Facetten der Codierungstheorie
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- Erwin Glöckner
- vor 6 Jahren
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1 . p. 1/15 Facetten der Codierungstheorie Axel Kohnert, Alfred Wassermann Aachen SPP 1489 Februar Universität Bayreuth
2 . p. 2/15 Facetten Kombinatorische Optimierung Geometrie Kryptographie
3 . p. 3/15 Suche nach Codes mit Minimialdistanz d Suche nach [n, k, d] q -Code =
4 . p. 3/15 Suche nach Codes mit Minimialdistanz d Suche nach [n, k, d] q -Code = Suche nach Generatormatrix G
5 . p. 3/15 Suche nach Codes mit Minimialdistanz d Suche nach [n, k, d] q -Code = Suche nach Generatormatrix G G hat Minimumdistanz d
6 . p. 3/15 Suche nach Codes mit Minimialdistanz d Suche nach [n, k, d] q -Code = Suche nach Generatormatrix G G hat Minimumdistanz d Hamming-Gewicht jeder der q k 1 möglichen Nichtnull-Linearkombination (=vγ) der Zeilen d ist
7 . p. 3/15 Suche nach Codes mit Minimialdistanz d Suche nach [n, k, d] q -Code = Suche nach Generatormatrix G G hat Minimumdistanz d Hamming-Gewicht jeder der q k 1 möglichen Nichtnull-Linearkombination (=vγ) der Zeilen d ist Anzahl der Nullen jeweils (n d) ist.
8 . p. 4/15 Suche nach Generatormatrix mit Minimialdistanz d Insgesamt q k 1 mögliche Spalten γ einer Generatormatrix G.
9 . p. 4/15 Suche nach Generatormatrix mit Minimialdistanz d Insgesamt q k 1 mögliche Spalten γ einer Generatormatrix G. Der Beitrag der Spalte γ zum Codewort vg (des Informationswort v) ist gerade v, γ.
10 . p. 4/15 Suche nach Generatormatrix mit Minimialdistanz d Insgesamt q k 1 mögliche Spalten γ einer Generatormatrix G. Der Beitrag der Spalte γ zum Codewort vg (des Informationswort v) ist gerade v, γ. Konstruiere den gesuchten Code als Lösung eines Diophantischen Gleichungssystem.
11 . p. 5/15 Diophantischen Gleichungssystem kontrolliere, dass v, γ nicht zu oft Null wird.
12 . p. 5/15 Diophantischen Gleichungssystem kontrolliere, dass v, γ nicht zu oft Null wird. Definiere die Matrix M = M(q, k) als die ( ) ( ) q k 1 q k 1 Matrix (Zeilen = Informationswort v, Spalten =γ) durch M v,γ := { 1 falls v, γ = 0 0 sonst
13 . p. 6/15 Kombinatorische Optimierung Es ex ein [n, k, d] q -Code es existiert eine Lösung x N qk 1 von n d n d Mx T. n d n d mit der Nebenbedingung x i = n
14 . p. 7/15 Inzidenzgeometrie Wegen der Bilinearität von v, γ genügt es die q k 1 q 1 möglichen Zeilen und Spalten zu betrachten, deren erste Eintrag = 0 auf 1 normiert ist.
15 . p. 7/15 Inzidenzgeometrie Wegen der Bilinearität von v, γ genügt es die q k 1 q 1 möglichen Zeilen und Spalten zu betrachten, deren erste Eintrag = 0 auf 1 normiert ist. Neue Interpretation für M(q, k):
16 . p. 7/15 Inzidenzgeometrie Wegen der Bilinearität von v, γ genügt es die q k 1 q 1 möglichen Zeilen und Spalten zu betrachten, deren erste Eintrag = 0 auf 1 normiert ist. Neue Interpretation für M(q, k): Spalten werden durch die Punkte γ der projektiven Geometrie PG(k 1, q) gelabelt.
17 . p. 7/15 Inzidenzgeometrie Wegen der Bilinearität von v, γ genügt es die q k 1 q 1 möglichen Zeilen und Spalten zu betrachten, deren erste Eintrag = 0 auf 1 normiert ist. Neue Interpretation für M(q, k): Spalten werden durch die Punkte γ der projektiven Geometrie PG(k 1, q) gelabelt. Zeilen ebenso durch die Punkte v.
18 . p. 7/15 Inzidenzgeometrie Wegen der Bilinearität von v, γ genügt es die q k 1 q 1 möglichen Zeilen und Spalten zu betrachten, deren erste Eintrag = 0 auf 1 normiert ist. Neue Interpretation für M(q, k): Spalten werden durch die Punkte γ der projektiven Geometrie PG(k 1, q) gelabelt. Zeilen ebenso durch die Punkte v. Eintrag M v,γ ist 1 Punkt γ v.
19 . p. 8/15 Inzidenzgeometrie M ist die Inzidenzmatrix zwischen Punkten und Hyperebenen in PG(k 1, q).
20 . p. 8/15 Inzidenzgeometrie M ist die Inzidenzmatrix zwischen Punkten und Hyperebenen in PG(k 1, q). 0/1-Lösungen sind Punktmengen in PG(k 1, q).
21 . p. 8/15 Inzidenzgeometrie M ist die Inzidenzmatrix zwischen Punkten und Hyperebenen in PG(k 1, q). 0/1-Lösungen sind Punktmengen in PG(k 1, q). Es ex ein projektiver [n, k, d] q -Code es gibt n Punkte in PG(k 1, q) mit der Eigenschaft: jede Hyperebene enthält maximal n d dieser Punkte.
22 . p. 8/15 Inzidenzgeometrie M ist die Inzidenzmatrix zwischen Punkten und Hyperebenen in PG(k 1, q). 0/1-Lösungen sind Punktmengen in PG(k 1, q). Es ex ein projektiver [n, k, d] q -Code es gibt n Punkte in PG(k 1, q) mit der Eigenschaft: jede Hyperebene enthält maximal n d dieser Punkte. Arc-Problem in PG(k 1, q)
23 . p. 9/15 Inzidenzgeometrie Normalform der Generatormatrix liefert dann Normalform der Punktmenge.
24 . p. 9/15 Inzidenzgeometrie Normalform der Generatormatrix liefert dann Normalform der Punktmenge. Die Berücksichtigung von Körperautomorphismen liefert, dass die komplete Automorphismengruppe PΓL(k 1, q) von PG(k 1, q) betrachtet wird.
25 . p. 9/15 Inzidenzgeometrie Normalform der Generatormatrix liefert dann Normalform der Punktmenge. Die Berücksichtigung von Körperautomorphismen liefert, dass die komplete Automorphismengruppe PΓL(k 1, q) von PG(k 1, q) betrachtet wird. Hilft bei Klassifizierungsfragen.
26 . p. 9/15 Inzidenzgeometrie Normalform der Generatormatrix liefert dann Normalform der Punktmenge. Die Berücksichtigung von Körperautomorphismen liefert, dass die komplete Automorphismengruppe PΓL(k 1, q) von PG(k 1, q) betrachtet wird. Hilft bei Klassifizierungsfragen. nützliches Zusammenspiel: Geometrie Codierungstheorie
27 . p. 10/15 Hjelmslev Geometrie statt endlicher Körper: Ring Z 4 := Z/4Z.
28 . p. 10/15 Hjelmslev Geometrie statt endlicher Körper: Ring Z 4 := Z/4Z. Die projektive Geometrie der freien Untermoduln von Z k 4 wird mit PHG(k 1, Z 4) bezeichnet.
29 . p. 10/15 Hjelmslev Geometrie statt endlicher Körper: Ring Z 4 := Z/4Z. Die projektive Geometrie der freien Untermoduln von Z k 4 wird mit PHG(k 1, Z 4) bezeichnet. Beispiel einer endlichen projektiven Hjelmslev Geometrie.
30 . p. 10/15 Hjelmslev Geometrie statt endlicher Körper: Ring Z 4 := Z/4Z. Die projektive Geometrie der freien Untermoduln von Z k 4 wird mit PHG(k 1, Z 4) bezeichnet. Beispiel einer endlichen projektiven Hjelmslev Geometrie. Allgemeiner funktioniert dies für Kettenringe, d.h. Ringe deren Idealverband eine Kette bildet.
31 . p. 11/15 Hjelmslev Geometrie und Codierungstheorie Der Nordstrom-Robinson Code ist das bekannteste Beispiel eines binären nicht-linearen Codes, der besser (höhere Minimaldistanz bei gleicher Länge und Größe) ist, als es mit linearen Codes erreicht werden kann.
32 . p. 12/15 Hjelmslev Geometrie und Codierungstheorie Man erhält ihn als Bild des Z 4 Codes mit der Generatormatrix unter der Gray Abbildung (0 00, 1 01, 2 11, 3 10).
33 . p. 12/15 Hjelmslev Geometrie und Codierungstheorie Man erhält ihn als Bild des Z 4 Codes mit der Generatormatrix unter der Gray Abbildung (0 00, 1 01, 2 11, 3 10). Im Allgemeinen auch nicht freie Zeilen und Spalten.
34 . p. 13/15 Hjelmslev Geometrie und Codierungstheorie Das Zusammenspiel von Geometrie und Codierungstheorie ist nicht mehr so direkt.
35 . p. 13/15 Hjelmslev Geometrie und Codierungstheorie Das Zusammenspiel von Geometrie und Codierungstheorie ist nicht mehr so direkt. Geometrie: einige bekannte geometrische Konstruktionen aus PG(k 1, q) funktionieren auch in PHG(k 1, R) wenn R ein beliebiger Kettenring ist.
36 . p. 13/15 Hjelmslev Geometrie und Codierungstheorie Das Zusammenspiel von Geometrie und Codierungstheorie ist nicht mehr so direkt. Geometrie: einige bekannte geometrische Konstruktionen aus PG(k 1, q) funktionieren auch in PHG(k 1, R) wenn R ein beliebiger Kettenring ist. Codierungstheorie: neben dem Hamming- Gewicht weitere Gewichte ( z.b. Lee-Gewicht) wichtig. Was ist die richtige Definition der Äquivalenz?
37 . p. 14/15 Inzidenzgeometrie und Kryptographie Sicherheit von S-Boxen
38 . p. 14/15 Inzidenzgeometrie und Kryptographie Sicherheit von S-Boxen Eine boolesche Funktion f : F2 m Fn 2 (almost perfect nonlinear) falls für alle a F2 m\{0} und alle b Fn 2 gilt: heißt APN {x F m 2 : f(x+a) f(x) = b} 2.
39 . p. 14/15 Inzidenzgeometrie und Kryptographie Sicherheit von S-Boxen Eine boolesche Funktion f : F2 m Fn 2 (almost perfect nonlinear) falls für alle a F2 m\{0} und alle b Fn 2 gilt: heißt APN {x F m 2 : f(x+a) f(x) = b} 2. Dies ist eine Eigenschaft, die Angriffe (differential cryptanalysis) erschwert.
40 . p. 15/15 Inzidenzgeometrie und Kryptographie Man erhält eine Generatormatrix Γ( f) eines linearen [2 m, m+n] 2 -Codes indem man pro Spalte Urbild x T und Bild f(x) T notiert.
41 . p. 15/15 Inzidenzgeometrie und Kryptographie Man erhält eine Generatormatrix Γ( f) eines linearen [2 m, m+n] 2 -Codes indem man pro Spalte Urbild x T und Bild f(x) T notiert. APN kann als Eigenschaft des Codes zu Γ( f) definiert werden.
42 . p. 15/15 Inzidenzgeometrie und Kryptographie Man erhält eine Generatormatrix Γ( f) eines linearen [2 m, m+n] 2 -Codes indem man pro Spalte Urbild x T und Bild f(x) T notiert. APN kann als Eigenschaft des Codes zu Γ( f) definiert werden. Verbindung zur endlichen Geometrie.
43 . p. 15/15 Inzidenzgeometrie und Kryptographie Man erhält eine Generatormatrix Γ( f) eines linearen [2 m, m+n] 2 -Codes indem man pro Spalte Urbild x T und Bild f(x) T notiert. APN kann als Eigenschaft des Codes zu Γ( f) definiert werden. Verbindung zur endlichen Geometrie. Normalform (bzgl CCZ-Äquivalenz) und Klassifikation von APN Funktionen.
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