Physikpraktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften (Basispraktikum)

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1 Physikpraktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften (Basispraktikum)

2 Das griechische Alphabet Name Minuskel Majuskel Alpha α A Beta β B Gamma γ Γ Delta δ Epsilon ε E Zeta ζ Z Eta η H Theta θ Θ Iota ι I Kappa κ K Lambda λ Λ My µ M Ny ν N Xi ξ Ξ Omikron o O Pi π Π Rho ρ P Sigma σ Σ Tau τ T Ypsilon υ Y Phi ϕ Φ Chi χ X Psi ψ Ψ Omega ω Ω Carl von Ossietzky Universität Oldenburg, Fakultät V, Institut für Physik, D-6111 Oldenburg Tel.: Internet: michael.krueger@uni-oldenburg.de April 016 Abbildungen auf dem Titelblatt: Oben: KARMANsche Wirbelströmung hinter einem Zylinder von ca. 6 mm Durchmesser. Das Foto zeigt eine Fläche von ca.,5 cm 7 cm. : AG Angewandte Optik, Institut für Physik, Carl von Ossietzky Universität Oldenburg Mitte: KARMANsche Wolkenstrasse hinter der JAN MAYEN Insel (Norwegen), hervorgerufen durch den ca., km hohen Vulkan BEERENBERG im Zentrum der Insel. Das Foto zeigt eine Fläche von ca. 365 km 158 km. : NASA; Unten: Strömungswirbel in der Atmosphäre des Planeten Jupiter in der Umgebung des Großen Roten Flecks. Vor dem Jupiter sein Mond Io (Durchmesser km), der seinen Schatten auf die Oberfläche des Planeten wirft. : NASA;

3 1 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Reihenfolge der Versuche Allgemeine Hinweise zum Basispraktikum Physik und zur Protokollführung 3 Zum Aufbau elektrischer Schaltungen und zum Umgang mit Netzgeräten, Vielfachmessgeräten und Funktionsgeneratoren 1 Mechanische Messwerkzeuge 4 Einsatz der Computer im Basispraktikum Physik 6 Fehler- und Ausgleichsrechnung 40 Oszilloskop und Funktionsgenerator 63 Sensoren für Kraft, Druck, Abstand, Winkel und Lichtintensität 80 Kraft, Impuls und Kraftstoß 97 Viskosität und Reynoldszahlen 108 Oberflächenspannung, Minimalflächen und Kaffeeflecken 14 Geometrische Optik, optische Abbildung und Aberrationen 137 Fourieranalyse 156 Messung von Magnetfeldern 168

4 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Reihenfolge der Versuche Termin Praktikum KW Anmerkungen Thema 14 SE: Vorbesprechung, Platzvergabe, Skriptausgabe 1 15 Hinweise zum Praktikum, zur Protokollführung, zum Aufbau elektrischer Schaltungen und zum Einsatz des Computers. Übungsaufgaben zu Origin und Matlab 16 Maifeiertag 17 Oszilloskop und Funktionsgenerator So Himmelfahrt Do SE: Fehler- und Ausgleichsrechnung 3 19 Sensoren für Kraft, Druck, Abstand, Winkel und Lichtintensität Pfingstmontag Mo Kraft, Impuls und Kraftstoß 5 Viskosität und Reynoldszahlen 6 3 Oberflächenspannung, Minimalflächen und Kaffeeflecken 7 4 Geometrische Optik, optische Abbildung und Aberrationen Fourieranalyse 9 7 Messung von Magnetfeldern Zu einer am Informationsbrett des Praktikums mitgeteilten Zeit wird ein Open Lab angeboten. Während dieser Zeit sind die Praktikumsräume geöffnet und die Geräte des Praktikums stehen zur Verfügung. Damit soll den Studierenden die Möglichkeit geboten werden, experimentelle Fähigkeiten eigenständig zu vertiefen und zu verbessern. Die Betreuung im Open Lab übernehmen abwechselnd TutorInnen zusammen mit der Technischen Assistenz.

5 3 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Allgemeine Hinweise zum Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften (Basispraktikum) und zur Protokollführung 1 Zur Bedeutung, Planung und Durchführung physikalischer Experimente Am 3. März 1989 erregte eine Nachricht aus den USA großes Aufsehen in der naturwissenschaftlichen Öffentlichkeit: zwei international anerkannte Wissenschaftler aus dem Bereich der Physikalischen Chemie an der Universität von Utah waren mit der Erklärung vor die Weltpresse getreten, ihnen sei die kalte Kernfusion im Reagenzglas gelungen. Was andere Labore auf der Welt trotz Milliardenaufwandes bis dahin nicht erreicht hatten, die kontrollierte Atomkernverschmelzung mit dem Ziel der Energieerzeugung, sollte nun mit Mitteln möglich gewesen sein, die jedem kleinen Labor zur Verfügung stehen. Rund um den Globus setzten umgehend fieberhafte Aktivitäten ein mit dem Ziel, das beschriebene Experiment nachzumachen. Die beteiligten Wissenschaftler/innen nutzten die internationalen Computernetze, um ihre Messergebnisse auszutauschen, zugehörige theoretische Überlegungen zu diskutieren, zu spekulieren, den Quellen vieler Gerüchte nachzugehen und - leider auch - selber neue Gerüchte in die Welt zu setzen. Nach einigen Wochen war sich die internationale Fachwelt einig: die Ergebnisse des Reagenzglas-Experiments waren nicht reproduzierbar. Damit war das gesamte Experiment wertlos und mit ihm auch die theoretischen Überlegungen, die die beiden Amerikaner zur Deutung ihrer Messergebnisse angestellt hatten. Das geschilderte Beispiel soll die elementarste Anforderung an physikalische Experimente deutlich machen: Die Ergebnisse eines Experiments haben nur dann wissenschaftliche Bedeutung, wenn eine Wiederholung des Experiments unter gleichen Bedingungen überall auf der Welt zum gleichen Resultat führt. Damit ein Experiment diesem Anspruch genügt, muss zunächst der Gegenstand des Experiments, d.h. die dem Experiment zugrunde liegende Fragestellung, klar und eindeutig beschrieben werden. Bei einigen Experimenten geht es darum zu klären, ob eine Theorie (z.b. die der kalten Fusion oder der Existenz von Gravitationswellen) richtig oder falsch ist. Andere Experimente sollen dazu dienen, den algebraischen Zusammenhang zwischen physikalischen Größen quantitativ zu erfassen (z.b. Galileis Versuche zur Bestimmung des Zusammenhanges zwischen Weg und Zeit beim freien Fall) oder Zahlenwerte für physikalische Größen zu ermitteln (z.b. Bestimmung der Masse eines Moleküls mit einem Massenspektrometer). Nach erfolgter Formulierung der Fragestellung ist eine sorgfältige Planung der Durchführung des Experiments erforderlich. Dazu gehört vor allem die Konzeption eines systematischen Versuchsablaufs, die Auswahl geeigneter Messinstrumente und das Kennenlernen des Verhaltens dieser Instrumente unter den geplanten experimentellen Bedingungen. 1 Anschließend folgt der Aufbau des Experiments, die präzise Beschreibung der Versuchsanordnung, die Durchführung der Messungen und die Aufzeichnung der Messdaten sowie der Umgebungsparameter, die die Messergebnisse beeinflussen können. Dabei müssen 1 Hier haben übrigens die beiden Amerikaner die nötige Sorgfalt fehlen lassen - mit dem Ergebnis, dass sie gemessene Effekte fälschlicherweise dem Einfluss von Neutronen zugeschrieben haben, die tatsächlich durch eine Erwärmung des Untersuchungsobjektes verursacht worden waren.

6 4 systematische Fehlerquellen nach bestem Wissen ausgeschlossen und die zufälligen Messfehler quantitativ erfasst werden (siehe Anleitung Fehler- und Ausgleichsrechnung ). Die quantitative Auswertung eines unter solchen Bedingungen durchgeführten Experimentes sollte schließlich eine eindeutige und reproduzierbare Antwort auf die Eingangsfrage geben. Ist das Ergebnis dagegen nicht eindeutig und nicht reproduzierbar, so müssen alle Schritte von der Fragestellung bis zur Auswertung noch einmal überprüft werden. Irgendwo wird ein Fehler vorliegen, der beseitigt werden muss. So kann z.b. ein falsches Messgerät gewählt worden sein, dessen Messgenauigkeit oder Messbereich für den erwarteten Effekt gar nicht ausgelegt ist. Oder es hat sich trotz aller Sorgfalt ein systematischer Fehler bei der Messwertaufzeichnung eingeschlichen. Oder es wurde versucht, einen gar nicht existenten Zusammenhang zwischen zwei physikalischen Größen quantitativ zu ermitteln. Ein solches Experiment wird immer zufällig verteilte Ergebnisse liefern. Oder... Die Lernziele im Basispraktikum Um Experimente in der beschriebenen Weise planen, durchführen und auswerten zu können, bedarf es einiger Erfahrung, die in den verschiedenen aufeinander aufbauenden Praktika im Laufe des Studiums gewonnen werden soll. Dem Basispraktikum kommt dabei die Aufgabe zu, erste Grundlagen des Experimentierens zu vermitteln und zu üben. Nach erfolgreicher Teilnahme am Basispraktikum sollen die Studierenden mit den Grundprinzipien des Experimentierens vertraut sein, also - wissen, wie mit einem Experiment der quantitative Zusammenhang zwischen physikalischen Größen bestimmt oder der Zahlenwert für eine physikalische Größe ermittelt werden kann, - ein entsprechendes Experiment beschreiben, planen und durchführen können, - den Unterschied zwischen direkten und indirekten Messverfahren kennen, - gängige Messverfahren sowie Funktion, Gebrauch, Verhalten und Genauigkeit wesentlicher Messgeräte kennen, - Messgeräte überprüfen, justieren und kalibrieren können, - mit den Grundprinzipien computerunterstützter Messdatenerfassung vertraut sein, - Messergebnisse sinnvoll darstellen, auswerten, interpretieren und kritisch bewerten können, - Messunsicherheiten angeben können und mit den Grundlagen der Fehlerrechnung vertraut sein, - Verfahren zur Anpassung von Ausgleichskurven (Fitkurven) an Messdaten kennen, - ein Protokoll über die Durchführung eines Experiments führen können, - die Ergebnisse eines Experiments in einem Vortrag präsentieren können. Darüber hinaus sollen die Studierenden im Praktikum über den Vorlesungsstoff hinaus weitere physikalische Phänomene, Gesetzmäßigkeiten und Methoden kennen lernen, für deren Behandlung in der Vorlesung kein Platz ist. Sie müssen sich also gelegentlich im Rahmen der Praktikumsvorbereitung mit Inhalten auseinandersetzen, die in der Vorlesung bis dahin weder behandelt wurden noch behandelt werden. Deshalb sind die Versuchsanleitungen so gehalten, dass sie mit den üblichen mathematischen und physikalischen Vorkenntnissen der Studierenden in den ersten beiden Semestern verstanden werden können. Wem der Anleitungstext an einigen Stellen zu abstrakt bleibt, dem sind möglicherweise Fotos der Versuchsaufbauten bei der Vorbereitung der Praktika eine Hilfe. Sie finden sich auf den Internetseiten des Basispraktikums. Bei gemeinsamen Themen von Vorlesung und Praktikum wird versucht, beide Veranstaltungen soweit wie möglich zeitlich aufeinander abzustimmen. 3 Durchführung des Praktikums 3.1 Gruppenarbeit Zu Beginn des Semesters bilden die Studierenden Zweiergruppen (Teams), die bis zum Semesterende bestehen bleiben. Innerhalb der Teams muss eine gemeinsame Vorbereitung auf das Praktikum stattfinden, gefolgt von einer gemeinsamen Durchführung der Versuche, einer gemeinsamen Auswertung der

7 5 Messergebnisse und einer gemeinsamen Protokollierung. Für jeden Teil des Protokolls sind beide Studierende verantwortlich. 3. Versuchsvorbereitung Die Vorbereitung auf einen Versuch muss vor dem Praktikumstermin anhand der Versuchsanleitung und durch Teilnahme am Begleitseminar geschehen. Die Versuchsanleitungen werden zu Beginn des Semesters ausgehändigt. Sie stehen darüber hinaus als PDF-Dateien auf den Internetseiten des Praktikums zur Verfügung. Es genügt möglicherweise nicht immer, nur die Anleitung durchzulesen. Insbesondere bei ernsthaften Verständnisproblemen muss auch die angegebene Literatur sowie die Vorlesungsmitschrift zur Vorbereitung mit herangezogen werden. Ohne gründliche Vorbereitung ist eine Durchführung der Versuche weder sinnvoll noch möglich. In den Praktikumsräumen steht ein Bücherschrank mit einer Büchersammlung zur Nutzung durch die Studierenden vor Ort zur Verfügung. Die Bücher werden grundsätzlich nicht ausgeliehen. Sie können während der Öffnungszeiten der Praktikumsräume jedoch jederzeit benutzt werden. Die Sammlung enthält neben der in den Anleitungen angegebenen Literatur weitere Lehrbücher, Formelsammlungen und Tabellenwerke, die für die Auswertung der Versuche hilfreich sind. Eine gründliche Versuchsvorbereitung schließt die Vorbereitung von Tabellen mit ein, in die während des Praktikums die Messergebnisse mit dokumentenechtem Stift eingetragen werden. Die vorbereiteten Messwerttabellen werden zu Beginn des Praktikums von den BetreuerInnen abgestempelt und müssen später dem Protokoll beigefügt werden. 3 Mit der Vorbereitung von Tabellen wird vor allem erreicht, dass man sich bereits vor Beginn der Experimente klar macht, welche Messreihen durchzuführen sind und welche Messgrößen für die Auswertung der Experimente zusätzlich benötigt werden. Außerdem wird bei vorbereiteten Messwerttabellen von vornherein vermieden, dass Messergebnisse während des Versuchs zunächst auf Schmierzetteln notiert werden, um anschließend ins Reine übertragen zu werden. Ein solches Vorgehen ist erstens unökonomisch, schafft zweitens die Gefahr von Übertragungsfehlern und führt möglicherweise auch zur Versuchung, Messdaten nachträglich zu bereinigen. Ökonomisches Arbeiten bei der Vorbereitung, der Durchführung und der Auswertung der Praktikumsversuche setzt auch voraus, dass die Studierenden über folgende Hilfsmittel verfügen: Versuchsanleitung, Lehrbuch, mathematische Formelsammlung, Taschenrechner mit technisch-wissenschaftlichen Funktionen, Zugang zu Computern (ist für alle Studierenden im Basispraktikum und im CIP-Raum des Instituts für Physik gewährleistet). 3.3 Versuchsdurchführung Während der Versuchsdurchführung müssen die Messergebnisse direkt in die vorbereiteten Messwerttabellen eingetragen werden. Die Ablesegenauigkeit der Messgeräte muss für die später zu erfolgende Fehleranalyse ebenfalls notiert werden. Schließlich müssen all die Gerätespezifikationen und sonstigen Parameter (z. B. Umgebungstemperatur) notiert werden, die für eine vollständige Versuchsdokumentation und -auswertung im Protokoll erforderlich sind. Der Umfang der Versuche wurde so gewählt, dass auch die Studierenden, die bereits experimentelle Erfahrungen mitbringen, nicht schon nach der Hälfte der vorgesehenen Zeit mit ihren Experimenten fertig 3 Für die Versuche zum Oszilloskop und zur Fourieranalyse müssen keine Messwerttabellen vorbereitet werden. Für Versuchsteile, in denen Messdaten direkt in Origin-Tabellen eingetragen werden sollen, sind ebenfalls keine Tabellen erforderlich.

8 6 sind. Das kann zur Folge haben, dass Studierende ohne jegliche experimentelle Erfahrung, insbesondere während der ersten Versuchstermine, aus zeitlichen Gründen nicht immer alle Versuchsteile werden durchführen können. In diesen Fällen gilt: Bei Zeitknappheit lieber einiges gründlich, als alles oberflächlich durchführen! Nutzen Sie das Open Lab, um Ihre experimentellen Fähigkeiten eigenständig zu vertiefen! 4 Protokollführung 4.1 Bedeutung des Protokolls Das Versuchsprotokoll hat die Aufgabe, das gesamte Experiment von der Fragestellung über die Durchführung bis hin zur Auswertung dokumentarisch festzuhalten. Es muss hinsichtlich Inhalt und Form eine Einheit bilden. Es muss von einer fremden, mit der Materie insgesamt vertrauten Person gelesen und verstanden werden können und es muss diese Person prinzipiell in die Lage versetzen, ohne Einholen zusätzlicher Informationen das gleiche Experiment mit den gleichen Geräten jederzeit nachmachen zu können. Protokolle werden nicht nur als lästige Pflicht im Rahmen von Praktika geführt. Das Führen und Archivieren eines Protokollbuchs gehört vielmehr unabdingbar zum Alltag des wissenschaftlichen Arbeitens. Im Zweifelsfall muss ein Protokollbuch als Beleg für erzielte Messergebnisse dienen. Die Fälschungsskandale in der Wissenschaft aus der Vergangenheit, z.b. der Fall des Physikers JAN HENDRIK SCHÖN aus dem Jahre 00 4, haben Wissenschaftsorganisationen wie die Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) dazu veranlasst, nochmals mit Nachdruck an die Verpflichtung zur Führung von Protokollbüchern und deren Bedeutung zu erinnern Inhalt und Aufbau eines Protokolls Ein Praktikumsprotokoll muss o o o in übersichtlicher Gliederung, mit nummerierten Kapitelüberschriften, auf nummerierten Seiten enthalten: 1. Namen, Praktikumsgruppe und Datum der Versuchsdurchführung.. Titel des Versuchs. 3. Ein Inhaltsverzeichnis ist nicht erforderlich. 4. Kurze Darstellung des Versuchsgegenstandes in einer Einleitung: was ist Ziel des Versuches, was soll gemessen werden? Dieser Teil des Protokolls sollte nicht länger als ¼ Seite sein. Daran anschließend folgt für jeden Versuchsteil eine Protokollierung gemäß der Punkte 5-10: 5. Eine kurze Nennung der Aufgabenstellung und Beschreibung der Versuchsdurchführung mit einer Darstellung des Versuchsaufbaus in Form einer Prinzipskizze mit kurzer Erläuterung. Skizzen können z. B. auch aus der Versuchsanleitung oder aus anderen Quellen übernommen werden. In diesem Fall muss die Quelle korrekt zitiert werden, s. Kap Skizzen werden wie andere Grafiken nummeriert und beschriftet (siehe Punkt 8). Beispiel: Abb. xx: Anordnung zur Messung der Oberflächenspannung mit der Blasendruckmethode. 6. Bei Bedarf Dokumentation derjenigen äußeren Versuchsbedingungen, die die Versuchsergebnisse beeinflussen können (z.b. Temperatur bei den Versuchen zur Oberflächenspannung und Viskosität) sowie Dokumentation möglicher Fehlerquellen (z.b. Ablesegenauigkeit von Messgeräten). 4 Siehe z.b. S. Jorda, PHYSIK JOURNAL 1.11 (00) DFG: Vorschläge zur Sicherung guter wissenschaftlicher Praxis, Bonn, 1998.

9 7 7. Tabellarische Darstellung der Ergebnisse von Messreihen. Bei der Spalten- bzw. Zeilenbeschriftung muss die Form physikalische Größe / Einheit der Größe gewählt werden, also z.b. U / V für eine Spannung, I / A für einen Strom, t / s für die Zeit usw. Zur Begründung für diese Notation siehe Kap. 4.3, Punkt 1. Tabellen müssen innerhalb des Protokolls fortlaufend nummeriert und mit kurzen erläuternden Beschriftungen versehen werden, aus denen hervorgeht, was in der Tabelle dargestellt ist. Hier ein Beispiel: d / m ± 10-3 m U / V ± 10 - V I / ma ± 10-1 ma 0,050 1,74 14,8 0,045 1,77 14, 0,040 1,81 13,4 0,035 1,85 1,6 0,030 1,89 11,8 0,05 1,94 10,8 0,00,01 9,8 Tab. xx: Spannung U und Strom I als Funktion der Eintauchtiefe d von Kupferelektroden in einen Elektrolyten. Zu jeder Tabelle muss ein Verweis im laufenden Text erfolgen, z.b. in der Form: Die Messdaten finden sich in Tab. xx. 8. Grafische Darstellung der Ergebnisse von Messreihen. Jede Grafik muss neben einer fortlaufenden Nummer eine kurze erläuternde Beschriftung enthalten, aus der hervorgeht, was in der Grafik dargestellt ist. Die unabhängige Variable, d.h. die vorgegebene Größe (d in der o. a. Mustertabelle), wird auf der Abszisse dargestellt, die abhängige Größe auf der Ordinate. Die Skaleneinteilung und die Lage der Achsen-Nullpunkte muss so gewählt werden, dass der interessierende Kurvenverlauf gut zu erkennen ist. Die Koordinatenachsen müssen vollständig beschriftet sein. Bei der Achsenbeschriftung gilt das Gleiche wie bei der Spalten- und Zeilenbeschriftung von Tabellen: sie muss in der Form "physikalische Größe / Einheit der Größe" erfolgen. Falls gefordert, müssen Ausgleichskurven und / oder Fehlerbalken eingezeichnet sein. Auch hierzu ein Beispiel: Messdaten Ausgleichsgerade R / Ω 160 R / Ω ,0 0,03 0,04 0,05 d / m d -1 / m -1 Abb. xx: Ohmscher Widerstand R eines Elektrolyten als Funktion der Elektroden-Eintauchtiefe d. Links R über d, rechts linearisierte Darstellung R über 1/d. Die Abstände zwischen den Werten der unabhängigen Variablen müssen so gewählt sein, dass der Verlauf der Messwerte der abhängigen Variablen gut zu erkennen ist. Sie sollen also dort besonders dicht liegen, wo sich im Diagramm etwas tut. Das folgende Beispiel der Amplitudenresonanzkurve eines gedämpften harmonischen Oszillators verdeutlicht dies. In der Umgebung der Eigenkreisfrequenz von ω 0 4,5 Hz wurden die Abstände der unabhängigen Variablen ω 1 deutlich kleiner gewählt als außerhalb dieses Bereichs, so dass der Verlauf der Amplitude x 0 in der Umgebung von ω 0 gut zu erkennen ist:

10 8 0, x 0 / m 0,1 0, ω 1 / Hz Abb. xx: Amplitudenresonanzkurve eines gedämpften harmonischen Oszillators. Die Messpunkte dürfen in der Regel nicht miteinander verbunden werden. Eine gerade Verbindung würde z.b. einen linearen Zusammenhang zwischen den dargestellten Größen in dem von zwei Messwerten begrenzten Bereich suggerieren. Sollte eine Verbindung nötig sein, um den Verlauf der Messwerte besser erkennen zu können, muss die Verbindungslinie an den Messwerten mit sichtbarer Lücke unterteilt werden: R / Ω ,0 0,03 0,04 0,05 d / m Abb. xx: Ohmscher Widerstand R eines Elektrolyten als Funktion der Elektroden-Eintauchtiefe d. Zu jeder Grafik muss ein Verweis im laufenden Text erfolgen, z.b. in der Form: Abb. xx zeigt die grafische Darstellung der Messdaten. 9. Berechnung von Zahlenwerten für die zu messenden Größen. Für jeden Zahlenwert muss der Fehler (die Messunsicherheit) angegeben werden, der entweder berechnet oder sinnvoll abgeschätzt wird. Einzelheiten dazu und zur Rundung von berechneten Zahlenwerten finden sich in der Anleitung zur Fehler- und Ausgleichsrechnung. 10. Interpretation und Bewertung der Versuchsergebnisse anhand eines Vergleichs mit den nach der Theorie erwarteten Ergebnissen bzw. mit Literaturwerten. Dabei ist eine realistische und kritische Bewertung der eigenen Messergebnisse deutlich wichtiger als ein möglichst genaues Treffen eines Zielwertes oder eine möglichst genaue Reproduktion von Literaturwerten. Auf eine Auflistung der benutzten Geräte kann verzichtet werden, da sie in der Anleitung unter Zubehör bei den jeweiligen Versuchen aufgeführt sind. Es reicht daher ein entsprechender Verweis. 4.3 Regeln bei der Abfassung von Protokollen 10 Bei der Abfassung des Protokolls muss man sich von vornherein daran gewöhnen, bestimmte Normen und Gepflogenheiten einzuhalten (siehe z.b. /10/), wie sie später im Studium auch für die Erstellung von Examensarbeiten oder anderen wissenschaftlichen Texten üblich sind:

11 9 1. Eine physikalische Größe G wird als Produkt aus Zahlenwert {G} mal Einheit [G] dieser Größe angegeben, also (1) G = {G} [G] Beispiel: eine elektrische Spannung U hat einen Wert von 5 V, es ist also U = 5 V, mit {U} = 5 und [U] = V. Wegen der in Gl. (1) festgelegten Notation werden Tabellenspalten und zeilen sowie die Achsen von Grafiken in der Form G / [G] beschriftet, also z.b. U / V, d / m usw. Der Quotient G / [G] ergibt nämlich gerade den Zahlenwert {G}, der in die Tabelle eingetragen oder an die Teilstriche der Achse geschrieben wird, wie z.b usw. Angaben der Art U [V] oder d [m] sind formal falsch! 6. Als Einheit [G] einer physikalischen Größe G muss immer die durch das Internationale Einheitensystem (SI: Système Internationale d'unités) vorgegebene Einheit verwendet werden /10/. Neben den sieben SI-Basiseinheiten für die Länge (Meter, m), die Masse (Kilogramm, kg), die Zeit (Sekunde, s), die Stromstärke (Ampere, A), die Temperatur (Kelvin, K), die Stoffmenge (Mol, mol) und die Lichtstärke (Candela, cd) gibt es abgeleitete SI-Einheiten, die sich immer als Produkt der Basiseinheiten darstellen lassen, also a b c d e f g [ G ] = m kg s A K mol cd mit den zu bestimmenden Exponenten a, b, c, d, e, f und g. Für viele abgeleitete Einheiten sind eigene Namen gebräuchlich, wie z.b. das Pascal (Pa) für den Druck (Pa = kg m -1 s - ), das Volt (V) für die elektrische Spannung (V = kg m s -3 A -1 ) oder das Hertz (Hz) für die Frequenz (Hz = s -1 ). Die in Deutschland gesetzlich zugelassenen Namen abgeleiteter Einheiten finden sich in /11/. 3. Für die meisten physikalischen Größen gibt es etablierte Symbole bzw. Formelzeichen (z.b. F für die Kraft, ω für die Kreisfrequenz, U für die elektrische Spannung usw.), von denen man nicht ohne wichtigen Grund abweichen sollte. Eine Liste dieser Symbole enthält /7/. 4. Die Symbole physikalischer Größen, also z.b. F, ω und U werden kursiv gesetzt, die zugehörigen Einheiten, im Beispiel N, Hz und V, dagegen gerade. Man schreibt also z.b. F / N, ω / Hz und U / V. Zwischen den Zahlenwert der physikalischen Größe und die Einheit wird ein Leerzeichen gesetzt, also z.b. F = 1,5 N oder U = 5 V. 5. Im Text verwendete Symbole physikalischer Größen müssen grundsätzlich definiert werden. Es muss also z. B. heißen:...das elektrische Feld E ist durch die Spannung U und den Abstand d gegeben; es gilt: E = U/d. 6. Bei der Anfertigung von Schaltskizzen sollte man sich an die Vorgaben des Deutschen Instituts für Normen (DIN) halten, die auch in den Versuchsanleitungen angewendet werden. Kopien der entsprechenden DIN-Normen 7 befinden sich im Bücherschrank. 7. Für eine Reihe von Berechnungen benötigt man die Zahlenwerte physikalischer Konstanten. Derzeitige Bestwerte dieser Konstanten findet man in /9/, eine Auswahl davon auf der hinteren Umschlagseite dieses Skriptes. 8. Zu jeder Tabelle und jeder Abbildung muss es einen Hinweis im laufenden Text des Protokolls geben (siehe Hinweise unter Punkt 7 und 8 in Kap. 4.). Beispiele: Den prinzipiellen Versuchsaufbau zeigt Abb. oder Die Messwerte sind in Tab. 3 aufgelistet und in Abb. 6 grafisch dargestellt. 9. Werden Grafiken, Tabellen oder Textpassagen aus fremden Quellen (einschließlich Internetseiten!) in das Protokoll übernommen, so muss die Quelle korrekt zitiert werden. Wird beispielsweise eine Abbildung aus dem Skript zum Modul Basispraktikum Physik, Teil I übernommen, muss am Ende der Abbildungsbeschriftung der Hinweis (aus /1/) erfolgen. Am Ende des Protokolls wird dann angefügt: 6 In Fachzeitschriften werden z.t. andere Arten der Beschriftung verlangt. Leider sind die Regeln nicht einheitlich. So wird z.b. in NATURE, PHYSICAL REVIEW LETTERS und im PHYSIK JOURNAL jeweils eine andere Notation verwendet. 7 Z.B. DIN EN 60617: Grafische Symbole für Schaltpläne ; siehe auch Text Zum Aufbau elektrischer Schaltungen.in diesem Skript.

12 10 Literatur /1/ Skript zum Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften (Basispraktikum), CvO Universität Oldenburg, Institut für Physik, April 016 Bei Verwendung von Quellen aus dem Internet muss die Internetadresse in Form der URL (Uniform Resource Locator) und das Datum der Seitenabfrage angegeben werden 8, also z.b.: // Physikalisch Technische Bundesanstalt (PTB): Fragen zur Zeit, URL: Stand: Protokolle, die Grafiken, Tabellen oder Textpassagen aus fremden Quellen enthalten, ohne dass die Quellen zitiert werden, sind Fälschungen und werden und werden als solche gewertet. In diesem Zusammenhang wird nachdrücklich auf die Publikation Gute wissenschaftliche Praxis der Carl von Ossietzky Universität Oldenburg hingewiesen 9 sowie auf einen Artikel in der ZEIT 10. Beim Einsatz von Textverarbeitungssoftware für die Erstellung eines Protokolls gilt als oberster Grundsatz: ein Protokoll lebt in erster Linie von seinem Inhalt und seiner Struktur und nicht von seiner äußeren Form. Man sollte sich daher gut überlegen, ob man die Zeit, die z.b. für das Schreiben von Formeln mit einem Computer benötigt wird, nicht sinnvoller einsetzen kann. Handschriftliche Protokolle oder mit Hand eingesetzte Formeln sind, solange sie lesbar bleiben, völlig ausreichend. Zu guter Letzt noch eine eiserne Regel zum Thema Protokolle: Der jeweils nächste Versuch kann erst durchgeführt werden, wenn das Protokoll vom vorherigen Versuch abgegeben wurde. 5 Literatur Jede Versuchsanleitung enthält eine eigene Literaturliste, in der die Bücher aufgelistet sind, die für die Vorbereitung auf die einzelnen Versuche besonders nützlich sind. Zum generellen Gebrauch im Praktikum sind folgende Bücher empfehlenswert (siehe auch ) 11 : /1/ Eichler, H. J., Kronfeldt, H.-D., Sahm, J.: Das Neue Physikalische Grundpraktikum, Springer- Verlag, Berlin u.a. // Geschke, D. [Hrsg.]: Physikalisches Praktikum, Teubner-Verlag, Stuttgart u.a. /3/ Walcher, W.: Praktikum der Physik, Teubner-Verlag, Stuttgart /4/ Gerthsen, C. u.a.: Physik, Springer-Verlag, Berlin u.a. /5/ Stöcker, H.: Taschenbuch der Physik, Harri Deutsch, Frankfurt (steht auf den Computern im Basispraktikum auch als HTML-Version zur Verfügung) /6/ Bronstein, I. N., Semendjajew, K. A.; Musiol, G.; Mühling, H.: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt (steht auf den Computern im Basispraktikum auch als HTML- Version zur Verfügung) Als Tabellenwerke zum Nachschlagen von Zahlenwerten physikalischer Größen sind besonders geeignet: 8 Für alle URL-Angaben in diesem Skript gilt das Datum Suchmaschine gegen den Gedankenklau Universitäten rüsten sich gegen Plagiatoren - und verhängen schwere Strafen. DIE ZEIT, ; 11 Wegen z. T. häufiger Neuausgaben wird an dieser Stelle auf eine Angabe des Erscheinungsjahres verzichtet. Die Erscheinungsdaten der aktuellen Ausgaben finden sich auf der genannten Internetseite.

13 11 /7/ Lide, D. R. [Hrsg.]: CRC Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press, Boca Raton (steht auf den Computern im Basispraktikum auch als PDF-Version zur Verfügung) /8/ Madelung, O. [Hrsg.]: Landolt-Börnstein: Zahlenwerte und Funktionen aus Naturwissenschaften und Technik, Springer-Verlag, Berlin u.a. Derzeitige Bestwerte physikalischer Konstanten (Auswahl s. hintere Umschlagseite dieses Skriptes) findet man in: /9/ Mohr, P. J.; Taylor, B. N.; Nevell, D. B.: "CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 010", Rev. Mod. Phys. 84(4), (01). Die Daten sind auch über das National Institute of Standards and Technology (NIST) der USA verfügbar: Hinweise zur Abfassung wissenschaftlicher Manuskripte sowie eine Zusammenstellung der SI-Basiseinheiten und daraus abgeleiteter Einheiten enthält folgende Broschüre des Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) 1 : /10/ Bureau International des Poids et Mesures: The International System of Units (SI), 8th Edition, Paris, 006. ( Eine Zusammenstellung der in Deutschland gesetzlich zugelassen Einheiten findet sich in: /11/ Physikalisch Technische Bundesanstalt (PTB) [Hrg.]: Die gesetzlichen Einheiten in Deutschland, Faltblatt 01, Braunschweig, 01. ( 1 Das BIPM wurde am von 17 Staaten ins Leben gerufen, mittlerweile sind ihm 51 Staaten beigetreten. Aufgabe des Büros ist die weltweite Vereinheitlichung von Messungen. Hauptsitz des Büros ist Paris, die offizielle Sprache des BIPM ist französisch.

14 1 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Zum Aufbau elektrischer Schaltungen und zum Umgang mit Netzgeräten, Vielfachmessgeräten und Funktionsgeneratoren 1 Einleitung Studierende, die noch nie oder nur wenige Male selbstständig experimentiert haben, haben oftmals Schwierigkeiten bei der Umsetzung einer Schaltungsskizze oder eines Blockschaltbildes in eine reale elektrische Schaltung. Auch der Umgang mit Netzgeräten, Vielfach-Messgeräten und Funktionsgeneratoren bereitet ihnen anfänglich Probleme. Deshalb wird hier eine kurze Einführung gegeben. Zunächst werden die wichtigsten Funktionen der genannten Geräte erläutert. Im Laufe des Basispraktikums werden sie noch genauer behandelt. Anschließend werden einfache Schaltungsskizzen beschrieben und Fotos der zugehörigen realen Aufbauten gezeigt. Beim Aufbau einer der Schaltungen kommt ein Oszilloskop zum Einsatz, dessen Funktionsweise und Betrieb in einem separaten Praktikumstermin ausführlich behandelt wird. Details der Fotos lassen sich in der PDF-Version dieses Textes möglicherweise besser erkennen; siehe dazu Netzgeräte Für viele Versuchsaufbauten im Praktikum werden Gleichspannungen 1 (gelegentlich auch Gleichströme) mit unterschiedlichen Höhen und Vorzeichen benötigt, wie z. B V, - 1 V, + 5 V usw. Solche Spannungen können einem Netzgerät entnommen werden. Netzgeräte werden auch als Stromversorgung oder Spannungsversorgung bezeichnet. Abb. 1 zeigt ein Netzgerät der Fa. PHYWE, das im Grundpraktikum zum Einsatz kommt. Es handelt sich um ein Doppel-Netzgerät, da es über zwei separat einstellbare Ausgänge verfügt. Am linken Ausgang können Spannungen zwischen 0 V und 15 V eingestellt werden, der Strom kann dort maximal 5 A betragen. Am rechten Ausgang stehen Spannungen zwischen 0 V und 30 V zur Verfügung bei einem maximalen Strom von,5 A. Abb. 1: Netzgerät vom Typ PHYWE. An beiden Ausgängen (jeweils blaue und rote Buchse) ist eine Spannung von ca. 10 V eingestellt. Mit den Drehknöpfen können die Spannung U und der Strom I eingestellt bzw. begrenzt werden. In den meisten Fällen wird im Praktikum für den Betrieb eines Verbrauchers, z. B. eines Fotodetektors, eine bestimmte Spannung benötigt. Diese Spannung wird zunächst ohne angeschlossenen Verbraucher mit dem 1 Englisch DC voltage; DC bedeutet direct current (Gleichstrom). Englisch Power Supply.

15 13 Drehknopf unter der Spannungsanzeige (V) eingestellt. Der eingestellte Wert wird an der Spannungsanzeige überprüft. Anschließend wird der zum selben Ausgang des Netzgeräts gehörende Knopf zur Strombegrenzung an den rechten Anschlag gedreht. Dadurch wird erreicht, dass der später angeschlossene Verbraucher dem Netzgerät so viel Strom entnehmen kann, wie zu seinem Betrieb benötigt wird. Jeder Ausgang des Netzgeräts verfügt über zwei Anschlussbuchsen für gewöhnliche Laborkabel. Das Potential 3 an der blauen Buchse ist immer niedriger als das Potential an der roten Buchse. Vergleicht man den Ausgang des Netzgeräts mit einer Batterie, so entspricht die blaue Buchse dem Kontakt mit der Bezeichnung - und die rote Buchse dem Kontakt mit der Bezeichnung +. Das Vorzeichen der Spannung zwischen den beiden Anschlussbuchsen hängt ausschließlich vom gewählten Bezugspunkt ab. Nehmen wir an, am Ausgang des Netzgerätes sei eine Spannung (Potentialdifferenz) von 10 V eingestellt. Wählen wir die rote Buchse als Bezugspunkt, so ist das Potential an der blauen Buchse um 10 V niedriger. Von diesem Bezugspunkt aus betrachtet ist die Spannung also U = 10 V. Wählen wir dagegen die blaue Buchse als Bezugspunkt, so ist das Potential an der roten Buchse um 10 V höher. Von diesem Bezugspunkt aus betrachtet ist die Spannung also U = + 10 V. Abb. verdeutlicht die Zusammenhänge anhand der Spannungsmessung mit zwei als Voltmeter betriebenen Vielfachmessgeräten (weiteres zu Vielfachmessgeräten in Kap. 4). Abb. : Zum Vorzeichen der Spannung aus einem Netzgerät. An dessen linkem Ausgang ist eine Spannung von ca. 10 V eingestellt. Das linke Multimeter (Typ FLUKE) zeigt eine Spannung von 10,0 V an, das rechte eine Spannung von + 10,01 V 4. Ursache: der Bezugspunkt für die Spannungsmessung (schwarze Buchse COM am Multimeter) ist links mit der roten Buchse des Netzgerätes verbunden (an der das höhere Potential liegt), rechts mit der blauen Buchse (an der das niedrigere Potential liegt). Die gleichen Überlegungen gelten auch für eine Batterie. Eine Blockbatterie mit einer Spannung von 9 V kann demnach, je nach Bezugspunkt, eine Spannung von + 9 V oder - 9 V liefern. 3 Das (elektrische) Potential ist eine auf einen festen Bezugspunkt bezogene Spannung. Ein Bezugspunkt kann z.b. die Erde sein, gekennzeichnet mit den Symbolen oder. Hierbei handelt es sich um einen Anschluss (s. Netzgerät in Abb. ), der elektrisch leitend mit der Erde verbunden ist. Dies kann man z. B. erreichen, indem man einen elektrischen Leiter in die Erde eingräbt und über Kabel mit dem Anschluss verbindet. In Gebäuden findet die Erdung durch einen Fundamenterder statt, an den über eine Potentialausgleichsschiene u.a. der Schutzleiter der Stromversorgung angeschlossen ist. 4 Die Abweichungen der angezeigten Spannungsbeträge um 0,01 V werden durch die beschränkte Messgenauigkeit der Multimeter verursacht.

16 14 3 Funktionsgeneratoren Funktionsgeneratoren (FG) dienen der Erzeugung von Wechselspannungen 5 mit unterschiedlichen Formen, Amplituden und Frequenzen. Wahlweise können zu diesen Wechselspannungen Gleichspannungen hinzuaddiert werden, man spricht dann von einem DC-Offset. Die gängigste Signalform am Ausgang eines FG ist eine sinusförmige Wechselspannung U(t), die sich mathematisch wie folgt beschreiben lässt: (1) ( ) sin ( ω ) U t = U t + U Darin bedeuten: 0 DC 0 DC t : Zeit U : Amplitude π ω = π f = : Kreisfrequenz; f: Frequenz, T: Periodendauer T U : Gleichspannungsanteil (DC-Offset) Abb. 3 zeigt eine solche Wechselspannung zusammen mit anderen typischen Ausgangsspannungen von Funktionsgeneratoren. In Abb. 4 sind die Frontansichten von zwei im Basispraktikum eingesetzten Funktionsgeneratoren dargestellt. Über Schalter und Drehknöpfe werden die Form (Function: Sinus, Rechteck, Dreieck, Sägezahn), die Frequenz (Freq), die Amplitude (Ampl) und der Gleichspannungsanteil (DC-Offset) des Signals eingestellt. Auf weitere Einstellmöglichkeiten wird im späteren Verlauf des Praktikums eingegangen. Die Ausgabe des Signals erfolgt jeweils über die Buchse Output. Hierbei handelt es sich um eine -polige BNC-Buchse 6. Der Innenleiter einer solchen Buchse bildet den einen Pol, der äußere Kontakt den zweiten Pol (weiteres dazu in Kap. 5.). 5 Englisch AC voltage; AC bedeutet alternating current (Wechselstrom). 6 BNC ist ursprünglich ein Produktname der Fa. AMPHENOL und steht für Bayonet NEILL CONCELMAN

17 15 U (t) U 0 U (t) T t U DC t U (t) U (t) t t U (t) U (t) High t Low t Abb. 3: Typische Ausgangssignale von Funktionsgeneratoren. Oben links: sinusförmige Wechselspannung ohne DC-Offset. Oben rechts: dito mit DC-Offset. Mitte links: Dreieckspannung. Mitte rechts: Sägezahnspannung. Unten links: Rechteckspannung. Unten rechts: TTL-Signal 7. 7 TTL ist die Abkürzung für Transistor-Transistor-Logik. Ein TTL-Signal ist ein Logiksignal, das nur zwei Spannungswerte U annehmen kann: Low und High. Für ein Ausgangssignal eines Gerätes gilt: Zustand Low wenn 0 V U < 0,4 V, Zustand High wenn,4 V < U 5,0 V. Für ein Eingangssignal in ein Gerät gilt: Low wenn 0 V U < 0,8 V, High wenn,0 V < U 5,0 V. Hinweis: Das Signal an der Buchse TTL-OUT des FG TOELLNER 7401 entspricht dieser Norm nicht.

18 16 Abb. 4: Frontansichten von zwei im Praktikum eingesetzten Funktionsgeneratoren. Oben: AGILENT 3310A, unten: TOELLNER Beim FG TOELLNER ist die Frequenz f des Ausgangssignals das Produkt aus dem am Schalter FREQ RANGE eingestellten Wert (hier 100 Hz) und dem am Drehknopf FREQUENCY eingestellten Multiplikator (hier 1). Bei der dargestellten Einstellung ist also f = Hz = 100 Hz.

19 17 4 Vielfachmessgeräte Vielfachmessgeräte 8 (Abb. 5) können, wie der Name sagt, je nach Schalterstellung zur Messung verschiedener elektrischer Größen eingesetzt werden. Die wichtigsten davon sind (angegeben mit typischen Bezeichnungen auf den Wahlschaltern der Geräte): Gleichspannung: V, DC V Wechselspannung: V, AC V Gleichstrom: A, DC A Wechselstrom: A, AC A Widerstand: Ω Kapazität: Abb. 5: Frontansichten von sechs im Praktikum eingesetzten Multimetern. Oben v. l. n. r.: MONA- COR DMT-3010, ABB METRAWATT M01, FLUKE 11, AGILENT U151B. Mitte: KONTRON DMM 301. Unten: AGILENT 34405A. 8 Englisch: Multimeter. Diese Bezeichnung wird auch im Deutschen verwendet.

20 18 Bei Messung von Wechselspannungen oder Wechselströmen (AC-Messungen) zeigen die Messgeräte jeweils den Effektivwert (Index eff ) an. Der Effektivwert einer Wechselgröße ist derjenige Wert, den eine Gleichgröße haben müsste, um an einem ohmschen Verbraucher die gleiche elektrische Leistung umzusetzen. Für sinusförmige Signale ohne DC-Offset gilt folgender Zusammenhang zwischen Effektivwert und Amplitude (Index 0 ): () Ueff = T 1 1 U ( t) dt U0 T = 0 Ieff = T 1 1 I ( t) dt I0 T = 0 Die Spannung des Stromnetzes in Deutschland hat beispielsweise einen Effektivwert von U eff 30 V. Dieser Wert ist auf den Typenschildern von Elektrogeräten angegeben. 9 Die zugehörige Amplitude der Netzspannung ist also U0 U eff = 30 V 35 V Bei AC-Messungen erhält man nur für Signale mit Frequenzen innerhalb eines bestimmten Intervalls einen korrekten Messwert für den Effektivwert. Außerdem muss die Signalform (Sinus, Dreieck, Rechteck usw.) bei der Interpretation des Messwertes beachtet werden. Detaillierte Informationen dazu findet man in den Handbüchern der Geräte. Vor der Benutzung eines Vielfachmessgerätes muss die zu messende Größe am Wahlschalter eingestellt werden. Erst danach dürfen die Kabel mit den Eingangsbuchsen verbunden werden. Die Eingangsbuchse, deren Potential bei Spannungsmessungen das Bezugspotential bildet, wird je nach Hersteller unterschiedlich bezeichnet. Die gängigsten Bezeichnungen sind: Bezugspotential: COM, COMMON, LO, LOW, 0, Die Farbe dieser Buchse ist in der Regel schwarz. Die zweite Buchse, an die bei Spannungsmessungen das Vergleichspotential gelegt wird, trägt gelegentlich die Bezeichnungen: Vergleichspotential: HI, HIGH, + Häufig sind dort jedoch nur die Einheiten der zu messenden Größen angegeben, wie z. B.: V, Ω usw. Die Farbe dieser Buchse ist in der Regel rot. Für Strommessungen wird neben der COM-Buchse eine andere Buchse als für Spannungs- und Widerstandsmessungen benutzt. Diese Buchse, ebenfalls oftmals rot, trägt dann die Beschriftung: Strommessung: ma, A Für hohe Stromstärken bis z. B. 10 A gibt es oftmals separate Anschlussbuchsen. Bei den im Basispraktikum eingesetzten Multimetern handelt es sich um Digital-Multimeter. Diese Geräte bieten eine Anzeigegenauigkeit, die durch die Zahl der in der Anzeige vorhandenen Stellen (Digits 10 ) festgelegt ist. Die Stelle ganz links kann dabei üblicherweise nur eine 0 oder eine 1 anzeigen, man zählt sie 9 Häufig findet sich auf den Typenschildern noch der veraltete Wert von 0 V. 10 Digit (engl.) = Ziffer.

21 19 deshalb als halbe Stelle. Beispielsweise ist das Gerät vom Typ AGILENT U151B ein 4 ½-stelliges Multimeter, das vom Typ AGILENT 34405A ein 5 ½ -stelliges. Das bedeutet: Die erste Stelle kann nur 0 oder 1 anzeigen, die übrigen 4 oder 5 Stellen die Ziffern 0 9. Neben dem eigentlichen Messwert (Zahlenwert) erscheinen bei manchen Geräten weitere Angaben auf der Anzeige, wie z. B. die Einheit der gemessenen Größe (ma, A, mv, ), der Signaltyp (AC, DC), der Messbereich (100 mv, 100 Ω, ) usw. Bei Widerstandsmessungen liefert ein Multimeter intern einen konstanten Teststrom I T, der von der roten Buchse durch den zu messenden Widerstand zur schwarzen Buchse fließt. Durch interne Messung der Spannung U über dem Widerstand R ergibt sich dann der Anzeigewert zu R = U / I T. Der Teststrom muss möglichst klein sein, um eine Erwärmung des Widerstandes zu vermeiden. Einzelheiten zu Widerstandsmessungen werden im Versuch Messung ohmscher Widerstände behandelt. Bei Kapazitätsmessungen wird der Kondensator mit einem konstanten Ladestrom I L geladen. Durch Messung der Spannung U über dem Kondensator zu zwei Zeitpunkten t 1 und t kann die Kapazität C bestimmt werden. Einzelheiten zu Kapazitätsmessungen werden im Versuch Messung von Kapazitäten behandelt. 5 Exemplarische Schaltungen 5.1 Spannungsteiler Abb. 6 zeigt das Schaltbild eines Spannungsteilers mit den Widerständen R 1 und R, die an eine Gleichspannungsquelle (Netzgerät) mit der Klemmenspannung U angeschlossen sind. Die verwendeten Schaltsymbole werden in Kap. 6 erläutert. Mit einem Amperemeter A wird der Strom durch die Widerstände gemessen, mit dem Voltmeter V die Spannung über dem Widerstand R. Abb. 7 zeigt ein Foto des realen Aufbaus. Als Widerstände kommen Widerstandsdekaden zum Einsatz, an denen mit Hilfe von Schiebeschaltern die gewünschten Widerstandswerte eingestellt werden können (rechts R 1 = ( ) Ω, links R = 00 Ω; Genauigkeit jeweils ± 1 %). Zur Strom- und Spannungsmessung werden Multimeter eingesetzt. Die elektrische Verbindung zwischen den Geräten und Komponenten wird mit gewöhnlichen einadrigen Laborkabeln realisiert (blaue und rote Kabel in Abb. 7), die an ihren Enden mit Laborsteckern versehen sind. Die Geräte und Komponenten selber verfügen über Laborbuchsen, die zu diesen Laborsteckern passen. Ist U = 4,8 V die am Netzgerät eingestellte Spannung, so fließt durch die Widerstände ein Strom I von (3) I U 4,8 V = = 15,5 ma R + Ω ( ) Dieser Wert wird auf der Anzeige des Amperemeters erwartet. Tatsächlich zeigt das Amperemeter einen Wert von 15,38 ma an. Die Abweichung wird durch die eingeschränkte Genauigkeit der Widerstände aus der Widerstandsdekade, der Spannungseinstellung am Netzgerät und des Messgerätes selber verursacht. Die Spannung U teilt sich auf die Widerstände im Verhältnis U1 R1 110 Ω (4) = = = 0,55 U R 00 Ω auf. Mit (5) U = U1 + U

22 0 folgt dann durch Kombination von Gl. (4) und (5) für U : U 4,8 V (6) U = = 3,10 V R , 55 R Tatsächlich zeigt das Voltmeter einen Wert von 3,04 V an. Die Abweichung des Zahlenwertes ist wieder auf die eingeschränkten Genauigkeiten von R 1, R, U und des Messgerätes zurückzuführen. Das negative Vorzeichen rührt daher, dass die COM-Buchse des Messgerätes mit dem höheren Potential am Widerstand R (rote Leitung) verbunden ist. = U A R R 1 V Abb. 6: Blockschaltbild eines Spannungsteilers mit den Widerständen R 1 und R, Gleichspannungsquelle mit Klemmenspannung U, Voltmeter V und Amperemeter A. Abb. 7: Realer Aufbau der Schaltung nach Abb. 6. Am Netzgerät ist eine Spannung von ca. 4,8 V eingestellt. 5. Funktionsgenerator und Oszilloskop Abb. 8 zeigt ein Blockschaltbild mit einem Funktionsgenerator FG, der eine sinusförmige Wechselspannung U ~ mit einstellbarer Amplitude und Frequenz liefert (z. B. V, 1 khz). An den Ausgang des Funktionsgenerators wird ein Lastwiderstand R (z. B. 1 kω) gelegt. Die Ausgangsspannung des FG bei dieser Belastung wird mit einem Oszilloskop OS gemessen 11. Abb. 9 zeigt ein Foto des realen Aufbaus. Zur elektrischen Verbindung des Funktionsgenerators mit dem Oszilloskop (Abb. 11) und dem Widerstand (Widerstandsdekade) kommen in diesem Fall Koaxialkabel zum Einsatz, die im Laufe des Praktikums noch ausführlicher behandelt werden. Diese Kabel (Abb. 10) verfügen über einen Innenleiter und einen Außenleiter, es handelt sich also um zweiadrige Kabel. Zwischen Innen- und Außenleiter befindet sich ein Isolator, der Außenleiter ist von einem Kunststoffmantel umgeben. An den Enden der Kabel befinden sich BNC-Stecker. Der innere Stift des Steckers ist mit dem Innenleiter, der äußere Metallkörper mit dem Außenleiter des Kabels verbunden. Die Stecker werden mit einem Bajonettverschluss an die zugehörigen BNC-Buchsen von Geräten wie Funktionsgenerator oder Oszilloskop angeschlossen. 11 Einzelheiten zum Oszilloskop werden im Versuch Oszilloskop und Funktionsgenerator behandelt.

23 1 Um Komponenten wie z. B. Widerstandsdekaden an Koaxialkabel anschließen zu können, gibt es zwei Varianten. Entweder werden Kabel verwendet, die an einer Seite über einen BNC-Stecker und an der anderen Seite über zwei gewöhnliche Laborstecker verfügen (Abb. 9, Verbindung von FG und R), oder man benutzt ein geeignetes Adapterstück (Abb. 10). Mit Hilfe von BNC-T-Stücken (Abb. 10) kann ein Signal gleichzeitig an zwei Koaxialkabel gelegt werden (in Abb. 9 das Ausgangssignal des FG). FG U ~ R OS Abb. 8: Blockschaltbild eines Funktionsgenerators FG mit Ausgangs-Wechselspannung U ~, Lastwiderstand R und Oszilloskop OS zur Spannungsmessung. Abb. 9: Realer Aufbau der Schaltung nach Abb. 8. Mantel Isolierung Außenleiter (Geflecht) Innenleiter Abb. 10: Oben links: Koaxialkabel schematisch, oben rechts: Koaxialkabel mit BNC-Stecker, unten v. l. n. r.: T-Stück für Koaxialkabel mit BNC-Steckern, Verbindungsstück für Koaxialkabel mit BNC- Steckern, Adapterstück für den Übergang BNC-Stecker Laborbuchse.

24 Abb. 11: Frontansichten von zwei im Praktikum eingesetzten Oszilloskopen. Oben: Digital- Oszilloskop TEKTRONIX TDS 10, Unten: Digital-Oszilloskp TEKTRONIX TDS 101B.

25 3 6 Anhang Auswahl von Schaltsymbolen nach DIN EN 60617: V A Spannungsquelle Stromquelle Voltmeter Amperemeter Erde Masse Widerstand Kondensator Spule Leitungskreuzung mit Verbindung Leitungskreuzung ohne Verbindung Anschlussbuchse

26 4 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Mechanische Messwerkzeuge 1 Bügelmessschraube Eine Bügelmessschraube (Abb. 1) dient zur Messung des Außenmaßes eines Körpers mit einer Genauigkeit von 0,01 mm. Der Körper (blau in Abb. 1) wird zwischen den starren Amboss und die verschiebbare Messspindel positioniert. Die Messtrommel wird im Uhrzeigersinn gedreht, bis zwischen Messspindel und Körper noch ein kleiner Spalt besteht. Anschließend wird die Messspindel durch Drehen der Ratsche im Uhrzeigersinn weiter vorgeschoben, bis sie den Körper berührt. Die Ratsche sorgt dafür, dass die Messspindel nur mit einem definierten Drehmoment gegen den Körper gedrückt wird, um dessen Stauchung zwischen Amboss und Messspindel zu vermeiden (Prinzip des Drehmomentschlüssels). Die Ablesung des Messwertes ist in Abb. 1 erläutert 1. Abb. 1: Bügelmessschraube. Auf der Messhülse (Skalenstriche vertikal) wird der Messwert bis auf einen halben Millimeter genau abgelesen (untere Teilstriche: ganze Millimeter, obere Teilstriche: halbe Millimeter). Dies ist der Skalenwert, der links neben der Messtrommel gerade noch zu erkennen ist. Auf der Messtrommel (Skalenstriche horizontal) werden die hundertstel Millimeter abgelesen. Abgelesen wird der Wert, der auf der horizontalen Achse der Messhülse liegt. Gemessen wird in diesem Beispiel die Dicke des blauen Quaders. Der angezeigte Messwert beträgt 0, mm. Messschieber Ein Messschieber (Abb. ) dient zur Messung eines Außen-, Innen- oder Tiefenmaßes eines Körpers mit einer Genauigkeit von 0,1 mm oder 0,05 mm. Zur Messung eines Außenmaßes wird der Körper (blau in Abb. ) zwischen den starren linken und den beweglichen rechten Außenmessschenkel gehalten und der bewegliche Schenkel so weit nach links geschoben, bis beide Schenkel den Körper berühren. Zur Messung eines Innenmaßes wird der Körper zwischen die Innenmessschenkel gehalten und der bewegliche Schenkel so weit nach rechts geschoben, bis beide Schenkel den Körper berühren. Zur Messung eines Tiefenmaßes, z.b. der Tiefe eines Bohrloches, wird der bewegliche Schenkel so weit nach rechts geschoben, bis die Tiefenmessschiene auf den Boden der Bohrung aufstößt und die Messschiene auf dem Rand der Bohrung aufliegt. Die Ablesung des Messwertes ist in Abb. und Abb. 3 erläutert 3. 1 Siehe auch Abbildung nach 3 Siehe auch

27 5 Abb. : Messschieber zur Messung von Außenmaßen (Beispiel: blauer Quader), Innenmaßen und Tiefenmaßen. Auf der Messschiene werden die ganzen Millimeter abgelesen (nächster Skalenwert links neben der 0 des Nonius, hier 75 mm). Auf dem Nonius erfolgt die Ablesung des Nachkommawertes (Abb. 3). Abb. 3: Vergrößerte Darstellung des Nonius aus Abb.. Im abgebildeten Modell beträgt die Messgenauigkeit 0,05 mm. Zur Ablesung des Nachkommawertes wird der Teilstrich auf dem Nonius gesucht, der mit einem Teilstrich auf der Messschiene auf einer Linie liegt. Im Beispiel ist das bei 0,75 mm der Fall. Der zusammengesetzte Messwert für den blauen Quader aus Abb. beträgt demnach 75,75 mm.

28 6 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Einsatz der Computer im Basispraktikum Physik 1 Zum Umgang mit den Computern im Basispraktikum Die Computer im Basispraktikum können und sollen von den Studierenden für alle Aufgaben genutzt werden, die im Zusammenhang mit den Praktikumsversuchen stehen. Eine kurze Einführung in ihre Benutzung wird während des ersten Praktikumstermins gegeben. Studierenden ohne ausreichende Kenntnisse im Umgang mit Computern wird empfohlen, möglichst bald an entsprechenden Kursen teilzunehmen (Windows, Textverarbeitung (Word oder LaTeX), Tabellenkalkulation (Excel), Präsentation (Powerpoint), eine Programmiersprache). 1.1 Anmelden am Computer Die Computer im Basispraktikum (Betriebssystem Windows 7) sind Teil (Clients) der Windows- Domäne gpr. Zur Anmeldung ist die Angabe eines Benutzernamens, des zugehörigen Passworts und die Auswahl der Domäne erforderlich. Der Benutzername ist uwibnn, wobei nn für die Nummer der Praktikumsgruppe laut Veranstaltungsverzeichnis steht (01, 0, 03,...), also z. B. uwib01, uwib0,. Das Passwort wird vor Ort mitgeteilt. Der Domänenname ist gpr. 1. Arbeitsverzeichnis auf den PCs im Praktikum und im Hochschulnetz Auf den Computern steht nach dem Anmelden das Arbeitsverzeichnis (Laufwerk) O:\ zur Verfügung. Im Windows-Explorer (Dateimanager) erscheint dieses Arbeitsverzeichnis unter dem Eintrag uwibnn (\\gpr00.gpr.physik.uni-oldenburg.de\gprdaten$) (O:). Es handelt sich dabei um ein Verzeichnis auf dem Server gpr00 der Domäne gpr. Jedes er-team (also z. B. Müller und Meier) legt dort bei der ersten Anmeldung sein eigenes Unterverzeichnis an. Als Verzeichnisname werden die Nachnamen gewählt, also z. B. O:\Mueller_Meier. Eigene Daten dürfen nur in diesem persönlichen Verzeichnis gespeichert werden! In diesem Verzeichnis muss im Laufe des Semesters eine Struktur mit Unterordnern angelegt werden, in denen später die Daten zu einzelnen Versuchen abgelegt werden, also: o O:\Mueller_Meier o Uebungen_Origin o Oszilloskop o Fehlerrechnung o Widerstaende o Kapazitaeten o Vermeiden Sie Umlaute und Leerzeichen in den Namen von Ordnern und Dokumenten. Dadurch verhindern Sie, dass es zu Problemen kommt, wenn Sie auf ein anderes Betriebssystem wechseln. Alle Mitglieder einer Praktikumsgruppe nn haben im gesamten Verzeichnis O:\ die Berechtigung zum Lesen und Schreiben und damit auch zum Löschen von Daten. Dauerhafte Datensicherheit kann also nicht gewährleistet werden. Um persönliche Daten dauerhaft zu sichern, sollten sie deshalb auf einem eigenen USB-Speicherstick oder in einem persönlichen Verzeichnis im Hochschulnetz gespeichert werden. Ein

29 7 solches Verzeichnis wird von der Abteilung IT-Dienste 1 der Universität für alle Studierenden automatisch angelegt. Näheres dazu erfährt man bei der Abteilung IT-Dienste und über die Person, die die Computer im CIP-Raum des Instituts für Physik betreut. 1.3 Laufwerksverknüpfungen Nach dem Anmelden an einem PC im Basispraktikum stehen neben dem Arbeitsverzeichnis (O:) zwei weitere voreingestellte Laufwerksverknüpfungen zur Verfügung: P: Lexika$ (\\gpr00.gpr.physik.uni-oldenburg.de) Q: MatlabSkripte$ (\\gpr00.gpr.physik.uni-oldenburg.de) Unter P: finden sich Lexika und Handbücher, die durch Klick auf die Dateien index.html oder start.htm oder start.bat geöffnet werden können. Eine Liste der verfügbaren Lexika und Handbücher ist unter zu finden. Unter Q: sind Matlab-Skripte abgelegt, die im Laufe des Praktikums benötigt werden. Einzelheiten dazu sind den entsprechenden Versuchsanleitungen zu entnehmen. 1.4 Drucker im Praktikum Im Basispraktikum steht ein Netzwerkdrucker (HP LaserJet 4300 PS, schwarz/weiß) zur Verfügung. Der Drucker kann zum Ausdruck der Dokumente genutzt werden, die im Rahmen des Basispraktikums erstellt werden. 1.5 Verbindung mit dem Arbeitsverzeichnis O: vom CIP-Raum aus Wenn von einem PC im CIP-Raum aus auf das Arbeitsverzeichnis O: im Basispraktikum zugegriffen werden soll, muss dort beim ersten Mal eine Laufwerksverknüpfung zu O: hergestellt werden. Dazu wie folgt vorgehen (hier exemplarisch beschrieben für den Benutzernamen uwib01): Rechter Mausklick auf Start Windows Explorer Extras (obere Menüleiste 3 ) Netzwerklaufwerk verbinden. Alternativ: Rechtsklick auf Computer Netzwerklaufwerk verbinden. Im erscheinenden Fenster eintragen: o Laufwerk: O: o Pfad: \\gpr00.gpr.physik.uni-oldenburg.de\gprdaten$\uwib01 o Haken setzen unter Verbindung bei Anmeldung wieder herstellen o Haken setzen unter Verbindung mit anderen Anmeldeinformationen herstellen o Fertig stellen o Benutzername: gpr\uwib01 Passwort: s Haken setzen unter Anmeldedaten speichern 1 Im CIP-Raum des Instituts für Physik (W -49) stehen den Studierenden mehrere Computer zur Verfügung. Einzelheiten dazu unter 3 Sollte die Menüzeile nicht sichtbar sein: Organisieren Layout Menüleiste.

30 8 1.6 Verbindung mit dem Drucker im Praktikum vom CIP-Raum aus Um vom CIP-Raum aus den Drucker im Praktikum nutzen zu können, muss er am CIP-Arbeitsplatz einmal der Druckerliste hinzugefügt werden. Dazu sind folgende Schritte nötig (hier exemplarisch für den Nutzer uwib01): o o o o o o o Start Geräte und Drucker Drucker hinzufügen Einen Netzwerkdrucker hinzufügen Klick auf Der gesuchte Drucker ist nicht aufgeführt Haken setzen bei Freigegebene Drucker über den Namen auswählen Im Feld eintragen: \\gpr00.gpr.physik.uni-oldenburg.de\hp LaserJet 4300 PS (drei Leerzeichen im Druckernamen beachten!) Benutzername: gpr\uwib01 Passwort: s Schutz vor Computer-Viren Die Studierenden im Basispraktikum können für die Sicherung ihrer eigenen Daten USB-Speichersticks verwenden. Dabei ist sicherzustellen, dass keine Computer-Viren auf die PCs übertragen werden. Im Zweifelsfall muss der Datenträger vor Verwendung mit der Antivirensoftware Sophos überprüft werden. Auswahl der zur Verfügung stehenden Software Neben den Windows-Standardprogrammen sind übliche Programme zur Textverarbeitung (Word), zur Tabellenkalkulation (Excel), zur Präsentation (Powerpoint) und Internetbrowser (Firefox) auf den Computern im Basispraktikum verfügbar. Darüber hinaus stehen die Programme Origin und Matlab zur Verfügung. Sie sind für die Datenaufnahme, Datenanalyse und Datenvisualisierung sowie für allgemeine Funktionsberechnungen und Darstellungen von Funktionsgraphen besonders geeignet und im technisch-wissenschaftlichen Bereich weit verbreitet. Beide Programme sind auch auf den Computern im CIP- Raum des Instituts für Physik verfügbar. Eine Nutzung auf dem eigenen PC ist ebenfalls möglich. Informationen dazu finden sich hier: (Origin) (Matlab). Die folgenden Kurzanleitungen können und sollen keine Handbücher ersetzen, sondern lediglich Einstiegshinweise geben, die für die Lösung der jeweiligen exemplarischen Aufgaben ausreichend sind. Weitere Hinweise werden vor Ort gegeben. Bei den folgenden Beschreibungen wird vorausgesetzt, dass grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Windows-Programmen vorhanden sind.

31 9 3 Origin Das Programm Origin (Version 8G, SP 6) 4 wird im Praktikum eingesetzt, um Messdaten in Tabellen einzugeben, Berechnungen mit den Daten durchzuführen, grafische Darstellungen der Daten zu erzeugen, Parameter von Ausgleichsgeraden durch Messwerte zu berechnen (lineare Regression) und nichtlineare Funktionsfits durchzuführen. Die in Kap beschriebenen Punkte werden erst im späteren Verlauf des Praktikums benötigt. Es wird daher empfohlen, zu gegebener Zeit erneut einen Blick in diesen Text zu werfen Start von Origin, Grundeinstellungen Nach dem Start von Origin erscheint eine Bildschirmoberfläche ähnlich wie in Abb. 1 dargestellt. Die Anzahl und die Position geöffneter Fenster und Symbolleisten hängen von den persönlichen Einstellungen ab. Über Ansicht bzw. Ansicht Symbolleisten lassen sich die Einstellungen den individuellen Bedürfnissen anpassen. 6 In dem Startfenster erscheint, ähnlich wie beim Programm EXCEL, ein Fenster mit einem leeren Arbeitsblatt (Sheet1) einer Arbeitsmappe (Book1). In dieses Arbeitsblatt werden die Messdaten eingetragen, aus denen anschließend Diagramme erzeugt werden. Möglicherweise werden später weitere Arbeitsblätter und Diagramme, Notizen, Berechnungen usw. ergänzt. All diese Daten werden von Origin zu einem Projekt zusammengefasst, das als Ganzes in einer Datei mit der Endung.opj (origin project) abgespeichert wird: Datei Projekt speichern. Das in Abb. 1 unten dargestellte Fenster des Projekt-Explorers enthält eine Übersicht aller zu einem Projekt gehörenden Daten. Es lässt sich wie folgt sichtbar machen: Ansicht Projekt Explorer Die Lage und Größe des Fensters kann wie üblich eingestellt werden. Über das Menü Hilfe Sprache ändern Help Change Language bzw. kann zwischen der deutschen und englischen Sprachversion von Origin umgeschaltet werden. 4 Eine neuere Version Origin 016 ist bereits über die IT-Dienste erhältlich. Im Grundpraktikum wird die Umstellung erst zum WiSe 016/017 durchgeführt. 5 Weitere Unterlagen zu Origin (Getting Started, Tutorials, Help, ) finden sich im Download-Bereich der Seite 6 Die Lage einer Symbolleiste (oben, unten, seitlich) kann, wie bei Windows-Programmen üblich, verändert werden, indem die Symbolleiste bei gedrückter linker Maustaste an die gewünschte Position gezogen wird.

32 30 Abb. 1: Bildschirmoberfläche nach dem Starten des Programms Origin. 3. Einstellung des Dezimalzeichens Version 8 von Origin erlaubt die Umschaltung zwischen einer deutschen und englischen Sprachversion. Dadurch kann es zu Mehrdeutigkeiten bei der Interpretation des Dezimaltrennzeichens (Dezimalkomma bzw. Dezimalpunkt) kommen, die u.u. zu scheinbar unerklärlichen Fehlern führen. Um solche Probleme zu vermeiden, dürfen bei Verwendung von Origin nicht die Regions- und Sprachoptionen aus Windows übernommen werden, sondern es muss explizit der Dezimalpunkt als Trennzeichen eingestellt werden. Diese Einstellung erfolgt gem. Abb. über Hilfsmittel Optionen Zahlenformat Trennzeichen 1,000.0 Trennzeichen für ASCII-Import 1,000.0 Der Punkt in der Angabe 1,000.0 ist das Dezimaltrennzeichen, das Komma nur eine visuelle Hilfe zur Hervorhebung von Tausender-Blöcken (englische Notation). Abb. : Einstellung des Dezimalpunktes als Dezimaltrennzeichen.

33 Beispielaufgaben Kap widmet sich der linearen Regression. Es kann zunächst übersprungen werden. Es wird bei der Behandlung der Fehler- und Ausgleichsrechnung benötigt Grafische Darstellung von Messdaten Ziel: Eingabe von X-Werten (X), einem dazugehörigen Satz von Y-Werten (Y1), Fehlern zu diesen Y1-Werten (FY1) und einem zweiten Satz von Y-Werten (Y) zu denselben X-Werten. Anschließend grafische Darstellung dieser Werte inkl. Fehlerbalken für die Y1-Werte. (1) Nach dem Start von Origin erscheint die Oberfläche eines neuen Projektes (Abb. 1). Auf der Projektoberfläche ist ein Arbeitsblatt (Worksheet) der Arbeitsmappe Book1 geöffnet, in das die Daten eingegeben werden können (analog zu einer Excel-Tabelle). () Statt manueller Eingabe in das Arbeitsblatt können Daten auch aus Dateien mit fremden Formaten (Excel, ASCII,...) importiert oder per cut&paste eingefügt werden. (3) Die Arbeitsblatt-Tabelle hat zunächst Spalten 7 : A(X) und B(Y), wobei A und B die Bezeichnungen der Spalten sind und die Buchstaben in Klammern angeben, ob es sich um Abszissen-Werte (X) oder Ordinaten-Werte (Y) handelt. Weitere Spalten für die Fehlerangabe zu Y (FY1) und den zweiten Datensatz mit Y-Werten (Y) erhält man durch: Spalte Spalten hinzufügen. (4) Die Dateneingabe erfolgt unter Verwendung des Dezimalpunktes (s. Kap. 3.). In den gelb unterlegten Zellen der Zeile Langname wird die Beschriftung für die Daten der jeweiligen Spalte eingetragen. Abb. 3 (links) zeigt das Arbeitsblatt nach Eintrag der Daten. Abb. 3: Origin-Arbeitsblatt in der Arbeitsmappe Book1 nach Eintrag der Daten (links) und nach Festlegung des Datentyps in den Spalten (rechts). (5) Zur Erstellung eines Diagramms aus den eingegebenen Daten ist festzulegen, welche Spalte welchen Datentyp enthält. Dazu jeweils die gesamte Spalte markieren (Mausklick auf den Kopf der Spalte), dann rechter Mausklick, danach Setzen Als. Zur Auswahl stehen: Als X setzen Als Y setzen Y-Fehlerbalken X-Fehlerbalken. Durch diese Festlegung ändert sich die Spaltenbeschriftung gem. Abb. 3 (rechts): C(yEr±) 8 bedeutet z. B., dass in Spalte C Y-Fehlerwerte stehen. 7 englisch column, in Origin abgekürzt mit col. 8 Er von error (Fehler).

34 3 (6) Anschließend die Spalten mit den zu zeichnenden Daten markieren. Da hier alle Daten gezeichnet werden sollen, müssen alle Spalten markiert werden. Danach Zeichnen Symbol Punktdiagramm. Durch Wahl von Punktdiagramm werden nur Datenpunkte gezeichnet, ohne Verbindungslinien, die in der Regel physikalisch unsinnig sind. (7) Das Diagramm wird in ein neues Fenster (Graph1) gezeichnet, das damit zum aktiven Fenster wird. Dadurch ergeben sich z.t. andere Einstellungen in der Hauptmenüleiste (Abb. 4), als wenn das Arbeitsblatt das aktive Fenster ist (Abb. 1). (8) Die Symbole für die Datenpunkte lassen sich nach Doppelklick auf die Symbole ändern. Im sich öffnenden Fenster muss zunächst unter Gruppe Modus Bearbeiten der Wert Unabhängig eingestellt werden. Danach können unter Symbole diverse Eigenschaften (Größe, Form, Farbe) für die einzelnen Datensätze unabhängig voneinander eingestellt werden. Es wird empfohlen, möglichst offene statt gefüllter Symbole zu verwenden, da dadurch z. B. kleine Fehlerbalken besser erkannt werden können. (9) Alle Textfenster in einem Diagramm sind nach Anklicken frei verschiebbar. (10) Die Achsenbeschriftung, die Achsenskalierung, die Art der Achse (linear, logarithmisch,...), Gitterlinien usw. lassen sich über ein Fenster einstellen, das sich nach einem Doppelklick auf die entsprechende Achse öffnet. (11) Funktionsgraphen können einem Diagramm wie folgt hinzugefügt werden: Klick auf das Diagrammfenster, das dadurch zum aktiven Fenster wird. Dann Grafik Funktionsgraph hinzufügen. Im sich öffnenden Fenster kann die Funktion eingeben werden. Abb. 4: Origin-Fenster nach Zeichnen eines Diagramms (Graph1). Die Fehler zu den Y1-Werten (schwarze Kreise) werden als Fehlerbalken (rote Linien) dargestellt Berechnungen mit Tabellendaten Berechnungen mit den eingegebenen Daten können wie folgt durchgeführt werden: Arbeitsblatt durch Anklicken zum aktiven Fenster machen, dann eine leere Spalte (in den folgenden Beispielen C, D oder E) markieren, anschließend

35 33 Spalte Spaltenwerte errechnen In das nun erscheinende obere Textfenster (Abb. 5 links) wird die gewünschte Rechenoperation eingetragen. 1. Beispiel: In Spalte E soll das (elementweise) Produkt der Spalten A und B erscheinen. In das Textfenster trägt man demnach col(a)*col(b) ein (Abb. 5 links), anschließend OK.. Beispiel: In Spalte C soll der Sinus von der Differenz der Werte in den Spalten B und A erscheinen. Der Eintrag im Textfenster muss dann lauten: sin(col(b)-col(a)), OK. Abb. 5: Textfenster zum Eintrag von Rechenoperationen (links) und zusätzliches Skriptfenster (rechts, unten) zur Definition von Parametern. Häufig müssen Berechnungen durchgeführt werden, bei denen neben den Zahlenwerten aus einzelnen Spalten auch Zahlenwerte physikalischer Größen wie z.b. die Erdbeschleunigung g, ein Widerstand R, eine Kapazität C usw. benötigt werden. Dann ist es praktisch, wenn diese Zahlenwerte einmal definiert (festgelegt) werden können und für alle späteren Berechnungen innerhalb desselben Projektes zur Verfügung stehen. Solche Definitionen können in einem Skriptfenster vorgenommen werden. Dazu wird dieses Fenster zunächst durch Klick auf den nach unten gerichteten Doppelpfeil (Abb. 5 links, unten rechts) sichtbar gemacht. Danach trägt man im unteren Skriptfenster (Abb. 5 rechts) die gewünschten Definitionen ein. Jede Definition wird mit einem Semikolon und der Eingabetaste abgeschlossen. Dazu folgendes Beispiel: 3. Beispiel: In Spalte D soll die Differenz aus dem Produkt der Spalten A und B, dividiert durch Spalte C, und der Erdbeschleunigung g erscheinen, die im Skriptfenster mit g= definiert wird. Der Eintrag im Textfenster muss dann lauten: col(a)*col(b)/col(c) - g, OK Lineare Regression Eine lineare Regression ( linearer Fit ), d. h. die Berechnung einer Ausgleichsgeraden y = a + bx durch Datenpunkte, die in einem Diagramm dargestellt wurden, wird wie folgt durchgeführt: Klick auf das Diagrammfenster, das dadurch zum aktiven Fenster wird. Anschließend Klick auf einen Datenpunkt, der zu dem Datensatz gehört, für den eine Ausgleichsgerade berechnet werden soll (hier ein Punkt aus dem

36 34 Datensatz (X,Y1)). Danach Analyse Anpassen Linearer Fit 9. Es öffnet sich ein Fenster Lineare Anpassung, in dem eine Vielzahl von Parametern eingestellt werden kann. Nur die Wichtigsten werden hier erwähnt: (1) Der Wert im Fenster Neu berechnen sollte auf Auto gesetzt werden. Dadurch erfolgt eine automatische Neuberechnung aller Parameter der linearen Regression nach Änderung von Daten. () Im Feld Fit Optionen Fehler als Gewichtung Keine Gewichtung (vorerst). (3) Für eine Berechnung der Steigung b und des Ordinatenabschnitts a der Ausgleichsgeraden im Feld Fit Optionen keine Haken setzen. Hinweis: Für eine Berechnung nur der Steigung b der Ausgleichsgeraden (wenn der Ordinatenabschnitt a fest vorgegeben ist): Haken bei Fester Schnittpunkt mit der Y-Achse setzen, Ordinatenabschnitt a festlegen. Für eine Berechnung nur des Ordinatenabschnitts a der Ausgleichsgeraden (wenn also die Steigung der Geraden fest vorgegeben ist): Haken bei Feste Steigung setzen, Steigungswert b festlegen. (4) Im Feld Angepasstes Kurvendiagramm unter X-Datentyp Bereich die Einstellung Ausweiten auf gesamten Achsenbereich wählen. Die übrigen Einstellungen können beibehalten werden. (5) Nach Klick auf OK wird der lineare Fit durchgeführt. Im Diagrammfenster erscheinen die Ausgleichsgerade und eine Tabelle mit den Ergebnissen des linearen Fits (Abb. 6). Nach Doppelklick auf die Tabelle kann sie, wie üblich, den eigenen Bedürfnissen angepasst werden. Abb. 6: Origin-Diagrammfenster nach Durchführung eines linearen Fits durch die X/Y1-Wertepaare. (6) Nach Durchführung des linearen Fits werden in der Arbeitsmappe Book1 automatisch zwei weitere Arbeitsblätter ergänzt, in denen die Ergebnisse des linearen Fits (Blatt FitLinear1) und eine Wertetabelle zu der Ausgleichsgeraden (Blatt FitLinearCurves1) ausgegeben werden (Abb. 7). 9 Wenn bereits einmal ein linearer Fit durchgeführt wurde, muss gewählt werden, ob alte Einstellungen übernommen werden sollen, oder ob ein neues Dialogfenster geöffnet werden soll.

37 35 Abb. 7: Origin-Arbeitsmappe nach Durchführung eines linearen Fits. (7) Neben den Größen a und/oder b werden im Ergebnisfenster die Zahl N der für den Fit benutzten Datenpunkte (Wertepaare) und der Korrelationskoeffizient R ausgegeben. Die übrigen Parameter sind im Basispraktikum vorerst unbedeutend. Andere Verfahren zur Berechnung von Ausgleichskurven ( Fit ) durch Datenpunkte, z. B. nichtlineare Funktionsfits, wie sie unter Analyse Anpassen zur Verfügung stehen, werden im Basispraktikum erst später benötigt. Auf sie wird zu gegebener Zeit eingegangen Lineare Regression in logarithmischen Diagrammen Durch Logarithmierung lassen sich bestimmte nichtlineare Zusammenhänge linearisieren. Beispielsweise wird aus dem Exponentialzusammenhang y = ae bx durch Anwendung des natürlichen Logarithmus (Basis e) ln y= ln a+ bx Trägt man also in einem halblogarithmischen Diagramm y über x auf (Ordinate logarithmisch), so ergibt sich eine lineare Darstellung: eine Gerade mit der Steigung b und dem Ordinatenabschnitt ln a. Ebenso wird aus dem Potenzgesetz y= ax b durch Logarithmieren (Basis 10) log y = log a+ blog x Trägt man demnach in einem doppeltlogarithmischen Diagramm y über x auf (Ordinate und Abszisse logarithmisch), so ergibt sich ebenfalls eine lineare Darstellung: eine Gerade mit der Steigung b und dem Ordinatenabschnitt log a. Für eine lineare Regression durch derart linearisierte Daten muss unter Analyse Anpassen Linearer Fit unter Fit Optionen der Haken bei Scheinbarer Fit gesetzt werden. Der Fit erfolgt dann durch die linearisierten Daten, wie sie im Diagramm erscheinen.

38 36 4 Matlab Das Programm Matlab wird im Praktikum eingesetzt, um Zahlenwerte mathematischer Funktionen zu berechnen und grafisch darzustellen, Berechnungen mit vektoriellen Größen durchzuführen (z. B. beim Versuch Impuls- und Energieerhaltungssatz ) und Messdaten über geeignete Hardware in den Computer einzulesen und darzustellen. Dies stellt nur einen sehr bescheidenen Ausschnitt der vielfältigen Möglichkeiten dar, die Matlab bietet, der für die Arbeit im Basispraktikum jedoch zunächst ausreichend ist. 10 Die folgenden Bemerkungen sind wichtig, um die Lösung der Aufgabe aus Kap. 4.1 verstehen zu können. Matlab steht für matrix laboratory. Damit wird deutlich, dass Matlab ein Werkzeug zur Rechnung mit Matrizen (zur Matrizenalgebra) ist. Eine Matrix besteht aus m n Zahlen, die in einem zweidimensionalen Schema mit m Zeilen und n Spalten angeordnet sind; man spricht auch von einer (m,n) Matrix (Abb. 8). Im einfachsten Fall ist m = n = 1, die Matrix enthält dann nur ein Element und stellt somit nur eine einzelne Zahl (einen Skalar) dar. Im nächst einfachen Fall enthält die Matrix nur eine Zeile oder nur eine Spalte, sie stellt dann einen Zeilen- oder Spaltenvektor dar. a a b c a a b c b d e f c g h i Abb. 8: V. l. n. r: schematische Darstellung von Skalar, Zeilenvektor mit 3 Komponenten, Spaltenvektor mit 3 Komponenten, Matrix mit 3 3 Elementen. In einer Programmiersprache stellen üblicherweise z. B. A und B zwei Variablen dar, die jeweils eine Zahl repräsentieren und deren Produkt C = A B eine neue Zahl C ergibt. In Matlab dagegen stellen die Variablen A und B im Allgemeinen Matrizen dar, deren Produkt A B eine neue Matrix C ergibt. Sollen demnach z. B. zwei Zeilenvektoren A = [1 3] und B = [4 5 6] elementweise miteinander multipliziert werden, um den Zeilenvektor C = [ ] zu erzeugen, so darf man in Matlab nicht schreiben C = A B. Das ergäbe nach den Gesetzen der Matrizenalgebra auch keinen Sinn, denn es lassen sich nur Matrizen miteinander multiplizieren, bei denen die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten identisch ist. Für eine elementweise Multiplikation muss man vielmehr schreiben: C = A. B. Aus dem Operator wird also der Operator., wenn elementweise Multiplikation gemeint ist, die im genannten Beispiel zu dem Ergebnis C = [ ] führt. Analog dazu gibt es die Operatoren für die elementweise Division (./ ) und das elementweise Potenzieren (.^ ). Dazu ein einfaches Beispiel. Für die x-werte 1,, 3, 4 sollen die Funktionen y = sin( x) und y = xsin( x) 1 berechnet werden. Dazu schreibt man die x-werte zunächst in einen Zeilenvektor x. In Matlab-Syntax lautet der entsprechende Befehl: Mit Hilfe von x = [1,, 3, 4] y1 = sin(x) wird aus dem Zeilenvektor x der Zeilenvektor y1 berechnet, der vier Funktionswerte für die vier x-werte enthält: 10 Eine Kurzanleitung für Matlab ( Primer ) ist zu finden unter:

39 37 y1 = Für die Berechnung der Funktion y schreibt man: y = x.* y1 oder direkt y = x.* sin(x) Der Punkt vor dem Multiplikationszeichen (*) sorgt dafür, dass eine elementweise Multiplikation der Zeilenvektoren x und y1 bzw. x und sin(x) stattfindet und das Ergebnis einen neuen Zeilenvektor y mit ebenfalls vier Elementen ergibt: y = Alles Weitere im Umgang mit Matlab ist learning by doing, wie aus der Lösung der folgenden Aufgabe hoffentlich deutlich wird. 4.1 Exemplarische Aufgabe Zeichnen Sie ein Spannungssignal U als Funktion der Zeit t, das eine gedämpfte harmonische Schwingung darstellt: t ( ) sin ω ϕ e α (1) Ut = U ( t+ ) 0 mit der Amplitude U 0 = V, der Kreisfrequenz ω = π f, der Frequenz f = 0,5 Hz, der Anfangsphase ϕ = π/5 und der Dämpfungskonstanten α = 1/(4T) (T = π/ω ist die Periodendauer der Schwingung) im Zeitbereich zwischen t = 0 s und t = 15 s. 4. Hinweise zur Lösung (1) Starten des Programms durch Doppelklick auf das Matlab-Icon. () Nach dem Start erscheint ein Fenster gem. Abb. 9. Sollte das Startfenster anders aussehen, kann es durch Layout Default in die Form aus Abb. 9 gebracht werden. (3) Das Fenster enthält in der Mitte das Command Window, in das Matlab-Befehle direkt eingegeben werden können. Rechts oben erscheint das Fenster Workspace, in dem alle benutzen Variablen aufgelistet werden. In dem darunter liegenden Fenster Command History erscheinen alle Befehle, die in das Command Windows eingegeben wurden. Das linke Fenster Current Folder zeigt den Inhalt des aktuellen Arbeitsverzeichnisses an, das in der Pfad-Zeile ausgewählt wurde. (4) Statt Matlab-Befehle direkt in das Command Window einzugeben, ist es praktischer, sie zunächst in eine Textdatei, das so genannte m-file (oder Matlab-Script-File, Endung.m ) zu schreiben. Durch New Script öffnet sich das Fenster des Matlab Editors, in das die Befehle zur Lösung der Aufgabe eingetragen werden können. Abb. 10 zeigt das Editor-Fenster mit diesen Befehlen und zusätzlichen Kommentaren. (5) Nach Ende der Eingabe erfolgt ein Klick auf das Symbol (Save and Run) in der "Toolbar-Zeile" des Editor-Fensters. Das m-file wird dadurch zunächst unter einem einzugebenden Namen, z. B. O:\Mueller_Meier\Uebungen_Matlab\Gedaempfte_Schwingung.m gespeichert. Anschließend werden die Befehle aus dem Script-File Gedaempfte_Schwingung.m nacheinander ausgeführt. In diesem Beispiel wird die gesuchte Funktion berechnet und in einem separaten Fenster Figure 1 grafisch dargestellt (Abb. 11).

40 38 Abb. 9: Bildschirmoberfläche nach Starten des Programms Matlab. Abb. 10: Matlab Editor Fenster mit Befehlen für das Berechnen und Zeichnen der Funktion aus Gl. (1).

41 39 Abb. 11: Grafische Darstellung der Funktion aus Gl. (1) im Figure Fenster. Auf die kursive Darstellung der physikalischen Größen U und t wird in diesem Beispiel verzichtet.

42 40 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Fehler- und Ausgleichsrechnung Stichworte: Messgröße, Messwert, Messergebnis, Messunsicherheit, systematische und zufällige Fehler, absolute und relative Fehler, Häufigkeitsverteilung, Dichtefunktion, Gaußkurve, Mittelwert, Standardabweichung, Varianz, mittlerer quadratischer Fehler, Größtfehler, Fehlerfortpflanzungsgesetz, lineare Regression. Literatur: /1/ BIPM 1 : Evaluation of measurement data Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM), // DIN : Grundlagen der Messtechnik - Teil 3: Auswertung von Messungen einer einzelnen Messgröße, Messunsicherheit, 1996 /3/ DIN : Grundlagen der Messtechnik - Teil 4: Auswertung von Messungen, Messunsicherheit, 1999 /4/ NIST 3 Technical Note 197: Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results, 1994 ( /5/ TAYLOR, J. R.: Fehleranalyse, VCH Verlagsgesellschaft mbh, Weinheim /6/ YOUNG, H. D.: Statistical Treatment of Experimental Data, McGraw-Hill, New York u.a. 1 Einleitung In einem Hörsaal wird ein Experiment zur Bestimmung der Erdbeschleunigung g durchgeführt. Eine Kugel wird in einem Magnethalter gehalten. Nach dem Einschalten des Magneten fällt die Kugel und trifft auf eine Plattform. Für das Durchfallen der Strecke s benötigt sie die Zeit t. Durch Messung der Messgrößen s und t lässt sich die Messgröße g bestimmen: s (1) g = t Die Apparatur sei so gebaut, dass beim Loslassen der Kugel und beim Auftreffen auf die Plattform jeweils ein Lichtblitz ausgelöst wird. Der Zeit t zwischen den beiden Lichtblitzen wird von den Studierenden im Hörsaal mit einer Stoppuhr gemessen. Niemand wird erwarten, dass alle die gleiche Zeit messen. Die einzelnen Messwerte werden voneinander abweichen. Das liegt zum einen an der individuellen Reaktionsfähigkeit der Studierenden, zum anderen an Gang- oder Kalibrierunterschieden zwischen den einzelnen Stoppuhren. Ebenso kommt es zu unterschiedlichen Messwerten, wenn mehrere Personen die Strecke s messen, denn das Anlegen und Ablesen des Maßstabs wird individuell unterschiedlich sein. Hinzu kommt, dass der Maßstab selbst nur eine begrenzte Kalibriergenauigkeit aufweist. Daraus ergeben sich folgende Fragen: 1 BIPM: Bureau International des Poids et Mesures DIN: Deutsches Institut für Normung e.v. 3 NIST: National Institute of Standards and Technology des United States Department of Commerce - Technology Administration.

43 41 (1) Welche Werte sollen für s und t zur Berechnung von g in Gl. (1) eingesetzt werden? () Wie berücksichtigt man die Tatsache, dass die einzelnen Messwerte für s und t voneinander abweichen und dass die Messgeräte nur über eine begrenzte Genauigkeit verfügen? (3) Wie verlässlich ist der Wert für g, den man aus den Messwerten errechnet? Die Antworten auf diese Fragen lauten: Zu (1): Aus den einzelnen Messwerten muss nach festgelegten Regeln jeweils ein Messergebnis für s und t ausgerechnet werden. Die Messergebnisse für s und t werden in Gl. (1) eingesetzt und liefern ein Messergebnis für g. Zu (): Zu den Messergebnissen für s und t müssen nach festgelegten Regeln Messunsicherheiten ausgerechnet werden. Diese Messunsicherheiten liefern ein statistisches Maß für die Abweichungen der einzelnen Messwerte voneinander. Sie sind so bemessen, dass eine weitere Messung von s oder t mit einer definierten Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis liefert, das jeweils innerhalb des Intervalls Messergebnis ± Messunsicherheit liegt. Zu (3): Aus den Messergebnissen und Messunsicherheiten für s und t muss nach festgelegten Regeln eine Messunsicherheit für g ausgerechnet werden. Eine weitere Messung von g nach dem gleichen Messverfahren wird dann mit einer definierten Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis liefern, das innerhalb des Intervalls Messergebnis ± Messunsicherheit liegt. Beide Größen zusammen bilden schließlich das vollständige Messergebnis für die Messung der Größe g. Die oben erwähnten Regeln haben internationale Gültigkeit. Sie sind für alle denkbaren Anwendungen in etlichen Normen und Anleitungen sehr ausführlich beschrieben (siehe z.b. /1/ - /4/). Darüber hinaus gibt es eine Reihe von umfangreichen Büchern, die sich diesem Thema widmen (z.b. /5/und /6/). Es würde den Rahmen dieser Anleitung sprengen, wenn diese Regeln hier im Detail wieder gegeben würden. Wir werden uns deshalb darauf beschränken, einige Grundlagen darzustellen und das Handwerkszeug bereitzustellen, das im Praktikum für die Berechnung von Messergebnissen und Messunsicherheiten benötigt wird. Direkte und indirekte Messung Im betrachteten Beispiel lassen sich die Messgrößen s und t direkt messen, nämlich mit einem Maßstab und einer Stoppuhr. Man spricht in einem solchen Fall von einem direkten Messverfahren. Die Messgröße g wird in dem Beispiel indirekt gemessen, nämlich über den Umweg der Messung von s und t, aus deren Messergebnissen ein Messergebnis für g gewonnen wird. In einem solchen Fall spricht man von einem indirekten Messverfahren. 3 Hinweis zur Nomenklatur Nach // soll im Kontext der Messung einer Messgröße von Messergebnis und Messunsicherheit gesprochen werden. Im physikalischen Alltag hat sich dies jedoch bislang wenig durchgesetzt. Vielmehr wird statt des Begriffs Messunsicherheit vielfach der Begriff Fehler verwendet. Deshalb ist auch eher von Fehlerrechnung die Rede, als von Berechnung von Messunsicherheiten. Oder von Fehlerbalken statt von Balken der Messunsicherheit. Wir werden in diesem Text beide Begriffe, Fehler und Messunsicherheit, verwenden.

44 4 4 Mögliche Fehlerarten 4.1 Systematische Fehler Systematische Fehler entstehen bei einer Messung z.b. durch unvollkommene Messgeräte, durch unvermeidbare Umwelteinflüsse auf die Messung oder auch durch Wahl eines ungeeigneten Messverfahrens. Wir wollen dies an einigen Beispielen aus dem Praktikum verdeutlichen: (1) Unvollkommene Messgeräte: Hierzu zählen z.b. ein Oszilloskop mit dejustierter Zeitablenkeinheit, ein Vielfachmessgerät mit Nullpunktfehler, eine dejustierte elektronische Waage, usw. Das Unangenehme an diesen Mängeln ist, dass man sie zum Teil während der Messung nicht erkennt. Im Gegenteil: der abgelesene Messwert (z.b. 7,5 µs, 147 Ω, 5,389 g) täuscht die Genauigkeit vor, die man von Geräten dieses Typs erwartet. Es besteht also eigentlich kein Grund, das Ergebnis zu bezweifeln. () Einfluss der Umwelt: Ein Beispiel dafür ist die Temperaturabhängigkeit von Messgeräten. In der Regel sind diese Abhängigkeiten quantitativ bekannt. Man kann sie dann den Gerätehandbüchern entnehmen und bei der Auswertung der Messung berücksichtigen. (3) Ungeeignete Messverfahren: Wenn man die Masse eines Magneten mit einer elektronischen Waage bestimmen will, merkt man schnell, dass das Messergebnis offensichtlich unsinnig ist. Da das Magnetfeld auf die Mechanik der Waage einwirkt, ist das Messverfahren ungeeignet; man muss eine andere Waage benutzen. Erheblich schwieriger ist es beispielsweise zu beurteilen, ob der innerhalb einer elektrischen Schaltung gemessene Strom in unzulässiger Weise durch die Beschaltung und den Innenwiderstand des Messgeräts beeinflusst wird. Hier sieht man dem Messergebnis nicht auf den ersten Blick an, ob es richtig oder falsch ist. Man kann sich also i.allg. nicht darauf verlassen, dass man schon merkt, wenn man das falsche Messverfahren einsetzt. Vielmehr muss bereits bei der Planung des Experiments gründlich überlegt werden, welches Messverfahren geeignet ist. Systematische Fehler lassen sich niemals völlig ausschließen. Sie beeinflussen das Messergebnis in einer ganz bestimmten Art und Weise - hinter den Fehlern steckt System. Das bedeutet insbesondere, dass man den Einfluss dieser Fehler auf das Messergebnis auch durch häufige Wiederholung der Messung nicht verringern kann. Ist jedoch das Ausmaß des systematischen Fehlers bekannt (z.b. der Nullpunktfehler eines Ohmmeters, der Temperaturgang eines Verstärkers oder der Kalibrierfehler eines Drucksensors), kann man ihn bei der Angabe des Messergebnisses berücksichtigen. 4. Zufällige Fehler Zufällige Fehler beeinflussen das Ergebnis einer Messung auf eine unvorhersehbare und unkontrollierbare, eben auf rein zufällige Art und Weise. Ursachen für zufällige Fehler, wie sie im Praktikum auftreten, können z.b. sein: (1) Die Zufälligkeit, mit der ein Naturprozess abläuft, wie z.b. der radioaktive Zerfall oder die Emission von Photonen aus einer Lichtquelle. Sie führt z.b. dazu, dass die während einer Messzeit t gemessene Anzahl von Ereignissen zufällig schwankt. () Die Stoppuhr, die je nach Reaktionszeit mal zu früh, mal zu spät gedrückt wird. (3) Der Maßstab oder der Messschieber, an dem mal ein zu großer, mal ein zu kleiner Wert abgelesen wird. (4) Das elektronische Rauschen eines Messverstärkers, das zu Schwankungen der Ausgangsspannung führt. Zufällige Fehler führen immer dazu, dass das Messergebnis mal in der einen, mal in der anderen Richtung vom wahren Wert abweicht (zum Begriff des wahren Wertes siehe Kap. 5). Wird die Messung mehrmals wiederholt, halten sich die Abweichungen in beiden Richtungen die Waage. Wäre das nicht der Fall, so wären die beobachteten Fehler nicht rein zufällig. Die Konsequenzen aus dieser Aussage lassen sich so zusammenfassen: liegen keine Erfahrungen mit einem bestimmten Messverfahren vor, so sagt ein einziger Messwert im Prinzip gar nichts aus. Der Messwert

45 43 kann zufällig mehr oder weniger stark nach oben oder unten vom wahren Wert abweichen. Erst durch häufige Wiederholung der Messung oder aufgrund zurückliegender Erfahrungen mit dem Messverfahren bekommt man ein Gefühl dafür, um welchen Wert herum einzelne Messwerte schwanken und man kann beurteilen, welche Aussagekraft in einem solchen Messwert steckt. In den nächsten Kapiteln werden diese Zusammenhänge quantitativ mit Hilfe von Formeln beschrieben. 5 Die Häufigkeitsverteilung von Messwerten Wir wollen annehmen, dass eine Messgröße, etwa die Zeit t, die ein Körper braucht, um von A nach B zu gelangen, N-mal gemessen wurde 4. Es liegen also N Messwerte vor, die nach den Gesetzen des Zufalls voneinander abweichen. Die Frage ist: welche dieser Messwerte kommen dem wahren Wert am nächsten? Um diese Frage zu beantworten, muss man untersuchen, ob bestimmte Messwerte deutlich häufiger vorkommen als andere, und wenn ja welche. Denn man darf mit Recht erwarten, dass es diese häufigsten, d.h. wahrscheinlichsten Messwerte sind, die dem wahren Wert am nächsten kommen. Man teilt deshalb die N Messwerte, die im Bereich zwischen t min und t max liegen, in j Klassen mit der Klassenbreite t ein und ordnet der Klasse i (i = 1,,..., j) den Messwertbereich () ( 1) t + i t t < t + i t min min zu 5. Jeder Klasse i wird eine Zeit t i zugeordnet, die der Mitte des jeweiligen Zeitintervalls entspricht. Nun wird für jede Klasse i die Zahl der Messwerte pro t, n(t i), die in dieser Klasse liegen, in Form eines Balkens über der zugehörigen Zeit t i aufgetragen. Man erhält auf diese Weise ein Balkendiagramm, dem man entnehmen kann, wie häufig die einzelnen Messwerte vorgekommen sind (Abb. 1). Abb. 1: Häufigkeitskurve von Messwerten. Die Breite eines Zeitintervalls (Balkens) ist t. Abb. : Häufigkeitskurve (Dichtefunktion) der Gauß- oder Normalverteilung (Gaußkurve). Die Einhüllende dieses Diagramms, n(t i), heißt Häufigkeitskurve der Messwerte. Entsprechend ihrer Definition ist der Flächeninhalt unter der Häufigkeitskurve immer gleich der Gesamtzahl der Messwerte N. Frage 1: 4 Die folgenden Überlegungen gelten gleichermaßen für jede physikalische Messgröße. Die Größe t (Zeit) dient hier nur als Beispiel. 5 Dazu ein Beispiel: Die Messwerte mögen im Bereich zwischen t min = 0,4 s und t max =,3 s liegen, die Ablesegenauigkeit der Uhr betrage 0,1 s. Die Messwerte werden daher in insgesamt j = (,3-0,4)/0,1 = 19 Klassen eingeteilt, die jeweils ein Zeitintervall von t = 0,1 s Breite repräsentieren.

46 44 - Welche Einheit hat die Größe n(t i) im gewählten Beispiel? Wie lautet die (sehr einfache!) Beziehung zwischen der Messwerthäufigkeit pro t, n(t i), und der Zahl der Messwerte in einer Klasse, m(t i)? - Wie lautet die Gleichung zur Berechnung von N aus der Häufigkeitskurve n(t i)? Die Erfahrung lehrt, und die auf CARL FRIEDRICH GAUß (Abb. 3) zurückgehende Theorie kann das begründen, dass für N und t 0 (und damit t i t) die Häufigkeitskurve n(t) für Messwerte, die unabhängig voneinander gewonnen wurden und die mit zufälligen Fehlern behaftet sind, eine ganz charakteristische Form hat: Die Form einer Gaußschen Glockenkurve oder kurz Gaußkurve (Abb. ). Man spricht dann auch davon, dass die Messwerte gaußverteilt oder normalverteilt seien. Abb. 3: CARL FRIEDRICH GAUß ( ) 6 Der Flächeninhalt unter der Gaußkurve ist wiederum gleich der Gesamtzahl der Messwerte N. Es ist jedoch üblich, ihn auf den Wert 1 zu normieren. Wie weiter unten noch erläutert wird, bringt man damit zum Ausdruck, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Messwert im gesamten Wertebereich von - bis + zu finden, gleich 1 ist 7. Der Verlauf der auf den Flächeninhalt 1 normierten Gaußkurve ist gegeben durch: (3) ( t t ) 1 = σ mit nt ( )dt 1 nt () e σ π = wobei t der Mittelwert und σ die Standardabweichung der Gaußkurve ist. Das Quadrat der Standardabweichung, σ, heißt Varianz. An den Stellen t = t ± σ hat die Gaußkurve ihre Wendepunkte. Die Größen t und σ haben große praktische Bedeutung: - Der Mittelwert t ist der Wert, bei dem n(t) ein Maximum hat. Dieser Wert würde also bei einer Messreihe mit unendlich vielen Einzelmessungen am häufigsten vorkommen. Er stellt somit das wahrscheinlichste Ergebnis der Messung dar. Mit anderen Worten: eine Messreihe liefert nie einen wahren, sondern immer nur einen wahrscheinlichsten Wert. 6 Bildquelle: GELLERT, W. et al. [Eds.]: Kleine Enzyklopädie Mathematik, VEB Bibliographisches Institut, Leipzig, Im betrachteten Beispiel ist die Zeit t die Messgröße, deren realer Wertebereich nur im Intervall 0 t liegen kann. Formal gesehen erscheint es dann falsch oder mindestens unsinnig, den Wertebereich bis nach - auszudehnen. Jedoch ist in der Praxis der Anteil des Integrals aus Gl. (3) im Bereich - t < 0 so klein ( 0), dass er vernachlässigt werden kann. Deshalb werden aus Gründen der mathematischen Vereinfachung die Grenzen des Wertebereiches auf ± festgelegt.

47 45 - Die Standardabweichung σ ist ein Maß für die Streuung der Messwerte um den Mittelwert t. Je größer die Streuung, je größer also σ, desto breiter wird die Häufigkeitskurve (bei gleich bleibendem Flächeninhalt), umso weniger deutlich hebt sich also ein Messwert von den übrigen ab. Frage : - Berechnen und zeichnen Sie mit Hilfe von Matlab n(t) gem. Gl. (3) im Zeitintervall 11,5 s t 13,5 s für t = 1,5 s sowie a) σ = 0,1 s und b) σ = 0, s. Stellen Sie beide Kurven in einem Diagramm dar (Matlab-Befehl hold on). Gl. (3) lautet in Matlab-Notation: n = (1/(sigma*sqrt(*pi)))*exp(- ((t - t_quer).^)/(*sigma^)) Wir wollen nun so tun, als ob wir unser Experiment so durchgeführt hätten, dass die Bedingungen N und t 0 annähernd erfüllt waren, dass also die Häufigkeitskurve für die Messwerte näherungsweise durch eine Gaußkurve gem. Gl. (3) gegeben ist. Dann kann man durch Integration von n(t) ausrechnen (man muss also nicht zählen!), wie viele Messwerte z.b. in dem Zeitintervall [ t σ, t + σ], also im Bereich t ± σ liegen: Wir wissen, dass alle N Messwerte im Zeitintervall [-, + ] liegen müssen. Aufgrund der Normierung des Flächeninhalts unter der Gaußkurve auf den Wert 1 (s. Gl. (3)) bedeutet das: (4) nt ( )dt = 1 N 100% aller Messwerte, Für das gesuchte Intervall [ t - σ, t + σ] ergibt sich: (5) ( t t ) t + t + 1 σ ( )d e d 0, 683 0, ,3% t σ nt t= t N σ σσ π t σ aller Messwerte. Wer dies nachrechnen möchte, sei gewarnt: das Integral über die Gaußkurve gem. Gl. (3) lässt sich nicht analytisch, sondern nur numerisch lösen! Es ist in Tabelle (Kap. 11.5) angegeben. Ist also die Häufigkeitskurve der Messwerte durch eine Gaußkurve gegeben (wovon wir in der Praxis fast immer ausgehen werden), so liegen immer rund 68,3 % aller Messwerte im Bereich t ± σ (Abb. 4). Für den Bereich t ± σ erhält man immer einen Wert von rund 95,5 % (Abb. 4), für den Bereich t ± 3σ immer einen Wert von rund 99,7 %. Im Laborjargon heißt es dann häufig: 68 % aller Messwerte liegen im 1σ-Bereich um den Mittelwert, 95 % im σ-bereich und 99 % im 3σ-Bereich. In der Praxis lassen sich die Bedingungen N und t 0 natürlich nicht einhalten. Dadurch wird der Bereich größer, in dem z.b. 68,3 % aller Messwerte liegen. t ± σ ist in diesem Fall durch t ± pσ zu ersetzen, wobei der Wert der Größe p 1 von N abhängt und sich mit Hilfe der Statistik berechnen lässt (z.b. p = 1,3 für N = 3, p = 1,15 für N = 5, p = 1,06 für N = 10 und p 1 für N ). Für die Auswertung von Messungen im Praktikum werden wir das jedoch nicht berücksichtigen.

48 46 Abb. 4: Flächenanteile unter einer Gaußkurve mit der auf 1 normierten Gesamtfläche. Oben: Flächenanteil im Bereich t ± σ, unten: Flächenanteil im Bereich t ± σ. 6 Mittelwert und Standardabweichung Im vorigen Kapitel wurde erläutert, dass man unter den dort genannten Annahmen über das Ergebnis einer einzelnen Messung (einen Messwert) aus einer Messreihe folgende Aussage machen kann: Das Ergebnis einer Einzelmessung liegt mit ca. 68 % Wahrscheinlichkeit im Bereich t ± σ. Für die Praxis stellt sich nun die Frage, wie man t und σ ermittelt. Da man im realen Experiment weder die Bedingung N noch die Bedingung t 0 einhalten kann, muss man herausfinden, wie man aus nur endlich vielen Messwerten (einer so genannten Stichprobe) die besten Schätzwerte, kurz: die Bestwerte, für t und σ ausrechnet. Wir verzichten auf die theoretische Herleitung zur Berechnung der Bestwerte und geben im Folgenden nur die Ergebnisse an. 6.1 Mittelwert Wird eine Messgröße, etwa die Zeit t, N-mal gemessen, so ist der Bestwert für den Mittelwert t, der sich im Falle N ergeben würde, das arithmetische Mittel der Messwerte t i: (6) t 1 N t N i i = 1 = 6. Standardabweichung der Einzelmessung Als Bestwert für die Standardabweichung σ der Einzelmessung ergibt sich: N 1 σ = ti t N 1 i= 1 (7) ( )

49 47 Dies lässt sich plausibel machen: Die Standardabweichung der Einzelmessung stellt ein Maß für die Streuung der Messwerte t i um den Mittelwert t dar. Die Abweichung 8 eines einzelnen Messwertes t i von t ist durch die Differenz t i t gegeben (siehe Abb. 5). Würde man das arithmetische Mittel dieser Differenzen als Maß für die Streuung ansetzen, so würde sich hierfür als direkte Folge aus der Definition des Mittelwertes immer ein Wert Null ergeben, da sich positive und negative Differenzen gegenseitig aufheben. Die Information über die vorhandene Streuung der Messwerte ginge also verloren. Um das zu verhindern, werden die Differenzen zunächst quadriert: ( t t ) i Dadurch werden alle Größen positiv. Danach wird das arithmetische Mittel dieser Quadrate gebildet und schließlich daraus die Wurzel gezogen. Die Tatsache, dass bei Bildung des arithmetischen Mittels nicht durch N, sondern durch N - 1 geteilt wird, lässt sich aus einer detaillierten statistischen Analyse begründen, die insbesondere auf die Unterschiede zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit eingeht. Wir wollen dies hier jedoch nicht weiter vertiefen, zumal für großes N die Abweichung zwischen 1/N und 1/(N - 1) nur winzig ist t 5 - t > 0 t i / s t 15 - t < 0 t Abb. 5: Zur Veranschaulichung der Standardabweichung. Aufgetragen sind 3 Messwerte t i der Zeit t über der Nummer der Messung i. t ist der Mittelwert der t i. Für i = 5 und i = 15 sind die Abweichungen zwischen t i und t exemplarisch eingezeichnet. Die Standardabweichung σ der Einzelmessung wird auch als Fehler (Unsicherheit) der Einzelmessung oder gem. Gl. (7) als mittlerer quadratischer Fehler (engl. rms error, rms = root-mean-square) bezeichnet. 6.3 Standardabweichung des Mittelwertes In der Praxis ist die Standardabweichung σ der Einzelmessung oftmals nicht die wesentliche Größe. Es interessiert nämlich nicht so sehr, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein einzelner Messwert im Bereich t ± σ liegt. Viel wichtiger ist die Frage, wie verlässlich bzw. reproduzierbar der Mittelwert t ist, der mit einer Messreihe gefunden wurde und der das Messergebnis einer Messung darstellt. Anders ausgedrückt: mit welcher Wahrscheinlichkeit würde das Messergebnis einer weiteren Messreihe, also ein zweiter Mittel- i 8 nach // heißt diese Größe Messabweichung.

50 48 wert, in einem vorgegebenen Intervall um den ersten herum liegen? Um diese Frage beantworten zu können, benötigt man analog zur Standardabweichung der Einzelmessung eine Angabe über die Standardabweichung des Mittelwertes σ. t Nehmen wir an, wir haben eine Messreihe mit N Messwerten insgesamt M-mal wiederholt, so dass anschließend M Mittelwerte t vorliegen (j = 1,,..., M). Man kann nun zeigen, dass für M die Häufigkeitskurve dieser Mittelwerte der Messreihen wieder eine Gaußkurve ist mit der Standardabweichung σ j t. In der Praxis wird man die Messreihe nicht M-mal wiederholen wollen, um die Standardabweichung des Mittelwertes, σ t, zu ermitteln. Vielmehr ist es das Ziel, aus einer Messreihe mit N Messwerten den Bestwert für σ zu ermitteln. Dieser ergibt sich zu: t N σ 1 σ t = = ti t N N( N 1) i= 1 (8) ( ) Damit kann man über den Mittelwert t dieser einen Messreihe, der das Messergebnis darstellt, folgende Wahrscheinlichkeitsaussage machen: Das Messergebnis einer weiteren Messreihe wird mit ca. 68 % Wahrscheinlichkeit im Bereich t ± σ t liegen. Ferner gilt: Die Standardabweichung σ t des Mittelwertes ist die in Kap. 1 genannte Messunsicherheit, die zusammen mit dem Messergebnis (dem Mittelwert) als vollständiges Messergebnis einer Messreihe zur Bestimmung einer Messgröße angegeben wird. Sie wird häufig auch als Fehler des Mittelwertes bezeichnet. Man sieht aus Gl. (7), dass mit zunehmender Zahl N der Messwerte die Standardabweichung σ der Einzelmessung nahezu gleich bleibt. Das erkennt man auch in Abb. 5. Durch Hinzufügen weiterer Messwerte in das Diagramm ändert sich nichts an der Streuung der Messwerte um den Mittelwert. Dagegen lässt sich aus Gl. (8) ablesen, dass die Standardabweichung σ t des Mittelwertes, also die Messunsicherheit, mit zunehmendem N immer kleiner wird: Die Messunsicherheit nimmt mit 1/ N ab. Im Prinzip könnte man sie also beliebig klein machen, wenn nur oft genug gemessen wird. In der Praxis wird man jedoch nur so oft messen, bis die Messunsicherheit einer vorher festgelegten Genauigkeitsanforderung genügt. Dabei muss jedoch immer N 4 eingehalten werden, da andernfalls keine Standardabweichung nach Gl. (7) angegeben werden kann. Dies folgt aus statistischen Überlegungen, auf die hier nicht weiter eingegangen werden kann. Zusammenfassend lässt sich festhalten: Das Ergebnis einer Messreihe wird immer in der Form t ± σ t angegeben. Die Messunsicherheit σ t (der Fehler des Mittelwertes) nimmt mit zunehmender Zahl N der Messwerte um den Faktor 1/ N ab. Solange keine anderen Angaben gemacht werden, wird ein Messergebnis der Art t = (100,6 ± 1,) s immer wie folgt interpretiert: Messergebnis (Mittelwert) 100,6 s, Messunsicherheit (Standardabweichung des Mittelwertes) 1, s.

51 Absoluter und relativer Fehler Die Größe σ t stellt den absoluten Fehler des Messergebnisses dar, die Größe σ t / t den relativen Fehler, der in der Regel in Prozent angegeben wird. Im Praktikum werden wir uns überwiegend auf die Angabe absoluter Fehler beschränken. 7 Größtfehler der Einzelmessung Oftmals kommt es vor, im Praktikum sehr häufig, dass der Wert einer Messgröße a nicht mit Hilfe einer Messreihe, sondern nur durch eine Einzelmessung bestimmt wird, wie z.b. bei einer Längenmessung. In diesem Fall wird im Praktikum statt des Mittelwertes das Ergebnis der Einzelmessung und statt der Standardabweichung des Mittelwertes der Größtfehler a angegeben. Dies ist der größtmögliche Fehler, der bei der Einzelmessung der Größe insgesamt auftreten kann. Er muss nach vernünftigen Überlegungen abgeschätzt werden. Wird beispielsweise die Länge einer Strecke mit einem Maßstab gemessen, so wird man bei sorgfältiger Messung die Ablesegenauigkeit des Maßstabs als Größtfehler annehmen. Sie beträgt z.b. bei einem Metallmaßband 0,5 mm, bei einem Messschieber 0,1 mm oder 0,05 mm und bei einer Bügelmessschraube 0,01 mm. 8 Genauigkeitsangaben Die Genauigkeit, mit der ein Messergebnis für die Messgröße a angegeben werden kann, d.h. die Anzahl der signifikanten Stellen, ist durch die Messunsicherheit limitiert, also durch die Standardabweichung σ a des Mittelwertes bzw. durch den Größtfehler a einer Einzelmessung. σ a und a werden im Basispraktikum auf maximal zwei signifikante Stellen gerundet! 9 Der Mittelwert bzw. der Einzelmesswert ist dann so zu runden, dass seine letzte signifikante Stelle die gleiche Größenordnung hat wie die letzte signifikante Stelle von σ bzw. von a. Dazu Beispiele: Eine durch Rechenoperationen oder die Zahl der Stellen einer elektronischen Uhr vorgetäuschte Genauigkeit der Art t = 90,4671 s ist schlichtweg falsch, wenn der Größtfehler der Zeitmessung z.b. 1,1 s beträgt. In diesem Fall müsste es (gerundet) richtig heißen: t = (90,5 ± 1,1) s. Ebenso falsch ist eine Angabe der Art R = (83,6 ±,64) Ω; hier müsste es wegen der Beschränkung auf signifikante Stellen für die Messunsicherheit heißen R = (83,6 ±,6) Ω. Die Signifikanz einer Stelle ist unabhängig von ihrer Größenordnung (Stellung in Bezug auf den Dezimalpunkt). Folgende Angaben enthalten demnach jeweils zwei signifikante Stellen: 18 1,8 0,18 0,018 0,0018 usw. Das erkennt man besonders deutlich, wenn man zur empfohlenen Darstellung mit Zehnerpotenzen übergeht, also für die genannten Zahlen schreibt: 1, , , ,8 10-1, Beim Runden stellt sich die Frage, wie mit der Ziffer 5 umzugehen ist. Nehmen wir als Beispiel die Zahl 4,135, die auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet werden soll. Möglich wäre die Rundung auf 4,13 oder auf 4,14. Es gilt die Regel so zu runden, dass die letzte Ziffer der gerundeten Zahl gerade ist. Im Beispiel würde also auf den Wert 4,14 aufgerundet. Dagegen würde die Zahl 4,15 auf den Wert 4,1 9 Dies bedeutet, dass die Messunsicherheit mit einer Genauigkeit von ca. 1 % angegeben wird. Eine bessere Genauigkeit ist mit den Geräten im Praktikum nicht zu erreichen! a

52 50 abgerundet. Hinter dieser Regel steckt die Überlegung, dass bei einer Division durch gerundete und ungerundete Zahl den gleichen gerundeten Zahlenwert ergeben. Für die genannten Beispielen gilt: 4,135 : =,0675,07 und ebenso 4,14 : =,07 4,15 : =,065,06 und ebenso 4,1 : =,06 9 Fehlerfortpflanzung, zusammengesetzte Messgrößen Es kommt häufig vor, dass bei einem Experiment nicht die gemessene Größe (direktes Messergebnis) selbst interessiert, sondern eine hieraus berechnete Größe (indirektes Messergebnis, s. Kap. ). Nehmen wir als Beispiel noch einmal die Schwerebeschleunigung g nach Gl. (1), die von den Messgrößen s und t abhängt: s g = t Weitere Beispiele sind die Dichte ρ eines Körpers, die eine Funktion der Messgrößen Masse m und Volumen V ist: (9) m ρ = V oder die Kapazität C eines Plattenkondensators im Vakuum, die von den Messgrößen Fläche A und Abstand d der Platten abhängt. Mit der elektrischen Feldkonstanten ε 0 gilt: (10) C = ε0 A d Für all diese Beispiele wird deutlich, dass der Fehler der gesuchten Größe aus den Fehlern der einzelnen Messgrößen berechnet werden muss. Wie das geht, wird in den folgenden Kapiteln beschrieben. 9.1 Wahrscheinlichster Fehler einer zusammengesetzten Messgröße Wird das Messergebnis für eine Messgröße y aus den Messergebnissen für mehrere gaußverteilte Messgrößen berechnet, für die Mittelwerte und Standardabweichungen aus Messreihen gewonnen wurden, so wird der wahrscheinlichste Fehler für y mit dem gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz berechnet, das wir nun formulieren wollen. Wir wollen annehmen, dass die gesuchte Größe y von den Messgrößen a, b, c, usw. abhängt: (11) y = f ( a, b, c,...) Die Messwerte für die Messgrößen a, b, c,... seien gaußverteilt und sollen sich gegenseitig nicht beeinflussen, d. h. im statistischen Sinne unabhängig voneinander sein. Für die Messgrößen mögen Mittelwerte a, b, c,... und die Standardabweichungen der Mittelwerte σa, σ, σ c,... vorliegen. Dann ist der Bestwert y B der gesuchten Messgröße y derjenige Wert, der sich ergibt, wenn y aus den Mittelwerten (Bestwer- b 10 ten) a, b, c,... berechnet wird: (1) y = f ( a, b, c,...) B 10 Der Index B steht für Bestwert.

53 51 Das ist plausibel. Die Standardabweichung σ y B von y B ist durch das gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz (veranschaulicht in Kap. 9.) gegeben, das lautet: (13) y y y y B a b c ya yb yc a b c B B B σ = σ + σ + σ +... : = Die Ausdrücke y/ a, y/ b, usw. in Gleichung (13) sind die partiellen Ableitungen von y nach den Größen a, b, c,... Sie geben an, wie sich y ändert, wenn man nur a, oder nur b, oder nur c usw. verändern und die jeweils anderen Größen konstant halten würde. Mathematisch: Man leitet y jeweils nach einer der Größen a, b, c,... ab und betrachtet die anderen Größen dabei als Konstanten. Der Index B bei den partiellen Ableitungen gibt an, dass man die Zahlenwerte der partiellen Ableitungen jeweils für die Bestwerte (Mittelwerte) a, b, c,... der Messgrößen a, b, c,... berechnen muss. Als Beispiel für die Berechnung von partiellen Ableitungen nehmen wir nochmals Gl. (1) für die Schwerebeschleunigung g, die von den Größen s und t abhängt. Die partielle Ableitung von g nach s ist: g = s t und die partielle Ableitung von g nach t: g t 4 s = 3 t 9. Veranschaulichung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes Zur Veranschaulichung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes betrachten wir als Beispiel erneut die Schwerebeschleunigung g nach Gl. (1). Wir haben es also mit einer Funktion zu tun, die von den zwei Variablen s und t abhängt. Gl. (11) lautet dann mit y := g, a := s und b := t: s g= f st, = t (14) ( ) In Abb. 6 ist g als Funktion von s und t in einem 3D-Plot dargestellt, in dem die lineare Abhängigkeit der Schwerebeschleunigung von s und die reziprok-quadratische Abhängigkeit von t deutlich wird. Mit Blick auf Abb. 6 betrachten wir die einzelnen Summanden in Gleichung (13) einmal näher und greifen beispielhaft den zweiten heraus: Die zu bestimmende Größe y (hier g) hängt unter anderem von der Messgröße b (hier t) ab. Ändert sich b, so ändert sich auch y. Die partielle Ableitung y/ b gibt an, wie groß diese Änderung ist, d.h. wie groß die Steigung der Funktion y = f(a, b, c,...) als Funktion von b ist, wenn man die übrigen Größen a, c,... als konstant annimmt. Im betrachteten Beispiel ergibt sich: y g 4 s (15) : = = 3 b t t Da diese Steigung nicht überall gleich ist (im Beispiel ändert sie sich gem. Gl. (15) mit t -3 ), ist es sinnvoll, sie an der Stelle a, b, c,... (hier s, t ) zu berechnen, die auch für die Berechnung des Bestwertes y B (hier g B) maßgeblich ist. Deshalb steht in Gl. (13) der Index B: ( y/ b) B.

54 5 Abb. 6: Zur Veranschaulichung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes Nun muss man für den herausgegriffenen Term noch wissen, wie groß die Änderung von y B ist, der durch den Fehler σ hervorgerufen wird. Aus den Grundlagen der Differentialrechnung ist bekannt, dass diese b Änderung durch das Differential (16) y g 4 s y : = σ hier: g = σ = σ b b t t 3 t b t B B t gegeben ist. Auf gleiche Weise kann man die Fehler (17) y g y : = σ hier: g = σ = σ a a s s s a s B B t y (18) yc : = σ c (hier ohne Belang) c B usw. bestimmen, die alle zum Gesamtfehler, d.h. zur Standardabweichung σ y B von y B beitragen. Es ist daher einleuchtend, sie zur Berechnung von σ y B aufzuaddieren. Da jedoch die einzelnen Fehler gem. Gl. (16) - (18) positiv und negativ sein können, können sie sich teilweise oder sogar ganz aufheben und damit einen zu kleinen Gesamtfehler suggerieren. Um das zu vermeiden, ist es vernünftig, die Einzelfehler zunächst zu quadrieren (dadurch werden alle Beiträge positiv) und anschließend aus der Summe der Quadrate die Wurzel zu ziehen. Durch diese geometrische (quadratische) Addition der Einzelfehler wird der Gesamtfehler kleiner als die Summe der Einzelfehler. Damit wird berücksichtigt, dass sich die Einzelfehler der voneinander unabhängigen Größen a, b, c usw. nicht alle gleichsinnig im Endergebnis niederschlagen, sondern sich gegenseitig wenigstens teilweise kompensieren. Man spricht deshalb vom wahrscheinlichsten Fehler. 9.3 Größtfehler einer zusammengesetzten Messgröße Wir wollen nun den Fall betrachten, dass die Größen a, b, c usw. z. B. keine zufälligen Fehler aufweisen oder ihre Fehler zum Teil nicht aus Messreihen gewonnen wurden. Letzteres kommt in der Praxis (auch im Praktikum) recht häufig vor, wenn nämlich Messergebnisse für die Messgrößen a, b, c usw. mindestens

55 53 zum Teil aus Einzelmessungen gewonnen wurden, für die nur die jeweiligen Größtfehler a, b, c usw. vorliegen. In einem solchen Fall wird für die zusammengesetzte Messgröße y statt der Standardabweichung nach Gl. (13) der Größtfehler y B angegeben. Er ergibt sich aus der ungünstigsten, d. h. arithmetischen (linearen) Addition aller Einzelfehler und ist gegeben durch: y y y (19) yb = a+ b+ c+...: = ya + yb + yc +... a b c B B B Dabei sind für die Größen a, b, c,... die Größtfehler bzw. Standardabweichungen einzusetzen. Bis auf die Betragsstriche stellt Gl. (19) das totale Differential von y B dar. Wenn nicht ausdrücklich ein anderer Hinweis erfolgt, soll im Praktikum für zusammengesetzte Messgrößen immer der Größtfehler angegeben werden. 10 Ein konkretes Beispiel Mit einem so genannten mathematischen Pendel kann die Erdbeschleunigung g bestimmt werden. Das mathematische Pendel, das sich in der Praxis nur annähernd realisieren lässt, besteht im Idealfall aus einer punktförmigen Masse, die an einem masselosen Faden derart aufgehängt wird, dass sie ohne äußere Störeinflüsse (insbesondere Reibung) pendeln kann. Für Pendelausschläge um einen kleinen Winkel α unter ca. 5 ist α sinα tanα (α im Bogenmaß!) und es gilt in guter Näherung folgender Zusammenhang zwischen der Schwingungsdauer T des Pendels, der Fadenlänge l und der Erdbeschleunigung g: l (0) T = π bzw. g 4π l g = T Durch Messung von l und T ist es also möglich, g zu bestimmen. Schon vor Beginn der Messung kann man sagen, welche systematischen Fehler auftreten werden: - Entgegen der Theorie ist die Masse nicht punktförmig und der Faden nicht masselos. Welchen Einfluss dies auf die Messung hat, lässt sich nur schwer angeben. Man muss versuchen, durch Verwendung eines sehr dünnen Fadens und einer Masse mit kleiner räumlicher Ausdehnung dem mathematischen Pendel möglichst nahe zu kommen und erwartet, dass die verbleibenden Fehler so klein gegenüber den Messunsicherheiten der Messgrößen l und T sind, dass sie vernachlässigt werden können. - Das Pendel kann nicht völlig reibungsfrei aufgehängt werden. Man muss sich deshalb bei der Aufhängung so viel Mühe geben, dass der Fehler durch Reibung klein gegenüber den Messunsicherheiten ist. Bei der Vorbereitung des Experiments muss man darauf achten, dass sowohl die Uhr zur Messung von T als auch der Maßstab zur Messung von l kalibriert sind, um systematische Fehler durch unzulängliche Messgeräte auszuschließen. Außerdem muss man die Fadenlänge l so groß wählen, dass die Messung bei Pendelausschlägen unter ca. 5 erfolgen kann, weil Gleichung (0) nur dann in guter Näherung gilt. Nach diesen Vorbereitungen kann die Messung beginnen. Es ist bekannt, dass man den Einfluss zufälliger Fehler auf die Messunsicherheit minimieren kann, wenn möglichst oft gemessen wird. Gleichzeitig erkennt man, dass eine mehrmalige Messung der Länge l gar nichts bringt. Denn wenn man den Maßstab sorgfältig anlegt und abliest, ändert sich an dem abgelesenen Wert auch bei mehrmaliger Wiederholung nichts. Dennoch ist natürlich auch der abgelesene Wert für l mit einem Fehler behaftet: Zum einen hat der Maßstab selbst trotz Kalibrierung nur eine bestimmte Genauigkeit, zum anderen kann man ihn nur mit einer

56 54 endlichen Genauigkeit anlegen und ablesen. Das Ergebnis der Längenmessung kann man dann folgendermaßen festhalten: = ± ; z.b. l = ( ± ) (1) l L L wobei L der abgelesene Wert und L dessen Größtfehler ist.,5580 0, 000 m Die Periodendauer T wird mit einer Stoppuhr gemessen, deren Gangungenauigkeit vernachlässigbar klein sei. Das Starten und Stoppen der Uhr hängt von der Reaktionsfähigkeit der BenutzerIn ab und unterliegt damit zufälligen Schwankungen, deren Einfluss auf die Messunsicherheit des Messergebnisses durch häufige Messung minimiert werden kann. Nach insgesamt N Messungen, die die Messwerte T i liefern, lautet das Ergebnis der Zeitmessung: () T T σt = ± ; z.b. T = ( ± ) 3, 10 0,010 s wobei T der arithmetische Mittelwert der Messwerte T i nach Gl. (6) und damit der Bestwert für T ist und σ die Standardabweichung des Mittelwertes nach Gl. (8). T Der Bestwert g B für g ist also gem. Gl. (0): (3) g B 4π L = ; im Beispiel T g B 4π,5580 m m = = 9,801 s ( 3, 10 s) Da L nicht aus einer Messreihe ermittelt wurde, wird nicht die Standardabweichung nach Gl. (13) berechnet, sondern der Größtfehler g B nach Gl. (19). Es ergibt sich: g g (4) gb = L+ σt l T B B Zunächst werden die Beträge der partiellen Ableitungen an den Stellen der Bestwerte B ermittelt, hier also für die Werte L und T : (5) g 4π 4π 4π = = = =... l T T ( 3,10 s) LT, LT, g 8π l 8π L 8π,5580 m = = = =... T T T ( 3,10 s) LT, LT, Gleichung (5) liefert nach Einsetzen der Zahlwerte für L und T zwei Zahlen, die gemäß Gleichung (4) mit zwei anderen Zahlen, nämlich L und σ, multipliziert und anschließend addiert werden müssen, um den gesuchten Wert g B zu erhalten: T

57 55 (6) 4π 8π L gb = L+ σ 3 T T T 4π 0,000 m 8π,5580 m m = + 0,010 s = 0,069 3 s ( 3, 10 s) ( 3,10 s) Bei der Angabe des Zahlenwertes muss die Rundung auf zwei signifikante Stellen beachtet werden. Zusammengefasst lautet das vollständige Messergebnis: m g = g ± g = 9,801 ± 0,069 s (7) B B ( ) Da in diesem Beispiel bereits ein Literaturwert für g vorliegt, der für die eigene geographische Lage in geeigneten Tabellenwerken nachschlagen werden kann 11, muss dieser Wert mit dem Messergebnis verglichen werden. Liegt der Literaturwert für g im Bereich g B ± g B, so beendet man das Experiment mit der Feststellung, dass eine gute Übereinstimmung im Rahmen der Messgenauigkeit erreicht wurde. Liegt jedoch der Literaturwert außerhalb des Bereichs g B ± g B, so ist die Wahrscheinlichkeit relativ groß, dass die Messung durch einen systematischen Fehler verfälscht wurde. Statt des absoluten Fehlers g B des Messergebnisses g B kann man auch den relativen Fehler ε g für g B angeben: g (8) ε B g = g also: L σ (9) ε g = + T L T B Dieser Gleichung kann man entnehmen, dass sich der relative Fehler von T, σ T / T, doppelt, der relative Fehler von L, L/L, jedoch nur einfach im Ergebnis niederschlägt. Soll dies kompensiert werden, so darf der relative Fehler von T nur halb so groß werden wie der relative Fehler von L. Das lässt sich durch eine ausreichende Anzahl von Messungen der Periodendauer immer erreichen (s. Gl. (8)) und sollte bereits bei der Planung des Experiments berücksichtigt werden. 11 Siehe z.b.

58 56 11 Anhang 11.1 Lineare Regression, Ausgleichsgeraden Ausgleichsgeraden der Form y = ax + b Es kommt in der Praxis recht häufig vor, dass zwei Größen x und y linear voneinander abhängen, d.h. sie sind über eine Geradengleichung miteinander verknüpft: y = ax + b. Ziel der Messung ist es dann oftmals, die Größen a und b zu ermitteln. Nehmen wir als Beispiel den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit v bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung: v(t) = at + v 0 mit a: Beschleunigung, t: Zeit und v 0: Anfangsgeschwindigkeit. Wir messen v(t) (abhängige Variable) bei bestimmten Vorgabewerten von t (unabhängige Variable), um einen Wert für die Beschleunigung a und die Anfangsgeschwindigkeit v 0 zu erhalten. Tragen wir gem. Abb. 7 die Messwerte v(t) über t auf, so erwarten wir, dass die eingezeichneten Messpunkte auf einer Geraden liegen, deren Steigung dem gesuchten Wert für a und deren v-achsabschnitt dem gesuchten Wert für v 0 entspricht. Wollen wir diese Gerade in das Diagramm der Messwerte einzeichnen, so stellen wir fest, dass es mehrere Steigungen und Achsabschnitte gibt, bei denen die Messwerte mehr oder weniger gut getroffen werden. Welche Parameter sind aber nun die richtigen? Diese Frage lässt sich wieder nur im Sinne einer Wahrscheinlichkeitsaussage beantworten. Wir wollen die Antwort im Folgenden geben. Wir kehren zurück zu unserer Funktion y = ax + b. Wie in der Praxis häufig der Fall, geben wir N Werte der Größe x vor, zu denen wir N Messwerte der Größe y bestimmen. Die Fehler der Vorgabewerte von x seien zu vernachlässigen, die Fehler der Messwerte von y seien zufällig verteilt. Wir behaupten, dass die Bestwerte A und B für die Parameter a und b der Geradengleichung dann gefunden wurden, wenn die Summe der Quadrate der vertikalen Abstände der Messwerte von der durch A und B bestimmten Ausgleichsgeraden minimal ist, wenn also gilt: N (30) y ( Ax B) i= 1 i i + Minimum Frage 3: - Wie lässt sich dieser Ansatz begründen? Abb. 7: Wo liegt die beste Ausgleichsgerade durch die roten Messwerte? Mit Hilfe der Differentialrechnung lässt sich eine Lösung für die in Gl. (30) dargestellte Forderung relativ einfach bestimmen. Man findet für A und B (Summation jeweils von 1 bis N):

59 57 (31) A = N( x ) ( x ) N( xy) ( x)( y) i i i i i i (3) i i i i i N( xi ) ( xi) ( y )( x ) ( x y )( x ) B = Natürlich sind auch diese Bestwerte mit Fehlern behaftet, die wir nun suchen. Die fehlerbehafteten Größen in Gl. (31) und (3) sind die y i. Für die Varianz der y i ergibt sich als Bestwert (s. Gl. (7)): 1 y Ax i B y i σ = + N (33) ( ) wobei die Division durch (N - ) anstatt durch (N - 1) darauf zurückzuführen ist, dass die Bestwerte A und B in die Berechnung der Größe σ y einfließen. Wendet man nun die Fehlerfortpflanzung auf Gl. (31) und (3) an und setzt für σ y Gl. (33) ein, so findet man als Bestwerte für die Standardabweichungen von A und B (D ist eine in Gl. (36) definierte Hilfsgröße): (34) σ A = ND (35) σ B = D x i mit (36) ( Ax + B y ) 1 D = N N ( x ) ( x ) i i i i Im Praktikum wird die Software Origin für diese Berechnungen eingesetzt. Sie liefert die gesuchten Daten durch ein paar Mausklicks ( Analyse Anpassen Linearer Fit). Rechnen Sie die Parameter von Ausgleichsgeraden niemals zu Fuß aus, das wäre viel zu zeitaufwändig! Ausgleichsgeraden der Form y = ax + b mit vorgegebenem b In der Praxis kommt es auch vor, dass Messwerte durch eine lineare Funktion y = ax + b miteinander verknüpft sind, für die der Achsabschnitt b fest vorgegeben ist. Als Beispiel sei das OHMsche Gesetz U = RI genannt: misst man die Spannung U als Funktion des Stromes I, so ergibt sich als Ausgleichsgerade durch die Messwerte eine Gerade durch den Ursprung (b = 0) mit der Steigung R. Die Bedingung für die Berechnung des Bestwertes A der Steigung a der Ausgleichsgeraden lautet analog zu Gl. (30) in diesem Fall: N (37) [ ] yi Axi i= 1 Minimum und man findet mit Hilfe der Differentialrechnung für A und mit Hilfe der Fehlerfortpflanzung für σ A: xi yi (38) A = x i

60 58 (39) σ A = ( yi Axi) ( N ) x i Um entsprechende Berechnungen mit Origin durchzuführen, muss im Fenster Lineare Anpassung der Haken im Feld Fester Schnittpunkt mit der Y-Achse gesetzt und der Zahlenwert für b eingetragen werden Ausgleichsgeraden der Form y = ax + b mit vorgegebenem a Auch der umgekehrte Fall, in dem die Steigung a der Ausgleichsgeraden fest vorgegeben ist und nur der Achsabschnitt b der Ausgleichsgeraden gesucht wird, kommt gelegentlich vor. Die Bedingung für die Berechnung des Bestwertes B von b lautet wieder analog zu Gl. (30): N (40) y ( ax B) i= 1 i i + Minimum wobei diesmal nur B ein freier Parameter für die Bestimmung des Minimums ist. Für B und σ B ergibt sich in diesem Fall: (41) (4) B i = y a x N σ = 1 + N N ( ) i ( ax B y ) B i i Um entsprechende Berechnungen mit Origin durchzuführen, muss im Fenster Lineare Anpassung der Haken im Feld Feste Steigung gesetzt und der Zahlenwert für a eingetragen werden. 11. Linearisierungen Mit Hilfe recht elementarer mathematischer Umformungen lassen sich oftmals nichtlineare Zusammenhänge von Messgrößen linearisieren, so dass es möglich wird, auch in solchen Fällen die lineare Regression zur Bestimmung von Bestwerten für gesuchte Größen anzuwenden. So wird z.b. aus einem Potenz-Zusammenhang der Form: (43) y = bx a durch einfaches Logarithmieren der lineare Zusammenhang (Geradengleichung): (44) log y = log b + a log x also y = b + ax y b x Bei solchen logarithmierten Zusammenhängen muss eines beachtet werden: der Logarithmus einer physikalischen Größe y, die durch das Produkt aus Zahlenwert mal Einheit gegeben ist, lässt sich nicht direkt bilden, da der Logarithmus einer Einheit keinen Sinn macht. Deshalb müssen solche Größen per Division durch ihre Einheit zunächst dimensionslos gemacht werden, ehe Umrechnungen der Art Gl. (43) nach Gl. (44) erfolgen dürfen. Dazu ein Beispiel: aus dem ohmschen Widerstand R wird r = R/Ω, aus der Spannung U wird u = U/V, aus der Stromstärke I wird i = I/A und damit aus dem ohmschen Gesetz R = U/I die modifizierte Form r = u/i, das in logarithmierter Form lautet: log r = log u log i.

61 59 Tragen wir gem. Gl. (44) y über x doppelt-logarithmisch auf (also log y über log x), so erhalten wir als beste Ausgleichskurve durch die Messwerte eine Gerade mit dem Achsabschnitt log b und der Steigung a. Die Bestwerte für a und log b dieser Geraden finden wir mit Hilfe der linearen Regression, die wir in diesem Fall auf Gl. (44) anwenden müssen. Logarithmieren macht auch aus einem exponentiellen Zusammenhang der Form: (45) y = be ax einen linearen Zusammenhang: (46) ln y = ln b + ax ln e = ln b + ax Tragen wir in diesem Fall y über x halb-logarithmisch auf, so erhalten wir auch hier als beste Ausgleichskurve eine Gerade, für deren Achsabschnitt ln b und Steigung a wir mit Hilfe der jetzt auf Gl. (46) angewandten linearen Regression die Bestwerte finden. Bei Verwendung von Logarithmenpapieren ist zu beachten, dass diese immer für den dekadischen Logarithmus (log, Basis 10) ausgelegt sind. In Gl. (46) haben wir es aber mit dem natürlichen Logarithmus (ln, Basis e) zu tun. Werden daher Größen auf grafischem Wege einem Diagramm auf Logarithmenpapier entnommen oder sollen berechnete Größen dort eingetragen werden, müssen sie geeignet umgerechnet werden (Erinnerung: log x = ln x/ln 10; ln x = log x/log e). Im Praktikum wird zur Berechnung der Parameter von Ausgleichgeraden in logarithmierten Diagrammen die Software Origin eingesetzt. Dazu muss im Fenster Lineare Anpassung der Haken im Feld Scheinbarer Fit 1 gesetzt werden. Frage 4: - Das exponentielle Schwächungsgesetz I ( x ) I ( µ x ) = exp 0 beschreibt die Schwächung der Intensität I einer Strahlung beim Durchgang durch eine Materieschicht der Dicke x. I 0 ist die Anfangsintensität der Strahlung an der Stelle x = 0 und µ ein materialabhängiger Abschwächungskoeffizient ([µ] = 1/m). Skizzieren Sie I(x) in linearer und halblogarithmischer Darstellung (Abszisse x jeweils linear). Wie lässt sich aus dem halb-logarithmischen Diagramm der Abschwächungskoeffizient µ gewinnen? 11.3 Korrelation Gelegentlich, wenngleich im Basispraktikum eher selten, muss untersucht werden, ob ein vermuteter linearer Zusammenhang zwischen zwei Größen x und y tatsächlich existiert, ob die beiden Größen also miteinander korreliert sind. Nicht immer sieht man es dem Diagramm der Messwerte an, ob die eingetragenen Messwerte gut auf einer Geraden liegen oder nicht. In jedem Fall stellt sich die Frage: wie gut ist gut genug, um die Hypothese, x und y seien miteinander korreliert, nicht verwerfen zu müssen? Die quantitative Antwort auf diese Frage liefert die Berechnung des Korrelationskoeffizienten r. Er ist gegeben durch: (47) r = ( x x)( y y) i i ( x x) ( y y) i i 1 Der Fit heißt scheinbar, weil die Daten im Origin-Arbeitsblatt weiterhin in ihrer ursprünglichen, linearen Form vorliegen. Nur im Diagramm, das dem Fit zu Grunde gelegt wird, erscheinen die Daten logarithmiert, wenn für die Skalierung der entsprechenden Achsen als Art log10, log oder ln gewählt wurde.

62 60 wobei x und y die arithmetischen Mittelwerte der Messwerte von x und y sind. Der Korrelationskoeffizient kann nur Werte zwischen -1 und +1 annehmen. Für die Beurteilung der Frage, ob zwei Größen miteinander korreliert sind, ist der Betrag von r maßgebend. Für r = 1 sind die Größen perfekt miteinander korreliert, für r = 0 sind sie unkorreliert. Für alle Werte dazwischen lassen sich Wahrscheinlichkeitsaussagen machen, die zusätzlich von der Zahl N der durchgeführten Messungen abhängen. Für N = 10 und r 0,8 ist beispielsweise die Wahrscheinlichkeit P, dass die Größen unkorreliert sind, P = 0,5 %. Aus Tabelle 1 (Kap. 11.5) können für weitere Kombinationen von N und r die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten abgelesen werden Fehler gewichteter Mittelwerte Eine Messgröße h werde in M Messungen (Nr. i = 1,...,M) unter jeweils veränderten Bedingungen gemessen. Das Ergebnis der einzelnen Messungen habe zu den Messergebnissen h i und den Messunsicherheiten σ i geführt. Ziel ist nun, aus den M Werten h i ein Endergebnis für die gesuchte Größe h zu berechnen. Im einfachsten Fall wäre dies das arithmetische Mittel der h i. Dabei bliebe jedoch unberücksichtigt, dass die h i unter Umständen recht unterschiedliche Messunsicherheiten σ i aufweisen können, weil beispielsweise die erreichbare Messgenauigkeit nicht für alle Messreihen die gleiche war. In solchen Fällen berechnet man statt des arithmetischen Mittels der h i einen gewichteten Mittelwert h g. Sind g i die Gewichte, mit denen die Einzelwerte h i bei der Berechnung von h g berücksichtigt werden sollen, so gilt bei Summation von 1 bis M: (48) h g hg i = g i i In der Regel wählt man als Gewichte die Reziprokwerte der Varianzen: (49) g i = 1 i σ Dann erhält man bei Anwendung der Fehlerfortpflanzung auf Gl. (48) für die Messunsichertheit σ g des gewichteten Mittelwertes bei Summation von 1 bis M: (50) σ g hg 1 = σi = h i σ i 1 Frage 5: - Wie gelangt man zu diesem Resultat? Was ergibt sich für σ g im speziellen Fall g i = const. = 1?

63 Tabellen Tabelle 1: Prozentuale Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei Messgrößen, die N-mal gemessen wurden und einen Korrelationskoeffizienten r r b aufweisen, unkorreliert sind (nach /1/). r b 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 N , ,6 1, ,0 3,1 0, ,3 1,7 0, ,8 3,6 1,0 0, ,7,4 0, ,1 1,6 0, ,8 3,9 1,1 0, , 3,0 0,8 0, ,9,3 0,5 0, ,8 1,8 0, ,9 1,4 0, ,1 1,1 0, ,5 0,8 0, ,0,9 0,7 0, ,1,5 0,5 0, ,8 1,1 0, ,9 0,5 0, ,0 1,7 0, ,0 1,1 0, ,5 0,6 0 r b 0 0,05 0,1 0,15 0, 0,5 0,3 0,35 0,4 0,45 N ,0 3,4 1,3 0,4 0, ,4,0 0,6 0, ,7 3,7 1, 0,3 0, ,5,5 0,7 0, ,9 1,7 0,4 0, ,6 1, 0,

64 6 Tabelle : Werte der Integrale P(a) über die Gaußfunktion (error-function) als Funktion des Parameters a für beliebige Werte von Mittelwert t und Standardabweichung σ (aus /1/; beachte den Faktor 100 gegenüber Gl. (5) ff.): t + aσ 100 Pa ( ) = e σ π t aσ ( t t ) σ Exemplarisch markiert: P(a = 1,00) = 68,7, P(a =,00) = 95,45, P(a = 3,00) = 99,73 a 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,00 0,80 1,60,39 3,19 3,99 4,78 5,58 6,38 7,17 0,1 7,97 8,76 9,55 10,34 11,13 11,9 1,71 13,50 14,8 15,07 0, 15,85 16,63 17,41 18,19 18,97 19,74 0,51 1,8,05,8 0,3 3,58 4,34 5,10 5,86 6,61 7,37 8,1 8,86 9,61 30,35 0,4 31,08 31,8 3,55 33,8 34,01 34,73 35,45 36,16 36,88 37,59 0,5 38,9 38,99 39,69 40,39 41,08 41,77 4,45 43,13 43,81 44,48 0,6 45,15 45,81 46,47 47,13 47,78 48,43 49,07 49,71 50,35 50,98 0,7 51,61 5,3 5,85 53,46 54,07 54,67 55,7 55,87 56,46 57,05 0,8 57,63 58,1 58,78 39,35 59,91 60,47 61,0 61,57 6,11 6,65 0,9 63,19 63,7 64,4 64,76 65,8 65,79 66,9 66,80 67,9 67,78 1,0 68,7 68,75 69,3 69,70 70,17 70,63 71,09 71,54 71,99 7,43 1,1 7,87 73,30 73,73 74,15 74,57 74,99 75,40 75,80 76,0 76,60 1, 76,99 77,37 77,75 78,13 78,50 78,87 79,3 79,59 79,95 80,9 1,3 80,64 80,98 81,3 81,65 81,98 8,30 8,6 8,93 83,4 83,55 1,4 83,85 84,15 84,44 84,73 85,01 85,9 85,57 85,84 86,11 86,38 1,5 86,64 86,90 87,15 87,40 87,64 87,89 88,1 88,36 88,59 88,8 1,6 89,04 89,6 89,48 89,69 89,90 90,11 90,31 90,51 90,70 90,90 1,7 91,09 91,7 91,46 91,64 91,81 91,99 9,16 9,33 9,49 9,65 1,8 9,81 91,97 93,1 93,8 93,4 93,57 93,71 93,85 93,99 94,1 1,9 94,6 94,39 94,51 94,64 94,76 94,88 95,00 95,1 95,3 95,34,0 95,45 95,56 95,66 95,76 95,86 95,96 96,06 96,15 96,5 96,34,1 96,43 96,51 96,60 96,68 96,76 96,84 96,9 97,00 97,07 97,15, 97, 97,9 97,36 97,43 97,49 97,56 97,6 97,68 97,74 97,80,3 97,86 97,91 97,97 98,0 98,07 98,1 98,17 98, 98,7 98,3,4 98,36 98,40 98,45 98,49 98,53 98,57 98,61 98,65 98,69 98,7,5 98,76 98,79 98,83 98,86 98,89 98,9 98,95 98,98 99,01 99,04,6 99,07 99,09 99,1 99,15 99,17 99,0 99, 99,4 99,6 99,9,7 99,31 99,33 99,35 99,37 99,39 99,40 99,4 99,44 99,46 99,47,8 99,49 99,50 99,5 99,53 99,55 99,56 99,58 99,59 99,60 99,61,9 99,63 99,64 99,65 99,66 99,67 99,68 99,69 99,70 99,71 99,7 3,0 99,73 3,5 99,95 4,0 99,994 4,5 99,9993 5,0 99,99994

65 63 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Oszilloskop und Funktionsgenerator Stichworte: Anode, Kathode, Kathodenstrahlröhre, Elektronenablenkung, Ablenkplatten, Trigger, AC/DC-Kopplung, Gleichspannung, Wechselspannung, Frequenz, Kreisfrequenz, Periode, Amplitude, Phase, Phasendifferenz, Scheitel- und Effektivwert von Wechselspannungen, LISSAJOUS-Figuren, harmonische Schwingung. Literatur: /1/ WALCHER, W.: Praktikum der Physik, Teubner Studienbücher Physik, Teubner-Verlag, Stuttgart // EICHLER, H. J., KRONFELDT, H.-D., SAHM, J.: Das Neue Physikalische Grundpraktikum, Springer-Verlag, Berlin u. a. /3/ GERTHSEN, C. u.a.: Physik, Springer-Verlag, Berlin u. a. 1 Einleitung Das Oszilloskop zählt zu den wichtigen Messinstrumenten in der experimentellen Physik. Mit ihm ist es möglich, den Verlauf einer elektrischen Spannung U y als Funktion der Zeit t oder als Funktion einer Spannung U x in Echtzeit ( Real-Time ) zu beobachten und quantitativ zu vermessen. Der zeitliche Verlauf aller physikalischen Größen, die mit einem geeigneten Sensor (Messwertaufnehmer, Messgrößenaufnehmer) in eine elektrische Spannung umgewandelt werden können 1, ist mit einem Oszilloskop darstellbar. Hinsichtlich der Amplitude und Frequenz der messbaren Signale bestehen nur wenige Einschränkungen: Ist man bereit, genügend viel Geld auszugeben, so lässt sich mit ziemlicher Sicherheit ein Oszilloskop finden, das den gestellten Anforderungen gewachsen ist. Auch im Basispraktikum ist das Oszilloskop ein häufig eingesetztes Messgerät. In einigen Versuchen ist es wesentlicher Bestandteil des Versuchsaufbaus und liefert die quantitativen Daten, die für die Versuchsauswertung benötigt werden. In anderen Versuchen dient es der qualitativen Kontrolle, ob eine Schaltung richtig aufgebaut wurde und funktionstüchtig ist, ob ein Sensor das richtige Signal liefert usw. Um die Versuche im Praktikum erfolgreich durchführen zu können, ist daher eine gründliche Kenntnis des Oszilloskops unabdingbar. Bis vor einigen Jahren waren vielfach noch Elektronenstrahl-Oszilloskope im Einsatz. Heute sind diese Geräte überwiegend durch Digital-Speicher-Oszilloskope verdrängt worden. Auch in diesem Versuch und im Praktikum generell wird mit Digital-Speicher-Oszilloskopen gearbeitet. Dennoch wird im Theorieteil zunächst kurz das Prinzip des Elektronenstrahl-Oszilloskops dargestellt, da sich einige grundlegende Funktionsprinzipien von Oszilloskopen damit einfach und anschaulich erklären lassen. Theorie.1 Elektronenstrahl-Oszilloskop Abb. 1 zeigt den schematischen Aufbau einer Oszilloskopröhre; die realen Bauformen der einzelnen Komponenten sind erheblich komplexer (Abb. ). Die auf Massepotenzial (0 V) liegende Kathode K wird über eine Heizwendel indirekt so weit aufgeheizt (Heizspannung U H), dass es zur Glühemission von Elektronen kommt. Im Abstand d A von der Kathode befindet sich die in der Mitte durchbohrte Anode A. 1 Einzelheiten dazu werden im Versuch Sensoren für Kraft, Druck,... behandelt.

66 64 Zwischen K und A wird eine positive Hochspannung U A in der Größenordnung von 1000 V angelegt. Dadurch entsteht zwischen K und A ein elektrisches Feld E A vom Betrag U A (1) EA =, d A durch das auf die Elektronen mit der Ladung e eine Kraft F A vom Betrag () FA = eea ausgeübt wird. Diese Kraft beschleunigt die Elektronen in Richtung Anode. Nach Durchtritt durch das Loch in der Anode treffen die Elektronen auf den Leuchtschirm L, wo sie beim Auftreffen abgebremst werden und den Phosphor des Schirms zur Fluoreszenz anregen. Dadurch entsteht ein sichtbarer Leuchtfleck, dessen Größe mit Hilfe der Spannung U F an der Fokussiereinheit F minimiert werden kann. U y U x U H~ K W F A - UW + U + U F A L Abb. 1: Schematischer Aufbau einer Elektronenstrahl-Oszilloskopröhre. Bezeichnungen siehe Text. Die strichpunktierte grüne Linie gibt schematisch die Bahn der Elektronen im Fall U X = U Y = 0 an. Abb. : Foto des hinteren Endes einer Elektronenstrahl-Oszilloskopröhre. Es zeigt die komplexe Struktur der Elektroden zur Formung und Steuerung des Elektronenstrahls. Am Ende der Röhre und rechts am Röhrenmantel sind die Anschlusskontakte für die verschiedenen Elektroden zu erkennen.

67 65 CH1 X Y1 AC DC GND VOLTS / DIV MODE CH 1 CH CH 1 / CH CH 1 + CH U Y VOLTS / DIV CH Y Y AC DC GND TRIGGER EXT TRIG CH1 CH EXT LINE LEVEL NORM AUTO SLOPE 30 V ~ NETZ- TEIL SEC / DIV KIPP- GEN. YT XY U X Abb. 3: Blockschaltbild der wichtigsten Funktionseinheiten eines Oszilloskops. Bezeichnungen siehe Text und Abb. 4. BNC-Buchse - innen: Signalleitung - außen: Massekontakt Einheit zur Einstellung von z.b. - Verstärkungsfaktor in VOLTS/DIV - Zeitablenkung in SEC/DIV - Triggerschwelle (LEVEL) - Triggerflanke (SLOPE) - Intensität (INTENS) Verstärker Schwellwertdiskriminator: erzeugt Ausgangsimpuls, wenn Eingangsspannung > Schwellwert Abb. 4: Erklärung von Blockschaltbild-Elementen.

68 66 Mithilfe einer negativen Spannung U W zwischen K und dem WEHNELT-Zylinder W kann die Intensität des Leuchtpunktes variiert werden. Das durch U W hervorgerufene elektrische Feld E W ist zum Feld E A entgegen gerichtet und bremst die Elektronen. Nur Elektronen ausreichender kinetischer Energie können die Anode erreichen. Die X- und Y-Ablenkplatten (blau in Abb. 1) bilden paarweise je einen Plattenkondensator und dienen zur horizontalen und vertikalen Ablenkung des Elektronenstrahls. Wird an die Y-Ablenkplatten die Ablenkspannung U Y angelegt, so entsteht zwischen den Platten bei einem Plattenabstand d Y ein elektrisches Feld E Y vom Betrag UY (3) EY =, d Y durch das auf die Elektronen während ihres Durchflugs eine Kraft F Y vom Betrag UY (4) FY = eey = e d Y ausgeübt wird. Je nach Vorzeichen und Höhe der Spannung U Y werden die Elektronen deshalb mehr oder weniger stark nach oben oder unten abgelenkt und erreichen den Leuchtschirm in vertikaler Richtung an einer anderen Stelle. Analoge Überlegungen gelten für die X-Ablenkplatten, mit denen eine Ablenkung der Elektronen in horizontaler Richtung erreicht werden kann. Abb. 3 zeigt in einem Blockschaltbild die wichtigsten (nicht alle!) Funktionseinheiten für die Ansteuerung der einzelnen Elemente der Oszilloskopröhre. In Abb. 4 wird die Funktion der Blockschaltbild-Elemente erklärt. Abb. 5 zeigt die Frontansicht der Steuereinheiten eines typischen Elektronenstrahl-Oszilloskops. Bei dem mit Abb. 3 und Abb. 5 beschriebenen Gerät handelt es sich um ein so genanntes -Kanal- Oszilloskop mit zwei Signaleingängen. Die Eingänge sind als BNC-Buchsen ausgelegt und heißen Kanal 1 (Channel 1; häufig bezeichnet mit CH1 oder X oder Y1) und Kanal (CH oder Y oder Y). Zusätzlich gibt es einen BNC-Eingang für ein externes Triggersignal (EXT INPUT oder EXT TRIG). In der Stellung DC 3 des Kanal-Eingangsschalters gelangt das jeweilige Eingangssignal direkt auf einen Eingangsverstärker, in der Schalterstellung AC 4 nur sein Wechselspannungsanteil 5. In der Stellung GND (Ground) wird der Eingang auf Massepotenzial gelegt. Mit dem Drehschalter VOLTS/DIV wird der Verstärkungsfaktor des Eingangsverstärkers variiert und festgelegt, wie viel Volt (VOLTS) des Eingangssignals zu einer Elektronenstrahlablenkung von einer Längeneinheit (einer DIVision, meistens 1 cm) auf dem Oszilloskopbildschirm führen. Die VOLTS/DIV- Einstellung bestimmt also die vertikale Größe eines Signals auf dem Oszilloskopbildschirm. Die horizontale und die vertikale Lage des Oszilloskopbildes wird dagegen über die POSITION-Potentiometer verändert, über die eine positive oder negative Gleichspannung variabler Größe zu den Ablenkspannungen U Y und U X hinzu addiert wird. In der Schriftart ARIAL gesetzte Bezeichnungen entsprechen den Beschriftungen auf der Frontplatte des Oszilloskops. 3 DC: direct current (Gleichstrom); hier ist mit DC Gleichspannungskopplung gemeint. 4 AC: alternating current (Wechselstrom); hier ist mit AC Wechselspannungskopplung gemeint. 5 Einzelheiten zu Gleich- und Wechselspannungssignalen siehe Kapitel Zum Aufbau elektrischer Schaltungen dieses Skriptes.

69 67 Abb. 5: Frontansicht der Steuereinheiten des Elektronenstrahl-Oszilloskops TEKTRONIX 13A (Quelle: TEKTRONIX-Manual)..1.1 XY- und YT-Betrieb Das Oszilloskop kann je nach Einstellung der Funktionsgruppe MODE in verschiedenen Modi arbeiten: Im XY-Betrieb wird der Signalverlauf U y(u x) dargestellt. Hierzu gelangt das Signal vom Eingang CH1 (X) über einen Eingangsverstärker als Spannung U X an die X-Ablenkplatten und das Signal vom Eingang CH (Y) über einen Eingangsverstärker als Spannung U Y an die Y- Ablenkplatten. Im YT-Betrieb werden Signale als Funktion der Zeit t dargestellt: U y1(t), U y(t) oder U y1(t) + U y(t). Hierzu gelangen die Signale von CH1 bzw. von CH nach Verstärkung an die Y-Ablenkplatten. Ein Kippgenerator erzeugt eine Sägezahnspannung mit der Periodendauer t d, die als Ablenkspannung U X für eine periodisch sich wiederholende horizontale Ablenkung des Elektronenstrahls sorgt (s. Abb. 6). Der Kippgenerator mit zugehörigen Komponenten (u.a. SEC/DIV-Schalter) wird auch als Zeitbasis oder Time-Base bezeichnet. Mit dem Zeitablenkschalter (SEC/DIV) wird im YT-Betrieb festgelegt, welche Zeit t e der Elektronenstrahl benötigt, um auf dem Oszilloskopschirm in horizontaler Richtung eine Strecke von einer Längeneinheit (1 DIV) zurückzulegen. Bei einer Bildschirmbreite von m DIVisions gilt t d = m t e.

70 68 U X t r t t d Abb. 6: Sägezahnspannung des Kippgenerators. Während der Zeit t d läuft der Elektronenstrahl mit gleichmäßiger Geschwindigkeit von links nach rechts, während der Zeit t r läuft er von rechts nach links an den Bildanfang zurück. Durch Verringerung von U W wird erreicht, dass der Strahl während des Rücklaufs nicht auf den Leuchtschirm gelangt..1. Synchronisierung (Triggerung) Um auf dem Oszilloskopschirm ein periodisches Signal U y(t) mit der Periodendauer T als stehendes Bild darzustellen, muss U y(t) mit der horizontalen Ablenkspannung U X(t) synchronisiert werden. Dieser Vorgang der Synchronisation heißt Triggerung. Sie wird über die Funktionseinheit Trigger gesteuert. Abb. 7 demonstriert die Triggerung anhand eines Beispiels für den Fall T t d + t r. Der Kippgenerator erzeugt die nächste Periode von U X(t) erst dann, wenn die Eingangsspannung U y(t) gleich der Schwellenspannung U L (TRIGGER LEVEL) ist und die Steigung (SLOPE) von U y(t) das am Trigger-Schalter SLOPE eingestellte Vorzeichen hat ( + in dem in Abb. 7 dargestellten Fall). Nur wenn beide Bedingungen erfüllt sind wird getriggert, d. h. der Elektronenstrahl läuft einmal von links nach rechts über den Oszilloskopschirm und wartet anschließend am linken Rand auf das nächste Triggerereignis. U y U L U X t + t d T r t t Abb. 7: Signaltriggerung. Oben Eingangssignal U y(t), unten Signal U X(t) des Kippgenerators. U L: Trigger-Level. Mit den Elementen der Funktionseinheit TRIGGER wird eingestellt, ob das Oszilloskop im oben beschriebenen NORMal- oder im AUTO-Triggermodus betrieben werden soll: Im NORMal-Modus kann eingestellt werden, auf welches Signal getriggert (synchronisiert) werden soll. Möglich sind die INTerne Triggerung auf ein an CH1 oder CH anliegendes Signal, auf ein EXTernes Signal, das dem Oszilloskop über die EXT INPUT / TRIG-Buchse zugeführt wird oder auf die Netzspannung (LINE). Im AUTO-Modus findet eine Triggerung wie im NORMal-Modus statt, falls das Eingangssignal die Triggerbedingung erfüllt; andernfalls wird die nächste Periode der Sägezahnspannung auch ohne Triggerung erzeugt. In dieser Betriebsart kann der Elektronenstrahl auch dann sichtbar gemacht werden, wenn der Kanal-Eingangsschalter auf GND steht. In diesem Fall ist U y(t) = 0, sodass die Triggerbedingung (U y > U L) für das Loslaufen des Elektronenstrahls gar nicht erfüllt werden kann.

71 69 Frage 1: - Was bedeutet es für die Triggerung des Oszilloskops, wenn die TRIGGER-Wahlschalter auf a) NORM, EXT, -, b) NORM, CH1, + stehen? Frage : - Auf dem Oszilloskopschirm mögen zwei sinusförmige Spannungsverläufe U y1(t) und U y(t) zu sehen sein. Wie lassen sich die Periodendauern T, die Frequenzen f und die Kreisfrequenzen ω der Signale ermitteln? Wie lautet der formelmäßige Zusammenhang zwischen diesen Größen? Wie lassen sich die Amplituden U y1,0 und U y,0 der Spannungssignale bestimmen? Frage 3: - Angenommen, die Signale U y1(t) und U y(t) haben die gleichen Frequenzen, sind jedoch seitlich gegeneinander versetzt, d. h. phasenverschoben. Wie lässt sich dann der Betrag der Phasenverschiebung ϕ (in Grad) der beiden Signale ermitteln (Formel)?. Digital-Speicher-Oszilloskop..1 Grundlagen Ein Digital-Speicher-Oszilloskop (kurz: Digital-Oszilloskop) ist im Grunde nichts anderes als ein Computer, der neben den üblichen Einheiten wie CPU, internem / externen Speicher, Bussystem und Software folgende spezielle Komponenten enthält: Ein Bedienfeld mit Drehknöpfen (z.b. VOLTS/DIV, SEC/DIV, LEVEL, ) und Tasten (z.b. CH1/ MENU, TRIG MENU, CURSOR, ), s. Abb. 9 und Abb. 10, über die die Steuerung der Software erfolgt (statt über Tastatur und Maus). Eine Einheit zur Erfassung und Digitalisierung von Spannungssignalen, die an die BNC- Buchsen CH1, CH und EXTR TRIG angelegt werden. Einen LCD-Bildschirm zur Anzeige der erfassten Signale, zur Ausgabe von Messwerten und Einstellungsparametern sowie zur Darstellung der Menüs zur Gerätesteuerung (s. Abb. 11, Abb. 1, Abb. 13). Die analogen Eingangssignale werden mit einem Analog/Digital-Wandler (A/D-Wandler) in digitale Signale umgewandelt. Details dieses Wandlungsprozesses werden in einem separaten Versuch Datenerfassung und verarbeitung mit dem PC... behandelt. Deshalb werden im Folgenden nur einige Grundbegriffe erläutert. Die Umwandlung analog digital geschieht nicht kontinuierlich, sondern nur zu diskreten, periodisch angeordneten Zeitpunkten, den so genannten Abtastpunkten (sampling points, Abb. 8). Die Häufigkeit, mit der ein Signal abgetastet wird, ist durch die Abtastrate oder Abtastfrequenz f a vorgegeben, ihr Kehrwert ist das Abtastintervall T a. Je höher f a, je kleiner also T a, desto präziser kann der zeitliche Verlauf eines Eingangssignals dargestellt werden. Bei den im Praktikum eingesetzten Geräten beträgt f a maximal 1 GHz. Die höchstmögliche Abtastfrequenz f a bestimmt nach dem Abtasttheorem 6 gleichzeitig die maximale Frequenz f s eines harmonischen Eingangssignals, die mit einem Digital-Oszilloskop noch erfasst werden kann. Für eine korrekte Signalerfassung muss die Bedingung 6 Weitere Details zum Abtasttheorem und zum Aliasing werden im späteren Versuch Fourieranalyse behandelt.

72 70 (5) f > a f s erfüllt sein, andernfalls treten Fehler auf (Aliasing). U T a t U Abb. 8: Abtastung eines Sinussignals (rot). Die Abtastpunkte (blau) haben den zeitlichen Abstand T a = 1/f a voneinander. U gibt die maximale Spannungsdifferenz im dargestellten Signal an. Um den Spannungswert an einem Abtastpunkt möglichst genau bestimmen zu können, benötigt man einen A/D-Wandler mit möglichst großer Auflösung, die durch die Zahl n der verfügbaren Bits gegeben ist. n Bits erlauben eine relative Genauigkeit für Spannungsmessungen von 1/ n. Bei den im Praktikum eingesetzten Typen ist n = 8, es können also 8 = 56 unterschiedliche Spannungswerte erfasst werden. Dazu zwei Beispiele: Bei einer Verstärkereinstellung am VOLTS/DIV-Schalter von 1 V/DIV und 8 Divisions in vertikaler Richtung können Eingangssignale mit maximalen Spannungsunterschieden von U = 1 V/DIV 8 DIV = 8 V dargestellt werden. Einzelne Spannungswerte können dann mit einer Genauigkeit (Auflösung) von 8 V/ 8 30 mv gemessen werden. Spannungsunterschiede im Eingangsignal, die kleiner als ca. 30 mv sind, können demnach nicht aufgelöst werden. Bei einer Verstärkereinstellung von 0 mv/div und 8 Divisions können Eingangssignale mit maximalen Spannungsunterschieden von U = 0 mv/div 8 DIV = 160 mv dargestellt werden. Die Auflösung bei der Messung einzelner Spannungswerte beträgt dann 160 mv/ 8 0,63 mv. Für Messungen mit möglichst hoher Auflösung ist es deshalb wichtig, die Eingangssignale über die richtige Einstellung am VOLTS/DIV-Schalter immer so weit zu verstärken, dass sie sich in vertikaler Richtung annähernd über den gesamten Bildschirm erstrecken. Eine weitere Größe, die die Güte eines Digital-Oszilloskops bestimmt, ist die maximale Zahl N von Abtastwerten, die gespeichert werden können. Bei den im Praktikum eingesetzten Geräten ist N =.500. Die Darstellung der Messwerte erfolgt auf einem Bildschirm mit z.b. 30 (horizontal) 40 (vertikal) Pixeln. Die Signalspeicherung geschieht bei einem Digital-Oszilloskop kontinuierlich. Im Speicher stehen immer die letzten N Abtastwerte des Signals zur Verfügung. Die Darstellung der Signale geschieht jedoch nur dann, wenn eine Triggerung erfolgte. Die kontinuierliche Signalspeicherung hat den Vorteil, dass auch Signalanteile vor dem Triggerzeitpunkt dargestellt werden können (Vortriggerung, englisch Pre-Triggering). So ist in der Grundeinstellung des Oszilloskops der Zeitpunkt, zu dem die Triggerung ausgelöst wurde, in der horizontalen Bildmitte zu finden (s. Abb. 11). Mit Hilfe des HORIZONTAL POSITION- Knopfes kann dieser Zeitpunkt nach links und rechts verschoben werden.

73 71 Abb. 9: Frontansicht des Digital-Oszilloskops TEKTRONIX Typ TDS 0 (Quelle: TEKTRONIX-Manual). Abb. 10: Frontansicht des Digital-Oszilloskops TEKTRONIX TDS 101B (Quelle: TEKTRONIX-Manual). Die Modelle TDS 101, TDS 101B und TDS 01C verfügen über die Möglichkeit der Datenspeicherung auf einer SD-Karte bzw. einem USB-Speicherstick.

74 7 Abb. 11: Bildschirmfoto des Digital-Speicher-Oszilloskops TEKTRONIX TDS 101, mit dem eine sinusförmige Wechselspannung an CH1 gemessen wird. Durch Aktivierung der Funktion MESSUNG werden am rechten Bildrand der Spitze-Spitze-Wert U SS der Spannung (8,16 V) sowie ihre Frequenz (1,00 khz) ausgegeben. Unten wird die Einstellung der Parameter VOLTS/DIV (CH1.00V) und SEC/DIV (M 50µs) sowie die Höhe des TRIGGER LEVELs ( 560mV) angezeigt. Das Zeichen bedeutet Triggerung auf einen Signalabschnitt mit positiver Steigung (SLOPE). Der nach unten zeigende Pfeil am oberen Bildrand markiert den Triggerzeitpunkt, der nach links zeigende Pfeil am rechten Bildrand den TRIGGER LEVEL und der nach rechts zeigende Pfeil am linken Bildrand mit der Ziffer 1 die Lage der 0 V-Linie (GND) von CH1... Menüsteuerung Viele Funktionen des Digital-Oszilloskops werden über Menüs gesteuert. Nach der Betätigung einer Taste wie CH1 MENU, MESSUNG / MEASURE, ERFASSUNG / ACQUIRE, DISPLAY usw. erscheint in der rechten Spalte des Bildschirms ein Menü mit fünf untereinander angeordneten Feldern. Abb. 1 zeigt als Beispiel das Menü nach Betätigung der Taste CH1 MENU. Die Einträge in den einzelnen Feldern lassen sich durch Betätigung der rechts neben den Feldern liegenden Tasten verändern. So führt beispielsweise eine mehrmalige Betätigung der Taste neben dem Feld Kopplung zur Änderung der Signalkopplung: DC AC GND DC AC GND Weitere Menüs sind in Abb. 13 dargestellt. Abb. 1: Menü auf dem Bildschirm (rechte Spalte) nach Betätigung der Taste CH1 MENU. Rechts daneben die Tasten zur Änderung der Menüauswahl in den einzelnen Feldern.

75 73 Abb. 13: Menüs nach Betätigung unterschiedlicher Funktionstasten. Von links nach rechts und von oben nach unten sind dargestellt: Menü DISPLAY (u.a. Umschaltung zwischen YT- und XY- Betrieb), Menü TRIGGER, Menü ERFASSUNG und Menü MESSUNG...3 Quantitative Messungen Ein großer Vorteil von Digital-Oszilloskopen gegenüber analogen Geräten besteht in der Möglichkeit, die gespeicherten Daten geräteintern verrechnen zu können. So können auf einfache Weise Signalmittelwerte, Spitzenwerte von Signalen, Zeit- und Amplitudendifferenzen, Periodendauern, Signalfrequenzen usw. gemessen werden. Zur Messung von Parametern periodischer Signale (Periode, Frequenz, Amplitude usw.) eignet sich das Menü MESSUNG / MEASURE. Die Ergebnisausgabe erfolgt jeweils am rechten und unteren Rand der Anzeige. Abb. 11 und Abb. 13 unten rechts zeigen Beispiele. Nichtperiodische Signale oder einzelne Spannungs- und Zeitwerte lassen sich mithilfe des CURSOR- Menüs messen (Abb. 14). Mit zwei horizontalen Cursorn (Spannungscursor) lassen sich Spannungswerte und Spannungsdifferenzen bestimmen, mit zwei vertikalen Cursorn (Zeitcursor) Zeitwerte und Zeitdifferenzen. Die Cursor lassen sich mit Hilfe der POSITION-Knöpfe (Typ TDS 101) oder mit einem separaten Drehknopf (Typ TDS 101B / 01C) verschieben. Die zu den Cursorpositionen gehörenden Messwerte werden jeweils in Anzeigefeldern am rechten Bildrand ausgegeben.

76 74 Abb. 14: CURSOR-Menüs. Links zwei Spannungscursor (Typ Amplitude), die die Maxima (CUR- SOR 1, 100 mv) und die Minima (CURSOR, -10 mv) des Signals an CH1 markieren. V zeigt die Spannungsdifferenz beider Cursorwerte an (0 mv). Rechts zwei Zeitcursor (Typ Zeit), die den Beginn (CURSOR 1, - 90 µs) und das Ende (CURSOR, 910 µs) einer Periode des Signals an CH1 markieren. t zeigt die Zeitdifferenz beider Cursorwerte an (1.000 ms)...4 Speicherung von einmaligen Signalen Ein weiterer Vorteil von Digital-Oszilloskopen gegenüber analogen Geräten besteht in der Möglichkeit, einmalige Signale erfassen und speichern zu können. Ein Beispiel für solche Signale sind Spannungsimpulse, die eine Fotodiode nach Bestrahlung mit einem kurzen Lichtblitz ausgibt. Über das TRIGGER- Menü kann man die Bedingungen einstellen (PEGEL / LEVEL, FLANKE / SLOPE, ) unter denen eine einmalige Signalaufzeichnung erfolgen soll. Durch Betätigung der Taste RUN / STOP bzw. SINGLE SEQ wird das Oszilloskop anschließend in eine Wartestellung versetzt (Anzeige READY in oberer Menüzeile). Erfüllt das Eingangssignal danach die Triggerbedingungen, erfolgt die Aufzeichnung. Aufgrund der Pre-Triggerung (s. Kap...1) ist dann auch der Signalverlauf direkt vor dem Auslösen des Triggerereignisses sichtbar. 3 Versuchsdurchführung Zubehör: Digital-Oszilloskop (TEKTRONIX TDS 101 / 101B / 01C), Funktionsgeneratoren (TOELLNER 7401), Signalformer, Stroboskop, Blitzgerät (METZ 44 AF-1), Fotodetektor (Si-Fotoelement SIEMENS BPY64P), Glühlampe und Leuchtstofflampe in lichtdichtem Kasten, hochohmiger Spannungsteiler 100:1 zur Teilung der Netzspannung. Hinweise: Einzelheiten zum Betrieb der zur Verfügung stehenden Geräte, insbesondere der Oszilloskope, müssen bei Bedarf in den bereitliegenden Gerätehandbüchern nachgelesen werden. Das Erlernen des Umgangs mit Handbüchern (auch englischsprachigen) gehört mit zu den Lernzielen im Praktikum! Im Laufe des Studiums wird man immer wieder mit Oszilloskopen arbeiten müssen, die jeweils anders aussehen und unterschiedlich in ihrer Bedienung sind. Es wäre daher falsch, sich im Praktikum an nur einen Gerätetyp zu gewöhnen. Im Gegenteil, man sollte im eigenen Interesse häufig zwischen verschiedenen Modellen wechseln, um genügend Routine beim Umgang mit den Geräten zu erwerben. Manchmal kann es hilfreich sein, die AUTOSET-Taste am Oszilloskop zu betätigen. Das Gerät analysiert dann das Eingangssignal und stellt es mit daraus abgeleiteten Einstellungen dar.

77 Erzeugung eines Punktes In der Mitte des Bildschirmes soll ein ruhender Punkt erzeugt werden. Dazu muss das Oszilloskop auf XY-Betrieb (Menü DISPLAY) eingestellt werden. Durch welche Bedienungselemente lässt sich die vertikale und horizontale Lage des Punktes verändern? 3. Erzeugung eines vertikalen Striches Im XY-Betrieb soll in der Mitte des Bildschirms ein vertikaler Strich mit einer Länge von 6 DIVisions erzeugt werden. Dazu muss ein geeignetes Signal aus dem Funktionsgenerator (Buchse OUTPUT) an den Y-Kanal gelegt werden. Durch welche Bedienungselemente des Oszilloskops und des Funktionsgenerators lassen sich die Länge und die Lage des Striches beeinflussen? (Alle Möglichkeiten ausprobieren!) 3.3 Ausgangssignale eines Funktionsgenerators Im YT-Betrieb sollen nacheinander die verschiedenen Ausgangssignale (Sinus-, Dreieck-, Rechtecksignal) des Funktionsgenerators an CH1 dargestellt werden. Variieren Sie die Frequenz, die Amplitude und den Gleichspannungsanteil (DC-OFFSET) am FG und beobachten Sie die zugehörigen Signaländerungen auf dem Oszilloskop. Um Änderungen bei Variation des Gleichspannungsanteils beobachten zu können, muss am Oszilloskop die DC-Kopplung (CH1/ MENU) eingestellt sein. Stellen Sie gleichzeitig mit dem Ausgangssignal des FG das Signal an der Buchse TTL OUT 7 dar. Dokumentieren Sie für alle drei Signalformen das Ausgangssignal zusammen mit dem TTL-Signal entweder per Handskizze oder mit einem Bildschirmfoto (siehe Anhang, Kap. 4). Geben Sie den maximalen und minimalen Spannungswert des TTL-Signals sowie seine Phasenlage relativ zu den Ausgangssignalen (Sinus, Dreieck, Rechteck) an. 3.4 Trigger-Level und Trigger-Flanke Der Funktionsgenerator (DC-OFFSET OFF) wird an CH1 des Oszilloskops angeschlossen. Auf dem Schirm wird ein Bild entsprechend Abb. 15 erzeugt, d. h. ein Sinussignal mit Grundlinie. Die Amplitude des Sinussignals soll 1 V betragen, die Frequenz khz und auf dem Schirm soll genau eine Periode sichtbar sein. Getriggert wird im NORMal-Modus (TRIG MENU), der Triggerzeitpunkt soll am linken Bildrand liegen. Abb. 15: Oszilloskopbild eines Sinussignals mit Grundlinie (rot). Jedes Kästchen hat die Größe 1 DIV 1 DIV. Das Sinussignal soll am linken Rand nacheinander bei einem Argument (Phasenwinkel) von 0, 45, 90, 135, 180, 5 und 70 beginnen, ohne dass die Einstellung der HORIZONTAL POSITION am Oszilloskop dabei verändert wird. Wie müssen der PEGEL / LEVEL und die FLANKE / SLOPE der 7 Siehe Erläuterungen zu den Ausgangssignalen eines FG im Kapitel Zum Aufbau elektrischer Schaltungen dieses Skriptes.

78 76 Triggereinheit dazu eingestellt werden? (Darstellung der Ergebnisse in Tabellenform; Trigger-Level für die jeweiligen Phasenwinkel ausrechnen, am Oszilloskop einstellen und in die Tabelle eintragen.) 3.5 Quantitative Messung eines Spannungssignals Mit Hilfe eines Fotodetektors ist es möglich, den zeitlichen Verlauf einer Lichtintensität I(t) in ein dazu proportionales Spannungssignal U(t) umzuwandeln. Mit dem zur Verfügung stehenden Fotodetektor soll der zeitliche Verlauf der Lichtintensität einer an das Stromnetz (50 Hz Wechselspannung) angeschlossenen Glühlampe und einer Leuchtstofflampe (Abb. 16) gemessen werden (Frequenz, Amplitude, Signalform). Dabei soll insbesondere auf charakteristische Unterschiede in den Signalen beider Lampen geachtet werden. Zur Messung wird der Fotodetektor auf die Öffnung des Lampenkastens gelegt und die jeweilige Lampe eingeschaltet. I(t) enthält einen Gleichanteil I DC und einen deutlich kleineren zeitlich variierenden Anteil I AC. Nur das zu I AC gehörende Spannungssignal wird auf dem Oszilloskop dargestellt und vermessen. Frage 4: - Warum enthält I(t) einen Gleichanteil I DC? Bei der Messung der Signale wird auffallen, dass sie von einem Rauschsignal kleiner Amplitude überlagert sind. Bei periodischen Signalen lässt sich dieser Rauschanteil durch Mittelwertbildung verringern. Dazu wählt man die Betriebsart ERFASSUNG / ACQIRE MITTELWERT, in der die Signale über 4, 16, 64 oder 18 Zeitintervalle der Länge t gemittelt werden können. t entspricht dabei der Breite des auf dem Bildschirm angezeigten Zeitbereichs: t = 10 t e, wobei t e der eingestellte SEC/DIV-Wert ist. Schalten Sie zwischen den Erfassungsmodi NORMALE ABTASTUNG und MITTELWERT um, variieren Sie die Zahl der Zeitintervalle, über die gemittelt wird und dokumentieren Sie die Änderungen in den dargestellten Signalen. Spule Leuchtstoff U ~ Elektroden Gas Glimmstarter Abb. 16: Blockschaltbild einer Leuchtstofflampe. Frage 5: - Abb. 16 zeigt das Blockschaltbild einer Leuchtstofflampe. Wie funktioniert die Lampe prinzipiell? Worin besteht der wesentliche Unterschied zu einer Glühlampe? 3.6 Scheitel- und Effektivwert der Netzspannung Mit einem hochohmigen Spannungsteiler wird die Netzspannung im Verhältnis 100:1 auf zwei Widerstände aufgeteilt (Abb. 17; Genauigkeit der Widerstände ± 1 %). 8 8 Zur Vermessung der Netzspannung wird ein Spannungsteiler statt eines Netztransformators benutzt, um die Form der Netzspannung nicht zu verfälschen.

79 77 Netzspannung 30 V ~ L 100 R 1 R 1 CH 1 Abb. 17: Hochohmiger Spannungsteiler zur Teilung der Netzspannung mit Kontrolllämpchen L (rot). Achtung: Beim Anschluss des Spannungsteilers an die Netzspannung muss unbedingt auf richtige Polung geachtet werden! Bei richtiger Polung leuchtet das rote Kontrolllämpchen L auf, bei falscher Polung nicht. In diesem Fall muss der Netzstecker umgedreht werden! Keinesfalls darf das Oszilloskop bei falscher Polung angeschlossen werden! Aus Sicherheitsgründen ist ein Einsatz der beschriebenen Spannungsteilerschaltung nur durch geschultes Personal zulässig (Gefahr der Berührung von Netzspannung bei falschem Einsatz der Schaltung oder bei Leitungsbruch). Das Kabel am Widerstand R 1 darf daher erst angeschlossen werden, nachdem die Schaltung durch eine betreuende Person überprüft wurde! Über dem kleineren Widerstand R 1 wird die Spannung abgegriffen, auf CH1 des Oszilloskops gegeben und Form, Frequenz und Amplitude gemessen. Frage 6: - Wie groß ist die Amplitude (der Scheitelwert) der Netzspannung, wie groß ihr Effektivwert (sinusförmige Netzspannung vorausgesetzt)? Wie groß wäre der Effektivwert einer rechteckförmigen Wechselspannung gleicher Amplitude? Frage 7: - Welcher Strom (Effektivwert) fließt durch eine Heizplatte, die mit Wechselstrom betrieben wird und deren Typenschild die Angabe 30 V / 1,5 kw trägt? Wie groß ist der Scheitelwert dieses Stromes? 3.7 Untersuchung eines gedämpften periodischen Spannungssignals An den Eingang eines Signalformers wird eine Rechteckspannung angelegt (Frequenz 10 khz, Amplitude einige V). Dieser Signalformer wird als Black Box behandelt, dessen Funktionsprinzip hier nicht interessiert. Wichtig ist nur, dass am Ausgang des Signalformers ein Spannungssignal vorliegt, dessen Verlauf dem einer gedämpften harmonischen Schwingung entspricht. Frage 8: - Der Spannungsverlauf U(t) einer gedämpften harmonischen Schwingung (siehe Abb. 18) mit der Anfangsamplitude U 0, der Kreisfrequenz ω und der Dämpfungskonstanten α lässt sich als Funktion der Zeit t schreiben als: (6) U( t) = U ( ω t) α 0 cos e t Die mit der Zeit abnehmenden Amplituden der Teilschwingungen seien U i (i = 1,, 3,, s. Abb. 18). Was für ein Funktionsverlauf ergibt sich, wenn die U i über i a) linear und b) halblogarithmisch aufgetragen wird? (Die i-achse soll jeweils linear skaliert sein.) Das Ausgangssignal des Signalformers wird an CH1 des Oszilloskops angeschlossen. Die Triggerung und Zeitablenkung des Oszilloskops wird so eingestellt, dass eine gedämpfte Schwingung vollständig und von einer weiteren der Anfang auf dem Schirm zu sehen ist. Anschließend werden folgende Signaldaten gemessen:

80 78 a) Frequenz der gedämpften Schwingung, b) Spannungsamplituden U i der ersten 5 Teilschwingungen. Stellen Sie im Versuchsprotokoll U i als Funktion von i grafisch dar (linear und halblogarithmisch) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den Erwartungen gemäß Frage 8. 1,0 0,5 U 1 U U / V 0,0-0,5 Abb. 18: Gedämpfte harmonische Schwingung gem. Gl. (6). U 0 = 1V ist die Anfangsamplitude, U 1 und U sind die Amplituden der beiden nachfolgenden Teilschwingungen. 3.8 Dauer eines Lichtblitzes -1,0 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 Mit Hilfe eines Fotodetektors soll die Dauer des Lichtblitzes aus einem Foto-Blitzgerät ermittelt werden (Taste M am Blitzgerät so oft drücken, bis die LED über 1/64 aufleuchtet). Der Blitz wird aus ca. (0,5 1) m auf den Fotodetektor gerichtet und ausgelöst. Das Signal des Fotodetektors wird mit dem Oszilloskop im SINGLE SEQ / SINGLE SHOT-Modus erfasst. Da die Dauer des Lichtblitzes kurz ist (< 1 ms) und die Lichtintensität des Blitzes schnell ansteigt und abfällt, muss ein schneller Fotodetektor verwendet werden. Darunter versteht man einen Detektor, der Lichtimpulse mit kurzer Anstiegs- und Abfallzeit messen kann. Bei dem verwendeten Fotodetektor erreicht man dies dadurch, dass man die Ausgangskontakte des Fotodetektors mit einem 50 Ω -Widerstand verbindet und die Spannung über diesem Widerstand misst. Man spricht in dem Fall von einem 50 Ω-Abschluss des Detektors 9. Der physikalische Grund für diese Beschaltung wird bei den späteren Versuchen Messung von Kapazitäten... und Sensoren... klar werden. Als Dauer des Lichtblitzes soll die 10%-Breite t b des aufgezeichneten Spannungsimpulses angegeben werden, wie sie in Abb. 19 definiert ist. Eine Skizze bzw. ein Bildschirmfoto (vgl. Kap. 4) des aufgezeichneten Impulses wird dem Protokoll beigefügt. t / s 9 Ein 50 Ω-Abschluss lässt sich realisieren, indem man auf die BNC-Buchse des Fotodetektors ein T-Stück aufsetzt. An einen Ausgang des T-Stücks schließt man einen 50 Ω-Widerstand an, an den anderen das Verbindungskabel zum Oszilloskop.

81 79 U U 0 0,1 U 0 t b t Abb. 19: Zur Definition der 10%-Breite t b eines Spannungsimpulses U(t) mit der Amplitude U 0. 4 Anhang Um ein Bildschirmfoto des Digital-Oszilloskops auf einem USB-Stick bzw. einer SD-Card zu speichern, müssen folgende Tastenfolgen gedrückt werden: Grundeinstellungen (müssen nur einmal vorgenommen werden): SAVE/RECALL Aktion Bild speichern Dateiformat TIFF Verzeichnis auswählen GPRnn 10 Verzeichnis wechseln Bild speichern: Speichern / PRINT TEKnnnn.TIF nnnn ist die Bildnummer. Sie wird nach jedem Speichervorgang automatisch um 1 erhöht. 10 nn ist die Gruppennummer; Auswahl mit dem Drehknopf oben links.

82 80 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Sensoren für Kraft, Druck, Abstand, Winkel und Lichtintensität Stichworte: Sensor, Messwertaufnehmer, Linearität, Ansprechzeit, Messbereich, Auflösung, Rauschen, Dehnungsmessstreifen, piezoresistiver Effekt, Triangulation, HALL-Effekt, Halbleiter, pn-übergang. Literatur: /1/ NIEBUHR, J.; LINDNER, G.: Physikalische Messtechnik mit Sensoren, Oldenbourg Industrieverlag, München // SCHANZ, G. W.: Sensoren, Hüthig-Verlag, Heidelberg /3/ HAUS, J.: Optical Sensors, Wiley-VCH, Weinheim 1 Einleitung Als Sensoren bezeichnet man Messwertaufnehmer (auch Messgrößenaufnehmer), mit denen eine physikalische oder chemische Größe quantitativ erfasst werden kann. In den meisten Fällen wird der Wert w der Größe in eine elektrische Spannung U oder einen elektrischen Strom I umgesetzt. Durch eine Kalibrierung wird die Kalibrierfunktion U(w) bzw. I(w) bestimmt, mit der man aus einem gemessenen Spannungs- oder Stromwert auf den zugehörigen Wert der Größe schließen kann. Zur Kalibrierung eines Kraftsensors wird z.b. der Sensor unterschiedlichen, aber bekannten Kräften F i ausgesetzt und jeweils die zugehörige Spannung U i gemessen. Anschließend wird U i über F i aufgetragen und mit Hilfe eines Fits eine Kalibrierkurve durch die Messdaten gelegt. Wichtige Kenngrößen von Sensoren sind: Linearität: Oftmals besteht ein linearer Zusammenhang zwischen dem tatsächlichen Wert der Größe w und dem Ausgangssignal des Sensors, z.b. der Spannung U. Dann gilt: U= kw+ U 0 wobei k der Kalibrierfaktor ist und U 0 die Ausgangspannung des Sensors im Falle w = 0. Die Kalibrierkurve ist in diesem Fall eine Gerade, der Sensor arbeitet linear. Ist U 0 = 0, so besteht eine Proportionalität zwischen U und w. Dies ist der Idealfall für einen Sensor. Ansprechzeit: Die Ansprechzeit gibt an, innerhalb welcher Zeit eine Änderung der Größe w zu einer entsprechenden Änderung des Ausgangssignals führt. Messbereich: Der Messbereich gibt den Wertebereich der Größe w an, der innerhalb festgelegter Fehlergrenzen zu einer mit der Kalibrierfunktion beschreibbaren Änderung des Ausgangssignals führt. Auflösung: Die Auflösung ist die kleinste Änderung der Größe w, die zu einer eindeutig messbaren Änderung des Ausgangssignals führt. Rauschen: Unter Rauschen versteht man die inhärenten, zufälligen Schwankungen des Ausgangssignals eines Sensors. Eine wesentliche Quelle für das Rauschen vieler Sensoren ist die Elektronik, die zur Erzeugung des Ausgangssignals eingesetzt wird. Seit es möglich ist, Sensoren in kompakter bzw. miniaturisierter Bauform herzustellen, oder gar in IC s 1 zu integrieren, haben sie in der modernen Messtechnik und in der industriellen Fertigung eine große Verbreitung gefunden. In diesem Versuch werden Sensoren für Kraft, Druck in Gasen, Abstand, Winkel und Lichtleistung bzw. Lichtintensität behandelt. 1 IC: Integrated Circuit. Eine in einem Kunststoffgehäuse eingeschlossene integrierte elektronische Schaltung.

83 81 Theorie.1 Kraftsensor auf Basis eines Biegestabes Mit den im Basispraktikum eingesetzten Kraftsensoren wird eine mechanische Kraft vom Betrag F in ein dazu proportionales Spannungssignal U umgesetzt. Als Sensor dient ein Biegestab (s. Abb. 1). Durch die Kraft F wird der einseitig gehaltene Stab elastisch verformt, es gilt das HOOKEsche Gesetz. Oben findet eine Dehnung des Stabes statt, unten eine Stauchung. Dehnung und Stauchung sind proportional zu F = F. Sie werden mit Dehnungsmessstreifen (DMS) in zu F proportionale Änderungen des elektrischen Widerstandes der DMS umgesetzt. Die DMS sind zu einer Halbbrücke (Abb. ) zusammen geschaltet 3. An eine Brückendiagonale wird die Betriebsspannung U b angelegt, über der anderen Diagonalen wird die Ausgangsspannung U gemessen. Da diese Spannung sehr klein ist (mv-bereich), wird sie mit einem Messverstärker verstärkt, der gleichzeitig auch die Betriebsspannung U b liefert. Die Ausgangsspannung des Messverstärkers, U M, ändert sich linear mit F. DMS F Abb. 1: Links: Prinzip der Kraftmessung mit einem Biegestab (grün), der links in einem Block (grau) fixiert ist. Die Gewichtskraft F = G eines angehängten Gewichtes (blau) verursacht eine Biegung des Stabes, die mit Dehnungsmessstreifen (DMS, gelb) gemessen wird. Die mechanischen Begrenzungen (rot) verhindern eine Überdehnung des Stabes durch zu große Kräfte. Rechts: Blick in das Gehäuse eines im Basispraktikum eingesetzten Kraftsensors. Die auf den Biegestab aufgeklebten DMS sind so dünn, dass sie kaum erkennbar sind. Die Kabel sind die Anschlussleitungen der DMS. Sie führen zur Anschlussbuchse links oben, an die der Messverstärker angeschlossen wird. DMS DMS U R R + =U b - Abb. : Halbbrücke mit zwei DMS gleichen Typs und zwei gleichen Widerständen R. Ein DMS wird gedehnt, der andere gestaucht. U b ist die Betriebsspannung der Brücke, U die Ausgangsspannung, die mit einem Messverstärker weiter verstärkt wird. ROBERT HOOKE ( ) 3 Vgl. Versuch Messung ohmscher Widerstände.

84 8. Drucksensor auf Basis des piezoresistiven Effektes Für die Messung von Druckänderungen in Gasen steht ein Drucksensor des Typs SENSORTECHNICS HCLA1X5DB zur Verfügung. Es handelt sich dabei um einen Halbleiterdrucksensor, der auf dem piezoresistiven Effekt basiert. Darunter versteht man die Änderung des elektrischen Widerstandes eines Materials (hier p-silizium, p-si; zur Bezeichnung vgl. Kap..5.1) unter dem Einfluss mechanischer Spannungen. Abb. 3 (links) zeigt den schematischen Aufbau eines solchen Sensors. In der Mitte einer gasdichten Kammer befindet sich eine Si-Membran von einigen Mikrometern Dicke, die die Kammer gasdicht in zwei Hälften teilt. Die obere Hälfte der Kammer wird über einen Schlauchanschluss mit einem Gasvolumen vom Druck p 1 verbunden, die untere mit einem Gasvolumen vom Druck p. Bei einer Druckdifferenz p = p p 1 wölbt sich die Membran in Richtung der Kammer mit dem niedrigeren Druck. Am Rande der Membran sind piezoresistive Si-Elemente angebracht, auf die infolge der Membranwölbung Kräfte ausgeübt werden. Diese führen zur Dehnung und damit zu einer Widerstandsänderung des Materials 4, die mit Hilfe einer in dem Sensor integrierten Brückenschaltung in ein Spannungssignal gewandelt wird. Mit einer ebenfalls bereits im Sensor enthaltenen integrierten Schaltung wird dieses Signal weiter verstärkt. Am Ausgang des Drucksensors steht schließlich eine Spannung U zur Verfügung, die sich linear mit der Druckdifferenz p ändert. 5 p 1 Anschlusskontakt ("Bonding Pad") Si-Membran p Piezoresistives Si-Element Abb. 3: Links: Schematische Darstellung eines piezoresistiven Drucksensors zur Messung eines Differenzdruckes p = p p 1. Rechts: Blick in das Gehäuse des im Basispraktikum eingesetzten Drucksensors. Innen rechts befindet sich auf einer kleinen Platine der in einen IC integrierte Sensor. Rechts außen sind die Schlauchanschlüsse zu erkennen (p 1 = p-, p = p+)..3 Abstandssensor auf Basis der Triangulation Zur Abstandsmessung wird ein Laserdistanzsensor eingesetzt (Typ BAUMER OADM 1U6460/S35), der nach dem Prinzip der Triangulation arbeitet (s. Abb. 4 links). Aus einer Laserdiode gelangt ein kollimierter, dünner Laserstrahl auf die Oberfläche eines Objektes O, deren Abstand zur Bezugsebene E im Sensor gemessen werden soll. In einem bekannten seitlichen Abstand d vom Austritt des Laserstrahls befindet sich der Mittelpunkt eines Objektivs L. Mit diesem Objektiv wird das vom Punkt C auf dem Objekt gestreute Licht auf eine CCD-Zeile abgebildet 6. Es entsteht ein Bildpunkt A, der vom rechten Rand der CCD-Zeile 4 Der Effekt ist der Widerstandsänderung eines metallischen DMS bei Dehnung vergleichbar. Die mit einer bestimmten Dehnung einhergehende Widerstandsänderung ist jedoch bei einem piezoresistiven Material erheblich größer als bei einem metallischen DMS. Für Metalle ist k = 4, für Si ist k 100 (vgl. Versuch Messung ohmscher Widerstände ). 5 Die elektrische Verbindung (engl. Bond) zwischen der integrierten Schaltung und den piezoresistiven Elementen erfolgt über dünne Bonddrähte, die an den Bonding Pads angeschlossen sind. 6 CCD: Charged Coupled Device. Eine CCD-Zeile besteht aus einer zeilenförmigen Anordnung von z.b. 18 oder 51 (oder mehr) kleinen Fotodetektoren (Pixeln), die jeweils eine Breite von wenigen Mikrometern haben.

85 83 um die Strecke q entfernt ist. Der Abstand q variiert mit der Entfernung s zwischen E und O. Für das Dreieck ABC (daher der Name Triangulation) gilt: d + q (1) tanα = s Außerdem gilt mit der Entfernung p zwischen der Mittenebene der Linse und der Frontseite der CCD-Zeile (Ebene E): () tanα = Daraus folgt: q p (3) ( + ) d + q q d q p = s = s p q In Kenntnis der Geräteparameter d und p lässt sich somit durch Messung der Größe q die Entfernung s bestimmen. Das Signal der CCD-Zeile wird von einem Mikroprozessor ausgelesen, der daraus die Größe q bestimmt und mit den bekannten geometrischen Daten d und p in ein Spannungssignal U LDS umrechnet, das sich mit s linear ändert. Dieses Signal steht am Ausgang des Laserdistanzsensors zur Verfügung. CCD p q L A d B LD E s α O C Abb. 4: Links: Funktionsprinzip eines nach dem Prinzip der Triangulation arbeitenden Laserdistanzsensors (schematisch). Tatsächlich können Objektiv L und CCD-Zeile gegenüber der Horizontalen verkippt sein, um innerhalb des Messbereiches des Sensors Verzerrungen bei der Abbildung des Objektpunktes C zu minimieren. Rechts: Foto des im Basispraktikum eingesetzten Laserdistanzsensors. Rechts unten befindet sich das Anschlusskabel, über das die Betriebsspannung zugeführt und das Ausgangssignal abgeleitet wird.

86 84.4 Winkelsensor auf Basis des HALL-Effektes Für die Messung des Drehwinkels einer Achse wird ein Winkelsensor (Typ TWK-ELEKTRONIK PBA 1) eingesetzt, der auf dem HALL 7 -Effekt basiert. Wir werden seine Funktion hier nur schematisch beschreiben. Eine detaillierte Behandlung des Hall-Effektes ist Vorlesungen späterer Semester vorbehalten. Wir betrachten gem. Abb. 5 einen Quader aus einem geeigneten Halbleitermaterial (grau), der in vertikaler Richtung von einem Magnetfeld B (blau) durchsetzt ist und in horizontaler Richtung von einem Strom I durchflossen wird. Im mikroskopischen Bild wird der Strom durch den Transport positiver und negativer Ladungsträger mit der Ladung ± q verursacht, die sich mit den Driftgeschwindigkeiten ± v bewegen. Aus der Schule ist bekannt, dass auf bewegte Ladungen in einem Magnetfeld die LORENTZkraft 8 F wirkt, die gegeben ist durch: (4) F= q v B I B U H Abb. 5: Zur schematischen Darstellung des Hall-Effektes. Bezeichnungen siehe Text. Die Lorentzkraft bewirkt, dass sich in einer Anordnung gem. Abb. 5 die positiven Ladungsträger nach oben und die negativen Ladungsträger nach unten bewegen. In Folge dessen entsteht zwischen den Kontakten (schwarz) eine Hall-Spannung U H, für die gilt: (5) UH B Aus Gl. (4) ist ersichtlich, dass der Betrag der Kraft F von dem Winkel α zwischen v und B abhängt. Es gilt: (6) F= qvbsinα = qvb wobei Β die Komponente von B ist, die senkrecht auf v steht. Mit einer Änderung der Kraft F geht eine proportionale Änderung der Hall-Spannung einher. Es gilt: (7) UH B Gl. (7) bildet die Basis für den im Versuch eingesetzten Winkelsensor, dessen Funktionsprinzip schematisch in Abb. 6 dargestellt ist. H α S N H 1 ASIC U Abb. 6: Schematischer Aufbau des im Versuch eingesetzten Winkelsensors. Bezeichnungen siehe Text. Auf der Achse, deren Winkelstellung α gemessen werden soll, ist ein kleiner Permanentmagnet (rot/grün) montiert. Bei Drehung der Achse dreht sich das von ihm erzeugte Magnetfeld B um den gleichen Winkel. 7 EDWIN H. HALL ( ) 8 HENDRIK A. LORENTZ ( )

87 85 Dieses Feld durchsetzt zwei 9 Hall-Sonden H1 und H. Je nach Orientierung von B liefern H1 und H unterschiedliche Hall-Spannungen, aus denen mit einem ASIC 10 die Ausgangspannung U des Winkelsensors erzeugt wird, die proportional zum Winkel α ist..5 Fotodetektoren Fotodetektoren dienen zur Detektion von Licht. Messbare Größen sind die Lichtleistung P L mit der Einheit W (Watt) bzw. die Lichtintensität I L mit der Einheit W/m. Aus der Vielzahl verschiedener Fotodetektoren wollen wir uns hier auf die Fotodiode beschränken. Sie wandelt die Größen P L bzw. I L in einen elektrischen Strom I um, der sich linear mit P L bzw. I L ändert. Bei Bedarf kann ein Strom-Spannungswandler den Strom I in eine dazu proportionale elektrische Spannung U konvertieren. Für ein detailliertes Verständnis der Funktion einer Fotodiode sind Kenntnisse aus dem Bereich der Festkörperphysik und Halbleiterphysik erforderlich, die erst in späteren Semestern erarbeitet werden. Deshalb beschränken wir uns hier auf eine kurze Beschreibung der Grundlagen ihres Aufbaus und ihrer Funktionsweise..5.1 Si-Halbleiter und pn-übergang Fotodioden werden überwiegend aus kristallinem Silizium (Si), einem Halbleiter, hergestellt. In reinem (intrinsischem) Si ist jedes vierwertige Si-Atom von vier gleichen Nachbarn umgeben und mit diesen in kovalenter Bindung verbunden (Abb. 7). Alle vier äußeren Elektronen des Si sind damit räumlich fixiert. Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si Abb. 7: Kristallstruktur von reinem Si. Die blauen Kreise stellen schematisch die an der kovalenten Bindung beteiligten Elektronen dar. Durch Dotierung von reinem Si mit fünfwertigen Atomen (Donatoren) entsteht n-silizium (Abb. 8 links), ein n-halbleiter 11. Für die kovalente Bindung des Donatoratoms mit den vier Si-Nachbarn werden nur vier Elektronen benötigt, das fünfte Elektron (negativer n-ladungsträger) ist deshalb nur sehr schwach an den Rumpf des Donatoratoms gebunden. Es ist daher im Material nahezu frei beweglich. Durch Dotierung von reinem Si mit dreiwertigen Atomen (Akzeptoren) entsteht p-silizium (Abb. 8 rechts), ein p-halbleiter. In der kovalenten Bindung des Akzeptoratoms mit den vier Si-Nachbarn fehlt ein Elektron. Dadurch entsteht ein Loch, das sich wie ein positiver Ladungsträger verhält (p-ladungsträger). Dieses Loch kann ein Elektron aus seiner Umgebung einfangen. Das eingefangene Elektron hinterlässt ein neues Loch, das wiederum ein Umgebungselektron einfangen kann usw. Auf diese Weise kann das Loch durch das Material wandern, es ist beweglich. 9 Zwei Hall-Sonden sind erforderlich, um das Vorzeichen einer Winkeländerung eindeutig bestimmen zu können. 10 Ein ASIC ist eine anwenderspezifische integrierte Schaltung (Application Specific Integrated Circuit). 11 Die typische Dotierungskonzentration in Silizium, das für den Bau von Fotodioden verwendet wird, liegt in der Größenordnung von Fremdatomen/cm 3. Reines Si enthält ca. 0, Si-Atome/cm 3.

88 86 Si Si Si Si Si Si Si Si Si Si As Si n Si Si Si Si Si Si B Si Si Si Si Si p Abb. 8: Links: Kristallstruktur von n-si, in dem einige vierwertige Si-Atome durch fünfwertige Atome ersetzt sind, hier Arsen (As). Das fünfte Valenzelektron des As bildet einen beweglichen n- Ladungsträger. Rechts: Kristallstruktur von p-si, in dem einige vierwertige Si-Atome durch dreiwertige Atome ersetzt sind, hier Bor (B). Das fehlende Valenzelektron des B, ein sogenanntes Loch, bildet einen beweglichen p-ladungsträger. Bringt man einen p- und einen n-halbleiter zusammen, so entsteht ein pn-übergang (Abb. 9). In der Kontaktregion gibt es große Konzentrationsunterschiede der n- und p-ladungsträger. Deshalb diffundieren Löcher aus dem p-si in das n-si und rekombinieren dort mit den im Überschuss vorhandenen Elektronen. Ebenso diffundieren Elektronen aus dem n-si in das p-si und rekombinieren dort mit den im Überschuss vorhandenen Löchern. Dadurch entsteht eine von beweglichen Ladungsträgern entleerte Zone (depletion zone), die sogenannte Sperrschicht S. In dieser Schicht lassen die diffundierten Elektronen positiv ionisierte Donatoren zurück, die diffundierten Löcher negativ ionisierte Akzeptoren (Abb. 10). Diese Ionen heißen Raumladungen, sie erzeugen in der Sperrschicht (Raumladungszone) ein elektrisches Feld E (built-in-feld). p-si n-si E Abb. 9: Entstehung eines pn-übergangs durch Kontakt zwischen zwei Schichten aus p-si und n-si. In der Übergangszone kommt es zur Diffusion von n-ladungsträgern (blau) in das p-si und von p-ladungsträgern (rot) in das n-si. Abb. 10: Nach Diffusion der p- und n-ladungsträger bleiben in der n-schicht positiv ionisierte Donatoren zurück, in der p-schicht negativ ionisierte Akzeptoren (-). Es entsteht eine Sperrschicht S (gelb), in der die Raumladungen ein elektrisches Feld E erzeugen. Die realen Breitenverhältnisse der p-, n- und Sperrschicht weichen von diesem Prinzipbild erheblich ab..5. Funktionsprinzip einer Fotodiode Wir betrachten eine Fotodiode auf Basis eines pn-übergangs gem. Abb. 10. Die Bestrahlung der Fotodiode mit Licht führt zur Absorption von Photonen. Deren Energie reicht aus, um im Silizium Elektron-Loch- Paare durch inneren Fotoeffekt zu erzeugen. Dabei werden Elektronen aus dem Valenz- ins Leitungsband gehoben und hinterlassen im Valenzband ein Loch. Die Zahl der erzeugten Elektron-Loch-Paare ist proportional zur Zahl der absorbierten Photonen und damit zur Leistung P L bzw. Intensität I L des einfallenden Lichtes.

89 87 Die Erzeugung von Elektron-Loch-Paaren findet im p-bereich, im n-bereich und in der Sperrschicht der Fotodiode statt. Die in der Sperrschicht erzeugten Ladungsträger können durch das dort herrschende elektrische Feld E direkt räumlich getrennt und beschleunigt werden (Abb. 11). Ladungsträger, die in der p- und n-schicht erzeugt wurden, müssen vor ihrer Rekombination durch Diffusion in die Sperrschicht gelangen, bevor sie dort beschleunigt werden können. Photon p S E n Abb. 11: Erzeugung eines Elektron-Loch-Paares, hier durch Absorption eines Photons in der Sperrschicht S einer Fotodiode. Durch das elektrische Feld E werden die Ladungsträger (Elektron und Loch) getrennt und beschleunigt. Verbindet man die Anschlusskontakte der p- und n-schicht miteinander (Abb. 1 links und Mitte), so fließt ein Fotostrom I, der sich aus einem Driftstrom (Photonenabsorption in der Sperrschicht) und einem Diffusionsstrom (Photonenabsorption außerhalb der Sperrschicht) zusammensetzt und der sich linear mit der Leistung P L bzw. Intensität I L des einfallenden Lichtes ändert. Dies ist die einfachste Betriebsart einer Fotodiode 1. A p S n K I I - + U s I Abb. 1: Links: schematische Darstellung einer pn-fotodiode, deren Bestrahlung mit Licht zu einem Fotostrom I führt. Schwarz: Anschlusskontakte der p-schicht (Anode A) und der n-schicht (Kathode K). Mitte: zugehöriges Schaltbild. Der senkrechte Strich des Diodensymbols symbolisiert die Kathode K. Rechts: Schaltbild einer Fotodiode mit Sperrspannung U S. Häufig werden Fotodioden mit einer von außen angelegten Sperrspannung U S zwischen Anode und Kathode betrieben, die im Bereich einiger Volt liegt (Abb. 1 rechts). Dadurch wird die Sperrschicht S verbreitert. Dies führt zu einer Verringerung ihrer Kapazität C (Analogie zum Plattenkondensator). Außerdem wird durch U S die elektrische Feldstärke E in der Sperrschicht vergrößert, wodurch die Ladungsträger stärker beschleunigt werden. Beide Effekte führen zu einer Verringerung der Zeitkonstante τ = RC 13 des Ausgangssignals der Fotodiode bis hinunter in den 10 ns-bereich. Damit lassen sich auch schnelle Änderungen von Lichtleistungen bzw. Lichtintensitäten registrieren. 1 Bei dieser Betriebsart wird oft auch von einem Fotoelement statt von einer Fotodiode gesprochen. 13 R ist der für das Zeitverhalten maßgebliche Widerstand in der äußeren Beschaltung der Fotodiode.

90 Technische Realisierung einer Fotodiode Zur Herstellung einer Fotodiode startet man gem. Abb. 13 (links) mit einem Stück n-typ-si (bulk-material), das einige (10 100) µm dick ist. Auf das Material bringt man eine Maske aus SiO auf. Die Maske begrenzt die lichtempfindliche Fläche der Fotodiode auf den Bereich, der frei von SiO ist. Anschließend lässt man von oben durch Diffusion oder Ionen-Implantation dreiwertige Atome in das bulk-material eindringen, bis sich durch diese Dotierung in einer dünnen Schicht (Dicke im Bereich 1 µm), der p-schicht, ein Überschuss an p-ladungsträgern gebildet hat. Zwischen dieser p-schicht und dem n-material bildet sich eine ebenfalls dünne Sperrschicht S aus (Dicke ebenfalls im µm-bereich). Schließlich werden die p- und n-schicht mit metallischen Anschlusskontakten versehen (Abb. 13 links und rechts) und die Frontseite der Fotodiode bei Bedarf mit einer Antireflexschicht (AR) überzogen. Den Abschluss nach außen bildet in der Regel ein Schutzglas (G). G AR SiO A p S n K Abb. 13: Links: Schematische Darstellung einer Si-Fotodiode im Querschnitt. Die Antireflexschicht (AR) ist grün gezeichnet, die metallischen Anschlusskontakte schwarz. G ist ein Schutzglas. Mitte: Foto einer Fotodiode (SIEMENS BPW 34) mit nach außen gebogenen Lötkontakten. Auf der schwarzen lichtempfindlichen Fläche befindet sich unten rechts der Anschlusskontakt der Anode A, der mit dem rechten Lötkontakt verbunden ist. Die Fahne am linken Lötkontakt markiert diesen als Anschlusskontakt der Kathode K. Rechts: Vergrößerter Ausschnitt der Frontseite der Fotodiode unter dem Mikroskop. Unten rechts auf der schwarzen lichtempfindlichen Fläche befindet sich der Anoden-Kontakt von ca. 0,5 0,5 mm Größe mit einem Gold-Anschlussdraht (Bond-Draht) von ca. 5 µm Durchmesser. Der Draht ist rechts mit dem nach außen geführten Anoden-Lötkontakt verbunden. Der äußere Rand und Teile des Golddrahtes erscheinen unscharf, da auf die Ebene des Anoden- Kontaktes scharf gestellt wurde α / cm S rel / % λ / µm λ / µm Abb. 14: Links: Absorptionskoeffizient α von Silizium als Funktion der Wellenlänge λ (Datenquelle: A. M. GREEN, Solar Energy Materials & Solar Cells 9 (008) ). Rechts: Relative spektrale Empfindlichkeit S rel der Fotodiode SIEMENS BPW 34 als Funktion der Wellenlänge λ. (Datenquelle: SIEMENS-Datenblatt.)

91 89 Als spektrale Empfindlichkeit S λ einer Fotodiode bei der Wellenlänge λ ist der Quotient aus Fotostrom I und eingestrahlter Lichtleistung P L definiert: I (8) Sλ = mit [ Sλ] = A/W P L Je größer die Wellenlänge λ des Lichtes ist, mit dem die Fotodiode beleuchtet wird, desto kleiner ist der Absorptionskoeffizient α (Abb. 14 links) und desto größer demnach die Eindringtiefe der Photonen. Kurzwelliges Licht wird zum großen Teil bereits im Schutzglas, der äußeren Antireflexschicht oder in der p- Schicht absorbiert, langwelliges zum großen Teil erst in der n-schicht. Je weiter entfernt von der Sperrschicht die Photonenabsorption stattfindet, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ladungsträger in die Sperrschicht diffundieren können, bevor sie rekombinieren. Solche Photonen können deshalb nur zu einem geringeren Teil zum Fotostrom beitragen. Insgesamt ergibt sich damit eine von λ abhängige spektrale Empfindlichkeit der Fotodiode, die nach oben durch die Bandlücke des Halbleitermaterials begrenzt ist (ca. 1,1 µm für Si). Abb. 14 (rechts) zeigt als Beispiel die relative spektrale Empfindlichkeit S rel(λ) der im Praktikum eingesetzten Fotodiode. 3 Versuchsdurchführung Achtung: Beim Umgang mit Laserlicht muss darauf geachtet werden, dass weder der Laserstrahl direkt, noch reflektierte Strahlen in die Augen gelangen. Es besteht die Gefahr der Netzhautzerstörung durch lokal extrem hohe Intensitäten! Der Laserstrahl muss daher immer in einer Höhe unter ca. 1, m gehalten werden! Zubehör: Digitaloszilloskop (TEKTRONIX TDS 101 / 101B), Digital-Multimeter (AGILENT U151B und FLUKE 11), 3 Netzgeräte (PHYWE (0-15 / 0-30) V), Kraftsensor (U-OL) mit Messverstärker (U-OL), Gewichtssatz, Aluminium-Ring, Laborwaage, Drucksensor (SENSORTECHNICS HCLA1X5DB) auf Grundplatte mit Absperrhähnen an Stativ, ERLENMEYER-Kolben mit geschliffenem Stopfen auf Tisch, U-Rohr-Manometer (Wasserfüllung) mit Halterung und Ableseskala, Becherglas auf Scherentisch, Schlauchmaterial, Laserdistanzsensor (BAUMER OADM 1U6460/S35), Feder mit Stange und Kugel an Stativ, Becherglas mit Glycerin/Wasser-Gemisch (190 ml Wasser auf 1000 ml Glycerin), Grundplatte mit Winkelsensor (TWK-ELEKTRONIK PBA 1) und Handrad, Fotodiode SIEMENS BPW 34, Lochrasterplatine (8 5 cm ) zur Montage der Fotodiode mit Zubehör (50 Ω-Widerstand, Kabel, Isolierband, Lötzinn), Lötstation, Abisolierzange, Abgreifklemmen, Helium-Neon-Laser auf Dreieckschiene, Polarisationsfilter in THORLABS-Drehhalterung, U-Halter für Fotodiode, Reiter. Hinweis: Ausgewählte Kenndaten der eingesetzten Sensoren finden sich in Tab. 1 im Anhang (Kap. 4). 3.1 Kalibrierung eines Kraftsensors Der an einem Stativ aufgehängte Kraftsensor soll mit Hilfe eines Gewichtssatzes kalibriert werden. Zunächst wird der Kraftsensor mit dem Messverstärker verbunden, mit dem die Brückenspannung U auf die Spannung U M verstärkt wird. Der Messverstärker wird über ein Netzgerät mit Betriebsspannung versorgt, die Dämpfung wird eingeschaltet. Für mindestens 5 Gewichte G im Bereich (0-100) mn wird die Ausgangsspannung U M des Messverstärkers mit einem Voltmeter gemessen. Zur Berechnung von G = mg aus den Massen m der Gewichte wird für die Erdbeschleunigung g der Wert für Oldenburg verwendet: g = 9,8133 m/s, der als fehlerfrei angenommen wird 14. Anschließend wird U M über G aufgetragen und die Kalibrierkurve ermittelt. Da der Sensor linear arbeitet, ist die Kalibrierkurve eine Gerade, deren Parameter mit Hilfe der linearen Regression bestimmt werden. 14 Wert nach der Fehler von 10-5 m/s wird vernachlässigt.

92 90 Schließlich wird ein Aluminiumring, der in einem späteren Versuch zur Messung der Oberflächenspannung eingesetzt wird, an den Kraftsensor gehängt und die zugehörige Ausgangsspannung U M des Messverstärkers gemessen. Mit Hilfe der Kalibrierkurve wird daraus die Gewichtskraft G und die Masse m des Rings bestimmt. Der Größtfehler von m ergibt sich aus dem Größtfehler von U M, die Fehler der Parameter der Ausgleichsgeraden können vernachlässigt werden. Die Masse m wird zusätzlich mit einer Laborwaage ermittelt (Fehler vernachlässigbar). Beide Messwerte werden miteinander verglichen. 3. Kalibrierung eines Drucksensors Der Drucksensor wird kalibriert, indem zwischen seinen beiden Schlauchanschlüssen definierte Druckdifferenzen p eingestellt werden und jeweils die zugehörige Ausgangsspannung U gemessen wird. Der Schlauchanschluss mit der Kennzeichnung - bleibt offen. Er steht dadurch in direktem Kontakt mit der Umgebungsluft. Der Anschluss mit der Kennzeichnung + wird mit dem Gasvolumen verbunden, dessen Überdruck p im Vergleich zum Umgebungsdruck gemessen werden soll. Für einen linearen Betrieb des Sensors muss bei dieser Betriebsart p 0 sein, d.h. der Druck am + -Eingang muss immer größer sein als der Druck am - -Eingang. Die maximal zulässige Druckdifferenz beträgt p = + 1, Pa, die bei einer Versorgungsspannung des Sensors von + 5 V (Netzgerät) in ein Spannungssignal von U = U 0 + V umgesetzt wird (U 0 =,5 V) 15. Die Druckdifferenz p = 0 Pa erzeugt eine Spannung von U = U V = U 0. Für Druckdifferenzen zwischen 0 Pa und 1, Pa ergeben sich Ausgangspannungen im Bereich U 0 U U 0 + V 16. Die für die Kalibrierung des Sensors benötigten Druckdifferenzen lassen sich mit einer Anordnung gem. Abb. 15 einstellen. Das Luftvolumen in einem luftdicht verschlossenen ERLENMEYER-Kolben E ist über ein Leitungs- und Schlauchsystem mit dem Drucksensor D und einem U-Rohr-Manometer M verbunden (Hahn H 1 geöffnet, Hahn H geschlossen). Der Druck p in diesem Volumen kann durch Variation des Wasserstandes in E verändert werden. Diese Variation erfolgt durch Heben oder Senken eines mit Wasser gefüllten Vorratsgefäßes V mit Hilfe eines Scherentisches S. V und E sind über einen beidseitig in das Wasser eintauchenden Schlauch miteinander verbunden. Die Differenz zwischen dem Druck p in E und dem Umgebungsluftdruck p L, (9) p = p pl kann mit Hilfe des U-Rohr-Manometers gemessen werden. Sie ist bei einer Höhendifferenz h m im Manometer gegeben durch: (10) p = ρm hm g wobei ρ m die Dichte der Flüssigkeit im Manometer (hier Wasser) und g die Erdbeschleunigung ist (g wie in Kap. 3.1). Für die Dichte ρ m von Wasser im Temperaturbereich von (0 ± ) C kann ein als fehlerfrei angenommener Wert von 998 kg/m 3 verwendet werden. Frage 1: Wie groß darf h m höchstens sein, damit die maximale Druckdifferenz des Sensors nicht überschritten wird? Für mindestens 5 verschiedene Druckdifferenzen (zugehörige Höhen h m ausmessen) wird die Ausgangsspannung U des Drucksensors D mit einem Voltmeter gemessen. U wird über p (Gl. (10)) aufgetragen. 15 Man könnte den Sensor auch so betreiben, dass der Anschluss + in Kontakt mit der Umgebungsluft steht und am Anschluss - ein Unterdruck herrscht. Die maximale Druckdifferenz wäre in diesem Fall p = - 1, Pa, die in ein Spannungssignal von U = U 0 - V umgesetzt wird. 16 U 0 und U variieren mit der Betriebsspannung (nominell 5 V). Eine einmal eingestellte Spannung darf deshalb während der Messung nicht verändert werden.

93 91 Für p werden Fehlerbalken eingezeichnet, die sich aus dem Größtfehler der Höhen h m ergeben. Schließlich wird die Kalibrierkurve ermittelt und eingezeichnet. Da der Sensor linear arbeitet, ist die Kalibrierkurve eine Gerade, deren Parameter mit Hilfe der linearen Regression bestimmt werden. Hinweis zum Rauschen: Das elektronische Rauschen des Drucksensors (s. Tab. 1 im Anhang (Kap.4)) führt zu Schwankungen der Ausgangsspannung U, die sich mit Hilfe der Kalibrierkurve in ein Rauschen des Drucksignals umrechnen lassen. Dieses Rauschen liegt unterhalb der Fluktuationen in den Druckwerten nach Gl.(10), die sich aus der beschränkten Ablesegenauigkeit der Höhendifferenz h m ergeben. Es kann deshalb bei den durchzuführenden Messungen vernachlässigt werden. M H 1 h m Wasser H D p L - + E Luft, Druck p Wasser V S Abb. 15: Anordnung zur Einstellung von Druckdifferenzen p > 0 gegenüber dem Umgebungsluftdruck p L. Einzelheiten siehe Text. 3.3 Abstandsmessung mit einem Laser-Distanzsensor Mit einem Laser-Distanzsensor (Typ BAUMER OADM 1U6460/S35) soll das zeitliche Verhalten einer gedämpften harmonischen Schwingung untersucht werden. Gesucht sind die Kreisfrequenz ω der Schwingung und die Dämpfungskonstante α. Zur Messung beider Größen wird wie folgt vorgegangen. An einer Feder ist gem. Abb. 16 über eine Stange S eine Kugel K befestigt, die zur Dämpfung ihrer Bewegung in ein Becherglas B mit einem Glycerin-Wasser-Gemisch eintaucht. Die Stange S wird um einige Zentimeter nach unten ausgelenkt und dann losgelassen (Messbereich des Sensors beachten, s. Tab. 1 im Anhang (Kap. 4)). Kugel und Stange führen danach eine gedämpfte harmonische Oszillation aus. Die Auslenkung aus der Ruhelage, x, lässt sich als Funktion der Zeit t durch folgende Gleichung beschreiben: α t (11) x( t) = x ( ω t) 0 e cos Darin ist x 0 die Anfangsamplitude (d.h. die anfängliche Auslenkung der Kugel), ω die Kreisfrequenz der Schwingung und α die Dämpfungskonstante. Zum Zeitpunkt des Loslassens der Stange sei t = 0.

94 9 LDS s Feder S R K B Abb. 16: Messung des Verlaufs einer gedämpften harmonischen Schwingung mit einem Laserdistanzsensor LDS. Die Auslenkung x(t) wird mit dem Laserdistanzsensor in ein Spannungssignal U(t) umgesetzt. Dazu ist an der Stange S eine Reflektorscheibe R angebracht, auf die der Laserstrahl des Sensors gerichtet wird. Die Ausgangsspannung des Sensors ist gegeben durch: U t = U e cos 0 t + U DC αt (1) ( ) ( ω ) Dabei ist U DC ein Gleichspannungsanteil, der vom Abstand zwischen dem Laserdistanzsensor LDS und der Reflektorscheibe R in der Ruhelage der Kugel abhängt (s. Abb. 17). 7.0 U / V U 1 U t / s Abb. 17: Exemplarische Darstellung des Ausgangssignals des Laserdistanzsensors gem. Gl. (1). In diesem Beispiel ist U 0 = V und U DC = 5 V. Die Spannungen U i werden zu den Zeitpunkten t i gemessen (hier t 0 = 0 s, t 1 = 0, s, t = 0,4 s, ). U(t) wird mit einem Digital-Oszilloskop im SINGLE-SEQ-Modus aufgezeichnet. Aus der aufgezeichneten Kurve wird mit Hilfe der Zeit-Cursor die Frequenz f der gedämpften Schwingung ermittelt und daraus ω berechnet. Zur Bestimmung der Dämpfungskonstante α werden die Amplituden U i der Teilschwingungen zu den Zeiten t i (i = 0, 1,, ) mit Hilfe der Spannungs-Cursor gemessen (Abb. 17). Für U i und t i müssen keine Fehler angegeben werden. U i wird über t i in einem halblogarithmischen Diagramm dargestellt (U i auf logarithmischer Achse). Wird für die Skalierung der Ordinate der natürliche Logarithmus verwendet, entspricht α der Steigung der Ausgleichsgeraden durch die Messwerte Hinweise zur linearen Regression in (halb)-logarithmischen Diagrammen im Kap. Einsatz der Computer im Basispraktikum Physik beachten ( scheinbarer Fit bzw. Apparent Fit ).

95 93 Durch Kalibrierung des Sensors ist es möglich, den Spannungsverlauf U(t) in die Größe x(t) umzurechnen. Frage : Wie müsste man vorgehen, um eine Kalibrierkurve zu erstellen? Wegen des linearen Zusammenhangs zwischen U(t) und x(t) ergäbe sich für x(t) ein zu U(t) analoger Funktionsverlauf. Deshalb soll hier auf die Kalibrierung und Umrechnung verzichtet werden. Frage 3: Wie ließe sich aus dem Verlauf von x(t) die Geschwindigkeit v(t) und die Beschleunigung a(t) gewinnen? 3.4 Messung des Übersetzungsverhältnisses mit einem Winkelsensor Auf einer Grundplatte sind gem. Abb. 18 ein Handrad H und ein Winkelsensor W befestigt. Auf der Drehachse des Winkelsensors ist eine Scheibe mit einem O-Ring montiert, der gegen den Rand des Handrades drückt. Die Ausgangsspannung U des Winkelsensors ändert sich bei einer vollständigen Umdrehung der Achse des Winkelsensors linear zwischen U min (ca. 0 V) und U max (ca. 5 V). Das Handrad wird einmal von β = 0 auf β = 360 (also um π) gedreht. Dadurch dreht sich W um den Winkel α > π. Durch Messung von U min, U max, U β = 0, U β = 360 mit einem Voltmeter sowie der Zahl n der während der Änderung von β stattfindenden Spannungssprünge von U max nach U min wird das Übersetzungsverhältnis V = α/π zwischen der Drehung des Handrades und der Drehung von W bestimmt. Eine Fehlerangabe für V ist nicht nötig. α W H β O-Ring Abb. 18: Winkelsensor W mit O-Ring, der an den Rand eines Handrades H drückt. Bei Drehung des Handrades um den Winkel β dreht sich der O-Ring und damit die Achse von W um den Winkel α. U U max Uβ = 360 Uβ = 0 U min β Abb. 19: Ausgangsspannung U des Winkelsensors bei Drehung des Handrades aus Abb. 18 um β = 360 (exemplarisch!). In der Handrad-Stellung β = 0 steht die Achse des Winkelsensors an beliebiger Winkelposition, bei der der Winkelsensor die Spannung U β = 0 ausgibt.

96 Messungen mit einer Fotodiode Linearität des Ausgangssignals einer Fotodiode Ziel der Messung ist die Überprüfung des linearen Zusammenhangs zwischen dem Fotostrom einer Fotodiode und der einfallenden Lichtintensität. Die Fotodiode vom Typ Siemens BPW (Abb. 13) wird auf das obere Ende einer Lochrasterplatine gelötet. Für die Anode und die Kathode werden Anschlusskabel hergestellt, an den Enden verzinnt und angelötet. An den freien Kabelenden werden Abgreifklemmen angeschlossen, über die der Anschluss der Fotodiode an ein Amperemeter (AGILENT U151B) mit Hilfe von Laborkabeln erfolgt. Das untere Ende der Platine wird mit Isolierband umwickelt und in einem U-Halter befestigt. Zur Überprüfung der Linearität der Fotodiode muss sie mit Licht unterschiedlicher Intensität I L beleuchtet werden. Unterschiedliche Lichtintensitäten sind mit einem Laser und einem idealen Polarisationsfilter (kurz: Polfilter) einfach herzustellen. Wir verwenden einen Helium-Neon-Laser (λ 633 nm), der linear polarisiertes Licht emittiert, d.h. das elektrische Feld E der Lichtwelle schwingt nur in einer Richtung. Dieses Licht wird durch einen drehbaren Polfilter geschickt, der die Eigenschaft hat, nur eine Richtung des E-Feldes einer Lichtwelle durchzulassen. Ist P die Durchlassrichtung des Polfilters, E die Richtung des elektrischen Feldes der auf den Filter einfallenden Lichtwelle und α der Winkel zwischen E und P, so wird nur die Komponenten E t von E durchgelassen, die parallel zu P liegt. Diese Komponente ist nach Abb. 0: (13) E = E cosα t Die Intensität einer Lichtwelle ist bis auf einen Proportionalitätsfaktor k durch das Quadrat ihrer Amplitude E = E gegeben. Ist I L die Intensität des Laserlichtes, so folgt demnach für die vom Polfilter durchgelassene Intensität I P gem. Gl. (13) das Gesetz von MALUS 19 : (14) I = ke = ke cos ( α) = I cos ( α) P t L Durch Drehung des Polfilters um den Winkel α lassen sich demnach hinter dem Polfilter unterschiedliche Lichtintensitäten I P einstellen. E α P E t Abb. 0: Durchgang einer linear polarisierten Lichtwelle mit dem elektrischen Feldvektor E durch einen Polfilter mit der Durchlassrichtung P. Hinter den auf einer Dreieckschiene stehenden Laser wird der Polfilter P und dahinter die Fotodiode FD montiert. Die Fotodiode wird so ausgerichtet, dass der Laserstrahl sie mittig trifft. 18 BPW 34 ist eine PIN-Fotodiode, die etwas anders aufgebaut ist als eine in dieser Anleitung beschriebene pn- Fotodiode. Auf die Einzelheiten des Unterschieds beider Typen soll hier nicht weiter eingegangen werden, da er für die hier durchzuführenden Versuche nicht relevant ist. 19 ETIENNE LOUIS MALUS ( ). Die Absorption des Polfilters, die für E P gemessen werden kann, wird hier nicht berücksichtigt.

97 95 Zunächst muss die Orientierung von E der vom Laser emittierten Lichtwelle gefunden werden. Dazu wird der Strom I der Fotodiode bei Änderung der Winkelstellung P des Polfilters gemessen. I ist minimal, wenn E und P orthogonal zueinander stehen. In dieser Stellung ist α = 90. Auf der Winkelskala des Polfilters wird dann ein Wert β angezeigt. Da die Orientierung des Lasers in seiner Halterung beliebig sein kann, ist i. A. β α. Anschließend wird der Verschluss des Lasers geschlossen und der Dunkelstrom I D der Fotodiode gemessen. Danach wird der Verschluss wieder geöffnet und der Fotostrom I für verschiedene Winkel α gemessen (α = (0, 10, 0,,90) ), die sich mit Hilfe der Winkelskala am Polfilter einstellen lassen. Die Stromdifferenz (15) I = I α ID ist proportional zur Lichtintensität I P. I α wird über cos (α) aufgetragen und mit Hilfe der linearen Regression eine Ausgleichsgerade eingezeichnet. Anhand der Verteilung der Messpunkte um die Ausgleichsgerade lässt sich die Linearität der Fotodiode beurteilen. Zufällige Streuungen der Messpunkte um die Ausgleichsgerade sind auf die realen Eigenschaften des Polfilters zurückzuführen, systematische Abweichungen würden auf ein nichtlineares Verhalten der Fotodiode hindeuten Messung der Leistung von Laserlicht Für die verwendete Fotodiode BPW 34 kann die spektrale Empfindlichkeit S λ bei der Wellenlänge λ = 850 nm aus dem Datenblatt entnommen werden. Es ist S 850 nm = 0,6 A/W (ohne Fehlerangabe). In Kenntnis der relativen spektralen Empfindlichkeit S rel für λ = 633 nm (Abb. 14 rechts) kann daraus die spektrale Empfindlichkeit S λ für die Wellenlänge des Laserlichtes (λ 633 nm) bestimmt werden: (16) ( 633 nm) Srel S633 nm = S850 nm S 100 rel in % Zur Messung der Leistung P L des Laserlichtes wird der Polfilter aus dem Versuchsaufbau entfernt, die Fotodiode direkt mit dem Licht des Lasers bestrahlt und der Fotostrom I 633 nm gemessen. Anschließend wird der Verschluss des Lasers geschlossen und der Dunkelstrom I D gemessen. Die Differenz I = I 633 nm - I D ist der Nettostrom, der für die Bestimmung von P L nach Gl. (8) benötigt wird. Für die Berechnung des Fehlers von P L ist nur der Ablesefehler für S rel zu berücksichtigen. Zusätzlich zum Messwert wird die Nummer des verwendeten Lasers angegeben.

98 96 4 Anhang Größe Typ Messbereich Auflösung Ansprechzeit Rauschen Kraft U-OL 7/10 (0 100) mn < 0,5 ms ± 0,7 mv Druck Abstand Winkel Lichtleistung SENSORTECHNICS HCLA 1X5DB BAUMER OADM 1U6460/S35 TWK- ELEKTRONIK PBA 1 SIEMENS BPW 34 (0 150) Pa 0,5 ms ± 4 mv (16 10) mm (0,00 0,1) mm 0 < 0,9 ms < ± 5 mv (0 360) 0,35 < 0,4 ms < 0,5 0 ns 1 NEP 4, W/Hz -1/ Tab. 1: Ausgewählte Kenndaten der eingesetzten Sensoren soweit verfügbar bzw. angebbar. 0 Je kleiner der Abstand zwischen LDS und Messobjekt, desto besser die Auflösung. 1 Abhängig von der Beschaltung. NEP: noise equivalent power = rauschäquivalente Strahlungsleistung.

99 97 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Kraft, Impuls und Kraftstoß Stichworte: Kraft, Federkraft, HOOKEsches Gesetz, NEWTONsche Axiome, Impuls, Kraftstoß, harmonische Schwingung, Abstandsgesetz für Kräfte Literatur: /1/ DEMTRÖDER, W.: Experimentalphysik 1 Mechanik, Springer-Verlag, Berlin u.a. // MESCHEDE, D. [Hrsg.]: "Gerthsen Physik", Springer, Berlin 1 Einleitung Dieser Versuch ist vor allem der quantitativen Messung von Kräften gewidmet. Im ersten Teil wird der Zusammenhang zwischen Kraft und Auslenkung bei einer mechanischen, harmonischen Schwingung untersucht. Der zweite Teil widmet sich dem Abstandsgesetz bei der Kraftwirkung zwischen zwei Magneten. Im dritten und letzten Teil geht es um den Zusammenhang zwischen Kraft und Impuls bzw. Kraftstoß. Theorie.1 Harmonische Schwingung: Kraft und Auslenkung Wir betrachten eine Anordnung gem. Abb. 1, wie wir sie in ähnlicher Form bereits im Versuch Sensoren für Kraft kennen gelernt haben. An einem Kraftsensor S hängt eine Feder FE. Am unteren Ende der Feder ist über eine Stange ST eine Kugel K befestigt. Zusätzlich ist an der Stange eine Reflektorscheibe R montiert. LDS S K F 0 ST FE 0 x 0 x R Abb. 1: Anordnung zur Messung der Kraft und der Auslenkung bei einer harmonischen Schwingung. Bezeichnungen siehe Text. In der Ruhelage der Kugel sind die nach unten gerichtete Gewichtskraft von ST, K und R und die nach oben gerichtete Federkraft im Gleichgewicht. Der Mittelpunkt der Kugel befindet sich dann in der Ruhelage bei x = 0. Durch eine zusätzliche senkrecht nach unten gerichtete Kraft F 0 wird die Kugel um die Strecke

100 98 x 0 nach unten ausgelenkt 1. Zur Zeit t = 0 wird die Kugel losgelassen und durch die Zugkraft F der Feder nach oben beschleunigt. Für F gilt nach dem HOOKEschen Gesetz mit der Federkonstanten D: (1) F= Dx0 Anschließend führt die Kugel eine harmonische Schwingung in x-richtung aus. Die Auslenkung aus der Ruhelage, x(t), die mit einem Laser-Distanzsensor LDS gemessen werden kann, wird unter Vernachlässigung von Reibungseffekten durch folgende Gleichung beschrieben : () x ( t ) = x ( ω t ) 0 cos Darin ist ω die Kreisfrequenz der Schwingung, die gegeben ist durch: (3) ω = D m m ist die für die Schwingung maßgebliche Masse, für die gilt: m= m + m + m + 1 m 3 (4) K ST R FE m K, m ST, m R und m FE sind die Massen der Kugel, der Stange, der Reflektorscheibe und der Feder 3. Die Geschwindigkeit v(t) der Kugel erhält man durch Differentiation von x(t) nach der Zeit: (5) v( t) = x ω ( ω t) 0 sin Die Beschleunigung a(t) erhält man durch Differentiation der Geschwindigkeit nach der Zeit: (6) a( t) = x ω ( ω t) 0 cos Damit folgt für die Kraft F(t), die die Feder auf m ausübt: (7) F( t) = ma( t) = mx ω cos( ω t) = F cos( ω t) mit 0 0 (8) F = mx ω 0 0 Frage 1: - Die Kraft F(t) hat je nach Lage x(t) der Kugel ein positives oder negatives Vorzeichen. In welchem Bereich wirkt die Feder als Zugfeder bzw. als Druckfeder? 1 Da F 0 und alle weiteren betrachteten Kräfte nur in x-richtung wirken, reicht eine Beschreibung mit skalaren Größen. Eine detaillierte mathematische Beschreibung der Schwingung erfolgt im späteren Versuch Erzwungene mechanische Schwingungen. 3 Der Zusammenhang nach Gl. (4) wird im späteren Versuch Erzwungene mechanische Schwingungen erläutert.

101 99 In der Ruhelage der Kugel misst der Kraftsensor S die Gewichtskraft G von FE, ST, R und K. Wird die Kugel aus der Ruhelage mit der Kraft F 0 nach unten gezogen, misst S nach dem 3. NEWTONschen Axiom 4 actio = reactio die Kraft (9) F = G + F = G F( t = ) S 0 0 mit F(t) nach Gl. (7). Nach dem Loslassen der Kugel misst S die Kraft (10) F ( t) = G F( t) S Nach Abzug von G liefert S also F(t) nach Gl. (7) mit umgekehrtem Vorzeichen.. Abstandsgesetz für magnetische Kraft Die Gravitationskraft F G zwischen zwei Massen m 1 und m im Abstand r ist bekanntlich durch das NEWTONsche Gravitationsgesetz gegeben: (11) F mm = G r 1 G r ˆ Dabei ist G die Gravitationskonstante und ˆr der Einheitsvektor in Richtung der Verbindungslinie der Mittelpunkte beider Massen 5. Da die Kraft mit dem Quadrat des Abstandes r abnimmt, spricht man von einem 1/r -Gesetz. Auch das COULOMB-Gesetz, das die Kraft F E zwischen zwei elektrischen Ladungen q 1 und q im Vakuum beschreibt, ist ein 1/r -Gesetz. Es lautet: (1) F = 1 q q 1 E 4πε 0 r r ˆ wobei ε 0 die elektrische Feldkonstante ist und r und ˆr analog zum Gravitationsgesetz definiert sind. Für Ladungen mit ungleichen Vorzeichen ergibt sich eine anziehende Kraft, für Ladungen mit gleichen Vorzeichen eine abstoßende Kraft. Auch für die Kraft zwischen zwei Magneten gilt unter bestimmten Bedingungen ein 1/r Gesetz. Wir betrachten dazu gem. Abb. zwei Stabmagneten, deren Längen groß gegenüber ihren Durchmessern sind. Die Stärke solcher Magnete kann man unter dieser Voraussetzung durch Polstärken P beschreiben, die mit unterschiedlichen Vorzeichen am Nord- und Südpol des jeweiligen Magneten herrschen und als punktförmig angenommen werden können 6. Die Kraft zwischen zwei Magneten wird dann durch folgendes Gesetz beschrieben, das auch als COULOMBgesetz für Magnete bezeichnet wird: (13) F µ PP 4π r 0 1 M = r ˆ µ 0 ist die magnetische Feldkonstante und r und ˆr sind wiederum analog zum Gravitationsgesetz definiert. Bei ungleichnamigen Polen ist die Kraft anziehend, bei gleichnamigen abstoßend. 4 ISAAC NEWTON ( ) 5 Streng genommen gilt Gl. (11) nur für punktförmige Massen im Abstand r. Bei annähernd kugelförmigen Massen mit symmetrischer Massenverteilung um den Mittelpunkt (z.b. beim System Erde und Mond) ergibt sich jedoch der gleiche Zusammenhang. r beschreibt dann den Abstand beider Mittelpunkte. 6 Die magnetische Polstärke P wird in der Literatur unterschiedlich definiert. Hier ist die Größe mit der Einheit [P] = A m gemeint.

102 100 P 1 P Abb. : Zum Abstandsgesetz für magnetische Kräfte. P 1 und P sind die Polstärken der Magnete, deren Längen groß gegenüber ihren Durchmessern sind. r ist der Abstand beider Magnete, der zwischen den Polen gemessen wird..3 Impuls und Kraftstoß Der Bewegungszustand eines Körpers der Masse m, der sich geradlinig mit gleichförmiger Geschwindigkeit v bewegt, wird mit dem Impuls (14) p= mv r beschrieben. Nach dem 1. NEWTONschen Axiom ist eine Änderung des Impulses nur möglich, wenn eine Kraft F auf den Körper einwirkt. Die durch F bewirkte zeitliche Änderung des Impulses ist nach dem. NEWTONschen Axiom gegeben durch (15) d F = p dt Gl. (15) kann man auch in der Form (16) dp= F dt schreiben. Sie besagt, dass eine Kraft F, die während der Zeit dt auf einen Körper einwirkt, eine Impulsänderung dp verursacht. Das Produkt F dt wird auch als Kraftstoß bezeichnet. E gilt also: Kraftstoß = Impulsänderung K v 1 ' K 1 α v 1 Abb. 3: Zum elastischen Stoß zweier Körper K 1 und K. Wir betrachten nun gem. Abb. 3 den elastischen Stoß eines Körpers K 1 der Masse m 1 mit einem ruhenden Körper K, dessen Masse m sehr viel größer als m 1 ist. K 1 möge sich anfänglich geradlinig mit der Geschwindigkeit v 1 auf K zu bewegen (v = 0) und unter dem Winkel α auf K auftreffen. Nach dem Stoß ' bewegt sich K 1 mit der Geschwindigkeit v 1 von K fort, wobei der Strich ( ) hier und i. F. Größen nach ' dem Stoß kennzeichnet. Im Fall m, der hier betrachtet werden soll, gilt v 0. Der Impuls von K 1 vor und nach dem Stoß ist demnach:

103 101 (17) mit (17) v p p = m v = m v ' ' ' 1 1 v. Die kinetische Energie von K 1 ist also vor und nach dem Stoß nahezu gleich: 1 m v 1 ' 1 1 m1 v1 Auf K wird unter den genannten Voraussetzungen praktisch keine kinetische Energie übertragen. Die Impulsänderung, die K 1 durch den Stoß erfährt, ist ' ' (18) p= p1 p1 = m1( v1 v 1) Sie muss gleich dem Impuls sein, den K aufnimmt: (19) p= p =m v ' ' ' Gl. (19) ist nicht im Widerspruch zur Tatsache, dass K bei dem Stoß wegen v 0 praktisch keine kinetische Energie aufnimmt. Dies erkennt man gut aus dem Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Impuls: (0) E 1 = = p ' ' kin, m v m Für m geht die kinetische Energie demnach auch bei endlichem Impuls gegen Null. Die Impulsänderung p von K 1 muss dem gesamten (integralen) Kraftstoß entsprechen, den K beim Stoßprozess auf K 1 ausübt. Dieser Kraftstoß ist nach Gl. (16) gegeben durch: (1) p F ( t) τ = 0 dt Hierbei ist F(t) die während der Dauer τ des Stoßes wirkende Kraft. Sie sorgt zunächst für die Abbremsung von K 1 von der Geschwindigkeit v 1 auf die Geschwindigkeit 0 und anschließend zu seiner Beschleunigung ' auf die Geschwindigkeit v 1. Zum anschaulichen Verständnis des Stoßvorgangs kann man sich K als Feder vorstellen, die zunächst von K 1 zusammengedrückt wird, bis seine Geschwindigkeit 0 ist, und die sich anschließend wieder entspannt und dabei K 1 auf die Geschwindigkeit v beschleunigt. ' 1

104 10 3 Versuchsdurchführung Zubehör: Kraftsensor auf DMS-Prinzip (Messbereich (0 5) N), Messverstärker für Kraftsensor, Gewichtssatz zur Kalibrierung des Kraftsensors, Netzgeräte (PHYWE (0-15 / 0-30) V), Digital-Oszilloskop (TEKTRONIX TDS 101 / 101B / 01C), Feder mit Kugel, Stange und Reflektorscheibe, Laserdistanzsensor (BAUMER OADM 1U6460/S35), Stabmagnete in Al-Halterungen mit Haltestangen, PVC- Abstandsstück, Führung für Stabmagnet, Verschiebetisch, Luftkissenbahn, Schlitten für Luftkissenbahn mit Blende und Al-Würfeln, Gabellichtschranke (BETA-SENSORIK GLS-30BP/R), Haken für Kraftsensor, Stativ auf Grundplatte, Stativstangen, Stativsäule, Kreuzverbinder, Messschieber. 3.1 Kalibrierung des Kraftsensors Der in den folgenden Versuchen eingesetzte Kraftsensor arbeitet nach dem gleichen Prinzip wie der Sensor, der im Versuch Sensoren für Kraft eingesetzt wurde. Beide Sensoren unterscheiden sich lediglich in ihrem Messbereich (hier: 5 N, vormals 100 mn). Aus diesem Grunde wird hier die Dämpfung am Messverstärker ausgeschaltet. Die Kalibrierung des Sensors erfolgt mit mindestens fünf Massestücken im Bereich m (50 500) g. Die Ausgangsspannung U des Kraftsensors 7 wird mit dem Oszilloskop 8 gemessen. U wird über G = mg aufgetragen, wobei für die Erdbeschleunigung g der Wert von g = 9,8133 m/s verwendet wird, der als fehlerfrei angenommen werden kann. Durch die Daten wird eine Ausgleichsgerade gelegt, deren Parameter für die spätere Umrechnung von Spannung in Kraft verwendet werden. 3. Kraft und Auslenkung bei einer harmonischen Schwingung Mit einer Anordnung gem. Abb. 1 sollen die Kraft F(t) und die Auslenkung x(t) bei einer harmonischen Schwingung gemessen werden. Zunächst werden die Massen der Feder und des Systems Stange/Reflektorscheibe/Kugel durch Wiegen bestimmt. Anschließend werden alle Komponenten wie in Abb. 1 an den Kraftsensor S gehängt, der an ein Stativ montiert wird. Am selben Stativ ist auch der Laser- Distanzsensor LDS befestigt. Seine Höhe wird so justiert, dass die Reflektorscheibe bei der zu messenden Schwingung innerhalb seines Messbereiches bleibt. Anschließend wird die Kugel mit der Hand etwa 0 mm möglichst senkrecht nach unten ausgelenkt und losgelassen. Die Ausgangsspannung des LDS, U LDS(t), und die Ausgangsspannung des Kraftsensors, U S(t), werden mit einem Speicheroszilloskop aufgezeichnet, das auf U LDS getriggert wird. Die Zeitablenkung des Oszilloskops wird so eingestellt, dass 5 10 Perioden der Schwingung auf dem Bildschirm sichtbar sind. Nach dem Einschwingen wird im single-sequence-modus ein typischer Schwingungsvorgang gespeichert und als Bildschirmfoto dem Protokoll beigefügt. Mit Hilfe der Zeitcursor wird die Periodendauer der Schwingung bestimmt und daraus die Kreisfrequenz ω berechnet. Die Amplituden von U LDS(t) und U S(t) einer ausgewählten Teilschwingung werden mit Hilfe der Spannungscursor gemessen. Mit dem als fehlerfrei angenommenen Kalibrierfaktor des LDS für Spannungsdifferenzen, k = 0,096 V/mm und den Daten aus der Kalibrierfunktion des Kraftsensors können aus beiden Größen die Schwingungsamplitude x 0 und die Kraft F 0 berechnet werden. Anschließend wird überprüft, ob der so gewonnene 7 Der Einfachheit halber wird hier und i. F. der Begriff Ausgangsspannung des Kraftsensors verwendet, wenn die Ausgangsspannung des mit dem eigentlichen Kraftsensor verbundenen Messverstärkers gemeint ist. 8 Da bei den folgenden Messungen die Spannung U jeweils mit dem Oszilloskop gemessen wird, erfolgt auch hier die Messung von U mit dem Oszilloskop statt mit einem Multimeter, um Differenzen in den Messwerten durch unterschiedliche Kalibrierungen von Oszilloskop und Multimeter zu vermeiden.

105 103 Messwert für F 0 mit dem Wert übereinstimmt, der sich aus den Messwerten für m, x 0 und ω nach Gl. (8) ergibt. Frage : - Was können Gründe für eine mögliche Abweichung beider Größen sein? 3.3 Anziehungskraft zwischen zwei Magneten Mit einer Anordnung gem. Abb. 4 soll die Gültigkeit des Abstandsgesetzes für die Anziehungskraft zwischen zwei Magneten nach Gl. (13) überprüft werden. Beide Magnete sind in Al-Hülsen gefasst, die auf Stangen geschraubt werden. Zunächst wird nur der obere Magnet mit der Polstärke P 1 zusammen mit der Stange an einen Kraftsensor S gehängt. Eine reibungsarme Führung A beschränkt seine Bewegung auf die senkrechte Richtung. Die Ausgangsspannung U S,0 des Kraftsensors wird gemessen. Sie entspricht der Spannung für den Fall r. Aus U S,0 wird mit den Daten der Kalibrierfunktion die Gewichtskraft G von Magnet und Stange berechnet, die später von allen anderen gemessenen Kräften subtrahiert werden muss. ST S A V P 1 P r Abb. 4: Anordnung zur Messung der Anziehungskraft zwischen zwei Magneten mit den Polstärken P 1 und P. Alle Komponenten sind an einem gemeinsamen Stativ ST befestigt, das eine exakt senkrechte Montage erlaubt. Übrige Bezeichnungen siehe Text. Anschließend wird der untere Magnet mit der Polstärke P mit einer Stange auf einem Verschiebetisch V montiert, mit dem er in senkrechter Richtung bewegt werden kann. Zunächst wird er so justiert, dass die Längsachsen beider Magnete exakt übereinander liegen. Danach wird mit einem PVC-Abstandsstück (Länge l 0 mm, messen) ein definierter Abstand l zwischen beiden Magneten eingestellt, die zugehörige Skalenposition des Verschiebetisches notiert und als s = l definiert. Anschließend wird der Verschiebetisch in die Skalenposition s = 10 mm gebracht und U S(s) bestimmt. Danach wird s in Schritten von ca. 0,5 mm Länge bis auf etwa s = mm verringert und dabei jeweils U S(s) gemessen. Die Werte von U S(s) werden mit den Daten der Kalibrierfunktion in Kräfte F G(s) umgerechnet. Nach Subtraktion von G erhält man daraus die Kräfte F(s), die durch die magnetische Anziehung verursacht werden: F s = F s G () ( ) ( ) G Jede Kraft F, die auf den Biegebalken im Kraftsensor wirkt, führt gem. Abb. 5 am Angriffspunkt Q von F zu einer kleinen Auslenkung d des Balkens in Richtung von F. d(f) lässt sich in guter Näherung durch ein Polynom. Ordnung beschreiben:

106 104 d F = af+ af (3) ( ) 1 Die Parameter a 1 und a sind den Unterlagen am Arbeitsplatz zu entnehmen. Unter Berücksichtigung der Auslenkung d gilt für den tatsächlichen Abstand r zwischen den beiden Magneten bei einer Skalenposition s am Verschiebetisch: (4) r = s d F(r) = F(s) wird doppelt-logarithmisch über r aufgetragen (Origin). In das Diagramm wird eine Ausgleichsgerade durch die Messdaten mit der festen Steigung - eingezeichnet. Bei Gültigkeit des nach Gl. (13) erwarteten 1/r -Gesetzes müssten alle Messwerte auf dieser Geraden liegen. Für kleine Abstände r wird sich jedoch eine deutliche Abweichung der Messwerte von der Ausgleichsgeraden ergeben. Der Grund dafür ist, dass bei kleinen r die Annahme punktförmiger Polstärken P nicht mehr gerechtfertigt ist. Frage 3: - Ab welchem Abstand r ist in guter Näherung eine 1/r -Abhängigkeit gegeben? Q d Abb. 5: Verformung des Biegebalkens im Kraftsensor bei Einwirkung einer Kraft F, die am Punkt Q angreift. Q wird durch F um die Strecke d ausgelenkt. 3.4 Elastischer Stoß auf einer Luftkissenbahn Auf einer Luftkissenbahn LK (Abb. 6), auf der sich ein aufgesetzter Schlitten nahezu reibungsfrei bewegen kann, soll der Zusammenhang Kraftstoß = Impulsänderung bei einem elastischen Stoß quantitativ untersucht werden. Da alle Bewegungen längs der Achse der Luftkissenbahn ablaufen, ist gem. Abb. 3 α = 0 und es reicht eine Betrachtung der skalaren Größen Geschwindigkeit (v) und Impuls (p). F LK B K 1 AW LS L P S K H T A Abb. 6: Anordnung zur Messung von Impuls und Kraftstoß beim elastischen Stoß auf einer Luftkissenbahn LK. K 1: Schlitten mit Blende B und zwei Al-Würfeln AW. S: Kraftsensor mit Spitze P an Halterung H. T: Stahlträger-Unterbau für LK mit Stellfuß A. L: Länge des Messbereiches. LS: Gabellichtschranke. Der Schlitten K 1 mit der Masse m 1 wird mit der Hand auf die Geschwindigkeit v 1 beschleunigt. Er bewegt sich anschließend auf den Kraftsensor S zu, der über eine starre Halterung H mit dem massiven Stahlträger- Unterbau T von LK verbunden ist. Durch diesen Aufbau sind die in Kap..3 definierten Bedingungen für den Stoßpartner K (bestehend aus S, H und T), nämlich m und damit v 0, gewährleistet. '

107 105 Die während des Stoßes zwischen K 1 und K wirkende Kraft F(t) wird mit dem Kraftsensor S gemessen und mit Hilfe eines Speicheroszilloskops aufgezeichnet. Auf dem Schlitten ist mittig eine Blende B der Breite d angebracht, die beim Durchlaufen einer Gabellichtschranke LS diese für die Dauer t LS unterbricht. Durch Messung von d (Messschieber), t LS (Speicheroszilloskop) und m 1 (Laborwaage) lassen sich somit die Geschwindigkeiten und Impulse von K 1 vor und nach dem Stoß bestimmen. Hinweise zur Durchführung: - Um eine präzise Messung von F(t) zu ermöglichen, ist der Kraftsensor mit einer Spitze P versehen, die einen annähernd punktförmigen Kontakt mit einem am Schlitten montierten Aluminiumwürfel AW ermöglicht 9. Vor Beginn der Messung muss der Sensor so ausgerichtet werden, dass der Würfel von der Spitze mittig getroffen wird. - Um zu verhindern, dass der Schlitten nach dem Anstoßen auf der Bahn weiter beschleunigt oder gebremst wird, ist eine exakt waagerechte Ausrichtung der Bahn erforderlich. Diese lässt sich nicht über ihre gesamte Länge erreichen, wohl aber über eine Strecke von L (10 15) cm Länge zwischen LS und S, die für die Durchführung der Messung ausreichend ist. Die Ausrichtung der Bahn erfolgt ausschließlich über das Verstellen des drehbaren Fußes A am Stahlträger. Bei eingeschalteter Luftzufuhr muss A so justiert werden, dass der aufgesetzte Schlitten im Bereich L nicht beschleunigt wird. - Der Schlitten K 1 darf nur so stark beschleunigt werden, dass F(t) immer kleiner als 5 N bleibt, da andernfalls der Messbereich des Kraftsensors verlassen wird. Die Geschwindigkeit v 1 des Schlittens darf also nicht zu groß und damit t LS nicht zu klein werden. t LS > 10 ms ist ein guter Orientierungswert. Abb. 7 zeigt ein typisches Oszilloskopbild nach einem Stoßvorgang. An CH1, auf den getriggert wird, wurden die Signale U LS der Gabellichtschranke beim Hin- und Rücklauf des Schlittens erfasst, an CH das Signal U S des Kraftsensors. Ein Bildschirmfoto des Oszilloskopbildes wird dem Protokoll beigefügt. Zur Auswertung der Signale werden sie zunächst auf einer Compact-Flash-Karte oder einem USB-Stick (je nach Gerätetyp) gespeichert und anschließend in das ASCII-Format konvertiert. Einzelheiten dazu siehe Anhang (Kap. 4). Anschließend können diese Dateien in Origin importiert und dort weiter ausgewertet werden. Abb. 7: Oszilloskopbild der Signale der Gabellichtschranke LS (CH1, oben) und des Kraftsensors S (CH, unten). 9 Der Schlitten muss beidseitig mit gleichen Al-Würfeln versehen werden, um eine symmetrische Massenverteilung zu gewährleisten.

108 106 Die Impulsbreiten t LS der Signale der Gabellichtschranke für den hin- und rücklaufenden Schlitten werden entweder mit Hilfe der Zeitcursor am Oszilloskops bestimmt oder in Origin mit Hilfe des Tools Datenkoordinaten (Data Reader) ermittelt. Die gesamte Impulsänderung des Schlittens gem. Gl. (18) kann dann wie folgt berechnet werden: (5) ' 1 1 p= p1 + p1 = md 1 + t ' LS t LS Für die Berechnung des Größtfehlers der Impulsänderung können m 1 und d als fehlerfrei angenommen werden. Zur Messung des Kraftstoßes wird das Integral in Gl. (1) durch eine Summe ersetzt: p = F t t (6) ( ) i i Dabei sind F(t i) die diskreten Messwerte des Kraftsensors zu den Zeitpunkten t i (Abtastpunkte des Oszilloskops), die sich mit Hilfe der Kalibrierfunktion aus den aufgezeichneten Spannungswerten U S(t i) berechnen lassen. Die Summe über die F(t i) lässt sich mit dem Origin-Tool Spaltenstatistik einfach ermitteln 10. t ist der konstante Zeitabstand zwischen zwei aufeinander folgenden Messwerten zu den Zeiten t i und t i+1, der sich aus der eingestellten Zeitablenkung am Oszilloskop (x SEC/DIV) und der Zahl der aufgezeichneten Messwerte (.500) ergibt: (7) t = ( x ) 10 DIV SEC/DIV / 500 Es ist schwierig, Beginn und Ende des Kraftstoßes und damit seine Dauer τ exakt zu bestimmen. Deshalb wird die Summe nach Gl. (6) nicht über τ, sondern über das gesamte aufgezeichnete Zeitintervall gebildet, d. h. über alle mit dem Oszilloskop aufgezeichneten.500 Messwerte. Dabei ist folgendes beachten: Außerhalb des Zeitintervalls τ sollte F(t i) = 0 sein. Tatsächlich kann dort jedoch durch einen kleinen Offset im Kraftsignal und durch elektronisches Rauschen F(t i) 0 sein und somit bei Summation über viele t i einen erheblichen Fehler verursachen. Deshalb wird zunächst der Mittelwert F 0 des Kraftsignals über das Zeitintervall gebildet werden, das sicher vor Beginn des Stoßes liegt 11. Anschließend wird dieser Wert F 0 von allen Messwerten F(t i) subtrahiert und erst danach die Summe nach Gl. (6) gebildet. Um die Berechnung des Größtfehlers des Kraftstoßes nicht zu aufwändig zu machen, kann für jeden einzelnen Kraftwert F(t i) ein Größtfehler von 5 mn angenommen und der Größtfehler von t vernachlässigt werden. Abschließend wird überprüft, ob die Impulsänderung nach Gl. (5) dem Kraftstoß nach Gl. (6) entspricht. Die Ursachen möglicher Abweichungen beider Größen werden diskutiert. 10 Im Menü Spaltenstatistik Haken bei Summe setzen. 11 Zellen in der Spalte mit den Werten für F(t i) markieren, für die t i vor dem Beginn des Stoßes liegt. Dann Spaltenstatistik, dort Haken bei Mittelwert setzen.

109 107 4 Anhang Zur Speicherung von Daten des Oszilloskops auf USB-Stick oder Compact-Flash-Karte und anschließende Konvertierung in ASCII-Daten sind folgende Schritte erforderlich: Am Oszilloskop werden zu Beginn einmalig folgende Tasten gedrückt: Grundeinstellungen: Speichern: SAVE/RECALL Aktion Alle speichern Taste DRUCKEN Speichert alles Verzeichnis wählen GPRnn auswählen Verzeichnis wechseln Zurück SAVE / PRINT Nach Betätigung der SAVE / PRINT Taste werden vier Dateien im Unterverzeichnis ALLnnnn gespeichert, wobei nnnn eine fortlaufende Nummer ist (beginnend bei 0000), die bei jeder Betätigung der Taste SAVE / PRINT um 1 erhöht wird. Die vier Dateien sind: FnnnnTEK.SET ASCII-Datei mit Betriebsparametern des Oszilloskops FnnnnTEK.TIF Bilddatei mit Bildschirmfoto FnnnnCH1.CSV Daten von CH1 (u.a. Spannung U 1 als Funktion der Zeit t) FnnnnCH.CSV Daten von CH (u.a. Spannung U als Funktion der Zeit t) Für die quantitative Auswertung sind nur die beiden letzten Dateien von Bedeutung, die im CSV-Format vorliegen. 1 Mithilfe des zur Verfügung gestellten Matlab-Skriptes GPRTools.m (auf Laufwerk Q:), dort Option Tektronix CSV to ASCII, werden aus diesen Dateien die Signalverläufe U 1(t) für CH1 und U (t) für CH extrahiert, in das ASCII-Format umgewandelt und anschließend im Verzeichnis ALLnnnn unter folgenden Namen gespeichert: FnnnnCH1_all.txt FnnnnCH_all.txt Spalte 1: t, Spalte : U 1(t) für CH1 Spalte 1: t, Spalte : U (t) für CH Diese Daten können über Datei Import in Origin importiert werden. 1 CSV ist die Abkürzung für character separated values. Dies bedeutet, dass einzelne Einträge in der Datei (Zahlenwerte, Zeichenketten, ) durch ein definiertes Zeichen (englisch: character) voneinander getrennt sind. Hier ist das Komma das Trennzeichen.

110 108 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Viskosität und Reynoldszahlen Stichworte: Reibung, Reibungskraft, Auftrieb, Viskosität, laminare und turbulente Strömung, REYNOLDSzahl, STOKESsches Gesetz, BERNOULLIsches Gesetz, HAGEN-POISEUILLEsches Gesetz Literatur: /1/ DEMTRÖDER, W.: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme, Springer-Verlag, Berlin u.a. // SCHENK, W., KREMER, F. (Hrsg.): Physikalisches Praktikum, Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden /3/ WALCHER, W.: Praktikum der Physik, Teubner Studienbücher, Teubner-Verlag, Stuttgart 1 Einleitung Das NEWTONsche Gesetz Kraft proportional Beschleunigung scheint vielen alltäglichen Erfahrungen zu widersprechen. Betrachtet man beispielsweise die Bewegung von Körpern unter dem Einfluss von Reibung, so trifft die Beschreibung Kraft proportional Geschwindigkeit eher zu: um etwa beim Radfahren eine konstante Geschwindigkeit einzuhalten, muss dauernd Kraft aufgewendet werden. Will man dauerhaft schneller fahren, muss man dauerhaft schneller treten, was dauernd mehr Kraft erfordert. Tatsächlich lassen sich viele mechanische Abläufe, bei denen Reibung eine Rolle spielt, mit dem Ansatz Kraft ~ Geschwindigkeit befriedigend beschreiben. Das gilt z.b. für den Einfluss der Reibung auf das Fallen von Kugeln in Flüssigkeiten oder Gasen. Zwei wichtige Beispiele für solche Fallvorgänge sind das Absetzen von Staubteilchen oder Wassertröpfchen (Nebel) aus der Luft und die Bewegung winziger Öltröpfchen, wie sie im MILLIKANschen Versuch zur Bestimmung der Elementarladung zur Anwendung kommen. Dieser Versuch hat zum Ziel, aus der Beobachtung solcher Fallvorgänge und der Strömung von Flüssigkeiten durch Kapillaren die Viskosität einer Flüssigkeit zu bestimmen. Außerdem wird der Übergang von einer laminaren in eine turbulente Strömung untersucht und die zugehörige REYNOLDSzahl bestimmt. Theorie.1 Bestimmung der Viskosität mit der Kugelfallmethode nach Stokes Wir betrachten gemäß Abb. 1 eine Kugel vom Radius r, die mit der Geschwindigkeit v durch eine unendlich ausgedehnte Flüssigkeit gezogen wird. Um die Kugel zu bewegen, müssen Reibungskräfte überwunden werden. Sie rühren daher, dass die direkt an die Kugel angrenzende Flüssigkeitsschicht an der Kugel haftet und folglich mitbewegt werden muss. Die mitbewegte Schicht reißt die ihr benachbarte Flüssigkeitsschicht mit, diese reißt wiederum ihre Nachbarschicht mit usw. Im Ergebnis entsteht infolge dieser Reibung um die Kugel herum eine Flüssigkeitsströmung, deren Geschwindigkeit mit größer werdendem Abstand quer zur Kugel abnimmt.

111 109 r V Abb. 1: Bewegung einer Kugel durch eine Flüssigkeit. Aus den NAVIER-STOKES-Gleichungen 1, mit denen Bewegungen von Flüssigkeiten beschrieben werden können, lässt sich die Reibungskraft F R berechnen, die die Flüssigkeit einer Bewegung der Kugel mit der Geschwindigkeit v entgegensetzt. Da die Vektoren F R und v längs der gleichen Achse orientiert sind, reicht im Folgenden eine Betrachtung ihrer Beträge F R und v. Nach einer komplizierten Rechnung, die erst in höheren Semestern nachvollzogen werden kann, ergibt sich, dass die Reibungskraft F R zur Geschwindigkeit v und zum Kugelradius r proportional ist: (1) FR v FR r und dass gilt: () F = 6πηrv R Die Konstante η heißt Viskosität (auch Koeffizient der inneren Reibung oder dynamische Zähigkeit). Ihre SI-Einheit ist [η] = kg/(m s) = N s/m = Pa s. Die alte CGS-Einheit, die noch in vielen Tabellenwerken gebräuchlich ist, ist das POISE (1 POISE = 1 p = 1 g/(cm s)). Gl. () ist das so genannte STOKESsche Gesetz. Es beschreibt die Bewegung der Kugel jedoch nur dann richtig, wenn die durch die Kugelbewegung erzeugte Flüssigkeitsströmung laminar ist. Eine laminare Strömung liegt dann vor, wenn die einzelnen Flüssigkeitsschichten glatt übereinander gleiten, also nicht untereinander verwirbeln. Anschaulich bedeutet dies, dass sich glatte, zusammenhängende Stromlinien um die Kugel herum ausbilden (Abb. ). Im Gegensatz dazu spricht man von turbulenter Strömung, wenn die Flüssigkeitsschichten untereinander verwirbeln. In diesem Fall ergeben sich verwirbelte Stromlinien (Abb. 3; siehe auch Abbildungen auf dem Titelblatt dieses Praktikumskriptes) und die aufzuwendende Kraft wird oft proportional zu v : (3) FR v Mit Hilfe der dimensionslosen REYNOLDSzahl 3 Re lässt sich abschätzen, ob eine Strömung laminar oder turbulent verläuft. Sie ist gegeben durch: (4) ρ vl Re = η Dabei ist ρ die Dichte der Flüssigkeit und l eine für den betrachteten Strömungvorgang charakteristische Länge. In unserem Fall entspricht l dem Durchmesser der Kugel; im Falle einer Strömung durch ein Rohr (vgl. Gl. (36)) entspricht l dem Rohrdurchmesser. 1 CLAUDE LOUIS MARIE HENRI NAVIER ( ); GEORGE GABRIEL STOKES ( ). JEAN-LOUIS MARIE POISEUILLE ( ). 3 OSBORN REYNOLDS ( )

112 110 Abb. : Laminare Strömung um eine Kugel. Abb. 3: Turbulente Strömung um eine Kugel. Links schematisch, rechts Originalaufnahme von LUDWIG PRANDTL ( ) 4. Die REYNOLDSzahl hat eine anschauliche physikalische Bedeutung: sie ist proportional zum Quotienten aus der kinetischen Energie E k eines Volumenteilchens mit der Kantenlänge l und der Reibungsenergie E R, die beim Verschieben des Teilchens um die Strecke l verbraucht wird. Für das Beispiel eines kugelförmigen Flüssigkeitsteilchens (Masse m, Geschwindigkeit v, Dichte ρ, Durchmesser l) ergibt sich als kinetische Energie: (5) 1 1 Ek = mv = ρ π l v 1 3 Die Reibungsenergie ist das Produkt aus Reibungskraft (Gl. () mit r = l/) und Strecke l: (6) ER = 3 πη vl Der Quotient beider Größen ergibt bis auf die Konstante 1/36 die REYNOLDSzahl aus Gl. (4). Eine Strömung verläuft laminar bei kleinen und turbulent bei großen REYNOLDSzahlen 5. Dabei sind die Begriffe klein und groß jedoch nur als relative Angaben zu verstehen. Was klein und was groß ist, ist stark abhängig vom betrachteten Experiment. So verlaufen z.b. Rohrströmungen laminar für REY- NOLDSzahlen Re < Für fallende Kugeln in Flüssigkeiten muss Re < 0, sein /3/, damit die Strömung nicht turbulent wird und das STOKESsche Gesetz gültig bleibt. F A F R G Abb. 4: Wirkende Kräfte auf eine fallende Kugel. 4 Quelle: PHYSIK JOURNAL 3.10 (004) Die Bedingungen für laminare oder turbulente Strömungen sind nach neueren Erkenntnissen erheblich komplexer, als in diesem Text und in gängigen Lehrbüchern dargestellt, siehe z.b. B. HOF et al: Finite lifetime of turbulence in shear flows, Nature 443 (006) Hierauf kann im Rahmen des Basispraktikums jedoch nicht eingegangen werden.

113 111 Wir betrachten nun das Fallen einer Kugel mit der Masse m, dem Radius r und dem Volumen V in einer unendlich ausgedehnten Flüssigkeit mit der Dichte ρ F und der Viskosität η. Auf die Kugel wirken drei Kräfte (Abb. 4), die alle in vertikaler Richtung orientiert sind. Deshalb reicht die Betrachtung ihrer Beträge. Die Kräfte sind die nach unten gerichtete Gewichtskraft G = mg (g: Erdbeschleunigung), die nach oben gerichtete Auftriebskraft F A = ρ FVg und die ebenfalls nach oben gerichtete Reibungskraft (Gl. ()) F R = 6πηrv. Die resultierende Kraft F ist also: (7) F = G FA FR Diese Kraft F beschleunigt die Kugel nach unten auf zunächst immer größer werdende Geschwindigkeiten v. Mit v wächst jedoch auch F R, so dass F immer kleiner und schließlich gleich null wird. Von diesem Zeitpunkt an gilt: (8) F = G F F = 0 A R Die Kugel fällt von nun an mit der konstanten Geschwindigkeit v 0. Frage 1: - Wie bewegt sich eine Gasblase, die am Boden eines Wasserglases freigesetzt wird (z. B. eine CO -Blase in einem Glas mit Mineralwasser)? Setzen wir G, F A und F R mit v = v 0 in Gl. (8) ein, so erhalten wir: (9) mg ρfvg 6πηrv0 = 0 Wir setzen nun noch m = ρ KV (mit ρ K : Dichte des Kugelmaterials) sowie V aus Gleichung (9): 4 π 3 = r und erhalten damit 3 4 π ρk ρf 6π ηrv0 = (10) r g ( ) Lösen wir diese Gleichung nach η auf, so erhalten wir (11) η = 9 rg ( ρ ρ ) K v 0 F Aus Gl. (11) folgt eine einfache Möglichkeit zur indirekten Messung von η, wenn ρ K und ρ F bekannt sind: Man lässt Kugeln vom Radius r in der zu untersuchenden Flüssigkeit fallen und misst ihre Fallgeschwindigkeit v 0 nach Erreichen des Zustands F = 0. Dabei taucht ein Problem auf: In der Regel haben wir es nicht mit unendlich ausgedehnten Flüssigkeiten zu tun, sondern beispielsweise mit Zylindern vom Radius R, in denen das Fallen der Kugeln beobachtet wird. In diesen Fällen muss die zusätzliche Reibung der von der Kugel mitgerissenen Flüssigkeit an der Zylinderwand berücksichtigt werden. Sie führt dazu, dass die gemessene Geschwindigkeit v m kleiner ist als die Geschwindigkeit v 0 im Falle der unendlich ausgedehnten Flüssigkeit. Da die Abweichung zwischen v 0 und v m vor allem durch das Verhältnis der Querschnittsflächen von Kugel und Zylinder bestimmt ist, kann näherungsweise gesetzt werden: (1) r vm v0 k R

114 11 wobei k ein experimentell zu bestimmender Korrekturfaktor ist 6. Damit folgt: (13) r v0 vm + k R. Bestimmung der Viskosität mit einem Kapillarviskosimeter nach UBBELOHDE Durch eine senkrecht stehende Kapillare vom Radius r 0 strömt eine Flüssigkeit. Die Zeit t, die ein Flüssigkeitsvolumen V benötigt, um durch die Kapillare zu fließen, wird durch die Viskosität η der Flüssigkeit bestimmt. Je größer η, desto größer t. Nach diesem einfachen Prinzip arbeiten Kapillarviskosimeter. Abb. 5 zeigt ein solches Kapillarviskosimeter nach UBBELOHDE, das in Kap. 3. und im Anhang 4.4 noch näher beschrieben wird. 3 1 G V B M M 1 l r 0 D H Abb. 5: Kapillarviskosimeter nach UBBELOHDE. Durch die Kapillare (rot) mit Radius r 0 und Länge l strömt während der Zeit t das Volumen V. Weitere Bezeichnungen siehe Kap. 3. und Anhang 4.4. Die exakte Herleitung des quantitativen Zusammenhangs zwischen η und t erfordert einigen Aufwand. Die Herleitung ist im Anhang 4.4 dargestellt. Hier geben wir nur das Ergebnis wieder: 6 Gl. (13) ist ein für die verwendete Versuchsanordnung empirisch gefundenes Gesetz. Die vielfach verwendete Korrektur nach LADENBURG (siehe z.b. //) liefert für diese Versuchsanordnung deutlich schlechtere Ergebnisse.

115 113 (14) η= K ρ t Hierbei ist ρ die Dichte der Flüssigkeit und K eine Apparatekonstante des verwendeten Viskosimeters, in die u.a. das durchgeflossene Volumen V eingeht (Abb. 5). Für die kinematische Viskosität υ = η/ρ mit der Einheit [υ] = m /s erhält man: (15) υ = K t In Gl. (14) und (15) ist noch eine Korrektur anzubringen. Wenn nämlich die Flüssigkeit aus dem breiten Vorratsgefäß B (Abb. 5) des Kapillarviskosimeters in die enge Kapillare eintritt, muss sie nach dem BERNOULLIschen Gesetz 7 beschleunigt werden. Die dazu erforderliche Arbeit führt zu einem kleinen Druckverlust, der eine Vergrößerung der Auslaufzeit t bewirkt. Von den gemessenen Zeiten t sind daher Korrekturzeiten t k abzuziehen (HAGENBACHsche Korrektur), die von den Herstellern der UBBELOHDE- Viskosimeter als Apparatekonstanten mitgeliefert werden. Die endgültige Gleichung zur Bestimmung der kinematischen Viskosität lautet daher: (16) υ = ( ) K t t k.3 Laminare und turbulente Rohrströmung Abb. 6 zeigt eine Anordnung, mit der der Übergang von einer laminaren in eine turbulente Strömung in einem zylindrischen Rohr untersucht werden kann 8. Ein langes Plexiglasrohr vom Innendurchmesser d wird von einer Flüssigkeit, hier Wasser, durchströmt. Das Wasser fließt aus einem Tank in das Rohr. Durch einen Zulauf (Wasserhahn) strömt Wasser in den Tank nach. Ein Überlauf sorgt dafür, dass der Wasserstand im Tank konstant bleibt, so dass am Einlauf in das Rohr immer der gleiche Druck herrscht. Ein Vlies sorgt für eine Beruhigung des Wasserzulaufs. Mit einem Hahn H 1 am Ende des Rohres kann die Strömungsgeschwindigkeit v reguliert werden. Zusätzlich zu dem Wasser aus dem Tank gelangt gleichzeitig ein dünner Strahl mit eingefärbtem Wasser durch eine Düse mittig in das Rohr. Die Durchflussmenge durch die Düse kann mit einem Hahn H variiert werden. Der Strahl ist bei kleiner Strömungsgeschwindigkeit v als glatter Stromfaden in dem Rohr zu sehen. Wird die Strömungsgeschwindigkeit durch Öffnen des Hahns H 1 langsam erhöht, beginnt der Stromfaden ab einer bestimmten Geschwindigkeit v t zu verwirbeln und zeigt damit den Übergang von einer laminaren in eine turbulente Strömung an. Durch Messen der Wasserdurchflussmenge pro Zeit bei dieser Stellung des Hahns H 1 kann die Strömungsgeschwindigkeit v t bestimmt und die zugehörige REYNOLDSzahl Re berechnet werden: ρw vt d (17) Re = η w Dabei sind ρ w und η w die Dichte und Viskosität des Wassers. Einzelheiten zur quantitativen Beschreibung der Wasserströmung durch ein Rohr sind im Anhang 4.3 dargestellt. 7 DANIEL BERNOULLI ( ). 8 Nach Empfehlung von A. HEIDER, DEUTSCHES ZENTRUM FÜR LUFT- UND RAUMFAHRT (DLR), Göttingen.

116 114 Farbe Überlauf H Zulauf H 1 d Ablauf Düse Vlies Ablauf Abb. 6: Anordnung zur Untersuchung des Übergangs von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung in einem Rohr vom Innendurchmesser d. Einzelheiten siehe Text. 3 Versuchsdurchführung Zubehör: 6 Glaszylinder mit unterschiedlichen Durchmessern in justierbarem Gestell mit Wasserwaage, Stopfen für die Zylinder mit mittig angebrachtem Loch, l Behälter mit Glyzerin-Wasser-Gemisch, Stahlkugeln (ca. 100 Stück mit d mm), Pinzette, Analysenwaage (Genauigkeit 0,001 g), Laborwaage (Genauigkeit 0,01 g), Bügelmessschraube, Messschieber, Stoppuhr, Thermometer (Genauigkeit 0,1 C), Magnet, UBBELOHDE-Viskosimeter (K 10-8 m /s ) in Halterung und Wasserbad, Saugschlauch, Ethanol, Strömungsrohr (d = (1,10 ± 0,05) mm) in Halterung mit Wassertank, Wasser mit Lebensmittelfarbe, Messzylinder (100 ml und 1000 ml), Eimer, Feudel, Papiertuchrolle. 3.1 Bestimmung der Viskosität eines Glyzerin-Wasser-Gemisches mit der Kugelfallmethode Hinweise: - Die Mischungsverhältnisse der Glyzerin-Wasser-Gemische sind bei den einzelnen Versuchsaufbauten nicht identisch. Da die Viskosität empfindlich vom Mischungsverhältnis und der Temperatur abhängt (s. Kap. 4.1 und 4.), muss jede Praktikumsgruppe den gesamten Versuch bei möglichst konstanter Raumtemperatur mit dem Gemisch aus einem Vorratsbehälter durchführen! - Der Arbeitsplatz muss sauber verlassen werden! Mit einer Anordnung gemäß Abb. 7 soll die Fallbewegung von Stahlkugeln (d = r mm) in einem Glyzerin-Wasser-Gemisch mit dem Ziel untersucht werden, die Viskosität des Gemisches nach Gl. (11) zu bestimmen. Um den Einfluss der Reibungseffekte an der Gefäßwand quantifizieren zu können (s. Gl. (13) ), kommen Glaszylinder mit unterschiedlichem Radius R zum Einsatz. Zur Vorbereitung des Versuches müssen zunächst folgende Größen bestimmt werden: (a) Dichte ρ F des Gemisches durch Wägung eines mit einem Messzylinder ermittelten Volumens auf der Laborwaage. (b) Mittlerer Radius r der Kugeln durch Messung des Durchmessers von mindestens 10 Kugeln mit der Bügelmessschraube und anschließender Mittelwertbildung. (c) Dichte ρ K des Kugelmaterials durch Wägung von n Kugeln (n 60) auf der Analysenwaage.

117 115 (d) Radien R der verwendeten Glaszylinder durch Messung der Innendurchmesser mit dem Messschieber. (e) Temperatur des Gemisches. Da die Viskosität stark temperaturabhängig ist, macht die Angabe eines Messergebnisses nur Sinn bei gleichzeitiger Angabe der Temperatur des Gemisches. Raumtemperatur während des Versuchs so konstant wie möglich halten! R r v m s Abb. 7: Messanordnung zum Kugelfallversuch in Flüssigkeiten. Die Kugeln vom Radius r fallen durch den oberen durchbohrten Stopfen (grau). Dadurch soll gewährleistet werden, dass sie möglichst zentral in die Flüssigkeit (beige) fallen, die sich in einem Zylinder mit dem Innenradius R befindet. Nach diesen Vorbereitungen wird das Glyzerin-Wasser-Gemisch vorsichtig in sechs Glaszylinder mit unterschiedlichen Radien R eingefüllt (Blasenbildung vermeiden! Flüssigkeitspegel muss unter der Unterkante der Stopfen bleiben!). Anschließend werden die Zylinder im Gestell fixiert (Kunststoffschrauben vorsichtig festdrehen) und die Grundplatte des Gestells wird mit Hilfe einer integrierten Wasserwaage waagerecht ausgerichtet. Die Zylinder stehen dann senkrecht. Danach lässt man je 10 Kugeln zentral in die Zylinder fallen; zur Zentrierung wird ein passender, in der Mitte durchbohrter Stopfen benutzt (Abb. 7). Mit der Stoppuhr bestimmt man die Fallzeit t für eine Fallstrecke s, die durch die beiden horizontal angeordneten Haltebleche der Zylinder festgelegt ist (s mit dem Messschieber messen). Der Beginn der Fallstrecke (also das obere Halteblech) liegt einige cm unter der Flüssigkeitsoberfläche. Frage : - Warum darf die Fallstrecke nicht an der Flüssigkeitsoberfläche beginnen? Frage 3: - Warum ist es wichtig, dass die Kugeln zentral in die Zylinder fallen? Für jeden Glaszylinder wird die Sinkgeschwindigkeit (18) vm = s t bestimmt, wobei t der Mittelwert der gemessenen Fallzeiten für die je 10 Kugeln ist. Anschließend wird v m über (r/r) aufgetragen (mit Fehlerbalken für v m) und eine Ausgleichsgerade durch die Messdaten gezeichnet. Der Schnittpunkt der Geraden mit der v m-achse ergibt die gesuchte Geschwindigkeit v 0 für eine unendlich ausgedehnte Flüssigkeit (R ).

118 116 Mit den experimentell gewonnenen Daten v 0, r, ρ K und ρ F sowie der Erdbeschleunigung für Oldenburg (g = 9,8133 m/s, Fehler vernachlässigbar 9 ) wird die Viskosität η des Glyzerin-Wasser-Gemisches nach Gl. (11) bestimmt und mit den Angaben aus Tab. 1 (Kap. 4.1) verglichen. Nach Ende der Messung wird die Flüssigkeit vorsichtig (erneut Blasenbildung vermeiden!) aus den Glaszylindern durch ein Sieb in das Vorratsgefäß zurück gegossen, um die Kugeln aufzufangen. Die in den Zylindern verbleibenden Kugeln werden mit einem Magneten herausgeholt. Die Kugeln werden in Wasser gereinigt und mit Haushaltspapier getrocknet. 3. Bestimmung der kinematischen Viskosität mit dem Kapillarviskosimeter Mit einem Kapillarviskosimeter nach UBBELOHDE soll die kinematische Viskosität von Ethanol bei Raumtemperatur bestimmt werden. Das Viskosimeter befindet sich in einem großen Wasserbad, das für die Dauer des Versuchs für eine konstante Temperatur (messen!) innerhalb der Kapillare sorgt. Von der technischen Assistenz wurde das Viskosimeter vor Versuchsbeginn senkrecht ausgerichtet und das Vorratsgefäß H über das Rohr 1 (s. Abb. 5) zu etwa ¾ mit Ethanol gefüllt. Rohr 3 wird mit dem Finger verschlossen. Mit Hilfe eines an Rohr angeschlossenen Saugschlauches wird die Flüssigkeit in Rohr so weit hoch gesaugt, bis das Vorlaufgefäß G gefüllt ist. Anschließend werden Rohr und 3 geöffnet und die Zeit t gemessen, in der der Flüssigkeitsspiegel von der Marke M 1 bis zur Marke M absinkt. Anschließend wird die Messung dreimal wiederholt. Aus den Messdaten und den bereitliegenden Apparatekonstanten K und t k wird die kinematische Viskosität υ von Ethanol bei der im Wasserbad herrschenden Temperatur bestimmt und mit dem Literaturwert verglichen. 3.3 Bestimmung der REYNOLDSzahl für den Übergang von laminarer zu turbulenter Rohrströmung Mit einer Anordnung nach Abb. 6 soll die REYNOLDSzahl für den Übergang von einer laminaren in eine turbulente Rohrströmung bestimmt werden. Zunächst wird der Tankzulauf (Wasserhahn) so weit geöffnet, dass der Wasserstand das Niveau der oberen Kante des Überlaufs während des Versuches gerade nicht unterschreitet. Der Schlauch am Ablauf des Rohres wird in das Abflussbecken gelegt. Der Hahn H 1 am Ende des Rohres wird langsam geöffnet, bis Wasser am Rohrende abfließt. Bei kleiner Strömungsgeschwindigkeit ist die Rohrströmung laminar. Anschließend wird der Hahn H so weit geöffnet, dass in dem Rohr ein dünner, glatter Stromfaden sichtbar wird. Danach wird der Hahn H 1 langsam weiter bis zu der Stellung geöffnet, bei der die laminare in eine turbulente Rohrströmung umschlägt. Dies erkennt man daran, dass der Stromfaden zu zittern beginnt. Um die Strömungsgeschwindigkeit v bei dieser Stellung des Hahnes H 1 zu messen, wird für eine mit der Stoppuhr zu messende Zeit t ein Messzylinder unter den Abflussschlauch des Rohres gehalten und das ablaufende Wasser aufgefangen. Aus dem während der Zeit t aufgefangenen Wasservolumen V, dem Innendurchmesser d des Rohres sowie der Dichte 10 und der Viskosität η des Wassers (s. Anhang 4.) lässt sich v berechnen (s. Anhang 4.3, Gl. (0)) und damit schließlich die gesuchte REYNOLDSzahl Re bestimmen. 9 Wert nach der Fehler von 10-5 m/s wird vernachlässigt. 10 Zur temperaturabhängigen Dichte von Wasser siehe Versuch Oberflächenspannung....

119 117 4 Anhang 4.1 Viskosität von Glycerin Glyzerin 11 (C 3H 8O 3) ist hygroskopisch, d.h. wasseranziehend. Lässt man es längere Zeit offen stehen, so nimmt es aus der Umgebungsluft Feuchtigkeit auf, d.h. es entsteht ein Gemisch, dessen Wassergehalt im Laufe der Zeit zunimmt. Dieses Gemisch hat eine andere Viskosität als reines Glyzerin. Zur Orientierung seien für eine Temperatur von 0 C einige Daten genannt: C 3H 8O 3 Gew.-% H O Gew.-% η / kg m -1 s , , , , , ,048 Tab. 1: Viskosität von Glyzerin/Wasser- Gemischen bei 0 C 1. Darüber hinaus ist die Viskosität stark temperaturabhängig. Für reines Glycerin gilt bei T = 0 C: η = 1,76 kg/(m s) (s.o.) und bei T = 5 C: η = 0,934 kg/(m s) Viskosität von Wasser Abb. 8 zeigt die Viskosität η von Wasser als Funktion der Temperatur T. Der Verlauf der Daten lässt sich im Temperaturbereich zwischen 10 C und 35 C in guter Näherung durch ein Polynom 4. Grades beschreiben (T in C) : (19) { T} { T} 1,7771-0, , kg η , { T} + 9, { T} ms 11 Weitere gebräuchliche Eigennamen von Glycerin sind Glycerol, Propan-1,,3-triol u.a. Die Struktur wird durch C 3H 5(OH) 3 beschrieben. 1 Daten nach: WEAST, R. C. [Ed.]: CRC Handbook of Chemistry and Physics, 56 th Ed., CRC Press, Boca Raton, Alle Daten ohne Fehlerangaben. 13 LIDE, D. R. [Ed.]: "CRC Handbook of Chemistry and Physics on CD-ROM", Taylor & Francis, Boca Raton, FL, 006. Daten ohne Fehlerangaben.

120 118 1,4 1,3 1, η / 10-3 kg m -1 s -1 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0, T / C 4.3 Laminare Rohrströmung Abb. 8: Viskosität η von Wasser als Funktion der Temperatur T. In diesem Anhang wird dargestellt, wie die Strömungsgeschwindigkeit v und ihr laterales Profil v(r) in einem zylindrischen Rohr quantitativ berechnet werden kann. 14 Eine ideale Flüssigkeit ist inkompressibel und frei von inneren Reibungskräften. Wir betrachten gem. Abb. 9 eine solche Flüssigkeit, die durch ein sich verjüngendes horizontales Rohr strömt. Aus der Inkompressibilität der Flüssigkeit folgt, dass der Volumenstrom Q (durchströmendes Volumen pro Zeit) an jeder Stelle des Rohres gleich sein muss. Sind A 1 die Querschnittsfläche des Rohres und v 1 die Strömungsgeschwindigkeit im Rohr auf der linken Seite und A und v die entsprechenden Größen auf der rechten Seite, so bedeutet dies: V (0) Q= = Av 1 1= Av = const. t A 1 V A F 1 p 1 x F p x 1 Abb. 9: Strömung durch ein sich verjüngendes horizontales Rohr. Bezeichnungen siehe Text. 14 r ist der laterale Abstand von der Längsachse des Rohres.

121 119 Gl. (0) heißt Kontinuitätsgleichung. Um ein Flüssigkeitsvolumen V in der linken Rohrseite um x 1 nach rechts zu bewegen, muss durch den links herrschenden statischen Druck p 1 die Arbeit W 1 verrichtet werden: (1) W1= F1 x1= p1a1 x1= p1 V Die erforderliche Arbeit W zur Bewegung des gleichen Volumens V durch die rechte Rohrseite gegen den statischen Druck p ist gegeben durch: () W= F x= pa x= p V Aus dem Energieerhaltungssatz folgt, dass die Arbeitsdifferenz W 1 - W zu einer Zunahme der kinetischen Energie der Flüssigkeit (Dichte ρ) im rechten Teil des Rohres führen muss. Sind m die Masse und v 1, v die Geschwindigkeiten der Volumina V, so folgt: (3) W W p V p V mv mv V v V v 1 = 1 = 1 = ρ ρ 1 Nach Division durch V und Umsortieren der Terme folgt schließlich: (4) p1+ ρv1 = p + ρv : = p+ ρv = const. Dies ist das BERNOULLIsche Gesetz. Es besagt, dass unter den genannten Annahmen die Summe aus statischem Druck p und Staudruck ½ρv an jeder Stelle des Rohres konstant sein muss. Für ein senkrecht statt horizontal stehendes Rohr muss der von der Höhe h abhängige hydrostatische Druck ρgh mit berücksichtigt werden (g ist die Erdbeschleunigung). Dann lautet das BERNOULLIsche Gesetz: (5) 1 + ρ + ρ = const. p v gh In einem horizontalen Rohr mit konstantem Durchmesser, das von einer idealen Flüssigkeit durchströmt wird, sind Druck und Strömungsgeschwindigkeit im gesamten Rohr konstant. Bei einer realen Flüssigkeit mit der Viskosität η treten jedoch Reibungskräfte zwischen Flüssigkeit und Rohrmantel und zwischen den benachbarten Flüssigkeitsschichten auf. Diese Reibungskräfte bewirken, dass der Druck längs des Rohres abnimmt und die Strömungsgeschwindigkeit entlang des Rohrquerschnitts, also in lateraler Richtung variiert. Sie muss am Rohrrand null sein (denn dort haftet eine Grenzschicht der Flüssigkeit an der Wand) und in der Mitte ihren maximalen Wert annehmen. Zur quantitativen Beschreibung des transversalen Geschwindigkeitsprofils einer laminaren Rohrströmung betrachten wir gem. Abb. 10 ein zylindrisches Rohr mit der Länge l und dem Radius r 0, das in z-richtung von einer realen Flüssigkeit durchströmt wird. Innerhalb dieser Strömung betrachten wir einen koaxialen Flüssigkeitszylinder mit dem Radius r und der Mantelfläche A = πrl. Nach dem NEWTONschen Reibungsgesetz ist die Reibungskraft F R zwischen diesem Flüssigkeitszylinder und der angrenzenden Flüssigkeitsschicht proportional zur Mantelfläche A und zum Geschwindigkeitsgefälle dv/dr; die Proportionalitätskonstante ist die Viskosität η. Es gilt also: (6) dv dv FR = η A = π rlη dr dr

122 10 r 0 F r z p 1 l p Abb. 10: Zylindrisches Rohr mit koaxialem Flüssigkeitszylinder vom Radius r. Links herrscht der Druck p 1, rechts der Druck p. Übrige Bezeichnungen siehe Text. Im stationären Fall (zeitlich konstante Strömungsgeschwindigkeit) muss die Reibungskraft F R für einen Flüssigkeitszylinder mit dem Radius r gerade gleich der treibenden Kraft F sein, die durch das Druckgefälle p = p 1 - p verursacht wird, also: (7) d v F= πr p= πrlη d r Daraus erhalten wir (8) d v p = r dr η l bzw. p (9) dv = rdr η l und schließlich durch Integration unter der Randbedingung v(r 0) = 0 das gesuchte Geschwindigkeitsprofil v(r): p vr () = r r ; 0 r r 4η l (30) ( ) 0 0 Das transversale Geschwindigkeitsprofil für eine laminare Strömung durch ein Rohr ist also parabolisch (s. Abb. 11). Zur Berechnung des Volumens V, das innerhalb der Zeit t durch ein Rohr mit dem Radius r 0 strömt, betrachten wir zunächst das Volumen dv, das innerhalb von t durch einen Hohlzylinder mit dem Innenradius r und dem Außenradius r + dr (s. Abb. 1) fließt. Dieser Hohlzylinder hat die Grundfläche A und die Länge l. Der Volumenstrom ist bei kleinem dr demnach gegeben durch: (31) dv A l l = = πrdr t t t

123 11 0,0 0, 0,4 v(r) / b.e. 0,6 0,8 1,0-1,0-0,8-0,6-0,4-0, 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 r / r 0 Abb. 11: Links: Berechnetes parabolisches Geschwindigkeitsprofil einer laminaren Strömung durch ein zylindrisches Rohr mit dem Radius r 0. Rechts: Visualisierung eines parabolischen Geschwindigkeitsprofils in einem zylindrischen Plexiglasrohr (Durchmesser ca. 1 cm) mit Hilfe von eingefärbtem Kleister. 15 Da sich die Flüssigkeit gleichförmig (d.h. ohne Beschleunigung) durch das Rohr bewegt, gilt für die Geschwindigkeit: (3) l v = t Damit wird aus Gl. (31) unter Verwendung von Gl. (30): dv t p πrd rv( r) πr r r dr 4η l (33) = = ( 0 ) A d r r Abb. 1: Zur Definition geometrischer Größen eines Hohlzylinders. Aus dieser Gleichung lässt sich durch Integration das Gesamtvolumen V berechnen, das innerhalb der Zeit t durch das Rohr mit dem Radius r 0 fließt: l 15 Bildquelle: T. GREVE: Aufbau und physikalische Betrachtung eines Durchlaufreaktors zur Hydrothermalen Karbonisierung, Diplomarbeit, Carl von Ossietzky Universität Oldenburg, Institut für Physik, AG Turbulenz, Windenergie und Stochastik (TWiST), 009.

124 1 0 V π p (34) = ( 0 ) und damit r t η l 0 r r rdr (35) π p t V = r 8η l 4 0 Dies ist das HAGEN-POISEUILLEsche Gesetz 16 für laminare Strömungen. Diese liegen vor, wenn die REYNOLDSzahl Re, die in diesem Fall durch (36) v r Re= ρ η 0 (ρ: Dichte der Flüssigkeit; v : Mittelwert der Strömungsgeschwindigkeit nach Gl. (30)) gegeben ist, kleiner als ca ist. 4.4 Kapillarviskosimeter In diesem Anhang wird die Herleitung von Gl. (14) dargestellt. Mit Hilfe des HAGEN-POISEUILLEschen Gesetzes (Gl. (35)) kann man die Viskosität von Flüssigkeiten bestimmen. Dazu bedient man sich so genannter Kapillarviskosimeter. Abb. 5 zeigt ein Kapillarviskosimeter nach UBBELOHDE. Durch eine Kapillare mit dem Radius r 0 und der Länge l lässt man aus einem Vorratsbehälter B, vor dem sich ein Vorlaufgefäß G befindet, ein definiertes Flüssigkeitsvolumen V strömen, das durch das zwischen den Marken M 1 und M eingeschlossene Volumen gegeben ist. Durch Messung der Zeitdifferenz t, in der der Flüssigkeitsspiegel von M 1 nach M sinkt, lässt sich dann aus Gl. (35) die Viskosität η bestimmen: (37) 4 0 π pr η = t 8lV Die Druckdifferenz p ist in diesem Fall gegeben durch den hydrostatischen Druck: (38) p() t = ρ gh() t (ρ: Dichte der Flüssigkeit; g: Erdbeschleunigung) Dabei ist h(t) die Höhendifferenz zwischen dem momentanen Stand des Flüssigkeitsspiegels im Vorratsgefäß B und dem unteren Ende der Kapillare. Dass dieses Ende der Kapillare die Referenzhöhe bildet, erreicht man durch einen Trick: das Belüftungsrohr 3 (s. Abb. 5) sorgt dafür, dass im oben kugelförmig ausgebildeten Auslaufgefäß D Luftdruck herrscht. Dadurch läuft die Flüssigkeit in Form eines dünnen Films an der Innenwand von D ab. Infolge der Zeitabhängigkeit der Höhe h(t) (sinkender Flüssigkeitsspiegel) ist auch p(t) zeitabhängig. Man kann h(t) jedoch durch einen geeigneten Mittelwert ersetzen. Diese mittlere Höhe h ist gegeben durch: 16 GOTTHILF HEINRICH LUDWIG HAGEN ( )

125 13 (39) t 1 h = h() t dt t 0 Damit folgt aus Gl. (37): (40) 4 0 π ρ ghr η = 8lV t Die Größe (41) π ghr K = 8lV 4 0 ist eine Apparatekonstante und auf den Viskosimetern eingraviert ([K] = m /s ; meistens in mm /s angegeben). Damit ergibt sich für die Viskosität die einfache Beziehung aus Gl. (14): η= K ρ t

126 14 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Oberflächenspannung, Minimalflächen und Kaffeeflecken Stichworte: VAN DER WAALS-Kräfte, spezifische Oberflächenenergie, Oberflächenspannung, Minimalflächen, Kapillarität, Kontaktwinkel, Kohäsion, Adhäsion, Abreißmethode, Blasendruckmethode. Literatur: /1/ DEMTRÖDER, W.: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme, Springer-Verlag, Berlin u.a. // EICHLER, H. J., KRONFELDT, H.-D., SAHM, J.: Das Neue Physikalische Grundpraktikum, Springer-Verlag, Berlin u.a. /3/ WALCHER, W.: Praktikum der Physik, Teubner Studienbücher, Teubner-Verlag, Stuttgart 1 Einleitung Viele werden sich noch an das Experiment aus der Kindheit erinnern, bei dem eine Stecknadel auf eine Wasseroberfläche gelegt wurde und nicht versank. Oder an die Beobachtung von Insekten, die über die Wasseroberfläche eines Teiches laufen können, ohne einzusinken. Beide Erscheinungen sind Folge der Oberflächenspannung von Flüssigkeiten, um deren quantitative Messung es in diesem Versuch geht. Theorie Zwischen den Molekülen im Innern einer Flüssigkeit herrschen verschiedene Wechselwirkungskräfte, vor allem die VAN DER WAALS-Kräfte elektrostatischen Ursprungs. Diese Wechselwirkungskräfte haben eine sehr kurze Reichweite im Bereich von 10-9 m und bewirken den Zusammenhalt der Moleküle untereinander (Kohäsionskräfte). Sie sind deutlich größer als die Wechselwirkungskräfte, die zwischen den Flüssigkeitsmolekülen und den Molekülen eines über der Flüssigkeitsoberfläche liegenden Gases (z. B. Luft) auftreten (Adhäsionskräfte). Das führt zu der in Abb. 1 dargestellten Situation: Auf die Moleküle im Innern der Flüssigkeit wirken gleich große Kräfte in alle Raumrichtungen, die sich in ihren Wirkungen gegenseitig aufheben, die resultierende Kraft F R ist null. In einer dünnen Schicht an der Oberfläche der Flüssigkeit verbleibt jedoch eine resultierende, ins Innere der Flüssigkeit gerichtete Kraft F R 0, die auf der Flüssigkeitsoberfläche senkrecht steht. Luft Flüssigkeit F 0 R F = 0 R Abb. 1: Zur Entstehung der Oberflächenspannung von Flüssigkeiten, hier an der Grenzfläche zwischen einer Flüssigkeit und Luft. F R: resultierende Kraft auf Flüssigkeitsmolekül. Soll die Oberfläche der Flüssigkeit vergrößert werden, indem Flüssigkeitsmoleküle aus dem Innern der Flüssigkeit an die Oberfläche gebracht werden, so muss gegen diese Kraft F R Arbeit geleistet werden; die potentielle Energie der Moleküle wird erhöht. Hieraus lässt sich sofort ein wichtiger Schluss ziehen: da ein

127 15 Gleichgewichtszustand durch ein Minimum an potentieller Energie gekennzeichnet ist, nehmen Flüssigkeitsoberflächen ohne Einwirkung äußerer Kräfte Minimalflächen ein. Eindrucksvolle Minimalflächen lassen sich einfach demonstrieren, indem z.b. unterschiedlich geformte Draht- oder Kunststoffgestelle in Seifenwasser eingetaucht und anschließend herausgezogen werden. Die sich dabei ausbildenden Seifenhautlamellen zwischen den Drähten bzw. Stegen stellen Minimalflächen dar. Die zur Vergrößerung der Flüssigkeitsoberfläche um den Betrag A erforderliche Arbeit sei W. Der Quotient beider Größen, (1) w W = A heißt spezifische Oberflächenenergie oder Oberflächenenergiedichte, ihre Einheit ist [w] = J/m. F g Kraftmesser L s σ F s h Metallring Flüssigkeitslamelle Flüssigkeit Abb. : Zur Definition der Oberflächenspannung. Abb. 3: Messung der Oberflächenspannung mit der Abreißmethode. Abb. zeigt eine mögliche Anordnung zur Messung der spezifischen Oberflächenenergie. Zwischen den Schenkeln eines dünnen, U-förmigen Drahtbügels (grau) mit der Breite L gleitet ein verschiebbarer Draht (gelb), der sich anfänglich im Abstand s vom oberen Rand des Bügels befindet. Zwischen Bügel und Draht befinde sich eine Flüssigkeitsoberfläche mit der Fläche A = L s, beispielsweise eine Seifenhautlamelle (Faktor wegen Vorder- und Rückseite der Oberfläche). Durch Einwirkung einer Kraft F wird der verschiebbare Draht um die kleine Strecke s verschoben und damit die Oberfläche um A = L s vergrößert. Die dazu erforderliche Arbeit W ist mit F = F : () W = F s Mit Gl. (1) folgt daraus für die spezifische Oberflächenenergie (3) w W F s F = = = A L s L Berücksichtigt man die Vektoreigenschaft der Kraft F, so erhält man die vektorielle Größe Oberflächenspannung σ : (4) σ = F L

128 16 mit der Einheit [σ] = N/m = J/m 1. Wie aus Abb. ersichtlich, ist die Oberflächenspannung tangential zur Oberfläche gerichtet. Der Betrag der Oberflächenspannung, σ = σ, ist identisch mit der spezifischen Oberflächenenergie w: w = σ. In der Praxis gebräuchlich ist der Begriff der Oberflächenspannung für den Betrag σ ; so werden auch wir ihn im Folgenden verwenden..1 Messung der Oberflächenspannung mit der Abreißmethode Eine häufig verwendete Anordnung zur Messung der Oberflächenspannung von Flüssigkeiten gegen Luft zeigt Abb. 3. Ein dünnwandiger zylindrischer Ring mit dem Radius r, der Wanddicke d und der Masse m wird an einen Kraftmesser gehängt und in die Flüssigkeit eingetaucht. Anschließend wird der Ring durch Absenken des Flüssigkeitsbehälters aus der Flüssigkeit herausgezogen. Dadurch entsteht zwischen Ring und Flüssigkeitsoberfläche eine Flüssigkeitslamelle. Um den Ring in der Höhe h zu halten, ist die Kraft F(h) erforderlich. Wir wollen annehmen, dass wir den Ring, ausgehend von der Höhe h, gerade noch um ein kleines Stück h bis auf die Höhe h 0 aus der Flüssigkeit herausziehen können, ohne dass die Lamelle sich einschnürt und schließlich abreißt. Die hierfür erforderliche Arbeit ist W = F h h, (5) ( ) durch die die Lamellenoberfläche um (6) A= π r h 0 vergrößert wird. Damit ergibt sich für die Oberflächenspannung: (7) ( ) ( ) W F h0 h F h0 σ = = = A π r h 4π r Mit Hilfe dieser Abreißmethode lässt sich durch Messen der maximalen Kraft F := F(h 0), bei der die Lamelle sich noch nicht einschnürt und schließlich abreißt und des Ringradius r die Oberflächenspannung σ von Flüssigkeiten gegen Luft bestimmen. Dabei ist zu beachten, dass der Kraftmesser die Gesamtkraft F g (8) Fg = F + mg anzeigt, wobei m die Masse des Ringes einschließlich Halterung und g die Erdbeschleunigung ist. Die in Gl. (7) einzusetzende Kraft F ist also: (9) F = Fg mg Soweit die Theorie. In der Praxis muss der mit Gl. (7) ermittelte Wert noch mit einem Korrekturfaktor f multipliziert werden, den wir hier ohne Herleitung angeben und als fehlerfrei annehmen : (10) f 0,3607 = 0,75 + 0, ,839 d r ρg σ + r 1 Im Gegensatz zur Oberflächenspannung mit der Einheit N/m ist eine mechanische Spannung, z.b. die auf einen Stab wirkende Zugspannung, als Kraft F pro Fläche A definiert, also σ = F/A mit der Einheit [σ] = N/m. nach KOSE, V. [Hrsg.]; WAGNER, S. [Hrsg.]: "KOHLRAUSCH - Praktische Physik Bd. 1", Teubner, Stuttgart, 1996

129 17 Dabei ist σ der Rohwert der Oberflächenspannung aus Gl. (7) und ρ die Dichte der Flüssigkeit. Der korrigierte Wert σ k der Oberflächenspannung ist dann: (11) σk = f σ. Messung der Oberflächenspannung mit der Blasendruckmethode Eine andere Methode zur Messung der Oberflächenspannung ist in Abb. 4 dargestellt. Eine spitz angeschliffene Kapillare K mit kleinem Innenradius r taucht senkrecht in eine Flüssigkeit ein (Eintauchtiefe h), deren Oberflächenspannung gegen Luft gemessen werden soll. Die Kapillare ist über einen Schlauch mit einer Anordnung zur Änderung des Luftdruckes verbunden, die bereits aus dem Versuch Sensoren... bekannt ist. Der Luftdruck in der Kapillare kann mit dem Drucksensor D gemessen werden. M H 1 h m Wasser B K H h D p L - + E Luft, Druck p Wasser V S Abb. 4: Aufbau zur Messung der Oberflächenspannung mit der Blasendruckmethode. Einzelheiten siehe Versuch Sensoren.... Um die Luft bis zur Öffnung der Kapillare zu treiben, muss zunächst der hydrostatische Gegendruck p F in der Flüssigkeit überwunden werden, der durch (1) pf = ρ gh gegeben ist, wobei ρ die Dichte der Flüssigkeit und g die Erdbeschleunigung ist. Wird der Luftdruck in K weiter erhöht, so bildet sich an der Öffnung der Kapillare langsam eine in die Flüssigkeit gewölbte Luftblase vom Radius R aus (Abb. 5), deren Innendruck antiproportional zu R ist. Mit zunehmendem Druck wird die Luft weiter aus der Kapillare getrieben und der Radius R der Luftblase demnach immer kleiner. Im Falle R = r ist der Radius minimal und der Druck in der dann halbkugelförmigen Blase maximal. Nach Überschreiten dieses Druckes wird die Blase größer und löst sich schließlich von der Kapillare. Der Druck in der Kapillare bricht kurzzeitig zusammen und der Vorgang der Blasenbildung beginnt von neuem.

130 18 Luftzufuhr r R >> r R > r R = r R > r Abb. 5: Luftblasen (grau, Radius R) an der Öffnung einer in Flüssigkeit eingetauchten Kapillare vom Radius r. Die gestrichelten Linien markieren die gedachte Form einer freien Blase mit Radius R. Sei p der Überdruck gegenüber dem hydrostatischen Druck an der Kapillaröffnung, bei dem der Druck in den Blasen maximal und ihr Radius gleich r ist. Ist ρ m die Dichte der Flüssigkeit im Manometer (hier Wasser) und h m die im Manometer angezeigte Höhe, so gilt für p: p h h g (13) = ( ρ ρ ) m m Damit lässt sich die Oberflächenspannung näherungsweise wie folgt berechnen: (14) r p 1 1 r ρ g r ρ g σ = 3 p 6 p Gleichung (14) stellt eine Näherungslösung dar, auf deren Herleitung wir verzichten wollen, da sie nicht leicht nachzuvollziehen ist. An ihr haben schließlich so berühmte Physiker wie ERWIN SCHRÖDINGER, einer der Begründer der Quantenmechanik, mitgewirkt! 3 Für kleine Kapillarradien r fallen die beiden letzten Glieder in Gl. (14) (Korrekturterme) nicht ins Gewicht und wir können schreiben: (15) r p σ Der Vorteil dieser Blasendruckmethode gegenüber der Abreißmethode ist der, dass hier die Oberflächenspannung jeweils an einer frischen Oberfläche, nämlich der der Gasblase in der Flüssigkeit, gemessen wird. Verunreinigungen der Flüssigkeitsoberfläche durch die umgebende Luft, die bei der Abreißmethode zu Fehlern führen können, fallen hier also nicht ins Gewicht. 3 Vgl. E. SCHRÖDINGER: Notiz über den Kapillardruck in Gasblasen, Ann. Phys (1915)

131 19.3 Physik in Kaffeeflecken Gibt man einen Tropfen einer Flüssigkeit auf eine feste glatte Oberfläche, z.b. Wasser auf Glas, so stellt sich bei nicht vollständiger Benetzung zwischen Flüssigkeit und Oberfläche ein bestimmter Kontaktwinkel ein, der durch die Eigenschaften der beteiligten Materialien, insbesondere durch die Oberflächenspannung der Flüssigkeit, bestimmt wird. Durch kleine Defekte in der Oberfläche kann der Rand des Tropfens auf der Oberfläche fixiert werden. Enthält die Flüssigkeit einen gelösten Stoff, wie z.b. Kaffee in Wasser, erfolgt die Fixierung des Tropfenrandes durch den gelösten Stoff selber, tritt also auch bei perfekten Oberflächen auf 4. Die Fixierung des Tropfenrandes hat zur Folge, dass der Tropfen beim Verdampfen der Flüssigkeit seine radiale Ausdehnung beibehält. Deshalb muss Flüssigkeit, die am Rand verdampft, aus der Tropfenmitte nachgeliefert werden. Dies führt in dem Tropfen zu einer nach außen gerichteten kapillaren Strömung (Abb. 6), mit der der gelöste Stoff ständig an den Tropfenrand transportiert wird. Nach vollständigem Abtrocknen des Tropfens befindet sich also am Tropfenrand deutlich mehr Kaffee als im Innern. Der innen helle Kaffeefleck ist demnach von einem dunklen Rand umgeben. Abb. 6: Links: Radiale kapillare Strömung in einem Flüssigkeitstropfen auf einer Glasoberfläche 5. Die Strömung wurde durch Mehrfachbelichtung von kleinen Mikrokugeln (Durchmesser 1 µm) sichtbar gemacht, die der Flüssigkeit beigemischt wurden. Rechts: getrockneter Kaffeefleck, dessen höhere Kaffeedichte am Rand durch eine solche Strömung verursacht wird. 4 Vgl. R. D. Deegan: Pattern formation in drying drops, Phys. Rev. E 61.1 (000) Vgl. R. D. Deegan: Capillary flow as the cause of ring stains from dried liquid drops, Nature 389 (1997)

132 130 3 Versuchsdurchführung Zubehör: Ring (r = 5,5 mm, d = 0,5 mm, jeweils fehlerfrei) mit Aufhängung, höhenverstellbare Plattform, Kraftsensor auf DMS-Prinzip (U-OL, Messbereich 100 mn), Messverstärker für Kraftsensor (U-OL), Gewichtssatz zur Kalibrierung des Kraftsensors, Kapillare (Innendurchmesser d = (,07 ± 0,01) mm) in Halterung an Höhenverstelleinheit (Ablesegenauigkeit 0,0 mm), Drucksensor (SENSORTECHNICS HCLA1X5DB) auf Grundplatte mit Absperrhähnen an Stativ, ERLENMEYER-Kolben mit geschliffenem Stopfen auf Tisch, U-Rohr-Manometer (Wasserfüllung) mit Halterung und Ableseskala, Bechergläser, Scherentisch, Schlauchmaterial, Thermometer (Genauigkeit 0,1 C), destilliertes Wasser, Seifenlauge, Kunststoffgestelle, Glasrohrgestell mit zwei Eintrittsöffnungen und zwei Austrittsöffnungen, Objektträger, Zahnstocher, Aluminiumplatte, Rotwein, Ethanolbad, Bad mit destilliertem Wasser, Fön, Stickstoffflasche, Haushaltstuchrolle, Netzgerät (PHYWE (0-15 / 0-30) V), PC mit Messwerterfassungskarte (NATIONAL INSTRUMENTS PCI 6014 oder PCI 61) und zugehörigem BNC- Adapter (NATIONAL INSTRUMENTS BNC-10). 3.1 Minimalflächen Skizzieren Sie bei der Vorbereitung auf den Versuch Ihre Erwartungen hinsichtlich der Minimalflächen, die sich nach Eintauchen und Herausziehen der bereitliegenden Kunststoffgestelle 6 in Seifenlauge ergeben. Vergleichen Sie Ihre Erwartungen mit den experimentell gefundenen Minimalflächen. Beachten Sie, dass sich neben dem globalen (absoluten) Minimum auch so genannte lokale Minima einstellen können (Abb. 7). Zielgröße globales Minimum lokales Minimum Parameter Abb. 7: Globales Minimum einer Zielgröße als Funktion eines Parameters. Neben dem globalen Minimum existieren viele lokale Minima, von denen eines exemplarisch markiert ist. 3. Rotweinflecken Geben Sie einige Tropfen Rotwein auf einen Objektträger. Ziehen Sie die Tropfen mit einem Zahnstocher in interessante Formen und beobachten Sie, wie sich im Laufe des Praktikums durch Verdampfen der Flüssigkeit die Fruchtfleischkonzentration innerhalb der Tropfen verändert. Um das Verdampfen der Flüssigkeit zu beschleunigen, werden die Objektträger auf eine dünne Aluminiumplatte und dann auf den Heizkörper gelegt. 3.3 Bestimmung der Oberflächenspannung mit der Abreißmethode Hinweise: - Die Haltefäden am Ring wurden vor Versuchsbeginn von der technischen Assistenz so justiert, dass der Ring waagerecht hängt. Änderungen an diesen Einstellungen nur nach Rücksprache mit der technischen Assistenz oder der/dem Betreuer/in! 6 Fotos der Gestelle finden Sie auf den Internetseiten des GPR.

133 131 - Der Ring darf auf keinen Fall mit den bloßen Händen angefasst werden, da sich sonst Fett- und Schweißrückstände bilden, die die Messergebnisse verfälschen. Halten des Ringes deshalb nur an den Haltefäden! Die Oberflächenspannung von destilliertem Wasser gegen Luft soll mit Hilfe einer Anordnung gem. Abb. 3 gemessen werden. Als Kraftsensor kommt ein Biegestab zum Einsatz, der bereits aus dem Versuch Sensoren bekannt ist. Zunächst wird der an einem Stativ aufgehängte Kraftsensor mit Hilfe eines Gewichtssatzes kalibriert. Für mindestens fünf Gewichtskräfte G im Bereich (0 100) mn wird die Ausgangsspannung U M des Messverstärkers (Dämpfung ein) gemessen. Die Messung erfolgt mit Hilfe einer Datenerfassungskarte im PC 7 unter Einsatz des MATLAB-Skriptes DatenEinlesen.m (verfügbar unter Q:). Dabei handelt es sich um eine umfangreichere und mit mehr Komfort zu bedienende Version des Skriptes, das beim Versuch Datenerfassung und verarbeitung mit dem PC... zum Einsatz kam. Die grafische Oberfläche, die das Skript generiert, ist selbsterklärend. U M wird über G = mg aufgetragen und durch lineare Regression wird eine Kalibrierkurve (Ausgleichsgerade) ermittelt. Für g wird der Wert für Oldenburg verwendet: g = 9,8133 m/s, der als fehlerfrei angenommen wird 8. Der Ring wird gereinigt (in Ethanol schwenken und mit destilliertem Wasser abspülen; anschließend mindestens eine Minute in destilliertes Wasser eintauchen und schwenken, trocknen mit Fön), an dem Kraftsensor befestigt und sein Gewicht G bestimmt (U M messen, Umrechnung in G mit Hilfe der Kalibrierkurve). Anschließend wird ein Becherglas mit destilliertem Wasser auf die höhenverstellbare Plattform gestellt und soweit angehoben, dass der untere Rand des Ringes etwa 5 mm tief in das Wasser eintaucht. In dieser Position soll der Ring zu Beginn der Messreihe einige Minuten gehalten werden, um eine gute Benetzung mit dem Wasser zu gewährleisten. Die Temperatur des Wassers wird direkt vor der Messung bestimmt; der Temperaturfühler muss vor der Messung gereinigt werden (in destilliertes Wasser eintauchen und schwenken). Die Plattform wird nun langsam und vorsichtig (ruckfrei) nach unten bewegt, bis die Lamelle abreißt. Während dieses Vorgangs wird die Ausgangsspannung U M des Messverstärkers bei einer Abtastfrequenz von 0,5 khz im PC aufgezeichnet. Die Zahl der aufzunehmenden Messwerte richtet sich nach der Dauer des Experiments Messwerte, entsprechend einer Messzeit von 0 s, sind ein guter Anfangswert. Nach Ende der Datenaufnahme werden die Daten im ASCII-Format gespeichert (Button Save Data) und anschließend nach Origin importiert. Dort erfolgt die Umrechnung der Ausgangsspannungen U M(t) des Kraftsensors in ein Kraftsignal F(t) mit den Daten der Kalibrierfunktion. Die Parameter der Kalibrierfunktion (Ausgleichsgerade) können dabei als fehlerfrei angenommen werden. F(t) wird grafisch dargestellt und die maximale Kraft F g vor dem Abreißen der Lamelle abgelesen. Abb. 8 zeigt einen typischen Verlauf von F(t). Zum Ablesen der Maximalkraft kann das Origin-Tool Datenkoordinaten ( Data Reader ) 9 verwendet werden. Die Messung wird mindestens fünfmal durchgeführt. Dem Protokoll wird eine exemplarische Kraftkurve beigefügt. Für jeden Messwert von F g wird mit Hilfe der Gl. (7) bis (11) die Oberflächenspannung σ von Wasser berechnet. Eine Fehlerangabe für jeden einzelnen Wert von σ ist nicht erforderlich. Die für die 7 Eingangs-Wahl-Schalter auf FS, Anschluss der Signalquelle an BNC-Buchse des Eingangskanals 0 (ACH 0 bzw. AI 0). Schiebeschalter über der BNC-Buchse von ACH 0 bzw. AI 0 auf BNC. 8 Wert nach der Fehler von 10-5 m/s wird vernachlässigt. 9 Das grafische Symbol des Tools Datenkoordinaten (Data Reader) ist.

134 13 Berechnung des Korrekturfaktors (Gl. (10)) benötigte Dichte ρ des Wassers ist als Funktion der Temperatur im Anhang 4.1 angegeben. Schließlich wird der Mittelwert von σ und seine Standardabweichung berechnet und mit dem Literaturwert für Wasser verglichen (Gl. (18) im Anhang 4.).,,0 F g F / a.u. 1,8 1,6 1, t / a.u. Abb. 8: Exemplarischer Verlauf der Kraft F als Funktion der Zeit t bei der Bestimmung der Oberflächenspannung nach der Abreißmethode. F g ist die maximale Kraft vor Abreißen der Lamelle. Die gepunkteten roten Linien markieren den Bereich des Größtfehlers ± F g von F g, der durch das Rauschen des Kraftsensors gegeben ist. a.u. steht für arbitrary units (beliebige Einheiten). 3.4 Bestimmung der Oberflächenspannung mit der Blasendruckmethode Hinweis: Die Kapillare wurde vor Versuchsbeginn von der technischen Assistenz mit Ethanol gereinigt, anschließend mit destilliertem Wasser durchgespült und in einem Stickstoffstrom getrocknet. Sie darf im Metallbereich auf keinen Fall mit bloßen Händen angefasst werden, da sich sonst Fett- und Schweißrückstände bilden, die die Messergebnisse verfälschen. Anfassen der Kapillare deshalb nur an dem oberen PVC-Halter! Die Oberflächenspannung von destilliertem Wasser gegen Luft soll mit Hilfe einer Anordnung gem. Abb. 4 gemessen werden. Im U-Rohr des Manometers befindet sich Wasser, dem zur besseren Benetzung des U-Rohrs einige Tropfen Spülmittel zugesetzt sind. Das Becherglas B wurde bereits von der technischen Assistenz gereinigt und bis etwa 1 cm unter der Oberkante mit destilliertem Wasser gefüllt. Die Temperatur des Wassers soll gemessen werden. Vor der Messung wird der Temperaturfühler gereinigt (wie in Kap. 3.3 beschrieben). Die Kapillare wird in die Halterung eingesetzt, senkrecht ausgerichtet und mit Hilfe der Höhenverstelleinheit h = 30 mm tief in das destillierte Wasser eingetaucht. Die Position der Höhenverstelleinheit, bei der die Kapillare gerade in die Flüssigkeit eintaucht, lässt sich durch gleichzeitige Beobachtung der Kapillarenöffnung und ihres Spiegelbildes im Wasser auf ± 0,05 mm genau bestimmen, so dass auch die Eintauchtiefe h mit der gleichen Genauigkeit eingestellt werden kann. Zunächst wird der Drucksensor kalibriert. Das geschieht nach dem gleichen Verfahren wie es in den Versuchen Sensoren und Datenerfassung und verarbeitung mit dem PC... kennen gelernt wurde. Während der Kalibrierung wird der Verbindungshahn zwischen dem Luftreservoir im ERLENMEYERkolben

135 133 und der Kapillare geschlossen, der Verbindungshahn zum U-Rohr-Manometer geöffnet. Für mindestens fünf Höhendifferenzen h m im Manometer im Bereich (0 80) mm wird die Ausgangsspannung U des Drucksensors gemessen, der Druck p(h m) berechnet, U über p aufgetragen und die Ausgleichsgerade durch die Daten berechnet. Die Messung der Ausgangsspannung des Sensors erfolgt wie bei der Abreißmethode (Kap. 3.3) mit Hilfe einer Datenerfassungskarte im PC unter Einsatz des MATLAB-Skriptes DatenEinlesen.m. Nach Abschluss der Kalibrierung wird der Hahn zum U-Rohr-Manometer geschlossen und der zur Kapillare geöffnet. Der Scherentisch S unter dem Vorratsgefäß V wird anschließend langsam und vorsichtig (möglichst ruckfrei) solange nach oben bewegt, bis Gasblasen aus der Kapillare austreten. Während dieses Vorgangs wird die Ausgangsspannung des Drucksensors bei einer Abtastfrequenz von 1 khz im PC aufgezeichnet. Auch bei dieser Messung richtet sich die Zahl der aufzunehmenden Messwerte nach der Dauer des Experiments Messwerte (entsprechend 0 s) sind ein guter Anfangswert. Nach Ende der Datenaufnahme werden die Daten im ASCII-Format gespeichert (Button Save Data) und anschließend in Origin importiert. Dort erfolgt die Umrechnung der Ausgangsspannungen U(t) des Drucksensors in ein Drucksignal p(t) mit den Daten der Kalibrierfunktion. Die Parameter der Kalibrierfunktion (Ausgleichsgerade) können dabei als fehlerfrei angenommen werden. p(t) wird grafisch dargestellt und der maximale Druck p m direkt vor dem Abreißen der Blasen abgelesen. Abb. 9 zeigt einen typischen Verlauf von p(t). Zum Ablesen des Maximaldruckes kann wiederum das Origin-Tool Datenkoordinaten ( Data Reader ) verwendet werden. 3,4 p m p / a.u. 3, t / a.u. Abb. 9: Exemplarischer Verlauf des Druckes p als Funktion der Zeit t bei der Bestimmung der Oberflächenspannung nach der Blasendruckmethode. p m ist der maximale Druck vor Abreißen der Blasen. Die gepunkteten roten Linien markieren den Bereich des Größtfehlers ± p m von p m, der durch das Rauschen des Drucksensorsignals gegeben ist. Die Welligkeit des Druckanstiegs wird durch ungleichmäßiges Anheben des Scherentisches verursacht. Die Messung wird insgesamt mindestens fünfmal durchgeführt. Dem Protokoll wird eine exemplarische Druckkurve beigefügt. Aus den Daten für p m wird der Mittelwert pm und seine Standardabweichung berechnet. Aus p m, der Eintauchtiefe h sowie den Literaturdaten für g und ρ wird der Überdruck p inkl. Größtfehler gem. Gl. (13) bestimmt:

136 134 p = ρ h ρ h g = p ρ hg (16) ( ) m m m ρ wird aus Gl. (17) (Anhang 4.1) berechnet und als fehlerfrei angenommen. Für g wird der Wert für Oldenburg verwendet: g = 9,8133 m/s, der ebenfalls als fehlerfrei angenommen wird. Die einzigen Größen, die den Größtfehler der Druckdifferenz p bestimmen, sind demnach der Größtfehler h von h und die Standardabweichung von p. m Schließlich wird die Oberflächenspannung σ gem. Gl. (14) berechnet. Der Größtfehler von σ wird mit Hilfe der Näherungslösung aus Gl. (15) bestimmt. Das Ergebnis wird mit dem Literaturwert (Gl. (18)) sowie mit dem Messwert nach der Abreißmethode verglichen. 3.5 Innendruck in Gasblasen Ein Glasrohrgestell gem. Abb. 10 wird mit den beiden Austrittsöffnungen in Seifenlauge getaucht und anschließend herausgezogen. Durch Luftzufuhr an den Eintrittsöffnungen und geeignetes Öffnen und Schließen der Hähne können an den beiden Austrittsöffnungen zwei unterschiedlich große Seifenblasen aufgeblasen werden. Anschließend wird der Verbindungshahn zwischen beiden Blasen geöffnet. Frage 1: - Welche Blase wächst zu Lasten der anderen und warum? (Hinweis: beachte Gl. (15)) - Wie groß ist der Innendruck p in einer Gasblase vom Radius r, die von einer Seifenhautlamelle (Oberflächenspannung der Seifenlösung: σ) umgeben ist? 10 Abb. 10: Glasrohrgestell zur Demonstration des Innendruckes in Gasblasen. 10 Hinweis: Bei einer Luftblase in Wasser gibt es eine Grenzfläche zwischen Luft und Wasser. Bei einer Seifenblase gibt es zwei Grenzflächen zwischen der Seifenlauge und Luft.

137 135 4 Anhang 4.1 Dichte von Wasser Die Temperaturabhängigkeit der Dichte ρ von Wasser lässt sich durch folgendes Polynom beschreiben (T in C, Gültigkeitsbereich: -0 C < T < 110 C) 11 : (17) ρ { T} { T} 0, , , kg = { T} { T} + 5, , m 3 Der Verlauf dieser Funktion ist in Abb. 11 dargestellt. 1,01 1,00 0,99 ρ / 10 3 kg m -3 0,98 0,97 0,96 0,95 Abb. 11: Dichte von Wasser als Funktion der Temperatur. 4. Oberflächenspannung von Wasser T / C Die Temperaturabhängigkeit der Oberflächenspannung σ von Wasser gegen Luft lässt sich durch folgendes Polynom beschreiben (T in C, Gültigkeitsbereich: 0 C < T < 100 C): (18) σ { T} { T} , , , N - 8, { T} + 4, { T} m = Der Verlauf dieser Funktion ist in Abb. 1 dargestellt. 11 Polynomfit an Daten aus WEAST, R. C. [Ed.]: CRC Handbook of Chemistry and Physics, 56 th Ed., CRC Press, Boca Raton; Fehler vernachlässigbar.

138 136 0,076 0,074 0,07 0,070 σ / N m -1 0,068 0,066 0,064 0,06 0,060 0, T / C Abb. 1: Oberflächenspannung σ von Wasser gegen Luft als Funktion der Temperatur T.

139 137 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Geometrische Optik, optische Abbildung und Aberrationen Stichworte: Linsenmacher-Gleichung, Abbildungsgleichung, GAUßscher Abbildungsbereich, BESSEL-Verfahren, Vergrößerung, Sehwinkelvergrößerung, Blende, Pupille, sphärische Aberration, chromatische Aberration, optische Geräte, Lupe, Fernrohr, Okular, Objektiv. Messprogramm: Brennweitenbestimmung mit der BESSEL-Methode, Messung der chromatischen und sphärischen Aberration einer Linse, Schärfentiefe, Sehwinkelvergrößerung mit einem Fernrohr. Literatur: /1/ HECHT, E.: Optik, Oldenbourg, München u. a. // BERGMANN-SCHÄFER: Lehrbuch der Experimentalphysik - Band III Optik, de Gruyter, Berlin u. a. 1 Einleitung Beim Entwurf und der Realisierung optischer Instrumente und Experimente hat die geometrische Optik (Strahlenoptik) nach wie vor eine große praktische Bedeutung. Sie beruht auf vier Gesetzen, die sich aus dem FERMATschen Prinzip ableiten lassen: der Geradlinigkeit der Lichtausbreitung, der Umkehrbarkeit optischer Wege, dem Reflexionsgesetz und dem Brechungsgesetz. Neben soliden Kenntnissen der recht elementaren theoretischen Grundlagen der geometrischen Optik sind vor allem praktische Erfahrungen im richtigen Umgang mit einfachen optischen Komponenten nützlich, die in diesem Versuch gewonnen werden. Sie zählen mit zu den Grundvoraussetzungen, die Studierende mitbringen müssen, die sich im Laufe ihres Studiums mit moderner Optik bzw. Photonik befassen. Theorie Wir gehen davon aus, dass die theoretischen Grundlagen der geometrischen Optik noch aus der Schulzeit bekannt sind. Wir werden uns daher im Folgenden darauf beschränken, die Punkte stichwortartig zu wiederholen, die für die Versuchsdurchführung direkt von Bedeutung sind. Auf die Herleitung der meisten Formeln wird verzichtet, da sie ebenfalls als bekannt vorausgesetzt werden..1 Vereinbarungen und Näherungen des Brechungsgesetzes Wir halten zunächst einige allgemein übliche Vereinbarungen fest: - Bei der Zeichnung und Beschreibung von Strahlengängen wird grundsätzlich eine Lichtausbreitung von links nach rechts vorausgesetzt. - Der Raum links von einem abbildenden optischen System (im einfachsten Fall besteht es aus nur einer Linse) heißt Gegenstandsraum, der Raum rechts davon Bildraum. - Die durch die Linsenmitte und die Brennpunkte der Linse verlaufende Achse heißt optische Achse. In einem kartesischen Koordinatensystem ist dies die z-achse. In den Abbildungen dieses Textes ist die optische Achse immer als horizontale, strichpunktierte Linie gezeichnet. Weitere Vereinbarungen ergeben sich aus Näherungen des Brechungsgesetzes (Abb. 1), das besagt: Tritt ein Lichtstrahl aus einem Medium 1 mit der Brechzahl n 1 in ein Medium mit der Brechzahl n ein, z. B. aus Luft in Glas, so gilt:

140 138 (1) n1 sinα = n sin β Dabei ist α der Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und dem Lot auf die Oberfläche des Mediums (Einfallswinkel) und β der Winkel zum Lot, unter dem sich der Strahl im Medium weiter ausbreitet. α β n 1 n Abb. 1: Definition von Winkeln beim Brechungsgesetz. Für sin α kann man mithilfe der Reihenentwicklung schreiben: () 3 5 α α sin α α ! 5! In der geometrischen Optik spielen zwei Näherungen dieser Reihenentwicklung eine große Rolle. In der Theorie erster Ordnung beschränkt man sich auf so kleine Winkel α, dass nur der erste Term der Reihenentwicklung berücksichtigt werden muss, dass also näherungsweise gilt: sinα α Theorie erster Ordnung Die Theorie dritter Ordnung berücksichtigt auch etwas größere Winkel, sodass näherungsweise gilt: 3 α sinα α Theorie dritter Ordnung 3! Bei den folgenden Überlegungen werden wir uns, wenn nicht ausdrücklich anders angegeben, auf die Theorie erster Ordnung (paraxiale Theorie) für dünne, sphärische Linsen beschränken. Das bedeutet: - Wir werden nur enge Lichtbündel betrachten, die sich in der Nähe der optischen Achse und mit kleiner Neigung (< 5 ) gegen diese Achse ausbreiten (GAUßscher Abbildungsbereich). - Wir werden davon ausgehen, dass die Linsen so dünn sind, dass ihre Hauptebenen in der Linsenmitte zusammenfallen.. Abbildungseigenschaften von Linsen Die Brennweite f einer sphärischen Linse 1 lässt sich unter den in Kap..1 genannten Voraussetzungen mithilfe der Linsenmacher-Gleichung berechnen: (3) = ( n 1) f R1 R Dabei ist gem. Abb. : n: Brechzahl des Linsenglases; n hängt von der Wellenlänge λ des Lichtes ab. R 1: Krümmungsradius der linken Linsenoberfläche. R : Krümmungsradius der rechten Linsenoberfläche. 1 Eine sphärische Linse wird durch Flächen begrenzt, die die Form von Kugeloberflächen haben. Bei asphärischen Linsen sind die Oberflächen von anderer Form.

141 139 Es ist: R > 0 wenn die Oberfläche nach links gewölbt ist (d. h. der auf der optischen Achse liegende Punkt der Linsenoberfläche befindet sich weiter links als die übrigen Oberflächenpunkte). R < 0 wenn die Oberfläche nach rechts gewölbt ist (d. h. der auf der optischen Achse liegende Punkt der Linsenoberfläche befindet sich weiter rechts als die übrigen Oberflächenpunkte). R R1 n Abb. : Zur Definition der Vorzeichen der Krümmungsradien einer sphärischen Linse aus Glas (grau) mit der Brechzahl n. Im dargestellten Beispiel ist R 1 > 0 und R < 0. Frage 1: - Wie groß ist die Brennweite einer plankonvexen Linse aus Glas (n = 1,5), deren sphärische Fläche einen Krümmungsradius von R = 100 mm hat? - Spielt es für die Brennweitenbestimmung nach Gl. (3) eine Rolle, ob bei einer plankonvexen Linse die plane Linsenoberfläche rechts oder links liegt? Wir betrachten gem. Abb. 3 die Abbildung eines oberhalb der optischen Achse liegenden Gegenstandes G mit einer einzelnen Linse L in ein unterhalb der optischen Achse liegendes Bild B. Es gilt die GAUßsche Linsengleichung (Abbildungsgleichung): (4) = + f g b Dabei ist: g: Gegenstandsweite g > 0: reeller Gegenstand links von der Linse; g < 0: virtueller Gegenstand rechts von der Linse b: Bildweite b > 0: reelles Bild rechts von der Linse; b < 0: virtuelles Bild links von der Linse Die transversale Vergrößerung M (der Abbildungsmaßstab) ist gegeben durch: hb b b (5) M = = = 1 h g f mit g h b: Bildhöhe von optischer Achse aus gemessen. h g: Gegenstandshöhe von optischer Achse aus gemessen. h b,g > 0, wenn Bild bzw. Gegenstand oberhalb der optischen Achse liegen; h b,g < 0 sonst.

142 140 G L f f f f g b B Abb. 3: Abbildung mit einer Linse L und Definition von Bezeichnungen. Bei dieser und den folgenden Abbildungen ist die Brennweite f als Maß auf der optischen Achse eingetragen, deren Ursprung in der Linsenmitte liegt. Frage : - Was bedeutet eine negative transversale Vergrößerung? Bringt man zwei dünne Linsen mit den Brennweiten f 1 und f dicht aneinander, so gilt für die Brennweite f dieses -Linsensystems: (6) = + f f f 1.3 Brennweitenbestimmung mit der BESSEL-Methode Mit Hilfe von Gl. (4) lässt sich prinzipiell die Brennweite einer Linse experimentell ermitteln, indem für eine scharfe Abbildung Gegenstands- und Bildweite gemessen werden. Die Messung dieser Größen ist jedoch vor allem bei kleinen Brennweiten mit einer erheblichen Unsicherheit behaftet, da die Linsenmitte als Bezugsgröße für b und g schwer auszumachen ist. In der Praxis bedient man sich deshalb zur Brennweitenbestimmung der sogenannten BESSEL-Methode (Abb. 4). e > 4 f G B d Abb. 4: Anordnung von Gegenstand G und Bild B bei der BESSEL-Methode. Beim Abstand e > 4f zwischen G und B gibt es zwei Linsenpositionen (rot und blau) im Abstand d, bei denen eine scharfe Abbildung erreicht wird. Bei diesem Verfahren wird ausgenutzt, dass es bei einer konstanten Entfernung e > 4f zwischen Bild und Gegenstand zwei Linsenpositionen gibt, die zu einer scharfen Abbildung führen. Bei einer Position findet eine Vergrößerung (rot in Abb. 4), bei der anderen eine Verkleinerung (blau in Abb. 4) statt. Für beide Positionen gilt

143 141 (7) g + b= e Setzt man b nach Gl. (7) in Gl. (4) ein, so folgt: (8) = g e g f Hieraus folgt für g: (9) g eg ef + = 0 Diese Gleichung liefert zwei Lösungen für g, die den beiden Linsenpositionen entsprechen: (10) g 1, e e = ± ef 4 Der Abstand d beider Positionen ist (11) e d = g1 g = ef 4 der über eine Differenzmessung einfach ermittelt werden kann. Damit folgt schließlich für die gesuchte Brennweite f: (1) f 1 d = e 4 e.4 Abbildungsfehler Wir werden uns im Folgenden auf zwei besonders wichtige Abbildungsfehler beschränken, die sphärische und die chromatische Aberration..4.1 Sphärische Aberration Die sphärische Aberration tritt auf, wenn bei der optischen Abbildung der paraxiale Bereich verlassen wird, wenn die Theorie erster Ordnung also nicht mehr gilt. Die Wirkung der sphärischen Aberration lässt sich recht anschaulich anhand der rechten Anordnung in Abb. 5 für eine plankonvexe Linse verdeutlichen: parallele Strahlen, die von einem unendlich weit entfernten Gegenstandspunkt stammen, treffen je nach Abstand von der optischen Achse unter unterschiedlichen Winkeln auf die brechende Linsenoberfläche. Bei einfachen sphärischen Flächen hat das zur Folge, dass die gebrochenen Strahlen die optische Achse nicht in einem Brennpunkt, sondern in unterschiedlichen Brennpunkten schneiden. Je größer der Abstand des einfallenden Strahls von der optischen Achse ist, desto kleiner ist die Brennweite. Eine Rechnung ergibt, dass die Brennweite f näherungsweise mit h abnimmt, wobei h der Abstand von der optischen Achse ist. Trägt man demnach f über h auf, ergibt sich in guter Näherung eine Gerade mit negativer Steigung: f h f kh (13) ( ) 0 Dabei ist f 0 die Brennweite im paraxialen Bereich und k > 0 eine Konstante.

144 14 Abb. 5: Auswirkung der sphärischen Aberration bei unterschiedlicher Linsenorientierung. Für eine Linse mit unterschiedlichen Krümmungsradien R 1 und R lässt sich die sphärische Aberration minimieren, indem die Linse so in den Strahlengang eingebracht wird, dass die Brechung auf beide Grenzflächen möglichst gleichmäßig verteilt wird, d. h. indem versucht wird, an beiden Flächen möglichst ähnliche Ablenkwinkel für die einzelnen Strahlen zu erreichen. Für die Abbildung unendlich weit entfernter Gegenstände müsste also bei einer plankonvexen Linse eine Orientierung gem. der rechten Anordnung in Abb. 5 gewählt werden. Sie führt zu deutlich kleineren Abbildungsfehlern als die linke Anordnung. Die sphärische Aberration lässt sich auch dadurch minimieren, dass vor der Linse eine Blende angebracht wird, die nur paraxiale Strahlenbündel durchlässt. Durch dieses Abblenden wird jedoch gleichzeitig das Bild dunkler. Man sagt, das Abbildungssystem (hier: Linse plus Blende) wird lichtschwächer. In einem hochwertigen Fotoobjektiv wird die sphärische Aberration durch Kombination mehrere Linsen zu einem Linsensystem (Objektiv) minimiert. Je teurer das Objektiv, desto mehr Linsen enthält es. 10 oder mehr Einzellinsen sind keine Seltenheit. Im Praktikum setzen wir Einzellinsen ein, werden es also immer mit sphärischer Aberration zu tun haben..4. Chromatische Aberration Die chromatische Aberration wird durch die Abhängigkeit der Brechzahl n von der Lichtwellenlänge λ verursacht. Mit n = n(λ) folgt nämlich aus Gl. (3) für f = f(λ): (14) f ( λ) 1 R1 R = n 1 R R ( λ) 1 Da n(λ) im Allgemeinen mit zunehmender Wellenlänge abnimmt (s. Tab. 1 und Abb. 6), nimmt f(λ) mit λ zu. Das bedeutet, dass sich z. B. für rotes Licht eine größere Brennweite ergibt, als für grünes oder blaues Licht. Frage 3: - Wie wirkt sich demnach die chromatische Aberration bei der Abbildung von Gegenständen aus, die mit weißem Licht be- oder durchleuchtet werden? n(λ) lässt sich in guter Näherung durch die SELLMEIER-Gleichung beschreiben: (15) ( λ ) λ λ λ n = 1 + B + B + B 1 3 λ C1 λ C λ C3 wobei die Koeffizienten B 1,,3 und C 1,,3 experimentell bestimmt werden. Wird λ in µm angegeben, so lauten die Koeffizienten für N-BK7-Glas (Fehler vernachlässigbar): Die im Praktikum verwendeten Linsen sind aus N-BK7-Glas (Borkronglas). Daten aus SCHOTT AG: Optisches Glas Datenblätter, Mainz, 008

145 143 B 1 = 1, B = 0, B 3 = 1, C 1 = 0, µm C = 0, µm C 3 = 103, µm Oftmals ist eine Polynom-Darstellung von n(λ) einfacher zu handhaben. Statt Gl. (15) kann man in guter Näherung auch schreiben: n λ A + A λ + Aλ + A λ + Aλ (16) ( ) Wird λ in nm angegeben, so lauten die Koeffizienten A 1 bis A 5 für N-BK7-Glas (Fehler vernachlässigbar): (17) A 1 = 1, A = -1, nm -1 A 3 =, nm - A 4 = -, nm -3 A 5 = 8, nm -4 λ / nm n 365,0 1, ,7 1, ,8 1, ,0 1, ,1 1, ,1 1, ,6 1, ,3 1, ,8 1, ,8 1, ,3 1, ,5 1, ,1 1,50980 n 1,540 1,535 1,530 1,55 1,50 1,515 1,510 Tabellendaten Polynomfit λ / nm Tab. 1: Abb. 6: Brechzahl n(λ) für N-BK7-Glas. Fehler von n Grafische Darstellung der Daten aus Tab. 1 mit und λ vernachlässigbar. Fit durch ein Polynom 4. Grades. Auch die chromatische Aberration kann durch Kombination mehrerer Linsen zu einem Objektiv minimiert werden, wenn die Linsen aus Gläsern mit unterschiedlicher Brechzahl bestehen. Im Praktikum setzen wir Einzellinsen ein, werden es also auch immer mit chromatischer Aberration zu tun haben..5 Blenden und Pupillen Dasjenige mechanische Element, welches das durch ein Abbildungssystem durchtretende Lichtbündel am meisten begrenzt, heißt Aperturblende. Als Aperturblende kann sowohl eine Linsenbegrenzung selbst (z. B. die Linsenfassung), als auch eine zusätzlich in den Strahlengang eingebrachte Blende (z. B. eine Irisblende) wirken. Für die Konstruktion hochwertiger abbildender optischer Instrumente ist es von entscheidender Bedeutung, die Lichtbündelbegrenzung durch die Aperturblende genau zu kennen. Das ist häufig recht kompliziert, da bei solchen Instrumenten üblicherweise Linsensysteme mit bis zu 10 oder noch mehr Einzellinsen als Objektive verwendet werden, bei denen die Aperturblende mittendrin liegt. Zunächst einmal ist es wichtig zu wissen, wie viel Licht vom Gegenstand durch die Aperturblende gelangen kann, d. h. wie groß der Öffnungswinkel des eintretenden Lichtbündels ist, das überhaupt zur Abbildung

146 144 beitragen kann. Die Größe, die dieses Lichtbündel begrenzt, heißt Eintrittspupille - sie ist das vom Gegenstandsraum aus betrachtete Bild der Aperturblende. Nun kann es sein, dass ein Teil des Lichtes, das durch die Eintrittspupille gelangt, dennoch nicht zur Abbildung beiträgt, weil es z. B. an einer Stelle im Instrument abgeblockt wird, die hinter der Aperturblende liegt. Daher ist es wichtig, auch die Lage der Austrittspupille zu kennen, die das austretende Lichtbündel begrenzt - sie ist das Bild der Aperturblende vom Bildraum aus betrachtet. Aperturblende f f EP Aperturblende AP f f AP EP Abb. 7: Zur Lage von Aperturblende, Eintrittspupille EP und Austrittspupille AP. EP und AP sind grau dargestellt, wenn sie nicht mit der Aperturblende (schwarz) zusammen fallen. Oben: Aperturblende vor der Linse; unten: Aperturblende hinter der Linse. Abb. 7 soll dies verdeutlichen. Wir betrachten das einfache Beispiel eines Abbildungssystems mit einer Linse, bei der die Aperturblende entweder vor der Linse im Gegenstandsraum (oben) oder hinter der Linse im Bildraum (unten) liegt. Damit ist jeweils eine der beiden Pupillen leicht zu konstruieren. Im ersten Fall sieht man nämlich vom Gegenstandsraum aus direkt auf die Aperturblende. Das Bild dieser Blende, die Eintrittspupille EP, ist demnach die Blende selbst. Im zweiten Fall gilt Analoges für die Austrittspupille AP. Die Festlegung der Lage der jeweils anderen Pupille ist schon etwas schwieriger: Mithilfe geeigneter Strahlen (Parallelstrahlen, Brennpunktstrahlen, Mittelpunktstrahl) muss jeweils das entsprechende Bild der Aperturblende gefunden werden. Daraus wird deutlich, dass z. B. für hochwertige Objektive die Verhältnisse schnell kompliziert werden. Solche Objektive bestehen nicht selten aus 10 oder mehr Einzellinsen mit einer einstellbaren Aperturblende z. B. zwischen der 4. und 5. Linse..6 Schärfentiefe Neben der Lichtbündelbegrenzung kommt der Aperturblende bei der optischen Abbildung eine weitere wichtige Bedeutung zu: Sie bestimmt die Schärfentiefe (auch Tiefenschärfe) der Abbildung, d. h. die Tiefe g des Gegenstandbereiches, der bei fester Bildweite b noch scharf abgebildet wird. Die dafür maßgebende Größe ist der Aperturblendendurchmesser D (Abb. 8). Es ist in vielen Fällen üblich, diesen Durchmesser nicht direkt anzugeben, sondern in Form der Blendenzahl F, die das Verhältnis von Brennweite zu Aperturblendendurchmesser darstellt: (18) F = f D

147 145 Ein Objektiv mit einer Brennweite von 50 mm hat demnach bei einem Aperturblendendurchmesser von z. B. 5 mm die Blendenzahl F = (gelegentlich auch als f / angegeben) und bei einem Aperturblendendurchmesser von z. B. 6,5 mm die Blendenzahl F = 8 ( f / 8 ). Zur Berechnung des Schärfentiefebereiches betrachten wir gemäß Abb. 8 die Abbildung einer punktförmigen Lichtquelle Q mit einer Linse der Brennweite f auf den Sensor einer CCD-Kamera. Die Aperturblende vom Durchmesser D ist hier durch die Begrenzung der Linse gegeben. Die räumliche Auflösung von CCD- Sensoren wird üblicherweise durch die Anzahl m von schwarz/weißen Linienpaaren gleicher Breite pro Millimeter angegeben, die der Sensor noch aufzeichnen kann (typischer Wert: m = (100 00)/mm). Wir definieren die Abbildung deshalb als scharf, solange das Bild von Q einen Durchmesser d < 1/m hat (Abb. 9). b Q D d B CCD-Kamera L b Abb. 8: Zur Schärfentiefe bei der optischen Abbildung. Ist der Sensor (lila) der CCD-Kamera um die Bildweite b von der Mitte der Linse L entfernt, ergibt sich ein scharfes Bild (Bildpunkt B) der punktförmigen Lichtquelle Q. Rückt die Kamera um b näher an die Linse heran (hier stark übertrieben gezeichnet), ergibt sich ein verschmiertes Bild von Q mit dem Durchmesser d. 1/m d Abb. 9: Zur Definition der scharfen Abbildung für einen CCD-Sensor mit einer Auflösung von m Linienpaaren pro mm. Die grauen Quadrate stellen die Pixel dar. Der obere rote Bildpunkt ist per Definition scharf, da sein Durchmesser d < 1/m. Der untere Bildpunkt ist unscharf, da d > 1/m. Im Idealfall wird Q in einen Punkt B abgebildet, der den Abstand b von der Linse hat (Beugungseffekte vernachlässigt). In diesem Abstand von der Linse wird der CCD-Sensor platziert. Ausgehend von dieser Position kann man die Strecke b berechnen, um die man den Sensor zur Lichtquelle hin verschieben darf, um Q noch scharf abzubilden, d. h. die Bedingung d < 1/m einzuhalten (Abb. 9). Man erhält: (19) b < f ( 1 M) Dm Frage 4: - Wie gelangt man zu diesem Resultat?

148 146 Statt den Sensor um b zu verschieben, kann auch die Lichtquelle Q um g nach links oder nach rechts verschoben werden, sodass die Abbildung im o. a. Sinne gerade noch scharf ist. Die Größe g bezeichnet man als Schärfentiefebereich..7 Optische Geräte.7.1 Lupe Eine Lupe soll von kleinen, in der Nähe des Beobachters befindlichen Gegenständen ein vergrößertes Bild erzeugen, wenn die Bildgröße, die durch maximale Annäherung des bloßen Auges an den Gegenstand erreicht werden kann, nicht ausreicht. Sei s die minimale Entfernung zwischen Auge und Gegenstand, bei der noch scharfes Sehen möglich ist (Nahpunkt des Auges). Dann gilt für den Sehwinkel α 0, d. h. den Winkel, unter dem der Gegenstand der Höhe h 0 vom Mittelpunkt der Augenpupille aus gesehen wird (s. Abb. 10): (0) h tanα 0 = s 0 s Augenpupille h 0 G α 0 Abb. 10: Zur Definition des Sehwinkels α 0. Da wir uns gem. Kap..1 auf den paraxialen Bereich beschränken, gilt tanα 0 α 0 und damit: (1) h α0 s 0 Wir bringen nun gem. Abb. 11 eine Sammellinse (Lupe) der Brennweite f vor das Auge und ordnen den Gegenstand in einem Abstand g < f vor der Sammellinse an. In diesem Fall gilt gem. Gl. (4) b < 0, b > g. Es entsteht also ein aufrechtes, virtuelles Bild des Gegenstandes mit der transversalen Vergrößerung (Gl. (5)) () h1 b b M = = 1 = 1+ h f f 0 Für den Sehwinkel α 1, unter dem das virtuelle Bild der Höhe h 1 gesehen wird, gilt im paraxialen Fall: (3) α 1 h 1 b + f Die Sehwinkelvergrößerung M s ist definiert als:

149 147 (4) M s α h 1 1 s = = α h b + f 0 0 b Augenpupille h 1 B f f G α 1 Abb. 11: Zur Bildentstehung bei der Lupe. Mit Gl. () folgt: s b s (5) Ms M = = 1+ b + f f b + f Wird der Gegenstand im Abstand g f vor der Linse angebracht, so geht b -. In diesem Fall verlassen die Lupe nahezu parallele Lichtbündel, die vom entspannten Auge (Akkommodation auf ) auf die Netzhaut fokussiert werden. Für diese Bedingung ( b ) folgt aus Gl. (5) für alle praktischen Werte von f << b : b s s (6) M s 1 + f b f Für das Durchschnittsauge mit einem Nahpunkt bei s = 50 mm gilt also: (7) Ms 50 mm f ( f in mm).7. Astronomisches Fernrohr Astronomische (KEPLERsche) Fernrohre dienen der Sehwinkelvergrößerung für die Beobachtung weit entfernter Objekte. Sie bestehen aus einer Sammellinse großer Brennweite f 1, dem Objektiv, und einer Sammellinse kleiner Brennweite f, dem Okular. Das Objektiv entwirft von dem Gegenstand ein reelles Zwischenbild, das mit dem als Lupe eingesetzten Okular betrachtet wird (Abb. 1). Wir bezeichnen mit g 1 und b 1 die Gegenstands- bzw. Bildweite bezogen auf das Objektiv und mit g und b die Gegenstands- bzw. Bildweite bezogen auf das Okular.

150 148 Objektiv Okular α 0 α 1 B b 1 a g f Abb. 1: Zur Bildentstehung beim astronomischen Fernrohr. Da für die üblichen Anwendungen des astronomischen Fernrohrs g 1 gesetzt werden darf, folgt b 1 f 1. Das Objektiv erzeugt also ein umgekehrtes reelles Zwischenbild B in der Nähe seiner hinteren Brennebene. Dieses Zwischenbild wird mit dem Okular als Lupe betrachtet, d. h. g f und damit b -. Das bedeutet für den Abstand a zwischen Objektiv und Okular: (8) a = b1+ g f1+ f Blicken wir mit dem entspannten Auge durch das Okular, so sehen wir ein umgekehrtes, virtuelles Bild des Gegenstandes. Für die Sehwinkelvergrößerung im paraxialen Fall gilt auch hier wie bei der Lupe M s = α 1/α 0, wobei α 0 der Sehwinkel ohne und α 1 der Sehwinkel mit Fernrohr ist. Daraus folgt mit Berücksichtigung der unterschiedlichen Vorzeichen 3 von α 0 und α 1 für g : (9) M s α h h f = : = α f f f 1 b b Wird in Abb. 1 der Winkel α 1 gegen den Uhrzeigersinn und damit negativ gezählt, so muss α 0 im Uhrzeigersinn und damit positiv gezählt werden.

151 149 3 Versuchsdurchführung Zubehör: Dreieckschiene, Reiter, U-Halter, Stativmaterial, höhenverstellbarer Zeiger und Stativstange mit Spitze als Justierhilfen, plankonvexe Linse (f 300 mm / 90 mm, N-BK7-Glas), Irisblende, Blendenbleche mit kreisförmigen Öffnungen (Durchmesser D = (11,1; 1,5; 14,3; 16,7; 0; 5) mm, Fehler vernachlässigbar), Blendenbleche mit kreisringförmigen Öffnungen (mittlere Radien der Kreisringe r = (7,1; 14,7; 19,5; 3,3; 6,6) mm, Fehler vernachlässigbar), Interferenzfilter (maximale Transmission bei ca. (405, 450, 488, 515, 53, 577, 63, 670, 694) nm, Halbwertsbreite der Transmissionskurven ca. 10 nm), Messdia mit USAF 1951 Resolution Chart, Spaltblende (Breite ca. 0, mm) in Drehhalterung, Halogenlampe mit Netzgerät und Kondensor, Mattscheibe, CCD-Kamera (DMK 1AF04) mit Rohraufsatz als Streulichtschutz und IEEE-1394-(FireWire)-Schnittstelle, PC mit IEEE Schnittstelle, x/y/z-verschiebetisch für Kamera, Fernrohr mit f 1 = (1000 ± 10) mm und f = (100 ± 1) mm, Maßband, abwischbarer Filzstift, Messschieber, Taschenlampe, Werkzeug. Hinweis: Nach Beendigung der Versuche müssen alle Optiken mit den bereitliegenden Plastiktüten wieder abgedeckt werden. Transmission / % λ max λ / nm Abb. 13: Schematische Darstellungen zu verwendeten Versuchskomponenten. V.l.n.r.: Kreisblende, Kreisringblende, typische Transmissionskurve eines Interferenzfilters, USAF 1951 Resolution Chart. 3.1 Hinweise zur Versuchsanordnung In den folgenden Versuchsteilen (Messung der chromatischen Aberration) und 3.1. (Messung der sphärischen Aberration) soll die Bestimmung der Linsenbrennweite f jeweils mit einer Anordnung gem. Abb. 14 nach dem BESSEL-Verfahren erfolgen (s. Kap..3). Diese Anordnung wird zunächst beschrieben. Ein Objekt G (Messdia mit USAF 1951 Resolution Chart, einem definierten Strich- und Zahlenmuster, vgl. Abb. 13) wird von hinten mit einer Halogenlampe HL beleuchtet, deren Kondensor K für ein möglichst paralleles Lichtbündel sorgt. Direkt hinter dem Kondensor wird eine Mattscheibe MS angebracht, mit der eine gleichmäßige und diffuse Ausleuchtung des Dias erreicht wird. Eine Irisblende B 1 zwischen MS und G sorgt dafür, dass nur das Strich- und Zahlenmuster auf dem Dia beleuchtet und somit das Streulicht minimiert wird. Mit einer Linse L (f 300 mm, 90 mm, plankonvex) wird das Muster auf dem Messdia auf den Sensor einer CCD-Kamera abgebildet. Vor die Kamera wird ein Rohr ST montiert, mit dem der Einfall von Streulicht auf den CCD-Sensor minimiert wird. Die Kamera ist über eine FireWire-Schnittstelle (IEEE 1394) mit dem PC verbunden. Die Steuerung der Bildaufnahme und die Bilddarstellung erfolgt über das Matlab-Skript BildEinlesen.m, dessen Bildschirmoberfläche in Abb. 15 dargestellt ist. Nach dem Start des Skriptes wird die Kamera zunächst initialisiert (Button Initialize Camera). Danach wird die Bildaufnahme gestartet (Start Live Image) und die Parameter Exposure Time (Belichtungszeit) und Offset werden so eingestellt, dass

152 150 es zu keiner Unter- oder Übersteuerung im Bild kommt 4. Die Wertebereiche, innerhalb derer die Parameter geändert werden können, werden links neben den Eingabefeldern angezeigt. Der Parameter Gain (Verstärkung) bleibt auf dem niedrigst möglichen Wert. Das Kamerabild wird im Matlab-Fenster BildEinlesen oben angezeigt, darunter ein Profilschnitt 5 längs der Bildzeile mit der im Feld Line No. eingestellten Nummer. B 1 HL K G B L a CCD-Kamera MS F e ST Abb. 14: Versuchsanordnung zur Brennweitenbestimmung der Linse L. HL: Halogenlampe mit Kondensor K, MS: Mattscheibe, B 1: Irisblende, F: Interferenzfilter, G: Messdia mit Strichmuster, B: Blende vor Linse L, ST: Rohr vor CCD-Kamera zur Streulichtminimierung, a: Apparatekonstante 6, e: Abstand Messdia / CCD-Sensor. Haben CCD-Sensor und Dia den festen Abstand e > 4f (für f 300 mm ist e 1300 mm eine gute Wahl), so gibt es zwei Positionen der Linse L, bei denen eine scharfe Abbildung erfolgt. In einer Stellung findet eine Vergrößerung statt, in der anderen eine Verkleinerung. Durch Aufsuchen dieser beiden Linsenpositionen und Messung ihres Abstandes d kann die Brennweite der Linse gem. Gl. (1) bestimmt werden. Für den Versuchsteil (chromatische Aberration) wird die Brennweite der Linse für verschiedene Interferenzfilter F vor dem Messdia gemessen, für den Versuchsteil 3.1. (sphärische Aberration) für verschiedene Kreisringblenden B vor der Linse. Hinweise: (1) Bei den folgenden Versuchen erzielt man nur dann gute Resultate, wenn der optische Aufbau sorgfältig justiert wurde, d. h. alle Komponenten mittig zur optischen Achse ausgerichtet wurden. Abweichungen von der optimalen Justage im mm-bereich führen bereits zu deutlichen Verfälschungen der Messergebnisse! () Zur vertikalen Justage der optischen Komponenten dient ein höhenverstellbarer Zeiger als Justierhilfe, zur horizontalen Justage (senkrecht zur optischen Achse) eine Stativstange mit Spitze. (3) Die verschiedenen Blenden B (Abb. 13 links) müssen genau mittig vor die Linse L montiert werden. Das erreicht man, indem die Blendenbleche jeweils so in den mit der Linse verbunden Blendenhalter eingesetzt werden, dass die Markierung auf den Blendenblechen (Farbpunkt oder Gravur oder Loch) nach rechts oben zeigt, wenn man aus Richtung der Halogenlampe auf die Blendenbleche schaut. 4 Eine Über- und Untersteuerung erkennt man daran, dass die maximalen und minimalen Grauwerte im Bild bei geringer Variation der Parameter Exposure Time und / oder Offset unverändert bleiben. Um auf der sicheren Seite zu sein, sollte der maximale Grauwert < 55 sein und der minimale Grauwert > 0. 5 Als Profilschnitt wird der Verlauf der Intensität I(p) in Grauwerten längs der Pixel einer Bildzeile bezeichnet (p: Pixelnummer). 6 Die Apparatekonstante a = 9,6 mm (Fehler vernachlässigbar) ist die Entfernung zwischen der Außenkante des Kameragehäuses (blau) und der Oberfläche des CCD-Sensors (lila).

153 151 Abb. 15: Bildschirmoberfläche nach Start des Matlab-Skriptes BildEinlesen.m, Initialisierung der CCD-Kamera (Initialize Camera), Einstellung von Parametern (Set Camera Parameters, Set Profile Data, Set Profile Cursor) und Aufnahme eines Kamerabildes (Start Live Image, Stop Live Image). Das Kamerabild wird oben dargestellt, der zugehörige Profilschnitt unten. Grauwerte werden als Digital numbers (DN) ausgegeben Chromatische Aberration Für diesen Versuchsteil wird zur Minimierung der sphärischen Aberration eine Blende B mit einer kreisförmigen Öffnung (Kreisblende, s. Abb. 13) von 0 mm Durchmesser in den mit der Linse verbundenen Blendenhalter eingesetzt. Vor das Messdia G werden nacheinander verschiedene Interferenzfilter F montiert und jeweils die Brennweite f der plankonvexen Linse nach dem BESSEL-Verfahren gemessen. Die Wellenlänge für die maximale Transmission der Filter, λ max, (Abb. 13 Mitte) ist dem Aufdruck auf den Filtern zu entnehmen. Sie kann als fehlerfrei angenommen werden. Die Interferenzfilter sind jeweils so einzusetzen, dass diejenige Filterfläche, die silbrig reflektierend erscheint, zur Lichtquelle zeigt. f wird über λ max grafisch aufgetragen; die Größtfehler von f werden in Form von Fehlerbalken eingezeichnet Sphärische Aberration Für diesen Versuchsteil wird zur Minimierung der chromatischen Aberration ein Interferenzfilter F mit λ max 530 nm vor dem Messdia G angebracht. In den mit der Linse verbundenen Blendenhalter werden nacheinander fünf Kreisringblenden B (Abb. 13) mit unterschiedlichen mittleren Radien r eingesetzt und jeweils die Brennweite der Linse nach dem BESSEL-Verfahren gemessen. r kann der Versuchszubehörliste und dem Aufdruck auf den Kreisringblenden entnommen werden.

154 15 f wird grafisch über r aufgetragen; die Größtfehler von f werden in Form von Fehlerbalken eingezeichnet. Aus einer Ausgleichsgeraden durch die Messwerte wird die Konstante k aus Gl. (13) und die Brennweite f 0 bestimmt Schärfentiefe Für diesen Versuch dient ein Spalt von ca. 0, mm Breite als Gegenstand G. Vor dem Spalt wird ein Interferenzfilter F mit λ max 530 nm angebracht. Die Linse wird in die Position gebracht, bei der eine Verkleinerung vorliegt. In den mit der Linse verbundenen Blendenhalter werden nacheinander Kreisblenden B mit dem Durchmesser D (siehe Versuchszubehörliste und Aufdruck) montiert. Für jeden Durchmesser D wird jeweils die Länge b des Bereiches bestimmt, innerhalb dessen die CCD-Kamera verschoben werden kann, ohne dass das Bild des Spaltes eine definierte Unschärfe überschreitet. Diese Unschärfe wird wie folgt definiert: Zunächst wird die Kamera für jede Blende B in die Position gebracht, bei der das Spaltbild senkrecht in der Bildmitte liegt und scharf erscheint (Abb. 16 oben). Bei optimaler Einstellung hat der Profilschnitt durch das Spaltbild die kleinste Breite. Ein gängiges Maß für die Definition der Breite einer Kurve, das auch hier verwendet wird, ist die sogenannte Halbwertsbreite (Full Width at Half Maximum, FWHM). Ist I max die Intensität im Maximum der Kurve und I min die Intensität im Minimum, so ist die Halbwertsbreite die Breite der Kurve auf halber Höhe, also bei der Intensität (30) I = I + ( I I ) FWHM min max min / I max und I min werden durch das Matlab-Skript in dem Bereich des Profilschnitts ermittelt, der durch die beiden vertikalen Cursor (blau in Abb. 16) begrenzt wird. Beide Werte werden zur Orientierung im Feld Output Data in [R, L] als Max und Min ausgegeben. Im selben Feld erfolgt auch die Ausgabe der Halbwertsbreite als Zahlenwert (FWHM) 7. Zusätzlich wird die Halbwertsbreite als Linie im Diagramm angezeigt (magenta Linie im Profilschnitt). Anschließend wird die Kamera mithilfe des Verschiebetisches auf das Objekt zugeschoben und die Position gesucht, bei der das Spaltbild eine definierte Unschärfe erreicht. Als Maß für diese Unschärfe dient eine Verbreiterung der Halbwertsbreite des Spaltbildes im Profilschnitt gegenüber der Scharfstellung um z. B. 0 % (Abb. 17). Ist diese Unschärfe erreicht, wird die zugehörige Position b 1 des Verschiebetisches abgelesen. Danach wird die Kamera vom Objekt weg bewegt und die Position b gesucht, bei der die gleiche Unschärfe erreicht wird. Aus diesen Daten wird die Größe b= b b1 berechnet. Schließlich wird b mit Fehlerbalken über 1/D aufgetragen und eine Ausgleichsgerade durch die Messdaten gelegt. Das Ergebnis wird mit den theoretischen Erwartungen (Proportionalität b ~ 1/D, Gl. (19)) verglichen. 7 Bei der Messung ist zu berücksichtigen, dass das Ausgangssignal der Kamera verrauscht ist (Photonenrauschen sowie thermisches und elektronisches Rauschen). Das führt dazu, dass die gemessenen Intensitäten und Halbwertsbreiten auch ohne Änderung der Versuchsbedingungen schwanken. Beispielsweise ist eine Schwankung der FWHM um ± 0,5 Pixel durchaus typisch.

155 153 Abb. 16: Scharfes Spaltbild (oben) und zugehöriger Profilschnitt durch die Bildmitte (unten) im Bereich der Pixel 50 (Left) bis 390 (Rigth) der ausgewählten Zeile Nr. 40 (Line No.). Die magenta Linie markiert die Halbwertsbreite des Spaltbildes (FWHM = 15,4 Pixel). Die vertikalen (blauen) Cursor (Left 80, Right 360) markieren den Bereich [L, R], innerhalb dessen der maximale (Max) und minimale (Min) Grauwert bestimmt wird. Die horizontalen (roten) Cursor sind hier ohne Bedeutung. Abb. 17: Unscharfes Spaltbild (oben) und zugehöriger Profilschnitt durch die Bildmitte (unten). Die Halbwertsbreite im Profilschnitt ist gegenüber der Scharfstellung auf den Wert FWHM = 18,7 Pixel angestiegen.

156 Sehwinkelvergrößerung mit einem Fernrohr Mit zwei Linsen (f 1 = (1000 ± 10) mm, f = (100 ± 1) mm) wird auf einer Dreieckschiene ein Fernrohr aufgebaut (Abb. 1). Hinweis: Um vernünftige Ergebnisse zu erzielen, müssen beide Linsen auf einer gemeinsamen optischen Achse mittig ausgerichtet werden. Die dazu erforderliche Justierung der Linsen in ihren Halterungen wurde von der technischen Assistenz vor Versuchsbeginn durchgeführt und darf nicht mehr verändert werden! Die Linsen werden also in ihren Halterungen auf die Dreieckschiene aufgesetzt und dort nur noch an die richtigen Positionen geschoben. Mit dem Fernrohr wird ein Gegenstand in großer Entfernung betrachtet, dazu wird das Fernrohr durch das Laborfenster nach draußen gerichtet 8. Der Sehwinkel mit und ohne Fernrohr wird gemessen, die Sehwinkelvergrößerung bestimmt und das Ergebnis mit dem nach Gl. (9) erwarteten Resultat verglichen. Zur Bestimmung des Sehwinkels α 0 ohne Fernrohr wird der Gegenstand mit bloßem Auge angepeilt (s. Abb. 18). Vom Versuchspartner/in werden an der etwa l = 3 m vom Auge entfernten Laborfensterscheibe zwei Markierungen angebracht, die scheinbar den gleichen Abstand s 0 voneinander haben wie zwei markante Punkte P 1 und P des Gegenstandes. Für den Sehwinkel α 0 gilt dann in guter Näherung: P 1 l P s 0 α 0 Auge Laborfenster Abb. 18: Zur Messung des Sehwinkels. Die Markierungen am Laborfenster (rote Punkte) haben scheinbar den gleichen Abstand s 0 voneinander wie die Punkte P 1 und P des mit dem bloßen Auge angepeilten Objektes. (31) s α0 l 0 Anschließend wird die gleiche Prozedur mit dem Fernrohr zur Bestimmung des Sehwinkels α 1 wiederholt. Diesmal blickt man mit einem Auge durch das Fernrohr auf den Gegenstand und mit dem anderen am Fernrohr vorbei auf die Laborfensterscheibe in der Entfernung l. Wieder werden zwei Markierungen auf der Laborfensterscheibe angebracht, die diesmal scheinbar den gleichen Abstand s 1 voneinander haben wie die beiden durch das Fernrohr betrachteten Punkte P 1 und P. Für den Sehwinkel α 1 gilt dann: (3) s α1 l 1 Daraus folgt für die Sehwinkelvergrößerung M s: 8 Der Gegenstand ist eine Aluminiumschiene mit zwei Markierungen, die an einer dem Laborfenster gegenüber liegenden Hauswand angebracht ist.

157 155 (33) M s α ls s = = α ls s

158 156 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Fourieranalyse Stichworte: FOURIERreihe (trigonometrische Reihe), FOURIERkoeffizienten, FOURIERanalyse (FOURIERzerlegung, harmonische Analyse), Amplitudenspektrum, Phasenspektrum, lineare Systeme, Übertragungsfunktion, Grund- und Oberschwingungen, EULERsche Formeln, Abtasttheorem Literatur: /1/ HÄNSEL, H., NEUMANN, W.: Physik - Mechanik und Wärmelehre, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u.a. // BRACEWELL, R. N.: The Fourier Transform and its Applications, McGraw-Hill, London u.a. (für Fortgeschrittene) /3/ EICHLER, H. J., KRONFELDT, H.-D., SAHM, J.: Das Neue Physikalische Grundpraktikum, Springer-Verlag, Berlin u.a. 1 Einleitung Die FOURIERanalyse (nach JEAN-BAPTISTE-JOSEPH DE FOURIER, Abb. 1) ist ein wichtiges Werkzeug im Bereich der Signalanalyse und -verarbeitung. Mit ihrer Hilfe kann ausgerechnet werden, aus welchen harmonischen Signalen 1 unterschiedlicher Amplitude, Frequenz und Phasenlage ein periodisches Signal zusammengesetzt ist. Im Folgenden beschränken wir uns auf die Analyse sogenannter Zeitsignale. Das sind Signale wie z.b. eine Spannung U(t) oder ein Strom I(t), die sich mit der Zeit t ändern. Formal lassen sich die folgenden Überlegungen jedoch auch auf Signale übertragen, bei denen sich eine physikalische Größe mit dem Ort ändert, wie etwa die Intensität I(x) von Licht längs der Ortskoordinate x. Abb. 1: JEAN-BAPTISTE-JOSEPH DE FOURIER ( ) Wir wollen als Beispiel für eine Anwendung der FOURIERanalyse ihre Bedeutung in der Systemtheorie zur Beschreibung des Verhaltens linearer Systeme herausgreifen. Die Theorie linearer Systeme hat in der Physik eine große praktische Bedeutung. Mit ihr kann das Verhalten vieler physikalischer Systeme beschrieben werden, ohne im Einzelnen wissen zu müssen, wie diese Systeme im Inneren aufgebaut sind. Wir behandeln diese Systeme als Kästen unbekannten Inhalts ( Black-Boxes ), von denen wir wissen, dass sie auf ein bestimmtes Eingangssignal e(t) mit einem bestimmten Ausgangssignal E(t) antworten: 1 Mit harmonischen Signalen sind in diesem Text sinusförmige Signale gemeint. Quelle: GELLERT, W. et al. [Eds.]: Kleine Enzyklopädie Mathematik, VEB Bibliographisches Institut, Leipzig, 1969

159 157 Eingang Ausgang e(t) lineares System E(t) Lineare Systeme erfüllen die Bedingung der Linearität (daher der Name): Eine Summe von Eingangssignalen führt zu einer entsprechenden Summe von Ausgangssignalen: Eingang Ausgang (1) f() t = ej() t lineares System Ft () = Ej() t j Beispiele solcher linearer Systeme sind: - in der Akustik: das System Mikrophon Verstärker Lautsprecher, - in der Optik: das System Objektiv Bildaufnehmer, - in der Elektrotechnik: das System Sender Nachrichtenübertragungsstrecke Empfänger. Nach dem FOURIER-Theorem, auf das wir in Kap. noch detailliert eingehen werden, kann ein periodisches Signal, also auch ein periodisches Eingangssignal f(t) eines linearen Systems, durch eine unendliche Summe harmonischer Signale h n(t) ( n \{ 0} ) mit unterschiedlichen Kreisfrequenzen ω n dargestellt werden, die sich in ihren Amplituden c n und Phasen φ n unterscheiden können, aber nicht müssen: n n n n n= 1 n= 1 (c 0: Konstante 3 ) () f() t = c0 + h () t = c0 + c sin( ω t+ φ ) Harmonische Signale werden von linearen Systemen unverzerrt übertragen, d.h. sie ändern bei der Übertragung allenfalls ihre Amplitude und Phasenlage, nicht jedoch ihre Form. Wir treffen nun die Annahme, dass wir wissen, wie ein System auf harmonische Eingangssignale unterschiedlicher Frequenz reagiert, dass wir also zu jedem harmonischen Eingangssignal h n(t) die Amplitude und Phasenlage des zugehörigen harmonischen Ausgangssignals H n(t) kennen. Verändert das System die Amplituden aller harmonischen Eingangssignale unabhängig von ihrer Frequenz in gleicher Weise (z.b. Verstärkung um den Faktor ) und werden alle harmonischen Eingangssignale um mπ ( m ) in der Phase verschoben, so haben wir es mit einem idealen System zu tun. Aus der Linearität des Systems (Gl. (1)) folgt dann sofort, dass ein periodisches Eingangssignal f(t), das sich nach dem FOURIER-Theorem in eine unendliche Summe harmonischer Signale zerlegen lässt 4, unverzerrt durch das System übertragen wird. Das Ausgangssignal F(t) ist gegenüber dem Eingangssignal f(t) lediglich um einen konstanten Faktor (z.b. ) verstärkt worden, es hat jedoch seine Form beibehalten. Reale Systeme verhalten sich in der Regel anders. Bei ihnen kommt es je nach Frequenz ω n eines harmonischen Eingangssignals zu unterschiedlichen Verstärkungen V(ω n) und zu unterschiedlichen Phasenverschiebungen φ(ω n) und damit zu einer Verzerrung des Ausgangssignals F(t) gegenüber dem Eingangssignal f(t). j 3 c 0 stellt den zeitunabhängigen Gleichanteil von f(t) dar, der zum Informationsgehalt des Signals nichts beiträgt. 4 Bei Formulierungen dieser Art ist in diesem Text der Gleichanteil des Signals (c 0 in Gl.()) immer mit eingeschlossen.

160 158 V(ω n) heißt Amplituden-Übertragungsfunktion oder Amplitudenspektrum oder Frequenzgang und φ(ω n) Phasen-Übertragungsfunktion oder Phasenspektrum des Systems. Beide Funktionen zusammen beschreiben das so genannte Frequenzverhalten realer Systeme. Wir gehen nun entsprechend unserer obigen Annahme davon aus, dass dieses Frequenzverhalten für ein von uns untersuchtes System bekannt ist. In der Praxis ist dies oft der Fall, z.b. weil der Hersteller des Systems entsprechende Daten mitgeliefert hat. Abb. zeigt beispielsweise die Amplituden-Übertragungsfunktion einer PC-Soundkarte. Ihr können wir entnehmen, dass die Karte nur im Frequenzbereich zwischen etwa ν = 00 Hz und ν = 10 khz gute Übertragungseigenschaften hat, weil sie dort harmonische Signale unabhängig von ihrer Frequenz gleichmäßig verstärkt (V(ν) = const.). Außerhalb dieses Frequenzbereichs werden die Ein- und Ausgangssignale dagegen frequenzabhängig gedämpft, was zwangsläufig zu einer Signalverzerrung führt, falls das Eingangssignal f(t) harmonische Komponenten mit entsprechenden Frequenzen enthält. In Kenntnis des Frequenzverhaltens eines linearen Systems können wir für ein periodisches Eingangssignal f(t) berechnen, wie das Ausgangssignal F(t) aussehen wird. Wir müssen dazu lediglich wissen, aus welchen harmonischen Signalen h n(t) das Signal f(t) gemäß dem FOURIER-Theorem zusammengesetzt ist. Dann können wir für jedes dieser Signale h n(t) unter Kenntnis von V(ω n) und φ(ω n) das zugehörige Ausgangssignal H n(t) angeben und anschließend die H n(t) zum Ausgangssignal F(t) aufaddieren. Die hierfür erforderliche Berechnung der Parameter (Amplitude, Phase, Frequenz) der harmonischen Signale, in die sich ein periodisches Signal zerlegen lässt, heißt FOURIERzerlegung oder FOURIERanalyse oder harmonische Analyse und ist Gegenstand dieses Versuches. 10 V / db k k 5k 10k 0k ν / Hz -10 Abb. : Amplituden-Übertragungsfunktionen einer PC-Soundkarte (YAKUMO Soundcard 16 MCD); blaue Kurve: für Wiedergabe, rote Kurve für Aufnahme. 5 5 Verstärkungen werden in der Messtechnik häufig in der logarithmischen Größe Dezibel (db) angegeben. Eine Verstärkung um x db entspricht einer linearen Verstärkung um den Faktor 10 x/0.

161 159 Theorie Im Folgenden werden wir auf mathematische Beweise verzichten, die in der angegebenen Literatur nachgelesen werden können, und uns auf die Darstellung der für den Versuch benötigten Zusammenhänge beschränken..1 Fourierreihe und Fourierkoeffizienten Nach dem bereits in der Einleitung erwähnten FOURIER-Theorem lässt sich ein periodisches Signal f(t) mit der Periodendauer T durch einen Gleichanteil und eine unendliche Summe harmonischer Signale darstellen, deren Kreisfrequenzen jeweils ganzzahlige Vielfache von ω 0 = π/t sind. Man nennt diese harmonischen Signale mit den Kreisfrequenzen (3) nω = ω n { } 0 : n ; \ 0 Oberschwingungen zur Grundschwingung mit der Grundkreisfrequenz ω 0 und bezeichnet die Summendarstellung als trigonometrische Reihe oder FOURIERreihe. Sie ist gegeben durch: 0 n 0 n 0 n= 1 (4) f( t) = c + a cos( nω t) + b sin ( nω t) Die Größen c 0, a n = a(nω 0) und b n = b(nω 0) heißen FOURIERkonstanten oder FOURIERkoeffizienten. Ihre Bestimmung ist Gegenstand der FOURIERanalyse. Man findet nach kurzer Rechnung (s. z.b. /1/), dass sie sich aus dem Signal f(t) wie folgt berechnen lassen: T (5) c ( ) 0 1 = T T T f t dt an = f ( t)cos n 0t dt n = 1,, 3,... T (6) ( ω ) T T bn = f ( t)sin n 0t dt n = 1,, 3,... T (7) ( ω ) T Die Konstante c 0 ist der Mittelwert (Gleichanteil) des Signals f(t). Stellt f(t) z.b. eine zeitlich oszillierende Spannung U(t) dar, entspricht c 0 dem Gleichspannungsanteil (DC-Anteil) des Signals. Die Darstellung der FOURIERreihe gem. Gl. (4) lässt sich vereinfachen, wenn man folgenden Zusammenhang benutzt: a cos nω t + b sin nω t = c sin( nω t+ φ ) (8) ( ) ( ) mit n 0 n 0 n 0 n

162 160 (9) c = a + b n n n und an (10) φn = arctan bn Damit wird aus Gl. (4) die so genannte spektrale Darstellung der FOURIERreihe: (11) f( t) = c0 + cnsin( nω 0 t+ φ n) n= 1 Ein periodisches Signal f(t) kann somit nach seiner FOURIERanalyse durch die Größen (1) c 0 : Gleichanteil (Mittelwert des Signals f(t), s. Gl. (5)) c n = c n (nω 0) : Amplitudenspektrum φ n = φ n (nω 0) : Phasenspektrum beschrieben werden. 6 Abb. 3: Oben (rot): anharmonisches, aber periodisches Signal f(t) mit der Periode T = 1 (in beliebigen Einheiten) mit seinen harmonischen Komponenten h 1(t) (Mitte, blau) und h (t) (unten, blau). Zwei Beispiele sollen die Verhältnisse verdeutlichen. 6 Die grafische Darstellung von c n über ω n heißt Amplitudenspektrum. Die grafische Darstellung von a n über ω n heißt Kosinusspektrum; die Darstellung von b n über ω n heißt Sinusspektrum.

163 161 Das erste Beispiel zeigt einen recht einfachen Fall. In Abb. 3 ist oben ein anharmonisches, aber periodisches Signal f(t) = h 1(t) + h (t) mit der Periodendauer T = 1 (in beliebigen Einheiten) dargestellt. Es ist zusammengesetzt aus den beiden darunter abgebildeten harmonischen Signalen: der Grundschwingung h 1(t) mit der Amplitude c 1 = 0,5 (in beliebigen Einheiten), der Kreisfrequenz ω 1 = 1 ω 0 = π/t und der Phase φ 1 = π sowie der ersten Oberschwingung h (t) mit der gleichen Amplitude c = 0,5, der Kreisfrequenz ω = ω 0 und der Phase φ = π/. Eine FOURIERanalyse des Signals f(t) würde demnach liefern: Gleichanteil: c 0 = 0 Amplitudenspektrum: c 1 = c 1(ω 0) = 0,5 c = c (ω 0) = 0,5 c m = c m(mω 0) = 0 m 3 Phasenspektrum: φ 1 = φ 1(ω 0) = π φ = φ (ω 0) = π/ φ m = φ m(mω 0) = 0 m 3 Das Amplituden- und das Phasenspektrum, also c n(ω n) und φ n(ω n), sind in Abb. 4 dargestellt. c n 0,5 φ n π π/ ω 0 ω 0 3ω 0 4ω 0 ω n ω 0 ω 3ω 4ω ω n Abb. 4: Amplitudenspektrum (links) und Phasenspektrum (rechts) des in Abb. 3 oben dargestellten Signals. In solchen Diagrammen werden üblicherweise statt Datenpunkten senkrechte Spektrallinien gezeichnet, die von der Abszisse bis zum jeweiligen Ordinatenwert reichen. Deutlich komplexer ist die in Abb. 5 dargestellte Situation. Oben links ist ein anharmonisches, aber periodisches Signal f(t) mit der Periodendauer T = 1 (in beliebigen Einheiten) gezeigt, rechts daneben die Grundschwingung mit der Kreisfrequenz ω 1 = 1ω 0 = π/t sowie darunter vier Oberschwingungen mit den Kreisfrequenzen ω n = nω 0, n =, 3, 4, 5, die alle unterschiedliche Amplituden und Phasenlagen haben. Eine FOURIERanalyse würde hier den Gleichanteil c 0 = 0 sowie fünf Werte c n für das Amplitudenspektrum und fünf Werte φ n für das Phasenspektrum liefern. Frage 1: - Versuchen Sie der Abb. 5 auf grafischem Wege die nötigen Daten zu entnehmen, um das Amplitudenund Phasenspektrum analog zu Abb. 4 zu skizzieren. Kontrollieren Sie mit Hilfe von Matlab, ob Ihre Analyse richtig ist.

164 16 Abb. 5: Anharmonisches, periodisches Signal f(t) (oben links, rot) mit seinen fünf harmonischen Komponenten (oben rechts sowie Mitte und unten, blau). Abszisse: t, Ordinate: f(t) bzw. h n(t), Periodendauer T = 1 (t und f(t) in beliebigen Einheiten). Abtastung und Abtasttheorem Wir wissen nun, wie man die FOURIERkoeffizienten a 0, a n und b n und daraus die Größen c 0, c n und φ n, also das Amplituden- und Phasenspektrum für periodische Signale f(t) berechnen kann. In der Praxis tritt an dieser Stelle ein Problem auf: Bei den zu untersuchenden Signalen handelt es sich in der Regel nicht um analytisch bekannte Signale, sondern um Messsignale mit kompliziertem zeitlichen Verlauf, die z.b. mit einer Messwerterfassungskarte in einem Computer aufgezeichnet wurden. Solche Aufzeichnungsverfahren liefern zu den äquidistanten Zeitpunkten t i (Zeitabstand t) diskrete Funktionswerte y i = f(t i). Man spricht dann auch davon, dass das Signal f(t) mit der Abtastkreisfrequenz ω a = π/ t an den Stellen t i abgetastet wurde. Die FOURIERanalyse eines so abgetasteten Signals lässt sich natürlich nur näherungsweise durchführen - denn auch das Signal selber ist ja nur näherungsweise (nämlich nur an den Stellen t i) bekannt. Wie eine FOURIERanalyse in einem solchen Fall durchgeführt wird, soll im Folgenden dargestellt werden. Nehmen wir an, von dem Signal f(t) lägen m Messwerte (Abtastwerte) y i (i = 0, 1,..., m-1) zu den äquidistanten Zeitpunkten t i vor. Dann erhalten wir für die FOURIERkoeffizienten: (13) c 0 m 1 1 = m i= 0 y i (14) a n m 1 1 π ni = yi cos m i= 0 m n = 1,,..., m

165 163 (15) b n m 1 1 π ni = yi sin m i= 0 m n = 1,,..., m-1 Aus m unabhängigen Funktionswerten gewinnen wir demnach m Koeffizienten a n, (m - 1) Koeffizienten b n und eine Konstante c 0, zusammen also m + (m - 1) + 1 = m unabhängige FOURIERkoeffizienten. Dies ist vom Standpunkt des Informationsgehalts her auch verständlich: durch bloße Rechnung geht weder Informationsgehalt verloren, noch kommt neuer hinzu. Die Frage, wie viel Funktionswerte man mindestens benötigt, um mit Hilfe der Gl. (13) - (15) die Kreisfrequenz ω s einer im Signal f(t) enthaltenen harmonischen Schwingung sicher bestimmen zu können, klärt das so genannte Abtasttheorem (Samplingtheorem, SHANNON-Theorem 7 ). Es besagt, dass eine Kreisfrequenz ω s dann noch sicher detektiert werden kann, wenn für die Abtastkreisfrequenz ω a gilt: (16) ω > ω Abtasttheorem a s Mit anderen Worten: Die Kreisfrequenz ω s eines harmonischen Signals kann nur dann sicher bestimmt werden, wenn für das Signal mehr als Abtastwerte pro Periode vorliegen. Wird die Bedingung aus der Ungleichung (16) verletzt, wird ein Signal mit der Kreisfrequenz ω s also unterabgetastet, so kommt es zu falschen Resultaten (Aliasing-Effekten). Die FOURIERanalyse liefert in diesem Fall die falsche Kreisfrequenz ω f : (17) ω f = ω a ω s Das Signal mit der Kreisfrequenz ω s taucht demnach im Amplitudenspektrum unter dem falschem Namen ω f auf, daher die Bezeichnung Alias. Für ωs ωa ωs erscheint es im Spektrum gespiegelt an der Achse ω = ω a/. Ist die Abtastkreisfrequenz ω a vorgegeben, so kann ein harmonisches Signal gem. Gl. (16) nur dann richtig abgetastet werden, wenn für seine Kreisfrequenz gilt: (18) ωa ω s < Die Kreisfrequenz ω a/ heißt NYQUIST-Frequenz 8. Bei Einhaltung des Abtasttheorems bestimmt die Länge m t des Zeitintervalls, über das das Messsignal abgetastet wurde, die Frequenzauflösung f, d.h. die Genauigkeit, mit der Signalfrequenzen bestimmt werden können: (19) f 1 m t Dieser Aspekt der FOURIERanalyse kann jedoch im Basispraktikum nicht weiter vertieft werden. 7 CLAUDE ELWOOD SHANNON ( ). 8 HARRY NYQUIST ( ).

166 164.3 Praktische Hinweise Die Berechnungen der FOURIERkoeffizienten bzw. des Amplituden- und Phasenspektrums sind recht aufwändig. Heute können sie jedoch selbst von Personal Computern sehr schnell durchgeführt werden und im Falle großer Datenmengen lässt sich die Berechnung durch Einsatz spezieller Prozessoren noch beschleunigen. Es ist noch gar nicht so lange her, dass hier mühsame Handarbeit geleistet werden musste. So findet man in einem Mathematikhandbuch aus dem Jahr 1969 den Hinweis (GELLERT, W. u.a. [Hrsg.]: Kleine Enzyklopädie Mathematik, VEB Bibliographisches Institut, Leipzig, 1969): Ein geübter Rechner braucht bei Benutzung einer elektrischen Rechenmaschine und unter Verwendung spezieller Rechenschemata zur Durchführung dieser harmonischen Analyse mit 1 Punkten etwa 1/ Stunde, mit 4 Punkten etwa Stunden, mit 36 Punkten etwa 6 Stunden und mit 7 Punkten etwa 16 Stunden... Eine mittelschnelle elektronische Rechenmaschine bewältigt die Rechnung für 36 Punkte in etwa Minuten. Die Zeit, die erforderlich ist, um das Ergebnis auszudrucken, ist meist länger als die Rechenzeit. Im vorliegenden Praktikumsversuch wird die FOURIERanalyse mit einigen 100 bis einigen 1000 Punkten durchgeführt. Halten Sie sich also schon mal die Semesterferien frei - oder setzen Sie den bereitstehenden PC ein, dann werden Sie ohne Probleme an einem Nachmittag fertig! In der Praxis ist man häufig nur daran interessiert zu erfahren, welche Amplituden die harmonischen Signale haben, die in einem periodischen Messsignal enthalten sind. Die Phasenlage der einzelnen Beiträge ist oftmals unwichtig. Mit anderen Worten: das Amplitudenspektrum ist meistens von erheblich größerer praktischer Bedeutung als das Phasenspektrum. Auch bei den durchzuführenden Versuchen werden wir uns deshalb auf die Interpretation der Amplitudenspektren beschränken. Hat man ein nicht-periodisches Signal f(t) vorliegen, das nur in einem Zeitintervall der Länge τ definiert ist (z.b. ein Spannungsimpuls aus einem Fotodetektor), so kann man sich das Signal formal links und rechts des Intervalls periodisch fortgesetzt denken (mit der Periode τ) und es ebenfalls mit einer FOURIERreihe darstellen. Zwar werden durch eine so berechnete FOURIERreihe gem. Gl. (4) auch Funktionswerte außerhalb des Definitionsintervalls τ dargestellt, diese können jedoch für die weiteren Betrachtungen einfach ignoriert werden. 3 Versuchsdurchführung Zubehör: Digital-Oszilloskop, PC mit Messwerterfassungskarte (NATIONAL INSTRUMENTS 6014 PCI oder 61 PCI) und zugehörigem BNC-Adapter (NATIONAL INSTRUMENTS BNC-10), Funktionsgeneratoren (TOELLNER 7401 und AGILENT 3310A / 330A), Additionsverstärker, Fotodiode mit integriertem Verstärker und Lochblende (Durchmesser 1 mm), AC-Filter für Fotodiode, Glühlampe und Leuchtstofflampe in lichtdichtem Kasten, Mikrophon mit Vorverstärker, Stimmgabel, Netzgerät (PHYWE (0-15 / 0-30) V). 3.1 Allgemeine Hinweise Inbetriebnahme der Messwerterfassungskarte Die Eingangs-Wahl-Schalter auf der Steckplatine der Messwerterfassungskarte müssen auf FS (Floating Source) stehen. Der Anschluss der Signalquellen (Funktionsgenerator, Mikrophonverstärker usw.) erfolgt grundsätzlich nur an die BNC-Buchse des Eingangskanals 0 (ACH 0 bzw. AI 0); der Schiebeschalter über der BNC-Buchse von ACH 0 bzw. AI 0 muss auf BNC stehen.

167 Eingangsspannungsbereich der Messwerterfassungskarte Der maximale Eingangsspannungsbereich der Messwerterfassungskarte beträgt ± 10 V; er darf nicht überschritten werden. Zur Kontrolle werden deshalb alle Eingangssignale der Messwerterfassungskarte gleichzeitig am Oszilloskop dargestellt Software Die folgenden Versuche werden mit Hilfe der MATLAB-Skripte Fourieranalyse.m bzw. Rekonstruktion.m durchgeführt (Skripte verfügbar unter Q:). Die Skripte melden sich mit selbsterklärenden Fenstern. Textausgaben der Skripte, wie z.b. Tabellen mit Amplituden und Frequenzen von FOURIERkomponenten, erscheinen im Command Window. Sie können dort markiert und per Copy and Paste in andere Anwendungen übernommen werden (z. B. Word, Notepad-Editor u.a.) Ausdruck und Speicherung von Grafiken Die erzeugten Grafiken (Matlab Figures) können über File Print auf dem Drucker im Basispraktikum ausgedruckt werden. Über File Save as kann eine Speicherung in verschiedenen gängigen Grafikformaten erfolgen. Details von Grafiken können mit Hilfe der Zoom-Funktion im Figure-Fenster vergrößert werden. 3. Abtasttheorem Mit Hilfe des AGILENT-Funktionsgenerators wird ein sinusförmiges Zeitsignal U(t) ohne DC-Anteil mit einer Frequenz von 140 Hz und einer Amplitude von 4 V erzeugt (Kontrolle der Einstellungen am Oszilloskop) und an den Eingang ACH 0 bzw. AI 0 der Messwerterfassungskarte gelegt. Mit Hilfe des Programms Fourieranalyse werden bei Abtastfrequenzen von (1.000, 500, 300, 00, 150, 10) Hz jeweils Abtastwerte eingelesen und FOURIERanalysiert. Die Ergebnisse (Zeitsignale und Amplitudenspektren) werden ausgedruckt bzw. gespeichert. Frage : - Wie lassen sich die Ergebnisse unter Berücksichtigung von Gl. (16) bis (18) interpretieren? 3.3 Spektren der Signale eines Fotodetektors Beim Praktikumsversuch zum Oszilloskop haben wir gesehen, dass der zeitliche Verlauf der Lichtintensität einer am normalen Stromnetz betriebenen Glühlampe anders aussieht, als der Lichtintensitätsverlauf für eine Leuchtstofflampe. Diesen qualitativen Befund wollen wir nun quantitativ untersuchen. Dazu wird eine Fotodiode zunächst mit dem Licht einer mit Netzspannung betriebenen Glühlampe und anschließend mit dem Licht einer ebenfalls mit Netzspannung betriebenen Leuchtstofflampe beleuchtet. Durch eine passende Lochblende vor der Fotodiode wird verhindert, dass das Ausgangssignal des Fotodiodenverstärkers (Zeitsignal U(t)) übersteuert. Mit Hilfe des bereitliegenden AC-Filters wird der Gleichspannungsanteil aus dem jeweiligen Signal herausgefiltert (Kontrolle am Oszilloskop) und das Signal anschließend an den Eingang ACH 0 bzw. AI 0 der Messwerterfassungskarte gelegt. Mit Hilfe des Programms Fourieranalyse werden von beiden Signalen bei einer Abtastfrequenz von 5 khz jeweils Abtastwerte eingelesen und FOURIERanalysiert. Die Ergebnisse (Zeitsignale und Amplitudenspektren) werden ausgedruckt bzw. gespeichert. Frage 3: - Worin unterscheiden sich die Zeitsignale, worin ihre Amplitudenspektren? (Angaben über die absoluten Amplituden der spektralen Anteile sind nicht von Bedeutung.)

168 Spektren von mit einem Mikrophon aufgezeichneten Schallwellen Zunächst soll die Grundfrequenz einer Stimmgabelschwingung ermittelt werden. Dazu wird die Stimmgabel angeschlagen und die von ihr erzeugte Schallwelle mit Hilfe eines Mikrophons aufgezeichnet, indem das untere Ende der Stimmgabel auf das Mikrophon aufgesetzt wird. Das Ausgangssignal des Mikrophons wird mit dem bereitliegenden Verstärker verstärkt und dessen Ausgangssignal (Zeitsignal U(t)) an den Eingang ACH 0 bzw. AI 0 der Messwerterfassungskarte gelegt. Mit Hilfe des Programms Fourieranalyse werden bei einer Abtastfrequenz von 5 khz Abtastwerte eingelesen und FOURIERanalysiert. Das Ergebnis (Zeitsignal und Amplitudenspektrum) wird ausgedruckt bzw. gespeichert. Frage 4: - Entspricht das Amplitudenspektrum den musikalischen Erwartungen? Im zweiten Schritt wird versucht, den von der Stimmgabel erzeugten Ton (das a ) zunächst nachzusingen und anschließend nachzusummen. Für beide Fälle sollen die akustischen Signale mit dem Mikrophon aufgezeichnet werden und anschließend eine Auswertung wie bei der Stimmgabelschwingung erfolgen. Frage 5: - Worin unterscheiden sich die Ergebnisse von denen der Stimmgabelschwingung? 3.5 Spektrum eines Rechtecksignals, Gibbssches Phänomen Das Rechtecksignal eines Funktionsgenerators (Zeitsignal U(t); Amplitude 4 V, Frequenz 50 Hz, kein DC- Anteil) wird an den Eingang ACH 0 bzw. AI 0 der Messwerterfassungskarte gelegt. Mit Hilfe des Programms Rekonstruktion werden bei einer Abtastfrequenz von 10 khz Abtastwerte eingelesen und FOURIERanalysiert. Das Ergebnis (Zeitsignal und Amplitudenspektrum) wird ausgedruckt bzw. gespeichert und der Verlauf des Amplitudenspektrums wird mit den theoretischen Erwartungen verglichen. Zu diesem Vergleich gehört auch eine tabellarische Gegenüberstellung der erwarteten und gemessenen Amplitudenverhältnisse für die 10 Spektralkomponenten mit den größten Amplituden. Hinweis: Darstellungen der FOURIERanalyse eines Rechtecksignals finden sich in nahezu jedem Physiklehrbuch oder z.b. im Taschenbuch der Mathematik oder in den Online-Nachschlagwerken von WOLFRAM RESEARCH (siehe Die für den Vergleich benötigten Messdaten werden im Command-Fenster von Matlab ausgegeben und können von dort in eine eigene Anwendung kopiert werden. Anschließend wird das Zeitsignal durch schrittweise Addition seiner FOURIERkomponenten rekonstruiert (FOURIERsynthese). Auf diese Weise kann anschaulich gezeigt werden, wie das ursprüngliche Rechtecksignal Stück für Stück aus seinen FOURIERkomponenten zusammengesetzt werden kann, wenn bei der Rekonstruktion immer mehr Oberschwingungen zur Grundschwingung hinzuaddiert werden. Das Ergebnis der Rekonstruktion wird ausgedruckt bzw. gespeichert. Bei der Betrachtung des rekonstruierten Rechtecksignals wird auffallen, dass es zu Über- und Unterschwingern kommt. Dieser Effekt heißt GIBBSsches Phänomen 9. Es tritt immer dann auf, wenn das eingelesene Signal eine Unstetigkeit aufweist, wie das Rechtecksignal an den Stellen des Übergangs vom unteren zum oberen bzw. vom oberen zum unteren Signalpegel (s. Abb. 6). Die Überschwinger selbst heißen GIBBSsche Höcker oder GIBBSsche Überschwinger. Je größer die Zahl N der Oberschwingungen ist, die zur Synthese des Rechtecksignals verwendet werden, desto enger rücken die Extrema der Über- und Unterschwinger zusammen, ihre Amplituden bleiben für große N jedoch gleich. Eine genaue, aber 9 JOSIAH WILLARD GIBBS ( )

169 167 aufwändige Rechnung ergibt, dass der größte Überschwinger eine Höhe von ca. 9 % der Amplitude des Rechtecksignals hat, während die Höhe des größten Unterschwingers etwa 4,8 % der Amplitude beträgt. Abb. 6: GIBBSsches Phänomen bei der FOURIERsynthese eines Rechtecksignals mit einer Amplitude von 1 V und einer Periodendauer von s. Links N = 50, rechts N = Spektrum eines Sägezahnsignals und eines Dreiecksignals Der unter Kap. 3.5 beschriebene Versuch wird mit einem Sägezahnsignal und anschließend mit einem Dreiecksignal wiederholt (Amplitude der Signale jeweils 4 V, Frequenz 50 Hz, kein DC-Anteil; Abtastfrequenz 10 khz, Abtastwerte). Das Zeitsignal und das Amplitudenspektrum werden jeweils ausgedruckt bzw. gespeichert und der Verlauf der Amplitudenspektren mit den theoretischen Erwartungen verglichen. Darstellungen der Fourieranalyse beider Signale findet man ebenfalls in den unter Kap. 3.5 genannten Quellen. Abschließend werden beide Signale aus ihren Spektren rekonstruiert, die Ergebnisse der Rekonstruktion werden ausgedruckt bzw. gespeichert. Frage 6: - Bei welchem der Signale macht sich das GIBBSsche Phänomen bemerkbar und warum?

170 168 Carl von Ossietzky Universität Oldenburg - Fakultät V- Institut für Physik Praktikum im Modul Physik I für Studierende der Umweltwissenschaften Messung von Magnetfeldern Stichworte: Magnetfeld, magnetische Feldstärke, magnetischer Fluss, magnetische Induktion, Induktionsspannung, magnetisches Moment, BIOT-SAVART-Gesetz, HELMHOLTZ-Spulen, Anti-HELMHOLTZ-Spulen (MAXWELL-Spulen) Messprogramm: Homogenität des Magnetfeldes in HELMHOLTZ-Spulen, linear variierendes Magnetfeld in Anti-HELMHOLTZ-Spulen, Horizontalkomponente des örtlichen Magnetfeldes, stationäres Magnetfeld eines Hufeisenmagneten mit rotierenden Induktionsspulen. Literatur: /1/ DEMTRÖDER, W.: Experimentalphysik : Elektrizität und Optik, Springer, Berlin u.a. // TIPLER, P. A.: Physik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 1 Einleitung Die Messung von magnetischen Feldstärken ist Gegenstand dieses Versuches. Wir werden uns auf zwei einfache Messmethoden beschränken. Die eine Methode nutzt die Tatsache aus, dass ein magnetisierter Körper, z. B. eine Magnetnadel, der mit beliebiger Orientierung in ein Magnetfeld eingebracht wird, in diesem Feld ein Drehmoment erfährt. Die andere Methode benutzt die Tatsache, dass eine Änderung des magnetischen Flusses in einer in das Magnetfeld eingebrachten Spule eine Spannung induziert. Nach diesem Prinzip wurde beispielsweise bis in die 90er Jahre die auf Computer-Festplatten gespeicherte Information ausgelesen. Heute arbeiten nur noch die Schreibköpfe der Festplatten induktiv, während für das Auslesen der magneto-resistive Effekt genutzt wird, d. h. die Änderung des elektrischen Widerstandes dünner magnetischer Schichten in Abhängigkeit von der Orientierung eines äußeren Magnetfeldes. Für die Entdeckung dieses Effektes 1 erhielt PETER GRÜNBERG vom Forschungszentrum Jülich zusammen mit dem Franzosen ALBERT FERT im Jahre 007 den Nobelpreis für Physik. Die Magnetfeldmessung mit einer HALL-Sonde wird in diesem Versuch nicht behandelt. Eine Vorbemerkung zur Nomenklatur. Wer in den gängigen physikalischen Lehrbüchern zum Stichwort Magnetfeld nachliest, wird feststellen, dass für die Bezeichnung von Magnetfeldern die Vektorgrößen B und H verwendet werden. In der älteren Literatur heißt H magnetisches Feld und B magnetische Induktion oder magnetische Flussdichte (zum Zusammenhang beider Größen s.u.). In neueren Lehrbüchern, wie z. B. /1/ und //, wird B als magnetische Feldstärke oder Magnetfeld bezeichnet und H als magnetische Erregung. Wir werden uns diesem Sprachgebrauch anschließen. Theorie An jedem Punkt der Erde herrscht ein bestimmtes Erdmagnetfeld (Abb. 1), das nach heutiger Erkenntnis auf Konvektionsströme von Eisen im flüssigen Teil des Erdkerns ( äußerer Kern in einer Tiefe zwischen ca..000 km und km) zurückzuführen ist, die von der Schwerkraft angetrieben werden und wie ein Geodynamo wirken. Dieses Magnetfeld lässt sich nur im Freien, fernab von störenden Bebauungen usw. messen. Innerhalb von Gebäuden wird dieses Magnetfeld teilweise abgeschirmt, teilweise überlagert durch 1 Der Effekt heißt Riesenmagnetowiderstandseffekt oder GMR-Effekt (vom Englischen: Giant Magnetoresistance). Der Name rührt daher, dass die Widerstandsänderung bis zu 50 % betragen kann, also riesengroß ist. siehe z. B. CHRISTENSEN, U.; TILGNER, A.: Physik Journal 1.10(00)41-47 und STEINLE-NEUMANN, G.: Physik Journal 7.11(008)7-3

171 169 Magnetfelder, die in dem Gebäude durch magnetisierte Materialien, elektrische Geräte usw. erzeugt werden. Betrag und Richtung dieser Magnetfelder sind oft lokal so unterschiedlich, dass selbst innerhalb eines Labors recht verschiedene resultierende Felder auftreten können. Wir werden für die folgenden Überlegungen diese örtlichen Magnetfelder immer dann außer Betracht lassen, wenn die Stärke eines zusätzlich erzeugten Magnetfeldes groß gegenüber der Stärke des örtlichen Feldes ist. Abb. 1: Stärke des Erdmagnetfeldes B im Jahre 000 (Quelle: NASA Planetary Geodynamics Laboratory).1 Erzeugung homogener Magnetfelder Zur Erzeugung von Magnetfeldern stehen zwei einfache Methoden zur Verfügung. Zum einen können wir ein Magnetfeld mithilfe eines vorher magnetisierten Körpers, z. B. eines Hufeisen- oder Stabmagneten an einer bestimmten Stelle erzeugen. ( Erzeugen bedeutet hier: Wir bringen das immer vorhandene Feld des Magneten an den gewünschten Ort.) Die andere Methode besteht in der Erzeugung von Magnetfeldern durch stromdurchflossene Leiter..1.1 Magnetfeld eines stromdurchflossenen Leiters Zur Berechnung des Magnetfeldes an einem Punkt P in der Umgebung eines dünnen stromdurchflossenen Leiters betrachten wir Abb.. Jedes vom Strom I durchflossene Teilstück ds des Leiters erzeugt an P, der sich im Abstand r von ds befindet, ein Magnetfeldelement db, für das nach dem BIOT-SAVART-Gesetz gilt: (1) dbr ( ) µ 0 = I 4π r ds r 3 Dabei ist µ 0 die international festgelegte magnetische Feldkonstante: () µ = 4π Vs Am