Multivariate Statistik

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1 Multivariate Statistik Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik Von o. Prof. Dr. Joachim Härtung Fachbereich Statistik der Universität Dortmund und Dr. Bärbel Elpelt mit 138 Abbildungen und zahlreichen vollständig durchgerechneten Beispielen 6., unwesentlich veränderte Auflage R Oldenbourg Verlag München Wien

2 Inhaltsverzeichnis VORWORT XIII EINLEITUNG UND ÜBERBLICK 1 KAPITEL I: EINFÜHRUNG UND GRUNDLAGEN 17 1 Grundlegende Begriffe und elementare Datenbeschreibung Merkmalstypen und Klassenbildung Häufigkeiten, Summenhäufigkeiten und empirische Verteilungsfunktion Empirische Lagemaße Empirische Streuungsmaße 23 2 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeiten und bedingte Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariable und Verteilungen Kenngrößen von Zufallsvariablen 32 3 Prinzipien des Schätzens und Testens; t-, x 2 ~ und F-Verteilung 38 4 Vektor- und Matrizenrechnung 48 5 Mehrdimensionale und multivariate Verteilungen 64 6 Daten- und Distanzmatrix 70 KAPITEL II: DIE REGRESSIONSANALYSE 77 1 Multiple Regressionsanalyse für quantitative Daten 81 2 Das Gemischte Lineare Modell Diskrete Regressionsanalyse für qualitative Daten; Lineares Wahrscheinlichkeitsmodell, Probit-, Logitanalyse, 128 KAPITEL III: DIE KORRELATIONSANALYSE Die Korrelation normal verteilter Merkmale Die Korrelation zweier normal verteilter Merkmale Tests und Konf idenzinterval le für p Vergleich von Korrelationen mehrerer Merkmalspaare Zusammenhangsanalyse mehrerer Merkmale Die multiple Korrelation Die kanonische Korrelation Die partielle Korrelation Die bi-partielle Korrelation 186

3 VIII Inhaltsverzeichnis 2 Die Korrelation von nicht-normal verteilten Zufallsvariablen Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient Der Kendallsche Korrelationskoeffizient Korrelationskoeffizienten bei ordinalen Merkmalen Assoziationsmaße und loglineares Modell für Kontingenztafeln Ein zusammenfassendes Beispiel 212 KAPITEL IV: MULTIVARIATE EIN- UND ZWEISTICHPROBENPROBLEME; DISKRIMINANZANALYSE, REDUKTION VON MERKMALEN Das Multivariate Einstichprobenproblem Schätzen des Mittelwertvektors u und der Kovarianzmatrix $ Test über den Mittelwertvektor u bei bekannter Kovarianzmatrix $ Test über den Mittelwertvektor u bei unbekannter Kovarianzmatrix Ein Symmetrietest Das Multivariate Zweistichprobenproblem Mittelwertvergleich bei unverbundenen Stichproben Mittelwertvergleich bei verbundenen Stichproben Die Prüfung von Kovarianzhypothesen Ein Test über die Struktur einer Kovarianzmatrix $ Ein Test auf Gleichheit mehrerer Kovarianzmatrizen Ein simultaner Test über Mittelwertvektor und Kovarianzmatrix im Einstichprobenproblem Die Diskriminanzanalyse (Identifikation von Objekten) Der Zweigruppenfal Der Mehrgruppenfall Ein Beispiel Ein Trennmaß und die Reduktion von Merkmalen Ein zusammenfassendes Beispiel 258 KAPITEL V: AUFBEREITUNG UND AUSWERTUNG QUALITATIVER UND GEMISCHTER DATEN - SKALIERUNG KATEGORIELLER MERKMALE (SKALIERUNG IN KONTINGENZTAFELN) Skalierung ordinaler und nominaler Merkmalsausprägungen Skalierung ordinaler Merkmalsausprägungen Skalierung nominaler Merkmalsausprägungen in zweidimensionalen Kontingenztafeln - kategorielle Skalierung, Lancaster - Ska- 1 ierung 282

4 Inhaltsverzeichnis IX 2 Multivariate Analyseverfahren in skalierten Kontingenztafeln mit einer Kriteriumsvariablen (Calibration Patterns) Beste Diskriminatoren zwischen den Stufen der Kriteriumsvariablen Methoden der Güteprüfung einer Skalierung Die Güteprüfung mittels Diskriminanzfunktionen Die Güteprüfung mittels Mahalanobisdistanzen Die Klassifizierung neuer Objekte Gewinnung einer Daten- und Distanzmatrix zur weiteren multivariaten Analyse Ein Beispiel aus der Marktforschung zur Analyse multivariater kategorieller Daten Skalierung kategorieller Merkmal sausprä'gungen von p Merkmalen Bestimmung der empirischen Korrelationsmatrix für p kategorielle Merkmal e Das Kriterium der maximalen Maximum-Exzentrizität und der minimalen Determinante Das Kriterium der maximalen multiplen Korrelation Das Kriterium dejr max-imalen_.k.anofl.tschen Korrelation Skalierung kategorieller Merkmal sausprä'gungen bei gemischten Datentypen Korrespondenzanalyse, Guttmansche Skalierung und die ALS-Verfahren KAPITEL VI: DIE MULTIDIMENSIONALE SKALIERUNG (MDS) Nonlinear Mapping Die Haupt-Koordinaten-Methode Das Verfahren von Kruskal Die Unfolding-Technik Die Methode der Dreiecksanalyse Der Goode-Phillips-Algorithmus 426 KAPITEL VII: DIE CLUSTERANALYSE Klassifikationstypen Bewertungskriterien für Klassifikationen Maße für die Homogenität einer Klasse Maße für die Heterogenität zwischen den Klassen Maße für die Güte einer Klassifikation 458

5 X Inhaltsverzeichnis 3 Konstruktionsverfahren für Überdeckungen Ein exhaustives Verfahren für kleine Objektmengen Ein iteratives Konstruktionsverfahren Konstruktionsverfahren für Partitionen Ein iteratives Verfahren Ein rekursives Verfahren Ein Verfahren zur Konstruktion einer Quasihierarchie Ein Verfahren zur Konstruktion einer Hierarchie Klassenzuordnung neuer Objekte - Diskrimination, Identifikation Ein zusammenfassendes Beispiel 494 KAPITEL VIII: DIE FAKTORENANALYSE Die Bestimmung der Faktorladungen Die Maximum-Likelihood-Methode und ein Test über die Anzahl der Faktoren Die kanonische Faktorenanalyse Die Hauptkomponenten- und die Hauptfaktorenanalyse Die Zentroidmethode Die Jöreskog-Methode Die Rotation der Faktoren Die orthogonale Rotation der Faktoren Die Varimax-Methode Die Quartimax-Methode Schiefwinkelige Rotation - Die Methode der Primä'rfaktoren Schätzen von Faktorenwerten Ein zusammenfassendes Beispiel 576 KAPITEL IX: GRAPHISCHE VERFAHREN Gemeinsame Repräsentation von Objekten und (oder) Merkmalen Graphische Darstellung ein- und zweidimensionaler Daten Stern and Leaves und Box-Plot Graphische Darstellung zweidimensionaler Daten am Beispiel eines Produkt-Markt-Portfolios Die Probability-Plotting-Technik: Überprüfung auf multivariate Normal Verteilung und multivariate Ausreißer (Q-Q-Plot) Gleichzeitige Repräsentation von Merkmalen und Objekten: Der Bi-Plot Weitere Graphische Repräsentationsformen für Objekte und Merkmale 608

6 Inhaltsverzeichnis XI 2 Repräsentation einzelner Objekte oder Merkmale Einfache Darstellungsformen bei Repräsentation von Merkmalswerten durch Strecken Profile, Streifen Polygonz'üge Sterne Sonnen Glyphs Darstellung von Objekten vermittels Diamanten Darstellung von Objekten mittels Gesichtern Darstellung von Objekten durch trigonometrische Funktionen Andrews-Plots Blumen Darstellung von Objekten unter Berücksichtigung der Merkmalsähnlichkeiten Quader Bäume Burgen Darstellung von Objekten unter Berücksichtigung der Diskriminationsgüte der Merkmale: Facetten Darstellung von Objekten unter Berücksichtigung der Merkmalskorrelationen: Bi-Plot-Sonnen Bilanzkennzahlen der chemischen Industrie zwischen 1965 und 1980: Ein Beispiel für die Anwendung graphischer Verfahren zur Darstellung zeitlicher Entwicklungen 639 KAPITEL X: DAS MULTIVARIATE LINEARE MODELL (MULTIVARIATE REGRESSIONS-, VARIANZ-, KOVARIANZ- UND PROFIL ANALYSE, MULTIVARIATE VARIANZKOMPONENTENMODELLE, PRÄZISIONSBESTIMMUNG BEI MEßINSTRUMENTEN) Das Multivariate Lineare Modell mit festen Effekten (Modell I) Das allgemeine restringierte Multivariate Lineare Modell Testverfahren im allgemeinen restringierten Multivariaten Linearen Modell Multivariate Regressions- und Kovarianzanalyse Einige Modelle der Mul tivariaten Varianzanalyse (MANOVA) mit festen Effekten Die einfaktorielle multivariate Varianzanalyse (Vergleich von r unabhängigen Stichproben) Die multivariate zweifache Kreuzklassifikation mit Wechselwirkungen 700

7 X11 Inhaltsverzeichnis Die multivariate zweifache Kreuzklassifikation mit einer Beobachtung pro Zelle (Das einfache multivariate Blockexperiment) Die multivariate zweifach hierarchische Klassifikation Die Profilanalyse zur Untersuchung von Wachstums- und Verlaufskurven im Multivariaten Linearen Modell mit festen Effekten Normal verteilungsverfahren Ein nichtparametrisches Verfahren Das Multivariate Lineare Modell mit zufälligen Effekten (MANOVA - Modelle II, Multivariate Varianzkomponentenmodelle) Die balancierte multivariate Einfachklassifikation mit zufälligen Effekten Das balancierte zweifach hierarchische Modell mit zufälligen Effekten Das balancierte dreifach hierarchische Modell mit zufälligen Effekten Die balancierte zweifache Kreuzklassifikation mit zufälligen Effekten Ein Modell zur Präzisionsbestimmung von Meßinstrumenten bei zerstörenden Prüfungen 736 ANHANG Tabellenanhang Verteilungsfunktion $(x) der Standardnormal Verteilung N(0;1) [Tab. 1 ] Quantile u der Standardnormal Verteilung N(0;1) [Tab.2] Quantile t der t-verteilung [Tab.3] Quantile x. der x 2 ~Verteilung [Tab.4] Quantile F der F-Verteilung [Tab.5] 747 ni,n 2 ;y s - Nomogramme von D.L. Heck zum Roy-Test [Chart I bis Chart XII] Erläuterungen zu den multivariaten Testverfahren Zum Roy-Test Zum Wilks-Test Zum Hotel! ing-lawley-test Zum Pillai-Bartlett-Test Griechisches Alphabet Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis Symbol Verzeichnis 807 Ende 815