Statistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke)
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- Maximilian Grosse
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1 Freie Universität Berlin WS 6/7 Fachbereich Physik 5..6 Statistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke Übungsblatt : Bayesche Formel, charakteristische Funktionen und statistische Unabhängigkeit Aufgabe ( Punkte Gegeben seien 5 Urnen folgenden Inhalts: Urnen vom Inhalt A mit je weißen und 3 schwarzen Kugeln, Urnen von Inhalt A mit je einer weißen Kugel und 4 schwarzen Kugeln, Urne mit dem Inhalt A 3 mit 4 weißen Kugeln und einer schwarzen Kugel. Aus einer willkürlich ausgewählten Urne werde eine Kugel herausgenommen. Sie sei weiß. Wie gross ist die W.keit dafür, dass die herausgegriffene Kugel aus der Urne vom Inhalt A 3 stammt? Aufgabe ( Punkte In der Vorlesung wurden neben der charakteristischen Funktion einer Wahrscheinlichkeitsdichte w(x G(k dx w(xe ikx (ik n x n n! auch die durch lng(k n (ik n x n n! definierten Kumulanten x n eingeführt. Berechen Sie die Kumulanten bis zur vierten Ordnung als Funktion der Momente x n! n Aufgabe 3 (6 Punkte Berechnen Sie die charakteristische Funktion für die Binomial- und die Gaussverteilung. Berechnen Sie weiterhin Mittelwert und Varianz für beide Verteilungen (a mit Hilfe der charakteristischen Funktion. (b mit Hilfe der Definition für die Momente. Aufgabe 4 ( Punkte ϕ ist ein zufälliger Phasenwinkel, dessen W.keitsverteilung im Intervall [, π] die Gleichverteilung sein soll. Weiterhin sei x cosϕ, y sin ϕ. Berechnen Sie die Verbundw.keitsverteilung p xy (x, y, die andverteilungen p x (x und p y (y sowie die Kovarianz (x x (y y ϕ. Sind die beiden Variablen x und y unabhängig? Abgabetermin: Mittwoch,..6 vor Beginn der Vorlesung.
2 Lösungen Aufgabe Sei B das Ereignis, dass die gezogene Kugel weiss ist. Weiterhin ist P(A /5 P(B/A /5 P(A /5 P(B/A /5 P(A 3 /5 P(B/A 3 4/5 so dass die gesuchte W.keit P(B/A 3 gemäss der Bayeschen Formel für a posteriori W.keiten gleich ist. Aufgabe P(A 3 /B P(B/A 3 P(A 3 3 i P(B/A ip(a i 5 Analog den Momenten x n, die man aus den Ableitungen der charakteristischen Funktion G(k nach ik an der Stelle k bekommt µ n x n dn d(ik n G(k k, ( erhält man die Kumulanten aus den Ableitungen von lng(k nach ik an der Stelle k : κ n x n Insbsondere lassen sich die Kumulanten gemäss κ n dn d(ik n G(k dn d(ik n lng(k k. d d(ik G(k k iterativ aus den Momenten berechnen. Für die folgenden echnungen setzen wir d/d(ikg(k G (k, d /d(ik G(k G (k, usw. Für die erste Kumulante erhalten wir κ d d(ik lng(k k G( G (k k µ. Hier haben wir G( und die Definition der charakteristischen Funktion ( als momentengenerierende Funktion benutzt. Analog erhält man für die höheren Kumulanten: κ { } d d(ik G(k G (k k G ( [G (] G( G ( κ µ µ. κ 3 d { } d(ik G(k G (k k G 3 ( [G ] 3 3 G ( [G ]G G( G ( κ 3 µ 3 3µ µ µ 3.
3 κ 4 d 3 { } d(ik 3 G(k G (k k ( 6 G 4 ( [G ] 4 G 3 ( [G (] G ( 3 G ( [G (] 4 G ( G (G ( G( G4 ( κ 4 µ 4 4µ µ 3 3µ µ µ 6µ 4. Aufgabe 3 Zunächst zu den charakteristischen Funktionen: Binomialverteilung p n G(k ( N p n ( p N n (3 n N ( N e ikn p n ( p N n n n N n ( N (pe ik n ( p N n n G(k (pe ik p N. Gaussverteilung p(x dx πσ e (x µ σ G(k dx πσ eikx e (x µ σ Quadratische Ergänzung liefert G(k e ikµ e k σ dx [(x (µikσ ] πσ e σ G(k e ikµ e k σ ikσ ikσ dy y e σ, πσ wo wir y x (µ ikσ gesetzt haben, was den Integrationsweg in die komplexe y-ebene auf eine zur rellen Achse parallele Geraden durch den Punkt y ikσ verschiebt. Da der Integrand f(y y e σ πσ eine in der gesamten komplexen Ebene holomorphe Funktion ist, gilt der Cauchysche Integralsatz, wonach das ingintegral einer holomorphen Funktion über einen geschlossenen einfach zusammenhängenden Weg gleich Null ist, insbesondere gilt (siehe Abbildung : 3 4 { ikσ lim ikσ ikσ ikσ } f(ydy, (4 sodass der Integrationsweg wieder zurück auf die relle Achse verschoben werden darf, falls die Integrale über die Teilstücke und 4 im Limes verschwinden. Diese lassen sich aber
4 Im(y 4 3 e(y ikσ Abbildung : Integrationsweg in der komplexen y-ebene. einfach abschätzen, z.b. findet man lim ikσ y e σ dy lim πσ kσ πσ (it e σ i dt Das Integral ist aber beschränkt, denn < i πσ e it t σ dt kσ e σ lim kσ πσ kσ ie it σ i πσ e it t σ e t σ dt. max t [ kσ,] e t σ C dt sodass lim ikσ C πσ kσ dt y e σ dy πσ Ckσ πσ <, Analog lässt sich das Integral über den Weg 4 abschätzen, sodaß wir schliesslich ikσ ikσ dy y e σ πσ dy πσ und damit für die charakteristische Funktion der Gaussverteilung G(k e ikµ e k σ πσ e ikµ e k σ πσ πσ e y σ dye y σ (5 G(k e ikµ e k σ erhalten.
5 (3a Wir berechnen nun Mittelwert und Varianz der beiden Verteilungen mit Hilfe der charakteristischen Funktionen (4 und (6. Für die folgenden echnungen setzen wir ik s und bezeichnen Ableitungen nach s mit. Binomialverteilung Für die ersten beiden Momente erhalten wir µ G (s N(pe s p N pe s s Np µ G (s N(N (pe s p N (pe s s N(pe s p N pe s s N(N p Np, soadss wir für die Varianz σ µ µ N p Np Np (Np Np( p bekommen. Gaussverteilung Mit der charakteristischen Funktion für die Gaussverteilung G(k G(ik s e ikµ e (ik σ e sµ e s σ erhalten wir folgende Ausdrücke für die ersten beiden Momente µ G (s (µ sσ e sµ e s σ s µ µ G (s ( µ(µ sσ σ sσ (µ sσ e sµ e s σ s µ σ, sodass die Varianz wird. ( x µ µ σ (3b Wir kommen nun zur Berechnung von Mittelwert und Varianz mit Hilfe der Definition für die Momente.
6 Binomialverteilung n (n n n m N N! n n!(n n! pn ( p N n n N n N m N! (n!(n n! pn ( p N n N! m!(n (m! pm ( p N (m N (N! Np m!(n m! pm ( p (N m Np, m da für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Bernoulli Experiments mit N Versuchen gilt: N m (N! m!(n m! pm ( p (N m N m ( N m (p p N p m ( p (N m n (n n (n m N n n n N! n!(n n! pn ( p N n N N! N n(n n!(n n! pn ( p N n N! n n!(n n! pn ( p N n n N N! n(n n!(n n! pn ( p N n Np n N n N m N! (n!(n n! pn ( p N n Np N! m!(n m! pm ( p N m Np N N(N p m N(N p Np, (N! m!(n m! pm ( p N m Np da für die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Bernoulli Experiments mit N Versuchen ebenfalls gilt: N m (N! m!(n m! pm ( p (N m N m ( N m (p p N. p m ( p (N m
7 Gaussverteilung µ dx x (x µ e σ πσ yx µ µ µ πσ dy ye y σ } {{ } µ πσ dy e y σ πσ µ yx µ dx x (x µ e σ πσ y y µ dy e σ πσ πσ σ 3 d πσ dσ dy e y σ πσ µ dy ye y σ } {{ } µ πσ dy e y σ πσ µ σ µ. Aufgabe 4 Zuerst berechnen wir die W.keit p(x: p(x δ(x cosϕ ϕ π π dϕ δ(x cosϕ π π ( dϕ x (ϕ δ(ϕ arccosx x (ϕ δ(π ϕ arccosx (6 π π ( dϕ δ(ϕ arccosx δ(π ϕ arccosx sin(ϕ ( π sin(arccos x x p(x π x, sin(π arccos x sin(arccos x wobei wir in (6 benutzt haben, dass der Arkuskosinus im interessierenden Intervall ϕ π zwei Zweige besitzt: { ϕ arccosx x cosϕ x and ϕ π. π ϕ arccosx Eine analoge echnung für p(y liefert p(y /(π y.
8 Die Verbundw.keit p(x, y errechnet sich wiefolgt: p(x, y δ(x cosϕδ(y sinϕ ϕ π π π π π dϕ δ(x cosϕδ(y sin ϕ π dϕ δ(x cosϕδ(y sinϕ d(r δ(r } {{ } π rdr δ(r dϕ δ(x r cosϕδ(y r sin ϕ dξ dη δ(ξ η δ(x ξδ(y η p(x, y π δ(x y. Hier haben wir im letzten Schritt von polar- auf kartesische Koordinaten transformiert und benutzt, dass r ist. Zur Berechnung der Kovarianz brauchen wir die Mittelwerte von x und y. Diese ergeben sich zu x xdx π x sodass wir für die Kovarianz zwischen x und y (x x (y y ϕ xy ϕ π ydy π y y, π dϕcosϕsin ϕ erhalten. Hieraus folgt, dass sind x und y nicht korrelliert sind. Darüberhinaus sind x und y aber nicht unabhängig, da p(x, y p(xp(y. Dieses Ergebnis war in gewissem Sinne zu erwarten, da x und y über eine Koordinatentransformation in Beziehung stehen und deshalb auch nicht unabhängig sein können. Daß x und y nicht korreliert sind, bedeutet, daß beide Variablen im Mittel nicht linear abhängig sind, denn Korrelationen geben gerade die lineare Abängigkeit zweier Zufallsgrößen an. Dieser Umstand kommt auch nicht ganz unerwartet, da x und y ja über eine nichtlienare Koordinatentransformation verknüpft sind.
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