OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der Ziffer 6 ist 60. Wir rechnen im Dezimlsystem. Dbei benutzen wir die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und die Stufenzhlen1, 10, 100, 1000, 10 000, 100 000,... 1 Million = 1 000 000 =10 6 Große Stufenzhlen lssen sich kürzer mit 1 Millirde = 1 000 000 000 = 10 9 Zehnerpotenzen schreiben. 1 Billion = 1 000 000 000 000 = 10 12 Runden einer ntürlichen Zhl uf eine bestimmte Stelle: Ist die Ziffer rechts von dieser Stelle kleiner ls 5, so wird bgerundet, sonst wird ufgerundet. Runde 1 093 ) uf Hunderter Lösung: ) 1093 1100 b) 1093 1090 b) uf Zehner Digrmme Mn verwendet zur Vernschulichung von Zhlenwerten Digrmme. Beispiel für ein Säulendigrmm: 2500 2000 1500 1000 500 Zhlenstrhl Auf dem Zhlenstrhl lssen sich die ntürlichen Zhlen der Größe nch nordnen. Die weiter rechts liegende Zhl ist die größere. 0 Wendelstein Osser Wnk Nebelhorn Höhe in m Zhlenmengen Zhlen mit gemeinsmen Eigenschften knn mn in Zhlenmengen zusmmenfssen. Die Zhlen, die zu einer Menge gehören, heißen Elemente dieser Menge. M : ist ein Element der Menge M M : ist kein Element der Menge M N ={1;2;3;4;5;6;...;118;...} Menge der ntürlichen Zhlen N 0 ={0;1;2;3;...;83;...} Menge der ntürlichen Zhlen mit 0 V 12 ={12;24;36;48;60;...:144;...} Menge der Vielfchen von 12 T 12 ={1;2;3;4;6;12} Menge der Teiler von 12 Eine Primzhl ist eine Zhl mit genu zwei Teilern. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... sind Primzhlen Jede Primzhl ist lso nur durch sich selbst und durch Eins teilbr. 2. Addition und Subtrktion ntürlicher Zhlen Addieren und Subtrhieren m Zhlenstrhl Addieren bedeutet m Zhlenstrhl nch rechts gehen. Subtrhieren bedeutet m Zhlenstrhl nch links gehen. Summe Subtrktion + b = c 1.Summnd 2. Summnd Wert der Summe Differenz - b = c Addieren Borgen Ergänzen 8 3 2 653 95 748 95 748 + 9 438-9 739-9 739 1 1 1 1 12 091 86 009 86 009 Minuend Subtrhend Wert der Differenz Fchschft Mthemtik des OvTG
OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 3. Addition und Subtrktion gnzer Zhlen Gnze Zhlen: Vorzeichen, Gegenzhl, Betrg Jede gnze Zhl (ußer 0) ht ein Vorzeichen. Eine positive Zhl ht ds Vorzeichen +, eine negtive Zhl ht ds Vorzeichen -. Fehlt ds Vorzeichen, ht mn sich + zu denken. Z = { ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; } Menge der gnzen Zhlen Die kleinere Zhl liegt weiter links uf der Zhlengerden. Die Gegenzhl zu einer Zhl ist die uf der Zhlengerden bezüglich Null symmetrisch liegende Zhl. Der Abstnd der Zhl von der Zhl 0 heißt Betrg von. Schreibweise: Addition zweier gnzer Zhlen: Gleiche Vorzeichen: Addiere die Beträge und gib der Summe ds gemeinsme Vorzeichen! Verschiedene Vorzeichen: Subtrhiere den kleineren Betrg vom größeren Betrg und gib der Differenz ds Vorzeichen des Summnden mit dem größeren Betrg! Terme mit Plus- und Minuszeichen können stets ls Summen mit den entsprechenden Vorzeichen ufgefsst werden. Beim Vertuschen von Gliedern in einer Summe muss mn die Vorzeichen mitnehmen. Subtrktion einer gnzen Zhl Subtrhieren einer gnzen Zhl bedeutet dsselbe wie Addieren ihrer Gegenzhl. -5 ist die Gegenzhl zu 5 ( -5 = 5 = 5 ) 708 ist die Gegenzhl zu -708 (+4) + (+3) = +(4 + 3) = 7 (-4) + (-3) = - (4 + 3) = -7 ( -4) + ( +3) = - ( 4-3) = -1 ( +4) + ( -3) = +( 4-3) = 1 77 + 16-17 - 6 = = 77 + (-17) +16 + (-6) = = +(77 17) + (16 6) = = 60 + 10 = 70 ( +5) - ( -7) = ( +5) + ( +7) = 12 ( +5) - ( +7) = ( +5) + ( -7) = - (7-5) = - 2 4. Multipliktion und Division ntürlicher Zhlen Sttt 3 + 3 + 3 + 3 + 3 schreibt mn uch 5 3. Die zugehörige Rechenrt heißt Multipliktion. Multipliktion Produkt b = c 1.Fktor 2. Fktor Wert des Produkts Die Umkehrung der Multipliktion ist die Division. Quotient : b = c Dividend Divisor Wert des Quotienten Jede Zhl lässt sich in Primfktoren zerlegen. 5. Potenzieren Division 523 246 128658 : 523 = 246 1046-1046 2092 2405 3138-2092 128658 3138-3138 Sonderfälle : 1 = 1 = : 1 = 0 = 0 = 0 0 : = 0 für lle ntürlichen Zhlen. Durch 0 knn mn nicht dividieren!! Primfktorzerlegung der Zhl 630: 630 = 2 3 3 5 7 = 2 3 2 5 7 = n ( lies: hoch n ) n Fktoren n heißt Potenz, heißt Bsis, n heißt Exponent Sonderfälle: n = 2 Qudrtzhlen: z. B. 5 2 = 25, 13 2 = 169 = 10 Zehnerpotenzen: z. B. 10 3 = 1000 6. Multipliktion und Division gnzer Zhlen Vorzeichenregeln: + + = + + : + = + - - = + - : - = + - + = - - : + = - + - = - + : - = - (+5) (+3) = + 15 (+18) : (+2) = +9 (- 5) (- 3) = + 15 ( -18) : (-2) = +9 (- 5) (+3) = - 15 ( - 18) : (+2) = - 9 (+5) (- 3) = - 15 (+18) : ( -2) = - 9 Fchschft Mthemtik des OvTG
OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 7. Rechengesetze und Rechenvorteile Für lle gnzen Zhlen, b, c gelten: Rechenvorteile: Geschicktes Zusmmenfssen: Kommuttivgesetze der (12 + 57) + 3 = (57 + 3 ) + 12 = 60 + 12 = 72 Addition + b = b + Multipliktion b = b Assozitivgesetze der Addition Multipliktion +(b+c) = (+b)+c (b c) = ( b) c Distributivgesetz (b + c) = b + c Geschicktes Ausklmmern: 7 25 + 7 5 = 7 ( 25 + 5) = 7 30 = 210 Geschicktes Ausmultiplizieren: 45 98 = 45 (100 2) = 45 100 45 2 = = 4500 90 = 4410 8. Verbindung der vier Grundrechenrten Terme bestehen us Zhlen, Vriblen, Rechenzeichen und Klmmern. Innere Klmmern rechnet mn zuerst us. Die letzte durchzuführende Rechenrt legt die Art des Terms fest. Vereinbrungen für die Reihenfolge: 1. Mn rechnet von links nch rechts. 2. Ws in Klmmern steht, wird zuerst berechnet. 3. Potenz vor Punkt vor Strich Die zuletzt usgeführte Rechenrt bestimmt den Termnmen. 9. Geometrische Grundbegriffe Punkte, Gerden, Strecken Gerde g = AB x x A B Hlbgerde [AB x x A B Strecke [AB] x x A B Länge der Strecke: AB = 2,5 cm 3+ und [2 (35-7)+20] : 19 sind Beispiele für Terme Termgliederung: ( 76-19) 12 + 72 : 3 Differenz Produkt Quotient Summe (= Termnme) Berechnung: (76-19) 12 + 72 : 3 = 57 12 + 24 = 684 + 24 = 708 Besondere gegenseitige Lge von Gerden g ist prllel zu h: g h g ist senkrecht zu l: g l l ist gemeinsme Lotgerde zu g und h l g Abstnd eines Punktes P von einer Gerden h: Länge der Lotstrecke von P bis h = d (P;h). h Abstnd zweier prlleler Gerden g und h: Länge der Lotstrecke zwischen g und h = d (g;h) Kreise Alle Punkte P eines Kreises hben von seinem Mittelpunkt M den gleichen Abstnd r. M heißt Mittelpunkt des Kreises, r heißt Rdius des Kreises, d heißt Durchmesser des Kreises: d = 2r. r x M x P d x P Fchschft Mthemtik des OvTG
OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse Vierecke Ds Prllelogrmm ist ein Viereck, bei dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils prllel sind. Umfng eines Prllelogrmms mit den Seitenlängen und b: U = 2 + 2 b b b Besondere Vierecke: b b Rute Rechteck Qudrt Winkel Dreht mn eine Hlbgerde um ihren Anfngspunkt S, so entsteht ein Winkel. S heißt Scheitel des Winkels, g und h heißen Schenkel des Winkels. S α h Die Winkel von 0 bis 360 werden uf die folgende Art ufgeteilt: spitzer Winkel: 0 < 90 rechter Winkel: 90 stumpfer Winkel: 90 < 180 gestreckter Winkel: 180 überstumpfer Winkel: 180 < 360 Vollwinkel: 360 Achsensymmetrie P und P liegen symmetrisch bezügliche der Achse, wenn [PP ] von der Achse rechtwinklig hlbiert wird. Figuren heißen chsensymmetrisch, wenn sie eine Symmetriechse besitzen. Koordintensystem Jeder Punkt in einem Koordintensystem lässt sich durch ein Zhlenpr beschreiben. Die Zhlen heißen Koordinten des Punktes: P ( 2 1 ) g vgl. Geodreieck: P P Achsensymmetrie in der Ntur x-koordinte y-koordinte P ( 2 / 1) Geometrische Körper Zum Zeichnen räumlicher Körper verwendet mn Schrägbilder. Schrägbilder der geometrischen Grundkörper: Würfel Quder Prism Pyrmide Zylinder Kegel Kugel Fchschft Mthemtik des OvTG
OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse Wird die Oberfläche eines geometrischen Körpers ufgeschnitten und in der Ebene usgebreitet, so erhält mn ds Netz eines Körpers. Netz eines Würfels Netz eines Zylinders Flächenmessung Zur Flächenmessung verwendet mn Einheitsqudrte. Ein Qudrt mit der Seitenlänge 1cm ht den Flächeninhlt 1 cm 2. Umrechnung von Flächeneinheiten: Die Flächenumwndlungszhl ist 100. Aufeinnderfolgende Flächeneinheiten: 1mm 2 ; 1cm 2 ; 1dm 2 ; 1m 2 ; 1 ; 1h ; 1km 2 In ds Rechteck pssen 4 3 Einheitsqudrte mit 1 cm² Flächeninhlt. Es ht lso den Flächeninhlt 12 cm². 3 cm Flächeninhlt eines Rechtecks der Länge l und Breite b: A Rechteck = b l 4cm Sonderfälle: Oberflächeninhlt eines Quders der Länge l, Breite b und Höhe h: O Quder = 2 ( l b + l h + b h) = 2 l b + 2 l h + 2 b h A Qudrt = = 2 Qudrt mit Seitenlänge O Würfel = 6 = 6 2 Würfel mit Kntenlänge 10. Größen Jede Größe besteht us Mßzhl und Mßeinheit. 1 km = 1000 m (1 dm = 10 m, 1 hm = 10 dm, 1 km = 10 hm) Verschiedene Größen und ihre Einheiten. 1 m = 10 dm 1dm = 10 cm Umrechnungszhl 10 bei Längen Größe Länge Fläche Msse Geld Zeit 1cm = 10 mm Einheit km km 2 t Euro 1 km 2 = 100 h hm h kg ct d 1 h = 100 dm g h 1 = 100 m 2 m m 2 mg min 1 m 2 = 100 dm 2 dm dm 2 s 1 dm 2 = 100 cm 2 cm cm 2 1 cm 2 = 100 mm 2 Umrechnungszhl 100 bei Flächen mm mm 2 Will mn Größen ddieren bzw. subtrhieren, so muss mn sie vorher in die gleiche Mßeinheit umrechnen. Eine Größe wird mit einer Zhl multipliziert (durch eine Zhl dividiert), indem mn die Mßzhl mit der Zhl multipliziert (durch die Zhl dividiert) und die Mßeinheit beibehält. Der Quotient zweier Größen gleicher Art ist eine Zhl. Sie gibt n, wie oft die kleinere Größe in der größeren enthlten ist. Mßstb Die Angbe Mßstb 1:200 in einem Pln bedeutet: Die Länge im Pln ist der zweihundertste Teil der Länge in der Wirklichkeit. 1t = 1000 kg 1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg 1 = 100 ct 55 cm + 1,20 m = 55 cm + 120 cm = 175 cm 4,250 kg 200 g = 4250 g 200 g = 4050 g 12 h : 3 = 4 h 15 kg 3 = 45 kg 120 : 5 = 24 1 = 365 d 1d = 24 h 1 h = 60 min = 60 60 s = 3600 s 1 min = 60 s Auf einer Krte mit Mßstb 1: 25 000 ist eine Strecke 2 cm lng. In Wirklichkeit ist sie 2 25000 cm = 500m lng. Fchschft Mthemtik des OvTG