Z Zusätze. Z.1 Konvergenz in metrischen Räumen

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1 251 Z Zusätze Z.1 Konvergenz in metrischen Räumen Z.1.1 Konvergenz von Zahlenfolgen. Wir hatten in definiert: Eine Folge (a n ) n N reeller Zahlen heißt konvergent gegen den Grenzwert a, wenn es zu jeder Fehlerschrankeε> eine natürliche Zahl n ε so gibt, dass für alle natürlichen Zahlen n>n ε gilt: a a n <ε. Eine dazu äquivalente Definition haben wir in gegeben: Eine Folge (a n ) n N reeller Zahlen heißt konvergent gegen den Grenzwert a, wenn in jeder ε-umgebung von a alle Folgenglieder bis auf endlich viele Ausnahmen liegen. Man schreibt in diesem Fall a= lim a n oder a n a. Z.1.2 Allgemeinere Folgen. In der Praxis werden nicht nur Zahlenfolgen auf Konvergenz untersucht, sondern auch Folgen von Vektoren, Matrizen, Funktionen,... EineFolge (x n ) n N vonelementenauseinermengex gibtzujedernatürlichen Zahl n N einfolgenglied x n X an. Z.1.3 Beispiele. Ist X = R z, dann liegt eine Folge von (Koordinaten-)Vektoren vor (eine sogenannte Vektorfolge ). Ist X=R z s, dannliegteine Folgevon Matrizen vor. Ist X=C ([,1]), dann liegt eine Folge stetiger Funktionen vor (der Definitionsbereich ist das Intervall [, 1]).

2 252 Z Zusätze Wir wollen den Konvergenzbegriff für Zahlenfolgen auf allgemeinere Folgen übertragen. Intuitiv versteht man unter Konvergenz eine schrittweise Annäherung an ein festes Element. Um diese Annäherung zu fassen, wollen wir messen, wie weit ein gegebenes Folgenglied von diesem Grenzelement entfernt ist. Dazu brauchen wir einen Abstandsbegriff, den wir durch Einführung einer Metrik auf der Menge X realisieren. Z.1.4 Definition. Sei X eine Menge. Eine Abbildungρ: X X Rheißt Metrik auf X,wennfür alle x,y,z X gilt: (M1) ρ(x,y) und ρ(x,y)= x= y. (M2) ρ(x,y)=ρ(y,x) (Definitheit) (Symmetrie) (M 3) ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z) (Dreiecksungleichung). DieMenge X,versehenmitderMetrikρ,heißtdann metrischerraum (X,ρ). Z.1.5 Beispiel. Die Ähnlichkeiten zwischen den Bedingungen an eine Metrik und Eigenschaften des Betrags sind kein Zufall: In dertatist durchρ(x,y) := x y eine Metrikauf X=R gegeben. Z.1.6 Beispiel. Der euklidische Abstand (v,w) := (v 1 w 1 ) 2 +(v 2 w 2 ) 2 +(v 3 w 3 ) 2 zwischen Punkten inr 3 ist eine Metrik auf X=R 3 (die wir die euklidische Metrik nennen). Die euklidische Metrik kann man in offensichtlicher WeiseaufR z mit beliebiger Dimension z verallgemeinern: Man summiert eben alle Quadrate der Differenzen der Einträge: (v,w) := z (v j w j ) 2. j=1 Die Metriken in Z.1.5 und Z.1.6 beschreiben genau die Abstände, die wir immer schon haben wollten. Es gibt (für spezielle Zwecke) aber auch ganz andere Metriken:

3 Z.1 Konvergenz in metrischen Räumen 253 Z.1.7 Beispiel. Es sei z Nund p eine reelle Zahl mit p 1. Zwischen x,y R z kannman denabstand ( z ) 1 ρ p (x,y)= x j y j p p einführen. Spezialfälle: Für p=2 erhalten wirdie euklidischemetrik. Für p=1 ergibt sichρ 1 (x,y)= z x j y j. j=1 j=1 WirmessenhierdieLängeeinesStreckenzugs,aufdemmanvomOrt x zum Ort y entlang eines rechtwinkligen Straßensystems gelangt (deswegen nennen manche Leute dies die Manhattan-Metrik). Für einen Taxifahrer istesegal,anwelchen Stellen er abbiegt (solange er grob die Richtung nach rechts oben einhält). Z.1.8Beispiel. EinweitereMöglichkeitistdie Maximum-Metrik aufr z : ρ (x,y)=max { x j y j 1 j z }. Diese könnte z. B. nützlich sein, wenn man sich auf die größte Abweichung zwischendenkoordinateneinträgenkonzentrierenwill.(diemetrikenρ p mit 1 p < verwenden jeweils eine Mittelbildung über diese Abweichungen.) Die fünf schwarzen Punkte haben in der Maximum-Metrik alle denselben Abstand von dem besonders dicken Punkt. Siehe auch Z.1.15.

4 254 Z Zusätze Neben den bisher erwähnten Metriken können wir die Metrik des französischen Eisenbahnsystems aufr 2 betrachten: Z.1.9 Beispiel. Wir wählen inr 2 einen festen Punkt P (die französische Eisenbahn hat P bei Paris gesetzt). Als AbstandzwischenPunkten x,y R 2 definierenwir (x,y) falls xund yauf einergeraden durch P liegen, ρ Paris (x,y) := (x,p)+ (P,y) sonst [man macht immer den Umweg über Paris]. Die Skizze zeigt einen Teil des Netzes französischer Schnellbahnen (grob vereinfacht). Um von Toulouse (T) mit dem TGV nach Marseille (M) zu kommen, muss man einen Umweg über Paris nehmen: Der Abstand der Städte wird damit wesentlich größer als der per Luftlinie (um diesen wirklich exakt zu realisieren, braucht man wohl eher einen Hubschrauber...) Z.1.1 Die Norm als Abstand. In Vektorräumen (auch solchen unendlicher Dimension man spricht auch von linearen Räumen) hatten wir mit Hilfe von Skalarprodukten eine Norm eingeführt: Ist ein Skalarproduktauf V,soheißtfür x V diereellezahl die Normvon x. x := x x

5 Z.1 Konvergenz in metrischen Räumen 255 Mit Hilfe dieser Norm können wir wieder den Abstand zwischen zwei Elementen messen : ρ(x,y) := x y. DieserAbstandist einemetrikρ: V R. Z.1.11 Beispiel. Als Abstand zwischen stetigen Funktionen f,g C ([,1]) ist die folgende Göße zweckmäßig: ρ(f,g)= ( 1 ) 1 f(x) g(x) 2 2 dx Wir verwendenhier dienormzum Skalarprodukt f 1 g := f(x)g(x) dx. Dieses Skalarprodukt wird(samt dieser Norm) auch betrachtet in Zusatz Z.2 in Kimmerle-Stroppel, Lineare Algebra und Geometrie(Edition Delkhofen).. Z.1.12 Beispiel. In der numerischen Mathematik werden Abstände zwischen Matrizen benutzt jeweils angepasst an die gerade aktuelle Problematik. Z.1.13 Konvergenz in metrischen Räumen. Wir betrachten einen fest gewählten metrischen Raum (X,ρ). Eine Folge (a n ) n N in X heißt konvergent gegen den Grenzwert a, wenn es zu jedemε>eine natürliche Zahl n ε so gibt, dass gilt: n>n ε :ρ(a,a n )<ε. Man schreibt auch a n ρ a oder lim a n ρ =a.

6 256 Z Zusätze Z.1.14 Äquivalente Definitionen. 1. Esgilt a n ρ a lim ρ(a n,a)=. 2. Die Folge (a n ) n N konvergiert genau dann im metrischen Raum (X,ρ) gegendengrenzwert a,wenninjederε-umgebungvon a allefolgenglieder bis auf endlich viele Ausnahmen liegen. Dabei verstehen wir unter der ε-umgebung um X die Menge U ε (a) :={x X ρ(a,x)<ε}. Man kann wieder versuchen, sich dieε-umgebung U ε (a) als Kugel mit RadiusεundMittelpunkt a vorzustellen... Z.1.15 Beispiel. Wir betrachten den metrischen RaumR 2 versehen mit der Maximum-Metrikρ,vgl. Z.1.8.Dann ist Ü ¾ ¼ ½ U ε (a) = {x R 2 ρ (a,x)<ε} { { } } x1 = R 2 a1 x max 1 <ε a 2 x 2 Ü ½ x 2 ein offenes Quadrat (ohne Rand) mit Mittelpunkt a und Seiten der Länge 2ε, die parallel zu den Achsen des Standard-Koordinatensystems liegen. Z.1.16 Beispiel. Wir betrachten weiter den metrischen RaumR 2 versehen mit dermaximum-normρ.sei ) x= ( x1 x 2 ein festervektoraus U 1.Dann konvergiertdiefolgedervektoren x n x n = 1 x n 2 bezüglich der Maximum-Norm gegen den Nullvektor. Esbedeutet x U 1 hier gerade max{ x1, x 2 }<1. x Nach 1.5.8konvergiert x n n j gegennull, also gilt 1 x n 2 ρ.