Eingangstest Schnittpunkte von ganzrationalen Funktionen

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1 Eingangstest Schnittpunkte von ganzrationalen Funktionen Gleichung einer ganzrationalen Funktion Kreuze an und gib gegebenenfalls den Grad an. Funktionsgleichung ganzrationale Funktion Grad anderer Funktionstp = 0 = = 0, + = + + = 0, Graph einer ganzrationalen Funktion Fülle die Wertetabelle aus und zeichne den Graphen der ganzrationalen Funktion f () =,., 0, 0 0,,, 0, 0, 0, Schnittpunkte mit Koordinatenachsen Wo schneidet der Graph der Funktion f () =, ( ) ( + ) ( ) die Koordinatenachsen? Schnittpunkte mit der -Achse: = ; = ; = Schnittpunkt mit der -Achse: = Smmetrie Kreuze an. ganzrationale Funktion Smmetrie zur -Achse Smmetrie zum Ursprung keine Smmetrie erkennbar h () =, g () = + f () =, Graphen beschreiben Beschrifte den Graphen mit den Begriffen aus der Liste. Nullstelle Hochpunkt Tiefpunkt steigender Graph fallender Graph steiler werdend flacher werdend flacher werdend fallender Graph Tiefpunkt steigender Graph steiler werdend Nullstellen Hochpunkt fallender Graph

2 Eingangstest Schnittpunkte von ganzrationalen Funktionen Schnittpunkte von Geraden Gegeben sind die Geraden g : = + und g : =. a) Stelle die Geraden in einem Koordinatensstem dar. b) Lies näherungsweise die Koordinaten ab. Schnittpunkt von g mit der -Achse: Schnittpunkt von g mit der -Achse: Schnittpunkt von g und g : (,9,9) (, 0) (, 0) c) Bestimme die eakten Koordinaten durch eine Rechnung. Schnittpunkt von g mit der -Achse: ( 0 ) Schnittpunkt von g mit der -Achse: ( 8 0 ) 90 Schnittpunkt von g und g : ( ) 7 g g Schnittpunkte von Parabel und Gerade Gegeben sind die Parabel p: = + und die Gerade g: = +. a) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von p mit der -Achse. ( 0); ( + 0) b) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von p und g. ( ) ; ( + + ) 8 Gegenverkehr Durch die Graphen ist die Bewegung zweier Autos dargestellt. a) Beim Start sind die Autos 0 km voneinander entfernt. b) Sie treffen sich Minuten nach dem Start. Auto ist dann, km gefahren. c) Gib die Bedeutung der Nullstelle des Graphen von Auto an. Auto ist dann am Startpunkt von Auto Strecke in km Auto Auto Zeit in min 9 Autovermietung Autorent bietet an: Grundgebühr 0 pro Tag; 0,0 pro Kilometer. Autoflat bietet an: Tagesgebühr 80 ohne Kilometer be schränkung. Stelle beide Tarife in einem Diagramm dar. Beschreibe, welche Information du aus dem Schnittpunkt der Graphen erhalten kannst. Bei einer Fahrstrecke von 00 km sind beide Angebote Kosten in Strecke in km gleich teuer. Für Fahrten unter 00 km Streckenlänge bietet Autorent das günstigste Angebot.

3 Selbsteinschätzung ganzrationale Funktionen Schätze ein, wie gut du mit ganzrationalen Funktionen umgehen kannst. Kreuze dazu die entsprechenden Felder an. A: Das kann ich gut. B: Ich bin mir nicht ganz sicher. C: Ich habe noch große Schwierigkeiten. D: Das kann ich gar nicht. Voraussetzungen und Inhalte A B C D Ich kann an der Funktionsgleichung erkennen, ob es sich um eine ganzrationale Funktion handelt. Ich kann den Grad einer ganzrationalen Funktion anhand der Funktionsgleichung bestimmen. Ich kann den Graphen einer ganzrationalen Funktion in ein Koordinatensstem zeichnen. Ich kann den Funktionsgraphen einer ganzratio nalen Funktion mit geeigneten Fachbegriffen beschreiben. Ich kann Informationen aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion ablesen. Ich kann den Schnittpunkt einer ganzrationalen Funktion mit der -Achse bestimmen. Ich kann Nullstellen einfacher ganzrationaler Funktionen bestimmen. Ich kann die Schnittpunkte von linearen und quadra tischen Funktionen berechnen. Ich kann eine ganzrationale Funktion mithilfe der Funktionsgleichung auf Smmetrie untersuchen. Ich kann in Anwendungssituationen Probleme lösen, die durch ganzrationale Funktionen be schrieben werden können. Ich kann die Bedeutung von Schnittpunkten in Anwendungssituationen angeben.

4 Basiswissen Schnittpunkte geben Informationen in Sachzusammenhängen Zwei unterschiedlich große und unterschiedlich dicke Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Der Abbrenn vorgang wird im Diagramm dargestellt. Der Schnittpunkt der beiden Höhe in cm Graphen gibt Informationen darüber, wann die beiden Kerzen die gleiche Höhe haben. Das ist nach knapp Kerze 7 Stunden der Fall. Ihre Höhe 0 beträgt dann gut cm. Die Schnittpunkte der Geraden 9 mit der waagerechten Achse geben Informationen darüber, 8 wann die jeweilige Kerze abgebrannt ist. Das ist bei der 7. Kerze nach gut 8 Stunden Kerze und bei der. Kerze nach gut 9 Stunden der Fall. Wenn du die Zeitpunkte genauer bestimmen möchtest, bietet sich eine rechnerische Untersuchung an. Dazu sind zunächst Funktionsgleichungen zu ermitteln, die das Abbrennen der Kerzen darstellen. Aus dem Diagramm kann man ablesen: Kerze : Anfangshöhe,7 cm, sie wird pro Stunde um, cm kürzer h (t) =,7, t 7 8 Zeit in h 9 Kerze : Anfangshöhe 8, cm, sie wird pro Stunde um 0,9 cm kürzer h (t) = 8, 0,9 t Tpische Fragestellungen: Sachproblem mathematische Formulierung Rechnung Ergebnis Wie lang ist Kerze am Anfang? Wie lang ist Kerze zu einem bestimmten Zeitpunkt? Wann ist Kerze abgebrannt? Wann hat Kerze eine Höhe von cm? Wann sind beide Kerzen gleich lang? Wo schneidet der Graph von Kerze die h-achse? Berechne h (t) für einen bestimmten t-wert. Wo schneidet der Graph von Kerze die t-achse? Ermittle den t-wert zu einem vorgegebenen Funktionswert. Wo schneiden sich die Geraden? Berechne h (0). h (0) =,7 Berechne h (). h () = 8,9 Kerze ist am Anfang,7 cm lang. Nach Stunden ist die Kerze knapp 9 cm lang. Löse h (t) = 0. t =,7 Nach gut 8 Stunden ist, 8, die Kerze abgebrannt. Löse h (t) =. t,8 Löse h (t) = h (t).,7, t = 8, 0,9 t t =,8 Nach knapp Stunden ist die Kerze cm lang. Nach knapp 7 Stunden sind die Kerzen gleich lang. 7

5 Basiswissen Vokabular zum Beschreiben eines Funktionsgraphen Zum Beschreiben eines Funktionsgraphen benötigt man ein gemeinsames Vokabular. absoluter Hochpunkt fallend lokaler Hochpunkt flacher werdend gleichmäßig ansteigend Nullstelle lokaler Tiefpunkt steiler werdend Nullstelle lokaler Tiefpunkt absoluter Tiefpunkt Definitionsbereich Der Graph einer Funktion f ist punktsmmetrisch zum Koordinatenursprung, falls gilt: f ( ) = f () für alle. achsensmmetrisch zur -Achse, falls gilt: f ( ) = f () für alle. f( ) f( ) = f() f() z. B. f () =, f ( ) = ( ), ( ) = +, = f () ungerade z. B. f () = + f ( ) = ( ) + ( ) = + = f () Im Funktionsterm treten nur gerade Eponenten auf. 8

6 Basiswissen ganzrationale Funktionen Funktionen der Form = 0, (lineare Funktion: = m + b) =, + (quadratische Funktion: = a + b + c; a 0) = + (kubische Funktion: = a + b + c + d + e; a 0) gehören zu der Familie der ganzrationalen Funktionen. Der höchste vorkommende Eponent von heißt Grad der ganzrationalen Funktion. Beispiele: Funktionsgleichung Grad Besondere Punkte h. Lineare Funktionen g: = 0 (0 ) ist Schnittpunkt mit der -Achse. g h: =, + =, ( ) (0 ) ist Schnittpunkt mit der -Achse. ( 0 ) ist Schnittpunkt mit der -Achse. Nullstelle: =. Quadratische Funktionen f f: = = ( + ) ( ) = ( ) (0 ) ist Schnittpunkt mit der -Achse. ( 0) und ( 0) sind Schnittpunkte mit der -Achse. Nullstellen: = ; = ( ) ist Scheitelpunkt.. Biquadratische Funktionen k k: = + = ( - )( - ) = ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( 0); ( 0); ( 0); ( 0) sind Schnittpunkte mit der -Achse. (0 ) ist Schnittpunkt mit der - Achse. (,8,); (,8,) sind sind lokale Tiefpunkte. (0 ) ist ein lokaler Hochpunkt. Berechnung der Nullstellen: f () = + Substitution: = z führt zu: f (z) = z z +. Löst man die quadratische Gleichung, so erhält man: z = oder z =. Aus = erhält man die Lösungen für : = ; =. Aus = folgen die Lösungen = ; =. 9

7 Vokabular zum Beschreiben eines Funktionsgraphen Besondere Punkte im Graphen In den Funktionsgraphen sind jeweils besondere Punkte markiert. Beschrifte die Punkte mit geeigneten Fachbegriffen. a) b) Hochpunkt Hochpunkt Nullstelle Nullstelle Tiefpunkt Nullstelle Nullstelle Tiefpunkt Nullstelle Tiefpunkt Graphen beschreiben Beschreibe die Graphen jeweils mit geeigneten Fachbegriffen. a) b) c) d) Der Graph steigt zu nächst und wird bis zu einem Hochpunkt immer flacher. Danach fällt er bis zu einem Tiefpunkt. Anschließend steigt er und zeigt schließlich einen konstanten Verlauf. Der Graph ist zunächst konstant, fällt danach gleichmäßig. Nach dem Tiefpunkt steigt er gleichmäßig und verläuft schließlich wieder konstant. Graphen zeichnen Zeichne den zur Beschreibung passenden Graphen: Der Graph beginnt im Punkt (0 0) und steigt gleichmäßig an bis zum Punkt ( 7). Anschließend verläuft er konstant bis =. Danach hat er eine konstante Steigung von, bis er die -Achse erreicht. Gib an, bei welchem -Wert die -Achse erreicht wird. Der Graph fällt bis zum Tiefpunkt; steigt bis zu einem Wert, der konstant in einem Bereich gehalten wird. Danach steigt er mit flacherer Steigung wieder bis zu einem Hochpunkt und fällt dann immer steiler werdend ab. 8 Der Graph steigt gleichmäßig. Danach steigt er gleichmäßig mit geringer Steigung. Schließlich wird in einem Bereich ein konstanter Wert gehalten. Er fällt daraufhin gleichmäßig bis die -Achse erreicht wird. Die Achse wird bei = 7, erreicht. 0

8 Smmetrie bei ganzrationalen Funktionen Graph In den Ausschnitten sind alle besonderen Punkte zu erkennen. Welche Smmetrie liegt vor? a) b) c) d) Diagramm a) b) c) d) smmetrisch zur -Achse smmetrisch zum Ursprung keine Smmetrie erkennbar Wertetabelle Ergänze folgende Wertetabellen, sodass der zugehörige Graph smmetrisch zum Ursprung oder achsensmmetrisch zur -Achse sein kann. Welche Smmetrie liegt vor? a) 0 b) 0 9, 8 a 8 9, Smmetrie zur -Achse Smmetrie zum Ursprung Funktionsterm Untersuche mithilfe des Funktionsterms die Smmetrie des Graphen. a) f () =, 7 f ( ) = f (), ( ) 7 =, 7; Smmetrie zur -Achse b) g () = +, g ( ) = g () ( ) +, ( ) = ( +, ); Smmtrie zum Ursprung c) h () = (,) ( +,) h ( ) = h (); Smmetrie zum Ursprung d) k () = ( ( + ) ) k ( ) = k (); Smmetrie zum Ursprung

9 Schnittpunkte geben Informationen in Sachzusammenhängen Autofahrt Durch die Diagramme ist jeweils die Fahrt zweier Autos dargestellt. Entnimm den Diagrammen möglichst viele Informationen. a) Strecke b) Strecke Auto Auto Auto Auto Zeit Zeit Die Autos fahren in die gleiche Richtung. Auto hat einen Vorsprung, fährt aber langsamer als Auto und wird von diesem überholt. c) Strecke Die Fahrzeuge bewegen sich aufeinander zu. Fahrzeug macht eine Pause, während das Auto an dem stehendem Fahrzeug vorbeifährt. d) Strecke Auto Auto Auto Auto Zeit Zeit Die Fahrzeuge bewegen sich mit gleicher Geschwin- Die Autos fahren aufeinander zu. Beide Fahrzeuge digkeit in die gleiche Richtung. Auto fährt später halten an der gleichen Stelle unterschiedlich lange los und steuert den Startpunkt von Auto an. an, fahren aber zum gleichen Zeitpunkt weiter. Fußball Die Flugbahn eines Fußballs wurde mit einer Kamera aufgenommen und in ein 8 Höhe in m Koordinatensstem übertragen. Entnimm die Informationen aus dem Diagramm. Der Spieler befand sich 70 m vom Tor entfernt. Der Ball traf 0 m hinter dem Tor wieder auf dem Boden auf. Der Ball flog etwa m über das Tor (ein Fußballtor Spieler Tor in m hat eine Höhe von, m).

10 Schnittpunkte helfen bei der Planung in einem Unternehmen Kosten und Einnahmen In einem Unternehmen wird ein Produkt hergestellt. Bei der Produktion fallen Kosten an, durch den Verkauf des Produktes werden Einnahmen erzielt. Im Diagramm sind die Graphen der Kostenfunktion und der Einnahmefunktion dargestellt. a) Begründe, warum die Einnahmefunktion durch eine Ursprungsgerade dargestellt wird. Wenn nichts produziert wird, gibt es keine Betrag Einnahmen Kosten Einnahmen. b) Begründe, warum der Graph der Kostenfunktion auf keinen Fall durch den Koordinatenursprung verlaufen kann. Stückzahl optimale Stückzahl Auch wenn nichts produziert wird, fallen Kosten an, z. B. Heizung, Miete, usw. c) Finde Ursachen dafür, dass der Graph der Kostenfunktion bei sehr großen Stückzahlen steiler wird. Es müssen z. B. Überstunden gemacht werden, die teurer sind. Die Maschinen werden stärker belastet und erfordern einen höheren Wartungsaufwand. d) Gib die Bedeutung der Schnittpunkte der beiden Graphen an. Kosten und Einnahmen sind gleich groß. Das Unternehmen macht weder Gewinn noch Verlust. e) Markiere auf der Stückzahl-Achse diejenigen Stückzahlen, die die Firma auf jeden Fall bei der Produktion vermeiden sollte. Begründe deine Markierung. In den markierten Bereichen können die Kosten bei der Fertigung nicht Gewinn durch die Einnahmen gedeckt werden. f) Markiere im Diagramm die Stückzahl, die für die Firma optimal ist. Gib eine Begründung an. Stückzahl Die optimale Stückzahl bedeutet für das Unternehmen, dass der erwirtschaftete Gewinn, also die Differenz zwischen Einnahmen und Kosten am größten ist. g) Stelle den Graphen der Gewinnfunktion durch eine Skizze dar. Begründe den Verlauf des Graphen. Zunächst sind die Kosten größer als die Einnahmen. Die Firma macht Verlust (negativer Gewinn). Danach gibt es Gewinn, der zunächst mit steigender Stückzahl immer größer wird. Schließlich nimmt der Gewinn ab, da die Kosten nur noch knapp durch die Einnahmen gedeckt werden können. Bei zu großem Produktionsumfang übersteigen die Kosten wieder die Einnahmen, sodass negativer Gewinn erzielt wird.

11 Funktionsgleichung Graph Nullstellen, allgemeine Form Bestimme die Nullstellen und schreibe den Funktionsterm in allgemeiner (ausmultiplizierter) Form. a) f () = (,) b) g () = ( + ) ( 0,) c) h () = (, + ) ( + ) = 0; =, f () =, = ; = 0; = 0, g () = +, = ; = 0 h ()=, Graph, besondere Punkte, Grad Bestimme anhand der Graphen die Koordinaten aller besonderen Punkte und gib den Grad der jeweiligen Funktion an. a) b) c) N (0 0); N ( 0); T (,,) Funktion. Grades N / (±, 0); N (0 0); H (, ); T (, ) Funktion. Grades N / (±, 0); H (0 ); T / (±, 0) Funktion. Grades Zuordnung: Graph Funktionsgleichung Ordne die Funktionsgleichung dem passenden Graphen zu. f g h a) =, f b) =, + h c) = ( ) ( ) g

12 Anzahl von Nullstellen und Schnittpunkten Anzahl der Nullstellen Zeichne jeweils die -Achse so, dass der Graph keine, zwei, drei oder vier Nullstelle/n hat. oder Berechnung von Nullstellen Wo schneidet der Graph die -Achse? a) =, + b) = c) = + = = ; = + = ; = ; = ; = Anzahl der Schnittpunkte Zeichne jeweils Geraden so, dass sie mit dem Graphen einen, zwei oder drei Schnittpunkte haben. Anzahl der Schnittpunkte Bestimme den Punkt bzw. die Punkte, in denen die Funktionswerte gleich sind. a) f () =, (,7), (,7) = ; =,7; (,7 ) g () = b) g () =, + h () =, + c) h () = + k () = g () = h ();, + =, + = ; = ; P ( 8,); P (,) h () = k (); + = 0; / = 0; = P / (0 0); P ( )

13 Bestimmung von Schnittpunkten Schnittpunktbestimmung durch Rechnung Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden. a) g : = b) g : = + c) g : = + d) g : = + g : = + g : = g : = g : = S a (j j) 8 S b (j j) 7 S c (j j) S d (j j) Rechnung mit vorgegebenem Diagramm Im Diagramm sind zwei Geraden dargestellt. Der Schnittpunkt der Geraden lässt sich näherungsweise ablesen. Bestimme zusätzlich rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunktes genau. Bei der Aufstellung der Gleichungen können die herausgehobenen Gitterpunkte helfen. g g g g Abgelesen: (,,7) Berechnet: 0 g : = 0, + ; g : = + ; ( Abgelesen: (,,) 8 Berechnet: ) g : = ; g : = + ; ( 7 ) Spezialfälle bei der Schnittberechnung Untersuche, ob sich die Geraden schneiden, zeichne sie und finde einen Namen für den Spezialfall. a) g : = b) g : = g : = + g : = Spezialfall: Die Geraden liegen parallel zueinander. Spezialfall: Es ist nur eine Gerade. Rechnereinsatz Bei der Lösung von Gleichungssstemen mithilfe eines Rechners ergeben sich diese Anzeigen. Begründe jeweils, welche Lösungen der Rechner angibt. Der Rechner findet keine Lösung, da parallele Geraden vorliegen. Der Rechner findet unendlich viele Lösungen, da zwei Gleichungen für die gleiche Gerade vorliegen. Der Rechner findet die Lösung ( 9 ). Die Geraden schneiden sich in einem Punkt.

14 Bestimmung von Schnittpunkten Parabelschnittpunkte mit der -Achse Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel mit der - Achse. a) = 9 ( 0); ( 0) b) = + ( 0); ( 0) c) = + keine Schnittpunkte d) = + + ( 0) e) = + ( 0); ( 0) f) = ( 0); ( + 0) Schnitt von Parabel und Gerade Gegeben sind eine Gerade und eine Parabel. Zeichne beide in ein Koordinatensstem ein und bestimme näherungsweise die Koordinaten der Schnittpunkte. Berechne anschließend die genauen Werte der Koordinaten. a) p: = + b) p: = + g: = + 8 g: = abgelesene Koordinaten: ( ); ( 0) abgelesene Koordinaten: ( 0,,); (0,,) berechnete Koordinaten: ( ); ( 0) berechnete Koordinaten: ( ) ; ( 0 9 ) Anzahl von Schnittpunkten Wie viele Schnittpunkte können eine Parabel und eine Gerade haben? Betrachte dazu die Parabel mit der Gleichung = und die Geraden g : =, g : =, g : =. Die Geraden haben diese Gemeinsamkeit: Die Parabel p hat mit g g g Schnittpunkte, Schnittpunkte, 0 Schnittpunkte. Skizziere die Parabel und die drei Geraden, sodass jeder Fall erfasst wird. Sie liegen zueinander parallel. 8 g g g 7

15 Bestimmung von Schnittpunkten Schnittpunkte von Parabeln Bestimme die Schnittpunkte der Parabeln. a) p : = 0, b) p : = + + c) p : = + + p : = 0, + 0, p : = + p : = 0, ( 0); ( 0) ( 9); ( ) ( 9 ) ; ( + 9 Anzahl der Schnittpunkte zweier Parabeln Untersuche, wie viele Schnittpunkte zwei Parabeln haben können. Betrachte dazu die Parabel mit der Gleichung = und die unendlich vielen Parabeln mit der Gleichung = ( ) + a, die man erhält, wenn man für a Zahlen einsetzt. Setze für a verschiedene Zahlen ein und prüfe jeweils, wie viele Schnittpunkte vorliegen. Es gibt < = keinen Schnittpunkt, wenn a, einen Schnittpunkt, wenn a, zwei Schnittpunkte, wenn a >. Parabeln mit nur einem Schnittpunkt Wenn die Parabeln in Aufgabe einen Schnittpunkt haben, dann berühren sie sich. Untersuche, ob es auch Parabeln gibt, die nur einen Schnittpunkt haben, sich dort aber nicht nur berühren. Falls solche Parabeln eistieren, gib ihre p Gleichungen an und skizziere sie. p 8 Falls es solche Parabeln nicht gibt, begründe, warum das so ist. ) Man betrachtet die Parabeln: p : = p : = ( ) Grafik auf dem Rechner Mit dem Rechner sind zwei Geraden dargestellt worden. Anschließend wurde der Schnittpunkt bestimmt. Bestimme das Gleichungssstem, das auf diese Weise gelöst wurde. g : = + g : = + =, = 9 = ; P ( ) 8

16 Komplee Aufgaben Bewegungen Treffpunkt Die Bewegung zweier Autos kann näherungsweise durch die Gleichungen s (t) = 0,8 t und s (t) =, t + beschrieben werden. Dabei sind die Zeit in Minuten und die Position in km angegeben. Fülle die Lücken in dem Tet aus. Die Autos bewegen sich aufeinander zu, weil die Steigung des Graphen von s positiv, die von s negativ. ist. Zum Zeitpunkt des Startes sind sie km auseinander. Sie fahren nach 8 Minuten aneinander vorbei. Auto hat dann, km und Auto 9, km zurückgelegt. Nach 0 Minuten sind die Autos km auseinander. Auto kommt am Startort von Auto nach, Minuten vorbei. Überholen Zwei Autos fahren gleichzeitig in zwei Orten, die 0 km auseinanderliegen, in gleicher Richtung los. Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 70 km / h in Richtung des Startortes von Auto. Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 0 km / h. a) Begründe, dass die Autos sich irgendwann überholen müssen. Das erste Fahrzeug ist schneller als Auto, das einen Vorsprung hat. b) Gib für die Bewegung jedes Autos eine Funktionsgleichung an. Auto : s (t) = 70 t Auto : s (t) = 0 t + 0 c) Bestimme den Ort und den Zeitpunkt des Überholens. Verfolgungsjagd In der Zeitung wird berichtet: Gestern fuhr auf der Hauptstraße ein Fahrer mit überhöhter Geschwindigkeit von 7 km / h an einem haltenden Polizeiwagen vorbei. In dem Moment, als der Autofahrer neben dem Polizeiwagen war, fuhr dieser los. a) Begründe, dass die Bewegung des Polizeiautos nicht durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann. Das Polizeiauto beschleunigte seine Fahrt. Zeitpunkt: h nach Start; Ort: 0 km hinter dem Startort von Auto. b) Beschreibe die Bewegung des Fahrers durch eine Gleichung. s = t = 0 t ( 0 m s = 7 km h ) c) Bestimme den Zeitpunkt und den Ort, zu dem das Polizeiauto das andere Auto einholt, vorausgesetzt, dass die Angaben in der Zeitung richtig sind und dass die Bewegung des Polizeiwagens näherungsweise durch die Gleichung s P = 0,8 t (s P in Metern, t in Sekunden) beschrieben werden konnte. Der Fahrer wird nach s vom Polizeiwagen eingeholt. Das Polizeiauto hat dann 00 m zurückgelegt. 9

17 Komplee Aufgaben Kerzen Beschreibung von Kerzen Eine Kerze ist beim Anzünden 7 cm lang. Sie wird jede Stunde, cm kürzer. Eine andere Kerze ist cm lang. Sie ist nach 9 Stunden abgebrannt. a) Stelle den Vorgang in einem Diagramm dar. 0 b) Bestimme rechnerisch, wann die erste Kerze 8 abgebrannt ist. =, + 7; 0 =, + 7; 7,08 c) Bestimme den Zeitpunkt, an dem beide Kerzen die gleiche Höhe haben, und gib sie an. Nach etwa,7 Stunden sind beide Kerzen gleich hoch. Höhe in cm 8 Zeit in h Kerzen im Diagramm Höhe in cm Durch das Diagramm wird das 0 Ab brennen zweier Kerzen dargestellt. Entnimm dem Diagramm die benötigten Informationen und trage sie in Kerze den Tet ein. Kerze hat eine Anfangshöhe von 0 cm, Kerze von 7,8 cm. Kerze Kerze ist dicker als Kerze. Beide Kerzen haben um 9. Uhr Uhrzeit die gleiche Höhe von cm Kerze ist um 0.0 Uhr abgebrannt, während Kerze noch Stunde länger brennt. Finde den Fehler. Das Abbrennen zweier Kerzen wird durch die Funktionen Höhe in cm mit den Gleichungen h (t) = t + und h (t) = t + beschrieben. Die Zeit t ist dabei in Stunden, die Höhe h in cm angegeben. Zur Bestimmung des Zeitpunktes, an dem die beiden Kerzen die gleiche Höhe haben, wird diese Rechnung durchgeführt: h (t) = h (t) t + = t + t = Zeit in h Also haben die Kerzen nach 8 Stunden die gleiche Höhe. Die Darstellung mithilfe einer Grafik kann dir helfen, den 8 Fehler zu finden. Schreibe auf, was hier nicht beachtet worden ist. Die Geraden werden sich bei einer negativen Kerzenlänge schneiden. Gib den richtigen Zeitpunkt an. Nach 7 Stunden sind beide Kerzen abgebrannt, also gleich lang. 0

18 Komplee Aufgaben Tarife Hand-Tarife Vergleiche die beiden Hand-Tarife miteinander. Welcher Tarif ist der günstigere? TeleSieben Grundgebühr monatlich 7 Jede Gesprächsminute nur 7 Cent BilligTele Bei uns gibt es keine Grundgebühr. Jede Gesprächsminute kostet Cent. a) Stelle die Tarife grafisch dar. b) Bei einer monatlichen Gesprächsdauer von 80 Minuten ist der Tarif BilligTele günstiger. 0 Kosten in c) Bei einer monatlichen Gesprächsdauer von 0 Minuten 0 ist der Tarif TeleSieben günstiger. Dauer in Minuten d) Lies aus dem Graphen ab, bei welcher Gesprächsdauer beide Tarife gleich teuer sind. Gesprächsdauer: etwa 0 Minuten e) Berechne, wann die Tarife gleich teuer sind. Gesprächsdauer:,7 Minuten. Neue Geschäftsstrategie Der Produktmanager der Telefongesellschaft Telenovo will mit einer neuen Tarifstruktur den Konkurrenten Kunden abjagen. Dabei zielt die neue Strategie insbesondere auf Vieltelefonierer. Der schärfste Konkurrent bietet einen Tarif mit einer Grundgebühr von 0 Euro und einer Gesprächsgebühr von Cent pro Minute an. Ab einer Gesprächsdauer von 00 Minuten soll es mit dem neuen Tarif für die Kunden günstiger werden. Entwickle einen geeigneten Tarif. (Es gibt verschiedene Möglichkeiten.) Mein Tarif lautet: Bsp.: Flat-Tarif für,99 ; Grundgebühr 0 + 0,0 pro Minute Autovermietung Vergleiche die Tarife von drei Autovermietungen. Autorent bietet an: Grundgebühr pro Tag 0, Kosten pro km 0,. Mietauto bietet an: Grundgebühr pro Tag 90 ohne Zusatzkosten für die gefahrenen Kilometer. Mietmich bietet an: Grundgebühr pro Tag 0, Kosten pro km 0,. a) Stelle die Tarife in einem Diagramm dar. b) Untersuche, welche Firma am günstigsten ist. Von 0 km bis,9 km ist Autorent am günstigsten. Von km bis km ist am güns Preis in Autorent Mietauto Mietmich Strecke in km tigsten. Ab km ist Mietauto am günstigsten.

19 Ganzrationale Funktionen Komplee Aufgaben zu verschiedenen Konteten Straßenkreuzung Im Land Futuro gibt es vier Städte A, B, C und D. B liegt 0 km nördlich von A. C liegt 0 km östlich von B. D liegt 70 km östlich von A. Die Städte A und C sollen durch eine geradlinige Straße verbunden werden ebenso wie die Städte B und D. Untersuche, wo sich die Kreuzung der beiden neu zu bauenden Straßen befinden wird. B A C D Die Kreuzung liegt, km östlich und 8, km nördlich von A. Einnahmen Durch das Diagramm werden die Einnahmen eines Unternehmens in Abhängigkeit von der Zahl der verkauften Teile dargestellt. Ebenso sind die bei der Produktion anfallenden Kosten dar gestellt. a) Begründe, warum die Gerade, die die Einnahmen beschreibt, durch den Ursprung verläuft. Wenn nichts verkauft wird, gibt es 0 Preis in Kosten Einnahmen keine Einnahmen. Stückzahl in 000 b) Begründe, warum die Gerade, die die Kosten 0 beschreibt, nicht durch den Ursprung verläuft. Auch wenn nichts verkauft (produziert) wird, entstehen Kosten; z. B. Maschinenwartung, Miete, 0 c) Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden. ( ) 0 d) Beschreibe, welche Bedeutung der Schnittpunkt für das Unternehmen hat.,7 Ab einer Stückzahl von etwa 70 macht das Unternehmen Gewinn. Ballkurve Die Flugbahn eines Balles kann durch die Funktionsgleichung h () = 0,0 +, +, beschrieben werden. Dabei ist die Entfernung vom Abwurfort in Metern und h die Höhe über dem Boden in Metern. a) Zeichne die Bahn. b) Bestimme, in welcher Entfernung vom Abwurfort der Ball wieder auf dem Boden auftrifft. Der Ball trifft nach etwa, m auf dem Boden auf. 0 Höhe in m Entfernung in m c) Untersuche, ob der Ball die Höhe von 0 m über dem Boden erreicht, und bestimme eventuell, wo das der Fall ist. Der Ball erreicht diese Höhe an zwei Positionen, nach ca. 9 m und nach ca. m.

20 Abschlusstest Schnittpunkte von ganzrationalen Funktionen Gleichung einer ganzrationalen Funktion erkennen Kreuze an und gib gegebenenfalls den Grad an. Funktionsgleichung ganzrationale Funktion Grad anderer Funktionstp =, 0 =, = + 0, + =, 8 + +,8 8 = + 0, Graph einer ganzrationalen Funktion Fülle die Wertetabelle aus und zeichne den Graphen der ganzrationalen Funktion f () = +., 0, 0 0,, 0,9 0,0,0 0 0,9 Schnittpunkte mit Koordinatenachsen Berechne die Schnittpunkte der Funktion f mit f () =,8 (,) ( + ) ( ) mit den Koordinatenachsen. Schnittpunkte mit der -Achse: P ( 0); P (, 0); P ( 0) Schnittpunkt mit der -Achse: f (0) = (0 ) Smmetrie Kreuze an. ganzrationale Funktion Smmetrie zur -Achse Smmetrie zum Ursprung keine Smmetrie erkennbar h () = 7 +, g () =, + f () =, Gerade durch Eigenschaften beschreiben Die Gerade g verläuft durch die Punkte P ( ) und Q ( ). g Die Gerade g schneidet die -Achse bei und hat die Steigung. Zeichne g und g in ein Koordinatensstem. Lies näherungsweise die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden und der Schnittpunkte mit der -Achse ab. Bestimme die Koordinaten der Punkte durch eine Rechnung. abgelesene Koordinaten: S ( ); N g ( 0); N g ( 0) P S Q berechnete Koordinaten: g : = + ; g : = g

21 Abschlusstest Schnittpunkte von ganzrationalen Funktionen Schnittpunkte von Geraden Gegeben sind die Geraden g : = + und g : =. a) Stelle die Geraden in einem Koordinatensstem dar. b) Lies näherungsweise die Koordinaten der Schnitt punkte der Geraden mit der -Achse und des Schnittpunktes der Geraden miteinander ab. Näherungswerte: Schnittpunkt von g mit der -Achse: =,7 Schnittpunkt von g mit der -Achse: =, Schnittpunkt von g und g : (,8) 7 g g c) Bestimme die eakten Koordinaten durch Rechnung. 0 = Schnittpunkt von g mit der -Achse: + ; = 8 0 = Schnittpunkt von g mit der -Achse: ; = Schnittpunkt von g und g : + = ; ( 90 ) 7 Schnittpunkte von Parabel und Gerade Gegeben sind die Parabel p: = + und die Gerade g: = +. a) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von p mit der -Achse: ( 0); ( + 0) b) Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von p und g: ( 9 9 ) ; ( ) 8 Gegenverkehr Durch die Graphen ist die Bewegung zweier Autos dargestellt. a) In welcher Entfernung voneinander starten die Autos? Strecke in km 8 km b) Wann und wo treffen sich die Autos? Auto Nach Minuten, km vom Startpunkt von Auto entfernt. Auto c) Gib die Bedeutung der Nullstelle des Graphen von Auto an. Auto erreicht den Startpunkt von Auto. Zeit in min d) Wie weit sind die Autos fünf Minuten, nachdem sie losgefahren sind, voneinander entfernt? Die Fahrzeuge sind etwa km voneinander entfernt. e) Welche Bedeutung haben die Schnittpunkte der Graphen mit der gestrichelten Linie? Man kann ablesen, wann die Autos genau in der Mitte zwischen den Startpunkten sind.