Vorschau heute: Excel, lineare Algebra, Mathcad. Repetition

Transkript

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2 Vorschau heute: Excel, lineare Algebra, Mathcad Repetition

3 EXCEL

4 Formel: Beispiele * A3 sin( b2 ) rest( 13 ; 2) summe( a1 : a5 )

5 Variable (1) relativer Zellbezug (relative Koordinaten) A4 absoluter Zellbezug $A$4 gemischter Zellbezug $A4, B$7

6 Operatoren = ^ * / % + = < > <= >= <> & ( )

7 Formeln mit einfachen Funktionsaufrufen B A5 WAHR 50 C :00 3 Eingabe Zellwert Formelfeld =anzahl(b4:c8) 7 =ANZAHL(B4:C8) =anzahl2(b4:c8) 9 =ANZAHL2(B4:C8) =summe(b4:c8) =SUMME(B4:C8) =MITTELWERT(B4:C8) 31.5 =MITTELWERT(B4:C8) =zählenwenn(b4:c8; 3) 2 =ZÄHLENWENN(B4:C8;3)

8 Mathematische Funktionen (Seiten E 7.. E 9) bisher: SUMME / SUM EXP SIN PI SUMMEWENN / SUMIF ZÄHLENWENN / COUNTIF

9 SUMMEWENN (aus der Online Hilfe)

10 Boolesche Algebra Boolesche Konstanten: falsch (0), wahr (1) Boolesche Variablen: a, b Boolesche Operatoren: nicht, oder, und Boolesche Ausdrücke (BA): nicht ( a oder b) Negation a Nicht a a Disjunktion b a oder b a Konjunktion b aund b

11 Boolesche Algebra Rechnen mit den Werten WAHR und FALSCH. Beispiel: x > 5 und x < 10 x=3 FALSCH und WAHR => FALSCH x=7 WAHR und WAHR => WAHR x=11 WAHR und FALSCH => FALSCH

12 "Boolesche" Funktion WENN / IF gibt in Abhängigkeit vom Booleschen Wert einer Bedingung einen von zwei vorgegebenen Werten zurück: den "Dann-Wert", falls die Auswertung der Bedingung den Booleschen Wert WAHR ergibt, den "Sonst-Wert", falls die Bedingung den Wert FALSCH ergibt. Aufruf: wenn( Bedingung ; Dann-Wert ; Sonst-Wert )

13 "Boolesche" Funktion Beispiele: wenn(a > b ; a ; b) grösserer der beiden Werte a und b wenn( A6 >= 4; "genügend"; "ungenügend") "genügend", falls der Wert in A6 4 ist "ungenügend, sonst

14 mathematische Funktionen RUNDEN / ROUND rundet eine Zahl auf die gewählte Anzahl von Nachpunktstellen. Beispiele: runden(3.35; 1) 3.4 runden(-3.38; 1) 3.4 runden(-31.78; 1) 31.8 runden(-31.78; 0) 32 runden(-31.78; -1) 30 runden(-31.78) Syntaxfehler

15 mathematische Funktionen REST / MOD ("Modulo-Funktion") berechnet den Rest bei der Division Zahl / Divisor Beispiele: rest(13; 2) 1 rest(14; 2) 0 rest(17.9; 0.3) 0.2 rest(17; 3) 2 rest(17.9; -0.3) 0.1 rest(17; -3) 1

16 Textfunktionen LÄNGE / LEN TEIL / MID LINKS / LEFT FINDEN / FIND SUCHEN / SEARCH TEXT / TEXT WERT / VALUE

17 Textfunktionen LÄNGE / LEN gibt die Anzahl der Einzelzeichen eines Strings zurück. Beispiele: länge("wintersemester 2002/2003") 24 länge("a") 1 länge(" ") 1 länge("") 0

18 Textfunktionen WERT / VALUE konvertiert falls möglich einen String in eine Zahl und gibt #WERT! zurück, falls die Konversion nicht möglich ist. Beispiele: wert("35.1") 35.1 wert("note 4.0") #WERT! teil("note 4.0"; 5; 3) 4.0 als String! wert(teil("note 4.0"; 5; 3)) 4.0 als Zahl!

19 Datum- und Zeitfunktionen HEUTE / TODAY hat keinen Parameter liefert das aktuelle Datum, und zwar je nach Format entweder als ganze Zahl, z.b oder in benutzergewählt, z.b. 9. April 2003 analog: JETZT / NOW Zeit liefert aktuelles Datum mit aktueller weitere Datum- und Zeitfunktionen: jahr(datum), monat(datum), tag(datum), stunde(datum)

20 Filterung

21 Spezialfilter (1)

22 Spezialfilter (2) Der Ausdruck A*M matcht Adam aber nicht Anna Der Ausdruck A??A matcht Anna aber nicht Andrea

23 Spezialfilter (3)

24 Diagramm erstellen

25 Diagramme Oberfläche Netz

26 Zusammenfassung Excel Aufbau Tabellenblatt Formatierungen Einfache Formeln Absoluter und relativer Zellbezug Autoausfüllen Online Hilfe Boolsche Algebra Eingebaute Funktionen Diagramme Suchen Sortieren Autofilter und Spezialfilter

27 LINEARE ALGEBRA

28 Operationen mit Vektoren Addition zweier Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Subtraktion zweier Vektoren Linearkombination lineare Unabhängigkeit Basis Koordinatensystem kartesisches Koordinatensystem Nullvektor Inverser Vektor (bezüglich der Addition) skalare Multiplikation zweier Vektoren Betrag eines Vektors Einheitsvektor Abstand zweier Punkte Orthogonalität zweier Vektoren vektorielle Multiplikation zweier Vektoren

29 Skalarprodukt Skalarprodukt von x R n und y R n : ein Skalar x = ( x 1 x 2... x n ), y = ( y 1 y 2... y n ) n x y := x i y i = x 1 y 1 + x 2 y x n y n Σi = 1

30 Skalarprodukt Der Betrag (Länge) eines Vektors ist die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt von x mit sich selber: x = x x bzw. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selber ist das Quadrat seines Betrags. Satz: x y = x y cos φ mit φ : Winkel zwischen x und y Satz: Der Abstand zweier Punkte des R 3 ist der Betrag des Differenzvektors der beiden Ortsvektoren.

31 Vektorprodukt Vektorprodukt von x R 3 und y R 3 : ein Vektor des R 3 x y := ( x 2 y 3 x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 ) Das Vektorprodukt ist ausschliesslich für zwei Vektoren des R 3 definiert! x y y φ x Satz: a) x (x y ) = 0 y (x y ) = 0 b) x y = x y sin φ (0 φ π)

32 Lineare Abbildungen Definition: Eine Abbildung f : V 1 V 2 zwischen zwei Vektormengen V 1 und V 2 heisst linear, falls für alle Vektoren x und y V 1 und alle Skalare λ und µ R gilt: f(λ x + µ y ) = λ f(x) + µ f(y).

33 Lineare Abbildungen und Matrizen Jede lineare Abbildung lässt sich mit Hilfe des Produktes aus einer Matrix und einem Spaltenvektor darstellen: f: V 1 V 2 (V 1 n-dimensional, V 2 m-dimensional) f: x y = f(x) y i = F i,1 x 1 + F i,2 x F i,n x n ( i = 1.. m ) abgekürzt geschrieben als y = F x mit y : (m,1)-matrix, x : (n,1)-matrix, F : (m,n)-matrix

34 Determinante (Seite LA 11) Determinanten sind nur für quadratische Matrizen definiert. allgemein: Multilinearform praktisch: eine Kennzahl einer quadratischen Matrix genauer: eine reelle Zahl, berechnet aus den einzelnen Elementen der Matrix einfach für n = 1, n = 2, n = 3 für n > 1: Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte (rekursiv) Notation: A : Matrix A : Determinante

35 Determinante Entwicklung der Determinante A nach der i-ten Zeile von A: A = (A i,k ) : (n,n)-matrix mit n>1 z.b. i = 1 A := A 11 A [1,1] A 12 A [1,2] + A 13 A [1,3] (-1) 1+n A 1n A [1,n] mit A [1,k] : (n-1,n-1)-matrix, aus A konstruiert durch Streichen aller Elemente in der ersten Zeile und in der k-ten Spalte Aus n = 1 : A = (A 11 ) A := A 11 folgt für n = 2 : A 11 A 12 A = A 21 A 22 A = A 11 A 22 A 12 A 21 A 11 A 12 A 13 und für n = 3 : A = A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 A = + A 11 (A 22 A 33 A 23 A 32 ) A 12 (A 21 A 33 A 23 A 31 ) + A 13 (A 21 A 32 A 22 A 31 )

36 Operationen mit Matrizen Die allgemeine Definition der Multiplikation zweier Matrizen (Seiten LA 12 und LA 13) Multiplikation zweier Matrizen A : (m,n)-matrix B : (p,q)-matrix Das Produkt P = A B ist genau dann definiert, falls n = p. Unter dieser Voraussetzung gilt: (1) P = (P i,k ) ist eine (m,q)-matrix (i = 1.. m, k = 1.. q). n (2) P i,k := A i,j B j,k j = 1 = A i,1 B 1,k + A i,2 B 2,k A i,n B n,k

37 Matrixmultiplikation SCHEMATISCH: s k P := A B Voraussetzung: n = p B := B B 1k... B 1q B B 2k... B 2q B p1... B pk B pq A := A 11 A A 1n P = P 11.. P 1k P 1q z i A i1 A i2 A in P i1 P ik... P iq A m1 A m2... A mn P m1... P mk... P mq P ik := z i s k (Skalarprodukt)

38 Inversion einer Matrix Bei gegebener regulärer Matrix A kann deren Inverse A -1 auch direkt (ohne lineare Gleichungssysteme) berechnet / definiert werden: A = (A ik ) (i = 1,...,n; k = 1,...,n), A 0 Bestimmung aller "Untermatrizen" A [i,k] (für alle i und alle k) Berechnung aller Determinanten A und A [i,k] Berechnung der "Matrix der Kofaktoren" von A: M = (M i,k ) mit M i,k := (-1) i+k A [i,k] Berechnung der adjungierten Matrix von A: adj A := transp M A -1 1 = adj A A

39 Anwendung 6.2 Auflösung eines linearen Gleichungssystems (Seite LA 17) LGS in Kurzform: A x = b m Gleichungen n Unbekannte x i (i = 1,...,n) A : (m,n)-matrix (Koeffizientenmatrix) x : (n,1)-matrix (Lösungsvektor, Lösungsmatrix) b : (m,1)-matrix (Matrix der rechten Seiten) Wichtiger Spezialfall: A quadratisch, A 0 LGS eindeutig lösbar A -1 A x = A -1 b x = A -1 b (1) A berechnen (2) A = 0 Es gibt keine eindeutige Lösung (entweder unendlich viele oder keine) andernfalls: A 1 berechnen (3) Die Multiplikation A 1 b ergibt den Lösungsvektor.

40 Anwendung 6.2 Auflösung eines linearen Gleichungssystems (Seite LA 17) LGS in Kurzform: A x = b m Gleichungen n Unbekannte x i (i = 1,...,n) A : (m,n)-matrix (Koeffizientenmatrix) x : (n,1)-matrix (Lösungsvektor, Lösungsmatrix) b : (m,1)-matrix (Matrix der rechten Seiten) Wichtiger Spezialfall: A quadratisch, A 0 LGS eindeutig lösbar A -1 A x = A -1 b x = A -1 b (1) A berechnen (2) A = 0 Es gibt keine eindeutige Lösung (entweder unendlich viele oder keine) andernfalls: A 1 berechnen (3) Die Multiplikation A 1 b ergibt den Lösungsvektor.

41 Anwendung 3: 6.3 Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate (Seiten LA 18 bis LA 20) Gegeben: n Messpunkte: (x i, z i ) R 2 (i = 1,...,n) Gesucht: ausgleichende Polynomfunktion p vom Grad m: x p(x) = c j x j = c 0 + c 1 x + c 2 x c m x m (m<n) und zwar so, dass mit y i := p(x i ) die Summe der Abweichungsquadrate, d.h. der Ausdruck (y i z i ) 2 = (y 1 z 1 ) 2 + (y 2 z 2 ) (y n z n ) 2 minimal wird. m j = 0 n i = 1 Oder mit y := (y i ), z := (z i ) und d := y z : Der Betrag von d soll minimal werden!

42 Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate Das LGS p(x i ) = z i ( i = 1,..., n) in Matrixschreibweise: A c = z mit A i,k := x k-1 i (i=1.. n; k=1.. m+1) Das LGS ist überbestimmt und im allgemeinen nicht exakt lösbar; d.h. es gilt: A c z ("Fehlergleichungssystem"). Das Gleichungssystem wird mit folgendem Algorithmus in ein neues LGS übergeführt: (1) Bestimme A T. (2) Berechne M = A T A : eine (m+1,m+1)-matrix. Satz: M ist für jedes A regulär. (3) Berechne r = A T z : eine (m+1,1)-matrix. (4) Satz: Das LGS M c = r ist eindeutig (exakt) lösbar. ("Normalgleichungssystem") Löse dieses Gleichungssystem: c = M 1 r. (5) Berechne die ausgeglichenen Werte y = (y i ) für die gegebenen Messwerte z = (z i ) als Matrixprodukt: y = A c. Satz: c ist Lösung des Normalgleichungssystems d ist minimal.

43 Zusammenfassung: Lineare Algebra Vektoren: Addition, Multiplikation mit Skalar, Inversion Skalarprodukt, Betrag, Vektorprodukt Abstand, Gerade, Ebene, Kreis, Kugel Linearkombination Matrizen: Addition, Multiplikation, Transposition, Inverse, Determinante, Einheitsmatrix reguläre, singuläre Matrizen Excel: Matrizenrechnung mit Excel

44 Zusammenfassung: Lineare Algebra Lineare Abbildungen: Projektion, Spiegelung, Drehung, Streckung/Stauchung, Verzerrung Kombination von linearen Abbildungen LGS: Lösen von Linearen Gleichungssystemen mit Hilfe der Inversen Least Square Fit: Ausgleich nach der Methode der kleinsten Quadrate

45 MATHCAD

46 Eingabehilfen Symbolleisten (3.2.3) 1 allgemeine ("Rechnen"): 9 spezielle: Taschenrechner Diagramm Matrix Auswertung Differential / Integral Boolesche Operatoren short cuts: <Ctrl>+<.> symbolische Auswertung <Ctrl>+m Array-Eingabe <Ctrl>+<+> Vergleichsoperator = (ausserdem auch alle short cuts wie in den MS Applikationen) Programmierung Griechisch Symbolische Operatoren

47 Konstanten und Variablen Konstanten: unbenannt / Variablen: benannt Konstanten: "Barbara Z." vordefinierte Variablen: π e ORIGIN 1i FRAME Namen für benutzerdefinierte Variablen: Folgen von Buchstaben, Ziffern und den vier Spezialzeichen _ ' %

48 Konstanten und Variablen Skalare, Vektoren, Matrizen (als Konstanten oder Variablen): Die Kategorie wird mit der Definition festgelegt und kann jederzeit geändert werden.

49 Konstanten und Variablen Bereichsvariable: umfasst eine diskrete Folge von Werten zwischen einem Anfangswert und einer oberen Grenze bei konstanter Schrittweite Definition durch Angabe von Anfangswert, Zweitwert und oberer Grenze Die Angabe des Zweitwerts ist fakultativ. Trennzeichen:, zwischen Anfangswert und Zweitwert ; zwischen Anfangs- oder Zweitwert und oberer Grenze

50 (Seite M-24.. M-26) Ein Array ist unter Mathcad entweder ein Vektor oder eine Matrix. Ein Vektor ist unter Mathcad immer ein Spaltenvektor, also ein (m,1)-array mit m>1 (m Zeilen, 1 Spalte). Eine Matrix ist ein (m,n)-array mit n>1.

51 (Seite M-24.. M-26) Die Nummerierung der Array-Komponenten (Vektorkomponenten, Matrixelemente) erfolgt durch Kennzeichnung mit Indices. Der Anfangswert der Indexierung (kleinster Indexwert) ist der Wert der vordefinierten Variablen ORIGIN und standardmässig auf 0 gesetzt. Eine globale Neudefinition erfolgt z.b. mit ORIGIN 1.

52 Operatoren der linearen Algebra 1 Vektor: Vektor und Skalar: + * / ^ 2 Vektoren: + * x 1 Matrix: Matrix und Skalar: + * / ^ 2 Matrizen: + *

53 Gleichungen Operator = (auf der Symbolleiste "Boolesche Operatoren") Gleichung Ausdruck 1 = Ausdruck 2 unterschiedliche Arten der Auflösung: symbolischer Auswertungsoperator und Schlüsselwort solve,x bzw. auflösen,x ("halbsymbolisch", alle Lösungen)

54 Gleichungen unterschiedliche Arten der Auflösung: Vorgabeblock: Schlüsselwort given und Auswertung find(x) bzw. Vorgabe / suchen(x) (symbolisch oder numerisch, alle Lösungen oder nur einzelne) Menü Symbolik / Variable / Auflösen (rein symbolisch, alle Lösungen) Menü Extras / Optimieren / Gleichung (symbolische Vereinfachung, numerische Auflösung)

55 2D-Diagramme Beispiel für X-Y-Diagramm: 3π x := 0, f( x) := sin() x 2 gx ( ) := f() x e x

56 2D-Diagramme 1 1 fx () e x 0 gx () x 4.6

57 Analysis: Ableitungen Geben Sie die Funktion ein, die Sie ableiten wollen fx ( ) := 2 x+ 3 + cos( x) 2 Geben Sie den Punkt (oder Wertebereich) an, für den Sie die Ableitung bestimmen wollen x:= 6 Erste Ableitung: st de vat ve: d dx fx ( ) = 1.463

58 Analysis: Integrale Geben Sie die Funktion ein, die Sie integrieren wollen gx ( ) := ln( 2x) Definieren Sie die untere und obere Schranke a := 1 b := 2 Das bestimmte Intergral b a gx ( ) dx = 1.079

59 Schlüsselwörter

60 Schlüsselwörter: expand, factor expand ( a + b) 3 expand a a 2 b + 3 a b 2 + b 3 factor a a 2 b + 3 a b 2 + b 3 factor ( a + b) 3

61 Schlüsselwörter: simplify simplify r + s s s + s r s r s simplify r 2 s 2

62 einfache Anweisungen Auswertung (Ausdrucksanweisung) Zuweisung 3 sin(x) s 3 sin(x)

63 Strukturierte Anweisungen Sequenz Alternative Iteration (Block) (Verzweigung) (Wiederholung) BA BA if for if otherwise while

64 Beispiel 1 maximum( x, y) := x if x> y y otherwise maximum( 1, 2) = 2 maximum( 0, 0) = 0 maximum( 5.2, 3.4) = 3.4 maximum ( 4, "Anna" ) = maximum ("Lukas", "Anna") = "Lukas"

65 Beispiel 2 f( x) := 3 if x < 2 ( 3 4 x 2 ) if x 2 ( 4 0.5x) if x > 2 x:= 6, f( x) x

66 Beispiel 3 s0( a, b) := s 0 for s i a.. b s s + i 2 s1( a, b) := i b = a i 2 quadratsumme ( a, b) := ( s0( a, b) s1( a, b) ) quadratsumme ( 2, 4) = ( ) quadratsumme ( 1, 7) = ( ) quadratsumme ( 1.2, 3.6 ) = s0( 1.2, 3.6) = s1 ( 1.2, 3.6 ) =

67 Mathcad-Themen 1. Skalar: Konstante, Variable Datentypen 2. Bereichsvariablen 3. Arrays: Vektoren und Matrizen 4. Deklaration, Definition 5. Platzhalter 6. Operatoren 7. numerische Auswertung 8. symbolische Auswertung 9. Eingabehilfen: Symbolleisten, Schaltflächen

68 Mathcad-Themen 1. benutzerdefinierte Funktionen 2. Funktionsaufruf, Parameter 3. vordefinierte Funktionen 4. 2D-Diagramme 5. 3D-Diagramme 6. besondere symbolische Auswertung 7. Ergebnisformatierung 8. Import / Export 9. Programmierung

69 The End