PM JAHRESVERZEICHNIS 1998

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1 PM JAHRESVERZEICHNIS 1998 Herausgeber: StDir. Dietrich Pohlmann (Geschäftsführender Herausgeber) Prof. Dr. Helmut Siemon Schriftleitung: StDir. Dietrich Pohlmann Verantwortlich für den Aufgabenteil: StDir. Josef Rung Satz und Grafiken: DTP-design, Alsfeld Druck: SZ-Druck St. Augustin Aulis Verlag Deubner & Co KG Köln 1998 Wissenschaftlicher Beirat: StD F. Barth, München Prof. Dr. Hans Günther Bigalke, Celle Prof. Dr. Jörn Bruhn, Hamburg Prof. Dr. J. Cofman, Erlangen Prof. Dr. J. Flachsmeyer, Greifswald Prof. Dr. R. Fritsch, München Prof. Dr. Heinz Griesel, Kassel Prof. Dr. R. Ineichen, Fribourg/CH OStD J. Kratz, Gauting Dr. Ivan Paasche, Stockdorf Prof. Dr. Günter Pickert, Gießen Prof. Mag. Dr. H. C. Reichel, Wien/A Prof. Dr. Hans-Georg Steiner, Bielefeld Prof. Dr. Hans-Jochaim Vollrath, Würzburg Prof. Dr. H. Zeitler, Bayreuth ISSN Die erste (fette) Zahl gibt die Heftnummer, die zweite die Seite an PM BEITRÄGE Zita, interessante gerade Zahl... 1, 27 Ahbe, Zur schriftlichen Abiturprüfung in Italien... 6, 265 Armbrust, Hochzeitsmathematopoesie... 5, 220 Barth, s. Riehl/Barth/Haller/Strick Baumann, Ergänzung zu Zahlentheorie in der Schule?... 6, 272 Beuschel, Aus 3 mach , 137 Bosch, Vollsysteme beim Lotto... 2, 58 Brockmeyer, Automorphe Zahlen... 3, 100 Buchholz, Potenzierungsverfahren... 3, 127 Buchholz, Die Keplersche Gleichung... 4, 164 Bücker, Anmerkungen zur Plückerschen Geradengleichung... 1, 23 Buth, Dreieckskonstruktion und Kongruenzsätze... 5, 202 Chan, Das Mang-Kung-Würfelspiel... 2, 77 Fölsch, Pythagoras gibt ein Rätsel auf... 1, 5 eine weitere Konstruktion zu Pythagoras , 170 Fraedrich, Die Satzgruppe des Pythagoras im euklidischen Raum der Dimension n... 6, 259 Göbels, Beobachtungen am Baum des Pythagoras... 1, 8 Göbels, Zur Diskussion: Ähnlichkeit und Strahlensätze einmal anders... 1, 13 Gorenflo, Pentominofiguren aus 11 Steinen... 5, 221 Gronau/Sewerin, Die XXXVIII. Internationale Mathematik- Olympiade... 1, 29 Gundlach, Automorphe Zahlen und ihre Eigenschaften... 6, 273 Haake, Von der Simulation zur exakten Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten... 2, 61 Haller, Das Spiel der Wilden... 2, 49 Haller, s. Riehl/Barth/Haller/Strick Hawlitschek, Figurierte Zahlen... 1, 1 Hechinger, Primfaktorzerlegung und Teilermenge... 5, 208 Hintze, s. Schmid/Hintze Hintze, Abitur- und Klausuraufgaben: Diskussion einer besonderen e-funktion (LK Analysis)... 6, 266 Affine Abbildung einer Parabel (LK Affine Abb.)... 6, 267 Hof, Eine Funktionsgleichung mit didaktischem Wert... 4, 153 Hönig, Zwei zueinander widersprechende Ungleichungen?... 1, 22 Hormann, Klassenübergreifender Wettbewerb zum Thema Termberechnung... 3, 97 Humenberger, Optimieren im Mathematikunterricht... 3, 101 Humenberger, Problemlösen (I) - als roter Faden im Unterricht 5, 193 Jäger, Konvergenzbeschleunigung von (1 + 1/n)... 6, 241 Kader/Perry, Wozu braucht man Boxplots?... 2, 74 Kröpfl/Peschek/Schneider, Die Lorenzkurve... 6, 254 Kroll, Elementarer Beweis des Satzes von Feuerbach... 6, 251 Krücken, Gerhard Mercator und die Quadratur des Kreises... 4, 154 Landhäußer/Stadt/Landhäußer, Rekursive Selektion von M-Primzahlen und Zwillingen... 6, 269 Lichtenberg, Kleine Kunststücke (aus den Sudelbüchern)... 6, 264 Liesenfeld, Bogenlänge des Graphen der Exponentialfunktion mit y = e x... 6, 272 Mertenbacher, Eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras im euklidschen R n... 1, 14 Mocnik, Ellipse, Eikurve und Apollonius-Kreis... 4, 165 Paasche, Der Satz des Pythagoras nebst Verallgemeinerungen 4, 162 Pälmke, Periodenlänge (Bestimmung mit dem TR)... 5, 204 Perry, s. Kader/Perry Peschek, s. Kröpfl/Peschek/Schneider Pickert, Bemerkungen zu einer Extremwertaufgabe (Altmann).. 3, 109 Pickert, Der Näherungswert 3 für π... 3, 112 Pickert, s. Urmanin/Pickert Pickert, Bemerkungen zu Beiträgen aus PM 40 (1998) Heft 1. 5, 222 Pickert, Bemerkungen zu Eine Funktionsgleichung mit didaktischem Wert... 6, 274 Reuter, Bogenlängen von Graphen elementarer Funktionen... 3, 110 Reuter, Direkte Herleitung der Ableitungsfunktion von tan x... 6, 271 Riede, Die explizite Darstellung von Möbius-Rekursionen... 1, 17 Riehl/Barth/Haller/Strick, Auslosungsglück beim UEFA-Cup.. 3, 115 Riehm, Kirkmans Pensionsmädchenproblem... 3, 98 Schmid/Hintze, Abitur- und Klausuraufgaben: Diskussion einer Schar rat. Funktionen (LK Analysis)... 4, 168 Windschiefe Geraden (LK Lin.Algebra/Analyt. Geom.)... 4, 169 Schneider, s. Kröpfl/Peschek/Schneider Schönwald, Die 2stelligen 7fachen durch 2 und 7 ausgedrückt. 1, 7 Schönwald, Was ist der Unterschied zwischen Koeffizienten und Parametern?... 3, 99 Schönwald, Anregungen für die ersten Unterichtsstunden im Analysisunterricht... 4, 145 Schönwald, Miniaturen... 5, 210 Siemon, Der Beweis der Fermatschen Vermutung und , 30 Sommer, Zahlentheorie in der Schule?... 4, 159 Stadt, s. Landhäußer/Stadt/Landhäußer Steinbach, Potenzsummen und Gleichungssysteme... 3, 108 Strick, Simulation von Zufallsversuchen als Übungen zur Modellbildung... 2, 53 Strick, Augensummen... 2, 66 Strick, s. Riehl/Barth/Haller/Strick Strick, Pressemeldungen (4): Tipps für den Strandurlaub... 4, 163 Strick, Pressemeldungen (5): Sechs Richtige im Lotto - Unglück im Glück... 5, 215 1

2 PM JAHRESVERZEICHNIS 1998 Teuffel, Verschlungene Pfade... 1, 9 Titze, Periodische Dezimalbrüche... 5, 205 Ulshöfer, Über eine Taschenrechnergeometrie... 3, 121 Urmanin/Pickert, Einige Reflexionen zu einer Bemerkung von G. Pickert... 3, 113 Vowe, Grenzwerte... 4, 158 Zita, Lassen sich Brüche als Summen von Stammbrüchen darstellen?... 5, 209 Löffler, A Bundeswettbewerb Mathematik Runde... 6, 280 PM COMPUTERPRAXIS Ahbe, Sonne und Tag... 4, 178 Elschenbroich, Zentralperspektive mit EUKLID... 4, 174 Göbels, Training der Bruchrechnung mit Hilfe von Kettenbrüchen... 5, 226 Hechinger, Die Leibnizsche Reihe zur Berechnung von π... 3, 133 Koth, Fadengrafiken mit DERIVE... 5, 224 Krauskopf, Funktionale Notation für Funktionen in PROLOG mit GRIP... 4, 181 Leßmann, Wie verändern CAS-Taschenrechner in Schülerhand den Mathematikunterricht?... 4, 171 Neidhardt, Ähnlichkeitsabbildungen und Rollkurven in der komplexen Zahlenebene... 1, 32 Pinkernell, Zur Simulation stochastischer Konvergenz mit DERIVE... 2, 80 Welke, Ein Winkelsummenbeweis mit dynamischer Geometrie 5, 223 Wensky, Zur Diskussion: Kurvendiskussion passé?... 3, 128 PM AUFGABEN Nebst Lösung: P Quadratzahlen und Kuben... 1, 41 P Gauß-Poncelet-Geraden... 2, 83 P Fermat ohne Ende?... 3, 134 P Ein merkwürdiger Punkt des Vierecks... 4, 183 P Quersummenquadrate... 5, 229 P Fibonacci-Lucas-Phänomen... 6, 275 Ohne Lösung: P Diophantische Gleichung... 3, 134 P Eine einfache Abschätzung... 4, 183 P Kopunktalitätssatz... 5, 228 P Optimal merkwürdig?... 6, 275 PM KURZPROBLEME Q 329. Quadratzahl?... 1, 41 Q 330. Umkreismittelpunkt und mehr... 2, 83 Q 331. Höhensatz... 3, 134 Q 332. Zahldarstellungen... 4, 183 Q 333. Noch einmal: Zum Schachbrett-Pentomino... 5, 228 Q 334. Pseudo-Fermat... 6, 275 PM AUFGABEN MIT LÖSUNGEN Pickert, A 693. Höhenfußpunktdreieck und Umkreisdurchmesser... 2, 87 Gronau/Sewerin, Lösungen zu den Aufgaben der 38. IMO , 88 Hürten, Anmerkung zu A 688 (Winkelhalbierende)... 3, 135 Löffler, A Bundeswettbewerb Mathematik Runde... 3, 136 Pickert, A 698. Dreiecksumkreis und Berührkreis... 4, 187 Kroll/Rung, Ein weiterer Nachtrag zu P , 228 Pickert, A 699. Skalarprodukte dreier Einheitsvektoren... 5, 231 Pickert, Gleichseitige Hyperbel und Parabeln durch 4 Punkte.. 6, 277 Rung, Zu P 1024 und zum Beitrag von Pickert... 6, 279 2

3 PM JAHRESVERZEICHNIS 1998 PM NEUE BÜCHER NEUERSCHEINUNGEN... 1, 44; 3, 138; 5, 233 -, DM: Berufe mit Zukunft (Pohlmann)... 3, 140 -, Der Fischer Weltalmanach 98 (auf CD-ROM; Weller)... 3, 141 AK Mathematik und Bildung (GDM), Mathematik, ja bitte - Wege zu einem anderen Unterrricht (Pohlmann)... 5, 236 Arndt/Haenel, π - Algorithmen, Computer, Arithmetik (Pohlmann)... 5, 236 Baptist, Pythagoras und kein Ende? (Hase)... 2, 93 Barner/Flohr, Analysis II (Reuter)... 4, 187 Bartholomé, Zahlentheorie für Einsteiger (Pohlmann)... 6, 282 Baues u.a., Informatik erleben - Handreichungen, Teil 2 (Heide)... 5, 238 Baumann, Analysis 1 (Pohlmann)... 6, 282 Beutelspacher, Überblicke Mathematik 1998 (Pohlmann)... 4, 188 Beutelspacher/Petri, Der Goldene Schnitt (Pohlmann)... 6, 283 Brenner, Besser in allen Fächern (Pohlmann)... 3, 141 Deckers, World Wide School (Pohlmann)... 1, 46 Dewdney, Alles fauler Zauber? (Pohlmann)... 5, 236 Gaylord u.a., Einführung in die Programmierung mit Mathematica (Weller)... 6, 284 Gottwald, u.a., Meyers kleine Enzyklopädie Mathematik (Kappes)... 2, 92 Grabinger/Strauch, Zufall (Heide)... 2, 91 Guy, Unsolved Problems in Number Theory (Reuter)... 6, 282 Hassler, Grundtechniken, Anwendungen und Projekte für Windows 95 (Word 7, Excel 87, Access 7) (Heide)... 6, 284 Hawlitschek, Johann Faulhaber (Weber)... 2, 94 Heix, Mathematisches Nachschlagewerk (Stein)... 1, 46 Henn, Realitätsnaher Mathematikunterricht mit DERIVE (Weber)... 2, 93 Henn/Jock, Schülerarbeitsbuch GEOLOG-WIN (Weller)... 2, 93 Henze, Stochastik für Einsteiger (Kappes)... 1, 46 Herget/Scholz, Die etwas andere Aufgabe - aus der Zeitung (Pohlmann)... 5, 235 Herrmann, Mathematica (Heide)... 6, 283 Hofstadter, Die FARGonauten (Pohlmann)... 5, 237 Käse, 2D-Geometrie und 2D-Graphen von Funktionen für Windows 95/NT, Vers. 5.0 (Pohlmann)... 5, 237 Käse, Analytische Geometrie für Windows 95/NT, Vers. 5.0 (Pohlmann)... 6, 284 Kayser, Lineare Algebra und Geometrie mit DERIVE (Weller)... 2, 93 Klee/Wagon, Alte und neue ungelöste Probleme in der Zahlentheorie und Geometrie der Ebene (Hase)... 2, 92 Koepf, DERIVE für den Mathematikunterricht (Pohlmann)... 6, 283 Kroll, Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Hase)... 2, 92 Laugwitz, Bernhard Riemann (Pohlmann)... 4, 188 Lehmann, Wahrscheinlichkeitsrechnung (Weber)... 2, 91 LSW /NRW, Die Zukunft denken - die Gegenwart gestalten (Pohlmann)... 2, 94 Maaß/Stöckl, CD-ROM Mathe Tutor: Nachhilfe Mathematik Oberstufe (Böer)... 3, 140 Macrone, Heureka! (Stein)... 4, 188 Maor, Die Zahl e (Geschichte u.. ; Waid)... 3, 139 Mauve/Moos, Mathematik experimentell mit WORKS für WINDOWS (Heide)... 3, 140 Meyer, Schulpädagogik (Stein)... 2, 94 Mérö, Optimal entschieden? (Pohlmann)... 5, 236 Mohry, Besser in Mathematik: Differentialrechnung - Oberstufe (Stein)... 4, 187 Nehrig, Freiarbeit mit Mathemac: Bruchrechnen (Weller)... 2, 92 Niehaves, Trivial Maths (Heide)... 2, 91 Padberg, Didaktik der Bruchrechnung (Pohlmann)... 3, 139 Petigk, Mathematik in der Freizeit (Stein)... 5, 236 Pohlmann, Formeln, Sätze und Tabellen für Sek. I und II: Mathematik Astronomie Physik Chemie (Weller)... 4, 188 Radbruch, Mathematische Spuren in der Literatur (Pohlmann) 2, 94 Rauscher, Zehn-Minuten-Tipps für Lehrerinnen und Lehrer (Pohlmann)... 3, 141 Reichel u.a., Wege zur Mathematik (Stein)... 2, 92 Reichel/Müller, Mathematik mit dem TI-92 (Pohlmann)... 6, 283 Röttel (Hrsg.), Peter Apian: Astronomie, Kosmographie und Mathematik am Beginn der Neuzeit (Pohlmann)... 3, 139 Schachl, Weas haben wir im Kopf? (Stein)... 5, 238 Schmidt, Dr. F. Üxlein s Mathematische Rätsel und Knobelaufgaben (Pohlmann)... 2, 91 Schmidt, Dr. F. Üxlein: Noch mehr mathematische Rätsel und Knobelaufgaben (Pohlmann)... 2, 91 Schmidt (Hg.), Methoden des Mathematikunterrichts in Stichwörtern und Beispielen 7/8 bzw. 9/10 (Weber)... 5, 236 Schmidt, Grundlegungen zu einer allgemeinen affinen Geometrie (Tschampel)... 6, 283 Stöcker/Münzel, Taschenbuch der Schulmathematik (Hase)... 6, 282 Strick/Wurl, Formelsammlung für Gymnasien (Stein)... 5, 236 Timischl, Qualitätssicherung (Tschampel)... 2, 91 van Eijk, König Artus auf der Suche nach dem Integral (Tschampel)... 3, 140 Voß, Chaos und Fraktale - selbst programmieren (Pohlmann).. 6, 284 Wälti, Matehspiele für die Sek. I (Pohlmann)... 3, 139 Wagner/Reinelt, Wie viele Blätter trägt ein Baum? (Weber)... 6, 282 Zenkert, Faszination Sonnenuhr (Pohlmann)... 4, 188 Zuber, Der Weg zum Internet-Führerschein (Weller)... 2, 95 PM BERICHTE & MITTEILUNGEN Mathematik und Umwelt! Datenbank Energie! CAD-Plot jetzt in Version , 46 Workshop zur Lehrerfortbildung in Bielefeld! 10. Lehrerakademie Bremen: Spiel mit Chaos! internet: ratgeber für lehrer... 3, 141 Stellungnahme der MUED zur 3. TIMS-Studie... 3, 143 Positionen zur informatischen Bildung an deutschen Schulen... 4, 187 Sieger des PM-Preisausschreibens! International Congress of Mathematicians in Berlin! TIMSS - und keine Ende?! Die 3

4 PM JAHRESVERZEICHNIS 1998 Lochschablone ist wieder lieferbar!! Lernverlag! Erste Telearbeitssiedlung Niederbayerns in Schönau! GEONET - dynam. Geometrie-Software aus dem Internet! MATHS & FUN! Zeitschriften-Sponsering?! Wirtschaft in Zahlen , 189 Erklärung der Fachverbände DMV! GDM! MNU: Wieder schlechte Noten für den Mathematikunterricht in Deutschland. 5, 231 Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung... 5, Bremerhavener MNU-Tagung! MUED-Tagung im November! Mathematik-Arbeitsblätter... 5, 238 Interschul / didacta 98! 33. GDM-Tagung in Bern/CH! 90. MNU-Hauptversammlung in Saarbrücken! Mathematik-Aufgaben vom Internet -Server! Mathematik-Geschichte im Internet! Kreative Computergrafik mit Delphi! Humboldts Multimedia-Sprachkurse! Freistoß 98/99! Batterien und Umwelt! RegiWin - die neue Windows-Version von REG! PM-Sammelmappen! Grüße zum Neuen Jahr... 6, 285 PM Arbeitsblätter / Kopiervorlagen Flächeninhalte (Pohlmann)... 1, 48 Gleichungssysteme (Pohlmann)... 2, 96 Kreuzzahlrätsel (für Klasse 5/6) (Pohlmann)... 3, 144 Rechnen in N (Lösungstexträtsel) (Pohlmann)... 4, 192 Bruchrechnen-Training (Pohlmann)... 5, 240 Kalender-Tetraeder für 1999 (Pohlmann)... 6, 288 Errata S. 100 linke Spalte, 19. Textzeile: =.. S. 110 x dt rechte Sp., 7. Zeile:... E(x) := (statt 1+t 4 im Nenner) 4 1 t S. 114 linke Sp., 6. Z.v.u. 0 < m 1 s für s > 0 und m > 0 für s = 0. S. 121 linke Sp., in der Tabelle: statt M jeweils Μ S. 180 linke Sp., 4. Z.: -h max), die... Formel (10):... = tan ϕ dδ... 2 cos δ 0 NAMENVERZEICHNIS Ahbe 4, 178; 6, 265 Armbrust 5, 220 Arslanagic 1, 41 Barth 3, 115 Baumann 6, 272 Beuschel 3, 137 Böer 3, 140 Bosch 2, 58 Brockmeyer 3, 100; 4, 183 Buchholz 3, 127; 4, 164 Bücker 1, 23 Buth 5, 202 Chan 2, 77 Elschenbroich 4, 174 Fölsch 1, 5; 4, 170 Fraedrich 6, 259 Göbels 1, 8, 13; 5, 226 Gorenflo 5, 221, 228 Gronau 1, 29; 2, 88 Gülicher 5, 229 Gundlach 6, 273 Haake 2, 61 Hämmerling 3, 134; 6, 275 Haertel 3, 134 Haller 2, 49; 3, 115 Hase 2, 92, 93; 6, 282 Hawlitschek 1, 1 Hechinger 3, 133; 5, 208 Heide 2, 91; 3, 140; 5, 237; 6, 283, 284 Hintze 4, 169; 6, 266 Hof 4, 153 Hönig 1, 22 Hormann 3, 97 Humenberger 3, 101; 5, 193 Hürten 3, 135 Huke 5, 229 Jäger 6, 241 Kader 2, 74 Kappes 1, 46; 2, 92 Kerber 5, 233 Koth 5, 224 Krauskopf 4, 181 Kroll 6, 251 Kröpfl 6, 254 Krücken 4, 154 Landhäußer 6, 269 Leßmann 4, 171 Lichtenberg 6, 264 Liesenfeld 6, 272 Löffler 3, 136; 6, 280 Mertenbacher 1, 14 Mocnik 4, 165 MUED 3, 143 Neidhardt 1, 32 Neupert 4, 187 Paasche 2, 83; 4, 162; 6, 275 Pälmke 5, 204 Peschek 6, 254 Pickert 2, 83, 87; 3, 109, 112, 113; 4, 186; 5, 222, 231; 6, 274, 277 Pinkernell 2, 80 Perry 2, 74 Pohlmann 1, 46; 2, 91, 94; 3, 139, 140, 141, 144; 4, 187, 188, 192; 5, 235, 236, 237, 240; 6, 282, 283, 284, 288 Reuter 3, 110; 4, 187; 6, 271, 282 Riede 1, 17 Riehl 3, 115 Riehm 3, 98 Rung 1, 41; 6, 279 Schmid 4, 168 Schneider 6, 254 Schönwald 1, 7; 3, 99; 4, 145; 5, 210 Schubert 4, 187 Sewerin 1, 29; 2, 88 Siemon 1, 30 Sommer 4, 159 Spörer 6, 275 Stadt 6, 269 Stärk 4, 183; 6, 279 Stein 1, 46; 2, 92, 94; 4, 187, 188; 5, 236, 238 Steinbach 3, 108 Strick 2, 53, 66; 3, 115; 4, 163; 5, 215 Teuffel 1, 9 Titze 5, 205 Tschampel 2, 91; 3, 140; 6, 283 Ulshöfer 3, 121 Urmanin 3, 113 Vowe 4, 158 Waid 3, 139 Weber 2, 91, 93, 94; 5, 236; 6, 282 Welke 5, 223 Weller 2, 92, 93, 95; 3, 141; 4, 188; 6, 284 Wensky 3, 128 Wulftange 5, 231 Zita ( ) 1, 27; 5, 209 4

5 Kurzfassungen Heft 1 Figurierte Zahlen und Primzahlen PM 40 (1998) 1-5 K. Hawlitschek Das Figurieren von Zahlen hat Geschichte und dient u.a. der Visualisierung von Zusammenhängen und der Ableitung von Rekursionen. Der Beitrag beantwortet die Fragen, welche der natürlichen Zahlen sich als figurierte Zahlen darstellen lassen und unter welchen Voraussetzungen diese Darstellung eindeutig ist. Außerdem wird eine Übersicht für die maximale Dimension figurierter Zahlen gegeben. Die explizite Darstellung von PM 40 (1998) Möbius-Rekursionen H. Riede Gebrochen rationale Rekursionen wurden schon vielfach als Unterrichtsgegenstand vorgeschlagen und diesbezüglich untersucht. Die im Beitrag vorgestellten, z.t. neuen Lösungsansätze zeigen eine auffallende Bandbreite. Gemeinsam sorgen sie für eine Vernetzung von Gebieten, die Schüler gewöhnlich getrennt erleben. Hierin liegt ein besonderer Reiz für die Behandlung in der Oberstufe. Pythagoras gibt ein Rätsel auf PM 40 (1998) 5-7 G. Fölsch Es werden u.a. zwei Wege aufgezeigt, wie sich ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren läßt, von dem eine Kathete und der nichtanliegende Hypotenusenabschnitt gegeben sind. Beobachtungen am Baum des Pythagoras PM 40 (1998) 8 W. Göbels Anhand der Figur des Baumes des Pythagoras werden Fragestellungen erörtert, die einerseits über die üblichen Aufgabenstellungen in der Sek. I hinausgehen, andererseits aber auch für detaillierte Grenzwertbetrachtungen von Folgen und Reihen in der Sek. II geeignet sind. Verschlungene Pfade PM 40 (1998) 9-13 E. Teuffel Ein Quadrat wird in 16 Teilquadrate zerlegt und jedes Teilquadrat durch seine Diagonalen in 4 Dreiecke. Gesucht werden geschlossene Wege durch das Innere des Ausgangs-Quadrats, die jeweils genau einmal durch das Innere jedes der 64 Dreiecke führen und durch keine Dreiecks-Ecke. Eine Verallgemeinerung des Satzes von PM 40 (1998) Pythagoras im euklidschen Raum R n R. Mertenbacher Der Satz des Pythagoras läßt nicht nur eine Verallgemeinerung im R 3 zu, was bereits im 17. Jahrhundert bekannt war, sondern kann allgemeiner im R n (n N) formuliert werden. Der Beitrag, der sich an eine Facharbeit eines Kollegiaten aus dem Jahr 1989 anlehnt, liefert einen Beweis für ein solches Vorgehen. Es soll demonstriert werden, daß man durch geometrische Verallgemeinerungen zumindest im Rahmen von Facharbeiten durchaus gewinnbringend mathematische Vorgehensweisen vermitteln kann interessante gerade Zahl PM 40 (1998) 27f. K. Zita (") Arithmetik/Zahlentheorie um die neue Jahreszahl und Zahlzeichen der Javaner. Anmerkungen zur Plückerschen PM 40 (1998) Geradengleichung R. Bücker Die Anwendung des Entwicklungssatzes ρ ρ ϖ ρρ ρ ρρ ρ a ( b c) = ( ac) b ( ab) c steht im Vordergrund dieser Arbeit. Die aus der Vektorrechnung bekannten Probleme der analytischen Geometrie, die eine Raumgerade betreffen, werden hier mit der nach J. Plücker benannten parameterfreien Raumgeradengleichung behandelt. Die XXXVIII. Internationale PM 40 (1998) 29f. Mathematik-Olympiade H.-D. Gronau/H. Sewerin Bericht über Austragung des Wettbewerbs 1997 in Mar del Plata (Argentinien) mit Länderübersicht der Spitzengruppe (die ersten 20) und den Texten der 6 Wettbewerbs-Aufgaben. Der Beweis der Fermatschen Vermutung PM 40 (1997) H. Siemon Zusammenhänge und historische Verweise für den durch Andrew Wiles erbrachten Beweis der Fermatschen Vermutung mit Ausführungen zum Wolfskehl-Preis und seiner Verleihung am durch die Akademie der Wissenschaften zu Göttingen. Ähnlichkeitsabbildungen und PM 40 (1997) Rollkurven in der komplexen Zahlenebene W. Neidhardt Addition und Multiplikation im Komplexen entsprechen den Ähnlichkeitsabbildungen Verschiebung und Drehstreckung in der Gaußschen Zahlenebene. Nach einer vektoriellen Darstellung dieser Abbildungen behandelt der Beitrag die Erzeugung von Rollkurven, d.h. Kurven, die entstehen, indem ein Kreis auf einem weiteren (festen) Kreis abrollt. Die dazu nötigen Rechnungen vereinfachen sich bei Verwendung komplexer Zahlen. Zur graphischen Darstellung werden strukturiert programmierte BASIC- Programme verwendet. 5

6 Kurzfassungen Heft 2 Das Spiel der Wilden PM 40 (1998) R. Haller Nachdem eine Dame das Spiel der Wilden, das mittels Binomialverteilung gelöst, aber auch kulturhistorisch betrachtet wird, zu Montmorts Überraschung praktisch aus dem Stegreif lösen konnte, gibt Montmort eine schwierigere Version an, an der sie scheitern müßte. Da seine Spielregel aber nicht zu seinen Resultaten führt, ist er wohl selbst an der rechnerisch doch recht aufwendigen Multinomialverteilung gescheitert. Deren Aufstellung wird, nach Abänderung von Montmorts Spielregel, auf zwei Wegen vorgeführt. Augensummen PM 40 (1998) K.H. Strick Ausgehend von Augensummen beim 2fachen Würfeln werden systematisch graphische und rechnerische Methoden entwickelt, wie Verteilungen der zugehörigen Zufallsgrößen bestimmt werden können. Außerdem werden im Beitrag die Approximation dieser Verteilungen durch die Normalverteilung (gemäß Zentralem Grenzwertsatz) und ein Testverfahren (Richtigkeit von Hypothesen) angesprochen. Simulation von Zufallsversuchen als PM 40 (1998) Übungen zur Modellbildung K.H. Strick Im Stochastikunterricht bleibt meist zu wenig Zeit für die Durchführung konkreter Zufallsversuche; deshalb fehlen den Schülerinnen und Schülern oft Erfahrungen, die für das Verständnis von Zufallsversuchen wesentlich sind. Um komplizierte Zufallsversuche simulieren zu können, sind bei der Planung der Versuche Vorüberlegungen notwendig - wichtige Übungen zur Modellbildung. Vollsysteme beim Lotto PM 40 (1998) K. Bosch Bei einem Vollsystem werden aus den 49 Lotto-Zahlen n Systemzahlen ausgewählt und alle n möglichen Tippreihen aus diesen n 6 Zahlen abgegeben. In Abhängigkeit von der Anzahl der Gewinnzahlen unter den n Systemzahlen wird die Anzahl der jeweiligen Gewinne in den einzelnen Gewinnklassen angegeben. Ferner wird gezeigt, daß mit dem Vollsystem die Gewinnschancen für die einzelnen Gewinnklassen genau so groß sind wie mit n 6 beliebig ausgewählten, verschiedenen Tippreihen. Systemspielen erhöht also die Gewinnchancen keineswegs. Von der Simulation zur exakten PM 40 (1998) Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten H. Haake Die Interpretation von Simulationsergebnissen als geometrische Wahrscheinlichkeiten ermöglicht einen unmittelbaren Übergang von der Simulation zur exakten Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten. Das Verfahren wird zur Herleitung der Poisson-Verteilung verwendet. Wozu gebraucht man Boxplots? PM 40 (1998) G. Kader/ M. Perry Nach einer Beschreibung der Technik der Boxploterstellung in der Explorativen Datenanalyse werden Verwendungsmöglichkeiten diskutiert. Speziell wird aufgezeigt, wie Mißbräuche zu vermeiden sind. Das Mang-Kung-Würfelspiel PM 40 (1998) W.-S.Chan Es wird ein chinesisches Würfelspiel vorgestellt. Nach der Beschreibung werden seine Wahrscheinlichkeitsverteilung untersucht und Spielsimulationen diskutiert. Zur Simulation stochastischer KonvergenzPM 40 (1998) mit DERIVE G. Pinkernell Zufallsexperimente in langen Versuchsreihen zu untersuchen ist eine Standardaufgabe im Stochastikunterricht. Es erscheint daher wünschenswert, daß auch DERIVE zur Simulation solcher Versuchsreihen herangezogen werden kann. In diesem Beitrag werden die Probleme einer solchen Programmierung diskutiert und eine Lösung vorgestellt. Ein bislang unbekannter Zuweisungsoperator ermöglicht es, daß sich dieses Programm eng an der realen Versuchsdurchführung orientiert. 6

7 Kurzfassungen Heft 3 Klassenübergreifender Wettbewerb PM 40 (1998) 97 zum Thema Termberechnung H.-Ch. Hormann Es wird über einen Wettbewerb berichtet, bei dem Schüler unterschiedlicher Klassenstufen möglichst kurze Terme suchen mußten, deren Wert 1997 sein sollte. Dabei durften außer den Rechenzeichen immer nur gleiche Ziffern verwendet werden. Einige Reflexionen über eine Bemerkung PM 40 (1998) 113 von G. Pickert Z. Urmanin / G. Pickert Diskussion inhaltlicher Verbesserungsmöglichkeiten der PM-Beitrag-Serie von Z. Urmanin: Grundbegriffe der Differentialrechnung in der Sek. I (Monotonie im 9. bzw. 10. Schuljahr). Kirkmans Pensionsmädchenproblem PM 40 (1998) 98 E. Riehm Ein Töchterheim zählt 15 junge Mädchen, die bei ihren täglichen Spaziergängen in Reihen zu je dreien gehen. Wie läßt es sich einrichten, daß jedes Mädchen gerade einmal wöchentlich mit jedem anderen Mädchen in einer Reihe geht? Auslosungsglück beim UEFA-Cup PM 40 (1998) 115 G. Riehl / F. Barth / R. Haller / H.K. Strick Ausgehend von einer falsch gelösten Anwendungsaufgabe werden die Schwierigkeiten der Modellbildung für eine stochastische Situation und das Testen des Modells durch Simulation erörtert. Der Denkfehler in der falschen Lösung wird analysiert. Weitere Lösungsansätze werden diskutiert. Was ist der Unterschied zwischen PM 40 (1998) 99 Koeffizienten und Parametern H.G. Schönwald Tut die Unterscheidung in der Schulkmathematik not? Automorphe Zahlen PM 40 (1998) 100 H. Brockmeyer Sind die letzten Ziffern einer Quadratzahl gleich denen der Wurzel, so nennen wir die Wurzel automorph. Beispiel: 625 ist automorph, wegen = Optimieren im Mathematikunterricht PM 40 (1998) 101 H. Humenberger Es werden einige ausgewählte, besonders elementare Aspekte herausgestrichen und so aufbereitet, daß eine Umsetzung im Unterricht für interessierte Lehrer möglich erscheint, auch ohne jegliche Vorkenntnisse (der Schüler und des Lehrers) in der Spieltheorie. Optimieren in allen seinen Erscheinungsformen ist ein besonders wichtiges Element der Mathematik, inbes. der Angewandten Mathematik. Anhand der Spieltheorie soll ein möglicher Weg dargestellt werden, die Idee des Optimierens auf eine einfache Art zu realisieren und so die Vielfalt der Otpimierungsverfahren einmal mehr zu demonstrieren. Potenzsummen und Gleichungssysteme PM 40 (1998) 108 G. Steinbach Formeln für Potenzsummen lassen sich mit Hilfe linearer Gleichungssysteme gewinnen. Es wird gezeigt, wie man die Koeffizienten dieser Gleichungssysteme direkt dem Pascaldreieck entnehmen kann. Bogenlängen von Graphen elementarer PM 40 (1998) 110 Funktionen D. Reuter Da die Bogenlängenberechnung mittels der bekannten Rektifikationsformel bei der Mehrzahl der elementaren Funktionen auf große Stammfunktions- Findungsprobleme stößt, werden Vorschläge zur Lösung durch Abschätzungen unterbreitet. Der Näherungswert 3 für π PM 40 (1998) 112 G. Pickert G. Pickert weist auf eine Arbeit aus den Jahren 1947/48 hin, in der gezeigt wird, daß man den Minimalwert 3 für π aus der Flächeninhaltsberechnung bestimmter ein- und umbeschriebener konvexer Polygone erhält. Über eine Taschenrechnergeometrie PM 40 (1998) 121 K. Ulshöfer Taschenrechnerzahlen bilden mit der Addition und Multiplikation ein endliches Verknüpfungsgebilde. Über diesem kann analytische Geometrie getrieben werden. Da wesentliche Körpergesetze nicht erfüllt sind, ergibt sich eine geometrische Struktur mit pathologischen Eigenschaften, die sicher nicht als Modell der Anschauungsebene angesehen werden kann. Potenzierungsverfahren PM 40 (1998) 127 W. Buchholz Es wird ein Verfahren zum Potenzieren erläutert, wie es z.b. bei der Programmierung von Computern Anwendung findet. Es kann leichter verstanden werden, wenn man die Dualdarstellung des Expoennten in Betracht zieht. Kurvendiskussion passé? PM 40 (1998) 128 D. Wensky Funktionenplotter und Computer-Algebra-Systeme lassen Kurvendiskussionen im ursprünglichen Sinn überflüssig erscheinen. Es werden Aufgaben vorgestellt, die Funktionsgraphen schon in der Aufgabenstellung zur Verfügung stellen. Der Schwerpunkt liegt in der Auswertung der Graphen und im Nachweis einzelner - aus den Graphen erkennbarer - Eigenschaften der Funktion. Die Leibnizsche Reihe zur Berechnung von π PM 40 (1998) 133 T. Hechinger Immer schon hat die Leibnizsche Reihe für π/4 wegen des einfachen Bildungsgesetzes der Reihenglieder die Mathematiker fasziniert. Nach allgemeiner Auffassung gilt sie jedoch als ungeeignet für die konkrete Berechnung von π. Der Beitrag widerlegt dieses Vorurteil durch den Nachweis, daß durch Anbringung eines Korrektursummanden die Berechnung der ersten Dezimalen von π mit annehmbarem Aufwand möglich ist. Bundeswettbewerb Mathematik 1997 PM 40 (1998) Runde, Aufgaben und Lösungen K.-R. Löffler Die vier Aufgaben beschäftigen sich mit Kippungen eines regulären Tetraeders über eine Ebene, mit der Erfüllbarkeit einer algebraischen Gleichung durch unendlich viele Paare rationaler Zahlen, mit der Abschätzung einer Streckenlänge in einem Kreis sowie mit der Teilbarkeit einer Zahl durch 56. Zu allen vier Aufgaben werden kurze Lösungen angegeben. 7

8 Kurzfassungen Heft 4 Anregungen für die ersten PM 40 (1998) Unterrichtsstunden im Analysisunterricht H.G. Schönwald Dieser Artikel soll ein wenig mehr Sinn-Orientierung für die Schülerinnen und Schüler schon zu Beginn ihres Analysisunterrichts geben helfen, freilich auch einige erprobte Stoffvorschläge für ansprechende Beispiele und Anmerkungen. Insbesondere wird von einem niederen Niveau aus auf das eigentlich Neue der Analysis hingewiesen. Eine Funktionsgleichung mit PM 40 (1998) 153f. didaktischem Wert W. Hof Es wird darauf hingewiesen, daß viele Fehler auf die Anwendung des vermeintlich gültigen Rechengesetzes f(x 1 + x 2) = f(x 1) + f(x 2) zurückgeführt werden können. Hier wird gezeigt, daß es äquivalent ist zu f(x) = k x. Gerhard Mercator und PM 40 (1998) die Quadratur des Kreises W. Krücken Es hat sich herausgestellt, daß die Methodenrekonstruktion des Entwurfs der Weltkarte ADD USUM NAVIGANTIUM Gerhard Mercators von 1569 bernutzte Konstruktionsfigur auch der näherungsweisen rein rationalen Berechnung der Zahl π allein mit Hilfe der Arithmetik der Ähnlichkeitslehre dienlich ist. Diese Zwiefalt der Konstruktionsfigur verstärkt u.a. die Vermutung, mit der Rekonstruktion der»vergrößerten Breitenabstände«aus dem Jahre 1994 die Vorgänge der»kartographischen Anstalt Mercator zu Duisburg«korrekt geschildert zu haben. Der Ansatz Mercators fördert dabei zugleich eine»schulstuben-adäquate«näherung von π mit Hilfe der elementaren Flächen- und Ähnlichkeitslehre. Grenzwerte PM 40 (1998) 158 M. Vowe Eine interessante Aufgabe zur Grenzwertberechnung - mit Hilfe des Taschenrechners, dessen Benutzung hier allerdings Fehlschlüsse nahelegt. Die Keplersche Gleichung PM 40 (1998) 164 W. Buchholz Bei Berechnungen zu elliptischen Planeten- oder Satellitenbahnen spielt die Keplersche Gleichung M = E - e sin E eine Rolle. Es wird gezeigt, wie sich E für gegebenes M und e (0 < e < 1) berechnen läßt. Ellipse, Eikurve und Apollonius-Kreis PM 40 (1998) K. Mocnik Die Ellipse bietet stets neue Einsichten, deren Betrachtung sich insbesondere für den Schulunterricht eignen. Es wird gezeigt, daß die Ellipse mit dem Apollonius-Kreis durch Vermittlung einer Eikurve zusammenhängt. Abitur- und Klausuraufgaben PM 40 (1998) O. Schmid / K. Hintze a) LK Analysis: Diskussion einer Schar rationaler Funktionen b) LK Lin. Algebra / Analyt. Geometrie: Windschiefe Geraden. Wie verändern CAS-Rechner in PM 40 (1998) Schülerhand den Mathematikunterricht? J. Leßmann Die Entwicklung von Rechenhilfsmitteln mit CAS-Fähigkeiten wird den Mathematikunterricht verändern. Mögliche Auswirkungen für Aufgabenstellungen in Klausuren werden konkret anhand von Abituraufgabenbeispielen diskutiert, die so konzipiert sind, daß sie den Einsatz eines CAS-Rechners während der Abiturklausur zulassen. Zentralperspektive mit EUKLID PM 40 (1998) H.-J. Elschenbroich Der Verfasser zeigt an verschiedenen Beispielen, wie man mit Hilfe eines 2- dimensionalen Geometrie-Programms (im Beispiel: EUKLID) die Raumvorstellung entwickeln kann. Zahlentheorie in der Schule? PM 40 (1998) H. Sommer Der Artikel beschreibt eine Unterrichtseinheit zur Verschlüsselung mit dem RSA-Algorithmus, dem derzeit aktuellsten Chiffrierverfahren. Seine zahlentheoretischen Grundlagen sind die Primzahlen, die Rechnung mit Kongruenzen, die Eulersche ϕ-funktion und der Kleine Satz von Fermat. Es wird dargestellt, wie sich diese eher unüblichen Lehrinhalte in der Oberstufe erfolgreich erarbeiten lassen. Sonne und Tag PM 40 (1998) H. Ahbe Die Sphärik, anscheinend im pädagogischen Dornröschen-Schlaf wird in einer Weise behandelt, die M. Wagenschein vor 40 Jahren Exemplarische Methode nannte. Nicht zum engeren Thema gehörende Dinge werden zunächst beiseitegelassen. Die Arbeit mit den Schülern mündet in ein BASIC-Programm, mit dem man zu gewünschten Zeiten für beliebige Orte Auf- und Untergang der Sonne sowie deren Höchst- und Tiefststand berechnen kann. Pressemeldungen (4): PM 40 (1998) 163f. Tipps für den Strandurlaub H.K. Strick Artikel aus der FAZ geben Anregungen, an den Stränden in Holland und Schottland Zufallsexeperimente in Form von Stichproben durchzuführen, die die wichtige Frage klären können, ob nämlich linke bzw. rechte Schuhe aufgrund ihrer unterschiedlichen Form bevorzugt an verschiedenen Stränden Europas angeschwemmt werden. Funktionale Notation für Funktionen PM 40 (1998) 181f. in PROLOG mit GRIP R. Krauskopf Bei Verwendung des Übersetzungsprogramms GRIP als Top-Level-Interpreter in PROLOG-Systemen kann der PROLOG-Benutzer sowohl von der relationalen Notation als auch zusätzlich von der funktionalen Notation Gebrauch machen. Die Möglichkeiten, die GRIP bietet, und seine Wirkungsweise werden an einigen Beispielen aufgezeigt. 8

9 Kurzfassungen Heft 5 Problemlösen (I) - als roter Faden PM 40 (1998) 193 im Unterricht - einige Anregungen H. Humenberger Es werden einige Beispiele zum Thema Problemlösen angeführt, die den verschiedensten mathematischen Bereichen und Unterrichtsstufen zuzuordnen sind. Nach einigen Beispielen zum Übersetzen von Texten in die Sprache der Mathematik liegt der Schwerpunkt des Aufsatzes bei Optimierungsproblemen ohne Differentialrechnung. Solche halten wir deshalb für wichtig, weil dadurch Optimierungsaufgaben nicht erst ab Klasse 11 behandelt werden können, sondern (z.t.) schon erheblich früher. Dreieckskonstruktion und Kongruenzsätze PM 40 (1998) 202 M. Buth Die Kongruenzsätze werden leicht als Bedingungen für die Lösbarkeit von Dreieckskonstruktionen mißverstanden. Deshalb soll geklärt werden, was die Konstruktion von Dreiecken mit den Kongruenzssätzen zu tun hat und in welchen Punkten man beide auseinander halten sollte. Periodenlänge - Bestimmung mit dem TR PM 40 (1998) 204 H. Pälmke Anhand einiger Beispiele wird gezeigt, daß ein Schulrechner mit einer achtstelligen Anzeige auch zunächst nicht sichtbare weitere Stellen anzeigen kann. Ferner wird ein Programm vorgestellt, mit dem auf einem nichtprogrammierbaren TR in einer Art schriftlicher Division alle Stelle auch einer sehr langen Periode ermittelt werden können. Miniaturen PM 40 (1998) 210 H.G. Schönwald 1. Ein Nachdenken über die Verwendung der Zeichen + und - 2. Doppelte Verneinung und Verwandtes 3. Weshalb ist 1 keine Primzahl? 4. Eine kleine Meditation über die Zahlen 25g 5. Über die Polynome der Gestalt x 2 ± x ± 1 Pressemeldungen (5): Sechs Richtige PM 40 (1998) 215 im Lotto - Unglück im Glück H.K. Strick Die Pressemeldung über unglückliche Lotto-Gewinner mit 6 Richtigen gibt Anlass zur Recherche, ob es solche Vorkommnisse bereits in vergangenen Jahren gegeben hat, welche Tippzettel-Formate bisher verwendet wurden und in wie weit diese Formate Einfluss auf die Anzahl der Gewinner hatten. Hochzeitsmathematopoesie PM 40 (1998) 220 A. Armbrust Wenn zwei Mathematiker heiraten, dann ist die richtige Wortwahl bei der Gratulation oft nicht ganz einfach. In dem Hochzeitsgedicht wurden daher die guten Wünsche in mathematische Termini verpackt - wobei diese Idee zusammen mit der Reimform die bestimmenden Größen waren. Pentominofiguren aus 11 Steinen PM 40 (1998) 221 H. Gorenflo Es wird gezeigt, wie man mit 11 Pentominosteinen Rechtecke legen und mit 11 Steinen auf dem Schachbrett spielen kann. Periodische Dezimalbrüche PM 40 (1998) ein Blick hinter die Kulissen (1) H. Titze Bei der Dezimalentwicklung von echten Brüchen, deren Nenner eine Primzahl größer als 5 ist, beobachtet man sowohl in den Perioden als auch in den Folgen der Reste beim Bilden von Summen überraschende Gesetzmäßigkeiten. Diese lassen sich aus dem Divisions-Algorithmus (ohne Kongruenzschreibweise) allgemein begründen. Auch das Auftreten verkürzter Periodenlängen kann auf elementarem Wege verstanden werden. Primfaktorzerlegung und Teilermenge PM 40 (1998) 208 T. Hechinger Der Beitrag stellt ein handliches Verfahren vor, aus der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl ihre Teilermenge zu bestimmen. Lassen sich Brüche als Summen von PM 40 (1998) 209 Stammbrüchen darstellen? K. Zita Es wird ein Algorithmus vorgestellt, mit dessen Hilfe man Brüche m n (n ungerade) als Summe verschiedener ungerader Stammbrüche darstellen kann. Fadengrafiken mit DERIVE PM 40 (1998) 224 M. Koth Mit Hilfe der Programmierbefehle von DERIVE kann man relativ einfach reizvolle Fadengrafiken auf dem Computerbildschirm erzeugen. Die vorgestellten Beispiele zeigen, daß DERIVE im Mathematikunterricht auch als einfach erlernbare Programmiersprache eingesetzt werden kann. Training der Bruchrechnung mit Hilfe PM 40 (1998) 226 von Kettenbrüchen W. Göbels Durch den Einsatz eines kleinen Computerprogramms kann die Berechnung von Kettenbrüchen zum gezielten Einüben wichtiger Regeln der Bruchrechnung genutzt werden. Kettenbrüche können ferner für Übungen zur Termumformung bzw. Grenzwertberechnung eingesetzt werden. P Quersummenquadrate PM 40 (1998) 229 Die Lösung von P 1025 enthält Anregungen für Facharbeitsthemen, Projektarbeiten und Pluskurse sowie für kleinere oder größere Forschungsaufträge. Es geht um natürliche Zahlen, die das Quadrat ihrer Quersumme bei g-adischer Entwicklung sind. Beispielsweise sind 1 und 81 die einzigen derartigen Zahlen im Dezimalsystem und in 7-adischer Entwicklung sind 12, 22, 51, 144 und 264 die einzigen Quersummenquadrate. Es liegt nahe, auch höhere Quersummenpotenzen zu betrachten. 9

10 Kurzfassungen Heft 6 Konvergenzbeschleunigung von ( 1 1 n + n ) J. Jäger PM 40 (1998) 241 ( 1 1 n + n ) konvergiert recht langsam gegen e. Wie sollte man den Exponenten in Zahlenfolgen des Typs (( 1 1 n+ αn + n ) ) wählen, um die Konvergenz zu beschleunigen? Es stellt sich heraus, daß für konstantes α = α n der Wert α = 1 2 optimal ist. Die Ordnung der Konvergenz ist dann 1 2, während sie für alle n anderen Konstanten nur 1 n ist. Der einfachste echt von n abhängige Term α n, der eine weitere Konvergenzverbesserung (Ordnung 1 3 ) bringt, ist α n = n 1 1 = 2 12 n. Elementarer Beweis des Satzes von PM 40 (1998) 251 Feuerbach W. Kroll Nach dem von K.W. Feuerbach 1822 entdeckten Satz berühren der Inkreis und die drei Ankreise eines Dreiecks den Neunpunktekreis des Dreiecks. Die bisher bekannten Beweise verlangen Kenntnisse, wie sie heute im Gymnasium kaum noch vermittelt werden. Im Artikel wird gezeigt, wie man allein mit den Kreiswinkelsätzen auskommen kann. Dabei ergeben sich neue Zusammenhänge, in denen die Verbindungsgeraden des Umkreismittelpunktes mit den Mittelpunkten der Berührkreise eine ausgezeichnete Rolle spielen. Die Lorenzkurve PM 40 (1998) 254 B. Kröpfl, W. Peschek, E. Schneider Neben wohlbekannten Standardgraphiken kennt die Statistik auch intelligentere Graphiken, die eine Veranschaulichung komplexerer Zusammenhänge ermöglichen. Ein interessantes Beispiel dafür ist die sogenannte Lorenzkurve. Die Lorenzkurve zielt vorrangig darauf ab, Ungleichheiten bzw. Konzentrationen zu veranschaulichen; man kann ihr darüber hinaus aber auch eine Fülle weiterer, statistisch interessanter Informationen entnehmen - und dabei über das statistische Verfahren hinaus einige didaktisch interessante allgemeinere Probleme der Mathematik bzw. Stochastik thematisieren. Abitur- und Klausuraufgaben PM 40 (1998) 266 W. Hintze (1) Diskussion einer besonderen e-funktion (LK Analysis) Der geg. Term soll auch auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersucht werden. Interessant ist insbes., daß die Wendestellen nur durch Näherungsverfahren bestimmt werden können. (2) Affine Abbildung einer Parabel (LK Affine Abbildungen) Durch wiederholte Anwendung der geg. Scherung in Richtung der x-achse auf die geg. Parabel entstehen Parabeln, deren Achsen parallel zueinander sind und deren Scheitel auf einer Parabel liegen. Rekursive Selektion von M-Primzahlen PM 40 (1998) 269 und Zwillingen E. Landhäußer / Stadt / Landhäußer Aus einem erzeugenden Quotienten-System für die Primzahlfolgen p i 1 (mod 4) und p i 3 (mod 4) werden durch Schnitt der entsprechenden Mengen die Zwillinge in lückenloser nicht abbrechender Folge gewonnen. Weiter wird die Selektion von Mersenne-Primzahlen aus der Folge p i mit Hilfe eines Programmes in UBASIC dargestellt. Direkte Herleitung der Ableitungsfunktion PM 40 (1998) 271 von tan x D. Reuter Ohne Rückgriff auf die Ableitungsfunktionen der sin- und cos-funktionen wird die Ableitungsfunktion von tan direkt durch Grenzübergang gewonnen. P Fibonacci-Lucas-Phänomen PM 40 (1998) 275 Die Aufgabe präsentiert eine interessante Relation zwischen Fibonacci-Folgen mit beliebigen Startwerten und der sogenannten Lucas-Folge, einer Fibonacci- Folge mit einer ganz speziellen Startbedingung. Der Resultate sind in verschiedene Richtungen (andere Rekursionen; Polynome) verallgemeinerbar. Die Aufgabe ist auch deshalb so lehrreich, weil sie wieder zeigt, daß man durch systematisches Studieren von Beispielmaterial auf eine hübsche Lösung und damit zu neuen Einsichten kommen kann. Die Satzgruppe des Pythagoras im euklid. PM 40 (1998) 259 Raum der Dimension n - Teil 1 A. M. Fraedrich Faßt man das rechtwinklige Dreieck als 2-dimensionales rechtwinkliges Tetraeder auf, so gelangt man durch Analogisierung rasch zu einer Vorstellung vom n-dimensionalen rechtwinkligen Tetraeder. Überträgt man noch die einschlägigen Begriffe wie Kathete, Hypotenuse,... in geeigneter Weise auf das n-dimensionale rechtwinklige Tetraeder, so lassen sich dafür Eigenschaften beweisen, die jenen der 2-dimensionalen Satzgruppe des Pythagoras entsprechen. In Teil 1 des Beitrags wird zunächst der Übergang zur Satzgruppe des Pythagoras für das 3-dimensionale rechtwinklige Tetraeder behandelt, und zwar in einer Form, welche die Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen geradezu provoziert. Zur schriftlichen Abiturprüfung in Italien PM 40 (1998) 265 H. Ahbe Wie steht es mit den Abitur-Ansprüchen bei unseren europäischen Nachbarn? Diese komplexe Frage wird hier durch die Mitteilung von Abitur-Aufgaben 1998 aus Italien wenigstens zu einem Teil beantwortet. Gleichseitige Hyperbel und PM 40 (1998) 277 Parabeln durch vier Punkte G. Pickert Durch die Ecken eines nichtausgearteten Vierecks geht eine (und - von einem Ausnahmefall abgesehen - genau eine) gleichseitige Hyperbel. Deren Scheitel und Asymptoten werden konstruiert. Ist das Viereck konvex, so gehen durch seine Ecken genau zwei Parabeln, deren Scheitel und Durchmesser konstruiert werden. Bundeswettbewerb Mathematik 1998 PM 40 (1998) Runde - Aufgaben und Lösungen K.-R. Löffler Bei den vier Aufgaben geht es um - ein arithmetisches Einsetz-Spiel auf einem Zahlenfeld, - Folgen von Quadratzahlen, bei denen der Mittelwert benachbarter Glieder wieder eine Quadratzahl ist, - gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke, die als Teilfiguren beim Aufsetzen von Quadraten auf zwei Seiten eines beliebigen Dreiecks entstehen und schließlich um - den Nachweis, dass alle Glieder einer bestimmten Folge natürlicher Zahlen ungerade sind. 10