Praktikumsprotokoll: Traegheitsmoment aus Drehschwingungen

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1 Praktikumsprotokoll: Traegheitsmoment aus Drehschwingungen Robin Marzucca, Andreas Liehl 10. Dezember 2010 Protokoll zum Versuch Trägheitsmoment aus Drehschwingungen, durchgeführt am an der Universität Konstanz im Rahmen des physikalischen Anfängerpraktikums I von Robin Marzucca und Andreas Liehl unter Tutor Julian Kalb. 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundlagen Drehimpuls L eines Massepunktes und starrer Körper Trägheitstensor Trägheitsmoment starrer Körper Trägheitsellipsoid Berechnungen von Trägheitsmomenten diverser starrer Körper Kugel Würfel mit Rotationsachse durch zwei gegenüberliegende Flächenmittelpunkte Würfel mit Rotationsachse durch Raumdiagonale Hohlwürfel Vollzylinder Hantel Berechnung des Trägheitsmomentes aus Drehschwingungen Der Steinersche Satz Der Versuch Bestimmung der Winkelrichtgröße Bestimmung des Trägheitsmoments aus Drehschwingungen Auswertung Bestimmung der Winkelrichtgröße Bestimmung des Trägheitsmoments aus Drehschwingungen Fragen und Antworten 18 2

3 1 Einleitung Versucht man einen ruhenden Körper in eine Rotationsbewegung zu versetzen, so wird man feststellen, dass dazu eine gewisse Kraft nötig ist, die von der Masse und der Verteilung der Masse im Raum, also von der Dichteverteilung des Körpers abhängig ist. Dieses Beharrungsvermögen nennt man Trägheitsmoment und ist vergleichbar mit der trägen Masse in einer Translationsbewegung. In diesem Versuch werden die Trägheitsmomente verschiedener Körper mit Hilfe einer Drehschwingung bestimmt und das Ergebnis später mit den sich aus den Abmessungen und Massen der Körper errechneten Werten verglichen. 2 Grundlagen 2.1 Drehimpuls L eines Massepunktes und starrer Körper Wir betrachten zunächst einmal das Drehmoment M. Das Drehmoment spielt bei der Betrachtung von Rotationsbewegungen eine ebenso wichtige Rolle wie die Kraft bei Translationsbewegungen und bildet somit das Äquivalent zu ihr. Das Drehmoment ergibt sich aus dem Kreuzprodukt der Kraft mit dem Vektor, der vom Drehzentrum zum Angriffspunkt der Kraft zeigt. M = r F = d L dt Für r F gilt bei starren Körpern für den Drehimpuls: L = i m i r 2 i ω = Θ ω (2) wobei Θ := i m i ri 2 das Trägheitsmoment ist, und die r i den Abstand von der Drehachse und die m i die einzelnen Massepunkte darstellen. Verwenden wir nun v = ω r, so ergibt sich für den Drehimpuls: L i = m i ( r i v i ) = m i ( r i ( ω r i )) (3) (1) Trägheitstensor In der Regel möchte man jedoch die Rotations eines Körpers um alle drei Raumrichtungen beschreiben. Dazu reicht dann eine einfache Zahl Θ wie in Gleichung (2) nicht mehr aus. Man verwendet deshalb den Trägheitstensor Θ, der durch eine 3x3-Matrix gegeben wird: Θ = i m i x 2 i + y2 i x i y i x i z i y i x i y 2 i + z2 i y i z i z i x i z i x i z 2 i + x2 i 3

4 Damit errechnet sich der Drehimpuls L im Dreidimensionalen analog zu Gleichung (2) durch: L x L y L z = i m i x 2 i + y2 i x i y i x i z i y i x i y 2 i + z2 i y i z i z i x i z i x i z 2 i + x2 i ω x ω y ω z (4) bzw. wenn wir von einer homogenen Dichte, also nur einem Massenpunkt ausgehen: L x x 2 + y 2 xy xz ω x L y = m yx y 2 + z 2 yz ω y (5) L z zx zx z 2 + x 2 ω z Der Trägheitstensor stellt somit eine lineare Abbildung dar, die ω in Richtung von L abbildet. Die Hauptdiagonale entspricht dabei den Hauptträgheitsmomenten der drei linear unabhängigen Raumrichtungen, die Nebendiagonalen sind sog. Deviationsmomente und spielen bei der Rotation um mindestens 2 der linear unabhängigen Raumrichtungen eine Rolle. Wir sprechen dann auch von einer eiernden Rotation. Für ω = const. ist der Drehimpuls quadratisch proportional zum Abstand r zur Drehachse (siehe Gleichung (2)). 2.2 Trägheitsmoment starrer Körper Die Bewegungsenergie eines Massepunktes ergibt sich aus E kini = 1 2 m ivi 2. Da sich bei der Translationsbewegung alle Massepunkte mit der selben Geschwindigkeit bewegen ergibt sich für die gesamte kinetische Energie: E kin = 1 m i vi 2 = Mv2 i Da sich bei einer Rotationsbewegung jedoch die einzelnen Massepunkte mit verschiedenen Geschwindigkeiten bewegen, wenn sie unterschiedliche Abstände zur Rotationsachse besitzen verwenden wir wieder v i = ω r i, da die Winkelgeschwindigkeit ω für alle Punkte des Körpers gleich ist. Für die Rotationsenergie E rot = 1 2 i m ivi 2 ergibt sich schließlich: E rot = 1 m i ω 2 ri 2 = Θω2 = ω T Θ ω i wobei Θ = i m iri 2 wieder das Trägheitsmoment ist. Trägheitsmomente von Massepunkten, dessen Drehachsen nicht übereinstimmen, lassen sich nicht additiv errechnen. 4

5 2.3 Trägheitsellipsoid Das Trägheitsellipsoid entspricht der geometrischen Interpretation des Trägheitstensors. Es beschreibt also anschaulich das Rotationsverhalten eines Körpers um eine beliebige Achse durch den Schwerpunkt. Der Trägheitstensor Θ nimmt in bestimmten Bezugssystemen Orthogonalgestalt an. Dies geschieht genau dann, wenn der Basisvektor z in die Richtung zeigt, in der Θ c maximal wird, der Basisvektor x in die Richtung zeigt, in der Θ a maximal wird und x, y, z orthogonal zueinander stehen. x, y, z entsprechen nun den Hauptträgeitsachsen. Die Rotation um diese Achsen wird auch freie Rotation genannt. Bei der Rotation um die Achse mit mittlerem Trägheitsmoment Θ m reicht schon eine kleine Störung damit die Rotation instabil verläuft. Wir betrachten nun die Bestimmung des Trägheitsmoments um eine Achse A aus dem Trägheitstensor mithilfe des Trägheitsellipsoiden: A sei gegeben durch die Koordinaten x, y, z. Und wir definieren R := x 2 + y 2 + z 2. Wir normieren zunächst die Achse und erhalten für das Trägheitsmoment bzgl. der Achse A: Θ A = 1 (x, y, z) R Θ a Θ b Θ c 1 R Wählen wir nun Θ A R 2 = 1 = const., so erhalten wir eine Ellipsoidgleichung: 1 = x 2 Θ a + y 2 Θ b + z 2 Θ c Es ergibt sich also: Θ A = 1 R 2, wobei R den Abstand des Punktes zum Ellipsoidursprung angibt. x y z 2.4 Berechnungen von Trägheitsmomenten diverser starrer Körper Wir berechnen nun im Folenden die Trägheitsmomente der fünf geometrischen Körper, die wir in unserem Versuch verwendet haben: Hantel, Kugel, Würfel, Hohlwürfel und Vollzylinder. Wir gehen dabei davon aus, dass die Dichte ϱ der Körper homogen ist, und dass die Rotationsachse durch den Schwerpunkt verläuft. Dafür verwenden wir jeweils das Volumenintegral: V = ϱr 2 dv Außerdem werden wir bei der Berechnung der Trägheitsmomente rotationssymmetrischer Körper Zylinderkoordinaten verwenden, mit dv = dz rdϕ dr. 5

6 2.4.1 Kugel Für eine Kugel mit Radius r K und Masse m K berechnet sich das Trägheitsmoment durch: Θ K = = +rk b 2π r K 0 +rk b r K 0 0 ϱr 2 rdϕdrdz 2πϱr 3 drdz +rk 1 = r K 2 πϱ ( rk 3 z 2) 2 dz = 1 +rk 2 πϱ ( r 4 K 2rKz z 4) dz r K = 1 ( (2 2 πϱ rk r5 K + 1 )) 5 r5 K = πr3 K }{{} V K } {{ } m K ϱ rk 2 = 2 5 m Kr 2 K (6) wobei b = rk 2 z2, was der Integrationsgrenze für den Radius r in Zylinderkoordinaten entspricht Würfel mit Rotationsachse durch zwei gegenüberliegende Flächenmittelpunkte Für einen Würfel mit Kantenlänge a und Masse m W berechnet sich das Trägheitsmoment durch: Θ W = ϱ = ϱa = ϱa +a/2 +a/2 +a/2 a/2 a/2 a/2 +a/2 +a/2 a/2 +a/2 a/2 = 1 6 }{{} ϱa3 a 2 m W a/2 ( x 2 + y 2) dxdydz ( x 2 + y 2) dxdy ax a3 dx = 1 6 m W a 2 (7) 6

7 2.4.3 Würfel mit Rotationsachse durch Raumdiagonale Beim Würfel sind alle Trägheitsmomente für sämtliche Drehachsen durch den Schwerpunkt gleich groß. Dies lässt sich auch über den Trägheitstensor beweisen. Für die drei Hauptträgheitsmomente gilt dabei jeweils die Berechnung aus Gleichung (7). Für die Deviationsmomente ergibt sich dann: Θ 12 = Θ 21 = ϱ = ϱa = 0 +a/2 +a/2 +a/2 a/2 a/2 a/2 +a/2 +a/2 a/2 a/2 dxdy xydxdydz und entsprechend natürlich für Θ 23 = Θ 32 und Θ 13 = Θ 31. Somit treten keine Deviationsmomente auf und das Trägheitsmoment ist in allen drei Komponenten gleich. Daraus erkennen wir, dass das Trägheitsellipsoid des Würfels eine Kugel ist. Der Trägheitstensor ist dann gegeben durch: Θ = 1 6 m W a (8) Hohlwürfel Auch hier sind wieder alle Trägheitsmomente für Drehachsen durch den Schwerpunkt gleich groß, da das Trägheitsellipsoid eine Kugel ist (siehe Kapitel 2.4.3). Für einen Hohlwürfel mit Kantenlänge a und Masse m HW berechnen wir das Trägheitsmoment, indem wir die sechs Seitenflächen betrachten, wobei jede Seitenfläche m Seite = 1 6 m HW hat. Betrachten wir das Trägheitsmoment für eine Drehachse durch zwei gegenüberliegende Flächenmittelpunkte, berechnen wir für die beiden Flächen senkrecht zur Drehachse, das polare Drehmoment. Für die übrigen 4 Seitenflächen das äquatoriale Drehmoment, wobei diese jeweils um a 2 zum Schwerpunkt verschoben sind. Aus diesem Grund müssen wir mit dem Steinerschen Satz rechnen (Gleichung (15)). Wir erhalten: Θ HW = 2 Θ pol + 4 Θ aeq. (9) Für die Berechnung des Trägheitsmomentes der polaren Seitenflächen, können wir Gleichung (??) benutzen, da wir diese als gestauchte Würfel betrachten können. Dabei wird die Masse nur entlang der Drehachse umverteilt, wodurch das Trägheitsmoment nicht beeinflusst wird. Aus dem selben Grund können wir für die Berechnung des Trägheitsmomentes der äquatorialen Seitenflächen das Trägheitsmoment eines Stabes berechnen, was sich im zweiten Summanden von Gleichung (12) wiederfindet. Wir wenden nun auf 7

8 das äquatoriale Trägheitsmoment noch den Steinerschen Satz an (Gleichung (15)). Somit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Hohlwürfels: Θ HW = 2 ( ) m HW a ( 1 = ) m HW a 2 ( ( a ) ) 2 6 m HW a 2 + m HW 2 = 5 18 m HW a 2 (10) Die Vorfaktoren 2 6 und 4 6 ergeben sich daraus, dass jede Seitenwand nur ein Sechstel zum Gesamtträgheitsmoment beiträgt, wobei zwei polare und vier äquatoriale Seitenwände existieren Vollzylinder Für einen Vollzylinder mit Radius r Z, Höhe h und Masse m Z berechnet sich das Trägheitsmoment durch: rz Θ Z = ϱ 0 = 2πhϱ = 2πϱh 2π h 0 rz 0 [ 1 4 r4 o r 3 dr ] rz 0 = 1 2 πϱhr2 Z rz 2 }{{} m Z r 2 dzrdϕdr = 1 2 m Zr 2 Z (11) Hantel Für eine Hantel deren Stange die Masse m St, Länge L und Querschnittsfläche q besitzt, ergibt sich das Masseelement der Stange als dm = ϱqdx. Weiter betragen die Massen der 2 angehängten Hantelgewichte m HK1, m HK2. Das Trägheitsmoment der Hantel lässt sich dann näherungsweise berechnen, indem wir die angehängten Gewichte als Punktmassen mit Abstand L 2 zur Drehachse interpretieren. In der Regel ist bei einer Hantel das Trägheitsmoment, dass die Stange zum Gesamtträgheitsmoment beiträgt jedoch nicht 8

9 vernachlässigbar. Wir erhalten für den Fall einer symmetrischen Hantel mit zwei angehängten Gewichten identischer Masse m HK mit Abstand L 2 zur Drehachse: Θ H = 2 m HK ri 2 + Θ St i=1 ( ) L 2 ( ) L 2 +L/2 = m HK + m HK + ϱqx 2 dx 2 2 L/2 = 1 [ ] 1 +L/2 2 m HKL 2 + ϱq 3 x3 L/2 = 1 2 m HKL }{{} ϱql L 2 m St = 1 2 m HKL m StL 2 (12) Für asymmetrische Hanteln mit n angehängten Gewichten läuft die Berechnung analog. 2.5 Berechnung des Trägheitsmomentes aus Drehschwingungen Nach dem Hookeschen Gesetz ist bei einer eindimensionalen harmonischen Schwingung die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung: F = Kx wobei K die Federkonstante der Feder ist. Wir werden analog dazu feststellen, dass bei genügend langen Spiralfedern dieses Gesetz auch bei Drehschwingungen greift: M = Dϕ Wir gehen also von einer Harmonischen Drehschwingung aus. Unter Berücksichtigung, dass das Drehmoment M die Ableitung des Drehimpulses L ist (Gleichung (1)), erhalten wir die resultierende DGL: Dϕ = M = L (2) = Θ ω = Θ ϕ ϕ + D ϕ }{{} Θ = 0 (13) ω0 2 woraus wir die Periodendauer der Drehschwingung erhalten: T = 2π Θ = 2π ω 0 D 9

10 ist. Wir erhalten also das Trägheitsmoment durch: Θ = T 2 D 4π 2 (14) 2.6 Der Steinersche Satz Der Steinersche Satz besagt, dass das Trägheitsmoment Θ A eines Körpers der Masse m bezüglich einer Rotationsachse, die parallel zur Rotationsachse durch den Schwerpunkt verläuft sich berechnen lässt anhand der Formel 1 : Θ A = Θ S + m a 2 (15) wobei Θ S das Trägheitsmoment der Rotationsachse durch den Schwerpunkt und a den horizontalen Abstand der beiden parallelen Achsen beschreibt. 3 Der Versuch Im Versuch Trägheitsmoment aus Drehschwingungen wollen wir nun experimentell das Trägheitsmoment verschiedener geometrischer Körper bestimmen und hinterher die Gültigkeit der Formeln, die in Kapitel 2.4 hergeleitet und erläutert wurden, überprüfen. 3.1 Bestimmung der Winkelrichtgröße Der Versuchsaufbau besteht aus einem Gestell mit einem kugelgelagerten Stab, an dem eine Schneckenfeder befestigt ist. So ist der Stab, der als Drehachse fungiert und zunächst horizontal ausgerichtet ist, unter dem Einfluss der Federkraft der Schneckenfeder beweglich. Auf dem Stab ist zunächst eine runde Scheibe mit Winkelskala befestigt. Außerdem befindet sich in der Mitte eine kleine Schnurscheibe mit Faden, wobei der Radius dieser bekannt ist. An den Faden werden nun Gewichte, dessen Massen m zuvor bestimmt wurden, gehängt. Dabei erfährt die Schneckenfeder die Erdbeschleunigung und diese bewirkt eine Dehnung bzw. Kompression der Feder, was wiederum eine Drehung der Scheibe zufolge hat. Nun wird der relative Winkel ϕ, um den sich die Scheibe gedreht hat abgelesen, wodurch später die Winkelrichtgröße errechnet wird. Das Ablesen des Winkels wird mit Hilfe eines improvisierten Zeigers in Form einer Spritzflasche, an der vorne ein Draht befestigt wird, getätigt. Wichtig ist hierbei, dass jeweils in beide Richtungen gemessen wird, also jeweils einmal in Richtung der Dehnung und Kompression, da in der Praxis nicht unbedingt davon ausgegangen werden kann, dass die Winkelrichtgröße für beide Auslenkungsrichtungen gleich ist. Wir werden jedoch, um die Rechnung etwas zu vereinfachen, von einer idealen Feder 1 aus [2] 10

11 ausgehen und deshalb die Winkelrichtgrößen für Dehnung und Kompression mitteln und mit dieser gemittelten Winkelrichtgröße rechnen. Aus dem Drehmoment und dem relativen Winkel ϕ kann schließlich mit dem Hookeschen Gesetz die Winkelrichtgröße bestimmt werden. Wichtig dabei ist, dass die Auslenkungen der Feder nicht zu groß werden, da sonst das Hookesche Gesetz nicht mehr gilt. Abbildung 1: Versuchsanordnung 1: Messung der Winkelrichtgröße 3.2 Bestimmung des Trägheitsmoments aus Drehschwingungen In der zweiten Versuchsanordnung wird die Drehachse vertikal orientiert und die runde Platte mit der Winkelskala wird entfernt. Nun wird oben auf den Stab nacheinander immer einer der geometrischen Körper (Würfel, Hohlwürfel, Kugel, Hantel und Zylinder) gesteckt, wobei manche Körper (Würfel und Hohlwürfel) auch zwei verschiedene Drehachsen haben. Lenkt man nun den Körper, der auf dem Stab befestigt ist aus, max. 90 sodass Hook sches Gesetz noch gültig ist, so bewirkt die Rückstellkraft der Feder, dass der Körper wieder in 11

12 seine ursprüngliche Lage zurückversetzt wird, sodass die Feder wieder entspannt ist. Allerdings verweilt dieser Körper nicht in dieser Lage, da er zu diesem Zeitpunkt maximale kinetische Energie besitzt, weshalb er aufgrund des 1. Newtonschen Axioms (Trägheitsprinzip) weiter rotiert. Nun wird die Feder allerdings wieder gedehnt bzw. komprimiert, weshalb die kinetische Energie des Körpers komplett in Deformationsenergie der Feder umgewandelt wird. Anschließend wiederholt sich der Vorgang periodisch. Auf diese Art entsteht eine Drehschwingung des Körpers. Abbildung 2: Versuchsanordnung 2: Bestimmung von Trägheitsmomenten verschiedener geometrischer Körper Zur Bestimmung des Trägheitsmoment müssen wir die Periodendauer dieser Drehschwingung messen. Da allerdings die Messung einer einzigen Periode einen sehr hohen Fehler menschlicher Natur mit sich bringt, messen wir mit der Stoppuhr immer 5, 10 oder 15 Perioden pro Messung. Außerdem messen aus demselben Grund beide Versuchspartner unabhängig voneinander jeweils die Periodendauer. Auch hier wird die Feder zunächst komprimiert und anschließend gedehnt, um wieder über eine Mittelung der möglicherweise leicht abweichenden Periodendauern mit der gemittelten Winkelrichtgröße in Einklang zu kommen. Schließlich kann aus Gleichung (14) das Trägheitsmoment berechnet werden. Zu guter Letzt bestimmen wir noch mit einer austarierten Waage die Massen aller fünf geometrischen Körper und mit Maßband und Messschieber die geometrischen Abmessungen der einzelnen Körper. Ein Problem gibt es dabei beim Durchmesser der Kugel. 12

13 Dieser wird mit einem kleinen Trick bestimmt. Nach Augenmaß sind Kantenlänge des Hohlzylinders und Durchmesser der Kugel in etwa gleich groß. Den Beweis, dass diese auch tatsächlich gleich groß sind, liefert die Wasserwaage (siehe Abb. (3)). Abbildung 3: Messung des Radius der Kugel mittels Wasserwaage und Referenzlänge, für die die Höhe des Würfels verwendet wird. Diese Messdaten werden später zur Berechnung der einzelnen Trägheitsmomenten, die mit den experimentell bestimmten abgeglichen werden, benötigt. 4 Auswertung 4.1 Bestimmung der Winkelrichtgröße Bei der Bestimmung der Winkelrichtgröße ist das Hookesche Gesetz von entscheidender Bedeutung. Wie bereits erwähnt wurde die Winkelauslenkung der Schneckenfeder in Abhängigkeit der Masse gemessen. Die Messung soll durch das folgende Diagramm verdeutlicht werden: Erwartungsgemäß liegen im obigen Diagramm alle Punkte auf der Geraden. Auch bei hohen Auslenkungen von ϕ π 2 ist das Hookesche Gesetz bei den Federn noch gültig. Im obigen Diagramm wurde auf Fehlerindikatoren verzichtet, da sie aufgrund der Messgenauigkeit, kaum zu sehen wären. 13

14 Abbildung 4: Es ist die gemessene Winkelauslenkung in Abhängigkeit der Masse aufgetragen. Anschließend wurden durch die Messwerte Geraden gefittet, da gemäß dem Hookeschen Gesetz die Messwerte auf einer Geraden liegen müssen. Die Winkelrichtgröße errechnet sich durch: D = M i ϕ mi = m i g r ϕ mi (16) wobei für m die einzelnen Massenstücke m i eingesetzt werden. Die Messungenauigkeit erhalten wir durch 2 : δ D = ( D ϕ δ ϕ ) 2 + ( D m δm ) 2 + ( D ) 2 r δr = (m ) g r 2 ( ) g r 2 ( ) m g 2 ( ϕ) 2 δ ϕ + δ ϕ δm + δ ϕ δr (17) 2 Diese und alle weiteren Formeln der Fehlerrechnung stammen aus [4] 14

15 Es genügt hier mit einer Formel für alle vier Massestücke zu rechnen, da sowohl der Fehler, der bei der Massebestimmung der vier Massestücke auftritt, als auch der Fehler, der beim Winkelablesen bei Anhängen der Massestücke auftritt, für alle 4 Massestücke der gleiche ist. Die Messdaten, sowie errechneten Winkelrichtgrößen sind in der folgenden Tabelle aufgelistet. Dabei wurde mit folgenden Unsicherheiten gerechnet: δm = 0, 01g δϕ = 0, 0043rad Weiter ist der Radius der Schnurscheibe r = (28 ± 0, 5)mm. Massestück i Masse m i [g] ϕ D [rad] ϕ K [rad] DD [10 3 Nm rad ] DK [10 3 Nm rad ] 1 19,97 0,271 0,279 20, 28 ± 0, 49 19, 64 ± 0, ,94 0,689 0,695 19, 90 ± 0, 38 19, 75 ± 0, ,71 1,384 1,337 19, 79 ± 0, 36 20, 49 ± 0, ,59 2,779 2,655 19, 73 ± 0, 35 20, 65 ± 0, 37 Tabelle 1: Messdaten und berechnete Winkelrichtgrößen mit Unsichicherheit nach Gleichungen (16) und (17). Die Einheiten der Messgrößen sind jeweils in der Kopfzeile angegeben. wobei in dieser Tabelle die Werte D D und D K für die Winkelrichtgrößen in Auslenkungsrichtung der Dehnung und der Kompression der Feder stehen. Wie bereits in Abschnitt 3.1 erwähnt, gehen wir im Folgenden von einer idealen Feder aus, weshalb wir die Werte für D D und D K mitteln. Wir erhalten also für die Winkelrichtgröße: D = D = i=1 3 Nm D i = 20, rad wobei auch diese Winkelrichtgröße wieder mit einem Fehler behaftet ist. Dazu rechnen wir mit der Standardabweichung: σ D = 1 8 ( Di 7 D ) 2 = 0, Nm (19) rad i=1 Für die Winkelrichtgröße ergibt sich damit D = (20, 03 ± 0, 39) 10 3 Nm rad. 4.2 Bestimmung des Trägheitsmoments aus Drehschwingungen Zur Berechnung des Trägheitsmoments wird Gleichung (14) verwendet: Θ exp = 1 4π 2 T 2 D (18) 15

16 Auch hier rechnen wir wieder mit einer Fehlerfortpflanzung: δθ exp = = ( Θ T δt ( 1 2π 2 T DδT ) 2 ( Θ + ) 2 + ) 2 δ D D ( 1 4π 2 σ D ) (20) Hier wird davon ausgegangen, dass die Unsicherheit für die Periodendauer bei allen Messungen gleich ist. Weiter ist δ D = σ D in(20) (aus (19)). Die Periodendauer T berechnet sich aus dem arithmetischen Mittelwert aller gemessenen Periodendauern. Wie bereits erwähnt, werden jeweils n mit n {5, 10, 15} Perioden gemessen, wobei dort jeweils der Mittelwert gebildet und dieses Prozedure i.d.r. insgesamt N = 6 mal wiederholt wird. Lediglich beim Versuch Asymmetrische Hantel wurden nur N = 4 Messungen vorgenommen. Die Periodendauer T errechnet sich somit durch: T = T = 1 N N T i (21) i=1 Im ersten Versuchsteil wurden die Messungen in beide Auslenkungsrichtungen, einmal in Richtung der Dehnung und einmal in Richtung der Kompression durchgeführt. Da dies zu, wenn auch nur minimalen, Abweichungen führte, und im Folgenden mit dem gemittelten Wert gerechnet werden soll, wurde auch diesmal in beide Richtungen gemessen. Da bei den Messungen allerdings beobachtet wurde, dass es keine Unterschiede zwischen den Periodendauern, die bei Startauslenkung mit Dehnung oder Kompression der Feder auftraten, gab, wird dies auch nicht berücksichtigt. Der Grund für die identischen Periodendauern liegt auf der Hand. Da die Feder eine Drehschwingung ausführt, wird sie abwechselnd gedehnt und komprimiert, weshalb die Anfangsauslenkung in der Regel auch keine Rolle spielen darf. Um die Sache etwas zu vereinfachen, rechnen wir hier mit der Standardabweichung: δt = σ T = 1 N 1 N ( Ti T ) 2 i=1 Weiter wollen wir die experimentell bestimmten Trägheitsmomente Θ exp mit den zu erwartenden Trägheitsmomenten Θ theo, die sich anhand der Formeln aus Abschnitt 2.4 (Gl. (6), (7), (10), (11) und (12)) berechnen lassen, vergleichen. Aufgrund der Ungenauigkeit beim Messen, ist auch hier nicht der exakte Wert zu erwarten. Bei allen Längenmessungen wird gerechnet mit δl = 0, 5mm. Ganz allgemein berechnet sich der Fehler des berechneten Trägheitsmomentes dann durch: ( ) δθ theo = Θ 2 m δm + i (22) ( ) Θ 2 δa i (23) a i 16

17 wobei hier die a i die n verschiedenen Maße des Körpers sind. In der folgenden Tabelle sind die einzelnen Trägheitsmomente aller Körper aufgeführt. Dabei stehen die Abkürzungen DA und FA für Diagonalachse und Flächenachse, wobei die Diagonalachse beim Würfel und Hohlwürfel die Achse durch eine Raumdiagonale und die Flächenachse eine Achse, die durch zwei Flächenmittelpunkte gegenüberliegender Seitenwände beschreibt: Körper T [s] Θ exp [10 4 kg m 2 ] Θ theo [10 4 kg m 2 ] 1 Θexp Θ theo Kugel 1, 120 ± 0, 055 6, 36 ± 0, 64 7, 34 ± 0, 42 0,134 Würfel DA 2, 122 ± 0, , 84 ± 0, 19 23, 81 ± 0, 24 0,041 Würfel FA 2, 138 ± 0, , 19 ± 0, 15 23, 81 ± 0, 24 0,026 Hohlwürfel DA 1, 117 ± 0, 006 6, 33 ± 0, 07 7, 50 ± 0, 07 0,156 Hohlwürfel FA 1, 147 ± 0, 003 6, 67 ± 0, 03 7, 50 ± 0, 07 0,111 Zylinder 1, 267 ± 0, 004 8, 14 ± 0, 17 8, 29 ± 0, 09 0,018 Hantel symmetrisch 9, 692 ± 0, , 57 ± 10, , 33 ± 1, 15 0,018 Hantel asymmetrisch 5, 426 ± 0, , 37 ± 4, , 63 ± 1, 14 0,076 Tabelle 2: Periodendauern berechnet nach Gleichungen (21) und (22). Dadurch wird das Trägheitsmoment nach Gleichung (14) und (20) berechnet und mit den berechneten Trägheitsmomenten verglichen. Die letzte Spalte zeigt die relative Abweichung zwischen Θ exp und Θ theo Wie wir sehen, ist das Trägheitsmoment der Würfel in den beiden Achsen nahezu gleich, wie es gemäß Gleichung (8) zu erwarten war. Aus diesem Grund ist der berechnete Wert des Trägheitsmomentes der Würfel in beiden Achsen gleich. Die größte Fehlerquelle, die auch weitestgehend erklärt, warum der experimentell bestimmte Wert des Trägheitsmoments vom theoretisch zu erwartenden in Einzelfällen etwas stärker abweicht, ist mit Sicherheit die Dämpfung der Feder. Beim Würfel und dem Zylinder ist die Abweichung nur sehr gering. Allerdings haben Würfel und Zylinder auch eine hohe Masse, weshalb die Dämpfung hier weniger ins Gewicht fällt. Vor allem beim Hohlwürfel, der verhältnismäßig sehr leicht ist, fällt die Dämpfung hingegen stärker ins Gewicht. Dadurch verkürzt sich die Periodendauer und der Wert für das experimentell bestimmte Trägheitsmoment wird kleiner. Bei der Kugel wiederum lässt sich die Abweichung anders erklären. Diese ist ja ebenfalls verhältnismäßig schwer, jedoch ist auch hier weitestgehend die Dämpfung für die Abweichung verantwortlich, da bei der Kugel teilweise 15 Perioden gestoppt wurden, wodurch die Dämpfung wieder stärker ins Gewicht fällt. Bei der Hantel lassen sich die großen Abweichungen durch die Abstraktion der Hantelgewichte als Massenpunkt erklären. Der berechnete Wert nach Gleichung (12) stellt somit nur eine Näherung und weicht somit vom exakten Wert ab. Weitere mögliche Fehlerquellen sind menschliche Fehlerquellen beim Messen, z.b. Reaktionszeit beim Drücken der Stoppuhr, 17

18 mechanische Defekte an der Befestigung, z.b. Rost an der Feder, Vibrationen an der Versuchsapparatur, ungünstige Thermik im Raum, jedoch fallen diese Fehlerquellen wohl eher weniger ins Gewicht. Insbesondere die menschlichen Fehler sind nur sehr schwer Abzuschätzen, da sie in nah aneinander liegenden Zeitpunkten sehr unterschiedlich sein können. An dieser Stelle sei noch einmal aufgegriffen, dass das Hookesche Gesetz für große Auslenkungen in der Fehlerbetrachtung wohl kaum eine Rolle spielt. Wie wir in Abschnitt 4.1 gesehen haben, gab es auch für Auslenkungen ϕ π 2 keinerlei Abweichungen vom Hookeschen Gesetz (siehe Abb(4)). 5 Fragen und Antworten Frage 1 Bekannt ist das Trägheitsmoment des Stabes, bei Drehachse durch den Schwerpunkt und diese senkrecht auf den Stab steht: Θ S = 1 12 m Stab l 2 Da nun die Drehachse nicht mehr durch den Schwerpunkt geht, müssen wir mit dem Steinerschen Satz (Gleichung (15)) rechnen, wobei m die Masse des Stabes ist und a in unserem Fall b = l 2. Wir erhalten: Θ A = Θ S + m a 2 = 1 12 m Stab l 2 + m Stab ( ) l 2 2 = 1 12 m Stab l m Stab l 2 = 1 3 m Stab l 2 Frage 2 siehe Abschnitt 2.4.3, Gleichung (8) Frage 3 siehe Abschnitt 2.4.4, Gleichung (10) 18

19 Literatur Im Literaturverzeichnis befinden sich die verwendeten Quellen. [1] Demtröder Wolfgang: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme, 5. Auflage, Springer-Verlag, 2008 [2] Runge, Bernd-Uwe: Trägheitsmoment aus Drehschwingungen, Versuchsanleitung und Grundlagen zum Versuch, 2010 [3] Kalb, Julian: Orientierungshilfe Trägheitsmoment: Musterprotokoll, 2010 [4] Runge, Bernd-Uwe: C. Fehlerrechnung, Skript zur Fehlerrechnung für das physikalische Praktikum an der Universität Konstanz, 2010 Abbildungsverzeichnis 1 Versuchsanordnung 1: Messung der Winkelrichtgröße Versuchsanordnung 2: Bestimmung von Trägheitsmomenten verschiedener geometrischer Körper Messung des Kugelradius Diagramm Messwerte Tabellenverzeichnis 1 Winkelrichtgröße Trägheitsmomente