3. Bestimmen Sie die Gitterkonstante eines Transmissionsgitters durch Ausmessung der Lage der Maxima.

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1 Fakultät für Physik ud Geowisseschafte Physikalisches Grudpraktikum O 7 Beuu Aufabe 0. Bereche Sie i der Vorbereitu auf de Versuch aalytisch die Fouriertrasformierte eier Eizelspalt- ud eier Doppelspaltfuktio ud verleiche Sie diese mit de für diese Objekte bekate Frauhofer-Beuusmuster. Ermittel Sie mittels FFT (Fast-Fourier-Trasform) i ORIGIN die Fouriertrasformierte der Fuktioe F(k) = sic(πk) = si(πk)/(πk) sowie F(k) ; diskutiere Sie das Erebis uter Berücksichtiu des Faltustheorems.. Bestimme Sie durch Beuu (Frauhofer, Fresel) vo Laserlicht am Eifachspalt desse Breite. Messe Sie hierzu die Itesität des ebeute Lichts mit eier CCD-Zeilekamera. Bestimme Sie die Spaltbreite (a) aus der Lae der Miima verschiedeer Ordue ud (b) mittels FFT.. Nehme Sie die Itesitätsverteilu des a eiem Doppelspalt ebeute Laserlichts mit eier CCD-Zeilekamera auf. Bestimme Sie de Mitteabstad der Spalte ud die Spaltbreite aus (a) Lae der Miima verschiedeer Ordue sowie durch (b) Fit des bekate Frauhofer-Beuusbilds a die Date ud (c) FFT der Itesitätsverteilu. 3. Bestimme Sie die Gitterkostate eies Trasmissiositters durch Ausmessu der Lae der Maxima. Literatur Physikalisches Praktikum, 3. Auflae, Hrs. W. Schek, F. Kremer, Optik,.0,.,.3, Fourier- Trasformatio ud Sialaalyse,.0 Gerthse Physik, D. Meschede,. Auflae, Zubehör Diodelaser mit Strahlaufweitu (λ = 636 m), CCD-Zeilekamera (Thorlabs mit Software), PC, Drucker, Messschraubeokular, Polarisatiosfilter, Eizel- ud Doppelspalt, Trasmissiositter, Reflexiositter, Millimeterskale mit Lochblede Schwerpukte zur Vorbereitu - Iterferez, Kohärez, Kohärezbediu - Beuu am Spalt, Doppelspalt, Reflexios- ud Trasmissiositter - Beuu ach Frauhofer ud Fresel - Aufbau ud Fuktiosweise eies Lasers, He-Ne-Laser - Eieschafte vo Laserlicht, Gesetz vo Malus, Prizipieller Aufbau eies CCD-Sesors - Fouriertrasformatio

2 Sicherheitshiweis Der Laser-Primärstrahl (Laserklasse ) hat eie Leistu vo ca. mw. Direktes Hieisehe i de Laser-Primärstrahl ka zu Aueverletzue führe. Bei der Beobachtu der Iterferez mit eiem Okularmikrometer Ist ei Polarisatiosfilter zur Abschwächu der Itesität zwische Laser ud Spalt eizubrie (Gesetz vo Malus). Frauhofersche- ud Freselsche Beuu Es wird bei Beuuserscheiue zwische der Beuu (Beobachtusart) ach Frauhofer ud ach Fresel uterschiede. Bei der Frauhofersche Beuu oder Beuu paralleler Strahle betrachtet ma die Beuu ebeer Welle. Im letzteate Fall ist der Abstad zwische Lichtquelle ud dem Hideris (z.b. Spalt), a dem die Beuu erfolt, ud der Abstad zwische Beobachtuspukt ud Hideris stets uedlich. Im Experimet erreicht ma diese Art vo Beuu, idem ma die Lichtquelle i de Brepukt eier Sammellise stellt oder eie Lichtquelle (Laser) verwedet, die selbst ebee Welle aussedet. Das Beuusbild betrachtet ma i der Brepuktsebee eier Sammellise auf eiem Schirm oder wie i userem Fall mit eier CCD-Zeilekamera. Als Freselsche Beuu wird jee Art vo Lichtbeuu bezeichet, bei dere Berechu die Krümmu der Wellefrot der eifallede sowie der ebeute Welle icht verachlässit werde ka, die Strahle also icht parallel verlaufe. Freselsche Beuu tritt da auf, we sich sowohl die Lichtquelle als auch die Beobachtusebee des Beuusbildes oder auch ur letztere sich i eiem edliche Abstad zu dem beuede Hideris befidet. Die Berechu dieser Probleme ist zumeist sehr kompliziert. Für Freselsche Beuu am erade Spalt etscheidet u. a. die Größe des Welleparameters w über die Itesitätsverteilu i der Beobachtusebee w = λ a. b Dabei sid a der Abstad zwische Spaltebee ud der zu ihr parallele Beobachtusebee, b die Spaltbreite ud λ die Welleläe des verwedete moochromatische Lichts. I aaloer Weise bestimmt bei der Beuu am Doppelspalt (Spaltabstad ) die Fresel-Zahl N F mit N Übera der Beobachtu der Fresel-Beuu zur Frauhofer-Beuu für N F <. F = de 4a λ Abb.. Schematische Darstellu der Itesitätsverteilu bei Beuu a eiem breite Spalt (w <<)

3 Für w umfasse die Itesitätsschwakue de esamte Bereich zwische x ud x. Je ach dem Wert vo w ka i der Mitte des Beuusbilds ei Maximum oder ei Miimum der Itesität auftrete. Bei w>> (b>λ) aber etspricht das Beuusbild dem der Frauhofersche Beuu. Das Hauptmaximum der Itesität befidet sich hiter der Spaltmitte ud ist umso mehr "verschwomme", je eer der Spalt ist. Hiweise zu Aufabe 0 Die Eizelspaltfuktio sei eebe durch f(x) =, -b/ < x < b/, f(x) = 0 sost ud die Doppelspaltfuktio durch f(x) =, -(+b)/ < x < -(-b)/, (-b)/ < x < (+b)/, f(x) = 0, sost. b bezeichet dabei die Spaltbreite ud de Spaltabstad. Die Fouriertrasformatio eier Fuktio f(x) ist defiiert durch mit der Rücktrasformatio [ ] F( k) = FT f( x) = f( x)exp( ikx) dx () fx () [ ()] ()exp( ) FT Fk = = π π Fk ikxdk. () Hilfreich ist oft die Darstellu der δ-fuktio durch Fouriertrasformatio: ( x x δ 0) = exp( ( 0)) π ik x x dk. (3) Falls x eie Ortskoordiate bezeichet, so hat k die Eiheit m -, d.h. k ist ei Wellevektor. Ma spricht daher auch vo Ortsraum ud Wellevektorraum; die Fouriertrasformatio trasformiert demetspreched Fuktioe vo eiem i de adere Raum. Seie f(x) ud (x) Fuktioe im Ortsraum, F(k) ud G(k) die etsprechede Fouriertrasformierte. Da elte folede Beziehue:. Parsevalsches Theorem. Liearität f x dx= F k dk ( ) ( ) (4) 3. Skalierussatz [ ] FT af() x + b() x = af() k + bg() k (5) [ ( )] FT f cx k = F c c (6) 4. Verschiebussatz [ ] FT f ( x x ) = exp( ikx ) F( k) (7) 0 0 3

4 5. Faltustheorem [ ] [ ] [ ] FT fx ( ) x ( ) = FT fx ( ') x ( x') dx' = FT fx ( ) FTx ( ) = FkGk ( ) ( ) (8) Hiweise zu Aufabe Die Auswahl des Eifachspaltes (A, B oder C) wird vom Betreuer voreomme. Es ist die Beobachtusart ach Frauhofer zu realisiere. Dazu stellt ma de Spalt (Abb..) so auf, dass seie Ebee sekrecht zur Achse der optische Bak steht. Das auftreffede Licht passiert die rechteckie Öffu des Spaltes zum Teil uestört i seier ursprüliche Richtu ud wird zum adere Teil ebeut. Abb.. Zur Beuu ach Frauhofer Alle die durch de Spalt der Breite b uestört hidurchtretede achseparallele (icht ebeute) Strahle werde i der Breebee F der Sammellise L bei x = 0 esammelt. Ihr Gauterschied ist ull, so dass sie sich verstärke. Der Gauterschied Δ ist defiiert als die Differez der optische Weläe s (Δ = s -s für Luft mit der Brechzahl = ) der miteiader iterferierede Strahle. Parallelstrahle, die vo eizele Pukte des Spaltes uter dem leiche Wikel α ausehe (homoloe Pukte), werde bei x = f taα vereiit, wobei f die Breweite der Sammellise ist. Zwische diese Strahle trete jedoch Gauterschiede Δ auf. Ist z.b. Δ= λ zwische de beide Radstrahle, so lösche sich jeweils ei Strahl der obere ud der utere Spalthälfte, die vo zwei Spaltpukte mit dem Abstad b/ ausehe, bei Vereiiu durch L eeseiti aus. Für das Miimum beliebier Ordue ( = ±, ±,...) ilt da Für die Betrachtu Miima höherer Ordue muss ma die Spaltbreite i Viertel ( = ±), Sechstel ( = ±3) usw. eiteile. 4

5 bsiα = λ. (9) Miimale Beleuchtusstärke (Dukelheit) tritt i der Breebee F a de Stelle λ x = f taα = f ta arcsi b (0) auf. Für kleie Beuuswikel α erhält ma λ x f. b Im vorlieede Versuch wird ohe Sammellise earbeitet. Frauhofersche Beuu liet vor, we die Beobachtusebee weit eu vom Spalt etfert ist. Das Beuusbild wird mit eier CCD- Zeilekamera aufeomme, die Date werde auf eie Computer trasferiert ud i ORIGIN importiert. Die Abszisse x ist i µm aeebe ud ibt die Positio auf der Kamera a. I (a) werde die Abstäde x zwische de ±-te Miima bestimmt; daraus wird die Spaltbreite mittels liearer Reressio ermittelt. I (b) wird eie FFT des Itesitätsprofils voreomme. Verschiebe Sie dazu das Itesitätsbild etla der Abszisse, so dass das Hauptmaximum bei x = 0 liet. Leite Sie die folede Beziehu her, die de Wellevektor k sekrecht zur optische Achse mit der Positio x verküpft: π x π x k =. () λ x + d λ d d bezeichet de Abstad zwische Spalt ud CCD-Sesor. Stelle Sie die Itesität als Fuktio vo k dar, führe Sie eie FFT durch ud bestimme Sie b. I Eräzu zur Frauhofersche Beuu ist das Beuusbild durch Freselsche Beuu auszumesse ud die Spaltbreite b zu bestimme. Dazu ist der Abstad a zwische Spaltebee ud CCD-Sesor zu messe. Uter Verwedu der Beziehue x λ taα = ud siα = (a,b) a b ka durch Ausmesse der Lae der Miima wie bereits obe auseführt der Wert für b bestimmt a werde. Für kleie Wikel ilt wieder die Näheru x λ. b Führe Sie weiterhi eie FFT der Itesitätsverteilu für sehr kleie Abstäde zwische Spalt ud CCD-Kamera durch. Lässt sich daraus ebefalls die Spaltbreite bestimme? Hiweise zu Aufabe Ei Doppelspalt besteht aus zwei parallele Spalte leicher Spaltbreite b mit dem Mitteabstad zwische de Spalte. Bei der Berechu der Beuu ach Fresel muss wie bereits obe 5

6 beschriebe die Krümmu der Wellefrot (I) der eifallede sowie der ebeute Welle oder (II) ur der ebeute Welle berücksichtit werde. Bei userer Versuchsaordu liet Fall (II) vor. Die vo zwei Pukte F ud F der Eizelspalte des Doppelspaltes ausehede Wellezüe besitze i eiem Pukt P des (ebeute) Wellefeldes de Gauterschied Δ= r - r mit r = F P ud r = F P (Abb..). Alle Pukte mit leichem Gauterschied Δ (bzw. Phasedifferez δ = Δ π/λ) liee somit defiitiosemäß auf eiem zweischalie Rotatioshyperboloid mit F ud F als Brepukte ud der Verbidusliie F F als Hauptachse (Rotatiosachse). Abb.. Kofokale Hyperbel, Brepukte im Abstad e vo der Hauptachse, jede Hyperbel ibt Orte leiche Gauterschiedes Δ a. Die vo F ud F ausehede Welle verstärke sich z.b. bei eier Phasedifferez δ = π ( = ±, ±,...). Im Versuch werde die Rotatioshyperboloide vo eiem ebee Schirm (CCD-Zeile) im Abstad d vo der Rotatiosachse eschitte, der sekrecht zur optische Achse (Hauptachse der Hyperbel) steht. I eiem eüed kleie Gebiet um die optische Achse köe Maxima ud Miima i leichroße Abstäde zueiader beobachtet werde. I Abb.. ist die Überlaeru vo zwei durch de Doppelspalt ebeute Teilbüdel darestellt. Abb.. Zur Beuu am Doppelspalt Im Abstad x iterferiere diese Teilbüdel. Der Gauterschied Δ zwische ihe eribt sich über = + + ud = + r x d r x d 6

7 mit d >>, d >> x ud r r d zu r r Δ= r r = x r+ r d. (3) Ist der Gauterschied Δ = λ ( = ±, ±,...), so beobachtet ma im Abstad max d x = λ (4) Maxima bzw. für Δ = ( - ) λ/ ( = ±, ±,...) im Abstad x mi λ d = ( ) (5) Miima. Aus λ= x / d= taα siα erket ma, dass bei roße Abstäde d (taα siα ) im Falle der Fresel-Beuu die Formel der Frauhofer-Beuu verwedet werde köe. Dem Beuusbild des Doppelspaltes ist das Beuusbild seier Eizelspalte überlaert (Abb..3). Für die zuehörie Miima (blaue Kurve i Abb..3) ilt die leiche Beziehu wie für de Eizelspalt: bsi α = λ ; = ±, ±,... I I 0 Abb..3 Zur Itesitätsverteilu ach Beuu am Doppelspalt (schwarz: Doppelspaltfuktio, blau: Eizelspaltfuktio mit der leicher Spaltbreite) α Die Itesitätsverteilu des am Doppelspalt ebeute Lichtes ist eebe durch sip π π 4 max cos mit siα ud si I= I q p= b q= p λ λ α. Währed der Faktor (si p/p) die Beuu am Eizelspalt der Breite b beschreibt, charakterisiert der Faktor cos q de Itesitätsverlauf bei Iterferez zweier puktförmier kohäreter Lichtquelle im Abstad zueiader. Die Spaltbreite b ud das Verhältis (/b) bestimme maßeblich die Itesitätsverhältisse im Beuusbild. Bei azzahliem Verhältis m = /b ka ma im zetrale Maximum m Miima beobachte. Bereche Sie währed der Vorbereitu die theoretische (6) 7

8 Itesitätsverteilu eies Doppelspaltes i Abhäikeit azzahlier Verhältisse b/ =, 3 ud 5 ud bestimme Sie damit die Azahl der Maxima ud der Miima ierhalb der 'Eihüllede'. Bestimmu des Spaltabstades Bei kleie Beuuswikel α erhält ma für die Lae x der Extrema der Itesitäte des Doppelspaltes (Maxima ud Miima der Fuktio cos q): d λ x = d taα dsiα =. (7) Maxima: = 0, ±, ±,... Miima: = ±/, ±3/,... Misst ma die Lae der Maxima ud Miima im Bereich des zetrale Maximums ud trät die etsprechede Werte über auf, so ka ma aus dem Astie der Ausleichserade de Spaltabstad bestimme. Abschätzu der Spaltbreite b Die Spaltbreite b ist aus der Lae der Miima. Ordu der Eihüllede der Itesitätsverteilu (blaue Kurve i Abb..3) zu ermittel. Bestimmu vo ud b mittels FFT Führe Sie etspreched der vorherehede Aufabe eie FFT des Itesitätsverlaufs durch. Bestimme Sie ud b. Hiweise zu Aufabe 3 Das Trasmissiositter ist zwische Spalt ud Skale zu brie (Abb.3.) ud zu justiere (optische Achse sekrecht zur Gitterebee). Um die Messeauikeit des Abstades l zwische Gitterebee ud eier lieare Messskala (Lieal, Mattlasskala) zu erhöhe, verrößert ma de Abstad zwische diese, bis ei k-tes Maximum (k = ±, ± oder ±3) a de Ede der Skale beobachtet wird. Für die Auswertu werde Gleichue verwedet, die i Aaloie zum Doppelspalt hereleitet werde köe. Abb. 3. Zur Messu mit dem Trasmissiositter 8

9 λ xk Es ilt: si αk = k, taαk =, α k Beuuswikel für das k-te Maximum. l Für die Gitterkostate eribt sich Eräzede Literatur l = kλ + xk. Berma-Schaefer; Bd. III, 8. Aufl. a) Kap. III,. S ; b) Kap. III, 8. S ; c) Kap. III, 0. S H. Häsel, W. Neuma: Physik, Spektrum, 993, Bd., Kap. 0., 0. Lipso, Lipso, Tahäuser, Optik, Sprier, 997 Applet for two-slit diffractio: Abb. 5 Spektrale Empfidlichkeit optischer Sesore (a. Fotodiode, b. CCD-Sesor) Die Bedieusaleitu der Thorlabs CCD-Lie-Camera ka aus dem Dowloadbereich der Praktikumsseite heruterelade werde. 9