DIE WISSENSCHAFT. Das Wesen der Mathematik. Walter Liefzmann BAN D 102 FRIEDR. VIEWEG & SOHN, BRAUNSCHWEIG 1949 HERAUSGEBER PROF. DR.

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1 DIE WISSENSCHAFT HERAUSGEBER PROF. DR. WILHELM WESTPHAL BAN D 102 Walter Liefzmann Das Wesen der Mathematik FRIEDR. VIEWEG & SOHN, BRAUNSCHWEIG 1949

3 Vorwort Altere Lehrbücher der Mathematik pflegten damit zu beginnen, die Frage nach dem Wesen der Mathematik und ihrer einzelnen Teilgebiete zu beantworten, ja, geradezu Definitionen dieser Begriffe zu geben. Wir sind heute davon abgekommen. Mit Recht! Denn eine solche Frage gehört nicht an den Anfang, sondern an den Schluß einer gewissen Beschäftigung mit Mathematik. Erst wenn man bereits etwas von der Mathematik kennengelernt hat, erscheint es angebracht, sich einmal über die mathematische Methode, über den Aufbau des Lehrgutes und über seine Grundlage klarzuwerden. Es haben zahlreiche frühere Lehrpläne für höhere Schulen einen "wiederholenden Aufbau des Zahlbegriffes" in die Oberklassen verlegt. Es haben die Meraner Vorschläge und nach ihnen andere moderne Stoffpläne als Abschluß des mathematischen Unterrichts "Rückblicke unter Heranziehung geschichtlich '[ und philosophischer Gesichtspunkte" gefot:dert. Die preußischen Richtlinien vom Jahre 1925 legten sowohl in den methodischen Bemerkungen wie in den Lehrplänen großen Nachdruck auf derartige philosophisch vertiefte Rückblicke: "Logik und Erkenntnistheorie finden einen Platz in der Mathematik. Auch die psychologischen Grundlagen des mathematischen Denkens soll der Unterricht berühren. Einzelfragen wie Zahlen- und Raumvorstellungen sind nach Möglichkeit philosophisch zu vertiefen" - so heißt es in ihnen. Auch die Marienauer Vorschläge (1945), um wenigstens einen der neuen Pläne zu nennen, fordern: "Aufbau und Grundlage der Mathematik: Entwicklung des Zahl- und Funktionsbegriffes, axiomatisches Verfahren der Grundlegung am Beispiel der Geometrie, Ausblicke auf Logik und Erkenntnislehre." Die Lernbücher der Schulen können sich nur schwer in den Dienst der so umrissenen Aufgaben stellen, denn mit gelegentlichen Anmerkungen oder mit Anhängen von wenigen Seiten ist es nicht getan. Ich habe deshalb schon 1927 unter dem Titel "Aufbau und Grundlage der Mathematik" ein Ergänzungsheft zu meinem mathematischen Unterrichtswerk (B. G. Teubner, Leipzig) veröffentlicht und damit einen alten Plan zur Ausführung gebracht, gestützt auf mehrere praktische Unterrichtsversuche. Nun haben wir im letzten Jahrzehnt in den Schulen wenig Zeit gefunden, im mathematischen Unterricht, so wie es vorher geschehen, auf diese Dinge einzugehen, wenn die Frage "Was ist Mathematik?" auch, wie ich annehme, nicht ganz unbeantwortet geblieben ist.

4 IV Vorwort Unabhängig aber davon, wieweit solche Forderungen an den Unterricht in der Zukunft Erfüllung finden werden, bleibt der Wunsch, jeder Mathematiklehrer möchte Gelegenheit nehmen, sich mit dem für seine Fachwissenschaft wie für seine allgemeine DurchbiLdung bedeutsamen Problem zu befas,sen. Ich habe d.e,shalb imme'f in den Vorlesungen, die ich über verschiedene Zweige der Elementarmathematik in regelmäßiger Abfolge gehalten habe, Aufbau und Grundlage der betreffenden Gebiete in den Vordergrund gesteht. Mit der Zeit haben sich so starke Ausweitungen des ursprünglich für den Unterricht an höheren Schulen gedachten Stoffes ergeben. Das alte, längst vergriffene Heft hat mit der Aufnahme die'ser neuen Abschnitte nicht nur seinen Umfang sondern auch se,inen Charakter geändert. Es wendet sich an den Kreis derer, die, gleichgültig ob an den höheren Schulen oder Volksschulen, Mathematik unterrichten oder später unterrichten wollen, wenn es auch dem für Mathematik interessierten Schüler nicht verschlossen bleiben soll. In einer Hinsicht ist dabei in der Anlage des Buches keine Änderung eingetreten: Es bleibt dabei, daß keine großen Voraussetzungen über höhere Mathematik gemacht werden. Mein Wunsch geht nämlich weiter. Die Frage: "Was ist Mathematik?" sollte nicht nur den enge'ren Fachbereich angehen. Erinnern wir uns de,s bekannten, wenn auch zumeist ungenau zitierten K an t worte's: "Eine reine Naturlehre übe'r bestimmte Naturdinge (Körperlehre und Seelenlehre) ist nur vermittels der Mathematik möglich, und da in jede,r Naturlehre nur,soviel eigentliche Wissenschaft angetroffen wild, alls,sich darin apriori befindet, so wird Naturlehre nur soviel eigentliche Wissenschaft enthalten, als Mathematik in ihr angewandt werden kann." Mag man zu dem Satz,stehen, wie immer man will, jedenfalls sollte hie'mach jeder, de,r mit Wi'slSenschaft überhaupt zu tun haben will, sich darum kümmern, was es denn mit dielser in der Art ihrer Arbeitsweise 'so ganz belsonders aus dem Krei,se der Fächer herausragenden Mathematik auf sich hat. Darauf eine Antwort zugehen, und zwar ISO, daß die mathematische Methode klar herausgeisteilt wird, während e's sich erübrigt, den Stoffbereich der mathematischen Wissenschaft über das übliche Schulwissen hinaus zu vermitteln oder gar vorauszusetzen, ist die Aufgabe dieser Schrift. Ich habe Frl. Dr. R. Pro k s c h zu danken, daß sie mich bei.m Lesen der Korrektur unterstützt hat. Göttingen, März W. Li e t z man n.

5 Vorwort Einleitung Inhaltsverzeichnis Seite III Erstes Kapitel: Die Logik im Aufbau der Mathematik 1. Grundbegriffe der Logik 3 2. Der Begriff 3 3. Verhältnisse zweier Begriffe 5 4. Begriffsreihen 7 5. Definitionen 8 6. Einige Forderungen an die Definitionen 9 7. Erweiterung von Definitionen Einführung idealer Elemente Definitionsfehler Namen und Zeichen für Begriffe Urteil Andere Arten von Urteilen Art und Herkunft der Urteile Vier logische Grundgesetze Unmittelbare Schlüsse Mittelbare Schlüsse Induktive und deduktive Methode Der Beweis Beweisfehler Notwendige und hinreichende Bedingung und Umkehrung von Lehrsätzen Direkte und indirekte Beweise Vollständige Induktion Unmöglichkeitsbeweise Mannigfaltigkeit von Beweisen Das Verhältnis von Definition und Lehrsatzgefüge Der Aussagenkalkül der Logistik Der Funktions- oder Prädikatenkalkül 42 Zweites Kapitel: Grundlegung der Geometrie 1. Geschichtliche und psychologische Entwicklung Grundbegriffe Der Begriff Fläche Der Begriff der Kurve 5. Der Begriff der Länge 6. Praktische Erzeugung von Gerade und Ebene 1. Arithmetisierung der Geometrie

6 VI Inhaltsverzeichnis 8. Forderungen und Grundgesetze bei Euklid 9. Was sind Axiome?. 10. Vollständigkeit des Axiomensystems 11. Die Axiome der Verknüpfung 12. Die Unabhängigkeit der Axiome 13. Geometrie als Beziehungslehre 14. Beispiele von Bildgeometrien 15. Ausfallsgeometrie 16. Widerspruchslosigkeit. 17. Die Axiome der Anordnung 18. Die Axiome der Verknüpfung und die Wirklichkeit 19. Die Axiome der Anordnung und die Wirklichkeit. 20. Unterschied zwischen Axiomenraum und Sinnenraum 21. Die Anschauung. 22. Trugschlüsse. 23. Der Begriff der Kongruenz 24. Die Gruppe der Kongruenzaxiome 25. Freiheit in der Wahl der Grundbegriffe 26. Parallelenaxiom und nichteuklidische Geometrie 27. Die nichteuklidischen Geometrien. 28. Zerlegungsgleichheit und archimedisches Axiom 29. Zerlegungsgleichheit, Ergänzungsgleichheit, Flächengleichheit 30. Das Vollständigkeitsaxiom 31. Der vierdimensionale Raum. 32. Die regelmäßigen Polytope im vierdimensionalen Raum. 33. Polytope im mehrdimensionalen Raum 34. Der Weg vom Sinnenraum zur abstrakten Geometrie 35. Der Weg von der abstrakten Geometrie zum Sinnenraum Seite Drittes Kapitel: Grundlegung der Arithmetik 1. Zahl und Zählen. 2. Die vier Grundrechenarten im Bereiche der natürlichen Zahlen 3. Der Bereich der rationalen Zahlen. 4. Die Rechenoperationen im erweiterten Zahlbereich 5. Verbot der Division durch Null. 6. Widerspruchslosigkeit. 7. Die Rechenoperationen dritter Stufe 8. Die Irrationalzahlen. 9. Der Dedekindsche Schnitt 10. Komplexe Zahlen 11. Axiome der Arithmetik 12. Unabhängigkeit der Axiome 13. Zurückführung auf Axiome für die natürlichen Zahlen 14. Peanos Axiomensystem für natürliche Zahlen 15. Peanos Axiomensystem in Begriffsschrift 16. Die vollständige Induktion 17. Der Begriff der Menge

7 Inhaltsverzeichnis 18. Begrif( der Äquivalenz 19. Äquivalenzuntersuchungen 20. Die reellen Zahlen sind nicht abzähl bar 21. KontinuiImsuntersuchungen. 22. Mengen, die weder abzählbar noch Kontinuum sind. 23. Transfinite Zahlen 24. Paradoxien der Mengenlehre. 25. Geordnete Mengen. 26. Ähnlichkeit geordneter Mengen 21. Vom Rechnen mit Ordnungstypen VII Seite Viertes Kapitel: Grundlegung der Analysis 1. Unendlich als Anzahlbezeichnung. 2. Naive Benutzung von Grenzwerten 3. Unendliche Folgen.. 4. Das Rechnen mit Grenzwerten 5. Die Irrationalzahl 6. Unendliche Reihen 1. Die Veränderliche 8. Die Funktion. 9. Grenzwerte von Funktionen 10. Stetigkeit 11. Differenzierbarkeit. 12. Differentiale 13. Flächeninhalt und Integral 14. Rauminhalt, Cavalierisches Prinzip, Grenzübergang 15. Bestimmtes und unbestimmtes Integral 16. Fortschreitender Abstraktionsprozeß in der Mathematik 11. Begrifflich"e Vereinheitlichung in der Mathematik ' ' Fragen an" die Philosophie 2. Der Logismus. 3. Der Empirismus. 4. Der Formalismus. 5. Mathematik und Forschung 6. Mathematik und Lehre. 1. Der Kritizismus. 8. Der Konventionalismus 9. Der Intuitionismus. 10. Angewandte Mathematik 11. Mathematik und Erziehung Fünftes Kapitel: Mathematik und Erkenntnislehre '