Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik

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1 Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Andreas Binder Praktiku Grundlagen der Elektrotechnik Versuch 5 Schwingkreise & Wellenausbreitung VORBEREITUNGSAUFGABEN: LÖSUNGEN

2 Praktiku ETiT V5 / Vorbereitungsaufgaben V5 5.9 Vorbereitungsaufgaben SERIENSCHWINGKREIS Gegeben ist ein Serienschwingkreis, bestehend aus eine Kondensator it einer Kapazität von µf, einer Spule it einer Induktivität von 93 H und eine Spulenwiderstand von Bestien Sie den Phasenverschiebungswinkel zwischen Stro und Spannung i Serienschwingkreis bei den Frequenzen: a) f =, b) bei der Resonanzfrequenz f, und c) für f! d) Skizzieren Sie das Diagra φ(ω) qualitativ! Lösung: a) L LC ( ) arc tan arc tan C RC R π a) f : li( ) arc tan arc tan( ) b) f f : 4π arc tan f LC arc tan π frc LC c) f : li ( ) arc tan arc tan( ) RC d) Skizze:.5 P π. Berechnen Sie die Resonanzfrequenz f und die zugehörige Kreisfrequenz ω für den a) verlustlosen und b) verlustbehafteten Serienschwingkreis! c) Wie groß ist die Ipedanz bei Resonanz i Fall a) und b)?

3 Praktiku ETiT V5 / 3 Vorbereitungsaufgaben V5 Lösung: a) Verlustloser Serienschwingkreis: f f 36.8 Hz π LC π μf93 H 76.7 s b) Verlustbehafteter Serienschwingkreis: f f 36.8 Hz,verlustbehaftet f,verlustlos 76.7 s,verlustbehaftet L LC c) Z res j L j j C LC C L LC c) Z res R j L R j 4.6 j R C LC C 3. a) Welche Güte besitzt der verlustbehaftete Serienschwingkreis? b) Wie ist die Halbwerts- Bandbreite Δω definiert? c) Geben Sie die Forel an. d) Wie groß ist Δω/ω? e) Wie kann die Resonanzkurve I(ω) schärfer ausgebildet werden, inde die Halbwerts-Bandbreite halbiert wird, ohne die Resonanzkreisfrequenz ω zu verändern? L Lösung: a) Q 93 H Q R C 4.6 Ω μf b) Die Halbwerts-Bandbreite Δω definiert den Frequenzbereich ω ω ω + Δω, innerhalb de I(ω) größer als der halbe Wert des Resonanzaxialwerts I(ω ) = U/R ist. 3 C c) 3 R Q L 3.73 d).8.8% Q 95.5 e) U ω zu halbieren, ohne ω zu verändern, uss R halbiert werden. Z. B. könnte eine andere Spule it gleicher Induktivität und halbe Widerstand die vorhandene Spule ersetzen. R,3. neu 4. a) Wo liegt die Nutzspannung bei Anwendung des verlustbehafteten Serienschwingkreises als Tiefpass, an der Spule oder a Kondensator? b) Berechnen Sie dazu das Verhältnis der Ausgangs- zu der Eingangsspannung: (i) allgeein, (ii) bei der Resonanzfrequenz. c) Geben Sie den Zahlenwert zu (ii) an! Lösung: a) Die Nutzspannung liegt über den Kondensator. U b) (i) C.5 P U R C LC

4 Praktiku ETiT V5 / 4 Vorbereitungsaufgaben V5 (ii) U C U U C Q R C R L C 93 H c) 95.5 U 4.6 μf 5. a) Berechnen Sie die Zeitkonstante T des verlustbehafteten Serienschwingkreises bei Einschwingvorgang i aperiodischen Grenzfall! b) Wie groß sind die Frequenz und die Kreisfrequenz, bei der die Spannungen an der Spule (inklusive Spulenwiderstand) und a Kondensator gleich groß sind? c) U wie viel Prozent weicht diese Frequenz von der Resonanzfrequenz ab? L 93 H Lösung: a) T 83.9s R 4.6 R C R C L L - b) 76,95 s f 36,68 Hz LC c) weicht u -,74% von ab. 6. Geben Sie die Kreisfrequenzen des verlustbehafteten Serienschwingkreises a) ω C (die Spannung a Kondensator ist dabei a größten) und b) ω L (die Spannung an der Spule ist dabei a größten) an! c) U wie viel Prozent weichen diese Kreisfrequenzen von der Resonanzkreisfrequenz ω ab? d) Skizzieren Sie dazu den qualitativen Verlauf von U R,L, U C in Abhängigkeit von ω! Lösung: a) R C C L R - C s LC L C R - b) L L 76.3 s C L c) - C s C weicht u -.7 % von LC c) L.7 L weicht u.77 % von ab. d) Skizze: ewertung: für koplette Zeichnung U R,L für koplette Zeichnung U C ab.

5 Praktiku ETiT V5 / 5 Vorbereitungsaufgaben V5 PARALLELSCHWINGKREIS Gegeben ist ein Parallelschwingkreis, bestehend aus eine verlustfreien Kondensator C it einer Kapazität von µf, einer verlustbehafteten Spule it einer Induktivität von 93 H und eine Spulenwiderstand von R L = Berechnen Sie die Resonanzfrequenz f und die Resonanzkreisfrequenz ω, sowohl a) für den verlustlosen als auch b) für den verlustbehafteten Parallelschwingkreis bei Phasenresonanz, d.h. der Stro i ist in Phase it u bei ω = ω! c) Begründen Sie den Unterschied der Werte f bei a) und b)! Lösung: a) verlustloser Parallelschwingkreis f f 77.4 Hz LC 93 H μf s b) verlustbehafteter Parallelschwingkreis L CRL f f π.9988 f, verlustlos 77.5 Hz LC L CR - C s c) Begründung: R C = R L = 4.6 Ω. Wäre R C = R L, dann wäre I C = I L bei Phasenresonanz, und das würde zu f,verlustlos = f,verlustbehaftet führen. 8. a) Wie groß ist die axiale Ipedanz des verlustlosen Parallelschwingkreises? b) Wie groß ist die axiale Ipedanz des verlustbehafteten Parallelschwingkreises it R C = R L = 4.6 Ω bei der Annahe der Phasenresonanz (= Stro i und die Spannung u sind in Phase). c) Berechnen Sie den Wert bei R C = R L für den verlustarer Schwingkreis. d) Überprüfen Sie, ob der Schwingkreis verlustar ist, also R L = R C = R < e) Berechnen Sie Z ax it der Näherungsforel für den verlustaren Parallelschwingkreis! Wie groß ist der Fehler in Prozent zu b)? Lösung: a) Z ax L C!

6 Praktiku ETiT V5 / 6 Vorbereitungsaufgaben V5 L R b) Z ax C R L 93 H c) Z ax RC 4.6 μf L 93 H d) C μf Also : R => Ja, der Schwingkreis ist verlustar. L 93 H e) Z ax RC 4.6 μf Z ax,e) Z ax,b) Fehler zu in b) berechneten Wert Z ax : %,3 % Z ax,b) 9. a) Wie groß ist das Verhältnis des Oh schen Reststros zur Eingangsspannung bei verlustbehafteten Parallelschwingkreis (hier: R C = R L = 4.6 Ω)? b) Wie groß ist der Oh sche Reststro bei einer Spannung U = V (Effektivwert)? c) Geben Sie den qualitativen Verlauf von I, I C, I L in Abhängigkeit von C als Skizze an! I R I Lösung: a).49 U L U 93 H R C μf R 4.6 b) I U V.49 A L 93 H R (4.6 ) C μf c) Skizze: 4.6 LECHER-LEITUNG. Eine Zweidrahtleitung aus zwei parallelen hohlen Rundleitern hat einen Leiter- Mittenabstand von a = 6. Der Leiterradius beträgt R = 3,5. Die Wandstärke der Hohlleiter kann gegenüber de Radius vernachlässigt werden (d << R). Berechnen Sie a) den Kapazitäts- und b) den Induktivitätsbelag der Leitung. c) Wie hoch ist die Ausbreitungsge-

7 Praktiku ETiT V5 / 7 Vorbereitungsaufgaben V5 schwindigkeit v der Wanderwelle? d) Welcher Unterschied besteht zur axial öglichen Ausbreitungsgeschwindigkeit? As π πε r pf Lösung: a) C' V 4.95 a R ln ln R 3.5 μ μh b) a R nh L' ln π R c) ν c L'C' s εμ s d) Da die Leitung die Perittivität und Pereabilität des Vakuus hat, gibt es keinen Unterschied zur Vakuu-Lichtgeschwindigkeit als axial öglicher Ausbreitungsgeschwindigkeit.. a) Berechnen Sie die Wellenlänge der elektroagnetischen Wanderwelle auf einer Zweidrahtleitung. Die, die Leitung speisende Spannungsquelle ( Sender ) arbeitet it f = MHz)! Die Welle wandert it Vakuu-Lichtgeschwindigkeit c! b) Wie εμ lang uss die Leitung sein, u zuindest eine Periode einer stehenden Welle eröglichen zu können? c) Wie groß uss diese Leitungslänge sein, u zuindest eine Periode einer stehenden Welle eröglichen zu können, falls die Sendefrequenz auf 5 Hz reduziert wird? d) Wie viele Knoten und Schwingungsbäuche der Spannung zwischen den Leitern sind dann entlang der Leitung festzustellen, wenn diese a Leitungsende offen ist? c Lösung: a) f MHz, 69.9 c f μ ε f b) l 69.9 c c) * * c f 5 Hz, * * l k * * f μ ε f d) 3 Schwingungsbäuche und zwei Schwingungsknoten.. a) Wie groß ist der Wellenwiderstand einer in Luft verlegten Zweidrahtleitung it nh pf L und C 4.95? b) U wie viel Prozent verändert sich der Wellenwiderstand der Leitung gegenüber seine Wert in Luft, falls nun ε r = 4 ist? c) Wie groß ist nun der Wellenwiderstand? Lösung: a) nh L Z Z 3.3 C pf 4.95

8 Praktiku ETiT V5 / 8 Vorbereitungsaufgaben V5 * b) C ~ ε r Z ~ Z Z Z * r Z Z Verringerung des Wellenwiderstands u 5% 4 * c) Z.565 r pf 3. Eine verlustlose Zweidrahtleitung (Kapazitätsbelag C 4.95, Induktivitätsbelag nh L ) wird it einer Spannungsquelle gespeist, die it der Frequenz f = MHz arbeitet. a) Wie lang uss die Leitung inial sein, dait eine stehende Welle it der Viertelwellenlänge auftritt? b) Wie groß ist die Eigenfrequenz der Leitung bei dieser Länge? c) Wie groß wäre die Eigenfrequenz bei einer Leitungslänge von l = c? d) Berechnen Sie alternativ zu b) die Eigenfrequenz, wenn Sie die Leitung näherungsweise als verlustlosen Serienresonanzkreis it C C l und L L l auffassen! e) Wie groß ist die Abweichung des Ergebnisses zu c) in Prozent? k Lösung: a) c c, l L C s 4 l c 7. 7c 4 f k c b) f s d ( l aus a)) MHz Die Leitung wird it ihrer Eigenfrequenz gespeist (Resonanzanregung!) 4 l c k c c) f s d (l c) MHz 4 c 4 c 4 d) f. 637 fd MHz MHz π L C l π L C 4 l f fd,b) e) F. 363Der Fehler beträgt -36,3 %! f d,b) 4. Die Lecher-Leitung wird reflexionsfrei abgeschlossen. Ein Spannungsabgriff it angeschlossener Glühlape wird zur Erfassung des Signals verwendet. a) Wie leuchtet die Glühlape entlang der Leitung? b) Waru? Lösung: a) Die Glühlape leuchtet gleichäßig entlang der Leitung. b) Die Begründung: Die Leitung ist reflexionsfrei abgeschlossen. Deshalb können sich keine stehende Wellen auf der Leitung ausbilden.

9 Praktiku ETiT V5 / 9 Vorbereitungsaufgaben V5 Es existieren soit keine Spannungsbäuche (), die zu periodischen Helligkeitsänderungen des Läpchens entlang der Leitung führen würden (). 5. Skizzieren Sie die stehenden Wellen der Stro- und Spannungsverteilung auf der Leitung it eine a) offenen, und b) kurzgeschlossenen Leitungsende! Nehen Sie an, dass gilt! Lösung: a) Offenes Leitungsende: 5 l 4 I U Bewertung: Richtige Leitungslänge = 5% der Wellenlänge: Richtige Spannungsverteilung:, richtige Stroverteilung: b) Kurzgeschlossenes Leitungsende: U I Bewertung: Richtige Leitungslänge = 5% der Wellenlänge: Richtige Spannungsverteilung:, richtige Stroverteilung: 6. Erfasst a) ein Tastkopf, b) eine Induktionsschleife a besten einen Spannungs- oder ein Strobauch der stehenden Wellen auf einer Zweidraht-Leitung, wenn die Helligkeit des angeschlossenen Läpchens als Erfassungskriteriu verwendet wird? Waru? Lösung: a) Ein Tastkopf eignet sich zur Erfassung der Spannungsbäuche, da der Tastkopf direkt die Spannung zwischen den beiden Leitern abgreift.

10 Praktiku ETiT V5 / Vorbereitungsaufgaben V5 Das an den Kleen des Tastkopfes angeschlossene Läpchen leuchtet uso heller, je höher die Kleenspannung ist. b) Eine Induktionsschleife ist für die Erfassung der Strobäuche geeignet. An eine Strobauch (axialer Wert des Stroes) wird durch das vo Wechselstro erregte Magnetfeld die axiale Spannung in die Schleife induziert. Diese Spannung treibt einen Stro durch das angeschlossene Läpchen, so dass das Läpchen a hellsten leuchtet. 7. Skizzieren Sie den Einschwingvorgang einer verlustlosen hoogenen Leitung it offene Leitungsende während einer Einschwingperiode nach de sprungförigen Einschalten einer Gleichspannung U in folgender Weise: a) Skizzieren Sie die Spannungsverteilung entlang der Leitung! b) Leiten Sie daraus die Spannungsverteilung a Ausgang ab (Skizze)! c) Skizzieren Sie die Spannung a Eingang! d) Wie groß ist der Reflexionsfaktor a Leitungsende? e) Wie groß ist die Schwingungsperiode a Ausgang bei v = c und l =? f) Wie groß ist die Einschwingfrequenz der Spannung? Lösung: a) b) c) Skizze: jeweils, in Sue also.5 P

11 Praktiku ETiT V5 / Vorbereitungsaufgaben V5 d) r = () l e) T 4 tp μs v c 8 3 s f) f 7. 5 MHz T 8. Eine Leitung wird it einer Ipedanz Z abgeschlossen, die 8% des Wellenwiderstandes ist. Wie groß sind a) der Reflexions- und b) der Brechungsfaktor? Wie groß sind beide Werte bei c) Z = und d) Z? Lösung: a) Es gilt: b = r +. Für Z. 8 Z W folgt: Z Z W. 8 Z W Z W. 8 r. Z Z W. 8 Z W Z W. 8 Z. 8 Z W. 6 b) b. 888 Z Z W. 8 Z W Z W. 8 c) Für Z = : r = - (), b = () d) Für Z : r = (), b = () DIPOLANTENNE 9. a) Erläutern Sie die Funktionsweise (Feldabstrahlung) des it Wechselspannung gespeisten Dipols in einzelnen Schritten ähnlich wie i Skript. b) Wieso funktioniert die Abstrahlung bei Gleichstrospeisung nicht? Lösung: a). Die Wechselspannung bewirkt stetige Uladungen der beiden Dipolenden.. Während den Uladungen sind ein Strofluss i Dipol und daher eine Änderung des E- Felds vorhanden. 3. Der Strofluss I und die Änderung des E-Felds rufen ein H-Feld hervor, das sich betragsäßig auch ständig ändert. 4. Das sich dabei ändernde H-Feld und das ih entsprechende B-Feld induzieren ein E-Feld nach de Induktionsgesetz. 5. Die neu entstehenden E- und H-Felder verdrängen die vorhandenen E- und H-Felder nach außen. Eine Feldabstrahlung erfolgt. b) Die Feldabstrahlung kann bei Gleichstrospeisung nicht funktionieren, da die benötigten stetigen Uladungen der beiden Dipolenden bei Gleichstrosspeisung und die Feldänderung nicht vorhanden sind.. a) Wie lang uss eine Dipolantenne eines (λ/)-dipols sein, wenn die Wellenlänge λ = 6 c beträgt? b) Berechnen Sie die zugehörige Frequenz! c) Waru hat ein λ-dipol etwa die vierfache Eingangsipedanz eines (λ/)-dipols?

12 Praktiku ETiT V5 / Vorbereitungsaufgaben V5 6 c Lösung: a) Dipollänge = 3 c 8 c b) f 3 /s f 5 MHz. 6 c) Verglichen zu (λ/)-dipol führt der λ-dipol den Stro in beiden parallelen Leitern. Bei gleicher elektrischer Leistung folgt: P i Z i / Z / P, 5i Z i Z /. Daraus folgt für die Ipedanz: Z 4 Z /. Der λ-dipol hat die vierfache Eingangsipedanz eines (λ/)-dipols!.5 P. Ein (λ/)-dipol it eingebaute Glühläpchen dient als Epfänger in einer gewissen Entfernung von eine UHF-Schwingkreis ohne angeschlossenen Dipol. a) Wie leuchtet das Läpchen a Epfänger? b) Waru? Der Dipol wird nun an die UHF-Quelle angeschlossen. c) In welche Richtung - bezüglich der Richtung der Achse dieses Sendedipols - ist die abgestrahlte elektroagnetische Energie Null, und in welche Richtung ist sie axial? d) Wie liegen die Schwingungsrichtungen der E- und H-Felder, parallel oder senkrecht zu der Achse des Sendedipols? Lösung: a) Das Läpchen leuchtet nicht, es bleibt dunkel, da keine Feldwelle abgestrahlt wird, die vo Epfänger (Läpchen) epfangen werden könnte, so dass das Läpchen a Epfänger leuchten würde. b) Ein UHF-Schwingkreis allein ohne angeschlossenen Dipol kann keine elektroagnetischen Wellen abstrahlen, da seine Geoetrie nicht zur Ausbildung einer räulichen Feldwelle geeignet ist. c) Die abgestrahlte elektroagnetische Energie ist Null in Richtung der Achse des Sendedipols. Die elektroagnetische Energie ist axial in Richtung senkrecht zu Sendedipol. d) Die Schwingungsrichtungen der E-Felder liegen parallel zur Achse des Sendedipols. Die Schwingungsrichtungen der H-Felder liegen senkrecht zur Achse des Sendedipols.