Leseprobe. Raimond Dallmann. Baustatik 1. Berechnung statisch bestimmter Tragwerke. ISBN (Buch): ISBN (E-Book):

Transkript

1 Leseproe Rimon Dmnn Busttik 1 Berechnung sttisch estimmter Trgwerke ISBN (Buch): ISBN (E-Book): Weitere Informtionen oer Besteungen unter sowie im Buchhne. Cr Hnser erg, ünchen

2 60 4 Schnittgrößen sttisch estimmter eener Systeme Krgträger mit Einzekrft F = F x A v = F erformung F F Die Schnittgrößen n er Stee uten: x = konst. = F x = F x Setzen wir x =, so entsprechen ie Schnittgrößen en Aufgergrößen im Punkt. Ds Festegen er x-koorinte vom rechten Bkenrn entspricht einer Stricheung er oeren Bkenseite. Es ist jeoch üich, ie Stricheung uf ie untere Seite zu egen. Dnn iegt ie omenteninie nicht uf er gestricheten Seite un s orzeichen er omente ist negtiv. Ds Querkrftvorzeichen ist von er Stricheung unhängig Krgträger mit konstnter Streckenst Bi 4.51 Zustnsinien es Krgträgers Wir schneien en Bken n einer vrien Stee x vom rechten Bkenrn gemessen un etrchten s rechte Teisystem, ort keine Aufgergrößen wirken. q = A v = q q x x x F q erformung Bi 4.5 Agetrenntes Teisystem Die zu ermittenen Schnittgrößen können hier nschuich geich so ngesetzt weren, wie es s Geichgewicht erforert. Die Querkrft muss er Krft F entgegenwirken, so nch oen zeigen. Sie ist positiv, wei s Kräftepr us un F im Uhrzeigersinn reht (erkrege). Ds oment x muss em Kräftepr entgegenrehen, mit = 0 ist. Es reht so so, wie es ngesetzt wure, ie oere Bkenseite wir gezogen. Die omenteninie iegt esh im gesmten Bereich uf er oeren Seite. Die mechnische Wirkung es omentes wir uch im Zusmmenhng mit er erformung eutich, ie in Bi 4.51 mit er omenteninie quittiv ngegeen ist. Wei im gesmten Bereich ie oere Bkenseite gezogen wir, ist uch ie Krümmung im gesmten Träger geich. Im Einspnnpunkt ist keine Drehung mögich, soss ie Bkenchse ort tngenti einmünet. Drus fogt zwngsäufig eine Durchiegung nch unten, ws uch nschuich infoge er Bestung zu erwrten ist. q Bi 4.53 Krgträger mit Zustnsinien Wieer schneien wir en Bken n einer vrien Stee x un etrchten s rechte Teisystem in Bi x x i x q Bi 4.54 Agetrenntes Teisystem Die Schnittgrößen n er Stee x ergeen sich us en Geichgewichtseingungen. = 0: x + q x = 0 x = q x i = 0: x q x = 0 x = q x Wieerum entsprechen ie Aufgergrößen im Punkt en Schnittgrößen n er Stee x =.

3 4. Einteiige Trgwerke 61 Die omenteninie ist nch oen ufzutrgen, s oment oen Zug erzeugt. Bei einer Stricheung er unteren Bkenseite ist s orzeichen negtiv. Ein chrkteristisches erkm er omenteninie ist ie horizonte Tngente m rechten Bkenrn, ort = 0 ist. Beispie 4.5 Für en in Bi 4.55 rgesteten Krgträger sin ie Zustnsinien infoge er ngegeenen Bestung zu ermitten kn/m 1,5 m 1, , = 6,5 8 11,5 Bi 4.55 Krgträger mit Zustnsinien 5 kn c erformung 4 knm Die Berechnung er Zustnsinien knn urch sukzessives Freischneien usgehen vom rechten Trägerene erfogen, wie in Bi 4.56 rgestet ist. Die m rechten Teisystem ermitteten Schnittgrößen weren s eknnte Größen m nächsten Teisystem in umgekehrter Richtung ngesetzt. Am etzten Teisystem fogen us er Berechnung ie Aufgergrößen im Punkt. Die omenteninie ist nch oen ufzutrgen, im gesmten Bereich ie oere Seite gezogen wir. In en äußeren Bereichen ist iner un konstnt ( q = 0). Im mitteren Bereich veräuft proisch un iner ( q = konst. ). Der proische omentenveruf im mitteren Bereich muss tngenti in ie 5 4 knm kn ngrenzenen Geren einmünen, keine Einzekräfte wirken. = 11,5 + 5,5 + 8,5 = 49 = 5 + 8,5 = 5 A v = 5 1 c = ,5 = 11,5 8 kn/m,5 m Bi 4.56 Geschnittener Krgträger c = 5 = 4 c = = 74 = 5 Aterntiv können ie Aufgergrößen uch urch ie Geichgewichtseingungen m Gesmtsystem ermittet weren. Sie entsprechen en Schnittgrößen im Punkt. Die Schnittgrößen im Punkt ergeen sich nn einfcher urch Betrchtung es inken Teisystems. Die Berechnung zeigt Bi A v 8 kn/m 1,5 m 1,5 Bi 4.57 Ermittung er Aufgergrößen m Gesmtsystem c 1,5 11,5 5 kn c = ,5,5 = 74 A v = 5+ 8,5 = = = 49 = 5 5 kn 5 kn 4 knm 4 knm 4 knm 4

4 6 4 Schnittgrößen sttisch estimmter eener Systeme 4..6 Einfeken mit Krgrm Der in Aschnitt 4..1 isher etrchtete Bken uf zwei Stützen wr n en Enpunkten gegert. Geht er Bken üer ein Aufger hinus, wie in Bi 4.58 rgestet, so wir ieser Bereich, er sich nicht zwischen en Aufgerpunkten efinet, Krgrm gennnt. Den Bereich zwischen en Aufgern ezeichnet mn s Fe, her uch er Begriff Einfeträger. Sestverstänich könnte er Bken uch uf eien Seiten uskrgen,. h. üer s Aufger hinusgehen. Die Berechnung eines Einfeträgers mit Krgrm unterscheiet sich grunsätzich nicht von er Berechnung er isher etrchteten Systeme. Betrchten wir en urch einen Schnitt getrennten Krgrmereich in Bi 4.58, so weren n er Schnittstee rei uneknnte Schnittgrößen freigeegt un s Teisystem entspricht genu em Krgträger in Bi Die Schnittgrößen im Bereich es Krgrms können ermittet weren, ohne ss vorher ie Aufgerkräfte erechnet weren müssen. Beispie 4.6 Für en in Bi 4.59 rgesteten Einfeträger mit Krgrm sin ie Zustnsinien infoge er konstnten Streckenst zu ermitten = kn/m 4 m 135 erformung = = 60 knm Sin ie Schnittgrößen im Anfngspunkt es Krgrms eknnt, so können sie s Bestung für s inke Teisystem ngesetzt weren, s nun s Bken uf zwei Stützen mit zusätzicher Bestung m rechten Aufgerpunkt erechnet weren knn = i = = Bi 4.59 Auskrgener Einfeken = 60 kn Bi 4.58 Einfeken mit Krgrm k k Im Bereich es Krgrms knn ie omenten- un Querkrftinie sofort ngegeen weren. Wir er Krgrm getrennt, so entspricht s Schnitti genu em es Krgträgers us Aschnitt Der eruf es omentes ist proisch, m freien Ene muss eine horizonte Tngente voriegen, siehe Bi Im Bereich zwischen en Aufgern knn er omentenveruf quittiv gezeichnet weren. Ds oment im Punkt ist us er Lösung es Krgrmereichs eknnt. Die oere Bkenseite wir gezogen, so ist s oment nch oen zutrgen. Es knn nun von er erinungsinie er Stenmomente ie q 8- Pre eingehängt weren.

5 4. Einteiige Trgwerke 63 Die Querkräfte ergeen sich im inken Bereich us er Beziehung: 0 re = i Die Aufgerkräfte entsprechen en Sprüngen er Querkrftfunktion. Beispie 4.7 Für en rgesteten Einfeträger mit Krgrm sin ie Zustnsinien zu ermitten. 1 kn/m 0 knm A v 1,5 1, = 4 1 = 4 9,3 Bi 4.60 Einfeträger mit Krgrm c 16,05 3,95 5,3 Aufgerkräfte: H = 0: B h = 0 = 0: ,5 + B v 5 = 0 Kontroe = 0?: ,7 9,3 = 0 0 Zustnsinien: Im Krgrmereich knn er eruf er Schnittgrößen sofort ngegeen weren. Der omentenveruf ist 5 m 15 kn erformung 14,55 B v = 9,7 kn = 0: ,5 A v 5 = 0 A v = 9,3 kn 15 9,7 B h = 0 B v knm kn proisch, m freien Rn iegt eine horizonte Tngente vor, im gesmten Bereich iegt ie gezogene Seite oen. Der Querkrftveruf ist gerinig, m freien Rn ist ie Querkrft geich nu. Im Gegenstz zum vorherigen Beispie ist s orzeichen er Querkrft negtiv. Die Schnittgrößen zwischen en Aufgerpunkten un können n en Teisystemen in Bi 4.61 erechnet weren. Die omenteninie veräuft schnittsweise gerinig. Es weren s oment im Punkt sowie ie omente inks un rechts von c enötigt. Die Berechnung erfogt in Bi 4.61 m rechten Teisystem sowie urch s omentengeichgewicht m freigeschnittenen Punkt c. Rechts von c erzeugt s oment uf er unteren Bkenseite Zug, inks von ist uf er oeren Bkenseite Zug. Diese Wirkung ist us em Drehsinn er omente m Schnittufer erkennr. Entsprechen erfogt s Auftrgen er omenteninie uf er gezogenen Bkenseite. Die quittiv gestrichet eingetrgene Biegeinie es Bkens ist mit er mechnischen Wirkung es omentes in Üereinstimmung. Im Angriffspunkt es äußeren omentes wechset, er omenteninie entsprechen, ie Krümmung es geogenen Stes. Bi 4.61 Teisysteme 0 = 9,7 1,5 = 14,55 c re = 9,7 3,5 15 = 3,95 c = 15 9,7 = 5,3 c i = 0 3,95 = 16,05 c c 3,95 re = 9,7 1,5 B v = 9,7 Die Querkrft veräuft zwischen en Aufgerpunkten schnittsweise konstnt. Die Werte ergeen sich n 3,5 15 1,5 B v = 9,7 4

6 Schwortverzeichnis Rimon Dmnn Busttik 1 Berechnung sttisch estimmter Trgwerke ISBN (Buch): ISBN (E-Book): Weitere Informtionen oer Besteungen unter sowie im Buchhne. Cr Hnser erg, ünchen

7 07 Schwortverzeichnis A Auprinzip 14 Asoutpo 131 Azähkriterium 1 Aktionskräfte 36 Aufuprinzip 15 Aufger 34 Aufgerkräfte 35 Aufgersymoe 34 Äußere Kräfte 13 Axiome 13 B Bken 35 Bewegungsmögichkeiten 34 Bezugsinie 43 Bezugspunkt 35 Biegemoment 44 C Cremonpn 100, 104 D Determinnte 18 Differenzigeichung 47 Doppegröße 43 Drehmoment 7 Drehrichtung 7 Drehsinn 7 Drehwinke 131 Dreigeenkogen 77, 84 Dreigeenkrhmen 78 Dreigeenktrgwerke 77 Dreiwertiges Lger 35 Dynme 8, 30, 3 Dynme er Streckenst 38 Dynmik 11 E Eenes Kräftesystem 13 Eingeprägte Kräfte 13 Einspnnung 35 Einwertige Lger 34 Einzekrft 1 Erstzken 105 F Firstgeenk 77 Fächenkrft 1, 13 Fächentrgwerke 41 Freiheitsgr 130, 13 Freiheitsgre 34 Fußgeenk 77 G Geknickter Träger 67 Gekrümmte Stchse 70 Geenkreieck 7 Geenkkette 6 Geenkkräfte 7, 78 Geenkträger 73 Gemischte Systeme 106 Gererträger 73 Gestrichete Linie 43 Gewichtskrft 1 Geichgewicht 3 Geichgewichtseingungen 3 Grvittion 1 H Huptpo 131 I Innere Kräfte 13 Innerich sttisch unestimmt 64 K Kämpfergeenk 77 Kinemtik 130 Kinemtische Kette 131 Kinemtische Unverschieichkeit 15 Kinetik 11 Kffung 88 Knick 88 Koeffizientenmtrix 18 Koorintensystem 33 Krft 11 Krfteck 19, 4 Kräftegeichgewichtseingung 3 Kräftepr 7 Kräftesystem 13 Krftvektor 1 Krgrm 6 Kreuzproukt 9 L Lgerusiungen 34 Lgerkräfte 34 Lgrngesche Befreiung 14 Linienkrft 1 Lokes Koorintensystem 43 echnik 11, 13 ittere Lsteineitung 166 oment 7 oment einer Einzekrft 8 omentnpo 131 omentengeichgewichtseingung 3 omenteninie 46 omentenstz 9, 30 omentenvektor 9, 30 N Neenpo 13 Newton 1 Newtons Grungesetz er echnik 13 Normenvektor 44 Normkrft 43 Normkrftgeenk 88 Nustäe 10 P Penest 34, 37 Ptte 41 Po 5 Popn 5, 133 Popnsätze 133 Postrh 131 Postrhen 5 Q Querkrft 43, 54 Querkrftgeenk 88 R Räumiches Kräftesystem 13 Rektionskräfte 13, 36 Reuktion 4, 9, 38 Reuktionspunkt 30 Retivpo 13 Resutierenes oment 38 Richtungssinn 1 Riege 77 Ritterschnitt 104 Roenger 34 Rottion 130 S Sche 41 Scheie 41, 7 Scheitegeenk 77 Schussinie 36 S S

8 08 Schwortverzeichnis Schnittgröße 4, 44 Schnittgrößenermittung 41 Schnittgrößenvorzeichen 44 Schnittmoment 44 Schnittprinzip 14, 35, 41 Schnittufer 44 Schwerkrft 13 Seieck 5, 6 Seipoygon 6 Seistrhen 5 Spreizung 88 Stchse 43 Stäe 41 Stfser 44 Stkräfte 37 Stkrümmung 44 Stpoygon 6 Strrer Körper 34 Sttisch äquivent 8 Sttische Bestimmtheit 41, 1 Sttische Unestimmtheit 1 Sttische Unterestimmtheit 1 Sttisches oment 7 Stie 77 Streckenstfunktion 38 Stützkräfte 35, 37 Stützinie 6, 89 Systemufu 1 T Torsion 150 Torsionsmoment 150 Trägheitsxiom 13 Trnsformtion er Kräfte 71 Trnstion 130 U Unverschieichkeit 136 ektoreigenschft es omentes 9 erstzmoment 8 erschieiche Einspnnung 34 erzweigte Systeme 64, 166 oumenkrft 1, 13 orzeichen er Schnittgrößen 43 W Wnerst 161 Wertigkeit eines Aufgers 34 Wirkungsinie 14, 4, 7, 9, 30 Z Zentrchse 4, 30 Zugn 77 Zustnsinien 45, 46 Zweiwertige Lger 34 Zwischenrektionen 7, 78, 13 S

9 orwort Rimon Dmnn Busttik 1 Berechnung sttisch estimmter Trgwerke ISBN (Buch): ISBN (E-Book): Weitere Informtionen oer Besteungen unter sowie im Buchhne. Cr Hnser erg, ünchen

10 orwort Dieses Lehruch ht s Zie, ie Grungen er Busttik zu vermitten. Es ist us en von mir seit 1994 n er Fchhochschue in Wismr gehtenen Lehrvernsttungen entstnen un richtet sich n Stuiennfänger es Buingenieurwesens. Die Sttik ist ie Grunge für e konstruktiven Lehrgeiete es Buingenieurwesens. Ein funiertes Grungenwissen uf iesem Geiet ist her unerässich, zum ie währen es Stuiums erworenen theoretischen Kenntnisse ie Bsis für s gesmte weitere Berufseen ien. Ds Lehrgeiet er Busttik gieert sich in ie Berechnung sttisch estimmter un sttisch unestimmter Trgwerke. Der voriegene Bn 1 ehnet sttisch estimmte Trgwerke. Die Berechnung sttisch unestimmter Trgwerke sowie ie Ermittung von erformungen sin Inht von Bn. In iesem Buch weren zunächst ie für ie Busttik enötigten Grungen er echnik usführich ehnet. Die Drsteung er für ie Berechnung sttisch estimmter Trgkonstruktionen erforerichen Zusmmenhänge erfogt methoisch, woei uf ie spezifischen Eigenschften spezieer Trgwerke eingegngen wir. Zum esseren erstännis es Lehrstoffes schießen sich in jeem Kpite n ie theoretischen Grungen viee vostänig urchgerechnete Beispiee n. Die Anwenung er zuvor rgesteten Zusmmenhänge wir nhn ieser Beispiee uf nschuiche Art usführich eräutert. Die er Busttik zugrune iegene ethoik ist von er Art es Trgwerks unhängig. Die Berechnung sttisch estimmter Systeme erfogt urch Anwenung von Geichgewichtseingungen. Es git keine speziee Theorie es Dreigeenkrhmens oer es Gererträgers, viemehr ist ie grunsätziche orgehensweise für e Trgwerksformen geich. Ds erstännis er grunegenen ethoik ist rum von so großer Beeutung, wei sonst jees sttische System, s etws ners ussieht s s vorherige, eine vöig neue, unösre Aufge rstet. Owoh er Computer us er Prxis es Buingenieurs nicht mehr wegzuenken ist, ht s Erernen er kssischen ethoen nicht n Beeutung veroren. Es ist sogr noch wichtiger geworen, urch ie Anwenung von Computerprogrmmen kum noch Hnrechnungen urchgeführt weren un her s Gefüh für s Trgverhten eines sttischen Systems in er Berufsprxis nicht mehr usgeiet weren knn. Die Unüersichtichkeit von Computererechnungen mcht es jeoch uneingt erforerich, mit einfchen ethoen er Hnrechnung ie Ergenisse kompizierter Berechnungsmoee üerprüfen zu können. Sttik ernt mn nicht urch Bücher oer Lehrvorträge ein, sonern vor em, inem mn sest rechnet. Ds eigenstänige intensive Üen es Lehrstoffes in Anwenung uf konkrete Aufgensteungen vermittet oft uch erst im Nchhinein ein tieferes erstännis er zugrune iegenen Zusmmenhänge. Zu iesem Lernprozess gehört sestverstänich uch, ss mn sich zunächst ungeschickt nstet, unnötig hohen Aufwn etreit oer uch Feher mcht. Auch ein fsch gewähter Berechnungsnstz oer eine schecht gewähte Schnittführung steen Erfhrungen r, ie em erstännis förerich sein können. Es knn gr nicht usrückich genug etont weren, ss s Erernen er Sttik nur nn wirkich Erfog hen knn, wenn es nicht uf ie schemtische Anwenung rezeptrtiger Lösungsmuster uf ähnich ussehene Aufgensteungen usgerichtet ist, sonern viemehr uf s erstännis er grunegenen Zusmmenhänge. Die Ausiung im Fch Sttik ht nicht nur s Zie, prktische Fertigkeiten er Berechnung zu vermitten. Sie schut uch eine gewisse Denkweise, förert sowoh Anschuung s uch Astrktionsvermögen un vermittet ein sttisches Gefüh für s Trgverhten von Konstruktionen.

11 6 orwort Um ie eigenstänige Üung zu ermögichen, enthät s voriegene Buch eine iezh von Üungsufgen, eren Lösungen m Ene es Buches ngegeen sin. Die vostänigen Lösungswege sin im Internet unter zu finen. Es würe mich freuen, wenn ieses Buch nicht nur hift, ie Prüfung im Fchgeiet Sttik zu estehen, sonern sogr zum wirkichen erstännis eiträgt. Die voriegene vierte Aufge ieses Buches ist inhtich unveränert, es wuren jeoch eknnt geworene Feher korrigiert. Ich nke für ie zhreichen Hinweise sowie für ie üerwiegen sehr positive Beurteiung es Buches. Weitere orschäge, Hinweise, Erfhrungen un Anregungen zur eresserung es Inhts us em Leserkreis sin stets wikommen. Dem Cr Hnser erg nke ich für ie nsprechene Ausstttung es Buches un insesonere er Lektorin Fru Christine Fritzsch für ie sehr ngenehme Zusmmenreit. Fru Binc Hennings un Herrn Thoms Bittermnn in ich für ie Kontroe er Beispiee un Aufgen zu großem Dnk verpfichtet. ein gnz esonerer Dnk git meiner Fru Nnette, ie nicht nur vie Geu un erstännis eim Entstehen ieses Buches ufgercht ht, sonern uch eim Korrekturesen eine große Hife wr. Tressow, im Herst 01 Rimon Dmnn