Erläuterungen zu zentral vorgegebenen Mathematik-Aufgaben

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1 Vergleichsarbeiten in Jahrgangsstufe 4 Durchgang 2005/2006 Erläuterungen zu zentral vorgegebenen Mathematik-Aufgaben 1 Aufgabe 5 Welche Form haben die Gegenstände? Kreuze an! Glasmurmel Lesebuch Ziegelstein Wasserball Spielwürfel Nudelholz Schuhkarton Rolle Toilettenpapier Globus Streichholzschachtel Dose Ananas Fußball Walze Tapetenrolle Kugel Zylinder Quader/Würfel 2 Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung Die Teilaufgaben dieser Aufgabe werden getrennt ausgewertet. Bitte verwenden Sie die folgende Zuordnung: Quader/Würfel a) Lesebuch X Ziegelstein X Spielwürfel X Schuhkarton X Streichholzschachtel X mindestens einen Quader als Zylinder klassifiziert Für die korrekte Lösung der Teilaufgabe a) müssen alle Gegenstände mit einer Quader- oder Würfelform richtig angekreuzt werden. F1 F2 Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW

2 Zentralaufgabe 5 F1 F2 Es wurde evtl. erkannt, dass sich, je nach Perspektive, Quader und Zylinder ähneln. Vermutlich steht eine Unsicherheit bzgl. des Begriffs Zylinder im Vordergrund. Kugel b) Wasserball X Globus X Fußball X Für die korrekte Lösung der Teilaufgabe b) müssen alle Gegenstände mit einer Kugelform richtig angekreuzt werden. bei Globus wurde Zylinder angekreuzt (Die Ankreuzungen zu Wasserball und Fußball sind hier nicht relevant.) F1 F2 F1 F2 Es wurde evtl. erkannt, dass sich, je nach Perspektive, Kugel und Zylinder ähneln. Zudem könnte der Begriff Globus nicht bekannt sein. Zylinder c) Nudelholz X Rolle Toilettenpapier X Dose Ananas X Walze X Tapetenrolle X Für die korrekte Lösung der Teilaufgabe c) müssen alle Gegenstände mit einer Zylinderform richtig angekreuzt werden. Achtung: Hier sind Doppelkodierungen möglich, d.h. es können Fehler des Fehlertyps 1 (F1) und gleichzeitig solche des Fehlertyps 2 (F2) vorliegen. mindestens einen Zylinder als Kugel klassifiziert F1 mindestens einen Zylinder als Quader klassifiziert F2 F1 F2 Es wurde evtl. erkannt, dass Zylinder und Kugel z.t. ähnliche Merkmale besitzen (beide besitzen je nach Perspektive eine kreisförmige Draufsicht). Vermutlich steht wiederum eine Unsicherheit bzgl. des Begriffs Zylinder im Vordergrund. Es wurde evtl. erkannt, dass Zylinder und Quader z.t. ähnliche Merkmale besitzen (beide besitzen je nach Perspektive eine rechteckige Draufsicht). Vermutlich steht wiederum eine Unsicherheit bzgl. des Begriffs Zylinder im Vordergrund. Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 2

3 Zentralaufgabe 5 Erläuterungen zur Gesamtaufgabe: Für alle Teilaufgaben gilt, dass Unsicherheiten mit dem Begriff Zylinder am häufigsten zu erwarten sind. Dieser Körper mit seinen Eigenschaften ist den Kindern wahrscheinlich am wenigsten bekannt und kann daher auch in den in der Aufgabe vorgegebenen Alltagsgegenständen am wenigsten wieder erkannt werden. 3 Fähigkeitsniveau VERA - Fähigkeitsniveau 1 (TA3 Kugel) (elementare Fähigkeiten) VERA - Fähigkeitsniveau 2 (TA1 - Quader/Würfel und TA2 - Zylinder) (erweiterte Fähigkeiten) Allgemein: Einfache Aufgaben mit grundlegenden Anforderungen werden hinreichend sicher gelöst (FN1). Aufgaben mittleren Fähigkeitsniveaus werden hinreichend sicher gelöst (FN2). Geometrie: Geometrische Körper werden in Alltagsgegenständen wieder erkannt (FN1). Geometrische Begriffe sind bekannt und können angewendet werden (FN2). 4 Standardzuordnung (inhaltbezogene Kompetenzen) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben. Raum und Form geometrische Figuren erkennen, benennen und darstellen Körper und ebene Figuren in der Umwelt wiedererkennen 5 Lehrplanbezug Nordrhein-Westfalen 1 Der Geometrieunterricht entwickelt einen verständigen Umgang mit Formen, Maßen, Lagebeziehungen und mit geometrischen Grundoperationen (Punkt 3.2), dazu erforderlich ist der Erwerb von Grundkenntnissen über geometrische Formen und Operationen (Punkt 1.2). Zu den Unterrichtsinhalten gehören demzufolge (in Analogie zur Zentralaufgabe 8) Körper (auch Pyramide und Zylinder) in der Umwelt entdecken, benennen, herstellen, untersuchen, beschreiben, vergleichen (S. 80). 1 vgl. zu dieser und zu den anderen Aufgaben: Richtlinien und Lehrpläne zur Erprobung für die Grundschule in Nordrhein-Westfalen. Herausgegeben vom Ministerium für Schule, Jugend und Kinder des Landes Nordrhein-Westfalen. Heft Frechen 2003 Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 3

4 Zentralaufgabe 5 6 Didaktische und methodische Hinweise: Aufgabentyp + Aufgabenformat: Zuordnung von Fachbegriffen in Tabellenform durch Ankreuzen / Kurzantwort Aufgabenbeschreibung: Wie in einem Beispiel vorgemacht, sollen die Kinder die Form von vierzehn Gegenständen aus der Umwelt bestimmen, indem sie in einer Tabelle den passenden Fachbegriff ankreuzen. Mit dieser Aufgabe wird also überprüft, ob die Kinder über anschauungsgebundenes Denken verfügen und die geometrischen Formen benennen und in der Umwelt identifizieren können. Voraussetzungen: Fachbegriffe Kugel, Quader, Würfel und Zylinder sowie die Bezeichnungen für die Gegenstände aus der Umwelt kennen über ein abgesichertes visuelles Vorstellungsbild einer Kugel, eines Quaders, eines Würfels und eines Zylinders sowie der vierzehn Gegenstände aus der Umwelt verfügen Gegenstände aus der Umwelt als näherungsweise Verkörperungen der jeweiligen Körperform begreifen können sich in einer Tabelle zurechtfinden können Mögliche Lösungswege: Zwei verschiedene Herangehensweisen an die Aufgabe sind denkbar: Einerseits ist eine zeilenweise Vorgehensweise möglich, d. h. bei jedem Gegenstand wird überlegt, welche Form er hat. Zum anderen kommt auch eine spaltenweise Vorgehensweise in Betracht, d. h. es wird jeweils eine Körperform ausgewählt und überlegt, welche Gegenstände diese Form haben. Anregungen für die Unterrichtspraxis: Das Zuordnen der richtigen Körperform kann nur dann in der Vorstellung gelingen, wenn zuvor intensiv auf der enaktiven Ebene mit konkretem Material und auf der ikonischen Ebene mit Anschauungsbildern gearbeitet worden ist. Körperformen kneten Papier- und Kantenmodelle herstellen (nicht möglich bei der Kugel) zu den verschiedenen Körperformen Gegenstände aus der Umwelt suchen und dabei das Augenmerk darauf richten, dass viele Gegenstände den strengen geometrischen Eigenschaften nicht genügen Umkehraufgabe: eine vorgegebene Menge von Gegenständen aus der Umwelt den verschiedenen Körperformen zuordnen Körperformen ertasten (Fühlsack) Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 4

5 Vergleichsarbeiten in Jahrgangsstufe 4 Durchgang 2005/2006 Erläuterungen zu zentral vorgegebenen Mathematik-Aufgaben 1 Aufgabe 9 Welche Aufgabe ist ein Beispiel für welchen Satz? Trage die richtigen Buchstaben ein! A) = 121 B) = 120 C) = 122 D) E) = = Die Summe zweier gerader Zahlen ist immer gerade. Die Summe zweier ungerader Zahlen ist immer gerade. Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer ungerade. 2 Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung Die Teilaufgaben dieser Aufgabe werden getrennt ausgewertet. Bitte verwenden Sie die folgende Zuordnung: a) Die Summe zweier gerader Zahlen ist immer gerade. B oder = 120 E = oder F1 F2 Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW

6 Zentralaufgabe 9 F1 F2 Addition und Multiplikation wurden verwechselt. Vermutlich bestehen Unsicherheiten im Umgang mit den Grundrechenarten. b) Die Summe zweier ungerader Zahlen ist immer gerade. C oder = 122 Achtung: Hier sind Doppelkodierungen möglich, d.h. es können Fehler des Fehlertyps 1 (F1) und gleichzeitig solche des Fehlertyps 2 (F2) vorliegen. D = oder F1 A oder = 121 F2 F1 F2 Addition und Multiplikation wurden verwechselt. Evtl. liegen Probleme mit den Begriffen der geraden und der ungeraden Zahlen vor. Wahrscheinlich wurde versucht, dem Begriff ungerade zu entsprechen, indem die Gleichung mit zwei unterschiedlichen Zahlen (eine gerade und eine ungerade Zahl) gewählt wurde. Es wurde ein notwendiges, aber nicht hinreichendes Kriterium gewählt: Zwei Zahlen müssen ungerade sein und eine Zahl gerade, zusätzlich muss es sich um eine Summe handeln. Wahrscheinlich wurde die erste Antwortalternative gewählt, weil sie bereits dieses Kriterium erfüllt. Vermutlich wurde jedoch nicht berücksichtigt, dass das Ergebnis gerade sein muss. c) Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer ungerade. A oder = 121 D = oder F1 F2 F1 F2 Es gibt mehrere mögliche Alternativen: - Addition und Multiplikation wurden verwechselt. - Wahrscheinlich wurde die Gleichung nicht vollständig geprüft: Zwar sind 1. Faktor und 2. Faktor gerade bzw. ungerade, das Produkt ist jedoch gerade, obwohl ein ungerades Ergebnis gefordert ist. Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 2

7 Zentralaufgabe 9 3 Fähigkeitsniveau VERA - Fähigkeitsniveau 3 (fortgeschrittene Fähigkeiten) Allgemein: Es werden auch anspruchsvollere Aufgaben hinreichend sicher gelöst. Arithmetik: Zahlen und Operationen können flexibel kombiniert werden. Hierbei werden mathematische Kenntnisse (z.b. Rechengesetze, Teilbarkeitsregeln) korrekt angewendet. 4 Standardzuordnung (inhaltbezogene Kompetenzen) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben. Zahlen und Operationen Rechenoperationen verstehen und beherrschen Rechengesetze erkennen, erklären und benutzen 5 Lehrplanbezug Nordrhein-Westfalen Ausbildung und Anwendung mathematischer Fähigkeiten und Fertigkeiten setzen einen stetig wachsenden und schließlich sicheren Bestand an Kenntnissen voraus, insbesondere grundlegende Zahl- und Operationsvorstellungen,... (Punkt 1.2). Die vorliegende Aufgabe greift auf Grundvorstellungen der Addition und Multiplikation in Verbindung mit Zahleigenschaften (gerade ungerade) zurück, wobei die Ergebnisse auf problemangemessene Plausibilität geprüft werden (S. 79). Ausgewählte Aufgaben fördern die Einsicht, dass das Ermitteln genauer Ergebnisse in manchen Problemsituationen nicht nötig, nicht möglich oder nicht sinnvoll ist (S. 76). 6 Didaktische und methodische Hinweise: Aufgabentyp + Aufgabenformat: vorgegebenen Rechensätzen sprachlich richtige Beschreibungen zuordnen / Kurzantwort Aufgabenbeschreibung: Rechenaufgaben können auch ohne Sachkontext unter Verwendung der Fachsprache gestellt werden, z.b.: Addiere 432 und 567 und subtrahiere vom Ergebnis 169. Umgekehrt werden beim Verbalisieren von Rechenaufgaben den Fachbegriffen Zeichen und Terme zugeordnet. Ein solcher Aufgabentyp liegt hier vor. Voraussetzungen: Die Begriffe Summe einschließlich ihrer symbolischen Darstellung sowie gerade Zahl und ungerade Zahl müssen bekannt sein. Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 3

8 Zentralaufgabe 9 Mögliche Lösungswege: Die Lösungswege D) und E) enthalten keine Summenterme, so dass sie sofort als mögliche Lösung herausfallen. Im folgenden Schritt werden die Fälle zwei gerade Zahlen zwei ungerade Zahlen gerade und ungerade Zahl den Rechensätzen zugeordnet. Der zweite Schritt kann auch über das Ergebnis geführt werden, sofern bekannt ist, dass die Summe zweier gerader Zahlen wie auch die Summe zweier ungerader Zahlen immer gerade ist, wogegen die Summe aus einer geraden und einer ungeraden Zahl ungerade ist. Es gibt nur eine ungerade Summe, so dass die Lösung A) sofort festgelegt werden kann. Im dritten Lösungsschritt sind dann noch die beiden Rechensätze mit gerader Summe über das Kriterium gerade Zahl/ungerade Zahl zu differenzieren. Anregungen für die Unterrichtspraxis: Klassifizieren von gegebenen Termen (Benenne die Terme, die eine Summe, eine Differenz, ein Produkt bilden.) Erfinde (Sach-) Aufgaben mit zwei geraden und einer ungeraden Zahl zwei ungeraden und einer geraden Zahl zwei geraden Zahlen als Summanden und einer ungeraden Summe (!) Bilde Additionsaufgaben mit 2 und mehr Summanden. Die Summe soll eine gerade Zahl sein. Wann ist das Ergebnis einer Subtraktionsaufgabe eine gerade Zahl? Stimmt das: Wenn man 2 ungerade Zahlen miteinander multipliziert, ist das Ergebnis immer eine gerade Zahl. Bilde Zahlenmauern. Der Zielstein soll eine gerade Zahl sein. Zahlenrätsel, wie: Welche Zahl ist es? kleiner als 40 größer als 30 durch 8 teilbar Textaufgaben: Schreibe eine Aufgabe zu: Wie groß ist der dritte Teil von 54? und rechne sie aus. Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 4

9 Vergleichsarbeiten in Jahrgangsstufe 4 Durchgang 2005/2006 Erläuterungen zu zentral vorgegebenen Mathematik-Aufgaben 1 Aufgabe 13 Fünf Zahlen ergeben zusammen Die erste Zahl ist 250, die zweite Zahl ist doppelt so groß wie die erste. Die dritte Zahl ist halb so groß wie die erste. Die vierte Zahl ist 50. Wie heißt die fünfte Zahl? Die fünfte Zahl heißt. 1 Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung Die fünfte Zahl heißt F1 325 F2 Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW

10 Zentralaufgabe 13 F1 F2 Wahrscheinlich wurde nur der erste Satz berücksichtigt und dabei angenommen, dass die geforderte Operation 1000:5 heißt. Es gibt mehrere mögliche Alternativen: - Evtl. liegen Unsicherheiten bei der gleichzeitigen Berücksichtigung mehrerer Informationen vor. - Möglicherweise bestehen Unsicherheiten bei der Umsetzung von Sprache in ein mathematisches Modell. 2 Fähigkeitsniveau VERA - Fähigkeitsniveau 3 (fortgeschrittene Fähigkeiten) Allgemein: Es werden auch anspruchsvollere Aufgaben hinreichend sicher gelöst. Arithmetik: Zahlen und Operationen können flexibel kombiniert werden. Hierbei werden mathematische Kenntnisse (z.b. Rechengesetze, Teilbarkeitsregeln) korrekt angewendet. 3 Standardzuordnung (inhaltbezogene Kompetenzen) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben. Zahl und Operation Rechenoperationen verstehen und beherrschen mündliche und halbschriftliche Rechenstrategien verstehen und bei geeigneten Aufgaben anwenden 4 Lehrplanbezug Nordrhein-Westfalen Mathematische Begriffe und Operationen werden in verschiedenen Darstellungsformen repräsentiert: durch Handlungen an Material, durch Bilder, Sprache und mathematische Symbole (S. 74). Die bewusste und stetige Schulung der fachgebundenen Sprache fördert das Verstehen mathematischer Sachverhalte und die wechselseitige Verständigung (S. 74). Kennen und Nutzen von Fachbegriffen (z.b. in Textaufgaben) gehören daher zu den Unterrichtsgegenständen der Klassen 3 und 4. 5 Didaktische und methodische Hinweise: Aufgabentyp + Aufgabenformat: Darstellung eines mathematischen Sachverhalts in Textform / Kurzantwort Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 2

11 Zentralaufgabe 13 Aufgabenbeschreibung: Zahlenrätsel in der dargebotenen Form beschreiben mathematische Rechenaufgaben in Textform. Mathematische Begriffe, Beziehungen, Eigenschaften von Zahlen und mathematische Operation werden ausschließlich in sprachlicher Form dargestellt. So wird eine Umsetzung der textlich gegebenen Informationen in die mathematische Symbolsprache gefordert. Unabdingbar ist der sichere Umgang mit Begrifflichkeiten der mathematischen Fachsprache. Voraussetzungen: Informationen aus textlichen Darstellungen entnehmen können Begriffe doppelt so groß/ halb so groß mathematisch inhaltlich entfalten können Beziehungen der einzelnen Aussagen erfassen können Grunderfahrungen zu einfacheren Zahlrätseln besitzen Addition von mehreren Summanden im Zahlenraum bis 1000 ausführen können Differenz zweier Zahlen im Zahlenraum bis 1000 ermitteln können Mögliche Lösungswege: Die Bearbeitung der Aufgabe bietet keinen Spielraum für individuelle Vorgehensweisen. Es ergibt sich aus der Struktur der Aufgabenstellung eine notwendige Abfolge von Rechenschritten. Von der Ausgangszahl (250) wird über das Verdoppeln und Halbieren der Ausgangszahl die dritte (500) und vierte Zahl (125) ermittelt. Über das Hinzufügen der gegebenen vierten Zahl (50) wird die Zwischensumme 975 durch Addition ermittelt. Über ein Subtraktions- oder Ergänzungsverfahren zur Summenzahl 1000 wird die Ergebniszahl (75) ermittelt. Anregungen für die Unterrichtspraxis: Über weniger komplexe Aufgabenstellungen können Kinder an die mathematischen Signalwörter halbieren/verdoppeln herangeführt werden: Halbiere die Zahl XXX! Verdoppele die Zahl XXX! Wenn ich die Zahl XXX verdopple, welches Ergebnis erhalte ich? Wenn ich die Zahl XXX halbiere, welches Ergebnis erhalte ich? Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 3

12 Vergleichsarbeiten in Jahrgangsstufe 4 Durchgang 2005/2006 Erläuterungen zu zentral vorgegebenen Mathematik-Aufgaben 1 Aufgabe 15 Eine Tüte mit fünf Sammelkarten kostet 2,50. Tom hat schon 30 Karten gekauft. Er kauft noch acht Tüten. a) Wie viele Tüten hat Tom insgesamt gekauft? Tom hat insgesamt Tüten gekauft. b) Wieviel Geld hat Tom für die Sammelkarten insgesamt ausgegeben? Tom hat für die Sammelkarten insgesamt ausgegeben. 2 Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung Die Teilaufgaben dieser Aufgabe werden getrennt ausgewertet. Bitte verwenden Sie die folgende Zuordnung: a) Tom hat insgesamt 14 Tüten gekauft. 38 F1 6 F2 Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW

13 Zentralaufgabe 15 F1 F2 Es gibt mehrere mögliche Alternativen: - Es wurde evtl. nicht berücksichtigt, dass nicht 30 Tüten, sondern 30 Karten (also sechs Tüten) gekauft wurden. - Es wurden einfach alle Zahlen, die mit den Karten in Zusammenhang stehen, addiert. Der letzte Satz der Aufgabenstellung wurde vermutlich überlesen, die Aufgabe folglich nur teilweise gelöst. b) Tom hat für die Sammelkarten insgesamt 35 ausgegeben. 15 F1 95 F2 F1 F2 Der letzte Satz der Aufgabenstellung wurde vermutlich nicht berücksichtigt und nur der Preis für 30 Karten bzw. 6 Tüten berechnet. Dies ist vermutlich ein Folgefehler aus einer falschen Antwort (F1) in Teilaufgabe a): 30 Karten und 8 Tüten wurden ohne Berücksichtigung der Einheit addiert und dann der Wert mit 2,5 multipliziert. Vermutlich wurde das Ergebnis nicht auf Plausibilität überprüft. 3 Fähigkeitsniveau VERA - Fähigkeitsniveau 2 (TA1) (erweiterte Fähigkeiten) VERA - Fähigkeitsniveau 3 (TA2) (fortgeschrittene Fähigkeiten) Allgemein: Aufgaben mittleren Anforderungsniveaus werden hinreichend sicher gelöst (FN2). Es werden auch anspruchsvollere Aufgaben hinreichend sicher gelöst (FN3). Sachrechnen: Lösungen von authentischen Aufgaben, die Umrechnungen von Maßeinheiten erfordern, gelingen (FN2). Aufgaben, die mehrere Teilschritte umfassen, werden beherrscht (FN3). Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 2

14 Zentralaufgabe 15 4 Standardzuordnung (inhaltbezogene Kompetenzen) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben. Größen und Messen mit Größen in Sachsituationen umgehen Sachaufgaben mit Größen lösen 5 Lehrplanbezug Nordrhein-Westfalen Die dargestellte VERA-Aufgabe fällt in den Bereich Sachrechnen (3.3): Zentrales Anliegen eines sachbezogenen Mathematikunterrichts ist die Erschließung der Lebenswirklichkeit. Das erfordert eine kontinuierliche Auseinandersetzung mit authentischen, herausfordernden Aufgaben. [...] In den Größenbereichen Länge, Geld, Zeit, Gewicht und Rauminhalt entwickelt und festigt der Unterricht realistische Größenvorstellungen und sachrechnerische Kompetenzen (S. 81f.). So bearbeiten die Schülerinnen und Schüler realitätsnahe Sachaufgaben in Form von Rechengeschichten, Bildgeschichten, Tabellen und Diagrammen. Die Aufgabenstellungen können vorgegeben oder selbst gewählt sein. Sachaufgaben ermöglichen auch unterschiedliche und weiterführende Fragestellungen sowie individuelle Lösungswege (Punkt 3.3). Sachrechnen ist aber auch unter dem Aspekt der Anwendungsorientierung zu beachten: Anwendungs- und Strukturorientierung sind zentrale und eng miteinander verknüpfte Unterrichtsprinzipien. Sie verdeutlichen die Beziehungshaltigkeit der Mathematik und zeigen auf, wie diese für vernetzendes Lernen genutzt werden kann. Anwendungsorientierung meint einerseits, dass mathematische Vorerfahrungen in lebensweltlichen Situationen aufgegriffen und weiter entwickelt werden. Andererseits werden Einsichten über die Realität mit Hilfe mathematischer Methoden neu gewonnen, erweitert oder vertieft (S. 74). Die Bearbeitung von Sachaufgaben ist daher fester Aufgabenschwerpunkt in allen Schuljahren. 6 Didaktische und methodische Hinweise: Aufgabentyp + Aufgabenformat: Textaufgabe / Kurzantwort Aufgabenbeschreibung: Textaufgaben in der hier dargebotenen Form gehören zu den gängigen schulischen Aufgabenstellungen, bei der die Umsetzung der sprachlich gegebenen Informationen in die mathematische Formel- und Zeichensprache verlangt wird. Dazu muss der im Text dargestellte Sachverhalt vollständig verstanden werden. Voraussetzungen: Der Anspruch an die rechnerischen Fähigkeiten ist für die Teilaufgabe a) gering, das Erkennen der Struktur des Lösungsweges ist die wesentliche Herausforderung. In Teilaufgabe b) kommt es schon eher auf rechnerische Fertigkeiten an, denn es müssen für die Multiplikation eines Geldbetrages als Kommazahl mit einer zweistelligen Zahl Erfahrungen mit halbschriftlichen Rechenverfahren aktiviert werden. Dabei kommt allerdings der gewählte Geldbetrag (2,50 EURO) halbschriftlichen Verfahren entgegen. Im sprachlichen Bereich sollte insgesamt als Schlüsselwort für eine Rechenoperation mit Zuwachs im Ergebnis (Addition, Multiplikation) bekannt sein. Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 3

15 Zentralaufgabe 15 Mögliche Lösungswege: Die mathematische Modellierung des Textes erfordert Klarheit über die Reihenfolge der Rechenoperationen. Die Abfolge des Lösungsweges in Teilaufgabe a) lässt keinen Freiraum. Erst ist die Anzahl der bereits gekauften Tüten zu ermitteln, bevor die Gesamtzahl der Tüten nach dem neuen Einkauf berechnet werden kann. Teilaufgabe b) ist am schnellsten zu berechnen, wenn das Ergebnis von Teilaufgabe a) verwendet wird. Gleichwohl erlaubt aber ein Hineinversetzen in die Konkretisierung des zeitlichen Ablaufs der Kaufvorgänge die Ermittlung der Beträge für die anfangs gekauften Tüten (6x2,50 EURO) und der anschließend gekauften Tüten (8x2,50 EURO) mit anschließender Addition der Teilsummen. Der Gesamtpreis lässt sich auch berechnen über den Preis einer einzelnen Karte. Anregungen für die Unterrichtspraxis: Textaufgaben in der vorliegenden Form haben ihre Berechtigung, wenn an ihnen der Mathematisierungsprozess trainiert wird, also die Übersetzung der sprachlich angebotenen Informationen auf die mathematische Ebene. Das schließt das Finden einer zum Ziel führenden Lösungsstruktur ein. Hilfreich für die Förderung dieses Anliegens sind konkretes Darstellen oder Nachspielen der Aufgaben Erfinden von Textaufgaben zu vorgegebenen Zahlensätzen Besprechen, Vergleichen und Bewerten von Lösungswegen z.b. in Rechenkonferenzen Darstellen der Struktur des Lösungsweges in Form eines Rechenbaumes oder mittels Simplex-Komplex-Darstellungen Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 4

16 Vergleichsarbeiten in Jahrgangsstufe 4 Durchgang 2005/2006 Erläuterungen zu zentral vorgegebenen Mathematik-Aufgaben 1 Aufgabe 17 Aus einem Draht, der 20 cm lang ist, sollst du ein Rechteck biegen. Für die Länge der Seiten gelten nur ganze Zentimeter. Gib eine Möglichkeit für die Länge der Seiten an! Eine Möglichkeit ist: Seite 1 ist cm lang und Seite 2 ist cm lang und Seite 3 ist cm lang und Seite 4 ist cm lang. 2 Korrekturanweisung und Fehlerbeschreibung Eine Möglichkeit ist (Beispiel): Seite 1 ist 6 cm lang und Seite 2 ist 4 cm lang und Seite 3 ist 6 cm lang und Seite 4 ist 4 cm lang. Die Aufgabe ist dann richtig gelöst, wenn immer zwei Rechteckseiten gleich lang (und ungleich 0) sind und die Summe der vier Seiten 20 cm ergibt. Anmerkung: Streng genommen müssen die Seiten 1 und 3 sowie die Seiten 2 und 4 gleich lang sein (entsprechend der Reihenfolge, in welcher der Draht gebogen wird). Hier werden auch die Antworten als richtig gewertet, bei denen die Seiten 1 und 2 sowie die Seiten 3 und 4 gleich lang sind, da die Grundproblematik erkannt wurde. Ggf. kann der Aspekt der Reihenfolge, die sich durch das Biegen ergibt, nochmals im Unterricht aufgegriffen werden. Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW

17 Zentralaufgabe 17 F1 F2 F1 F2 Erläuterungen zur Gesamtaufgabe: Im Falle einer Falschlösung können die Kinder vermutlich den Prozess des Biegens eines Drahtes zu einem Rechteck gedanklich nicht nachvollziehen. 3 Fähigkeitsniveau VERA - Fähigkeitsniveau 1 (elementare Fähigkeiten) Allgemein: Einfache Aufgaben mit grundlegenden Anforderungen werden hinreichend sicher gelöst. Geometrie: Aufgaben zu Umfang, Flächeninhalt und Volumen, die sich durch einfache Operationen wie z.b. Abzählen lösen lassen, werden bewältigt 4 Standardzuordnung (inhaltbezogene Kompetenzen) Die Zuordnung zu den Standards wird hier auf der detailliertesten Ebene für die inhaltbezogenen Kompetenzen (Leitidee) angegeben. Raum und Form Flächen- und Rauminhalte vergleichen und messen Umfang und Flächeninhalt von ebenen Figuren untersuchen 5 Lehrplanbezug Nordrhein-Westfalen Die Entwicklung einer Grundvorstellung des Umfanges geometrischer Figuren ist Unterrichtsgegenstand im Geometriebereich. Ein verständiger Umgang lässt sich am besten anbahnen über eine Verknüpfung von Geometrie und Umwelt (Kapitel 3.2). Zu den angestrebten Fähigkeiten und Fertigkeiten gehören demnach: über geometrische Grunderfahrungen zu Fläche, Umfang, Symmetrie, Körper verfügen und geometrische Grundfertigkeiten anwenden (Kapitel 1.1). Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 2

18 Zentralaufgabe 17 6 Didaktische und methodische Hinweise: Aufgabentyp + Aufgabenformat: Textaufgabe / Kurzantwort Aufgabenbeschreibung Der Aufgabenkontext Umfangbestimmung verdeutlicht, wie geometrische Kenntnisse und Fertigkeiten für sachrechnerische Probleme angewandt werden können. Allerdings sind bei realen Sachsituationen zumeist die Längen der einzelnen Seiten gegeben und es gilt, den Umfang (z.b. die Gesamtlänge der Umrandung) zu ermitteln. Von daher ist der vorliegende Aufgabentyp bezogen auf das Sachrechnen eher als Kunstform zu betrachten und stellt vorrangig die Einkleidung eines geometrischen Problems dar. Voraussetzungen: Für die Bearbeitung der Aufgabe ist problemlösendes Denken gefordert, wobei es mehrere richtige Lösungen gibt. Sind Kinder an derartige (Ergebnis-)offene Aufgabenstellungen nicht gewöhnt, kann es bei den Lösungsbemühungen zur Verunsicherung kommen. Die Kinder müssen über Vorstellungen zu den Begriffen Rechteck sowie Länge der Seiten verfügen. Hilfreich ist es, wenn die Kinder durch ausgiebiges Herstellen unterschiedlichster Rechtecke (Modelle) in den unteren Jahrgangsstufen (Legen mit Hölzern, Falten, Schneiden, Spannen am Geobrett) bereits klare Vorstellungen von den verschiedenen Verhältnissen zwischen den Seitenlängen eines Rechtecks aufgebaut haben (mentale Modelle). Hierzu reicht der ausschließliche Umgang mit den zumeist einheitlichen Rechtecken in den Schulbuchbeilagen oder diversen Legespielen (Seitenverhältnis zumeist 1:2) nicht aus. Mögliche Lösungswege: Da davon auszugehen ist, dass die wenigsten Kinder zu diesem Zeitpunkt bereits Umfangbestimmungen gezielt rechnerisch gelöst haben, müssen sie eigene Lösungsstrategien entwickeln, wobei sie ihre Kenntnisse von den Eigenschaften eines Rechtecks für das gedankliche Operieren mit den geforderten Zahlzerlegungen anwenden müssen. Das Anfertigen einer Skizze ist zur Entlastung eine wichtige Hilfe, auf die Kinder vor allem dann selbstständig zurückgreifen werden, wenn das Benutzen derartiger Bearbeitungshilfen beim Sachrechnen regelmäßig thematisiert und sogar explizit geübt wurde. Anregungen für die Unterrichtspraxis: Aktivitäten mit Hölzern, z.b.: Lege mit 18 Hölzern (z.b. Zahnstochern) ein Rechteck; wie viele Möglichkeiten findest du? Nimm 10,11,12,13,14 und 15 Hölzer. Kann man mit jeder dieser Anzahlen von Hölzern ein Rechteck legen? (Die Hölzer müssen immer aneinander liegen!) Nimm höchstens 30 Hölzer. Mit welchen Anzahlen kann man ein Rechteck legen, mit welchen Anzahlen auch ein Quadrat? Aktivitäten am Geobrett, z.b.: Spannen von Rechtecken (und anderen ebenen Figuren) am Geobrett: Umspanne 10 Nägel. Wie viele verschiedene Rechtecke findest du? Spanne verschiedene Rechtecke. Zähle die Nägel, die du umspannt hast. Was stellst du fest? Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 3

19 Zentralaufgabe 17 Konstruktion von Rechtecken auf Kästchenpapier; Umfang wird in Kästchenlängen gemessen. Zeichne Rechtecke mit einem Umfang von 22 Kästchenlängen. Wie groß sind die einzelnen Rechtecke (Angabe des Flächeninhalts in Kästchen) Untersuche: Haben Rechtecke mit dem größten Umfang auch immer die größte Fläche? Versuche ein Rechteck mit einer Fläche von 24 Kästchen und einem Umfang von 28 Kästchenlängen zu finden. Sachaufgaben, z.b.: Lea möchte auf den Rand ihres Bildes eine dünne Schmuckkordel kleben. Eine Seite des Bildes ist 20 cm lang, die andere Seite 28 cm. Die Kordel ist genau 1m lang. Reicht die Länge? Leonie hat ein quadratisches Bildchen gestickt. Auf den Rand klebt sie zur Verzierung ein dünnes Goldband. Von dem 70 cm langen Band behält sie noch einen Rest von ungefähr 6 cm. Wie groß ist wohl ihr Stickbild? Um ein rechteckiges Beet ist ein Schutzdraht von einer Länge von 14 m gespannt. Eine Seite des Beetes ist 3m lang. Wie lang sind die 3 anderen Seiten? Tim möchte für sein Brüderchen einen kleinen Drachen basteln. Für den Rahmen muss er eine 120 cm lange Holzleiste zersägen. Er überlegt: Die beiden langen Seiten des Drachens sollen doppelt so lang sein, wie die beiden kurzen. Welche Längen muss Tim zurechtsägen? Mutter möchte eine Tischdecke für ihren Küchentisch kaufen. Der Tisch ist 70 cm breit und 120 cm lang. Die Decke soll an jeder Seite 30 cm herunter hängen. Wie breit und lang muss die Decke sein? Landesinstitut für Schule/Qualitätsagentur NRW 4