7.5 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 391

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1 7.5 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 391 Optimierung des Sicherheitsäquivalents im EV-Modell In einer Entscheidungssituation mit nur zwei Aktivitäten und einer Kapazität sowie bei bekanntem Risikoaversionskoeffizienten ist die Bestimmung des optimalen Portfolios analytisch möglich. Wenn mehr als zwei Aktivitäten und/oder Restriktionen zu berücksichtigen sind, dann muss im Rahmen des EV- Kriteriums die Präferenzfunktion mit Hilfe eines quadratischen Optimierungsansatzes maximiert werden: 0,5 max! unter den Nebenbedingungen: ;,für 1,2,, 0,für 1,2,, (7-68) beschreibt die Umfänge der Portfoliokomponenten, bezeichnet die zur Verfügung stehenden Kapazitäten der einzelnen Faktoren, und ; kennzeichnet die Faktoransprüche der einzelnen Portfoliokomponenten. Zu bestimmen sind die Umfänge der Portfoliokomponenten, die unter Beachtung der Restriktionen zum maximalen Zielfunktionswert bzw. Sicherheitsäquivalent führen. Die grundsätzliche Struktur von Gleichung (7-68) kennen wir bereits von der linearen Programmierung (vgl. Kapitel 5). Es handelt sich jetzt aber nicht mehr um ein lineares Programmierungsproblem, das mit Hilfe des einfachen Simplexalgorithmus gelöst werden könnte. Vielmehr ergibt sich ein quadratisches Programmierungsproblem, da zur Berechnung der in der Zielfunktion enthaltenen Varianz gemäß Gleichung (7-42) die Umfänge der Portfoliobestandteile im Quadrat zu berücksichtigen sind. Zur Lösung quadratischer Optimierungsprobleme stehen spezielle Lösungsprozeduren zur Verfügung, die auf dem iterativen Ablauf der Programmierung aufbauen und in die gängigen Tabellenkalkulationsprogramme integriert sind. Ein Problem bei der Berücksichtigung von Unsicherheit in Optimierungsmodellen ergibt sich allerdings dann, wenn die Zufallsvariablen keine Normalverteilungen aufweisen. In diesem Fall kann die Portfoliovarianz - bis auf wenige, kaum relevante Ausnahmen - nicht analytisch berechnet werden. Vielmehr müssen aufwändigere Methoden eingesetzt werden: Mittels stochastischer Simulation (vgl. Punkt 7.4.2c) kann mit relativ geringem Aufwand das Risikoprofil eines vorgegebenen Portfolios bestimmt werden, unabhängig davon, wie komplex die Verteilungen der Portfoliokomponenten sind. Allerdings beinhaltet die stochastische Simulation für sich genommen keinen Optimierungsalgorithmus. Eine Lösungsmöglichkeit für quadratische Programmierungsprobleme besteht aber darin, die stochastische Simulation mit heuristischen Suchverfahren, wie z.b. genetischen Algorithmen, zu kombinieren. Die aus dem Bereich der künstlichen Intelligenz entstammenden genetischen Algorithmen können zur Lösung verschiedenster Optimierungsprobleme angewendet werden, selbst dann, wenn keine algorithmischen Iterationsverfahren anwendbar sind. Dabei wird - kurz gesagt - durch Nachahmung der Prinzipien der natürlichen Evolution, d.h. durch Ausprobieren verschiedenster Portfolios, dasjenige bestimmt, das den maximalen Zielfunktionswert liefert. Praktische Bestimmung der Risikoeffizienzlinie Wie bereits mehrfach gesagt wurde, ist eine quantitative Erfassung der Risikoeinstellung von Entscheidern praktisch kaum gangbar. Ist der Risikoaversionskoeffizient nicht bekannt, lässt sich die optimale Entscheidung nicht modellendogen durch die Maximierung des Sicherheitsäquivalents gemäß Gleichung (7-68) identifizieren. Als Ausweg kann man im Rahmen einer Pareto-Optimierung zunächst die Risikoeffizienzlinie ausweisen und dem Entscheidungsträger mehrkriterielle Ergebnisse in Form risikoeffizienter Kombinationen von Erwartungswert und Risiko liefern. Er muss dann modellexogen diejenige Lösung auswählen, die er bei seiner Risikoeinstellung bevorzugt.

2 392 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement Technisch gesehen erfordert die Bestimmung der Risikoeffizienzlinie die wiederholte bzw. parametrische Lösung eines Optimierungsproblems, das sich als Maximierungsproblem und als Minimierungsproblem formulieren lässt: Man kann den Erwartungswert für eine vorgegebene Risikoobergrenze maximieren und diese Obergrenze in Variantenrechnungen parametrisieren, d.h. systematisch variierte Werte für die Risikoobergrenze wählen und das Optimierungsproblem wiederholt lösen. Man kann das Risiko für eine vorgegebene Erwartungswertuntergrenze minimieren und diese Untergrenze wiederum in Variantenrechnungen parametrisieren. Beide Vorgehensweisen liefern risikoeffiziente Kombinationen. Wir beschreiben nachstehend lediglich die erstgenannte Vorgehensweise der Maximierung des Erwartungswertes bei Parametrisierung des Risikos. In Bezug auf die Frage nach dem optimalen Produktionsprogramm ist damit folgendes Optimierungsproblem zu lösen: max! unter den Nebenbedingungen: ;,für 1,2,, (7-69) 0,für 1,2,, kennzeichnet den Erwartungswert des Gesamtdeckungsbeitrags, und den Erwartungswert des Deckungsbeitrags des jeweiligen Verfahrens. steht für die Standardabweichung des Gesamtdeckungsbeitrags. kennzeichnet die in der jeweiligen Optimierung vorgegebene Obergrenze für die Standardabweichung des Gesamtdeckungsbeitrags. Zu bestimmen sind die Umfänge der Portfoliokomponenten. Durch Parametrisierung der maximal zulässigen Standardabweichung und wiederholte Optimierungsrechnungen können risikoeffiziente Kombinationen von Erwartungswert und Standardabweichung bestimmt werden (vgl. Abb. 7-27). Abb. 7-27: Vorgehensweise im EV-Modell Durch parametrische Programmierung bestimmte risikoeffiziente Portfolios Ineffiziente Portfolios (von der Effizienzlinie dominierter Bereich)

3 7.5 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 393 Revealed-Preferences-Ansatz Möglicherweise fällt es dem Entscheider schwer, aus einer Vielzahl risikoeffizienter Produktionsprogramme eine Auswahl in Einklang mit seiner Risikopräferenz zu treffen. Eine Möglichkeit, zu einer modellendogenen Entscheidungshilfe zu kommen, besteht darin, das Risiko zu messen, das der Entscheider bei der Wahl eines Portfolios tatsächlich übernimmt oder übernommen hat. Man impliziert damit, dass die tatsächlich durchgeführten Wahlhandlungen die subjektiven Präferenzen des Entscheiders enthüllen (revealed preference). Zur Messung des übernommenen Risikos muss das vom Entscheider spezifizierte Produktionsprogramm hinsichtlich der Standardabweichung des Gesamtdeckungsbeitrags analysiert werden. Beispielsweise könnte man den Landwirt bitten, zunächst sein intuitiv geplantes Produktionsprogramm zu benennen. Aus diesem Produktionsprogramm könnte dann die implizit akzeptierte Standardabweichung des Gesamtdeckungsbeitrags berechnet werden. Berücksichtigt man diese Standardabweichung bei der Optimierung als Obergrenze, erhält man das bestmögliche Programm, das die empirisch beobachtete Bereitschaft, Risiko zu übernehmen, nicht überschreitet. Abb verdeutlicht die Grundidee. Abb. 7-28: Grundidee des Revealed-Preferences-Ansatzes B A Dominanzbereich Vom Entscheider gewähltes ineffizientes Portfolio Im Vergleich zu einem vom Entscheider ohne Einsatz formaler Planungsverfahren gewählten Produktionsprogramm (hier symbolisiert durch Punkt A) würde sich im Ergebnis dieser Vorgehensweise ein modellendogen bestimmtes Produktionsprogramm (hier symbolisiert durch Punkt B) ergeben, das einen höheren (oder zumindest gleichen) erwarteten Gesamtdeckungsbeitrag bei gleicher Standardabweichung liefert. Beispiel 7-7 Revealed-Preferences-Ansatz - Produktionsprogrammplanung Im Folgenden bestimmen wir das optimale Produktionsprogramm unter Unsicherheit. Ein Landwirt, für den die Ziele Gewinn und Sicherheit relevant sind, steht vor der Entscheidung, Weizen, Kartoffeln und/oder Raps anzubauen. Die zu berücksichtigenden Produktionskapazitäten sind Fläche, Arbeit und Kapital. Die Deckungsbeiträge und die Faktoransprüche der einzelnen Produktionsverfahren sowie die Kapazitätsausstattung entsprechen den in Punkt getroffenen Annahmen, also denen, die wir bei der MS-Excel-basierten Bestimmung des optimalen Produktionsprogramms unter Sicherheit getroffen hatten. In Tab ist in Erweiterung zu Tab die Standardabweichung und die Korrelation der Einzeldeckungsbeiträge angezeigt (vgl. Zeile 9 bis 12). Zur Bestimmung der Kapazitätsausstattung Standardabweichung befragen wir den Landwirt hinsichtlich seines ohne Modelleinsatz geplanten Produktionsprogramms. Es umfasst 50 ha Weizen, 25 ha Kartoffeln und 25 ha Raps. Gemäß Gleichung (7-41) wird mit diesem intuitiv gewählten Produktionsprogramm

4 394 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement ein Gesamtdeckungsbeitrag von erzielt. Außerdem kann unter Rückgriff auf Gleichung (7-42) berechnet werden, dass der Gesamtdeckungsbeitrag eine Standardabweichung von aufweist. Diese vom Landwirt akzeptierte Standardabweichung wird bei den Optimierungsrechnungen als Obergrenze berücksichtigt, so dass das mit Hilfe des formalen Modells bestimmte Produktionsprogramm nur eine maximale Standardabweichung in dieser Höhe aufweisen kann. Tab. 7-19: GDB-Modell zur Berücksichtigung von Unsicherheit a) A B C D E F 1 Aktivität Weizen Kartoffeln Raps 2 DB ( /ha) Umfang (ha) 30,8 23,7 45,5 4 5 LHS RHS KN 6 Fläche (ha) Arbeit (Akh) Kapital ( ) Standardabweichung ( ) Korrelation Weizen 1 0,3 0,5 11 Kartoffeln 1 0,4 12 Raps GDB ( ) a) Alle Nebenbedingungen sind als Maximalrestriktionen definiert, d.h. die im Zellbereich F6:F9 berechneten Werte müssen den im Zellbereich E6:E9 definierten Werten sein. Zellen, die Formeln beinhalten, sind grau unterlegt. Die Berechnungsweise in den Zellen F6 bis F8 sowie in der Zelle B14 wurden in Punkt bereits erklärt. Die Nutzung der Kapazität Standardabweichung in Zelle F9 kann wie folgt berechnet werden (vgl. Gleichung (7-42)): F9: =WURZEL(B3^2*B9^2+C3^2*C9^2+D3^2*D9^2 +2*B3*C3*B9*C9*C10 +2*B3*D3*B9*D9*D10 +2*C3*D3*C9*D9*D11) Das so spezifizierte Programmplanungsproblem kann unter Verwendung des MS-EXCEL Solvers gelöst werden. Bei den Einstellungen ist zu beachten, dass es sich um ein quadratisches Programmierungsproblem handelt. Das optimale Produktionsprogramm umfasst unter den getroffenen Annahmen 30,8 ha Weizen, 23,7 ha Kartoffeln und 45,5 ha Raps. In den Zellen F6 bis F9 sieht man, dass bei diesem Produktionsprogramm nur die beiden Kapazitäten Fläche und Standardabweichung voll genutzt werden. Der im Lichte der Restriktionen maximal erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag beträgt Damit wird bei gleichem Risiko ein um höherer Gesamtdeckungsbeitrag erzielt als mit dem intuitiv geplanten Produktionsprogramm des Landwirts. Das heißt, wir haben ein Produktionsprogramm identifiziert, das auf jeden Fall zu den Risikopräferenzen des Landwirts passt und gleichzeitig ein höheres Einkommen generiert als das vom Landwirt geplante Programm. Ob das in Tab angezeigte Produktionsprogramm nur besser ist, oder tatsächlich den Nutzen des Entscheiders maximiert, können wir nicht sagen. Aus Punkt wissen wir bspw., dass das gesamtdeckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm 19 ha Weizen, 71 ha Kartoffeln und 10 ha Raps umfasst

5 7.5 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 395 und einen Gesamtdeckungsbeitrag von liefert. Allerdings hat dieses Programm eine Standardabweichung von Es könnte für den betrachteten Entscheider zu riskant sein. Es könnte aber auch sein, dass sein Tradeoff zwischen Risiko und Gewinn durch den physischen Tradeoff in Höhe von 0,6 Standardabweichung pro Gesamtdeckungsbeitrag (= ( )/( ) gedeckt ist und er das gesamtdeckungsbeitragsmaximale Programm oder zumindest ein - bildlich gesprochen - weiter rechts liegendes Produktionsprogramm akzeptieren würde. Ende des Beispiels Der in Abb skizzierte Ansatz liefert nicht unbedingt die nutzenmaximale Handlungsalternative. Er beruht vielmehr allein auf dem Konzept der stochastischen Dominanz. Man könnte sagen: Mangels Kenntnis der Risikoeinstellung wird die bessere Lösung nur in einer Teilmenge der besseren Lösungen gesucht. Ob nämlich ein Punkt auf der Risikoeffizienzlinie rechts von Punkt B noch besser wäre, wird nicht untersucht. Dies wäre ja nur möglich, wenn man die Risikoeinstellung des Entscheiders doch identifizieren könnte. Damit ist die hier als Revealed-Preferences-Ansatz bezeichnete Vorgehensweise bescheidener, gleichzeitig aber praktikabler als die Maximierung des Sicherheitsäquivalents. Ganz unabhängig von dem Ausmaß der Risikoaversion werden nämlich alle unterhalb der Risikoeffizienzlinie liegenden Portfolios dominiert. Beispielsweise sind alle in Abb innerhalb der grau schraffierten Fläche liegenden Portfolios vorteilhafter als das ineffiziente Produktionsprogramm A, da sie bei gleichem oder geringerem Risiko einen gleichen oder höheren Erwartungswert besitzen. Dem Revealed-Preferences-Ansatz liegt die Erkenntnis zugrunde, dass Entscheider i.d.r. überfordert sind, wenn sie ihre Risikoeinstellung angeben sollen. Wenn implizite Beobachtungen für die Risikoübernahmebereitschaft in Entscheidungssituationen vorliegen, kommt man hier ein gutes Stück weiter. Die grundsätzliche methodische Vorgehensweise mit Obergrenzen zu arbeiten, lässt sich durchaus auch auf Situationen übertragen, in denen zwar keine empirischen Messungen vorliegen, der Entscheider aber in einer für ihn zu beantwortenden Form nach seiner Risikoeinstellung gefragt wird. Ein Statement hinsichtlich der Risikoeinstellung eines Entscheiders könnte bspw. in Form eines akzeptierten Shortfall-Risikos erfragt werden (stated preference). Wenn er z.b. angibt, dass die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Wert zu unterschreiten, nicht über 5% liegen dürfe, würde man nach dem Produktionsprogramm suchen, das bei Einhaltung dieser Restriktion den maximalen Zielfunktionswert bzw. Gesamtdeckungsbeitrag liefert. Eine Vorgehensweise, die auf Downside-Risikomaße bei der Portfolioauswahl fokussiert, entspricht dem Safety-First-Ansatz Entscheidungsfindung unter Ungewissheit Auch wenn keine objektiven Wahrscheinlichkeiten für Unsicherheitsvariablen vorliegen, gibt es in aller Regel subjektive Wahrscheinlichkeitseinschätzungen, so dass die in Punkt beschriebenen Entscheidungskalküle unter Risiko zur Entscheidungsunterstützung genutzt werden können. Zudem trifft man in Ungewissheitssituationen oftmals gar keine Ausführungsentscheidungen, sondern entscheidet sich dafür, zunächst weitere Informationen zu beschaffen. Trotzdem wurden in der Vergangenheit verschiedene Regeln zur Entscheidungsfindung unter Ungewissheit entwickelt, von denen die fünf bekanntesten kurz angesprochen und kritisch eingeordnet werden. Um zu verdeutlichen, wie die einzelnen Regeln funktionieren, wird wieder auf die in Tab beschriebene Frage nach der optimalen Betriebsorganisation zurückgegriffen. Allerdings wird nun angenommen, dass die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Gewinne nicht bekannt sind. In Tab sind die Ergebnisse der Regeln unter Ungewissheit für das betrachtete Beispiel dargestellt.