Leitprogramm Quadratische Gleichungen

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1 Leitprogramm Quadratische Gleichungen Torsten Linnemann, Kantonsschule Solothurn September 005 Inhaltsverzeichnis 1 Leitprogramm Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen Quadratische Ergänzung Die Lösungsformel Lösungen zum Leitprogramm Ergänzung Leitprogramm Quadratische Gleichungen Vorbemerkungen Ein Leitprogramm von Marco Bettinaglio et al, ETH Zürich 1995, diente als Vorlage: Bei den Autoren des Leitprogrammes bedanke ich mich herzlich. individuelles Lernen: Leitprogramme ermöglichen es, das eigene Arbeitstempo selbst zu bestimmen. Diese Unterlagen sind so aufgebaut, dass es ohne Rücksprache mit der Lehrkraft möglich ist, sich in ein Gebiet der Mathematik einzuarbeiten. Stillarbeit: Wichtig ist dabei, dass ihr wirklich euer eigenes Tempo wählt: es ist zwar möglich, sich mit Nachbarinnen und Nachbarn zu besprechen, sollte aber nicht die Regel sein: ihr sollt die Sachen selber erarbeiten und können. Musterlösungen: Wenn mal eine der Aufgaben wirklich Probleme macht, können auch die ausgelegten Musterlösungen helfen es ist auch möglich, die Lehrkraft zu fragen. Kapiteltests: Am Ende des zweiten und des dritten Kapitels müsst ihr jeweils einen Kapiteltest durchführen. Bevor ihr diesen nicht bestanden habt, dürft ihr nicht weiterarbeiten. Er dient für die Lehrkraft und vor allem für euch der Kontrolle, ob ihr den Stoff, den ihr für das nächste Kapitel braucht, wirklich beherrscht. Notfalls gibt es weitere Übungsaufgaben und einen weiteren Test. Die Lehrkraft führt Buch darüber, wer welchen Test gemacht hat. 1

2 1 LEITPROGRAMM QUADRATISCHE GLEICHUNGEN quadratische Gleichungen: Dieser Typ von Gleichungen ist euch bereits häufiger begegnet: bei binomischen Formeln, beim Ausklammern, bei der gleichmässig beschleunigten Bewegung. Immer kam die Unbekannte im Quadrat vor. Bisher kennt ihr einige Ansätze, wie einige der Gleichungen lösbar sind. Hier lernt ihr eine Technik kennen, alle diese Gleichungen zu lösen. Daraus ergibt sich eine Lösungsformel, in die einfach eingesetzt werden kann, um das Ergebnis zu erhalten. Da werdet ihr lernen: Nach diesem Leitprogramm kennt ihr die Lösungstechnik für quadratische Gleichungen. Sie wird in den nächsten Jahren des Mathematikunterrichts häufiger vorkommen. Als müsst ihr sie aktiv beherrschen. Die Lösungsformel selber könnt ihr anwenden und solltet sie am Ende des Leitprogrammes auch auswendig können. Und ganz wichtig: ihr werdet euch damit zurechtfinden, dass es mehr oder weniger als eine Lösung für eine Gleichung geben kann. 1.1 Quadratische Gleichungen Du bist drei typischen Varianten von quadratischen Gleichungen begegnet: x 6x + 5 = 0 (r 3) = 81 (x )(x 3) = 0 Diese drei Gleichungen sind alle quadratisch, sehen aber verschieden aus. Was genau ist ihnen gemeinsam? Wir können sie so umformen, dass sie ähnlich wie die erste aussehen! Nehmen wir das zweite Beispiel. Wenn wir die linke Seite ausmultiplizieren, erhalten wir (r 3) = 81 4r 1r + 9 = 81 Nun zählen wir auf beiden Seiten 81 ab 4r 1r 7 = 0 und teilen die Gleichung noch durch 4: r 3r 18 = 0 Definition: Wenn wir eine Gleichung so umformen können, dass sie die folgende Gestalt annimmt, dann heisst sie quadratisch: x + px + q = 0 p und q sind beliebige, gegebene Zahlen. Mit x ist natürlich die unbekannte Grösse gemeint. Die Form x + px + q = 0 heisst Normalform einer quadratischen Gleichung. Die Zahlen p und q werden Koeffizienten genannt. Die Resultate der Aufgaben sind im Lösungsteil aufgeführt.

3 1 LEITPROGRAMM QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 3 Aufgabe 1.1 Bringe die Gleichung auf Normalform und gebe ihre Koeffizienten an (Wie lauten p und q?) a) 3x + 6x + 9 = 0 b) (x )(x + 3) = 0 c) 7x + 3x + = 4 d) x + 4 = 0 Aufgabe 1. Löse die folgenden Gleichungen auf: a) 9u 100 = 4u b) (11 z) + z = 15 c) (x 4) 56 = 0 Aufgabe 1.3 Bestimme die Lösungen der Gleichungen a) (x + 1.5)(x ) = 0 b) x 8x + 4 = 4 Aufgabe 1.4 Suche eine quadratische Gleichung mit den Lösungen und -8. Aufgabe 1.5 Bringe die quadratische Gleichung 3x 1 = (x + )x auf Normalform. 1. Quadratische Ergänzung Umformen und Wurzelziehen - das beschreibt den Weg, auf dem wir bisher quadratische Gleichungen gelöst haben. Ist dieser Weg bei jeder quadratischen Gleichung gangbar? Können wir jede quadratische Gleichung so umformen, dass sie mit Wurzelziehen gelöst werden kann? Wir können! Die Methode dafür heisst Quadratisches Ergänzen und ist eines der Glanzstücke der Algebra. Wenn wir quadratisch ergänzen, haben wir mit Wurzelziehen Erfolg. Diese Technik wird auch in späteren Kapiteln immer wieder vorkommen. Es ist also wichtig, dass Du sie beherrschst und ohne Hilfsmittel durchführen kannst. Zuerst erinnern wir an unsere bisherige Lösungsstrategie. Dann führen wir dir ein Beispiel vor, bei dem die bisher benutzten Lösungsmethoden nicht zum Ziel führen. Schliesslich kannst Du die Methode entwickeln, mit der sich schliesslich jede quadratische Gleichung auflösen lässt. Du kannst die Methode später an einigen Beispielen selber erproben, bis du eine gewisse Sicherheit erlangt hast. Vorübung Löse die folgenden Gleichungen. Denke dran: oft gibt es zwei Lösungen. Die Lösungen der Vorübung stehen im Lösungsteil. a) (x + 1) = 0 b) x + x + 1 = 9 c) x 16x + 64 = 8 d) (x ) + 3 = 0 e) x + 6x = 9 Hier führt immer die Anwendung einer binomischen Formel zum Ziel. Gleichungen wie zum Beipiel x + 7x 11 = 0 könnt ihr auf die Art noch nicht lösen. Wie ihr im Folgenden sehen werdet, lässt sich auch hier mit binomischen Formeln arbeiten.

4 1 LEITPROGRAMM QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 4 Die folgenden Schritte müsst ihr auf einem Extrablatt lösen. Wenn ihr alle Schritte bearbeitet habt, gebt mir bitte dieses Blatt. Ich werde es korrigieren. 1 Ihr könnt solange an den nächsten Übungsaufgaben weiterarbeiten. Schritt 1 Überlege Dir die Lösung der folgenden Gleichung: x + 6x + = 0 Tipp: Die letzte Gleichung der Vorübung hilft. (Was muss addiert werden?) Schritt Löse nach dem gleichen Schema die folgenden Aufgaben. Verwende dabei binomische Formeln. a) x + 6x + 7 = 0 b) x + 16x + 3 = 0 c)x 6x + 6 = 0 Hast Du bei den ersten beiden Schritten eine binomische Formel verwendet? (Satz von Vieta gilt nicht.) Ja? Dann kannst Du jetzt weitermachen. Nein? Dann solltest Du noch einmal nachdenken, bevor Du Schritt 3 angehst. Schritt 3 Die Technik, die Du jetzt gelernt hast, heisst quadratisches Ergänzen. Warum wohl? Schritt 4 Erkläre in eigenen Worten, wie das Lösen einer quadratischen Gleichung mit quadratischem Ergänzen vor sich geht. Schritt 5 Jetzt sind wir eigentlich fertig. Du solltest nun die Gleichung x +7x 11 = 0 lösen können, indem du zu einem Quadrat ergänzt. Schritt 6 In der vorletzten Vorübung hast Du gesehen, dass (x ) + 3 = 0 nicht lösbar ist. Jetzt sollst die Lösbarkeit bei der Technik des quadratischen Ergänzens betrachtet werden. Du darfst Dich dabei beschränken auf Gleichungen, die mit x + 6x... beginnen. Nach dem Ergänzen zu einem Quadrat ist bereits zu erkennen, ob es eine Lösung gibt. Oder zwei. Oder keine. In dieser Aufgabe braucht ihr die Gleichungen nicht zu lösen. Ihr sollt nur möglichst schnell in eurer Rechnung sagen, wie viele Lösungen es gibt. a) x + 6x + 7 = 0 b) x + 6x + 9 = 0 c) x + 6x + 10 = 0 d) x + 6x 3 = 0 e) x + 6x + 4 = 0 Schritt 7 Etwas allgemeiner: Alle Gleichungen im Schritt 7 sind von der Form x +6x+q = 0. Welche Bedingung muss q erfüllen, damit die Gleichung eine, zwei oder keine Lösung hat? Nun habt ihr die Technik der quadratischen Ergänzung gelernt. Im Beispiel: Der Vorgang, der von der Gleichung zur Gleichung führt, heisst Quadratisches Ergänzen. x + 5x = 10 ( x + 5 ) = Nach einschlägigen Erfahrungen: Die Lösungen müssen sauber und lesbar aufgeschrieben werden, sonst gehen sie gleich retour.

5 1 LEITPROGRAMM QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 5 Gut, jetzt müsst ihr die wichtigste Technik der nächsten Wochen noch üben. Aufgabe 1.6 Ergänze die folgenden Ausdrücke zu einem Quadrat. Welche Zahlen musst Du jeweils dazuzählen? a) x + 4x b) u 6u c) y 3 y d) k + 3k Aufgabe 1.7 Löse die angegebenen Gleichungen mit quadratischem Ergänzen. a) x + 4x = 10 b) z 6z +.75 = 0 c) a 1.8a = 0 d) x x 1 = 0 Aufgabe 1.8 Das waren alles Gleichungen in Normalform (siehe Seite ). Wenn Du die folgenden Gleichungen zuerst auf Normalform bringst, solltest Du sie auch lösen können. a) x + x 10 = 0 b) 3y + y 1 3 = 0 c) 0.4t 3.t + = 0 d) z z 1 = 0 Aufgabe 1.9 a) Mit welcher Zahl kannst du den Ausdruck p 16p zu einem Quadrat ergänzen? b) Wie gross ist die quadratische Ergänzung des Ausdrucks a + 10a? Aufgabe 1.10 Welche Lösungen haben die folgenden Gleichungen? a) y 6y + 3 = 0 b) 3c + 4c 4 = 0 c) z z 0.84 = 0 d) t 3t = 0 Nun hast du schon einige Übung im Umgang mit quadratischen Gleichungen. Das ist der passende Moment, nochmals zurückzublicken. Vor kurzem hätte dir die Auflösung der Gleichung x +x = 10 noch grosses Kopfzerbrechen bereitet. Ohne das x wäre es einfach gewesen. Aber so? Jetzt siehst du, dass dieses Problem gar nicht wirklich schwieriger ist als die Auflösung der Gleichung x = 10 sofern die Idee der quadratischen Ergänzung bekannt ist!

6 1 LEITPROGRAMM QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 6 Das ist die Wirkung einer guten Idee: Sie ebnet den Weg, um ein neues Problem mit bekannten Methoden zu lösen. Und nun wünschen wir Dir viel Erfolg beim Kapiteltest. Gehe jetzt also zum Lehrer und hole Dir Testaufgaben ab. Diese werden dann korrigiert zurückgegeben. So hast Du eine Kontrolle, ob Du bis jetzt alles verstanden hast. 1.3 Die Lösungsformel Im Schritt 7 im letzten Kapitel habt ihr bereits gesehen, dass in der Gleichung x +6x+q das q etwas über die Lösbarkeit ausgesagt. Wir haben also den Parameter q eingeführt und so mit einem Schlag viele Gleichungen behandeln können. Wir führen nun noch den Parameter p ein und erhalten die Gleichung x + px + q = 0 (1) Jede quadratische Gleichung lässt sich bekanntermassen auf diese Form bringen. Wir wenden nun die Technik des quadratischen Ergänzens auf diese Gleichung an und erhalten eine Lösungsformel, mit der wir nur noch einzusetzen brauchen. Auch in den TI89 liesse sich die Formel leicht einprogrammieren was nicht nötig ist, da sie natürlich schon drin ist. Beginnen wir die Rechnung. Wie gewohnt bereiten wir durch eine kleine Umformung das quadratische Ergänzen vor: Da x + px = q ( x + p ) = x + px + p 4 erhalten gilt, addieren wir auf beiden Seiten von (1.3) den Term p 4 und ( x + p ) p = q + 4 = p 4 q (3) Nun steht auf der linken Seite ein Quadrat. Daraus wird die Wurzel gezogen. Wir müssen nun mal wieder berücksichtigen, dass das Wurzelziehen zwei Lösungen liefert, also () x + p = ± p 4 q (4) Jetzt noch p/ subtrahieren ergibt die Lösungsformel für die Gleichung (1.3) p x = ± 4 q p Meist wird diese Gleichung noch etwas anders aufgeschrieben Vorsicht: die rechte Seite könnte negativ sein. Darauf gehen wir gleich ein.

7 1 LEITPROGRAMM QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 7 x 1, = p ± p 4 q (5) Das x 1, zeigt an, dass es zwei Lösungen gibt: x 1 = p + p 4 q und x = p p 4 q Es gibt Leute, die nennen diese Formel Mitternachtsformel: Wenn der Mathematiklehrer irgendwann anruft oder er einer Person aus der Klasse begegnet, muss diese Formel parat sein und sei es um Mitternacht. Ich verzichte auf diese Anrufe, da es den TI89 gibt. Kennen solltet ihr diese Formel trotzdem. Am besten hängt ihr sie direkt neben den binomischen Formeln auf. Die Benützung der Lösungsformel demonstrieren wir am Beispiel der Gleichung 5x = 10 4x. Zuerst bringen wir sie auf Normalform: 5x + 4x 10 = 0 x + 0.8x = 0 Diese Gleichung vergleichen wir mit der allgemeinen Form x + px + q = 0 In unserem Fall steht p für 0.8 und q für -. Jetzt schreiben wir die Lösungsformel hin, ersetzen jedoch p beziehungsweise q durch die entsprechenden Zahlen: x 1, = ± 4 ( ) = 0.4 ±.16 Mit dem Taschenrechner finden wir die folgenden Lösungen x 1 = und x = Aufgaben zur Lösungsformel Aufgabe 1.11 x = 4x 3 Aufgabe w + 3 w = 1 w Aufgabe 1.13 z( z) = 4 Aufgabe 1.14 x + 6x + 10 = 0

8 1 LEITPROGRAMM QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 8 Oops, genau, eine Fussnote hat uns ja noch darauf hingewiesen, dass die Zahl unter der Wurzel nicht negativ sein darf. Eigentlich wissen wir das ja auch: quadratische Gleichungen können Null, eine oder zwei Lösungen haben. Das ist jetzt der letzte Punkt: wir müssen untersuchen, wie es der Gleichung angesehen werden kann, wie viele Lösungen sie hat. Wir schauen uns nun den Ausdruck unter der Wurzel genauer an und geben ihm einen Namen D = p 4 q (6) Der Ausdruck D unter der Wurzel heisst Diskriminante der quadratischen Gleichung und wir sehen Ist D > 0 so gibt es zwei Lösungen. Ist D < 0 so gibt es keine Lösung. Ist D = 0, so steht in der Lösungsformel ± 0 = ±0 = 0. Es gibt also nur eine Lösung, nämlich p/. Aufgaben zur Anzahl von Lösungen Aufgabe 1.15 Bestimme die Anzahl der Lösungen der folgenden Gleichungen a) x + x + 1 = 0 b) x + x + 1 = 0 c) x + 3x + 1 = 0 Aufgabe 1.16 Für welche Zahlen k haben die folgenden Gleichungen keine Lösung, eine Lösung bzw zwei Lösungen? a) x 3x + k = 0 b) y + ky + 1 = 0 Aufgabe 1.17 Wie viele Lösungen ergeben sich bei binomischen Formeln, zum Beispiel x + kx + k = 0 vermischte Aufgaben Aufgabe 1.18

9 1 LEITPROGRAMM QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 9 Leite die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung in sogenannter Standardform her. ax + bx + c = 0 Aufgabe 1.19 Löse die folgenden Gleichungen. Benütze die Lösungsformel, wenn die Lösungen nicht direkt ablesbar sind. a) d 3d 6 = 0 b) (s 3)(s 6) = 0 c) (x 3)(x 6) = x 3 Aufgabe 1.0 Bestimme die Lösungen dieser Gleichungen mit Hilfe der Formel. a) (z 5 6 )(8 z 9 ) = 0 b) 9(b 10) b(b 15) = 3b c) v(3v 7) v + 4 = (v + ) Aufgabe 1.1 Für welche Werte der Zahl a hat die Gleichung x + ax + (a + 1) = 0 nur eine einzige Lösung? Aufgabe 1. Für welche Werte der Zahl a 0 hat die Gleichung ay + ay a = 0 keine Lösung? Aufgabe 1.3 Finde eine quadratische Gleichung, die die Lösung a hat. Welche weitere Lösung hat diese Gleichung? Melde Dich nun zum Kapiteltest an. Danach hast Du es GESCHAFFT!

10 1 LEITPROGRAMM QUADRATISCHE GLEICHUNGEN Lösungen zum Leitprogramm A. 1.1: a)p = und q = 3 b) p = 1und q = 6 c) p = 3/7 und q = /7 d) p = 0 und q = 4 A. 1.: a) u = 0 = 4.47 und u = 4.47 b) z = und z = c) x = 0 und x = 1 A. 1.3: a) x = 1.5 und x = b)x = 0 und x = 8 A. 1.4: Lösung: (x )(x + 8) = 0 oder x + 6x 16 = 0 A. 1.5: x 4x 1 = 0 Vorübung a) 1 b) und 4 c) 8 ± 8 d) keine Lösung e) 3 A. 1.6: a) +4 b) +9 c) +1/9 d) +.5 A. 1.7: a) ± 14 b) 5.5 und 0.5 c) 0.9 d) 1 ± 5 A. 1.8: a) und.5 b) 1/3 c) 4 ± 11 d) keine Lösung A. 1.9: a) 64 b) 5 A. 1.10: a) 3 ± 6 b) /3 und - c) 0.6 und 1.4 d) und 0.5 A. 1.11: 3 und 1 A. 1.1: 1 und 4 A. 1.13: 3.36 und 1.36 A. 1.14: keine Lösung A. 1.15: a) keine, b) eine, c) zwei Lösungen A. 1.16: a) keine Lösung, wenn k >.5, eine Lösung, wenn k =.5, zwei Lösungen, wenn k <.5 b) keine Lösung für k zwischen - und, eine Lösung für k = ±, zwei Lösungen sonst. A. 1.17: Binomische Formeln auf der linken Seite der Normalform führen immer aufeine Lösung. Schön, nicht? A. 1.18: oder x 1, = b b a ± 4ac 4a x 1, = b ± b 4ac a Diese Formeln finden sich in vielen Formelsammlungen. Es lässt sich trefflich darüber streiten, ob eine dieser Formeln oder die Mitternachtsformel weiter oben auswendig gelernt werden soll. A. 1.19: a) 4.37 und 1.37

11 1 LEITPROGRAMM QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 11 b) 3 und 3 und 6. Diese Lösungen lassen sich direkt ablesen. c) 1.5 und A. 1.0: a) 5/6 und 7 b) 6 und 15 c) 0 und 6 A. 1.1: 4.88 und 0.88 A. 1.: a < 1/4 A. 1.3: x 6x + a, weitere Lösung 3 9 a 1.5 Ergänzung Aufgabe 1.4 Die folgenden Teilaufgaben lassen sich leicht mit der Lösungsformel lösen. Suche jetzt eine andere Art, die Aufgaben zu lösen: Behauptung: Der Teil a) bedarf noch der Lösungsformel, die anderen Teile lassen sich mit Teil a) und geeigneten Ersetzungen leicht lösen. a) x + 3x 8 = 0 b) (y 8) + 3(y 8) 8 = 0 ( c) z ) ( + 3 z ) 8 = 0 d) (x + ) + 3(x + ) 8 = 0 e) (10 w) + 3(10 w) 8 = 0 f) (5x 7) + 3(5x 7) 8 = 0 Überlege Dir, wie du Deine Art die Aufgabe mit Ersetzung der Variablen zu lösen, der Klasse an der Tafel erklären kannst. Tue dies auch für die nächsten Aufgaben. Aufgabe 1.5 Vergleiche die Lösungen der Gleichung x 6x + 8 = 0 mit denen von a) (x + 1) 6(x + 1) + 8 = 0 b) ( x 5 ) ( 6 x ) = 0 Aufgabe 1.6 Die Gleichung x + x 1 = 0 hat zwei Lösungen. Stelle eine Gleichung auf, deren Lösungen a) um 5 grösser b) um 4 kleiner c) 3-mal so gross d) halb so gross sind. Aufgabe 1.7 Denke zu jeder Aufgabe eine ähnliche Aufgabe aus, die Du dann der Klasse stellen kannst.