Mikroökonomik B 4.1 Spiele in strategischer Form

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1 Mikroökonomik B 4.1 Spiele in strategischer Form Paul Schweinzer 28. Mai / 74

2 Literaturangaben Jehle und Reny (2001), Kapitel 7.2 Varian (2007), Kapitel 28 & 29 Gibbons (1992), Kapitel 1 & 3. 2 / 74

3 Themen So die Zeit ausreicht, werden wir folgende Themen behandeln a Beschreibung eines Spieles in strategischer Form b Iterative Elimination von strikt dominierten Strategien (Iesds) c Nash Gleichgewicht (NGw) & Beispiele d Gemischte Strategien e Existenz von Nash Gleichgewichten f Wiederholte Spiele g Statische Spiele mit unvollständiger Information. 3 / 74

4 Beispiel: Eintrittsspiel 1. Zwei Eiscremeproduzenten entscheiden sich im Winter ob sie mit Beginn der Sommersaison Verkaufsstände am Münsterplatz öffnen sollen. 2. Die Entscheidungen des Konkurrenten können nicht beobachtet werden. Modellannahme: Entscheidung werden gleichzeitig und unabhängig voneinander getroffen. Dabei ist es unwesentlich, ob die Züge tatsächlich simultan erfolgen. 3. Wenn nur ein Verkaufsstand eingerichtet wird, dann verdient der betreffende Verkäufere3 Mio (der nicht in den Markt eintretende Konkurrent verdient nichts). 4. Wenn beide Verkäufer eintreten, verdient jedere1.5 Mio. 4 / 74

5 Wir verwenden eine (bi)matrix um diese Information zu organisieren Konventionen Eintritt kein Eintritt Eintritt 1.5,1.5 3,0 kein Eintritt 0,3 0,0 1. Zeilen beinhalten die Entscheidungen ( Strategien ) von Verkäufer 1, Spalten jene von Verkäufer Jedes mögliche Ergebnis des Spieles (jeder Spielausgang ) befindet sich in einer eigenen Zelle der Matrix. 3. Ergebnisse werden als Tupel (u 1,u 2 ) in Erwartungsnutzeneinheiten angegeben. 4. Der erste Payoff-Eintrag u 1 des Ergebnistupels ist jener für Spieler 1, der zweite u 2 ist die Auszahlung für Spieler 2. 5 / 74

6 Eine Vorhersage des Verkäuferverhaltens ist dann einfach, wenn wir folgende Annahmen machen 1. Die Auszahlungen sind das Einzige worum sich die Spieler kümmern. (Erwartungsnutzen als final wealth states.) 2. Die Spieler sind rational; als Arbeitshypothese nehmen wir an, daß dies bedeutet, daß sie versuchen unter den gegebenen Bedingungen ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen und dabei keinen intellektuellen Beschränkungen unterliegen. 3. Die Spieler maximieren ihre Profite. Unter diesen Annahmen ist die Vorhersage (Eintritt,Eintritt) und die damit verbundenen Auszahlungen sind (1.5,1.5). E ke E 1.5,1.5 3,0 ke 0,3 0,0 Beachten sie, daß ein Spieler in diesem Beispiel die Entscheidung des anderen Spielers nicht kennen muss, um seine optimale Entscheidung treffen zu können. 6 / 74

7 Jargon Entscheidungsträger = Spieler = Player = Agent. Auszahlungen = Payoffs = Nutzen = Profite = Ergebnisse. Vorhersage = Empfehlung = Anweisung =? Gleichgewicht. Zug = Handlung = Verhalten = Auswahl =? Strategie. 7 / 74

8 Diese Art der Beschreibung von Spielen mit gleichzeitigen Zügen heißt Spiel in strategischer Form. Formal besteht ein solches aus 1. Einer Menge von Spielern N: im Beispiel N = {1,2}, generell N = {1,...,n}. 2. Einer Menge von reinen Strategien pro Spieler S i kombiniert zum Strategienraum S = S 1 S 2 S n : im Beispiel S i = {Eintritt, kein Eintritt} ident für beide Speiler, also S = S 2 i, i {1,2}. 3. Einer Menge von Erwartungsnutzen-Auszahlungsfunktionen u i (s S): u i : n j=1 S j R, i N. Wir schreiben u(s) = u 1 (s),...,u n (s). Im Beispiel sind dies diskrete Werte: u i (E,E) = 1.5, u i (E,kE) = 3, u i (ke,e) = 0, u i (ke,ke) = 0, i {1,2}. Def. Ein Spiel in strategischer Form (ssf) wird vollständig durch {N,S,u} beschrieben. Ein ssf wird benutzt um Interaktionen ohne Zeitdimension zu beschreiben. 8 / 74

9 Ein weiteres Beispiel ist der Kampf der Geschlechter f o f 1,2 0,0 o 0,0 2,1 Hier ist eine Vorhersage wie sich die Spieler verhalten werden schwieriger! Noch schlimmer wird es in folgenden Beispielen von Koordinationsspielen: R L R 10,10 0,0 L 0,0 10,10 Welche Entscheidungen sind rational? R L R 1,1 0,0 L 0,0 10,10 9 / 74

10 Was meinen wir mit Rationalität? 1. Nicht verrückt sein im eigenen Interesse handeln, selbiges von anderen annehmen Iterative Elimination von strikt dominierten Strategien (Iesds) 6. Nash Gleichgewicht (NGw) 7. Teilspielperfektes NGw Obig angeführt sind Konzepte, welche jeweils eine Menge von Handlungsanweisungen (dh Gleichgewichte) abgeben, um zu einer Menge an Ergebnissen zu gelangen: Unglücklicherweise geben die obigen Rationalitätskonzepte keine eindeutige Handlungsanweisung in den Beispielen auf der vorangehenden Seite. 10 / 74

11 Beispiel: Gefangenendilemma d c d 0,0 4,-1 c -1,4 3,3 Wie sollen sich Spieler in diesem Spiel entscheiden? Beachten sie: Was immer 2 wählt, für 1 ist d strikt besser als c. Was immer 1 wählt, für 2 ist d strikt besser als c. Wir sollten also argumentieren, daß kein Spieler c wählen wird. Dh wir sollten die Strategie c einfach streichen und als Handlungsanleitung bzw Vorhersage (d,d) angeben. Diese Streichung wird als Elimination von strikt dominierten Strategien (Esds) bezeichnet. Verwenden wir mehrfache Elimination, so heißt der Prozeß Iterative Elimination von strikt dominierten Strategien (Iesds). 11 / 74

12 Ein asymmetrisches Spiel: Microsoft vs XYZ E ke E 2,-2 5,0 ke 0,5 0,0 1. Sowohl Microsoft als auch der kleine Startup XYZ überlegen den Eintritt in einen neuen Online-Markt. 2. Microsofts dominante Strategie ist einzutreten während XYZ eintreten will wenn Microsoft nicht eintritt und umgekehrt. Dh XYZs optimale Strategie hängt davon ab, was XYZ über Microsofts Verhalten glaubt. 3. Wenn XYZ das Problem versteht, dann kann XYZ schließen, daß Microsoft eintreten wird. Dh, daß XYZ nicht eintreten sollte. Diese Argumentation basiert wiederum auf Iesds: E ke E 2,-2 5,0 12 / 74

13 Def. Eine gemischte Strategie für Spieler i ist definiert durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung σ i : S i [0,1] über der reinen Strategiemenge S i. (Wir bezeichnen mit Σ i den Raum von gemischten Strategien für Spieler und mit Σ = Σ 1... Σ n.) Ein Beispiel: l r t 2,0-1,1 m 0,1 0,0 b -1,0 2,2 Betrachten wir eine gemischte Strategie σ 1 in der P1 mit Wahrscheinlichkeit 1 / 2 jeweils t oder b spielt. Diese Strategie sichert P1 einen Payoff von 0.5, wie auch immer sich P2 verhält. Strategie m ist strikt dominiert durch σ / 74

14 Notation: Gegeben den n-dimensionalen Vektor x = x 1,...,x n, bezeichnet die Schreibweise x i den n 1 dimensionalen Vektor x = x 1,...,x i 1,x i+1,...,x n ohne das Element x i. Dh x i = x/x i. Def. Die reine Strategie s i heißt für Spieler i strikt dominiert, wenn ein σ i Σ i existiert sodass u i (σ i,s i) > u i (s i,s i ) für alle s i S i (1) wobei S i = S 1... S i 1 S i+1... S n. Def. Eine Strategie s i heißt schwach dominiert wenn ein σ i Σ i existiert, sodass die obige Ungleichung (1) strikt ist für zumindest eine s i und für alle anderen als Gleichung gilt. 14 / 74

15 Iesds Def. Ein rationaler Spieler spielt keine strikt dominierte Strategie. Abfolge 1. Eliminiere für i alle strikt dominierten Strategien in S i. 2. Gegeben das reduzierte Spiel, eliminiere für i alle strikt dominierten Strategien in S i.. Def. Spiele mit der Eigenschaft daß nur ein Ergebnis diesen Prozeß überlebt, heißen lösbar in dominanten Strategien. 15 / 74

16 Wenn ein Spiel in dominanten Strategien lösbar ist, dann ist das Ergebnis von Iesds oft eine gute Vorhersage für den tatsächlichen Spielverlauf (in Experimenten oder Realität ). Wenn die Auszahlungen extreme Werte annehmen können, dann ist dies nicht immer der Fall. l r t 2,100,99 b 1,50 2,49 Empfehlung: (t, l) Beachten sie, daß sich Spieler 1 der Rationalität von Spieler 2 sehr sicher sein muss! 16 / 74

17 Um die Rationalitätsanforderungen an Iesds formal besprechen zu können, betrachten wir folgendes Beispiel von Hotelling s Platzierungsspiel. Zwei Bionadeverkäufer A und B verkaufen ein homogenes Gut; sie haben eine diskrete Zahl an möglichen Platzierungen entlang eines Strandes [0,1]: {0, 1 γ, 2 γ,..., γ γ } für gerades γ (somit ist 1 / 2 möglich) die Verkäufer wählen ihre Platzierung gleichzeitig die Konsumenten sind gleichverteilt auf [0,1] und kaufen ihre Eiscreme vom näher gelegenen Verkäufer (Transportkosten) / γ 1 / 2 17 / 74

18 Wird Verkäufer A Platzierung 0 vs. 1 / γ (bzw 1 vs. n 1 / γ ) wählen? (0, 1 / γ ) ( 1 / γ, 1 / γ ): / γ 2 / γ (0,0) ( 1 / γ,0): 0 1 B A@ 1 / γ (0, n / γ ) ( 1 / γ, n / γ ): 0 1 A B@ n / γ Nein! 0 1 / γ ist immer profitabel & 0 ist dominiert! 18 / 74

19 Etwas formeller definieren wir für ein ssf G = {N,S,u}, daß R i bedeutet, daß Spieler i (Iesds) rational ist und K i X bedeutet, daß der Spieler X weiß. 1. {0,1} werden entfernt wenn K i G, R i, i {A,B}, i j {A,B}: zb. wenn B K B G, R B, dann wird B nicht {0, 1} spielen 2. { 1 / γ,1 1 / γ } werden entfernt wenn K i K j G, K j R i : zb. wenn A K A K B G, K A R B, dann weiß A daß B nicht { 1 / γ,1 1 / γ } spielen wird h. { (h 1) / γ,1 (h 1) / γ } werden entfernt wenn K i K j... G, K j K i... R i }{{}}{{} h h 1 19 / 74

20 Def. X heißt allgemein bekannt (common knowledge) unter i {A,B} wenn K i K j K i... X, i j, n = 1,2,3,... }{{} n Iesds benötigt die folgenden Annahmen 1. Rationalität der Spieler 2. diese Rationalität ist allgemein bekannt 3. Spielstruktur {N, S, u} ist allgemein bekannt 20 / 74

21 Durch Wiederholung des obigen Argumentes eliminiert Iesds alle Rasterpunkte mit Ausnahme des mittleren Punktes. Damit besteht die eindeutige Handlungsanweisung von Iesds in der Platzwahl ( 1 / 2, 1 / 2 ) / 2 21 / 74

22 Rationalisierbarkeit (Rationalisability) Eine Strategie heißt rationalisierbar, wenn sie mit der Annahme von Rationalität und der allgemeinen Bekanntheit von Rationalität vereinbar ist. Eine strikt dominierte Strategie ist nicht rationalisierbar, dh sie ist nie eine beste Antwort, ganz gleich, welche Strategien von den Gegenspielern erwartet werden. Eine notwendige Bedingung für die Rationalisierbarkeit einer Strategie ist, dass sie den Prozess der esds überlebt. Für 2-Personen-Spiele gilt, dass alle Strategien, die Iesds überleben, auch tatsächlich rationalisierbar sind. 22 / 74

23 Nash Gleichgewicht Zurück zum Kampf der Geschlechter b 2 s 2 b 1 1,2 0,0 s 1 0,0 2,1 Iesds liefert keine Spielanleitung wir benötigen ein mächtigeres Instrument: Nash Gleichgewicht (NGw). NGw setzt höhere Anforderungen an die Rationalität der Spieler als Iesds: Insbesondere nimmt NGw an, daß die Spieler korrekte Vermutungen darüber haben, welche(s) der möglichen Gleichgewichte tatsächlich gespielt wird! 23 / 74

24 Def. Ein Strategienprofil s = (s 1,...,s n ) ist ein Vektor von Dimension n, der für jeden Spieler eine einzelne Strategie s i S i spezifiziert. Notation: s = (s 1,...,s n ) = (s i,s i ) = (s i,s \ s i ). Def. Spieler i s beste Antwort B i (s i ) auf die Strategien der Konkurrenten s i, ist die Menge eigener Strategien, welche den höchsten Payoff geben. Formell B i (s i ) = {s i S i u i (s i,s i ) u i (s i,s i), s i S i }. 24 / 74

25 Nash Gw: Wechselseitig beste Antworten Def. Ein Nash Gleichgewicht (NGw) ist ein Strategienprofil s das eine beste Antwort s i für jeden Spieler i spezifiziert, gegeben daß i s Konkurrenten s i spielen. Damit gilt im NGw für jeden i N u i (s i,s i) u i (s i,s i), s i S i oder, äquivalent, s i B i (s i), i N. Beachten sie, daß laut dieser Definition die Erwartung der Spieler darüber, welche unter mehreren Handlungsanweisung gespielt werden soll, tatsächlich korrekt ist (bzw sein muß). 25 / 74

26 Beispiel Beachten sie, daß l r u 3,2 2,0 d 0,0 1,1 B 1 (l) = {u}, B 1 (r) = {u} während B 2 (u) = {l}, B 2 (d) = {r}. Damit ist das eindeutige NGw (u,l), da s1 = {u} B 1(s2 = {l}) und s2 = {l} B 2(s1 = {u}). 26 / 74

27 Typischerweise überprüfen wir ein potentielles NGw s = (s i,s i ) direkt in der ssf auf mögliche profitable Abweichungen. Wenn keine Abweichung gefunden werden kann, dann ist s in der Tat ein NGw. l r u 3,2 2,0 d 0,0 1,1 Wir untersuchen (d,r) und stellen fest, daß u 1 (d,r) = 1 < u 1 (u,r) = 2 dh P1 wird unilateral auf u abweichen und (d,r) ist kein NGw. Versuchen wir (u, r); da u 1 (u,r) = 2 > u 1 (d,r) = 1 (ok) aber u 2 (u,r) = 0 < u 2 (u,l) = 2 wird P2 auf l abweichen und (u,r) kann ebenfalls kein NGw sein. 27 / 74

28 l r u 3,2 2,0 d 0,0 1,1 Der gleiche Test schlägt für (d,l) fehl, aber da u 2 (u,l) = 2 > u 2 (u,r) = 0, u 1 (u,l) = 3 > u 1 (d,l) = 0 können wir (u,l) als NGw bestätigen. Beachten sie: Das NGw ist (u,l) und nicht (3,2)! 28 / 74

29 Matching Pennies h t h 1,-1-1,1 t -1,1 1,-1 Hier existiert kein NGw in reinen Strategien! Wir bezeichnen die Menge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen über S i als (S i ) und die Kardinalität von S i als S i. Bem. Eine gemischte Strategie σ i ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über Spieler i s reiner Strategiemenge S i. Wir bezeichnen die Menge der gemischten Strategien von Spieler i als Σ i = (S i ). Ann. Wir nehmen an, daß jeder Spieler seine zufällige Auswahl einer reinen Strategie unabhängig von den Konkurrenten trifft. Bem. Σ i ist ein S i -dimensionaler Simplex Σ i = {p [0,1] S i : j p j = 1}. 29 / 74

30 Wozu brauchen wir gemischte Strategien? Beispiel: Schere-Stein-Papier Schere Stein Papier Schere 0,0-1,1 1,-1 Stein 1,-1 0,0-1,1 Papier -1,1 1,-1 0,0 Zu jeder reinen Strategie existiert eine Gegenstrategie, die gewinnt. Dh eine reine Strategie kann nie Teil eines Gleichgewichtes sein! Wir brauchen eine Strategie, die unvorhersehbar, also zufällig, ist. Sie soll zufällig eine der (drei) reinen Strategien auswählen. Dies ist die Definition einer gemischten Strategie. 30 / 74

31 Def. Die gemischte Erweiterung des ssf {N,S,u} ist das ssf {N,Σ,u} in dem i s Auszahlungsfunktion u i : j N Σ j R jedem gemischten Strategienprofil σ j N Σ j den Erwartungsnutzen der Lotterie σ zuordnet. Def. Ein NGw in gemischten Strategien σ = (σi,σ i ) eines ssf ist ein NGw seiner gemischten Erweiterung sodass für jeden i N gilt σ i argmax σ i Σ i u i (σ i,σ i). Lemma: Es sei σ ein NGw in gemischten Strategien. Dann gilt für jeden Spieler i N, daß jede reine Strategie s i S i der σ i positive Wahrscheinlichkeit zuordnet, eine beste Antwort auf σ i darstellt. 31 / 74

32 Warum? Erwartungsnutzen sind linear in den Ergebniswahrscheinlichkeiten, zb U = p 1 u 1 (s 1,σ 1) + p 2 u 1 (s 1,σ 1). Wenn daher ein Spieler eine gemischte Strategie in einem NGw verwendet, muss er indifferent zwischen allen reinen Strategien sein, welchen die gemischte Strategie positive Wahrscheinlichkeit zuordnet. Dh u 1 (s 1,σ 1) = u 1 (s 1,σ 1), wann immer sowohl p 1 > 0 als auch p 2 > 0. Da also der Nutzen des mischenden Spielers unabhängig von den verwendeten Mischungswahrscheinlichkeiten ist, reicht es zu überprüfen, ob ein Spieler eine profitable Abweichung in reinen Strategien hat. Alt Def. Ein gemischtes Strategienprofil σ ist ein NGw, wenn für alle Spieler i gilt, daß u i (σ i,σ i) u i (s i,σ i) für alle s i S i. 32 / 74

33 Zurück zum Kampf der Geschlechter b 2 s 2 b 1 1,2 0,0 p s 1 0,0 2,1 (1 p) q (1 q) 1 Reine Strategiemengen: S i = {b i,s i }, i = 1,2. Gemischte Strategiemengen: Σ i sind (S i ) = [0,1]. Wir bezeichnen die (unabhängig) gemischten Strategien von P1 und P2 mit p Σ 1 und q Σ 2. Die (erwartete!) Auszahlung für P1 u 1 (p,q) von (p,q) ist p [qu 1 (b 1,b 2 ) + (1 q)u 1 (b 1,s 2 )]+ (1 p) [qu 1 (s 1,b 2 ) + (1 q)u 1 (s 1,s 2 )]). 33 / 74

34 Gegeben daß P2 q spielt, wählt P1 pr(b 1 ) = p sodass p = argmax p p[qu 1 (b 1,b 2 ) + (1 q)u 1 (b 1,s 2 )]+ (1 p)[qu 1 (s 1,b 2 ) + (1 q)u 1 (s 1,s 2 )]). Einsetzen der Auszahlungen aus obiger Spielmatrix ergibt p = argmax p p[q1 + (1 q)0] + (1 p)[q0 + (1 q)2]). Die Einsicht aus dem letzten Lemma gibt q1 + (1 q)0 = q0 + (1 q)2 q = 2 / 3. (Das gleiche gilt für P2, u 2 (p,q) und p = 1 / 3.) 34 / 74

35 Gegeben qb 2 + (1 q)s 2, spielt P1 also {1} wenn q > 2 / 3 p [0,1] wenn q = 2 / 3 {0} wenn q < 2 / 3 und gegeben pb 1 + (1 p)s 1, spielt P2 {1} wenn p > 1 / 3 q [0,1] wenn p = 1 / 3 {0} wenn p < 1 / / 74

36 Wir zeichnen diese besten Antworten im Raum q p: p = pr(b 1 ) (1,1) 1 3 q = B 2 (pb 1 + (1 p)s 1 ) ( 2 3, 1 3) {1} wenn q > 2 / 3 p [0,1] wenn q = 2 / 3 {0} wenn q < 2 / 3 {1} wenn p > 1 / 3 q [0,1] wenn p = 1 / 3 {0} wenn p < 1 / 3 p = B 1 (qb 2 + (1 q)s 2 ) NGw: (s 1,s 2 ), (b 1,b 2 ), ( 1 3 b s 1, 2 3 b s 2). (0,0) 2 3 q = pr(b 2 ) Beachten sie, daß die besten Antworten hier keine Funktionen sind! 36 / 74

37 Aber welches NGw wählen die Spieler? Sind (wie im letzten Beispiel) mehrere NGw vorhanden, dann ist es wesentlich, dass die Spieler das gleiche NGw auswählen. Dies könnte plausibel sein durch Evolutionäre Überlegungen (Nash 1950, Maynard-Smith 1982) Fokus Punkte (Schelling 1960): Normen, Konventionen &c Kommunikation vor dem Spiel: cheap talk, burning money (Pareto) Dominanz- oder Risiko Überlegungen Veränderung der Rationalitätsannahmen: Gleichgewichtsverfeinerung. 37 / 74

38 Weitere Beispiele Wohnung putzen putzen nicht putzen putzen 10,10 0,15 nicht putzen 15,0 2,2 Rechts fahren links rechts links 1,1 0,0 rechts 0,0 1,1 Politische Schlammschlacht (P1 führt) sauber schlamm sauber 3,1 1,2 schlamm 2,1 2,0 38 / 74

39 Beispiel: Bertrand Duopol Wir betrachten eine Industrie mit nur zwei aktiven Firmen. Jede Firma produziert (verkauft) ein Gut mit konstanten Grenzkosten k (ohne Fixkosten). Firmen wählen ihre Preise gleichzeitig. Die produzierten Güter sind homogen, dh Konsumenten ist es egal von welcher Firma sie kaufen. Deshalb kaufen alle Konsumenten vom Produzenten mit dem niedrigeren Preis. Nachfrage ist linear und gegeben durch X = A P, mit Preisen P, Quantitäten X und Konstanter A > k. Wir wissen nichts über die Marktaufteilung wenn die verlangten Preise gleich sind. 39 / 74

40 Das Spiel wird nur einmal gespielt, dh es gilt die Bertrand Annahme unter der beide Firmen vermuten, daß der Konkurrent seinen einmal gewählten Preis konstant halten wird. Wir wollen versuchen, das NGw dieses Problems zu erraten. Satz: Ein NGw besteht aus Preis- (p 1,p 2 ) und Quantitätspaaren (x 1,x 2 ) sodass: wenn p 1 < p 2, dann ist x 1 = A p 1 und x 2 = 0 wenn p 2 < p 1, dann ist x 2 = A p 2 und x 1 = 0 wenn p 1 = p 2, dann ist x 1 + x 2 = A p 1. Notation: In jeder möglichen Situation sei p der höhere Preis, und p der niedrigere Preis mit jeweils verbundenen Quantitäten ( x,x). 40 / 74

41 Beweis: Es existiert kein Gw mit k < p < p und x = 0: Firma ( p, x) könnte den gesamten Markt (mit Profit) übernehmen indem sie einen Preis k < p < p verlangt. Es existiert kein Gw mit p k < p und x = 0: Firma (p,x) könnte aber den gesamten Markt (mit Profit) übernehmen indem sie einen Preis k < p < p verlangt. Es existiert kein Gw mit p = p > k und x + x = X: jede Firma könnte den gesamten Markt (mit Profit) übernehmen indem sie einen Preis p < p = p = k verlangt. Es existiert kein Gw mit p = p < k (oder (p p) < k:): zumindest eine der beiden Firmen macht Verlust. Die einzig verbleibende Möglichkeit eines NGw ist (p 1 = k,p 2 = k) mit perfektem Wettbewerb und Nullprofiten! 41 / 74

42 Existenz Wenn wir in einem ssf nach einem NGw suchen, werden wir immer eines finden? Satz (Nash 1950): Jedes endliche Spiel in strategischer Form {N,S,u} besitzt ein Nash Gleichgewicht σ (S). Dh für jeden Spieler i N gilt, für jedes s i S i, daß u i (σ ) u i ( s i,σ i). Die Existenzfrage für unendliche ssf ist ähnlich beantwortbar aber technisch anspruchsvoller. 42 / 74

43 Beweis Wie im Kampf der Geschlechter läßt sich die Existenzfrage auf die Frage zurückführen, wann die Menge der Überschneidungen der besten Antwortskorrespondenzen B i (σ i ) = {σ i Σ i u i (σ i,σ i ) u i (σ i,σ i ), σ i Σ i } nicht leer ist. Nash beantwortete diese Frage indem er eine Abbildung B : Σ Σ definierte, in der B(σ) = (B 1 (σ 1 ),...,B }{{} n (σ n )). }{{} σ 1 σ n 43 / 74

44 Gegeben daß B(σ) eine stetige Funktion ist und Σ nicht leer, kompakt (dh abgeschlossen & beschränkt) und konvex ist, gilt Brouwer s Fixpunktsatz der besagt, daß ein Fixpunkt σ Σ existiert, sodass σ B(σ ). Dies impliziert laut Definition von B(σ), daß für alle i N σ i B(σ i). Dies ist die Existenzbedingung für NGw in gemischten Strategien. 44 / 74

45 Satz (Brouwer 1910): Es sei K eine nicht leere, kompakte und konvexe Menge in R n und f : K K eine stetige Funktion. Dann hat f einen Fixpunkt x K, dh einen Punkt x für den gilt, daß f (x ) = x. Beweis für n = 1: Wir betrachten das Einheitsintervall x [0,1] =: K das f auf sich selbst abbildet. Wir suchen nach Fixpunkten f (x) x = 0. Wir wissen, daß f (x) x stetig ist weil f (x) stetig ist. Laut Definition von K und f gilt sowohl Also gilt 0 f (x) 1 als auch 0 x 1. f (x) x 0 (bzw f (x) x) für x = 0 und f (x) x 0 (bzw f (x) x) für x = 1. Für n > 1: Sperner s Lemma. 45 / 74

46 Intuition Da der Graph der Fixpunktfunktion f (x) x über der Abszisse beginnt und unter der Abszisse endet und die Abbildung stetig ist, muss es einen Punkt geben an dem die Funktion die Abszisse schneidet. An diesem Punkt gilt f (x) x = 0 (bzw f (x) = x), es handelt sich also um einen Fixpunkt. Wir zeichnen nun bloß f (x). 1 f (x) = x 1 f (x) = x f ( ) f ( ) 0 0 x x 1 Illustration warum Stetigkeit von f (x) unabdingbar ist für die Existenz eines Fixpunktes. 46 / 74

47 Verhältnis Iesds zu NGw 1. Jedes Spiel hat also ein NGw. 2. Nicht jedes Spiel ist lösbar in dominanten Strategien. Wenn ein Spiel in dominanten Strategien lösbar ist, dann ist das Iesds-Gw auch ein NGw. Dh jedes Iesds-Gw ist ein NGw, aber die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Durch Iesds wird nie ein NGw eliminiert. Durch iterative Elimination von schwach dominierten Strategien können NGw verloren gehen (abhängig von der Eliminationsreihenfolge). 3. Die Menge der NGw schließt also jene der Iesds-Gw ein. Dafür sind aber die benötigten Informations- oder Rationalitäsannahmen für NGw wesentlich stärker als jene für Iesds. 47 / 74

48 Wiederholte Spiele Wiederholte Spiele sind ein Spezialfall von generellen dynamischen Spielen die aus beliebigen Sequenzen von (strategischen) Entscheidungssituation bestehen. Wir beschränken uns auf zwei einfache Beispiele von wiederholten Spielen in sf und besprechen dann ein allgemeines Resultat welches unter dem Namen Folk Theorem bekannt ist. Def. Das Spiel (in sf) welches mehrmals wiederholt wird, wird als Stufenspiel (stage game) bezeichnet. Def. Das gesamte resultierende Spiel wird als Gesamtspiel (super game) bezeichnet. 48 / 74

49 Beispiel: 2 Gefangenendilemma Betrachten sie das Gefangenendilemma als 2 wiederholtes Stufenspiel mit s = (a t=1,a t=2 ) und u i (s) = t u i(a t ): d c d 0,0 4,-1 c -1,4 3,3 2 dd dc cd cc dd 0,0 4,-1 4,-1 8,-2 dc -1,4 3,3 3,3 7,2 cd -1,4 3,3 3,3 7,2 cc -2,8 2,7 2,7 6,6 Wie wir wissen, ist das Stufenspiel in dominanten Strategien lösbar (d, d). Im Superspiel verhält es sich ähnlich: (dd, dd) ist dominant. 49 / 74

50 Endliche Wiederholungen Generell: Wenn ein Stufenspiel ein eindeutiges NGw besitzt, dann ist das eindeutige NGw des endlich oft wiederholten Spieles die Wiederholung des Stufen-NGw auf jeder Spielstufe. Beweis: Wir beginnen bei der letzten Spielstufe. Dieses Stufenspiel hat ein eindeutiges NGw was immer die Spieler auf den vorhergehenden Spielstufen spielten. Die Auszahlungen sind also eindeutig. Wir streichen nun das letzte Stufenspiel und addieren die NGw-Auszahlungen der letzten Spielstufe zu allen der vorletzen Stufe und betrachten das neue strategische Problem. Dieses wird wiederum durch die dominante Stufenstrategie (+Konstante; (0,0) im letzten Beispiel) gelöst. Wir wiederholen dieses Argument rückwärts bis zum Spielbeginn. Bem: Das eben angewandte Beweisverfahren ist als Rückwärtsinduktion bekannt. 50 / 74

51 Rückwärtsinduktion: 3 Gefangenendilemma t = 1 d c d 0,0 4,-1 c -1,4 3,3 t = 2 d c d 0,0 4,-1 c -1,4 3,3 t = 3 d c d 0,0 4,-1 c -1,4 3,3 1. Wir beginnen im letzten Stufenspiel t = 3 und identifizieren das eindeutige NGw (d,d) mit Auszahlung (0,0). 2. Wir addieren die eindeutige Auszahlungen der letzten Spielstufe (0, 0) zur vorletzten Spielstufe t 1 und streichen die letzte Spielstufe t. 3. Wir betrachten das nun letzte Stufenspiel t := t 1 und identifizieren das eindeutige NGw (d,d) mit Payoff (0,0). 4. Wir wiederholen 2. & 3. bis wir das eindeutige NGw der ersten Spielstufe t = 1 erreicht haben. Damit haben wir den Gleichgewichtspfad gefunden der das Spiel löst: (ddd,ddd). 51 / 74

52 Endliche Wiederholungen In vielen endlich oft wiederholten Spielen spielt diese Rückwärtsinduktion eine wichtige Rolle: Wenn klar ist, was in der letzten Runde passiert, ist auch klar, was in der vorletzten Runde passiert &c. Dieser Effekt kann durch die Präsenz von mehreren NGw im Stufenspiel neutralisiert werden. Es wird dann Kooperation durch die Drohung möglich, bei nicht-kooperation das schlechte NGw zu spielen. Ein anderer Ausweg ergibt sich durch die unendliche Wiederholung des Spieles. Es gibt dann keine Rückwärtsinduktion, da es keine letzte Periode gibt von der sie beginnen könnte. Hier geht es nicht um Absprachen diese sind auch im Stufenspiel möglich sondern um rationales Reaktion auf bestimmte Summen von NGw-Auszahlungen. 52 / 74

53 Beispiel: Preisnachlässe Betrachten sie das folgende Stufenspiel in welchem die Spieler als Strategien (beispielsweise) einen Verkaufspreis wählen: hoch niedrig hoch 15,15 0,25 niedrig 25,0 5,5 Dieses Stufenspiel ist in dominanten Strategien lösbar mit dem Ergebnis (niedrig, niedrig). Es handelt sich in diesem Fall wiederum um ein Gefangenendilemma. 53 / 74

54 Unendliche Wiederholungen Wiederholen wir nun dieses Stufenspiel unendlich oft. Dazu ist es (möglicherweise) sinnvoll, die Zukunft zu diskontieren, dh eine Auszahlung X morgen ist heute nur δx, δ < 1, wert. Wir untersuchen die folgende Auslöserstrategie (trigger strategy): Die Firma beginnt mit dem hohen Preis und wiederholt diese hohe Preisforderung solange, bis sie den Gegenspieler bei einer niedrigen Preisforderung ertappt. Danach verlangt sie für immer den niedrigen Preis. Eine derartige Strategie wird als grimmig (grim) bezeichnet, weil sie jede Abweichung vom erwarteten (bzw abgesprochenen) Verhalten danach unendlich oft bestraft. 54 / 74

55 Unendliche Wiederholungen Ist das grimmige Strategienprofil ein Gw? Wenn ja, dann ist die damit verbundene Auszahlung gleich 15(1 + δ + δ ) = 15 1 δ. Eine Abweichung in Periode t gibt dem abweichenden Spieler V t = 15(1 + δ + δ δ t 1 ) + 25δ t + 5(δ t+1 + δ t ) = 15 1 δt 1 δ + 25δt + 5 δt+1 1 δ 15 = 1 δ δt (15 25(1 δ) 5δ) 1 δ 15 = 1 δ + δt (10 20δ). } 1 δ {{} =X Die Abweichung (wann?) ist profitabel wenn X > 0 oder δ < 1 / 2, die Spieler also relativ ungeduldig sind. 55 / 74

56 Folk Theorem Umgekehrt ist das grimmige Strategienprofil ein Gw des Gesamtspieles wenn δ 1 / 2, die Spieler also relativ geduldig sind. Gibt es noch andere Gw? Def. Ein Ergebnis heißt individuell rational, wenn es dem Spieler eine (diskontierte) Auszahlung gibt die zumindest so hoch ist, wie jene des schlechtesten NGws des Stufenspieles. Folk theorem: Für einen hinreichend hohen Diskontierungsfaktor ist jedes individuell rationale Ergebnis ein Gw des Gesamtspieles. Da das schlechteste NGw des Stufenspieles 5 abwirft, ist jede 5 Auszahlung [ 1 δ, 15 ] als Gw des Gesamtspieles möglich. 1 δ 56 / 74

57 Zusammenfassung Koordination ist in unendlich wiederholten Spielen weit weniger problematisch als im nur einmal gespielten Stufenspiel. Es gibt sehr viele Gw in (unendlich) wiederholten Spielen. Koordination ist dann auch im Gefangenendilemma möglich. Für dieses Resultat muß Spielstruktur, Strategien und Auszahlungen allen Spielern allgemein bekannt sein. Wenn diese Annahmen verletzt werden und zb Informationsunvollkommenheiten betrachtet werden, dann wird Kooperation schwieriger zu erreichen. Aber es existieren auch Folk Theorems unter unvollkommener Information. 57 / 74

58 Statische Spiele mit unvollständiger Information Def. In Spielen mit unvollständiger (incomplete) Information kennen nicht alle Spieler alle Auszahlungsfunktionen ihrer Mitspieler. Spiele mit unvollständiger Information heißen auch Bayesianische Spiele. Achtung! Unvollständige Information ist nicht gleichzusetzen mit unvollkommener Information. Def. In Spielen mit unvollkommener (imperfect) Information kennen alle Spieler alle Auszahlungsfunktionen ihrer Mitspieler, sie können aber nicht alle Züge ihrer Mitspieler beobachten. Def. In Spielen mit vollkommener (perfect) Information kennen alle Spieler alle Auszahlungsfunktionen ihrer Mitspieler und können alle Züge ihrer Mitspieler beobachten. 58 / 74

59 Eintrittsspiel Ein ortsansässiger Fabrikant P1 entscheidet, ob er eine zusätzliche Fabrik bauen soll oder nicht S 1 = {b,n}. Über die Kosten für den Bau einer zusätzlichen Fabrik c { 3 / 2,3} hat P1 private Information. Diese private Information heißt der Typ von P1; sein typabhängiger Payoff ist u1 c(b,e) = 3 c bzw uc 1 (b, ) = 5 c. Gleichzeitig entscheidet ein Neuling P2, ob sie in den bestehenden Markt eintreten soll oder nicht S 2 = {e, }. P2 kennt nur eine allgemein bekannte Wahrscheinlichkeitsverteilung ( a-priori ) über den Typ von P1 p = pr(c = 3). e b 3 / 2,-1 7 / 2,0 n 2,1 3,0 c = 3 / 2 e b 0,-1 2,0 n 2,1 3,0 c = 3 59 / 74

60 Im Falle hoher Kosten c = 3, ist P1 s b von n strikt dominiert. Im Falle niedriger Kosten c = 3 / 2, hängt die Entscheidung von P1 von der Wahrscheinlichkeit mit der P2 in den Markt eintritt ab. Wir definieren q = pr(e). Dann ist es für P1 optimal die Kapazität zu erhöhen, b n wenn: q 3 / 2 +(1 q) 7 / 2 > q(2)+(1 q)3 q < 1 / 2. Aber P2 s Eintrittswahrscheinlichkeit q hängt von P2 s Information über den Kostentyp von P1, c { 3 / 2,3} ab. Wir nennen diese Information die Beliefs des uninformierten Spielers über den Typ des privat informierten Spielers. Wie können wir diese Situation modellieren? Wir leiten die Beliefs des uninformierten Spielers von der allgemein bekannten (a-priori) Verteilung der Kostentypen p ab! 60 / 74

61 Harsanyi (1967) schlägt folgende generelle Vorgangsweise zur Lösung dieses Problems vor Umwandlung des statischen ssf mit unvollständiger Information in ein Spiel in extensiver Form (dh mit Zeitdimension) mit unvollkommener Information. Hinzufügen eines neuen Spielers N (für Natur) mit (zumindest) einem Zufallszug am Beginn des Spieles. Dieser Spieler N wählt einen unbekannten auszahlungsrelevanten Parameter in Übereinstimmung mit einer allgemein bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dieser Zug von N ist nur für den privat informierten Spieler beobachtbar; alle anderen Spieler kennen nur die Wahrscheinlichkeitsverteilung. 61 / 74

62 Anwendung der Harsanyi-Umwandlung 1. N zieht den Typ von P1 c { 3 / 2,3} zufällig gemäß der allgemein bekannten Wahrscheinlichkeiten p = pr(c = 3) und 1 p = pr(c = 3 / 2 ). 2. N teilt ihre zufällige Ziehung dem privat informierten Spieler P1 mit, gibt aber keine weitere Information an P2. 3. Nun wird das ursprüngliche Spiel gespielt: P1 wählt {b, n} abhängig von seiner privaten Information, der uninformierte P2 tritt ein oder nicht {e, }, je nachdem, welche Kostenstruktur von P1 sie vermutet. 62 / 74

63 Wir wissen, daß pr(b c = 3) = 0, dh P1(3) spielt mit Sicherheit n & b n wenn q < 1 / 2 wenn c = 3 / 2. Dh P1( 3 / 2 ) spielt b wenn q < 1 / 2 s1 = {n,b} n wenn q = 1 / 2 wenn q > 1 / 2. e b 3 / 2,-1 7 / 2,0 n 2,1 3,0 Nun definieren wir r := pr(b c = 3 / 2 ); P2 weiß also, daß P1( 3 / 2 ) mit Wahrscheinlichkeit r Kapazität aufbaut. Der Payoff des potentiell Eintretenden P2 ist somit { p(1) + (1 p)[(r( 1) + (1 r)1] wenn P2 eintritt (e) u 2 = 0 wenn nicht ( ). 63 / 74

64 Also wird P2 eintreten wenn e wenn r < 1 s2 2(1 p) = {,e} wenn r = 1 2(1 p) wenn r > 1 2(1 p) (n,e) q = pr(e) (0,1) wenn p > 1 /2 q = B2(r) (1,1) b wenn q < 1 / 2 s1 (3 2 ) = {n,b} wenn q = 1 / 2 n wenn q > 1 / 2 (n,e) q = pr(e) (0,1) wenn p 1 /2 (1,1) q = B2(r) 1 2 r = B1(q) 1 2 r = B1(q) ( 1 2 b, 1 2(1 p) e) (0,0) r = pr(b) (0,0) 1 2(1 p) (1,0) r = pr(b) (b, ) Beachten sie, daß 1 2(1 p) > 1 (& > r) für p = pr(c = 3) > / 74

65 Bayesianisches Spiele allgemein Def. Ein statisches Bayesianisches Spiel (mit unvollständiger Information über Payoffs) ist gegeben durch {N, A, π, Θ, u}, wobei N die Spielermenge ist, A i die Menge der reinen Aktionen ist, welche Spieler i zur Verfügung stehen (A = i A i ), θ i Θ i eine von Natur gezogene Zufallsvariable ist, die nur vom privat informierten Spieler i beobachtet werden kann; wir sagen der Spieler i ist von Typ θ i (Θ = i Θ i ), π(θ 1,...,θ n ) ist die allgemein bekannte, gemeinsame a-priori Wahrscheinlichkeitsverteilung der Spielertypen, Erwartungsnutzen für i N durch die Funktion u i : (A 1 )... (A n ) Θ R gegeben sind. 65 / 74

66 In Bayesianischen Spielen sind die Aktionen nicht gleich den Strategien der Spieler Die Aktionsmenge A i ist die Menge der Handlungen die einem privat informierten Spieler i im ursprünglichen Spiel zur Verfügung stehen (dh nachdem er seinen Typ erfahren hat). Eine Strategie ist hingegen eine Regel die einem Spieler i eine Aktion für jeden seiner möglichen Typen vorschreibt, dh S i = A i. Θ i Im Eintrittsbeispiel hatte P1 die Aktionen {n,b} zur Verfügung. Die möglichen Strategien sind für den Spieler P1 aber abhängig vom Typ c anzugeben, dh als Tupel (P1( 3 / 2 ),P1(3)): {(n,n),(n,b),(b,n),(b,b)}! Warum ist diese Unterscheidung nötig? 66 / 74

67 Der Grund für den Namen Bayesianisches Spiel liegt zt in der Art in der Spieler lernen (dh ihre Beliefs formen bzw aktualisieren). Lernen ist aber im Wesentlichen ein dynamisches Konzept, also bei statischen Spielen nicht anwendbar. Wir nehmen an, daß die Beliefs des uninformierten Spielers (über die möglichen Typen des Gegenspielers) gleich sind den allgemein bekannten a-priori Wahrscheinlichkeiten π(θ) über dem Typenraum des informierten Gegners. Die Vermutungen des uninformierten Spielers über die Typen des informierten Gegenspielers werden also als Beliefs bezeichnet. Spieler, welche diese Beliefs halten, heißen Bayesianisch-rational. Deshalb heißen auch Spiele in denen kein Spieler etwas lernt (die Bayes sche Regel also nicht zur Anwendung kommt), Bayesianische Spiele solange zumindest einer der Spieler Beliefs (über den Typ eines Gegners) besitzt. 67 / 74

68 Beispiel BNGw Ein Spieler P1 hat mit prob 1 / 2 Typ aggressiv und prob 1 / 2 den Typ friedlich, dh Θ 1 = {A,F } mit π(θ) = 1 / 2. P1 s reiner Strategieraum sei S 1, der seines Gegenspielers S 2. P2 hat keine private Information. Dann ist die BNGw-Gleichgewichtsbedingung für P2, daß: s2 argmax π 2 (θ 1 )u 2 ( s 2,s 1 (θ 1 ) ), s 2 S 2 θ 1 Θ 1 dh wir suchen nach der Strategie s 2 S 2 welche die folgende Summe maximiert 1 2 u 2( s 2,s 1 (A) ) + 1 }{{} 2 u 2( s 2,s 1 (F) ). }{{} P2 s payoff gegen A P2 s payoff gegen F 68 / 74

69 Def. Ein Bayesianisches NGw (BNGw) ist ein NGw Profil s der Harsanyi Umwandlung eines Spieles mit unvollständiger Information, sodass für alle Spieler i N und alle θ i Θ i gilt s i argmax s i S i θ i Θ i θ i Θ i π(θ)u i ( s i (θ i ),s i (θ i ),θ). Diese (ex-ante) Formulierung ist äquivalent dazu, daß jeder Spieler i N, gegeben seine private Information θ i, für jedes mögliche Strategienprofil θ i maximiert, sodass s i (θ i ) argmax s i S i θ i Θ i π i (θ i θ i )u i ( s i (θ i ),s i (θ i ),θ). Existenz von BNGw ist eine einfache Konsequenz der Existenz von NGw (mit Beliefs welche perfekte Information darstellen). 69 / 74

70 Beispiel: Cournot Duopol mit unvollständiger Info Der Kostentyp θ i, i = 1,2, einer Firma ist gegeben durch ihren Nachfrage-Ordinatenabschnitt p = θ i Q, Q = q 1 + q2. Der Nutzen einer Firmen ist u i = q i (θ i Q). Es ist allgemein bekannt, daß θ 1 = 1, der Typ von Firma 2 ist privat θ 2 {θ L 2 = 5 / 4,θ H 2 = 3 / 4 }. Firma 1 hat Beliefs pr(θ 2 = θ k 2 θ 1) = 1 / 2 für k {L,H}. Die Firmen wählen ihre Produktion gleichzeitig: es gilt die Cournot Annahme, daß der Konkurrent seine Produktion konstant halten wird. p p = θ i Q niedrige Kosten θ L 2 = 5 4 θ 1 = 1 hohe Kosten θ H 2 = / 74

71 Wir suchen nach einem BNGw in reinen Strategien und bezeichnen die Produktion von Firma 1 mit q 1, die Produktion des hohen Kostentyps von Firma 2 als q H 2 und jene des niedrigen Kostentyps mit q L 2. Das Optimierungsproblem für Firma 2 ist dann ableiten nach q 2 ergibt was folgende beo ergibt q 2 (θ 2 ) argmax q 2 q 2 (θ 2 q 1 q 2 ) q 2 = 0 : θ 2 q 1 2 q 2 = 0 q2 (θ 2) = θ 2 q / 74

72 Das entsprechende Optimierungsproblem für Firma 1 ist s1 argmax pr(θ 2 θ 1 )u i ( s 1,s 2 (θ 2 )) s 1 S 1 θ 2 Θ 2 also q 1 argmax q 1 { 1 2 q 1(1 q 1 q2) L + 2 q 1 } 1(1 q 1 q2 H ). Ableiten nach q 1 ergibt q 1 = 0 : q1 = 1 qh 2 2 ql = 2 qh 2 ql / 74

73 Da die Firmen davon ausgehen, daß die Konkurrenten ihre Produktion auf genau diesem Niveau belassen werden, ergibt sich die Lösung durch Einsetzen von q 2 in q 1 und bzw q1 = 2 θh 2 q 1 2 θl 2 q q L 2 = θl 2 q 1 2 q H 2 = θh 2 q 1 2 = 2 + q = = = = = / 74

74 Zusammenfassung In Spielen mit unvollständiger Information schreibt i s Strategie eine Aktion für jeden möglichen Typ von i vor. Dies ist der Fall obwohl i seinen eigenen Typ kennt; andernfalls könnten die anderen Spieler kein Max-problem formulieren! In vielen realen Anwendungen werden die Typen- oder Aktionsräume unendlich; dies verändert die Definition des BNGw nicht (Summen Integrale & bedingte Wahrscheinlichkeiten Verteilungsfunktionen). Wir haben uns in der vorangehenden Besprechung auf reine Strategien beschränkt; wie für NGw gilt aber auch hier, daß für die Existenz von BNGw gemischte Strategien unumgänglich sind. Im abschließenden Auktionsteil der Vorlesung werden wir mehr Beispiele statischer Bayesianischer Spiele mit unvollständiger Information besprechen. 74 / 74