D und E, bzw. H und B Hysterese) Physik der kondensierten Materie früher: j E durch E, B ausgedrückt Energiebilanz jetzt: da Lorentz-Kraft ungeändert allerdings für j frei ) de Mat = d 3 r j frei dt E mit j frei E = c 4π E H) 1 H 4π B t 1 E 4π D t = S u em t 70

71 mit S = c 4π E H, u em t = 1 ) E D + H B 4π häufiger Fall s. nächster Abschnitt): D = konst. E, H = konst. B u em = 1 ) E D + H B 8π analog wie im statischen Fall für zeitlich wenig veränderliche Felder): Oberflächenladungsdichte σ frei Randbedingungen zwischen 2 Medien zur Vereinfachung: keine Oberflächenstromdichte D = 4π ρ frei B = 0 Gauß Normalkomponenten) DII D I ) n = 4π σ frei BII B I ) n = 0 H 1 c D t = 4π c j frei n HII H ) I = 0 E + 1 c Stokes Tangentialkomponenten) B t = 0 n EII E I ) = 0 diese Randbedingungen werden im letzten Abschnitt gebraucht V.2 Isotrope Medien phänomenologische Näherungen zur Lösung der Maxwell-G. in Medien eingeführt für schwache Felder: P E, M B oder H) Beispiel s. Abschnitt über Streuung): sicher nicht richtig für Ferroelektrizität, -magnetismus induziertes Dipolmoment im zeitabhängigen äußeren Feld d = q 2 E/m ω 2 0 ω2 iγω = α E mit Polarisierbarkeit α komplex, frequenzabhängig in der Fourierdarstellung) P = δ 3) r r β ) = n 0 α E β d β δ 3) r r β ) = α E β 71

72 wenn alle d β gleich: n 0 = Dichte der Atome Moleküle) Def.: elektrische Suszeptibilität χ e P = χe E D = E + 4π P = ε E ε = 1 + 4πχ e Permittivität Dielektrizitätskonstante) analog: magnetische Suszeptibilität χ m M = χm H B = H + 4π M = µ H µ = 1 + 4πχ m Permeabilität Bem.: ε 1, µ 1 ergeben MG im Vakuum, aber Achtung: makroskopische MG ableitbar durch Mittelung der fundamentalen MG, aber natürlich nicht umgekehrt selbst bei angenommenem linearen Zusammenhang verschiedene Möglichkeiten: ε, µ i.a. zeit- und ortsabhängig in Kristallen Tensoren statt Skalare Ferromagnetismus: keine Linearität mehr Hysterese) gleich B H) angeben für weitere Diskussion: räumliche Homogenität ε, µ ortsunabhängig zunächst auch Zeitunabhängigkeit vorausgesetzt ε, µ tatsächlich Konstante große Vereinfachung: Dt, r) = ε Et, r), Bt, r) = µ Ht, r) MG im wesentlichen wie im Vakuum zu lösen Kondensator mit Medium Dielektrikum) D = 4πρ frei, E = 0 ε = konst. D = 0 D = 4π q F e z = ε E Potenzial hängt mit Kraft und daher mit E zusammen: E = Φ Spannung: V = Φz = 0) Φz = d) = d E = 4π q d εf = q C Kapazität wird durch Dielektrikum erhöht immer ε 1): typische Werte von ε bei 20 C) C = εf 4πd Luft: , Glas: 4 10, Wasser: 80 72

73 Spule mit paraferro-)magnetischem Medium µ > 1) H = 4π c j frei, B = 0 µ = konst. H = 0 daher frühere Lösung für B jetzt für H: und daher: H = 4πIN e 3 cl innen = 0 außen B = µ H 4πINµ = e 3 cl innen) große Verstärkung von B relevant für Lorentzkraft, Induktion,... ) durch Eisenkern zeitabhängige Felder beschränken uns auf elektrisches Feld; Polarisierung jetzt nicht mehr instantan Ansatz Dimension der Suszeptibilität jetzt [χ e ] =s 1 ): zeitliche Faltung P t, r) = dt χ e t ) Et t, r) Kausalität: P t, r) kann nur von Et t, r) für t > 0 d.h. aus früheren Zeiten) beeinflusst werden Fouriertransformation: fω) = χ e t) = 0 für t < 0 dt ft) e iωt für f = P, E, χ e Theorie der FT leicht zu verifizieren): Faltung Produkt, d.h. P ω, r) = χ e ω) Eω, r) fouriertransformierte Suszeptibilität χ e ω) wieder dimensionslos Dω, r) = εω) Eω, r) = [1 + 4π χe ω)] Eω, r) im Oszillatormodell: εω) = 1 + 4πn 0q 2 /m ω 2 0 ω2 iωγ Bem.: εt) immer reell, εω) i.a. komplex wie im Oszillatormodell) untersuchen εω) als Funktion der komplexen Variable ω 73

74 Pole von εω), wenn ω 2 + iωγ ω 2 0 = 0 Vor.: ω 0 > Γ/2 ω 1,2 = iγ 2 ± ω0 2 Γ2 4 beide Pole in der unteren Halbebene wegen Γ > 0 Dämpfung) Beh.: kein Zufall, sondern folgt ganz allgemein aus der Kausalität Bew.: da χ e t) = 0 für t < 0 εω) = 1 + 4π χ e ω) = 1 + 4π dt χ e t) e iωt = 1 + 4π zerlegen ω in Real- und Imaginärteil: ω = ω r + iω i εω) = 1 + 4π 0 dt χ e t) e iω rt ω i t 0 dt χ e t) e iωt Integral stets für ω i 0 wegen t 0 εω) ist analytisch in der oberen Halbebene und hat dort insbesondere keine Pole) qed Wegintegral in der komplexen ω Ebene dω εω ) 1 ω ω C Integral über Halbkreis: verschwindet für R Cauchy: ω ε + + = P + ω+ε = 0 ω ε ) mit Hauptwertintegral) P = lim + ε 0 ω+ε andererseits folgt aus dem Residuensatz P + = 2πi [ εω) 1] leicht nachzuprüfen: Summe Cauchy und Residuensatz: dz dz z + z = 0 hier z = ω ω) P Dispersionsrelation εω) = 1 i π P = iπ [ εω) 1] und daher explizit dω εω ) 1 ω ω 74

75 Dispersionsrelation verbindet Re εω) Dispersion) und Im εω) Absorption) χ e t) = χ e t) impliziert Re ε ω) = Re εω), Im ε ω) = Im εω) Zerlegung der Dispersionsrelation in Real- und Imaginärteil und Benützung von dωfω) = 0 dω [fω) + f ω)] ergibt die Kramers-Kronig-Relationen Re εω) = π P 0 dω ω Im εω ) ω 2 ω 2, Im εω) = 2ω π P 0 dω Re εω ) 1 ω 2 ω 2 diese Relationen folgen einzig und allein aus der Kausalität Konsequenzen: i. im statischen Limes ω = 0) ist ε0) immer reell da Im ε0) = 0) ii. ε0): Dielektrizitätskonstante im engeren Sinn ε0) = Re ε0) 1 für Im εω) 0 nächster Abschnitt) Dispersionsrelationen kommen in vielen Bereichen der Physik zur Anwendung, z.b. auch in der Quantenfeldtheorie: Kausalität analytische Struktur von Streu-)Amplituden Dispersionsrelationen V.3 Elektromagnetische Wellen in kontinuierlichen Medien Vor.: i. isotropes und homogenes Medium: ε, µ ortsunabhängig ii. Zeit-, bzw. Frequenzabhängigkeit zugelassen: nicht zu große Frequenzen Wellenlänge λ Mittelungsbereich notwendig) iii. ρ frei = 0, j frei = 0 Ansatz: monochromatische Welle εω), etc. jetzt ohne Tilde geschrieben) { Et, } r) = Re E r) e iωt, Dt, r) = Re {εω) E r) e iωt} { Bt, } { } B r) r) = Re B r) e iωt, Ht, r) = Re µω) e iωt ω reell vorausgesetzt sonst exp. Anwachsen oder Abfall in der Zeit) εω), µω) i.a. komplex s. Oszillatormodell) 75

76 Maxwell-G. im Medium: E r) = 0, B r) = 0, E r) iω c B r) = 0 B r) + iωεµ c E r) = 0 mit B) = B) B = B analog für E wegen ρfrei = 0) E) iω c B = E ω2 εµ E = 0 c 2 ) + ω2 εµ E r) c 2 = 0, ) + ω2 εµ B r) c 2 = 0 Lösung durch ebene Wellen: { Et, } { r) = Re E0 e i k r ωt), Bt, } r) = Re B0 e i k r ωt) mit ω 2 = c2 εµ k 2 = c2 n 2 k 2 = c 2 k 2 0, k = εµ k0 da ω und c reell, εµ i.a. komplex k i.a. komplex zur Vereinfachung: k 0 reell) Def.: Brechungsindex n = εµ i.a. komplexe Funktion von ω) n = εµ = n r + iκ = n e iδ, k = nr + iκ) k 0 zusätzliche Konsequenzen der Maxwell-G. völlig analog zum Vakuumfall) k0 E 0 = 0, k0 E 0 = ω cn B 0 Folgerungen: k0 B 0 = 0, k0 B 0 = nω c E 0 wie im Vakuum E k 0, B k0, E B, aber E B wenn n 1) Polarisation ebenfalls wie im Vakuum: i.a. elliptische Polarisation betrachten Spezialfall der linearen Polarisation: E0 reell { Et, r) = E 0 Re e i k r ωt) } = E 0 cos n r k0 r ωt) e κ k 0 r B 0 = n k 0 k 0 E 0 = n e iδ k 0 k 0 E 0 Bt, r) = n k 0 k 0 E 0 cos n r k0 r ωt + δ) e κ k 0 r gedämpfte ebene Wellen in Richtung k 0 ; B zu E phasenverschoben 76

77 Phasengeschwindigkeit Maximum der ebenen Welle bewegt sich mit Geschwindigkeit v P = ω n r k 0 = c n r in Richtung k 0 : v P ω) ist i.a. frequenzabhängig Dispersion s. weiter unten) Wellenlänge: n r k 0 λ = 2π λ = 2π n r k 0 = λ 0 n r wenn κ > 0 Dämpfung der Amplituden in Ausbreitungsrichtung k 0 explizite Form im Oszillatormodell: εω) = 1 + 4πn 0q 2 /m ω 2 0 ω2 iωγ, µω) = 1 n = εµ n 2 = εµ = n 2 r κ 2 + 2in r κ, Im ε = 2n r κ Im ε = 4πn 0q 2 ωγ/m ω 2 0 ω2 ) 2 + ω 2 Γ 2 > 0 da n r > 0 in allen realistischen Fällen n r : Brechungsindex im engeren Sinn) tatsächlich Dämpfung in Richtung der Wellenausbreitung: κ = Im ε > 0 2n r Folgerung: z.b. exponentielle Abnahme der Energiedichte u em = 1 εe 8π 2 B + ) 2 µ e 2κk k0 r 0 k 0 Absorptionskoeffizient = 2κk 0 = k 0Im ε n r Intensität der Welle fällt auf einer Absorptionslänge l A = 1 2κk 0 auf e-ten Teil ab Energieverlust: Strahlung, Streuung an Atomen, Erwärmung des Mediums, etc. weitere Konsequenz der Dämpfung: Phasenverschiebung δ = arctan κ n r und betrachten wieder Oszillatormodell: a εω) = 1 + ω0 2 ω2 iωγ a = 4πn 0 q 2 /m > 0, µ = 1, n 2 = εω) Re εω) = 1 + Bt + δ ω, r) = n Et, r), n 1 i.a. aω 2 0 ω2 ) ω 2 0 ω2 ) 2 + ω 2 Γ 2 typische Frequenzabhängigkeit von n = εµ 77

78 Im εω) = aωγ ω 2 0 ω2 ) 2 + ω 2 Γ 2 ähnlicher Verlauf für Brechungsindex bei kleiner Dämpfung) und für κω) = n r ω) Re εω) Im εω) 2n r ω) bei kleiner Dämpfung: man unterscheidet daher n 2 = εµ = n 2 r κ 2 + 2in r κ 2n r dn r dω normale Dispersion dre εω) dω anomale Dispersion dn r dω > 0 wenig Absorption weit weg von Resonanz dn r dω < 0 starke Absorption Nähe einer Resonanz Dispersion beschränken uns auf normale Dispersion κ 0) n, k = n k 0 annähernd reell ebene Wellen fast wie im Vakuum allerdings: Bem.: ωk) i.a. nicht mehr linear in k, da ω 2 = c2 k 2 n 2 ωk)) n n r im weiteren nicht unterschieden physikalisch realisierbar sind Wellenpakete Et, r) = d 3 k E k) e i k r ωk)t) zur Vereinfachung Beschränkung auf eine Raumdimension f: Komponente von E, B) ft, x) = dk fk)e ikx ωk)t) verschiedene Wellenzahlen verschiedene Phasengeschwindigkeiten v P k) = ωk)/k betrachten jetzt ein fast monochromatisches Wellenpaket Spektrum der Welle: fk) 2 entwickeln ωk) um k 0, wo Spektrum ausgeprägtes Maximum hat 78

79 ωk) = ωk 0 ) + dωk) dk k=k 0 ft, x) } {{ } v G [ k k 0 ) + O k k0 ) 2] dk fk)e ikx ωk 0)t v G k k 0 )t) = e itv Gk 0 ωk 0 )) dk fk) e ikx v Gt) = e itv G k 0 ωk 0 )) f0, x vg t) Folgerung: ft, x) = f0, x v G t) wenn höhere Terme in Entwicklung von ωk) um k 0 vernachlässigbar Welle pflanzt sich fort mit Gruppengeschwindigkeit v G = dωk) dk k=k 0 Elektrodynamik Vakuum: εµ = 1 ωk) = kc v G = dωk) = c = v P dk Wellenleiter ähnlich für Plasmawellen): andere Dispersionsrelation ωk) = ωmin 2 + c2 k 2 v P = ωk) = c 1 + ω2 min k c 2 k 2 > c interessante Frage: gilt immer v G c? Wellen im Medium: ωk) = v G = dωk) dk kc nω) c 2 k = = c ω 2min + c2 k 2 v P = c n ω2 min c 2 k 2 < c leiten die Gleichung nω)ω = ck nach k ab normale Dispersion: dn dω dω dk ω + ndω dk = c v G = dωk) = dk dn dω > 0, n > 1 v G < v P < c c n + ω dn dω = c [ n 1 + ω ] dn n dω 79

80 anomale Dispersion: Im n nicht vernachlässigbar v G keine aussagekräftige Größe Gruppengeschwindigkeit v G : bei Spektrum mit scharfem Maximum Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Zentrums des Wellenpakets Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sind zu unterscheiden von der Frontoder Signal)geschwindigkeit eines im Ortsraum lokalisierten Wellenpakets Theorie der Fourier-T.: v F = lim k ωk)/k Hochfrequenzlimes: Mittelung der Kontinuumselektrodynamik nicht mehr sinnvoll Hochfrequenzwelle sieht körnige atomare) Struktur zwischen den Atomen ist aber Vakuum v F = c Plausibilitätsargument, kein Beweis) tatsächlich erfordern hohe Frequenzen Behandlung mit Quantenfeldtheorie: relativistische QFT v F = c Kausalität) eigentliche Bedeutung der in der Näherung Dispersion = Zerfließen von Wellenpaketen ωk) ωk 0 ) + v G k k 0 ) v G v P wenn v G v P : Wellenpaket zerfließt, weil verschiedene Fourierkomponenten versch. Phasengeschwindigkeiten haben offenbar höhere Terme in der Entwicklung von ωk) ausschlaggebend einfaches Modell: Gaußsches Wellenpaket mit quadratischem Term in ωk) fk) = k k 0 ) 2 b e b2 2 2π ωk) = ω a2 k 2 ) 2 v G = dωk) dk k 0 = a 2 ω 0 k 0 Konstante a, b: Längen, die Wellenpaket und Dispersion charakterisieren ft, x) = dk fk)e ikx ωk)t) = b k k 0 ) 2 dk e b2 ikx iω 0 t 1 + a2 k 2 ) 2 e 2 2π 80

81 Nebenrechnung für Exponenten: mit gt, x, k) = b2 2 k k 0) 2 + ikx iω 0 t iω 0 t a2 k 2 = b2 2 dt)2 k k 0 ) 2 + ikx v G t) iω 0 t 2 1 a2 k0 2 ) 2 = b2 2 dt)2 k k 0 ) 2 + ik k 0 )x v G t) + ik 0 x iωk 0 )t dt) 2 = 1 + iω 0a 2 b 2 t, v G = a 2 ω 0 k 0 mit neuer Integrationsvariable k = k k 0 und dem Integral 1 2π ergibt sich als explizite Form des Wellenpakets t = 0 : t > 0 : f0, x) = e x2 2b 2 x v G t) 2 ft, x) = e 2b 2 dt) 4 dt) Interpretation der Zeitabhängigkeit: k 2 dk e L2 2 e ikz = 1 z2 e 2L 2 L ft, x) = eik 0x iωk 0 )t x v Gt) 2 e 2b 2 dt) 2 dt) Maximum des Wellenpakets bewegt sich mit Gruppengeschwindigkeit v G ) 1/2 Breite b dt) 2 = b 1 + ω20 a4 t2 wächst mit t b 4 Breite wächst umso rascher, je kleiner b/a schmälere Wellenpakete zerfließen rascher Maximum wird dabei kleiner mit wachsendem t) Grund: klassische Unschärferelation x k 1 kleines b breites Spektrum fk) 2 größerer Bereich von verschiedenen Phasengeschwindigkeiten V.4 Reflexion und Brechung experimentelle Situation: 2 verschiedene Medien I, II mit Brechungsindizes n I = ε I µ I = 1), n II = ε II µ II = 1) 81

82 Vor.: Medien durch x,y)-ebene getrennt, n I reell, n II = n II,r + iκ II einfallende elektromagnetische Welle in I fällt auf Trennfläche einfallende Welle z 0) komplexe Notation) Et, r) = E 0 e i k r ωt) B = k E/k 0, k = n I k0, k E 0 = 0 Randbedg.: an Grenzfläche ρ frei = 0, j frei = 0 N.B.: Zeichnung nur für reelle E 0, E 0, E 0, n II sinnvoll Randbedingung an die Felder s. Abschnitt V.1): Tangentialkomponenten von E, H = B wegen µ = 1) stetig bei z = 0 Normalkomponenten von D, B stetig bei z = 0 muss i.a. auch eine Welle in II geben: gebrochene Welle E t, r) = E 0 e i k r ω t), B = k E /k 0 z 0) damit sind die Randbedingungen i.a. noch nicht zu erfüllen i.a. auch eine reflektierte Welle dabei gilt natürlich k 2 E t, r) = E 0 e i k r ω t), B = k E /k 0 z 0) n 2 I = k 2 0 = ω2 c 2, etc. beginnen mit Tangentialkomponenten von E [ z = 0 : e z E 0 e i k r ωt) + E 0 e i k r ω t) ] = e z E 0 e i k r ω t) muss für alle Zeiten gelten ω = ω = ω k2 n 2 I = k 2 n 2 I = k 2 n 2 II = ω2 c 2 = k2 0 k = k k, k reell) legen k in die x,z)-ebene: E e ik 1 x + k 3 z ωt) Randbedg. z = 0) y k 2 = k 2 = 0 k, k, k liegen in einer Ebene x z = 0) k 1 = k 1 = k 1 sin ϕ = k 1 k, sin ϕ = k 1 k = k 1 k 82

83 Reflexionsgesetz Einfallswinkel=Ausfallswinkel): ϕ = ϕ Vor.: κ II n II,r schwach gedämpfte Welle in II e i k r = e i Re k r e Im k r Re k definiert Richtung der gebrochenen Welle sin ϕ = k 1 Re k = k 1 Re k 0 n II) = k 1 k 0 Re n II,r + iκ II ) = k 0n I sin ϕ k 0 n II,r Brechungsgesetz Snellsches Gesetz): n I sin ϕ = n II,r sin ϕ damit sind Exponentialfaktoren in allen Wellen gleich für z = 0) verbleibende Randbedg. setzen E 0, E 0, E 0 Normalkomponenten von D, B i. ε I E 0 + E 0 ) z = ε IIE 0 e z ii. k E0 + k E 0 Tangentialkomponenten von E, H = B i.a. komplex) in Beziehung zueinander ) e z = k E 0 ) e z iii. E 0 + E 0 ) e z = E 0 e z iv. k E0 + k E ) 0 e z = k E ) 0 e z bel. einfallende Welle ist Überlagerung zweier orthogonal aufeinander linear pol. Wellen; beschränken uns hier auf den Fall, dass E 0 in der Einfallsebene liegt, d.h. E0 e y = 0 Randbedg. E 0, E 0, E 0 alle in Einfallsebene N.B.: E 0 = E 2 0, E 0 = E 2 0, ε I = n 2 I alle reell; E 0 = E 2 0, ε II = n 2 II i.a. komplex i n 2 I E0 + E 0 ) sin ϕ = n 2 II E 0 sin ϕ dabei ist die i.a. für κ II 0) komplexe Größe sin ϕ def. durch k 1 = k sin ϕ k 1 reell, k komplex) Relation ii ist identisch erfüllt, da k E e y iii E0 E 0 ) cos ϕ = E 0 cos ϕ, sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 iv: da k E e y resultierender Vektor in x-richtung da k E = 0 Produkt der Beträge k E geht ein; mit k 2 k0 2 = k 2 k 2 0 = n 2 I, n I E0 + E 0 ) = nii E 0 k 2 k 2 0 = n 2 II 83

84 i + iv allg. Form des Brechungsgesetzes für komplexes n II n I sin ϕ = n II sin ϕ iii + iv: 2 Gleichungen für E 0, E 0 ϕ mit Hilfe des Brechungsgesetzes eliminiert) E 0 E 0 = Fresnelsche Formeln für E 0 in Einfallsebene) 2n I n II cos ϕ, n 2 II cos ϕ + n I n 2 II n2 I sin2 ϕ i.a. komplexe Größen; wenn n II komplex: zeitgemittelte Energiestromdichte < S > = c 4π < E H >= c = c 8π Re { E 0 8π Re E0 H 0 ) } n k 0 k0 E 0 Reflexionskoeffizient R für E in Einfallsebene) E 0 = n2 II cos ϕ n I n 2 II n2 I sin2 ϕ E 0 n 2 II cos ϕ + n I n 2 II n2 I sin2 ϕ n 2 II n2 I sin2 ϕ = n II cos ϕ ) µ=1 = = c 8π Re c 8π Re E0 B ) 0 { } n k 0 k 0 E0 E 0 = c 8π E 0 2 k 0 k 0 Re n R = < S > < S > = E 0 2 ϕ=0 n II n I 2 E 0 2 = n II + n I 2 = n II,r n I ) 2 + κ 2 II n II,r + n I ) 2 + κ 2 II Transmissionskoeffizient T T = < S > < S > = E 0 2 Re n II ϕ=0 E 0 2 = n I Energieerhaltung: R + T = 1 für sichtbares Licht: Medium I = Luft, n I 1 Wasser: n II,r 1.33, κ II n II,r R 0.02 Wasser ist transparent: T n I Re n II n II + n I 2 = 4n I n II,r n II,r + n I ) 2 + κ 2 II Metall: n II iκ II T 0 R 1 Metallspiegel! im weiteren angenommen: n II reell E 0 E 0 = 2n I cos ϕ n II cos ϕ + n I cos ϕ, E 0 = n II cos ϕ n I cos ϕ E 0 n II cos ϕ + n I cos ϕ Folgerung: E 0 = 0 für n II cos ϕ B = n I cos ϕ zusammen mit Brechungsgesetz n I sin ϕ B = n II sin ϕ kann ϕ eliminiert werden 84

85 Ergebnis tan ϕ B = n II n I tan ϕ = n I n II = cot ϕ B ϕ B + ϕ = π 2 ϕ B : Brewsterscher Winkel bei ϕ = ϕ B : kein reflektierter Strahl wenn E in Einfallsebene bei einfallender unpolarisierter Strahlung ist reflektierte Welle vollständig polarisiert mit E Ebene Herstellung von polarisiertem Licht orth. polar. Komp. immer 0) Symmetrierelation für allgemeine Winkel: E 0 E 0 ungeändert bei ϕ ϕ und n I n II Reflexionskoeffizient gleich groß für Wellen, die von I nach II unter Winkel ϕ einfallen wie für Wellen, die von II nach I unter Winkel ϕ einfallen, wobei n I sin ϕ = n II sin ϕ Totalreflexion Einfall vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium: n II < n I beide reell) sin ϕ = n II n I sin ϕ n II n I < 1 ϕ ϕ TR = arcsin n II n I Totalreflexion für ϕ > ϕ TR Anwendungen: Glasfaser als Lichtleiter, Röntgenlinsen 85

86 VI Relativistische Formulierung der Elektrodynamik Mechanik: ausgezeichnete Rolle der Inertialsysteme Relativitätsprinzip: alle Inertialsysteme gleichberechtigt Forminvarianz der Newtonschen Gleichungen unter Galilei-Transformationen Elektrodynamik: offenbar nicht invariant unter Galilei-Transformationen, da Lichtgeschwindigkeit ausgezeichnet von Maxwell bis 1905: MG gelten in einem bevorzugten Bezugssystem, in dem der Träger der elektromagnetischen Wellen ruht Äther) Michelson und Morley 1887): Lichtgeschwindigkeit in allen Richtungen gleich, obwohl Erde sicher keine ausgezeichnete Position im Universum Bewegung der Erde im Sonnensystem, in der Milchstraße, gegenüber Fixsternen) Einstein Zur Elektrodynamik bewegter Körper, 1905): wenn c in allen Inertialsystemen den gleichen Wert hat Modifikation der Galilei-Transformationen notwendig kein Äther, aber gravierende Änderung des Zeitbegriffs Relativität der Gleichzeitigkeit wichtiger Unterschied: Galilei-Transformationen Lorentz-Transformationen Maxwellsche) Elektrodynamik ist bereits eine lorentzinvariante Theorie Newtonsche) Mechanik muss dagegen modifiziert werden, um Invarianz unter Lorentz-Transformationen zu erreichen VI.1 Relativitätsprinzip und Lorentz-Transformationen IS: t, r IS : t, r spezielle) Galilei-Transformation: t = t universelle Zeit) r = r v t d r dt = d r dt = d r dt v d2 r dt 2 = d2 r dt 2 Galilei-Invarianz der Mechanik angenommen, Elektrodynamik wäre galileiinvariant: IS: Lichtgeschwindigkeit=c IS : c = c v in Richtung v) Widerspruch zum Experiment welche Kriterien sind maßgebend? verlangen nach wie vor das Relation zwischen t, r) und t, r ) muss geändert werden Relativitätsprinzip: kein Inertialsystem ist vor einem anderen ausgezeichnet 86

87 sehr starke Einschränkung an mögliche Transformationen stellen 3 Forderungen an erlaubte Transformationen zwischen Inertialsystemen A. Eigenschaft der kräftefreien Bewegung geradlinig, gleichförmig in IS geradlinig, gleichförmig in IS Folgerung: lineare Transformation zwischen t, r) und t, r ) Eigenschaft unter räumlichen Drehungen: t, t Skalare, r, r Vektoren allgemeiner Ansatz: t = a t + b v r r = d r + e v v r) + f v t a v),..., f v) drehinvariant nur von v = v abhängig Festlegung: r = 0 soll r = v t entsprechen B. Inverse Transformation: IS d + e v 2 + f = 0 v IS IS v sehr starke Einschränkung nur mehr einzige unbestimmte Funktion av) C. Gruppeneigenschaft IS t = a t + 1 a2 a v 2 v r r = r + a 1 v 2 v v r) a v t v IS w IS IS Forderung legt av) bis auf eine Konstante K fest: av) = 1 1 v2 K 2 u =: γ IS IS selbe Struktur mit u v, w) außerdem folgt aus der Gruppeneigenschaft das Geschwindigkeitsadditionstheorem: wenn v w u = v + w 1 + vw K 2 Geschwindigkeitsadditionstheorem für allg. v, w Übungen legen v in die x-richtung: t = γ t vx ) K 2 y = y x = γ x v t) z = z 87

88 was ist die Bedeutung der Konstanten K Dimension einer Geschwindigkeit)? x 2 K 2 t 2 = γ 2 x 2 2v x t + v 2 t 2 K 2 t 2 + 2v x t v2 x 2 ) Folgerung: K 2 [ ) )] = γ 2 x 2 1 v2 K 2 K 2 t 1 2 v2 K 2 = x 2 K 2 t 2 K ist eine invariante Geschwindigkeit x = ±K t x = ±K t i. Galilei, Newton: es gibt keine endliche) invariante Geschwindigkeit K = Galilei Transformation γ = 1) : t = t y = y x = x v t z = z ii. Einstein: K = c = m s 1 Lichtgeschwindigkeit t = γ t v ) c 2 x y = y x = γ x v t) z = z spezielle eigentliche, orthochrone) Lorentz-Transformation mit γ = 1 1 v2 c 2, u = v + w 1 + vw c 2 betrachten massives Teilchen in IS mit Geschwindigkeit w < c : für v w) Lorentz-Transformation in Richtung von w): immer v < c, damit γ < in IS : für festes w ist w streng monoton wachsend in v da lim v c w = v + w 1 + vw c 2 v + w 1 + vw c 2 = c w = v + w 1 + vw c 2 Folgerung: c ist eine Grenzgeschwindigkeit massive Teilchen haben immer v < c s. Abschnitt VI.4: Relativistische Mechanik) andererseits: w = c 88 v + w 1 + vw c 2 = c < c

89 masselose Teilchen wie Photonen, s. relativistische Mechanik) haben in allen IS Lichtgeschwindigkeit c Invarianz von c) allgemeine Form einer speziellen eigentlichen, orthochronen) Lorentz-Transformation wichtigste Konsequenz: t = γ t ) v r c 2 r = r + γ 1 v 2 v v r) γ v t, γ = 1 v2 c 2 ) 1/2 da Raum- und Zeitkoordinaten gemischt keine universelle Zeit mehr Begriff der Gleichzeitigkeit nicht mehr unabhängig vom IS Ursache aller begrifflichen Schwierigkeiten der speziellen Relativitätstheorie SRT) Raum und Zeit zur Beschreibung von Ereignissen notwendig auf 1 Raumdimension beschränkt t -Achse: x = 0 x = v t, tan α = v c x -Achse: t = 0 t vx c2 = 0 x = c2 tan β = ct x = α = β ct c 2 t v = v c v t Raum-Zeit-Diagramm bereits abgeleitet: x = ±c t x = ±c t Lichtkegel Lichtkegel für 3 Raumdimensionen: r 2 = c 2 t 2 Grenzgeschwindigkeit c Tangente der Weltlinie Trajektorie in der Raum-Zeit) eines massiven Teilchens immer innerhalb des Lichtkegels Relativität der Gleichzeitigkeit Raum-Zeit-Punkte A,B: bei t = 0 gleichzeitig in IS) Lichtblitz nach rechts, bzw. links IS: A und B gleichzeitig IS : B war vor A! unausweichliche Konsequenz der Invarianz von c Zeitordnung verschiedene Bedeutung bei Galilei- und Lorentz-Transformationen 89

90 Newton Galilei) Einstein Lorentz) Zukunft Zukunft Vergangenheit Vergangenheit Gegenwart: t = t = 0 universelle Zeit Ereignisse G, G : potenzielle Gegenwart Abstand zweier Raum-Zeit-Punkte Ereignisse) definiert einen Vierervektor ct, r) lorentzinvariante Klassifizierung da c 2 t 2 r 2 unabhängig vom IS) c 2 t 2 r 2 > 0 t > 0 zeitartiger Abstand Zukunft t < 0 Vergangenheit c 2 t 2 r 2 = 0 lichtartiger Abstand c 2 t 2 r 2 < 0 raumartiger Abstand potenzielle Gegenwart potenzielle Gegenwart: IS, so dass Ereignisse gleichzeitig in diesem IS Grenzgeschwindigkeit c: nur zeitartig oder lichtartig getrennte Ereignisse können kausal miteinander verbunden sein Konsequenzen der Relativität der Gleichzeitigkeit A. Zeitdilatation Motto: Laufen erhält jung!) 90

91 Uhren synchronisiert Uhr in IS: t = T, x = 0 t = 0, x = 0 Uhr in IS : x = 0 x = v T ) T v t = 0, x = 0 t = c 2 v T = 1 v2 1 v2 c 2 T c 2 Zeitdilatation: t = 1 v2 T < T bewegte Uhren gehen langsamer c2 Relativitätsprinzip: von IS aus betrachtet, geht die in IS ruhende Uhr langsamer! Veranschaulichung mit spezieller Uhr in IS : L.-T. auf Lichtweg IS : Abstand d ungeändert t = 2d c von IS aus betrachtet: misst Zeit t = T ) c T 2 ) v T 2 = + d ) v T 2 ) c t 2 = t = 1 v2 c 2 T unausweichliche Konsequenz der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit Realität der Zeitdilatation Myonen: instabile Geschwister der Elektronen, mittlere Lebensdauer im Ruhsystem: τ µ = s zerfallen fast ausschließlich in Elektronen und Neutrinos: µ e + ν µ + ν e ) werden in Atmosphäre durch Höhenstrahlung erzeugt sollten nach einer Strecke c τ µ = m s s = 660 m zerfallen sein genauer: ursprüngliche Zahl auf e-ten Teil abgesunken) tatsächlich erreichen auch Myonen die Erde, die in 30 km Höhe erzeugt wurden Grund: wegen Zeitdilatation fliegen Myonen im Mittel eine Strecke γ c τ µ 660 m für v < c da im ISErde): t = γ t = γ τ µ τ µ Zeiten t, t offensichtlich keine invariante Bedeutung beliebig bewegte Uhr kein IS i.a.) infinitesimaler lorentzinvarianter Abstand: ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 91

92 im augenblicklichen Ruhsystem IS Geschw. vt 0 ) relativ zu IS): dx = dy = dz = 0 ds 2 = c 2 dt 2 dt = 1 ds : infinitesimale Eigenzeit dτ c für endliches Wegstück: τ 2 τ 1 = = τ2 τ 1 t2 t 1 dτ = 1 c dt t2 t 1 1 vt)2 c 2 = ds t2 dt dt = dt 1 t 1 t 2 t 1 ) d r 2 /c dt 2 ) d r dt 1 2 dt /c 2 Eigenzeit τ ist unabhängig vom Inertialsystem und für beliebige Weltlinien berechenbar offenbar gilt für Zeiten t 1, t 2 in beliebigem IS) τ 2 τ 1 t 2 t 1 Messung des anomalen magnetischen Moments des Myons Myon-Speicherring Brookhaven National Laboratories): Myonen durch Magnetfeld auf Kreisbahn gehalten v c γ = 29.3 vτ µ cτ µ = 660 m naive Erwartung: Myonen im Mittel nach n = 660 m 2Rπ = 7.5 Runden zerfallen tatsächlich zerfallen die Myonen im Mittel erst nach 220 Runden sehr genaue Bestätigung des γ-faktors T τ µ = dt 1 v2 t) c 2 = T 1 v2 c 2 T = γ = 220 τ µ 7.5 = Bem.: v = c würde n = 168 Runden ergeben sehr präziser Test für SRT biologisch unbedenkliche Version des Zwillingsparadoxons: Vergleichsprobe von Myonen in Ruhe sind im Mittel bereits nach τ µ zerfallen, während die beschleunigten Myonen γτ µ leben, also 29.3 mal länger N.B.: kein Paradoxon, da kreisende Myonen kein Inertialsystem definieren! B. Lorentzkontraktion=Längenkontraktion Motto: Laufen macht schlank!) Übereinkunft: Längen immer zu gleichen Zeiten in geg. IS gemessen da Gleichzeitigkeit vom IS abhängt, auch Längenmessung abhängig vom IS 92

93 Stab der Länge L soll in IS ruhen Messung in IS zur Zeit t = 0: x = AB Messung in IS : x = AB = L x = L : L γ = x v t t = 0 : x B = x = L γ = x γ x = 1 v2 c 2 x Folgerung: bewegte Maßstäbe sind kürzer Konsequenz aus Def. der Längenmessung und Relativität der Gleichzeitigkeit VI.2 Minkowski-Raum und Lorentz-Gruppe L.-T. mischen räumliche und zeitliche Komponenten ct, r) zu Vierervektor zusammengefasst, Koordinaten parametrisieren Ereignisse = Punkte in der Raum-Zeit Minkowski-Raum M 4 ) Skalarprodukt in M 4 Ziel: c 2 t 2 r 2 lorentzinvariante Größe im Gegensatz zu c 2 t 2 + r 2 ) Basis in M 4 : e µ µ = 0, 1, 2, 3) Konvention: griechische Indizes für Vierervektoren µ = 0, 1, 2, 3), keine Vektorpfeile lateinische Indizes für Dreiervektoren i = 1, 2, 3), Vektorpfeile Def. des Skalarprodukts in M 4 : e µ e ν = η µν = η µν : metrischer Tensor pseudo-euklidische Metrik) x M 4 : x = x µ e µ Summenkonvention! x µ = x 0, x 1, x 2, x 3 ) x 0 = c t, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z kontravariante Komponenten des Vierervektors x lorentzinvariantes aber nicht positiv definites) Skalarprodukt x y = x µ e µ y ν e ν = x µ y ν e µ e ν = x µ y ν η µν 3 = x 0 y 0 x i y i = x 0 y 0 x y i=1 x 2 := x x = x 0 2 r 2 = c 2 t 2 r 2 93

94 bis jetzt: spezielle L.-T. betrachtet Boosts) suchen jetzt allgemeine lineare Transformationen x x, y y der Form z µ = L µ νz ν + a µ z = x, y mit reeller 4x4-Matrix L und reellem Vierervektor a, die den lorentzinvarianten Abstand ungeändert lassen x y) 2 = η µν x y) µ x y) ν = x 0 y 0 ) 2 x y) 2 Komponenten a µ : zeitliche µ = 0) und räumliche µ = i = 1, 2, 3) Translationen homogener Anteil zur Vereinfachung y = 0 gesetzt): x 2 = η µν x µ x ν = η µν L µ λ Lν ρx λ x ρ = x 2 = η λρ x λ x ρ mit der transponierten Matrix: L µ λ η µν L µ λ Lν ρ = η λρ = L µ λ η µνl ν ρ L η L = η := L µ λ Analogie zu orthogonalen Transformationen: O 1 O = 1 Lorentz-Transformationen sind pseudo-orthogonale Transformationen spezielle L.-T. in x-richtung: c t = γ c t v ) c x x = γ x v ) c c t y = y z = z Def.: γ =: cosh ψ Rapidität ψ γ v c γ 0 0 L µ λ = v c γ γ sinh 2 ψ = cosh 2 ψ 1 = γ 2 1 = v2 /c 2 1 v 2 /c 2 = v2 c 2 γ2 im x 0, x 1 ) Unterraum ) cosh ψ sinh ψ L = sinh ψ cosh ψ pseudo orthogonale Transformation Menge aller L.-T. bilden die Lorentz-Gruppe: L i η L i = η i = 1, 2) L 1 L 2 ) η L 1 L 2 = L 2 L 1 η L 1 L 2 = L 2 η L 2 = η bekannte Untergruppe: L = 0 0 D D 1)D = 1 D D = 1 0 orthogonale Gruppe O3) zur Erinnerung: orthogonale Gruppe O3) zerfällt in 2 Teile 94

95 det D = 1 Drehungen SO3) det D = 1 Drehspiegelungen keine Gruppe Lorentz-Gruppe O3, 1): 4 Zusammenhangskomponenten L η L = η det L det η }{{} 1 det L) 2 = 1 det L = ±1 det L = det η }{{} 1 ) L η L = η 00 = 1 = η µν L µ 0 00 Lν 0 = L 0 ) 2 3 ) 0 L i 2 0 i=1 L 0 0 ) 2 1 daher: L 0 0 entweder 1 oder 1 det L sgn L 0 0 L L -1 1 P L P T L -1-1 T L + : Untergruppe SO3, 1) der eigentlichen orthochronen L.T. L + L : Untergruppe der orthochronen L.T. spezielle L.T. Boost) in x-richtung: cosh ψ L = sinh ψ sinh ψ cosh ψ 1 1 det L = cosh 2 ψ sinh 2 ψ = 1 cosh ψ 1 sgn L 0 0 = 1 eigentlich, orthochron Raumspiegelung Parität) x 0 = x 0, x i = x i det L = 1, sgn L 0 0 = 1 Zeitumkehr T x 0 = x 0, x i = x i det L = 1, sgn L 0 0 = 1 N.B.: nur eigentliche orthochrone L.T. sind stetig mit der Einheit verbunden fundamentale Wechselwirkungen: Naturgesetze sind nach derzeitigem Stand invariant bezüglich L + plus Translationen) aber nicht bezüglich P und T verletzt durch schwache Wechselwirkungen) starke und elektromagnetische Wechselwirkungen invariant unter der gesamten Poincaré-Gruppe semi-direktes Produkt von Lorentz-Gruppe und Translationen) 95

96 o.b.: jede eigentliche orthochrone L.T. kann als Produkt einer Drehung um den Winkel φ um eine Achse φ = φ n und einer speziellen L.T. Boost) mit Geschwindigkeit v dargestellt werden x = L Rot φ) L Boost v) x + a VI.1) Folgerung: Lorentz-Gruppe hat 6 Parameter φ, v) Poincaré-Gruppe hat 10 Parameter φ, v, a µ ) Poincaré-Invarianz 10 Erhaltungsgrößen selbe Anzahl wie bei Galilei-Invarianz) Tensoren und Tensorfelder auf dem Minkowski-Raum Def.: 4 Größen V µ = V 0, V 1, V 2, V 3 ) bilden die kontravarianten Komponenten eines Vierervektors V = V µ e µ, wenn sie sich unter Poincaré-T. wie die Differenziale dx µ transformieren dx µ = L µ νdx ν V µ = L µ νv ν L η L = η) Transformation der Basisvektoren: e ν = e µ L µ ν passive Transformation) Tensoren: V = V ν e ν = V ν e µ L µ ν = L µ ν V ν e µ = V µ e µ n-stufiger Lorentz-Tensor T = T µ 1...µ n e µ1 e µn mit kontravarianten Komponenten: Basisvektoren e µ des Dualraums von M 4 : 1 e µ e ν = δ µ ν = Beh.: e ν = η νµ e µ Bew.: T µ 1...µ n = L µ 1 ν1... L µn ν n T ν 1...ν n = δ ν µ e µ e ν = e µ η νλ e λ = η νλ e µ e λ = η νλ δ λ µ = η νµ = η µν wie im Euklidischen: M 4 kann mit seinem Dualraum identifiziert werden V = V µ e µ = V µ η µν e ν =: V ν e ν Def.: V ν = η µν V µ = η νµ V µ kovariante Komponenten des Vierervektors V V µ = V 0, V 1, V 2, V 3 ) = V 0, V 1, V 2, V 3 ) Transformationsverhalten der kovarianten Komponenten leicht nachzuprüfen): analog für beliebige Tensoren Indexziehen mit metrischem Tensor): V µ L µ ν = V ν T µ1...µ n = η µ1 ν 1... η µnν n T ν 1...ν n T ν1...ν n = T µ 1...µ n L µ 1 ν1... L µn ν n 96

97 metrischer Tensor ist ein invarianter Tensor 2. Stufe mit kovarianten Komp. η µν : kontravariante Komponenten: η µν L µ λ Lν ρ = η λρ η µν = η µν η µν = η µλ η νρ η λρ η µν = η µν daher Indexziehen auch mit η µν : V µ = η µν V ν auch gemischte Tensorkomponenten möglich, z.b. δ µ ν gemischte Komponenten des metrischen Tensors: δ µ ν = η µλ η λν = η νλ η λµ = δ ν µ N.B.: ˆδµν = diag1,1,1,1) sind nicht die kovarianten) Komponenten eines invarianten Tensors einfachster Tensor: Skalar = Tensor nullter Stufe invariant unter L.T.) wichtiges Beispiel: elektrische Ladung q ist ein Skalar außerdem: Skalarprodukt zweier Vierervektoren ist ein Skalar weitere wichtige Lorentz-)Skalare: V W = η µν V µ W ν = η µν V µ W ν = V µ W µ = V µ W µ 4-dimensionales Volumselement d 4 x = dx 0 dx 1 dx 2 dx 3 = c dt dx dy dz d 4 x = det x µ } x {{ ν d 4 x = d 4 x } wegen det L = 1) L µ ν invariantes Linienelement ds 2 = c dt) 2 d r) 2 = η µν dx µ dx ν = dx µ dx µ 4-dimensionaler ε-tensor Levi-Cività-Symbol): Def.: kovariante Komponenten 1 µνρσ) gerade Perm. von 0123) ε µνρσ = 1 µνρσ) ungerade Perm. von 0123) 0 sonst ε-tensor ist ein invarianter Pseudo-Tensor: ε µνρσ L µ αl ν β Lρ γl σ δ = det L ε αβγδ dreht bei uneigentlichen L.T. das Vorzeichen um wie 3-dimensionaler ε-tensor bei Drehspiegelungen) Relativitätsprinzip: Naturgesetze haben in jedem IS dieselbe Form Tensorgleichungen T 1 = T 2 beide Seiten gleiches Verhalten bei IS IS ) Feldtheorie im Gegensatz zur Punktmechanik): Tensorfelder T x) mit kontravarianten) Komponenten T µ 1...µ n x) 97

98 Lorentz-Transformation für Tensorfelder: T µ 1...µ n x ) = L µ 1 ν1... L µn ν n T ν 1...ν n x) d.h.: Raum-Zeit-Argumente müssen ebenfalls transformiert werden! skalares Feld: Φ x ) = Φx) Vektorfeld, Tensorfeld z.b. elm. Feldstärke-Tensor), etc.: V µ x ) = L µ ν V ν x), F µν x ) = L µ λ Lν ρ F λρ x),... Feldgleichungen enthalten Ableitungen von Tensorfeldern; einfachstes Beispiel: Φx) 4-Gradient eines skalaren Feldes mit Komponenten x µ Transformationsverhalten unter L.T.: Φx) x ν = Φ x ) x ν = Φ x ) x µ x µ x ν = Φ x ) x µ Lµ ν Φ, µ := Φ x µ sind die kovarianten Komponenten des Gradientenvektorfeldes Φ analog für mehrfache Ableitungen, Indexziehen wie bei allen Tensoren spezieller Differenzialoperator: konkret: η µν x µ x ν = ηµν µ ν = µ µ = 1 2 c 2 t 2 2 = 1 2 x i x i c 2 t 2 = d Alembert-Operator ist ein lorentzinvarianter Differenzialoperator ist T x) ein Tensorfeld n-ter Stufe, dann ist auch T x) Kontraktion analog wie für euklidische Tensoren): sind T µ 1...µ n die kontravarianten) Komponenten eines Tensors n-ter Stufe, dann sind T µ 1...µ i 2 ν µ i+1...µ n ν = η µi 1 µ i T µ 1...µ i 2 µ i 1 µ i µ i+1...µ n die kontravarianten) Komponenten eines Tensors der Stufe n-2 VI.3 Elektrodynamik Ziel: MG in lorentzkovariante Form bringen Tensorgleichungen im Minkowski-Raum) Elektrodynamik erfüllt Relativitätsprinzip für L.-T. Ladungs- und Stromdichte als Felder in M 4 : ρx) = ρt, r), jx) = jt, r) betrachten stromführenden Draht in 2 verschiedenen IS alle Ladungen haben gleiche Geschwindigkeit) 98

99 IS IS alle Ladungen Geschw. v mitbewegtes System ruhende Ladungen) Ladungserhaltung: Gesamtladung q unabhängig vom IS q ist ein Skalar) da Querschnitt F bei L.T. nicht geändert q = L F ρx) = L F ρ x ) Lorentz-Kontraktion: L = γ 1 L bewegter Draht kürzer) ρ x ) = L L ρx) = γ 1 ρx), jx) = ρx) v Beh.: ρ und j transformieren unter L.T. wie t und r j µ x) = kontravariante Komponenten der Viererstromdichte) jx) Vektorfeld) Bew. da v j): ρ x ) = γ ρx) v ) ) c 2 jx) = γρx) 1 v2 = γ 1 ρx) c 2 ) cρx), jx) ) j x ) = γ v ρx) + jx) = 0 qed Kontinuitätsgleichung: ρ + j = cρ) ct) + 3 i=1 j i x i = jµ x µ = 0 da jµ x µ =: µj µ =: j µ,µ skalares Feld Kontinuitätsgleichung Stromerhaltung) lorentzinvariante Aussage: µ j µ = 0 Viererstrom für Punktteilchen Weltlinie z µ s) mit Weglänge s invariante Weglänge s = cτ) Geschw.: vs) = c d z dz 0 = cd z ds ds dz 0 für geg. x 0, r : x 0 = z 0 s) sx 0 ) ρ, j nur dann 0, wenn r = zsx 0 )) 99

100 ρx 0, r) = q δ 3) r zs)) jx 0, r) = q vs) δ 3) r zs)) Ziel: Viererstrom jx) in manifest kovariante Form bringen für jede stetige Funktion fx 0 ) gilt offenbar parametrisieren z 0 mit Weglänge s dz 0 δx 0 z 0 ) fz 0 ) = fx 0 ) ds dz0 ds δx0 z 0 s)) fz 0 s)) }{{} gs) und daher für gs) = δ 3) r zs)), bzw. gs) = d z ds cq cq = fx 0 ) }{{} gs) ds dz 0 δ3) r zs)): ds dz0 ds δx0 z 0 s)) δ 3) r zs)) = cq δ 3) r zs)) = c ρx) ds d z ds δx0 z 0 s)) δ 3) r zs)) = q vs) δ 3) r zs)) = jx) endgültige Form j µ x) = c ρ, j) = c q ds dzµ ds δ4) x zs)) mit 4-dimensionaler δ Funktion δ 4) x) = δx 0 ) δ 3) r) leicht nachzuprüfen: δ Funktion ist eine lorentzinvariante Distribution δ 4) x ) = δ 4) x) für x µ = L µ νx ν damit folgt sofort das richtige Transformationsverhalten j µ x ) = L µ νj ν x) Def.: Vierergeschwindigkeit us) eines Punktteilchens mit kontravarianten Komponenten u µ s) = c dzµ ds = dz 0 cdzµ dz 0 ds = cdz0 1, d z ) ds dz 0 mit ds 2 = dz 0 2 d z) 2 : ds dz 0 = 1 ) d z 2 dz 0 = 1 v2 c 2 = γ 1 u µ s) = γ c, vs)) u µ u µ = γ 2 c 2 v 2 ) = c 2 100

101 us) ist ein zeitartiger Vierervektor Vierervektorfeld des Stromes: j µ x) = q ds u µ s) δ 4) x zs)) inhomogene MG: Φx) = 4π ρx), Ax) = 4π c jx) da d Alembert-Operator = 1 c 2 2 t 2 = µ µ lorentzinvarianter Differenzialoperator A µ x) = 4π c jµ x) inhomogene MG für das Viererpotenzial Ax) mit Komponenten A µ x) = gilt allerdings nur in der Lorenz-Eichung 1 Φ c t + A = Φ x i=1 A i x i = Aµ x µ = µa µ = A µ, µ = 0 Lorenz-Eichung ebenfalls lorentzinvariante Aussage Bem.: Lorentzinvarianz hier von Vorteil, aber nicht unbedingt notwendig, da Potenziale keine unmittelbare physikalische Bedeutung auch nichtlorentzinvariante Eichungen möglich) Eichtransformation: Φ x) = Φx) 1 c Λx) t = Φx) Λx) x 0 = Φx) Λx) x 0 A x) = Ax) + Λx) A i x) = A i x) + Λx) x i A µ x) = A µ x) Λx) x µ = A µ x) µ Λx) Φx), Ax) ) = A i x) Λx) x i Def.: elektromagnetischer Feldstärketensor F x) 2-stufiges Tensorfeld) F µν x) := Aµ x) x ν Aν x) x µ = ν A µ x) µ A ν x) = F νµ x) Eichtransformation: F µν = ν A µ µ A ν = ν A µ µ A ν ν µ Λ) + µ ν Λ) = F µν F x) ist ein eichinvariantes Tensorfeld F µν = F νµ 6 unabhängige Komponenten F 0i = i A 0 0 A i = A0 Ai = A0 x i x 0 x i Ai c t = Φ x i 1 A i c t = E i E = Φ 1 c 101 A t )

102 Achtung: E i und B i ) sind nicht die kovarianten) Komponenten eines Vierervektors, sondern Komponenten eines 2-stufigen Tensors! in der Lorenz-Eichung: F ij = j A i i A j = Ai x j Aj x i = Ai x j + Aj x i 0 E x E y E z F µν = E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0 = ε ijk B k ν F µν = F µν x ν = ν ν A µ µ A ν ) = A µ µ ν A ν ) = 4π c jµ Folgerung: µ ν F µν = 0 = µ j µ Stromerhaltung Kontinuitätsgleichung) eichinvariante, manifest lorentzkovariante Form der inhomogenen MG: ν F µν = 4π c jµ Def.: dualer Feldstärketensor F mit kovarianten Komponenten 0 B x B y B z F µν = 1 2 ε µνρσf ρσ F µν = B x 0 E z E y B y E z 0 E x B z E y E x 0 homogene MG Übungen): 1 2 ε µνρσ ν F ρσ = ν Fµν = 0 manifest lorentzkovariante Form der Maxwell-Gleichungen ν F µν = 4π c jµ, ν F µν = 0 Bem.: F ist ein Pseudotensor 2. Stufe mit F = F Involution) Asymmetrie zwischen F, F E B bis auf Vorzeichen) wegen Abwesenheit magnetischer Monopole: ν F µν = 0 Lorentz-Kraft nicht in lorentzkovarianter Form zuerst relativistische Mechanik formulieren 102

103 lorentzinvariante Kombinationen von E, B F x) 2-stufiges Tensorfeld F µ µ skalares Feld, allerdings F µ µ 0 skalare Kombinationen mindestens quadratisch in E, B F µν F µν = 2F 0i F 0i + F ij F ij = 2 B 2 E 2) Skalar ε µνρσ F µν F ρσ = 4ε 0ijk F 0i F jk = 4ε ijk F 0i F jk = 8 E B Pseudoskalar Folgerungen: rein elektrisches Feld E in IS kann nicht zu einem rein magnetischen Feld B in IS werden E B gilt in allen IS, da E B = 0 lorentzinvariante Aussage Strahlungsfeld!) L.T.: x µ = L µ νx ν Lorentz-Transformation der Felder E, B F x) 2-stufiges Tensorfeld F µν x ) = L µ λ Lν ρf λρ x) für spezielle L.T. in x-richtung Boost: v = v e x ) γ γ v 0 0 c L µ ν = γ v γ 0 0 c explizite Berechnung von E xx ) = E x x), B xx ) = B x x), F µν x ) = L µ λ F λρ x)l ν ρ : E yx ) = γ E y x) v ) c B zx) B yx ) = γ B y x) + v ) c E zx) L = L in diesem Fall, E zx ) = γ, B zx ) = γ E z x) + v ) c B yx) B z x) v ) c E yx) Notation: E = E e x + E, analog für B E x ) = E x), B x ) = B x) E x ) = γ E x) + v ) c B x), B x ) = γ B x) v ) c E x) Feld einer gleichförmig bewegten Ladung Ladung q soll im Ursprung von IS ruhen: E x ) = q r r 3, B x ) = 0 103

104 Trajektorie des Teilchens: IS : z 0 s) = s, z s) = 0 IS : z 0 s) = γ s, z 1 s) = γ v s/c, z 2 = z 3 = 0 Berechnung von Ex), Bx) aus E x ), B x ) = 0 z 0 s) = c t t = γ s/c z 1 = v t in früheren Transformationsgleichungen v v, mit d 2 = y 2 + z 2 E x x) = E xx q x ) = x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 = γ qx vt) [γ 2 x vt) 2 + d 2 ] 3/2 E y x) = γe yx γ q y ) = [ ] 3/2, E zx) = γe zx γ q z ) = [ ] 3/2 B x x) = B xx ) = 0, B y x) = γ v c E zx ) = γ q zv/c B z x) = γ v c E yx ) = γ q yv/c [ ] 3/2 [ ] 3/2 betrachten jetzt Momentaufnahme von E zur Zeit t = 0, wo Ladung gerade im Ursprung von IS ist z = 0) r Et = 0, r) = γ q [γ 2 x 2 + d 2 ] 3/2 = q r γ 2 [x 2 + γ 2 d 2 ] 3/2 = q 1 v 2 /c 2 ) r r 2 v 2 d 2 /c 2 ) 3/2 d = 0 : E q r v2 = 1 r3 c 2 ) E < E v=0 x = 0 : E = q 1 v 2 /c 2 ) r [d 2 1 v 2 /c 2 ] 3/2 = q r 1 v 2 /c 2 r 3 E > E v=0 Konsequenz: Ionisationsdichte eines geladenen Teilchens in Materie v c: Abnahme mit v, da weniger Zeit zum Ionisieren v < c: Feld um Ladung breiter mehr Atome im Umgebung ionisiert 104

105 Bremsstrahlung sehr schnelles Teilchen nur in dünner Scheibe um augenblicklichen Ort E 0, B 0; wenn Teilchen plötzlich abgebremst oder gestoppt Feld kann nicht instantan folgen, sondern fliegt in Vorwärtsrichtung gebündelt weiter s. VI.5: Synchrotronstrahlung) Dopplereffekt und Aberration Sternenlicht fällt auf Erde: als ebene Welle mit Wellenvektor k genähert IS: Stern ruht IS : Ruhsystem Erde L.T. in x-richtung) E, B aus Viererpotenzial berechnen: A µ x) = A µ k) e i k r ω t) Def.: Vierervektor k mit k µ = ω/c, k) k x = η µν k µ x ν = k µ x µ = ω t k r A µ x ) = L µ νa ν x) = L µ νa ν k) e i k x = A µ k ) e i k x k x = k x k µ = L µ νk ν nicht überraschend: k ist ein lichtartiger Vektor k 2 = ω 2 /c 2 k 2 = 0 k µ = ω c 1, cos θ, sin θ, 0), k µ = ω 1, cos θ, sin θ, 0 ) c 1 γ γ v/c ω cos θ c sin θ = ω γ v/c γ 0 0 cos θ c sin θ ω = ω γ 1 v ) c cos θ, ω cos θ = ω γ v ) c + cos θ, ω sin θ = ω sin θ tan θ = sin θ γ cos θ v ), ω = c ω 1 v ) c cos θ = ω 1 v 2 /c 2 1 v 2 /c v cos θ c 105

106 Dopplereffekt θ = 0, v > 0: ω = ω 1 v 2 /c 2 θ = π, v > 0: ω = ω 1 + v c 1 v/c = ω < ω Rotverschiebung Stern entfernt sich) 1 + v/c 1 + v/c > ω Blauverschiebung Stern nähert sich) 1 v/c θ = π/2: ω = ω 1 v 2 /c 2 transversaler Dopplereffekt charakteristisch für L.T. Zeitdilatation), erstmals 1938 expt. bestätigt für kleine Geschwindigkeiten Frequenzänderung Ov 2 /c 2 ) für θ π/2 dominieren für kleine v i.a. Terme der Ov/c) Bem.: systematische Rotverschiebung durch Expansion des Weltalls v = H d, Hubble- Konstante H, H Jahre), relativ dazu auch Blauverschiebung möglich z.b. in Doppelsternen) außerdem Gravitationsrotverschiebung: Photonen verlieren Energie, wenn sie sich aus Gravitationsfeld des Sterns entfernen Arbeit notwendig, um Gravitationsanziehung zu überwinden) Schallwellen: elastisches Medium ausgezeichnetes System Dopplerverschiebung abhängig davon, ob Quelle oder Empfänger sich bewegt; außerdem natürlich keine Zeitdilatation Aberration tan θ sin θ = γ cos θ v ) tan θ 2 = 1 + v/c 1 v/c tan θ 2 c Folgerung: für v > 0, 0 < θ < π θ > θ Interpretation: zur Ov/c) Galilei-Transformation: c c + v sin θ = h ct tan θ = h a, cos θ = a + v T c T tan θ = c T sin θ c T cos θ v T = Bradley 1728 Regenschirmeffekt endliche Laufzeit des Lichts im Fernrohr) sin θ cos θ v c Einfluss von γ für Sternenlicht gering Effekt der Ov 2 /c 2 ) meist vernachlässigbar Konsequenz: scheinbare Änderung von Sternpositionen durch Erdbewegung IS: Ruhsystem der Sonne IS : mit Erde mitbewegtes System v Erde 30 km/s v/c 10 4 ) 106

107 z.b. für Stern orthogonal auf Umlaufbahn θ = π/2): tan θ = c v γ θ π/2 v c 10 4 Stern beschreibt in einem Jahr Kreis mit Öffnungswinkel π VI.4 Relativistische Mechanik Newton: m d2 r dt 2 = d p dt = K offensichtlich nicht lorentzinvariant, da galileiinvariant für entsprechendes K) dx Hauptgrund: kein Vierervektor dt naheliegende Modifikation: t Eigenzeit τ dτ = ds ) c = dt 1 v 2 /c 2 Vierergeschwindigkeit des Teilchens zeitartiger Vektor) dx µ τ) dτ = c dxµ s) ds = u µ s), u µ = γ c, v) zur Erinnerung: u µ u µ = c 2 dxµ dx µ ds ds = c2 Viererimpuls relativistische Verallgemeinerung des Newtonschen Impulses) p = m u p µ = m γ c, v) = m ) c, v 1 β 2 1 β 2 β 2 := v 2 /c 2 p = m v 1 β 2 v c p Newton = m v, Bedeutung von p 0? Wirkung des freien Teilchens in der relativistischen Mechanik freies Teilchen: Gerade Extremum der Wirkung sollte als Lösung Gerade ergeben Forderung: Wirkung S soll lorentzinvariant sein S = a 2 1 ds = a c 2 1 dτ a > 0 Konstante 107

108 Wirkung S minimal, da daher in beliebigem IS: N.B.: S = a c 2 1 t2 t 1 dt ds maximal für Gerade Geodäte in M 4 ) 1 v2 t) c 2 L = a c Lagrangefunktion L keine lorentzinvariante Größe! 1 v2 t) c 2 nichtrelativistischer Limes: ) L = a c 1 v2 2c 2 + Ov4 c 4 ) = a c + a v2 2c +... a = m c S = m c 2 1 ds, L = m c 2 kanonischer Formalismus immer noch für freies Teilchen) Impuls im gewählten IS): Energie: Folgerung: p i = L ẋ i = m c2 v i/c 2 1 β 2 E = p v L = E/c, p) = mγ c, v) = m u µ = p µ v c : E = }{{} m c 2 + Ruhenergie Energie-Impuls-Relation: 1 v2 t) c 2 p = m v 1 β 2 v c m v m v2 + m c2 1 v 2 /c 2 ) = m c2 = 1 β 2 1 β 2 1 β 2 p0 c m 2 v2 }{{} kinetische Energie Vierervektor des Impulses p + O m v4 c 2 ) p µ = m u µ p 2 = p µ p µ = m 2 u 2 = m 2 c 2 E 2 c 2 p 2 = m 2 c 2 E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 = c 2 p 2 + m 2 c 2 ) Hamiltonfunktion des freien Teilchens: H = c p 2 + m 2 c 2 p m c : H = mc p 2 1 m 2 c 2 = m c2 + p 2 ) 2m 2 c = m c 2 + p 2 2m +... m 0: Impuls und Energie divergieren für v c massives Teilchen kann sich nicht mit Lichtgeschwindigkeit bewegen m = 0: Photonen, Gluonen, etc. haben E = c p entspricht ω = c k) da allgemein gilt freies Teilchen): p = E v c 2 v = c Teilchen mit Wechselwirkung dp p Vierervektor auch dτ = mdu dτ = x md2 dτ 2 Vierervektor relativistische Verallgemeinerung des Newtonschen Gesetzes 108

109 m d2 x dτ 2 = dp dτ = K Viererkraft Einschränkungen an die Komponenten K µ : Beh.: u µ u µ = c 2 d du µ dτ u2 = 0 = 2u µ dτ du µ m u µ dτ = u µk µ = 0 K µ sind die kontravarianten Komponenten eines raumartigen Vierervektors Bew.: u zeitartig IS, in dem zu einem gegebenen Zeitpunkt u µ = c, 0) momentanes Ruhsystem des Teilchens) u µ K µ = 0 c K 0 = 0 K 0 = 0 in diesem IS K µ = 0, K) K 2 = K 2 < 0 raumartig invariante Aussage) im momentanen Ruhsystem des Teilchens v = 0): m d2 x 0 dτ 2 = 0, m d2 r dτ 2 = md2 r dt 2 = K N in beliebigem IS wo Teilchen Geschwindigkeit v) Newtonsche Kraft K µ = L µ νk ν R, K ν R = 0, K N ) K transformiert wie r, allerdings ist K 0 R = 0 K µ = γ v K ) N, K c N + γ 1 v 2 v v K N ) K 0 = γ c v K N = γ c dp 0 dτ = K0 = γ dp0 dt = γ c da dt, wobei da = Leistung der Kraft am Teilchen dt da dt dp 0 c) dt = da dt Änderung der Energie E = p 0 c durch die von der Kraft am Teilchen geleistete Arbeit Folgerung: relativistischen Erhaltungsgrößen entsprechen die Komponenten p µ folgt vor allem auch aus Invarianz gegenüber zeitlichen und räumlichen Translationen) E = p 0 c und nicht etwa T = p 2 ist erhalten modulo potenzieller Energie) 2m Umwandlung von Ruhenergie m c 2 in kinetische Energie möglich tägliches Brot der Kern- und Teilchenphysik Zerfälle, Streuprozesse) Zerfall eines massiven Teilchens in 2 andere Teilchen Beispiele: π 0 2 γ, π + µ + ν µ, Z 0 e + e, etc. Energie-Impuls-Erhaltung P = p 1 + p 2 109

110 Gleichung für Vierervektoren E/c, P ) = E 1 /c, p 1 ) + E 2 /c, p 2 ) E = M 2 c 4 + P 2 c 2, E a = m 2 ac 4 + p 2 ac 2 a = 1, 2) gilt in jedem IS, insbesondere im Ruhsystem des zerfallenden Teilchens: P = 0 p 1 = p 2 =: p einzige verbleibende Gleichung: E/c = M c = E 1 + E 2 )/c = m 2 1 c2 + p 2 + m 2 2 c2 + p 2 c m 1 + m 2 ) Zerfall nur für M m 1 + m 2 möglich, Massendifferenz kinetische Energie Ruhsystem: p a P = E a M π 0 2 γ: E 1 = c2 M 2 + m 2 1 m 2 2M 2), E2 = c2 M 2 + m 2 2 m 2 2M 1) Zerstrahlung neutraler π-mesonen M π MeV/c 2, m 1 = m 2 = 0 E 1 = E 2 = 1 2 M c MeV γ-strahlung sichtbares Licht zum Vergleich: z.b. λ violett 400 nm E = ω = h ν = c 2π λ ev m 2π λ Teilchenerzeugung E violett 3.1 ev Beispiel: e + + e Z 0 Speicherring Large)Electron)Positron)/CERN warum Speicherring statt Positronen auf Materie jede Menge Elektronen)? P Z = p E + p P M 2 Zc 2 = 2m 2 ec 2 + 2p E p P Labor-System LS): ruhende Elektronen p E = m e c, 0), p P = EP LS ) /c, p P daher E LS P = c4 MZ 2 ) 2m2 e 2m e c 2 2p E p P = 2m e E LS P = c 2 MZ 2 2m 2 ) e M Z 2 c4 91 GeV)2 2m e c2 1 MeV GeV = TeV so hohe Energien werden noch lange nicht in Beschleunigern erzeugt werden können Schwerpunkt-System SS): LEP ) M Z c, 0 = E SS E /c, p ) + E SS P /c, p ) E SS E = ESS P = m 2 ec 4 + p 2 c 2 = 1 2 M Zc 2 = 45.6 GeV Vergleich LS mit SS gewaltiger Vorteil der Speicherringe: E SS P E LS P = M Zc 2 2m e c 2 2 M 2 Z c4 = m e M Z =

111 Streuprozesse T 1 + T 2 X 1 + X X n p 1 + p 2 = q 1 + q q n i.a. nur mit Quantenfeldtheorie zu behandeln insbesondere für n > 2) Schwellenbedingung wie vorher): p 1 + p 2 ) 2 m 1 + m m n ) 2 c 2 immer erfüllt für elastische Streuung T 1 + T 2 T 1 + T 2 Beispiel: Compton-Streuung γq) + e p 1 ) γq ) + e p 2 ) Labor-System: ruhendes Elektron-Target p 1 = m e c, 0) ) E γ /c, q) + m e c, 0 = E γ/c, q ) + m 2 ec 2 + p 2 2, p 2 ) E γ = ω, E γ = ω E 2 γ = c 2 q 2, E 2 γ = c 2 q 2 ω ω = E γ E γ = E γ m e c 2 sin2 θ 2 nichtrelativistisch: geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld d p N dt = K L = q E + v ) c B dp muss in kovariante Form gebracht werden: dτ = K Standardüberlegung Kovarianz): K muss Vierervektor sein, der linear in E, B, d.h. in F ist; Vierergeschwindigkeit u enthält; im nichtrel. Limes v 0) K µ = 0, q E) ergibt Ansatz: K µ = b F µν u ν mit Konstante b NR-Limes v 0): u ν = γ c, v) c, 0) K µ b F µ 0 c = K i = b c E i b = q/c relativistische Verallgemeinerung der Lorentz-Kraft dp µ dτ = q c F µν u ν 111

112 daher in beliebigem IS: dp 0 dτ = γ d m c dt = q 1 β 2 c F 0 i u i = q E c v)γ d m c 2 dt 1 β 2 = de dt = q E v Leistung des Feldes an Ladung q dp i dτ = γ d m v i dt = q 1 β 2 c F iν u ν = q [ Ei γ c F ij ] u j c [ = γ q E i 1 ] [ c ε ijkb k v j ) = γ q E + v ] c B i Lorentz-Kraft ist räumlicher Anteil von K/γ d m v dt = q v ) E + 1 β 2 c B = K L einziger Unterschied zum nichtrelativistischen Fall: p N = m v p = m v 1 v 2 /c 2 für Punktteilchen im elektromagnetischen Feld ohne Beweis): [ Wirkung S = ds m c + q ] c 2 Aµ xs)) u µ s) Hamiltonfunktion H = c m 2 c 2 + P q A c ) 2 + q Φ VI.5 Synchrotronstrahlung Strahlungsfeld einer beschleunigten Ladung Liénard-Wiechert) q n [ n β) ] β E Str t, r) = cr1 n β) ret, BStr = n E Str 3 mit β = v/c n = R/R, R = r rq t ret ) t ret = t Rt ret, r) c implizite Gleichung für t ret t, r) pro Raumwinkel dω abgestrahlte Leistung dp dω = q2 n 4πc [ n β) β ] 2 1 n β) 6 ret 112

113 Leistung P = Energie/Zeit im relativistischen Fall wichtig: welche Zeit? bis jetzt Felder zur Zeit t des Beobachters betrachtet: P = de dt B zu unterscheiden von ˆP de = = de dt Teilchen dt ret d ˆP dω d ˆP dω = dp dω = t t ret t = t ret + Rt ret )/c t = 1 + t Ṙt ret)/c = 1 n β = κ ret [ n β) ] β 2 q 2 n 4πc 1 n β) 5 differenzielle Strahlungsleistung = abgestrahlte Energie pro Zeit des Teilchens im NR-Limes kein Unterschied: β 0, κ 1 relativistischer Fall: betrachten Spezialfall v v Beschleunigung in Richtung Geschw.) n [ n β) ] β 2 = v 2 sin 2 θ c 2 d ˆP dω q2 v 2 sin 2 θ = 4πc 3 1 β cos θ) 5 θ = Winkel n, v) Nenner κ 5 modifiziert Winkelverteilung drastisch für β 1 Strahlung ganz in Vorwärtsrichtung kleine θ) gebündelt: κ = 1 β cos θ 1 β1 θ 2 /2) β2 + θ 2 ) = β2 )1 + γ 2 θ 2 ) = 1 2 γ γ 2 θ 2 ) d ˆP dω q2 v 2 4πc 3 32γ 10 θ γ 2 θ 2 ) 5 = 8q2 v 2 γ 8 πc 3 γ 2 θ γ 2 θ 2 ) 5 mit x = γθ: Maximum von x x 2 ) 5 bei x = ± 1 2 Winkelverteilung θ max = ± 1 2γ = ±1 1 β 2 2 starke Bündelung in Vorwärtsrichtung maximale Intensität γ 8 z.b.: v = 0.9c γ 8 = 767 Gesamtleistung durch Integration über Raumwinkel mühsam) 113

114 stark vereinfachtes Argument: kovariante Form der Energie-Impuls-Erhaltung wesentlich pp. 119): ˆP = de : Zähler und Nenner 0-te Komponente eines Vierervektors dt T ˆP ist ein Lorentz-Skalar, quadratisch in v NR Grenzfall von früher) ˆP = 2q2 3c 3 v 2 = naheliegende allgemeine Form N.B.: mit p µ = m cγ 1, β) und dτ = γ 1 dt 2q2 3m 2 c 3 ) 2 d pn dt dp/dτ ist ein raumartiger Vierervektor) ˆP = 2q2 dp µ dp µ 3m 2 c 3 dτ dτ ˆP = 2q2 γ 6 3c [ β 2 β β) 2 ] allgemeine relativistische Strahlungsformel für beliebige Orientierung von β und β Anwendung: kreisförmige Beschleuniger Speicherring, Synchrotron) jetzt v v, β β = 0 ˆP = 2q2 γ 6 3c [ β 2 β 2 2 β ] = 2q2 γ 4 β 2 = 3c dabei benützt: 1 d p m c dt = dγ β) = γ β + β β)γ 3 β = dt γ 3 β γ β 2q2 3m 2 c 3 γ2 ) d p 2 dt v v v v kreisförmige Bewegung Radius R, v 2 = konstant c 2 ) d p dt = m dγ v dt = m γ d v dt = m γ v2 R γ m c2 R = E R ˆP = 2q 2 c γ 4 3 R 2 = 2q2 E 4 3m 4 c 7 R 2 Folgerung: Strahlungsverluste wachsen mit 4. Potenz der Energie Synchrotronstrahlung beschränkt Verwendung von Kreisbeschleunigern bei hohen Energien Beispiel: LEP R 4.3 km, zuletzt E e = E e GeV) Energieverlust eines Elektrons pro Umlauf E = ˆP 2πR v 4πe2 γ 4 3R GeV!!

115 gewaltige Verluste durch Synchrotronstrahlung: LEP hatte Energiebedarf einer Kleinstadt Elektronbeschleuniger höherer Energie nur mehr als Linearbeschleuniger möglich: wesentlich geringere Strahlungsverluste, da ˆP = 2q2 3m 2 c 3 d p dt ) 2 in diesem Fall Faktor γ 2 weniger) Nachteil der Hochenergiephysik Vorteil der Festkörperphysik Synchrotronstrahlung für Strukturforschung verwendet Frequenzspektrum der Synchrotronstrahlung zum Unterschied zur Dipolstrahlung auch Vielfache der Grundfrequenz ω 0 = v R c R Fourierzerlegung führt auf modifizierte Besselfunktionen Abschätzung mit Hilfe der klassischen Unschärferelation scharfer Puls in der Zeit des Beobachters pro Teilchen): t = κ t ret R c γ 3 ohne Rechnung) für relevanten Frequenzbereich t ω 1 ω 1 t c R γ3 = ω 0 γ 3 Fourieranalyse: Maximum des Frequenzspektrums tatsächlich bei ω m ω 0 γ 3 praktisch kontinuierliches Spektrum für γ 3 1 E ) 3 ω m = c R m e c 2 ω m = c ) E 3 R m e c 2 = ev m R ) E 3 m e c 2 = 1.6 kev EGeV)3 Rm) ESFG: VI.6 European Synchrotron Facility in Grenoble Speicherring mit 0.2 A Stromstärke) E e = 6 GeV, R = 134 m ω m = 2.6 kev ν = Hz) stark gebündelte) Röntgenstrahlung Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik nicht die zentrale Rolle wie in der Mechanik, da MG bereits vorgegeben sind Vorteile: kompakte Darstellung, Symmetrien manifest, Ausgangspunkt für Quantisierung 4-dimensionale relativistische Feldtheorien Felder Φ a x) und 1. Ableitungen µ Φ a = Φ a x µ = Φ a,µ a = 1,..., n) 115

116 Elektrodynamik: Φ a A µ Potenziale Mechanik: Wirkung S = dt Lqt), qt), t) relativistische Feldtheorie: t, r gleichberechtigt Wirkung muss lorentzinvariant sein S = 1 d 4 x L Φ a x), Φ a,µ x), x) c mit Lagrangedichte L Φ a x), Φ a,µ x), x) N.B.: für Ableitung der Feldgleichungen Indizes a unterdrückt Integrationsmaß d 4 x Skalar: lorentzinv. Lagrangedichte lorentzinv. Wirkung Umkehrung nicht zwingend, trotzdem fast) immer Lagrangedichte L lorentzinvariant Analogie zur Mechanik Hamiltonsches Prinzip): Vor.: Felder Φx 0 1, r) und Φx0 2, r) vorgegeben, Φx) für x0 1 x0 x 0 2 so zu wählen, dass Wirkungsfunktional) S Extremum annimmt lim Φx 0, r) = 0 r Variation: Φx) Φx) + ηx) mit ηx 0 1, r) = ηx0 2, r) = 0 S extremal: δs = 0 für infinit. ηx) δs = 1 c = 1 c = 1 c x 0 2 x 0 1 x 0 2 x 0 1 x 0 2 x 0 1 dx 0 dx 0 dx 0 d 3 r [L Φ + η, Φ,µ + η,µ, x) L Φ, Φ,µ, x)] [ L d 3 r Φ η + L ] η,µ + Oη 2 ) Φ,µ d 3 r [ η { L Φ x µ L Φ,µ } + )] L x µ η + Oη 2 ) Φ,µ mit zur Erinnerung: L Φ,µ η,µ = ) L x µ η η Φ,µ Gaußscher Satz in 3 Dimensionen d 3 r A = df A V V x µ L Φ,µ 2-dim. Fläche in 3 Dim.: ru, v) orientiertes Flächenelement df = r u r du dv, v df i = ε ijk x j u x k v du dv 116

117 Gaußscher Satz in 4 Dimensionen d 4 x µ A µ = G G dσ µ A µ 3-dim. Hyperfläche in 4 Dim.: xu, v, w) orientiertes Flächenelement dσ µ = ε µνρσ x ν u x ρ v x σ w du dv dw Rand G in unserem Fall: {x 0 = x 0 1 } {x0 = x 0 2 } {x0 1 x0 x 0 2, r } nach Vor.: η G = 0, da η sonst beliebig in G L x µ L Φ,µ Φ = 0 Euler-Lagrange Feldgleichungen Maxwell-Gleichungen: ν F µν = 4π c jµ, ν F µν = 0 1. Ableitungen in den Feldern entsprechen 2. Ableitungen der Potenziale weitere Forderung: Wirkung muss eichinvariant sein lässt für j = 0 nur L F µν F µν zu Bem.: F µν F µν ist eine totale Divergenz außerdem Pseudoskalar) kein Beitrag zu den Feldgleichungen inhomogener Term 4π j/c nur durch L A ν j ν zu erreichen mit geeigneter Normierung Gauß-System!) L Maxwell) x) = 1 16π F µνx)f µν x) 1 c j µx)a µ x) = L Feld + L Wechselwirkung scheinbares Problem: Potenzial A tritt explizit in L M auf Eichinvarianz? A µ A µ = A µ µ Λ L M L M + 1 c j µ µ Λ = L M + 1 c µ Λ j µ ) 1 c Λ µ j µ wegen Stromerhaltung µ j µ = 0 ändert sich Lagrangedichte nur um eine totale Divergenz µ Λ j µ ) Feldgleichungen ungeändert analog Bewegungsgleichungen in Mechanik) wichtige Erkenntnis: Eichinvarianz nur bei erhaltenem Strom können jetzt auch Unabhängigkeit der Ladung vom IS zeigen q IS = d 3 r ρx 0, r) q IS = d 3 r ρ x 0, r ) d 4 x µ j µ = 0 = G G dσ µ j µ 117

118 wobei G = {x 0 = 0} {x 0 = 0} {r zwischen x 0 = 0 und x 0 = 0} für lokalisierte Ströme kein Beitrag von r Hyperebene x 0 = 0: parametrisiert durch u = x 1, v = x 2, w = x 3 dσ µ = ε µνρσ x ν u x ρ v x σ w du dv dw = ε 0123 dx 1 dx 2 dx 3, 0, 0, 0 ) ) = d 3 r, 0 orientierte Flächenelemente haben entgegengesetzte Richtung für x 0 = 0 und x 0 = 0 Gaußscher Satz Lorentzinvarianz der Ladung 0 = x 0 =0 dσ µj µ + dσ µ j µ = x 0 =0 d 3 r ρ x ) Feldgleichungen überprüfen: L = 1 16π F µνf µν 1 c j µa µ Euler-Lagrange: ν L A µ,ν = L A µ L = 1 8π ν A µ ν A µ µ A ν ) 1 c j νa ν = 1 8π Aµ,ν A µ,ν A ν,µ ) 1 c j νa ν d 3 r ρx) = q IS q IS 1 4π ν A µ,ν A ν,µ ) = 1 c jµ ν F µν = 4π c jµ homogene MG automatisch erfüllt: F µν = A µ,ν A ν,µ ν F µν = 0 Wechselwirkungsterm für Punktteilchen: j µ x) = q ds u µ s) δ 4) x zs)) S WW = 1 d 4 x L WW = 1 c c 2 d 4 x j µ x)a µ x) = q c 2 ds u µ s) A µ zs)) = q dτ u µ τ) A µ zτ)) c mit den bekannten Relationen dτ = dt 1 v 2 /c 2 = γ 1 dt, u µ = γ c, v) S WW = q [ γ 1 dt γ c Φt, rt)) vt) c At, ] rt)) L WW = q Φt, rt)) + q c rt) At, rt)) bekannte Wechselwirkungs-)Lagrangefunktion für Punktteilchen 118

119 Struktur der elektromagnetischen Wechselwirkung S = S Materie + S Feld + S WW allgemein gültig, in klassischer Elektrodynamik wie in QED mit Feldoperatoren): S Feld = 1 d 4 xf µν F µν, S WW = 1 16π c c 2 d 4 x j µ A µ klassisches Punktteilchen: S Materie = m c dτ u µ τ)u µ τ) = m c 2 dt 1 v 2 t)/c 2 beschränkter Anwendungsbereich: im atomaren und erst recht im subatomaren Bereich kann Materie nicht durch klassische Punktteilchen beschrieben werden Quantentheorie, Quantenfeldtheorie in allen Bereichen der Physik Mechanik, klassische Feldtheorie, QM, QFT) Invarianz der Wirkung Erhaltungsgröße Noether-Theorem in der Feldtheorie Energie-Impuls-Tensor: T µν = T νµ = 1 F µλ 4π F λν + 14 ) ηµν F ρσ F ρσ T 00 = 1 F 0λ 4π F λ ) F ρσf ρσ = 1 4π E ) 2 B 2 E 2 ) = 1 E 2 + B 8π 2) = u em weiters: T 0i = S i /c und T ij = T M ij mit Poynting-Vektor S und 3-dim.) Maxwellschem Spannungstensor T M ij berechnen 4-Divergenz von T µν u em T µν = S/c S/c T M ij µ T µν = 1 [ µ F µλ F λν + F µλ µ F λν + 12 ] 4π F ρσ ν F ρσ = 1 c F νλ j λ + 1 8π F ρσ [ ρ F σν σ F ρν + ν F ρσ ] = 1 c F νλ j λ da der Ausdruck [ ] in 2. Gleichung identisch verschwindet Bianchi-Identität) 119

120 Beh.: obiges Resultat ist die kovariante Formulierung der Energie-Impuls-Erhaltung betrachten hier den Fall j = 0 µ T µν = 0 keine Ladungen oder Ströme im betrachteten Raum-Zeit-Gebiet) Integration über 3-dimensionales Volumen V 0 = d 3 r µ T µν = 1 d d 3 r T 0ν + d 3 r i T iν = 1 d d 3 r T 0ν + df i T iν V c dt V V c dt V V ν = 0: ν = i: Energieerhaltung Impulserhaltung 1 c d dt V d dt V d 3 r T 00 + V d 3 r u em + V df i T i0 = 0 d F S = 0 für abgeschlossenes System z.b. im gesamten 3-dim. Raum) und j = 0 P em µ = 1 d 3 r T 0µ = konstant µ = 0, 1, 2, 3) c V j 0: Materiebeitrag muss berücksichtigt werden hängt von S Materie ab) Mechanik Lagrangefunktion L Feldtheorie Lagrangedichte L Bewegungsgleichungen Feldgleichungen p = L q, H = p q L P µ = 1 d 3 r T 0µ c V 120