Inverse Methoden in der FE
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- Benjamin Erich Kappel
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1 Inverse Methoden in der FE 12. Mai Übung: Vorwärtsmodellierung im Mikrowellenbereich (STP) 19. Mai VL: Statistische Inversionsverfahren (Regression, Neuronales Netz) 2. Juni Übung: spez. Aufgaben der Gruppen (verlängert bis 19:00) 9. Juni Übung bei Wunsch (Literaturseminar auf der Zugspitze) 16. Juni VL: Direkte, lineare Invertierung Zwischenstand: Präsentation der Ergebnisse (10 min+3 Folien je Gruppe) 23. Juni Übung: spez. Aufgaben der Gruppen 30. Juni VL: Invertierung mit Zwangsbedingungen 7. Juli Übung: spez. Aufgaben der Gruppen 14. Juli Präsentation und Diskussion der Ergebnisse zusätzlich: vor dem Terminvereinbarung mit M. Mech möglich wegen Techniken zur graphischen Darstellung Infos und Aufgabenstellung + Quellcodes unter: Juni
2 Spezielle Aufgaben der Gruppen Gruppe 1 (Rafael und Markus) Temperaturprofile aus Multi-Frequenzmessungen entlang der 60 GHz Sauerstoffbande (AMSU-A) vom Satelliten aus Aufgaben bis zum Vorstellung der Problematik Analyse des Informationsgehalts der FE-Messung, d.h. Darstellung und Deutung des TB-Spektrums (AMSU-A Kanäle) und graphische Darstellung der Wichtungsfunktionen für einen ausgesuchten Fall Berechnung von gemittelten Temperaturprofilen, die später abgeleitet werden sollen Weitere Aufgaben bis zum Formulierung des Strahlungstransportes in Matrixschreibweise Berechnung der Zwangsbedingungsmatrizen Lösung mit Zwangsbedingungen und TB-Fehlerannahmen Graphische Darstellung der abgeleiteten Profile 16. Juni
3 Inverse Fernerkundung 2005 Temperaturprofile aus Multi-Frequenzmessungen entlang der 60 GHz Sauerstoffbande (AMSU-A) vom Satelliten aus
4 Spektrale Darstellung der Helligkeitstemperatur im Bereich von 50 GHz bis 58 GHz. Maximum bei GHz Physikalische Grundlagen der Fernerkundung Inverse Fernerkundung: Temperaturprofile entlang der 60 GHz Sauerstoffbande vom Satelliten aus M.Eifried & R.Kühnel SS 2005
5 Physikalische Grundlagen der Fernerkundung Inverse Fernerkundung: Temperaturprofile entlang der 60 GHz Sauerstoffbande vom Satelliten aus M.Eifried & R.Kühnel SS 2005
6 Physikalische Grundlagen der Fernerkundung Inverse Fernerkundung: Temperaturprofile entlang der 60 GHz Sauerstoffbande vom Satelliten aus M.Eifried & R.Kühnel SS 2005
7 Physikalische Grundlagen der Fernerkundung Inverse Fernerkundung: Temperaturprofile entlang der 60 GHz Sauerstoffbande vom Satelliten aus M.Eifried & R.Kühnel SS 2005
8 Physikalische Grundlagen der Fernerkundung Inverse Fernerkundung: Temperaturprofile entlang der 60 GHz Sauerstoffbande vom Satelliten aus M.Eifried & R.Kühnel SS 2005
9 Spezielle Aufgaben der Gruppen Gruppe 2 (Silke und Christoph) Temperaturprofile aus Multi-Frequenzmessungen entlang der 118 GHz Sauerstoffbande vom Satelliten aus Frequenzen: 110.0, , 117.3, 118.0, , , , 118.7, Aufgaben bis zum Vorstellung der Problematik Analyse des Informationsgehalts der FE-Messung, d.h. Darstellung und Deutung des TB-Spektrums ( GHz) und graphische Darstellung der Wichtungsfunktionen für einen ausgesuchten Fall Berechnung von gemittelten Temperaturprofilen, die später abgeleitet werden sollen Weitere Aufgaben bis zum Formulierung des Strahlungstransportes in Matrixschreibweise Berechnung der Zwangsbedingungsmatrizen Lösung mit Zwangsbedingungen und TB-Fehlerannahmen Graphische Darstellung der abgeleiteten Profile 16. Juni
10 Aufgabenstellung Berechnung der Helligkeitstemperaturen und Wichtungsfunktionen entlang der 118 GHz- Sauerstoffbande Grafische Darstellung der Wichtungsfunktionen mit der Höhe Darstellung und Deutung des Spektrums der Helligkeitstemperaturen Physikalische Grundlagen der Fernerkundung 10
11 Grafische Darstellung 118,7 118,55 118,35 117,3 115, Physikalische Grundlagen der Fernerkundung 11
12 Helligkeitstemperaturen Frequenzen 110 GHz 115,15 GHz 117,3 GHz 118,35 GHz 118,55 GHz 118,7 GHz 118,725 GHz Rand 90,0 98,0 105,0 Helligkeitstemperaturen 129,50 117,90 80,47 16,51 3,795 0,1043 0,0293 Rand 133,9 132,9 131,6 Physikalische Grundlagen der Fernerkundung 12
13 Spezielle Aufgaben der Gruppen Gruppe 3 (Kirstin und Thomas) Feuchteprofile aus Multi-Frequenzmessungen entlang der 183 GHz Wasserdampflinie vom Satelliten aus (AMSU-B Frequenzen) Aufgaben bis zum 16.6.: Vorstellung der Problematik Analyse des Informationsgehalts der FE-Messung, d.h. Darstellung und Deutung des TB-Spektrums (AMSU-B Kanäle) und graphische Darstellung der Wichtungsfunktionen für einen ausgesuchten Fall Darstellung der Korrelation zwischen den TB und der Feuchte in verschiedenen Höhe für den gesamten Radiosondendatensatz Weitere Aufgaben bis zum Berechnung der linearen Regressionskoeffizientenmatrix M (Anzahl TB x Anzahl Höhenschichten), wobei Feuchte=M*TB, aus einer Hälfte des Radiosondendatensatzes Darstellung der Genauigkeit des Verfahrens durch Anwendung auf die zweite Hälfte des Radiosondendatensatzes 16. Juni
14 Inverse Fernerkundung 2005 Feuchteprofile aus Multifrequenzmessungen entlang der 183 GHz Wasserdampflinie vom Satelliten aus
15 Spektrum der Helligkeitstemperaturen Helligkeitstemperaturen fuer speziellen Fall TB Helligkeitstemperaturen in K Hier plot mit x-achse frequenz y-achse TB Deutung des Spektrums : AMSU-B Kanäle 50 0 Physikalische Grundlagen 70 der Fernerkundung Frequenzen in GHz Inverse FE: Feuchteprofile entlang der 183 GHz Wasserdampflinie vom Satelliten aus T.Hamburger & K.Kober SoSe 2005
16 Berechnete Wichtungsfunktionen Wichtungsfunktionen 89 GHz 150 GHz 176 GHz 180 GHz 182 GHz H he in m Hier: plot mit x-achse wichtungsfkt y-achsehöhez Bei ausgesuchten fall Physikalische Grundlagen der Fernerkundung Wichtungsfunktionen in 1/m Inverse FE: Feuchteprofile entlang der 183 GHz Wasserdampflinie vom Satelliten aus T.Hamburger & K.Kober SoSe 2005
17 Korrelation zwischen TB & Feuchte in bestimmten Höhen... In Arbeit Physikalische Grundlagen der Fernerkundung Inverse FE: Feuchteprofile entlang der 183 GHz Wasserdampflinie vom Satelliten aus T.Hamburger & K.Kober SoSe 2005
18 Spezielle Aufgaben der Gruppen Gruppe 4a (Pascal) IWV aus Messungen bei 23.8 und 31.4 GHz vom Boden aus Aufgaben bis zum 16.6.: Vorstellung der Problematik Analyse des Informationsgehalts der FE-Messung, d.h. Darstellung und Deutung des TB-Spektrums (10-40 GHz) und graphische Darstellung der Wichtungsfunktionen bei 23.8 und 31.4 GHz für einen ausgesuchten Fall Darstellung der Korrelation zwischen den TB und dem IWV für den gesamten Radiosondendatensatz, Darstellung des mittleren Jahresgangs für IWV Weitere Aufgaben bis zum Berechnung von jahreszeitenabhängigen linearen Regressionskoeffizientenvektoren M (Anzahl TB), wobei IWV = M*TB), aus einer Hälfte des Radiosondendatensatzes Darstellung der Genauigkeit des Verfahrens durch Anwendung auf die zweite Hälfte des Radiosondendatensatzes 16. Juni
19 Spezielle Aufgaben der Gruppen Gruppe 4b (Dominik und Matthias) IWV aus Messungen bei 23.8 und 31.4 GHz vom Satelliten aus Aufgaben bis zum 16.6.: Vorstellung der Problematik Analyse des Informationsgehalts der FE-Messung, d.h. Darstellung und Deutung des TB-Spektrums (10-40 GHz) und graphische Darstellung der Wichtungsfunktionen bei 23.8 und 31.4 GHz für einen ausgesuchten Fall Darstellung der Korrelation zwischen den TB und dem IWV für den gesamten Radiosondendatensatz, Darstellung des mittleren Jahresgangs für IWV Weitere Aufgaben bis zum Berechnung von jahreszeitenabhängigen linearen Regressionskoeffizientenvektoren M (Anzahl TB), wobei IWV = M*TB), aus einer Hälfte des Radiosondendatensatzes Darstellung der Genauigkeit des Verfahrens durch Anwendung auf die zweite Hälfte des Radiosondendatensatzes 16. Juni
20 Ableitung des IWV aus der Helligkeitstemperatur Grundproblem: gegeben: TB=F(IWV) F: Vorwärtsmodell mit Trainingsdatensatz gesucht: IWV= T(TB) T = F -1 inverse Modellierung durch lineare Regression 0 T B = T sτa + W ρ ( z ) ρ ( z ) dz
21 Helligkeitstemperatur gegen Frequenz Helligkeitstemperatur [K] Frequenz [GHZ] Physikalische Grundlagen der Fernerkundung 21
22 Wichtungsfunktion von Wasserdampf Frequenz: 23.8 GHz Höhe [m] W( z) = k( z) = σ k( z) T( z) ( z) / ρ τ ( z) ( z) 2000 Frequenz: 31.4 GHz Wichtungsfunktion Wichtungsfunktion relativ konstant Informationen über den Wasserdampf aus allen Höhen gleich Physikalische Grundlagen der Fernerkundung 22
23 Grundproblem: gegeben: TB=F(IWV) F: Vorwärtsmodell mit Trainingsdatensatz gesucht: IWV= T(TB) T = F -1 inverse Modellierung durch lineare Regression 0 T B = T sτa + W ρ ( z ) ρ ( z ) dz
24 16. Juni Direkte Invertierung Δ Δ Δ = ) (.. ) ( ) (... ) (.... ) ( ) ( ) (.. ) ( ) ( 2 1, 1 2, , N A A A M B B B z T z T z T z z W z z W z z W T T T ν M ν ν ν ν ν τ τ τ ν ν ν Beispiel: Berechnung des Temperaturprofils T(z) durch M Messungen der Helligkeitstemperatur entlang einer Sauerstoffbande T B (ν) p s r r r = dz z T z W T dz z z T z T T T A s A s B ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = + = τ τ σ τ Problem: In Wahrheit geht die Anzahl der vertikalen Schichten n, zumindest ist allgemein N>>M T(z 1 )=T s Temperatur am Boden
25 Beispiel: Temperatur-Invertierung r 1 p = S r Voraussetzung für Invertierung: Quadratische Matrix S 8 Frequenzen nur 7 Höhen + Boden Betrachtung von Schichtmitteln W ν i T ( z ( z i i ) Δz ) T ( z ) i W i ν i ( z ) Δz Durchführung Berechnung der Schichtmittel W und T i i Neue Vorwärtsrechnung, da T B nicht gleich T B Berechnung von S -1 Anwendung auf T B (und T B ) Berücksichtigung von Messfehlern in T B 16. Juni später auch N<M
26 Einfache lineare Systemephysikalische Invertierung r r = S r p Aufgabe: Bestimmung von S p r Frage: Wie gut ist dann? 1 r 1 p = S r Prinzipielle Probleme Nichtlinearität der STP Informationsgehalt der Messungen Einfluss von Messfehlern Hier ist S der lineare Strahlungstransportoperator, der unabhängig von p (=T(z)) ist! Was ist problematisch? Absorptionskoeffizient σ ist abhängig von der Temperatur und somit auch die optische Dicke δ, die Transmission τ und die Wichtungsfunktion W (=S) 16. Juni
27 4.1 Algebraische Beispiele Frage an den Zoowärter: Antwort: Wie viele Vögel (V) und wie viele Säugetiere (S) gibt es im Zoo? 100 Köpfe und 300 Füße Lösung: V + S = 100 * -4 2V + 4S = 300-4V - 4S = 400 2V + 4S = 300-2V = -100 V = 50 S = 50 Bekannte r r 100 = 300 Unbekannte p r 50 = 50 S = r r = S r p 16. Juni
28 Weitere Beispiele 2. Frage : Wie viele Löwen (L) und wie viele Tiger (T) gibt es im Zoo? Antwort: 100 Köpfe und 300 Füße Lösung: L + T = 100 4L + 4T = 300 * -4-4L - 4T = 400 4L+ 4T = = -100 Lüge oder Fehler 16. Juni
29 Weitere Beispiele 2. Frage : Wie viele Löwen (L) und wie viele Tiger (T) gibt es im Zoo? Antwort: 100 Köpfe und 400 Füße Lösung: L + T = 100 4L + 4T = 400 * -4-4L - 4T = 400 4L+ 4T = = -0 S = Effektiv nur 1 Gleichung mit 2 Unbekannten Unterbestimmtes System! Gleiche Wichtungsfunktionen 16. Juni
30 Gleichungssysteme (algebraische Elimination) 1. x + y + z = x - y + 3z = x + 2y - z = x - 3y -3z = x + 2y - z = -1 -y - 4z = x - 2y - 2z = x - y + 3z = 9-3y + z = 5 r r = S r p 3y +12z = 21-3y + z = 5 13z = 26 r r = S = p r = 1 1. x + y + z = y + 1z = z = 26 Obere Dreiecksmatrix Weitere Lösung durch Sequentielles Einsetzen Gauss-Seidel-Eliminationsverfahren S 1 1 = Juni
31 Gauss-Seidel-Eliminationsverfahren Jede Gleichung durch Koeffizienten von x teilen 1. Gleichung von 2.,3., N.ter abziehen N-1 Gleichungen mit N-1 Unbekannten Iteration Einsetzen (back substitution) Obere Dreiecksmatrix 1. x + y + z = x - y + 3z = x + 2y - z = -1 oder Nutzung der Numerical Recipes Subroutine GAUSSJ(S,N,NP,B,M,MP) 16. Juni
32 Numerical Recipes Subroutine GAUSSJ(A,N,NP,B,M,MP) A r x = r b Input: A NxN Koeffizientenmatrix, z.b NP physikalische Dimension B NxM Matrix mit M Eingabegrößen für Ausgabe: A -1 steht auf S x j,j=1,m steht auf B S b r Numerisches Praktikum 1. A =S, aber Diskretisierung beachten, verwende ein Schema zur Diskretisierung mit z i an den Maxima der Wichtungsfunktionen 2. r r b = 1 1 A = S 3. Anwendung von GAUSSJ und 4. Führe aus S 1 r = r p r r x = p 16. Juni
33 1. x + y + z = x - y + 3z = x + y + 5z = 12 Probleme x + 4z = x - 8z = 21 geht nicht! War zu erwarten, da 1 1 ( ) S = det det = Singuläre Matrix nicht invertierbar 16. Juni
34 A r x r b 4.2. Theorie Linearer Systeme Koeffizientenmatrix Lösungsvektor Messvektor A r r A x = b quadratisch und nicht-singulär d.h es gibt eine Inverse) mit Einheitsmatrix A A A = A A = 1 t Transponierte von A wird definiert durch Vertauschen von Zeilen und Spalten ( ) B ( ) t t t A = B A A B = B A wenn A, B quadratische, symmetrische Matrix A t A ist quadratische, symmetrische Matrix A 1 = A t A 1 ist quadratische, symmetrische Matrix A t es existieren effiziente Verfahren zur Invertierung! 16. Juni
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