Diophantische Analysis (Säule II)

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1 Diophantische Analysis (Säule II) LVA C. Fuchs Inhaltsübersicht Inhaltsübersicht Diophantische Analysis bezeichnet das Studium von Diophantischen Gleichungen, das sind polynomielle Gleichungen mit rationalen Koeffizienten wo ganzzahlige (bzw. rationale) Lösungen gesucht sind, mit Hilfe von Mitteln aus der Analysis, Algebra und Geometrie. In dieser Vorlesung werden einige Highlights aus der Diophantischen Analysis vorgestellt. Diese Lehrveranstaltung ist als Wahlfach im Masterstudium Mathematik belegbar. Sie kann auch im Rahmen des Doktoratsstudiums absolviert werden. Es werden die folgenden Themen behandelt: Linear und quadratische Diophantische Gleichungen, Pellsche Gleichung, Diophantische Approximation, Thue Gleichungen, Approximationssatz von Thue, Grundzüge der algebraischen Zahlentheorie, Höhentheorie (bewertete Körper, Weilhöhe, Mahlersches Mass), S-Einheitengleichungen. Die Vorlesung behandelt (voraussichtlich) die folgenden Themen: 0. Motivation Diophantische Gleichungen, 10. Hilbertsches Problem 1. Einfache Diophantische Gleichungen in einer und zwei Variablen Gleichungen in einer Variablen, lineare Gleichungen in zwei Variablen, Satz von Dirichlet, Pellsche Gleichung, quadratische Gleichungen in zwei Variablen 2. Thue Gleichungen und rationale Approximation Thue Gleichungen, Satz von Liouville, Approximationssatz von Thue, Beweis des Approximationssatzes 3. Grundzüge der algebraischen Zahlentheorie 4. Einführung in die Höhentheorie Bewertete Körper, Produktformel, Weil Höhe, Mahlersches Mass, Sätze von Northcott und Kronecker 5. Diophantische Gleichungen über Zahlkörpern Satz von Roth-Lang, S-ganze Zahlen, S-Einheiten, S-Einheitengleichungen, Satz von Mahler, Satz von Siegel 6 Weitere Ausblicke Satz von Baker, Teilraumsatz von Schmidt Bei Fragen oder Bemerkungen (speziell Hinweise auf Fehler aller Art sind willkommen) schicken Sie ein an clemens.fuchs@sbg.ac.at. 0. Motivation 0.1 Diophantus von Alexandria gilt als Gründer der Algebra und Zahlentheorie; er hat als erster derartige Probleme systematisch untersucht. Beispiel aus der Arithmetika von Diophant: Finde vier Zahlen mit der Eigenschaft, dass das Produkt von je zwei dieser Zahlen plus eins eine Quadratzahl ist. Ein Beispiel ist die folgende Menge, welche Fermat angegeben hat: {1, 3, 8, 120} denn = 2 2, = 3 2, = 11 2, = 5 2, = 19 2, = Euler hat 1

2 gezeigt, dass es unendlich viele solche Quadrupel gibt, denn {a, b, c = a + b + 2r, d = 4r(r + a)(r + b)} mit ab + 1 = r 2 (z.b. a = r 1, b = r + 1, r Z) hat diese Eigenschaft. Ein wichtiges Ergebnis geht auf Baker und Davenport zurück: Angenommen {1, 3, 8, d} hat diese Eigenschaft, so folgt d = 120. Dazu: d + 1 = x 2, 3d + 1 = y 2, 8d + 1 = z 2. Dann: 8x 2 z 2 = 7, 8y 2 3z 2 = 5. Diese Gleichungen definieren Kegelschnitte. Was kann man über die ganzen Punkte auf diesen geometrischen Objekten sagen? Eine andere Möglichkeit das Problem zu untersuchen ist: (xyz) 2 = (d + 1)(3d + 1)(8d + 1). Was können wir über die ganzen Punkte auf dieser Kurve sagen? Antworten auf diese und ähnliche Fragen geben wir in dieser Vorlesung. 0.2 Eine Diophantische Gleichung ist eine polynomielle Gleichung f(x 1,..., X n ) = 0 mit f Z[X 1,..., X n ] von der wir Lösungen x 1,..., x n Z suchen. In seiner berühmten Liste von 23 Problemen hat Hilbert im Jahr 1900 nach einem Verfahren (heute: Algorithmus) gefragt, welcher entscheidet, ob eine gegebene Diophantische Gleichung eine Lösung besitzt oder nicht (10. Hilbertsches Problem). Die Antwort lieferte, nach Vorarbeiten von Davis, Putnam und Robinson, Matijasevitch 1969: Es gibt keinen solchen Algorithmus! Dieses Ergebnis hat weitreichende Auswirkungen, denn viele Probleme der Mathematik lassen sich durch ein solches Entscheidbarkeitsproblem formulieren (sogenannte Π 0 1-Sätze bzw. Sätze vom Goldbach-Typ; z.b. auch der grosse Fermat, die Riemannsche Hypotheses, das 4-Farben-Problem). Selbst der Gödelsche Unvollständigkeitssatz lässt sich aus dem Satz von Matijasevitch herleiten. Eine Folgerung aus dem Beweis ist, dass es eine universelle Diophantische Gleichung gibt (wegen der Existenz der universellen Turing-Maschine); sei δ der Grad und ν die Anzahl der Variablen dieser Gleichung. Es ist bekannt, dass δ 4 (mit ν = 58) und ν 10 (mit δ = ). 0.3 Manchmal können wir eine gegebene Diophantische Gleichung f(x 1,..., X n ) = 0 durch Faktorisierung von f auf ein System von Gleichungen umformen; sei z.b. f i (X, Y ) = 0, i = 1,..., r mit f i Z[X, Y ] und f i (X, Y ) = g(x, Y )h i (X, Y ) mit h i teilerfremd in Q[X, Y ], dann kann man das System h i = 0, i = 1,..., r mit Resultanten behandeln und es bleibt die Gleichung g(x, Y ) = 0 zu betrachten. Ist umgekehrt eine System f i (X 1,..., X n ) = 0, i = 1,..., r gegeben (z.b. als definierende Gleichungen einer algebraischen Varietät), dann erhalten wir alle Lösungen in dem wir stattdessen f 1 (X 1,..., X n ) f r (X 1,..., X n ) 2 = 0 betrachen. 0.4 Was jetzt? Die typischen Fragen lauten: Besitzt die Gleichung eine Lösung oder nicht? Wenn ja, gibt es endlich oder unendlich viele Lösungen? Wenn unendlich viele, lässt sich etwas über die Struktur der Lösungen sagen? Wenn endlich viele: Lässt sich die Anzahl der Lösungen abschätzen (quantitative Endlichkeitssätze) oder sogar genau angeben? Gibt es einen Algorithmus mit dessen Hilfe die Lösungen (zumindest in der Theorie) bestimmt werden können (effektive Endlichkeitssätze)? Wie lauten alle Lösungen? 1. Einfache Diophantische Gleichungen in einer und zwei Variablen 1.1 Sei f Z[X] mit f = a 0 X d + a 1 X d a d, a 0 0. Wir können annehmen, dass a d 0. Wie man leicht sieht gilt für x = p/q, p, q Z, q > 0, (p, q) = 1, dass p a d, q a 0. Wir haben also ein Verfahren, um sogar alle rationalen Lösungen von Diophantischen Gleichungen in einer Variablen effektiv zu bestimmen. Wir können also annehmen, dass unsere Gleichungen mindestens zwei Variablen enthalten. 1.2 Faktorisierung von Polynomen 2

3 1.3 Die Gleichung ax + by = c 1.4 Sei f = a 1 X 1 + +a n X n b Z[X 1,..., X n ] ein Polynom vom Grad 1. Wir können (a 1,..., a n, b) = 1 annehmen. Die Diophantische Gleichung a 1 X a n X n = b ist lösbar genau dann, wenn (a 1,..., a n ) = 1 und die Lösungen können mit dem Euklidischen Algorithmus effektiv (und sehr effizient) bestimmt werden. Z.B. für n = 2 und a 1, a 2, b 0 gibt es m, n Z mit a 1 n+a 2 m = 1 und somit ist (x 1, x 2 ) = (bn, bm) eine Lösung. Sei (x, y) eine weitere Lösung, so folgt x = bn+ka 2, y = bm ka 1 mit k Z beliebig. Es gibt also entweder keine Lösung oder unendlich viele, welche parametrisiert werden können. Wir können also auch annehmen, dass unsere Gleichung mindestens Grad 2 hat. 1.5 Ausgangspunkt für die weiteren Betrachtungen ist sehr oft die Tatsache, dass eine ganze Zahl x, welche nicht 0 ist, die Ungleichung x 1 erfüllt; dies nennt man auch die Fundamentalungleichung der Diophantischen Approximation, da alle weiteren Ergebnisse im Kern auf dieses einfache Ergebnis zurückgeführt werden. Für eine rationale Zahl x = p/q gilt: x = 0 oder x 1/q. Daraus folgt z.b. sofort a/b p/q = aq bp / bq 1/ bq, falls a/b p/q ist; wir sehen also, dass jede Lösung x, y Z, y 0 der Gleichung ax + by = 1 (mit a, b Z\{0}) eine best-mögliche rationale Approximation y/x von a/b liefert. Diesen Link zwischen Diophantischer Approximation und den Lösungen von Diophantischen Gleichungen werden wir später, in immer eindrucksvolleren Form, wiedersehen. 1.6 Satz von Dirichlet Sei ξ R und Q > 0 eine ganze Zahl. Dann gibt es p, q Z, (p, q) = 1 mit 0 < q Q und ξ p q 1 q(q + 1). Beweis. Betrachte die Q + 1 reellen Zahlen 0, {ξ},..., {Qξ} in [0, 1), wobei {x} den gebrochenen Anteil von x bedeutet. Wir zerlegen [0, 1) = Q j=0 [j/(q + 1), (j + 1)/(Q + 1)) in Q + 1 disjunkte Intervalle. Es gibt dann entweder in jedem dieser Intervalle genau ein Element der Folge oder ein Intervall, welches zwei verschiedenen Elemente enthält. Im ersten Fall gibt es also ein q, 0 < q Q mit Q/(Q + 1) {qξ} < 1, und somit gilt qξ p 1/(Q + 1) für ein geeignetes p Z. Im zweiten Fall gibt es r, s, 0 r < s Q mit {rξ} {sξ} < 1/(Q + 1) und somit qξ p < 1/(Q + 1) mit q = r s und geeignetem p Z. Sind p, q nicht teilerfremd so teilen wir durch (p, q); die gewünschte Ungleichung gilt auch weiterhin; somit folgt die Aussage. // 1.7 Folgerung: Somit gibt es für jedes irrationale ξ R unendlich viele p, q Z, (p, q) = 1 mit qξ p < q 1 ; diese Aussage kann man i.a. nicht verbessern wie man für ξ = d leicht sieht. Beweis. Angenommen es gibt nur endlich viele Lösungen, nämlich (p 1, q 1 ),..., (p n, q n ). Definiere ε = min{ q i ξ p i } > 0. Der erste Teil mit Q > 1/ε zeigt dann aber, dass es eine weitere Approximation geben würde, Widerspruch. // 1.8 Bemerkungen: a) Der Exponent 2 läßt sich als doppelter Freiheitsgrad interpretieren. b) Solche Approximation wie in 1.7 sind selten. 1.9 Irrationalitätskriterium und die Irrationalität von e 1.10 Die Pellsche Gleichung; triviale Lösungen (±1, 0), nicht-triviale Lösungen mit x, y > 0 3

4 1.11 Bemerkungen: a) rationale Lösungen; b) Lösungen und Approximationen von d; c) die trivialen Fälle d 0 und d nicht quadratfrei 1.12 Satz Die Pellsche Gleichung besitzt stets unendlich viele Lösungen Folgerung für die rationale Approximation von d 1.14 Der Ring Z[ d]; Norm, α Z[ d] N(α) Z = {±1}; Z[ d] = {±1} Z 1.15 Negative Pellsche Gleichung 1.16 Algorithmus zur Berechnung aller Lösungen der Pellschen Gleichung 1.17 Die verallgemeinerte Pellsche Gleichung X 2 dy 2 = m Beispiel: X 2 82Y 2 = 2 hat keine Lösungen 1.18 Die allgemeine quadratische Gleichung in zwei Variablen 2. Thue Gleichungen und rationale Approximation 2.1 Vorbmerkungen 2.2 Der Satz von Thue 2.3 Obere Schranke 2.4 Untere Schranke für p dq 2.5 Satz von Liouville Sei ξ eine algebraische Zahl vom Grad d. Dann gibt es eine effektiv berechenbare Konstante c = c(ξ) > 0, sodass ξ p q c q d für alle p, q Z, q > 0, p/q ξ gilt. Beweis. Sei f = a 0 X d + + a d Z[X] das ganzzahlige Minimalpolynom von ξ mit a 0 > 0. Es gilt f(p/q) 0 und daher f(p/q) 1/q d. Wir können annehmen, dass ξ reell ist, denn sonst gilt ξ p/q Iξ. Der Mittelwertsatz liefert f(p/q) = f(ξ) f(p/q) = ξ p/q f (α) mit α zwischen ξ und p/q. Wir können weiter annehmen, dass ξ p/q < 1 und daher α I := [ξ 1, ξ + 1], woraus f (α) max{ f (t) ; t I} = M folgt. Die Aussage folgt nun mit c := min{1, 1/M}. // 2.6 Transzendenz und Liouville-Zahlen 2.7 Liouville ist best-möglich für d = 1, Approximationssatz von Thue Sei ξ eine algebraische reelle Zahl vom Grad d 3. Für jedes ε > 0 gibt es eine Konstante c = c(ξ, ε) > 0, sodass ξ p q c q 1+d/2+ε 4

5 für alle p, q Z, q > 0 gilt. 2.9 Beweis von 2.2 mit Der Exponent von ξ R ist definiert als das Infimum über alle reellen Zahlen δ mit der Eigenschaft, dass qξ p < q 1 δ hat nur endlich viele Lösungen in rationalen Zahlen p/q. Wir haben bereits gesehen, dass e(ξ) = 1 für ξ Q und e(ξ) 2 für alle ξ R\Q; ausserdem gilt e(ξ) 2 für fast alle ξ. Für algebraische ξ vom Grad d, folgt aus Liouville e(ξ) d und der Approximationssatz von Thue zeigt e(ξ) 1 + d/2 falls d 3; dieses Resultat wurde später schrittweise verbessert: Siegel zeigte e(ξ) 2 2, Gelfond und Dyson e(ξ) 2d und schliesslich bewies Roth, das best-mögliche Resultat, e(ξ) = 2 für alle algebraischen reellen ξ. Für transzendente ξ andererseits ist fast nichts bekannt; es gilt e(exp(t)) = 2 für alle t Q und e(ξ) = für alle Liouville-Zahlen (per definitionem) Beweisskizze von 2.8 Angenommen ξ p/q q ν, ξ r/s s µ mit 0 < q ν s µ. Falls p/q r/s, dann (qs) 1 p/q r/s 2q ν und somit s q ν 1 /2. Wir haben s q ν/µ ; das Lückenprinzip macht also für ν > 1 + ν/µ bzw. ν > µ/(µ 1) Sinn. Sei p/q eine exzellente Approximation (mit genügend grossem q) von ξ. Wir konstruieren Approximationen p n /q n mit ξ p n /q n < q ν für ν > 1 + 2/d und q n+1 qn 1+λ für ein genügend kleines λ > 0. Dazu P n, Q n Z[X] mit deg P n, deg Q n n, P n, Q n B n und D j (P n (X) + Y Q n (X)) (X,Y )=(ξ,ξ) = 0 für alle 0 j < m 2n/d; setzen p n /q n = P n (p/q)/q n (p/q). Sei r/s eine weitere exzellente Approximation, so existiert ein n mit q n s µ/ν < q n+1 qn 1+λ. Andererseits qn ν 1 s. Somit µ (1 + λ)ν/(ν 1) + o(1). Für ν > 1 + 2/d gilt µ < (1 + λ)(1 + d/2) + o(1), Widerspruch! Crucial difficulty besteht darin p n /q n r/s zu zeigen; wofür man die Hilfsfunktion differenziert und ein Wronski-Argument verwendet Konventionen und Bezeichnungen 1. Sei ξ R algebraisch vom Grad d 3 und ε > 0. Wir sagen p/q, p, q Z, (p, q) = 1 heisst exzellente Approximation (bzgl. ε) von ξ, falls ξ p q < q (d/2+1+ε). 2. Wir definieren D j = j / X j, D j = D j /j!, D 1 = D = D 1, P = DP für P Z[X]. 3. Für P (X) = a 0 X n + + a n Z[X] definieren wir P := max{ a i ; i = 0,..., n}. Es gilt: P + Q P + Q, P Q (deg P Q + 1) P Q, D j P ( ) deg P j P 2 deg P P. 4. Wir setzen µ = d/ ε > 0 und wählen eine rationale Zahl 0 < λ < 1/2 mit δ := (1 + 2ε/d)(1 λ) 1 > Im folgenden bezeichnen wir mit B 1, B 2,... positive reelle Zahlen > 1, welche nur von ξ, ε, λ abhängen; diese evolving constants könnten durch Inspektion des Beweises leicht explizit gemacht werden, wir werden das in der Regel nicht machen (dies ist ein typisches und sehr hilfreiches Mittel, welches wir im vorigen Abschnitt schon verwendet haben). 6. Wir betrachten nur jene n N mit d (2n + 2)(1 λ); diese erfüllen eine lineare Rekursion. Sei m := (2n + 2)(1 λ)/d; mit n durchlaufen auch diese m eine lineare Rekursion Wir schreiben ξ r = c r,0 +c r,1 ξ+ +c r,d 1 ξ d 1, c r,s Q. Dann gibt es eine Konstante b > 0, b Z mit b r c r,s Z, c r,s B r 1. Beweis. Sei b = kgv(nenner von c d,i ), B 1 = 1+max{ c d,i ; i = 0,..., d 1}. Für r d ist die Aussage trivial; r d: ξ r+1 = ξ r ξ = c r,0 ξ+ +c r,d 1 (c d,0 + +c d,d 1 ξ d 1 ) = c r,d 1 c d,0 +(c r,d 1 c d,1 +c r,0 )ξ+. Die Aussage folgt dann durch Induktion. // 5

6 2.14 Satz (Lemma von Siegel) Sei (a ij ) Z N M, N > M, a ij A mit A 1. Dann gibt es t 1,..., t N Z mit t i (NA) M/(N M), N i=1 a ijt i = 0, j = 1,..., M. Beweis. Sei T = [(NA) M/(N M) ] 1, I T = {0,..., T } und L : Z N Z M definiert durch L(x) = ( N i=1 a ijx i ) j Z M. Wir definieren S (j) + := max{0, a ij }, S (j) = min{0, a ij }; es gilt S (j) + S (j) = aij NA. Für x IT N gilt L(x) [S(j) T, S (j) + T ] M. Da L(IT N) = (NAT +1)M (NA(T +1)) M < (T +1) N = IT N, wegen T (NA)M/(N M) < T +1, folgt: Es gibt x, x IT N, x x mit L(x) = L(x ). Mit t = (t 1,..., t N ) = x x 0 gilt t i T, L(t) = 0, was die Behauptung war. // 2.15 Beweis von Konstruktion der Hilfspolynome Setze P n (X) = x 0 + x 1 X + + x n X n, Q n (X) = y 0 + y 1 X + + y n X n und F n (X, Y ) = P n (X) + Y Q n (X). Betrachte n ( ) i n ( ) [ i d 1 n ( ) ( ] i i D j F n (ξ, ξ) = x i ξ i j + y i ξ i j+1 = x i c i j,l + y i )c i j+1,l ξ l. j j j j i=j i=j Die Koeffizienten definieren Linearformen L (j) n,l (x, y) und nach 2.13 gibt es ein b > 0 mit bn+1 L (j) n,l Z[X, Y ], b n+1 L (j) n,l bn+1 2 n B1 n+1 B2 n. Wir wollen D j F n (ξ, ξ) = 0, j = 0,..., m 1; dies ist gleichbedeutend mit b n+1 L (j) n,l (x, y) = 0 für j = 0,..., m 1, l = 0,..., d 1. Mit N = 2n + 2, M = md = (2n + 2)(1 λ) = N(1 λ), A = B2 n 1 folgt aus 2.14, dass es x, y Z N, nicht beide 0 mit x i, y j (NA) M/(N M) = ((2n + 2)B2 n ) (1 λ)/λ (4B 2 ) n/λ B3 n wie gewünscht gibt. Somit P n, Q n B3 n. l=0 i=j 2.16 Beweis von Obere Schranke Wir fixieren zwei exzellente Approximationen u = p/q, v = r/s mit 0 < q < s. Es ist F n (X, Y ) = F n (X, ξ) + (Y ξ)q n (X) = (X ξ) m R n (X) + (Y ξ)q n (X) und daher D j F n (X, Y ) = (X ξ) m j R n,j (X)+(Y ξ)d j Q n (X); beachte deg R n,j n m. Wir schätzen die Summanden ab: D j Q n 2 n B3 n. Für R n,j gehen wir wie folgt vor: D j F n (X, ξ)(x ξ) (m j) = D j F n (X, ξ)( ξ) (m j) (1 X/ξ) (m j) ; den letzten Term können wir (formal) in eine Reihe entwickeln und erhalten ( ) k (m j) D j F n (X, ξ)( ξ) (m j)) k 0 k ) ( X ξ = D j F n (X, ξ)( ξ) (m j) k 0 ( ) k + m j 1 ( 1) k ξ k X k ; k beachte, dass die Identität zunächst in C[[X]] gilt, dass wir aber aus Gradgründen nur die ersten n m Koeffizienten der Reihe betrachten müssen, welche für uns also interessant sind. Zur Erinnerung D j F n (X, ξ) = D j P n (X)+ξD j Q n (X). Wir erhalten somit R n,j (1+ ξ )2 n B n 3 max{1, 1/ ξ } n 2 n (2n+ 1). Beachte nun, dass u, v 1 + ξ (da u, v exzellente Approximationen von ξ sind) gilt. Es folgt D j F n (u, v) ( u ξ m j + v ξ )(n + 1)(1 + ξ ) n (1 + ξ )2 2n max{1, 1/ ξ } n B n 3 (q µ(m j) + s µ )B n 4, womit wir eine obere Schranke gezeigt haben Beweis von Untere Schranke Für alle rationalen Zahlen u, v gilt entweder D i F n (u, v) = 0 oder D i F n (u, v) (q n i s) 1, da D i F n (u, v) Q und D i F n (X, Y ) Z[X, Y ] mit Grad n i in X und Grad 1 in Y. 6

7 2.18 Beweis von Non-vanishing Sei h definiert durch D h F n (u, v) 0 aber D j F n (u, v) = 0, j < h. Es folgt (P n (j) (u)+vq (j) n (u)) = 0, j < h und somit (P n (i) Q (j) n P n (j) Q (i) n )(u) = 0, i, j = 0,..., h 1. Wir definieren die Wronski-Determinante von P n, Q n als W = W Pn,Qn = P nq n P n Q n. Mit der Leibnitz-Regel folgt W (j) (u) = j i=1 ( ) j i (P n (i+1) Q (j i) n P n (j i) Q (i+1) n )(u) = 0, j = 0,..., h 2. Beachte, dass W 0: Falls nicht, dann gilt F n (X, ξ) = P n (X) + ξq n (X) = cp n (X), dq n (X) mit c, d Q(ξ). Aber F n (X, ξ) = 0 für X = ξ der Ordnung m und daher jetzt für alle Konjugierten von ξ mit Ordnung m; somit hat F n (X, ξ) mindestens md > n + 1 Nullstellen (gezählt mit Vielfachheiten). Es folgt, dass P n (X), Q n (X) mindestens n + 1 Nullstellen hätten, woraus aber P n = Q n = 0 folgen würde; Widerspruch! Somit (X u) h 1 W also (qx p) h 1 W (X) in Z[X]. Es folgt W q h 1. Andererseits gilt W P nq n + P n Q n 2nnB3 2n 2 B6 n. Wir erhalten daher h 1 + log Bn 6 log q Beweis von 2.8 Wähle m so, dass q m s maximal. Beachte, dass gemäss 2.12 m in einer arithmetischen Progression liegt; wir bezeichnen die gemeinsame Differenz dieser Progression mit τ. Es folgt log s log q τ m log s log q. Wegen 2.18 ist D h F n (u, v) 0. Daher folgt mit 2.16 und.7, dass (q n h s) 1 D h F n (u, v) 2q µ(m h) B4 n bzw. q µ(m h) n+h s2b4 n. Wir erhalten µ(m h) n + h m + τ + log(2b4 n )/ log q und weiter (µ 1)m n (µ 1)h + τ + log(2b4 n )/ log q. Es folgt mit m > 2n(1 λ)/d, dass ( 0 < δn µ 1 + log ) Bn 6 + τ + log(2bn 4 ) µ + δn log q log q 4 + τ + δn 4, denn: Wir wählen dazu die erste Approximation u = p/q so, dass log q µ 4 log(b 62B 4 ) ; δ dies ist möglich, da es unendlich viele Lösungen nach Annahme gibt! Es folgt n (2/δ)(µ + τ) und daher log s log q 2(µ + τ) m + τ n + τ τ +, δ Widerspruch falls wir die zweite Approximation v = r/s so wählen, dass ( ) 2(µ + τ) log s > log q τ +, δ was wieder möglich ist, da wir annehmen, dass es unendlich viele Lösungen gibt! Dieser Widerspruch beendet schliesslich den Beweis von

8 3. Grundzüge der algebraischen Zahlentheorie 3.1 Wir nennen eine Zahl ω C ganz algebraisch, wenn ein normiertes Polynom f(x) Z[X] mit f(ω) = 0 existiert. Die Menge aller ganz algebraischen Element bezeichnen wir mit Z. Klarerweise sind ganze Zahlen auch ganz algebraisch. Umgekehrt ist r Q ganz algebraisch, wenn r Z. Denn angenommen r n + b 1 r n b n = 0 mit b 1,..., b n Z. Sei r = c/d mit c, d Z, (c, d) = 1. So gilt c n + b 1 c n 1 d b n d n = 0. Daher d c n und somit d c. Wegen (c, d) = 1 ist schliesslich d = ±1 und r Z. Insgesamt ist also Z Q = Z. 3.2 Satz Die Menge der ganz algebraischen Element Z bilden einen Integritätsbereich. Beweis. Es genügt zu zeigen, dass Z einen Ring bilden, da dieser als Unterring von C klarerweise kommutativ und nullteilerfrei ist. Wir zeigen zunächst eine Hilfsüberlegung: Sei W eine endlich erzeugte abelsche Untergruppe von C und ω C mit ωw W, so ist ω ganz algebraisch. Angenommen γ 1,..., γ l sei eine Basis der (freien) abelschen Gruppe W. Da nach Voraussetzung ωγ i W, ist ωγ i = l j=1 c ijγ j mit c ij Z. Daher ist 0 = l j=1 (c ij δ ij ω)γ j, wobei δ ij = 0 für i j und δ ii = 1. Es folgt det(c ij δ ij ω) = 0. Schreibt man diese Gleichung aus, so ist ω Nullstelle eines normierten Polynomes vom Grad l mit Koeffizienten in Z und daher ganz algebraisch. Seien jetzt ω 1 und ω 2 ganz algebraisch, also ω1 n +a 1 ω1 n a n = 0 und ω2 m +b 1 ω m b m = 0 mit a i, b j Z. Sei W die von ω1ω i 2, j 0 i < n, 0 j < m erzeugte abelsche Gruppe. Offensichtlich gilt ω 1 W W, ω 2 W W. Daher ist auch (ω 1 + ω 2 )W W und (ω 1 ω 2 )W W. Mit der Hilfsüberlegung sind daher ω 1 + ω 2 und ω 1 ω 2 ganz algebraisch. // 3.3 Wir nennen einen Unterkörper K von C einen algebraischen Zahlkörper, falls [K : Q] <. Weiters nennen wir Z K = Z K = {x K; x ganz algebraisch} den Ganzheitsring (oder Ring der ganzen Zahlen) in K. 3.4 Jedes Ideal A {0} von Z K enthält eine Basis von K/Q. Aus dem ersten Teil des Beweises wird folgen, dass K der Quotientenkörper von Z K ist, denn klarerweise ist der Quotientenkörper in K enthalten und andererseits lässt sich jedes α K als α = ω/b mit ω Z K, b Z, b 0 schreiben. Beweis. Sei zunächst β K. Dann ist β algebraisch über Q mit Minimalpolynom a 0 β n + a 1 β n a n = 0 mit a i Z, a 0 0. Multiplizieren wir die Gleichung mit a n 1 0 so ist (a 0 β) n +a 1 (a 0 β) n a n a n 1 0 = 0 mit a i a i 1 0 Z für i = 1,..., n und wir sehen daher, dass a 0 β ganz algebraisch ist. Sei nun β 1,..., β n eine Basis von K über Q. Nach dem gerade bewiesenen gibt es b 1,..., b n Z, b i 0 mit b 1 β 1,..., b n β n Z K. Sei b := b 1 b n. So ist bβ 1,..., bβ n Z K. Wählen wir nun ein beliebiges α A, α 0, dann ist bβ 1 α,..., bβ n α eine Basis von K über Q bestehend aus Elementen von A. // 3.5 Wir erinnern daran, dass für Ideale A, B eine Addition und Multiplikation definiert sind durch A + B := {a + b; a A, b B} = A B, A B := {a b; a A, b B}, wobei wir mit S für S Z K (wie üblich) die kleinste (additive) Untergruppe von Z K verstehen, die S umfasst. Es gelten dabei die folgenden Inklusionen {0} A B A B A, B A + B Z K. Die Menge der Ideale bilden mit diesen Operationen einen kommutativen, nullteilerfreien Halbring mit Nullelement {0} und Einselement Z K. Um es gleich vorwegzunehmen, dieser Halbring wird die Rolle der natürlichen Zahlen übernehmen. Beachte, dass es im Fall K = Q, Z K = Z eine Bijektion zwischen den Idealen und N gibt; wir müssen einem Ideal A nur das kleinstes positive Element 0 8

9 (also den positiven Erzeuger) zuordnen. Unser erstes Hauptziel ist es zu zeigen, dass auch hier der Fundamentalsatz gilt (es also eine eindeutige Primelementzerlegung gibt). Im Gegensatz zu Z sind die Ideale A von Z K keine Hauptideale mehr; wir werden später sehen, dass sie aber zumindest endlich erzeugt sind. Alle Unterschiede zur Situation in N kommen von dieser Tatsache. Auf den natürlichen Zahlen hatten wir eine Ordnungsrelation, die hier durch die Relation ist enthalten in gegeben ist, i.e. A B : A B. Diese Relation ist nach wir vor eine Ordnungsrelation, welche bezüglich der Operationen monoton ist, denn für alle Ideale A, B, C von Z K gilt A B impliziert A + C B + C und A C B C. Diese Ordnung ist aber keine Linearordnung mehr (mit dem Wissen, dass alle Ideale endlich erzeugt sind, könnten wir wieder A B C : B = A+C definieren). Das grösste Element bezüglich unserer Ordnung ist das Ideal {0} und das kleinste Element das Ideal Z K. Wie wir ebenfalls später sehen werden, gilt auch das Prinzip des kleinsten Elementes (was wieder aus der endlichen Erzeugtheit folgt!). Im folgenden verstehen wir unter einem Ideal stets ein nichttriviales Ideal {0} und Z K. 3.6 Bevor wir fortfahren führen wir noch zwei wichtige Grössen ein. Sei α 1,..., α n eine Basis von K/Q. Für jedes α K ist dann αα i = n j=1 a ijα j mit a ij Q. Wir nennen det(a ij ) die Norm von α (in Zeichen N(α) = N K/Q (α)) und n i=1 a ii die Spur von α (in Zeichen t(α) = t K/Q (α)). Wie man leicht sieht, sind Spur und Norm wohldefiniert (also unabhängig von der Wahl der Basis) und es gilt für alle α, β K, a Q: N(αβ) = N(α)N(β), t(α + β) = t(α) + t(β), N(aβ) = a n N(β), t(aβ) = at(β). Für α 0 weiters wegen N(α)N(α 1 ) = N(αα 1 ) = N(1) = 1 auch N(α 1 ) = N(α) 1. Ausserdem t(1) = n 0. Da K/Q eine separable Erweiterung ist, gibt es n verschiedene Homomorphismen σ 1,..., σ n von K nach C. Die Elemente α (j) = σ j (α), j = 1,..., n sind gerade die Konjugierten von α und es gilt t(α) = α (1) α (n), N(α) = α (1) α (n). Sei f(x) = (X α (1) ) (X α (n) ), dann ist f(x) Q[X] und t(α) ist der Koeffizient bei X n 1, sowie ( 1) n N(α) der Koeffizient bei X 0. Für α 1,..., α n K definieren wir die Diskriminante (α 1,..., α n ) := det(t(α i α j )). 3.7 Satz Die Elemente α 1,..., α n K sind genau dann eine Basis von K/Q, wenn (α 1,..., α n ) 0. Falls α 1,..., α n und β 1,..., β n Basen von K/Q sind und α i = n j=1 a ijβ j ist, dann gilt (α 1,..., α n ) = det(a ij ) 2 (β 1,..., β n ). Beweis. Angenommen α 1,..., α n sind linear abhängig, d.h. es gibt a 1,..., a n Q, nicht alle 0, mit n i=1 a iα i = 0. Multiplizieren wir diese Gleichung mit α j und nehmen die Spur, so erhalten wir n a i t(α i α j ) = 0, j = 1,..., n. i=1 Somit ist die Matrix (t(α i α j )) singulär und daher die Determinante gleich 0. Nehmen wir umgekehrt an, dass α 1,..., α n eine Basis von K/Q mit (α 1,..., α n ) = 0 ist. Dann betrachten wir das lineare Gleichungssystem n x i t(α i α j ) = 0, j = 1,..., n, i=1 welches eine nichttriviale Lösung x i = a i Q, i = 1,..., n besitzt. Mit α = n i=1 a iα i 0 ist dann t(αα j ) = 0 für j = 1,..., n, und da die α i eine Basis sind, folgt t(αβ) = 0 für alle β K. Dies ist 9

10 ein Widerspruch zu t(1) = n 0. Sei A = (t(α i α j )), B = (t(β j β l )) und C = (a ij ). Durch Spurbildung in n n α i α k = a ij a kl β j β l, j=1 l=1 ergibt sich die Matrixidentität A = C t BC. Durch Bildung der Determinanten, unter Beachtung von det C = det C t, erhalten wir die letzte Behauptung. // 3.8 Falls α Z K, so sind N(α), t(α) Z; das sieht man so: α ist Nullstelle eines normierten Polynomes mit ganzen Koeffizienten und dasselbe gilt daher für die Konjugierten. Somit sind N(α) und t(α) als Summe bzw. Produkt von ganz algebraischen Elementen wieder ganz algebraisch. Andererseits liegen sie (per definitionem) auch in Q und somit schliesslich in Z. Daher folgt, dass (α 1,..., α n ) Z\{0} für jede Basis α 1,..., α n Z K von K/Q gilt. 3.9 Satz Sei A ein Ideal von Z K und α 1,..., α n A eine Basis von K/Q mit (α 1,..., α n ) minimal, dann ist A = Zα 1 + Zα Zα n, d.h. A ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang n. Insbesondere ist also tatsächlich jedes Ideal endlich erzeugt. Die im Satz beschriebene spezielle Basis für A wird Ganzheitsbasis genannt. Es folgt, dass je zwei Ganzheitsbasen diesselbe Diskrimante besitzen. Diese bezeichnen wir mit (A). Die Diskrimante von Z K ist eine wichtige Grösse und wird die Diskrimante des Zahlkörpers K/Q (in Zeichen δ K = (Z K )) genannt. Beweis. Nach dem Prinzip des kleinsten Elementes für N gibt es eine Basis α 1,..., α n mit (α 1,..., α n ) minimal. Angenommen α A und α = c 1 α c n α n mit c i Q. Nehmen wir indirekt an, dass c i / Z für ein i und obda können wir i = 1 annehmen. Wir schreiben c 1 = m + θ mit m Z und 0 < θ < 1. Sei β 1 = α mα 1, β 2 = α 2,..., β n = α n. Dann ist β 1,..., β n A wieder eine Basis von K/Q. Nach dem zweiten Teil von 3.7 folgt dann θ 2 (α 1,..., α n ) = (β 1,..., β n ) Z, im Widerspruch zur Minimalität von (α 1,..., α n ). Daher sind alle c i Z und somit A = Zα Zα n. // 3.10 Für jedes Ideal A von Z K gilt A Z 0 und Z K /A ist endlich. Beweis. Sei α A, α 0. Dann gibt es a i Z mit α m + a 1 α m a m = 0. Wir können a m 0 annehmen (sonst dividieren wir die Gleichung durch eine geeignete Potenz von α), somit gilt 0 a m A Z. Sei jetzt 0 a A Z. Wir betrachten den surjektiven Homomorphismus Z K /(a) Z K /A, ω+(a) ω + A, wobei (a) = az K. Es genügt also zu zeigen, dass Z K /(a) endlich ist. Sei ω 1,..., ω n eine Ganzheitsbasis von Z K und sei S = { n i=1 c iω i ; 0 c i < a}. Wir zeigen, dass S ein vollständiges Repräsentantensystem von Z K /(a) ist. Sei ω = n i=1 m iω i Z K und m i = q i a + c i mit 0 c i < a. Dann ist ω = n i=1 c iω i + (a). Jede Klasse von Z K /(a) enthält also mindestens ein Element von S. Falls n i=1 c iω i und n i=1 c iω i in S und in derselben Nebenklasse modulo (a) liegen, so folgt aus der linearen Unabhängigkeit der ω i, dass a (c i c i) in Z. Aus 0 c i, c i < a, folgt dann aber c i = c i. Somit haben wir sogar gezeigt, dass Z K /(a) = a n, woraus die Behauptung folgt. // 3.11 Aus dem letzten Satz ergeben sich nun zwei wesentliche Folgerungen. Die erste Folgerung ist, dass der Halbring der Ideale mit der Ordnungsrelation ein Prinzip des kleinsten Elementes besitzt. a) Jede aufsteigende Kette von Idealen A 1 A 2 A 3... bricht ab, d.h. es gibt ein N > 0 mit A m = A m+1 für alle m N. Einen Ring mit dieser Eigenschaft nennt man einen Noetherschen Ring. Tatsächlich ist 3.10 äquivalent dazu, dass jedes Ideal von Z K endlich erzeugt ist. b) Jedes Primideal von Z K ist maximal. 10

11 Beweis. a) Da Z K /A 1 endlich ist, können nur endlich viele Ideale A 1 enthalten. Somit ist die Aussage gezeigt. b) Sei P ein Primideal von Z K. Dann ist Z K /P ein endlicher Integritätsbereich. Ein solcher Ring ist aber notwendigerweise ein Körper (Übungsaufgabe). Da Z K /P ein Körper ist, ist P maximal. // 3.12 Aus 3.11 folgt also, dass Z K ein Dedekindscher Ring bildet, d.h. ein ganzabgeschlossener, noetherscher Ring in dem jedes Primideal maximal ist. In einem Dedekindschen Ring gilt der Fundamentalsatz der höheren Arithmetik: Jedes Ideal A {0} in Z K lässt sich eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) als Produkt von endlich vielen Primidealen schreiben Mit ähnlichen Argumenten wie in 2 zeigt man: Die Einheitengruppe Z K des Ringes Z K ist eine freie abelsche Gruppe vom Rang r + s 1, wobei n = [K : Q] = r + 2s und r die Anzahl der Einbettungen von K in R und 2s die Anzahl der Einbettungen von K in C (inklusive der konjugierten Einbettung) bezeichnet. Diese Aussage nennt man den Dirichletschen Einheitensatz für Z K. 4. Einführung in die Höhentheorie 4.1 Bewertungen Sei K ein Körper. Ein Absolutbetrag (oder Bewertung) auf K ist eine Abbildung : K R + mit den Eigenschaften a) a = 0 a = 0; b) ab = a b ; c) a + b a + b. Ein Absolutbetrag heisst nicht-archimedisch (oder ultametrisch, endlich), falls sogar die ultrametrische Dreiecksungleichung a + b max{ a, b } gilt. Im folgenden betrachten wir nur nicht-triviale Bewertungen, d.h. es gilt nicht x = 1 für alle x K. Zwei Bewertungen heissen äquivalent, falls sie diesselbe Topologie erzeugen; eine Äquivalenzklassen von Bewertungen heisst eine Stelle. Für nichtarchimedische ist durch v(x) = log x / log c für jedes c > 1 eine Abbildung K R { } definiert (exponentielle Bewertung genannt), welche in 1:1 zu den Bewertungen steht. Wir schreiben v oder v und bezeichnen die Vervollständigung von K bzgl. v mit K v. 4.2 Produktformel Sei M eine Menge von Stellen von K, welche fast alle nicht-archimedisch sind; wir schreiben M für die archimedischen und M 0 = M\M für die nicht-archimedischen Stellen in M. Wir sagen K erfüllt bzgl. einer Normalisierung der Stellen in M die Produktformel, falls: a) für jedes x K gilt x v 1 für höchstens endlich viele v M; b) für jedes v M gibt es ein λ v > 0 mit x λv v = 1, x K. v M 4.3 Beispiele a) Sei K = Q. Neben dem üblichen Absolutbetrag sind (bis auf Äquivalenz) die weiteren Bewertungen gegeben durch die p-adischen Bewertungen. Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung zeigt, dass bzgl. diesen Stellen die Produktformel mit λ v = 1 für alle v gilt. b) Sei K = k(t) und k = k. Alle Bewertungen, welche auf k trivial sind, sind dann gegeben durch die Punkte P von P 1 (k) (nämlich durch die Verwschwindungsordnung von f K bei P ). Die Produktformel gilt mit λ P = 1 für alle P und lautet P v P (f) = 0 für alle f K (eine rationale Funktion hat gleich viele Nullstellen wie Pole). Ist k nicht algebraisch-abgeschlossen, so sind die Stellen gegeben durch die irreduziblen Polynome in k[t] zusammen mit der unendlichen Bewertung v (f) = deg f für f k[t]; nun gilt die Produktformel mit den Gewichten λ p = deg p, λ = 1. c) Ist K der Funktionenkörper einer normalen projektiven Varietät, so gibt es i.a. verschiedene Produktformeln. 4.4 Sei M eine Stellenmenge von K, sodass bzgl. der Normalisierung (λ v ) v M die Produktformel gilt; sei L K eine endliche, separable Erweiterung vom Grad d. Sei M L = {w Stelle auf L, welche ein 11

12 v M = M K fortsetzt}. Wir setzen v zunächst zu einer Bewertung von K v fort; für archimedisches v ist dies nicht schwierig (denn K v = R oder C), sondern Teil der komplexen Analysis, wir können uns also auf nicht-archimedisches v beschränken. Dort lässt sich nachrechnen, dass durch x N Kv/K v (x) v eine (eindeutige!) Fortsetzung von v definiert ist. Für jedes ϕ Hom K (L, K v ) erhalten wir durch Einschränkung von v auf ϕ(l) eine Bewertung x w = ϕ(x) v. Bzgl. w ist ϕ stetig und es gilt L w = LK v, denn LK v L w enthält K v, L und ist selbst vollständig. w ist die Fortsetzung von v auf L w und es gilt x w = N Lw/Kv (x) 1/dw v mit dem lokalen Grad d w = [L w : K v ]. Man kann zeigen, dass L K K v = gilt; daraus folgt d = w v d w und N L/K (x) = w v N L w/k v (x). Nun gilt für x L, dass x dwλv w = w M L v M K w v wegen der Produktformel auf K. x dwλv w = v M K w v w v L w N Lw/K v (x) λv v = v M N L/K (x) λv v = Beispiele a) Sei K ein algebraischer Zahlkörper; dann besteht M K aus: i) den unendlichen (archimedischen) Bewertungen, welche zu den Einbettungen von K in Q gehören bis auf komplexe Konjugation (für jedes Paar konjugiert komplexer Einbettungen erhalten wir nur eine Stelle); ii) den endlichen (ultrametrischen) Bewertungen, welche zu den Primidealen des Ganzheitsringes von K gehören; beim Fortsetzen von Bewertungen kommt es also auf des Verzweigungsverhalten von Primidealen an. b) Sei L der Funktionenkörper einer vollständigen glatten Kurve C über einem Körper k. Die Inklusion K L gibt eine nicht-konstante rationale Funktion ϕ : C P 1. Die Stellen von L/K korrespondieren dann zu den K-rationalen Punkten Q C(K). 4.6 Sei K ein Körper dessen Stellenmenge die Produktformel erfüllt; wir bezeichnen mit v die normalisierten Bewertungen. Für P = (x 0 : x 1 :... : x n ) P n (K) ist die K-Höhe von P definiert durch H K (P ) = v M K max{ x 0 v,..., x n v }; wir setzen h K (P ) = log H K (P ) und sprechen von der multiplikativen bzw. logarithmischen Höhe. Es gilt: a) H K (P ) ist unabhängig von der Wahl der homogenen Koordinaten für P ; b) H K (P ) 1 für alle P P n (K); c) H L (P ) = H K (P ) [L:K] für jede endliche Körpererweiterung L K. Beweis. a) folgt aus der Produktformel, b) ist klar, da wir Koordinaten von P so wählen können, das eine Komponente 1 ist. Für c) beachte: H L (P ) = max{ x 0 w,..., x n w } = max{ x 0 dwλv v,..., x n dwλv v } v M K w v = v M K w v v M K w v max{ x 0 v,..., x n v } [Lw:Kv] = H K (P ) [L:K], wobei wir 4.4 verwendet haben. // 12

13 4.7 Absolute Weil-Höhe auf P n Die absolute Weil-Höhe auf P n ist die Abbildung H : P n (Q) [1, ) mit H(P ) = H K (P ) 1/[K:Q], wobei K ein Körper mit P P n (K) ist; die absolute logarithmische Weil- Höhe auf P n ist h : P n (Q) [0, ) mit h(p ) = log H(P ). Wir schreiben auch H(x 0 :... : x n ) = H(x 0,..., x n ) = H(P ) mit P = (x 0 :... : x n ) P n. Für α Q definieren wir H K (α) = H K ((1 : α)); analog für h K, H, h. 4.8 Bemerkungen a) Zur Berechnung der Höhe genügt es den kleinsten Körper, nämlich Q(P ) = Q(x 0 /x j,..., x n /x j ) für jedes j mit x j 0, zu verwenden über dem P = (x 0 :... : x n ) P n (Q) definiert ist; manchmal ist es praktisch einen grösseren Körper zu verwenden. Eine viel praktischere Methode die Höhe zu berechnen besteht darin, die Jensensche Formel für das Mahlersche Mass zu verwenden (siehe Übungen). b) Beachte, dass es nicht möglich ist auf Q eine Produktformel zu definieren; wir haben aber nun gesehen, dass es eine Höhe zum Mass der arithmetischen Grösse algebraischer Zahlen gibt. Beispiel: Es gilt für x = (x 0 :... : x n ) P n (Q) mit x 0,..., x n Z teilerfremd, dass H(x) = max{ x 0,..., x n }; H( 2) = 2, H(3 + 2) = 7, H(exp(2πi/n)) = 1 für jedes n Eigenschaften der Höhe, z.b. die Aktion der Galoisgruppe G Q auf P n (Q) lässt die Höhe invariant. Beweis. Nach 4.4 ist klar, dass G Q transitiv auf den Stellen operiert. Somit H σ(k) (σ(p )) = max{ σ(x i ) w } = max{ σ(x i ) w } dw w M σ(k) w M σ(k) = max{ σ(x i ) σ(v) } dσ(v) = max{ x i v } dv = max{ x i v } = H K (P ). v M K v M K v M K Da [K : Q] = [σ(k) : Q] folgt die Aussage. // 4.10 Satz von Liouville 4.11 Satz von Northcott Für alle B, d 0 ist die Menge {P P n (Q); H(P ) B, [Q(P ) : Q] d} endlich. Insbesondere gilt für jeden Zahlkörper K, dass die Menge {P P n (K); H K (P ) B} endlich ist. Beweis. Sei P = (x 0 : x 1 :... : x n ). Es gilt H(P ) H(x i ) und Q(P ) Q(x i ) für alle i = 0,..., n. Es genügt also z.z., dass {x Q; H(x) B, [Q(x) : Q] = d} für alle d = 1,..., D endlich ist. Für d = 1 ist die Aussage klar. Für allgemeines d bezeichnen wir mit x 1,..., x d die Konjugierten von x und mit f = T d s 1 T d 1 + s 2 T d 2 + Q[T ] das Minimalpolynom. Die Koeffizienten sind elementarsymmetrische Polynome in x 1,..., x d und lassen sich daher abschätzen durch s r v c(v, r, d) max{ x i v } r mit c(v, r, d) = ( d r) 2 d falls v archimedisch und c(v, r, d) = 1 sonst. Daher max{ s i v } c(v, d) d i=1 max{ x i v, 1} d mit c(v, d) = 2 d falls v archimedisch und c(v, d) = 1 sonst. Es folgt H((s 0 :... : s d )) 2 d H(x 1 ) d H(x d ) d = 2 d H(x) d2, wobei wir 4.9 verwendet haben. Somit gibt es (da d = 1 bereits erledigt ist) nur endlich viele in Frage kommenden Minimalpolynome, die alle nur endlich viele Nullstellen haben. // 4.12 Satz von Kronecker Sei K ein Zahlkörper und P = (x 0 :... : x n ) P n (K). Fixiere ein i mit x i 0. Dann gilt H(P ) = 1 genau dann, wenn x j /x i eine Einheitswurzel oder gleich 0 ist für alle 0 j n. 13

14 Beweis. Wir können o.b.d.a. annehmen, dass P = (1 : x 1 :... : x n ). Angenommen x i, i = 1,..., n sind Einheitswurzeln, so gilt x i v = 1 für alle v und daher ist H(P ) = 1. Umgekehrt sei H(P ) = 1. Betrachte P r = (x r 0 : x r 1 :... : x r n) P n (K). Aus der Definition der Höhe folgt: H(P r ) = H(P ) r, womit auch P 2, P 3,... die Höhe 1 haben. Wegen 4.10 gibt es also s > r 1 mit P r = P s, woraus x r j = x s j, j = 1,..., n folgt (beachte x 0 = 1). // 5. Diophantische Gleichungen über Zahlkörpern 5.1 Satz von Roth-Lang 5.2 S-ganze Zahlen Beispiele 5.3 Eigenschaften von S-ganzen Zahlen 5.4 S-Einheiten Beispiele 5.5 Bemerkungen 5.6 Satz von Beipiele Mahler (Thue-Gleichung über O S ) 5.7 Satz (S-Einheitengleichung x + y = 1) Beispiele 5.8 Äquivalenz von 5.4 und 5.5 Literatur 1. U. Zannier, Lecture Notes on Diophantine Analysis, Birkhäuser, E. Bombieri and W. Gubler, Heights in Diophantine Geometry, NMM 4, Cambridge, M. Hindry and J.H. Silverman, Diophantine Geometry, GTM 201, Springer, S. Lang, Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer, D. Lorenzini, An invitation to Arithmetic Geometry, AMS, J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer,