Übungsaufgaben zur Spieltheorie II: Verhandlungstheorie

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1 Übungsaufgaben zur Spieltheorie II: Verhandlungstheorie Wintersemester 2006/ Oktober 2006 Kapitel 1: Axiomatische Theorien zum Bargaining 1. Beschreiben Sie das Spiel Divide the Dollar als ein Verhandlungsproblem (S, d), bei dem Spieler 1 eine Nutzenfunktion hat, die linear in den Geldeinheiten verläuft, während Spieler 2 die Nutzenfunktion u 2 (a 2 ) = a 2 hat! 2. Eine Verhandlungslösung f( ) ist monoton, wenn f(b) f(b ) immer gilt, falls B B. (a) Geben Sie Beispiele, die zeigen, dass weder die utilitaristiche noch die Nash- noch die Kalai-Smorodinsky-Verhandlungslösung monoton sind. (b) Beweisen Sie formal, dass die egalitäre Lösung die Monotoniebedingung erfüllt. 3. Überprüfen Sie, welche der von Nash vorgeschlagenen Axiome (Invarianz (INV), Symmetrie (SYM), Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen (IIA), Pareto-Effizienz (PAR)) jeweils von den folgenden Verhandlungslösungen erfüllt wird! (a) (Egalitäre Lösung) In der egalitären Lösung, f E ( ), werden die Gewinne (in Nutzeneinheiten) zu gleichen Teilen unter den Spielern verteilt. (b) (Utilitaristische Lösung) Die utilitaristische Lösung, f U ( ), maximiert die Summe der individuellen Nutzen (ausgehend von einer streng knovexen Verhandlungsmenge S). (c) (Kalai-Smorodinsky-Lösung) Es bezeichne m 1 := max b 1 IR : (b 1, d 2 ) B der höchste erreichbare Nutzen, den Spieler 1 erreichen kann, wenn Spieler 2 nur den Nutzen aus der Nichteinigung d 2 erhält. Ebenso sei m 2 := max b 2 IR : (d 1, b 2 ) B. Dann ist die Kalai-Smorodinsky-Lösung, f KS ( ), gegeben durch den einzigen paretoeffizienten Punkt der Verhandlungsmenge B, der auf der Gerade durch d und m = (m 1, m 2 ) liegt. 1

2 4. Die XYZ-GmbH musste Konkurs anmelden. Der Konkursverwalter bewertet die Konkursmasse mit Es gibt lediglich zwei Anspruchsberechtigte A und B mit Forderungen in Höhe von x A = und x B = Sollten sich die beiden nicht einigen können, so müssten sie versuchen, ihre Forderungen vor Gericht durchzusetzen. Dies würde jedoch die gesamte Konkursmasse aufzehren. (a) Beschreiben Sie den Ansatz der kooperativen Verhandlungstheorie! Inwiefern kann er als normativ angesehen werden? (b) Stellen Sie obige Situation als Verhandlungsproblem dar! Welche Aufteilung der Konkursmasse würde die Nash-Verhandlungslösung vorschlagen, welche die Lösung von Kalai und Smorodinsky? (c) Erläutern Sie den Unterschied zwischen den Verhandlungslösungen von Nash und Kalai und Smorodinsky! Für welche Klasse von Verhandlungsproblemen stimmen beide überein? 5. Zwei Studenten verbringen ihre Studenten entweder im Kino (x) oder im Stadion (y). Ihre Nutzenfunktionen für die entsprechenden Eintrittskarten lauten und u 1 (x 1, y 1 ) = x 1 y 1 u 2 (x 2, y 2 ) = x 2 y 2. In der Ausgangssituation hat 1 das Kartenkontingent w 1 = (8, 2) und 2 w 2 = (2, 8). (a) Zeigen Sie, dass sich die beiden durch einen geeignet gewählten Tausch verbessern könnten! (b) Welche Kartenkontingente w = (w 1, w 2 ) = (((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) der jeweils 10 Karten sind pareto-optimale Aufteilungen? (Hinweis: Bestimmen Sie dazu die Grenzraten der Substitution der beiden Studenten!) (c) Formulieren Sie das Tauschproblem der beiden nun als Verhandlungsproblem (S, d)! Wie sieht S, was ist der Drohpunkt d? Welche Allokation würde die Nash-Verhandlungslösung auswählen? Ist diese Allokation pareto-optimal? Welche Substitutionsraten werden in ihr realisiert und warum? 6. Die Dom Media AG meldet Konkurs an, ihr Vermögen beläuft sich auf Sie hat aber Schulden bei Bank A und bei Bank B. Die beiden Banken können nur an die Vermögen der Dom Media AG gelangen, wenn sie sich auf eine Aufteilung des Restvermögens einigen, andernfalls erhalten sie nichts. Beide Banken haben eine monetäre Nutzenfunktion U(M) = M. 2

3 (a) Stellen Sie das Problem der Banken als ein Verhandlungsproblem (S, d) dar! Wie sieht die Menge S aus? (Hinweis: Bedenken Sie dabei, dass natürlich keine Bank auf mehr Geld aus der Konkursmasse Anspruch erheben kann, als ihr geschuldet wird.) (b) Welche Lösung würde die Nash-Verhandlungslösung vorschlagen? Kommentieren Sie die Lösung! Erscheint Sie Ihnen gerecht? (c) Welche Lösung würde die Kalai-Smorodinsky-Lösung vorschlagen? (Ein grafisches Argument genügt.) Finden Sie diese gerechter? (d) Diskutieren Sie den Unterschied der beiden Lösung in 2. und 3. vom axiomatischen Standpunkt! 7. Die Flughafen-Dortmund GmbH möchte die Anzahl der Starts und Landungen pro Tag erhöhen. Ihre Gewinnfunktion sei gegeben durch π F (x) = 240x x 2, wobei x die Zahl der Starts resp. Landungen darstellt. Neben dem Flughafen plant die Wohnungsbaugesellschaft Viterra AG den Bau einer neuen Wohnsiedlung, den Wohnpark Stadtkrone. Viterra s Gewinnfunktion sei gegeben durch π V (y x) = 180y y 2 20x, wobei y die Anzahl der Häuser repräsentiert. (a) Wie viele Häuser wird Viterra bauen und wie viele Starts und Landungen wird die Flughafen-Dortmund GmbH verkaufen, wenn beide Unternehmen unabhängig voneinander Ihren Gewinn maximieren? (b) Wie viele Häuser und Starts und Landungen wären sozial optimal (d.h. maximieren den aggregierten Gewinn)? (c) Nehmen Sie folgende zwei Szenarien an: In Szenario A kann Viterra rechtliche Schritte gegen den Flughafen einleiten, um den durch diesen verursachten finanziellen Verlust erstattet zu bekommen. In Szenario B muss der Flughafen keine Kompensationszahlungen leisten. Beschreiben Sie in beiden Szenarien das Verhandlungsproblem (S, d)! (d) Wie sähe die Nash-Verhandlungslösung aus? 8. Der Millionär Müller ist verstorben und hinterlässt ein Vermögen von e. In seinem Testament verfügt er, dass seine beiden zerstrittenen Söhne Hans und 3

4 Franz das Geld nur dann erhalten sollen, wenn sie es schaffen, sich einig zu werden, wie das Geld unter Ihnen aufgeteilt werden soll. Um zu verhindern, dass sich seine Söhne gegenseitig ausbeuten, verfügt Herr Müller zudem, dass Hans, der seinen Vater häufiger besucht hat, im Falle einer Einigung einen Betrag von mindestens e erhalten soll, wohingegen Franz mindestens e erhalten soll. Einigen sie sich nicht, so soll das Vermögen einem wohltätigen Zweck zugeführt werden, und die Söhne würden nur einen Pflichtteil erhalten, aus dem sie keinen positiven Nutzen ziehen würden. Jeder Sohn i ziehe aus dem in einer Einigung von ihm erzielten Vermögen x i einen Nutzen von U i (x i ) = x i. Was sein Bruder erhält, beeinflusst bei keinem der beiden die Nutzenfunktion. (a) Stellen Sie das Problem der beiden Brüder als Verhandlungsproblem dar. (b) Wie sieht die Nash-Verhandlungslösung aus? (c) Wie sieht hingegen die Kalai-Smorodinsky-Lösung aus? (d) Stellen Sie kurz die axiomatische Grundlage der Nash-Verhandlungslösung dar. Inwiefern unterscheidet sich die axiomatische Grundlage der Kalai-Smorodinsky- Lösung von der der Nash-Lösung? Auf welcher Kritik an Nash s Axiomensystem bauen Kalai und Smorodinsky ihren Ansatz auf? 9. Nachdem ein namhafter Sponsor des Ruhr-Marathons abgesprungen ist, haben die Organisatoren mit Power-Kneipe und Hero-Cola zwei andere Sponsoren gefunden, die beide einen bestimmten Betrag zur Veranstaltung zusteuern wollen, und sich dadurch einen erhöhten Umsatz erhoffen. PowerKneipe rechnet durch die Kampagne mit einer Gewinnerhöhung um e, während Hero-Cola zusätzliche e in seiner Kasse erwartet. Allerdings mussten die Organisatoren feststellen, dass trotz der Zusagen von PowerKneipe und Hero-Cola noch e zur Finanzierung der Veranstaltung fehlen. Daher haben sie beide Firmen gebeten, sich noch einmal zu überlegen, ob sie den fehlenden Betrag nicht doch aufbringen können, da der Marathon ansonsten ausfallen muss. Nehmen Sie an, dass beide Firmen eine monetäre Nutzenfunktion haben und sollte der Marathon ausfallen, so müssen beide Firmen komplett auf den zusätzlichen Gewinn verzichten. (a) Stellen Sie die Situation der beiden Firmen als Verhandlungsproblem dar! Gehen Sie dabei davon aus, dass keine Firma bereit ist, mehr als ihren erwarteten Gewinnzuwachs zusätzlich bereitzustellen! (b) Welches Verhandlungsergebnis würde die Nash-Verhandlungslösung vorschlagen, welches die egalitäre Lösung? Warum ist das Konzept der utilitaristischen Verhandlungslösung hier nicht sinnvoll? (c) Ermitteln Sie nun auch die Kalai-Smorodinsky-Lösung! Erläutern Sie den Unterschied zur Nash-Lösung auf axiomatischer Grundlage, und erläutern Sie anhand des vorliegenden Beispiels, warum die Kalai-Smorodinsky-Lösung gerechter erscheint! 4

5 (d) Nehmen Sie nun an, Hero-Cola könnte seinen größeren Bekanntheitsgrad nutzen, um seine Verhandlungsstärke auf a=0,75 zu erhöhen. Welches Lösungskonzept trägt dieser Situation Rechnung? Auf welcher axiomatischen Grundlage baut es auf, welches Axiom hingegen wird nicht erfüllt? Wie verändert sich das Ergebnis im Gegensatz zur einfachen Nash-Verhandlungslösung? 10. Paul besitze 60 Cheeseburger und 40 Milchshakes, während Anna über 40 Cheeseburger und 60 Milchshakes verfüge. Beide wünschen sich zu jedem Cheeseburger genau einen Milchshake, so dass ihre Nutzenfunktion durch gegeben ist. U P (C, M) = U A (C, M) = min(c, M) (a) Zeichnen Sie Güterausstattung und Indifferenzkurven in ein Diagramm (z.b. in eine Edgeworth-Box)! Zeigen Sie, dass die Allokation ineffizient ist! (b) Paul und Anna wollen durch Verhandlungen die Ineffizienz beseitigen. Formulieren Sie das Verhandlungsproblem, wenn die beiden der Nash-Verhandlungslösung folgen wollen! (Definieren Sie die Verhandlungsmenge S und den Drohpunkt d!) (c) Erläutern Sie kurz Axiome und Eigenschaften der Nash-Verhandlungslösung! Welche (Nutzen-)Allokation würde die Nash-Verhandlungslösung in obiger Situation auswählen? Welche Konsummengen impliziert die Nash-Verhandlungslösung? (d) Beschreiben Sie kurz die Axiome und Eigenschaften der Kalai-Smorodinsky-Lösung! Welche (Nutzen-)Allokation wählt diese aus? (e) Vergleichen Sie Ihre Antworten zu 3. und 4.! Können Sie einen allgemeinen Zusammenhang zwischen den beiden Lösungkonzepten ableiten? Begründen Sie Ihre Antwort! 11. Betrachten Sie eine Gewerkschaft, die mit einem Unternehmen über Lohnhöhe und Beschäftigung verhandelt. Bei einer Einigung wird ein Lohnsatz w > 0 und eine Beschäftigung L > 0 vereinbart. Arbeit sei der einzige Produktionsfaktor. Das Unternhemen möchte den Gewinn π(w, L), bestehend aus der Umsatzfunktion U(L) abzüglich der Lohnsumme w L maximieren. Die zu maximierende Zielfunktion der Gewerkschaft sei hingegen repräsentiert durch v(w, L) = wl C(L), wobei C(L) die Funktion der Opportunitätskosten der Mitglieder der Gewerkschaften bezeichnet. Es gelte U (L) > 0 und U (L) < 0 (d.h. U ist konkav), sowie C (L) > 0 und C (L) > 0 (d.h. C ist konvex). Außerdem seien Verhandlungslösungen (w, L ) ausgeschlossen, die π (w, L ) < 0 bzw. v (w, L ) < 0 implizieren. 5

6 (a) Bestimmen Sie die Menge der pareto-effizienten Verhandlungslösungen und stellen Sie diese in einem (L, w)-diagramm graphisch dar. Achten Sie hierbei auf eine exakte Beschriftung Ihrer Graphik. Hängt die effiziente Beschäftigungsmenge vom Lohnsatz ab? (b) Bestimmen Sie die verallgemeinerte Nash-Verhandlungslösung f αn (S, d), wenn der Drohpunkt für beide Verhandlungsparteien d = 0 ist und α (mit 0 < α < 1) die Verhandlungsmacht des Unternehmens angibt. Stellen Sie den ausgehandelten Lohn in Abhängigkeit von α graphisch dar und interpretieren Sie die Lösung. 12. Während ihrer Vorbereitung auf die Klausur zur Verhandlungstheorie war den BWL-Studenten Albrecht, Karl und Theo eine Idee fr ein Gesellschaftsspiel gekommen, das die drei nun nach Abschluss ihres Studiums vermarkten wollen. Da alle drei über sehr unterschiedliche Fähigkeiten verfügen, ist ihnen sofort klar, dass ihr Geschäft nur dann profitabel sein wird, wenn alle drei zusammen arbeiten. Eine Studie, die die drei angehenden Geschäftsleute durchgeführt haben, hat ergeben, dass wenn nur einer oder zwei von ihnen das Geschäft gründen, nur die Kosten gedeckt werden können, aber alle drei zusammen einen Gewinn von e erzielen können. (a) Stellen Sie die Situation der Freunde als Verhandlungsproblem dar! Ignorieren Sie dabei alternative Einkommensquellen der drei Studenten! (b) Ermitteln Sie die Nash-Verhandlungslösung! Argumentieren Sie, welche ihrer axiomatischen Eigenschaften fr diese Verhandlungslösung sprechen! (c) Obwohl Theo von den drei Freunden die schlechteste Note in der Klausur zur Verhandlungstheorie hatte, ist er es, der seinen Freunden einen Nachteil des Lösungskonzepts von Nash nahebringt. Er zitiert die Kritik, die Kalai und Smorodinsky vorbringen, und bittet seine Freunde, einen Moment über deren Verhandlungslösung nachzudenken. Welche Kritik brachten Kalai und Smorodinsky gegen die Nash- Verhandlungslösung vor? Argumentieren Sie an einem Beispiel! Welche alternative Lösung schlagen sie vor, und auf welcher axiomatischen Grundlage basiert diese? (d) Nennen Sie kurz (!) einen Grund, warum Theo s Einwand unpassend ist! Kapitel 2: Strategische Verhandlungstheorien 13. (a) Erläutern Sie die Grundlagen und Aussage der Nash-Verhandlungslösung für ein Zwei-Personen-Verhandlungsproblem! (b) Welcher grundlegenden Kritik an dieser Lösung begegnet das Rubinstein-Verhandlungsspiel (mit vollkommener Informationen)? Wovon hängt das Gleichgewicht in diesem 6

7 Spiel in kritischer Weise ab? Illustrieren Sie dies am Beispiel von Lohnverhandlungen! 14. Ein Philantrop schenke John und Mary einen Dollar, und erlaube Ihnen nur folgende Aufteilung des Dollars: 10:90, 20:80, 50:50 und 60:40. Im folgenden Verhandlungsspiel dürfen John und Mary im Wechsel Aufteilungen ausschließen, die sie für inakzeptabel halten. (a) Welche Aufteilung wird im teilspielperfekten Gleichgewicht herauskommen, wenn John das erste Veto gebührt? (b) Welche Aufteilung ergibt sich, wenn Mary beginnt? 15. Gehen Sie von einem Ultimatumspiel aus, in dem 100 Cent auf 2 Spieler aufgeteilt werden sollen. Einer der Spieler, Spieler i, habe dabei (negativ) interdependente Präferenzen, d. h. er maximiert seine relative Auszahlung π i (s i, s j ) π j (s i, s j ), i j. Spieler j hingegen sei Individualist und maximiere π j (s i, s j ). (a) Nehmen Sie an, Spieler 1 habe die interdependente Präferenzen. Skizzieren Sie die extensive Form dieses modifizierten Ultimatum-Spiels und geben Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichte an. (b) Skizzieren Sie nun die extensive Form des modifizierten Ultimatum-Spiels, wenn Spieler 2 interdependente Präferenzen hat. Bestimmen Sie auch hier alle teilspielperfekten Gleichgewichte. (c) Welche teilspielperfekten Gleichgewichte ergeben sich, wenn beide Spieler ihren relative Auszahlung maximieren? 16. Betrachten Sie das Rubinstein-Spiel (a) Warum kann keine Aufteilung (x 1, x 2 ) [0, 1] 2 mit x 1 + x 2 < 1 Teil eines Nash- Gleichgewichtes oder eines teilspielperfekten Gleichgewichtes sein? (b) Zeigen Sie, dass jede Aufteilung (x 1, 1 x 1 ), x 1 [0, 1] Teil eines Nash-Gleichgewichtes sein kann! Geben Sie die jeweiligen Gleichgewichtsstrategien an! (c) Zeigen Sie, dass das in der Vorlesung vorgestellte Strategienprofil (σ 1, σ 2) ein teilspielperfektes Gleichgewicht darstellt! 7

8 17. Betrachten Sie nun folgende Modifikation des Rubinstein-Spiels: Anstelle eines konstanten Diskontierungsfaktors haben beide Spieler konstante Kosten einer Verzögerung, c i > 0. Ihre Nutzenfunktion können dementsprechend jeweils mit U i (z, t) = z c i t angegeben werden. (a) Zeigen Sie, dass die Aufteilung (c 2, 1 c 2 ) im teilspielperfekten Gleichgewicht resultiert, falls c 1 > c 2, d. h. wenn Spieler 1 die (strikt) höheren Verzögerungskosten hat! (b) Weisen Sie nach, dass im teilspielperfekten Gleichgewicht die Aufteilung (0, 1) resultieren, falls c 1 < c 2. (c) Zeigen Sie, dass für c 1 = c 2 jede Aufteilung (x, 1 x) mit x [c 1, 1] ein teilspielperfektes Gleichgewicht repräsentieren kann! 18. (a) Was ist ein sequentielles Gleichgewicht? Erläutern Sie anhand eines einfachen Beispiels, warum es als Verfeinerung des teilspielperfekten Gleichgewichtes benötigt wird! (b) Für das Alternating-Offer-Spiel mit asymmetrischer Information gibt es eine Vielzahl von sequentiellen Gleichgewichten. Welche mögliche Verfeinerung des Konzepte löst in diesem Spiel das Problem der Multiplizität der Gleichgewichte? Erläutern Sie das Konzept! 19. Betrachten Sie das folgende Spiel in extensiver Form: l r l r 2 L R 1 1 A 1 (a) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte, in denen Spieler 1 eine reine Strategie spielt! 8

9 (b) Welche Nash-Gleichgewichte sind teilspielperfekt? Gibt es teilspielperfekte Gleichgewichte, die kein Nash-Gleichgewicht repräsentieren? (c) Bestimmen Sie alle sequentiellen Gleichgewichte des Spiels! 20. Die Forschungsabteilung der Hesse-AG wurde mit der Durchführung einer schwierigen und gefährlichen Aufgabe beauftragt. Ihr Chef steht vor folgender Entscheidung: Er kann erstens die Aufgabe an einen seiner Mitarbeiter delegieren und ihn kontrollieren, er kann zweitens die Aufgabe an den Mitarbeiter delegieren und ihn nicht kontrollieren oder er kann die Aufgabe selbst durchführen und auf eine Delegation verzichten. Der Vorstand verlangt, dass ihm zusammen mit der Delegationsentscheidung mitgeteilt wird, ob der Abteilungsleiter eine Kontrolle durchführen wird oder nicht. Die Mitteilung an den Vorstand erfährt der Mitarbeiter nicht. Wird der Mitarbeiter mit der Durchführung der Aufgabe beauftragt, so kann er die Aufgabe vorsichtig oder aber unvorsichtig durchführen. Verzichtet der Abteilungsleiter auf die Delegation der Aufgabe, so bewertet er dies mit 3 Geldeinheiten (GE), der Mitarbeiter mit 0 GE. Wird die Aufgabe delegiert und der Mitarbeiter kontrolliert, so lauten die Auszahlung für den Abteilungsleiter und den Mitarbeiter 3 bzw. 2 GE bei vorsichtiger und 1 bzw. -2 GE bei unvorsichtiger Durchführung. Kontrolliert der Abteilungsleiter nicht, so wird dies mit 5 bzw. 1 GE bei vorsichtiger und 0 bzw. -1 GE bei unvorsichtiger Durchführung bewertet. (a) Stellen Sie obige Entscheidungssituation als Spiel zwischen Abteilungsleiter und Mitarbeiter dar! Interpretieren Sie jeweils kurz die ordinale Auszahlungsstruktur der beiden Akteure. (b) Wie lauten die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien? Welche Strategiekombinationen sind teilspielperfekt? (c) Inwiefern kann das Verhalten des Mitarbeiters in einem der Gleichgewichte als unglaubwürdig angesehen werden? Tragen die Konzepte des Nash-Gleichgewichtes und des teilspielperfekten Gleichgewichtes dem Rechnung? (d) Bestimmen Sie die sequentiellen Gleichgewichte des Spiels! 21. Auf einem Trödelmarkt wird oft hart verhandelt. Modellieren wir nun solch eine Verhandlung, bei der der Käufer einen antiken Schreibtisch möglichst günstig erwerben möchte, wohingegen der Verkäufer natürlich einen stolzen Preis für das gute Stück erzielen möchte. Nehmen wir vollständige Information beider Akteure (insbesondere über die Bewertung des Gutes von beiden Seiten) an, und die Verhandlung laufe so ab, dass der Verkäufer zuerst einen Preis vorschlägt, den der Käufer annimmt oder ablehnt. Bei Annahme findet der Kauf zum vorgeschlagenen Preis statt, bei Ablehnung bekommt der Käufer ein Vorschlagsrecht. Das Spiel laufe so lange weiter bis beide Akteure eine Einigung erzielt haben. 9

10 (a) Welche Spielstruktur beschreibt die obige Verhandlung? Wie sieht die Struktur des teilspielperfekten Gleichgewichts aus? (b) Nehmen Sie an, beide Spieler diskontieren mit derselben Diskontrate und die Periodendauer mit der die gegenseitigen Vorschläge ausgetauscht werden, konvergiere gegen 0. Was lässt sich in diesem Fall über das Verhandlungsergebnis sagen? Gehen Sie insbesondere auf die Beziehung dieser strategischen Theorie zu axiomatischen Ansätzen ein. Wie muss diese Aussage verändert werden, wenn beide Spieler mit verschiedenen Diskontsätzen (δ V und δ S ) operieren? (c) Nehmen Sie nun an, der Verkäufer weiß nur, dass die Diskontrate des Käufers einen von zwei Werten annimmt. Insbesondere ist er nicht sicher ob der Käufer geduldiger oder ungeduldiger ist als er selbst. Was lässt sich in diesem Fall über teilspielperfekte Gleichgewichte sagen? Warum sind sequentielle Gleichgewichte nicht eindeutig? 22. (a) Betrachten Sie das klassische Ultimatum-Spiel, in dem die Ablehnung eines Angebots sofort zur Nichteinigung führt. Skizzieren Sie das Spiel anhand eines Spielbaumes! Wie sieht die Menge der Nash-Gleichgewichte aus, wie die der teilspielperfekten Gleichgewichte? Vergleichen Sie beide Antworten. Gehen Sie von einer stetigen Verteilung der Angebotsmöglichkeiten aus! (b) Betrachten Sie nun ein zweistufiges Ultimatum-Spiel! Nehmen Sie an, der zuerst vorschlagende Spieler diskontiere mit dem Faktor δ 1 und der andere mit dem Faktor δ 2, mit δ 1, δ 2 (0, 1). Wie sieht hier der Spielbaum aus? Spezifizieren Sie die Strategien im teilspielperfekten Gleichgewicht und erläutern Sie, warum das einstufige und das zweistufige Ultimatum-Spiel zu unterschiedlichen Auszahlungen im Gleichgewicht führen. (c) Wie wirkt sich im zweistufigen Ultimatum-Spiel eine Steigerung der Diskontfaktoren δ 1 und δ 2 auf die Gleichgewichtsstrategien und die Gleichgewichtsauszahlungen aus? Geben Sie eine Intuition für Ihre Antwort. (d) Die Diskontfaktoren beruhen auf der Annahme, dass die Periodenlänge auf 1 normiert worden ist. Wie verändern sich die relevanten Diskontfaktoren, wenn die Verhandlung nun schneller (oder langsamer) wird und eine Verhandlungsstufe nun die Länge θ hat? Was passiert mit dem teilspielperfekten Gleichgewicht, wenn θ gegen 0 konvergiert? 23. Betrachten Sie ein zweistufiges Ultimatum-Spiel, in dem zwei Spieler über die Aufteilung eines Dollars verhandeln, und im Nichteinigungsfall jeweils 0 Cent erhalten. 10

11 Beide Spieler diskontieren Ihren Nutzen mit dem Faktor δ 1 ab, falls die Verhandlung 3 die zweite Stufe erreicht. (a) Nehmen Sie an, sowohl Spieler 1 als auch Spieler 2 haben die Nutzenfunktion U 1 (x) = U 2 (x) = x, wobei x die jeweilige Menge an Geld ist, die der betreffende Spieler erhält. Zeichnen Sie einen Spielbaum! Wie sieht das teilspielperfekte Gleichgewicht in Abhängigkeit von δ aus? (b) Nehmen Sie nun an, Spieler 1 habe nach wie vor dieselbe Nutzenfunktion wie in a), Spieler 2 habe aber nun die Nutzenfunktion U 2 (x) = 2 x + 1. Wie sieht nun das teilspielperfekte Gleichgewicht aus? Geben Sie außerdem die Auszahlungsstruktur dieser Situation an! (c) Welches Angebot wird Spieler 1 in den beiden Situationen jeweils wählen, wenn δ = 2 3? (d) Für welche Werte von δ wird Spieler 1 in beiden Situationen mit demselben Vorschlag beginnen? (e) Argumentieren Sie anhand Ihres Ergebnisses aus c), ob das zweistufige Ultimatum- Spiel allgemein geeignet ist, (a) die Nash-Verhandlungslösung und (b) die Kalai-Smorodinsky-Lösung zu erzeugen! Erläutern Sie gegebenenfalls, welche zentralen Annahmen der jeweiligen Verhandlungslösung verletzt sind. Kapitel 3: Mechanism Design 24. Ein Verkäufer biete eine unteilbare Einheit eines Gutes an, wobei er unvollkommen über die Zahlungsbereitschaft der Käufer informiert ist. Es gebe n potentiell Käufer, deren Reservationspreise durch v 1 <... < v n gegeben sind. Alle Käufer geben unabhängig voneinander und gleichzeitig ein Gebot b i [0, ] ab. Käufer kennen nur ihren eigenen Reservationspreis, verfügen aber nur über unvollständige Information bezüglich der Reservationspreise der anderen Kaufinteressenten. Das alles sei common knowledge zwischen den Käufern und dem Verkäufer. (a) Nehmen Sie an, eine soziale Entscheidungsfunktion schreibe vor, dass der Käufer mit der höchsten Bewertung das Gut erhalten soll. (Das maximiert den Zugewinn der Konsumenten.) Identifizieren Sie das Problem des Verkaufs des Gutes als Mechanismus-Problem. (b) Betrachten Sie zunächst eine Erst-Preis-Auktion. Bei dieser Auktion gewinnt der Bieter mit dem höchsten Gebot und zahlt genau sein Gebot. Zeigen Sie, z.b. für den Spieler mit der höchsten Bewertung, dass es nicht Teil eines Nash- Gleichgewichtes sein kann, dass der Bieter seine eigene Bewertung (mit Wahrscheinlichkeit 1) bietet! Ist die Erst-Preis-Auktion ex-post effizient? 11

12 (c) Betrachten Sie nun die Zweit-Preis-Auktion. Hier gewinnt ebenfalls der Höchstbietende, aber er bezahlt diesmal nur das zweithöchste Gebot. Zeigen Sie, dass ein Gebot in Höhe der eigenen Bewertung abzugeben, ein Gleichgewicht in schwach dominanten Strategien darstellt. Ist die Zweit-Preis-Auktion ex-post effizient? 25. Professor G. hat zwei Zwillingssöhne, Hein und Klaus. Die beiden streiten sich, wem der Becher mit dem Sternzeichen Waage gehört. Sie bitten ihren Vater um Schlichtung. Die Bitte stellt G. vor ein Problem: Er kann sich beim besten Willen nicht mehr erinnern, welchem von beiden er den Becher geschenkt hat. Nach kurzem Überlegen wird ihm jedoch klar, dass dem tatsächlichen Besitzer der Becher 5 mehr wert sein dürfte als dessen Bruder. Für letzteren taxiert er den Wert korrekt auf 10. Dann schlägt er das unten dargestellte Spielform vor. Das Ereignis (Name,h,k) bedeute, dass Name der Becher zugesprochen wird, Hein einen Betrag von h und Klaus k vom Taschengeld abgezogen wird. Der Betrag z gibt also an wieviel Euro Klaus vom Taschengeld abgezogen werden, wenn beide Söhne nach wie vor behaupten, es sei ihr eigener Becher. Es sei angenommen, dass der Nutzen jedes der Zwillingssöhne monoton mit seinem Geld zunehme, der Nutzen des jeweiligen Bruder sei egal. Dies und die jeweiligen individuellen Wertschätzungen seien Common Knowledge unter den Zwillingen. (a) Klaus Zahlung betrage z=12. Angenommen, Hein sei der tatsächliche Besitzer des Bechers. Welches teilspielperfekte Gleichgewicht wird sich einstellen? Welches teilspielperfekte ergäbe sich, wenn Klaus der tatsächliche Besitzer ist? (b) Wie lautet das teilspielperfekte Gleichgewicht für z < 10, wie für z > 15? (c) Fassen Sie das Problem von Prof. G. als Mechanismus-Problem auf! Wie lautet vermutlich G. s (soziale) Entscheidungsfunktion? Für welche Werte von z implementiert die vorgestellte Spielform diese in teilspielperfekte Strategien? (d) Warum muss auch Hein für den Fall, dass beide Spieler meins sagen, mit einer Strafzahlung belegt werden? H meins K meins seins seins Klaus,1,z (Klaus,0,0) (Hein,0,0) 12

13 26. Obwohl Julius kein begeisterter Fußballfan ist, hat er von seiner Erbtante eine Eintrittskarte für ein Spiel des BVB im Signal-Iduna-Park geschenkt bekommen. Da der Gegner ein Abstiegskandidat ist, ist kein spannendes Spiel zu erwarten, so dass diese Karte auch noch zum Preis von 10 an der Tageskasse zu bekommen wäre. Am Tag des Spieles steht er vor dem Stadion und hofft seine Karte verkaufen zu können, wenn ihm jemand genug bietet. Ansonsten sieht er sich das Spiel selbst an. Dort trifft er Elmar, der Interesse an der Karte zeigt. Nun sei es so, dass Elmar nur wisse, dass Julius Reservationspreis für das Spiel zwischen 0 und 10 liegt, und nimmt zurecht Gleichverteilung an. Auch Julius weiß, dass Elmars Reservationspreis für das Spiel zwischen 0 und 10 liegt, und nimmt ebenfalls zurecht Gleichverteilung an. Da sie aber jeweils nur Ihren eigenen Reservationspreis kennen, aber nicht vertrauen wollen, dass der jeweils anderen seinen wahren Reservationspreis bekannt gibt, bitten sie den zufällig vorbeikommenden fußballbegeisterten Spieltheoretiker Prof. M. um Hilfe, der Ihnen den sealed-bid -Mechanismus vorschlägt. (a) Erläutern Sie die Struktur des sealed-bid -Mechanismus. Julius Reservationspreis sei 5. Der Reservationspreis von Elmar sei 6. Wird ein Kauf zustande kommen? Wie hoch muss Elmars Reservationspreis mindestens sein, damit beide tauschen, wenn der Reservationspreis von Julius 5 beträgt? (b) Welche ökonomisch wünschenswerten Eigenschaften hat der sealed-bid -Mechanismus? Erläutern Sie diese begrifflich! Welche Effizienzeigenschaften hat er bzw. hat er nicht? (c) Vergleichen Sie die Analysen von Matsuo einerseits und Myerson/Satterthwaite andererseits im Hinblick auf Annahmen und Ergebnisse? Inwiefern gibt die Einschränkung, die Matsuo für sein Ergebnis machen muss eine Intuition für das Ergebnis der Analyse von Myerson/Satterthwaite? 27. Nach der Insolvenz der Ich-AG mssen sich die beiden Gläubiger-Banken, Bank A und Bank B, auf eine Aufteilung des Restvermögens der AG in Hhe von e einigen. Die Forderungen jeder der beiden Banken von dem kleinen Unternehmen überschreiten jedoch deutlich diese Summe. Von Bank B ist bekannt, dass sie eine Vielzahl von Mitarbeitern hat (nehmen Sie ein Kontinuum an!), die unterschiedlich launisch sind und deren Zuverlässigkeit p auf [0,1] gleichverteilt ist, während bei Bank A nur zuverlässige Mitarbeiter arbeiten. Die Zuverlässigkeit jedes Mitarbeiters sei Common Knowledge. Der Insolvenzverwalter, der während seines Studiums auch erfolgreich einen Kurs in Verhandlungstheorie belegt hat, schlägt nun folgendes Verfahren vor, wie sich die beiden Banken auf eine Aufteilung des Restvermögens einigen sollen: Zunächst soll Bank A dem Verwalter einen Aufteilungsvorschlag (x 1, x 2 ) für das Restvermögen unterbreiten, der auch Bank B mitgeteilt wird. Anschließend soll Bank B einen Gegenvorschlag (y 1, y 2 ) machen, und entscheiden, an welchen Mitarbeiter sie die weiteren Verhandlungen mit dem Insolvenzverwalter delegiert. Bei einer abschließenden Versammlung, zu der der beauftragte Vertreter mit Zuverlässigkeit p nur mit der Wahrscheinlichkeit p erscheint, gesteht der Insolvenzverwalter nun Bank A das Recht zu, eine der beiden Aufteilungen (x 1, x 2 ) oder (y 1, y 2 ) zu wählen, die dann Bestandteil des Auflösungsvertrages wird. 13

14 Allerdings muss der Vertreter von Bank A damit rechnen, dass der Vertreter von Bank B bei Erscheinen mit Wahrscheinlichkeit (1 p) auer sich gerät und seine Unterschrift verweigert, sollte der Vertreter von Bank A den eigenen Vorschlag (x 1, x 2 ) wählen. Wenn der Vertreter von Bank B aber seine Unterschrift verweigert oder gar nicht erst zu dem Termin erscheint, so kann das Restvermögen des Unternehmens nicht ohne weitere Kosten abgewickelt werden, und das Vermögen der Ich-AG geht im weiteren Verfahren verloren. (a) Nehmen Sie an, die Banken haben eine monetäre Nutzenfunktion (U(M) = M)! Stellen Sie die Verhandlungssituation als Spielbaum dar! Wie sieht das teilspielperfekte Gleichgewicht aus? (b) Was ist ein Mechanismus, was eine Implementierung? (c) Warum hat der Insolvenzverwalter wohl gerade diese Gestaltung des Verhandlungsspiels gewählt? Erläutern Sie dazu den allgemeinen Zusammenhang des zugrundeliegenden Mechanismus mit den axiomatischen Theorien zur Verhandlungstheorie! Inwiefern ist dieses Spiel auch dem Rubinstein-Spiel beliebig schnellen Verhandlungen überlegen? 28. Matsuo s Mechanismus hat die folgende Form: s h b h trade at price p 1 = s h trade at price p 2 = λs h + (1 λ)b n b n no trade - price p 4 = 0 trade at price p 3 = b n s n wobei für λ gilt: [ ] [ ɛ (b h s h ) min (1 ɛ) (s h b n ), 1 λ max 1 δ (b ] n s n ) (1 δ) (s h b n ), 0. Nehmen Sie ferner an, dass b h > s h > b n > s n und ɛ(1 δ)b h + (1 ɛ)b n (1 δ)s h + δ(1 ɛ)s n. Weisen Sie nach, dass unter diesen Bedingungen Matsuo s Mechanismus anreizverträglich, individuell rational und ex-post effizient ist. 29. König Salomon s Problem: Zwei Mütter, A und B, behaupten, die wahre Mutter eines Babys zu sein. Angenommen, die Wertschätzung der wahren Mutter für ihr Baby sei V W, während die Wertschätzung der falschen Mutter V F betrage. Es gelte V W > V F > 0, und diese Information sei Common Knowledge zwischen König Salomon und den Müttern A und B. Die einzige Informationsasymmetrie bestehe darin, dass König Salomon nicht weiß, welche der beiden Mütter die Wertschätzung V W besitzt. 14

15 Betrachten Sie nun folgende Spielform: Stufe I: Mutter A sagt meins oder ihrs. Sagt sie ihrs, so wird Mutter B das Baby zugesprochen, andernfalls geht es weiter auf Stufe II. Stufe II: Mutter B stimmt zu oder widerspricht. stimmt Mutter B zu, so erhält Mutter A das Baby. Widerspricht Mutter B, dann bekommt sie selbst das Baby, muss aber König Salomon einen Geldbetrag V bezahlen, wobei V W > V > V F. Gleichzeitig wird Mutter A bestraft, sie bezahlt f > 0 an König Salomon. (a) Angenommen, Mutter A sei die wahre Mutter. Bestimmen Sie ein teilspielperfektes Gleichgewicht! Ist dieses eindeutig? Begründen Sie Ihre Antwort! (b) Bestimmen Sie ein teilspielperfektes Gleichgewicht für den Fall, dass Mutter B die wahre Mutter sei! Ist dieses teilspielperfekte Gleichgewicht eindeutig? Begründen Sie Ihre Antwort! (c) Beziehen Sie die oben beschriebene Spielform auf das allgemeine Problem der Implementierung einer sozialen Auswahlfunktion. Wie dürfte König Salomon s soziale Auswahlfunktion aussehen? Welche Lösung implementiert die oben beschriebene Spielform. Begründen Sie Ihre Antwort! 15