Repetitionsaufgaben Bruchterme

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1 Kantonale Fahshaft Mathematik Repetitionsaufgaben Bruhterme Zusammengestellt von der Fahshaft Mathematik der Kantonsshule Willisau Inhaltsverzeihnis A) Vorbemerkung... 1 B) Lernziel... 1 C) Theorie... D) Aufgaben... 4 E) Musterlösungen... 5 A) Vorbemerkung Als Voraussetzungen für diese Repetitionsaufgaben sind insbesondere folgende Repetitionsaufgaben zwingend: Negative Zahlen/Brühe/Prozentrehnen, v.a. der Teil über Brühe, auf dem hier wesentlih aufgebaut wird Termumformungen B) Lernziel Bruhterme vereinfahen können

2 C) Theorie Erweitern: Ein Bruhterm kann erweitert werden, indem Zähler und Nenner mit demselben Term 0 multipliziert werden. Dabei ändert sih der Wert des Bruhterms niht, die Bruhterme sind äquivalent bzw. gleihwertig. Beispiel: a a, da der Bruhterm mit erweitert wurde. b b Kürzen: Ein Bruhterm kann gekürzt werden, indem Zähler und Nenner durh denselben Term 0 dividiert werden. Kürzen ist also die Umkehroperation zum Erweitern. Es wird in der Regel immer verlangt, dass Resultate mit einem komplett gekürzten Bruhterm angegeben werden. Beispiel: 45ab 18a b 5 5 ab 3, da der Bruhterm mit 9ab gekürzt werden konnte. Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen. lautet die Merkregel. Es dürfen ausshliesslih Faktoren gekürzt werden. Beispiele: a) ab a (b kann niht gekürzt werden, weil b im Zähler kein Faktor ist, sondern ein b Summand.) b) mnm m(n1) m (Der Faktor (n 1) kann gekürzt werden.) n n1 (n1) n1 Addition/Subtraktion: Zwei Bruhterme werden folgendermassen addiert bzw. subtrahiert: 1. Zähler und Nenner werden wenn möglih faktorisiert. Es wird wenn möglih gekürzt.. Die Bruhterme werden gleihnennrig gemaht, indem geeignet erweitert wird. Es wird der kleinste/einfahste gemeinsame Nenner (GN) verwendet. 3. Die Zähler werden addiert bzw. subtrahiert, der Nenner wird beibehalten. 4. Der Zähler wird wenn möglih faktorisiert. Es wird wenn möglih gekürzt. Beispiele: a) 6z5 5z 3z z 1 z 4z4 GN4(z1)(z1) b) 6z5 5z (z1)(z1) (z1) 4(6z5) 4(z1)(z1) (z1)(5z) 4(z1)(z1) 4z0(10z 4z10z4)3z 3z 7z 33z16 4(z1)(z1) 4(z1)(z1) () 3 ()() ()() GN()() 6 3() 633 ()() ()() ()() 3z 4(z1) (z1)3z 4z0(z)(5z)3z 3z 4(z1)(z1) 4(z1)(z1) kürzen 33 ()() 6 3 ()() 3() ()() kürzen 3 Multiplikation: Zwei Bruhterme werden folgendermassen multipliziert: 1. Zähler und Nenner werden wenn möglih faktorisiert. Es wird wenn möglih gekürzt.. Der neue Zähler wird durh Zähler mal Zähler berehnet. 3. Der neue Nenner wird durh Nenner mal Nenner berehnet. Merke: Die Bruhterme müssen niht gleihnennrig gemaht werden. Beispiel: 5m5n m n mn 5(mn) (mn)(mn) (mn) kürzen 1 5 mn mn 15 (mn)(mn) 5 (mn) Repetitionsaufgaben Bruhterme

3 Division: Zwei Bruhterme werden folgendermassen dividiert: 1. Aus der Division wird eine Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruhterms (Divisor) geshrieben.. Die Multiplikation (vgl. oben) wird durhgeführt. Beispiel: (4) 3(3) (3) 4 kürzen (3) 1 3 Doppelbrühe sind nihts anderes als die Division zweier Bruhterme. Der grösste Bruhstrih wird als Division umgeshrieben und dann kommt die Division (vgl. oben) zur Anwendung. Beispiel: a b a b Merkregel: Es kann äussere innere a a a b a (b) kürzen 1 b b b a b a 1 gerehnet werden. Denn a und b sind die äusseren, b und a sind die inneren Terme des Bruhterms, also a(b) (b)a. Repetitionsaufgaben Bruhterme 3

4 D) Aufgaben 1. Kürzen Sie die folgenden Bruhterme so weit wie möglih: a) a(b1) b) ) 4a3 b 5 (ab) 3 d) 3 77a 8a 4 b(ab) f) g) 5a5 5a h) 14a7b 1a 1ab3b. Berehnen Sie: a) d) g) z9 z5 z 1 z z j) a b ab aa bb ab ab b) 3 7 5a 10a 15a h) a3b 4ab ab ab k) 8 1 3a4b ab ) 3a a b 3b a b f) 5w w3 3w w i) l) w1 w w Berehnen Sie: a) a a d) b) ab 44 4z 3a3b 8z 56 ) 4() f) ( ) ( ) 4. Berehnen Sie: a) d) a3a 6 b) 41 3 (3) b5 ( 3) ) ( 3b f) ) 5. Berehnen Sie: a) 4bd ( 3a 4b 15 6d ) b) (36p 4q ) pq ) ( a b ) ( a b ) d) ( 1 1 ) Repetitionsaufgaben Bruhterme 4

5 E) Musterlösungen 1. a) kürzen mit 1 3 b) 55a(b1) 77a kürzen mit 11a 5(b1) ) 4a3 b 5 (ab) 3 8a 4 b(ab) d) a kürzen mit 14a 3 b(ab) 3b 4 (ab) (1) a kürzen mit (1) () () 1 kürzen mit () f) ( 9) ( 4 81) kürzen mit (3)(3) 4 g) 5a5 5a h) 3( 9) 5(a5) 5a 14a7b 1a 1ab3b. a) b) 5a 3 10a 7 ) GN6 1 7(ab) 3(4a 4abb ) ( 1) 4(3)(3) 3( 9)( 9) 5(a5) 1(a5) kürzen mit (a5) (ab) 3(ab) kürzen mit GN30a a 30a 30a 30a 30a 3a 3b 3a 3b a b a b (ab)(ab) (ab)(ab) kürzen mit (ab) 3 d) ab GN(5)(5) 5(1) (5)(5) (5) (5)(5) (1) GN(ab)(ab) 4(3)(3) 3( 9)(3)(3) kürzen mit (ab) 7 3a3b (ab)(ab) 3(ab) 3(5) 10(3 15) 5 5 (5)(5) (5)(5) (5)(5) 3(1) kürzen mit 3 5 GN3(1) (1) w1 5w 3w w1 w w6 w3 w (w)(w3) GN(w)(w3) f) 5w w3 3w w g) z9 z 1 z5 z z (w)5w (w)(w3) z 9z(z 4z5) z(z1)(z1) h) a3b 4ab ab ab 3a4b ab (w3)3w (w)(w3) z9 (z1)(z1) 5z5 z(z1)(z1) z5 z(z1) GN(ab)(ab) (ab)(a3b) (ab)(ab) (ab)(ab) (ab)(ab) a 4ab3b 4(a 3abb )(3a ab4b ) (ab)(ab) i) GN(1)(1) 6 3(1) 6 3(1) 5 3(1) 10 3(1) 3(ab) (ab)(ab) w1 5w 10w(3w 9w)(w1) w 17w1 (w)(w3) (w)(w3) (w)(w3) GNz(z1)(z1) 5(z1) z(z1)(z1) a3b (ab) 3a4b (ab) ab (ab) 3( 1) 5 ( 1)( 1) ( 1) (ab)(3a4b) (ab)(ab) 6a 9ab11b (ab)(ab) (1)(1) 5 (1)(1) 11 (1)(1) z(z9) (z1)(z5) z(z1)(z1) z(z1)(z1) kürzen mit (z1) 5 z(z1) kürzen mit ( 1), 3 5 (1)(1) (1)(1) Repetitionsaufgaben Bruhterme 5

6 j) k) l) a b ab aa bb ab ab kürzen mit a bzw. b bzw. ab GN(1)(1) GN(3)(3) 1 (1) (1)(1) (3) (3)(3) kürzen mit (1) 4(1) (1)(1) 3. a) a a b) ab ) 4() 5 1 a a(1) 1 ( 1) b ab b(1) ab( 1) 1 (1) (1)(1) (1) (1)(1) (1)(1) (1)(1) (1)(1) (4) (4)(3) 3() ()(3) (3)3 6(39) 15 (3)(3) (3)(3) (3)(3) kürzen mit (4) bzw. () ( 1) (1)(1) 4( 1) (1)(1), kürzen mit (1) 4(1)(1) 1 (1) (1) (1) 1 1 kürzen mit a und 11 3a3b 1 4 (ab) d) GN(1)(1) 4(1) (1)(1) 3(ab) 4() ( 4) ( 4 16) ()() ( 4)()() z 8z 56 () 4z kürzen mit (ab) () () (1) 4( 1)( 1) (1)(1) (1)(1) kürzen mit 5() ()() ( 4)( 4) 5 kürzen mit 5()() 9 8z ()(3) f)( ) ( ) () () ( ) () () 4. a) b) 41 3 kürzen mit 41 ( 3) ) 48 4b5 ( ) 48 ( 5 3b 5 3b 4b 5) d) f) (3) a(31) (3) 6 6 a3a 6 (3) (3) kürzen mit 4 6 a3a (3) 6 kürzen mit (3) kürzen mit (6)(3) 3 ( 4) 3 1 ( 4) kürzen mit 4z() () kürzen mit (3) ) ( 5 3b b (3) (31) (31) a(3) 6 3b 6 (3) 6 1 kürzen mit (3)(31) 3 31 a (3) (6)() (3)(1) (3)() (6)(1) 1 ()(1) 1 ()(1) Repetitionsaufgaben Bruhterme 6

7 5. a) 4bd ( 3a ) kürzen mit 3 4bd 6d 15 4b kürzen mit 4bd 1 3ad10b 3ad10b 1 GN35 3 ( 180p b) ( 36p 7 3 4q ) pq (3a 5 ) GN4bd 4bd 4b d (3ad 10b ) 4bd 3ad10b 4bd 4bd 4bd q ) p 168q pq pq 1(15p 14q ) 35 kürzen mit 635 (15p 14q ) 1 (15p 14q ) pq pq pq ) ( a ) b ( a ) GNb b b ( a ) b b (b a ) b b (ba) b (ba) (ba)(ba) b b Variante: ( a ) b ( a ) 3. binomishe Formel a b b (ba)(ba) b d) ( 1 1 ) 4 () () GN()() ( ()() GNb b () ()() ) ( () a b a a b b ()() ) ( Variante: ( 1 1 ). binomishe Formel 1 1 () ()() () GN() () () ()() () () () () 4 () () ()() ) () ( ) () () () () Repetitionsaufgaben Bruhterme 7