MATERIALIEN ZUR VORLESUNG SYSTEMORIENTIERTE INFORMATIK / HARDWARE SOFTWARE-CODESIGN

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1 Fakultät Informatik Institut für Angewandte Informatik, Professur Technische Informationssysteme MATERIALIEN ZUR VORLESUN SYSTEMORIENTIERTE INFORMATIK / HARDWARE SOFTWARE-CODESIN

2 Autor: Sitz: Nöthnitzer Straße 46 (INF), Zimmer 074 Telefon: tu-dresden.de WWW: 2

3 liederung 0. Motivation 0.. Beschreibung der Lehrveranstaltung Systemorientierte Informatik / Hardware Software- Codesign 0.2. Weitere Lehrveranstaltungen. Objekte und Systeme 2. Eigenschaften dynamischer Systeme 2.. Allgemeine Systemeigenschaften 2... Signale Systeme Signalflussgraphen 2.2. Zeitkontinuierliche Systemtypen und ihre Software-Modelle ewinnung von Modellen Theoretische Analyse rundtypen linearer Systeme Modellbildung durch Messungen 2.3. Theorie linearer Systeme rundsätzliche Methode ültigkeitsvoraussetzungen Faltungsintegral Stabilität Weitere Elementar- und Testsignale Harmonische Elementarsignale Signale Systeme Faltungssatz 3. Informationsverarbeitung in Objekten 3.. Abtastung von Signalen an der Schnittstelle 3.2. Primärverarbeitung der Signale 3.3. Filteralgorithmen 3.4. Signalprozessoren 4. Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen 4.. Steuerung 4.2. Regelung Statische Betrachtung Dynamische Betrachtung Analyse durch Rechner-Simulation Synthese durch Rechner-Optimierung 3

4 Literatur: Kabitzsch, K.: Informations- und Steuerungssysteme Kapitel in: Werner u.a.: Taschenbuch der Informatik Fachbuchverlag Leipzig 995 ISBN Stein,.: Automatisierungstechnik in der Maschinentechnik C. Hanser Verlag 993 ISBN Wellenreuther,.; Zastrow, D.: Steuerungstechnik mit SPS 3. Auflage, Vieweg Verlag Braunschweig / Wiesbaden 995 ISBN Olsson,.; Piani,.: Steuern, regeln, automatisieren C. Hanser Verlag München Wien 993 ISBN Färber,.: Prozeßrechentechnik 2. Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 992 ISBN Ergänzungsliteratur: Unger, J.: Einführung in die Regelungstechnik B.. Teubner 992 Bolch,.; Seidel, M.: Prozeßautomatisierung 2. Auflage, B.. Teubner Stuttgart 993 (Reihe Leitfäden der angewandten Informatik) ISBN Orlowski, P.F.: Praktische Regeltechnik 4. Auflage, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 994 ISBN Roth,.: Regelungstechnik Hüthig Buch Verlag Heidelberg 990 ISBN Neumann, P.; rötsch, E.; Lubkoll, C.; Simon, R.: SPS-Standard: IEC 3 Programmierung in verteilten Automatisierungssystemen R. Oldenbourg Verlag München 995 ISBN Kurbel, K.: Produktionsplanung und -steuerung R. Oldenbourg Verlag München Wien 993 (Band 3.2 in der Reihe "Handbuch der Informatik") ISBN Schmid, D. (Hrsg.): CIM Lehrbuch zur Automatisierung der Fertigung Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-ruiten 99 ISBN Kabitzsch, K. (Hrsg.): Automatisierungskonzepte mit dezentraler Intelligenz (LonWorks) Tagungsband, Workshop an der TU Dresden vom N.N.: LonWorks Technology Device Data Motorola Inc

5 Erklärung zu verwendeten Symbolen: D T F B R Definition Tabelle Wichtige Formel Beispiel Regel Hinweis 5

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7 Kapitel 0 Motivation 0. Motivation 0.. Beschreibung der Lehrveranstaltung Systemorientierte Informatik / Hardware Software-Codesign Rechner müssen in der Praxis mit Prozessen, Anlagen und Komponenten verschiedenster Branchen in Wirtschaft und Technik zusammenwirken. Um die dabei entstehende Komplexität zu beherrschen, muss jede Software in Objekte und jeder Prozess in Systeme zerlegt werden, um sie arbeitsteilig zu entwickeln und anschließend zusammenzufügen. Als Mitwirkende an dieser Arbeitsteilung müssen Informatiker grundsätzliche Eigenschaften der Schnittstellen (Signale) und Systeme verstehen, um die eigene Aufgabenstellung zu erkennen und abzugrenzen. Die Studenten sollen zur Zusammenarbeit mit den als Anwender auftretenden Betriebswirten und Ingenieuren befähigt werden, die rundprinzipien wichtiger Anwenderalgorithmen sowie branchenübliche Lösungsansätze kennenlernen. Ziele: Vermittlung praktischer Kenntnisse, so dass eine Verständigung mit Spezialisten möglich ist Legen von rundlagen für eine weiterführende Ausbildung Der wachsende Nachwuchsmangel in allen Technikdisziplinen sichert gute Berufschancen. Aktuelle Informationen zur Vorlesung und Übung, Übungsaufgaben sowie Literaturangaben finden Sie unter: Allgemeine Informationen zum Lehrstuhl finden Sie unter: Namen der Mitarbeiter, Raum- und Telefonnummern, -Adressen Informationen zu weiteren Lehrveranstaltungen (siehe auch Abschnitt 0.2) Themen für roßer Beleg, Bachelor-, Bakkalaureats-, Diplom- und Masterarbeiten (abhängig von Studiengang und ordnung) Überblick über Forschungsprojekte Auflistung der Kooperationspartner 7

8 Kapitel 0 Motivation 0.2. Weitere Lehrveranstaltungen Abhängig von Studiengang und ordnung sind nach Abschluss dieser Lehrveranstaltung weitere Lehrveranstaltungen des Lehrstuhls Technische Informationssysteme in mehreren Modulen belegbar (siehe Tabellen 0_0 bis 0_30). Über die Inhalte und das Organisatorische informieren Sie sich bitte auf den zur Lehrveranstaltung gehörenden Webseiten. Lehrveranstaltung / Modul Angewandte Datenanalyse und Modellbildung Angewandte Zeitreihenanalyse Drahtgebunde und drahtlose Sensor- Aktor-Netzwerke Einführung in die Angewandte Informatik Hauptseminar Technische Informationssysteme Komplexpraktikum Technische Informationssysteme Monitoring und Diagnose Proseminar Technische Informationssysteme Praktikum Technische Informationssysteme Projekt Technische Informationssysteme Quantitative Methoden zur Qualitätssicherung Softwareentwicklung für Echtzeitsteuerungen INF-B- 50 INF-B- 520 INF-B- 60 Tabelle 0_0: Weitere Lehrveranstaltungen für den Bachelor-Studiengang Informatik. 8

9 Kapitel 0 Motivation Lehrveranstaltung / Modul Angewandte Datenanalyse und Modellbildung Angewandte Zeitreihenanalyse Drahtgebunde und drahtlose Sensor- Aktor-Netzwerke Einführung in die Angewandte Informatik Hauptseminar Technische Informationssysteme Komplexpraktikum Technische Informationssysteme Monitoring und Diagnose Proseminar Technische Informationssysteme Praktikum Technische Informationssysteme Projekt Technische Informationssysteme Quantitative Methoden zur Qualitätssicherung Softwareentwicklung für Echtzeitsteuerungen INF- BAS INF- VERT INF- AQUA INF- MA-PR INF- PM- FOR INF- PM- ANW INF- PM- FP INF- PM- FPA Tabelle 0_20: Weitere Lehrveranstaltungen für den Master-Studiengang Informatik. 9

10 Kapitel 0 Motivation Lehrveranstaltung / Modul Angewandte Datenanalyse und Modellbildung Angewandte Zeitreihenanalyse Drahtgebunde und drahtlose Sensor- Aktor-Netzwerke Einführung in die Angewandte Informatik Hauptseminar Technische Informationssysteme Komplexpraktikum Technische Informationssysteme Monitoring und Diagnose Proseminar Technische Informationssysteme Praktikum Technische Informationssysteme Projekt Technische Informationssysteme Quantitative Methoden zur Qualitätssicherung Softwareentwicklung für Echtzeitsteuerungen INF-D- 520 INF- BAS INF- VERT INF-D- 940 INF- PM- FOR INF- PM- ANW INF- PM- FP INF- PM- FPA Tabelle 0_30: Weitere Lehrveranstaltungen für den modularisierten Diplom-Studiengang Informatik. 0

11 Kapitel Objekte und Systeme. Objekte und Systeme Rechner müssen in der Praxis mit Prozessen, Anlagen und Komponenten verschiedenster Branchen in Wirtschaft und Technik zusammenwirken. Um die dabei entstehende Komplexität zu beherrschen, muss jede Software in Objekte und jeder Prozess in Systeme zerlegt werden, um sie arbeitsteilig zu entwickeln und anschließend zusammenzufügen. Als Mitwirkende an dieser Arbeitsteilung müssen Informatiker grundsätzliche Eigenschaften der Schnittstellen (Signale) und Systeme verstehen, um die eigene Aufgabenstellung zu erkennen und abzugrenzen. Die Studenten sollen zur Zusammenarbeit mit den als Anwender auftretenden Betriebswirten und Ingenieuren befähigt werden, die rundprinzipien wichtiger Anwenderalgorithmen sowie branchenübliche Lösungsansätze kennenlernen. Ein Computer kann als Informations- bzw. Steuerungssystem benutzt werden, indem man ihn mit einem Prozess seiner Umgebung verbindet. Allgemeines Informationssystem Technisches Informationssystem allgemeines Informationssystem allgemeines Informationssystem technisches Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) I-Eingabe Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) Rechner Informations-Verarbeitung I-Ausgabe IS Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) I-Eingabe I-Nutzung Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) Rechner Informations-Verarbeitung I-Ausgabe I-ewinnung IS TIS Stell-Peripherie (z.b. Aktoren) Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Beispiele: Technischer Prozeß Textverarbeitung Entwurf von Zeichnungen/raphiken Tabellenkalkulation WORD CorelDraw, AUTOCAD ECEL Materie Energie Information transportiert wird umgeformt Störgrößen IS Datenbanken Programmentwicklung DBASE C+ + Compiler (Um)Welt TIS TIS IS Bild _0, _20: rundstruktur eines allgemeinen bzw. technischen Informationssystems D Prozess. Unter einem Prozess versteht man die Umformung, Speicherung und/oder den Transport von Materie, Energie und/oder Information.

12 Kapitel Objekte und Systeme Neben allgemeinen, kommerziellen Prozessen aus Betriebswirtschaft, Finanzwesen, Personalwesen, Verwaltung, welche über die übliche Ein-/Ausgabeperipherie mit dem Computer kommunizieren, erfordern technische Prozesse zusätzliche Peripherie. D D D Technischer Prozess. Ein Prozess, dessen Zustandsgrößen (Eingangs- und Ausgangsgrößen) mit technischen Mitteln gemessen, gesteuert und/oder geregelt werden können, heißt technischer Prozess. Sensoren nehmen Informationen über den Zustand eines technischen Prozesses durch Messung einer physikalischen röße auf und leiten diese über die Messperipherie zum Computer. Aktoren. Will der Computer den technischen Prozess aktiv beeinflussen, so gibt er Informationen an die Stellperipherie aus, welche über Aktoren in den Prozess eingreift. T Klasse technischer Prozesse Sensoren Aktoren Automation Messtechnik Nachrichtentechnik Temperaturfühler Druckaufnehmer Inkrement-Wegsensor Drosselventil Motor asanalyse-sonde EK-Sonde Oszilloskop-Tastkopf Mikrofon CCD-Kamera Magnetband-Tonkopf Lautsprecher Bildschirm Tabelle _0: Beispiele für Sensoren und Aktoren T Branche Wissenschaft Handel Nachrichtentechnik Produktionstechnik Rundfunk Versorgungstechnik Verkehrstechnik Medizin Konsumgüter Umwelttechnik Luft- und Raumfahrt Typische Beispiele für technische Prozesse Experimentalaufbau Hochregallager Telefonnetz Roboter, chemische Fabrik, Kraftwerk Übertragungssystem as-, Wasser-, Elektro-Netz Automobil, Schiff, Bahn-Streckennetz Diagnosegerät Videorecorder, Waschmaschine Kläranlage Satellit, Flugzeug Tabelle _20: Beispiele technischer Prozesse in ausgewählten Branchen 2

13 Kapitel Objekte und Systeme Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) I-Eingabe Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) I-Ausgabe Rechner Informations-Verarbeitung I-Nutzung Stell-Peripherie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor 00 % M Z schließen I-ewinnung Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Sensor (Fotozelle) Lampe 0 % Flügelrad Durchfluß Schieberposition Strömungsgeschwindigkeit VS Bild _30: Objekte und Systeme in der ebäudeautomation T Prozess Systeme Signale Funk-Übertragung Antenne, Satellit, Atmosphäre Antennen-Signale Aktienbörse Händler Kauf-Order-Kurse Audio-Übertragung Server, Vermittlung Ton-Signale Supermarkt Käufer, Waren Preise, Umsatz Video-Technik Kamera, Kamera- Anschlusskarte Licht (Kamera-Optik), Video- Signal ebäudeautomation Heizkörper, Heizkessel, Temperatursensor, Ventil Wasser- Strömungsgeschwindigkeit, Temperatur Tabelle _30: Systeme und Signale in verschiedenen Prozessen 3

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15 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme 2. Eigenschaften dynamischer Systeme 2.. Allgemeine Systemeigenschaften Komplexe Sachverhalte kann man nur beherrschen, wenn man sie in kleine, einfach behandelbare Teilprobleme zerlegt. Während das Zerlegen von Software in Objekte noch immer als relativ neue und moderne Methode gilt, ist ein ähnliches Verfahren in allen Fachrichtungen der Technik seit etwa 50 Jahren geläufig: Das Zerlegen von Prozessen in Systeme. Software: objektorientiert Objekt System Prozess: systemorientiert Schnittstelle: (Botschaften) Schnittstelle: (Signale) information hiding Bild 2._0: Allgemeine Systemeigenschaften Die Betrachtung von Systemen und deren Wechselwirkung ist für Informatiker nicht nur wegen dieser Ähnlichkeiten und des großen zeitlichen Vorsprungs der Systemtheorie interessant. Die Objekte anwendungsorientierter Software müssen stets mit Prozessen aus dem Branchenumfeld der Kunden zusammenwirken. Diese Wechselwirkung und die dafür notwendigen Schnittstellen muss der Informatiker mit dem jeweiligen Branchenspezialisten aushandeln und in Lastenheften und Verträgen rechtsverbindlich fixieren. Bei der Formulierung der geforderten Software-Eigenschaften ist ihm dieser Branchenspezialist jeweils weit überlegen, da er die Interna seiner Branche besser kennt, und er wird dies im Streitfalle auch zu seinen unsten ausnutzen. Es gibt aber branchenübergreifende rundgesetze über Aufbau und Verhalten von Systemen sowie ihre Wechselwirkung mit der Software über Schnittstellen, deren Kenntnis auch branchenfremden Informatikern die Einarbeitung in den fremden Prozess erleichtert. Nachfolgend sollen diese rundkenntnisse vermittelt werden. Der rundgedanke besteht darin, Prozesse in Systeme zu zerlegen, die über Signale miteinander kommunizieren. D System. Ein System ist ein natürliches oder künstliches ebilde, das (mindestens) ein Eingangssignal entgegennimmt und (mindestens) ein Ausgangssignal abgibt. 5

16 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme emeinsamkeiten von Objekten und Systemen: a) Ihr Zusammenwirken ist nur über Schnittstellen möglich: Botschaften zwischen Objekten Signale zwischen Systemen b) Es interessiert nur ihr Verhalten an den Schnittstellen, nicht ihr interner Aufbau (information hiding): Verbergen und Schützen der internen Implementierung Es reicht aus, das Verhalten an den Schnittstellen zu kennen. c) Es gibt bewährte Ordnungsprinzipien zur Beherrschung der Vielfalt: Klassenbildung Instanziierung 2... Signale D Signal. Unter einem Signal versteht man den zeitlichen Verlauf x(t) einer (physikalischen) röße, welcher Informationen in sich trägt. Auf dem Wege ins Innere des Computers wird das Signal von seiner physikalischen Trägergröße gelöst und als abstrakte Zahlenfolge dargestellt. Dazu führt die Messperipherie zu diskreten Zeitpunkten Eingabebefehle des Computers aus (Abtastung). Alle zwischen diesen Abtastzeitpunkten liegenden Signalwerte werden vom Computer nicht wahrgenommen, so dass ein zeitdiskretes Signal entsteht. Die Umwandlung des Messwertes in eine Festpunkt- oder leitpunktzahl wird durch einen Analog-Digital-Wandler (ADU) ausgeführt. Da die enauigkeit vom gewählten Zahlenformat mit seinem endlichen Wertevorrat begrenzt wird, entsteht ein wertdiskretes Signal. D Zeitdiskretes Signal. Unter einem zeitdiskreten Signal wird eine aus unendlich vielen Elementen bestehende Zahlenfolge der Form { x( i)} {..., x( ), x(0), x(), x(2),...} verstanden, deren Argumentvariable i ausschließlich ganzzahlige Werte annehmen kann und diskreten Zeitpunkten t = t i, t i < t i+ zugeordnet ist. Sind diese Zeitpunkte äquidistant (x(i) x(it)) so nennt man die Folgeelemente x(i) auch Abtastwerte, die Konstante T auch Abtastperiode, ihren Kehrwert f a = /T auch Abtastfrequenz. Alle übrigen Signale heißen zeitkontinuierlich. D Wertdiskretes Signal. Ein Signal x(t) ist wertdiskret, wenn seine abhängigen Variablenwerte x zu einer endlichen Menge von Zahlen (Wertevorrat) gehören. Alle anderen Signale heißen wertkontinuierlich. 6

17 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme zeitkontinuierlich t t zeitdiskret t t wertdiskret wertkontinuierlich Bild 2.._0: Signalklassen 2..2 Systeme D System. Ein System ist ein natürliches oder künstliches ebilde, das (mindestens) ein Eingangssignal x(t) entgegennimmt und (mindestens) ein Ausgangssignal y(t) abgibt. Statisches System. Ein statisches System ist dadurch gekennzeichnet, dass jeder Ausgangswert y(t) stets ausschließlich von dem zum gleichen Zeitpunkt t anliegenden Eingangswert x(t) abhängt. Als statische Kennlinie wird die Funktion einer Ausgangsgröße y von der Eingangsgröße x bezeichnet. 00 Ausgabe y 50 erade y = Bild 2..2_0: Statisches System mit linearer Kennlinie y = f(x) Im Beispiel des Ventils ist die Strömungsgeschwindigkeit VS der Flüssigkeit im Rohr statisch von der Schieberposition PS des Ventils abhängig. 7

18 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme x System y y= f(x) Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) I-Eingabe I-Nutzung Stell-Peripherie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M 00 % Rechner Informations-Verarbeitung Z schließen Schieber- Schieber Strömungsposition PS geschwindigkeit VS VS= f(ps) Bild 2..2_30: Statisches System Strömungs- eschwindigkeit VS [%] 00 % 50 % 0 % Schieberposition 0 % 0 % 50 % 00 % Schieberposition PS [%] Bild 2..2_20: Beispiel für ein statisches System; Durchfluss durch ein Ventil Bild 2..2_35: Statische Kennlinie des Ventils D Dynamisches System. Ein dynamisches System ist dadurch gekennzeichnet, dass ein Ausgangswert y(t) zu mindestens einem Zeitpunkt t auch von den Eingangswerten x(t) zu anderen Zeitpunkten t t abhängt. Als dynamische Kennfunktion wird das Signal y(t) am Ausgang eines Systems bezeichnet, sofern an dessen Eingang ein bekanntes Signal x(t) anliegt. x y x System y t t Bild 2..2_40: Dynamisches System mit dynamischer Kennfunktion y = f(t) 8

19 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Dynamische Systeme sind also stets mit irgendeiner Art von edächtnis ausgestattet, das den Einfluss der Vorgeschichte speichert. Dagegen sind statische Systeme immer gedächtnislos. Bei physikalischen Systemen hängen die dynamischen Eigenschaften (das edächtnis ) mit einem Energiespeicher zusammen, z. B.: Elektrische Kapazität: Speicher für elektrische Ladung Elektrische Induktivität: Speicher für magnetisches Feld Feste Körper: Speicher für Bewegungsenergie oder Lageenergie Körper, Flüssigkeiten, ase: Speicher für Wärmeenergie. Verhält sich ein Rechner wie ein dynamisches System, so benutzen seine Software- Algorithmen Datenspeicher. Wirkt ein Rechner mit einem technischen Prozess zusammen, so könnte er auch als System im oben genannten Sinne aufgefasst werden, da er über seine Sensoren Eingangssignale aufnimmt und über seine Aktoren Ausgangssignale abgibt. Da die Messperipherie durch den Abtastvorgang alle Eingangssignale in zeitdiskrete Signale umformt und der Rechner sie in dieser zeitdiskreten Form weiterverarbeitet und an seine Stellperipherie ausgibt, werden Rechner auch als zeitdiskrete Systeme bezeichnet. D Zeitdiskretes System. Ein zeitdiskretes System operiert über Zahlenfolgen (zeitdiskrete Signale). Verfügt ein solches System über einen Eingang und einen Ausgang, so verknüpft es eine Eingangsfolge {x(i)} mit einer Ausgangsfolge {y(i)}. { y( i)} f [{ x( i)}] x x() x(2) x(3) x(4) x zeitdiskretes System y y y() y(2) y( 3) y(4) i i Bild 2..2_50: Verhalten eines zeitdiskreten Systems Systeme ohne zeitdiskretes Verhalten werden zeitkontinuierlich genannt. Technische Prozesse sind meist zeitkontinuierliche Systeme, da die physikalischen rößen der Eingangssignale x(t) und Ausgangssignale y(t) in der Regel zeitkontinuierlich verlaufen. Die folgenden Betrachtungen dienen also sowohl der Verhaltensbeschreibung und Modellierung technischer Prozesse als auch der Analyse der mit ihnen zusammenwirkenden Rechner. 9

20 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Schwach kausale Systeme reagieren auf gleiche Ursachen x auch stets mit gleichen Wirkungen y. In der Praxis ist ihr Verhalten meistens trotzdem unvorhersehbar, weil sich exakt gleiche Ursachen niemals einstellen lassen, selbst kleinste Abweichungen davon aber bereits völlig andere Wirkungen hervorrufen können. In einer Welt schwach kausaler Systeme kann sich der Mensch nur schwer orientieren; diese Kausalität hat für ihn deshalb einen geringen Wert. Stark kausale Systeme reagieren auf ähnliche Ursachen x auch stets mit ähnlichen Wirkungen y. Die meisten Systeme der Natur weisen zum lück ein derart vorhersehbares Verhalten auf. Sie erleichtern dem Menschen die Orientierung und ermöglichen ihm zielgerichtetes Handeln. Stattdessen bauen viele Kulturleistungen des Menschen auf schwach kausalen Prinzipien auf, z.b. Sprache ( Kopf, Zopf, Topf ) Zahlensysteme ( 000, 00 ) Rechner. Auch wenige Naturfunktionen sind schwach kausal, z.b. die ene der DNS. Bei all diesen Beispielen wird auf die Vorteile der starken Kausalität nur aus Effizienzgründen verzichtet: weil schwach kausale Systeme aufwandsarm und ohne Redundanz Informationen speichern können. Die strikteste und mathematisch exakteste Form des stark kausalen Verhaltens findet man bei linearen Systemen. D Lineares statisches System. Ein statisches System ist linear, wenn für die aktuellen Werte der Überlagerungssatz gilt (Additivität): f ( x x2) f ( x ) f ( x2). Die statische Kennlinie des Beispiels in Bild 2..2_0 ist linear. Statische Systeme, für die der Überlagerungssatz nicht gilt, heißen nichtlinear. D Lineares dynamisches System. Ein zeitkontinuierliches dynamisches System ist linear, wenn für die Ein- und Ausgangssignale in Vergangenheit und egenwart der Überlagerungssatz gilt. Es ist also linear, wenn für beliebige Zeitfunktionen gilt: f [ x ( t) x2( t)] f [ x ( t)] f [ x2( t)]. 20

21 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Bild 2..2_60: Verhalten eines linearen dynamischen Systems Bild 2..2_70: Systemklassen 2

22 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Signalflussgraphen Mehrere elementare Teilsysteme wirken an ihren Schnittstellen zusammen, indem Ausgangssignale y des einen Teilsystems auf nachfolgende Teilsysteme als Eingangssignal x einwirken. Auf diese Weise lassen sich auch komplexe esamtsysteme als Zusammenschaltung vieler einfacher Teilsysteme darstellen. Dies wird durch Signalflussgraphen anschaulich dargestellt, welche deshalb Bestandteil jedes Lastenheftes bzw. Vertrages sein sollten. Position asstrom Temp. Dampfströmungs- [cm] Ventil [m 3 /min] Brenner [ C] Kessel geschw. [m/s] Turbine Drehzahl [U/min] enerator Elektrische Spannung [V] Bild 2..3_0: Darstellung der Teilsysteme eines Kraftwerkes als Signalflussgraph Reihenschaltung von Teilsystemen 2 3 x x 2 x 3 y x 2 = x x 3 = 2 x 2 Für lineare und statische Teilsysteme gilt: y x x n ges 3 2 i x x x x i Parallelschaltung von Teilsystemen x x 2 x 2 = x 2 x 3 x y x 3 = 2 x 3 x 4 x 4 = 3 x 22

23 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme 23 Für lineare und statische Teilsysteme gilt: n i ges i x x x x x x x x x y Rückkopplungsschaltungen + Mitkopplung - egenkopplung a x y b = 2 y a = b + x = 2 y + x y = a = 2 y + x b y - 2 y = x y ( - 2 ) = x x y 2 Für lineare und statische Teilsysteme gilt also: x x x x y x y ges Für 2 entstehen unendliche Ausgangssignale und das esamtsystem wird instabil. Das Verhalten von Rückkopplungsschaltungen ist durch die geschlossenen Signalkreise nur schwer einschätzbar. Es verdient daher bei Lastenheften und Verträgen in allen Branchen besondere Beachtung! Vorsicht: Bei Mitkopplung geht die Linearität verloren. ges ist arbeitspunktabhängig und damit als Systemparameter sinnlos. 2

24 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Umformungsregeln für lineare statische Systeme Besteht der Signalflussgraph eines Systems aus einer Reihenschaltung statischer Teilsysteme, so ändert sich die statische esamtkennlinie dieses Systems beim Vertauschen der Reihenfolge im raphen nicht, wenn alle Teilsysteme linear sind. x y x y 2 = 2 x y = x x 2 x 2 y Für Systeme mit nichtlinearen Anteilen (NL) gilt: x y x y NL NL 24

25 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme 2.2. Zeitkontinuierliche Systemtypen und ihre Software-Modelle ewinnung von Modellen Sobald die Teilsysteme nicht mehr statisch, sondern dynamisch sind, lassen sich die Signalflussgraphen mathematisch nicht mehr so einfach behandeln wie im letzten Kapitel. Umso nötiger werden Methoden, mit denen man die inneren Eigenschaften dieser Systeme klassifizieren und ihr äußeres Verhalten vorhersagen kann. Die wichtigste Methode besteht darin, für diese Systeme mathematische Modelle zu entwickeln, diese auf dem Rechner nachzubilden und ihr Zeitverhalten dort durch Rechnersimulation zu studieren. D Modell. Die esamtheit der mathematischen leichungen, die den Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgrößen eines Systems beschreibt, wird mathematisches Modell genannt. Ihre Implementation auf einem Rechner heißt auch Rechnermodell. Bei der Modellierung eines Systems soll die vom Signalflussgraphen bekannte Zerlegung in Teilsysteme beibehalten werden. Da bei der Implementierung im Rechner der Signalfluss durch einen Datenfluss nachgebildet wird, heißen die auf Implementierung gerichteten raphen auch Datenflussgraphen. D Datenflussgraph. Ein Datenflussgraph ist ein bipartiter gerichteter raph, dessen Knoten wie folgt definiert werden: Plätze stellen Datenspeicher (Variablen) dar, Operatoren (Transitionen) symbolisieren verarbeitende Operationen. Die Richtung der Datenflüsse wird durch die Kantenrichtung festgelegt. messen Amplitude Amplitude Zeit t [ms] max Bild 2.2._0: Beispiel Datenflussgraph (y = a (b +c)) Zeit t [ms] 0 min Amplitude Zeit t [ms] positionieren Bild 2.2._5: Zeitverlauf von Signalen, die einen Datenflussgraphen durchlaufen 25

26 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme D Zeitkontinuierliche Modelle. Das Ein-/Ausgangsverhalten dynamischer linearer Systeme wird zumeist durch Differenzialgleichungen beschrieben, die entweder durch eine theoretische Analyse des Systems oder durch empirische Messungen und anschließende Approximation gewonnen werden. Bild 2.2._20: Möglichkeiten zur ewinnung linearer Rechnermodelle Theoretische Analyse B Beispiel: Behälter eschwindigkeit v e A 2 Fläche v e (t) System p(t) A Fläche p Pegel Bilanzgleichungen = Erhaltungssätze für eld, Masse, Energie, Kraft, Impuls, Volumen von Flüssigkeiten und Festkörpern,... Bild 2.2.._0: Behälter Bilanzgleichung: Volumen eingeflossenes Volumenelement: dv = A dl = A v e dt gespeichertes Volumenelement: dv 2 = A 2 dp Bilanzgleichung: dv 2 = dv 26

27 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme A 2 dp = A v e dt dp dt A A 2 v e k v e mit k A A 2 (Differenzialgleichung) p k ve dt v (t) e Sprung p(t) Sprungantwort v 0 Anstieg = k v0 t Bild 2.2.._20: Sprung v e (t) am Eingang des Behälters Sprungantwort p(t) des Behälter- Modells v (t) e p(t) t t Bild 2.2.._30: Beispiel für den Zeitverlauf des Signals v e (t) Antwort des Behälter-Modells auf das Signal v e (t) Nachbildung im Rechner. Die Nachbildung (Modellierung) des zeitkontinuierlichen Systemverhaltens durch einen Rechner wird meist aus einem der beiden folgenden ründe vorgenommen: Der Rechner bildet das Systemverhalten nach, damit am Modell Simulationsuntersuchungen möglich werden. Der Rechner bildet das Systemverhalten nach, weil es sich als Regel- bzw. Steueralgorithmus eignet. Diskretisierung zu Differenzengleichungen. Der Rechner kann zeitkontinuierliche Systeme nur näherungsweise nachbilden, da er sich selbst wie ein zeitdiskretes System verhält. Zur Modellierung zeitkontinuierlicher Systeme müssen daher verhaltensähnliche zeitdiskrete Modelle entwickelt werden. Die Diskretisierung durch eine Rechteckapproximation macht den differenziellen renzwertübergang rückgängig und führt bei äquidistanter Abtastung mit konstanter Abtastperiode T zu einfachen Differenzengleichungen. 27

28 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme y y(i) y i t T Für das Beispiel: Bild 2.2.._60: Diskretisierung durch Rechteckapproximation dy y y( it ) y(( i ) T) y( i) y( i ) oder dt t T T dp dt k v p k t e v e p T p( i) p( i ) k v T e ( i) p( i) T k ve ( i) p( i ) ( rekursivesummenform el) p( i) T k v ( i) T k v ( i ) e i e p( i) T k v ( j) ( Differenze ngleichung ) e j Wendet man diese Methode der Diskretisierung auf beliebige Differenzialgleichungen an, so entstehen Differenzengleichungen, die eine definierte Struktur besitzen, welche in ihrer allgemeinen Form im Voraus bekannt ist und allgemeines lineares Abtastsystem genannt wird. Alle praktisch denkbaren Systemtypen führen stets zu Spezialfällen dieser Differenzengleichung, welche durch Weglassen einiger Terme aus der allgemeinen Form hervorgehen. Allgemeines lineares Abtastsystem. Diskretisiert man ein zeitkontinuierliches System, das einer Differenzialgleichung beliebig hoher Ordnung m, n gehorcht, so erhält man im allgemeinen Falle die Differenzengleichung: F y( it ) b 0 x( it ) b a y(( i ) T) a x(( i ) T) b 2 2 x(( i 2) T)... b y(( i 2) T)... a n m y(( i n) T) x(( i m) T) 28

29 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Diese leichung wird vom nachfolgenden Datenflussgraphen repräsentiert: Bild 2.2.._70: Datenflussgraph eines allgemeinen linearen Abtastsystems (Direktform) 29

30 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme rundtypen linearer Systeme Elementare Systemtypen. Die Tafel zeigt die einfachsten und praktisch häufigsten Systemtypen, welche jeweils elementare Spezialfälle des allgemeinen linearen Abtastsystems sind. Bild _0: Verhalten elementarer Systemtypen und ihre Modelle 30

31 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme D Komplexe Systeme. Das Verhalten komplexer Systeme kann auch durch Modelle nachgebildet werden, die durch Zusammenschaltung elementarer Systeme nach den für Datenflussgraphen/Signalflussgraphen gültigen Regeln entstehen. Zur Bezeichnung dieser neuen Systeme ist eine Nomenklatur gebräuchlich, welche die elementaren Namen durch Bindestriche trennt, wenn sie in einer Reihenschaltung stehen (z.b. P-I-D) und auf Bindestriche verzichtet, wenn sie durch Parallelschaltung verbunden wurden (z.b. PID). Zusammenschaltung von rundtypen Reihe: Parallel: Rückkopplung: P I D P I Schreibweise: mit Bindestrichen ohne Bindestriche keine Festlegung (P-I-D) (PID) D P x I + y D Bild _20: Struktur und Verhalten (Sprungantwort) eines PID-Systems 3

32 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Modellbildung durch Messungen In der Praxis sind Systeme oft so komplex, dass eine theoretische Analyse scheitert. Dann ist auch eine Modellbildung auf diesem Wege nicht möglich und man muss auf empirische Methoden ausweichen. Dort werden die Systeme mit definierten Testsignalen am Eingang stimuliert und anschließend ihre entsprechenden Antworten am Ausgang beobachtet. Danach sucht man nach Modellen, welche dieses äußere Verhalten näherungsweise nachbilden. Ähnlichkeiten der inneren Funktionszusammenhänge zwischen Modell und Original sind nicht unbedingt erforderlich. Bei der Anwendung dieser Methode geht man in folgenden Schritten vor: a) Messung mit Testsignalen: D Testsignal. Ein Testsignal ist ein typisches Signal, das zur Prüfung oder Identifizierung eines Systems dient. Es wird zu diesem Zweck als Eingangssignal x(t) dem System zugeführt und anschließend die Antwort (Kennfunktion) des Systems in Form des resultierenden Ausgangssignals y(t) gemessen. x y x System y t t Bild _0: Sprung als Testsignal x(t) und Sprungantwort y(t) des Systems b) Approximation durch bekannte Modelle: Man sucht in Modellkatalogen, Tabellen usw. zunächst nach elementaren Systemtypen, die nach Anregung durch das Testsignal mit einem ähnlichen Ausgangssignal antworten würden. Findet man keinen geeigneten elementaren Systemtyp, so setzt man mehrere zu einem komplexen Datenflussgraphen zusammen, um das gemessene Verhalten besser nachzubilden. c) Beliebige Nutzung der Modelle: Zeigen Original und Modell bei der Anregung durch das gewählte Testsignal ähnliches Verhalten, so ist das so gefundene Modell anschließend auch für andere Signale beliebig gültig. Für lineare Systeme gilt: Wenn Original und Modell (-gleichungen) bei einem Experiment auf ein Testsignal ähnlich reagieren, dann Verhalten sie sich bei allen Experimenten und Testsignalen ähnlich, Beschreiben die Modellgleichungen das Verhalten des Originals stets adäquat 32

33 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme d) Quantitative Bewertung der Modellgüte Ein Maß dafür, wie gut das gefundene Modell das gemessene Verhalten des Originals nachbildet, kann anschließend durch Vergleiche beider Signale (Antworten) gebildet werden. Man bildet zu jedem Zeitpunkt t die Differenz zwischen dem Zeitverhalten o(t) des Originals und dem Zeitverhalten m(t) des Modells. y ütekriterien Original o(t) Modell m(t) Betragsmodellgüte: M ( o( t) m( t) dt Quadratische Modellgüte: 2 M ( o( t) m( t)) dt t Bild _20: Formeln zur quantitativen Bewertung der Modellgüte 33

34 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme 2.3. Theorie linearer Systeme Manchmal sind zwar die Messungen mit Testsignalen am Originalsystem erfolgreich, die anschließende Suche nach einem adäquaten Modell bleibt jedoch ergebnislos. Dann können auch die als Antwort gemessenen und als Tabelle vorliegenden Zeitverläufe selbst benutzt werden, um das künftige Systemverhalten bei beliebigen Eingangssignalen vorherzusagen. x y Zeit t [ms] Zeit t [ms] bekannter Verlauf: bekannte Eigenschaften: gesuc hter Verlauf: Bild 2.3._5: Vorhersage des Systemverhaltens rundsätzliche Methode Berechnung durch Superposition. Beim Umgang mit dynamischen Systemen ist in den meisten Fällen der Verlauf des Eingangssignals x(t) bekannt und der dadurch am Systemausgang hervorgerufene Signalverlauf y(t) gesucht. Sowohl bei der theoretischen Berechnung als auch bei empirischen Messungen lässt sich diese Frage besonders effizient und allgemeingültig beantworten, wenn man die Funktion x(t) in einfach behandelbare Teilfunktionen (Elementarsignale) x n (t) zerlegt, die durch diese am Systemausgang hervorgerufenen Teilverläufe y n (t) ermittelt und diese am Ausgang wieder additiv zur esamtfunktion y(t) zusammenfügt (Superposition). Die Theorie linearer Systeme zeigt, dass dieses Verfahren anwendbar ist, wenn die Systeme kausal, zeitinvariant und linear sind. Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition) x(t) y(t) System = = x (t) + x 2 (t) +... y (t) + y 2 (t) +... Bild 2.3._0: Berechnung des Ausgangssignals y(t) durch Zerlegung und Superposition 34

35 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme ültigkeitsvoraussetzungen Drei Forderungen an die Signale: Will man ein beliebiges Eingangssignal x(t) in einfache Elementarsignale zerlegen, so sollten diese drei Bedingungen erfüllen: a) jeder Signalverlauf x(t) sollte aus ihnen zusammensetzbar sein b) sie sollten mathematisch einfach behandelbar sein c) sie sollten bei Experimenten auch praktisch leicht erzeugbar sein D Elementarsignal. Unter einem Elementarsignal versteht man eine Klasse von Zeitfunktionen, aus denen jeder beliebige Signalverlauf zusammensetzbar ist. Die mathematischen Operationen der Zerlegung bzw. Superposition werden auch als Transformation bezeichnet. Der Rechteckimpuls erfüllt alle drei Bedingungen und eignet sich daher als Elementarsignal. Will man einen beliebigen Signalverlauf x(t) durch Rechteckimpulse nachbilden, so wird diese Approximation umso genauer, je schmaler man die Zeitdauer wählt x(t) x(t) Fläche = 0 t t Bild 2.3.2_0: Einheits-Rechteckimpuls als rundlage des Dirac-Stoßes Bild 2.3.2_20: Zerlegung eines beliebigen Eingangssignals x(t) in Rechteckimpulse verschiedener Amplitude Im renzfall geht der Einheits-Rechteckimpuls in den normierten Dirac-Stoß (Impuls) (t) über: 0 Fläche Amplitude (t) Diese unendliche Amplitude wird grafisch durch einen Pfeil symbolisiert. t Bild 2.3.2_30: Dirac-Stoß 35

36 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Bei der Zerlegung eines Signalverlaufes x(t) in Stöße muss deren Amplitude entsprechend angepasst werden. Drei Forderungen an die Systeme: Die Superpositionsmethode ist nur erfolgreich anwendbar, wenn auch die beteiligten Systeme drei Voraussetzungen erfüllen (LTI-Systeme, linear time invariant):. Kausalität (jede Wirkung ist auf eindeutige Weise von einer Ursache abhängig) 2. Zeitinvarianz (das System darf seine Verhaltenseigenschaften im Laufe der Zeit nicht willkürlich ändern) 3. Linearität (das System gehorcht dem Überlagerungssatz) Zur Illustration wird in den folgenden Beispielen ein mit in der Amplitude reduzierter schmaler Einheits-Rechteckimpuls bzw. Dirac-Stoß als Eingangssignal benutzt. Die Antwort des Beispiel-Systems soll ein einfacher Zeitverlauf g(t) sein. x(t) = (t) y(t) g(t) = x y System 0 t t Bild 2.3.2_90: Verhalten eines einfachen Beispiel-Systems Als erste Voraussetzung der Superpositionsmethode stellt die Kausalität sicher, dass jede Wirkung auf eindeutige Weise von einer Ursache abhängig ist: D Kausales System. Ein System wird kausal genannt, wenn jedes Ausgangssignal y(t) bis zu irgendeinem Zeitpunkt t ausschließlich vom Verlauf des zugehörigen Eingangssignals x(t) bis zu diesem Zeitpunkt abhängt. Demnach ist ein System kausal, wenn aus x (t) x 2 (t) für t < t bei beliebigem t stets folgt. y (t) = f (x (t)) f (x 2 (t)) = y 2 (t) für t < t Systeme, die dieses Merkmal nicht besitzen, heißen nichtkausal. Da reale natürliche Systeme immer kausal sind, spricht man auch von physikalischer Realisierbarkeit, wenn Kausalität gemeint ist. 36

37 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Beim nachfolgenden Beispiel im Bild zeigen die ersten beiden Experimente kausale Eigenschaften; das letzte Experiment offenbart jedoch nichtkausales Verhalten. Bild 2.3.2_00: Beispiele für kausales (oben) und nichtkausales (unten) Systemverhalten Als zweite Voraussetzung der Superpositionsmethode stellt die Zeitinvarianz sicher, dass das System seine Verhaltenseigenschaften im Laufe der Zeit nicht willkürlich ändert: D Zeitinvariantes System. Ein System heißt zeitinvariant, wenn es auf ein zeitlich verschobenes Eingangssignal x ( t ) mit einem entsprechend verschobenen Ausgangssignal y ( t ) antwortet: y ( t ) f ( x( t )) Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so spricht man von einem zeitvarianten System. wenn: x(t) y(t) 2 dann: t[s] 2 t[s] 2 t[s] 2 t[s] Bild 2.3.2_0: Beispiel für ein zeitinvariantes System 37

38 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Als dritte Voraussetzung der Superpositionsmethode stellt die Linearität sicher, dass das System dem Überlagerungssatz gehorcht. Die Definition des linearen dynamischen Systems erfolgte bereits im Kapitel 2..2, so dass an dieser Stelle nur noch ein erläuterndes Beispiel mit Hilfe des ausgewählten Einheits-Rechteckimpulses illustriert werden soll: am Eingang x wenn System y am Ausgang 2 x (t) = (t) 2 y (t) = g(t) Zeit t [ms] Zeit t [ms] dann ist bei einem zeitinvarianten System auch: 2 x 2 (t) = (t- 2 y 2 (t) = g(t- ) Zeit t [ms] dann gilt bei einem linearen System für die Summe beider Signale: Zeit t [ms] 2 x (t) + x 2 (t) 2 y (t) + y 2 (t) Zeit t [ms] Zeit t [ms] Bild 2.3.2_20: Beispiel zur Erläuterung der Linearität mit Hilfe des Rechteckimpulses x ( t) ( t) und der einfachen Antwort y ( t) g( t) Aus dieser Eigenschaft linearer Systeme folgt sofort eine weitere: Wenn das Signal x 2 (t) am Systemeingang mit einem konstanten Faktor (im Beispiel x ( ) ) multipliziert wird, dann erscheint am Systemausgang das zugehörige Signal ebenfalls mit diesem Faktor multipliziert. am Eingang x wenn System y am Ausgang 2 x 2 (t) = (t- y 2 (t) = g(t- ) Zeit t [ms] Zeit t [ms] dann gilt bei einem linearen System nach der Multiplikation mit einem konstanten Faktor x( )= 2: x 3 (t) = x( ). (t- y 3 (t) = x( ). g(t- ) Zeit t [ms] Zeit t [ms] Bild 2.3.2_30: Multiplikation mit einem konstanten Faktor 38

39 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Faltungsintegral Jetzt wird ein beliebiges Signal x(t) am Systemeingang näherungsweise durch eine Folge (Summe) zeitverschobener Rechteckimpulse ( t ) dargestellt, deren Höhe x( ) der jeweils zugehörigen Signalamplitude x(t) angepasst wurde. Dann setzt sich das Signal y(t) am Systemausgang ebenfalls aus einer Folge (Summe) der zeitverschobenen Impulsantworten g ( t ) mit angepassten Signalamplituden zusammen: x ( t) x( ) ( t ) y ( t) x( ) g( t ) am Eingang x System y am Ausgang 2 x(t) 2 y(t) Zeit t [ms] Zeit t [ms] Bild 2.3.3_0: Zerlegung eines beliebigen Eingangssignals x(t) in Rechteckimpulse (links) und Zusammensetzung des Ausgangssignals y(t) aus den zugehörigen Impulsantworten Beide leichungen sind sowohl von t als auch von abhängig. Im Folgenden soll zunächst nur noch der Signalwert x zu einem Zeitpunkt t berechnet werden, d. h. wir halten t = konstant. Dann entstehen Hilfsfunktionen f und f2, die nur noch von einer Variablen abhängig sind: f ( ) x( ) ( t ) f 2( ) x( ) g( t ) Mit diesen Vereinfachungen entsteht aus den Summen: x ( t) f ( ) y ( t) f 2( ) Wird hinreichend klein gewählt, so entsprechen die Summen nun der jeweiligen Fläche unter den Funktionen f und f2. Beim renzwertübergang 0 gehen die Summen in entsprechende Integrale über: ( t) f ( d ( t) x ) y f 2( ) d 39

40 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Unter Beachtung der Tatsache, dass mit jedem Integral stets nur der Funktionswert x(t) oder y(t) für einen Zeitpunkt t berechnet werden kann (t = konstant), können nun die Hilfsfunktionen f oder f2 wieder eingesetzt werden: ( t) x( ) ( t d ( t) x ) y x( ) g( t ) d Diese Integrale werden Faltungsintegrale genannt. Besonders nützlich ist das Faltungsintegral zur Berechnung der einzelnen Signalwerte y(t) am Ausgang des Systems. Indem nacheinander für die verschiedenen Zeitpunkte t die entsprechenden Faltungsintegrale berechnet werden, lässt sich schrittweise der Verlauf des gesamten Ausgangssignals y(t) ermitteln. Der numerische Aufwand dafür ist für moderne Rechner kein Problem mehr. Sie brauchen dazu nur zwei Informationen: a) den Zeitverlauf x(t) des Signals am Systemeingang b) den Zeitverlauf g(t) der Antwort des Systems auf einen Stoß (t) am Eingang Dieses als Stoßantwort, Impulsantwort oder ewichtsfunktion bezeichnete Signal kann durch eine einmalige Messung am System näherungsweise ermittelt werden. Nach der Messvorschrift in Bild 2.3.2_90 stimuliert man dazu dessen Eingang durch einen hinreichend schmalen Rechteckimpuls und zeichnet dabei den resultierenden Signalverlauf am Systemausgang auf. Soll anschließend das System mit anderen Eingangssignalen beliebiger Art angeregt werden, so reicht die zuvor gewonnene ewichtsfunktion g(t) aus, um mit dem Faltungsintegral das Systemverhalten am Ausgang vorauszusagen: F y ( t) x( ) g( t ) d vereinfachte Schreibweise: y( t) x( t)* g( t) D ewichtsfunktion. Ein lineares, zeitivariantes und kausales System wird durch die ewichtsfunktion g(t) (bzw. Stoßantwort) eindeutig beschrieben. Besitzen also zwei Systeme dieselbe ewichtsfunktion g(t), so sind sie verhaltensgleich, d. h. bei gleichen Signalverläufen an ihren Eingängen liefern beide an ihren Ausgängen ebenfalls identische Signalverläufe. Vorgehensweise bei linearen Systemen beliebiger Art: System. Am unbekannten System wird einmal g(t) gemessen und gespeichert. 2. Die Kennfunktion g(t) ist hinreichend, um jederzeit das Systemverhalten bei beliebigen Signalverläufen am Eingang zu berechnen! Bild 2.3.3_20: Methode zur Vorhersage des Systemverhaltens 40

41 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme B U g g gt hier z. B. für t=2 f2( )=U( g(t- g Fläche= U( ) g(t- ) d Bild 2.3.3_30: Beispiel zur Bildung des Faltungsintegrals 4

42 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Stabilität Sobald g(t) gemessen wurde, sind zumindest implizit alle Eigenschaften bekannt, um das Verhalten eines Systems in beliebigen Situationen vorherzusagen. Besonders interessant ist hierbei die Frage, ob ein System das latente efahrenpotential in sich trägt, unter bestimmten Betriebsbedingungen außer Kontrolle zu geraten. Eine heimtückische und gefährliche Eigenschaft ist es, wenn nach Anregung durch ein harmloses Eingangssignal mit geringer, endlicher Amplitude das Ausgangssignal plötzlich explosionsartig über alle Maßen anwächst. Besonders gefährdet sind Rückkopplungsschaltungen; z. B. konnte das System aus Kapitel unter bestimmten Bedingungen unendliche Amplituden am Ausgang erzeugen. Solche Systeme nennt man instabil. D Stabilität. Ein System heißt BIBO-stabil (BIBO = bounded input bounded output), wenn es zu jedem beschränkten Eingangssignal x(t) ein beschränktes Ausgangssignal y(t) erzeugt: x ( t) B y( t) B. ilt diese Beziehung nicht, so ist das System BIBO-instabil. x Sobald die ewichtsfunktion g(t) eines Systems bekannt ist, müssen nicht mehr alle Betriebsbedingungen einzeln durch Simulation oder Messung auf die efahren einer Instabilität untersucht werden. Man kann vielmehr seine Stabilitätseigenschaften gezielt vorhersagen, also entweder a) zeigen, dass mindestens eine instabile Betriebsart existiert oder b) beweisen, dass Instabilitäten ausgeschlossen sind. y D Ein lineares, zeitinvariantes System ist genau dann BIBO-stabil, wenn seine Stoßantwort der Bedingung genügt. t t g( t) dt B 42

43 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Weitere Elementar- und Testsignale Neben dem Rechteck bzw. Stoß sind auch andere Signalformen als Elementar- oder Testsignal nutzbar. Um theoretische und messtechnische Untersuchungen effektiv verbinden zu können, werden häufig folgende Elementarsignale als Testsignale verwendet: T Elementarsignale Beschreibung mathematischer Apparat Anwendung Schmales Rechteck (Stoß) Faltungsintegral allgemein Sprung, harmonische Exponentialfunktion Laplace- Transformation Cosinus Automatisierungstechnik Fourier- Transformation Rechteckfolge Nachrichtentechnik Walsh- Transformation digitale Kommunikation Periodische Stoßfolge Z-Tranformation zeitdiskrete Systeme Tabelle 2.3.5_0: Elementarsignale, zugehörige Transformationen und ihre Hauptanwendungsgebiete x(t) Sprung y(t) Sprungantwort v 0 Anstieg = k v 0 t Bild 2.3.5_20: Sprung als Testsignal x(t) und Sprungantwort y(t) des Systems 43

44 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Harmonische Elementarsignale Signale Man kann beliebige Signalverläufe auch aus Kosinus-förmigen (harmonischen) Signalen verschiedener Frequenz zusammensetzen. Auch harmonische Signale erfüllen alle Bedingungen, die an Elementarsignale gestellt werden Systeme Bisher wurden beliebige Signale x(t) in ihre harmonischen (Kosinus-förmigen) Bestandteile x (t), x 2 (t) usw. zerlegt. Dies geschah in der Absicht, zunächst jeden Bestandteil einzeln zu betrachten. Insbesondere interessiert hier die Frage, welches Teilsignal (z. B. y (t)) am Ausgang des Systems herauskommt, wenn am Eingang ein einzelnes Teilsignal (z. B. x (t)) hineingeht. Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition) x(t) y(t) System = = x (t) + x 2 (t) +... y (t) + y 2 (t) +... Bild _0: Berechnung des Ausgangssignals y(t) durch Zerlegung und Superposition Sobald das betrachtete System linear ist, kann man jetzt wieder seine vorteilhaften Eigenschaften zur Superposition ausnutzen, um für beliebige Signalverläufe x(t) am Systemeingang vorauszusagen, welche Signalverläufe y(t) sie am Systemausgang hervorrufen. werden. Wenn also bekannt ist, a) aus welchen harmonischen Teilsignalen x i (t) das Eingangssignal x(t) zusammengesetzt ist und b) welches Teilsignal y i (t) am Ausgang durch das jeweilige Eingangssignal x i (t) hervorgerufen wird, dann muss man anschließend nur die Summe all dieser Teilsignale y i (t) bilden, um das esamtsignal y(t) am Ausgang zu ermitteln. Wenn man konsequent nur harmonische (Kosinus-förmige) Teilsignale x i (t) benutzt, wie es in Kapitel vorbereitet wurde, gewinnt man noch eine wesentliche Vereinfachung hinzu. Denn sobald das betrachtete System linear ist, wird auch die Beantwortung der Frage b) sehr leicht, weil stets auch alle Teilsignale y i (t) wieder harmonisch sein müssen: 44

45 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme R Übertragung harmonischer Signale durch lineare Systeme: Liegt am Eingang eines linearen Systems ein Kosinus-förmiges Signal x i (t) an, so ist der Signalverlauf y i (t) an dessen Ausgang ebenfalls Kosinus-förmig und hat die gleiche Frequenz. y x x lineares System y t t t -x -y Bild _20: Übertragung eines harmonischen Signals durch ein lineares System Damit reduziert sich die Frage b) auf die Bestimmung der einzigen beiden Parameter, in denen sich y i (t) noch von x i (t) unterscheiden kann: die Amplitude Y die Zeitverschiebung t (Phasenverschiebung) Will man nur beschreiben, wie das System den Betrag der am Eingang angelegten Kosinus-Amplitude beeinflusst und als Amplitude Y an den Ausgang weitergibt, so reicht ein einfacher Übertragungsfaktor aus, wie er schon bei statischen Systemen benutzt wurde. Allerdings kann dieser Faktor nun für jede am Eingang angelegte Frequenz auch einen anderen Wert haben: Y (f) = (f) (f) Bild _25: Typische Beispiele für den Betragsverlauf von Übertragungsfunktionen 45

46 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Auch die vom System verursachte Zeitverschiebung (Phasenverschiebung) kann bei jeder am Eingang angelegten Frequenz einen anderen Wert t aufweisen. Will man die Abhängigkeit dieser Systemeigenschaft von der Frequenz beschreiben, so kann man die Zeigerdarstellung (Vektordarstellung) der Kosinus-Signale verwenden: Y f ) ( f ) e ( f ) ( j ( f ) ( f ) mit ( f ) 2 f t( f ) Diese gemeinsame Darstellung der Übertragungseigenschaften des Systems bezüglich Amplitude (Betrag) und Zeitverschiebung (Phase) nennt man nunmehr Übertragungsfunktion (f). Sobald die Übertragungsfunktion eines linearen Systems einmal durch Berechnung oder Messung ermittelt werden konnte, kann man sie immer wieder zur Vorhersage der Systemreaktionen benutzen. Solange das System seine inneren Eigenschaften nicht willkürlich ändert (zeitinvariantes System), ist (f) zur eineindeutigen Beschreibung seines kompletten Schnittstellenverhaltens (Input / Output) völlig hinreichend. Deshalb wird in der Praxis die Übertragungsfunktion ebenso häufig zur Charakterisierung eines vorhandenen Systems benutzt wie die ewichtsfunktion g(t). Vorgehensweise bei linearen Systemen beliebiger Art:. Am unbekannten System wird einmal (f) gemessen und gespeichert. 2. Die Kennfunktion (f) ist hinreichend, um jederzeit das Systemverhalten bei beliebigen Signalverläufen am Eingang zu berechnen! Bild _30: Vollständige Beschreibung des Systemverhaltens durch die Übertragungsfunktion (f) Auch wenn das Übertragungsverhalten von Systemen in der beschriebenen Weise frequenzabhängig ist, kann man aus mehreren dieser Systeme wieder durch Zusammenschaltung komplexere esamtsysteme konstruieren. Dabei sind wieder dieselben rundschaltungen möglich, die bereits aus statischen Systemen aufgebaut werden konnten. Die im Kapitel 2..3 dargestellten Zusammenhänge sind also Spezialfälle der nachfolgenden Betrachtungen (f=0 bzw. Systemverhalten für alle Frequenzen konstant). 46

47 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme 47 Reihenschaltung von Teilsystemen (f) 2 (f) 3 (f) Y(f) 2 (f) = (f) (f) 3 (f) = 2 (f) 2 (f) Für lineare und dynamische Teilsysteme gilt: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f f f f f f f f f f f f f f Y f ges n i i f f f f 2 3 ) ( ) ( ) ( ) ( Parallelschaltung von Teilsystemen 2 (f) 2 (f) = (f) (f) 3 (f) (f) Y(f) 3 (f) = 2 (f) (f) 4 (f) 4 (f) = 3 (f) (f) Für lineare und dynamische Teilsysteme gilt: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f f f f f f f f f f f f f f f f f Y f n i i ges (f) 2 (f) 3 (f) (f) 2 (f) 3 (f)

48 Kapitel 2 Eigenschaften dynamischer Systeme Rückkopplungsschaltungen A(f) + Mitkopplung - egenkopplung (f) (f) Y(f) (f) B(f) 2 (f) B(f) = 2 (f) Y(f) A(f) = B(f) + (f) = 2 (f) Y(f) + (f) Y(f) = (f) A(f) = (f) 2 (f) Y(f) + (f) Für lineare und dynamische Teilsysteme gilt: ges ( f ) Y ( f ) ( f ) ( f ) 2 ( f ) Y ( f ) ( f ) ( f ) ( f ) ( f ) ( f ) ( f ) 2 ( f ) ( f ) ( f ) ( f ) Sollte es eine Frequenz geben, bei der (f) = / 2 (f) wird, entstehen wieder unendliche Ausgangssignale und das esamtsystem wird instabil. Das Verhalten von Rückkopplungsschaltungen ist durch die geschlossenen Signalkreise nur schwer einschätzbar. Es verdient aber gerade deshalb bei Lastenheften und Verträgen in allen Branchen besondere Beachtung! Faltungssatz 2 ( f ) Bild _0: Zwei Wege zur Berechnung des Ausgangssignals y(t) durch Superposition 48

49 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten 3. Informationsverarbeitung in Objekten Bisher wurden vor allem Prozesse und Systeme untersucht. Rechner wurden nur benutzt, um die dafür entwickelten Modelle zu implementieren. Sie spielten eher eine Nebenrolle und wurden nur zum Entwurf benötigt, da mit ihrer Hilfe durch Berechnung, Schätzung oder Simulation das Verhalten der vorhandenen Systeme annähernd vorausgesagt werden kann. Jetzt sollen Rechner in der Verbindung mit Prozessen und Systemen die Hauptrolle spielen, d. h. deren Verhalten beeinflussen. Nachfolgend werden also die Fälle untersucht, wo Prozesse und Systeme ohne Rechner gar nicht mehr arbeitsfähig wären, da sie der Rechner steuert, die Verbindung zum Menschen herstellt, dessen Bedienhandlungen umsetzt, alle Aktivitäten protokolliert usw. Objekte Systeme Bild 3_0: Kopplung von Systemen mit Softwareobjekten Zunächst muss deshalb untersucht werden, wie Rechner-Software (Objekte) und Prozesse (Systeme) an ihren Schnittstellen in Wechselwirkung treten, um aus beiden Teilen eine esamtanordnung entstehen zu lassen. Anschließend werden ausgewählte Algorithmen und Funktionen untersucht, die man in typischen Software-Objekten implementiert. Viele aus früheren Kapiteln bereits bekannte Algorithmen und Zusammenhänge werden hier zum zweiten Mal diskutiert. Es wird sich zeigen, dass es für sie hier völlig neue Anwendungsmöglichkeiten gibt und sie daher zu Recht als Standard-Objekte Einsatz finden. 49

50 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten In technischen Informationssystemen ist eine große Zahl unterschiedlicher Algorithmen notwendig. Das folgende Bild stellt sie in einer gewissen hierarchischen Ordnung dar, wonach manche (low level) in einfacher Form bereits in hardwarenahen Schichten implementiert werden können, andere (high level) nur in den höheren Schichten großer Computersysteme zu finden sind. Bild 3_20: Aufgaben der technischen Informationsverarbeitung 50

51 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten 3.. Abtastung von Signalen an der Schnittstelle An der Schnittstelle zu den Prozessen bzw. Systemen muss jeder Rechner zunächst Informationen von seiner Umgebung aufnehmen. Diese haben oft den Charakter von Signalen und werden durch Sensoren unterschiedlichster Art erfasst. T Branche Beispiel Sensor Wissenschaft/Forschung Oszilloskop --- Transientenrecorder Industrie/Handel Roboter CNC-Maschine Inkrement-Wegmesser Motor Inkrement-Wegmesser Vorschub Nachrichten-/Datentechnik Telefon Mikrofon Rundfunk/ Fernsehen Kamera elektronische Medien Versorgungstechnik Elektroenergietechnik Motor Verkehrstechnik Antiblockiersystem Inkrement-Zähler an den Rädern medizinische eräte EK, EE Computertomograph elektrische Sonden Röntgenstrahl-Empfänger Konsumgüter Videorecorder Bandkassette Magnetkopf Magnetkopf Umwelttechnik asanalyse-messgerät leitfähige Sonde Raumfahrt Doppler-eschwindigkeitsbestimmung Strahlungsempfänger Tabelle 3._0: Beispiele für die Erfassung von Signalen an der Schnittstelle zum Prozess D Dreiphasenablauf. In allen einfachen Implementationen wickelt das Betriebssystem die Abarbeitung der Algorithmen in drei Phasen ab. Zuerst liest die Messperipherie alle Signalwerte ein und legt sie in einem besonderen Speicherbereich ab, der auch Eingabeprozessabbild genannt wird. Danach beginnt die Verarbeitung der im Prozessabbild vorliegenden Werte durch die einzelnen Algorithmen. Die dabei schrittweise berechneten Werte der auszugebenden Signale werden zunächst wieder im Ausgabeprozessabbild des Speichers abgelegt. Erst nachdem alle Algorithmen abgearbeitet sind, beginnt die Ausgabe dieses Prozessabbildes an die Stellperipherie. Dieser Ablauf wird zyklisch wiederholt. 5

52 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten Informationsgewinnung (Messung am Sensor) Informationsverarbeitung (Algorithmen) Informationsnutzung (Stellen am Aktor) Bild 3._0: Dreiphasenablauf in technischen Informationssystemen D D Abtastung: Das bedeutet, dass der Rechner die Vorgänge in seiner Umgebung nicht kontinuierlich beobachten und verfolgen kann, sondern sich nur hin und wieder zu diskreten Zeitpunkten über seine Messperipherie eine Momentaufnahme seiner Umwelt verschafft. Diese zeitdiskrete Informationsbeschaffung heißt Abtastung und ist für Rechner typisch. Der Rechner kann also auch zeitkontinuierliche Signale aus seiner Umgebung nur in Form von zeitdiskreten Signalen (Zahlenfolgen) wahrnehmen und muss deshalb als zeitdiskretes System behandelt werden. Zykluszeit. Die Dauer eines Dreiphasenzyklus wird bei Rechnern Abtastperiode T und bei Steuerungen und Reglern Zykluszeit T genannt. Veränderungen im Prozess nimmt der Rechner erst zu Beginn des nächsten Zyklus beim Einlesen des Prozessabbildes wahr, im ungünstigsten Fall also mit einer Verzögerung von T. Leistungsfähige Steuerungen und Prozessrechner verfügen über Hardware- und Softwaremechanismen, um auch während eines laufenden Zyklus auf Veränderungen im Prozess reagieren zu können. x(t) Abtaster y(t) Bild 3._20: Durch Abtastung des Signals x(t) entsteht das Signal y(t) D Informationsverlust: In den mehr oder weniger langen Zeiträumen zwischen den Abtastzeitpunkten kann der Rechner keinerlei Veränderungen in seiner Umwelt erkennen. Der größte Teil aller im zeitkontinuierlichen Signal enthaltenen Information geht daher bei der Abtastung verloren. Dieser Informationsverlust ist bei großer Abtastperiode T (d. h. kleiner Abtastfrequenz bzw. langsamer Abtastrate) besonders gravierend. 52

53 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten x(t) Abtastung eines kontinuierlichen Signals durch den Rechner Bild 3._30: Aus einem zeitkontinuierlichen Signal entsteht durch Abtastung ein zeitdiskretes Signal Die Folgen dieses Informationsverlustes im Zeitbereich sind plausibel, da durch die Abtastung bisher existierende Signalanteile verloren gehen. Betrachtet man dieselbe Erscheinung im Frequenzbereich, so äußert sich der Informationsverlust paradoxerweise dadurch, dass neue Signalanteile in höheren Spektralbereichen hinzukommen. D Faltungs-, Aliasing-, Stroboskop-Effekt: Wird ein kosinusförmiges Signal der Frequenz f einer Abtastung mit der Abtastperiode T = /f a unterzogen, so werden weitere Kosinus- Signale mit folgenden Alias-Frequenzen f al erzeugt: f f n f. al a Bild 3._40: Auftreten von Aliasingfrequenzen bei Vielfachen der Abtastfrequenz f a Während der Rechner nach der Abtastung nun mit den zeitdiskreten Signalen arbeitet, entsteht das entgegengesetzte Problem, sobald er seine Ergebnisse wieder als Signal an die Umgebung zurückgeben will. Diese kann mit zeitdiskreten Signalen wenig anfangen und erwartet, dass sie in zeitkontinuierliche Signale zurückgewandelt werden. Will man die Qualität dieser Rückwandlungs-Algorithmen bewerten, so lässt man ein gerade erst abgetastetes Signal sofort wieder wandeln. Bei korrekter Arbeit müsste dabei wieder das ursprüngliche, zeitkontinuierliche Signal entstehen. Betrachtet man den Abtastvorgang im Zeitbereich, wird intuitiv sofort klar, welche Art von Algorithmen ihn rückgängig machen können. Hierzu sind lättungs-algorithmen notwendig, die zwischen den Abtastwerten interpolieren. Eine Betrachtung im Frequenzbereich zeigt, dass diese Algorithmen alle neu hinzugekommenen Spektralanteile wieder entfernen müssen. Dies sind zwei verschiedene Sichten auf dieselbe Eigenschaft. Tiefpässe erfüllen diese Anforderungen. 53

54 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten Rückgewinnung des Eingangssignals: Anschluss eines Tiefpass-Filters an den Rechner-Ausgang: nur rundfrequenz durchlassen das ideale Tiefpass-Filter ist nur theoretisch möglich, da nicht kausal Einfaches Tiefpass-Filter: Bild 3._50: Beispiel eines Tiefpassfilters für elektrische Signale Erklärung im Zeitbereich: Tiefpass stellt Zwischenwerte durch Interpolation der Abtastwerte wieder her Erklärung im Frequenzbereich: Kondensator vernichtet alle neuen, hohen Frequenzanteile, indem er sie kurzschließt Dem Tiefpassfilter gelingt es, alle bei der Abtastung verloren gegangenen Zwischenwerte des ursprünglich kontinuierlichen Signals wieder zurückzugewinnen. Obwohl der größte Teil der im ursprünglichen Signal enthaltenen Informationen in den langen Pausen zwischen den Abtastzeitpunkten nie vom Rechner wahrgenommen wurde, kann der Tiefpass diese später exakt bestimmen. Diese hellseherischen Fähigkeiten sind aber nicht grenzenlos. D Abtasttheorem. Wird ein kosinusförmiger Signalverlauf der Frequenz f mit einer Abtastperiode T abgetastet (Abtastfrequenz f a ), so ist im Ergebnis der zeitkontinuierliche Originalverlauf weder eindeutig erkennbar noch durch Tiefpassmethoden wieder rekonstruierbar, sobald f die halbe Abtastfrequenz übersteigt. Informationsverluste dieser Art (Aliasing) sind somit nur vermeidbar, solange f die folgende Bedingung erfüllt: F f 2 f a. 54

55 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten 3.2. Primärverarbeitung der Signale Nach der Abtastung müssen die nunmehr zeitdiskreten Signale zunächst auf elementare Weise aufbereitet werden. Sensor ADU Primärverarbeitung zeitdiskretes lineares System Bild 3.2_0: Primärverarbeitung der Signale nach Abtastung und Wandlung Diese Primärverarbeitung hat unter anderem folgende Aufgaben: Anti-Aliasingmaßnahmen (Tiefpassfilterung vor der Abtastung), flexible Messwerterfassung (Umrechnung Messbereich, Maßeinheit, stoßfreie Parameterumschaltung), Plausibilitätsprüfung durch Nutzung von Aprioriwissen; statisch (renzwerte) und dynamisch (Anstiege), Fehlerkorrektur: statisch (Begrenzung, Verstärkung, Offset, Linearisierung) und dynamisch (lättung), einfache Auswertung und Datenreduktion (renzwertalarm, Berechnung abgeleiteter rößen, Spitzenwerte), Filterung (Trennung von Signalanteilen, Isolierung von Störungen), qualifiziertes Speichern in universellen Datenstrukturen gemeinsam mit wirksamen Verarbeitungsparametern. 55

56 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten Nachfolgend ist an Beispielen aus verschiedenen Branchen dargestellt, welchen Nutzen z. B. das Einfügen eines Softwareobjekts mit einer geeigneten, statischen Kennlinie bringt. T Branche Wissenschaft/ Forschung Industrie/Sensor Nachrichten-/ Datentechnik Rundfunk/ elektronische Medien Versorgungstechnik Verkehrstechnik medizinische eräte Konsumgüter Umwelttechnik Raumfahrt MIN MA Messbereichsgrenze Elektromotoren: Drehzahlbegrenzung Elektroakustik: Schallpegelbegrenzung Aufnahme: Übersteuerungsschutz Druckbehälter: Sicherheitsventil ABS: Bremskraftbegrenzung EK, EE: Bereichsgrenze Magnetband: Übersteuerungsschutz Emission: Begrenzung Druckbehälter: Sicherheitsventil MUL NLIN SCAL Messbereichsauswahl Korrekturrechnung Waagen-Sensor: Eichung Telefon: Lautstärkeregler Tonstudio: Lautstärkemischpult aszähler: Eichung Tempomat: Eichung EK, EE: Eichung Videogerät: Helligkeitsregler Analyse: Eichung Empfangsverstärker: Empfindlichkeit Waagen-Sensor: Kennlinienkorrektur Telefon: Kompression/ Dekompression Endverstärker: Entzerrer aszähler: Mengenkorrektur Motorsteuerung: Kennfeld Infusion: Korrektur Magnetband: Magnetisierungskennlinie korrigieren Analyse: Korrektur Empfangseinheit: Kompression/ Dekompression Tabelle 3.2_0: Algorithmen zur Beeinflussung der statischen Kennlinie und ihre Anwendung in verschiedenen Branchen: - Begrenzung der Signalamplitude auf ein Minimum (MIN) bzw. Maximum (MA) - Verstärkung (MUL) bzw. Skalierung (SCAL) der Signalamplitude - Einfügen einer nichtlinearen (NLIN) Kennlinie y = f(x) Eine Auswahl der Vielzahl an Signalvorverarbeitungsalgorithmen aus der Bibliothek des Werkzeugs sign ist in den nachfolgenden beiden Bildern angegeben. 56

57 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten Bild 3.2_0: Signalvorverarbeitungsalgorithmen in sign (Teil ) 57

58 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten Bild 3.2_20: Signalvorverarbeitungsalgorithmen in sign (Teil 2) 58

59 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten 3.3. Filteralgorithmen D Filter. Ein Filter ist ein erät oder ein Berechnungsverfahren, das aus einem Signal Information nach bestimmten Kriterien gewinnt. Es muss so entworfen sein, dass es die gewünschte Information weiterleiten und die unerwünschte zurückhalten kann. Die in der Praxis am häufigsten eingesetzten Filter arbeiten als spektrale Filter. Sie dienen dazu, harmonische Signalbestandteile mit definierten Frequenzen weiterzuleiten und die anderen Teilsignale mit den übrigen Frequenzen zurückzuhalten. Dieses spektrale Filterverhalten kann anschaulich durch die Frequenzabhängigkeit der Übertragungsfunktion (f) beschrieben werden: F Y( f ) ( f ). ( f ) Aus dieser Beschreibung leiten sich auch die gebräuchlichen Filterbezeichnungen ab. Sie unterscheiden, ob das Filter tiefe Frequenzen (Tiefpass), hohe Frequenzen (Hochpass) oder ein bestimmtes Band benachbarter Frequenzen (Bandpass) passieren lässt bzw. ein solches Band zurückhält (Bandsperre). Bild 3.3_0: Klassifizierung der Filter nach ihren spektralen Übertragungseigenschaften Filter mit solchen Eigenschaften sind nicht nur für die Signalverarbeitung im Rechner interessant. Um derartige Filtereffekte in der Praxis zu erreichen, wenden andere Branchen sehr erfolgreich auch eigene, sehr unterschiedliche physikalische, mechanische oder elektrische Konstruktionsprinzipien an. So versucht die Elektrotechnik, Filtereffekte durch definierte Zusammenschaltung elektronischer Bauelemente zu erzeugen, die Mechanik durch Feder-Dämpfungs-Anordnungen (z. B. im Automobil-Fahrwerk). Trotz aller Unterschiede handelt es sich dabei stets um zeitkontinuierliche, lineare Systeme, welche auf die bisher dargestellte Weise beschrieben und modelliert werden können. Im vorliegenden Falle interessieren eher Softwareobjekte mit Filtereigenschaften. Auch hier ist es empfehlenswert, sich auf Algorithmen mit linearen Systemeigenschaften zu beschränken. Da sie auf dem Rechner implementiert werden, weisen diese Algorithmen jedoch zeitdiskretes Systemverhalten auf. Ohne die Allgemeinheit zu beschränken, wird es sich also stets um allgemeine, lineare Abtastsysteme handeln. Die dafür bereits bekannte Differenzengleichung beschreibt also auch alle jemals denkbaren Filteralgorithmen. 59

60 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten D Allgemeines lineares Digitalfilter: Benutzt man ein allgemeines, lineares Abtastsystem zur Realisierung von Filteraufgaben, so nennt man diese Algorithmenklasse auch allgemeines lineares Digitalfilter. F y( it ) b 0 x( it ) b a y(( i ) T) a x(( i ) T) b 2 2 x(( i 2) T)... b y(( i 2) T)... a n m y(( i n) T) x(( i m) T) Bild 3.3_20: Datenflussgraph eines allgemeinen linearen Digitalfilters Alle in der Praxis zu Filterzwecken benutzten Software-Algorithmen sind stets nur Spezialfälle, die aus der allgemeinen Differenzengleichung bzw. aus dem allgemeinen Datenflussgraphen durch Weglassen bestimmter Terme hervorgehen. Zur Untersuchung konkreter Filtereigenschaften benutzt man nicht die allgemeine leichung, sondern muss die Strukturen und das Verhalten dieser Spezialfälle studieren und klassifizieren. 60

61 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten Filterklassen und ihre Eigenschaften D T Filterklassen. In Rechnern implementierte Filteralgorithmen sind meist Spezialfälle des allgemeinen linearen Abtastsystems, wobei zwei Filterklassen unterschieden werden (siehe nachfolgende Tabelle). Die nichtrekursiven Filter werden auch MA (Moving Average) oder FIR (Finite Impulse Response) genannt, die rekursiven auch AR (Auto Regressive) oder IIR (Infinite Impulse Response). Einfache Praxisbeispiele sind der gleitende Mittelwertbildner (FIR) und das T -System (IIR). Koeffizienten Namen Signalflussgraph Impulsantwort alle a i = 0 moving average (MA) finite impulse response (FIR) nichtrekursive Filter zyklenfrei endlich mindestens ein a i 0 auto regressive (AR) infinite impulse response (IIR) rekursive Filter enthält Zyklen unendlich Tabelle 3.3_0: Struktur- und Verhaltenseigenschaften der beiden wichtigsten Filterklassen B Beispiel für MA-, FIR- bzw. nichtrekursive Filter: Mittelwert-Algorithmus als Bandsperre Der folgende Algorithmus ist weithin bekannt, da er häufig auch zur Bildung des gleitenden Mittelwertes benutzt wird: y( i) x( i) x( i ) x( i 2) x( i 3) Da er jedoch auch zur Klasse der FIR-Algorithmen gehört, sollen im Folgenden seine Filtereigenschaften untersucht werden. Dazu wird am Eingang ein Kosinus-Signal x(t) der Frequenz 0,25 Hz angelegt, welches der Rechner mit einer Abtastperiode T = Sekunde abtasten soll. x(t) Mittelwertbildner y(t) Bild 3.3_40: Signalflussgraph des FIR-Filters Unter den vorliegenden Bedingungen liefert der Algorithmus stets ein Ausgangssignal y(t) = 0, weil sich positive und negative Signalanteile im Filter gegenseitig auslöschen. Auch eine zeitliche Verschiebung von x(t), d. h. eine andere Phasenlage des Eingangssignals, ändert nichts daran, dass der Algorithmus Frequenzen von 0,25 Hz vollständig zurückhält. Würde sich das Eingangssignal aus einem emisch verschiedener Frequenzen zusammensetzen, so könnten alle anderen Frequenzen das Filter mehr oder weniger ungehindert passieren, während das Filter den Signalanteil von 0,25 Hz total sperrt. Dieses für genau eine Frequenz wirksame Sperrfilter wird in der Praxis zur Beseitigung eines Störsignals aus gemessenen Signalgemischen benutzt, wenn sich die Störung exakt auf eine Frequenz beschränkt und deren Wert bekannt ist. Üblicherweise werden nach diesem Prinzip Störungen bekämpft, die durch die Netzfrequenz (50 Hz) eingestreut wurden. 6

62 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten B Beispiel für AR-, IIR- bzw. rekursive Filter: T -Algorithmus als Tiefpass: Der T -Algorithmus ist ebenfalls aus den früheren Kapiteln bekannt, da T -Modelle zur Nachbildung vieler in der Praxis wichtiger dynamischer Systeme geeignet sind: y( i) ( ) x( i) y( i ). Da er jedoch auch zur Klasse der IIR-Algorithmen gehört, sollen im Folgenden seine Filtereigenschaften und deren Abhängigkeit vom Parameter untersucht werden. Dazu werden zwei Extremfälle betrachtet: a) Im ersten Fall sei 0, wobei die Wirkung des Algorithmus näherungsweise durch y(i) x(i) beschrieben werden kann. Da der vom letzten Abtastzeitpunkt aufbewahrte Wert y(i-) keinen Beitrag mehr zum Ergebnis y(i) liefert, wird dieses ausschließlich vom aktuellen Eingangswert x(i) bestimmt, welcher somit ungehindert zum Ausgang gelangt. Das Filter ist also wirkungslos. Auch im nachfolgenden Bild sind bei 0 Eingangs- und Ausgangssignal völlig identisch. b) Im zweiten Fall sei, wobei die Wirkung des Algorithmus näherungsweise durch y(i) y(i-) beschrieben werden kann. Da hier der aktuelle Eingangswert x(i) beinahe keinen Beitrag mehr zum Ergebnis liefert, wird dieses fast ausschließlich durch den vom letzten Abtastzeitpunkt aufbewahrten Wert y(i-) bestimmt. Das Filter hat extrem große Wirkung auf das Ergebnis y(i), welches sich im Laufe der Zeit nur noch träge bzw. gar nicht mehr ändert. Auch im Bild sind bei nur noch träge Veränderungen am Ausgangssignal erkennbar: alle hochfrequenten Signalanteile werden vom Filter zurückgehalten (Tiefpass-Verhalten). Eingangssignal x(t) Nutzsignal + Störungen Wirkung eines Exponentialfilters erster Ordnung: Der Parameter hat die Werte 0, 0,5, 0,9, 0,95, und 0,98. Für kleine Werte folgt die Filterausgabe den wirklichen Signaländerungen ziemlich genau, aber der Störpegel ist groß. Für hohe Werte von wird das Filter langsamer, aber die Störungen werden deutlich gedämpft. Für = 0 ist die Filterausgabe gleich der Eingabe. Bild 3.3_70: Anwendung eines T -Algorithmus als Tiefpassfilter. Der Programmierer kann die Stärke der Tiefpasswirkung durch den Parameter gezielt beeinflussen. 62

63 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten B Beispiel für AR-, IIR- bzw. rekursive Filter: Modifizierter D-Algorithmus als Hochpass: Auch der D-Algorithmus ist aus den früheren Kapiteln bekannt, wo er in ähnlicher Form zur Modellierung dynamischer Systeme genutzt wurde. Hier wird eine Modifikation desselben betrachtet, die zusätzlich y(i-) berücksichtigt: y( i) y( i ) x( i) x( i ). Der Algorithmus fügt also zum jeweils alten Ausgangswert y(i-) die Differenz letzten Eingangswerte hinzu: x der y i y x. () alt Da er jedoch auch zur Klasse der IIR-Algorithmen gehört, sollen im Folgenden seine Filtereigenschaften und deren Abhängigkeit vom Parameter untersucht werden. Dazu werden zwei Extremfälle betrachtet: a) Im ersten Fall sei 0, wobei die Wirkung des Algorithmus näherungsweise durch y(i) x beschrieben werden kann. Da der vom letzten Abtastzeitpunkt aufbewahrte Wert y(i-) keinen Beitrag mehr zum Ergebnis y(i) liefert, wird dieses ausschließlich vom Differenzialquotienten (Anstieg) des aktuellen Eingangssignals x(i) bestimmt, welcher somit ungehindert zum Ausgang gelangt. Das Filter wirkt als reines Differenzierglied und lässt nur hohe Frequenzen passieren. Im Bild wird vor allem der starke Anstieg in der Flanke des Sprungs als Impuls an den Ausgang weitergegeben. Für niedrige Frequenzen (x(t) bleibt annähernd konstant, x = 0) wirkt es als Sperre (y = 0). b) Im zweiten Fall sei, wobei die Wirkung des Algorithmus näherungsweise durch y i y x, mit anderen Worten y(i) = x(i), beschrieben werden kann. () alt Da das Ergebnis y(i) ausschließlich vom aktuellen Eingangswert x(i) bestimmt wird, gelangt dieser somit ungehindert zum Ausgang. Das Filter ist also wirkungslos. Auch im Bild werden bei Eingangs- und Ausgangssignal zunehmend identisch. 63

64 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten x Eingangssignal x (t) Nutzsignal + Störungen Wirkung eines Hochpassfilters auf ein Eingabesignal mit überlagerten Störungen: 0,5 Das obere Bild zeigt die (ungefilterten) Originaldaten Zeit Das Bild unten links zeigt die Filterausgabe für = 0. y = 0 y = 0,95 Das Bild unten rechts zeigt die Filterausgabe für = ,5 0, Zeit Zeit Bild 3.3_80: Anwendung eines modifizierten D-Algorithmus als Hochpassfilter. Der Programmierer kann die Stärke der Hochpasswirkung durch den Parameter gezielt beeinflussen. T Branche Wissenschaft/Forschung Industrie/Handel Nachrichten-/Datentechnik Rundfunk/elektronische Medien Versorgungstechnik Verkehrstechnik medizinische eräte Konsumgüter Umwelttechnik Raumfahrt typische Filter-Anwendung Messungen: Messwert-lättung Waagen: Dämpfung digitales Telefon: Antialiasing-Filter Tontechnik: Klangregler asverteilnetz: Messwertglättung Airbag: Vermeiden von Fehlauslösungen Auto-Fahrwerk: rechnergesteuerte Dämpfung EK, EE: Filtern von Messstörungen Tontechnik: Klangregler Analyse: Messwertglättung Funksignalerkennung: Korrelationsfilter Tabelle 3.3_20: Filter und ihre Anwendung in verschiedenen Branchen zur Beeinflussung des dynamischen Systemverhaltens 64

65 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten 3.4. Signalprozessoren D Signalprozessoren. Durch ihre besondere RISC-Architektur sind Signalprozessoren auf die schnelle Berechnung des für allgemeine lineare Abtastsysteme üblichen leichungstyps zugeschnitten: Ein spezielles Rechenwerk kann die ständig rekursiv wiederkehrende rundoperation (eine Multiplikation und eine Addition) in einem Zyklus ausführen. Eine erweiterte Harvard-Architektur enthält drei Bussysteme (für Programm, Daten x(i), y(i) sowie Koeffizienten a n, b m ). Für Daten und Koeffizienten ist ein großer On-Chip-RAM vorgesehen, der geringe Zugriffszeiten ermöglicht. Damit ist eine Signalverarbeitung bei hohen Abtastfrequenzen (zeitdiskretes Signal) realisierbar (Sprach- und Bildverarbeitung, Mobilfunk). Wenn der Signalprozessor die bekannten Differenzengleichungen für allgemeine lineare Abtastsysteme berechnen soll, also z. B. für folgendes FIR-Filter: y( i) b x( i) b x( i ) b x( i 2)... b x( i m), 0 2 so addiert er schrittweise einen Term nach dem anderen, indem er jeweils rekursiv folgenden Ausdruck berechnet: y b[ m] x[ i m] y. neu alt Müsste dieser Ausdruck in einer Hochsprache notiert werden, dann würde seine Abarbeitung zu viel Zeit beanspruchen. Um die Berechnung dieses Terms zu beschleunigen, ist er in den Signalprozessoren als schneller Maschinenbefehl direkt auf dem Chip implementiert. Das Skalarprodukt des FIR-Filters kann jetzt durch eine Folge dieser Maschinenbefehle ausgeführt werden, also z. B.: y alt 0 y b[ m] x[ i m] y neu y b[2] x[ i 2] y neu y b[] x[ i ] y neu alt y b[0] x[ i 0] y neu alt alt alt Da die Speicherzugriffe im von-neumann-rechner sequenziell ausgeführt werden müssen, würde die Abarbeitung jedes Maschinenbefehls nacheinander folgende Einzelschritte erfordern:. Befehl aus dem Speicher holen 2. b[m] aus dem Speicher holen 3. x[i-m] aus dem Speicher holen 4. multiplizieren 5. y alt aus dem Speicher holen 6. addieren 7. y neu im Speicher ablegen. m 65

66 Kapitel 3 Informationsverarbeitung in Objekten Um noch mehr Zeit zu sparen, führt der Signalprozessor mehrere dieser Aktivitäten parallel aus. Das ist nur möglich, wenn die betreffenden Daten in getrennten Speichern liegen und diese durch getrennte Bussysteme mit dem Prozessor verbunden sind. Die erweiterte Harvard- Architektur der Signalprozessoren hat deshalb getrennte Speicher und Busse für das Programm (Befehle), die Koeffizienten (b[m]) und die Signaldaten (Abtastwerte x[i-m]). Während das Programm in einem üblichen Speicherbaustein (extern) neben dem Prozessor abgelegt ist, sind die Speicher und Busse für Koeffizienten und Signaldaten direkt auf dem Chip des Prozessors abgelegt. Dadurch benötigen diese Zugriffe besonders geringe Zugriffszeiten, so dass die besonders häufig auszuführenden Aktivitäten (2. und 3.) nochmals beschleunigt werden. Insgesamt ist damit ein eschwindigkeitsgewinn von etwa zwei Zehnerpotenzen erreichbar, so dass auch extrem schnelle Signalverarbeitung möglich wird, z. B. für: Messtechnik (Filter, Radar, Sonar) Automobiltechnik (Sicherheitssysteme) Medizintechnik (Sprachverarbeitung) Bildverarbeitung (schnelle Antriebsregler) Telekommunikation (Modem, Sender/Empfänger, Entzerrer, Mobiltelefone) Regelungstechnik Audiotechnik (Filter, adaptive eräuschunterdrückung, Ton-/Musikerzeugung). 66

67 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen 4. Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Nachdem im letzten Kapitel die Primärverarbeitung der Signale an der Schnittstelle zwischen Prozess und Rechner diskutiert wurde, sollen beide Teile jetzt endgültig zu einer funktionellen Einheit verbunden werden. Bild 4_0: Verbindung von Rechner und Prozess Dabei entstehen häufig geschlossene Zyklen in den Signalflüssen zwischen Objekten und Systemen. Darunter soll ein geschlossener Zug von Signalkanten mit einheitlicher Signalflussrichtung (Pfeilrichtung) verstanden werden. objektorientiert Objekt Schnittstelle: (Botschaft) System Schnittstelle: (Signale) systemorientiert Bild 4_20: eschlossener Signalzyklus zwischen Objekten und Systemen rundsätzlich sind Algorithmen mit rein beobachtenden Aufgaben (open loop) einfacher handhabbar, während ein steuernder Eingriff stets einen über Aktoren geschlossenen Signalzyklus (closed loop) erfordert. Aus der Vielzahl der Aufgaben werden im Folgenden diejenigen herausgehoben, die auf einem für technische Informationssysteme typischen und theoretisch abgesicherten Algorithmenbestand aufbauen. 67

68 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Bild 4_30: Prozessbeobachtung und Prozesssteuerung 68

69 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen 4.. Steuerung D Offene Steuerung (open loop). Bei einer offenen Steuerung wirken eine oder mehrere Eingangsgrößen (Stellgrößen y) auf einen Prozess nach bekannten und diesem Prozess eigenen esetzmäßigkeiten mit dem Ziel ein, das Verhalten anderer Ausgangsgrößen x in gewünschter Weise zu beeinflussen. Kennzeichnend sind offene Wirkungswege bzw. offene Signalflusswege, d.h. alle Teile des Systems sind rückwirkungsfrei in Reihe oder parallel geschaltet und der Signalflussgraph ist zyklenfrei. Dabei ist die Stellgröße y Ausgangsgröße der Steuereinrichtung und zugleich Eingangsgröße des Prozesses. Bild 4._0: Offene Steuerung Die offene Steuerung kann in mehreren Varianten implementiert werden. Bei der Führungssteuerung wird der Steueralgorithmus von einem externen Signal (Führungsgröße w) geführt, deren Zeitverlauf vorher nicht bekannt ist. B Beispiel: Die Innentemperatur x eines Raumes soll trotz veränderlicher Außentemperatur auf angenehmen Werten gehalten werden. Dazu wird die jeweilige Außentemperatur w an der Hausfassade gemessen. Daraus, aus der Heizungsleistung sowie weiteren Parametern ermittelt der Rechner die jeweils notwendige Position y des Heizventils. Der Zeitverlauf der Stellgröße y einer Zeitplansteuerung ist durch einen Zeitplan y(t) festgelegt, der im Speicher des Rechners abgelegt und diesem daher langfristig bekannt ist. B Beispiel: Aus langjähriger Erfahrung ist der ungefähre Heizbedarf zu jeder Tageszeit bekannt und kann aus der Uhrzeit abgeleitet werden. Im gleichen Sinne gibt es Erfahrungen zum jahreszeitlich schwankenden Heizbedarf, der für jeden Kalendertag einzeln festgelegt werden kann. Aus Uhr und Kalender wird der Zeitplan y(t) für die jeweilige Position y des Heizventils festgelegt und als Tabelle im Rechner gespeichert. 69

70 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Nachteile der offenen Steuerung: a) Die Algorithmen erfordern eine sehr genaue Kenntnis aller im System wirkenden Zusammenhänge und esetzmäßigkeiten zwischen den rößen w, y und x. Sind diese falsch oder ändern sie sich im Laufe der Zeit, erreichen die Algorithmen ihre Ziele nicht mehr. b) Wirken im System zusätzliche, dem Algorithmus unbekannte Störgrößen, so kann er diese nicht berücksichtigen. Auch in diesem Fall erreichen die Algorithmen ihre Ziele nicht mehr. Sind z. B. im Raum die Fenster geöffnet, strahlt die Sonne an manchen Tagen stark ein oder wirken elektrische eräte unerwartet als zusätzliche Heizquellen, so versagt die offene Steuerung. c) Der Algorithmus gibt einen definierten Wert der Stellgröße y vor, muss aber darauf vertrauen, dass das Stellglied diese auch exakt verwirklicht. Er hat keine Möglichkeit, die Einhaltung seiner Vorgaben zu kontrollieren (z. B. durch Messung und Rückmeldung der tatsächlichen Position y). Weicht z. B. das Ventil durch mechanische Fehler unerlaubt vom vorgegebenen Positionswert y ab, so wird das esamtergebnis im gleichen Maße schlechter und die Temperatur x genügt nicht mehr den Ansprüchen. T Branche Beispiel Aktor Wissenschaft/ Chemikalien-Zufuhr Drosselventil Forschung Industrie/Sensor Durchsatz in einer Paketsortieranlage inkrementeller Drehzahlmesser am Förderband Nachrichten-/ Datenaufkommen im Sperrzeit beim LAN-Zugriff Datentechnik lokalen Netz Rundfunk/ Bandgeschwindigkeit Motordrehzahl elektronische Medien Studiotechnik Versorgungstechnik as-/wasser-durchfluss Ventile, Schieber Verkehrstechnik Fahrzeugfluss an einer Dauer der Ampel-rünphase Kreuzung medizinische eräte Infusion von Blut/ Drosselventil Medikamenten Konsumgüter Kaffeemaschine Drosselventil Umwelttechnik Durchsatz einer Drehzahl des Motors am Förderer Müllsortieranlage Raumfahrt Treibstoffzufuhr zum Triebwerk Drosselventil Tabelle 4._0: Durchfluss-/Flusssteuerungen und ihre Aktoren 70

71 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen T Branche Zeitplansteuerung Wissenschaft/ Experimente: Materialprüfung: Forschung Ablaufsteuerung Rütteltische/Dehnung Industrie/Sensor Chargenprozesse: Ablaufsteuerung Nachrichten-/ Datentechnik Telefon: Signaltöne, Kennsignale Rundfunk/ Radar: elektronische Medien Kennimpulse, Freund/Feind-Kennung Versorgungstechnik Klimaanlage: Nacht-Programm Verkehrstechnik Verkehrsampel: Tag-Nacht-Programm medizinische eräte Therapie: Reizstromimpulsgeräte (Burst) Konsumgüter Audio: Fernsehen: Synthesizer Bildmustergenerator Umwelttechnik elektrische Messtechnik: Signalgenerator (Sinus-, Rechteck-, beliebige Funktionen) Raumfahrt Funktechnik: Kennsignalerzeugung Tabelle 4._20: Anwendung von Algorithmen zur Zeitplansteuerung in verschiedenen Branchen 7

72 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen 4.2. Regelung Alle Nachteile der offenen Steuerung kann man beseitigen, wenn man die interessierende Ausgangsgröße x direkt misst und den Algorithmus so umgestaltet, dass er seine Entscheidungen y in erster Linie von dieser röße x ableitet. Das führt zwangsläufig zu einem geschlossenen Signalzyklus und bietet in der Praxis zunächst zahlreiche Vorteile. Erst später wird sich zeigen, dass damit wieder neue Probleme verbunden sind. D Regelung (closed loop). Die Regelung ist eine Methode, einen Prozesszustand in der Weise zu ändern oder aufrecht zu erhalten, dass trotz gewisser Störeinwirkungen (Störgrößen z) der aufgabengemäß gewünschte Zustand erreicht wird. Kennzeichnend sind geschlossene Wirkungsabläufe und zyklische Signalflussgraphen (Regelkreis). Die röße, welche zur Darstellung des vorgeschriebenen Prozesszustandes bzw. -ablaufes verwendet wird, heißt Regelgröße x. Die einfache Regelaufgabe im Bild besteht darin, die Strömungsgeschwindigkeit VS im Rohr trotz eventueller Störeinflüsse auf einen vorgegebenen Wert w zu bringen. Dazu wird diese durch einen Sensor gemessen und dem Regelalgorithmus im Rechner zugeleitet. Dieser berechnet die notwendige Schieberposition PS des Ventils, welches den Querschnitt des Rohres soweit einengt, dass sich die gewünschte Strömungsgeschwindigkeit einstellt. Eingabe-Peripherie (z.b. Tastatur) I-Eingabe Ausgabe-Peripherie (z.b. Bildschirm) I-Ausgabe Rechner Informations-Verarbeitung I-Nutzung Stell-Peripherie (z.b. Aktoren) A öffnen Elektromotor M 00 % Z schließen I-ewinnung Meß-Peripherie (z.b. Sensoren) Sensor (Fotozelle) Lampe 0 % Flügelrad Durchfluß Schieberposition Strömungsgeschwindigkeit VS Bild 4.2_0: Regelkreis zur Einhaltung einer gewünschten Strömungsgeschwindigkeit 72

73 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Will man diese Aufgabe ohne Vorkenntnisse mit einem Rechner lösen, führt das z. B. zu dem im folgenden Bild gezeigten Algorithmus. Er entspricht dem im Kapitel 3. bekannten Dreiphasenablauf und tastet am Sensor den Signalverlauf der Strömungsgeschwindigkeit ab. Für die konkreten rößen und Signale im Beispiel sind in der Literatur einheitlich allgemeine Bezeichnungen und Formelzeichen gebräuchlich: T röße Bezeichnung in der Regelungstechnik Rohr (Prozess) Regelstrecke Soll-Durchfluss w Führungsgröße Ist-Durchfluss x Regelgröße Differenz Soll-Ist e Regeldifferenz, -abweichung (e = w x) Schieberposition y Stellgröße Störeinflüsse z Störgröße Tabelle 4.2_0: Übliche Bezeichnungen in der Regelungstechnik Regelung des Durchflusses feststellen des gewünschten Soll-Durchfluß-Wertes messen des tatsächlichen Ist-Durchfluß-Wertes wie groß ist die Differenz zwischen Soll- und Ist-Durchfluß? wenn Soll-Durchfluß > Ist-Durchfluß, dann Schieber ein Stück weiter öffnen wenn Soll-Durchfluß < Ist-Durchfluß, dann Schieber ein Stück weiter schließen Bild 4.2_20: Einfacher Algorithmus für den Rechner der Strömungsregelung 73

74 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Statische Betrachtung Strebt man eine allgemeingültige Lösung an und abstrahiert deshalb jeweils vom konkreten Beispiel, dann sieht der Signalflussgraph des Regelkreises immer gleich aus: Regelkreis Regler R e w y y = R e x Regelstrecke S x = S y x + z Bild 4.2._0: Regelkreis mit den üblichen Signalbezeichnungen Zunächst soll der Einfachheit halber angenommen werden, dass sowohl Regler als auch Regelstrecke lineare und statische Systeme sind. Dann werden ihre Eigenschaften vollständig durch die statischen Übertragungsfaktoren R und S beschrieben. Damit ergibt sich: Regelkreisverstärkung: 0 x e Betrachtung des offenen Regelkreises: vorübergehendes Öffnen der Kanten e und x y x e y 0 R S Betrachtung des geschlossenen Regelkreises: Schließen durch e = w - x und x = x + z 0 x e x w x' x' z w x' ( w x') x' z 0 x' x' w z x' w z

75 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Die in dieser statischen leichung repräsentierten Zusammenhänge sollen durch die Betrachtung von zwei Spezialfällen einzeln untersucht werden: ) Zunächst soll angenommen werden, dass keine Störsignale vorhanden sind (z = 0). Dann besteht die Aufgabe des Regelkreises darin, die Regelgröße x möglichst nahe an den Wert der vorgegebenen Führungsgröße w heran zu führen; das Idealziel lautet also x = w. Der Führungsübertragungsfaktor ist ein Maß dafür, wie gut dieses Ziel erreicht wurde: er hat im Idealfall den Wert. Für z = 0 bleibt von der statischen leichung nur ein Term übrig: x = w 0 x' 0 w x w x = w bleibende Regelabweichung Führungsübertragungsfaktor : x' 0 w 0 ½ O Bild 4.2._20: Abhängigkeit des Führungsübertragungsfaktors von 0 Untersucht man die Abhängigkeit des Führungsübertragungsfaktors von 0, dann erkennt man, dass das Idealziel (x = w) um so besser erreicht wird, je größer die Regelkreisverstärkung 0 ist. Während die Eigenschaften der Strecke ( S ) als gegeben hingenommen werden müssen, sollte der Programmierer die Verstärkung des Reglers R also möglichst groß wählen. Jedoch kann so das Ideal x = w niemals vollkommen erreicht werden: es bleibt immer ein kleiner Rest übrig die bleibende Regelabweichung e = w x. 2) Jetzt soll angenommen werden, dass zwar Störsignale z vorhanden sind, aber die Führungsgröße unverändert beim Wert Null bleibt. Dann besteht die Aufgabe des Regelkreises darin, die Regelgröße x trotz beliebiger Störgrößen z möglichst nahe am vorgegebenen Wert der Führungsgröße w = 0 zu halten; das Idealziel lautet also x = 0. Der Störungsübertragungsfaktor ist ein Maß dafür, wie gut dieses Ziel erreicht wurde: er hat im Idealfall den Wert 0. Für w = 0 bleibt von der statischen leichung nur ein Term übrig: x' 0 z x z Störungsübertragungsfaktor : x' z 0 ½ bleibende Störung O 75 Bild 4.2._30: Abhängigkeit des Störungs-

76 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen übertragungsfaktors von 0 Untersucht man die Abhängigkeit des Störungsübertragungsfaktors von 0, dann erkennt man, dass das Idealziel (x =0) um so besser erreicht wird, je größer die Regelkreisverstärkung 0 ist. Während die Eigenschaften der Strecke ( S ) wieder als gegeben hingenommen werden müssen, sollte der Programmierer auch hier die Verstärkung des Reglers R möglichst groß wählen. Jedoch kann so das Ideal x =0 niemals vollkommen erreicht werden: es bleibt immer ein kleiner Rest übrig die bleibende Störungswirkung x. B Wichtige Beispiele für Regelkreise aus dem nichttechnischen Bereich sind alle Kreisläufe der Natur (z. B. Umwelt) sowie der Wirtschaft (z. B. Markt): Steuern und Subventionen als Führungsgröße w beeinflussen die Marktgrößen x die Marktmechanismen gleichen eine schwankende Nachfrage (Störgröße z) schnell aus marktgerechte Preise y halten an der Börse Angebot x und Nachfrage z im leichgewicht wechselnde Berufsaussichten y beeinflussen Bewerber- und Absolventenzahlen x der Universitäten und sorgen dafür, dass der Bedarf an Neueinstellungen (Führungsgröße w) im Mittel gedeckt wird. Berufsaussichten y Wirtschaft Universität Absolventenzahlen x T Branche Beispielprozess Regler für Wissenschaft/ Forschung Teilchenbeschleuniger Magnetfeldstärke, elektrische Feldstärke Industrie/ Roboter Lage jeder Achse Sensor Nachrichten-/ Satelliten-Funk Nachführung der Antennen Datentechnik Rundfunk/ Rundfunkempfänger Automatic Frequency Control (AFC) elektronische Medien Versorgungstechnik Klimaanlage Temperatur, Luftfeuchtigkeit Verkehrstechnik Schiff, Flugzeug Kurs-Zielführung, Autopilot medizinische eräte Computertomograph Lage bei der Bildaufnahme Konsumgüter Video-Bildröhre, Strahlhelligkeit, Belichtungsstärke Laserdrucker/Kopierer Umwelttechnik Ölkraftwerk Verbrennungsgüte Raumfahrt Satelliten-Bahnkorrektur Triebwerke Tabelle 4.2._0: Anwendung von Regelalgorithmen in technischen Branchen 76

77 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Dynamische Betrachtung Bisher wurde vereinfachend angenommen, der Prozess (die Systeme der Regelstrecke) und die Softwarealgorithmen (die Objekte im Regler) hätten statische Eigenschaften und könnten deshalb durch einfache Übertragungsfaktoren S und R beschrieben werden. In den meisten praktischen Anwendungsfällen ist diese Annahme nicht gerechtfertigt, weil man dort dynamische Systeme vorfindet. Im Folgenden werden die Untersuchungen daher für den dynamischen Fall wiederholt. Fast alle bereits eingeführten rundprinzipen und Bezeichnungen sind aber weiterhin gültig. D Regelstrecke. Der Prozess, dessen Zustand geregelt werden soll, wird auch Regelstrecke genannt. Es handelt sich dabei fast immer um zeitkontinuierliche Systeme, deren Modelle durch Messung oder Berechnung gewonnen werden müssen. Eine Regelstrecke wird nunmehr also alle in Kapitel 2.2 dargestellten Systemeigenschaften aufweisen. Ist sie (näherungsweise) linear, kann ihr Verhalten vollständig und hinreichend mit den bekannten, komfortablen Methoden beschrieben werden (ewichtsfunktion g(t), Übertragungsfunktion (f)). D Regelabweichung. rundprinzip aller Regelverfahren ist auch hier wieder die Berechnung der Differenz zwischen der gewünschten Führungsgröße w und der tatsächlichen Regelgröße x, welche als Regelabweichung oder Regeldifferenz e bezeichnet wird (e = w x ). Der berechnete Wert e wird dem eigentlichen Regelalgorithmus zugeführt. Neu ist nur, dass alle Signale jetzt zeitabhängig sind und mit w(t), x (t), e(t), y(t), x(t), z(t) usw. beschrieben werden müssen. Auch für die Regelalgorithmen (Software-Objekte) entfällt nun die Einschränkung auf statische Eigenschaften. Sie dürfen jetzt beliebiges dynamisches Verhalten aufweisen. Für ihre estaltung sollen zunächst fast alle Freiheiten erlaubt und nur wenige Einschränkungen festgelegt werden: sie sollen lineare Systemeigenschaften haben, weil ihre mathematische Behandlung dann leichter ist sie müssen zeitdiskrete Systemeigenschaften haben, da sie auf einem Rechner implementiert werden sollen. y(t) Regler e(t) Bild 4.2.2_0: Regelalgorithmus als Softwareobjekt Ohne die Allgemeinheit zu beschränken, wird es sich also stets um allgemeine, lineare Abtastsysteme handeln. Die dafür bereits bekannte Differenzengleichung beschreibt also auch alle jemals denkbaren Regleralgorithmen. 77

78 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen D Allgemeiner lineaer digitaler Regler. In Rechnern werden fast ausschließlich Regelalgorithmen nach dem Vorbild des allgemeinen linearen Abtastsystems implementiert, welche die Regelabweichung e als Eingangsgröße benutzen. F y( it) b e( it) b e(( i ) T) b e(( i 2) T)... b e(( i m) T) 0 2 a y(( i ) T) a y(( i 2) T)... a y(( i n) T) 2 n m Bild 4.2.2_20: Datenflussgraph allemeiner linearer digitaler Regler Alle in der Praxis zu Reglerzwecken benutzten Software-Algorithmen sind stets nur Spezialfälle, die aus der allgemeinen Differenzengleichung bzw. aus dem allgemeinen Datenflussgraphen durch Weglassen bestimmter Terme hervorgehen. Zur Untersuchung konkreter Reglereigenschaften benutzt man nicht die allgemeine leichung, sondern muss die Strukturen und das Verhalten dieser Spezialfälle studieren und klassifizieren. 78

79 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen P/I/D-Regler und ihre Eigenschaften Die zahlreichen Freiheitsgrade zur estaltung von Spezialfällen des allgemeinen linearen digitalen Reglers werden in der Praxis kaum genutzt. Etwa 95% der tatsächlich eingesetzten Algorithmen sind vom PID-Typ, bestehen also aus einer Parallelschaltung der elementaren Systemtypen P, I und D in verschiedenen Variationen. Wenn nachfolgend deren Eigenschaften genauer untersucht werden, so bereitet dies den Informatiker auf den Standard- Einsatzfall in seiner beruflichen Praxis vor. P I D Bild 4.2.2_30: Regelalgorithmus vom PID-Typ Vorbetrachtungen Die Verhaltenseigenschaften aller Varianten des PID-Typs sollen miteinander verglichen werden, indem die gleiche Regelaufgabe an einer einheitlichen Regelstrecke gelöst wird. Als einfache und zugleich repräsentative Strecke wird ein T -System gewählt. Es wird angenommen, dass der Regelkreis vorher (bis zum Zeitpunkt t = 0) in Ruhe war, d. h. alle rößen w(t), x (t), e(t), y(t), x(t), z(t) usw. sind für alle Zeiten t < 0 gleich null. Dann gibt es nur zwei unabhängig von außen einwirkende Signale, welche den Regelkreis aus diesem leichgewicht bringen können: Dies sind z(t) und w(t), denn alle anderen sind nur abhängige rößen. Je nach dem hauptsächlichen Ziel der Regelaufgabe unterscheidet man folgerichtig auch die zwei zugehörigen Betriebsarten: Führungs- (w(t)) und Störungsbetrieb (z(t)). D D Führungsbetrieb. Beim Führungsbetrieb spielen Störungen und deren Ausregelung eine untergeordnete Rolle (z = 0). Stattdessen ändert sich die gewünschte Führungsgröße w signifikant, und der Regler soll die Regelgröße x entsprechend ändern. Als Testsignal eignet sich ein Sprung der Führungsgröße w(t) mit anschließender Messung der Führungssprungantwort x(t). Störungsbetrieb. Beim Störungsbetrieb (Festwertbetrieb) muss ein fester Soll-Zustand aufrecht erhalten werden, weshalb die Führungsgröße w konstant ist. Üblicherweise ändert sich die Störgröße z, und der Regler muss diese Störung ausregeln. Als Testsignal zur Messung der Qualität des Reglers (Regelgüte) eignet sich ein Sprung am Störgrößeneingang z(t), wobei man das Zeitverhalten der Regelgröße x(t) beobachtet (Störungssprungantwort). 79

80 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen P-Regler Als Regelalgorithmus wird zuerst ein Proportional-System benutzt: P Bild 4.2.2_40: Proportional-System y(t) Regler P y(i) = K P e(i) Prozess T x(i) = ( - ) y(i) + x(i - ) e(t) w(t) x (t) x(t) + z(t) Bild 4.2.2_50: Regelkreis mit P-Regler. Fall: Führungsbetrieb (z(t) = 0 für - < t < ) w(t) y(t) x(t) w K PW w e B y B t t t Bild 4.2.2_60: Reaktion des P-Regelkreises auf einen Sprung der Führungsgröße w(t) Am Anfang des Regelvorganges setzt sich der sprungartige Anstieg von w(t) wegen x (t) = 0 schnell im Verlauf der Regelabweichung e(t) fort, so dass auch die Stellgröße y(t) zunächst sprungartig ansteigt. Erst allmählich reagiert am Streckenausgang auch x(t) auf diesen Stelleingriff und wächst in der für T -Systeme üblichen Art langsam an. Dadurch wird jedoch schrittweise e(t) wieder reduziert, so dass auch y(t) langsam wieder zurückgeht. Am Ende des Regelvorganges wird ein leichgewichtszustand erreicht, bei dem die Regelgröße x(t) die Führungsgröße w(t) fast erreicht hat. Die verbleibende Regelabweichung e(t) ist zwar gering, reicht aber aus, um die notwendige Stellgröße y(t) aufrecht zu erhalten. Ein Nachteil des P-Reglers besteht also darin, dass er die gewünschte Führungsgröße w niemals vollständig erreichen kann. 80

81 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen D Bleibende Regelabweichung. Als bleibende Regelabweichung bezeichnet man diejenige Regelabweichung e B eines P-Reglers, die zur Aufrechterhaltung seiner Stellgröße y B = K P. eb erforderlich ist. 2. Fall: Störungsbetrieb (w(t) = 0 für - < t < ) z(t) y(t) x(t) y B z t - K Pz t - z e B t Bild 4.2.2_70: Reaktion des P-Regelkreises auf einen Sprung der Störgröße z(t) T Vorteile Nachteile - schnelle Reaktion am Anfang (+) - bleibende Regelabweichung am Ende (-) Tabelle 4.2.2_0: Eigenschaften des P-Reglers B Beispiel: Dimensionierung des P-Reglers, um minimale Regelabweichung zu erzielen Am Ende des Regelvorganges hat sich ein leichgewichtszustand mit einer konstanten, bleibenden Regelabweichung e B eingestellt, der wieder eine mathematische Betrachtung mit den statischen leichungen zulässt. Bereits bei der Untersuchung des statischen Regelkreises im Kapitel 4.2. wurde ermittelt, wie man das Ziel e = (w - x ) = 0 möglichst gut erreicht. Analysiert man die Abhängigkeit des Führungsübertragungsfaktors von 0, dann erkennt man, dass das Idealziel (x = w) um so besser erreicht wird, je größer die Regelkreisverstärkung 0 ist. Während die Eigenschaften der Strecke ( S ) als gegeben hingenommen werden müssen, sollte der Programmierer die Verstärkung des Reglers R also möglichst groß wählen. Jedoch kann so das Ideal x = w niemals vollkommen erreicht werden: es bleibt immer ein kleiner Rest übrig die bleibende Regelabweichung e B. 0 x' 0 w 0 w x' w w 0 e B w 0 eb w w 0 0 ½ O Bild 4.2.2_80: Abhängigkeit der bleibenden Regelabweichung e B von der Regelkreisverstärkung 0 8

82 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Eine Vergrößerung von K P bzw. 0 verringert nicht nur e B, sondern verbessert auch die Wirksamkeit des P-Reglers am Anfang des Regelvorganges weiter. Die Stellgröße y(t) erreicht größere Werte (starker Regeleingriff) und zwingt die Strecke zu einem schnelleren Anstieg von x(t). Die Manipulation von K P ist jedoch kein Allheilmittel, um die Eigenschaften des P-Reglers beliebig zu verbessern. Eine zu starke Vergrößerung von K P schießt stattdessen über das Ziel hinaus, denn sie führt zum Schwingen des Systems (Instabilität). Bild 4.2.2_90: Instabilität (Schwingen) eines P-Regelkreises infolge zu starken Regeleingriffs (K P ) t 82

83 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen I-Regler An Stelle des P-Reglers wird jetzt ein Integral-System als Regelalgorithmus benutzt: I Bild 4.2.2_00: Integralsystem y(t) Regler e(t) I w(t) y(i) = T K I e(i) + y(i - ) x (t) Prozess T x(i) = ( - ) y(i) + x(i - ) x(t) + z(t) Bild 4.2.2_0: Regelkreis mit I-Regler Führungsbetrieb (z(t) = 0 für - < t < ) w(t) y(t) x(t) w w t t t Bild 4.2.2_20: Reaktion des I-Regelkreises auf einen Sprung der Führungsgröße w(t) Am Anfang des Regelvorganges setzt sich der sprungartige Anstieg von w(t) wegen x (t) = 0 schnell im Verlauf der Regelabweichung e(t) fort. Anders als beim P-Regler steigt die Stellgröße y(t) jedoch nur langsam an, weil der I-Algorithmus seine Eingangswerte e(t) schrittweise integriert. Ebenso allmählich reagiert am Streckenausgang auch x(t) auf diesen Stelleingriff und wächst in der für T -Systeme üblichen Art langsam an. Dadurch wird jedoch schrittweise e(t) wieder auf null reduziert, so dass am Ende der Integrationsvorgang zum Erliegen kommt und y(t) daraufhin konstant bleibt. Am Ende des Regelvorganges wird ein leichgewichtszustand erreicht, bei dem die Regelgröße x(t) die Führungsgröße w(t) exakt erreicht hat. Die Regelabweichung e(t) wird exakt null, es gibt also keine bleibende Regelabweichung. Die notwendige Stellgröße y(t) wird vom Integralanteil aufrecht erhalten, der im Regelalgorithmus gespeichert bleibt. 83

84 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Ein Vorteil des I-Reglers besteht also darin, dass er die gewünschte Führungsgröße w tatsächlich vollständig erreichen kann. T Vorteile - keine bleibende Regelabweichung am Ende (+) Tabelle 4.2.2_20: Eigenschaften des I-Reglers Nachteile - langsame und träge Reaktion am Anfang (-) B Beispiel: Dimensionierung des I-Reglers, um minimale Regelabweichung zu erzielen Auch beim I-Regler verbessert eine Vergrößerung von K I die Wirksamkeit am Anfang des Regelvorganges weiter und reduziert damit generell die Regelabweichung e(t). Die Stellgröße y(t) erreicht größere Werte (starker Regeleingriff) und zwingt die Strecke zu einem schnelleren Anstieg von x(t). Die Manipulation von K I ist jedoch auch hier kein Allheilmittel, um die Eigenschaften des I-Reglers beliebig zu verbessern. Eine zu starke Vergrößerung von K I schießt stattdessen über das Ziel hinaus, denn sie kann zum Schwingen des Systems führen. PI-Regler Da P- und I-Algorithmus genau komplementäre Vor- und Nachteile haben, liegt es nahe, durch geschickte Kombination die Vorteile beider Algorithmen auszunutzen. Tatsächlich addieren sich durch die Parallelschaltung von P- und I-Regler die Vorteile beider Algorithmen, während zugleich die jeweiligen Nachteile beseitigt werden. P I Bild 4.2.2_30: PI-System Am Anfang des Regelvorgangs ist ausschließlich die schnelle Reaktion des P-Anteils wirksam, während der I-Anteil erst langsam mit der Integration beginnt. Sobald der P-Anteil am Ende des Regelvorgangs langsam seinen leichgewichtszustand erreicht, überwiegt die Wirkung des I-Anteils, welcher nun schrittweise die bleibende Regelabweichung beseitigt. T Vorteile - schnelle Reaktion am Anfang (+) - keine bleibende Regelabweichung am Ende (+) Tabelle 4.2.2_30: Eigenschaften des PI-Reglers 84 Nachteile

85 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen D-Regler An Stelle des I-Reglers wird jetzt ein Differenzial-System als Regelalgorithmus benutzt: D Bild 4.2.2_40: Differenzialsystem Regler D e(t) w(t) y(t) y(i) = K D / T (e(i) + e(i - )) x (t) Prozess T x(i) = ( - ) y(i) + x(i - ) x(t) + z(t) Bild 4.2.2_50: Regelkreis mit D-Regler Führungsbetrieb (z(t) = 0 für - < t < ) Am Anfang des Regelvorganges setzt sich der sprungartige Anstieg von w(t) wegen x (t) = 0 schnell im Verlauf der Regelabweichung e(t) fort. Da der D-Algorithmus die. Ableitung von e(t) berechnet, führt die Flanke des Sprunges zu einer extrem großen Stellgröße y (theoretisch unendlich). Durch die Trägheit der T -Strecke bleibt jedoch die Regelgröße x(t) zunächst noch klein, so dass sich e(t) im nächsten Moment kaum ändert. Deshalb ist die. Ableitung von e(t) im nächsten Moment wieder null und die Stellgröße y(t) geht zurück. Als Vorteil ermöglicht diese Eigenschaft dem D-Algorithmus am Anfang des Regelvorganges eine extrem schnelle Wirkung. Da er auf die Änderungsgeschwindigkeit de/dt reagiert, führt er bereits einen starken Stelleingriff y(t) aus, auch wenn der eigentliche Wert der Regelabweichung e selbst noch gering ist. Wie ein Hellseher berücksichtigt er gewissermaßen vorausschauend den Umstand, dass bei hoher Änderungsgeschwindigkeit in Kürze auch ein hoher Wert der Regelabweichung zu erwarten sein wird. Von Nachteil ist, dass der D-Algorithmus keine Stellgröße mehr erzeugt (y=0), sobald e(t) aus irgendeinem runde konstant bleibt. Er gibt sich also mit jedem noch so großen Wert von e(t) zufrieden, wenn nur die. Ableitung de/dt gleich null wird. Deshalb ist von einem D-Algorithmus kaum zu erwarten, dass er die Regelgröße x(t) zielgerichtet an die Vorgabe der Führungsgröße w(t) heranführt. Ein reiner D-Algorithmus ist deshalb praktisch unbrauchbar. Man kann seine Reaktionszeit-Vorteile jedoch in Kombinationen mit anderen Algorithmen ausnutzen. 85

86 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Folgende Rechnung zeigt, dass die Führungsgröße w(t) überhaupt keinen Einfluss mehr auf die Arbeit des D-Algorithmus (d. h. die von ihm erzeugte Stellgröße) mehr hat, solange sie konstant bleibt (z. B. nach einem Führungssprung): de y() t KD dt e e KD y( i) KD KD e( i) e( i ) t T T K D y( i) w( i) x( i) w( i ) x( i ) T Damit verschwindet bei konstanter Führungsgröße w(i) = w(i - ) wegen K D y( i) x( i ) x( i) T die Führungsgröße w vollkommen aus der leichung und bleibt somit ohne jeden Einfluss auf die Stellgröße y. T Vorteile Nachteile - extrem schnelle Reaktion am Anfang (++) - gibt sich am Ende mit jedem Wert von x(t) zufrieden, solange nur de/dt = 0 ist (--) Tabelle 4.2.2_40: Eigenschaften des D-Reglers PD-Regler Da der P-Algorithmus alleine bereits praktisch arbeitsfähig ist und der D-Anteil zusätzlich vorausschauende Eigenschaften aufweist, liegt es nahe, durch geschickte Kombination die Vorteile beider Algorithmen auszunutzen. Tatsächlich addieren sich durch die Parallelschaltung von P- und D-Regler die Vorteile beider Algorithmen, während zugleich die jeweiligen Nachteile beseitigt werden. P D Bild 4.2.2_60: PD-System 86

87 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Am Anfang des Regelvorgangs ist ausschließlich die extrem schnelle Reaktion des D-Anteils wirksam, während unmittelbar darauf der P-Anteil für den Rest des Regelvorganges verantwortlich ist. Am Ende wirkt also nur der P-Regler, der nunmehr wieder eine bleibende Regelabweichung zurücklässt. T Vorteile Nachteile - extrem schnelle Reaktion am Anfang (++) - bleibende Regelabweichung am Ende (-) Tabelle 4.2.2_50: Eigenschaften des PD-Reglers PID-Regler Beim PID-Algorithmus wird versucht, die Vorteile aller drei Einzelkomponenten zu kombinieren, indem man sie in einer Parallelschaltung zusammenfügt. P I D Bild 4.2.2_70: PID-System Am Anfang des Regelvorganges kann die extreme Reaktionsgeschwindigkeit des D-Anteils ausgenutzt werden. In der Mitte wird hauptsächlich der P-Anteil wirksam. Am Ende beseitigt der I-Anteil die bleibende Regelabweichung. T Vorteile - alle Vorteile der P-, I- und D-Algorithmen (++) Tabelle 4.2.2_60: Eigenschaften des PID-Reglers Nachteile - es müssen drei Parameter K P, K I und K D optimal dimensioniert werden (-) 87

88 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Vergleich der Eigenschaften aller Regler vom PID-Typ. Fast 95% aller derzeit implementierten Regelalgorithmen leiten sich aus den einfachen Spezialfällen des allgemeinen linearen digitalen Reglers ab und gehören deshalb zur sogenannten PID-ruppe. Die folgende Tabelle beschreibt die im üblichen Führungsbetrieb bzw. Störungsbetrieb jeweils erreichbare Regelgüte. Der P-Regler reagiert anfangs schnell (+), es bleibt aber auf Dauer eine prinzipbedingte, bleibende Regelabweichung bestehen (-). Der I-Regler reagiert zunächst träge (-), lässt jedoch keine bleibende Regelabweichung zurück (+). Kombiniert man beide in einer Parallelschaltung, so vereinigt der resultierende PI-Regler beide Vorteile in sich. Der D-Regler kann anfangs zwar besonders schnell auf jede Änderung reagieren (++), gibt sich später jedoch mit jedem beliebigen stabilen Endzustand zufrieden (--) und ist deshalb in reiner Form als Regler unbrauchbar. In einer Parallelschaltung als Bestandteil des PD- Reglers wird dieser Nachteil durch den P-Anteil ausgeglichen, während der Vorteil des D- Anteils erhalten bleibt. Der PID-Regler vereinigt alle Vorteile und kann daher fast alle praktischen Regelungsprobleme lösen. T Erreichbare Regelgüte am Regler Anfang Ende des Regelvorganges P + - I - + PI + + D PD ++ - PID ++ + Tabelle 4.2.2_70: Vorteile (+) und Nachteile (-) üblicher Regler bei typischen Regelvorgängen (Störungssprungantwort, Führungssprungantwort an T -Strecke) 88

89 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Analyse durch Rechner-Simulation Reglerentwurf. Der Entwurf eines Reglers erfolgt meist in zwei Stufen. Zunächst wird aus den verschiedenen Reglertypen eine geeignete Reglerstruktur ausgewählt (Strukturierung), danach müssen die dort enthaltenen Koeffizienten (Parameter a, b) festgelegt werden (Parametrierung). Strukturierung. Zur Vorbereitung der Strukturauswahl muss durch Messungen an der Regelstrecke festgestellt werden, zu welchem Modelltyp sie gehört. Dabei führt man ihr übliche Testsignale zu und zeichnet ihre Antworten auf. Die folgende Tafel stellt die für den jeweiligen Streckentyp empfehlenswerten Reglertypen dar. Verhalten der Strecke (Sprungantwort) Reglertyp empfehlenswert? P I PI PD PID n j j n n Totzeit Totzeit und Verzögerung. Ordnung n j j n j j n j j j Verzögerung. Ordnung j n j j j I-Verhalten Bild 4.2.3_0: eeignete Regelalgorithmen für häufig vorkommende Regelstrecken Parametrierung. Aus dem gemessenen Streckenverhalten (z.b. Sprungantwort) lassen sich weitere Kenngrößen ablesen (Totzeiten, Verzögerungszeiten, Anstiege). Die Literatur hält zahlreiche Einstellregeln in Form von Tabellen bereit, mit deren Hilfe man aus diesen Kenngrößen die Parameter a, b des Regelalgorithmus berechnen kann. Liegt sogar das zeitdiskrete Modell der Regelstrecke vor, so bieten CAD-Werkzeuge die Möglichkeit, den geschlossenen Regelkreis auf einem Entwurfsrechner zu simulieren (Regleranalyse) und durch Anwendung numerischer Optimierungsverfahren die Parameter des Reglers automatisch entwerfen zu lassen (Reglersynthese). 89

90 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Die Benutzung von Simulationswerkzeugen hat viele Vorteile: Untersuchungen können beginnen, wenn die reale Anlage noch gar nicht existiert. Das Studium auch extremer Situationen ist ohne efährdung der realen Anlage möglich. Die Erprobung verschiedenster Reglervarianten vollzieht sich ohne Störung des Prozesses (Produktionsausfall). Durch sorgfältigere Reglergestaltung verbessert sich die Regelgüte. Dabei kann das Regelkreisverhalten auch nach anderen Kriterien beurteilt werden, als sie beim Entwurf (z.b. Einstellregeln) zunächst zugrunde gelegt wurden (z.b. durch andere Eingangssignale). Das Verhalten des Regelkreises kann auch beim Vorhandensein von Regelkreisgliedern untersucht werden, die beim Entwurf nach Einstellregeln nicht berücksichtigt werden konnten (z.b. Nichtlinearitäten, Struktur- und Parameterabweichungen im mathematischen Streckenmodell). Es sind zeitgeraffte Untersuchungen möglich, besonders bei Prozessen mit großen Zeitkonstanten und kompliziertem Verhalten. Es besteht jederzeit ein problemloser Ein- und Überblick über den Verlauf aller im Kreis vorkommenden rößen sowie komfortable Protokollmöglichkeiten. Dies erfordert in der Praxis vor allem bei räumlich verteilten oder schwer zugänglichen Anlagenelementen mitunter großen Aufwand. Einfluss einer Strecken-Totzeit Sobald Regelstrecken nennenswerte Totzeiten enthalten, bereiten sie in geschlossenen Signalzyklen besondere Probleme. x x 95% T t T u t T t T u t T 95 T g T u = Ausgleichszeit = Verzugszeit T t T 95 = Totzeit = Einschwingzeit bis auf 95% des Endwertes Bild 4.2.3_20: Antwort typischer Regelstrecken auf einen Stellgrößen-Sprung (Übergangsverhalten) Links: Strecke mit Ausgleich Rechts: Strecke ohne Ausgleich 90

91 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Durch die Totzeit wird die Aufgabe für den Regler schwieriger, da er die Wirkung seiner Stelleingriffe y(t) erst mit großer Verspätung am Ausgang x(t) der Strecke messen kann. Die Regelbarkeit der Strecke wird umso schlechter, je mehr Totzeit T t im rößenvergleich mit den übrigen Zeitkennwerten an Bedeutung gewinnt: Tg Bei 0 T T t u ist die Strecke gut regelbar. Tg Bei 3 T T t u ist die Strecke schlecht regelbar. B Beispiel aus dem technischen Bereich: Bei der Dusche wird mit einem Stellventil heißes und kaltes Wasser so gemischt, dass eine angenehme Temperatur entsteht. Die Laufzeit des Wassers in der Zuleitung zum Brausekopf wirkt als Totzeit und ist die Ursache für ständige Schwingungen (Instabilitäten) in diesem Regelkreis. B Beispiel aus dem nichttechnischen Bereich: Wechselnde Berufsaussichten y beeinflussen Bewerber- und Absolventenzahlen x der Universitäten und sorgen dafür, dass der Bedarf an Neueinstellungen (Führungsgröße w) im Mittel gedeckt wird. Die Ausbildungszeit in den Universitäten wirkt als Totzeit (T t > 5 Jahre) und ist Ursache für ständige Schwingungen (Instabilitäten) in diesem Regelkreis. Berufsaussichten y Wirtschaft Universität Absolventenzahlen x Bild 4.2.3_40: Instabiler Regelkreis des Stellenmarktes für Absolventen 9

92 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Synthese durch Rechner-Optimierung In den vorangegangenen Kapiteln wurden Möglichkeiten gezeigt, gefundene Hard- und Softwarelösungen durch Simulation, Test usw. zu analysieren und damit zu prüfen, inwieweit sie sich zur Erfüllung der ursprünglich gestellten Automatisierungsaufgabe eignen. Will man möglichst gute Ergebnisse erreichen, so wird sich an eine solche Analyse meist eine Überarbeitung der entwickelten Algorithmen, Programme usw. anschließen. Dieses mehr oder weniger zielgerichtete Einarbeiten von Änderungen wird sehr stark von der Intuition des Ingenieurs geprägt, welcher dabei oft um gewisse Formen des "systematischen Probierens" nicht umhinkommt. Viele ingenieurmäßige Entwurfsmethoden nutzen dabei das Prinzip der Synthese durch iterative Analyse aus (siehe Bild 4.2.4_0). Dabei wird jede Lösung durch den Ingenieur entsprechend der konkreten Aufgabe analysiert, Änderungen am Entwurf vorgenommen und deren Ergebnisse durch eine erneute Analyse überprüft. Dieser Prozess wird gegebenenfalls mehrfach wiederholt, wobei manche Änderungen auch rückgängig gemacht werden müssen, wenn sich die in sie gesetzten Erwartungen nicht erfüllen. Die bereits dargestellten rechnergestützten Analyseverfahren erleichtern diese Vorgehensweise, indem durch Simulation, Emulation oder Test der Einfluss von Änderungen auf das esamtergebnis sehr schnell überprüft werden kann. So können Untersuchungen des geschlossenen Regelkreises nicht nur an der konkreten Anlage, sondern auch durch Simulation am Rechnermodell stattfinden. Über diese Analyse hinaus werden bei der rechnergestützten Optimierung nunmehr auch die Entwurfsänderungen von einer mathematischen Optimierungsstrategie gesteuert, welche die im Analyseteil ermittelte üte des Entwurfs auswertet. Am weitesten entwickelt ist diese Vorgehensweise beim Entwurf von Mikrorechnerreglern, weshalb im Folgenden vorzugsweise auf diese Anwendung Bezug genommen wird. Ausgehend vom mathematischen Regelkreismodell und einem durch den Nutzer eingebrachten Anfangsentwurf kann der Entwurfsrechner jetzt also die Reglerkennwerte selbstständig derart abändern, dass die geforderte Regelaufgabe von Optimierungsschritt zu Optimierungsschritt zunehmend besser erfüllt wird. Über die Analyse hinaus ist damit auch eine rechnergestützte, iterative Dimensionierungssynthese des Reglers möglich. Ein ähnliches Vorgehen ist auch in anderen Bereichen der Elektronik üblich, z. B. beim Entwurf von Schaltungen oder Bauelementen. 92

93 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen. Formulierung der funktionellen Anforderungen, Beurteilungskriterien, Wünsche und Randbedingungen 2. theoretische Analyse der Strecke 3. praktische Messungen an der Strecke 4. Bildung eines mathematischen Prozessmodells 5. Nachbildung des Modells am Rechner 6. Annahme einer Regelstruktur (Kaskade, Störgrößenaufschaltung) 7. Auswahl eines Regelalgorithmus 8. vorläufige Dimensionierung des Reglers (z.b. Einstellregeln) 9. Simulation des geschlossenen Regelkreises am Rechner 0. Bewertung der Regelgüte Optimierung. Festlegung notwendiger Änderungen 2. Erprobung des Reglers an der realen Strecke 3. Bewertung der Regelgüte Bild 4.2.4_0: Entwurf (Synthese) durch iterative Analyse am Beispiel eines Mikrorechner- Reglers. Einzelne Punkte können dabei gegebenenfalls übersprungen oder (iterativ) mehrmals durchlaufen werden. Für fast alle Punkte ist Rechnerunterstützung möglich. 93

94 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Variable und ütekriterien Soll der Ingenieur durch gezielte Entwurfstätigkeit die Eignung des Reglers verbessern, so muss er die Möglichkeit haben, bestimmte Eigenschaften und rößen nach seinen Wünschen zu variieren. Neben den P-, I- und D-Anteilen sowie der Tastzeit bei quasistetigen Reglern könnten dies beispielsweise auch Schaltschwellen, rößen der Messwertverarbeitung (Filterkoeffizienten) usw. sein. Diese der zielgerichteten Veränderung zugänglichen rößen sollen Variable i genannt werden. Dabei kann der Ingenieur im einfachsten Falle zunächst jeder Variablen nach seinem Ermessen einen beliebigen Wert geben. Stehen ihm mehr als eine Variable zur Verfügung, so erhöht sich die Vielfalt der Möglichkeiten, da zunächst auch beliebige Kombinationen der Variablenwerte,..., n denkbar sind, = (, 2,..., n ). Ist die Zahl der Variablen gleich zwei (z.b. P, I in Bild 4.2.4_20), so sind als Kombinationen alle Punkte der durch die Koordinatenachsen P und I aufgespannten Ebene möglich, weshalb die Variablen,..., n häufig auch als Komponenten eines Vektors im Variablenraum bezeichnet werden. Der Ingenieur weiß, dass nicht alle Kombinationen sinnvoll sind, weil z.b. viele Werte praktisch gar nicht realisiert (eingestellt) werden können (Restriktionen). x = KP x = KP x 2=KI x 2=KI Bild 4.2.4_20: ütegebirge (ütekriterium ) als Funktion zweier Variabler am Beispiel eines quasistetigen PI-Reglers links: räumliche Darstellung rechts: Höhenliniendarstellung (Projektion) 94

95 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Eine rationale Entscheidung zwischen verschiedenen Entwurfsvarianten setzt einen Bewertungsmaßstab voraus, ein ütekriterium, gemäß dem die eine Lösung als besser, die andere als schlechter klassifiziert werden kann. Mitunter ist die klare Definition des ütekriteriums der schwierigste Abschnitt beim Optimieren. Sollen mehrere Teilziele verfolgt werden, so muss man die einzelnen Kriterien relativieren, sie gewichten. Oft widersprechen sie sich, so dass Kompromisslösungen gefunden werden müssen. Die dem Regelungstechniker bekanntesten Kriterien sind z.b. die absolute und quadratische Regelfläche: e() t dt absolute Regelfläche 0 2 ( e( t)) dt 0 quadratische Regelfläche In jedem praktischen Anwendungsfall wird dabei auf andere Eigenschaften Wert gelegt, so dass unterschiedliche Formulierungen nebeneinander üblich sind: - Kennwerte der Übergangsfunktion/Sprungantwort: Anstiegszeit, Ausregelzeit, Überschwingweite; - Integralkriterien: Lineare Regelfläche, betragslineare Regelfläche, quadratische Regelfläche - Kennwerte der Stellgröße: maximale Stellgröße, Stellgrößenfläche, Änderungsgeschwindigkeit der Stellgröße als Maß für die Stellgliedbeanspruchung. Alle Reglervarianten müssen dabei unter geeigneten und jeweils identischen Betriebsbedingungen simulativ untersucht werden, wobei der Regelkreis meist mit einem Führungs- oder Störgrößensprung beaufschlagt wird. w ideale Sprungantwort reale Sprungantwort Bild 4.2.4_30: Definition der absoluten Regelfläche bei einer Führungsantwort 95

96 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Die Fähigkeit des Reglers, Führungs- und Regelgröße dabei in Übereinstimmung zu halten, ist an der entstehenden Regelabweichung e ablesbar und wird im ütekriterium Regelfläche auf verschiedene Weise quantifiziert. Bei der digitalen Simulation ist nur eine endliche Zahl N von Werten e i zu diskreten Zeitpunkten t i verfügbar, was zu nachfolgenden Formeln führt: N 2 e i ) i0 (. Ein optimal entworfener Regler wird, bezogen auf eine definierte Zahl N von Zeitstützstellen T, diese Summe möglichst gering halten. Durch die Quadrierung wird verhindert, dass sich positive und negative Abweichungen gegenseitig aufheben. Auch die Beanspruchung des Stellgliedes beim Regelvorgang ist ein weiteres ütekriterium, weil hierdurch unmittelbar dessen Lebensdauer in der Anlage bestimmt wird. Deshalb wird aus der Abweichung y i des Stellgliedes von seiner stationären Endstellung y im eingeschwungenen Zustand eine Stellfläche 2 definiert: 2 N 2 ( yi ) mit i i i0 y y y Auch das Testsignal muss definiert vereinbart werden, wobei meist eine Sprungfunktion verwendet wird. Um den Regler bezüglich des Führungsverhaltens zu optimieren, gibt man also einen Sollwertsprung auf den Reglereingang, bei der Optimierung des Störverhaltens muss ein Störgrößensprung auf den Prozess gegeben werden. Da die Reglerkenngrößen für optimales Führungsverhalten meist andere sind als für optimales Störverhalten, sind Kompromisse notwendig. Die gewichtete Verwendung mehrerer Teilkriterien im Rahmen eines kombinierten Kriteriums läuft in der Regel auf einen Kompromiss zwischen diesen hinaus, da die im einzelnen erhobenen Forderungen infolge der inneren Zusammenhänge des Regelkreises einander widersprechen: N 2 2 ( i ) i0 e r y Der Stellaufwand (Stellfläche) ist hier gegenüber der Regelfläche durch den Faktor r gewichtet, d.h. je größer r gewählt wird, desto mehr muss der Stellaufwand beim Entwurf bestraft werden und desto ruhiger wird deshalb das Regelverhalten. So kann durch Verringerung des Reglereingriffes (z.b. Reduzierung der Verstärkungen K P ; K I ) ein immer gedämpfteres Regelverhalten erreicht werden. Sorgt man durch stärkere Beachtung des Wichtungsfaktors r für geringere Stellgliedausschläge, so behindert man aber zwangsläufig die Möglichkeiten des Reglers, durch Stellaktivitäten die Regelabweichung klein zu halten, weshalb sich dann in gleichem Maße die Regelfläche erhöht. Durch die Bestrafung von Abweichungen y wird mit wachsendem r der Stellgrößenverlauf einem Sprung auf y immer ähnlicher, so dass der Regelgrößenverlauf x(t) sich der Sprungantwort annähert. Es besteht also ein Zusammenhang zwischen der erreichbaren Regelfläche und dem dazu erforderlichen Stellaufwand (Stellfläche). Allerdings erreicht man bei immer stärkerem Reglereingriff irgendwann eine renze, ab der nur noch geringe Verbesserungen der Regelfläche durch eine 96

97 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen relativ dazu immer größer werdende Stellfläche erkauft werden müssen, so dass sinnvolle Kompromisse spätestens an dieser Stelle unbedingt erforderlich sind. Die Beiträge zur Regelfläche werden in den Praxis für jede Zeit-Stützstelle aus den jeweiligen Regeldifferenzen e gebildet und sukzessive aufsummiert. Mit den Elementen der Fachsprache können bei der digitalen Regelkreissimulation jedoch auch andere rößen gebildet und problemlos als ütekriterien verwendet wenden. Es ist möglich, das ütekriterium als Summe mehrerer dieser rößen zu bilden, welche dann sinnvoll untereinander gewichtet werden müssen, beispielsweise durch Einsatz von Multiplikationsoperatoren der Fachsprache. Das angestrebte Optimum kann ein Minimum sein, wenn das ütekriterium z.b. die Regelfläche beinhaltet, oder es ist im Falle anderer Kriterien ein Maximum. Systematische Suche Da der Zusammenhang zwischen den unabhängigen Variablen und den davon abhängigen ütewerten durch das entwickelte mathematische Modell (bei der Regelkreissimulation z. B. aus Fachsprachmodulen) implizit wiedergegeben wird, kann man durch systematisches Probieren einen gewissen Überblick gewinnen. Liegen Regelstreckenmodell und Testsignal (z.b. Sprung) fest, und gibt es nur eine einzige Variable (z.b. P-Regler), so kann der in Frage kommende Wertebereich schrittweise durchsucht und aus der jeweils simulierten Sprungantwort der zugehörige ütewert berechnet werden (Bild 4.2.4_40). Dabei hängt es vom Aufwand (z.b. Suchschrittweite) ab, ob man neben lokalen Extremwerten auch das globale Optimum findet (Sicherheit) und wie präzise diese Stelle lokalisiert wenden kann (enauigkeit) x =K P Bild 4.2.4_40: ütekriterium (Regelfläche) in Abhängigkeit von einer Variablen = K P. Eingezeichnet sind die bei einer systematischen Suche ermittelten Punkte. Analog zum Beispiel mit zwei Variablen (Bild 4.2.4_20) steigt der Suchaufwand mit zunehmender Variablenzahl immer mehr an. Jede Variablenkombination (Reglereinstellung) entspricht hier einem Punkt der Ebene. Es ergibt sich ein dreidimensionales ebirge (ütegebirge), dessen Oberfläche die Zuordnung zwischen der ütefunktion und den Variablen darstellt. Aus dieser dreidimensionalen Vorstellung und den daraus abgeleiteten zweidimensionalen Projektion werden Begriffe wie ipfel, Höhenlinie, Anstieg (radient), Plateau usw. entlehnt und in ihrer Bedeutung auf den mehrdimensionalen Fall ausgedehnt, obwohl Fälle ab drei Variablen kaum noch Anschaulichkeit besitzen. 97

98 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Deterministische Verfahren Die im vorigen Kapitel erkennbaren Parallelen zur Extremwertproblematik der Differenzialrechnung legen zunächst nahe, die dort entwickelten Methoden direkt zu übernehmen. Leider lassen sich nun wenige Probleme analytisch fassen, wobei meist leichungssysteme entstehen, die ihrerseits schwer lösbar sind. ewisse Denkweisen werden jedoch beim Einsatz sogenannter deterministischer Verfahren übernommen. In der englischsprachigen Literatur gibt es dafür den treffenden Begriff Hill-Climbing-Strategien (engl. hill climbing = einen Hügel erklimmen), da ihre Herangehensweise bei der Suche nach einem Optimum (Maximum) der intuitiven Art eines (blinden) Bergsteigers entspricht, der sich von einem Startpunkt aus schrittweise bis zum höchsten ipfel eines ebirges emportastet. Im Falle der Minimumsuche kehrt sich lediglich der Richtungssinn der Bewegungen um. Ausgehend von einer Anfangs-Variablenkombination werden die Variablen also in kleinen Schritten zielgerichtet derart verändert, so dass Schritt für Schritt ein immer besserer ütewert erreicht wird. Die zahlreichen bekannten Verfahren unterscheiden sich meist vor allem dadurch, wie sie die Schrittweite sowie die Schrittrichtung der Variablenänderung in Richtung einer üteverbesserung festlegen. Einfache Verfahren verändern probehalber jeweils nur eine Variable (Suchschritt in Koordinatenrichtung) und prüfen in einem Simulationslauf, ob die neue Variablenkombination den ütewert verbessert. Ist dies nicht der Fall, wird die Änderung rückgängig gemacht und der nächste Suchschritt in Richtung der nächsten Koordinate (Variablen) vollzogen. radientenverfahren ermitteln (z.b. durch Suchschritte) die partiellen Ableitungen der ütefunktion nach den Variablen i, also die Werte / i. Daraus kann der radient, also die Schrittrichtung hin zur bestmöglichen Verbesserung der ütefunktion, bestimmt werden. Wählt man die Schrittweite zu klein, so sind auf rund der größeren Schrittanzahl sehr viele Simulationsläufe notwendig, wodurch sich die Rechenzeit erhöht. Bei großer Schrittweite besteht andererseits die efahr, das Optimum zu verfehlen. Allgemeingültige Aussagen zur günstigsten Wahl der Schrittweite lassen sich kaum treffen. Die Anfangslösung (Startpunkt), von der ausgehend der Rechner dann allein das Optimum findet, muss wiederum intuitiv vom Ingenieur festgelegt werden, z.b. nach Erfahrungswerten oder Einstellregeln. Das Optimum wird dann als erreicht angesehen, wenn die vom Ingenieur festgelegte Abbruchbedingungen erfüllt sind. Mögliche Abbruchgründe können sein, dass der ütewert durch viele aufeinanderfolgende Iterationen kaum noch verbessert wird, dass sich die Werte der Variablen kaum noch ändern oder dass Rechenzeitgrenzen überschritten werden. Nach Erreichen des Optimums kann sich ein erneuter Optimierungslauf anschließen, um gegebenenfalls ein anderes lokales Optimum zu finden, wobei man sinnvollerweise von anderen Startpunkten ausgeht und eventuell auch die Anzahl und Art der Variablen, die ewichtung der Teil-ütekriterien usw. ändern kann. 98

99 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Zufallsverfahren Das einfachste Zufallsverfahren sucht blind und rein zufällig Variablenkombinationen heraus und berechnet durch einen Simulationslauf den jeweiligen ütewert. Aus diesen gleichverteilten Stichproben wird die beste als Optimum ausgewählt. Zur Realisierung dieser, auf rund ihrer Ähnlichkeit mit dem Roulettespiel auch als Monte-Carlo-Verfahren bezeichneten, Optimierungsstrategie wird im Rechner ein sogenannter Zufallsgenerator implementiert. Diese Strategie ist durch den hohen Anteil erfolgloser Stichproben meist wenig effektiv, da sie weder aus Erfolgen noch aus Misserfolgen zu lernen in der Lage ist. Deshalb sind zahlreiche Strategien zur Verbesserung des Kompromisses zwischen Zufälligkeit und Determiniertheit vorgeschlagen worden, wofür nachfolgend ein besonders einfaches Beispiel ausgewählt wurde. Die Entstehung von Optimalstrukturen ist auch eine Eigenschaft der biologischen Evolution. Die folgenden Betrachtungen werden zeigen, dass Evolutionsprinzipien eine sehr effektive, auch unter schwierigen Bedingungen zuverlässige sowie hinsichtlich der Zahl der notwendigen Mutationsschritte vorteilhafte Optimierungsstrategie liefern. Allerdings umfasst ein solches Minimalkonzept nur die zur Merkmalverbesserung unbedingt erforderlichen Komponenten des biologischen Prinzips, spiegelt also nur in sehr unvollkommener Weise die Vorgänge der natürlichen Evolution wider. Vom Standpunkt des Biologen geht es unter anderem von folgenden einschränkenden Annahmen aus: Die Populationsstärke bleibt stets konstant und besteht lediglich aus zwei Individuen. Selektion wird auf den Überlebenskampf dieser beiden Individuen gegeneinander reduziert. Ein Individuum unterliegt keiner Alterung und kann im Falle seiner selektiven Überlegenheit unendlich viele Nachkomnen auf ungeschlechtliche Weise erzeugen. Zwischen enotyp und Phänotyp gibt es keinen Unterschied. Die Umwelt und die durch sie bestimmten Kriterien der Lebensfähigkeit bleiben konstant. Mutationen sind zwar auch in der Natur als zufällige, ungerichtete Ereignisse anzusehen, treten dort aber in anderer Weise auf als am Rechner. 99

100 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Es existiert nur ein einziges Eltern- Individuum. Es existiert nur ein Regler, der durch einen Satz von Einstellparametern festgelegt ist. MUTATION Das Individuum erzeugt einen Nachkommen, dessen Erbeigenschaften sich geringfügig von den elterlichen unterscheiden. Die Abweichungen betreffen die einzelnen ene, sind zufällig und voneinander unabhängig. Beide Individuen sind aufgrund dieser Unterschiede bei gleicher Umwelt unterschiedlich lebensfähig. MUTATION Aus dem vorhandenen entsteht ein neuer Regler, dessen Eigenschaften sich geringfügig vom ursprünglichen unterscheiden. Die Abweichungen betreffen die einzelnen Einstellparameter des Reglers, sind zufällig und voneinander unabhängig. Beide Regler sind aufgrund dieser Unterschiede zur Regelung der vorliegenden Regelstrecke unterschiedlich geeignet (ütekriterium). SELEKTION Nur eines der beiden Individuen darf weitere Nachkommen erzeugen, nämlich das mit der besseren Lebensfähigkeit. Es wird zum Eltern-Individuum der nächsten eneration. SELEKTION Nur einer der beiden Regler bleibt weiter bestehen, nämlich der mit dem besseren ütewert. Der überlegenere Regler wird zum Ausgangspunkt der nächsten eneration, während den unterlegene in Vergessenheit gerät. Bild 4.2.4_50: Einfachstes Prinzip einer Evolutionsstrategie (links) Umsetzung der Evolutionsstrategie beim Entwurf von Reglern (rechts) 00

101 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Zur rechentechnischen Umsetzung der Evolutionsstrategie bietet die Literatur eine Auswahl leistungsfähiger Algorithmen an, die das natürliche Vorbild mit unterschiedlicher Detailtreue nachahmen. Reduziert man den Algorithmus auf seine elementaren rundzusammenhänge, so verbindet sich damit für den eingangs angesprochenen Anwenderkreis der Vorteil relativ einfacher und durchschaubarer Software, welche auch die Implementierung durch den Praktiker möglich werden lässt. Dies geschieht freilich im Vergleich zu komfortableren Lösungen um den Preis reduzierter enauigkeit, geringerer Sicherheit sowie geringerer Konvergenzgeschwindigkeit. Vor dem Start der Optimierung wählt der Bediener die Zahl der Zeit-Stützstellen, die später bei jedem Simulationslauf zur Bildung der ütefunktion herangezogen werden müssen. Weiterhin sind unter Beachtung der in Bild 4.2.4_30 dargestellten Möglichkeiten jene rößen im Regelkreis festzulegen, die jeweils Beiträge zum ütewert liefern sollen. Der Bediener bestimmt auch zu Beginn, welche unter den Parametern des Regelkreises für eine Variation im Sinne einer Mutation freigegeben werden. Die Schrittweite, also Betrag und Vorzeichen bei der Veränderung einer Variablen, trägt Zufallscharakter. Dazu wird ein einfacher Software-Zufallsgenerator implementiert. Die Häufigkeitsverteilung größerer und kleinerer Schrittweiten muss jedoch in Abhängigkeit vom Evolutionsverlauf reguliert werden. Ein Programm zur Schrittweitensteuerung bestimmt diese Häufigkeiten aus dem Verhältnis der erfolgreichen Versuche zur esamtzahl der Mutationen. Jede erfolgreiche Mutation wird vom Rechner protokolliert, so dass der Bediener an diesem Entwicklungsprotokoll den Fortgang der Optimierung beobachten kann. Bild 4.2.4_60 Einfachste programmtechnische Realisierung einer Evolutionsstrategie am 0

102 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Beispiel des Reglerentwurfs Eine Entscheidung zum Abbruch der Optimierung erscheint dann sinnvoll, wenn die Ergebnisse darauf hindeuten, dass sich keine oder keine wesentliche Verbesserung mehr erzielen lässt. Überlässt man, wie im vorliegenden Falle, die Entscheidung einem Mikrorechner, so muss im Voraus, vom Programm her, festgelegt werden, wann die Iterationenfolge abzubrechen ist. Das benutzte Konvergenzkriterium besteht darin, die Suche zu beenden, wenn keine Verbesserung des ütekriteriums mehr erfolgt. Praktisch ist ein Abbruch nach einer bestimmten Anzahl ohne Unterbrechung stattfindender Misserfolge angezeigt. Da die Fortschrittsgeschwindigkeit im Mittel um so langsamer ist, je mehr Variable am Problem beteiligt, d.h. zur Veränderung freigegeben sind, muss auch die Festlegung der Abbruchgrenze problemangepasst erfolgen. Bild 4.2.4_80 zeigt die Veränderungen dreier Parameter im Laufe einer Optimierung sowie den sich dabei ständig verringernden ütewert. Die Rechenzeiten T 0 bis zum Erreichen des Optimums bzw. bis zum Abbruchprotokoll liegen im Minutenbereich und sind von drei Faktoren abhängig: T 0 T S N S N V Die Zeit T S zur Berechnung einer Zeit-Stützstelle hängt von Anzahl und Charakter der Befehle ab, die z.b. als Fachsprachtext, das Regelkreismodell beschreiben und anlässlich jeder Stützstelle genau einmal abgearbeitet werden. Die Stützstellenzahl N S bestimmt das Zeitintervall des Regelvorganges, welches der Rechner für seine Optimierungsentscheidungen zugrunde legt. Die Zahl der Versuche N V bis zum Abbruch hängt wesentlich von der Zahl der zur Variation freigegebenen Variablen ab. Der Rechner findet auch von unterschiedlichen Startwerten in den meisten Fällen zum selben Optimum. Das vorzeitige Steckenbleiben bei günstigen Zwischenwerten (lokalen Optima) kann durch Modifikation der Schrittweitensteuerung umgangen werden. Allerdings geht größere Sicherheit bei jedem Optimierungsverfahren grundsätzlich zu Lasten der Konvergenz (Rechenzeit), so dass praktische Kompromisse notwendig sind. Die Eigenschaften verbesserter Zufallsverfahren kommen im Allgemeinen durch einen Verzicht auf gleichverteilten Zufall zustande, das heißt also durch Wiedereinführung eines höheren rades von Determiniertheit bei der Suche. Man geht also beispielsweise davon aus, dass die Suchrichtung, die im letzten Schritt erfolgreich war, mit großer Wahrscheinlichkeit auch für den darauffolgenden Suchschritt erfolgreich sein wird. Selbstverständlich dürfen zu diesem Zweck bei Zufallsverfahren nur die statistischen Eigenschaften des Zufallsgenerators modifiziert werden. Dies können für jede Variablenrichtung z.b. Mittelwert und Varianz der zufälligen Suchschritte sein. Dazu sind die zurückliegenden Erfahrungen über die Erfolgsrichtung auszuwerten, welche von Schritt zu Schritt erneuert werden müssen: positive Erfahrungen aus zurückliegenden Erfolgen (positives Lernen), negative Erfahrungen aus zurückliegenden Misserfolgen (negatives Lernen), schrittweise Reduzierung des Einflusses älterer Erfahrungen (Vergessen). 02

103 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Bewertung und Anwendungsvielfalt Deterministische Verfahren, besonders radientenverfahren, sind heute am meisten verbreitet. Zufallsverfahren finden gegenwärtig zunehmende Beachtung, da sie in verschiedenen Situationen Vorteile aufweisen. So können deterministische Verfahren bei bestimmten Formen von ütegebirgen Konvergenzschwierigkeiten nur vermeiden, indem sie zusätzliche Informationen einholen. Zufallsverfahren, die nicht auf die Struktur des ütegebirges zugeschnitten sind, erfordern auf rund uneffektiver Einzelschritte ebenfalls mehr Aufwand, sind aber meist allgemeiner anwendbar, einfacher im Aufbau, störunanfällig und flexibel. In der Literatur wird eine ständige Diskussion um Vor- und Nachteile einzelner Verfahren mit dem Ziel geführt, eine qualitative Bewertung und letztendlich die Aufstellung einer gewissen Rangfolge für die Auswahl zu ermöglichen. All diese quantitativen Untersuchungen müssen ein konkretes Spektrum definierter Aufgaben zugrunde legen, um die einzelnen Verfahren exakt vergleichen zu können. Die Resultate sind deshalb auch stets vor dem Hintergrund dieses ausgewählten Problemkatalogs zu interpretieren und lassen sich nur bedingt verallgemeinern Optimum Start Bild 4.2.4_70: Suchverlauf (Spur) eines deterministischen, achsparallelen Suchverfahrens (auß-seidel) im Höhenlinienbild einer ütefunktion von zwei Variablen, 2. Bei ausreichender Kenntnis des Funktionsprinzips einer bestimmten Optimierungsstrategie lässt sich einerseits immer ein spezielles Problem konstruieren, bei dem diese versagt, und andererseits lassen sich Probleme finden, wo diese anderen Verfahren gegenüber überlegen ist. Der Wunsch des Praktikers nach einem universellen Verfahren, das alle Aufgaben effektiv zu lösen vermag, kann allgemein nicht erfüllt werden, so dass heute die verschiedensten Verfahren gleichberechtigt und jeweils mehr oder weniger effektiv zum Einsatz kommen. 03

104 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Die problemangepasste Auswahl einer geeigneten Optimierungsstrategie stellt ihrerseits wieder ein Optimierungsproblem dar, wofür perspektivisch ebenfalls Rechnerunterstützung denkbar ist. T RELEROPTIMIERUN NACH EVOLUTIONSSVRATEIE ENTWICKLUNSPROTOKOLL Versuch Fehlersumme PAR. PAR.2 PAR F 0A A C 0F A A 0F B 0F C 0F FE C D E AA AB 2 Tabelle 4.2.4_0: Entwicklungsprotokoll zu Bild 4.2.4_80 Parameter Versuche Parameter Versuche Parameter Versuche ütewert Versuche Bild 4.2.4_80: Entwicklung dreier Variabler (Parameter) und des resultierenden ütewertes während eines Optimierungslaufes (Entwicklungsprotokoll) 04

105 Kapitel 4 Objekte und Systeme in geschlossenen Signalzyklen Optimierungsverfahren stellen eine große Hilfe beim Entwurf dar, führen aber nicht in jedem Falle automatisch zu Ergebnissen, die den Entwerfer sofort zufriedenstellen. Das liegt an der bereits erwähnten Schwierigkeit, die esamtheit des Entwurfsziels in Form von ütekriterien zu fassen. Zwar lässt sich eine einzelne Eigenschaft (geringe Regelfläche, geringe Stellbewegungen) in gewissem Maße erzwingen, geht aber auf rund der inneren Zusammenhänge des Regelkreises stets zu Lasten anderer Eigenschaften, so dass nach einer günstigen Kompromisslösung gesucht werden muss. Das Problem besteht also darin, die verschiedenen Entwurfsziele untereinander zu wichten und ein sinnvolles esamt-ütekriterium zu formulieren. Das gelingt nicht immer und erfordert wieder eine gewisse Bereitschaft zum Probieren, wenngleich auf höherer Ebene. Neben dem Reglerentwurf wird die Optimierung beispielsweise auch zur Entwicklung von Streckenmodellen aus empirischen Messreihen benutzt. Dabei werden die Messwerte tabellarisch durch einen Funktionsgenerator vorgegeben, und der Rechner entwickelt die Parameter des Streckenmodells, bis die Modellresultate von den Messwerten nur noch minimal abweichen. Auch die Kopplung mit Netzwerkanalyseprogrammen zur Entwicklung elektronischer Schaltungen wird seit langem praktiziert. 05