1.9 Einige exakte Lösungen für inkompressible viskose Strömungen

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1 1.9 Einige exakte Lösungen für inkompressible viskose Strömungen Wir betrachten ein Fluid mit konstanter vorgegebener Dichte, d.h. die Gleichungen (1.50), (1.51) mit ϱ = const. Zunächst suchen wir eine stationäre Strömung zwischen zwei parallelen unendlichen Platten im Abstand d, von denen eine ruht und sich die andere mit konstanter Geschwindigkeit U bewegt. Wir verwenden die Schreibweise x = (x, y, z) und v = (u, v, w) für die Komponenten des Orts- und des Geschwindigkeitsvektors. Das Koordinatensystem sei so gewählt, dass die y-achse normal auf die Platten ist und die Bewegungsrichtung der bewegten Platte durch die positive x-richtung gegeben ist. Wir vereinfachen das Problem, indem wir keine Volumskräfte berücksichtigen (f = 0) und nach einer zweidimensionalen Strömung suchen, d.h. w = 0 und u, v und p sind unabhängig von z. Weiters scheint es plausibel, nach einer Lösung mit v = 0 zu suchen. Mit all diesen Annahmen werden die Gleichungen (1.50), (1.51) zu u x = 0, 0 = p x + µu yy, (1.54) 0 = p y. Aus der ersten Gleichung folgt, dass u nur von y, und aus der dritten, dass p nur von x abhängt. Damit impliziert die zweite Gleichung p x = µu yy = const. Wir sind an einer Strömung interessiert, die nur durch die Relativbewegung der Platten und nicht durch einen Druckabfall getrieben wird. Daher wählen wir p x = 0. Aus den Haftbedingungen u(0) = 0, u(d) = U folgt die Lösung u = Uy d, v = w = 0, p = const. Das ist die schon oben beschriebene einfache Scherströmung. Sie wird auch als ebene Couette- Strömung bezeichnet. Eine andere exakte Lösung für eine ähnliche Situation ist die Couette- Strömung zwischen zwei rotierenden koaxialen Zylindern. Wie oben berechnet, wirkt auf die ruhende Platte die Kraft (µu/d, 0, 0). Zumindest im Prinzip könnte diese Formel verwendet werden, um die Viskosität µ mit Hilfe eines Experimentes zu bestimmen. Typische Werte der Viskosität sind µ = 10 g cm 1 s 1 für Wasser, µ = 10 4 g cm 1 s 1 für Luft. Als zweites Beispiel suchen wir eine Strömung zwischen zwei ruhenden parallelen Platten, die von einem Druckabfall getrieben wird. Wir treffen dieselben Annahmen wie oben und erhalten wieder die Gleichungen (1.54). Allerdings setzen wir nun p x = C < 0, 1

2 wobei das kleiner Werden des Druckes in positive x-richtung eine Strömung in diese Richtung erwarten lässt. Aus der Gleichung C + µu yy = 0 und den Haftbedingungen u(0) = u(d) = 0 folgt die Lösung u = C y(d y), v = w = 0, p = Cx + const. µ Dieses parabolische Geschwindigkeitsprofil wird als ebene Poiseuille-Strömung bezeichnet. Der Name Poiseuille-Strömung wird für eine exakte Lösung verwendet, die die stationäre Strömung durch ein zylindrisches Rohr beschreibt, welche von einem axialen Druckgradienten getrieben wird. Mit Hilfe dieser Lösungen kann die Viskosität aus Messungen der transportierten Masse des Fluids bestimmt werden. Für die ebene Poiseuille-Strömung ist die transportierte Masse pro Zeiteinheit und pro Längeneinheit in z-richtung gegeben durch d 0 ϱu dy = ϱcd3 1µ. Als letztes Beispiel beschäftigen wir uns mit einer zeitabhängigen Strömung. Wir nehmen an, der Halbraum y > 0 wäre gefüllt mit einem Fluid, das für t 0 ruht. Weiters sei angenommen, dass die das Fluid begrenzende unendliche Platte sich zum Zeitpunkt t = 0 in ihrer Ebene mit der konstanten Geschwindigkeit U zu bewegen beginnt. Es ist anzunehmen, dass auch das Fluid durch Reibungseffekte in Bewegung gesetzt wird. Wie geschieht das? Sei die Bewegungsrichtung der Platte die x-richtung. Dann suchen wir eine Lösung mit v = w = 0 und u = u(y, t). Aus den Navier-Stokes-Gleichungen (1.51) folgt dann ϱu t = p x + µu yy, p y = p z = 0. Daraus folgt wie oben, dass p x konstant ist. Wir sind nicht an den Effekten eines Druckgefälles interessiert und setzen p x = 0. Wir haben daher die Wärmeleitungsgleichung u t = νu yy (1.55) mit der kinematischen Viskosität ν = µ/ϱ zu betrachten. Als Anfangsbedingung ergibt sich und als Randbedingung die Haftbedingung u(y, 0) = 0 (1.56) u(0, t) = U. (1.57) Die dimensionslose Geschwindigkeit u = u/u ist Lösung des Anfangs-Randwertproblems u t = νu yy, u (y, 0) = 0, u (0, t) = 1. Da u dimensionslos ist, kann es nur von dimensionslosen Kombinationen von ν, y und t abhängen. Die Einheit der kinematischen Viskosität ν ist cm s 1, woraus folgt, dass u als Funktion der dimensionslosen Variablen η = y νt

3 geschrieben werden kann: u = F (η). Für F folgt aus der Wärmeleitungsgleichung F + ηf = 0. Aus den Anfangs- und Randbedingungen wird F (0) = 1, F ( ) = 0. Die Lösung dieses Randwertproblems ist gegeben durch die komplementäre Fehlerfunktion F (η) = erfc(η) = e s ds. π Die Geschwindigkeit des Fluids ist also ( ) y u = Uerfc. νt Diese Lösung bedeutet, dass an einem festen Abstand von der Platte die Geschwindigkeit des Fluids für t gegen die Geschwindigkeit der Platte konvergiert. Der Abstand von der Platte, an dem die Geschwindigkeit des Fluids einen bestimmten Prozentsatz der Geschwindigkeit der Platte erreicht, ist proportional zu νt. η 3

4 Chapter Die Euler-Gleichungen für ein ideales Gas.1 Skalierung Entropie Um die relative Größe verschiedener Terme in den Navier-Stokes-Gleichungen abschätzen zu können, skalieren wir die Impulsgleichungen (1.48) für ein ideales Gas: ϱ Dv Dt + p = µ ( v) + µ v. (.1) 3 Der Einfachheit halber wurden Volumskräfte vernachlässigt und Konstanz der Viskosität angenommen. Wir wählen die Referenzgeschwindigkeit U 0, -länge L 0 und -dichte ϱ 0. Die Zeit skalieren wir mit L 0 /U 0 und den Druck mit ϱ 0 U0. Verwenden wir in der skalierten Gleichung dieselben Variablennamen wie in (.1), so ergibt sich mit der dimensionslosen Reynoldszahl ϱ Dv Dt + p = 1 3Re ( v) + 1 v, (.) Re Re = ϱ 0U 0 L 0 µ Eine typische Dichte für das fast ideale Gas Luft ist ϱ 0 = 10 3 g cm 3. Betrachtet man als Beispiel die Luftströmung um einen gehenden Menschen, dann sind U 0 = 100 cm s 1 und L 0 = 100 cm sinnvolle Referenzgrößen. Mit dem Wert µ = 10 4 g cm 1 s 1 für die Viskosität der Luft ergibt sich Re = Nun betrachten wir die Energiegleichung (1.34) mit den Annahmen e = c v T und q = κ T : ϱ D ( ) v Dt + c vt = (κ T + T v) Wir wählen die Referenztemperatur U0 /c v und skalieren sonst wie oben. Die dimensionslose Version der obigen Gleichung ist dann ϱ D ( ) ( ) v 1 Dt + T = RePr T + T v (.3) 4.

5 mit dem Spannungstensor T = pi + Re D ( v)i 3Re und der Prandtlzahl Pr = µc v κ als zusätzlichen dimensionslosen Parameter. Die Prandtlzahl gibt das Verhältnis zwischen der Stärke der Reibungseffekte und der Wärmeleitung an. Für Gase ist die Prandtlzahl gewöhnlich von der Größenordnung 1. Ein typischer Wert für Luft ist Pr = 0, 7. Unsere Überlegungen legen den Schluss nahe, dass in vielen Fällen die Effekte von Reibung und Wärmeleitung vernachlässigt werden können. Wir werden uns daher im Folgenden mit den Euler-Gleichungen Dϱ Dt + ϱ v = 0, ϱ Dv + p = 0, (.4) Dt ϱ D ( ) v Dt + e + (pv) = 0, mit den konstitutiven Relationen e = c v T und p = ϱrt für ideale Gase beschäftigen. Als nächsten Schritt wollen wir einige Überlegungen aus der Thermodynamik verwenden. Wir betrachten einen Behälter mit beweglichen Wänden, gefüllt mit einem räumlich homogenen idealen Gas. Der Zustand des Gases wird dann durch Angabe von zwei der drei Zustandsvariablen Druck P, Volumen V und Temperatur T beschrieben, die durch das ideale Gasgesetz P = RT/V zusammenhängen. Die in dem Gas enthaltene Energie E ist bestimmt durch E = C V T. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik sagt aus, dass die Differenz der Energien zweier Zustände gegeben ist durch die Differenz aus der bei der Zustandsänderung von außen zugeführten Wärmeenergie und der von dem Gas bei der Zustandsänderung geleisteten Arbeit. Eine differentielle Form dieser Aussage ist de = dq dw. Es ist leicht einzusehen, dass für das Differential der Arbeit die Formel dw = P dv gilt. Die obige Gleichung kann daher auch geschrieben werden als dq = C V dt + P dv. (.5) Diese Form erklärt auch, warum die Konstante C V als spezifische Wärme bei konstantem Volumen bezeichnet wird. Weiters gilt wegen des idealen Gasgesetzes P dv = R dt V dp und daher dq = C P dt V dp mit der spezifischen Wärme bei konstantem Druck C P = C V + R. Division von (.5) durch T ergibt dq T = C V dt T + RdV V. 5

6 Man beachte, dass der Ausdruck auf der rechten Seite ein totales Differential ist. Darstellung motiviert die Definition der Entropie Diese S = C V ln T + R ln V + const, die konstant ist für ein System, dem keine Wärme zugeführt wird. Nach diesem Exkurs in die Thermodynamik definieren wir die spezifische Entropie für ein nicht homogenes Gas lokal durch Diese Relation kann auch in der Form s(x, t) = c v ln T (x, t) R ln ϱ(x, t) + const. p = kϱ γ e s/cv (.6) mit einer Konstanten k und dem Verhältnis der spezifischen Wärmen γ = (c v + R)/c v geschrieben werden. Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung (1.31) und der Gleichung für die innere Energie (1.49) leiten wir eine Gleichung für die spezifische Entropie s her: ϱ Ds Dt = 1 T τ : D + κ T T. (.7) Das bedeutet, dass die Änderung der Entropie entlang einer Teilchenbahn nur von Reibungsund Wärmeleitungseffekten verursacht wird. Verwendeten wir statt der Navier-Stokes- die Euler-Gleichungen, dann würde Ds/Dt = 0 folgen. Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung kann (.7) als Bilanzgleichung für die Entropiedichte ϱs geschrieben werden: t (ϱs) + (ϱsv) = 1 T τ : D + κ T T. (.8) Betrachten wir nun eine in einem isolierten Behälter eingeschlossene Gasmenge, wobei isoliert bedeutet, dass weder Gas noch Wärmeenergie durch den Rand des Behälters fließen. Das ist ein Beispiel dafür, was in der Physik als abgeschlossenes System bezeichnet wird. Durch Integration von (.8) über den Bereich Ω R 3, der den Behälter repräsentiert, berechnen wir die zeitliche Veränderung der Gesamtentropie: d 1 ϱs dx = dt Ω Ω T τ : D dx + κ T Ω T dx. Dabei wurde zweimal der Divergenzsatz verwendet, wobei die Randintegrale verschwinden wegen der Annahme v n = n T = 0 auf Ω. Die Rechnung τ : D = µ ( D 13 ) tr(d) = µ Dij (D 11 D ) (D 11 D 33 ) (D D 33 ) 0 i j beweist den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, dass nämlich die Gesamtentropie eines abgeschlossenen Systems mit der Zeit nicht kleiner werden kann. Das ist ein sehr bemerkenswertes Resultat, das ein bisschen Diskussion verdient: Wenn wir an die Beschreibung eines Gases als 6

7 3D-Billiard zurückdenken, dann ist offensichtlich, dass diese die Eigenschaft der mechanischen Reversibilität besitzt. Wird die Dynamik an einem bestimmten Zeitpunkt angehalten und werden alle Molekülgeschwindigkeiten umgekehrt, so entspricht die danach beobachtete Dynamik einem Rückwärtslaufen der Zeit. Das obige Resultat zeigt, dass die Navier-Stokes- Gleichungen jedenfalls mechanisch irreversibel sind. Dieser scheinbare Widerspruch (manchmal Zermelo-Paradox genannt) entspringt der Approximation des 3D-Billiards durch eine unendliche Zahl von Molekülen. Er hat viele kontroversielle Diskussionen ausgelöst (die berühmteste zwischen Boltzmann und Zermelo Anfang des 0. Jahrhunderts).. Kompressionswellen in isentropen Gasen In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit reibungsfreien Gasen, in denen die Entropie einen konstanten Wert annimmt, was mit den Resultaten des vorigen Abschnitts kompatibel ist. Aus (.6) folgt daher p = Kϱ γ mit einer positiven Konstante K bzw. allgemeiner p = p(ϱ) (Dabei wird im Folgenden nur die Eigenschaft p (ϱ) > 0 von Bedeutung sein). Diese Relation ersetzt die Energiegleichung, und die Massenerhaltungs- und Impulsgleichungen bilden daher ein geschlossenes System: Dϱ Dt +ϱ v = 0, ϱ Dv Dt + p (ϱ) ϱ = 0. (.9) Diese Gleichungen für ein reibungsfreies isentropes Gas werden oft als p-system bezeichnet. Die Ableitung des Druckes nach der Dichte hat die Dimension des Quadrates einer Geschwindigkeit. Wir führen daher die Bezeichnung c := p ein. Wir wollen uns zunächst mit Wellen mit kleiner Amplitude beschäftigen, d.h. wir betrachten kleine Störungen einer homogenen bewegungslosen Atmosphäre. Hat die ungestörte Atmosphäre die Dichte ϱ 0, so machen wir den Ansatz ϱ ϱ 0 = 1 + εσ, mit 0 < ε 1. Weiters skalieren wir (.9) durch Wahl der Referenzgrößen U 0, L 0 und t 0 für die Geschwindigkeit v, Länge x und Zeit t. Die Geschwindigkeit c skalieren wir mit ihrem Wert c 0 = p (ϱ 0 ) in der ungestörten Atmosphäre. Balanciert man im skalierten Problem die führenden Terme, so ergeben sich die Forderungen U 0 t 0 εl 0 = 1, εt 0 U 0 L 0 c 0 = 1, für die Wahl von U 0, L 0 und t 0. Daraus folgt L 0 t 0 = c 0, U 0 = εc 0. (.10) 7

8 Mit diesen Annahmen hat das skalierte Problem die Form σ + εv σ + (1 + εσ) v = 0, t ( ) v (1 + εσ) + ε (v ) v + c σ = 0. t Der Grenzübergang ε 0 führt auf die Wellengleichung σ t = σ für die Störung in der Dichte. Kehrt man zu dimensionsbehafteter Länge bzw. Zeit zurück, dann erhält sie die Form σ t = c 0 σ. (.11) In diesem Zusammenhang ist die Wellengleichung die Grundgleichung der Akustik. Daher erklärt sich auch die Bezeichnung Schallgeschwindigkeit für die Geschwindigkeit c = p (ϱ), mit der sich kleine Störungen in einer Atmosphäre mit der Dichte ϱ ausbreiten. Explizite Lösungen der dreidimensionalen Wellengleichung kann man mit Symmetrieannahmen berechnen. Für Lösungen mit einer Kugelsymmetrie (d.h. σ = σ(r, t) mit r = x ) gilt die Gleichung ( σ t = σ c 0 r + r ) σ, r die mit der Substitution σ = β/r auf die eindimensionale Wellengleichung β t = β c 0 r transformiert werden kann. Aus der allgemeinen Lösung dieser Gleichung erhält man alle kugelsymmetrischen Lösungen von (.11): σ = 1 r (f(r c 0t) + g(r + c 0 t)) Sie bestehen aus wandernden Kugelwellen, die sich mit Schallgeschwindigkeit fortbewegen und deren Amplitude proportional zum Kehrwert der Entfernung ist. Von den beiden Lösungsanteilen ist nur der erste von praktischer Bedeutung. Er beschreibt eine von einer punktförmigen Schallquelle ausgehende Schallwelle. Die Tatsache, dass sich die Form der Welle (gegeben durch die Funktion f) mit dem Abstand von der Quelle nicht verändert, ist essentiell dafür, dass wir akustische Signale wiedererkennen können. Der Störungsparameter ε ist wegen (.10) der Quotient aus der charakteristischen Strömungsgeschwindigkeit und der Schallgeschwindigkeit. Dieser Quotient M = U/c 0 wird als Machzahl bezeichnet. Die Gleichung (.11) kann daher als Näherungsproblem für kleine Machzahl angesehen werden. Die wesentlichste Eigenschaft der Näherungsgleichung (.11) ist ihre Linearität. Im Folgenden sollen nichtlineare Effekte anhand spezieller Lösungen des p-systems (.9) demonstriert werden. Wir betrachten das eindimensionale p-system ϱ t + u ϱ x + ϱ u x = 0, u t + u u x + c ϱ ϱ x = 0, (.1) 8

9 und suchen nach Lösungen in der Form einfacher Wellen ϱ = ϱ(α), u = u(α) mit α = α(x, t). Mit diesem Ansatz erhalten die Gleichungen (.1) die Form ( ) α ϱ (α) t + u α + ϱu (α) α x x = 0, ( ) α u (α) t + u α + c x ϱ ϱ (α) α x = 0. Diese Gleichungen können als lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von ϱ und u bzw. von α/ x und α/ t aufgefasst werden. Für die Existenz nichttrivialer Lösungen sind die Bedingungen c ϱ (ϱ ) = (u ), ( α t + u α x ) ( ) α = c x notwendig. Aus der ersten Bedingung folgt offensichtlich c(ϱ) u = ± dϱ. (.13) ϱ Die zweite Bedingung kann als quasilineare Differentialgleichung erster Ordnung für α umgeschrieben werden: α α + (u(α) ± c(α)) t x = 0. Mit Hilfe des Charakteristikenverfahrens zeigt man, dass die allgemeine Lösung dieser Gleichung gegeben ist durch α = F (x (u ± c)t) mit einer beliebigen Funktion F. Mit der konstitutiven Relation p = Kϱ γ für ein ideales isentropes Gas folgt aus (.13) die Beziehung u = ± γ 1 (c c 0). Aus dieser Gleichung lässt sich c in Abhängigkeit von u berechnen. Wir erhalten schließlich [ ( ) ] γ + 1 u = F x u ± c 0 t. Betrachten wir Anfangsbedingungen für u in der Form u(x, 0) = u 0 (x), dann gilt F = u 0. Durch jeden Punkt (x 0, 0) geht eine Charakteristik in Form der Geraden ( ) γ + 1 x x 0 = u 0 (x 0 ) ± c 0 t, auf der u den konstanten Wert u 0 (x 0 ) hat. Abhängig von u 0 treten zwei typische Situationen auf: Ist u 0 monoton wachsend, so laufen die Charakteristiken mit fortschreitender Zeit auseinander. Die Lösung des Anfangswertproblemes ist für alle Zeiten eindeutig bestimmt. Für monoton fallendes u 0 hingegen laufen die Charakteristiken zusammen. Das bedeutet dass es einen Zeitpunkt t 0 > 0 gibt, an dem zwei Charakteristiken, die verschiedene u-werte tragen, einander schneiden. Wie geht es danach weiter? 9

10 .3 Die Burgers-Gleichung Verkehrsfluss Der Verkehr auf einer einspurigen Straße ohne Zu- und Abfahrten, Kreuzungen oder andere Störungen soll mathematisch modelliert werden. Wählt man ein eindimensionales Kontinuumsmodell, wobei ϱ(x, t) die Fahrzeugdichte (abhngig von der Zeit t IR und der Position x IR, Einheit: 1/Länge) ist, dann muss die Kontinuitätsgleichung ϱ t + x (ϱv) = 0 gelten, mit der mittleren Geschwindigkeit v(x, t) der Fahrzeuge. Um ein vollständiges Modell zu erhalten, benötigen wir noch eine zweite Beziehung zwischen den Unbekannten ϱ und v. Plausible Annahmen sind, dass bei sehr geringer Dichte die Fahrzeuge mit einer Maximalgeschwindigkeit v max unterwegs sind (z.b. durch eine Geschwindigkeitsbeschränkung vorgegeben), d.h. v = v max für ϱ = 0, und dass bei Erreichen einer Maximaldichte ϱ max der Verkehr zum Stillstand kommt, d.h. v = 0 für ϱ = ϱ max. Eine einfache Möglichkeit, diese Annahmen in ein Modell einzubauen, ist der lineare Zusammenhang v = v max (1 ϱ/ϱ max ). Damit haben wir ein vollständiges Modell in Form einer partiellen Differentialgleichung für ϱ: ϱ t + ( ( v max ϱ 1 ϱ )) = 0. x ϱ max Die Parameter v max und ϱ max können durch eine geeignete Skalierung aus der Gleichung eliminiert werden, und zwar ersetzen wir die Variablen ϱ, t bzw. x durch ϱ max ϱ, t 0 t bzw. x 0 x, wobei die Längeneinheit x 0 und die Zeiteinheit t 0 so gewählt werden, dass x 0 /t 0 = v max gilt. Die skalierte Gleichung hat dann die Form ϱ t + (ϱ(1 ϱ)) = 0. (.14) x Die weitere Transformation ϱ = (1 u)/ zeigt, dass diese Differentialgleichung äquivalent zur Burgers-Gleichung u t + ( ) u = 0, x einer der elementaren Grundgleichungen der mathematischen Physik, ist. Es ist zu erwarten, dass durch die Gleichung (.14) und durch die Angabe einer Anfangsbedingung ϱ(0, x) = ϱ 0 (x) (.15) mit vorgeschriebener Anfangsdichte ϱ 0 die Fahrzeugdichte eindeutig bestimmt ist. In der Tat kann die Differentialgleichung in der quasilinearen Form ϱ ϱ + (1 ϱ) t x = 0 geschrieben und das Anfangswertproblem mit Hilfe der Charakteristikenmethode gelöst werden. 30

11 Die Charakteristiken sind Geraden in der x-t-ebene, und die im Punkt (x, t) = (y, 0) beginnende Charakteristik hat die Gleichung x = y + t(1 ϱ 0 (y)). (.16) Die Fahrzeugdichte hat entlang dieser Charakteristik den konstanten Wert ϱ 0 (y). Für eine explizite Darstellung der Lösung wäre es notwendig, y als Funktion von x und t aus der Gleichung (.16) auszurechnen, was im Allgemeinen natürlich nicht möglich ist. Eine Anwendung des Hauptsatzes über implizite Funktionen zeigt allerdings, dass für Anfangsdaten mit beschränkter erster Ableitung zumindest für kleine t die Gleichung (.16) eindeutig eine differenzierbare Funktion y(x, t) bestimmt, sodass es eine differenzierbare Lösung ϱ(x, t) = ϱ 0 (y(x, t)) gibt. Man sieht leicht, dass die Einschränkung auf kleine Zeiten im Allgemeinen notwendig ist. Gibt es nämlich auch nur ein Paar (y 1, y ), sodass y 1 < y und ϱ 0 (y 1 ) < ϱ 0 (y ) gelten, dann schneiden die beiden in den Punkten (0, y 1 ) und (0, y ) beginnenden Charakteristiken einander zum Zeitpunkt t = ϱ 0(y ) ϱ 0 (y 1 ) (y y 1 ) was bedeutet, dass die Fahrzeugdichte spätestens zu diesem Zeitpunkt unstetig wird und dass nach diesem Zeitpunkt keine Lösung des Problems existiert. Ein spezielles Beispiel ist durch die Anfangsdichte ϱ 0 (x) = 0, x < 0, x, 0 x 1, 1, x > 1, gegeben. Alle Charakteristiken, die an Punkten (y, 0) mit 0 y 1 beginnen schneiden einander im Punkt (1/, 1/). Die Lösung zu diesem Zeitpunkt ist gegeben durch { 0, x < 1/, ϱ(x, 1/) = 1, x > 1/, d.h. eine stehende Kolonne, die bis zum Punkt x = 1/ zurückreicht, und dahinter die leere Straße. Plausibel wäre, dass diese Situation in der Zukunft unverändert bleibt, d.h. ϱ(x, t) = ϱ(x, 1/) für t > 1/. Das ist zwar mangels Differenzierbarkeit keine Lösung der Differentialgleichung (.14), allerdings erfüllt es die integrierte Version d dt b a, ϱ(x, t)dx + ϱ(b, t)(1 ϱ(b, t)) ϱ(a, t)(1 ϱ(a, t)) = 0, a, b. (.17) Als Verallgemeinerung dieser Beobachtung betrachten wir das Riemannproblem, das ist ein Anfangswertproblem mit stückweise konstanter Anfangsdichte mit einer Sprungstelle: { ϱl, x < 0, ϱ 0 (x) = ϱ r, x > 0, Wir suchen eine Lösung von (.17) in Form einer Stoßwelle { ϱl, x < ct, ϱ(x, t) = ϱ r, x > ct, 31

12 mit der Geschwindigkeit c. Einsetzen liefert die Rankine-Hugoniot-Bedingung c = ϱ l(1 ϱ l ) ϱ r (1 ϱ r ) ϱ l ϱ r = 1 ϱ l ϱ r für die Stoßgeschwindigkeit. Damit haben wir eine Lösung des Riemannproblems gefunden. Ein anderer Zugang zur Lösung der Riemannproblems beginnt mit einer Dimensionsanalyse. Machen wir die Skalierung von Position und Zeit rückgängig, dann ergibt sich, dass die dimensionslos gemachte Fahrzeugdichte eine Funktion von t und x und den Parametern v max, ϱ l, ϱ r ist. Dabei sind ϱ l und ϱ r dimensionslos. Die Abhängigkeit von den dimensionsbehafteten Größen t, x und v max kann daher nur über eine dimensionslose Kombination derselben führen. Die einzige Möglichkeit dafür ist eine Abhängigkeit von der Kombination x v. maxt Kehren wir zum vollständig skalierten Problem zurück, dann bedeutet das, dass die Lösung des Riemannproblems die Form ϱ(x, t) = f(x/t) hat. Die oben berechneten Stoßwellenlösungen sind von dieser Form. Wenn wir den Ansatz in die Differentialgleichung (.14) einsetzen, ergibt sich f (ξ)(1 f(ξ) ξ) = 0. Die Lösung f(ξ) = (1 ξ)/ kann als Baustein für eine weitere Lösung des Riemannproblems verwendet werden, wenn ϱ l > ϱ r gilt, und zwar die Verdünnungswelle ϱ l, x < (1 ϱ l )t, ϱ(x, t) = (1 x/t)/, (1 ϱ l )t x (1 ϱ r )t, ϱ r, x > (1 ϱ r )t. Die Übergänge sind stetig, und es ist leicht nachzurechnen, dass (.17) erfüllt ist. Mit der Abschwächung des Lösungsbegriffes haben wir uns also einen Mangel an Eindeutigkeit eingehandelt! Wir versuchen die Situation besser zu verstehen, indem wir unser Modell verfeinern. Wir gestehen den Autofahrern ein gewisses Maß an Weitblick zu und nehmen an, dass sie nicht nur auf die lokale Fahrzeugdichte, sondern auch auf deren lokale Variation reagieren. Wir führen einen zusätzlichen Beitrag ε x ϱ, ε > 0, zum Fluss ein, das heißt, dass Autofahrer bei in Fahrtrichtung größer werdender Dichte bremsen und bei kleiner werdenden Dichte beschleunigen. Für den Parameter ε wählen wir kleine Werte, um das ursprüngliche Modell nur geringfügig zu stören. Die modifizierte Differentialgleichung hat die Form ϱ t + x (ϱ(1 ϱ)) = ε ϱ x. (.18) Diese Differentialgleichung ist parabolisch, und es sind daher glatte Lösungen ohne Sprungstellen zu erwarten. Insbesondere suchen wir nach Lösungen, die Stoßwellen approximieren, in der Form von wandernden Wellen der Form ϱ(x, t) = g((x ct)/ε). Das ergibt für g die gewöhnliche Differentialgleichung cg + (g(1 g)) = g, wobei wir die Zusatzbedingungen g( ) = ϱ l, g( ) = ϱ r fordern. Integration gibt g = g(1 g) cg ϱ l (1 ϱ l ) + cϱ l, 3

13 wobei die Integrationskonstante so gewählt wurde, dass ϱ l ein stationärer Punkt ist. Wählen wir die Wellengeschwindigkeit gemäß der Rankine-Hugoniot-Bedingung, dann ist auch ϱ r ein stationärer Punkt. Da die rechte Seite als konkave Funktion zwischen den beiden stationären Punkten positiv ist, gibt es eine Lösung der gesuchten Form nur, wenn ϱ l < ϱ r gilt. Offensichtlich konvergiert die wandernde Welle für ε 0 gegen eine Stoßwelle. Die Idee ist nun die folgende: Wir sehen (.18) als genaueres Modell an und akzeptieren Lösungen des ursprünglichen Modells nur dann, wenn sie als Grenzwerte von (.18) für ε 0 berechnet werden können. Das ergibt für das Riemannproblem das folgende Bild: Für ϱ l < ϱ r ist die Stoßwelle die richtige Lösung, während wir für ϱ l > ϱ r nur die Verdünnungswelle als Lösung akzeptieren. Man beachte, dass für diese Argumentation die strikte Konkavität der Flussfunktion ϱ(1 ϱ) wichtig ist. Man bezeichnet die Forderung, dass die zweite Ableitung der Flussfunktion überall verschieden von Null ist, als echte Nichtlinearität. Obwohl unsere bisherige Vorgangsweise keineswegs rigoros ist, gibt es Grund zur Hoffnung, dass wir durch die zusätzliche Forderung der Herleitbarkeit aus (.18) den Mangel an Eindeutigkeit losgeworden sind. Die Abschwächung des Lösungsbegriffes bringt noch eine weitere Schwierigkeit mit sich. Multiplikation mit ϱ zeigt, dass die Differentialgleichung (.14) formal äquivalent ist mit ϱ t + x (ϱ 43 ) ϱ3 = 0. (.19) Versuchen wir aus der integrierten Version dieser Gleichung die Geschwindigkeit einer Stoßwelle zu bestimmen, dann erhalten wir c = ϱ l 4ϱ3 l /3 ϱ r + 4ϱ 3 r/3 ϱ l ϱ r = ϱ l + ϱ r 4(ϱ l + ϱ lϱ r + ϱ r)/3 ϱ l + ϱ r, was sich im allgemeinen von der oben berechneten Stoßgeschwindigkeit unterscheidet. Der Fehler entsteht dadurch, dass die Gleichung (.19) zwar formal wie eine Erhaltungsgleichung aussieht, aber die Größen ϱ bzw. ϱ 4ϱ 3 /3 nicht Dichte bzw. Fluss einer physikalischen Erhaltungsgröße sind. Es ist bei der Abschwächung des Lösungsbegriffes also nicht erlaubt zu vergessen, was die Gleichung (.14) eigentlich bedeutet! Schließlich wollen wir uns noch einmal damit beschäftigen, was aus der Forderung abgeleitet werden kann, dass die Lösung als Grenzwert von Lösungen der regularisierten Gleichung (.18) konstruierbar sein muss. Multiplizieren wir (.18) mit ϱ und integrieren wir bezüglich x über IR, dann ergibt sich formal d ϱ dx = ε dt ( ) ϱ dx 0, x wenn wir annehmen, dass die Fahrzeugdichte für x ± schnell genug gegen Null konvergiert. In Anlehnung an den Abschnitt.1 nennen wir dann die Größe ϱ dx eine Entropie für den Verkehrsfluss, der damit dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik genügt. Die oben hergeleitete Zulassungsbedingung ϱ l < ϱ r 33

14 für Stoßwellen wird auch Entropiebedingung genannt. Für den späteren Gebrauch formulieren wir unsere Resultate auch für die Burgers-Gleichung u t + ( ) u = ε u x x, wobei wir den zusätzlichen Term auf der rechten Seite in Analogie zur Gasdynamik als Reibungsterm bezeichnen. Stoßwellenlösungen der reibungsfreien Gleichung (ε = 0) der Form u(x, t) = { ul, für x < st, u r, für x > st, s = u l + u r, müssen die Entropiebedingung u l > u r erfüllen, damit sie als Limiten von Lösungen der reibungsbehafteten Gleichung akzeptiert werden können. An der Form u u t +u x = 0 der reibungsfreien Gleichung sieht man, dass die Geschwindigkeit von Charakteristiken durch u gegeben ist. Schreibt man die Entropiebedingung in der Form u l > s > u r, (die sogenannte Lax-Entropiebedingung), dann hat das die geometrische Bedeutung, dass die Charakteristiken von beiden Seiten in die Stoßwelle hineinlaufen. Riemann-Probleme mit u l < u r werden durch die Verdünnungswelle u l, für x < u l t, u(x, t) = x/t, für u l t x u r t, u r, für x > u r t, gelöst. 34