1834 Bessel ( ) entdeckt variable Eigenbewegung von Sirius Doppelstern mit unsichtbarem Begleiter

Transkript

1 Kapitel 2 Weiße Zwerge 2.1 Zur Geschichte 1834 Bessel ( ) entdeckt variable Eigenbewegung von Sirius Doppelstern mit unsichtbarem Begleiter 1862 A.G. Clark findet Sirius Begleiter nahe am vorausberechneten Ort. Aus den Bahnelementen und der Parallaxe folgt für SiriusB: M 1M,L 1 4 L 1915 Adams bestimmt Spektraltyp (F) von SiriusB: T 85K, R R /55, 61[g/cm 3 ] 1924 A.S. Eddington formuliert Paradoxon: Hohe Dichte nur bei vollständiger Ionisation, d.h. bei hohen Temperaturen möglich. Ein Stern mit so hoher Dichte braucht Energie um abzukühlen! 1925 Adams misst Gravitationsrotverschiebung bei SiriusB (v R 2km/s) und bestätigt damit Voraussagen der ART und hohes δ von SiriusB R.H. Fowler löst Eddingtons Paradoxon: Vollständige Ionisation nicht nur bei hoher T möglich,sondernauchbeit,wennnurderdruckhochgenugist(druckionisation). Pauli-Prinzip, d.h. Fermi Dirac Statistik für das Elektronengas (Entartungsdruck) Zustandsgleichung, WD sind Polytrope mit n = 3/2, d.h. R M 1/ S. Chandrasekhar verallgemeinert Fowlers Ansatz: Berücksichtigung der speziellen RT relativistische Entartung Grenzmasse für WD. Beginn der Kontroverse mit Eddington, der behauptet: Relativistische Entartung gibt es nicht, folglich auch keine Grenzmasse. Die Masse Radius Beziehung ist R M 1/3 für beliebige M. Chandrasekhar sucht Unterstützung bei Physikern (u.a. bei Bohr und Pauli), die sich aber nicht öffentlich zur Sache äussern. 23

2 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE Chandrasekhar zieht Schlusstrich unter die Affaire und schreibt sein Buch An Introduction to the Study of Stellar Structure. Dann wendet er sich anderen Dingen zu. (Die Kontroverse endet letztlich mit Eddingtons Tod) erhält er den Nobelpreis! 2.2 Ideales Fermigas, Maxwell-Boltzmann Grenzfall Die Impulsverteilung (Fermi Verteilung) von N (idealen) Fermionen der Masse m, Spin s und Energie E = (p 2 c 2 +m 2 c 4 ) 1/2 = mc 2 [ ( p mc) 2 +1 ] 1/2 (2.1) in einem Volumen V bei einer Temperatur T ist gegeben durch dn dp = g h 3 V 4πp2 f(e) g h 3 V 4πp2 1 exp[(e µ)/k B T]+1 (2.2) mit g : V 4πp 2 dp/h 3 : f(e): statistisches Gewicht; für Teilchen mit Spin s: g = 2s+1; Elektronen s = 1/2 g = 2; Neutrinos: g = 1 Zahl der Phasenraumzellen vom Volumen h 3 im Ortsvolumen V und Impulsintervall p,...,p+dp (Isotropieannahme!) Auffüllfaktor, d.h. Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Phasenraumzelle bei der Energie E besetzt ist µ ε/ n S,V chemisches Potential wobei ε die Energiedichte (inkl. Ruheenergie) und n die Anzahldichte der Fermionen sind. Statt des chemischen Potentials µ verwendet man oft auch die Größe η µ k B T, die Entartungsparameter genannt wird. Aus der Fermi Verteilung ergeben sich Anzahldichte: n = N V = g h 3 4π (2.3) p 2 dp exp[(e µ)/k B T]+1, (2.4)

3 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 25 Energiedichte (inkl. Ruhemassenergie!) ε = E V = g h 4π p 2 dp E 3 exp[(e µ)/k B T]+1, (2.5) isotroper Druck (Impulsfluss) P = 1 3 g h 3 4π pv p 2 dp exp[(e µ)/k B T]+1, (2.6) wobei der Faktor 1/3 von der Integration über den Ortsraum herrührt und v = pc 2 /E die Geschwindigkeit der Fermionen ist. Für hinreichend niedrige Teilchendichten und hohe Temperaturen gilt lim f(e) = f MB(E) = exp η ( ) µ E, (2.7) k B T d.h. die Fermi Verteilung f(e) geht in die Maxwell Boltzmann Verteilung f MB (E) über. In diesem nicht entarteten Fall gilt f MB (E) 1 ( dünnes Gas) und man findet [ ] µ k B T = ln h 3 n [ n ] ln, (2.8) (2πmk B T) 3/2 g n d.h. µ/k B T <, falls die Teilchendichte n kleiner als die kritische Teilchendichte n g h 3 (2πmk BT) 3/2 (2.9) ist. Mit m = Am u und n = /Am u folgt aus (2.8) [ ] µ k B T = ln h 3 1 1, (2πAm u k B ) 3/2 g Am u T 3/2 bzw. [ µ k B T = ln ga 5/2 ]. (2.1) T 3/2 Für Luft (A 3, ρ = g/cm 3 ) bei T = 273K ergibt sich µ/k B T 3. Im Grenzfall T (mit n > n, d.h. µ > ) strebt η = µ/k B T und der Auffüllfaktor gegen { 1 falls E EF = µ f(e) = falls E > E F = µ, (2.11) d.h. die Fermi Verteilung entartet vollständig (zu einer Kastenfunktion).

4 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 26 (i) Nicht relativistischer Grenzfall (NR) Im nicht relativistischen Grenzfall (p/mc 1) gilt für die Teilchenenergie (2.1) [ E mc ( ] p mc) bzw. für die nicht relativistische Teilchenenergie (ohne Ruhemasse!) E NR = E mc 2 p2 2m Die Teilchenanzahldichte ergibt sich zu (η im folgenden ohne Ruhemasse!) n NR = g h 4π p 2 dp [, 3 p exp 2 η 2mk B ]+1 T bzw. nach Einführung der Hilfsgröße x p 2 2mk B T mit mk B Tdx = pdp zu n NR = g h 3 2π(2mk BT) 3/2 Definiert man als Fermi-Integral x exp(x η)+1 dx. F n (η) x n dx exp(x η)+1 (2.12) so erhält man n NR = g h 3 2π(2mk BT) 3/2 F 1/2 (η) (2.13) Dies ist eine implizite Definitionsgleichung für η bei gegebener Temperatur T und Teilchenanzahldichte n NR. Die Gleichung zeigt, dass die Entartung mit zunehmender Dichte und/oder sinkender Temperatur wächst. Weiter gilt ε NR = g h 3 4π p 2 2m p 2 dp [, (2.14) p exp 2 η 2mk B ]+1 T

5 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 27 bzw. ε NR = g h 3 2π(2mk BT) 3/2 k B T F 3/2 (η). Unter Verwendung von (2.13) gilt daher ε NR = n NR k B T F 3/2(η) F 1/2 (η) (2.15) Für den Druck erhält man den Ausdruck P NR = 1 g 3h 4π 3 p 2 m p 2 dp [. p exp 2 η 2mk B ]+1 T Ein Vergleich dieses Ausdrucks mit dem für ε NR (2.14) ergibt P NR = 2 3 ε NR (2.16) (a) Im Grenzfall vollständiger Entartung (η + ) gilt η lim F n(η) = x n dx = 1 η o n+1 ηn+1 (2.17) und damit n D NR = g h 3 2π(2mk BT) 3/2 2 3 η3/2 (2.18) und ε D NR = g h 3 2π(2mk BT) 3/2 k B T 2 5 η5/2. (2.19) Löst man (2.18) nach η auf und setzt den Ausdruck in (2.19) ein, folgt ( ) 2/3 ε D NR = 3h2 3 ( n D 5/3 1m 4πg NR) (2.2) und daher P D NR ( n D NR) 5/3 (YF ρ) 5/3, wobei Y F die Anzahl der Fermionen pro Baryon ist.

6 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 28 (b) Im Grenzfall nicht entarteter Fermionen (η ) gilt lim F n(η) = e η x n e x dx = e η Γ(n+1), (2.21) η o wobei Γ(n+1) die Gammafunktion ist. Für positive ganzzahlige n gilt Γ(n+1) = n! (Fakultät). Weiterhin gilt Γ(3/2) = π/2 und Γ(5/2) = 3 π/4. Für die Teilchenanzahldichte folgt damit n ND NR = g h 3 (2πmk BT) 3/2 e η (2.22) und für die Energiedichte (2.15) ε ND NR = 3 2 nnd NR k B T (2.23) (ii) Extrem relativistischer Grenzfall (ER) Im extrem relativistischen Grenzfall gilt p/mc 1 und damit E pc. Die Teilchenanzahldichte ist daher durch n ER = g h 4π 3 p 2 dp [ exp pc µ k B T ] +1 gegeben. Mit x pc/k B T folgt n ER = 4πg ( kb T hc ) 3 x 2 exp(x η)+1 dx, bzw. n ER = 4πg ( kb T hc ) 3 F 2 (η) (2.24) Analog folgt ε ER = g h 4π 3 p 2 dp pc [ exp pc µ k B T ] +1 (2.25)

7 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 29 und damit unter Verwendung von (2.12) und (2.24) ε ER = n ER k B T F 3 (η) (2.26) Für den Druck ergibt sich P ER = 1 3 g h 3 4π p 2 dp pc [ exp pc µ k B T und durch Vergleich mit (2.25) ] +1 P ER = 1 3 ε ER (2.27) (a) Im Grenzfall vollständiger Entartung (η + ) gilt n D ER = 4πg und ε D ER = 4πg bzw. ε D ER = 3 4 und ( kb T hc ( kb T hc ) η3 ) 3 k B T 1 4 η4 ( ) 1/3 3 hc ( ) n D 4/3 ER 4πg P D ER ( n D ER) 4/3 (YF ρ) 4/3. (b) Im Grenzfall nicht entarteter Fermionen (η ) gilt ( ) 3 n ND kb T ER = 8πg e η hc und ε ND ER = 24πg bzw. ( kb T hc ε ND ER = 3n ND ER k B T ) 3 k B T e η

8 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 3 Abbildung 2.1: Das log ρ log T-Diagramm zeigt die verschiedenen Zustandsbereiche eines thermodynamischen System, dessen Komponenten (i) ein ideales Boltzmanngas, (ii) ein beliebig entartetes und beliebig relativistisches Elektronengas und (iii) Strahlung sind. (iii) Zusammenfassung Grenzfall Zustandsgleichung ND D NR P = 2 3 ε P = nk BT P (Y F ρ) 5/3 ER P = 1 3 ε P = nk BT P (Y F ρ) 4/3 (Jüttner 1915) Für nicht entartete (ND) Fermionen gilt die Ideale Gas Zustandsgleichung sowohl im nicht relativistischen (NR) als auch im extrem relativistischen (ER) Fall. Im Falle vollständiger Entartung (D) hängt der Druck nicht von der Temperatur ab. Im nicht entarteten, nicht relativistischen Fall ist der Gasdruck unter Umständen kleiner als der Strahlungsdruck. (siehe nächstes Unterkapitel).

9 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE Bosegas, Strahlungsdruck und Planck-Verteilung Die statistische Mechanik und Thermodynamik von Fermionen (Elektronen, Positronen, Neutrinos, Nukleonen, Quarks) spielt in der Astrophysik eine wichtige Rolle, z.b. für das Verständnis der Spätstadien der Sternentwicklung und von kompakten Objekten. Für Bosonen gilt dies nur im Falle von Photonen (Strahlung). Die Impulsverteilung(Bose-Einstein-Verteilung) von N idealen Bosonen der Masse m, Spin s und Energie E (2.1) in einem Volumen V bei einer Temperatur T ist durch dn dp = g h 3 V 4πp2 f BE g h 3 V 4πp2 1 exp[(e µ)/k B T] 1 (2.28) gegeben. Vergleicht man die Bose-Einstein Verteilung mit der Fermi-Dirac-Verteilung (2.2), so besteht der einzige Unterschied darin, dass der Auffüllfaktor (die Wahrscheinlichkeit dass eine Phasenraumzelle bei der Energie E besetzt ist) f BE (E) im Nenner ein Minuszeichen anstelle des Pluszeichens in f FD (E) aufweist. Daher kann f BE (E) beliebig groß werden, während (wegen des Pauli-Prinzips) f FD (E) 1 gilt. Im Falle von Photonen, d.h. masselosen Bosonen mit Spin s = 1 und statistischem Gewicht g = 2 (nur zwei transversale Freiheitsgrade) im thermischen Gleichgewicht, ist das chemische Potential µ = (Teilchenzahl nicht konstant), und die Bose-Einstein-Verteilung f BE (E) geht in die Planck-Verteilung f Planck (E) = 1 exp(e/k B T) 1 (2.29) über. Die Energiedichte der Photonen der Frequenz ω = E/ bei der Temperatur T ist dann mit x ( ω)/(k B T) durch ε(ω,t) = π 2 c 3 ( ) 4 kb T x 3 exp(x) 1 (2.3) gegeben. Die Energiedichteverteilung besitzt ein Maximum (der Emission), das sich mit wachsender Temperatur zu höheren (kürzeren) Frequenzen (Wellenlängen) verschiebt

10 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 32 (Abb.2.2). Bezeichnet man die Wellenlänge, die zum Maximum gehört mit λ max, so gilt das Wien sche Verschiebungsgesetz λ max T = konst. =.2898[cmGrad]. (2.31) Bei T = 6K liegt das Maximum damit bei λ max = 48nm (im Grünen). Für die Gesamt Energiedichte der Photonen folgt (analog zu (2.5); extrem relativistischer Grenzfall mit E = pc = ω, da m γ = ) ε γ = 8π ( kb T hc ) 3 k B T x 3 dx e x 1 (2.32) Das Integral hat den Wert π 4 /15. Damit folgt ε γ = at 4 (2.33) bzw. P γ = 1 3 ε γ = 1 3 at4 (2.34) mit der Strahlungskonstanten a 8π5 kb 4 [ erg ] 15(hc) = (2.35) cm 3 K 4 Für T = 1 1 K ist P γ [erg/cm 3 ] und P Gas 1 6 n[erg/cm 3 ], wobei n die Anzahldichte der Boltzmann-Gasteilchen ist. Demnach ist P γ P falls n [cm 3 ].

11 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 33 Abbildung 2.2: Energiedichteverteilung von Photonen gemäß der Planck Verteilung bei verschiedenen Temperaturen.

12 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE Polytrope Gaskugeln einfachster Typ von Sternmodellen [Emden (197), Lane (187)] Polytrope; Modell eines Sterns im hydrostatischen Gleichgewicht bei dem die Druckund Dichteverteilung die Bedingung P(r) = Kρ(r) 1+ 1 n (2.36) erfüllt. Die Größen K und n heißen Polytropenkonstante und Polytropenindex. Beziehung (2.36) gilt im ganzen Stern, d.h. K und n sind räumlich (aber nicht notwendigerweise zeitlich) konstant. Die Polytropenbeziehung braucht nicht mit der Zustandsgleichung identisch zu sein! Es existieren zwei Möglichkeiten für Polytrope a) Die Zustandsgleichung ist polytrop Dies gilt zum Beispiel für ein vollständig entartetes Elektronengas 1. NR: P ρ 5/3 n = 3/2 2. ER: P ρ 4/3 n = 3 b) Druck- und Temperatur Schichtung sind gekoppelt Das Gas im Stern genüge der Zustandsgleichung P = P(ρ,T). Außerdem gelte für die Temperaturschichtung im Stern noch die Nebenbedingung T = T(P). 1. isotherme Schichtung (T = T ) eines idealen Gas (P = R/µρT) mit mittlerem Molekulargewicht µ P ρ, n = und K = RT /µ, d.h. K hängt von T und µ ab und ist daher frei wählbar. 2. adiabatische Schichtung (T P ad ) durch Konvektion in einem idealen Gas mit einem Temperaturgradienten = ad (dlnt/dlnp) ad. Wenn der Strahlungsdruck zu vernachlässigen ist, folgt für ein(1-atomiges) ideales Gas ad = 2/5, d.h T P 2/5 im ganzen Stern. Daraus ergibt sich (für µ = const.) die polytrope Beziehung P ρ 1+ 1 n und n = 3/2. mit n = 1 ad ad Wichtiger Unterschied: Wenn Zustandsgleichung von polytropem Typ ist, ist die Polytropenkonstante K festgelegt und läßt sich aus Naturkonstanten berechnen. Wenn dagegen die Druck- und Temperatur Schichtung gekoppelt sind, ist K ein freier Parameter, der innerhalb des Sterns konstant ist, aber von Stern zu Stern variieren kann.

13 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 35 Emdensche Differentialgleichung Die mechanische Sternaufbaugleichung lautet mit dp dr = GM r r 2 ρ (2.37) dm r dr = 4πr2 ρ. (2.38) Kombiniert man beide Gleichungen, so erhält man die Poisson Gleichung ( ) 1 d r 2dP = 4πGρ (2.39) r 2 dr ρ dr Für eine Polytrope (2.36) gilt dp dr = K(1+ 1 n )ρ 1 dρ n dr. Damit folgt für die Poisson Gleichung K n+1 n ( 1 d r 2 ρ 1 1dρ ) r 2 n = 4πGρ. dr dr Führt man dimensionslose Größen y und x gemäß ρ = ρ c y n und r = αx mit α 2 = K(n+1) 4πG ρ 1 n 1 c [cm 2 ] ein, so erhält man die nicht lineare Emdensche Differentialgleichung ( 1 d x 2dy ) = y n (2.4) x 2 dx dx für die Lane Emden Funktion y(x) mit den Randbedingungen y(x = ) = 1 und dy/dx x= =. Analytische Lösungen existieren für n =, 1 und 5

14 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 36 Abbildung 2.3: Graphisches Darstellung einiger ausgewählter Lösungen der Lane-Emden- Gleichung. 1. n = y(x) = 1 x 2 /6 2. n = 1 y(x) = sinx/x ( 3. n = 5 y(x) = 1+ x2 3 ) 1/2 n < 5 : y = für x = x < und y (x o ) <, d.h. Polytrope mit n < 5 haben einen scharfen Rand n : y(x) 1 x2 6 für x 1 Wichtige Eigenschaften von Polytropen Der Radius einer Polytrope entspricht der ersten Nullstelle der entsprechenden Lane Emden Funktion (y(x ) = ) und ist durch R = αx o = [K(n+1)ρ 1 n n c 4πG ] 1/2 x o (2.41)

15 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 37 gegeben. Für die Masse einer Polytropen gilt M = bzw. R 4πr 2 ρdr x M = 4πρ c α 3 x 2 y n (x)dx. Unter Verwendung der Emdenschen Differentialgleichung (2.4) erhält man x ( M = 4πρ c α 3 d x 2dy ) dx dx dx und damit schließlich bzw. M = 4πρ c α 3 x 2 dy dx (2.42) x [ ] 3/2 K(n+1) M = 4π ρ (3 n)/2n c x 2 4πG y (x ) (2.43) Wichtig: Für n = 3 hängt M nicht von ρ c ab ( ) 3/2 K [ M 3 = 4π x 2 πg y (x ) ]. (2.44) n=3 Aus den obigen Gleichungen für Masse und Radius einer Polytrope erhält man die Masse Radius Beziehung (eindeutig für festes K und n) R 3 n = 1 4π [ ] n [ K(n+1) G 1. n = 3 : M ist unabhängig von R 2. n = 1 : R ist unabhängig von M x n+1 n 1 y (x )] n 1 M 1 n (2.45) Für gegebene Werte von K, n und M gibt es nur eine einzige Lösung Die potentielle Energie einer Polytrope ist gegeben durch E G = 3 GM 2 5 n R (2.46)

16 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE Die Chandrasekhar Grenzmasse In Weißen Zwergen ist das Elektronengas entartet. Daher betrachten wir die Zustandsgleichung eines (vollständig) entarteten Elektronengas (g = 2) (i) nicht relativistisch (ρ 1 6 [g/cm 3 ]; siehe Gl.2.2) P = 1 5 ( ) 2/3 3 h 2 n 5/3 e. 8π m e Da n e = ρy e /m B folgt damit P = K 3/2 ρ 5/3 ( ) 3/2 mit K 3/2 = h2 3 Ye 5/3 = Ye 5/3 [cgs] (2.47) 5m e m B 8πm B d.h. eine Zustandsgleichung, die mit der Struktur einer Polytrope vom Polytropenindex n = 3/2 verträglich ist. (ii) relativistisch (ρ 1 6 [g/cm 3 ]; siehe Gl.2.27ff) P = 1 4 ( ) 1/3 3 hcn 4/3 e 8π P = K 3 ρ 4/3 mit K 3 = hc ( ) 1/3 3 Ye 4/3 = Ye 4/3 [cgs] (2.48) 4m B 8πm B d.h. eine Zustandsgleichung, die mit der Struktur einer Polytrope vom Polytropenindex n = 3 verträglich ist. Für die Masse Radius bzw. Masse Zentraldichte Beziehung von Polytropen gilt (2.45) R M 1 n 3 n bzw. ρ c M 2n 3 n, d.h. für ein vollständig entartetes, nicht relativistisches Elektronengas folgt(n = 3/2, K = K 3/2 ) R M 1/3 bzw. ρ c M 2 Aus dρ c /dm > folgt dη/dm >, d.h. die Entartung wächst mit der Masse M der Polytrope. Oberhalb einer gewissen Masse ist das Elektronengas daher relativistisch entartet.

17 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 39 (i) entartetes, extrem relativistisches Elektronengas Der Polytropenindex hat den Wert n = 3. Die Masse Radius Beziehung ist singulär, d.h. es existiert eine von R und ρ c unabhängige Masse M 3 (2.44) Für n = 3 ǫ mit ǫ 1 folgt R M 1 2 ǫ bzw. ρ c M 6 ǫ 2 und daraus limr = bzw. limρ c =. ǫ ǫ (ii) Übergang von n = 3/2 zu n = 3 Für ein nicht relativistisches Elektronengas gilt n = 3/2. Die zentrale Dichte einer entsprechenden Polytrope skaliert wie ρ c M 2, d.h. die zentrale Dichte und damit die Fermi Energie der Elektronen nehmen mit der Masse M zu und das Elektronengas wird relativistischer. Für einen Weißen Zwerg der Masse M gilt andererseits dρ/dm r <, d.h. die Entartung des Elektronengas ist im Zentrum stärker relativistisch als in der Nähe der Oberfläche. Konsequenz: Ein Weißer Zwerg ist keine Polytrope. Die relevante Zustandsgleichung eines Weißen Zwergs ist die eines beliebig relativistischen, (vollständig) entarteten Elektronengas (f(e) ist zur Kastenfunktion entartet) P e = 1 3 8π h 3 pf pvp 2 dp Bezeichnet man mit m und m e die Masse bzw. die Ruhemasse eines Elektrons so gilt für seine Geschwindigkeit v = p m = p ( ) 1/2 1 v2. m e c 2 Löst man diese Gleichung nach v auf, so folgt v = p ( ) m 2 e c 2 1/2 m e m 2 ec 2 +p 2 und damit P e = 8π 3m e h 3 pf p 4 dp (1+p 2 /m 2 ec 2 ) 1/2.

18 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 4 Mit den Definitionen z p/m e c und x p F /m e c läßt sich der Druck auch in der Form P e = 8π x 3m e h (m ec) 5 z 4 dz 3 1+z 2 schreiben. Damit erhält man schließlich P e = πm4 ec 5 3h 3 f(x) Af(x) (2.49) mit (man beachte, dass arshx ln(x+ 1+x 2 )) x z 4 dz f(x) 8 = 1+z 2 x(2x2 3) 1+x 2 +3arshx (2.5) Ist die Entartung des Elektronengas nicht vollständig sind Korrekturterme infolge der endlichen Temperatur des Elektronengas zu berücksichtigen (siehe Chandrasekhar (1939), Seite 392, Gl. 198) Analog findet man ρ = n e m B Y e = Bx 3 (2.51) mit B = 8π 3 ( me c ) 3 m B (2.52) h Y e Setzt man die obigen Beziehungen für den Druck (2.49) und die Dichte (2.51) eines beliebig relativistischen Elektronengas in die Poisson Gleichung für das hydrostatische Gleichgewicht (2.39) ein, so erhält man ( ) A 1 d r 2 df(x) = 4πGBx 3. B r 2 dr x 3 dr Gemäß der Definition von f(x) (2.5) gilt 1 df(x) = x 3 dr 8x dx x2 +1dr = 8d x2 +1 dr

19 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 41 und damit ( ) 1 d r 2d x 2 +1 = πgb2 r 2 dr dr 2A x3. Diese Gleichung kann man durch Einführung einer neuen Variablen y 2 x umformen in ( 1 d r 2dy ) = πgb2 r 2 dr dr 2A (y2 1) 3/2 Sei x x(r = ), d.h. y 2 = x 2 +1 und definitiert man einen dimensionslosen Radius gemäß 2A 1 r αλ mit α = [cm], (2.53) πgby sowie ein Potential Φ gemäß y y Φ, (2.54) so erhält man ( 1 d λ 2dΦ ) ( = Φ 2 1 3/2 (2.55) λ 2 dλ dλ y) 2 mit den zentralen Randbedingungen Φ(λ = ) = 1 (folgt aus 2.54) und (dφ/dλ) λ= =, sowie der zusätzlichen Randbedingung Φ(λ 1 ) = 1/y, die wegen des Verschwindens der Dichte an der Oberfläche des Weißen Zwergs erfüllt sein muss. Die Masse einer Gaskugel vom Radius λ ist durch M(λ) = 4π λ ρr 2 dr gegeben. Aus der obigen Zustandsgleichung folgt unter Verwendung der Poisson- Gleichung (2.55) damit für die Masse eines Weißen Zwergs M(λ 1 ) = 4π ( 2A πg ) 3/2 1 B 2 ( λ 2dΦ dλ ) λ=λ 1 (2.56)

20 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 42 Die Differentialgleichung (2.55) impliziert, dass wenn y die Funktion Φ gegen die Lane Emden Funktion Θ n mit n = 3 strebt. Außerdem folgt α und damit R, d.h. der Radius des Sterns strebt gegen Null. Andererseits strebt die Masse des Weißen Zwergs gegen einen endlichen Grenzwert lim M = 4π x ( ) 3/2 ( 2A 1 λ 2dΘ ) 3 πg B 2 dλ λ=λ 1 (Θ 3 ) wobei λ 1 (Θ 3 ) die Nullstelle der Lane Emden Funktion Θ 3 vom Index n = 3 ist. Für x und damit y = x 2 +1 (d.h. die Elektronen im ganzen WD sind relativistisch entartet) nähert sich die Zustandsgleichung der eines extrem relativistischen Elektronengas an. d.h. f(x) 2x 4 und P e = 2Ax 4 und ρ = Bx 3 oder P = K Ch ρ 4/3 (2.57) mit K Ch = 2A B 4/3 = ( ) 1/3 3 hc Y π 8m 4/3 e 4/3 = Ye 4/3 [cgs] (2.58) B wobei K Ch die Polytropenkonstante eines extrem relativistischen, vollständig entarteten Elektronengas ist. Die Chandrasekhar Grenzmasse ist die Masse einer n = 3 Polytrope mit K 3 Ye 4/3 = K Ch und hat den Wert M Ch = πm 2 B ( ) 3/2 ( hc Ye 2 λ 2dΘ ) 3 = 5.76Ye 2 M (2.59) G dλ λ=λ 1 (Θ 3 ) Sie ist die größte Masse, die ein Stern haben kann, der durch den Druck eines entarteten Elektronengases gestützt wird. Für symmetrische Materie (bestehend, z.b. aus 4 He, 12 C oder 16 O) ist Y e =.5, d.h. M Ch = 1.44M.

21 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE Entstehung und Entwicklung Weißer Zwerge Grundlagen des Sternaufbaus und der Sternentwicklung Ein Stern entsteht aus interstellarem Gas durch den Kollaps lokaler Verdichtungen (mit M > M Jeans ) und anschließender Fragmentation Treibende Kraft der Sternentwicklung ist die Gravitation Sterne verlieren Energie durch Abstrahlung (γ s,ν s). Die abgestrahlte Energie wird entweder durch Kernfusionsprozesse ersetzt (hydrostatische Brennphase) oder durch Gravitationsbindungsenergie (Stern kontrahiert, verdichtet und erhitzt (!) sich). Einschub: Virialsatz Statistische Aussage über ein System wechselwirkender Teilchen (siehe z.b. Chandrasekhar S. 49ff). Zur Ableitung des Virialsatzes geht man von der Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts aus: dp dr = GM r r 2 ρ bzw. dp = GM r dm r 4πr 4 mit dm r = 4πr 2 ρdr Integration über den Stern liefert M 4πr 3 dp M dm r = dm r GM r dm r r bzw. nach partieller Integration 4πr 3 P M M 12πr 2 dr dm r PdM r = E G wobei E G die Gravitationsbindungsenergie ist. Da der Druck an der Sternoberfläche verschwindet, ist der erste Term auf der linken Seite der obigen Gleichung gleich Null. Damit folgt der Virialsatz M E G = 3 P ρ dm r (2.6)

22 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 44 Betrachtet man ein ideales Gas mit P/ρ = RT/µ = 2/3c V T, so folgt aus dem Virialsatz M 2 E G = 3 3 c VTdM r = 2E T (2.61) wobei E T die thermische Energie und c V die spezifische Wärme (bei konstantem Volumen) des Gases sind. Kontrahiert ein Stern, so erhöht sich der Betrag seiner (negativen) Gravitationsbindungsenergie E G und seine Dichte nimmt zu. Die bei der Kontraktion freigesetzte Gravitationsbindungsenergie δe G > wird zur Hälfte abgestrahlt E rad = δe G /2. Die andere Hälfte erhöht die thermische Energie des Sterns (δe T = δe G /2 > ), d.h. der Stern wird heisser. Ein Stern kann nicht abkühlen! Solange sich die Sternmaterie durch ein ideales Gas beschreiben läßt, führt die durch die Gravitation angetriebene Entwicklung eines Sterns zu immer höheren Dichten und Temperaturen. Coulomb Abstoßung zwischen Atomkernen ( Z 1,Z 2 ) bewirkt Hierarchie der verschiedenen nuklearen Brennphasen in T Nukleare Brennphasen sind zeitlich und räumlich getrennt. Sie führen zu einer Zwiebelschalenstruktur des Sterns in späten Entwicklungsphasen. Die thermonukleare Asche einer Brennphase wird zum Brennstoff für die sich anschließende Brennphase. Ob eine weitere Brennphase stattfindet, hängt von der erreichbaren Maximaltemperatur und daher von der Sternmasse ab. Die Anzahl der thermonuklearen Brennphasen ist durch die Masse des Sterns bestimmt. Für M > 8 1M werden alle kernphysikalisch möglichen thermonuklearen Brennphasen durchlaufen.

23 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 45 Brennphase Brennstoff Zünd Asche Energie- Kühlung temperatur erzeugung durch [1 9 K] [1 18 erg/g] [Sonne: 6.3] H Brennen 1 H.2 4 He, 14 N 5 8 γ He Brennen 4 He.2 12 C, 16 O,.7 γ 22 Ne C Brennen 12 C.8 2 Ne, 24 Mg,.5 ν 16 O, 23 Na Ne Brennen 2 Ne O, 24 Mg,.1 ν 28 Si,... O Brennen 16 O 2 28 Si, 32 S.5 ν Si Brennen 28 Si Ni, A ν 56 Ni 6 1 n, 4 He, p 8 ν Kontraktion (des Zentrums des Sterns) führt zur Erhöhung der Entartung und zur Erhöhung der Zentraltemperatur, solange das Gas nicht stark entartet ist. Die möglichen Endstadien der Sternentwicklung sind WD, NS oder BH. Aus Sternentwicklungsrechnungen ergibt sich, dass die Kontraktion in guter Näherung selbstähnlich verläuft. Für Polytrope mit festem n gilt dies exakt [siehe Kippenhahn & Weigert, S. 191ff] Eine Entwicklung heißt selbstähnlich oder homolog, wenn r r = R = f = const. (2.62) R gilt, wobei r und R zwei beliebige radiale Positionen im Stern vor der Kontraktion sind, und r und R die entsprechenden Koordinaten nach der Kontraktion sind. Folgerung für den Sternaufbau: Im Fall einer homologen Entwicklung (2.62) gilt [siehe Kippenhahn & Weigert, S. 191ff] dρ ρ = 3dr r (2.63)

24 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 46 und dp p = 4dr r. (2.64) Parametrisiert man die Zustandsgleichung durch den Ansatz (das mittlere Molekulargewicht µ ist dabei konstant angenommen) ρ P α T δ so folgt dρ ρ = αdp p δdt T. (2.65) Kombiniert man die Beziehungen (2.63), (2.64) und (2.65), so erhält man dlnt dlnρ = 4α 3 3δ (2.66) Für ein ideales Gas gilt α = 1 und δ = 1, d.h. dlnt/dlnρ = 1/3, während im Falle eines entarteten Elektronengas α [3/5,3/4], δ und dlnt/dlnρ < sind. Mit Hilfe der Relation (2.66) läßt sich die Entwicklung eines Sterns in der T ρ Ebene anschaulich verstehen (siehe Abb. 2.4). Die Zündkurven sind durch die relevanten thermonuklearen bzw. pyknonuklearen Reaktionsraten bestimmt. In thermonuklearen Reaktionen ist die kinetische Energie der Reaktanten durch die Wärmebewegung der Atomkerne gegeben E kin = 3 2 kt, d.h. es existiert eine Schwellentemperatur für jede Brennphase. In pyknonuklearen Reaktionen ist die kinetische Energie der Reaktanten durch die Nullpunktsenergie der Ionen gegeben E = 3 ( ) 1/2 4π e ρ 1/2, 2 3 Am u d.h. es existiert eine Schwellendichte ρ pyk für jede Reaktion.

25 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 47 Der Übergang zwischen beiden Brennmoden (als Funktion von ρ und T) ist kontinuierlich. Für ρ > ρ pyk setzten die Kernreaktionen sehr schnell ein. Typische Werte (τ pyk 1 5 a) sind: ρ pyk ( 1 H 4 He) 1 6 [g/cm 3 ], ρ pyk ( 4 He 12 C) 1 9 [g/cm 3 ] ρ pyk ( 12 C 24 Mg) 1 1 [g/cm 3 ] (siehe Salpeter & von Horn 1969, ApJ 155, 183; Kippenhahn & Weigert, S.37; Shapiro & Teukolsky S. 72ff). Umfangreiche Sternentwicklungsrechnungen ergeben das folgende Bild (siehe auch Abb.2.5): - Kein H Brennen, wenn M H <.8M. Sterne entarten bereits bei der Kontraktion zur Hauptreihe. - Kein He Brennen, wenn M He <.35M. Entartung tritt nach dem H Brennen auf falls M <.5M. Im Massenbereich.5 < M/M < 2.5 durchläuft ein Stern das He Brennen in Form eines He Blitzes. - Kein C Brennen, wenn M C <.9M. Entartung tritt nach dem He Brennen auf (M < 8 1M ). Wie wir bereits früher gesehen haben gilt für die mittlere Masse von Weißen Zwergen M WD (.6 ±.1)M. Die nukleare Entwicklungszeit von Sternen mit einer solchen Masse ist größer als das Alter des Universums. Da man aber WD auch in jungen Sternhaufen findet, müssen ihre Vorläufersterne massereicher gewesen sein, da diese eine kürzere Entwicklungszeit haben. Weiterhin müssen die massereicheren Vorläufersterne von WD während ihrer Entwicklung einen beträchtlichen Massenverlust erfahren haben. Die Beziehung zwischen der Anfangsmasse M i und der Endmasse M f (M i ) läßt sich aus Beobachtungen junger (offener) Sternhaufen gewinnen. Man findet M crit = max i {M i } = M i (M f M Ch ) = (8±2)M Entwicklung von Weißen Zwergen Unter der Annahme M = const. folgt aus der Masse Radius Beziehung R(t) = const. bzw. Ṙ =. Damit gilt für die zeitliche Änderung der Gravitationsbindungsenergie Ė G = t M GM r r dm r =,

26 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 48 Abbildung 2.4: Entwicklungspfade der Zentren dreier Sterne (schwarze Linien) der Massen M 1, M 2 und M 3 in der Temperatur Dichte Ebene. Das Vektorfeld zeigt die Richtung an, in die sich ein homolog kontrahierender Stern entwickeln würde. Im linken, oberen Teil der Figur ist die Zusandsgleichung die eines idealen Gas, d.h. die Pfeile haben den Anstieg 1/3. Die grüne Linie ist durch η = definiert. Unterhalb dieser Linie muss die Entartung der Elektronen berücksichtigt werden. Auf der gelben Linie gilt α = 3/4 und damit dlnt/dlnρ =, d.h. auf der Linie sind die Pfeile horizontal und unterhalb der Linie zeigen sie nach unten. Oberhalb der roten, blauen bzw. rosa Linie findet H Brennen, He Brennen, bzw. C Brennen statt. Die Entwicklung des Sterns mit der Masse M 1 wird kaum durch Entartungseffekte beeinflusst; sein Zentrum heizt sich während der Kontraktion kontinuierlich auf. Im Zentrum des Sterns der Masse M 2 (< M 1 ) tritt Entartung auf; die homologe Kontraktion kann die Temperatur maximal auf einige 1 7 K erhöhen. Im Falle des Sterns der Mass M 3 (< M 2 ) ist die maximal erreichbare Zentraltemperatur noch geringer. Für M 2 und M 3 wird die Zündtemperatur für die Heliumfusion nicht erreicht.

27 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 49 Abbildung 2.5: Entwicklung der Zentraltemperatur und Zentraldichte in der Dichte Temperatur Ebene von Sternen unterschiedlicher Masse (Werte in Einheiten von Sonnenmassen). Die gestrichelten Linien sind die Zündkurven für H-, He- und C Brennen. Die gestrichelte Gerade markiert (bei nicht allzu hohen Temperaturen) die ungefähre Grenze zwischen nicht entartetem und entartetem Elektronengas [Iben, 1991, ApJ Suppl 76, 55].

28 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 5 d.h. es wird keine Gravitationsbindungsenergie frei. Nimmt man weiterhin an, dass Ė nuklear =, d.h. dass keine thermonukleare Energieerzeugung stattfindet, so folgt für die Leuchtkraft L des WD L = ĖT, d.h. er bezieht seine Leuchtkraft vollständig aus seinem thermischen Energiereservoir. Daher gilt: Die Entwicklung von WD besteht aus Abkühlung! Die Abkühlzeit ergibt sich aus τ = E T Ė T = E T L. Mit L = 4πR 2 σteff 4 folgt logl = 4logT eff +2log[R(M)]+const., d.h. für eine gegebene Masse gilt: logl = 4logT eff +const. Beobachtungen liefern als typische Werte L = L R 1 2 R T eff (1...2)1 4 K Eine Abschätzung der Abkühlzeit von WD ergibt τ 3 ( kt M/M 5µm B L L/L ) 5/7 wobei T = T(r ) mit r = r(η = ) die Temperatur am Rande des entarteten Teils des (praktisch isothermen) WD ist. Für T 31 7 K und µ = 14 (C+O) erhält man ( ) 5/7 t = M/M [Jahre]. L/L

29 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 51 Abbildung 2.6: Künstlerische Darstellung eines teilweise bereits auskristallisierten Weißen Zwerges. Wenn ein Weißer Zwerg auskühlt, beginnt er in seinem Inneren, wo die größten Dichten vorherrschen, auszukristallisieren. Da viele Weiße Zwerge im Inneren aus Kohlenstoff (und Sauerstoff) bestehen, hat man es also mit unvorstellbar dichten Diamanten zu tun. [Bildquelle: Langfristig (t > 1 1 Jahre) wird sich der Weiße Zwerg aufgrund der quantenmechanischen Nullpunktsbewegung der Atomkerne in eine (rostfreie, da kein Sauerstoff mehr vorhanden) Eisenkugel verwandeln, da Eisenatomkerne die maximale Bindungsenergie aller Atomkerne besitzen.

30 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 52 zusätzliche Energiequellen und Senken für WD: Neutrinoverluste sind in WD mit L >.1L die dominierende Energiesenke (Plasmon Neutrino Prozess) Latente Wärme, die bei der Kristallisation der Ionen (Phasenübergang 1. Art) frei wird Gravitationsbindungsenergie, die durch die Entmischung des WD(nach teilweiser Kristallisation) frei wird Inverser β Zerfall Betrachten wir ein Nuklid (A,Z) mit A Nukleonen, Z Protonen, N = A Z Neutronen, Kernmasse M K (A,Z) und Atommasse M A (A,Z) = M K (A,Z)+Zm e β Zerfall (A,Z 1) (A,Z)+e + ν e findetspontanstatt,wennm K (A,Z 1) > M K (A,Z)+m e,bzw.m A (A,Z 1) > M A (A,Z) ist. Inverser β Zerfall (Elektroneneinfang) e +(A,Z) (A,Z 1)+ν e ist möglich, wenn die Dichte (und damit auch die Entartung) der Elektronen so groß ist, dass ihre Fermi Energie die Bedingung [ E F = m e c 2 1+ ( pf m e c ) ] 2 1/2 1 > M A(A,Z 1) M A (A,Z) erfüllt, d.h. die Reaktion e +(A,Z) (A,Z 1)+ν e exotherm ist. Relevante Nuklide, die in WD inversen β Zerfall erleiden, sind gg Kerne ( 4 He, 12 C, 16 O, 2 Ne, 24 Mg und 56 Fe; besonders stark gebunden) für die M A (A,Z 1) M A (A,Z) > M A (A,Z 2) M A (A,Z 1). Wenn E F > M A (A,Z 1) M A (A,Z) folgt daraus E F > M A (A,Z 2) M A (A,Z 1), d.h. es kann ein doppelter inverser β Zerfall (A,Z) (A,Z 2) stattfinden.

31 KAPITEL 2. WEISSE ZWERGE 53 Für jeden Kern (A,Z) existiert eine Schwellendichte ρ β oberhalb derer inverser β Zerfall stattfinden kann. Reaktionen E F (MeV) ρ β [g/cm 3 ] 4 He 3 H+n 4n C 12 B 12 Be O 16 N 16 C Mg 24 Na 24 Ne Fe 56 Mn 56 Cr Inverser β Zerfall ist von entscheidender Bedeutung für die Entstehung von Neutronensternen und die Hochdichte Zustandgleichung (siehe Kap. 4).